MATEMATIČKO PROGRAMIRANJE I OPTIMIZACIJA

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "MATEMATIČKO PROGRAMIRANJE I OPTIMIZACIJA"

Transcript

1 MATEMATIČKO PROGRAMIRANJE I OPTIMIZACIJA Profesor: Zorca Stamrovć Asstet: Mara Ivaovć Izbor predmet: 5 goda, smerov: R I (master) Semestar: zmsk, 010 Lteratura: kga Kombatora optmzaca, autor Dragoš Cvetkovć, Mraa Čagalovć, Vera Kovačevć-Vučć, Đorđe Dugoša, Sloboda Smć, Jovo Vuleta, zavač DOPIS, 1996 Uvod 1 ČAS Matematčko programrae kao oblast poče da se razva posle drugog svetskog rata mada su ek porsk radov obavle mogo rae Oblast matematčkog programraa se može podelt a learo, elearo, dskreto stohastčko programrae teoru gara Zaedčka osoba ovh oblast e da se traž tačka u ekom vektorskom prostoru koa zadovolava eka ogračea, a u koo data fukca (fukca cla) dostže ekstremu vredost Matematčko programrae sklučvo razmatra probleme u koačo dmezoalm prostorma dok su ekstremal problem u beskoačo dmezoalm prostorma predmet drugh dscpla (varaco raču, optmalo upravlae td) Learo programrae e arazvea ačešće prmevaa oblast matematčkog programraa (fukca cla ogračea su leare fukce) Nek od problema learog programraa su: Trasport problem, Problem dete (learo programrae), Problem optmalog rasporeda rade sage (dskreto programrae), Izbor borbeh sredstava, Problem pakovaa prozvoda, Dskret problem optmalog upravlaa, Problem plaraa prozvode (elearo programrae), Problem zbora proekata (dskreto programrae), Problem oročavaa ovca u bac (stohastčko programrae) Problem z voe stratege (problem Teore gara) Kombatora optmzaca e matematčka dscpla koa proučava probleme alažea ekstremh vredost fucke defsae a koačom skupu Kombatorom optmzacom se rešava problem sledećeg oblka: Dat e koača l prebrovo beskoača, dskreta skup S fukca f : S R Nać mmum fukce f a skupu S, to est rešt zadatak: m f (1) S ( ) Skup S se azva dopustv skup, a fukca f fukca cla Za tačku da e dopustvo rešee problema (1) 1 S se kaže

2 Potrebo e ać sva dopustva rešea * (l bar eko od h) takva da e f * = m f Takva rešea se azvau optmala rešea ( ) ( S ) Kako e f ( ) f ( ) ma = m ( problem maksmzace se svod a problem ) S S mmzace, pa e dovolo ać samo edo od ova dva problema U avećem brou slučaeva skup S e koača, pa se problem kombatore optmzace u lteratur često defše kao problem određvaa ekstreme vredost fukce a koačom dopustvom skupu Napozat prmer kombatore optmzace e Problem trgovačkog putka ko glas: Dat e skup od gradova koe trgovačk putk treba da poset tačo po edaput takvm redosledom da troškov puta budu mmal Skup S če sve permutace skupa {1,,} ma h! Za datu permutacu p =,, 1 fukca cla f(p) e zbr troškova putovaa zmeđu gradova 1, 3,, 1 Cl kombatore optmzace e formrae efkash algortama za rešavae složeh problema Ukolko za dat problem e posto efksaa egzakta metoda, prstupa se prblžom rešavau pomoću odgovaraućh heurstčkh metoda Navaže stace problema (1) su problem celobroog programraa optmzaco problem a grafovma U slučau celobroog programraa S e podskup skupa Z, gde e Z skup -dmezoalh vektora sa celobrom koordatama Posebo e začaa problem learog celobroog programraa: m c T, S = { Z A b } () S u kome e A celobroa matrca dmeza m, a c b celobro vektor odgovaraućh dmeza Ukolko se u () relaksra uslov celobroost doba se problem learog programraa: m c T, X = { R A b } (3) X Efkaso rešavae problema learog programraa e od velkog začaa za rešavae problema (), er se rešavae problema celobroog learog programraa često zasva a uzastopm relaksacama uslova celobroost Probleme kombatore optmzace a grafovma se mogu prkazat kao problem celobroog programraa

