ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΙΑΣΠΑΣΗΣ ΑΕΡΙΩΝ ΙΑΚΕΝΩΝ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Transcript

1 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΙΑΣΠΑΣΗΣ ΑΕΡΙΩΝ ΙΑΚΕΝΩΝ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΧΑΡΑΛΑΜΠΑΚΟΥ Π. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ιπλωµατούχου Ηλεκτρολόγου Μηχανικού και Τεχνολογίας Υπολογιστών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΑΡΙΘΜΟΣ ΙΑΤΡΙΒΗΣ 154 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2005

2 Περιεχόµενα Πρόλογος Περίληψη 1. Εισαγωγή Γενικά Περιεχόµενα ιατριβής Στοχαστικά Μοντέλα ιάσπασης ιηλεκτρικών Εισαγωγή Στοχαστικά Μοντέλα Μοντέλο Niemeyer Pietronero Wiesmann Μοντέλο FFC Μοντέλο Biller Μοντέλο ανίκα Μοντελοποίηση της διάσπασης µε ισοδύναµο ηλεκτρικό δίκτυο Συµπεράσµατα Ανακεφαλαίωση Ανάπτυξη Νέων Στοχαστικών Μοντέλων για τη ιάσπαση ιακένων Αέρα Εισαγωγή Μηχανισµός διάσπασης τύπου Streamer Γενικά Ηλεκτρονική Στιβάδα σε οµογενές Η.Π Φυσική Περιγραφή του Streamer Μηχανισµός διάσπασης µεγάλων διακένων Στοχαστικό µοντέλο για την προσοµοίωση της διάσπασης µικρών διακένων αέρα Γενικά Ανάλυση του στοχαστικού µοντέλου Ανάλυση του Αλγορίθµου Πλεονεκτήµατα και µειονεκτήµατα του µοντέλου Μοντέλο SLT (Streamer to Leader Transition) Εισαγωγή Περιγραφή του Μοντέλου Περιγραφή του Αλγόριθµου Πλεονεκτήµατα και µειονεκτήµατα του µοντέλου Μοντέλο SLP (Streamer Leader Propagation) Εισαγωγή Ανάλυση του Μοντέλου Περιγραφή του Αλγορίθµου Πλεονεκτήµατα και µειονεκτήµατα του µοντέλου Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων Γενικά Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων σε Μικρά ιάκενα Γενικά Ρύθµιση των παραµέτρων του µοντέλου 70

3 4.2.3 Κατανοµή Weibull Εκθετική Κατανοµή Συµπεράσµατα Μοντέλο SLT Γενικά Συµπεράσµατα Μοντέλο SLP Γενικά Αποτελέσµατα Συµπεράσµατα Συµπεράσµατα Βιβλιογραφία. 139 Παράρτηµα Α 145 Παράρτηµα Β 165 Παράρτηµα Γ 193 Κατάλογος Συµβόλων.. 205

4

5 Πρόλογος Η διατριβή αυτή εκπονήθηκε στο Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων του Πανεπιστηµίου Πατρών, υπό την επίβλεψη του Αναπληρωτή Καθηγητή κ. ηµοσθένη Αγορή. Οφείλω να ευχαριστήσω θερµά όλους όσους συνέβαλλαν στην διεκπεραίωση της διατριβής αυτής. Πιο συγκεκριµένα, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον κ. Αγορή για την εµπιστοσύνη την οποία µου έδειξε αλλά και για την ανελλιπή του καθοδήγηση και υποστήριξη καθ όλη τη διάρκεια εκπόνησης της διατριβής, τον Καθηγητή κ. Σπύρου για τις εύστοχες παρατηρήσεις του σε θέµατα που αφορούσαν την φυσική της διάσπασης διακένων αέρα καθώς και την Λέκτορα κ. Πυργιώτη για την µεταξύ των άλλων - πολύτιµη συνδροµή της στην εύρεση των ιδιαιτέρως σηµαντικών πειραµατικών µετρήσεων που χρησιµοποιήθηκαν στην παρούσα διατριβή. Επίσης ευχαριστώ τα υπόλοιπα µέλη της επταµελούς επιτροπής, τους Καθηγητές κ. Τσανάκα, κ. Στασσινόπουλο, κ. ιαλυνά και κ. ανίκα για τις παρατηρήσεις και προτάσεις τους για τη βελτίωση της διατριβής. Νιώθω την ανάγκη να ευχαριστήσω επίσης τον Καθηγητή κ. Alexander Kupershtokh του Ινστιτούτου Υδροδυναµικής της Ρωσικής Ακαδηµίας Επιστηµών που εδρεύει στο Novosibirsk, ο οποίος µε στήριξε ιδιαίτερα στα πρώτα βήµατα της εκπόνησης της διατριβής µου και µε βοήθησε στην ανάπτυξη ενός εκ των στοχαστικών µοντέλων, καθώς και τον Καθηγητή κ. Grzybowski, διευθυντή του Εργαστηρίου Υψηλών Τάσεων στο Πανεπιστήµιο του Μισισιπή, ο οποίος µας παραχώρησε πολύτιµα πειραµατικά αποτελέσµατα. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς µου οι οποίοι µε στήριξαν ηθικά και οικονοµικά όλα αυτά τα χρόνια. Χωρίς την υποµονή και την αµέριστη συµπαράστασή τους η εργασία αυτή δε θα είχε διεκπεραιωθεί. Βασίλειος Π. Χαραλαµπάκος Σεπτέµβριος 2004

6 Περίληψη Στη παρούσα διδακτορική διατριβή, παρουσιάζονται τρία νέα στοχαστικά µοντέλα που αναπτύχθηκαν στο Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων του Πανεπιστηµίου Πατρών. Σκοπός της ανάπτυξης των µοντέλων αυτών ήταν η εξοµοίωση της διάδοσης των streamers και των leaders σε διάκενα αέρα µεγαλύτερα από 5cm υπό ατµοσφαιρική πίεση και η εξαγωγή αποτελεσµάτων που αφορούν τη τάση διάσπασης U 50 καθώς και τη τυπική απόκλιση σ, όταν τα διάκενα καταπονούνται από συνεχείς και κρουστικές τάσεις θετικής πολικότητας. Από τα τρία αυτά µοντέλα, το πρώτο αναπτύχθηκε για την εξοµοίωση της διάδοσης των streamers σε µικρά διάκενα (έως 40cm), ενώ τα άλλα δυο εξοµοιώνουν τη διάδοση των streamers και των leaders σε διάκενα άνω των 40cm. Στο πρώτο µοντέλο εξοµοιώνεται η διάδοση των streamers σε διάκενα τύπου ακίδας πλάκας, τα οποία καταπονούνται από συνεχή και κρουστική (1,2/50µsec) τάση, θετικής πολικότητας. Η εξοµοίωση πραγµατοποιείται σε δύο διαστάσεις µε ταυτόχρονη διακριτοποίηση του χώρου και του χρόνου. Τα αποτελέσµατα που προκύπτουν αφορούν την τάση διάσπασης U 50%, την τυπική απόκλιση σ, καθώς και τη µέση και στιγµιαία ταχύτητα διάδοσης των streamers. Η απόσταση µεταξύ των ηλεκτροδίων µεταβάλλονταν µεταξύ 15-40cm, ενώ η διάµετρος της ράβδου δεν ελήφθη υπόψη κατά τις εξοµοιώσεις. Ως κριτήριο της διάσπασης θεωρήθηκε η γεφύρωση του διακένου από τους streamers. Τα αποτελέσµατα των εξοµοιώσεων συγκρίθηκαν µε αντίστοιχα πειραµατικά αποτελέσµατα τα οποία προέρχονται από µετρήσεις που έγιναν στο Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων του Πανεπιστηµίου Πατρών, καθώς και από τη διεθνή βιβλιογραφία. Από τη σύγκριση των αποτελεσµάτων παρατηρήθηκε µια πολύ καλή σύγκλιση όσον αφορά την τάση διάσπασης U 50, δεδοµένου ότι στις περισσότερες περιπτώσεις το σχετικό σφάλµα δεν ξεπέρασε το 5%. Το δεύτερο µοντέλο (µοντέλο SLT Streamer to Leader Transition) αναπτύχθηκε για την εξοµοίωση του ίχνους της εκκένωσης της ηλεκτρικής διάσπασης µεγάλων διακένων αέρα καθώς και την εξοµοίωση του ίχνους του κεραυνού. Στο µοντέλο αυτό γίνεται για πρώτη φορά παράλληλη εξοµοίωση της διάδοσης τόσο των streamers όσο και των leaders. Οι τιµές των παραµέτρων του µοντέλου είναι υποθετικές ενώ υποθετικές είναι και οι τιµές οι οποίες δόθηκαν στο χρόνο, την εφαρµοζόµενη τάση και το µήκος του διακένου. Το γεγονός αυτό είχε ως

7 συνέπεια τα αποτελέσµατα που παρουσιάζονται να είναι µόνο ποιοτικά. Το µοντέλο δηµιουργήθηκε µε κύριο σκοπό τη διερεύνηση της δυνατότητας ταυτόχρονης εξοµοίωσης των streamers και των leaders και αποτελεί τη βάση για την ανάπτυξη νέων, πιο αποτελεσµατικών µοντέλων. Το τρίτο µοντέλο που δηµιουργήθηκε (µοντέλο SLP Streamer Leader Propagation) στα πλαίσια της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι ένα γενικό µοντέλο το οποίο έχει τη δυνατότητα να εξοµοιώσει τη διάδοση των streamers και των leaders σε οποιοδήποτε διάκενο αέρα µήκους άνω των 5cm. Για την πραγµατοποίηση της εξοµοίωσης χρησιµοποιούνται παράλληλα δυο στοχαστικά µοντέλα από τα οποία το ένα αναλαµβάνει την εξοµοίωση της διάδοσης των streamers και το άλλο την εξοµοίωση της διάδοσης των leaders. Τα δυο στοχαστικά µοντέλα αλληλεπιδρούν µεταξύ τους εξοµοιώνοντας τη φυσική αλληλεξάρτηση µεταξύ streamer και leader. Οι τιµές των παραµέτρων του µοντέλου είναι πραγµατικές ενώ πραγµατικές τιµές τίθενται στο χρόνο, την εφαρµοζόµενη τάση και το µήκος του διακένου. Το µοντέλο SLP χρησιµοποιήθηκε για την εξοµοίωση µιας πειραµατικής διαδικασίας η οποία έλαβε χώρα στο Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων του Πανεπιστηµίου του Μισισιπή και η οποία είχε ως σκοπό τον προσδιορισµό της µορφής της ζώνης προστασίας µιας ακίδας Franklin. Η σύγκριση των αποτελεσµάτων της εξοµοίωσης και των αντίστοιχων πειραµατικών αποτελεσµάτων έδειξε µια ποιοτική σύγκλιση. Πιο συγκεκριµένα και στις δυο περιπτώσεις η ζώνη προστασίας της ακίδας προέκυψε ελλειπτικής µορφής και όχι κυκλικής όπως προβλέπει η ευρέως διαδεδοµένη µέθοδος της κυλιόµενης σφαίρας. Όσον αφορά τα ποσοτικά αποτελέσµατα παρατηρήθηκε µια σηµαντική απόκλιση η οποία οφείλεται κατά κύριο λόγο στις µικρές διαστάσεις του πλέγµατος των σηµείων που χρησιµοποιήθηκε κατά την εξοµοίωση. Τα αποτελέσµατα των εξοµοιώσεων που παρουσιάζονται στην παρούσα διδακτορική διατριβή, καταδεικνύουν ότι τα συγκεκριµένα στοχαστικά µοντέλα, παρά τη σχετική απλότητά τους, µπορούν να χρησιµοποιηθούν για την εξαγωγή αποτελεσµάτων που αφορούν µεγέθη µεγάλης πρακτικής σηµασίας, όπως η τάση διάσπασης διακένων αέρα. Η χρήση τους µάλιστα µπορεί να επεκταθεί και σε άλλα αέρια διηλεκτρικά, όπως π.χ. το SF 6 µε απλή αλλαγή των τιµών των παραµέτρων τους.

8 Κεφάλαιο 1ο - Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Εισαγωγή 1.1 Γενικά Η µελέτη των µηχανισµών διάσπασης των διηλεκτρικών όταν καταπονούνται από υψηλές τάσεις, και ειδικότερα η παρατήρηση της εξέλιξής τους µε τη βοήθεια και φωτογραφικής αποτύπωσης οδήγησε στο συµπέρασµα ότι η ανάπτυξη των streamers και των leaders σε αέρια έχει έντονα στοχαστικά και µορφοκλασµατικά (fractal) χαρακτηριστικά (π.χ. Lichtenberg figures, ανάπτυξη δενδριτών σε πολυµερή, ανάπτυξη streamer σε υγρά διηλεκτρικά, κεραυνοί κλπ.). Αντίστοιχες παρατηρήσεις στην ηλεκτρική διάσπαση στερεών και υγρών διηλεκτρικών έχουν δηµοσιευθεί από πλήθος ερευνητών. Όλα αυτά οδήγησαν ορισµένους επιστήµονες στα µέσα της δεκαετίας του 80, να εισαγάγουν τα λεγόµενα στοχαστικά µοντέλα µε τα οποία επιχειρείται εξοµοίωση της διάδοσης των streamers ή των leaders στο χώρο. Τα µοντέλα αυτά πέτυχαν, άλλα σε µεγαλύτερο και άλλα σε µικρότερο βαθµό να αναπαράγουν τη µορφή των streamers ή των leaders όπως αυτή αποτυπώνεται σε φωτογραφίες πραγµατικών εκκενώσεων. Σε κάθε περίπτωση όµως τα µοντέλα περιορίζονταν στην απλή αναπαραγωγή της µορφής είτε µόνο των streamers είτε µόνο των leaders. εν παρουσιάσθηκε κανένα µοντέλο µε συνύπαρξη streamers και leaders. Στη συνέχεια έγινε προσπάθεια από πολλούς ερευνητές να µελετηθούν τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά των παραγόµενων από τα στοχαστικά µοντέλα ιχνογραφηµάτων, µέσω του υπολογισµού της µορφοκλασµατικής (fractal) διάστασης, καθώς και να εξαχθούν σε ορισµένες περιπτώσεις κάποια ποιοτικά αποτελέσµατα. Στη παρούσα διδακτορική διατριβή, παρουσιάζονται τρία νέα στοχαστικά µοντέλα τα οποία αναπτύχθηκαν στο Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων του Τµήµατος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών του Πανεπιστηµίου Πατρών. Τα δύο εξ αυτών αναπτύχθηκαν για την εξοµοίωση της ηλεκτρικής διάσπασης µεγάλων διακένων (άνω των 40cm), το ένα από τα οποία σε συνεργασία µε το Ινστιτούτο Υδροδυναµικής της Ρωσικής Ακαδηµίας Επιστηµών, που εδρεύει στο Νοβοσιµπίρσκ. Το τρίτο αναπτύχθηκε για την εξοµοίωση της διάσπασης µικρών διακένων (15-40cm). Ο διαχωρισµός των µοντέλων σε δυο οµάδες έγινε δεδοµένου ότι στην πρώτη περίπτωση (µεγάλα διάκενα) αναπτύσσονται στο διάκενο πριν από την ηλεκτρική διάσπαση τόσο streamers όσο και leaders, ενώ 1

9 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων στη δεύτερη (µικρά διάκενα) έχουµε την εµφάνιση στο διάκενο µόνο των streamers. Σκοπός της ανάπτυξης των µοντέλων αυτών ήταν η µελέτη της συµπεριφοράς διακένων αέρα (µε δυνατότητα επέκτασης και σε άλλα διηλεκτρικά), σε διάφορες διατάξεις ηλεκτροδίων µε καταπονήσεις από υψηλές τάσεις και η εξαγωγή ποσοτικών αποτελεσµάτων που θα αφορούσαν κυρίως στην τιµή της τάσης διάσπασης U 50 ενός διακένου και η σύγκριση τους µε αντίστοιχα πειραµατικά αποτελέσµατα που προέρχονται από µετρήσεις σε Εργαστήρια Υψηλών Τάσεων στην Ελλάδα και το Εξωτερικό. Κάτι τέτοιο έγινε εφικτό στην περίπτωση µικρών διακένων µε µεγάλη επιτυχία. Επιπλέον κατέστη δυνατή η εξαγωγή ενδεικτικών αποτελεσµάτων που αφορούσαν στη µέση και στιγµιαία ταχύτητα διάδοσης των streamers στο χώρο (για µικρά διάκενα και πάλι). Και στην περίπτωση αυτή έγινε σύγκριση των αποτελεσµάτων της εξοµοίωσης µε πειραµατικά δεδοµένα, µε επιτυχία για το µοντέλο. Όσον αφορά στα δύο στοχαστικά µοντέλα που αναπτύχθηκαν για την εξοµοίωση της διάσπασης σε µεγάλα διάκενα, το µεν πρώτο µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την ποιοτική µελέτη της διάσπασης, ενώ το δεύτερο έχει τη δυνατότητα να δώσει και ποσοτικά αποτελέσµατα. Παρά την πολυπλοκότητα του µοντέλου αυτού, που περιόριζε τη δυνατότητα εξαγωγής µεγάλου όγκου αποτελεσµάτων, τα αποτελέσµατα τα οποία εξήχθησαν συγκρίθηκαν ποιοτικά µε πειραµατικά αποτελέσµατα τα οποία προέρχονται από το Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων του Πανεπιστηµίου του Μισισιπή, µε επιτυχία για το µοντέλο. Τέλος σε όλες τις περιπτώσεις έγινε διερεύνηση της συµπεριφοράς των στοχαστικών µοντέλων µε την αλλαγή τιµών των βασικότερων παραµέτρων τους. Για την ανάπτυξη των στοχαστικών µοντέλων αναπτύχθηκαν τρεις διαφορετικοί αλγόριθµοι, γραµµένοι στη γλώσσα προγραµµατισµού Pascal. Οι αλγόριθµοι αναπτύχθηκαν κατά τέτοιο τρόπο ώστε να είναι σχετικά εύκολη η µελλοντική τροποποίησή και αναβάθµισή τους. Ο κώδικας µετατρέπεται ήδη σε C++ σε διδακτορική διατριβή που ακολουθεί, ώστε να µειωθεί ο απαιτούµενος υπολογιστικός χρόνος και να βελτιωθεί το περιβάλλον επικοινωνίας µεταξύ προγράµµατος και χρήστη. 2

10 Κεφάλαιο 1ο - Εισαγωγή 1.2 Περιεχόµενα της ιατριβής Η παρούσα διατριβή αποτελείται από 6 κεφάλαια στα οποία αναλύονται τα στοχαστικά µοντέλα που αναπτύχθηκαν, παρουσιάζονται και αναλύονται τα αποτελέσµατα των εξοµοιώσεων καθώς και τα συµπεράσµατα που προκύπτουν και αναφέρεται η βιβλιογραφία. Το Κεφάλαιο 1 αποτελεί την εισαγωγή στη διατριβή όπου αναπτύσσεται και η σκοπιµότητα και χρησιµότητα της εργασίας. Στο Κεφάλαιο 2 παρουσιάζονται τα κυριότερα στοχαστικά µοντέλα που έχουν αναπτυχθεί έως σήµερα και τα οποία χρησιµοποιούνται για την εξοµοίωση των µηχανισµών της ηλεκτρικής διάσπασης σε αέρια, υγρά και στερεά διηλεκτρικά. Αναλύονται τα κυριότερα χαρακτηριστικά των µοντέλων αυτών, παρουσιάζονται οι οµοιότητες και οι διαφορές τους και γίνονται παρατηρήσεις όσον αφορά τα πλεονεκτήµατα και τα µειονεκτήµατά τους. Στο Κεφάλαιο 3 αναλύονται αρχικά οι µηχανισµοί διάσπασης των αερίων διηλεκτρικών. Στη συνέχεια παρουσιάζονται τα µοντέλα που αναπτύχθηκαν στα πλαίσια της παρούσας διδακτορικής διατριβής. Συγκεκριµένα παρουσιάζονται τρία στοχαστικά µοντέλα, ένα για την εξοµοίωση της διάσπασης σε µικρά διάκενα αέρα (15-40cm) και δυο για την εξοµοίωση της διάσπασης σε µεγάλα (>40cm). Το στοχαστικό µοντέλο για την εξοµοίωση της διάσπασης µικρών διακένων προβλέπει την ανάπτυξη µόνο των streamers και αναπτύχθηκε µε κύριο στόχο την θεωρητική µελέτη της µεταβολής της µέσης τιµής της τάσης διάσπασης ενός διακένου συναρτήσει του µήκους του. ευτερευόντως όµως µπορεί να δώσει αποτελέσµατα που αφορούν και το statistical time lag, τη µέση και στιγµιαία ταχύτητα διάδοσης των streamers, το χρόνο διάσπασης του διακένου και την τυπική απόκλιση της στατιστικής κατανοµής των τιµών της τάσης διάσπασης. Από τα δυο άλλα µοντέλα, το πρώτο (µοντέλο SLT Streamer to Leader Transition) δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τη µελέτη της διάσπασης µεγάλων διακένων, απετέλεσε όµως τη βάση για την ανάπτυξη του δεύτερου το οποίο διαθέτει τη δυνατότητα αυτή. Και στα δυο µοντέλα πάντως προβλέπεται η ταυτόχρονη ύπαρξη τόσο των streamers όσο και των leaders. Στο µοντέλο SLT η ανάπτυξη και διάδοση των streamers στο χώρο είναι στοχαστική ενώ η µετατροπή ενός δεσµού streamer σε leader είναι ντετερµινιστική. Η πτώση τάσης στον leader 3

11 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων θεωρείται µηδενική ενώ στους streamers πολύ µεγάλη. Έτσι η επίλυση της εξίσωσης Laplace για τον υπολογισµό του δυναµικού σε κάθε σηµείο του πλέγµατος γίνεται, χρησιµοποιώντας οριακές συνθήκες στα ηλεκτρόδια και τον leader. Οι streamers διαδίδονται στο χώρο κάτω από την επίδραση του ηλεκτρικού πεδίου που δηµιουργείται από τον leader και τα ηλεκτρόδια µόνο. Οι παραδοχές αυτές έγιναν προκειµένου να απλοποιηθεί ο αλγόριθµος, αποτελούν όµως ταυτόχρονα και αδυναµίες του µοντέλου αυτού. Το δεύτερο µοντέλο (µοντέλο SLP) αναπτύχθηκε µε βάση µια διαφορετική λογική. Και στη περίπτωση αυτή προβλέπεται η ταυτόχρονη ύπαρξη streamers και leaders. Η διάδοση όµως τόσο των streamers όσο και των leaders είναι στοχαστική και σε κάθε µια περίπτωση χρησιµοποιείται και ένα διαφορετικό στοχαστικό µοντέλο. Έχει εισαχθεί επίσης µια σταθερή πτώση τάσης τόσο στους streamers όσο και στους leaders, ενώ σε αντίθεση µε το µοντέλο SLT η διάδοση των streamers γίνεται υπό την επίδραση του ηλεκτρικού πεδίου που δηµιουργείται όχι µόνο από τα ηλεκτρόδια και τον leader αλλά και από τους ίδιους τους streamers. Η µελέτη της συµπεριφοράς µεγάλων διακένων αέρα καταπονούµενων από υψηλές τάσεις, µέσω της εξαγωγής αποτελεσµάτων που αφορούν την τάση διάσπασης είναι θεωρητικά µέσα στις δυνατότητες του µοντέλου αυτού. Λόγω όµως του πρώιµου σταδίου ανάπτυξης του µοντέλου και της πολυπλοκότητάς του, ορισµένα µόνο ενδεικτικά αποτελέσµατα παρουσιάζονται στην παρούσα διδακτορική διατριβή. Στο Κεφάλαιο 4 παρατίθενται τα αποτελέσµατα των εξοµοιώσεων. Ο κύριος όγκος των αποτελεσµάτων προέρχεται από το στοχαστικό µοντέλο για την εξοµοίωση της διάσπασης µικρών διακένων. Αφορούν στη µέση τιµής της τάσης διάσπασης και τη διασπορά, καθώς τη µέση και στιγµιαία ταχύτητα διάδοσης των streamers. Όσον αφορά στην τάση διάσπασης οι εξοµοιώσεις έχουν γίνει θεωρώντας διάταξη ηλεκτροδίων τύπου ακίδας πλάκας και εφαρµόζοντας δυο ειδών τάσεις, συνεχής και κρουστική 1,2/50µsec, θετικής πολικότητας και στις δυο περιπτώσεις. Η απόσταση µεταξύ των ηλεκτροδίων κυµαίνεται µεταξύ 15-40cm και τα αποτελέσµατα των εξοµοιώσεων συγκρίνονται µε αντίστοιχα πειραµατικά αποτελέσµατα, τα οποία προέρχονται είτε από παλαιότερες εργασίες που έχουν γίνει στο Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων του Πανεπιστηµίου Πατρών είτε από τη διεθνή βιβλιογραφία. 4

12 Κεφάλαιο 1ο - Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα που προκύπτουν από το µοντέλο SLT είναι κυρίως ποιοτικά. Μεταξύ άλλων έχουν µελετηθεί και τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά των ιχνογραφηµάτων, µέσω του υπολογισµού της µορφοκλασµατικής fractal διάστασής τους. Το στοχαστικό µοντέλο SLP, χρησιµοποιήθηκε για την προσοµοίωση µιας πειραµατικής διαδικασίας που αφορούσε τον υπολογισµό της ζώνης προστασίας µιας ράβδου Franklin και έγινε στο εργαστήριο υψηλών τάσεων του Πανεπιστηµίου του Μισισιπή. Από τη σύγκριση των αποτελεσµάτων της εξοµοίωσης και του πειράµατος προέκυψε µια ποιοτική ταύτιση. Στο Κεφάλαιο 5 παρατίθενται τα συµπεράσµατα τα οποία προκύπτουν από τη µελέτη των στοχαστικών µοντέλων τα οποία αναπτύχθηκαν στα πλαίσια της παρούσας διδακτορικής διατριβής, γίνεται µια ερµηνεία των αποτελεσµάτων που προέκυψαν από τις εξοµοιώσεις και γίνονται προτάσεις για τη µελλοντική εξέλιξη των µοντέλων. Στο Κεφάλαιο 6 παρατίθεται η βιβλιογραφία, ενώ στα Παραρτήµατα Α και Β παρατίθενται οι αλγόριθµοι σε γλώσσα Pascal που αφορούν το µοντέλο για την εξοµοίωση της διάσπασης µικρών διακένων και το µοντέλο SLP αντίστοιχα. 5

13 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων 6

14 Κεφάλαιο 2 ο Στοχαστικά Μοντέλα ιάσπασης ιηλεκτρικών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο Στοχαστικά Μοντέλα ιάσπασης ιηλεκτρικών 2.1 Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι η ηλεκτρική διάσπαση των αερίων διηλεκτρικών σε πιέσεις ίσες ή µεγαλύτερες της ατµοσφαιρικής και σε διάκενα µεγαλύτερα των 2-3cm επέρχεται µέσω της ανάπτυξης λεπτών καναλιών πλάσµατος (streamer και leader) τα οποία γεφυρώνουν το διάκενο, διαδιδόµενα υπό την επίδραση ενός εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου. Ανάλογοι φυσικοί µηχανισµοί είναι υπεύθυνοι και για τη διάσπαση υγρών και στερεών διηλεκτρικών. Η ανάγκη για µια πιο συστηµατική µελέτη των φυσικών µηχανισµών διάσπασης των διηλεκτρικών, σε συνδυασµό µε το υψηλό κόστος των πειραµατικών µετρήσεων και την αύξηση των δυνατοτήτων των Η/Υ, οδήγησε πολλούς επιστήµονες στην ανάπτυξη µιας σειράς µοντέλων τα οποία ονοµάσθηκαν φυσικά µοντέλα [1-11]. Τα µοντέλα αυτά εξοµοιώνουν τη διάδοση των streamers και των leaders στο χώρο ανάµεσα στα ηλεκτρόδια σε µια ή δυο διαστάσεις. Μέσα στις δυνατότητες των µοντέλων αυτών περιλαµβάνεται ο υπολογισµός του ρεύµατος των streamers και των leaders κατά τη διάρκεια της προεκκένωσης, καθώς και της ταχύτητας διάδοσής των. Ταυτόχρονα όµως τα φυσικά µοντέλα έχουν και µια σειρά από µειονεκτήµατα τα οποία περιορίζουν σηµαντικά τις δυνατότητές τους. εν λαµβάνουν υπόψη τη στοχαστική φύση των µηχανισµών διάσπασης, όπως το statistical time lag, την ύπαρξη περισσοτέρων του ενός streamers ή leaders καθώς και το γεγονός ότι κατά την πορεία τους οι streamers και οι leaders δεν ακολουθούν πάντα τις γραµµές του ηλεκτρικού πεδίου αλλά αλλάζουν συχνά και µε τυχαίο τρόπο κατεύθυνση διάδοσης. Επιπλέον η εφαρµογή τους περιορίζεται συνήθως σε διάκενα λίγων εκατοστών. Η πειραµατική µελέτη των µηχανισµών διάσπασης και ειδικότερα η οπτική παρατήρηση των διαδοχικών φάσεων της εκκένωσης µέσω φωτογραφιών οδήγησε στο συµπέρασµα ότι η ανάπτυξη στο χώρο τόσο των streamers όσο και των leaders παρουσιάζει έντονα στοχαστικά και fractal χαρακτηριστικά (π.χ. Lichtenberg figures, ανάπτυξη δενδριτών σε πολυµερή, ανάπτυξη streamers σε υγρά διηλεκτρικά, κεραυνοί κλπ.). Το γεγονός αυτό οδήγησε ορισµένους επιστήµονες ήδη από τα µέσα της δεκαετίας του 80, να αναπτύξουν µια νέα 7

15 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων κατηγορία µοντέλων, τα λεγόµενα στοχαστικά µε τα οποία επιτυγχάνεται η εξοµοίωση της µορφής των streamers και των leaders καθώς διαδίδονται στο χώρο. Τα µοντέλα αυτά, άλλα σε µεγαλύτερο και άλλα σε µικρότερο βαθµό πέτυχαν να αναπαράγουν τη µορφή των streamers και των leaders όπως αυτή αποτυπώνεται στις φωτογραφίες πραγµατικών εκκενώσεων. Ακολούθως έγινε προσπάθεια να µελετηθούν τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά των παραγόµενων από τα στοχαστικά µοντέλα ιχνογραφηµάτων, µέσω του υπολογισµού της µορφοκλασµατικής (fractal) διάστασης, και µε τη βοήθεια αυτής να εξαχθούν µια σειρά ποιοτικών συµπερασµάτων σχετικά µε τους φυσικούς µηχανισµούς της ηλεκτρικής διάσπασης. Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται παρουσίαση των κυριοτέρων στοχαστικών µοντέλων τα οποία αναπτύχθηκαν από το 1983 έως σήµερα. 2.2 Στοχαστικά µοντέλα Μοντέλο Niemeyer-Pietronero-Wiesmann Το πρώτο στοχαστικό µοντέλο αναπτύχθηκε από τους Niemeyer, Pietronero και Wiesmann το 1984 [12-13] και πήρε το όνοµά του από τα αρχικά των συγγραφέων, NPW model. Το µοντέλο αυτό δηµιουργήθηκε προκειµένου να αναπαράγει τη µορφή των streamers και των leaders σε υγρά και αέρια διηλεκτρικά καθώς και των δενδριτών σε στερεά, προκειµένου να µελετηθούν ευκολότερα τα fractal χαρακτηριστικά που παρουσιάζει η διάδοση τους. Στην εργασία αυτή εξοµοιώνεται η επιφανειακή εκκένωση η οποία δηµιουργείται όταν το ηλεκτρόδιο της ανόδου (συγκεκριµένα το άκρο µιας ακίδας) εφάπτεται επάνω σε ένα λεπτό φύλλο µονωτικού υλικού (π.χ. γυαλί). Για την πραγµατοποίηση της εξοµοίωσης, ο χώρος στον οποίο γίνεται η εκκένωση διακριτοποιείται µε ένα δισδιάστατο πλέγµα σηµείων (σχήµα 2.1). Το κεντρικό σηµείο αναπαριστά το σηµείο επαφής της ανόδου µε το µονωτικό υλικό. Το µοντέλο δηµιουργεί ένα ιχνογράφηµα, το οποίο αναπαριστά το ίχνος της διαδροµής της εκκένωσης στο χώρο, η κίνηση του οποίου καθορίζεται από συγκεκριµένους κανόνες οι οποίοι είναι οι εξής: Το ιχνογράφηµα της διάσπασης που δηµιουργείται από το µοντέλο, αναπτύσσεται στο χώρο µε διακριτά βήµατα. Ένα τέτοιο ιχνογράφηµα φαίνεται στο σχήµα 2.1 µετά από µερικές επαναλήψεις του προγράµµατος. Αποτελείται από σηµεία (µε µαύρο χρώµα) τα οποία ενώνονται µεταξύ τους µε γραµµές, που ονοµάζονται δεσµοί. Το 8

