Structures de régularité et mécanique statistique

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1 Nils Berglund Journées de Probabilités Structures de régularité et mécanique statistique Nils Berglund MAPMO, Université d Orléans Aussois, 23 juin 2017 avec Christian Kuehn (TU Munich)

2 EDPS de type Allen Cahn fractionnaire Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 t u = ( ) ρ/2 u + F (u) + ξ

3 EDPS de type Allen Cahn fractionnaire Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 t u = ( ) ρ/2 u + F (u) + ξ u = u(t, x) R, (t, x) R + T d, d 1 ( ) ρ/2 =: ρ/2 : Laplacien fractionnaire F polynome de degré N ξ bruit blanc espace-temps: E[ξ(t, x)ξ(y, s)] = δ(x y)δ(t s) ξ, ϕ = W ϕ N (0, ϕ 2 L 2 ), E[W ϕ W ϕ ] = ϕ, ϕ

4 EDPS de type Allen Cahn fractionnaire Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 t u = ( ) ρ/2 u + F (u) + ξ u = u(t, x) R, (t, x) R + T d, d 1 ( ) ρ/2 =: ρ/2 : Laplacien fractionnaire F polynome de degré N ξ bruit blanc espace-temps: E[ξ(t, x)ξ(y, s)] = δ(x y)δ(t s) ξ, ϕ = W ϕ N (0, ϕ 2 L 2 ), E[W ϕ W ϕ ] = ϕ, ϕ Motivations: Meilleure compréhension de la sous-criticalité locale Equation de FitzHugh Nagumo [B, Kuehn, EJP 2016] t u = u + u u 3 + v + ξ t v = a 1 u + a 2 v

5 EDPS de type Allen Cahn fractionnaire Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 t u = ( ) ρ/2 u + F (u) + ξ u = u(t, x) R, (t, x) R + T d, d 1 ( ) ρ/2 =: ρ/2 : Laplacien fractionnaire F polynome de degré N ξ bruit blanc espace-temps: E[ξ(t, x)ξ(y, s)] = δ(x y)δ(t s) ξ, ϕ = W ϕ N (0, ϕ 2 L 2 ), E[W ϕ W ϕ ] = ϕ, ϕ Motivations: Meilleure compréhension de la sous-criticalité locale Equation de FitzHugh Nagumo [B, Kuehn, EJP 2016] t u = u + u u 3 + v + ξ t v = δ v + a 1 u + a 2 v

6 EDPS de type Allen Cahn fractionnaire Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 t u = ( ) ρ/2 u + F (u) + ξ u = u(t, x) R, (t, x) R + T d, d 1 ( ) ρ/2 =: ρ/2 : Laplacien fractionnaire F polynome de degré N ξ bruit blanc espace-temps: E[ξ(t, x)ξ(y, s)] = δ(x y)δ(t s) ξ, ϕ = W ϕ N (0, ϕ 2 L 2 ), E[W ϕ W ϕ ] = ϕ, ϕ Motivations: Meilleure compréhension de la sous-criticalité locale Equation de FitzHugh Nagumo [B, Kuehn, EJP 2016] t u = u + u u 3 + v + ξ t v = ρ/2 v + a 1 u + a 2 v

7 Cas ρ = 2, N = 3 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Modèle Φ 4 d : tu = u u 3 + ξ

8 Cas ρ = 2, N = 3 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Modèle Φ 4 d : tu = u u 3 + ξ Bruit mollifié: ξ ε = ϱ ε ξ avec ϱ ε (t, x) = 1 ϱ ( t, x ) ε d+2 ε 2 ε où ϱ à support compact, intégrale 1 Théorème d {2, 3}. choix de const de renormalisation C(ε), lim ε 0 C(ε) =, t u ε = u ε + C(ε)u ε (u ε ) 3 + ξ ε admet une suite u ε de solutions locales, convergeant en proba vers une limite u lorsque ε 0.

9 Cas ρ = 2, N = 3 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Modèle Φ 4 d : tu = u u 3 + ξ Bruit mollifié: ξ ε = ϱ ε ξ avec ϱ ε (t, x) = 1 ϱ ( t, x ) ε d+2 ε 2 ε où ϱ à support compact, intégrale 1 Théorème d {2, 3}. choix de const de renormalisation C(ε), lim ε 0 C(ε) =, t u ε = u ε + C(ε)u ε (u ε ) 3 + ξ ε admet une suite u ε de solutions locales, convergeant en proba vers une limite u lorsque ε 0. d = 2: [Da Prato & Debussche 2004] C(ε) = C 1 log(ε 1 ) d = 3: [Hairer 2014, aussi Catellier & Chouk, Kupiainen] C(ε) = C 1 ε 1 + C 2 log(ε 1 ) + C 3

10 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Pourquoi faut-il renormaliser? ( t )u = h u = G h ( t )u = F (u) + ξ u = G ξ + G F (u) Quel espace fonctionnel choisir?