3 1 Grafov, podgrafov, matrce cdece susedstva Graf e uređe par (X,U) gde e X koača epraza skup (če elemete azvamo čvorovma) a U e skup dvoelemeth podskupova skupa X (elemet skupa U se azvau grae) Dgraf e uređe par (X,U) gde e X koača epraza skup a U e eda od uređeh parova elemeata skupa X (ov uređe parov se azvau oretsae grae) Ako e G=(X,U) korste se ozake X=X(G), U=U(G) Prmer: X = { A, B, C, D, E, F} U = a, b, c, d, e, f, g, h,,, k { } G raf (X,U) Dgraf (X,U) Graf dgraf se predstavlau geometrskom fgurom sastavleom od tačaka la koe spaau poede parove tačaka Tačke predstavlau čvorove grafova dok le predstavlau grae grafa l oretsae grae grafa U prvom slučau le su eoretsae dok se u drugom slučau le oretšu (obeležee su strelcom) Graf oblka {a, a} odoso (a, a) se azva petla (graa koa spaa čvor sa samm sobom) Graf sa s amo edm vrhom se azva trvalm grafom ače e etrvala Graf e edostava l prost ako ema petle koe dve grae e spaau st par čvorova Ako su u grafovma (dgrafovma) dopuštee všestruke grae (dva čvora spaa vše razlčth graa), uklučuuć všestruke petle oda govormo o multgrafovma l multdgrafovma Petla Multgraf Multdgraf Hpergraf (l skupov sstem) e uređe par (X, W) gde e X epraza skup a W famla podskupova skupa X 3

4 Za dva čvora grafa kažemo da su sused ako su spoe graom Dva suseda čvora azvamo kram tačkama grae koa h spaa Ako e eda čvor kraa tačka zvese grae kažemo da se ta gr aa stče u tom čvoru Kažemo da su čvor graa cdet l sused ako graa poče odoso završava se u tom čvoru Bro susedh čvorova za čvor se azva stepe čvora Stepe čvora se može defsat broem graa koe se stču u tom čvoru Dve grae mogu bt susede ako mau zaedčk čvor Ako u ekom dgrafu graa u spaa čvorove kaže se da graa zlaz z čvora ulaz u čvor a čvor završ čvor grae u Za svak čvor dgrafa defše se zlaz ulaz stepe oretsaa e od ka Takođe se kaže da e Ulaz stepe čvora e edak brou graa koe ulaze u ta čvor Izlaz stepe čvora e edak brou graa koe z ega zlaze Petla se smatra ulazom zlazom graom za odgovarauć čvor, počet Neka e dat graf (l dgraf) G=(X,U) Graf oblka H=(Y,T), gde su Y X T = U Y Y ( T e podskup skupa U sadrž sve oe parove z U ko su obrazova samo od elemeata skupa Y), se azva podgrafom grafa (podgrafom dgrafa) G, obrazovam (dukovam) skupom čvorova Y Delmčm l parcalm grafom grafa (dgrafa) G=(X,U) azva se svak graf oblka H=(X,T) pr čemu e T U Delmčm grafom podgrafa azva se delmč podgraf datog grafa (dgrafa) Podgraf grafa (X,U) Delmč podgraf grafa (X,U) Ako e Y X, H se azva pravm podgrafom grafa Delmčm grafom l parcalm grafom grafa (dgrafa) G=(X,U) azva se svak graf oblka H=(X,T) pr čemu e T U Delmčm grafom podgrafa azvamo delmč graf datog grafa (dgrafa) 4