16 Κεφάλαιο 2 ο Στοχαστικά Μοντέλα ιάσπασης ιηλεκτρικών δυναµικό σε κάθε σηµείο του πλέγµατος, υπολογίζεται µέσω της επίλυσης της εξίσωσης Laplace µε οριακές συνθήκες φ=0 στην άνοδο και το ιχνογράφηµα (το οποίο θεωρείται ισοδυναµικό) και φ=1 σε ένα υποθετικό εξωτερικό κυκλικό ηλεκτρόδιο. Σε κάθε επανάληψη του προγράµµατος, ένα ακόµη σηµείο προστίθεται στο ιχνογράφηµα, µέσω ενός δεσµού. Στο σχήµα 2.1 τα λευκά σηµεία που ενώνονται µέσω διακεκοµµένων γραµµών µε τα µαύρα, αναπαριστούν όλες τις πιθανές διευθύνσεις ανάπτυξης του ιχνογραφήµατος. Σε κάθε µια από τις πιθανές διεύθυνσεις διάδοσης αντιστοιχίζεται µια πιθανότητα, η οποία είναι συνάρτηση της διαφοράς δυναµικού µεταξύ ενός σηµείου που ανήκει στο ιχνογράφηµα (i, k, φ=0, µαύρο χρώµα) και ενός γειτονικού του ( i, k, λευκό χρώµα). Στη συγκεκριµένη εργασία η πιθανότητα διάδοσης συσχετίστηκε µε τη διαφορά δυναµικού µέσω της σχέσης: ( Φ i, k ) p( i, k i, k ) = ( Φ i, k ) n n (2.1) Όπου Φ, είναι η διαφορά δυναµικού ανάµεσα στα σηµεία i, k και i, k. Ο i k παρανοµαστής είναι το άθροισµα των δυναµικών σε όλες τις πιθανές διευθύνσεις διάδοσης του ιχνογραφήµατος, ενώ η τιµή του εκθέτη n προκύπτει από τη σύγκριση της µορφοκλασµατικής διάστασης πραγµατικών εκκενώσεων και ιχνογραφηµάτων που προκύπτουν από τις εξοµοιώσεις. Στην πράξη παίρνει τιµές µεταξύ 0 και 1. Αφού υπολογιστεί η πιθανότητα για κάθε δυνατή διεύθυνση, επιλέγεται ένα καινούργιο σηµείο το οποίο θα προστεθεί στο ιχνογράφηµα σε κάθε επανάληψη του προγράµµατος, µε βάση την τεχνική η οποία παρατίθεται στο Παράρτηµα Γ. Το δυναµικό σε κάθε σηµείο του πλέγµατος υπολογίζεται από 2 την επίλυση της εξίσωσης Laplace ϕ = 0 χρησιµοποιώντας τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών. Η εφαρµογή του µοντέλου αυτού δίνει ιχνογραφήµατα όπως αυτό του σχήµατος 2.2 το οποίο έχει προκύψει µετά από 5000 επαναλήψεις µε εκθέτη n = 1 στη σχέση 2.1. Η τιµή του n επηρεάζει άµεσα τη µορφή του ιχνογραφήµατος, µειώνοντας τις διακλαδώσεις του, καθώς αυξάνεται η τιµή του. 9

17 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Σχήµα 2.1: Παράδειγµα ιχνογραφήµατος το οποίο δηµιουργείται από το στοχαστικό µοντέλο NPW. Το κεντρικό σηµείο αναπαριστά το ένα ηλεκτρόδιο και ο κύκλος το δεύτερο. Το ιχνογράφηµα αποτελείται από τα µαύρα σηµεία τα οποία ενώνονται µε ευθείες γραµµές και θεωρούνται ισοδυναµικά. Οι διακεκοµµένες γραµµές υποδεικνύουν όλες τις πιθανές διευθύνσεις διάδοσης [12]. Το µοντέλο NPW, παρά το γεγονός ότι εξοµοιώνει τη µορφή της εκκένωσης αρκετά καλά, έχει µερικά σοβαρά µειονεκτήµατα. Το πρώτο είναι ότι το ιχνογράφηµα θεωρείται ισοδυναµικό, κάτι που δεν ανταποκρίνεται στην πραγµατικότητα και το δεύτερο είναι η απουσία µιας ελάχιστης τιµής κατωφλίου για τη διαφορά δυναµικού µεταξύ δυο σηµείων, πάνω από την οποία θα θεωρείται ότι είναι δυνατή η διάδοση του ιχνογραφήµατος. Η απουσία µιας τιµής κατωφλίου είναι πολύ σηµαντική καθώς επιτρέπει τη δηµιουργία ιχνογραφήµατος για οποιαδήποτε τιµή εφαρµοζόµενης τάσης στα ηλεκτρόδια, ακόµη και αν αυτή είναι πολύ µικρή. Ένα ακόµη µειονέκτηµα του µοντέλου αυτού είναι και η απουσία του χρόνου, κατά τη διάρκεια της εξοµοίωσης. Τα µειονεκτήµατα αυτά, οδήγησαν τους Wiesmann και Zeller [14] να προχωρήσουν στην περαιτέρω εξέλιξη του µοντέλου NPW, µε την εισαγωγή µιας τιµής κατωφλίου µιας σταθερής πτώσης τάσης E C για το τοπικό ηλεκτρικό πεδίο, καθώς και την εισαγωγή συνέπεια η σχέση 2.1 να µετατραπεί σε: E s κατά µήκος των δεσµών του ιχνογραφήµατος µε 10

18 Κεφάλαιο 2 ο Στοχαστικά Μοντέλα ιάσπασης ιηλεκτρικών n ( Ei, k i, k ) E n i, k i, k EC p( i, k i, k ) = ( Ei, k ) (2.2) 0 Ei, k i, k < EC Εισήγαγαν επίσης την δυνατότητα δηµιουργίας διαγωνίων δεσµών. Τα αποτελέσµατα της εξοµοίωσης έδειξαν ότι η µορφή του ιχνογραφήµατος εξαρτάται σηµαντικά τόσο από την τιµή κατωφλίου όσο και από την πτώση τάσης στους δεσµούς. Πιο συγκεκριµένα η αύξηση των τιµών των δύο αυτών παραµέτρων οδηγεί σε µείωση του αριθµού των δεσµών που συνθέτουν το ιχνογράφηµα. υο χαρακτηριστικά παραδείγµατα ιχνογραφηµάτων απεικονίζονται στα σχήµατα 2.3α, β. Σχήµα 2.2: Χαρακτηριστικό παράδειγµα ιχνογραφήµατος που δηµιουργήθηκε από το µοντέλο NPW. Το ιχνογράφηµα δηµιουργήθηκε µετά από 5000 επαναλήψεις του προγράµµατος µε συντελεστή n=1 [13]. Το µοντέλο NPW χρησιµοποιήθηκε ευρέως από άλλους συγγραφείς [15-26] προκειµένου να µελετηθεί η µορφοκλασµατική διάσταση της διάσπασης υγρών και στερεών διηλεκτρικών, ενώ απετέλεσε το σηµείο αναφοράς για την εξέλιξη και άλλων στοχαστικών µοντέλων [16,22-25]. Πιο συγκεκριµένα στην εργασία [16] οι συγγραφείς θεώρησαν ότι η πιθανότητα για την δηµιουργία ενός νέου δεσµού, δεν εξαρτάται από όλες τις πιθανές διευθύνσεις διάδοσης (παρανοµαστής στην σχέση 2.1), αλλά µόνο από τις γειτονικές της. Θεωρήθηκε δηλαδή ότι η δυναµική της ανάπτυξης των ηλεκτρονικών στιβάδων προς µια συγκεκριµένη κατεύθυνση εξαρτάται µόνο από το στάδιο εξέλιξης των γειτονικών προς αυτές στιβάδων. 11

19 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Σχήµα 2.3: Παράδειγµα δηµιουργίας ιχνογραφήµατος εκκένωσης, σε διάταξη ακίδα πλάκα [14]. Η τάση στην ακίδα είναι V = 0 και στη πλάκα V = V0. a) Εξοµοίωση διάσπασης µε E c 0 και E s 0. b) Η τάση κατωφλίου είναι E c = 0 και η πτώση τάσης στους δεσµούς E s = 0. Στην εργασία [22] οι συγγραφείς προσπάθησαν να εξοµοιώσουν τη διάδοση του κεραυνού, θεωρώντας τη δηµιουργία ενός δεσµού αντίστοιχη µε τη βηµατική διάδοση του leader. Για το λόγο αυτό εισήγαγαν σηµαντικές βελτιώσεις στο µοντέλο NPW, οι οποίες αφορούσαν την πτώση τάσης στους δεσµούς και τον τρόπο υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Συγκεκριµένα ελήφθη υπόψη η αγωγιµότητα των streamers η οποία µάλιστα δεν ήταν σταθερή κατά τη διάρκεια της εξοµοίωσης αλλά µεταβαλλόταν συναρτήσει της ενέργειας που απελευθερώνεται στους δεσµούς από την ροή του ρεύµατος. Η κατανοµή του ηλεκτρικού πεδίου στο χώρο, υπολογίστηκε από την επίλυση της εξίσωσης: div (E) = ρ (2.3) ε Όπου ε είναι η διηλεκτρική σταθερά, ε 0 είναι η διαπερατότητα του κενού και ρ είναι η πυκνότητα του ηλεκτρικού φορτίου του leader. Η κατανοµή του φορτίου αυτού υπακούει στη σχέση: dρ = divj dt (2.4) Όπου j η πυκνότητα του ηλεκτρικού ρεύµατος στους δεσµούς του ιχνογραφήµατος. Το ρεύµα στους δεσµούς υπολογίστηκε από την σχέση: 12

20 Κεφάλαιο 2 ο Στοχαστικά Μοντέλα ιάσπασης ιηλεκτρικών I = σ S (2.5) E l Όπου I είναι το ρεύµα, σ η αγωγιµότητα ενός συγκεκριµένου δεσµού, E l το ηλεκτρικό πεδίο µέσα στο δεσµό και S η διατοµή του leader, η οποία θεωρείται σταθερή. Προσεγγιστικά θεωρήθηκε ότι η αγωγιµότητα µεταβάλλεται συναρτήσει της εκλυόµενης ενέργειας ως εξής: d σ 2 = ξ σ E dt (2.6) l Όπου ξ είναι παράµετρος του µοντέλου η οποία καθορίζει το ρυθµό αύξησης της αγωγιµότητας. Εκτός όµως από το µοντέλο NPW και τα παράγωγά του, δηµιουργήθηκαν και µοντέλα τα οποία βασίστηκαν σε διαφορετική λογική. Στη συνέχεια ακολουθεί µια σύντοµη περιγραφή των µοντέλων αυτών Μοντέλο FFC Το µοντέλο FFC (Field Fluctuation Model) χρησιµοποιήθηκε για την εξοµοίωση της µορφής της προεκκένωσης σε υγρά διηλεκτρικά [27-30] και αναπτύχθηκε µε βάση µια τελείως διαφορετική λογική σε σχέση µε το NPW και τα «συγγενή» µε αυτό µοντέλα. Σύµφωνα µε το FFC προς κάθε πιθανή διεύθυνση διάδοσης για την οποία ισχύει: E i > E * δ (2.7) δηµιουργείται και ένας νέος δεσµός. Στη σχέση 2.7 το E i (kv/cm) είναι το τοπικό ηλεκτρικό πεδίο, το E * (kv/cm) είναι µια παράµετρος η οποία εξαρτάται από τη φύση του διηλεκτρικού και το δ είναι µια τυχαία µεταβλητή η οποία έχει και αυτή µονάδες ηλεκτρικού πεδίου. Η ποσότητα E * δ θεωρείται ότι λαµβάνει υπόψη όλους τους τυχαίους παράγοντες που µπορούν να επηρεάσουν τη διάδοση ενός streamer στο χώρο, όπως είναι οι τοπικές ανοµοιογένειες του διηλεκτρικού, η κοσµική ακτινοβολία, ο εξωτερικός ιονισµός, η υγρασία, η θερµοκρασία κλπ. Η τιµή της τυχαίας µεταβλητής δ παρά το γεγονός ότι µπορεί να εξαχθεί από οποιαδήποτε γνωστή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, προκύπτει από την εκθετική κατανοµή καθώς η δηµιουργία ενός νέου δεσµού θεωρείται ως µια διαδικασία Poisson: 13

21 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Σχήµα 2.4: Ιχνογραφήµατα διασπάσεων που δηµιουργήθηκαν από το µοντέλο FFC για διάφορες τιµές των παραµέτρων Ε0 και g (a) E0=0.2, E*=1, g=0.08 και (b) E0=0.4, E*=1, g=0.1. exp( δ ) g f ( δ ) = (2.8) g όπου g είναι η µέση τιµή της κατανοµής. Στη πράξη η τιµή της παραµέτρου δ επιλέγεται µε βάση τη σχέση: δ = g ln(ξ ) (2.9) όπου ξ είναι µια τυχαία µεταβλητή οµοιόµορφα κατανεµηµένη στο διάστηµα [0, 1] (Παράρτηµα Γ). Η πιθανότητα ένας νέος δεσµός να προστεθεί στο ιχνογράφηµα κατά τη διάρκεια ενός συγκεκριµένου βήµατος χρόνου, όταν το E i < E*, ισοδυναµεί µε τη πιθανότητα να ισχύει: δ > E * E i (2.10) Από τη σχέση 2.10 προκύπτει ότι η πιθανότητα δηµιουργίας ενός νέου δεσµού δίνεται από τη σχέση: f E* E i p( E ) = ( δ ) dδ (2.11) i 14

22 Κεφάλαιο 2 ο Στοχαστικά Μοντέλα ιάσπασης ιηλεκτρικών Στα σχήµατα 2.4a, b φαίνονται τα ιχνογραφήµατα της διάσπασης που δηµιουργούνται από το µοντέλο FFC για δυο διαφορετικές τάσεις στο διάκενο καθώς και για διαφορετικές τιµές της παραµέτρου g. Στο µοντέλο FFC εισάγεται για πρώτη φορά η δυνατότητα δηµιουργίας περισσοτέρων του ενός δεσµών κατά τη διάρκεια µιας επανάληψης του προγράµµατος, διαχωρίζοντας έτσι τα στοχαστικά µοντέλα σε single element models, στα οποία δηµιουργείται µόνο ένας δεσµός κάθε φορά (π.χ. µοντέλο NPW) και σε multi element models, στα οποία ένας ή περισσότεροι δεσµοί δηµιουργούνται σε ένα κύκλο του προγράµµατος (π.χ. µοντέλο FFC). Στα µειονεκτήµατα του µοντέλου FFC περιλαµβάνονται η απουσία του χρόνου καθώς και η αδυναµία προσδιορισµού συγκεκριµένων τιµών για τις παραµέτρους E * και g Μοντέλο Biller Το µοντέλο Biller παρουσιάσθηκε το 1993 [31]. Η πρωτοτυπία του έγκειται στο γεγονός ότι για πρώτη φορά γίνεται εισαγωγή του χρόνου σε ένα στοχαστικό µοντέλο. Πιο συγκεκριµένα θεωρείται ότι η διαδικασία δηµιουργίας ενός δεσµού είναι µια διαδικασία Poisson και σε κάθε πιθανή διεύθυνση διάδοσης του ιχνογραφήµατος υπολογίζεται ο χρόνος δηµιουργίας ενός δεσµού από τη σχέση: t = ln( ξ ) (2.12) r( ) i E i όπου ξ είναι µια τυχαία µεταβλητή οµοιόµορφα κατανεµηµένη στο διάστηµα [0, 1] και r E ) είναι µια συνάρτηση του τοπικού ηλεκτρικού πεδίου η οποία ορίζεται ( i από τον συγγραφέα ως growth rate function. Η επιλογή της σχέσης 2.12 προκύπτει από το γεγονός ότι η διαδικασία δηµιουργίας ενός δεσµού θεωρείται ως διαδικασία Poisson, όπως και στο µοντέλο FFC. Σε κάθε επανάληψη του προγράµµατος ο δεσµός µε το µικρότερο χρόνο δηµιουργίας προστίθεται στο ιχνογράφηµα και το βήµα του χρόνου ισούται µε το χρόνο δηµιουργίας του συγκεκριµένου δεσµού τ = min{}. Η σχέση r E ) έχει συνήθως δυναµική µορφή i n r ( Ei ) ( ) E0 t i E. Το E i είναι το τοπικό ηλεκτρικό πεδίο ενώ το E 0 είναι παράµετρος του µοντέλου η οποία στην προκειµένη περίπτωση παίρνει την τιµή ( i 15

23 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων E = U 0 όπου U είναι το δυναµικό της ανόδου και d είναι το µήκος του d διακένου. Κυριότερο µειονέκτηµα του µοντέλου αποτελεί η απουσία παραµέτρων αντίστοιχων των E C και E s του µοντέλου Wiesmann Zeller. Μια παραλλαγή του µοντέλου του Biller αποτελεί το µοντέλο MESTL (Multi Element Stochastic Time Lag) [29]. Η διαφορά του µε το µοντέλο του Biller έγκειται στο γεγονός ότι το βήµα του χρόνου είναι προκαθορισµένο και παραµένει σταθερό κατά τη διάρκεια της εξοµοίωσης. Στο ιχνογράφηµα προστίθενται όσοι δεσµοί έχουν χρόνο δηµιουργίας µικρότερο από το βήµα του χρόνου t < τ. i Μοντέλο ανίκα Το συγκεκριµένο στοχαστικό µοντέλο αναπτύχθηκε το 1996 στο ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης [32-34] για την εξοµοίωση της διαδικασίας διάσπασης σε στερεά διηλεκτρικά και της διάδοσης των δενδριτών µέσα σε αυτά. Μετά την εύρεση του δυναµικού σε κάθε σηµείο του πλέγµατος µέσω της επίλυσης της εξισώσεως Laplace ή Poisson (ανάλογα µε την παρουσία ή όχι φορτίων χώρου), το τοπικό ηλεκτρικό πεδίο υπολογίζεται από τη σχέση: E i Φ i = ε i (2.13) d όπου ε i είναι η σχετική διαπερατότητα του υλικού, Φ i η διαφορά δυναµικού ανάµεσα σε δυο σηµεία του πλέγµατος (το ένα από τα οποία ανήκει στο ιχνογράφηµα) και d είναι η µεταξύ τους απόσταση. Οι συγγραφείς υπέθεσαν ότι η διαπερατότητα του υλικού σε κάθε σηµείο δεν είναι σταθερή αλλά είναι µια οµοιόµορφα µεταβαλλόµενη τυχαία µεταβλητή η οποία παίρνει τιµές µεταξύ 2.1 και 2.25 (για το συγκεκριµένο υλικό στο οποίο αναφέρεται η εργασία [32]). Κατ αυτό τον τρόπο εισάγονται τοπικές διακυµάνσεις στη τιµή του ηλεκτρικού πεδίου, οι οποίες στοιχειοθετούν τη στοχαστική φύση του µοντέλου. Χρησιµοποιώντας το στοχαστικό µοντέλο γίνονται εξοµοιώσεις που αφορούν την εξέλιξη των δενδριτών µέσα στο διηλεκτρικό παρουσία ή µη φορτίων χώρου. Στην πρώτη περίπτωση για τον υπολογισµό του δυναµικού σε κάθε σηµείο του χώρου επιλύεται η εξίσωση Poisson αντί της εξισώσεως Laplace. Ένα ενδεικτικό αποτέλεσµα εξοµοίωσης µε το µοντέλο ανίκα φαίνονται στο σχήµα

24 Κεφάλαιο 2 ο Στοχαστικά Μοντέλα ιάσπασης ιηλεκτρικών Σχήµα 2.5: Ανάπτυξη δενδρίτη σε στερεό µονωτικό υλικό, πάχους 10mm. Η εφαρµοζόµενη τάση είναι +80kV και το φορτίο χώρου στη κοιλότητα του αέρα 4Cb/m Μοντελοποίηση της διάσπασης µε ισοδύναµο ηλεκτρικό δίκτυο Το µοντέλο αυτό αναπτύχθηκε για την εξοµοίωση της διάδοσης του ίχνους των streamers µέσα σε υγρά διηλεκτρικά [35]. Αποτελέσµατα της εξοµοίωσης φαίνονται στο σχήµα 2.6. Για τον έλεγχο της διάδοσης του ιχνογραφήµατος έχουν εισαχθεί δυο κριτήρια: i. Αρχικά το ηλεκτρικό πεδίο µπροστά από το streamer θα πρέπει να είναι µεγαλύτερο µιας τιµής κατωφλίου. Το πεδίο υπολογίζεται από τη σχέση: E head 2 Vcapa = (2.14) r log(4 ( d L ) ) 0 axial r 0 όπου V capa είναι η τάση στο τµήµα εκείνο του διακένου που δεν έχει ακόµη γεφυρωθεί (δηλαδή η διαφορά δυναµικού ανάµεσα στο άκρο του συγκεκριµένου streamer και του απέναντι ηλεκτροδίου), d είναι το µήκος του διακένου, L axial είναι το µήκος της προβολής του streamer επάνω στον άξονα της διάδοσης και r 0 είναι η ακτίνα του. Η τιµή κατωφλίου µεταβάλλεται σε συνάρτηση µε το είδος του streamer (θετικός ή αρνητικός). 17

25 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων ii. Η θερµική ενέργεια W joule η οποία παράγεται λόγω της ροής του ρεύµατος µέσα στο streamer πρέπει να είναι µεγαλύτερη από την ενέργεια που δαπανάται για την εξάτµιση του υγρού. Η παραγόµενη ενέργεια δίνεται από τη σχέση: W joule = R est I 2 R t (2.15) όπου R est είναι η ωµική αντίσταση του streamer και I R είναι το ρεύµα που διαρρέει το streamer. Η στοχαστική φύση του µοντέλου απορρέει από τον τρόπο υπολογισµού του µήκους των νέων δεσµών streamers καθώς και από τον τρόπο προσδιορισµού της διεύθυνσης διάδοσης των. Πιο συγκεκριµένα, κατά τη διάρκεια ενός βήµατος χρόνου, το µήκος ενός νέου δεσµού δίνεται από τη σχέση: newlength = oldlength φ(τ ) (2.16) όπου φ( τ ) = 0,25 + 0, 5 τ (2.17) Στη σχέση 2.17 η παράµετρος τ είναι µια τυχαία µεταβλητή, οµοιόµορφα κατανεµηµένη στο διάστηµα [0, 1]. Στη σχέση 2.16 ως oldlength ορίζεται το µήκος του δεσµού στο προηγούµενο βήµα του χρόνου και ως newlength το νέο µήκος του στο παρόν βήµα. Όταν οι συνθήκες για τη δηµιουργία ενός νέου δεσµού ικανοποιούνται υπολογίζεται και η κατεύθυνση της διάδοσης, βάση µιας γωνίας α η οποία εξαρτάται και αυτή από µια τυχαία µεταβλητή κ, οµοιόµορφα κατανεµηµένη στο διάστηµα [0, 1], Εάν κ 0, 5 newdir = olddir + arccos( 1+ a log( κ a 2 + a1)) (2.18) Εάν κ > 0, 5 newdir = olddir + arccos( 1+ a log(2 κ a 2 a1)) (2.19) 2 2 όπου a = 0, 25, a1 = exp( ) και a2 = 2 (1 exp( ). a a 18

26 Κεφάλαιο 2 ο Στοχαστικά Μοντέλα ιάσπασης ιηλεκτρικών Σχήµα 2.6: Παραδείγµατα από ιχνογραφήµατα streamer τα οποία δηµιούργησε το µοντέλο όταν η διάταξη των ηλεκτροδίων είναι ακίδα-πλάκα, µετά την παρέλευση χρόνου ίσου µε 30µs. Το µήκος του διακένου είναι 10mm, η τάση 30kV DC και η ακτίνα των streamer r = 0 5µ m [35]. Στις σχέσεις 2.18, 2.19 η παράµετρος olddir ορίζεται ως η παλιά κατεύθυνση του streamer και ως newdir η καινούργια. Το βήµα του χρόνου σε κάθε επανάληψη υπολογίζεται από µια σχέση ανάλογη µε αυτή του µοντέλου του Biller (σχέση 2.12). Οι ίδιοι συγγραφείς έχουν µοντελοποιήσει και την διάσπαση µεγάλων διακένων αέρα µε την χρήση ενός ισοδύναµου ηλεκτρικού κυκλώµατος χωρίς όµως να εισάγουν στο µοντέλο τους στοχαστικά χαρακτηριστικά. 2.3 Συµπεράσµατα Ανακεφαλαίωση Στο κεφάλαιο αυτό έγινε µια σύντοµη παρουσίαση των σηµαντικότερων στοχαστικών µοντέλων που έχουν αναπτυχθεί από το 1984 έως σήµερα. Τα µοντέλα αυτά µπορούν να διακριθούν σε δυο γενικές κατηγορίες. Σε αυτά τα οποία έχουν ως βάση ανάπτυξης το µοντέλο NPW και σε αυτά τα οποία ακολουθούν µια διαφορετική λογική όσον αφορά τα κριτήρια διάδοσης του ιχνογραφήµατος στο χώρο. Τα στοχαστικά µοντέλα µπορούν επίσης να 19

27 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων διακριθούν σε single element models, δηλαδή σε µοντέλα στα οποία µόνο ένας δεσµός µπορεί να προστεθεί στο ιχνογράφηµα σε κάθε βήµα του χρόνου και σε multi element models, δηλαδή σε µοντέλα στα οποία περισσότεροι του ενός δεσµοί µπορούν να προστεθούν σε κάθε βήµα. Πέρα από τη παραπάνω κατηγοριοποίηση τα µοντέλα παρουσιάζουν κάποια κοινά σηµεία όσο και επιµέρους διαφορές. Τα κοινά σηµεία είναι τα εξής: Σε όλες τις περιπτώσεις ο χώρος και ο χρόνος διακριτοποιείται. Οι κανόνες που διέπουν τη διάδοση και τη δηµιουργία των νέων δεσµών είναι στοχαστικοί και είναι συνάρτηση του τοπικού ηλεκτρικού πεδίου. Θεωρείται ότι οι στοχαστικοί κανόνες διάδοσης περιλαµβάνουν όλες τις αβεβαιότητες που διέπουν τη διάδοση των streamers και των leaders στο διάκενο κατά τη φάση της προεκκένωσης. εν λαµβάνεται υπόψη η ακτίνα του streamer. Οι επιµέρους διαφορές είναι οι εξής: Σε ορισµένα µοντέλα, τα σηµεία του πλέγµατος που ανήκουν στο ιχνογράφηµα θεωρείται ότι έχουν το ίδιο δυναµικό (η πτώση τάσης θεωρείται µηδενική), ενώ σε άλλα εισάγεται µια σταθερή πτώση τάσης κατά µήκος των δεσµών. Το δυναµικό στα υπόλοιπα σηµεία του πλέγµατος υπολογίζεται µέσω της επίλυσης της εξισώσεως Laplace µε οριακές συνθήκες στα ηλεκτρόδια και το ιχνογράφηµα. Υπάρχουν όµως και περιπτώσεις στις οποίες στη θέση της σταθερής πτώσης τάσης έχει εισαχθεί µια πεπερασµένη «αγωγιµότητα» στο ιχνογράφηµα µε αποτέλεσµα το δυναµικό στους κόµβους (του ιχνογραφήµατος και του διηλεκτρικού) να υπολογίζεται µέσω της επίλυσης της εξισώσεως Poisson ταυτόχρονα µε την εξίσωση της ροής ηλεκτρικού ρεύµατος στους δεσµούς του ιχνογραφήµατος. 20

28 Κεφάλαιο 2 ο Στοχαστικά Μοντέλα ιάσπασης ιηλεκτρικών Το βήµα του χρόνου σε ορισµένα µοντέλα θεωρείται σταθερό καθ όλη τη διάρκεια της εξοµοίωσης, ενώ σε άλλα υπολογίζεται σε κάθε επανάληψη του προγράµµατος µέσω µιας κατάλληλης σχέσης. Η ακολουθία των βηµάτων του χρόνου, η οποία υπολογίζεται µέσω κάποιας σχέσης, καλείται στη διεθνή βιβλιογραφία φυσικός χρόνος (physical time). Μια ειδική περίπτωση αποτελεί το µοντέλο που αναπτύχθηκε στην ενότητα Αν και η φύση των κανόνων που διέπουν τη διάδοση του ιχνογραφήµατος είναι στοχαστική, παρουσιάζει ουσιώδεις διαφορές µε τα υπόλοιπα µοντέλα δεδοµένου ότι: εν υπάρχει σταθερό πλέγµα στο χώρο. Ο υπολογισµός του πεδίου µπροστά από το streamer δε γίνεται µε την επίλυση της εξισώσεως Laplace ή Poisson, αλλά µε τη χρήση της εξισώσεως Η ακτίνα των streamer λαµβάνεται υπόψη. Παρά τις ουσιώδεις διαφορές του πάντως σε σχέση µε τα υπόλοιπα στοχαστικά µοντέλα θα µπορούσαµε να το κατατάξουµε στη κατηγορία των multi element models, δεδοµένου ότι περισσότεροι του ενός δεσµοί µπορούν να εµφανιστούν κατά τη διάρκεια ενός βήµατος χρόνου. 21

29 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων 22

30 Κεφάλαιο 3 ο Ανάπτυξη Νέων Στοχαστικών Μοντέλων για τη ιάσπαση ιακένων Αέρα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Ανάπτυξη Νέων Στοχαστικών Μοντέλων για τη ιάσπαση ιακένων Αέρα 3.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο 2 έγινε µια παρουσίαση των στοχαστικών µοντέλων τα οποία έχουν αναπτυχθεί από το 1984 έως σήµερα. Τα µοντέλα αυτά πέτυχαν να αναπαράγουν, άλλα σε µεγαλύτερο και άλλα σε µικρότερο βαθµό, τη µορφή της διάδοσης των streamers και των leaders µέσα σε υγρά και αέρια διηλεκτρικά, καθώς και των δενδριτών σε στερεά κατά τη φάση της προεκκένωσης. εδοµένου ότι ο σκοπός της ανάπτυξης των µοντέλων αυτών ήταν να αποτελέσουν ένα εργαλείο εύκολης µελέτης των fractal χαρακτηριστικών των εκκενώσεων [36-39], οι τιµές των παραµέτρων τους παρέµειναν στις περισσότερες περιπτώσεις αυθαίρετες. Το γεγονός αυτό είχε ως αποτέλεσµα τα στοχαστικά µοντέλα να παραµένουν απλές «µηχανές αναπαραγωγής» της µορφής της προεκκένωσης στα διηλεκτρικά χωρίς να είναι δυνατή η χρήση τους για την εξαγωγή κάποιων πιο χρήσιµων αποτελεσµάτων, που θα αφορούσαν στοιχεία πιο σηµαντικά για τη σχεδίαση των µονώσεων, όπως για παράδειγµα, η τάση διάσπασης του διηλεκτρικού, το statistical time lag, η ταχύτητα διάδοσης των streamers και των leaders κλπ. Προς τη κατεύθυνση αυτή, αναπτύχθηκαν στο Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων του Πανεπιστηµίου Πατρών, τρία νέα στοχαστικά µοντέλα, τα οποία παρουσιάζονται στην παρούσα διδακτορική διατριβή. Τα δύο εξ αυτών αναπτύχθηκαν µε σκοπό την εξοµοίωση της ηλεκτρικής διάσπασης µεγάλων διακένων αέρα, όπου έχουµε συµµετοχή στη φυσική διαδικασία της προεκκένωσης τόσο των streamers όσο και των leaders [40-41]. Αντίθετα το τρίτο µοντέλο αναπτύχθηκε µε σκοπό την εξοµοίωση της ηλεκτρικής διάσπασης µικρών διακένων αέρα, όπου έχουµε εµφάνιση κατά τη διάρκεια της προεκκένωσης µόνο των streamers. Σκοπός της ανάπτυξης των νέων µοντέλων ήταν η χρήση τους για την εξαγωγή αποτελεσµάτων που θα αφορούσαν κυρίως τη τάση διάσπασης, της τυπικής απόκλισης και της ταχύτητας διάδοσης των streamers και των leaders. Για το λόγο αυτό έγινε προσπάθεια να προσδιορισθούν οι τιµές των παραµέτρων των µοντέλων µε τη βοήθεια πειραµατικών και άλλων δεδοµένων. 23