11 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Pourquoi faut-il renormaliser? ( t )u = h u = G h ( t )u = F (u) + ξ u = G ξ + G F (u) Quel espace fonctionnel choisir? Espaces de Hölder C α pour f : I R, avec I R intervalle compact: 0 < α < 1: f (x) f (y) C x y α x y α > 1: f C α et f C α 1 f (x) f (y) C x y α α < 0: f distribution, f, ηx δ Cδ α avec ηx(y) δ = 1 x y δ η( δ )

12 Pourquoi faut-il renormaliser? Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 ( t )u = h u = G h ( t )u = F (u) + ξ u = G ξ + G F (u) Quel espace fonctionnel choisir? Espaces de Hölder C α pour f : I R, avec I R intervalle compact: 0 < α < 1: f (x) f (y) C x y α x y α > 1: f C α et f C α 1 f (x) f (y) C x y α α < 0: f distribution, f, ηx δ Cδ α avec ηx(y) δ = 1 x y δ η( δ ) Scaling parabolique C α s : x y t s 1/2 + d i=1 x i y i Faits: 1. α / Z, f Cs α G f Cs α+2 2. ξ Cs α p.s. α < d+2 2 (Schauder)

13 Pourquoi faut-il renormaliser? Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 ( t )u = h u = G h ( t )u = F (u) + ξ u = G ξ + G F (u) Quel espace fonctionnel choisir? Espaces de Hölder C α pour f : I R, avec I R intervalle compact: 0 < α < 1: f (x) f (y) C x y α x y α > 1: f C α et f C α 1 f (x) f (y) C x y α α < 0: f distribution, f, ηx δ Cδ α avec ηx(y) δ = 1 x y δ η( δ ) Scaling parabolique C α s : x y t s 1/2 + d i=1 x i y i Faits: 1. α / Z, f Cs α G f Cs α+2 (Schauder) 2. ξ Cs α p.s. α < d+2 2 Conséquence: G ξ Cs α p.s. α < 2 d 2 0 pour d 2

14 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Structures de régularité [Hairer, Inventiones Math. 198, , 2014]: M(u 0, Z ε ) MΨ S M U M R M (u 0, ξ ε ) u ε S M

15 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Structures de régularité [Hairer, Inventiones Math. 198, , 2014]: M(u 0, Z ε ) MΨ S M U M R M (u 0, ξ ε ) S M u ε u = G (ξ ε u 3 ) U = I(Ξ U 3 ) + ϕ1 + termes polynomiaux U 0 = 0 U 1 = I(Ξ) + ϕ U1 3 = I(Ξ) 3 + 3ϕI(Ξ) 2 + 3ϕ 2 I(Ξ) + ϕ U 2 = I(Ξ) I(I(Ξ) 3 ) 3ϕI(I(Ξ) 2 ) 3ϕ 2 I(I(Ξ)) + ϕ1 +...

16 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Structures de régularité [Hairer, Inventiones Math. 198, , 2014]: M(u 0, Z ε ) MΨ S M U M R M (u 0, ξ ε ) S M u ε u = G (ξ ε u 3 ) U = I(Ξ U 3 ) + ϕ1 + termes polynomiaux U 0 = 0 U 1 = I(Ξ) + ϕ U1 3 = I(Ξ) 3 + 3ϕI(Ξ) 2 + 3ϕ 2 I(Ξ) + ϕ U 2 = I(Ξ) I(I(Ξ) 3 ) 3ϕI(I(Ξ) 2 ) 3ϕ 2 I(I(Ξ)) + ϕ1 +...

17 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Structures de régularité [Hairer, Inventiones Math. 198, , 2014]: M(u 0, Z ε ) MΨ S M U M R M (u 0, ξ ε ) S M u ε u = G (ξ ε u 3 ) U = I(Ξ U 3 ) + ϕ1 + termes polynomiaux U 0 = 0 U 1 = I(Ξ) + ϕ U1 3 = I(Ξ) 3 + 3ϕI(Ξ) 2 + 3ϕ 2 I(Ξ) + ϕ U 2 = I(Ξ) I(I(Ξ) 3 ) 3ϕI(I(Ξ) 2 ) 3ϕ 2 I(I(Ξ)) + ϕ =: 3ϕ 3ϕ 2 + ϕ1 +...