5 Put duže k u dgrafu e svak z graa u1, u,, uk ko ma sledeće osobe: o Graa u 1 polaz z prozvolog čvora dgrafa o Graa u (=,,k) poče u oom čvoru u ko m se završava graa u 1 Alteratvo, put može da se defše kao z čvorova kroz koe prolaz Put može vše puta da prolaz stom graom l kroz st čvor Grae ekog grafa mogu da se seku u tačk koa e čvor tog grafa Elemetar put e put ko kroz svak čvor grafa prolaz samo edom Put ko se završava u stom čvoru u kom poče azva se kruž l zatvore put Kao graa, u putu može da se poav petla U grafu se svaka graa može shvatt kao dvostrao oresaa tako da put e samo defsa zom graa ego se za svaku grau koa ulaz u posmatra put mora azačt a oretaca Za grafove se put duže k defše kao azmeč z čvorova graa u oblka 1, u 1,, u,, k, uk, k + 1 pr čemu e za =1,,,k čvor počet a čvor + 1 kra za grau u Duža puta u grafu (l dgrafu) e edaka brou graa koe se alaze u putu Rastoae čvorova y se u grafu defše kao duža akraćeg puta ko povezue ta dva čvora Nz graa koe se adovezuu eda a drugu bez obzra hovu oretacu se azva laac Cklus e laac ko se završava u stom čvoru u kome poče Prmer: Laac: Cklus: afbc, acde, AafbcdA, AdheA, Ako cklus (l laac) prolaz kroz svak čvor avše edaput, tada se ta cklus (laac) azva elemetarm Graf e poveza ako se prozvola dva egova čvora mogu povezat putem Ako postoe čvorov ko se e mogu povezat putem, graf e epoveza Nepoveza graf se sasto z vše delova koe azvamo kompoete povezaost grafa l kraće kompoete Kompoeta grafa e u stvar podgraf obrazova od oh čvorova ko se mogu spot sa čvorom putem sa čvorom uklučuuć čvor Dgraf e ako poveza ako e svak par čvorova, u 5 spoe putem ko vod z Dgraf e edostrao poveza ako e svak euređe par čvorova, bar u edom smeru poveza Dgraf e slabo poveza ako e poveza (eoretsa graf) dobe samo od datog dgrafa zameom oresah graa odgovaraućm eoresam graama

6 Neka su d 1, d,, d stepe čvorova 1,,, u grafu bez petl ko ma m graa Sabraem svh stepea čvorova dobamo dvostruk bro graa obzrom da svaka graa m a dva čvora Važ relaca: d1 + d + + d = m Bro čvorova eparog stepea u koačom grafu (l multgrafu) bez petl e para Graf se azva regulara stepea r ako e d1 = d = = d = r Regulara graf stepea r ma m=r/ graa Koača, poveza, regulara graf stepea zove se kotura Kotura koa sadrž sve čvorove grafa azva se Hamltoova kotura Ako kotura ma čvorova, o se mogu ozačt sa 1,,, tako da e 1 suseda sa, sa 3,, 1 sa sa 1 Prmer koture slka že: Koača regulara graf stepea ma za kompoete povezaost koture Kod dgrafa mamo oretsau koturu Oretsaa kotura se doba kada se svaka ea graa oretše tako da zlaz l ulaz stepe svakog čvora bude edak 1 Graf e acklča kada e sadrž edu koturu Dgraf e acklča kada se zostavlaem oretace graa doba acklča graf Regular grafov sa čvorova stepea -1 se azv au poptu grafov Potpu graf sa čvorova ozačava se sa K 1 Potpu grafov mau m = ( 1) = spoe graom 6 graa, to est svak par čvorova e K-kompleta graf K e graf č se skup čvorova može podelt a k međusobo 1, k dsukth pods kupova ko sadrže redom 1,, k čvorova tako da su svaka dva čvora z razlčth podskupova povezaa graom a da eda graa e povezue čvorove z stog podskupa Za k= dobamo bkomplete grafove K m, Dvodel (bpart) graf se sasto z dve grupe čvorova pr čemu grae povezuu čvorove z razlčth grupa Bpart graf se često predstavla uređeom trokom (X,Y,U) gde su X Y grupe čvorova, a U skup graa