31 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Από τα δύο µοντέλα που εξοµοιώνουν τη διάσπαση µεγάλων διακένων, το πρώτο (που παρουσιάζεται στην ενότητα 3.3) απετέλεσε τον οδηγό για την ανάπτυξη του δεύτερου, και αναπτύχθηκε µε κύριο σκοπό την διερεύνηση της δυνατότητας παράλληλης εξοµοίωσης της διάδοσης των streamers και των leaders από ένα στοχαστικό µοντέλο. Αντιθέτως τα άλλα δυο µοντέλα αναπτύχθηκαν εξαρχής µε σκοπό να χρησιµοποιηθούν για την εξαγωγή ποιοτικών και ποσοτικών αποτελεσµάτων. Κάτι τέτοιο κατέστη δυνατό ειδικά στην περίπτωση της διάσπασης µικρών διακένων, όπου εξήχθησαν πολλά αποτελέσµατα, τα οποία παρουσιάζονται στο κεφάλαιο 4. Όσον αφορά τα µεγάλα διάκενα, η εξαγωγή αποτελεσµάτων ήταν πιο δύσκολη, γεγονός που οφείλεται κυρίως στη πολυπλοκότητα του µοντέλου που αναπτύχθηκε για το σκοπό αυτό και στην ύπαρξη µεγάλου αριθµού παραµέτρων που είναι δύσκολο να ρυθµιστούν. Και στην περίπτωση αυτή όµως κατέστη δυνατόν να εξαχθούν ορισµένα αποτελέσµατα, τα οποία παρουσιάζονται επίσης στο κεφάλαιο Μηχανισµός διάσπασης τύπου Streamer Γενικά Ο φυσικός µηχανισµός διάσπασης τύπου Streamer είναι ένας γρήγορος µηχανισµός, ο οποίος αναπτύσσεται σε χρόνους µικρότερους από τον χρόνο παραµονής των ηλεκτρονίων στο χώρο του διάκενου. Ο µηχανισµός τύπου streamer προτάθηκε από τους Loeb, Meek και Raether τη δεκαετία του Ο streamer θεωρήθηκε ως ένα κανάλι ασθενώς ιονισµένου πλάσµατος το οποίο διαδίδεται µέσα στο διάκενο υπό την παρουσία ενός σχετικά ασθενούς εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου [42-48]. Σύµφωνα µε τις νεότερες θεωρίες που αναπτύχθηκαν, µε βάση την ανάλυση πειραµατικών δεδοµένων που ελήφθησαν µε τεχνικές όπως η φασµατοσκοπία εκποµπής καθώς και αριθµητικά αποτελέσµατα, ο streamer θεωρείται ως ένα κύµα ιονισµού, το οποίο διαδίδεται στο χώρο µε ταχύτητα πολύ µεγαλύτερη από αυτή της ολίσθησης των ηλεκτρονίων [49-53]. Στις παρακάτω ενότητες όµως ο streamer θα αναλυθεί µε βάση την κλασική θεωρία, καθώς τα στοχαστικά µοντέλα που παρουσιάζονται στη συνέχεια, θεωρούν τον streamer ως ένα ασθενές ιονισµένο κανάλι που αποτελεί προέκταση του ηλεκτροδίου από το οποίο ξεκίνησε. Γίνεται επίσης µία σύντοµη αναφορά στην ανάπτυξη της ηλεκτρονικής στοιβάδας που αποτελεί απαραίτητο στοιχείο κάθε µηχανισµού διάσπασης. 24

32 Κεφάλαιο 3 ο Ανάπτυξη Νέων Στοχαστικών Μοντέλων για τη ιάσπαση ιακένων Αέρα Σχήµα 3.1: Εξέλιξη µίας ηλεκτρονικής στιβάδας στον χρόνο µέσα σε οµογενές Η.Π (σχήµα από το βιβλίο του Raizer Yu. P. [47] Αρχικά στις εργασίες [41-43]) Ηλεκτρονική Στιβάδα σε οµογενές Η.Π. Θεωρούµε µια στιβάδα ηλεκτρονίων η οποία βρίσκεται µέσα σε ένα οµογενές ηλεκτρικό πεδίο E (σχήµα 3.1). Η στιβάδα αυτή δηµιουργήθηκε από ένα o ηλεκτρόνιο το οποίο ξεκίνησε από την κάθοδο την χρονική στιγµή t=0. Το ηλεκτρόνιο αυτό υπό την επίδραση του ηλεκτρικού πεδίου κατευθύνεται προς την άνοδο προκαλώντας ιονίζουσες κρούσεις στην διάρκεια της πορείας του, µε αποτέλεσµα τη δηµιουργία νέων ελεύθερων ηλεκτρονίων που προκαλούν και αυτά µε τη σειρά τους ιονίζουσες κρούσεις και οδηγούν στη δηµιουργία της στιβάδας. Πέρα από τις ιονίζουσες κρούσεις, ηλεκτρόνια παράγονται και από φυσικές διαδικασίες όπως αποκόλληση, επίδραση εξωτερικών παραγόντων (φωτισµός U.V.) κλπ. Ταυτόχρονα λαµβάνουν χώρα φυσικές διαδικασίες οι οποίες προκαλούν απώλειες ηλεκτρονίων, όπως είναι επανασύνδεση ηλεκτρονίων σε θετικά ιόντα, ενσωµάτωση ηλεκτρονίων σε άτοµα, διαδικασίες µεταφοράς ηλεκτρονίων όπως είναι η διάχυση κλπ. Οι διαδικασίες αυτές εκφράζονται στις ποσοτικές περιγραφές του φαινοµένου δηµιουργίας ηλεκτρονικών στοιβάδων µέσω των συντελεστών a-συντελεστής ιονισµού, λ-συντελεστής αποκόλλησης, β-συντελεστής επανασύνδεσης, η- συντελεστής ενσωµάτωσης, D e -συντελεστής διάχυσης. Κατά τη διάρκεια της δηµιουργίας της ηλεκτρονικής στιβάδας παράγονται, εκτός από ελεύθερα ηλεκτρόνια, θετικά και αρνητικά ιόντα, των οποίων ο αριθµός αυξάνεται καθώς η στιβάδα προχωρά. 25

33 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων 26 Σχήµα 3.2: Απεικόνιση του ηλεκτρικού πεδίου σε ένα διάκενο παρουσία ηλεκτρονικής στοιβάδας (σχήµα από το βιβλίο του Raizer Yu. P. [47] - Αρχικά στις εργασίες [41-43]). (a) Οι δυναµικές γραµµές του εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου και του ηλεκτρικού πεδίου που δηµιουργείται από το φορτίο χώρου παρίστανται ξεχωριστά. (b) Αναπαρίστανται οι δυναµικές γραµµές του συνιστάµενου ηλεκτρικού πεδίου. Θεωρώντας ότι τα δυο ηλεκτρόδια είναι απείρων διαστάσεων και ότι η εκκένωση ξεκινάει από ένα στοιχειώδες ρεύµα το οποίο προκαλείται από φωτισµό της καθόδου µπορούµε να γράψουµε τις εξισώσεις συνέχειας ή εξισώσεις διατήρησης των σωµατιδίων (ηλεκτρονίων, θετικών και αρνητικών ιόντων): 2 2 ) ( x n D x v n n n n n v an t n e e e e e e e e e e + + = + λ ν η β (3.1) + = + + = ) ( ) ( x n D x v n n v n t n x n D x v n n n v an t n e e e e e λ η β (3.2) Τα θετικά ιόντα τα οποία συγκεντρώνονται στην ουρά της στιβάδας αυξάνονται και αυτά κατά εκθετικό τρόπο, καθώς η στιβάδα προχωρά προς την άνοδο. Εάν ο αριθµός των φορτίων της στιβάδας γίνει αρκετά µεγάλος τότε τα φορτία χώρου δηµιουργούν ένα δικό τους πεδίο E το οποίο προστίθεται διανυσµατικά στο εξωτερικό πεδίο o E και το παραµορφώνει. Η παραµόρφωση αυτή γίνεται ισχυρότερη καθώς ο πολλαπλασιασµός των φορτίων συνεχίζεται και επηρεάζει στη συνέχεια τη διαδικασία του ιονισµού. Τα φορτία χώρου σχηµατίζουν ένα είδος

34 Κεφάλαιο 3 ο Ανάπτυξη Νέων Στοχαστικών Μοντέλων για τη ιάσπαση ιακένων Αέρα διπόλου, µε τα ηλεκτρόνια να συγκεντρώνονται στην κεφαλή της στιβάδας και τα θετικά ιόντα στην ουρά. Όσο το εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο E o δεν έχει παραµορφωθεί έντονα ο συντελεστής ιονισµού α εξαρτάται από το E o, α = f ( E ). Όταν όµως το πεδίο του p φορτίου χώρου E γίνει αρκετά ισχυρό, τότε η παραµόρφωση γίνεται έντονη και το πεδίο στην κεφαλή της στοιβάδας γίνεται ισχυρότερο από το E o και ίσο µε E = E o + E. Τόσο ο συντελεστής ιονισµού όσο και η κατανοµή των φορτίων της στοιβάδας εξαρτώνται πλέον από το E και όχι από το E o (σχήµα 3.2) [42-48]. Όταν το ηλεκτρικό πεδίο που δηµιουργείται από τα φορτία χώρου E αποκτήσει την ίδια τάξη µεγέθους µε το εξωτερικό πεδίο streamer [42-48]. E o τότε η στιβάδα µετατρέπεται σε Φυσική περιγραφή του Streamer Ο streamer είναι ένα λεπτό κανάλι ασθενώς ιονισµένου πλάσµατος το οποίο δηµιουργείται από µία αρχική ηλεκτρονική στιβάδα, υπό την επίδραση ενός ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου [42-48]. Ο streamer µπορεί να κατευθυνθεί από το ένα ηλεκτρόδιο στο άλλο, ή να αναπτυχθεί σε κάποιο σηµείο εντός του διακένου και να κατευθυνθεί και προς τα δύο ηλεκτρόδια ταυτόχρονα. Όταν φτάσει στο αντίθετο ηλεκτρόδιο και γεφυρώσει το διάκενο, ένα ισχυρό ανάστροφο κύµα ιονισµού δηµιουργείται, οδηγώντας στη διάσπαση του διακένου. Οι streamers µπορούν να διακριθούν σε δύο κατηγορίες ανάλογα µε το είδος του φορτίου που κυριαρχεί στην κεφαλή τους (ενεργός περιοχή). Θετικοί streamer (positive ή cathode directed): Είναι οι streamers που ξεκινούν από την άνοδο και κατευθύνονται προς την κάθοδο. Στην κεφαλή του streamers κυριαρχούν τα θετικά ιόντα. Αρνητικοί streamer (negative ή anode directed): Είναι οι streamers που ξεκινούν από την κάθοδο και κατευθύνονται προς την άνοδο. Στην κεφαλή του streamers κυριαρχούν τα ηλεκτρόνια. Στο σχήµα 3.3 αναπαρίσταται η διάδοση ενός θετικού streamer µέσα σε ένα οµογενές διάκενο. Για την προώθηση του streamer προς την κάθοδο είναι πολύ 27

35 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Σχήµα 3.3: Σχηµατική αναπαράσταση της διάδοσης ενός θετικού streamer (σχήµα από το βιβλίο του Raizer Yu. P. [47] - Αρχικά στις εργασίες [41-43]). (a) Αναπαράσταση του streamer σε δυο διαφορετικές χρονικές στιγµές, µε ταυτόχρονη αναπαράσταση των ηλεκτρονικών στοιβάδων που κινούνται προς την κεφαλή του. Τα κυµατοειδή βέλη αντιπροσωπεύουν τα φωτόνια µε τη βοήθεια των οποίων γεννιούνται τα νέα ελεύθερα ηλεκτρόνια. (b) Οι δυναµικές γραµµές του ηλεκτρικού πεδίου κοντά στη κεφαλή του streamer. σηµαντική η ύπαρξη ελεύθερων ηλεκτρονίων µπροστά από την κεφαλή του. Σύµφωνα µε µία διαδεδοµένη θεωρία, κυρίαρχο ρόλο στη δηµιουργία ελεύθερων ηλεκτρονίων παίζει ο φωτοϊονισµός [54-62]. Τα φωτόνια εκπέµπονται από άτοµα Αζώτου Ν 2 τα οποία έχουν διεγερθεί από κρούσεις µε τα ηλεκτρόνια της αρχικής στιβάδας και προκαλούν την απόσπαση ηλεκτρονίων από άτοµα Οξυγόνου Ο 2. Τα ηλεκτρόνια που δηµιουργούνται µε τη βοήθεια των παραπάνω µηχανισµών, δηµιουργούν δευτερογενείς στιβάδες. Οι δευτερογενείς στιβάδες κατευθύνονται προς την κεφαλή του streamer υπό την επίδραση του ηλεκτρικού πεδίου διεγείροντας και αυτά µε την σειρά τους άτοµα που εκπέµπουν καινούρια φωτόνια. Στο τέλος της πορείας τους τα ηλεκτρόνια αναµιγνύονται µε τα θετικά φορτία που βρίσκονται στη κεφαλή σχηµατίζοντας την παθητική περιοχή (quasineutral plasma). Τα θετικά φορτία που βρίσκονται στην ουρά των δευτερογενών στιβάδων αποτελούν πλέον την νέα κεφαλή του streamer (ενεργός περιοχή). Αυτά τα θετικά φορτία έλκουν καινούρια ηλεκτρόνια τα οποία θα δηµιουργήσουν νέες δευτερογενείς στιβάδες κ.ο.κ. Με τον τρόπο αυτό ένας streamer διαδίδεται στον χώρο ανάµεσα στα ηλεκτρόδια. Με βάση πειραµατικές µελέτες, η ταχύτητα του streamer µειώνεται όσο αυξάνεται το µήκος του και αυξάνεται όσο ισχυρότερο είναι το εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο [48]. Η ταχύτητα ενός streamer είναι της τάξης των 10 8 cm/sec, όταν η ταχύτητα ολίσθησης των ηλεκτρονίων είναι της τάξης των 10 7 cm/sec. Η διάµετρος του streamer είναι περίπου ίση µε την διάµετρο της ηλεκτρονικής 28

36 Κεφάλαιο 3 ο Ανάπτυξη Νέων Στοχαστικών Μοντέλων για τη ιάσπαση ιακένων Αέρα στιβάδας ακριβώς πριν αυτή µετατραπεί σε streamer δηλαδή περίπου cm [47-48]. Επίσης σε καµία περίπτωση η πυκνότητα των ηλεκτρονίων δεν είναι µικρότερη από τη µέγιστη πυκνότητα της ηλεκτρονικής στιβάδας, δηλαδή cm -3 (αν και υπάρχουν µελέτες οι οποίες δίνουν τιµές cm -3 ) [47]. Κατά τη διάρκεια της διάδοσης του streamer µέσα στο διάκενο, είναι πολύ συνηθισµένο να έχουµε διακλαδώσεις και συνεχείς αλλαγές πορείας (ζιγκ ζαγκ). Οι συνεχείς αυτές αλλαγές της πορείας µπορούν να αποδοθούν στο γεγονός ότι τα φωτόνια εκπέµπονται και απορροφώνται µε ένα τυχαίο τρόπο, µε αποτέλεσµα τα αρχικά ηλεκτρόνια που δηµιουργούνται από φωτoιονισµό και προκαλούν τις δευτερογενείς στιβάδες, να βρίσκονται σε τυχαίες θέσεις γύρω από την κεφαλή του streamer και όχι αναγκαστικά στην διεύθυνση διάδοσής του [47, 63]. Στην µέχρι τώρα ανάλυση που έγινε για την διάδοση του streamer µέσα στο διάκενο, θεωρήθηκε ότι ο streamer προϋπήρχε. Για να δηµιουργηθεί όµως ένας καινούριος streamer, πρέπει να πληρούνται δύο προϋποθέσεις. Η πρώτη είναι η ύπαρξη ενός τουλάχιστον ελεύθερου ηλεκτρονίου σε κατάλληλη απόσταση από την άνοδο. Τα ελεύθερα αυτά ηλεκτρόνια αποκολλούνται από αρνητικά ιόντα κάτω από την επίδραση του ηλεκτρικού πεδίου και είναι αυτά που θα δηµιουργήσουν την αρχική στιβάδα [63-66]. Η δεύτερη προϋπόθεση είναι η ύπαρξη ενός ηλεκτρικού πεδίου, το οποίο θα πρέπει να είναι αρκετά ισχυρό ώστε η στιβάδα που θα δηµιουργηθεί από το ελεύθερο ηλεκτρόνιο να µετατραπεί σε streamer. Στην αντίθετη περίπτωση τα ηλεκτρόνια της στιβάδας θα φύγουν απλώς από το διάκενο, αφήνοντας πίσω τους ένα ασθενές θετικό φορτίο χώρου. 3.3 Μηχανισµός διάσπασης µεγάλων διακένων Στην προηγούµενη ενότητα έγινε περιγραφή του τρόπου διάσπασης ενός διακένου µέσω του µηχανισµού τύπου streamer. Η εικόνα όµως, ενός ή περισσοτέρων streamers οι οποίοι διασχίζουν το διάκενο και γεφυρώνοντάς το προκαλούν την διάσπαση του είναι ρεαλιστική µόνο στην περίπτωση που το διάκενο είναι σχετικά µικρό (<40cm). Σε µεγαλύτερες αποστάσεις και καθώς ο streamer διαδίδεται µέσα στο διάκενο, το ηλεκτρικό πεδίο µπροστά του προοδευτικά εξασθενεί, και κάποια στιγµή γίνεται µικρότερο από την ελάχιστη τιµή η οποία απαιτείται για να έχουµε φαινόµενα ιονισµού και δηµιουργία ηλεκτρονικών στιβάδων. Έτσι η διάδοση του streamer σταµατά. 29

37 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Η συνολική απόσταση που µπορεί να διανύσει ένας streamer εξαρτάται κυρίως από την εφαρµοζόµενη τάση στο διάκενο. Κυµαίνεται από cm, ενώ σε ηλεκτροθετικά αέρια µπορεί να ξεπεράσει το 1m. Για να ήταν δυνατή η διάσπαση ενός µεγάλου διακένου µέσω του µηχανισµού streamer, θα έπρεπε η µέση πεδιακή ένταση Ε αν =V/d να είναι περίπου ίση µε την µέση πτώση τάσης του streamer Ε s. Σε διάκενα όµως µήκους 10-30m η µέση πεδιακή ένταση είναι Ε αν = 1-2 kv/cm όταν η µέση πτώση τάσης του streamer είναι Ε s 5 kv/cm. Γίνεται φανερό ότι στην περίπτωση αυτή η διάσπαση λαµβάνει χώρα µέσω ενός νέου µηχανισµού, που ονοµάζεται Leader. Στην συνέχεια θα γίνει η φυσική περιγραφή µόνο του θετικού leader, καθώς στην παρούσα διδακτορική διατριβή, γίνεται εξοµοίωση της διάσπασης µεγάλων διακένων υπό τάση θετικής πολικότητας. Ο leader µπορεί να θεωρηθεί ως ένα λεπτό κανάλι ισχυρά ιονισµένου πλάσµατος, το οποίο διαδίδεται µέσα σε ένα διάκενο, ακολουθώντας τον δρόµο που έχουν δηµιουργήσει προηγουµένως οι streamers. Η πτώση τάσεως του leader είναι σηµαντικά µικρότερη από αυτή του streamer µε αποτέλεσµα αυτός να συµπεριφέρεται ως προέκταση της ανόδου και να µεταφέρει το δυναµικό της σχεδόν ακέραιο, καθώς προωθείται προς την κάθοδο. Όπως συµβαίνει και µε το µεταλλικό άκρο της ανόδου, από το άκρο του leader και λόγω του ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου που αναπτύσσεται εκεί, «γεννιούνται» συνεχώς καινούριοι streamers. Οι νέοι αυτοί streamers προετοιµάζουν τον δρόµο για την περαιτέρω προώθηση του leader. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται µέχρι το σύστηµα leaderstreamer να γεφυρώσει το διάκενο και να προκαλέσει την διάσπασή του (σχήµα 3.4). Σχήµα 3.4: Ο leader διαδίδεται στο διάκενο ξεκινώντας από την άνοδο και ακολουθώντας το «µονοπάτι» που έχουν προετοιµάσει οι streamers (σχήµα από το βιβλίο του Raizer Yu. P. [47]). 30

38 Κεφάλαιο 3 ο Ανάπτυξη Νέων Στοχαστικών Μοντέλων για τη ιάσπαση ιακένων Αέρα Το πιο κρίσιµο σηµείο στην περιγραφή του συστήµατος «leader-streamer» είναι η δηµιουργία του leader ή αλλιώς ο µετασχηµατισµός των streamers σε leader (leader formation ή streamer to leader transition). Σηµαντική συµβολή στην κατανόηση του µηχανισµού αυτού, έχει προσφέρει η θεωρία που αναπτύχθηκε από τον Gallimberti [63, 67-69]. Ως γνωστόν οι streamer ξεκινούν από µια κοινή αφετηρία (stem) και διαδίδονται στον χώρο διακλαδιζόµενοι, σχηµατίζοντας την corona. Σύµφωνα µε τον Gallimberti, το συνολικό ρεύµα όλων των streamer, συγκεντρώνεται στο stem. Εκεί το 95% της ενέργειας των ηλεκτρονίων µεταφέρεται µέσω κρούσεων στα µόρια αζώτου ως δονητική ενέργεια (vibrational energy). Μετά από κάποιο χρονικό διάστηµα, το οποίο εξαρτάται από την θερµοκρασία, η δονητική ενέργεια των µορίων µετατρέπεται σε κινητική και περιστροφική ενέργεια γεγονός που µεταφράζεται σε αύξηση της θερµοκρασίας του stem. Στους 2500Κ ο χρόνος για την µετατροπή της δονητικής ενέργειας σε κινητική είναι της τάξης των 10-5 s. Αντίθετα στους 300Κ ο χρόνος είναι s και στους 1000Κ ο χρόνος είναι s. Μέσω αυτής της διαδικασίας η θερµοκρασία του stem αυξάνεται µέχρι τους 3000Κ. Η αύξηση όµως της θερµοκρασίας του stem προκαλεί την απελευθέρωση ηλεκτρονίων από αρνητικά ιόντα τα οποία βρίσκονται στην περιοχή, και κατά συνέπεια αύξηση της αγωγιµότητας. Μέσω της διαδικασίας αυτής το stem µετατρέπεται σταδιακά σε ένα καινούριο τµήµα του leader και η διαδικασία ολοκληρώνεται όταν η θερµοκρασία φτάσει στους 5000Κ [48]. Η θερµοκρασία του leader κυµαίνεται από 2200Κ έως 7000Κ ανάλογα µε το µήκος του διακένου [63]. Το παλαιό stem διαρρέεται πλέον από ένα ρεύµα της τάξης του 1Α και η πτώση τάσης έχει µειωθεί στο 1kV/cm περίπου, που είναι τυπικές τιµές ενός leader. Για να ξεκινήσει η διαδικασία απελευθέρωσης των ηλεκτρονίων από αρνητικά ιόντα θα πρέπει η θερµοκρασία να ανέβει αρκετά ψηλότερα από τους 300 ο Κ που είναι η θερµοκρασία του steamer. Για παράδειγµα για την καταστροφή ενός αρνητικού ιόντος O σε ξηρό αέρα η θερµοκρασία θα πρέπει να 2 ανέλθει στους 1500Κ, ενώ σε συνθήκες υγρασίας η απαιτούµενη θερµοκρασία ανέρχεται στους 2000Κ [47-63]. Ο χρόνος που απαιτείται για την αποκόλληση του ηλεκτρονίου από το αρνητικό ιόν Ο - 2 είναι περίπου 10-7 sec. Εκτός από την θεωρία που αναπτύχθηκε από τον Gallimberti, υπάρχουν και άλλες θεωρίες οι οποίες προσπαθούν να δώσουν εξήγηση στην δηµιουργία του leader. Σε µία από αυτές [70] θεωρείται ότι η αύξηση της αγωγιµότητας στο stem 31

39 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Σχήµα 3.5: Σχηµατική αναπαράσταση της διάδοσης του leader σύµφωνα µε τους Niemeyer, Pietronero και Wiessman [13]. επέρχεται από θερµοϊονισµό. Για να υπάρξει όµως θερµοϊονισµός θα πρέπει η θερµοκρασία να ανέλθει στους 8000 ο Κ κάτι που δεν ανταποκρίνεται στην πραγµατικότητα, καθώς η θερµοκρασία του leader είναι µικρότερη. Μία άλλη πρόταση ως προς την µετατροπή του streamer σε leader δίνεται από τους Pietronero και Wiessman [13]. Ο τρόπος αύξησης της αγωγιµότητας που περιγράφεται από τον Gallimberti παραµένει ως έχει, αλλά θεωρείται ότι η διαδικασία δεν λαµβάνει χώρα στο stem αλλά σε κάθε streamer ξεχωριστά. Σύµφωνα µε την θεωρία αυτή, ένας ή περισσότεροι streamers µετατρέπονται σε leader πιο γρήγορα από τους άλλους, κάτι που έχει ως αποτέλεσµα την δραστική µεταβολή του ηλεκτρικού πεδίου και την αναστολή της διαδικασίας στους πιο «αργούς» streamers (σχήµα 3.5). Με τον τρόπο αυτό δίνεται µία εξήγηση στις αλλαγές πορείας του leader, αλλά και στο γεγονός ότι εµφανίζονται συχνά περισσότεροι του ενός leaders. Η διαδικασία επαναλαµβάνεται µε τους καινούριους streamers να ξεκινούν από το άκρο του leader όπως φαίνεται και στο σχήµα Στοχαστικό µοντέλο για τη προσοµοίωση της διάσπασης µικρών διακένων αέρα Γενικά Το στοχαστικό µοντέλο που παρουσιάζεται στη παρούσα ενότητα αναπτύχθηκε µε σκοπό την εξοµοίωση της ηλεκτρικής διάσπασης µικρών διακένων αέρα (έως 40cm). Το ιχνογράφηµα το οποίο δηµιουργείται από το µοντέλο ισοδυναµεί µε τη διάδοση των streamers κατά τη φάση της προεκκένωσης. Για την πραγµατοποίηση της εξοµοίωσης αναπτύχθηκε ένας αλγόριθµος στη γλώσσα προγραµµατισµού PASCAL. Τα βασικά χαρακτηριστικά της εξοµοίωσης είναι τα εξής: 32

40 Κεφάλαιο 3 ο Ανάπτυξη Νέων Στοχαστικών Μοντέλων για τη ιάσπαση ιακένων Αέρα Το διηλεκτρικό και τα ηλεκτρόδια παρίστανται µε τη βοήθεια ενός δισδιάστατου πλέγµατος σηµείων. Το δυναµικό σε κάθε σηµείο του πλέγµατος, το οποίο αναπαριστά το διηλεκτρικό, υπολογίζεται µέσω της λύσεως της εξίσωσης Laplace. Σε κάθε βήµα του χρόνου και µε τη βοήθεια των στοχαστικών κανόνων οι οποίοι διέπουν τη δηµιουργία των νέων δεσµών, το ιχνογράφηµα ξεκινά από την άνοδο (η εξοµοίωση αφορά στους θετικούς streamers), και κατευθύνεται προς την κάθοδο, ενώνοντας νέα σηµεία, τα οποία προηγουµένως ανήκαν στο διηλεκτρικό. Η εξοµοίωση σταµατά όταν το ιχνογράφηµα έρθει σε επαφή µε την κάθοδο ή µε το ιχνογράφηµα που έχει εν τω µεταξύ ξεκινήσει από αυτή και το οποίο αναπαριστά την ανάπτυξη αρνητικών streamers από την κάθοδο. Στη περίπτωση αυτή θεωρείται ότι έχουµε διάσπαση του διακένου. Αναλυτικότερη περιγραφή του αλγορίθµου γίνεται στην ενότητα Ανάλυση του στοχαστικού Μοντέλου Η βάση πάνω στην οποία διεξάγεται η εξοµοίωση είναι η διακριτοποίηση του χώρου µε την εισαγωγή ενός δισδιάστατου πλέγµατος σηµείων. Με τη βοήθεια του πλέγµατος αυτού αναπαρίστανται τα ηλεκτρόδια και το διηλεκτρικό (σχήµα 3.6). Το µέγεθος του πλέγµατος καθορίζεται από το µέγεθος του διακένου αλλά και από τις δυνατότητες της γλώσσας προγραµµατισµού Pascal η οποία χρησιµοποιήθηκε στις εξοµοιώσεις. Η απόσταση µεταξύ δυο σηµείων του πλέγµατος θα έπρεπε στην ιδανική περίπτωση να είναι της τάξης µεγέθους ενός στοιχειώδους βήµατος διάδοσης του streamer. Το στοιχειώδες αυτό βήµα µπορούµε να το θεωρήσουµε ίσο µε την ακτίνα της ηλεκτρονικής στιβάδας τη στιγµή µετατροπής της σε streamer. Στην πράξη κάτι τέτοιο θα οδηγούσε στην ανάγκη εισαγωγής ενός πολύ λεπτοµερούς πλέγµατος λόγω του µεγάλου µήκους του διακένου. Στη πράξη η απόσταση µεταξύ δύο σηµείων κυµαίνεται µεταξύ 0,1 και 0,3cm, γεγονός που περιορίζει τις διαστάσεις του πλέγµατος σε λογικές τιµές (100x100 έως 300x300). Μετά τον καθορισµό του πλέγµατος, τα σηµεία που αναπαριστούν την άνοδο παίρνουν το δυναµικό της ανόδου (εφαρµογή συνεχούς ή κρουστικής τάσης), ενώ στα σηµεία της καθόδου (η οποία είναι γειωµένη) το δυναµικό παίρνει τη τιµή 33

41 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων µηδέν. Στα υπόλοιπα σηµεία του πλέγµατος (τα οποία αναπαριστούν το διηλεκτρικό) το δυναµικό υπολογίζεται µέσω της επίλυσης της εξίσωσης Laplace. Μετά τον υπολογισµό του δυναµικού, προσδιορίζονται όλες οι πιθανές διευθύνσεις διάδοσης του ιχνογραφήµατος. Ως πιθανές διευθύνσεις διάδοσης ορίζονται όλες εκείνες για τις οποίες το τοπικό ηλεκτρικό πεδίο ανάµεσα σε ένα σηµείο που ανήκει στο ιχνογράφηµα και σε ένα γειτονικό του που ανήκει στο διηλεκτρικό (δηλαδή η διαφορά δυναµικού µεταξύ των σηµείων διαιρούµενη δια τη µεταξύ τους απόσταση), είναι µεγαλύτερο από µια τιµή κατωφλίου E th. Η παράµετρος αυτή του µοντέλου εξασφαλίζει ότι ένας νέος δεσµός µπορεί να δηµιουργηθεί µόνο όταν το τοπικό ηλεκτρικό πεδίο είναι αρκετά ισχυρό. Η τιµή της παραµέτρου E th αντιστοιχεί στην τιµή εκείνη του ηλεκτρικού πεδίου πάνω από την οποία έχουµε οµαλή εξέλιξη των ηλεκτρονικών στιβάδων και µετατροπή τους σε streamer. Στη συνέχεια και για κάθε πιθανή διεύθυνση διάδοσης του ιχνογραφήµατος υπολογίζεται ο χρόνος δηµιουργίας του νέου δεσµού. Ο χρόνος αυτός θεωρείται ότι είναι µια τυχαία µεταβλητή η οποία προκύπτει από µια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f t ). Στο γεγονός αυτό καταλήγουµε ακολουθώντας ( S µια σειρά συλλογισµών σχετικά µε τη διάδοση του streamer στο χώρο. Πιο συγκεκριµένα θεωρήσαµε ότι η διάδοση του streamer µπορεί να χωριστεί σε διακριτά βήµατα. Κάθε διακριτό βήµα περιλαµβάνει τις εξής φυσικές διαδικασίες: Την εµφάνιση ελεύθερων ηλεκτρονίων για τη δηµιουργία ηλεκτρονικών στιβάδων. Τη δηµιουργία και την εξέλιξη των ηλεκτρονικών στιβάδων. Την ανάµιξη των ηλεκτρονίων των στιβάδων µε τα θετικά ιόντα στη κεφαλή του streamer. Τα θετικά ιόντα τα οποία αφήνουν πίσω τους τα ηλεκτρόνια των στοιβάδων στη πορεία τους προς τη κεφαλή του streamer αποτελούν στη συνέχεια τη νέα κεφαλή του, η οποία µετατοπίζεται µε ταχύτητα u s σε µια απόσταση r µέσα σε χρόνο t = r. Η απόσταση r είναι περίπου ίση µε την ακτίνα του streamer. u s Ο χρόνος t περιλαµβάνει το χρόνο που απαιτείται για την εµφάνιση ελεύθερων 34

