ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ. Καθ. Βλάσης Κουµούσης

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ Καθ. Βλάσης Κουµούσης

2 Θεµελιώδες Θεώρηµα Θεωρίας Επιφανειών Αφορά στην ανάπτυξη τριών διαφορετικών εξισώσεων (Gauss-Cdazzi) που συνδέουν τις ποσότητες Α, Α, R και R µίας επιφάνειας. Καθορίζουν το κατά πόσο η αυθαίρετη επιλογή τους συνιστά µία επιφάνεια. A = E, A = G (.) Ξεκινώντας από τη σχέση n, = n, καταλήγουµε στις σχέσεις: A A R R R R A, = και A, =,, (.) γνωστές και ως συνθήκες Cdazzi. Ξεκινώντας από τη σχέση t, = t,, όπου: t = r, r, r = A (.3), καταλήγουµε στις σχέσεις: A A A A R R A, + A, =, (.4) γνωστές και ως συνθήκες Gauss. Συνθήκες Gauss - Cdazzi Αν E, G, L και Ν είναι δεδοµένες συναρτήσεις πραγµατικών καµπυλόγραµµων συντεταγµένων α και α και είναι αρκούντως συνεχείς και ικανοποιούν τις συνθήκες Gauss-Cdazzi ενώ Ε>0 και G>0, τότε υπάρχει µία πραγµατική επιφάνεια, η οποία έχει ως η και η θεµελιώδη ιδιοµορφή:

3 3 ( ) ( ), ( ) ( ) I = E da + G da II = L da + N da (.5) και η επιφάνεια αυτή είναι µονοσήµαντα καθορισµένη εντός της θέσης της στο χώρο. ηλαδή οι συνθήκες Gauss-Cdazzi αντιστοιχούν στις συνθήκες συµβιβαστού για την θεωρία επιφανειών. Αναφέρονται µόνο σε καµπυλόγραµµες συντεταγµένες κύριας καµπυλότητας (F=M=0). Υπάρχουν για γενικές παραµετρικές καµπύλες αντίστοιχες συνθήκες οι οποίες, όµως, είναι ιδιαίτερα πεπλεγµένες. ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΚ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ Η επιφάνεια εκ περιστροφής µορφώνεται από την περιστροφή µίας επίπεδης καµπύλης περί άξονα που βρίσκεται στο επίπεδό της. ιακρίνονται σε µεσηµβρινές και παράλληλες καµπύλες. x 3 Παράλληλος x θ R (x 3 ) r x 3 Μεσηµβρινός x O θ x x x x

4 4 ( ) ( ) ( ) r x, θ = R x csθ e + R x sinθ e + x e (.6) δηλαδή a x3, a θ. r = R csθ e + R sinθ e + x e, 3 3 r = R sinθ e + R csθ e, (.7) όπου ( ) δηλώνει παράγωγο ως προς x 3.,,,, ( ) E= r r = + R F = 0 G= r r = R (.8) Επίσης: ( ) H = EG F = R + R (.9) ( ) A = E = + R, A = G = R (.0) Η πρώτη θεµελιώδης µορφή της επιφάνειας εκ περιστροφής είναι: ( ds) = + ( R ) ( dx ) + R ( dθ) 3 (.) Το κάθετο διάνυσµα στην εκ περιστροφής επιφάνεια είναι: r, r, R n = = e + e R e H H [ csθ sinθ ] 3 (.) Η δεύτερη θεµελιώδης µορφή δίδεται ως:

5 5 L= R R H M = 0 N = R H (.3) Οι ακτίνες κύριας καµπυλότητας είναι: R E + = = L ( R ) G R = = R + R N R 3 ( ) (.4) Παρατηρούµε ότι η R είναι η έκφραση της καµπυλότητας της γεννήτριας καµπύλης. x 3 α A R α Q B r R α x O