7 Graf (dgraf) može da bude predstavle edom kvadratom matrcom č e red edak brou čvorova grafa Elemet a a preseku -te vrste -te koloe ove matrce e edak brou graa koe zlaze z čvora ulaze u se zove matrca susedstva grafa obeležava se sa A čvor Ova matrca Ako dopustmo da dva čvora mogu da bt spoea avše edom graom ste oretace, elemet matrce A mogu bt samo 0 l 1 Elemet matrce susedstva multgrafa su prrod broev l ula Matrca susedstva A (eoretsaog) grafa e smetrča matrca, t A T = A Neka e G=(X,U) graf gde e X={ 1,,, } U={ u1, u,, u } Matrca cdece R čvorova graa grafa G e matrca R = [ r ] gde e m r 1 ako su č vor graa u cdet, = 0 u suproto m Matrca cdece u potpuost određue graf Prmer: ( ) R G a b c d e f g A = B C D ( ) A G A B C D A = B C D Graf G Matrce cdece Matrca susedstva Neka e uz ste ozake e G=(X,U) dgraf pr čemu e U skup oretsah graa Matrca cdece R čvorova graa dgrafa G e matrca S = [ s ] m gde e s 1 ako graa u zlaz z čvora, = -1 ako graa u ulaz u, 0 ako u su cdet Dva grafa su zomorfa ako posto uzaamo edozačo preslkavae skupa hovh čvorova (z edog a drug) koe odžava osobu susedost čvorova Graf ko e sadrž edu koturu kao delmč podgraf azva se šuma Ako e graf uz to poveza o se azva stablo l drvo Stablo u kome e eda čvor posebo ozače azva se koresko stablo Oseče kore e kore stabla Stablo 7

8 Svak čvor koreskog stabla poveza e edstvem elemetarm putem sa koreom k stabla Bro graa u ovom putu defše vo čvora Kore stabla k ma vo 0 a aveć vo mau čvorov ko su od korea audale Koresko stablo se prkazue kao dgraf, t stablo sa oretsam graama Pr tome se grae oretšu od čvorova maeg voa ka čvorovma većeg voa Ulaz stepe korea e 0 dok e ulaz stepe ostalh čvorova u koreskom stablu 1 Čvorov do koh vode grae polaze z čvora azvau se sov čvora pr čemu e čvor hov otac Čvor bez dece azva se lst Pr tome e kore čvor bez oca Lstov se takođe azvau termalm čvorovma dok se ostal čvorov azvau etermalm čvorovma Ako se u koreskom stablu svak otac ma tačo dva sa oda se to stablo azva baro stablo Ako su u barom stablu sv završ čvorov stog voa, oda se to stablo azva potpuo Potpuo baro stablo ma pored voa 0 oš k ovoa pa e bro čvorova u stablu edak k k+ 1 = = 1 (a svakom vou ma čvorova) Termalh čvorova ma + 1 k = dok etermalh ma k 1 1= Plaar grafov Plaar grafov su o grafov ko se mogu acrtat tako da m se grae e seku, odoso to su grafov ko se mogu predstavt tako da zaedčka tačka dve grae može bt samo čvor grafa ko predstavla zaedčku krau tačku th graa Ako e plaara graf predstavle a opsa ač u rav o del raav a vše koačh zatvoreh oblast edu beskoaču oblast (mreža puteva predstavla plaara graf) Komplemet grafa G, e graf sa stm skupom čvorova kao graf G pr čemu su dva razlčta čvora u G suseda ako samo ako su sused u G Graf bez petl se bo a ta ač tako što se svakom čvoru prdruž eka boa, t Svak čvor se bo edom boom Graf e pravlo oboe ako su svaka dva suseda čvora oboea razlčtm boama Ako graf može da se pravlo bo da se pr tom upotreb k l mae od k boa, graf e oda k-obov Hromatsk bro γ ( G ) grafa G e edak k ako e graf k-obov a e (k-1)-obov Ako e γ ( G ) =k kaže se da e graf G k-hromatsk Za k= graf se azva bhromatsk o e tada bpartt Ako graf G sadrž samo zolovae čvorove, bez graa, tada e γ ( G ) =1 (sve čvorove možemo obot stom boom) Nasuprot tome potpu graf sa čvorova ma γ ( G ) = 8