42 Κεφάλαιο 3 ο Ανάπτυξη Νέων Στοχαστικών Μοντέλων για τη ιάσπαση ιακένων Αέρα ηλεκτρονίων t 0, καθώς και το χρόνο για την εξέλιξη των ηλεκτρονικών στιβάδων t g (E). Θεωρούµε δηλαδή ότι: t = t + t E) t = t t ( ), (3.3) 0 g ( 0 + g a όπου a είναι ο συντελεστής ιονισµού. Λαµβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι η απόσταση µεταξύ δυο σηµείων του πλέγµατος είναι µεγαλύτερη από την ακτίνα του streamer, ο χρόνος που χρειάζεται για τη δηµιουργία ενός νέου δεσµού θα είναι: t s = t + t t, (3.4) 1 2 n όπου t είναι ο χρόνος που απαιτείται για ένα στοιχειώδες βήµα στη διάδοση του streamer (σχέση 3.4). Ο αριθµός των στοιχειωδών αυτών βηµάτων καθορίζεται από την απόσταση µεταξύ των σηµείων του πλέγµατος και την ακτίνα του streamer. Εάν λάβουµε υπόψη ότι τόσο ο χρόνος t 0 για την εµφάνιση ελεύθερων ηλεκτρονίων, όσο και ο χρόνος t g (E) για την εξέλιξη των ηλεκτρονικών στιβάδων υπόκεινται σε στατιστικές διακυµάνσεις, µπορούµε να υποθέσουµε ότι και ο συνολικός χρόνος t s για τη δηµιουργία ενός δεσµού θα είναι µια τυχαία µεταβλητή η οποία θα έχει µια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f t ). ( S Στη παρούσα διδακτορική διατριβή χρησιµοποιήθηκαν δυο διαφορετικές συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας. Στη πρώτη περίπτωση θεωρήθηκε ότι ο χρόνος δηµιουργίας ενός νέου δεσµού ακολουθεί την εκθετική κατανοµή µε αποτέλεσµα η συνάρτηση f t ) να έχει την µορφή: ( S f ( t S ) t exp( S Sm = (3.5) t Sm t ) όπου t Sm είναι η µέση τιµή της κατανοµής. Στη πράξη ο χρόνος δηµιουργίας θα δίνεται από τη σχέση: t t log(µ), (3.6) s = sm 35

43 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Σχήµα 3.6: α) Πλέγµα σηµείων β) Πιθανές διευθύνσεις διάδοσης του ιχνογραφήµατος από την άκρη της ράβδου γ) ηµιουργία των πρώτων δεσµών δ) προώθηση του ιχνογραφήµατος µετά από µερικά βήµατα χρόνου. 36

44 Κεφάλαιο 3 ο Ανάπτυξη Νέων Στοχαστικών Μοντέλων για τη ιάσπαση ιακένων Αέρα όπου µ είναι ένας τυχαίος αριθµός οµοιόµορφα κατανεµηµένος στο διάστηµα [0,1]. Προκειµένου να ληφθεί υπόψη η επίδραση του ηλεκτρικού πεδίου στο χρόνο δηµιουργίας ενός δεσµού t s, έγινε η υπόθεση ότι η µέση τιµή της κατανοµής εξαρτάται από το τοπικό ηλεκτρικό πεδίο µέσω µιας αυθαίρετης συνάρτησης: t sm E k = tmax ( ), (3.7) E th όπου E είναι το τοπικό ηλεκτρικό πεδίο, E th είναι η τιµή κατωφλίου του ηλεκτρικού πεδίου για τη δηµιουργία ενός καινούργιου δεσµού streamer, t max είναι ο χρόνος σχηµατισµού ενός δεσµού streamer όταν αυτός διαδίδεται µε την ελάχιστη δυνατή ταχύτητα και k είναι µια παράµετρος που καθορίζει το βαθµό εξάρτησης του χρόνου t sm από το ηλεκτρικό πεδίο. Ο χρόνος t max καθορίζεται από την απλή σχέση: d t max =, (3.8) u min όπου d είναι το µήκος της απόστασης µεταξύ δυο γειτονικών σηµείων του πλέγµατος και u min είναι η ελάχιστη ταχύτητα διάδοσης του streamer, που στη συγκεκριµένη περίπτωση θεωρείται ότι είναι 10 7 cm/sec [48]. Στο σχήµα 3.7 φαίνεται η γραφική παράσταση της σχέσης 3.7 για διάφορες τιµές της παραµέτρου k. Από τις σχέσεις 3.7 και 3.8 προκύπτει ότι στη περίπτωση που το τοπικό ηλεκτρικό πεδίο είναι ίσο µε την τιµή κατωφλίου, το ιχνογράφηµα διαδίδεται µε την ελάχιστη ταχύτητα. Η τελική σχέση για το χρόνο δηµιουργίας ενός δεσµού δίνεται από τη σχέση: t s d E k = r( E) log( µ ), r( E) = ( ) ( ) (3.9) u E min th Η δεύτερη συνάρτηση κατανοµής που χρησιµοποιήθηκε ήταν η Weibull, η οποία χρησιµοποιείται πολύ συχνά για τον προσδιορισµό του χρόνου ζωής των διηλεκτρικών. Στη περίπτωση η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f t ) θα δίνεται από τη σχέση: ( s 37

45 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων f ( t s a ) = a b t a 1 s e t ( s ) b a, (3.10) και ο χρόνος δηµιουργίας ενός νέου δεσµού θα υπολογίζεται ως εξής: t t sm tsm = [ln(1 ξ )] a, b (3.11) 1 1 Γ(1 + ) Γ(1 + ) a a s = 1 όπου t sm είναι η µέση τιµή της κατανοµής, a, b είναι οι παράµετροι που καθορίζουν τη µορφή της, ξ είναι ένας τυχαίος αριθµός οµοιόµορφα κατανεµηµένος στο διάστηµα [0, 1] και Γ ( ) η συνάρτηση Γάµα: 0 y a 1 Γ( a) = e y dy, a > 0 (3.12) Ο συνδυασµός των σχέσεων 3.7, 3.8 και 3.10 µας δίνει τη τελική σχέση υπολογισµού του χρόνου δηµιουργίας ενός δεσµού streamer : t s d E a k = [ln(1 ) ] ), ( ) = ( ) ( ) r( E) ( 1 Γ(1 + ) a ξ r E (3.13) u E min th Οι συναρτήσεις κατανοµής που χρησιµοποιήθηκαν για τις ανάγκες της εξοµοίωσης, επιλέχθηκαν ως ένα βαθµό αυθαίρετα. Ένας πιο ακριβής όµως προσδιορισµός της κατανοµής που θα πρέπει να χρησιµοποιηθεί, είναι δυνατός εάν την συνδέσουµε µε τη κατανοµή του statistical time lag, υποθέτοντας ότι αυτό αντιστοιχεί στο χρόνο δηµιουργίας του πρώτου δεσµού του ιχνογραφήµατος. Η διαδικασία προσδιορισµού στη περίπτωση αυτή θα πρέπει να περιλαµβάνει δυο βήµατα. Στο πρώτο θα γίνεται ο προσδιορισµός της µορφής της κατανοµής µέσω επαναλαµβανόµενων µετρήσεων του statistical time lag όταν στο διάκενο εφαρµόζεται η ίδια τάση, και στη συνέχεια θα ακολουθεί ο προσδιορισµός της συνάρτησης r(e) χρησιµοποιώντας τη µεταβολή της µέσης τιµής του statistical time lag συναρτήσει της εφαρµοζόµενης τάσης στο διάκενο. Από τη στιγµή που ο χρόνος δηµιουργίας για κάθε υποψήφιο δεσµό έχει υπολογιστεί µε τη βοήθεια των σχέσεων 3.9 ή 3.13, θα πρέπει να γίνει η επιλογή 38

46 Κεφάλαιο 3 ο Ανάπτυξη Νέων Στοχαστικών Μοντέλων για τη ιάσπαση ιακένων Αέρα Σχήµα 3.7: Γραφική παράσταση της σχέσης 3.7, για διαφορετικές τιµές της παραµέτρου k. των δεσµών εκείνων που θα προστεθούν τελικά στο ιχνογράφηµα. Η επιλογή γίνεται χρησιµοποιώντας το βήµα του χρόνου. Συγκεκριµένα προστίθενται στο ιχνογράφηµα όσοι δεσµοί έχουν χρόνο δηµιουργίας µικρότερο από το βήµα του χρόνου. Ο υπολογισµός του βήµατος χρόνου γίνεται συνήθως µε δυο τρόπους. Στη πρώτη προσέγγιση ως βήµα χρόνου θεωρείται ο µικρότερος χρόνος δηµιουργίας καινούργιου δεσµού και στο ιχνογράφηµα προστίθεται µόνο ένας δεσµός σε κάθε βήµα (single element models). Οι υπόλοιποι δεσµοί θεωρείται ότι βρίσκονται σε διάφορα άγνωστα στάδια εξέλιξης και κάποιοι από αυτούς ίσως δηµιουργηθούν στα επόµενα βήµατα. Σύµφωνα όµως µε µια άλλη λογική, µπορεί να θεωρηθεί ότι ο γρηγορότερος streamer αναστέλλει την εξέλιξη των υπολοίπων στο τρέχον βήµα του χρόνου µέσω της µεταβολής του ηλεκτρικού πεδίου που προκαλεί η δηµιουργία του. Κατ αυτό τον τρόπο δικαιολογείται η δηµιουργία ενός µόνο δεσµού. Στη δεύτερη προσέγγιση εισάγεται εξαρχής ένα σταθερό βήµα χρόνου στην εξοµοίωση και όσοι δεσµοί έχουν χρόνο δηµιουργίας µικρότερο από το βήµα χρόνου προστίθενται στο ιχνογράφηµα (multi element models). Στη περίπτωση αυτή είναι δυνατός ο υπολογισµός της πιθανότητας δηµιουργίας ενός δεσµού στο τρέχον βήµα του χρόνου, κάτω από την επίδραση 39

47 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων ενός τοπικού ηλεκτρικού πεδίου E, χρησιµοποιώντας τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f t ) : ( s τ p( E) = f ( ts ) dt, (3.14) όπου τ είναι το βήµα χρόνου. Το µοντέλο που παρουσιάζεται στη παρούσα ενότητα ανήκει στη κατηγορία των multi element models. Το βήµα του χρόνου όµως δεν είναι προκαθορισµένο αλλά αποτελεί τη µέση τιµή του χρόνου δηµιουργίας όλων των νέων υποψηφίων δεσµών: n tsi i= 1 τ = n, (3.15) όπου n είναι το σύνολο των υποψήφιων δεσµών. Ο υπολογισµός του βήµατος χρόνου µε τη διαδικασία αυτή, βασίζεται στην υπόθεση ότι η αλλαγή του ηλεκτρικού πεδίου που επέρχεται από την διάδοση των γρηγορότερων streamer, θα επηρεάσει και θα αναστείλει την εξέλιξη µόνο αυτών που διαδίδονται µε αρκετά µικρή ταχύτητα. Ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του βήµατος χρόνου προκύπτει από την τροποποίηση της σχέσης 3.15 ως εξής: n r( E ) i i= 1 τ =, (3.16) n όπου η r(e) δίνεται από στις σχέσεις 3.9 και Ο τρόπος υπολογισµού του βήµατος χρόνου κατ αυτό τον τρόπο έχει το πλεονέκτηµα ότι διασφαλίζει σε κάθε περίπτωση, η ταχύτητα διάδοσης του ιχνογραφήµατος να είναι µεγαλύτερη ή ίση από την ελάχιστη ταχύτητα διάδοσης του streamer Ανάλυση του Αλγορίθµου Για τις ανάγκες της εξοµοίωσης χρησιµοποιήθηκε ένα δισδιάστατο πλέγµα σηµείων, επί του οποίου παρίστανται τα ηλεκτρόδια, το διηλεκτρικό και τους streamers. Οι διαστάσεις του πλέγµατος ποικίλουν, από 150x150 έως 300x300, ανάλογα µε την απόσταση µεταξύ των ηλεκτροδίων. Κάθε σηµείο του πλέγµατος 40

48 Κεφάλαιο 3 ο Ανάπτυξη Νέων Στοχαστικών Μοντέλων για τη ιάσπαση ιακένων Αέρα (το οποίο µέσα στο πρόγραµµα αντιστοιχεί σε στοιχείο ενός δισδιάστατου πίνακα), «αποθηκεύει» δυο είδη πληροφοριών. Η µια αντιστοιχεί στο δυναµικό του εν λόγω σηµείου και η δεύτερη στη «κατάστασή» του. Εάν δηλαδή το σηµείο αυτό αποτελεί µέρος του διηλεκτρικού, των ηλεκτροδίων ή του ιχνογραφήµατος. Οι πληροφορίες αυτές αποθηκεύονται σε δυο διαφορετικούς πίνακες (CA και Potential αντίστοιχα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α). Για κάθε σηµείο του πλέγµατος έχουν ορισθεί πέντε δυνατές καταστάσεις, που αντιστοιχούν στο διηλεκτρικό (1 η κατάσταση), στην άνοδο (2 η κατάσταση), στη κάθοδο (3 η κατάσταση), στον θετικό streamer (4 η κατάσταση) και στον αρνητικό streamer (5 η κατάσταση). Παρά το γεγονός ότι η εξοµοίωση αφορά τη διάσπαση διακένων κάτω από την επίδραση τάσεων θετικής πολικότητας, έχει προβλεφθεί η ύπαρξη αρνητικών streamer δεδοµένου ότι αυτοί δηµιουργούνται όταν οι θετικοί streamer πλησιάζουν την κάθοδο µε συνέπεια το ηλεκτρικό πεδίο εκεί να παίρνει αρκετά µεγάλες τιµές. Λόγω της διαφορετικής φύσης του αρνητικού streamer σε σχέση µε το θετικό, έχουν εισαχθεί διαφορετικές τιµές στη παράµετρο κάθε ένα από τους δυο µέσα στον αλγόριθµο. E th για Το δυναµικό σε κάθε σηµείο του πλέγµατος που ανήκει στο διηλεκτρικό υπολογίζεται µέσω της λύσης της εξίσωσης Laplace χρησιµοποιώντας την µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών: 2 2 ϕ ϕ + = x y (3.17) µε οριακές συνθήκες στα ηλεκτρόδια και στο ιχνογράφηµα. Για τον υπολογισµό του δυναµικού σε κάθε σηµείο του πλέγµατος µε τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών, χρησιµοποιούνται σαν αρχικές τιµές, οι τιµές του δυναµικού που προέκυψαν από την προηγούµενη επανάληψη του αλγορίθµου. Στη συνέχεια υπολογίζεται προσεγγιστικά το «τοπικό ηλεκτρικό πεδίο» ανάµεσα σε δυο σηµεία από την απλή σχέση: E ϕ = (3.18) d όπου ϕ είναι η διαφορά δυναµικού ανάµεσα στα σηµεία και d είναι η µεταξύ τους απόσταση. Με την εκκίνηση του αλγορίθµου, όλα τα σηµεία τα οποία 41

49 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων αναπαριστούν το διηλεκτρικό τίθενται στη 1 η κατάσταση (το αντίστοιχο σηµείο του πίνακα CA µέσα στο πρόγραµµα παίρνει την τιµή 1), τα σηµεία που αναπαριστούν την άνοδο τίθενται στη 2 η κατάσταση και τα σηµεία που αναπαριστούν την κάθοδο στην 3 η. Το δυναµικό των σηµείων της ανόδου παίρνει τιµές ϕ = V (t), ανάλογα µε το είδος της καταπόνησης (συνεχή, κρουστική, εναλλασσόµενη κλπ.) και το δυναµικό των σηµείων της καθόδου ϕ = 0. Η τιµή του δυναµικού κάθε σηµείου του πλέγµατος αποθηκεύεται στο αντίστοιχο στοιχείο του πίνακα Potential µέσα στο πρόγραµµα. Όταν ένα σηµείο του πλέγµατος που προηγουµένως ανήκε στο διηλεκτρικό, προστεθεί στο ιχνογράφηµα µέσω ενός δεσµού, τότε αλλάζει η κατάσταση του (από την 1 η στην 4 η ή την 5 η ανάλογα εάν ανήκει σε θετικό ή αρνητικό streamer), ενώ το δυναµικό του παίρνει τιµή: ϕ = ϕ d, (3.19) i E s όπου ϕ είναι το δυναµικό του σηµείου εκείνου του ιχνογραφήµατος µε το οποίο ενώνεται µέσω του δεσµού, E s είναι το εσωτερικό ηλεκτρικό πεδίο του streamer και d η απόσταση µεταξύ δύο σηµείων. Εναλλακτικά το δυναµικό του νέου σηµείου µπορεί να υπολογισθεί από τη σχέση: ϕ i = V0 Es L, (3.20) όπου V 0 είναι το δυναµικό της ανόδου και L το συνολικό µήκος των δεσµών που ενώνουν το σηµείο µε την άνοδο. Στο σχήµα 3.8 παρουσιάζεται το διάγραµµα ροής του προγράµµατος. Ακολουθείται η τυπική δοµή ενός αλγορίθµου γραµµένου στη γλώσσα προγραµµατισµού PASCAL. Αρχικά ορίζονται οι µεταβλητές του προγράµµατος καθώς και οι πίνακες. Στη συνέχεια ορίζονται οι διαδικασίες (procedure), κάθε µια από τις οποίες αναλαµβάνει την εκτέλεση µιας συγκεκριµένης εργασίας. Στο εν λόγο πρόγραµµα υπάρχουν δώδεκα διαδικασίες: 1. Procedure wline: Χρησιµοποιείται για τη γραφική αναπαράσταση των δεσµών του streamer. 2. Procedure rect: Χρησιµοποιείται για την γραφική αναπαράσταση των ηλεκτροδίων 42

50 Κεφάλαιο 3 ο Ανάπτυξη Νέων Στοχαστικών Μοντέλων για τη ιάσπαση ιακένων Αέρα 3. Procedure HelpString: Χρησιµοποιείται για την εµφάνιση του µενού βοηθείας. 4. Procedure Voltage: Ορίζει το δυναµικό στην άνοδο. 5. Procedure Electrode: Ορίζει τη διάταξη των ηλεκτροδίων (για παράδειγµα ακίδα-πλάκα) 6. Procedure Time_step_bond: Υπολογίζει το χρόνο δηµιουργίας κάθε υποψήφιου νέου δεσµού. 7. Procedure Time_step1: Υπολογίζει το βήµα του χρόνου. 8. Procedure Streamer_growth_criterion: Επιλέγει τα νέα σηµεία που θα προστεθούν στο ιχνογράφηµα. 9. Procedure Potential_Brief: ενηµερώνει τους πίνακες CA και Potential για τα νέα σηµεία που προστίθενται στο ιχνογράφηµα. 10. Procedure New_Potential_Brief: Ενηµερώνει τους πίνακες CA και Potential για τις αλλαγές στην τάση της ανόδου (η συγκεκριµένη διαδικασία ενεργοποιείται όταν δεν έχουµε συνεχή τάση). 11. Procedure Graphics: Συνάρτηση γραφικών του προγράµµατος. 12. Procedure Key_press: Παρέχει πλήκτρα ελέγχου της διαδικασίας. Ο πλήρης αλγόριθµος που χρησιµοποιείται για την εξοµοίωση παρατίθεται στο Παράρτηµα Α. 43

51 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Εφαρµογή της Τάσης στην Άνοδο Υπολογισµός του τοπικού Ηλεκτρικού Πεδίου µε λύση της εξίσωσης Laplace Υπολογισµός του χρόνου δηµιουργίας των δεσµών προς όλες τις πιθανές διευθύνσεις διάδοσης του ιχνογραφήµατος Υπολογισµός του βήµατος χρόνου τ ηµιουργία νέων δεσµών εάν t < τ s Έφτασε το ιχνογράφηµα στην κάθοδο; ΟΧΙ ΝΑΙ «ιάσπαση ιακένου» Τερµατισµός Εξοµοίωσης Σχήµα 3.8: ιάγραµµα ροής του προγράµµατος για την εξοµοίωση της ηλεκτρικής διάσπασης µικρών διακένων αέρα. 44

52 Κεφάλαιο 3 ο Ανάπτυξη Νέων Στοχαστικών Μοντέλων για τη ιάσπαση ιακένων Αέρα Πλεονεκτήµατα και µειονεκτήµατα του µοντέλου Κλείνοντας την παρουσίαση του στοχαστικού µοντέλου που αναπτύχθηκε για την εξοµοίωση της διάσπασης µικρών διακένων αέρα, θα γίνει αναφορά στα κυριότερα πλεονεκτήµατα και µειονεκτήµατά του τα οποία είναι τα εξής: Πλεονεκτήµατα Το µοντέλο αναπτύχθηκε εξαρχής για την µελέτη της τάσης διάσπασης U 50%. Για το λόγο αυτό ελήφθησαν υπόψη οι βασικές παράµετροι που κατά κύριο λόγο επηρεάζουν τη διάδοση του ιχνογραφήµατος και οι οποίες είναι η τιµή κατωφλίου του ηλεκτρικού πεδίου Ε th και η πτώση τάσης µέσα στο streamer Ε S. Οι δυο αυτές παράµετροι λαµβάνουν πραγµατικές τιµές και όχι αυθαίρετες όπως συνέβαινε έως τώρα στα υπόλοιπα στοχαστικά µοντέλα. Ο τρόπος υπολογισµού του βήµατος χρόνου από την σχέση 3.15 επιτρέπει τον υπολογισµό της µέσης και στιγµιαίας ταχύτητας διάδοσης του ιχνογραφήµατος (και αντιστοίχως του streamer) στο διάκενο, καθώς και τον υπολογισµό του χρόνου διάσπασης και του statistical time lag. Υπάρχει η δυνατότητα εφαρµογής στο διάκενο συνεχούς και κρουστικής τάσης, θετικής και αρνητικής πολικότητας, µε την κατάλληλη ρύθµιση των παραµέτρων του µοντέλου. Οι εξοµοιώσεις µπορούν να επεκταθούν σε οποιαδήποτε αέρια διηλεκτρικά, π.χ. SF 6, καθώς και σε διαφορετικές συνθήκες πίεσης, θερµοκρασίας και υγρασίας µε την ανάλογη πάντα µεταβολή των παραµέτρων του µοντέλου. Το στοχαστικό µοντέλο που αναπτύχθηκε στα πλαίσια της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι πιο απλό και περισσότερο ευέλικτο σε σχέση µε τα αντίστοιχα φυσικά µοντέλα. Μειονεκτήµατα Το µοντέλο χρησιµοποιεί για την εξοµοίωση της διάσπασης ένα δισδιάστατο πλέγµα σηµείων, ενώ στην πραγµατικότητα το φυσικό φαινόµενο λαµβάνει χώρα σε τρεις διαστάσεις. Η επιλογή της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας για τον υπολογισµό των χρόνων δηµιουργίας ενός νέου δεσµού είναι προς το παρόν αυθαίρετη. Κατά την ανάπτυξη του µοντέλου δεν ελήφθησαν υπόψη οι φυσικές διαδικασίες οι οποίες µπορούν σταδιακά να οδηγήσουν στην «σβέση» ενός δεσµού streamer, όταν για παράδειγµα το ηλεκτρικό πεδίο µπροστά από τον 45

53 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων streamer είναι πολύ µικρό για να συντηρήσει τον πολλαπλασιασµό των ηλεκτρονικών στοιβάδων. Συνέπεια του µειονεκτήµατος αυτού είναι η αδυναµία του µοντέλου να εξοµοιώσει την διάδοση των streamers όταν στο διάκενο εφαρµόζεται εναλλασσόµενη τάση. Η συνθήκη η οποία υιοθετήθηκε κατά την ανάπτυξη του µοντέλου, σύµφωνα µε την οποία η διάσπαση του διακένου επέρχεται µε την επαφή των streamers στην κάθοδο δεν ισχύει πάντα όπως έχει τονισθεί σε διάφορες ερευνητικές εργασίες [71-74]. Σύµφωνα µε τους συγγραφείς των συγκεκριµένων εργασιών παράµετροι όπως η αγωγιµότητα των streamers τη στιγµή που αυτοί φτάνουν στην κάθοδο και η τάση στο διάκενο την ίδια χρονική στιγµή καθορίζουν σηµαντικά την διάσπαση ή µη του διακένου. 3.5 Μοντέλο SLT (Streamer to Leader Transition) Εισαγωγή Το στοχαστικό µοντέλο SLT, το οποίο αναπτύχθηκε για την εξοµοίωση της ηλεκτρικής διάσπασης µεγάλων διακένων, υπήρξε το πρώτο µοντέλο που προέβλεπε τη συνύπαρξη δεσµών leader και streamer κατά τη διάρκεια της εξοµοίωσης. Όλα τα στοχαστικά µοντέλα που είχαν αναπτυχθεί νωρίτερα, προέβλεπαν µόνο την ύπαρξη δεσµών leader. Το γεγονός αυτό καθιστούσε αδύνατη τη χρησιµοποίηση των συγκεκριµένων µοντέλων για την αποτελεσµάτων, όπως για παράδειγµα της τάσης διασπάσεως U 50%. Η δηµιουργία του ανάστροφου κύµατος ιονισµού και η συνεπακόλουθη διάσπαση ενός διακένου επέρχεται όταν οι streamers που βρίσκονται µπροστά από την κεφαλή του leader, φτάσουν στο αντίθετο ηλεκτρόδιο. Την ίδια χρονική στιγµή, ο leader του οποίου η ταχύτητα διάδοσης είναι πολύ µικρότερη, θα έχει διασχίσει ένα µόνο τµήµα του διακένου. Συνεπώς η γεφύρωση ολόκληρου του διακένου από το ιχνογράφηµα που εξοµοιώνει την πορεία του leader χωρίς να λαµβάνονται υπόψη οι streamers (κάτι που γίνεται στα υπόλοιπα στοχαστικά µοντέλα) δεν αποτελεί σωστό κριτήριο για τη διάσπαση ή µη ενός διακένου Περιγραφή του µοντέλου Η ανάπτυξη του µοντέλου SLT, στηρίχθηκε θεωρητικά στην εργασία των Pietronero, Wiesmann [13] η οποία παρουσιάστηκε σε προηγούµενη ενότητα. Το µοντέλο προβλέπει την ύπαρξη δυο διαφορετικών δεσµών, οι οποίοι αντιστοιχούν στους streamers και τους leaders. Η διάδοση των streamers στο χώρο είναι 46

54 Κεφάλαιο 3 ο Ανάπτυξη Νέων Στοχαστικών Μοντέλων για τη ιάσπαση ιακένων Αέρα στοχαστική και η πιθανότητα δηµιουργίας ενός δεσµού είναι ανάλογη µιας τυχαίας συνάρτησης του τοπικού ηλεκτρικού πεδίου r (E). Αντίθετα η µετατροπή ενός streamer σε leader, είναι ντετερµινιστική και καθορίζεται από το τοπικό ηλεκτρικό πεδίο µέσα στο streamer και την ενέργεια που εκλύεται από τη ροή του ηλεκτρικού ρεύµατος µέσα σε αυτόν. Για λόγους απλοποίησης του µοντέλου θεωρήθηκε ο leader ως ισοδυναµικός. Αντίθετα η αγωγιµότητα των streamers θεωρήθηκε πολύ µικρή µε συνέπεια να µην επηρεάζουν την διαµόρφωση του ηλεκτρικού πεδίου στο χώρο. Έτσι οι streamers διαδίδονται στο χώρο κάτω από την επίδραση µόνο του πεδίου που δηµιουργείται από την άνοδο και από τον leader. Κατά συνέπεια ο υπολογισµός του ηλεκτρικού πεδίου γίνεται µέσω της λύσης της εξίσωσης Laplace θέτοντας οριακές συνθήκες στα ηλεκτρόδια και τους leaders αλλά όχι και στους streamers. Η εξοµοίωση ξεκινά µε τη διακριτοποίηση του διηλεκτρικού και των ηλεκτροδίων µε τη βοήθεια ενός δισδιάστατου πλέγµατος σηµείων. Ακολουθεί η εφαρµογή της τάσης στο διάκενο (τα σηµεία της ανόδου παίρνουν τιµή φ=v 0 και της καθόδου φ=0) ενώ ο υπολογισµός του δυναµικού στα υπόλοιπα σηµεία γίνεται µε την λύση της εξίσωσης Laplace (σχήµα 3.9α). Για όλες τις πιθανές διευθύνσεις διάδοσης του ιχνογραφήµατος (σχήµα 3.9β) ακολουθεί ο υπολογισµός του τοπικού ηλεκτρικού πεδίου από τη σχέση 3.18 και στη συνέχεια δηµιουργούνται οι πρώτοι δεσµοί streamer βάση των στοχαστικών κριτηρίων δηµιουργίας τέτοιου τύπου δεσµών του µοντέλου (σχήµα 3.9γ). Αµέσως µετά τη δηµιουργία των πρώτων δεσµών streamer το πρόγραµµα ελέγχει για το εάν πληρούνται οι προϋποθέσεις µετατροπής κάποιων δεσµών τύπου streamer σε leaders. Εάν σε κάποιο δεδοµένο βήµα χρόνου οι προϋποθέσεις πληρούνται τότε ένας ή περισσότεροι δεσµοί τύπου streamer µετατρέπονται σε leaders (σχήµα 3.9δ). Η µετατροπή αυτή γίνεται εµφανής στο χρήστη του προγράµµατος µέσω της αλλαγής χρώµατος των συγκεκριµένων δεσµών ενώ ταυτόχρονα αλλάζουν και τα στοιχεία που χαρακτηρίζουν τα σηµεία των δεσµών (αλλαγή κατάστασης και δυναµικού ενότητα 3.5.4). Η εξοµοίωση συνεχίζεται µέχρι οι δεσµοί τύπου streamer του ιχνογραφήµατος (οι οποίοι προηγούνται) να φτάσουν στη κάθοδο. Στη περίπτωση αυτή θεωρείται ότι συµβαίνει διάσπαση του διακένου (σχήµα 3.9ε). 47

55 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Σχήµα 3.9: Κριτήριο δηµιουργίας δεσµών streamer FFC, g=0.1, Ε*=1. α) ιακριτοποίηση του διηλεκτρικού και των ηλεκτροδίων. β) Πιθανές διευθύνσεις διάδοσης του ιχνογραφήµατος από την άκρη του ηλεκτροδίου. γ) ηµιουργία δεσµών τύπου streamer στο διάκενο. δ) ηµιουργία δεσµών τύπου leader (κίτρινο χρώµα) στο διάκενο. ε) Γεφύρωση του διακένου από το ιχνογράφηµα. 48

56 Κεφάλαιο 3 ο Ανάπτυξη Νέων Στοχαστικών Μοντέλων για τη ιάσπαση ιακένων Αέρα ηµιουργία ενός δεσµού Streamer Για την δηµιουργία ενός δεσµού τύπου streamer, χρησιµοποιήθηκαν δυο διαφορετικά στοχαστικά µοντέλα τα οποία ανήκουν στη κατηγορία των multielement models, τα FFC [27] (Field Fluctuation Criterion) και MESTL [29] (Multi Element Stochastic Time Lag). Για την ανάπτυξη των µοντέλων αυτών θεωρήθηκε ότι η δηµιουργία ενός δεσµού είναι µια διαδικασία Poisson. Με βάση τη προϋπόθεση αυτή ισχύουν τα εξής: 1. Το τυχαίο γεγονός της δηµιουργίας ενός δεσµού δεν εξαρτάται από τη δηµιουργία άλλων δεσµών στο ίδιο βήµα του χρόνου. 2. Η πιθανότητα για τη δηµιουργία ενός νέου δεσµού σε κάποια χρονική στιγµή t είναι ανεξάρτητη από τα γεγονότα που συνέβησαν πριν από τη χρονική αυτή στιγµή. 3. Η πιθανότητα για τη δηµιουργία ενός δεσµού µέσα σε ένα µικρό χρονικό διάστηµα t (όπου t << τ ) δίνεται από την σχέση p = r( E) t. Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Poisson από την θεωρία των στοχαστικών διαδικασιών, προκύπτει η ακόλουθη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για τη δηµιουργία ενός δεσµού : r( E) t P( t) = r( E) e (3.21) Από τη σχέση 3.21 προκύπτει ότι σε κάθε βήµα χρόνου τ το ιχνογράφηµα µπορεί να διασχίσει µια απόσταση h µε µια πιθανότητα: r( E) τ p ( E) = 1 e (3.22) ή να παραµείνει στάσιµο µε µια πιθανότητα 1 p( E). Συµβολίζουµε εδώ µε h την απόσταση µεταξύ δύο σηµείων του πλέγµατος. Συνεπώς, η µέση ταχύτητα διάδοσης των δεσµών τύπου streamer του ιχνογραφήµατος θα δίνεται από τη σχέση: u h p(e) = (3.23) τ 49