18 Structures de régularité [Hairer, Inventiones Math. 198, , 2014]: M(u 0, Z ε ) MΨ S M U M R M (u 0, ξ ε ) S M u ε u = G (ξ ε u 3 ) U = I(Ξ U 3 ) + ϕ1 + termes polynomiaux U 0 = 0 U 1 = I(Ξ) + ϕ U1 3 = I(Ξ) 3 + 3ϕI(Ξ) 2 + 3ϕ 2 I(Ξ) + ϕ U 2 = I(Ξ) I(I(Ξ) 3 ) 3ϕI(I(Ξ) 2 ) 3ϕ 2 I(I(Ξ)) + ϕ =: 3ϕ 3ϕ 2 + ϕ d 2 5 3d 2 4 d 3 d 2 0 Localement sous-critique: les exposants de Hölder sont bornés inf Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12

19 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Cas du Laplacien fractionnaire 0 < ρ < 2, ρ/2 := ( ) ρ/2 générateur d un processus de Lévy de noyau G ρ (t, x) = 1 (2π) d e i x ξ e t ξ ρ dξ R d

20 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Cas du Laplacien fractionnaire 0 < ρ < 2, ρ/2 := ( ) ρ/2 générateur d un processus de Lévy de noyau G ρ (t, x) = 1 (2π) d e i x ξ e t ξ ρ dξ R d Facile à vérifier: 1. s = (ρ, 1,..., 1) G ρ régularisant d ordre ρ: f C α s, α + ρ / Z G ρ f C α+ρ s

21 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Cas du Laplacien fractionnaire 0 < ρ < 2, ρ/2 := ( ) ρ/2 générateur d un processus de Lévy de noyau G ρ (t, x) = 1 (2π) d e i x ξ e t ξ ρ dξ R d Facile à vérifier: 1. s = (ρ, 1,..., 1) G ρ régularisant d ordre ρ: f C α s, α + ρ / Z G ρ f C α+ρ s 2. ξ C α s p.s. α < ρ+d 2

22 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Cas du Laplacien fractionnaire 0 < ρ < 2, ρ/2 := ( ) ρ/2 générateur d un processus de Lévy de noyau G ρ (t, x) = 1 (2π) d e i x ξ e t ξ ρ dξ R d Facile à vérifier: 1. s = (ρ, 1,..., 1) G ρ régularisant d ordre ρ: f C α s, α + ρ / Z G ρ f C α+ρ s 2. ξ C α s p.s. α < ρ+d 2 3. t u = ρ/2 u + F (u) degré N + ξ loc. sous-critique ρ > ρ c = d N 1 N+1

23 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Cas du Laplacien fractionnaire 0 < ρ < 2, ρ/2 := ( ) ρ/2 générateur d un processus de Lévy de noyau G ρ (t, x) = 1 (2π) d e i x ξ e t ξ ρ dξ R d Facile à vérifier: 1. s = (ρ, 1,..., 1) G ρ régularisant d ordre ρ: f C α s, α + ρ / Z G ρ f C α+ρ s 2. ξ C α s p.s. α < ρ+d 2 3. t u = ρ/2 u + F (u) degré N + ξ loc. sous-critique ρ > ρ c = d N 1 N+1 Idée: Equ de point fixe U = I(Ξ + F (U)) + ϕ Idée: Ξ s = ρ+d 2 κ =: α 0 Idée: I(Ξ) N s = N(α 0 + ρ) = N 2 (ρ d) Nκ Idée: I(Ξ) N s > Ξ s ρ > ρ c Idée: puis récurrence sur l application du point fixe

24 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Espace modèle U = I(Ξ + F (U)) + ϕ U F : symboles représentant la solution U F F U F : symboles représentant l équation (i.e. Ξ + F (U))

25 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Espace modèle U = I(Ξ + F (U)) + ϕ U F : symboles représentant la solution U F F U F : symboles représentant l équation (i.e. Ξ + F (U)) donnés par la récurrence W 0 = U 0 = et W m = W m 1 U m 1 Um 1 N {Ξ} U m = I(W m ) {X k } avec AB := {ττ : τ A, τ B} Alors U F = U m, F F = m U m ) m 0 m 0(W

26 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Espace modèle U = I(Ξ + F (U)) + ϕ U F : symboles représentant la solution U F F U F : symboles représentant l équation (i.e. Ξ + F (U)) donnés par la récurrence W 0 = U 0 = et W m = W m 1 U m 1 Um 1 N {Ξ} U m = I(W m ) {X k } avec AB := {ττ : τ A, τ B} Alors U F = U m, F F = m U m ) m 0 m 0(W Questions: Soit A F = { τ s : τ F F } 1. Estimer h F = #(A F R ) (nombre d exposants de Hölder négatifs) 2. Estimer c F = #{τ F F : τ s < 0} (nombre de symboles singuliers)

