Μηχανική Πολύστρωτων Συνθέτων Υλικών Συνεχών Ινών

Transcript

1 Μηχανική Πολύστρωτων Συνθέτων Υλικών Συνεχών Ινών Οι προσεγγιστικές σχέσεις που έχουμε αναπτύξει όπως ο νόμος των φάσεων για τις δυο διευθύνσεις, οι σχέσεις υπολογισμού αντοχής δίνουν κάποιες καλές προσεγγίσεις για σύνθετα υλικά πολύ μικρού πάχους στις κύριες διευθύνσεις του υλικού, παράλληλα δηλαδή ή κάθετα στις ίνες. Αυτές οι σχέσεις ανήκουν στη σφαίρα της μικρομηχανικής των συνθέτων υλικών. Στο κεφ. 3 είδαμε ότι τις περισσότερες φορές τα υλικά αυτά έχουν μεγάλο πάχος, αποτελούμενα από πολλές στρώσεις συνεχών ινών διαφόρων κατευθύνσεων και πιθανών ειδών. Απαιτείται λοιπόν μια θεωρία που λαμβάνοντας υπόψη την ανισότροπη φύση τους να μπορεί να προβλέψει τις ελαστικές μηχανικές ιδιότητες των υλικών αυτών ανεξάρτητα από διεύθυνση, πάχος και υλικό. Με άλλα λόγια, το υλικό μας ακριβώς όπως και στη μηχανική του συνεχούς μέσου θα θεωρείται συνεχές και ομογενές αλλά όχι ισότροπο και δεν θα μας ενδιαφέρει η μικροδομή του. Εδώ γίνεται αντιδιαστολή με τη μικρομηχανική όπου από τους διαφόρους νόμους υπολογίζουμε τις ελαστικές ιδιότητές ως συνάρτηση της σύστασης του. 1

2 Κλασσική Θεωρία Πολύστρωτων Πλακών-Classical Lamination Theor (CLT) Παραπέρα ακόμη αφού ορίσουμε και περιγράψουμε επαρκώς τη μηχανική συμπεριφορά μιας στρώσης θα είναι δυνατό να καταστρώσουμε μια θεωρία που να προβλέπει τη μηχανική συμπεριφορά σύνθετων υλικών από συνεχείς ίνες πολλαπλών όμως στρώσεων σε διάφορες συνθήκες φόρτισης. Η θεωρία αυτή ονομάζεται Κλασσική Θεωρία Πολύστρωτων Πλακών ή CLT (Classical Lamination Theor). Αν και η πλήρης αναφορά στη μακρομηχανική και τη CLT για σύνθετα υλικά απαιτεί τον όγκο ενός πλήρους συγγράματος στο παρόν κεφάλαιο φιλοδοξείται να δοθεί μια γενική εικόνα αυτών επαρκής όμως για το επίπεδο γνώσης που παρέχεται στα πλαίσια του αντικειμένου αυτού του μαθήματος.

3 Γνωρίζουμε ότι σε μια διάσταση ή στο επίπεδο η ορθή και η διατμητική τάση συσχετίζονται με την αντίστοιχή τους ορθή και διατμητική παραμόρφωση μέσω των σχέσεων του νόμου του Ηοοke: E G Στη γενική όμως εντατική κατάσταση στο χώρο όπου εμφανίζονται όλες οι τάσεις και παραμορφώσεις, με άλλα λόγια οι τανυστές σ ij και ε ij Γενικευμένος Νόμος Hooke-1 3

4 Συμβολισμοί Στον απειροελάχιστο «κύβο» εξασκούνται 3 ορθές και 6 διατμητικές τάσεις. Οι τάσεις συμβολίζονται ως εξής: σ ij Το i αναφέρεται στο επίπεδο που η τάση δρα Το j αναφέρεται στην παραλληλία με άξονα συντεταγμένων Κάθε «επίπεδο» ορίζεται από τον κάθετο άξονα του. Π.χ. z =x, x =z, xz = 4

5 Κατάσταση Ισορροπίας Σε κατάσταση ισορροπίας οι διατμητικές τάσεις που ασκούνται σε κάθετα επίπεδα είναι ίσες μεταξύ τους και κατευθύνονται προς την κοινή ακμή των επιπέδων ή απομακρύνονται από αυτή (Cauch). 5

6 Ισορροπία Διατμητικών Τάσεων z τ z τ z.c τ z x Σε κατάσταση ισορροπίας αν πάρουμε τις ροπές ως προς το C έχουμε: dz d zdxd zdxdz Εάν κάνουμε την ίδια άσκηση για όλες τις διατμητικές τάσεις προκύπτει: τ z,, x x zx xz z z 6

7 Τελικοί Συμβολισμοί Άρα οι 6 τάσεις που επενεργούν στον απειροελάχιστο κύβο είναι: Ορθές τάσεις:,, xx x zz z Διατμητικές τάσεις:,, x x zx xz z z 7

8 Κύριες Τάσεις Εαν και οι 6 τάσεις είναι γνωστές τότε γνωρίζουμε πλήρως την εντατική κατάσταση του σώματος. Οι πιο πάνω συνιστώσες αποτελούν τα στοιχεία του τανυστή τάσης σ ij x x xz x z zx z z Εάν επιλέξουμε ένα σύστημα αξόνων για τους οποίους οι διατμητικές τάσεις μηδενίζονται τότε οι εναπομένουσες ορθές τάσεις ονομάζονται κύριες τάσεις. Ο αντίστοιχος σ ij είναι: σ ij x z 8

9 Γραμμικότητα Τάσης-Παραμόρφωσης Έχουμε εξετάσει ήδη την γενική εντατική κατάσταση πάνω σε ένα απειροελάχιστο κύβο που αποτελεί τη «σημειακή» μας αναφορά. Η μακροσκοπική σχέση μεταξύ τάσης και παραμόρφωσης δεν είναι προφανής (εκτός εάν αναφερόμαστε σε ένα τέλειο κρύσταλλο γνωστής γεωμετρίας και σταθερών δεσμού). Μπορούμε όμως να υποθέσουμε ότι κάθε συνιστώσα της τάσης συνδέεται γραμμικά με κάθε συνιστώσα παραμόρφωσης (με άλλα λόγια η επιβολή μιας ορισμένης τάσης επιφέρει παραμορφώσεις σε όλα τα επίπεδα και διευθύνσεις που εξετάσαμε). Η γραμμικότητα ισχύει μόνο για μικρές παραμορφώσεις. 9