57 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων θεωρώντας ότι το ηλεκτρικό πεδίο µπροστά από τη κεφαλή του streamer ισούται µε E. Όταν η τιµή του ηλεκτρικού πεδίου είναι µικρή, η πιθανότητα της δηµιουργίας ενός καινούργιου δεσµού (σχέση 3.22) είναι επίσης µικρή και δίνεται προσεγγιστικά από τη σχέση: p ( E) r( E) τ (3.24) Στη περίπτωση αυτή η µέση ταχύτητα διάδοσης του ιχνογραφήµατος γίνεται: u = h r(e) (3.25) Από τη σχέση 3.25 προκύπτει ότι η συνάρτηση r(e) συνδέεται στενά µε τη µέση ταχύτητα διάδοσης της κεφαλής του streamer, για µια ορισµένη τιµή του τοπικού ηλεκτρικού πεδίου E. Ας θεωρήσουµε τώρα το πρώτο µοντέλο το οποίο χρησιµοποιήθηκε για τη δηµιουργία ενός δεσµού streamer, το λεγόµενο FFC (Field Fluctuation Criterion). Σύµφωνα µε το µοντέλο αυτό, ένας νέος δεσµός δηµιουργείται κατά τη διάρκεια ενός συγκεκριµένου βήµατος χρόνου, εάν ισχύει: E i > E * δ (3.26) όπου E i είναι το τοπικό ηλεκτρικό πεδίο (µονάδες kv/cm), E * είναι µια παράµετρος που εξαρτάται από τη φύση του διηλεκτρικού και αντιστοιχεί στη διηλεκτρική του αντοχή (µονάδες kv/cm), ενώ η τυχαία µεταβλητή δ (µονάδες kv/cm) θεωρείται ότι λαµβάνει υπόψη όλους εκείνους τους τυχαίους παράγοντες, οι οποίοι µπορούν να επηρεάσουν τη διεύθυνση διάδοσης του streamer, όπως οι εξωτερικές συνθήκες πίεσης, θερµοκρασίας και υγρασίας, οι ανοµοιογένειες του διηλεκτρικού, η δηµιουργία πληθυσµού ηλεκτρονίων από αρχικό ιονισµό κλπ. Θεωρώντας έναν υποψήφιο προς δηµιουργία δεσµό µέσα σε ένα συγκεκριµένο βήµα χρόνου τ και υποθέτοντας ότι το τοπικό ηλεκτρικό πεδίο E i είναι µικρότερο από το E *, τότε η πιθανότητα ο δεσµός αυτός να δηµιουργηθεί µέσα σε χρόνο t < τ δίνεται από τη σχέση: 50

58 Κεφάλαιο 3 ο Ανάπτυξη Νέων Στοχαστικών Μοντέλων για τη ιάσπαση ιακένων Αέρα f E* E p( E) = ( δ ) dδ (3.27) όπου f (δ ) είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής δ. Η µορφή της συνάρτησης f (δ ) µπορεί να προσδιοριστεί από τη σχέση 3.23 χρησιµοποιώντας πειραµατικά δεδοµένα που αφορούν την εξάρτηση της µέσης ταχύτητας διάδοσης του streamer από το ηλεκτρικό πεδίο. Εξισώνοντας τις σχέσεις 3.22 και 3.27 µπορούµε να υπολογίσουµε την τιµή του βήµατος χρόνου τ. Το βήµα χρόνου στη περίπτωση αυτή αποτελεί συνάρτηση των r (E) και f (δ ) : E* E 1 τ = ln(1 f ( δ ) dδ ) (3.28) r( E) Εάν για κάθε τιµή της τυχαίας µεταβλητής δ αντιστοιχεί και ένας διαφορετικός χρόνος δηµιουργίας ενός νέου δεσµού τότε όλες οι τιµές της τυχαίας µεταβλητής δ για τις οποίες θα ισχύει νέων δεσµών µικρότερων από το βήµα του χρόνου δ > E * E θα αντιστοιχούν σε χρόνους δηµιουργίας t < τ. Αντιθέτως εάν ισχύει δ < E * E τότε ο νέος δεσµός θα πρέπει να δηµιουργηθεί σε χρόνο µεγαλύτερο από το βήµα χρόνου, t > τ. Τέλος εάν ισχύει δ E E τότε θα είναι t = τ. = * Με βάση τον παραπάνω συλλογισµό η σχέση ανάµεσα στη τυχαία χρονική στιγµή δηµιουργίας ενός νέου δεσµού και στη τυχαία µεταβλητή δ είναι η εξής: δ t 1 = ln(1 f ( δ ) dδ ) r( E) (3.29) εδοµένου ότι η δηµιουργία ενός δεσµού θεωρήθηκε ως διαδικασία Poisson η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι εκθετικής µορφής: exp( δ g) f ( δ ) = (3.30) g Στη πράξη η τυχαία µεταβλητή δ δίνεται από τη σχέση δ = g ln(ξ ), όπου g είναι µέση τιµή της τυχαίας µεταβλητής και ξ είναι ένας τυχαίος αριθµός, 51

59 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων οµοιόµορφα κατανεµηµένος στο διάστηµα [0, 1], ο οποίος παράγεται εύκολα από τη γεννήτρια τυχαίων αριθµών που υπάρχει ενσωµατωµένη στη γλώσσα προγραµµατισµού PASCAL. Όπως προκύπτει από τις σχέσεις 3.23 και 3.27 η µέση ταχύτητα διάδοσης του ιχνογραφήµατος θα δίνεται από τη σχέση: u( E) = A exp( E ) (3.31) g όπου h E A = exp( * ) (3.32) τ g Από τα παραπάνω προκύπτει ότι για το µοντέλο FFC ο χρόνος δηµιουργίας ενός δεσµού είναι ίσος µε : t i ln(1 exp( δ i g)) = (3.33) r( E ) i όπου η r (E) προκύπτει από τις σχέσεις 3.28 και 3.30: 1 ( E* E) r( E) = ln(1 exp( ) (3.34) τ g Με βάση την ανάλυση αυτή προκύπτει ότι το κριτήριο της σχέσης 3.26 είναι πρακτικά ισοδύναµο µε τα στοχαστικά κριτήρια στα οποία ένας νέος δεσµός προστίθεται στο ιχνογράφηµα όταν ο χρόνος δηµιουργίας του είναι µικρότερος από το βήµα του χρόνου t i < τ (Μοντέλο Biller, MESTL). Το δεύτερο µοντέλο που χρησιµοποιήθηκε για την εξοµοίωση της διάδοσης των streamers ήταν το Multi-Element Stochastic Time Lag (MESTL). Στο µοντέλο MESTL το βήµα του χρόνου είναι σταθερό και ορίζεται στην αρχή της εξοµοίωσης. Για κάθε υποψήφιο προς δηµιουργία δεσµό υπολογίζεται ο απαραίτητος χρόνος δηµιουργίας από τη σχέση: lnξi ti = (3.35) r( E ) i 52

60 Κεφάλαιο 3 ο Ανάπτυξη Νέων Στοχαστικών Μοντέλων για τη ιάσπαση ιακένων Αέρα Στη συνέχεια δηµιουργούνται όσοι υποψήφιοι δεσµοί έχουν χρόνο δηµιουργίας µικρότερο από το βήµα του χρόνου t < τ. Η συνάρτηση r (E) σε αντίθεση µε το i µοντέλο FFC µπορεί να έχει οποιαδήποτε µορφή. Στη πράξη τα µοντέλα FFC και MESTL είναι ισοδύναµα όπως προκύπτει από τη σύγκριση των σχέσεων 3.33 και Μετατροπή ενός δεσµού streamer σε leader Από τη στιγµή που θα δηµιουργηθεί ένας καινούργιος δεσµός streamer ξεκινά και η διαδικασία για τη µετατροπή του σε δεσµό leader. Το φυσικό φαινόµενο της µετατροπής ενός streamer σε leader είναι αναµφισβήτητα πολύπλοκο, και οι διάφορες θεωρίες που έχουν µέχρι τώρα διατυπωθεί δεν έχουν δώσει µια απόλυτα πειστική εξήγηση. Στο στοχαστικό µοντέλο που παρουσιάζεται στη παρούσα ενότητα, χρησιµοποιήσαµε µια απλοποιηµένη προσέγγιση η οποία βασίζεται στον «υπολογισµό» της ενέργειας που εκλύεται σε ένα δεσµό streamer λόγω της ροής ενός υποθετικού ηλεκτρικού ρεύµατος µέσα σε αυτόν. Θεωρήθηκε ότι κάθε δεσµός streamer έχει ένα µήκος h (ίσο µε την απόσταση ανάµεσα σε δυο σηµεία του πλέγµατος), µια υποθετική διατοµή S, και µια πολύ µικρή αγωγιµότητα σ. Εάν θεωρήσουµε τον πρώτο νόµο της θερµοδυναµικής και θεωρήσουµε ότι η ακτίνα του streamer παραµένει σταθερή (δηλαδή ο όγκος του πλάσµατος είναι αµετάβλητος τότε προκύπτει ότι όλη η ενέργεια που εκλύεται από τη ροή του ρεύµατος µέσα στο streamer αποθηκεύεται κυρίως µε τη µορφή δονητικής και κινητικής ενέργειας των µορίων Ν 2 : dε dv dε dε + p = j E = j E = σ E dt dt dt dt 2 (3.36) όπου ε είναι η αποθηκευόµενη ενέργεια (εσωτερική ενέργεια του πλάσµατος), j είναι η πυκνότητα του ρεύµατος και E είναι το ηλεκτρικό πεδίο µέσα στο streamer. Η εξίσωση 3.36 ισχύει κατά προσέγγιση κατά τη περίοδο µετάβασης από streamer σε leader, όταν η ηλεκτρονική θερµοκρασία T e είναι περίπου ίση µε τη θερµοκρασία των ουδέτερων σωµατίων Τα. Εάν θεωρήσουµε ότι η αγωγιµότητα του πλάσµατος είναι γραµµική συνάρτηση της εσωτερικής ενέργειας ε = g(σ ) [24] τότε η εξίσωση 3.36 γίνεται: 53

61 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων dg( σ ) dσ = σ E dσ dt 2 (3.37) Θεωρώντας ότι η σχέση µεταξύ της εσωτερικής ενέργειας του πλάσµατος και της αγωγιµότητάς του δίνεται κατά προσέγγιση από µια σχέση της µορφής [24], τότε η εξίσωση 3.37 µετατρέπεται ως εξής: σ = γ ε dg( σ ) dσ = σ E dσ dt dσ γ σ E dt 2 2 = 0 σ = σ e d( 1 σ ) γ dσ = σ E dσ dt 0 t 2 γ E dt dσ = σ E γ dt σ = σ exp( z), o 2 z = γ t 0 E 2 dt (3.38) Η κύρια ιδέα για την ανάπτυξη του συγκεκριµένου µοντέλου είναι ότι θεωρούµε την εξάρτηση της αγωγιµότητας από την ποσότητα z βηµατική. Εάν δηλαδή ισχύει t 2 E( t) dt < W* (3.39) 0 όπου W * είναι µια ορισµένη ποσότητα εκλυόµενης ενέργειας, η αγωγιµότητα του εν λόγω δεσµού παραµένει πολύ µικρή. Στην αντίθετη περίπτωση η αγωγιµότητα του δεσµού γίνεται πολύ µεγάλη, ο δεσµός µετατρέπεται από streamer σε leader και θεωρείται ισοδυναµικός. Στην πράξη η ενέργεια που εκλύεται από τη ροή του ρεύµατος µέσα σε ένα δεσµό σε ένα ορισµένο χρονικό διάστηµα υπολογίστηκε από την σχέση: W i t = h S σ E( t) dt (3.40) ti 2 όπου t i είναι η χρονική στιγµή κατά την οποία δηµιουργήθηκε ο εν λόγω δεσµός ενώ το ηλεκτρικό πεδίο Ε υπολογίζεται από τη σχέση Εάν η ενέργεια η οποία εκλύεται είναι µεγαλύτερη από µια συγκεκριµένη τιµή κατωφλίου τότε ο δεσµός streamer µετατρέπεται σε leader. Το κριτήριο συνεπώς για τη µετατροπή ενός δεσµού από streamer σε leader είναι το εξής: 54

62 Κεφάλαιο 3 ο Ανάπτυξη Νέων Στοχαστικών Μοντέλων για τη ιάσπαση ιακένων Αέρα t B * 2 Ei ( t) dt > W (3.41) ti όπου W * είναι η κρίσιµη τιµή κατωφλίου για την ενέργεια και φορές είναι πιο βολικό να χρησιµοποιούµε την παράµετρο B = h S σ. Πολλές w * = W* B. Κατ αυτό τον τρόπο νέοι δεσµοί leader δηµιουργούνται µετά από ένα ορισµένο χρονικό διάστηµα, το οποίο εξαρτάται από το ηλεκτρικό πεδίο µέσα στο streamer και κατά συνέπεια από την εφαρµοζόµενη τάση στο διάκενο. Το χρονικό αυτό διάστηµα συνήθως περιλαµβάνει αρκετά βήµατα χρόνου. Εάν θέσουµε w * = 0 τότε έχουµε µετατροπή του δεσµού κατά τη διάρκεια του ίδιου βήµατος χρόνου και το µοντέλο µας συµπίπτει µε τα υπόλοιπα στοχαστικά µοντέλα που προβλέπουν µόνο την ύπαρξη δεσµών τύπου leader. Θα πρέπει εδώ να τονιστεί ότι δεν ελήφθη υπόψη η παρουσία φυσικών διαδικασιών ανταγωνιστικών προς τη διαδικασία µετατροπής ενός streamer σε leader, όπως για παράδειγµα η εκποµπή φωτός, η αύξηση της διαµέτρου του streamer (hydrodynamic expansion) κλπ οι οποίες καταναλώνουν ένα µέρος της εισερχόµενης ενέργειας. Προκειµένου να ληφθούν «ποιοτικά» υπόψη οι παραπάνω παράγοντες εισήχθη µια ελάχιστη τιµή κατωφλίου στη τιµή του ηλεκτρικού πεδίου µέσα στο streamer, πάνω από την οποία έχει ισχύ η σχέση Στην αντίθετη περίπτωση θεωρείται ότι το ηλεκτρικό πεδίο και κατά συνέπεια το ρεύµα που ρέει µέσα στο δεσµό δεν είναι αρκετό για τη µετατροπή του από streamer σε leader Περιγραφή του αλγορίθµου Για τις ανάγκες της εξοµοίωσης χρησιµοποιήθηκε ένα δισδιάστατο πλέγµα σηµείων, στο οποίο αναπαρίστανται το ηλεκτρόδια, το διηλεκτρικό, οι streamers και οι leaders. Η διάταξη των ηλεκτροδίων σε όλες τις εξοµοιώσεις ήταν τύπου ακίδας-πλάκας, µε την ακίδα να βρίσκεται σε δυναµικό ϕ = V0 και την πλάκα σε δυναµικό ϕ = 0. Οι διαστάσεις του πλέγµατος µπορούν να φτάσουν τα σηµεία και το ηλεκτρικό δυναµικό σε κάθε σηµείο του πλέγµατος υπολογίζεται µέσω της επίλυσης της εξίσωσης Laplace µε οριακές συνθήκες στα ηλεκτρόδια και τον leader. Για τον υπολογισµό του δυναµικού κατά τη διάρκεια ενός βήµατος χρόνου, χρησιµοποιούνται ως αρχικές τιµές στην επαναληπτική διαδικασία οι τιµές του δυναµικού στο προηγούµενο βήµα, µια και αυτές δεν 55

63 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων διαφέρουν πολύ µεταξύ τους. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα µια σηµαντική µείωση του απαιτούµενου υπολογιστικού χρόνου. Όπως και στη περίπτωση του στοχαστικού µοντέλου που παρουσιάζεται στην ενότητα 3.4, σε κάθε σηµείο του πλέγµατος αποθηκεύονται πληροφορίες, οι οποίες στη συγκεκριµένη περίπτωση αφορούν την «κατάσταση» κάθε σηµείου, το δυναµικό του καθώς και την ενέργεια που έχει απελευθερωθεί µέχρι εκείνη τη στιγµή λόγω της ροής του ρεύµατος. Οι πληροφορίες αυτές αποθηκεύονται σε αντίστοιχους πίνακες στον αλγόριθµο. Ορίστηκαν έξη δυνατές καταστάσεις για τα σηµεία του πλέγµατος, οι οποίες αντιστοιχούν στο διηλεκτρικό ( S 0 ), στον streamer ( S 1 ), στους ανερχόµενο και κατερχόµενο leader, ( S 2, S3 αντίστοιχα), στην άνοδο ( S 4 ) και την κάθοδο ( S 5 ). Σε κάθε βήµα του χρόνου το δυναµικό των σηµείων που ανήκουν στο διηλεκτρικό ( S 0 ) και τους streamer ( S 1 ) υπολογίζεται χρησιµοποιώντας τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών που στην πιο απλή της µορφή είναι η εξής: ϕi, j+ 1 + ϕi, j 1 + ϕi+ 1, j + ϕi 1, j ϕ i, j = (3.42) 4 Στη πράξη χρησιµοποιείται µια άλλη σχέση η οποία εξασφαλίζει µεγαλύτερη ταχύτητα σύγκλισης και καλύτερη σταθερότητα (χρησιµοποιείται και στα υπόλοιπα στοχαστικά µοντέλα που παρουσιάζονται στο κεφάλαιο αυτό) και είναι η εξής: ϕi, j+ 1 + ϕi, j 1 + ϕi+ 1, j + ϕi 1, j ϕ i, j = ( 1 + a ) a ϕi, j (3.43) 4 Όπου ϕ i, j είναι το δυναµικό του σηµείου στο προηγούµενο βήµα του χρόνου και α=0,9. Ταυτόχρονα τα δυναµικά των σηµείων που ανήκουν στην κάθοδο και στον ανερχόµενο leader παίρνουν την τιµή µηδέν, ενώ τα δυναµικά των σηµείων που ανήκουν στην άνοδο και τον κατερχόµενο leader παίρνουν την τιµή ϕ = V0. Το γεγονός αυτό απλοποιεί σηµαντικά τον αλγόριθµο και έτσι η λύση της εξίσωσης Laplace µε τη βοήθεια της γλώσσας προγραµµατισµού PASCAL γίνεται ως εξής: 56

64 Κεφάλαιο 3 ο Ανάπτυξη Νέων Στοχαστικών Μοντέλων για τη ιάσπαση ιακένων Αέρα Case S[I, J] of 0, 1: F[I, J]:= (1+a)*0.25*(F[I, J+1]+F[I, J-1]+F[I+1, J]+F[I-1, J])- a*f [I, J]; 2, 4: F[I, J]:=F 0 ; 3, 5: F[I, J]:=0; END; Όπου F(i,j) είναι ο πίνακας στα στοιχεία του οποίου αποθηκεύονται οι τιµές του δυναµικού των σηµείων του πλέγµατος. Σε κάθε βήµα χρόνου, νέοι δεσµοί streamer δηµιουργούνται, ενώ ταυτόχρονα κάποιοι από τους ήδη υπάρχοντες µπορεί να µετατραπούν σε leaders. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται µέχρι το ιχνογράφηµα να φτάσει στο αντίθετο ηλεκτρόδιο. Προβλέπονται οκτώ δυνατές διευθύνσεις διάδοσης του streamer συµπεριλαµβανοµένων και των διαγωνίων. Η µέση ταχύτητα των τελευταίων (όπως προκύπτει από τη σχέση 3.23) είναι: u 2 h p( E) = (3.44) τ η οποία είναι µεγαλύτερη κατά 2 σε σχέση µε τη µέση ταχύτητα των υπολοίπων διευθύνσεων διάδοσης για την ίδια τιµή του τοπικού ηλεκτρικού πεδίου. Προκειµένου να εξασφαλίσουµε την ίδια ταχύτητα προς όλες τις διευθύνσεις εισάγουµε στον αλγόριθµο την εξής διαδικασία. Καθυστερούµε τη δηµιουργία του διαγώνιου δεσµού µέχρι το επόµενο βήµα του χρόνου, χρησιµοποιώντας µια συγκεκριµένη πιθανότητα p. Στη περίπτωση αυτή, ένας νέος δεσµός µήκους 2 h µπορεί να δηµιουργηθεί έχοντας την ίδια πιθανότητα p (E) µε έναν άλλο µη διαγώνιο δεσµό, όχι όµως απαραίτητα στο τρέχον βήµα του χρόνου. Μπορεί να δηµιουργηθεί στο τρέχον βήµα του χρόνου µε µια πιθανότητα ( 1 p ) ή να δηµιουργηθεί στο επόµενο βήµα του χρόνου (συνολικά µέσα σε χρόνο 2 τ ) µε πιθανότητα p. Έτσι η ταχύτητα του streamer όταν αυτός διαδίδεται διαγώνια δίνεται από τη σχέση: u 2 h 2 h = [ (1 p ) + p ] p( E) τ 2 τ (3.45) Η παραπάνω σχέση που δίνει τη µέση ταχύτητα του streamer κατά τη διαγώνια διεύθυνση είναι ισοδύναµη µε την σχέση 3.44 όταν ισχύει p = 2 2 = 0, 586. Χρησιµοποιώντας τη τεχνική αυτή εξασφαλίζεται ότι η ταχύτητα διάδοσης του streamer θα είναι η ίδια προς όλες τις διευθύνσεις, όταν το τοπικό ηλεκτρικό 57

65 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων πεδίο είναι το ίδιο. Η τεχνική που µόλις περιγράψαµε µπορεί να γίνει πιο κατανοητή µε ένα παράδειγµα. Παράδειγµα 3.1 Ας υποθέσουµε ότι το τοπικό ηλεκτρικό πεδίο µεταξύ δυο διαγώνιων σηµείων είναι µεγαλύτερο από την ποσότητα E * δ. Αυτό σηµαίνει ότι θα πρέπει να δηµιουργηθεί ένας δεσµός µεταξύ των σηµείων αυτών. Επειδή όµως είναι διαγώνιος πρέπει να εξεταστεί εάν θα δηµιουργηθεί στο τρέχον βήµα του χρόνου ή στο επόµενο βάσει της πιθανότητας p = 0, 586. Για το σκοπό αυτό δηµιουργείται από την εσωτερική γεννήτρια της PASCAL ένας τυχαίος αριθµός (οµοιόµορφα κατανεµηµένος µεταξύ 0 και 1) και συγκρίνεται µε το p. Εάν είναι µεγαλύτερος τότε ο δεσµός δηµιουργείται αµέσως. Στην αντίθετη περίπτωση καθυστερεί η δηµιουργία του για το επόµενο βήµα του χρόνου. Αυτό γίνεται ορίζοντας άλλη µια δυνατή κατάσταση για τα σηµεία του πλέγµατος (S 6). Η κατάσταση αυτή δείχνει τα σηµεία τα οποία θα προστεθούν στο ιχνογράφηµα στην επόµενη επανάληψη του προγράµµατος Πλεονεκτήµατα και µειονεκτήµατα του µοντέλου Τα κυριότερα πλεονεκτήµατα και µειονεκτήµατα του µοντέλου SLT το οποίο παρουσιάστηκε στις προηγούµενες παραγράφους είναι τα εξής: Πλεονεκτήµατα Για πρώτη φορά σε ένα στοχαστικό µοντέλο γίνεται παράλληλη εξοµοίωση της διάδοσης των streamers και των leaders. Το µοντέλο είναι απλό και περιλαµβάνει λίγες παραµέτρους, οι οποίες µπορούν να ρυθµιστούν σχετικά εύκολα. Υπάρχει η δυνατότητα εφαρµογής στο διάκενο, συνεχούς και κρουστικής τάσης, θετικής ή αρνητικής πολικότητας, µε κατάλληλη ρύθµιση των παραµέτρων. Μειονεκτήµατα Οι παράµετροι του µοντέλου παίρνουν µόνο αυθαίρετες τιµές. Το γεγονός αυτό έχει ως συνέπεια να µην είναι δυνατή η εξαγωγή ουσιαστικών αποτελεσµάτων σχετικά µε την τάση διάσπασης, την τυπική απόκλιση κλπ. Για λόγους απλοποίησης του µοντέλου, θεωρήθηκε η πτώση τάσης στον leader ως µηδενική και στον streamer πολύ µεγάλη. Για το λόγο αυτό ο 58

66 Κεφάλαιο 3 ο Ανάπτυξη Νέων Στοχαστικών Μοντέλων για τη ιάσπαση ιακένων Αέρα streamer διαδίδεται στον χώρο υπό την επίδραση του πεδίου που δηµιουργείται µόνο από την άνοδο και τον leader. 3.6 Μοντέλο SLP (Streamer Leader Propagation) Εισαγωγή Το µοντέλο SLT το οποίο αναπτύχθηκε στη προηγούµενη ενότητα, υπήρξε το πρώτο στοχαστικό µοντέλο, στο οποίο γινόταν ταυτόχρονη εξοµοίωση τόσο των streamer όσο και των leader. Παρά το γεγονός ότι δεν κατάφερε λόγω των µειονεκτηµάτων τους να χρησιµοποιηθεί για πρακτικούς σκοπούς, απετέλεσε τη βάση για την ανάπτυξη και εξέλιξη άλλων στοχαστικών µοντέλων, τα οποία έχουν τη δυνατότητα αυτή. Το µοντέλο SLP το οποίο παρουσιάζεται στην ενότητα αυτή, στηρίχθηκε στη γενική ιδέα της παράλληλης εξοµοίωσης των streamers και των leaders όπως αυτή εισήχθη στο µοντέλο SLT, αλλά από το σηµείο αυτό και έπειτα ακολούθησε µια τελείως διαφορετική λογική, τόσο στη θεωρητική βάση όσο και στη διάρθρωση του αλγορίθµου. Το µοντέλο στηρίχθηκε θεωρητικά στις εργασίες [63, 67-69] που αφορούν την ανάπτυξη φυσικών µοντέλων για την εξοµοίωση της διάσπασης µεγάλων διακένων καθώς και σε άλλες πηγές της διεθνούς βιβλιογραφίας π.χ. στις [47-48]. Σύµφωνα µε τις πηγές αυτές, το ρεύµα που ρέει µέσα σε ένα streamer δεν είναι από µόνο του ικανό να απελευθερώσει τόση θερµική ενέργεια ώστε να λάβει χώρα η φυσική διαδικασία δηµιουργίας ενός leader. Κάτι τέτοιο µπορεί να γίνει µόνο στη βάση της κορόνα όπου συγκεντρώνεται το ρεύµα του συνόλου των streamers, η οποία ονοµάζεται stem. Με βάση τις παραπάνω διαπιστώσεις άλλαξε συνολικά η λογική ανάπτυξης του µοντέλου SLP. Σε αντίθεση µε το SLT όπου σε κάθε βήµα του χρόνου κάποιος ή κάποιοι δεσµοί streamer µπορεί να µετατραπούν σε leader (σύµφωνα µε την υπόθεση των Pietronero Wiesmann), το µοντέλο SLP αποτελείται ουσιαστικά από δυο αυτόνοµα στοχαστικά µοντέλα. Το πρώτο αφορά την εξοµοίωση της διάδοσης των streamers στο χώρο και το δεύτερο την εξοµοίωση της διάδοσης των leaders. Με δεδοµένο ότι κατά τη διάσπαση ενός µεγάλου διακένου οι streamers και οι leaders διαδίδονται αποτελώντας ένα ενιαίο σύνολο (streamer-leader system), τα δυο αυτά µοντέλα αλληλεπιδρούν µεταξύ τους. Πιο συγκεκριµένα, στο στοχαστικό µοντέλο εξοµοίωσης της διάδοσης των streamers, ο leader 59

67 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων λαµβάνεται υπόψη ως προέκταση της ανόδου δηµιουργώντας στο άκρο του ένα ισχυρό ηλεκτρικό πεδίο για την ανάπτυξη νέων streamers, ενώ ταυτόχρονα στο στοχαστικό µοντέλο εξοµοίωσης της διάδοσης του leader, οι streamers ορίζουν την περιοχή µέσα στην οποία µπορεί να διαδοθεί ο leader. Κάθε µοντέλο έχει τις δικές του παραµέτρους, τους δικούς του στοχαστικούς κανόνες και διαφορετικά βήµατα χρόνου, στοιχείο αναγκαίο λόγω των διαφορετικών ταχυτήτων διάδοσης των streamers και leaders. Το µεγάλο πλεονέκτηµα του µοντέλου είναι η δυνατότητά του να εξοµοιώνει την ηλεκτρική διάσπαση κάθε διακένου, του οποίου το µήκος είναι µεγαλύτερο από 5 περίπου εκατοστά. Το µεγάλο εύρος της εφαρµογής του µοντέλου οφείλεται στην παράλληλη εξοµοίωση της διάδοσης τόσο των streamers όσο και των leaders. Το µοντέλο παρουσιάζεται αναλυτικά στις επόµενες παραγράφους Ανάλυση του µοντέλου Όπως έχει ήδη αναφερθεί το µοντέλο αποτελείται από το συνδυασµό δυο στοχαστικών µοντέλων, ένα για την εξοµοίωση της διάδοσης των streamers και ένα για την εξοµοίωση της διάδοσης των leaders. Χάρη στη διάρθρωση του προγράµµατος, οποιοδήποτε στοχαστικό µοντέλο που έχει µέχρι τώρα αναπτυχθεί, µπορεί να χρησιµοποιηθεί στην εξοµοίωση. Στη συγκεκριµένη περίπτωση, για τους µεν streamers χρησιµοποιήθηκε το µοντέλο που περιγράφεται στην ενότητα 3.4, για δε τους leaders χρησιµοποιείται το µοντέλο Wiesmann-Zeller. εδοµένου ότι τα µοντέλα αυτά έχουν ήδη αναπτυχθεί σε προηγούµενες ενότητες, έχει µεγαλύτερο ενδιαφέρον να αναλυθεί ο αλγόριθµος και ο τρόπος που αλληλεπιδρούν µεταξύ τους τα µοντέλα αυτά Περιγραφή του αλγορίθµου Μπορεί να καταλάβει κανείς τη λειτουργία του αλγορίθµου εάν φανταστεί ότι αποτελείται από δυο ανεξάρτητα προγράµµατα (ένα για την εξοµοίωση της διάδοσης των streamers και ένα για την εξοµοίωση της διάδοσης των leaders), τα οποία «τρέχουν» σε διαφορετικούς υπολογιστές. Τα δυο αυτά προγράµµατα ανταλλάσσουν πληροφορίες µεταξύ τους και τα αποτελέσµατά τους προβάλλονται στην ίδια οθόνη. Κάτι τέτοιο φαίνεται στο σχήµα Κάθε ένα από τα δυο αυτά προγράµµατα έχει το δικό του βήµα του χρόνου, λόγω των διαφορετικών ταχυτήτων διάδοσης των streamers και των leaders. Θεωρώντας 60

68 Κεφάλαιο 3 ο Ανάπτυξη Νέων Στοχαστικών Μοντέλων για τη ιάσπαση ιακένων Αέρα ως µέση ταχύτητα του streamer 10 8 cm sec και του leader 10 6 cm sec το βήµα του χρόνου στην εξοµοίωση του streamer είναι περίπου 100 φορές µικρότερο από αυτό του leader. Για να συντονίζεται η λειτουργία των δυο προγραµµάτων έχει Εξοµοίωση Streamer Ανταλλαγή πληροφοριών Εξοµοίωση Leader Σχήµα 3.10: Σχηµατική αναπαράσταση του τρόπου λειτουργίας του αλγορίθµου προβλεφθεί η ύπαρξη ενός κοινού µετρητή χρόνου. Με την εκκίνηση της εξοµοίωσης γίνεται υπολογισµός του ηλεκτρικού πεδίου από το πρόγραµµα εξοµοίωσης της διάδοσης των streamers (1 ο πρόγραµµα) και στη συνέχεια διάδοση του ιχνογραφήµατος στο χώρο βάση των στοχαστικών κανόνων του µοντέλου (σχήµα 3.11α). Σε κάθε επανάληψη του προγράµµατος γίνεται υπολογισµός του βήµατος χρόνου και στο τέλος κάθε επανάληψης το βήµα του χρόνου προστίθεται στον κοινό µετρητή. Όταν ο χρόνος που µετρά ο κοινός µετρητής γίνει µεγαλύτερος ή ίσος µε το βήµα χρόνου του προγράµµατος εξοµοίωσης leader (το οποίο είναι σταθερό, έχει οριστεί εξαρχής και είναι ίσο µε τ = h 10 6 sec ), δίνεται εντολή για την εκκίνηση του δεύτερου προγράµµατος. Ακολουθεί εκ νέου υπολογισµός του ηλεκτρικού πεδίου, χωρίς να λαµβάνονται υπόψη οι streamers και µε βάση τους στοχαστικούς κανόνες δηµιουργούνται οι νέοι δεσµοί leaders (σχήµα 3.11β). Η παραδοχή αυτή γίνεται λαµβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι µε την αποµάκρυνση των streamers από την κεφαλή του leader, το θετικό φορτίο χώρου που είναι 61

69 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Σχήµα 3.11 : α) ηµιουργία της κορόνα από το πρόγραµµα β) ηµιουργία του πρώτου δεσµού τύπου leader γ) Ανάπτυξη της κορόνα παρουσία του leader δ) Προώθηση του ιχνογραφήµατος στο διάκενο 62