9 Maksmal potpu podgrafov azvau se klke grafa Za graf G se defše velča K(G) koa e edaka avećem brou čvorova ede klke Važ da e γ ( G) K( G) Težsk graf e graf kod koga svaka graa ma svou vredost (dodele o e ek bro) Drugm rečma, grafu (l dgrafu) G=(X,U) e prdružeo preslkavae ω :U R koe svako gra u U dodelue bro ω ( u) kao težu Fukcu ω azvamo težska fukca U već slučaeva teža predstavla eu dužu, propusu moć (l kapactet), ceu preosa td U opštem slučau težska fukca ω prdružue gra umesto realog broa prozvola matematčk obekat, pr Vektor Težsk graf (dgraf) G=(X,U) sa težskom fukcom ω, t uređe par (G, ω ) čes to se azva mreža Neka su u opštem slučau čvorov umersa sa 1,,, posmatramo potpu težsk graf G u koem e gra u zmeđu čvorova prdružea teža (duža) ω ( u) = d Od velče d se može formrat kvadrata matrca D = [ d ] Matrca D se azva težska matrca l matrca rastoaa Teža grafa se defše kao zbr teža graa od koh e ta graf obrazova 9

10 P retražvae grafova Pretražvae grafova može da se poče z ekog prozvolog čvora oblazak egovh susedh čvorova, pa zatm suseda hovh suseda tako redom dok e prosledmo sve čvorove edog grafa Uvek će se zat ko deo čvorova e pretraže za svak ared korak se određue ko će sledeć čvor bt prosleđe Pošto e ta zbor uglavom všezača mogu se uvest eka ogračea koma se regulše prortet zbora potecalh kaddata Postoe dve vrste pretražvaa grafova: Pretražvae u dubu Pretražvae u šru Za obe pretrage e karakterstčo da se oblaze sv čvorov grafa kao grae to svaka po edaput u oba smera Pretraga u dubu: Neka e X skup svh čvorova, a Y skup već prosleđeh čvorova Ozačmo sa y čvor ko e posled prosleđe Izbor aredog čvora za prosleđvae se vrš a sledeć ač: prvo se odred da l među eprosleđem čvorovma, tčvorovma skupa X/Y posto čvor suseda sa y, ako posto takav čvor, tada se među potecalm kaddatma bra blo ko od h (prosleđvae uapred) U suprotom, umesto čvora y se posmatra egov prethodk (čvor ko e pre ega prosleđe u skup Y z ega se drekto dolaz u čvor y) za ega se poavla st postupak kao I za čvor y (prosleđvae uazad) Ovm postupkom (ukolko e graf poveza) će sv čvorov grafa bt prosleđe U suprotom, kod epovezah grafova se st postupak može prmet a om podgrafovma ko su poveza Prlkom pretrage u dubu, kod povezah grafova, ako evdetramo sve grae grafa, tada te grae obrazuu razapuuće stablo Ovo stablo se azva stablom pretrage u dubu Prmer: Graf Stablo pretrage u dubu (po koracma A-B-C-D-E-D-F-D-C-G-C-B-A) 10