6 6 ( ) tan a= R x AB= AQ tan a= R R 3 ( ) BQ= AQ + AB = R + R = R (.5) Για έλεγχο του κατά πόσο ο παραπάνω συνδυασµός των Α, Α, R, R ορίζουν µία επιφάνεια, γίνεται µε βάση την ικανοποίηση των συνθηκών Gauss-Cdazzi. Εναλλακτική Περιγραφή Επιφάνειας εκ Περιστροφής Αυτή µπορεί να γίνει µε τη θεώρηση των δύο ανεξάρτητων γωνιών φ και θ, όπου φ η γωνία µεταξύ του άξονα περιστροφής και της κάθετης στην επιφάνεια στο σηµείο. Η πρώτη θεµελιώδης µορφή δίδεται: ( ds) R ( dφ) R ( dθ) = + (.6) δηλαδή a φ, a θ, Α και Α. A A Cdazzi : A, A R R R A, =, =,, (.7) A A Gauss : A A A A R R, +, =,, (.8)

7 7 x 3 A R Q dr A R Q R dφ R B φ x Η συνθήκη Gauss παρέχει: dr = R csφ dφ BQ= R, AQ= R = R sin φ, A Q AQ= dr dr = QQ csφ = R dφ csφ (.9) Άρα dr R d cs φ φ =, δηλαδή η συνθήκη Gauss ικανοποιείται. Βασικές Εξισώσεις Θεωρίας Λεπτών Κελυφών Παραδοχές (Lve): () Λεπτό κέλυφος () Μικρές παραµορφώσεις

8 8 (3) Εγκάρσια τάση (κάθετη στη µέση επιφάνεια) αµελητέα (4) Κάθετες στην επιφάνεια αναφοράς παραµένουν κάθετες και µετά την παραµόρφωση µε αµετάβλητο µήκος Νόµος Hke: Ελαστικά υλικά Γενικές σχέσεις Κατά τις γραµµές κύριας καµπυλότητας ισχύει: σ ν ν ε σ σ n = n + t E E En σ ν ν ε σ σ n = n + t E E En n n n n a T a T σ ν ν εn = σ σ + atnt E E E τ τ γ γ γ n n =, n =, n = G G n Gn τ (.0) σ, σ, σ n είναι οι ορθές τάσεις κατά τις τρεις κάθετες µεταξύ τους διευθύνσεις και ε, ε, ε n οι αντίστοιχες παραµορφώσεις τ n, τ n, τ είναι οι διατµητικές τάσεις και γ, γ n, γ n οι παραµορφώσεις Τ η θερµοκρασία και α t, α t, α tn οι συντελεστές γραµµικής διαστολής ανά διεύθυνση Ισχύει: Ε, G, ν οι ελαστικές σταθερές ανά διεύθυνση νn ν n ν n ν n ν ν =, =, = (.) E E E E E E n n Αντικαθιστώντας προκύπτει η παρακάτω έκφραση:

9 9 Η 4 η παραδοχή συνεπάγεται: ε = σ v σ v σ + a T (.) [ ] n n n n tn En ε = γ = γ = άρα και τ = τ = 0 (.3) n n n 0 n n Η 3 η παραδοχή συνεπάγεται: σ = 0 (.4) n Με βάση τα παραπάνω οι σχέσεις τάσεων-παραµορφώσεων καταλήγουν στις εξής: ε ε γ = σ + t E E = σ+ t E E σ ν σ ν τ = G a T a T (.5) Η 4 η παραδοχή επιβάλλει τη γραµµική κατανοµή των τάσεων κατά το πάχος του κελύφους. Επιτρέπει, επίσης, όπως και στις δοκούς, την συσχέτιση µε µια επιφάνεια αναφοράς που συνήθως είναι η µέση επιφάνεια. Έτσι, η θέση κάθε σηµείου στο χώρο που καταλαµβάνει το κέλυφος καθορίζεται µε βάση το παρακάτω διάνυσµα θέσης R ως εξής: όπου τα α και α κείνται εντός ορίων: (,, ξ) (, ) ξ (, ) R a a = r a a + n a a (.6) a α a και a α a (.7)

10 0 όπου r το διάνυσµα θέσης στη µέση επιφάνεια αναφοράς και n το κάθετο διάνυσµα στο σηµείο αναφοράς και του σηµείου από το αντίστοιχο σηµείο στην επιφάνεια αναφοράς. Το µέγεθος ενός διαφορετικού µήκους ορίζεται ως: ( ds) dr dr ( dr ξ dn ndξ) ( dr ξ dn ndξ) = = (.8) από όπου προκύπτει : ξ ξ R R ( ds) = A + ( da ) + A + ( da ) (.9) α 3 ξ O τ n dξ τ n σ α σ τ τ α R R ds (ξ) ds (ξ)