70 Κεφάλαιο 3 ο Ανάπτυξη Νέων Στοχαστικών Μοντέλων για τη ιάσπαση ιακένων Αέρα Σχήµα 3.11 : α) ηµιουργία της κορόνα από το πρόγραµµα β) ηµιουργία του πρώτου δεσµού τύπου leader γ) Ανάπτυξη της κορόνα παρουσία του leader δ) Προώθηση του ιχνογραφήµατος στο διάκενο 63

71 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων συγκεντρωµένο στη κεφαλή των streamers παύει να επηρεάζει σηµαντικά το ηλεκτρικό πεδίο µπροστά από τον leader. Ο περιορισµός που τίθεται εδώ είναι ότι ο νέος δεσµός leader µπορεί να δηµιουργηθεί µόνο µέσα στη περιοχή που ορίζεται από τους streamers (µια πληροφορία που παρέχεται από το πρώτο πρόγραµµα). Παράλληλα ο κοινός µετρητής χρόνου µηδενίζεται. Με τη δηµιουργία του καινούργιου δεσµού leader, το πρόγραµµα του streamer ξεκινά την εξοµοίωση από την αρχή, λαµβάνοντας όµως υπόψη όχι µόνο τα ηλεκτρόδια αλλά και το leader (σχήµα 3.11γ). Στη συνέχεια επαναλαµβάνεται η διαδικασία η οποία περιγράφεται στις δυο προηγούµενες παραγράφους. Η εξοµοίωση συνεχίζεται, µε το leader να «προεκτείνει» την άνοδο µε κατεύθυνση την κάθοδο, και µετά από κάθε βήµα του µια νέα κορόνα να αναπτύσσεται µπροστά από την κεφαλή του, όπου υπάρχει ένα ισχυρό ηλεκτρικό πεδίο. Η διαδικασία αυτή σταµατά όταν οι streamers φτάσουν στην κάθοδο, οπότε θεωρούµε ότι έχουµε διάσπαση του διακένου. Στο σχήµατα 3.12, 3.13 παρατίθεται το διάγραµµα ροής του προγράµµατος ενώ ο πλήρης κώδικας παρατίθεται στο Παράρτηµα B. Όπως και στα προηγούµενα µοντέλα, η εξοµοίωση γίνεται σε ένα δισδιάστατο πλέγµα 150x150 σηµείων. Η εισαγωγή ενός µεγαλύτερου πλέγµατος δεν είναι δυνατή λόγω περιορισµών της PASCAL στη µνήµη την οποία µπορεί να διαχειριστεί. Το γεγονός αυτό συνιστά ένα σηµαντικό µειονέκτηµα για το µοντέλο, καθώς κατά την εξοµοίωση µεγάλων διακένων η απόσταση ανάµεσα σε δυο σηµεία του πλέγµατος γίνεται πολύ µεγάλη, µε αποτέλεσµα ο υπολογισµός του τοπικού ηλεκτρικού πεδίου να µην είναι ακριβής, ενώ ταυτόχρονα να είναι δύσκολη η ακριβής αναπαράσταση των ηλεκτροδίων και γενικότερα της πειραµατικής διάταξης Πλεονεκτήµατα και µειονεκτήµατα του µοντέλου Τα κυριότερα πλεονεκτήµατα και µειονεκτήµατα του τροποποιηµένου SLT µοντέλου είναι τα εξής: Πλεονεκτήµατα Γίνεται παράλληλη εξοµοίωση τόσο των streamers όσο και των leaders. Σε αντίθεση µε το µοντέλο SLT το µοντέλο SLP προβλέπει την ύπαρξη πτώσης τάσης, διαφορετικής στους streamers και τους leaders. 64

72 Κεφάλαιο 3 ο Ανάπτυξη Νέων Στοχαστικών Μοντέλων για τη ιάσπαση ιακένων Αέρα Το µοντέλο αναπτύχθηκε εξαρχής για την µελέτη και τον ποσοτικό προσδιορισµό της τάσης διάσπασης U 50, της τυπικής απόκλισης σ, της µέσης και στιγµιαίας ταχύτητας, του statistical time lag και του χρόνου διάσπασης τόσο σε µεγάλα όσο και σε µικρά διάκενα. Ο αλγόριθµος είναι δοµηµένος κατά τέτοιο τρόπο ώστε να είναι δυνατή η χρήση οποιουδήποτε στοχαστικού κριτηρίου έχει αναπτυχθεί µέχρι τώρα για την εξοµοίωση της διάδοσης των streamers και των leaders. Υπάρχει η δυνατότητα εφαρµογής συνεχούς και κρουστικής τάσης στο διάκενο, θετικής και αρνητικής πολικότητας. Το χρήση του µοντέλου µπορεί να επεκταθεί και σε οποιοδήποτε άλλο αέριο διηλεκτρικό µε αλλαγή των παραµέτρων του. Μειονεκτήµατα Το µοντέλο περιλαµβάνει πολλές παραµέτρους οι οποίες είναι σχετικά δύσκολο να ρυθµιστούν. Το χρησιµοποιούµενο πλέγµα είναι πολύ µικρό για την εξοµοίωση της διάσπασης µεγάλων διακένων. Το γεγονός αυτό οφείλεται στην αδυναµία της Pascal να διαχειριστεί πολλούς και µεγάλους πίνακες. Εκτός από τα παραπάνω, το συνολικό µοντέλο περιλαµβάνει ταυτόχρονα και τα µειονεκτήµατα των εκάστοτε στοχαστικών µοντέλων που χρησιµοποιούνται. 65

73 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Εφαρµογή της Τάσης στην Άνοδο Υπολογισµός Ηλεκτρικού Πεδίου για την εξοµοίωση της διάδοσης των streamers Υπολογισµός χρόνου δηµιουργίας υποψηφίων δεσµών τύπου streamer Υπολογισµός Βήµατος Χρόνου της Εξοµοίωσης του streamer ιάσπαση του διακένου ΝΑΙ Προσθήκη νέων δεσµών streamer. Έφτασαν στην κάθοδο; ΟΧΙ Πρόσθεση του βήµατος χρόνου του streamer στον κοινό µετρητή χρόνου Είναι η τιµή του κοινού µετρητή µεγαλύτερη από το βήµα χρόνου της εξοµοίωσης του leader; ΟΧΙ ΝΑΙ Έναρξη προγράµµατος για την εξοµοίωση του Leader Σχήµα 3.12: ιάγραµµα ροής του προγράµµατος για την εξοµοίωση της ηλεκτρικής διάσπασης µεγάλων διακένων αέρα (εξοµοίωση των streamers). 66

74 Κεφάλαιο 3 ο Ανάπτυξη Νέων Στοχαστικών Μοντέλων για τη ιάσπαση ιακένων Αέρα Εφαρµογή της Τάσης στην Άνοδο Υπολογισµός Ηλεκτρικού Πεδίου για την εξοµοίωση του Leader χωρίς να λαµβάνονται υπόψη οι streamers Υπολογισµός της πιθανότητας δηµιουργίας υποψηφίων δεσµών ηµιουργία νέου δεσµού Leader µέσα στα όρια της κορόνα Μηδενισµός του κοινού µετρητή χρόνου «Σβέση» της κορόνα Εκ νέου έναρξη του προγράµµατος εξοµοίωσης των streamers λαµβάνοντας υπόψη τη δηµιουργία του νέου δεσµού Leader Σχήµα 3.13: ιάγραµµα ροής του προγράµµατος για την εξοµοίωση της ηλεκτρικής διάσπασης µεγάλων διακένων αέρα (εξοµοίωση των Leader). 67

75 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων 68

76 Κεφάλαιο 4 ο Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων 4.1 Γενικά Στο κεφάλαιο 4 παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα των εξοµοιώσεων. Ο κύριος όγκος των αποτελεσµάτων προέρχεται από το µοντέλο για την εξοµοίωση της διάσπασης µικρών διακένων αέρα και αφορούν στον υπολογισµό της τάσης διάσπασης του διακένου, της τυπικής απόκλισης και της ταχύτητας διάδοσης των streamers (στις εξοµοιώσεις κάτι τέτοιο ισοδυναµεί µε την ταχύτητα διάδοσης των παραγόµενων ιχνογραφηµάτων). Τα λίγα αποτελέσµατα που προέκυψαν από το µοντέλο SLT είναι κυρίως ποιοτικά, ενώ µε το µοντέλο SLP εξοµοιώθηκε µια πειραµατική διαδικασία η οποία έλαβε χώρα στο εργαστήριο υψηλών τάσεων του Πανεπιστηµίου του Μισισιπή, και αφορούσε τον προσδιορισµό της ζώνης προστασίας µιας ράβδου Franklin. 4.2 Αποτελέσµατα εξοµοιώσεων σε µικρά διάκενα Γενικά Στην ενότητα 4.2 παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα των εξοµοιώσεων σε διάκενα αέρα µήκους έως 40cm. Τα αποτελέσµατα αυτά αφορούν κυρίως στην εύρεση της µέσης τιµής της τάσης διάσπασης ενός διακένου και τη τυπική απόκλιση σ, καθώς και στη ταχύτητα διάδοσης (µέση και στιγµιαία) των streamers. Θα πρέπει στο σηµείο αυτό να διευκρινισθεί το εξής. Η γραφική εξοµοίωση της διάδοσης των streamers στο διάκενο σταµατά όταν το ιχνογράφηµα φτάσει στην κάθοδο. Στην περίπτωση αυτή θεωρείται ότι ακολουθεί η διάσπαση του διακένου. εδοµένου ότι κάτι τέτοιο δεν ισχύει πάντα, χαρακτηρίζουµε την τάση εκείνη ως «κρίσιµη τάση», καθώς ικανοποιείται µια βασική προϋπόθεση για τη διάσπαση του διακένου. Η τάση αυτή συγκρίνεται µε πειραµατικά αποτελέσµατα που αφορούν στην τάση διάσπασης σε µια πρώτη προσπάθεια αξιολόγησης της αποτελεσµατικότητας του µοντέλου. Περαιτέρω ανάπτυξη του µοντέλου θα επιτρέψει να ληφθούν υπόψη και άλλοι παράγοντες οι οποίοι καθορίζουν την τάση διάσπασης ενός διακένου. Από τις εξοµοιώσεις προέκυψαν δυο οµάδες αποτελεσµάτων. Στη πρώτη οµάδα θεωρήθηκε ότι ο χρόνος δηµιουργίας ενός νέου δεσµού streamer ακολουθεί την κατανοµή Weibull, ενώ στη δεύτερη θεωρήθηκε ότι ακολουθεί την εκθετική κατανοµή. Σε όλες τις εξοµοιώσεις η 69

77 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων διάταξη των ηλεκτροδίων ήταν τύπου ακίδας πλάκας και η εφαρµοζόµενη τάση στο διάκενο ήταν είτε συνεχής είτε κρουστική 1,2/50µsec, θετικής πολικότητας και στις δυο περιπτώσεις. Η ακριβής διαµόρφωση καθώς και η ακτίνα της ράβδου δεν ελήφθησαν υπόψη λόγω του σχετικά µικρού πλέγµατος που χρησιµοποιήθηκε κατά τις εξοµοιώσεις. Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων σε µικρά διάκενα αέρα Χρόνος ηµιουργίας εσµού: Κατανοµή Weibull Χρόνος ηµιουργίας εσµού: Εκθετική Κατανοµή 1. Τάση ιάσπασης U 50%. 2. ιασπορά σ. 3. Μέση ταχύτητα ιάδοσης. 4. Στιγµιαία Ταχύτητα ιάδοσης 1. Τάση ιάσπασης U 50%. 2. Στιγµιαία Ταχύτητα ιάδοσης ιάρθρωση αποτελεσµάτων Ρύθµιση των παραµέτρων του µοντέλου Απαραίτητη προϋπόθεση για την εξαγωγή ποσοτικών αποτελεσµάτων είναι η κατάλληλη ρύθµιση των τιµών των παραµέτρων του µοντέλου και ιδιαίτερα των E th και Ε S. Η πιο λογικές τιµές για τις παραµέτρους αυτές είναι 30kV/cm (αντιστοιχεί στη τιµή εκείνη του ηλεκτρικού πεδίου για την οποία έχουµε ιονισµό του αέρα) και 5kV/cm (πτώση τάσης στο streamer) αντίστοιχα. Χρησιµοποιώντας τις τιµές αυτές όµως, το µοντέλο δίνει τάσεις διάσπασης πολύ µεγαλύτερες από τις πραγµατικές. Αιτία για την απόκλιση αυτή είναι η απόσταση µεταξύ των σηµείων του πλέγµατος (0.3cm κατά τη διάρκεια των εξοµοιώσεων), η οποία είναι πολύ µεγάλη για να έχουµε ένα ακριβή υπολογισµό του ηλεκτρικού πεδίου µε τη χρήση της σχέσης Όπως φαίνεται και από τον πίνακα 1 η υιοθέτηση 70

78 Κεφάλαιο 4 ο Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων µικρότερης απόστασης µεταξύ των σηµείων, δηλαδή η χρήση µεγαλύτερου πλέγµατος, οδηγεί σε σοβαρή βελτίωση των αποτελεσµάτων που δίνει το µοντέλο. Οι περιορισµοί όµως της γλώσσας προγραµµατισµού Pascal οδήγησαν αναγκαστικά στην εισαγωγή µικρών σε µέγεθος πλεγµάτων µε απόσταση µεταξύ των σηµείων το λιγότερο 0.3cm, τουλάχιστον σε διάκενα µήκους άνω των 15cm. Πίνακας 1. Αποτελέσµατα εξοµοιώσεων µε τη χρήση διαφορετικών αποστάσεων µεταξύ των σηµείων του πλέγµατος Τάση Αποτέλεσµα Αποτέλεσµα Αποτέλεσµα ιάσπασης - εξοµοίωσης εξοµοίωσης εξοµοίωσης Μήκος Ενδεικτικό (απόσταση (απόσταση (απόσταση ιακένου πειραµατικό σηµείων σηµείων σηµείων αποτέλεσµα 0.3cm) 0.2cm) 0.1cm) 15cm 96kV 120kV 109kV 100kV Προκειµένου να ξεπεραστεί το εµπόδιο αυτό έγινε προσαρµογή των τιµών των παραµέτρων του µοντέλου στο δεδοµένο µέγεθος της απόστασης µεταξύ των σηµείων του πλέγµατος. Η ρύθµιση αυτή επετεύχθη χρησιµοποιώντας πειραµατικά δεδοµένα, όπως: Η τάση διάσπασης ενός διακένου συγκεκριµένης διάταξης ηλεκτροδίων (π.χ. ακίδα πλάκα), ορισµένης απόστασης d µεταξύ τους, το οποίο καταπονείται από µια καθορισµένη µορφή τάσης (π.χ. συνεχής, κρουστική κλπ). Το statistical time lag. Η µέση ταχύτητα διάδοσης των streamers µέσα στο διάκενο. Η πτώση τάσης του streamer. Η ρύθµιση γίνεται χρησιµοποιώντας ένα συγκεκριµένο µήκος διακένου και στη συνέχεια οι τιµές των παραµέτρων παραµένουν σταθερές ανεξάρτητα από τη µεταβολή του µήκους του και την εφαρµοζόµενη τάση σε αυτό. Το συγκεκριµένο στοχαστικό µοντέλο διαθέτει µια σειρά από παραµέτρους οι οποίες (όπως προκύπτουν από τις σχέσεις 3.9, 3.10) είναι οι a (παράµετρος της κατανοµής Weibull), Ε th, k, u min και E S. Για τη ρύθµιση των παραµέτρων Ε th και E s χρησιµοποιήθηκαν πειραµατικά δεδοµένα που αφορούσαν στην τάση διάσπασης ενός διακένου συγκεκριµένου µήκους, ενώ για τις παραµέτρους a και k δεδοµένα που σχετίζονταν µε τον παράγοντα χρόνο (statistical time lag, χρόνος διάσπασης διακένου, ταχύτητα διάδοσης των streamers κλπ). Η ελάχιστη ταχύτητα διάδοσης των streamers 71

79 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Η διαδικασία που ακολουθήθηκε για τα Ε th και E s ήταν η εξής. Θεωρήσαµε ένα διάκενο τύπου ακίδας πλάκας, µήκους 30 εκατοστών, στο οποίο εφαρµόσαµε µια συνεχή τάση θετικής πολικότητας. Το πλέγµα των σηµείων είχε διαστάσεις 150x150 (50 σηµεία στον κατακόρυφο άξονα αντιπροσώπευαν τη ράβδο και τα υπόλοιπα 100 το διάκενο) µε την απόσταση ανάµεσα σε δυο διαδοχικά σηµεία να είναι ίση µε 0,3cm. Αρχικά χρησιµοποιήσαµε την πειραµατικά προσδιορισµένη τιµή 5kV/cm και στη συνέχεια προσδιορίσαµε την παράµετρο Ε th έτσι ώστε η «κρίσιµη τάση» που προκύπτει από τις εξοµοιώσεις να συµπίπτει περίπου µε την τάση διάσπασης του συγκεκριµένου διακένου όπως αυτή αναφέρεται στη διεθνή βιβλιογραφία. Η τιµή της παραµέτρου στη περίπτωση αυτή προέκυψε ίση µε 11kV/cm. Όπως ήδη έχει αναφερθεί η σχετικά µεγάλη απόσταση µεταξύ των σηµείων του πλέγµατος και ο προσεγγιστικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου από τη σχέση 3.18 αποτελούν τις αιτίες για τη µη χρήση της πιο λογικής τιµής των 31kV/cm. Η Ε th όµως δεν εξαρτάται µόνο από την τιµή της E s αλλά και από την απόσταση µεταξύ των σηµείων του πλέγµατος. Η εξάρτηση αυτή φαίνεται στο σχήµα 4.1. Για το λόγο αυτό, όλες οι εξοµοιώσεις έγιναν διατηρώντας σταθερή την απόσταση µεταξύ των σηµείων ίση µε 0,3cm. Ένα δεύτερο ζευγάρι τιµών προέκυψε όταν θεωρήθηκε µια υποθετική τιµή για την παράµετρο Ε th = 25kV/cm και προσδιορίσθηκε η παράµετρος E s ίση µε 3,3kV/cm, ακολουθώντας τη διαδικασία που µόλις περιγράψαµε. Τα δύο αυτά ζευγάρια τιµών χρησιµοποιήθηκαν σε όλες τις εξοµοιώσεις. Στις υπόλοιπες παραµέτρους (a, k, u min ) δόθηκαν υποθετικές τιµές, τέτοιες ώστε η µέση ταχύτητα του streamer να είναι της τάξης των cm / sec Κατανοµή Weibull Στη πρώτη σειρά εξοµοιώσεων θεωρήθηκε ότι ο χρόνος για τη δηµιουργία ενός δεσµού ακολουθεί την κατανοµή Weibull. Τα αποτελέσµατα που εξήχθησαν αφορούσαν κατά κύριο λόγο στην τάση διάσπασης διακένων αέρα, τα οποία καταπονούνται από συνεχή και κρουστική τάση µορφής 1,2/50µsec, θετικής πολικότητας. Εξήχθησαν επίσης ποιοτικά αποτελέσµατα τα οποία αφορούσαν τη µέση και στιγµιαία ταχύτητα διάδοσης των streamers µέσα στο διάκενο. Στις περισσότερες περιπτώσεις, από τη σύγκριση των αποτελεσµάτων της εξοµοίωσης µε αντίστοιχα πειραµατικά δεδοµένα προέκυψε µια καλή προσέγγιση. Πριν από την παρουσίαση των παραπάνω αποτελεσµάτων παρατίθενται µια σειρά από ιχνογραφήµατα τα οποία δηµιουργήθηκαν από το στοχαστικό µοντέλο για 72

80 Κεφάλαιο 4 ο Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων διάφορες τιµές των παραµέτρων E th και E S. Στα ιχνογραφήµατα αυτά φαίνεται πως η µεταβολή των τιµών των παραµέτρων, επηρεάζει τη µορφή του παραγόµενου ιχνογραφήµατος. Η σύγκριση των ιχνογραφηµάτων αυτών µε φωτογραφίες πραγµατικών εκκενώσεων µπορεί να αποτελέσει οδηγό για την καλύτερη ρύθµιση των παραµέτρων αλλά και να αποτελέσει µια πρώτη δοκιµασία για την αποτελεσµατικότητα του µοντέλου. Παραδείγµατα Ιχνογραφηµάτων Στα σχήµατα παρουσιάζονται µια σειρά ιχνογραφηµάτων τα οποία προέκυψαν από τις εξοµοιώσεις για διαφορετικές τιµές των παραµέτρων του µοντέλου αλλά και της εφαρµοζόµενης τάσης. Η τάση είναι συνεχής, το µήκος του διακένου ίσο µε 20cm, η τιµή της παραµέτρου a=0.5 και το µέγεθος του πλέγµατος ίσο µε 150x150. Στο σχήµα 4.2 φαίνονται δυο ιχνογραφήµατα τα οποία προέκυψαν µε την εφαρµογή διαφορετικής τάσης στη ράβδο. Η πτώση τάσης στο streamer έχει θεωρηθεί ίση µε µηδέν. Όπως φαίνεται και στο σχήµα η αύξηση της τιµής της τάσης προκαλεί αύξηση του αριθµού των streamers ειδικά όσο πλησιάζουµε στην κάθοδο. Στο σχήµα 4.3 παρατηρούµε ότι, για µια τιµή της τάσης στην οποία έχουµε ανάπτυξη κορόνα όχι όµως και διάσπαση του διακένου, το µέγεθος της κορόνα αυξάνεται µε την αύξηση της τάσης όπως συµβαίνει και στην πραγµατικότητα. Στο σχήµα 4.4 φαίνεται η επίδραση της πτώσης τάσης του streamer (παράµετρος Εs) στην ανάπτυξη του ιχνογραφήµατος και στην διάσπαση ή όχι ενός συγκεκριµένου διακένου το οποίο καταπονείται από µια συνεχή τάση. Μια αύξηση της πτώσης τάσης κατά 0,5kV/cm (διατηρώντας σταθερή την τάση στο διάκενο) έχει ως αποτέλεσµα η ανάπτυξη του ιχνογραφήµατος να σταµατά και το διάκενο να µην διασπάται. Τα αποτελέσµατα των εξοµοιώσεων έδειξαν ότι η πτώση τάσης είναι µια εξαιρετικά σηµαντική παράµετρος, και µια µικρή µεταβολή της τιµής της µπορεί να αλλάξει σηµαντικά τις τιµές των αποτελεσµάτων. Στο πρώτο ιχνογράφηµα φαίνονται επίσης και οι streamers οι οποίοι αναπτύσσονται στην κάθοδο. 73

81 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Σχήµα 4.1: Εξάρτηση της παραµέτρου Εth από την απόσταση ανάµεσα σε δυο διαδοχικά σηµεία του πλέγµατος. Τα σηµεία του πλέγµατος στον κατακόρυφο άξονα που αναπαριστούν το διάκενο παραµένουν σταθερά 100. Έτσι µήκος διακένου 25cm για παράδειγµα αντιστοιχεί σε απόσταση 0,25cm µεταξύ δύο διαδοχικών σηµείων του πλέγµατος. Στο σχήµα 4.5 φαίνεται η επίδραση της παραµέτρου Ε th στη µορφή του ιχνογραφήµατος αλλά και στη διάσπαση ή όχι ενός συγκεκριµένου διακένου. Μείωση της τιµής της παραµέτρου Ε th προκαλεί αύξηση του αριθµού των streamer και στη τελευταία περίπτωση διάσπαση του διακένου. Τέλος στα σχήµατα 4.6 και 4.7 φαίνονται τα διαδοχικά στάδια ανάπτυξης των ιχνογραφηµάτων για τα δυο ζεύγη τιµών Ε th και E s τα οποία χρησιµοποιήθηκαν για την διεξαγωγή των εξοµοιώσεων. Από την παρατήρηση των σχηµάτων γίνεται εύκολα αντιληπτό ότι για το πρώτο ζεύγος τιµών, λόγω της µικρής τιµής της παραµέτρου Ε th έχουµε την ανάπτυξη πολύ µεγαλύτερου αριθµού streamer σε σύγκριση µε το δεύτερο. 74

82 Κεφάλαιο 4 ο Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων Σχήµα 4.2: Η επίδραση της τάσης της ράβδου στη µορφή του ιχνογραφήµατος. Το πλέγµα έχει διαστάσεις 150x

83 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Σχήµα 4.3: Η επίδραση της εφαρµοζόµενης τάσης στο µέγεθος της κορόνα. Το πλέγµα έχει διαστάσεις 150x

84 Κεφάλαιο 4 ο Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων Σχήµα 4.4: Η επίδραση της πτώσης τάσης του streamer στη µορφή του ιχνογραφήµατος και στη διάσπαση του διακένου. Το πλέγµα έχει διαστάσεις 150x

85 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Σχήµα 4.5: Εξάρτηση της µορφής του ιχνογραφήµατος και της διάσπασης του διακένου από την παράµετρο Εth. Το πλέγµα έχει διαστάσεις 150x

86 Κεφάλαιο 4 ο Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων Σχήµα 4.6: ιαδοχικές φάσεις διάδοσης των streamer κατά τη διάρκεια της εξοµοίωσης. Το µήκος του διακένου είναι 25cm, η τάση είναι συνεχής 92kV, το Εth=11kV/cm και το Εs=5kV/cm. Το πλέγµα έχει διαστάσεις 300x

87 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Σχήµα 4.7: ιαδοχικές φάσεις διάδοσης των streamer κατά τη διάρκεια της εξοµοίωσης. Το µήκος του διακένου είναι 35cm, η τάση 180kV, το Εth=25kV/cm και το Εs=3.3kV/cm. Το πλέγµα έχει διαστάσεις 150x

88 Κεφάλαιο 4 ο Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων Προσδιορισµός της τάσης διάσπασης Συνεχής Τάση Ο κύριος στόχος τις ανάπτυξης του συγκεκριµένου στοχαστικού µοντέλου ήταν η εξαγωγή αποτελεσµάτων που θα αφορούσαν την τάση διάσπασης µικρών διακένων αέρα, όταν αυτά καταπονούνται από συνεχείς και κρουστικές (1,2/50µsec) τάσεις θετικής πολικότητας. Ο στόχος επετεύχθη σε ένα σηµαντικό βαθµό όπως προκύπτει από τη σύγκριση των αποτελεσµάτων της εξοµοίωσης που παρουσιάζονται στη συνέχεια, µε πειραµατικά αποτελέσµατα που έχουν δηµοσιευθεί στην Ελληνική και διεθνή βιβλιογραφία [75-76]. Η πρώτη οµάδα αποτελεσµάτων προέκυψε από την εφαρµογή συνεχούς τάσης στο διάκενο. Η διάταξη των ηλεκτροδίων κατά την εξοµοίωση ήταν τύπου ακίδαπλάκα και η απόσταση ανάµεσα στα ηλεκτρόδια κυµάνθηκε µεταξύ 15-40cm. Η διάµετρος και η ακριβής µορφή της απόλιξης της ακίδας δεν ελήφθησαν υπόψη, δεδοµένου ότι το µέγεθος του χρησιµοποιούµενου πλέγµατος σηµείων δεν ήταν αρκετά µεγάλο για να επιτευχθεί κάτι τέτοιο. Η συνεχής τάση η οποία εφαρµόστηκε στο διάκενο κατά τη διάρκεια των εξοµοιώσεων δεν ήταν περιορισµένης χρονικής διάρκειας (παλµός) αλλά πρακτικά απεριόριστη. Όπως προέκυψε από τις εξοµοιώσεις η τυπική απόκλιση των αποτελεσµάτων που αφορούσαν στην τάση διάσπασης ήταν πολύ µικρή (<1%), µε συνέπεια η µεταβολή από την περιοχή εκείνη των τιµών των εφαρµοζόµενων τάσεων όπου δεν συµβαίνει ποτέ διάσπαση του διακένου (πιθανότητα διάσπασης 0%), στη περιοχή εκείνη όπου συµβαίνει πάντα (πιθανότητα διάσπασης 100%), να είναι σχεδόν βηµατική. Το γεγονός αυτό οφείλεται πιθανώς στην υπόθεση η οποία έγινε αρχικά, σύµφωνα µε την οποία, διάσπαση του διακένου επέρχεται όταν το ιχνογράφηµα φτάσει στην κάθοδο. εδοµένου της απότοµης µεταβολής της πιθανότητας διάσπασης συναρτήσει της εφαρµοζόµενης τάσης, ως τάση διάσπασης του διακένου κατά τις εξοµοιώσεις θεωρήθηκε η τιµή εκείνη για την οποία έχουµε για πρώτη φορά πιθανότητα διάσπασης 100%. Οι τάσεις διάσπασης που προέκυψαν συγκρίθηκαν µε αποτελέσµατα που προέρχονται από µια εµπειρική σχέση που βρέθηκε στη διεθνή βιβλιογραφία [75] και αφορούσε αντίστοιχα µήκη διακένων. Η σχέση αυτή ήταν η εξής: V50 % = d kv (4.1) όπου d είναι το µήκος του διακένου. 81

89 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Συγκρίθηκαν επίσης και µε πειραµατικά αποτελέσµατα που προέρχονται από το εργαστήριο υψηλών τάσεων του Πανεπιστηµίου Πατρών και τα οποία δεν προέκυψαν από την εφαρµογή συνεχούς τάσης στο διάκενο αλλά κρουστικής µικρού χρόνου µετώπου και µεγάλης διάρκειας (2/1800µsec) [76]. Η σύγκριση αυτή έγινε στα αρχικά στάδια των εξοµοιώσεων λόγω έλλειψης άλλων πειραµατικών δεδοµένων, ενώ µε τη βοήθεια των αποτελεσµάτων αυτών έγινε και η ρύθµιση των παραµέτρων Ε th και Ε S. εδοµένου ότι η διάρκεια εφαρµογής της τάσης ήταν απεριόριστη, οι παράµετροι a, k, u min δεν παίζουν σηµαντικό ρόλο στη διαµόρφωση των αποτελεσµάτων. Έγινε όµως προσπάθεια να ρυθµιστούν έτσι ώστε η µέση ταχύτητα διάδοσης των streamer να είναι περίπου cm/sec (συγκεκριµένα a=2, k=4 6 και u min =10 7 ). Αντίθετα οι παράµετροι Ε th και Ε s, ρυθµίστηκαν µε τη βοήθεια τις τάσης διάσπασης που προκύπτει πειραµατικά για ένα διάκενο 30cm όταν καταπονείται από κρουστική τάση 2/1800µsec. Για το λόγο αυτό τα πειραµατικά αποτελέσµατα και τα αποτελέσµατα τις εξοµοίωσης συµπίπτουν στη συγκεκριµένη απόσταση. Χρησιµοποιήθηκαν τρία συνολικά ζευγάρια παραµέτρων. Στο πρώτο ζευγάρι η πτώση τάσης στους δεσµούς του ιχνογραφήµατος θεωρήθηκε ίση µε 5kV/cm (όσο περίπου και η πτώση τάσης στο streamer) και στη συνέχεια η τιµή της παραµέτρου Ε th πήρε την τιµή των 11kV/cm (ενότητα 4.2.2). Στη συνέχεια θεωρήθηκε µια υποθετική τιµή για την Ε th ίση µε 25kV/cm και η τιµή της πτώσης τάσης στους δεσµούς του ιχνογραφήµατος Ε S προσδιορίσθηκε ίση µε 3,3kV/cm. Τέλος στην τρίτη σειρά εξοµοιώσεων η τιµή της Ε th παρέµεινε σταθερή (ίση µε 11kV/cm) ενώ η πτώση τάσης στους δεσµούς του ιχνογραφήµατος ήταν µεταβαλλόµενη και προέκυπτε από την σχέση: V E s = (4.2) d όπου V είναι η τάση διάσπασης του διακένου όπως προκύπτει από τα πειραµατικά δεδοµένα (κρουστική 2/1800µsec) και d είναι το µήκος του διακένου. Η τρίτη σειρά εξοµοιώσεων έγινε προκειµένου να µελετηθεί η αποτελεσµατικότητα του µοντέλου όταν η παράµετρος Ε s αλλάζει µε τη µεταβολή της εφαρµοζόµενης τάσης στο διάκενο, αλλά και τη µεταβολή του µήκους του διακένου. 82