11 P retraga u šru: Poovo posmatramo skup svh čvorova X skup eprosleđeh čvorova Y Neka e skup Q skup svh eprosleđeh čvorova koma e prortet prosleđvaa rae određe Prosleđvae čvorova e sada komplkovae obzrom da se za zbor sledećeg kaddata mora kosultovat skup Q Skup Q tretramo kao red za čekae, z ovog skupa se prvo prosleđue čvor ko e aduže u redu Na početku pretrage e skup Y praza emu se prozvolo dodelue eda čvor (blo ko čvor z grafa) Sada se z skupa Q bra čvor ko e aduže u redu o se prosleđue skupu Y, pr čvor Skupu Q se a krau reda uose čvorov ko su sused sa a ko se već e alaze u skupu Q su rae prosleđe u Y Prmer: Graf Stablo pretrage u šru (po koracma A-B-C-D-E-F-G) 11

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA PRIBLIŽNI BROJ I GREŠKA tača vredost ekog broja X prblža vredost ekog broja X apsoluta greška Δ = X X graca apsolute greške (gorja graca) relatva greška X X

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

JAVA APLETI ZA VIZUELIZACIJE U TEORIJI GREBNER-OVIH BAZA

JAVA APLETI ZA VIZUELIZACIJE U TEORIJI GREBNER-OVIH BAZA Uverztet u Beogradu Elektrotehčk akultet Master rad JAVA APLETI ZA VIZUELIZACIJE U TEORIJI GREBNER-OVIH BAZA Metor: Dr. Brako Maleševć, doc. Studet: Boa Baac Br. deksa: 00/5 Beograd, septembar 0 Sadrža

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Moguća i virtuelna pomjeranja

Moguća i virtuelna pomjeranja Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

pismeni br.4 4.2: Izračunati yds, gdje je K luk parabole y 2 = 2 px od ishodišta to točke

pismeni br.4 4.2: Izračunati yds, gdje je K luk parabole y 2 = 2 px od ishodišta to točke Prakkm Maemaka III Prredo DJočć smen br : Raz Forero red nkc eroda dan ormom za < za < : Izračna ds gde e k araboe od shodša o očke M : Izračna koordnae ežsa homogenog ka ckode a sn a ; : Izračna I e [

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

GRAFOVI. Ljubo Nedović. 21. februar Osnovni pojmovi 2. 2 Bipartitni grafovi 8. 3 Stabla 9. 4 Binarna stabla Planarni grafovi 12

GRAFOVI. Ljubo Nedović. 21. februar Osnovni pojmovi 2. 2 Bipartitni grafovi 8. 3 Stabla 9. 4 Binarna stabla Planarni grafovi 12 GRAFOVI Ljubo Nedović 21. februar 2013 Sadržaj 1 Osnovni pojmovi 2 2 Bipartitni grafovi 8 3 Stabla 9 4 Binarna stabla 11 5 Planarni grafovi 12 6 Zadaci 13 1 2 1 Osnovni pojmovi Iz Vikipedije, slobodne

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

i b, onda postoje jedinstveni q (kvocijent) (ostatak) takvi da je a = bq + r. , broj 5 dijeli broj n 5 n

i b, onda postoje jedinstveni q (kvocijent) (ostatak) takvi da je a = bq + r. , broj 5 dijeli broj n 5 n 4 Cel broev Sup prrodh broeva { 3K } Sup prrodh broeva ule 0 { 0} { 03K } Sup celh broeva { K 3 03 K} 4 Delvost u supu celh broeva Defca Nea su tao da e b a Svostva: Za \ { 0} Za b \ { 0} 3 Za b \ { 0}

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Numeričko rešavanje sistema nelinearnih jednačina

Numeričko rešavanje sistema nelinearnih jednačina 77 8 Numerčo rešavae sstema elearh edača Zadata Čest problem u žeersm proračuma e alažee rešea eog sstema elearh edača:......... 8. odoso alažee vredost epozath... tao da bude zadovoleo uslova 8. l u vetorso

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja

2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja Skupovi brojeva 17 Skupovi brojeva.1 Skup prirodih brojeva Skup N prirodih brojeva čie brojevi 1,,3,... Nad skupom prirodih brojeva defiisae su operacije sabiraja (+) i možeja ( ), čiji je rezultat takože

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1. Rešenje: Imamo sistem sa ekvivalentnim paralelnim serverima: λp 5. X=λ(1-p 5 ) X μ