10 Γενικευμένος Νόμος Hooke- Επειδή πάντα βρισκόμαστε στο πλαίσιο της γραμμικής θεωρίας ελαστικότητας, χωρίς να χάνεται η γενίκευση του προβλήματος μπορούμε να υποθέσουμε ότι κάθε τάση συνδέεται γραμμικά με κάθε παραμόρφωση μέσω μιας σειράς γραμμικά ανεξαρτήτων σταθερών αλλά και αντίστροφα, κάθε παραμόρφωση συνδέεται γραμμικά με κάθε τάση μέσω μιας σειράς σταθερών που είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Στην πρώτη περίπτωση οι σταθεροί συντελεστές θα λέγονται ελαστικές σταθερές ή σταθερές δυσκαμψίας ενώ στη δεύτερη λέγονται σταθερές ενδοτικότητας. Με βάση τα παραπάνω μπορούμε να καταστρώσουμε μια σειρά εξισώσεων για το πρόβλημα όπως παρακάτω: x A1 x B1 C1 z D1 x E1 xz F1 z A B C D E F (4.1).. z 6 x x 6 A B C D 6 z z 6 x x E 6 xz xz F 6 z z 10

11 Γενικευμένος Νόμος Hooke-3 Οι παραπάνω εξισώσεις είναι ένα σύστημα 6 εξισώσεων με 36 ελαστικές σταθερές. Αυτό οφείλεται ότι σε ισορροπία έχουμε:,, x x xz zx z z Σε μορφή πίνακα η εξίσωση μπορεί να γραφεί ως: x A1 B1 C1 D1 E1 F1 x z z x x xz xz A B C D E F z z (4.1) 11

12 Γενικευμένος Νόμος Hooke- 4 Οι έξι εξισώσεις μπορούν να παρασταθούν συνοπτικά με την εξίσωση: σij Cijklε (4.) ij Τανυστές ας τάξης (συνήθως 3Χ3 στοιχείωνεδώ περιέχουν 6 ανεξάρτητες μεταβλητές) Τανυστής 4ης τάξης (συνήθως 9Χ9 στοιχείωνεδώ περιέχει 36 ελαστικές σταθερές) Αντίστροφα μπορεί να εκφραστεί το σύστημα (4.1) για τις παραμορφώσεις συναρτήσει του τανυστή ένδοσης S του σύνθετου υλικού (επίσης 4ης τάξης): ε S σ, i, j, k, l x,, z (4.3) ij ijkl ij 1

13 Σύντμηση Παραμέτρων-1 Οι (4.) και (4.3) αποτελούν τη γνωστή γενίκευση του νόμου του Hooke για στερεά στη γραμμική θεωρία ελαστικότητας. Για λόγους ευχρηστίας μπορούμε να κάνουμε μια ιδιότυπη σύντμηση εξαιρετικά χρήσιμη για τη μελέτη των σύνθετων υλικών στο πλήθος των δεικτών στους τανυστές των (4.) και (4.3) υιοθετώντας την παρακάτω σύμβαση: xx111 zz333 z34 zx315 x16 13

14 Σύντμηση Παραμέτρων- Για τις ορθές τάσεις:,, xx 11 1 zz 33 3 Για τις διατμητικές:,, z 3 4 zx 31 5 x 1 6 Τόσο ο C ijkl όσο και ο S ijkl είναι συμμετρικοί οπότε το πλήθος των 81=3 4 στοιχείων τους υποβιβάζεται σε 36. Εάν το υλικό στο οποίο αναφερόμαστε έχει και τις 36 ελαστικές του σταθερές ανεξάρτητες μεταξύ τους τότε έχουμε ένα τρικλινές μέσο το οποίο δεν παρουσιάζει συμμετρίες και χαρακτηρίζεται ως ανισότροπο. 14

15 Τρικλινές Μέσο-1 Ο γενικευμένος νόμος του Hooke γράφεται (για όλα τα σ και όλα τα ε): 1 C11 C1 C13 C14 C15 C16 1 C C C C C C C31 C3 C33 C34 C35 C C41 C4 C43 C44 C45 C C51 C5 C53 C54 C55 C 56 5 C C C C C C τάση= ελαστική σταθερά παραμόρφωση Ο τανυστής δυσκαμψίας C ij, i,j=1,,3,4,5,6 είναι συμμετρικός και άρα από τις 36 σταθερές του μόνον οι 15+6=1 είναι ανεξάρτητες για το τρικλινές μέσον. 15

16 Τρικλινές Μέσο- Σημειώνουμε τη συμμετρία ως προς τη διαγώνιο: 1 c11 c1 c13 c14 c15 c16 1 c c c c c c c31 c3 c33 c34 c35 c c41 c4 c43 c4 4 c45 c c51 c5 c53 c54 c55 c 56 5 c c c c c c (4.5) Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δοθεί στο ότι στην (4.5) οι διατμητικές παραμορφώσεις αναπαριστούν συμβατικές («τεχνικές») παραμορφώσεις (engineering strains) που συνδέονται με τις πραγματικές διατμητικές παραμορφώσεις ως εξής: 4 1 3, , 6 1 (4.6) 16

17 Διατμητικές Παραμορφώσεις ε ε Καθαρή Διάτμηση (χωρίς περιστροφή) Καθαρή περιστροφή Απλή Διάτμηση ij ij ji ij eij eji ij ij 17

18 Η συμμετρία και αντιστρεψιμότητα του τανυστή δυσκαμψίας C ij μπορεί εύκολα να αποδειχθεί για τη γραμμική ελαστικότητα στα πλαίσια της οποίας αυστηρά θα παραμείνουμε για τη μελέτη μας. Θεωρούμε τη βαθμωτή συνάρτηση ελαστικού δυναμικού W που είναι πάντα θετικά ορισμένη δηλ. W>0: Ισχύει Τρικλινές Μέσο- 1 1 W Cijεiε j Sijσiσ j σ W W C ε ε εε C i ij j ij i i j Αντίστοιχα το ίδιο αποδεικνύεται και για τον τανυστή ένδοσης δηλαδή: S Με αυτή τη θεώρηση μειώνονται οι ελαστικές σταθερές σε 1! ij S ji C ji 18

19 Μονοκλινές Μέσο Η αμέσως ανώτερη τάξη ελαστικής συμμετρίας μετά το τρικλινές μέσον είναι το μονοκλινές. Στην περίπτωση αυτή το μέσον έχει ένα επίπεδο συμμετρίας και κάθε διεύθυνση έχει ίδιες ιδιότητες με τη συμμετρική της ως προς το επίπεδο αυτό. Αποδεικνύεται εύκολα ότι ο τανυστής δυσκαμψίας του μέσου αυτού έχει 13 ανεξάρτητες ελαστικές σταθερές και είναι της μορφής: 1 c11 c1 c13 c c c c c c31 c3 c33 c c41 c4 c43 c c55 c c c (4.7) 19