90 Κεφάλαιο 4 ο Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων Τα αποτελέσµατα των εξοµοιώσεων µαζί µε τα αντίστοιχα πειραµατικά δεδοµένα φαίνονται στον πίνακα 2. Στον πίνακα 3 παρατίθενται οι απόλυτες και σχετικές διαφορές ανάµεσα στις τάσεις διάσπασης που προκύπτουν από τη σχέση 4.1 και τα αποτελέσµατα που προέκυψαν από τις εξοµοιώσεις, ενώ στον πίνακα 4 παρατίθενται οι απόλυτες και σχετικές διαφορές ανάµεσα στα πειραµατικά αποτελέσµατα (κρουστική 2/1800µsec) και στα αποτελέσµατα των εξοµοιώσεων. Τα αποτελέσµατα των πινάκων 2, 3 και 4 φαίνονται αντίστοιχα και στα σχήµατα 4.8, 4.9, 4.10 και Από τα στοιχεία των πινάκων 2, 3 και 4 παρατηρούµε ότι η µεγαλύτερη σύγκλιση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα (κρουστική 2/1800µsec) προκύπτει στη τρίτη σειρά εξοµοιώσεων όπου η πτώση τάσης ήταν µεταβαλλόµενη. Το γεγονός αυτό δείχνει ότι για µια πιο αποτελεσµατική εξοµοίωση τις διάσπασης η παράµετρος Ε s δεν θα πρέπει να είναι σταθερή αλλά θα πρέπει να µεταβάλλεται µε κάποιο τρόπο συναρτήσει του µήκους του διακένου και τις εφαρµοζόµενης τάσης σε αυτό. Όσον αφορά τις υπόλοιπες εξοµοιώσεις η προσεγγίσεις που επιτυγχάνονται είναι αρκετά καλές δεδοµένου ότι οι σχετικές διαφορές δεν ξεπερνούν το 6%. 83

91 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Πίνακας 2. Πειραµατικά δεδοµένα και αποτελέσµατα εξοµοιώσεων που αφορούν στην τάση διάσπασης διακένου αέρα τύπου ακίδας-πλάκας το οποίο καταπονείται από συνεχή τάση. d (cm) V 50% (kv) (12+5d) Πειραµατικά εδοµένα V 50% (kv) (2/1800µsec) E s (kv/cm) (2/1800µsec) Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων 2 η Σειρά Εξοµοιώσεων Τάση ιάσπασης (kv) 1 η Σειρά Εξοµοιώσεων Τάση ιάσπασης (kv) 3 η Σειρά Εξοµοιώσεων Τάση ιάσπασης (kv) Πίνακας 3. Σχετικές και απόλυτες διαφορές µεταξύ των πειραµατικών δεδοµένων (εφαρµογή κρουστικής τάσης 2/1800µsec) και των αποτελεσµάτων εξοµοίωσης. 1 η Σειρά Εξοµοιώσεων 2 η Σειρά Εξοµοιώσεων 3 η Σειρά Εξοµοιώσεων Απόλυτη Σχετική Απόλυτη Σχετική Απόλυτη Σχετική D (cm) ιαφορά ιαφορά ιαφορά ιαφορά ιαφορά ιαφορά (kv) (%) (kv) (%) (kv) (%) Πίνακας 4. Σχετικές και απόλυτες διαφορές µεταξύ των αποτελεσµάτων που προκύπτουν από την εφαρµογή της εµπειρικής σχέσης V 50% =12+5d kv και των αποτελεσµάτων της εξοµοίωσης. 1 η Σειρά Εξοµοιώσεων 2 η Σειρά Εξοµοιώσεων 3 η Σειρά Εξοµοιώσεων Απόλυτη Σχετική Απόλυτη Σχετική Απόλυτη Σχετική D (cm) ιαφορά ιαφορά ιαφορά ιαφορά ιαφορά ιαφορά (kv) (%) (kv) (%) (kv) (%)

92 Κεφάλαιο 4 ο Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων Σχήµα 4.8: Γραφική παράσταση των τάσεων διάσπασης συναρτήσει του µήκους του διακένου, όπως αυτές προέκυψαν από τα πειραµατικά δεδοµένα και τις εξοµοιώσεις. Σχήµα 4.9: Γραφική παράσταση των τάσεων διάσπασης συναρτήσει του µήκους του διακένου όπως αυτές προέκυψαν από την εµπειρική σχέση 4.1 και τις εξοµοιώσεις. 85

93 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Σχήµα 4.10: Σχετικές διαφορές µεταξύ των πειραµατικών δεδοµένων και των αποτελεσµάτων της εξοµοίωσης. Σχήµα 4.11: Σχετικές διαφορές µεταξύ των αποτελεσµάτων που προκύπτουν από την εφαρµογή της σχέσης 4.1 και των αποτελεσµάτων της εξοµοίωσης. 86

94 Κεφάλαιο 4 ο Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων Προσδιορισµός της τάσης διάσπασης Κρουστική Τάση Η δεύτερη οµάδα αποτελεσµάτων που αφορά την τάση διάσπασης διακένων αέρα προέκυψε από την εφαρµογή στο διάκενο κρουστικής τάσης 1,2/50µsec, θετικής πολικότητας. Η διάταξη των ηλεκτροδίων κατά τις εξοµοιώσεις ήταν τύπου ακίδας-πλάκας και το µήκος του διακένου κυµαινόταν από 15 έως 35cm. Ο περιορισµένος χρόνος εφαρµογής της τάσης στην περίπτωση αυτή, αλλά και το γεγονός της µεταβολής της τιµής της συναρτήσει του χρόνου, καθιστούν πιο σηµαντικές τις παραµέτρους a, k, u min. Κατά την εξοµοίωση αυτές οι παράµετροι πήραν υποθετικές τιµές και πιο συγκεκριµένα a=2, k=4 6 και u min =10 7. Οι παράµετροι ρυθµίστηκαν έτσι ώστε η µέση ταχύτητα διάδοσης του streamer να είναι της τάξης των cm/sec. Οι παράµετροι Ε th και Ε s πήραν τις τιµές 25kV/cm και 3,3kV/cm αντίστοιχα. Πραγµατοποιήθηκαν συνολικά τρεις σειρές εξοµοιώσεων. Ακολουθώντας την συνηθισµένη διαδικασία εργαστηριακών δοκιµών, σε κάθε διάκενο εφαρµόστηκαν τέσσερις διαφορετικά επίπεδα τάσεων. Η πιθανότητα διασπάσεως του διακένου για µια συγκεκριµένη τάση προέκυψε µετά από 50 καταπονήσεις (για κάθε µήκος διακένου πραγµατοποιήθηκαν συνολικά τουλάχιστον 200 εξοµοιώσεις). Θεωρώντας ότι η κατανοµή της πιθανότητας διάσπασης είναι κανονική (Gauss), η τάση διάσπασης V 50% και η τυπική απόκλιση σ καθορίστηκαν γραφικά µε τη χρήση «φύλλου κανονικής κατανοµής». Σε κάθε σειρά εξοµοιώσεων, η εξοµοίωση δεν ξεκινούσε ακριβώς τη χρονική στιγµή t=1,2µsec αλλά τυχαία, µέσα σε ένα χρονικό διάστηµα το οποίο καθορίστηκε ως εξής: 1 η Σειρά Εξοµοιώσεων: t = 1,2 + 1 random (µsec), όπου random είναι ένας τυχαίος αριθµός οµοιόµορφα κατανεµηµένος στο διάστηµα [0,1]. 2 η Σειρά Εξοµοιώσεων: t = 1,2 + 5 random (µsec). 3 η Σειρά Εξοµοιώσεων: t = 1, random (µsec). Η τυχαία αυτή χρονική εκκίνηση του προγράµµατος αντιστοιχεί κατά κάποιο τρόπο στο statistical time lag και αναφέρεται ειδικά στον απαιτούµενο χρόνο για τη εµφάνιση του αρχικού ηλεκτρονίου. Τα τυχαία χρονικά διαστήµατα που επιλέχθηκαν δεν προέκυψαν από πειραµατικά δεδοµένα σχετικά µε το statistical time lag, αλλά θεωρήθηκαν ενδεικτικά για να εξεταστεί κατά πόσο επηρεάζει τα 87

95 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων αποτελέσµατα ο χρόνος εκκίνησης του προγράµµατος. Τα µεγάλα περιθώρια µεταβολής του χρόνου εκκίνησης τα οποία δεν συναντώνται στην πραγµατικότητα, επιλέχθηκαν ενδεικτικά έτσι ώστε η διαφορά µεταξύ των αποτελεσµάτων να είναι ευδιάκριτη. Τα αποτελέσµατα των εξοµοιώσεων µαζί µε αντίστοιχα πειραµατικά δεδοµένα [75] φαίνονται στον πίνακα 5. Στον πίνακα 6 παρατίθενται οι αντίστοιχες απόλυτες και σχετικές διαφορές τους. Τα αποτελέσµατα των πινάκων 5 και 6 φαίνονται αντίστοιχα και στα σχήµατα 4.12 και Από τα στοιχεία των πινάκων 5 και 6 παρατηρούµε ότι όσο πιο µικρή είναι η τυχαία µεταβολή του χρόνου εκκίνησης της εξοµοίωσης τόσο πιο µικρή είναι και η τάση διάσπασης καθώς και η τυπική απόκλιση. Το αποτέλεσµα αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι όσο πιο µικρή είναι η τυχαία µεταβολή του χρόνου εκκίνησης τόσο πιο κοντά στη µέγιστη τιµή της θα είναι η τάση εκκίνησης της εξοµοίωσης. Η µέγιστη σχετική διαφορά µεταξύ των πειραµατικών αποτελεσµάτων και της εξοµοίωσης είναι περίπου 10%, ενώ είναι χαρακτηριστικό ότι και στις τρεις σειρές εξοµοιώσεων η µέγιστη διαφορά προκύπτει για διάκενο 20cm. Το αποτέλεσµα αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι και στις τρεις σειρές εξοµοιώσεων η σχέση µεταξύ της τάσης διάσπασης σε συνάρτηση µε το µήκος του διακένου είναι σχεδόν γραµµική ενώ στα πειραµατικά αποτελέσµατα προκύπτει για διάκενο 20cm µια τάση διάσπασης µεγαλύτερη από αυτή που θα έδινε µια γραµµική σχέση. 88

96 Κεφάλαιο 4 ο Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων Πίνακας 5. Εφαρµογή κρουστικής τάσης σε διάκενο αέρα τύπου ακίδας-πλάκας. Πειραµατικά δεδοµένα και αποτελέσµατα εξοµοιώσεων. D (cm) Πειραµατικά εδοµένα 1 η Σειρά Εξοµοιώσεων 2 η Σειρά Εξοµοιώσεων 3 η Σειρά Εξοµοιώσεων V 50% σ V 50% σ V 50% σ % V 50% σ % 15 96,5 6,3 91,3 1,1 92,4 2,9 96,8 3, ,3 6,8 115,5 1,5 116,1 2,0 120,3 4, ,6 4,2 132,7 1,7 135,7 1,4 140,5 3, ,8 2,3 152,9 1,3 154,9 2,5 163,2 5, ,8 1,5 175,2 1, ,2 4,3 Πίνακας 6. Σχετικές και απόλυτες διαφορές µεταξύ πειραµατικών δεδοµένων και αποτελεσµάτων εξοµοίωσης. D (cm) 1 η Σειρά Εξοµοιώσεων Απόλυτη ιαφορά V 50% Σχετική ιαφορά V 50% 2 η Σειρά Εξοµοιώσεων Απόλυτη ιαφορά V 50% Σχετική ιαφορά V 50% 3 η Σειρά Εξοµοιώσεων Απόλυτη ιαφορά V 50% Σχετική ιαφορά V 50% 15-5,2-5,3-4,1-4,2 0,3 0, ,8-9,9-12,2-9,5-7,5-5,8 25-1,9-1,4 1,1 0,8 5,9 4,4 30-4,9-3, ,8 5,4 3,4 35-4,6-2, ,6-0,9 89

97 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων 180 Πειραµατικά Αποτελέσµατα 1η Σειρά Εξοµοιώσεων 2η Σειρά Εξοµοιώσεων 3η Σειρά Εξοµοιώσεων 160 Τάση ιάσπασης kv Μήκος ιακένου cm Σχήµα 4.12: Γραφική παράσταση της τάσης διάσπασης V50% συναρτήσει του µήκους του διακένου, όπως προκύπτει από τα πειραµατικά δεδοµένα και τα αποτελέσµατα των εξοµοιώσεων η Σειρά Εξοµοιώσεων 2η Σειρά Εξοµοιώσεων 3η Σειρά Εξοµοιώσεων 2 0 Σχετική ιαφορά % Μήκος ιακένου cm Σχήµα 4.13: Σχετικές διαφορές µεταξύ των πειραµατικών δεδοµένων και των αποτελεσµάτων της εξοµοίωσης. 90

98 Κεφάλαιο 4 ο Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων Προσδιορισµός της µέσης και στιγµιαίας ταχύτητας διάδοσης του streamer Η τρίτη οµάδα αποτελεσµάτων αφορούσε τον προσδιορισµό της µέσης και στιγµιαίας ταχύτητας διάδοσης των ιχνογραφηµάτων γεγονός που αντιστοιχεί στην ταχύτητα διάδοσης των streamers. Τα αποτελέσµατα που προέκυψαν είναι ποιοτικά παρά το γεγονός ότι η ταχύτητα των streamers ήταν της τάξης των cm / sec. Οι εξοµοιώσεις πραγµατοποιήθηκαν σε ένα διάκενο 20 εκατοστών, µε ηλεκτρόδια τύπου ακίδας πλάκας, ενώ η εφαρµοζόµενη τάση ήταν συνεχής θετικής πολικότητας. Χρησιµοποιήθηκαν δύο ζεύγη τιµών για τις παραµέτρους E th και E s (1 η περίπτωση: E th =10kV/cm-E s =5.7kV/cm, 2 η περίπτωση: E th =25kV/cm-E s =3.3kV/cm) ενώ η παράµετρος k (σχέση 3.17) η οποία καθορίζει σε σηµαντικό βαθµό το χρόνο δηµιουργίας ενός δεσµού (και κατ επέκταση την ταχύτητα διάδοσης του ιχνογραφήµατος) πήρε και αυτή δυο διαφορετικές αυθαίρετες τιµές (k=4 και k=6). Η παράµετρος u min (ελάχιστη ταχύτητα διάδοσης του streamer σχέση 3.8) η οποία παίζει επίσης πολύ σηµαντικό ρόλο στον υπολογισµό της ταχύτητας διάδοσης πήρε τιµή ίση µε 10 7 cm/sec. Η µέση ταχύτητα διάδοσης του ιχνογραφήµατος υπολογίστηκε απλά, διαιρώντας το µήκος του διακένου µε το χρόνο διάσπασης, δηλαδή µε το άθροισµα των βηµάτων χρόνου µέχρι τη στιγµή που το ιχνογράφηµα φτάνει στην κάθοδο: < u >= S t tot u = n S t step step= 1 (4.3) Όπου S είναι το µήκος του διακένου και t tot είναι ο χρόνος διάσπασης. Η στιγµιαία ταχύτητα διάδοσης υπολογίστηκε διαιρώντας σε κάθε επανάληψη του προγράµµατος την απόσταση ανάµεσα σε δυο σηµεία του διακένου µε το βήµα του χρόνου: h u = (4.4) t step 91

99 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Όπου h είναι η απόσταση ανάµεσα σε δυο σηµεία του πλέγµατος και t step είναι το βήµα του χρόνου. Τα αποτελέσµατα των εξοµοιώσεων παρατίθενται στα γραφήµατα Στα σχήµατα 4.14 και 4.15 φαίνεται η γραφική παράσταση της µέσης ταχύτητας διάδοσης συναρτήσει της τάσης που εφαρµόζεται στο διάκενο. Η αύξηση της µέσης ταχύτητας µε την εφαρµοζόµενη τάση είναι περίπου γραµµική όπως προκύπτει από τα αποτελέσµατα. Η µεταβολή της τιµής της παραµέτρου k από 4 σε 6, προκαλεί αύξηση της µέσης ταχύτητας διάδοσης ειδικά για τάσεις άνω των 140kV. Η αύξηση αυτή προκύπτει από στον τρόπο υπολογισµού του χρόνου δηµιουργίας ενός νέου δεσµού streamer από την σχέση 3.7. Για µεγαλύτερη τιµή του k οι χρόνοι δηµιουργίας που προκύπτουν από την σχέση 3.7 είναι µικρότεροι και κατά συνέπεια το βήµα του χρόνου (µε τη βοήθεια του οποίου υπολογίζεται η ταχύτητα) θα είναι και αυτό µικρότερο. Στα σχήµατα φαίνεται η γραφική παράσταση της στιγµιαίας ταχύτητας διάδοσης σε συνάρτηση µε την απόσταση από την άνοδο. Όπως και στη προηγούµενη περίπτωση, η ταχύτητα αυξάνεται µε την αύξηση της εφαρµοζόµενης τάσης και την αύξηση της τιµής του συντελεστή k. Η αύξηση της ταχύτητας διάδοσης συναρτήσει της εφαρµοζόµενης τάσης στην άνοδο είναι κατά προσέγγιση γραµµική. Παρόµοια αποτελέσµατα έχουν προκύψει και από εξοµοιώσεις της διάσπασης διακένων αέρα τύπου ακίδας πλάκας µε τη χρήση φυσικού µοντέλου σε µικρότερες όµως αποστάσεις µεταξύ των ηλεκτροδίων [77] αλλά και σε πειραµατική εργασία [78], επίσης σε µικρότερες αποστάσεις. Όπως προκύπτει επίσης από την σύγκριση των αποτελεσµάτων που παρουσιάζονται στα σχήµατα (Ε th =10kV/cm και E s =5.7kV/cm) και (Ε th =25kV/cm και E s =3.3kV/cm), η ταχύτητα διάδοσης στη πρώτη περίπτωση είναι σαφώς µεγαλύτερη. Το γεγονός αυτό οφείλεται στην µικρότερη τιµή της παραµέτρου Ε th (η οποία επηρεάζει άµεσα το χρόνο που υπολογίζεται από τη σχέση 3.7) στην πρώτη σειρά αποτελεσµάτων, κάτι που µας οδηγεί στο συµπέρασµα ότι η τιµή της παραµέτρου Ε th επηρεάζει σηµαντικά την τιµή της ταχύτητας διάδοσης που δίνει η εξοµοίωση. Μελετώντας επίσης τα σχήµατα προκύπτουν και µερικά ακόµη ενδιαφέροντα συµπεράσµατα. Το πρώτο είναι οι τυχαίες µεταβολές της ταχύτητας κατά τη διάρκεια της διάδοσης του ιχνογραφήµατος στο διάκενο γεγονός που 92

100 Κεφάλαιο 4 ο Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων απορρέει από την στοχαστική φύση του µοντέλου. Τέτοιου είδους διακυµάνσεις στη ταχύτητα διάδοσης του streamer έχουν παρατηρηθεί και σε αντίστοιχη πειραµατική εργασία, η οποία όµως αφορούσε µικρότερα διάκενα [79] αλλά και σε εξοµοιώσεις µε τη χρήση φυσικού µοντέλου [77]. Σε αρκετές περιπτώσεις επίσης η διάδοση της κορόνα µπορεί να χωριστεί σε τρεις φάσεις. Μία φάση επιτάχυνσης κοντά στην άνοδο, µια δεύτερη φάση κατά την οποία η ταχύτητα αρχικά µειώνεται και στη συνέχεια παραµένει σταθερή και µια τελευταία φάση κατά την οποία η ταχύτητα αρχίζει και πάλι να αυξάνεται καθώς οι streamers πλησιάζουν την κάθοδο. Η έναρξη της τρίτης φάσης συµπίπτει µάλιστα µε την εµφάνιση αρνητικών streamers στην κάθοδο. Οι τρεις αυτές περιοχές είναι ιδιαίτερα ευδιάκριτες στο σχήµα Οι φάσεις αυτές κατά τη διάρκεια διάδοσης του streamer έχουν παρατηρηθεί και σε αντίστοιχη πειραµατική εργασία [79]. 93

101 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Σχήµα 4.14: Γραφική παράσταση της µέσης ταχύτητας διάδοσης του ιχνογραφήµατος στο διάκενο συναρτήσει της εφαρµοζόµενης τάσης για k=4 (µήκος διακένου, 20cm). Σχήµα 4.15: Γραφική παράσταση της µέσης ταχύτητας διάδοσης του ιχνογραφήµατος στο διάκενο συναρτήσει της εφαρµοζόµενης τάσης για k=6 (µήκος διακένου, 20cm). 94

102 Κεφάλαιο 4 ο Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων Σχήµα 4.16: Γραφική παράσταση της στιγµιαίας ταχύτητας διάδοσης του ιχνογραφήµατος για εφαρµοζόµενη τάση 120kV και µήκος διακένου 20cm. Σχήµα 4.17: Γραφική παράσταση της στιγµιαίας ταχύτητας διάδοσης του ιχνογραφήµατος για εφαρµοζόµενη τάση 140kV και µήκος διακένου 20cm. 95

103 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Σχήµα 4.18: Γραφική παράσταση της στιγµιαίας ταχύτητας διάδοσης του ιχνογραφήµατος για εφαρµοζόµενη τάση 120kV και µήκος διακένου 20cm. Σχήµα 4.19: Γραφική παράσταση της στιγµιαίας ταχύτητας διάδοσης του ιχνογραφήµατος για εφαρµοζόµενη τάση 140kV και µήκος διακένου 20cm. 96

104 Κεφάλαιο 4 ο Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων Σχήµα 4.20: Γραφική παράσταση της στιγµιαίας ταχύτητας διάδοσης του ιχνογραφήµατος για εφαρµοζόµενη τάση 120kV και µήκος διακένου 20cm. Σχήµα 4.21: Γραφική παράσταση της στιγµιαίας ταχύτητας διάδοσης του ιχνογραφήµατος για εφαρµοζόµενη τάση 140kV και µήκος διακένου 20cm. 97

105 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Σχήµα 4.22: Γραφική παράσταση της στιγµιαίας ταχύτητας διάδοσης του ιχνογραφήµατος για εφαρµοζόµενη τάση 120kV και µήκος διακένου 20cm. Σχήµα 4.23: Γραφική παράσταση της στιγµιαίας ταχύτητας διάδοσης του ιχνογραφήµατος για εφαρµοζόµενη τάση 140kV και µήκος διακένου 20cm. 98

106 Κεφάλαιο 4 ο Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων Εκθετική Κατανοµή Η δεύτερη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας που χρησιµοποιήθηκε για την διεξαγωγή των εξοµοιώσεων προέκυψε από την εκθετική κατανοµή, η οποία είχε προταθεί από τον Biller στην εργασία [31]. Ο χρόνος δηµιουργίας ενός νέου δεσµού δίνεται στην περίπτωση αυτή από τη σχέση 3.9. Οι εξοµοιώσεις αφορούσαν διάκενα αέρα τύπου ακίδας-πλάκας και µήκους 15-35cm, τα οποία καταπονούνται από συνεχείς τάσεις θετικής πολικότητας. Σε όλες τις περιπτώσεις οι παράµετροι Ε th και Ε s είχαν σταθερές τιµές και ίσες µε 25kV/cm και 3.3kV/cm αντίστοιχα. Τα αποτελέσµατα που εξήχθησαν αφορούσαν κυρίως στην τάση διάσπασης όταν στο διάκενο εφαρµόζεται συνεχής τάση, ενώ εξήχθησαν και κάποια αποτελέσµατα που αφορούσαν τη στιγµιαία ταχύτητα διάδοσης του ιχνογραφήµατος. Τέσσερα χαρακτηριστικά παραδείγµατα ιχνογραφηµάτων τα οποία δηµιουργήθηκαν από το µοντέλο φαίνονται στα σχήµατα 4.24, Για τη δηµιουργία των ιχνογραφηµάτων των σχηµάτων 4.24, 4.24 χρησιµοποιήθηκε πλέγµα σηµείων διαστάσεων 150x150. Προσδιορισµός της τάσης διάσπασης Συνεχής Τάση Στον πίνακα 7 παρατίθενται τα αποτελέσµατα των εξοµοιώσεων που αφορούν στην τάση διάσπασης υπό συνεχή τάση, για µήκη διακένου από 15 έως 35cm. Η παράµετρος k στη σχέση 3.9 είχε τιµή k=2. Όπως και στη περίπτωση της Weibull κατανοµής η µετάβαση από την περιοχή των τάσεων όπου δεν έχουµε ποτέ διάσπαση σε αυτή όπου έχουµε πάντοτε γίνεται σχεδόν βηµατικά, παρουσιάζοντας πολύ µικρή τυπική απόκλιση (σ<1%). Και στην περίπτωση αυτή, οι τάσεις διάσπασης που προέκυψαν από τις εξοµοιώσεις («κρίσιµη τάση») συγκρίθηκαν µε αποτελέσµατα που προέρχονται από την εφαρµογή µιας εµπειρικής σχέσης (σχέση 4.1) που βρέθηκε στη διεθνή βιβλιογραφία [75] και αφορά αντίστοιχα µήκη διακένων αλλά και πειραµατικά αποτελέσµατα που προέρχονται στο το εργαστήριο υψηλών τάσεων του Πανεπιστηµίου Πατρών και τα οποία δεν προέκυψαν από την εφαρµογή συνεχούς τάσης στο διάκενο αλλά κρουστικής µικρού χρόνου µετώπου και µεγάλης διάρκειας (2/1800µsec) [76]. Τα αποτελέσµατα των εξοµοιώσεων προσεγγίζουν αρκετά καλά τα αντίστοιχα πειραµατικά ειδικά στην περιοχή 15-25cm. Το µεγαλύτερο σχετικό σφάλµα προκύπτει για µήκος διακένου 35cm και φτάνει το 7,5% όπως φαίνεται και στο 99

107 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων πίνακα 8, όπου παρατίθενται τα απόλυτα και σχετικά σφάλµατα. Αντίθετα στην περιοχή 15-25cm δεν ξεπερνά το 3,6%. Προσδιορισµός της στιγµιαίας ταχύτητας διάδοσης των streamers Στα σχήµατα παρατίθενται οι γραφικές παραστάσεις της στιγµιαίας ταχύτητας διάδοσης συναρτήσει της εφαρµοζόµενης τάσης στο διάκενο και της τιµής της παραµέτρου k. Σε αντίθεση µε τη κατανοµή Weibull, η τιµή της στιγµιαίας ταχύτητας υπόκειται σε µεγάλες διακυµάνσεις, µε αποτέλεσµα να µην είναι ευδιάκριτες οι τρεις περιοχές στις οποίες χωρίσαµε τη διάδοση της κορόνα στην ενότητα Οι διακυµάνσεις αυτές προκύπτουν πιθανώς από τη χρήση της εκθετικής κατανοµής για τον υπολογισµό του χρόνου δηµιουργίας του δεσµού, στην οποία η διασπορά εξαρτάται από την µέση τιµή της κατανοµής. 100

108 Κεφάλαιο 4 ο Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων Σχήµα 4.24: Εξάρτηση της µορφής του ιχνογραφήµατος από την παράµετρο Εth. 101

109 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Σχήµα 4.25: Εξάρτηση της µορφής του ιχνογραφήµατος από την παράµετρο Εth. 102

110 Κεφάλαιο 4 ο Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων Πίνακας 7. Αποτελέσµατα εµπειρικής σχέσης 4.1, πειραµατικά δεδοµένα και αποτελέσµατα εξοµοιώσεων που αφορούν την τάση διάσπασης διακένου αέρα τύπου ακίδας-πλάκας το οποίο καταπονείται από συνεχή τάση (E th =25kV/cm E S =3,3kV/cm). d (cm) Πειραµατικά εδοµένα V 50% (kv) (12+5d) V 50% (kv) (2/1800µsec) Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων 1 η Σειρά Εξοµοιώσεων Τάση ιάσπασης (kv) Πίνακας 8. Σχετικές και απόλυτες διαφορές µεταξύ πειραµατικών δεδοµένων (εφαρµογή κρουστικής τάσης 2/1800µsec), εµπειρικής σχέσης 4.1 και αποτελεσµάτων εξοµοίωσης (E th =25kV/cm E S =3,3kV/cm). 2/1800µsec 12+5d (kv) d (cm) Απόλυτο Σφάλµα (kv) Σχετικό Σφάλµα % Απόλυτο Σφάλµα (kv) Σχετικό Σφάλµα % 15-2,6-2, ,6 0,5 2 1, , ,1 35-6,4-3, ,5 103

111 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων 200 Πειραµατικά εδοµένα (2/1800µsec) Πειραµατικά εδοµένα (12+5d kv) Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων 180 Τάση ιάσπασης (kv) Μήκος ιακένου (cm) Σχήµα 4.26: Γραφική παράσταση της τάσης διάσπασης συναρτήσει του µήκους του διακένου όπως αυτή προέκυψε από τα πειραµατικά δεδοµένα (κρουστική 2/1800µsec), την εµπειρική σχέση 4.1 και τις εξοµοιώσεις (Eth=25kV/cm ES=3,3kV/cm) /1800µsec 12+5d kv Σχετικό Σφάλµα % Μήκος ιακένου (cm) Σχήµα 4.27: Γραφική παράσταση του σχετικού σφάλµατος µεταξύ πειραµατικών αποτελεσµάτων, εµπειρικής σχέσης 4.1 και εξοµοίωσης (Eth=25kV/cm ES=3,3kV/cm). 104

112 Κεφάλαιο 4 ο Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων Στιγµιαία ταχύτητα streamer (x10 7 cm/sec) Απόσταση από την Άνοδο (cm) υναµικό Ανόδου: 120kV k=4 Eth=25kV/cm Es=3.3kV/cm 150x150 Σχήµα 4.28: Γραφική παράσταση της στιγµιαίας ταχύτητας διάδοσης του ιχνογραφήµατος για εφαρµοζόµενη τάση 120kV, k=4 και µήκος διακένου 20cm. Στιγµιαία ταχύτητα streamer (x10 7 cm/sec) υναµικό Ανόδου: 140kV k=4 Eth=25kV/cm Es=3.3kV/cm 150x Απόσταση από την Άνοδο (cm) Σχήµα 4.29: Γραφική παράσταση της στιγµιαίας ταχύτητας διάδοσης του ιχνογραφήµατος για εφαρµοζόµενη τάση 140kV, k=4 και µήκος διακένου 20cm. 105

113 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Στιγµιαία ταχύτητα streamer (x10 7 cm/sec) υναµικό Ανόδου: 120kV k=6 Eth=25kV/cm Es=3.3kV/cm 150x Απόσταση από την Άνοδο (cm) Σχήµα 4.30: Γραφική παράσταση της στιγµιαίας ταχύτητας διάδοσης του ιχνογραφήµατος για εφαρµοζόµενη τάση 120kV, k=6 και µήκος διακένου 20cm. Στιγµιαία ταχύτητα streamer (x10 7 cm/sec) υναµικό Ανόδου: 140kV k=6 Eth=25kV/cm Es=3.3kV/cm 150x Απόσταση από την Άνοδο (cm) Σχήµα 4.31: Γραφική παράσταση της στιγµιαίας ταχύτητας διάδοσης της κορόνα για εφαρµοζόµενη τάση 140kV, k=6 και µήκος διακένου 20cm. 106

114 Κεφάλαιο 4 ο Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων Συµπεράσµατα Το στοχαστικό µοντέλο το οποίο αναπτύχθηκε για την εξοµοίωση της διάσπασης µικρών διακένων αέρα, χρησιµοποιήθηκε ως ένα µεγάλο βαθµό επιτυχώς στην εξοµοίωση της πειραµατικής διαδικασίας για τον προσδιορισµό της τάσης διάσπασης V 50%. Η σύγκλιση µε τα αντίστοιχα πειραµατικά δεδοµένα ήταν πολύ καλή, τόσο στην περίπτωση εφαρµογής στην άνοδο συνεχούς τάσης, όσο και κρουστικής 1,2/50µsec, καθώς το µέγιστο σχετικό σφάλµα που καταγράφηκε έφτασε σε µια µόνο περίπτωση το 12,2% (πίνακας 6 εφαρµογή κρουστικής τάσης), ενώ στις περισσότερες περιπτώσεις δεν ξεπέρασε το 5%. Η υιοθέτηση ενός µεγαλύτερου πλέγµατος σηµείων (µε αντίστοιχη µείωση της απόστασης µεταξύ των σηµείων) θα µειώσει περαιτέρω το σχετικό σφάλµα. Οι παράµετροι E th και E S εισάγουν ένα όριο στη διάδοση των streamer όταν αυτοί βρίσκονται υπό την επίδραση ενός ασθενούς ηλεκτρικού πεδίου. Μεταξύ τους υπάρχει µια αλληλεπίδραση, µε την έννοια ότι, όταν αυξάνεται η τιµή της µιας παραµέτρου µειώνεται η τιµή της άλλης. Για το λόγο αυτό µπορούν να βρεθούν πολλά διαφορετικά ζευγάρια τιµών τα οποία θα δώσουν παρόµοια αποτελέσµατα. Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζεται η ρύθµιση της παραµέτρου E th η τιµή της οποίας εξαρτάται από την απόσταση µεταξύ των σηµείων του πλέγµατος. Όσο πιο µεγάλη είναι η απόσταση αυτή, τόσο µικρότερη είναι η τιµή της παραµέτρου. Σε κάθε περίπτωση οι εξοµοιώσεις έδειξαν ότι (για τα µεγέθη του πλέγµατος που χρησιµοποιήθηκαν στις εξοµοιώσεις) παίρνει τιµή µικρότερη από 31kV/cm η οποία είναι απαραίτητη για τη δηµιουργία της κορόνα. Αντίθετα η παράµετρος E S δεν επηρεάζεται από την απόσταση µεταξύ των σηµείων του πλέγµατος και η τιµή της µπορεί να κυµαίνεται µεταξύ 4-5kV/cm περίπου. Οι υπόλοιπες παράµετροι του µοντέλου επηρεάζουν κυρίως την ταχύτητα διάδοσης των ιχνογραφήµατος και όχι τόσο την τάση διάσπασης και κατά τις εξοµοιώσεις έλαβαν υποθετικές τιµές. Η ρύθµισή τους µπορεί να γίνει µε τη βοήθεια πειραµατικών δεδοµένων που αφορούν στην κατανοµή του statistical time lag. Το µοντέλο διαθέτει επίσης τη δυνατότητα υπολογισµού της µέσης και στιγµιαίας ταχύτητας διάδοσης των streamer. Και στην περίπτωση αυτή, υπήρξε σε ορισµένες περιπτώσεις ποιοτική σύγκλιση µεταξύ των αποτελεσµάτων της εξοµοίωσης και των πειραµατικών δεδοµένων τα οποία όµως αφορούσαν διάκενα µικρότερου µήκους σε σχέση µε αυτά της εξοµοίωσης. Η εξαγωγή ποσοτικών αποτελεσµάτων όµως απαιτεί µια πιο συστηµατική διερεύνηση των παραµέτρων 107

115 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων του µοντέλου µε ταυτόχρονη ύπαρξη ικανού όγκου πειραµατικών αποτελεσµάτων, τα οποία είναι απαραίτητα για την σωστή ρύθµιση των παραµέτρων αυτών. Στην παρούσα διδακτορική διατριβή, αυτό που κυρίως επιδιώχθηκε κατά την διάρκεια των εξοµοιώσεων ήταν η διατήρηση της µέσης ταχύτητας διάδοσης των streamer στην περιοχή των cm/sec. Μέσα στις δυνατότητες του µοντέλου περιλαµβάνεται επίσης και ο υπολογισµός του statistical time lag. Υπάρχουν δυο τρόποι υπολογισµού. Ο πρώτος θεωρώντας ως statistical time lag το πρώτο βήµα χρόνου που θα υπολογιστεί από το πρόγραµµα και ο δεύτερος θεωρώντας ως statistical time lag το χρόνο δηµιουργίας του ταχύτερου δεσµού streamer. Κάθε µια µέθοδος δίνει διαφορετικά αποτελέσµατα, µε την πρώτη να δίνει µεγαλύτερους χρόνους και µεγαλύτερη διασπορά (γιατί στον υπολογισµό του βήµατος χρόνου λαµβάνονται υπόψη οι χρόνοι δηµιουργίας όλων των νέων δεσµών), ενώ στη δεύτερη οι χρόνοι που προκύπτουν είναι σαφώς µικρότεροι και µε µικρότερη διασπορά. Και εδώ η ύπαρξη ικανού όγκου πειραµατικών δεδοµένων µπορεί να βοηθήσει στη εκλογή της πιο κατάλληλης µεθόδου. 4.3 Μοντέλο SLT Γενικά Στην παρούσα ενότητα παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα των εξοµοιώσεων που προέκυψαν από το στοχαστικό µοντέλο SLT. Το µοντέλο χρησιµοποιήθηκε τόσο για την εξοµοίωση του ίχνους της εκκένωσης της ηλεκτρικής διάσπασης µεγάλων διακένων αέρα όσο και για την εξοµοίωση του ίχνους του κεραυνού. Τα αποτελέσµατα είναι ποιοτικά και εξήχθησαν προκειµένου να µελετηθεί η συµπεριφορά του καινούργιου αυτού στοχαστικού µοντέλου, µε το οποίο για πρώτη φορά πραγµατοποιήθηκε παράλληλη εξοµοίωση του ίχνους τόσο των streamers όσο και των leaders. Σε όλες τις περιπτώσεις χρησιµοποιήθηκαν υποθετικές τιµές για το χρόνο, την εφαρµοζόµενη τάση και το µήκος του διακένου. Σε πολλά στοχαστικά µοντέλα τα οποία έχουν παρουσιασθεί στο παρελθόν έχει εισαχθεί η συνάρτηση r (E) η οποία στην διεθνή βιβλιογραφία αναφέρεται ως growth probability function [11,13,29,30]. Η συνάρτηση αυτή εµπεριέχει «πληροφορίες» για τους φυσικούς µηχανισµούς που προκαλούν την εκκίνηση της 108

116 Κεφάλαιο 4 ο Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων διαδικασίας της ηλεκτρικής διάσπασης αλλά και τη διάδοση των streamers και των leaders στο χώρο. Όσον αφορά το µοντέλο FFC (το οποίο χρησιµοποιείται για την εξοµοίωση της διάδοσης του ίχνους των streamer) η r (E) δίνεται από τη σχέση Η γραφική παράσταση της συνάρτησης r (E) για τιµές των παραµέτρων E = 1, g = 0. 1 και τ = 1 δίνεται στο σχήµα 4.32 (καµπύλη 1). Από τη σχέση 3.34 προκύπτει επίσης ότι για µια περιοχή τιµών του ηλεκτρικού πεδίου έως 0.8 η συνάρτηση r (E) µπορεί να δοθεί προσεγγιστικά και από τη σχέση r( E) Aexp( E g), όπου A = exp( E g) τ. Η γραφική παράσταση της r (E) σε αυτή τη περίπτωση δίνεται στο σχήµα 4.32 (καµπύλη 2). Εναλλακτικά η r (E) µπορεί να έχει τη µορφή r E) ( E E ) ( n, η οποία έχει χρησιµοποιηθεί πολλές φορές σε άλλα στοχαστικά µοντέλα. Η γραφική παράσταση της r (E) στη περίπτωση αυτή δίνεται και πάλι στο σχήµα 4.32 για διαφορετικές τιµές του συντελεστή n (καµπύλες 3, 4 και 5). Το ιχνογράφηµα που δηµιουργείται από το µοντέλο, αποτελείται από πολλούς δεσµούς τύπου streamer, ορισµένοι από τους οποίους µετατρέπονται σε δεσµούς τύπου leader, σύµφωνα µε τη σχέση Η µετατροπή ενός δεσµού streamer σε δεσµό leader συνοδεύεται από ένα µικρό παλµό ρεύµατος λόγω της βηµατικής µεταβολής του συνολικού φορτίου του ιχνογραφήµατος. Το συνολικό ηλεκτρικό φορτίο του leader και των ηλεκτροδίων υπολογίζεται λύνοντας την εξίσωση Poisson. Οι streamer δεν λαµβάνονται υπόψη στον υπολογισµό του φορτίου καθώς θεωρείται ότι έχουν µηδενική αγωγιµότητα. Στο σχήµα 4.33 φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις του συνολικού φορτίου του leader και της ανόδου. Η αρχική τιµή από την οποία ξεκινά η γραφική παράσταση αντιστοιχεί στο αρχικό φορτίο των ηλεκτροδίων. Για µεγάλες τιµές της εφαρµοζόµενης τάσης (καµπύλη 3) το συνολικό φορτίο (και συνακόλουθα το ρεύµα) αυξάνεται πολύ γρήγορα, λόγω της γρήγορης προώθησης του leader στο διάκενο. 109

117 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Σχήµα 4.32: Γραφική παράσταση της συνάρτησης r (E). Η καµπύλη 1 αντιστοιχεί στη σχέση 3.31 µε παραµέτρους E = 1, g = 0. 1 και τ = 1. Η καµπύλη 2 αντιστοιχεί στην προσέγγιση της σχέσης 3.31 η οποία ισχύει µόνο για µικρές πιθανότητες δηµιουργίας νέων δεσµών. Οι καµπύλες 3, 4, 5 αντιστοιχούν στη δυναµική µορφή της συνάρτησης r (E) για τιµές της παραµέτρου n =3, 5 και 9 αντίστοιχα, E = 1 και τ = 1. Σχήµα 4.33: Γραφική παράσταση του συνολικού ηλεκτρικού φορτίου του leader και της ανόδου συναρτήσει του χρόνου. Για την εξοµοίωση των streamers χρησιµοποιήθηκε το µοντέλο MESTL µε τιµές παραµέτρων n = 9, E = 1 και τ = 1. Το µέγεθος του πλέγµατος ήταν 100x100 και η εφαρµοζόµενη τάση V0=9.3, 10 και 13.3 (καµπύλες 1, 2, 3 αντίστοιχα). 110

118 Κεφάλαιο 4 ο Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων Παραδείγµατα Ιχνογραφηµάτων Στα σχήµατα 4.34, 4.35 φαίνονται δυο χαρακτηριστικά ιχνογραφήµατα τα οποία δηµιουργήθηκαν από το στοχαστικό µοντέλο SLT. Στη πρώτη περίπτωση (σχήµα 4.34) χρησιµοποιήθηκε το µοντέλο FFC για την δηµιουργία των δεσµών τύπου streamers ενώ στη δεύτερη (σχήµα 4.35) το µοντέλο MESTL. Και στις δυο περιπτώσεις η συνάρτηση r (E) δίνεται από την σχέση 3.34, µε παραµέτρους E =1, g = 0. 1 και τ = 1. Στο σχήµα 4.35 φαίνεται επίσης και η κατανοµή του ηλεκτρικού πεδίου E (x). Όταν ο leader πλησιάσει κοντά στην κάθοδο, το ηλεκτρικό πεδίο στην επιφάνεια της καθόδου µεγαλώνει αρκετά µε αποτέλεσµα σε αρκετές περιπτώσεις να έχουµε την δηµιουργία ανερχόµενων δεσµών streamer. Το φαινόµενο αυτό θα ήταν συχνότερο εάν και οι δεσµοί streamer είχαν µια πεπερασµένη αγωγιµότητα (και κατά συνέπεια µια ορισµένη πτώση τάσης) και συνέβαλαν και αυτοί στη διαµόρφωση του ηλεκτρικού πεδίου. Στα σχήµατα φαίνονται µια σειρά από ιχνογραφήµατα τα οποία δηµιουργήθηκαν χρησιµοποιώντας το µοντέλο MESTL για τη δηµιουργία των δεσµών streamer. Τα αποτελέσµατα των εξοµοιώσεων µε το µοντέλο SLT συγκρίθηκαν µε το µοντέλο MESTL το οποίο έχει χρησιµοποιηθεί σε άλλες εργασίες για την εξοµοίωση της ηλεκτρικής διάσπασης, και το οποίο προβλέπει την ύπαρξη µόνο δεσµών leader ή streamer (αναλόγως µε το µήκος του διακένου), µε µηδενική πτώση τάσης (Ordinary Laplace Model OLM). Όταν το δυναµικό της ανόδου είναι χαµηλό, το ιχνογράφηµα που δηµιουργείται από το µοντέλο SLT περιλαµβάνει ελάχιστους δεσµούς streamer και δεν διαφέρει πρακτικά από το µοντέλο OLM. Η διαφορά µεταξύ των δυο µοντέλων έγκειται στην ταχύτητα διάδοσης του ιχνογραφήµατος, η οποία είναι σαφώς µεγαλύτερη στη περίπτωση του µοντέλου OLM δεδοµένου ότι δεν υπάρχει το ενδιάµεσο στάδιο µετατροπής (και η αντίστοιχη χρονική καθυστέρηση) των δεσµών τύπου streamer σε δεσµούς τύπου leader. Στην περίπτωση του µοντέλου SLT η ταχύτητα διάδοσης εξαρτάται σε µεγάλο βαθµό από την παράµετρο w (σχέση 3.40). Όσο πιο µικρή είναι η τιµή της παραµέτρου w τόσο πιο γρήγορα γίνεται η µετατροπή του δεσµού streamer σε leader µε αντίστοιχη αύξηση της ταχύτητας διάδοσης του ιχνογραφήµατος. Για µεγαλύτερες τιµές του δυναµικού της ανόδου, το ιχνογράφηµα αποκτά περισσότερες διακλαδώσεις καθώς αυξάνει ο αριθµός των δεσµών streamer όχι 111

119 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων όµως και ο αριθµός των leader (σχήµα 4.37a). Αντίθετα στο µοντέλο OLM µε την αύξηση του δυναµικού αυξάνεται σε µεγάλο βαθµό ο αριθµός των δεσµών leader, ειδικά όταν το ιχνογράφηµα πλησιάζει την κάθοδο (σχήµα 4.37). Η πιο ρεαλιστική απεικόνιση του ίχνους της διάσπασης είναι ένα από τα κυριότερα πλεονεκτήµατα του µοντέλου SLT. Σηµαντικό ρόλο στον αριθµό των κλάδων του ιχνογραφήµατος παίζει και η τιµή της παραµέτρου n. Όσο µεγαλώνει η τιµή της παραµέτρου µειώνεται και ο αριθµός των κλάδων. Αυτό φαίνεται συγκρίνοντας τα ιχνογραφήµατα των σχηµάτων 4.37 ( n = 9 ) και 4.38 ( n = 3 ). Στα σχήµατα 4.38b και 4.38c φαίνεται το ίδιο ιχνογράφηµα µε την παρουσία δεσµών streamer και χωρίς αυτήν αντίστοιχα. Η ταχύτητα διάδοσης του ιχνογραφήµατος είναι περίπου δύο φορές µεγαλύτερη στην περίπτωση που χρησιµοποιείται για την εξοµοίωση το OLM µοντέλο. Στο σχήµα 4.39 φαίνεται η εξοµοίωση του ίχνους ενός κεραυνού, µε την άνοδο να είναι ένα ηµισφαίριο το οποίο αναπαριστά το σύννεφο. Ο κεραυνός ξεκίνησε από ένα τυχαίο σηµείο του «σύννεφου» και κατευθύνεται προς το «έδαφος». Πλησιάζοντας το έδαφος το ιχνογράφηµα του κεραυνού θα χτυπήσει σε ένα τυχαίο σηµείο, εάν θεωρηθεί ότι το έδαφος τελείως επίπεδο. Το γεγονός αυτό αλλάζει όµως µε την τοποθέτηση ενός υψηλού αντικειµένου (για παράδειγµα µιας ράβδου Franklin) σε κάποιο σηµείο του εδάφους. Στην περίπτωση αυτή και ανάλογα µε τη θέση της ράβδου, το ιχνογράφηµα κτυπά συνήθως τη ράβδο και όχι κάποιο άλλο τυχαίο σηµείο, γεγονός που συµβαίνει και στην πραγµατικότητα. Αυτό φαίνεται στα σχήµατα 4.40 και Στα γραφήµατα α και β του σχήµατος 4.40 φαίνεται η κατανοµή των πληγµάτων ενός κεραυνού στο έδαφος χωρίς και µε την παρουσία ράβδου Franklin αντίστοιχα. Απουσία της ράβδου η κατανοµή των πληγµάτων του κεραυνού στο έδαφος είναι κατά προσέγγιση κανονική. Αντιθέτως η ύπαρξη της ράβδου κάτω ακριβώς από το σηµείο εκκίνησης του κεραυνού έχει ως αποτέλεσµα στη συντριπτική πλειοψηφία των εξοµοιώσεων ο κεραυνός να πλήττει τη ράβδο. Στη συγκεκριµένη περίπτωση το µοντέλο που χρησιµοποιήθηκε για την διάδοση των δεσµών streamer ήταν το FFC. Αντίστοιχα είναι και τα αποτελέσµατα τα οποία παρουσιάζονται στα γραφήµατα του σχήµατος 4.41, όπου χρησιµοποιείται το µοντέλο MESTL για την διάδοση των δεσµών streamer. Τα αποτελέσµατα αυτά συµπίπτουν µε αντίστοιχα 112

120 Κεφάλαιο 4 ο Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων αποτελέσµατα τα οποία προέκυψαν µε τη χρήση άλλου στοχαστικού µοντέλου και τα οποία έχουν δηµοσιευθεί στην εργασία [24]. 113

121 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Σχήµα 4.34: Παράδειγµα ιχνογραφήµατος το οποίο δηµιουργήθηκε από το µοντέλο SLT χρησιµοποιώντας το µοντέλο FFC για τη δηµιουργία και διάδοση των streamers. Η έντονη µαύρη γραµµή αναπαριστά τον leader και οι λεπτές τους streamers. Το δυναµικό στην άνοδο είναι V0=5.4, η παράµετρος w =1. 1, ο χρόνος t=720 και το µέγεθος του πλέγµατος 40x40. Σχήµα 4.35: Παράδειγµα ιχνογραφήµατος το οποίο δηµιουργήθηκε από το µοντέλο SLT χρησιµοποιώντας το µοντέλο MESTL για τη δηµιουργία και διάδοση των streamer. Η έντονη µαύρη γραµµή αναπαριστά τον leader και οι λεπτές τους streamer. Το δυναµικό στην άνοδο είναι V0=5.4, η παράµετρος w =1. 1, ο χρόνος t=620 και το µέγεθος του πλέγµατος 40x

122 Κεφάλαιο 4 ο Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων Σχήµα 4.36: Παραδείγµατα ιχνογραφηµάτων τα οποία δηµιουργήθηκαν a) µε τη χρήση του µοντέλου MESTL b) µε τη χρήση του µοντέλου SLT µε w =1. 1. n = 9, V0 = 6 και t=1860 (a) και n=9, V0=6 και t=3040 (b). Το µέγεθος του πλέγµατος είναι 100x

123 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Σχήµα 4.37: Παραδείγµατα ιχνογραφηµάτων τα οποία δηµιουργήθηκαν a) µε τη χρήση του µοντέλου MESTL b) µε τη χρήση του µοντέλου SLT µε =1. 1 (φαίνονται µόνο οι leader). n = 9, V0 = 10 και t=630 (a) = 9, V0 = x100. w n και t=1830 (b). Το µέγεθος του πλέγµατος είναι 116

124 Κεφάλαιο 4 ο Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων Σχήµα 4.38: Παραδείγµατα ιχνογραφηµάτων τα οποία δηµιουργήθηκαν α) µε τη χρήση του στοχαστικού µοντέλου MESTL και b), c) µε το µοντέλο SLT, w =1. 1, n = 3, V 0 = 6 και t = 180 (α) n = 3, V 0 = 6 και t = 330 (b), (c)). Το µέγεθος του πλέγµατος είναι 100x100. Στο σχήµα 4.38b απεικονίζονται ταυτόχρονα τόσο οι streamers όσο και οι leaders. Αντίθετα στο σχήµα 4.38c απεικονίζονται µόνο οι δεσµοί τύπου leader. 117

125 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Σχήµα 4.39: Ιχνογράφηµα κεραυνού το οποίο δηµιουργήθηκε από το µοντέλο SLT. Απεικονίζονται µόνο οι δεσµοί τύπου leader. Το µέγεθος του πλέγµατος είναι 100x100, n = 9, V 0 =13. 3 και t =

126 Κεφάλαιο 4 ο Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων Κατανοµή πληγµάτων κεραυνών (a) Αριθµός Πληγµάτων (% Απόσταση από το κέντρο (αυθαίρετες µονάδες) Κατανοµή πληγµάτων κεραυνών (b) Αριθµός Πληγµάτων (% Απόσταση από το κέντρο (αυθαίρετες µονάδες) Σχήµα 4.40: Κατανοµή των πληγµάτων κεραυνών a) σε επίπεδο «έδαφος» b) παρουσία ράβδου Franklin στο κέντρο του κάτω ηλεκτροδίου. Το µοντέλο που χρησιµοποιήθηκε για την εξοµοίωση της διάδοσης των streamers ήταν το FFC. 119

127 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Κατανοµή πληγµάτων κεραυνών (a) Αριθµός πληγµάτων (% Απόσταση από το κέντρο (αυθαίρετες µονάδες) Κατανοµή πληγµάτων κεραυνών (b) Αριθµός πληγµάτων (% Απόσταση από το κέντρο (αυθαίρετες µονάδες) Σχήµα 4.41: Κατανοµή των πληγµάτων κεραυνών a) σε επίπεδο «έδαφος» b) παρουσία ράβδου Franklin στο κέντρο του κάτω ηλεκτροδίου. Το µοντέλο που χρησιµοποιήθηκε για την εξοµοίωση της διάδοσης των streamers ήταν το MESTL. 120

128 Κεφάλαιο 4 ο Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων Συµπεράσµατα Το στοχαστικό µοντέλο SLT αναπτύχθηκε προκειµένου να µελετηθεί η δυνατότητα παράλληλης εξοµοίωσης του ίχνους των streamers και των leaders. Κάτι τέτοιο είναι απαραίτητο για την καλύτερη εξοµοίωση της ηλεκτρικής διάσπασης µεγάλων διακένων. Ο ίδιος ο σκοπός της ανάπτυξης του µοντέλου περιόρισε τον ρόλο του στην εξαγωγή ποιοτικών µόνο αποτελεσµάτων. Παρά τη σχετική του απλότητα το µοντέλο πέτυχε να εξοµοιώσει κάποια βασικά χαρακτηριστικά των διασπάσεων, όπως το statistical time lag, την τυχαία (και µοναδική κάθε φορά) µορφή των δηµιουργούµενων ιχνογραφηµάτων, την ανάπτυξη ανερχόµενων streamer και leader κλπ. Μια από τις πιο σοβαρές απλοποιήσεις που έχουν γίνει στο µοντέλο είναι η παραδοχή ότι οι streamers λόγω της χαµηλής τους αγωγιµότητας δεν επηρεάζουν την κατανοµή του εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα να διαδίδονται στο διάκενο υπό την επίδραση µόνο του ηλεκτρικού πεδίου που δηµιουργείται από τους leaders και την άνοδο. Για το λόγο αυτό δεν µπορούν να διαδοθούν περισσότερο από δυο ή τρία βήµατα µπροστά από τον leader. Η ταχύτητα διάδοσης του ιχνογραφήµατος δεν εξαρτάται µόνο από την ταχύτητα των streamers αλλά και από τον απαιτούµενο χρόνο µετατροπής του δεσµού streamer σε leader. Ο χρόνος αυτός εξαρτάται από την παράµετρο τιµές της παραµέτρου w. Για µικρές w ο χρόνος µετατροπής είναι µικρός και το µοντέλο είναι πρακτικά ισοδύναµο µε τα υπόλοιπα στοχαστικά µοντέλα τα οποία προβλέπουν την ύπαρξη µόνο δεσµών τύπου leader («µοντέλα Laplace»), ο οποίος θεωρείται συνήθως ισοδυναµικός. Το µοντέλο λειτουργεί πιο αποτελεσµατικά σε σχέση µε τα υπόλοιπα στοχαστικά µοντέλα όταν η εφαρµοζόµενη τάση στην άνοδο παίρνει µεγάλες τιµές, καθώς περιορίζει την ανάπτυξη µεγάλου αριθµού δεσµών τύπου leader, σε αντίθεση µε τα υπόλοιπα µοντέλα στα οποία δηµιουργείται ένας υπερβολικά µεγάλος αριθµός δεσµών leader. Παρά την απλότητά του, το στοχαστικό µοντέλο SLT περιγράφει πιο ρεαλιστικά τον φυσικό µηχανισµό διάσπασης µεγάλων διακένων σε σχέση µε τα µοντέλα Laplace. Μπορεί δε να αποτελέσει την βάση για την ανάπτυξη άλλων πιο αποτελεσµατικών µοντέλων, τα οποία θα στηρίζονται επίσης στην ιδέα της παράλληλης εξοµοίωσης των streamers και των leaders. Το µοντέλο SLP που παρουσιάστηκε στην ενότητα 3.6 αποτελεί ένα τέτοιο παράδειγµα. 121

129 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων 4.4 Στοχαστικό µοντέλο SLP Γενικά Το στοχαστικό µοντέλο SLP αναπτύχθηκε µε σκοπό να εξαλείψει ένα µέρος από τα µειονεκτήµατα του µοντέλου SLT ώστε να είναι δυνατή η εξαγωγή ποσοτικών αποτελεσµάτων. Και στην περίπτωση αυτή γίνεται παράλληλη εξοµοίωση της διάδοσης των δεσµών streamer και leader. Η τεχνική της εξοµοίωσης όµως (η οποία περιγράφεται στο κεφάλαιο 3, ενότητα 3.6) είναι διαφορετική σε σχέση µε αυτή του µοντέλου SLT. Ένα από τα κυριότερα µειονεκτήµατα του µοντέλου είναι η ύπαρξη µεγάλου αριθµού παραµέτρων, οι οποίες θα πρέπει να ρυθµιστούν προκειµένου να γίνει η εξοµοίωση. Το γεγονός αυτό δεν επέτρεψε µέχρι τώρα την εξαγωγή µεγάλου αριθµού αποτελεσµάτων. Η κυριότερη εργασία η οποία παρουσιάζεται στην ενότητα αυτή αφορά την εξοµοίωση µιας πειραµατικής διαδικασίας, η οποία έλαβε χώρα στο Πανεπιστήµιο του Μισισιπή, µε σκοπό τον προσδιορισµό της ζώνης προστασίας µιας ράβδου Franklin Αποτελέσµατα Όπως έχει ήδη αναφερθεί και στο κεφάλαιο 3, το µοντέλο αποτελείται από το συνδυασµό δυο στοχαστικών µοντέλων, ένα για την εξοµοίωση της διάδοσης των streamers και ένα για την εξοµοίωση της διάδοσης των leaders. Χάρη στη διάρθρωση του προγράµµατος, οποιοδήποτε στοχαστικό µοντέλο το οποίο έχει αναπτυχθεί µέχρι τώρα, µπορεί να χρησιµοποιηθεί στην εξοµοίωση. Στη συγκεκριµένη περίπτωση, για τους µεν streamers χρησιµοποιήθηκε το µοντέλο που περιγράφεται στην ενότητα 3.4, για δε τους leaders χρησιµοποιείται το µοντέλο Wiesmann - Zeller. Στο σχήµα 4.42 φαίνονται τέσσερα διαδοχικά ιχνογραφήµατα τα οποία δηµιουργήθηκαν µε το µοντέλο SLP. Η εξοµοίωση αφορά διάκενο µήκους 1 µέτρου, µε εφαρµογή συνεχούς τάσης θετικής πολικότητας στη ράβδο. Η πτώση τάσης στο streamer είναι 5kV/cm ενώ στο leader 1kV/cm. Η εξοµοίωση τερµατίζεται µόλις οι streamer φτάσουν στην κάθοδο. Στα ιχνογραφήµατα αυτά µπορεί κάποιος να παρατηρήσει ότι τόσο οι streamers όσο και οι leaders αποτελούνται από σηµεία και όχι από δεσµούς. Η απουσία δεσµών έγινε µε σκοπό να δείξει ότι η εξοµοίωση δεν αναφέρεται στη διάδοση συγκεκριµένων streamer (των οποίων ο αριθµός µπορεί να είναι πολύ µεγάλος) 122

130 Κεφάλαιο 4 ο Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων αλλά στη διάδοση της κορόνα και στον προσδιορισµό του χώρου που αυτή καταλαµβάνει. 123

131 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων Σχήµα 4.42: Εξοµοίωση της διάσπασης µεγάλου διακένου. Φαίνεται η διάδοση των streamers και των leaders σε τέσσερις διαδοχικές χρονικές στιγµές. 124

132 Κεφάλαιο 4 ο Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων Προσδιορισµός της ζώνης προστασίας µιας ράβδου Franklin Το στοχαστικό µοντέλο SLP χρησιµοποιήθηκε για την εξοµοίωση µιας πειραµατικής διαδικασίας η οποία έγινε στο Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων του Πανεπιστηµίου του Μισισιπή και το οποίο αποσκοπούσε στον προσδιορισµό της ζώνης προστασίας µιας ράβδου Franklin [80-81] και ειδικότερα στο εάν ισχύει η µέθοδος της κυλιόµενης σφαίρας η οποία χρησιµοποιείται ευρύτατα στον προσδιορισµό της ζώνης προστασίας. Στη µέθοδο αυτή θωρείται ότι η απόσταση διάσπασης προς το έδαφος D και προς τη ράβδο D * είναι ίσες και κατά συνέπεια η ζώνη προστασίας αποτελεί µέρος ενός κύκλου (σχήµα 4.43α). Στην πραγµατικότητα όµως οι αποστάσεις αυτές είναι διαφορετικές µεταξύ τους και η σχέση µεταξύ τους επηρεάζεται από πολλούς παράγοντες µεταξύ των οποίων και η πολικότητα της εφαρµοζόµενης τάσης. Η πειραµατική διαδικασία για τον προσδιορισµό της σχέσης µεταξύ των αποστάσεων D και D * είχε ως εξής. Για ένα συγκεκριµένο ύψος της ράβδου, H, και µια συγκεκριµένη απόσταση του άνω ηλεκτροδίου από το έδαφος, D, µεταβάλλεται η απόσταση X ανάµεσα στις δυο ράβδους (σχήµα 4.43β). Ανάλογα µε την απόσταση αυτή η διάσπαση γίνεται είτε µεταξύ των δύο ράβδων, είτε µεταξύ ράβδου και γης (σχήµατα 4.44α και 4.44β αντίστοιχα). Για µια συγκεκριµένη όµως απόσταση X, η διάσπαση γίνεται ταυτόχρονα προς τη ράβδο και τη γη (σχήµα 4.44γ). Στη περίπτωση αυτή θεωρήθηκε ότι η πιθανότητα διάσπασης είναι η ίδια και προς τις δυο διευθύνσεις και η απόσταση D * υπολογίσθηκε από τη σχέση: (α) (β) Σχήµα 4.43: (α) Η ζώνη προστασίας µιας ράβδου Franklin σύµφωνα µε τη µέθοδο της κυλιόµενης σφαίρας (β) Σχηµατική αναπαράσταση της διάταξης των ηλεκτροδίων [80-81]. 125

133 Πανεπιστήµιο Πατρών Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων D = x 2 + ( D H ) 2 (4.5) * Στη περίπτωση της µεθόδου των κυλιόµενων σφαιρών ισχύει D = D, κάτι το οποίο δεν προέκυψε από τα πειράµατα. Κατά τη διάρκεια των πειραµάτων χρησιµοποιήθηκαν κρουστικές τάσεις 1,2/50µsec, θετικής και αρνητικής πολικότητας. Η απόσταση D ανάµεσα στο άνω ηλεκτρόδιο και το έδαφος (η οποία ήταν µια γειωµένη πλάκα) κυµαινόταν από 80 έως 150 εκατοστά. Η εξοµοίωση της πειραµατικής διαδικασίας περιορίστηκε στην εφαρµογή τάσης θετικής πολικότητας. Χρησιµοποιήθηκαν δυο διαφορετικές ράβδοι Franklin, µε ύψος H=80cm και H=100cm, ενώ η απόσταση D της ανόδου από το έδαφος κυµαινόταν µεταξύ 80 και 150cm. Στο σχήµα 4.45 φαίνονται τρία ιχνογραφήµατα τα οποία προέκυψαν από τις εξοµοιώσεις και τα οποία αντιστοιχούν στις τρεις δυνατές περιπτώσεις διάσπασης (ακίδα-ακίδα, ακίδαπλάκα, ακίδα-ακίδα και πλάκα). Στα ιχνογραφήµατα του σχήµατος 4.45, ο leader αναπαρίσταται µε τα έντονα µαύρα σηµεία, ενώ οι streamers µε τα µικρά λεπτά σηµεία. Θα πρέπει να τονιστεί ότι τα ιχνογραφήµατα έχουν υποστεί µια γραφική επεξεργασία µε σκοπό να δείξουν την πιθανή µορφή του τόξου που δηµιουργείται ώστε να γίνει σύγκριση µε τις φωτογραφίες του σχήµατος Στην πραγµατικότητα η εξοµοίωση σταµατά µόλις οι κατερχόµενοι streamers συναντηθούν µε τους ανερχόµενους. Για την εξοµοίωση χρησιµοποιήθηκε ένα πλέγµα σηµείων µεγέθους 150x150. Η πτώση τάσης στον leader θεωρήθηκε ίση µε 1kV/cm ενώ η πτώση τάσης στους streamers θεωρήθηκε ίση µε 4kV/cm. Το πλάτος της τάσης που χρησιµοποιήθηκε τόσο στην πειραµατική διαδικασία όσο και στην εξοµοίωση παρατίθενται στον πίνακα 10. Στον πίνακα 11 παρατίθενται τα αποτελέσµατα, τόσο αυτά που προέκυψαν από την εξοµοίωση όσο και τα πειραµατικά. Στο γράφηµα του σχήµατος 4.46 φαίνεται η σχετική διαφορά µεταξύ των πειραµατικών αποτελεσµάτων και των εξοµοιώσεων. 126

134 Κεφάλαιο 4 ο Αποτελέσµατα Εξοµοιώσεων (α) Η=80cm, D=80cm, X=64.7cm (β) Η=100cm, D=100cm, X=120.2cm (γ) Η=120cm, D=150cm, X=127.6cm Σχήµα 4.44: Φωτογραφίες από την πειραµατική διαδικασία για τον προσδιορισµό της ζώνης προστασίας µιας ράβδου Franklin [80-81]. 127