11 Οι συνθήκες Cdazzi για µία τέτοια επιφάνεια είναι: ξ ξ A + = + A, R R, ξ ξ A + = + A, R R, (.30) Ισχύει: ξ ds ( ξ) = A + da R ξ ds ( ξ) = A + da R (.3) και ξ df( ξ) = A + dadξ R ξ df( ξ) = A + dadξ R (.3) Σχέσεις Παραµορφώσεων-Μετακινήσεων Το διάνυσµα των µετακινήσεων ορίζεται ως: (,, ξ) = (,, ξ) + (,, ξ) + (,, ξ) U a a U a a t U a a t W a a n (.33) Από την Μαθηµατική Θεωρία Ελαστικότητας (Sclnikff, I.S. Mathematical Thery f Elasticity, Mc Graw Hill) προκύπτει:

12 3 u i gi uk εi = +, i=,,3 a i g i gi k= ak gk u u i j γ ij = gi + g i g a i g j i g a i i g j (.34) Γενικά για τα κελύφη ισχύει: a = a, a = a, a =ξ 3 u = U, u = U, u = W 3 (.35) και ξ ξ 3 R R g = A + g = A + g = (.36) Αντικαθιστώντας προκύπτει: U U A AW ε = + + ξ a A a R + R A (.37) ε U U A A W = + + A ξ a A a R + R (.38) W εn = (.39) ξ

13 3 γ ξ W n = + A + ξ a R ξ ξ A + A + R R U (.40) γ W ξ n = + A + ξ a R ξ ξ A + A + R R U (.4) γ ξ ξ A + A + R U R U = + ξ a ξ ξ a ξ A + A + A + A + R R R R (.4) Οι γενικές σχέσεις µετά από τη θεώρηση των παραδοχών Lve γίνονται: (,, ξ) = (, ) + ξ (,,0) (,, ξ) = (, ) + ξ (,,0) (,, ξ) = W( a, a ) U a a u a a u a a U a a u a a u a a W a a (.43) όπου ( ) δηλώνει παράγωγο ως προς ξ. Σηµειώνεται ότι: ε = 0 και γ = γ = 0 (.44) n n n Αντικαθιστώντας στις εκφράσεις των διατµητικών παραµορφώσεων προκύπτει: u u u = R A a u W W = R A a (.45)

14 4 Τέλος, µπορούµε να θεωρήσουµε ότι ξ/r εκφράσεις. Προκύπτει έτσι: << και να αµελήσουµε τον όρο από τις ε ε γ ( u ξu ) = A a A A a R ( u ξu ) = A a A A a R u + ξu A W u + ξu A W A u + ξu A u + ξu = + A a A A a A (.46) Οι παραπάνω σχέσεις µπορούν εναλλακτικά να εκφραστούν: ο = + ε ε ξκ ο = + ε ε ξκ ο γ = γ + ξτ (.47) όπου: ο u u A W ε = + + A a A A a R ο u u A W ε = + + A a A A a R ο A u A u γ = + A a A A a A u u A κ= + A a A A a u u A κ = + A a A A a A u A u τ = + A a A A a A (.48)

15 Εντατικά Μεγέθη Γενικές Σχέσεις 5 Μεµβρανικά n t t Nt Nt α α N t R R Nt N N σ ( ξ R ) = + dξ (.49) ξ τ N N σ ( ξ R ) = + dξ (.50) ξ τ

16 6 Καµπτικά n t t M t M t α α Mt Qn Qn M t Q ξ = τ + dξ R (.5) ξ n Q ξ = τ + dξ R (.5) ξ n M σ ξ = ξ dξ M ξ + (.53) τ R M σ ξ = ξ d ξ M ξ + (.54) τ R

17 7 Εξισώσεις Κίνησης - Γενικές N A N A A A Q + + N N + A A + q = A Aρ hu a a a a R N A N A A A Q + + N N + A A + q = A Aρ hu a a a a R MA M A A A + + M M Q A A = 0 a a a a Q A Q A N N + + A A q n A A = A A ρ hw a a R R M A M A A A + + = 0 M M Q A A a a a a (.55) Οι συνοριακές συνθήκες προκύπτουν µε βάση το Λογισµό των µεταβολών.