20 Ορθότροπο Μέσο-1 Εάν το υλικό επιπλέον έχει ακόμη ένα επίπεδο συμμετρίας κάθετο με το προηγούμενο, δηλαδή το υλικό παρουσιάζει συνολικά δυο κάθετα επίπεδα συμμετρίας τότε λέγεται ορθότροπο. Θα δούμε ότι τα περισσότερα σύνθετα υλικά χαρακτηρίζονται από τέτοια συμμετρία. Ο τανυστής δυσκαμψίας ενός ορθότροπου υλικού αποτελείται από 9 ανεξάρτητες ελαστικές σταθερές και έχει τη μορφή: 1 c11 c1 c c c c c31 c3 c c c c (4.8) 0

21 Ορθότροπο Μέσο- Η εξίσωση (4.8) μπορεί να αντιστραφεί και να λάβουμε το μητρώο ένδοσης το οποίο παρομοίως αποτελείται από 9 ανεξάρτητες ελαστικές σταθερές και έχει τη μορφή: 1 S11 S1 S S S S S31 S3 S S S S (4.8)* Οι εξής παρατηρήσεις μπορούν να γίνουν για τις εξισώσεις (4.8) και (4.8)* Δεν υπάρχει αλληλεπίδραση μεταξύ ορθών τάσεων σ 1, σ, σ 3 και διατμητικών παραμορφώσεων Δεν υπάρχει αλληλεπίδραση μεταξύ διατμητικών τάσεων τ 4, τ 5, τ 6 και ορθών παραμορφώσεων Δεν υπάρχει αλληλεπίδραση μεταξύ διατμητικών παραμορφώσεων και διατμητικών τάσεων σε διαφορετικά επίπεδα 1

22 Εγκαρσίως Ισότροπο Μέσο-1 Μια άλλη περίπτωση ελαστικής συμμετρίας είναι αυτή που το υλικό παρουσιάζει έναν επίπεδο ισοτροπίας π.χ. σε κάθε σημείο υπάρχει ένα επίπεδο για το οποίο οι μηχανικές ιδιότητες είναι οι ίδιες σε όλες τις διευθύνσεις. (-3): (-3):Επίπεδο Επίπεδο ισοτροπίας ισοτροπίας

23 Εγκαρσίως Ισότροπο Μέσο- Πρόκειται για ακόμη ανώτερη τάξη ελαστικής συμμετρίας από αυτή του ορθότροπου μέσου. Το υλικό που χαρακτηρίζεται από μια τέτοιου είδους συμμετρία ονομάζεται εγκαρσίως ισότροπο μέσον Οι σχέσεις τάσηςπαραμόρφωσης για ένα εγκαρσίως ισότροπο υλικό απλοποιείται με το ότι οι δείκτες και 3 (για επίπεδο ισοτροπίας -3) είναι ισοδύναμοι δηλαδή C 1 =C 13,, C =C 33 και S 1 =S 13, S =S 33. Επίσης C 55 =C 66,, S 55 =S 66 Θα αποδείξουμε ότι ο τανυστής δυσκαμψίας του έχει 5 ελαστικές σταθερές. Προς τούτο θα πρέπει να αποδείξουμε ότι η σταθερά C 44 δεν είναι ανεξάρτητη. 3

24 C C ' 0 3' 0 ' ' ' ' '3' 3' (1)*, ()* 3 ' 3' (3)* ε 0 (4)* (4.8) C C ΕΓΚΑΡΣΙΩΣ ΙΣΟΤΡΟΠΟ+(3)* C C 3 (1)* ' C ' C3 ' C C3 C44 3 4

25 Εγκαρσίως Ισότροπο Μέσο-3 Άρα οι σχέσεις τάσης-παραμόρφωσης δίνονται από: c11 c1 c c1 c c c1 c3 c c c c c 55 Επίσης οι σχέσεις παραμόρφωσης-τάσης δίνονται από: 1 S11 S1 S S S S S1 S3 S S S S S (4.9) (4.10) 5

26 Ορθότροπο Μέσο σε Επίπεδη Εντατική Κατάσταση-1 Επειδή όπως ήδη αναφέρθηκε μια στρώση σύνθετου υλικού έχει πολύ μικρό πάχος (πρακτικά δυο διαστάσεις) οι τανυστές τάσης, παραμόρφωσης, δυσκαμψίας και ενδοτικότητας απλοποιούνται περαιτέρω για το ορθότροπο μέσο ως εξής: σ 3 =0, τ 3 =τ 4 =0 και επίσης τ 13 =τ 5 =0. 1 c11 c1 c c1 c c c31 c3 c c c c66 6 Η ανάπτυξη είναι: C C C C C C C C C C (4.11) 6

27 Ορθότροπο Μέσο σε Επίπεδη Εντατική Κατάσταση- Από την (4.11) προκύπτει με πράξεις (απαλείφοντας το ε 3 ): C13C 13 C13C 3 1 C11 1 C1 C33 C Εναλλακτική τανυστική μορφή Q Q 11 1 C3C 13 C3C 3 C1 1 C C33 C33 Q C Q Q 1 1 Q11 Q1 0 1 Q Q Q 66 6 (4.1) 7

28 Ορθότροπο Μέσο σε Επίπεδη Εντατική Κατάσταση-3 Η αντίστροφη σχέση μπορεί να γραφεί ως: 1 S11 S1 0 1 S S S 66 6 (4.13) Συμπερασματικά χρειάζονται 4 ανεξάρτητες ελαστικές σταθερές για τις σχέσεις τάσης-παραμόρφωσης 8

29 Ισότροπο Μέσο-1 Έχει άπειρο αριθμό επιπέδων συμμετρίας από οιοδήποτε σημείο του υλικού. Γενικά για ισότροπα υλικά όλοι οι δείκτες 1, και 3 στις ελαστικές σταθερές εναλλάσσονται. Οπότε ξεκινώντας από τις εξισώσεις ορθοτρόπου υλικού με ένα επίπεδο συμμετρίας, προκύπτει: c11 c1 c c 1 1 c11 c c 1 c1 c c 3 11 c c11 c c11 c (4.14) Έτσι ένα ισότροπο υλικό χρειάζεται μόνο ανεξάρτητες ελαστικές σταθερές για τον πλήρη χαρακτηρισμό του: C 11 και C 1. 9

30 Μητρώα Ελαστικών Σταθερών Εντελώς ανισότροπο Ορθότροπο Εγκαρσίως ισότροπο Ανεξάρτητο Μηδενικό Ισο Κρύσταλλος κυβικού συστήματος Ισότροπο 30

31 Σχέσεις Μεταξύ Μαθηματικών και Τεχνικών Σταθερών Ε 1 : Mέτρο Ελαστικότητας Στρώσης Παράλληλα στις Ίνες (διεύθυνση 1) Ε : Mέτρο Ελαστικότητας Στρώσης Κάθετα στις Ίνες (διεύθυνση ) G 1 : Μέτρο Διάτμησης στο επίπεδο 1- ν 1 και ν 1 : οι δυο λόγοι Poisson στις διευθύνσεις 1 και αντίστοιχα Ο λόγος του Poisson, ν, είναι ο λόγος της παραμόρφωσης στη διεύθυνση -j προς την παραμόρφωση στη διεύθυνση i, όταν επιβάλλεται παραμόρφωση μόνον στη διεύθυνση i. Το αρνητικό πρόσημο εξασφαλίζει ότι όταν πχ επιβάλλεται εφελκυσμός (διαστολή) στη μια διεύθυνση σε μια από τις εγκάρσιες διευθύνσεις θα προκύψει θλίψη (συστολή): v j ij,i, Για το ορθότροπο μέσον πρέπει να ικανοποιείται η παρακάτω σχέση: v E 1 1 i v E 1 j 31

32 Θεμελιώδη Πειράματα Διαμήκης Εφελκυσμός σ 1 σ σ 3 Εγκάρσιος Εφελκυσμός Εντός Επιπέδου Εγκάρσιος Εφελκυσμός Εκτός Επιπέδου σ σ 1 3

33 Διαμήκης τάση Διατμητική φόρτιση εκτός επιπέδου ινών Εγκάρσια τάση στο επίπεδο των ινών Διατμητική φόρτιση εκτός επιπέδου ινών Εγκάρσια τάση κάθετη στο επίπεδο των ινών Διατμητική φόρτιση εντός επιπέδου ινών 33

34 Παράδειγμα-1α Υποθέτουμε ότι ένα ορθότροπο υλικό υποβάλλεται σε διαμήκη εφελκυσμό τάσης σ 1. Να βρεθεί το μητρώο ένδοσης εκφρασμένο με γνωστές «τεχνικές» σταθερές. ΜΕΘΟΔΟΣ Ξεκινάμε από το μητρώο Ορθότροπου υλικού 1 S11 S1 S S S S S31 S3 S S S S Η ανάπτυξη για διαμήκη εφελκυσμό είναι: S S S (4.14) Ανάπτυξη με «τεχνικές» σταθερές:,, E1 E1 E1 0 (4.15)

35 Από τις (4.14) και (4.15) βρίσκουμε τις σταθερές ένδοσης: Παρομοίως να δειχθεί (άσκηση για το σπίτι) ότι για εφελκυστικό φόρτιση στις και 3 διευθύνσεις λαμβάνουμε: Παρομοίως να δειχθεί ότι για καθαρές διατμητικές φορτίσεις στα επίπεδα 1-, -3 και 1-3 λαμβάνουμε: Παράδειγμα-1β , 1, 13 (4.16) E1 E1 E1 S S S 1 S S S 1 3 1,, 3 (4.17) E E E 1 S, S, S (4.18) E3 E3 E : S66 (4.19) G 1 1-3: S44 (4.0) G : S55 (4.1) G 13 35

36 Παράδειγμα-1γ Από τις εξισώσεις (4.14) έως (4.1) το μητρώο του ορθότροπου υλικού γίνεται: E1 E E E1 E E E1 E E G G G1 36

37 Παράδειγμα-1δ Από τη συμμετρία του μητρώου ένδοσης προκύπτει: 1 1,, E E E E E E BETTI ' S THEOREM: W= d d (1) () () (1) (1) 1 () () 1 (1) 11 d 11 d E1 E d d : (1) () 1 () (1) E1 E E1 E ΓΕΝΙΚΑ ΙΣΧΥΕΙ: ij ji ij Ei ( i, j 1,,3) E E E i j ji j 37

38 Παράδειγμα-1ε ΤΕΛΙΚΟ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Από το παράδειγμα φαίνεται καθαρά ότι οι σχέσεις μεταξύ των συντελεστών ένδοσης και των «τεχνικών» σταθερών είναι απλές. Βέβαια δεν συμβαίνει το ίδιο για τις δυσκαμψίες όπου θα πρέπει να αντιστρέψουμε το μητρώο ένδοσης για να εκφράσουμε τα C ij συναρτήσει των συντελεστών ένδοσης S ij. 38

39 Παράδειγμα Ορθότροπο Μέσο σε Επίπεδη Εντατική Κατάσταση Υποθέτουμε ότι ένα ορθότροπο υλικό υποβάλλεται σε διαμήκη εφελκυσμό τάσης σ 1 σε επίπεδη εντατική κατάσταση. Να εκφραστούν όλες οι ελαστικές σταθερές μέσω «τεχνικών» σταθερών. ΜΕΘΟΔΟΣ Ξαναγράφουμε τις εξισώσεις τάσης-παραμόρφωσης και παραμόρφωσης τάσης 1 Q11 Q1 0 1 Q1 Q 0 (4.1) Q 66 6 Από την (4.13) παρατηρούμε ότι: 1 S11 S1 0 1 S S S 66 6 (4.13) Οπότε Q S, S, S =, S E1 E E1 E G1 E v , Q1, Q, 1 v1v1 1 v1v1 1 v1v1 E E Q 66 (4.14) G 1 39

40 Ορθότροπο Μέσο σε Επίπεδη Εντατική Κατάσταση- Οι μη μηδενικές συνιστώσες του τανυστή δυσκαμψίας Q είναι οι E v E E ακόλουθες: Q, Q, Q , 1 v1v1 1 v1v1 1 v1v1 Q 66 G 1 Επίπεδα Συμμετρίας 3. Κάθετα στο Επίπεδο της Στρώσης. Κάθετα στις Ίνες 1. Παράλληλα στις Ίνες 40

41 Μετασχηματισμός Μητρώων Τάσης-Παραμόρφωσης εκτός Κυρίου Συστήματος-1 Στις περισσότερες εφαρμογές τους τα σύνθετα υλικά φορτίζονται εκτός του κυρίου συστήματός τους. Σε αυτή την περίπτωση όπως γνωρίζουμε από τη θεωρία των τανυστών αλλάζει η μορφή του τανυστή δυσκαμψίας εάν τον στρέψουμε ως προς το νέο σύστημα φόρτισης, εκτός του κυρίου δηλαδή συστήματος (off axis). Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το στραμμένο κατά γωνία θ, νέο σύστημα της στρώσης. Προφανώς, ο άξονας 3,Ζ δεν στρέφεται παρά μόνο γύρω από τον εαυτό του μια και πάντα παραμένουμε στο επίπεδο της στρώσης. 3, Ζ Υ Το στραμμένο σύστημα κατά γωνία θ για μια στρώση θ 1 Χ 41