27 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Nombre d exposants de Hölder négatifs h F = #(A F R ) Théorème 1 ρ + d 1 h F 1 + N + 1 ρ ρ c (ρ + d)dn N ρ ρ c

28 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Nombre d exposants de Hölder négatifs h F = #(A F R ) Théorème 1 ρ + d 1 h F 1 + N + 1 ρ ρ c Preuve: τ s = ρ+d 2 p(τ) + q(τ)ρ + k s(τ) O(κ) p = #Ξ, q = #I, 0 k s = exp. polynomial D 0 (U) = {(p(τ), q(τ)): τ U} N 2 D 0 (U n ) = env. convexe de nd 0 (U) (ρ + d)dn N ρ ρ c

29 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Nombre d exposants de Hölder négatifs h F = #(A F R ) Théorème 1 D 0 (W 3 ) pour N = d = 3 ρ + d 1 h F 1 + N + 1 ρ ρ c ρ = 2 ρ = (ρ + d)dn N ρ ρ c ρ = 9 5 ρ = ρ c = 3 2

30 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Nombre d exposants de Hölder négatifs h F = #(A F R ) Théorème 1 ρ + d 1 h F 1 + N + 1 ρ ρ c (ρ + d)dn N ρ ρ c Preuve: τ s = ρ+d 2 p(τ) + q(τ)ρ + k s(τ) O(κ) p = #Ξ, q = #I, 0 k s = exp. polynomial D 0 (U) = {(p(τ), q(τ)): τ U} N 2 D 0 (U n ) = env. convexe de nd 0 (U) (p, q ) lim m D 0 (U m ) = cône tronqué τ s < 0 p = 1 + N 1 N q et τ triangle h F = nombre de points dans le triangle q = (ρ+d)n (N+1)(ρ ρ + O(κ) c) q p q = ρ+d 2 p + qρ = 0 N N 1 (p 1)

31 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Nombre de symboles c F = #{τ F F : τ s < 0} Théorème 2 C N (ρ ρ c) 3/2 e β Nd/(ρ ρ c) c F C + N (ρ ρ c) 3/2 e β Nd/(ρ ρ c)

32 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Nombre de symboles c F = #{τ F F : τ s < 0} Théorème 2 C N (ρ ρ c) 3/2 e β Nd/(ρ ρ c) c F C + N (ρ ρ c) 3/2 e β Nd/(ρ ρ c) Cas N = 2: τ arbre de degré 3, p feuilles, q arêtes d i := # sommets de degré i d 1 + d 2 + d 3 = q + 1 d 1 + 2d 2 + 3d 3 = 2q d 1 = p + 1 {deg =1}

33 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Nombre de symboles c F = #{τ F F : τ s < 0} Théorème 2 C N (ρ ρ c) 3/2 e β Nd/(ρ ρ c) c F C + N (ρ ρ c) 3/2 e β Nd/(ρ ρ c) Cas N = 2: τ arbre de degré 3, p feuilles, q arêtes d i := # sommets de degré i d 1 + d 2 + d 3 = q + 1 d 1 + 2d 2 + 3d 3 = 2q d 1 = p + 1 {deg =1} q = 2n arbre binaire à q + 1 sommets q = 2n + 1 arbre binaire à q + 2 sommets moins une arête

34 Nombre de symboles c F = #{τ F F : τ s < 0} Théorème 2 C N (ρ ρ c) 3/2 e β Nd/(ρ ρ c) c F C + N (ρ ρ c) 3/2 e β Nd/(ρ ρ c) Cas N = 2: τ arbre de degré 3, p feuilles, q arêtes d i := # sommets de degré i d 1 + d 2 + d 3 = q + 1 d 1 + 2d 2 + 3d 3 = 2q d 1 = p + 1 {deg =1} q = 2n arbre binaire à q + 1 sommets q = 2n + 1 arbre binaire à q + 2 sommets moins une arête On doit compter les arbres à homéomorphisme près (1/ )n Nombres de Wedderburn Etherington W n c [Otter 1948] n 3/2 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12

35 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Propriétés statistiques Ω = {τ F F : τ s < 0}, P probabilité uniforme Propriétés de variables aléatoires X : Ω R lorsque ρ ρ c?