Zadatak 1. Rešenje: Imamo sistem sa ekvivalentnim paralelnim serverima: λp 5. X=λ(1-p 5 ) X μ Zadatak U račuarskom etru ostoi soba sa 3 račuara. Soba e mala i u o, ored oih koi treuto rade, može da čeka oš dva korisika. Korisii dolaze ezaviso i slučao, u roseku 4 korisika a sat. Svaki korisik radi

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORJA ETONSKH KONSTRUKCJA 1 PRESEC SA PRSLNO - VELK EKSCENTRCTET ČSTO SAVJANJE - SLOODNO DENZONSANJE Poznato: Nepoznato: - statčk tcaj za pojedna opterećenja ( ) - sračnato - kvaltet materjala (, σ v

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Overviev BFS-analiza DFS algoritam. Predstavljanje grafova BFS algoritam. Grafovski algoritmi

Overviev BFS-analiza DFS algoritam. Predstavljanje grafova BFS algoritam. Grafovski algoritmi Predstavljanje grafova BFS algoritam Grafovski algoritmi Mnogi računarski problemi definisani u terminima grafova; Graf G = (V, E); V neprazan skup čije elemente nazivamo čvorovi grafa; E V V skup čije

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

1 Uvod i neki osnovni pojmovi

1 Uvod i neki osnovni pojmovi Prrodo-matematčk fakultet, Uverztet u Nšu, Srbja http://www.pmf..ac.rs/m Matematka formatka 3 05, 5-64 Nestadard ač za sumraje ekh redova Mhalo Krstć studet matematke, PMF Uverzteta u Nšu E-mal: mhalo994@yahoo.com

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

Izrada Domaće zadaće 4

Izrada Domaće zadaće 4 Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehički fakultet Predmet: Ižejerska matematika I Daa: 76006 Izrada Domaće zadaće Zadatak : Izračuajte : si( ) (cos( )) L 0 a) primjeom L'Hospitalovog pravila; b) izravom upotrebom

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1 I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Oaj koj cje praksu bez teorjskh osova slča je moreplovcu koj ulaz u brod bez krme busole e zajuć kuda se plov. ( LEONARDO DA VINCI ) P r e d a v a j a z a d r

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

( ) BROJNI PRIMER 4. Temeljni nosač na sloju peska. Slika 6.3. Rešenje: Ekvivalentni modul reakcije podloge/peska k i parametar krutosti λ :

( ) BROJNI PRIMER 4. Temeljni nosač na sloju peska. Slika 6.3. Rešenje: Ekvivalentni modul reakcije podloge/peska k i parametar krutosti λ : BROJNI PRIMER 4 Armrano etonsk temeljn nosač (slka 63), fundran je na dun od D f =15m, u sloju poto-pljenog peska relatvne zjenost D r 75% Odredt sleganje w, nag θ, transverzalnu slu T, moment savjanja

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Proračun potrebnog broja vozila II 1/13

Proračun potrebnog broja vozila II 1/13 Proračun potrebnog broa vozla II 1/13 Analtčke metode za odredvana potrebnog broa vozla Jedan od naznačanh aktora ko utču na unkconsane sstema rukovana materalom e bro sredstava ko se nalaze u sstemu.

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Matematička logika. novembar 2012

Matematička logika. novembar 2012 Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog

Διαβάστε περισσότερα

Problemi maksimuma i minimuma

Problemi maksimuma i minimuma Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Metodika nastave matematike i računarstva Seminarski rad Problemi maksimuma i minimuma Studenti: Marija Kaljević Marta Krčaković Igor Lučić Verica Milovanović

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007.

Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007. Itegral i mjera Braslav Rabar 13. lipja 2007. Def 1 Neka je X skup tada familiju F podskupova od X zovemo σ-algebra a X ako je X uutra te je zatvorea a komplemetiraje i prebrojive uije tada urede par (X,

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika krutog tijela ( ) Gibanje krutog tijela. Gibanje krutog tijela. Pojmovi: C. Složeno gibanje. A. Translacijsko gibanje krutog tijela. 14.