42 Εντατική Κατάσταση σε Μονοαξονική Στρώση 4

43 Μετασχηματισμός Μητρώων Τάσης-Παραμόρφωσης εκτός Κυρίου Συστήματος- Σε αυτή την περίπτωση τα στοιχεία του μητρώου τάσης-παραμόρφωσης μετασχηματίζονται ως εξής: 1 x 1 x (4.15), (4.16) T T 6 s 6/ s / Όπου [Τ] είναι το μητρώο μετασχηματισμού και δίνεται από τον τύπο: m n mn T n m mn, mn mn m n mcos, nsin 43

44 Μετασχηματισμός Μητρώων Τάσης-Παραμόρφωσης εκτός Κυρίου Συστήματος-3 Οι αντίστροφες σχέσεις εκφράζονται ως εξής: x 1 x T (4.17), T (4.18) / / s 6 s 6 Όπου το μητρώο μετασχηματισμού [Τ -1 ] δίνεται από τον τύπο: m n mn ( ), mn mn m n 1 T T n m mn 44

45 Υπολογισμός Συντελεστών Δυσκαμψίας Στρώσης εκτός Κυρίου Συστήματος-1 Όταν η στρώση καταπονείται σε εφελκυσμό ή θλίψη κατά μήκος των κυρίων αξόνων (1, ) τότε δεν αναπτύσσεται διατμητική παραμόρφωση. Επίσης όταν καταπονείται κάτω από καθαρή διατμητική τάση τ 6 αναπτύσσεται μόνο διατμητική παραμόρφωση, γ 6. Φυσικά αυτό δεν συμβαίνει όταν η φόρτιση γίνεται σε αυθαίρετους άξονες x,. Τότε έχουμε αλληλεπίδραση μεταξύ ορθών και διατμητικών τάσεων. Το μητρώο τάσηςπαραμόρφωσης εκφράζεται ως: x Qxx Qx Qxs x Q Q Q x s s Qsx Qs Q ss s Άλλη εναλλακτική διατύπωση είναι: (4.19) x Qxx Qx Qxs x Qx Q Q s (4.19)* s Qsx Qs Q ss s / 45

46 Υπολογισμός Συντελεστών Δυσκαμψίας Στρώσης εκτός Κυρίου Συστήματος- x 1 x Q11 Q (4.1) (4.17) 1 T T Q1 Q Q s 6 s 66 6 x Q11 Q1 0 1 x Q11 Q1 0 x 1 T Q1 Q 0 (4.18) 1 T Q1 Q 0 T s 0 0 Q 66 6 / s 0 0 Q 66 s / ( 4.0) Εάν εξετάσουμε την αρχική μας εξίσωση (4.19)* και την τελική ανωτέρω καταλήγουμε στον εξής μετασχηματισμό των μητρώων δυσκαμψίας. Q Q Q Q Q 0 Q Q Q T Q Q T Qsx Qs Q ss 0 0 Q 66 xx x xs x s 1 0 (4.1) 46

47 Υπολογισμός Συντελεστών Δυσκαμψίας Στρώσης εκτός Κυρίου Συστήματος-3 Από την τελική εξίσωση (4.1) λαμβάνουμε τους συντελεστές δυσκαμψίας Q ως συναρτήσει τον αντιστοίχων δυσκαμψιών των κυρίων διευθύνσεων: Q m Q n Q m n Q 4m n Q xx Q n Q m Q m n Q 4m n Q x xs s ss Q m n Q m n Q m n Q m n Q Q m nq mn Q mn m n Q mn m n Q Q mn Q m nq m n mn Q m n mn Q Q m n Q m n Q 11 m n Q m n Q 1 66 (4.) 47

48 Υπολογισμός Συντελεστών Ένδοσης Στρώσης εκτός Κυρίου Συστήματος-1 Για το μητρώο ένδοσης η αρχική εξίσωση είναι: x Sxx Sx Sxs x S S S x s s Ssx Ss S ss s (4.3) Παρομοίως (άσκηση για το σπίτι) αποδεικνύεται ότι τα μητρώα ένδοσης μετασχηματίζονται ως εξής: Sxx Sx S xs S11 S1 0 1 S x S S s T S1 S 0 T (4.4) Ssx Ss Sss 0 0 S66 48

49 Υπολογισμός Συντελεστών Ένδοσης Στρώσης εκτός Κυρίου Συστήματος- Οι συντελεστές ένδοσης S συναρτήσει τον αντιστοίχων ενδόσεων των κυρίων διευθύνσεων δίδονται από: S m S n S m n S m n S xx S n S m S m n S m n S x S m n S m n S m n S m n S S m ns mn S mn m n S mn m n S xs S mn S m ns m n mn S ( m n mn ) S S s ss m n S11 4 m n S 8 m n S ( m n ) S 1 66 (4.5) 49

50 Μετασχηματισμός Μητρώων Τάσης-Παραμόρφωσης μέσω Τεχνικών Σταθερών-1 Η σχέση παραμόρφωσης-τάσης σε τυχαίες διευθύνσεις x- δίδονται από την εξίσωση (4.3): x Sxx Sx Sxs x S S S x s s Ssx Ss S ss s (4.3) Καταστρώνουμε 3 εικονικά πειράματα με τάσεις (i) σ x (ii) σ (iii) τ s. Κάθε φορά βρίσκουμε 3 συνιστώσες του πίνακα ώστε τελικά με το συνδυασμό και των 3 πειραμάτων να ορίσουμε και τα 9 στοιχεία του. 50

51 Μετασχηματισμός Μητρώων Τάσης-Παραμόρφωσης μέσω Τεχνικών Σταθερών- Μονοαξονική τάση σ x x x xs x, x, s x (4.6) E E E xs x x x ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗΣ Μονοαξονική τάση σ x s x,, s (4.7) E E E s ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗΣ Καθαρή διάτμηση τ s sx s s x s, s, s (4.8) G G G sx s x x x, ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗΣ 51

52 Μετασχηματισμός Μητρώων Παραμόρφωσης-Τάσης μέσω Τεχνικών Σταθερών-3 Από τις σχέσεις (4.6), (4.7) και (4.8) καταστρώνουμε το τελικό μητρώο παραμόρφωσης-τάσης συναρτήσει «τεχνικών» σταθερών.. 1 x sx Ex E Gx x x x 1 s (4.9) Ex E Gx s s xs s 1 Ex E G x Λόγω συμμετρίας λαμβάνουμε: x x x Ex E E E x x E E G G xs sx xs x x x sx x E E G G s s s x s x (4.30) 5

53 Μετασχηματισμός Μητρώων Τάσης-Παραμόρφωσης μέσω Τεχνικών Σταθερών-4 Από τις σχέσεις (4.9) και (4.30) σε σύγκριση με το αρχικό μας μητρώο (4.3) λαμβάνουμε: S S S S S S xx ss x xs s 1 E x 1 E 1 G x x Sx Ex xs Ssx Ex s Ss E G G sx x s x E x E E G x x x xs s 1 S xx 1 S 1 S ss S S S S S S sx xx x x xx x sx s S S S S S S xs ss s ss x (4.31) 53

54 Σχέσεις μεταξύ Τεχνικών Σταθερών Διευθύνσεων x με τις Κύριες Διευθύνσεις Από τις σχέσεις (4.5) σε συνδυασμό με τις εξισώσεις (4.31) λαμβάνουμε: 1 m n m n m n 1 n m 1 E E E G x n m m n n m 1 m n 1 E E E G m n 4m n m n 1 1 G E E G x x x x m n m n m 1 n n 1 m E E E E G x x xs sx mn mn mn m n m n 1 n m 1 E G E E G 1 s s mn mn m n mn n m 1 m n 1 E G E E G x (4.3) 54

55 Υπολογιστική-Μηχανική Στρατηγική για τον Υπολογισμό των Μητρώων Δυσκαμψίας Υποθέτουμε ότι γνωρίζουμε τις βασικές «τεχνικές» σταθερές (E 1, E, G 1, ν 1 ) στις κύριες διευθύνσεις μέσα από πειραματικά πρωτόκολλα. Χρησιμοποιούμε τις σχέσεις (4.14) για να υπολογίσουμε τις ανηγμένες κύριες σταθερές δυσκαμψίας Q ij και ένδοσης S ij. Από τις σχέσεις μετασχηματισμού (4.) και (4.5) προκύπτουν τα μετασχηματισμένα μητρώα μιας στρώσης Q x και ένδοσης S x. Τέλος οι εξισώσεις (4.31) χρησιμοποιούνται για να υπολογίσουμε τις «τεχνικές» σταθερές (E x, E, G x, ν x, ν x, η xs, η s, η sx, η s ) για διευθύνσεις x. Εναλλακτικά οι σχέσεις (4.3) μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να υπολογίσουμε κατ ευθείαν τις μετασχηματισμένες σταθερές από τις αντίστοιχες «τεχνικές» σταθερές στις κύριες διευθύνσεις. 55

56 Διάγραμμα Ροής Τεχνικές Σταθερές Κυρίων Διευθύνσεων Μαθηματικές Σταθερές Διεύθυνση Ινών Μετασχηματισμένες Μαθηματικές Σταθερές Τεχνικές Σταθερές 56

57 Παραδείγμα-1 Ίνες άνθρακος (AS4)/ Εποξειδική Ρητίνη (3501-6) (E x = E 1 ) (E x = E ) 57

58 Παραδείγμα- Ίνες άνθρακος (AS4)/ Εποξειδική Ρητίνη (3501-6) 58

59 Παραδείγμα-3 Ύφασμα Υαλονημάτων / Εποξειδική Ρητίνη (E x = E 1 ) (E x = E ) 59

60 Παραδείγμα-4 Ύφασμα Υαλονημάτων / Εποξειδική Ρητίνη 60

61 Λυμένες Ασκήσεις-1 Υποθέτουμε ότι οι σταθερές E 1, E, G 1 και ν 1 είναι γνωστές. Να βρεθούν (Α4.1) το μέτρο ελαστικότητας, Ε x (Α4.) το μέτρο διάτμησης, G x (Α4.3) ο λόγος Poisson, ν x και (Α4.4) τον συντελεστή αλληλεπίδρασης η x σε γωνία θ=45 0 με τον άξονα των ινών. (A4.1) Tο μέτρο ελαστικότητας, Ε x Ex 0 4E E 4G 1 4G E Για E E, 1 E (4.34) 1 1 (4.3) (4.33) (4.33) x 0 45 G1 E (A4.) Tο μέτρο διάτμησης, G x G x E 0 1 E 1 1 (4.3) (4.35) 45 (4.35) Για E1 E, 1 1 Gx E 0 45 (4.36) 61

62 Λυμένες Ασκήσεις- (A4.3) Λόγος Poisson, ν x Ex 0 4E E 4G 1 E x 1 1 (4.3) (4.37) (4.33) 1 Για E1 E, 1 1 x (4.38) 0 45 E G1 G (A4.4) Συντελεστής αλληλεπίδρασης, η x sx (4.3) (4.39) G x E 0 1 E 45 (4.35) sx Για E1 E, 1 1 (4.40) G x E 0 45 (4.36) Gx 45 0 E (4.40) sx

63 Μηχανική Συμπεριφορά Πολύστρωτης Πλάκας Έχοντας εξετάσει την συμπεριφορά σε φόρτιση της επίπεδης στρώσης και σε οποιαδήποτε τυχαία φόρτιση στο επίπεδό της μπορούμε πλέον να προχωρήσουμε στη μελέτη της μηχανικής απόκρισης πολύστρωτων σύνθετων υλικών, δομημένων πάντοτε από στρώσεις διαφόρων κατευθύνσεων συνεχών ινών. Θα θεωρήσουμε ως δομικό στοιχείο των πολύστρωτων πλακών τη βασική στρώση που μελετήσαμε προηγουμένως. Αυτή η θεώρηση έχει αποδειχθεί ότι μπορεί σε πρώτη προσέγγιση να περιγράψει τη μηχανική συμπεριφορά των πολύστρωτων πλακών κάτω από συγκεκριμένα είδη φόρτισης όπως πχ ο εφελκυσμός, η θλίψη, η κάμψη κλπ

64 Κωδικοποίηση Πολύστρωτων Πλακών Πριν προχωρήσουμε στην αναλυτική μελέτη της πολύστρωτης πλάκας πρέπει να δοθεί ιδιαίτερη αναφορά στον διεθνώς καθιερωμένο κωδικοποιημένο τρόπο περιγραφής τέτοιων συστημάτων πολύστρωτων σύνθετων υλικών. Ο κώδικας που θα δοθεί παρακάτω είναι ο πλέον διαδεδομένος διεθνώς και είναι ο εξής: Laminate Orientation Code Devised b Air Force Laborator, Wright-Patterson Air Force Base, Daton, Ohio από τον P.A. Parmle. Οι γενικές αρχές του κώδικα είναι οι εξής: Η κάθε στρώση αναπαριστάται από το αζιμούθιο (γωνία) των ινών της ως προς τον x-άξονα της πλάκας (πάχος πλάκας: z=[-h/,h/]). Ως δείκτης στη στρώση μπαίνει ο αριθμός που υποδεικνύει τον αριθμό στρώσεων ίδιας γωνίας ινών. Γίνεται χρήση της καθέτου (/) ως διαχωριστικού εάν αλλάζει η γωνία στρώσης. Η αρίθμηση ξεκινά πάντα από την κάτω επιφάνεια της πλάκας (z=-h/). Όλη η διάταξη της πλάκας μπαίνει σε αγκύλες και τοποθετούνται δείκτες ώς εξής: «Τ» εάν η διάταξη εντός των αγκυλών είναι ολοκληρωμένη «S» εάν η διάταξη εντός των αγκυλών είναι συμμετρική ως προς το επίπεδο z=0 64

65 Παραδείγματα Κωδικοποιημένων Πολύστρωτων Συστημάτων Κωδικός Πλάκας: [45/0/90 /0] Τ z=h/ z=-h/ Κωδικός Πλάκας: [45/0/90 /0] S N.B.: Εάν θέλουμε να έχουμε μια μόνο κεντρική στρώση, στο z=0, τότε τη βάζουμε με υπεργράμμιση δηλαδή: [45/0/90 /0] S Η στρώση αυτή ανήκει κατα το ήμισυ στο κάθε επίπεδο[-h/,0], [0,h/]. 65

66 Παραδείγματα Κωδικοποιημένων Πολύστρωτων Συστημάτων- 45 Κωδικός Πλάκας: ΟΜΑΔΕΣ (SET) ΣΤΡΩΣΕΩΝ [ 30/0/ 45] Ν.Β.: Κάθε πρόσημο αναπαριστά μια στρώση. Θετικές είναι οι γωνίες ανθωρολογιακά ως προς το x-άξονα της πλάκας S Κωδικός Πλάκας: [(90/0) 3 ] Τ ή [90/0] 3Τ Ν.Β.: Αποτελούνται από επαναλαμβανόμενες ομάδες στρώσεων ΨΕΥΔΟΣΥΜΜΕΤΡΙΚΕΣ ΠΛΑΚΕΣ (QUASI SYMMETRIC LAMINATES) Κωδικός Πλάκας: [45/0/60] Q Ν.Β.: Είναι συμμετρικές αλλά οι αντίστοιχες στρώσεις έχουν αντίθετα πρόσημα. Ως δείκτης μπαίνει το Q 66

67 Παραμορφώσεις (Εκτατικές και Καμπτικές) για ένα «Σταυρωτό» Σύνθετο Υλικό Μηχανική Τάση Θερμοκρασία 67

68 Κλασσική Θεωρία Πολύστρωτων Πλακών (Classical Lamination Theor) Όπως αναφέρθηκε και στην εισαγωγή του κεφαλαίου, για να καταστρώσουμε τις καταστατικές εξισώσεις μηχανικής συμπεριφοράς πολύστρωτης πλάκας θα θεωρηθεί η βασική στρώση ως δομικό στοιχείο της πολύστρωτης δομής. Και σε αυτή την περίπτωση η κάθε στρώση θεωρείται ως ομογενές υλικό και βασική της ιδιότητα είναι οι επίπεδοι τανυστές δυσκαμψίας Q ij και ένδοσης S ij που την χαρακτηρίζουν από μηχανικής πλευράς. Για την τυχαία στρώση k θα ισχύει ο νόμος του Hooke: Κύριες Διευθύνσεις 1 Q11 Q1 0 1 Q1 Q Q 6 k 66 k 6 k Τυχαίες Διευθύνσεις x Qxx Qx Qxs x Qx Q Q s Q Q Q s k sx s ss k s k (4.41) (4.4) 68

69 Υποθέσεις Για να εξάγουμε τις καταστατικές σχέσεις της μηχανικής συμπεριφοράς πολύστρωτης πλάκας είναι απαραίτητο να κάνουμε ορισμένες θεωρήσεις. Αυτές είναι οι παρακάτω: Κάθε στρώση (lamina) του πολύστρωτου (laminate) είναι ομογενής και ορθότροπη Οι επίπεδες διαστάσεις της πλάκας είναι πολύ μεγαλύτερες από το πάχος της: h<<a,β Το πολύστρωτο και οι στρώσεις του βρίσκονται σε επίπεδη εντατική κατάσταση (σ z =τ xz =τ z =0) και η επίδραση των άκρων αγνοείται (υποθέσεις Kirchhoff). Οι μετατοπίσεις u,v,w κατά μήκος των κύριων αξόνων της πλάκας είναι μικρές σε σχέση με το πάχος της, u,v,w<< h Οι μετατοπίσεις είναι συνεχείς μέσα στο πολύστρωτο Οι μετατοπίσεις στο επίπεδο x μεταβάλλονται γραμμικά στη διεύθυνση του πάχους του πολύστρωτου. Δηλαδή οι μετατοπίσεις u και v στις x και διευθύνσεις είναι γραμμικές συναρτήσεις της z μεταβλητής Οι εγκάρσιες (εκτός επιπέδου x) διατμητικές παραμορφώσεις (γ xz, γ z ) θεωρούνται αμελητέες. Αυτή η υπόθεση μαζί με την προηγούμενη απαιτεί οι επίπεδες διατομές της πλάκας να παραμένουν επίπεδες με την παραμόρφωση Οι αποστάσεις από το μεσαίο επίπεδο παραμένουν σταθερές. Δηλαδή η παραμόρφωση στη διεύθυνση του πάχους z είναι αμελητέα (ε z 0) σε σχέση με τις επίπεδες παραμορφώσεις ε x και ε Η πλάκα αντιδρά σε εξωτερικά φορτία παράλληλα στο επίπεδό της ή και κάθετα σε αυτό αναπτύσσοντας ορθές και διατμητικές τάσεις κάθετα στη διατομή της αλλά ποτέ παράλληλα σε αυτή 69

70 Τελικές Σχέσεις Μπορούμε τώρα να συσχετίσουμε τις παραμορφώσεις σε κάθε σημείο του πολύστρωτου με τις παραμορφώσεις του επιπέδου αναφοράς και τις κάμψεις της πλάκας: o x x x o z (4.50) o s s s Στο Σχήμα βλέπουμε την στρώση k, το επίπεδο αναφοράς και την μεταξύ τους απόσταση z k. Στρώση k Επίπεδο Αναφοράς 70

71 Τελικές Σχέσεις Από τις αρχικές εξισώσεις (4.41) και (4.4) και την (4.50) ανωτέρω λαμβάνουμε: Q Q Q Q Q Q o x xx x xs x xx x xs x o Qx Q Qs z Qx Q Qs o s Q k sx Qs Q ss k s Qsx Qs Q ss k s (4.51) Από τις πιο πάνω εξισώσεις (4.50) και (4.51) προκύπτει ότι ενώ οι παραμορφώσεις μεταβάλλονται γραμμικά στη διεύθυνση του πάχους αυτό δεν ισχύει για τις τάσεις που ακολουθούν την ασυνεχή μεταβολή των μετασχηματισμένων μητρώων δυσκαμψίας από στρώση σε στρώση. 71

72 Μεταβολή Τάσεων και Παραμορφώσεων στη Διεύθυνση του Πάχους Πολύστρωτου Στο σχήμα βλέπουμε ένα υποθετικό πολύστρωτο 4 στρώσεων κάτω από μονοαξονική τάση στη διεύθυνση x. Η μέση τάση σε κάθε στρώση προσδιορίζεται γνωρίζοντας τις παραμορφώσεις του επιπέδου αναφοράς, ε x, τις κάμψεις του πολύστρωτου, κ x, τη θέση της στρώσης από το επίπεδο αναφοράς, z k και τις μετασχηματισμένες δυσκαμψίες, Q x. Πολύστρωτο Μεταβολή Παραμόρφωσης Μέτρο Ελαστικότητας Στρώσης Μεταβολή Τάσης 7

73 Δυνάμεις και Ροπές σε Πολύστρωτα-1 Λόγω της ασυνέχειας της μεταβολής της τάσης από στρώση σε στρώση είναι πιο επωφελές να μελετήσουμε το συνολικό- ολοκληρωμένο- αποτέλεσμα αυτών των τάσεων. Στην κλασσική θεωρία πλακών (πολύστρωτων ή μη) ορίζονται και χρησιμοποιούνται συνισταμένες ορθές δυνάμεις, N x,, εγκάρσιες διατμητικές δυνάμεις N s, και ροπές M i, οι οποίες είναι στατικά ισοδύναμες με το σύστημα των κατά το πάχος της πλάκας τάσεων. Ολοκληρώνοντας τις τάσεις κατά το πάχος της στρώσης επιτυγχάνονται οι εκφράσεις των δυνάμεων και ροπών οι οποίες πλέον θεωρείται ότι επενεργούν στο μέσο επίπεδο της πλακός. Κατ' αυτόν τον τρόπο το σύστημα των τάσεων που επενεργεί στην διατομή της πλακός ανάγεται σε ένα σύστημα φορτίων που δεν εξαρτάται από τη συνιστώσα z. 73

74 Τελικές Εξισώσεις-1 Στις ανωτέρω εξισώσεις (4.56) και (4.57) οι δυσκαμψίες, οι παραμορφώσεις και οι κάμψεις είναι εκτός ολοκληρώματος διότι δεν εξαρτώνται από το z. Οι δυσκαμψίες Q x είναι μοναδικές για κάθε στρώση ενώ οι παραμορφώσεις αναφοράς και οι κάμψεις μπορούν να εξαχθούν ως κοινός παράγοντας εκτός του αθροίσματος οπότε γενικά μπορούμε να γράψουμε: o o o N A A A B B B. x xx x zz s xx x zz x o o o M B B B D D D. x xx x zz s xx x zz x 1 1 n n n k k k 3 3 : Aij Qij ( hk hk 1), Bij Qij ( hk h ), D ( ) k 1 ij Qij hk h k1 k 1 k 1 3 k 1 Έτσι τα τελικά μητρώα γίνονται: o Nx Axx Ax Axs x Bxx Bx Bxs x o N Ax A As Bx B B s o N s Asx As A ss s Bsx Bs B ss s (4.58) o M x Bxx Bx Bxs x Dxx Dx Dxs x o M Bx B Bs Dx D D s o M s Bsx Bs B ss s Dsx Ds D ss s (4.59) 74

75 Τελικές Εξισώσεις- Οι ανωτέρω εξισώσεις (4.58) και (4.59) μπορούν να συνδυαστούν σε μια γενική εξίσωση που συνδέει όλες τις δυνάμεις εντός επιπέδου και τις ροπές με τις παραμορφώσεις και κάμψεις αναφοράς: N A A A B B B o x xx x xs xx x xs x o N A x A As Bx B B s o N A s sx As Ass Bsx Bs B ss s M B x xx Bx Bxs Dxx Dx Dxs x M B B B D D D x s x s M B s ss Bs Bss Dsx Ds Dss s (4.60) Όπου: A B ij ij ΔΥΣΚΑΜΨΙΕΣ Η' ΜΕΤΡΑ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΦΟΡΤΙΣΗΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗΣ Η' ΜΕΤΡΑ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΜΕ ΚΑΜΨΗ D ij ΚΑΜΨΗΣ Η' ΜΕΤΡΑ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ ΡΟΠΩΝ ΜΕ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΕΣ 75

76 Τελικές Εξισώσεις-3 Η τελική εξίσωση σε συνοπτική μορφή: o N A B M B D Εκτελώντας αντιστροφή του μητρώου παίρνουμε τις σχέσεις μεταξύ παραμορφώσεων (εκτατικών και καμπτικών) και αντιστοίχων δυνάμεων και ροπών. a a a b b b N o x xx x xs xx x xs x o ax a as bx b b s N o a s sx as ass bsx bs bss N s b x xx bx bxs dxx dx dxs M x b b b d d d M x s x s b s ss bs bss dsx ds dss M s (4.61) 76

77 Τεχνικές Σταθερές Κυρίων Διευθύνσεων Δυσκαμψίες Στρώσης Κυρίων Διευθύνσεων Γωνία Προσανατολισμού Στρώσης k Μετασχηματισμένες Δυσκαμψίες Διάγραμμα Ροής Πολυστρώτου Θέση των Επιφανειών Στρώσης k Δυσκαμψίες Πολυστρώτου για Σύστημα x, Εκτατικό Μητρώο Ένδοσης Συνολικό Πάχος Πολυστρώτου Τεχνικές Σταθερές Πολυστρώτου 77