36 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Propriétés statistiques Ω = {τ F F : τ s < 0}, P probabilité uniforme Propriétés de variables aléatoires X : Ω R lorsque ρ ρ c? Cas X = Q = #I: P{Q / NN} e γ/(ρ ρc) E[Q/q ] = 1 + O(ρ ρ c ) et Var[Q/q ] = O((ρ ρ c ) 2 ) lim ρ ρc (ρ ρ c ) log P{Q/q x} = β N d(1 x) x [0, 1]

37 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Propriétés statistiques Ω = {τ F F : τ s < 0}, P probabilité uniforme Propriétés de variables aléatoires X : Ω R lorsque ρ ρ c? Cas X = Q = #I: P{Q / NN} e γ/(ρ ρc) E[Q/q ] = 1 + O(ρ ρ c ) et Var[Q/q ] = O((ρ ρ c ) 2 ) lim ρ ρc (ρ ρ c ) log P{Q/q x} = β N d(1 x) x [0, 1] Autres variables aléatoires intéressantes: Nombre P de Ξ: fonction de Q Exposant de Hölder: concentré en 0 Distribution de degrés: proche de ( N 1 N, 0,..., 0, 1 N ) Hauteur et diamètre [Broutin & Flajolet]: d ordre 1/ ρ ρ c N = d = 3, ρ {1.8, 1.75, 1.7, 1.76, 1.6, 1.59}

38 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Renormalisation t u ε = ρ/2 u ε + C(ε)u ε (u ε ) 3 + ξ ε

39 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Renormalisation t u ε = ρ/2 u ε + C(ε)u ε (u ε ) 3 + ξ ε Théorie BPHZ [Bruned, Hairer & Zambotti 2016, Chandra & Hairer 2016]: On s attend à C(ε) ε τ s (ε 0 = log(ε 1 )) τ F F : τ s<0

40 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Renormalisation t u ε = ρ/2 u ε + C(ε)u ε (u ε ) 3 + ξ ε Théorie BPHZ [Bruned, Hairer & Zambotti 2016, Chandra & Hairer 2016]: On s attend à C(ε) ε τ s (ε 0 = log(ε 1 )) τ F F : τ s<0 = c F E[ε τ s ]

41 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Renormalisation t u ε = ρ/2 u ε + C(ε)u ε (u ε ) 3 + ξ ε Théorie BPHZ [Bruned, Hairer & Zambotti 2016, Chandra & Hairer 2016]: On s attend à C(ε) ε τ s (ε 0 = log(ε 1 )) τ F F : τ s<0 = c F E[ε τ s ] P{ τ s = h} e γ Nh/(ρ ρ c) γ N = N+1 N β N ρ+d 2 < h < 0 number of elements number of elements rho = homogeneity rho = homogeneity number of elements number of elements rho = homogeneity rho = homogeneity number of elements number of elements rho = homogeneity rho = homogeneity

42 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Renormalisation t u ε = ρ/2 u ε + C(ε)u ε (u ε ) 3 + ξ ε Théorie BPHZ [Bruned, Hairer & Zambotti 2016, Chandra & Hairer 2016]: On s attend à C(ε) ε τ s (ε 0 = log(ε 1 )) τ F F : τ s<0 = c F E[ε τ s ] P{ τ s = h} e γ Nh/(ρ ρ c) γ N = N+1 N β N ρ+d 2 < h < 0 number of elements number of elements rho = homogeneity rho = 1.65 number of elements number of elements rho = homogeneity rho = homogeneity homogeneity c F log(ε 1 ) si ε > e γ N/(ρ ρ c) ( ) C(ε) ε (d ρ) c F si ε < e γ N/(ρ ρ c) e γ N/(ρ ρ c) number of elements number of elements rho = homogeneity rho = homogeneity

43 Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12 Références M. Hairer, A theory of regularity structures, Inv. Math. 198, (2014) M. Hairer, Introduction to Regularity Structures, lecture notes (2013) A. Chandra, H. Weber, Stochastic PDEs, regularity structures, and interacting particle systems, Annales Mathématiques de la Faculté des Sciences de Toulouse (in press), arxiv/ N. B., C. Kuehn, Regularity structures and renormalisation of FitzHugh Nagumo SPDEs in three space dimensions, Elec J Prob 21 (18):1-48 (2016) N. B., C. Kuehn, Model spaces of regularity structures in space-fractional SPDEs, J Statist Phys (online first), arxiv/ Y. Bruned, M. Hairer, L. Zambotti, Algebraic renormalisation of regularity structures, arxiv/ A. Chandra, M. Hairer, An analytic BPHZ theorem for regularity structures, arxiv/ M. Hairer, An analyst s take on the BPHZ theorem, arxiv/

44 Publicité Au CIRM, Marseille, Luminy: Structures de régularité et mécanique statistique 23 Juin /12