Dinamika krutog tijela ( ) Gibanje krutog tijela. Gibanje krutog tijela. Pojmovi: C. Složeno gibanje. A. Translacijsko gibanje krutog tijela. 14. Pojmo:. Vektor se F (transacja). oment se (rotacja) Dnamka krutog tjea. do. oment tromost masa. Rad krutog tjea A 5. Knetka energja k 6. oment kona gbanja 7. u momenta kone gbanja momenta se f ( ) Gbanje

Διαβάστε περισσότερα

Elementi energetske elektronike

Elementi energetske elektronike ELEKTRIČNE MAŠINE Elemen energeske elekronke Uvod Čme se bav energeska elekronka? Energeska elekronka se bav konverzjom (prevaranjem) razlčh oblka elekrčne energje. Uvod Gde se kors? Elemen energeske elekronke

Διαβάστε περισσότερα

Ratomir Paunović i Radovan Omorjan, Tehnološki fakultet u Novom Sadu

Ratomir Paunović i Radovan Omorjan, Tehnološki fakultet u Novom Sadu PREDGOVOR Ova kjga predstavlja uvod u statstku amejea je pre svega studetma prmejeh tehčkh auka, kao žejerma. Psal smo je sa cljem da pomogemo zateresovaom čtaocu da razume pravlo korst osove statstčke

Διαβάστε περισσότερα

Algoritmi i strukture podataka

Algoritmi i strukture podataka Algoritmi i strukture podataka vežbe 5 Mirko Stojadinović 6. novembar 2015 1 1 Grafovi 1.1 Osnovni pojmovi Graf G = (V, E) se sastoji od skupa čvorova V i skupa grana E, pri čemu grane predstavljaju relacije

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A Psmen spt z OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga ABC se oslanja pomoću dvje špke BD CE kao na slc desno. Špka BD, dužne 0.5 m, zrađena je od čelka (E AB 10 GPa) ma poprečn presjek od 500 mm.

Διαβάστε περισσότερα

U okviru prvog dijela predavanja predviđeno je da studenti savladaju slijedeće programske sadržaje:

U okviru prvog dijela predavanja predviđeno je da studenti savladaju slijedeće programske sadržaje: Predavaja iz predmeta Matematika za ekoomiste: I dio U okviru prvog dela predavaja predviđeo je da studeti savladaju sledeće programske sadržaje: Pojam matrice i operace s matricama Jediiča matrica raspoovaa

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

nepoznati parametar θ jednak broju θ 0, u oznaci H 0 (θ =θ 0 ), je primer proste hipoteze. Ako hipoteza nije prosta, onda je složena.

nepoznati parametar θ jednak broju θ 0, u oznaci H 0 (θ =θ 0 ), je primer proste hipoteze. Ako hipoteza nije prosta, onda je složena. Testiraje parametarskih hipoteza Pretpostavka (hipoteza) o parametru raspodele se zove parametarska hipoteza. Postupak jeog potvrđivaja ili odbacivaja a osovu podataka iz uzorka je parametarski test. t

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNA OPTIMIZACIJA. (zadaci) Milan Jovanović

KONVEKSNA OPTIMIZACIJA. (zadaci) Milan Jovanović KONVEKSNA OPTIMIZACIJA (zadaci) Milan Jovanović 1 Osnovu ove zbirke čine zadaci sa ispita iz Matematičkog programiranja, predmeta koji se predaje na PMF BL od 1998\1999 školske godine. To su zadaci označeni

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Jankove grupe kao dizajni i jako regularni grafovi

Jankove grupe kao dizajni i jako regularni grafovi Jankove grupe kao dizajni i jako regularni grafovi Vedrana Mikulić (vmikulic@math.uniri.hr) Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci 9. listopad 2008. Djelovanje grupe na skup Definicija Grupa G djeluje

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα