JAVA APLETI ZA VIZUELIZACIJE U TEORIJI GREBNER-OVIH BAZA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "JAVA APLETI ZA VIZUELIZACIJE U TEORIJI GREBNER-OVIH BAZA"

Transcript

1 Uverztet u Beogradu Elektrotehčk akultet Master rad JAVA APLETI ZA VIZUELIZACIJE U TEORIJI GREBNER-OVIH BAZA Metor: Dr. Brako Maleševć, doc. Studet: Boa Baac Br. deksa: 00/5 Beograd, septembar 0

2 Sadrža Uvod... Glava I :Greberove baze Buchbergerov algortam.... Ideal prstea... Prste poloma Moomal deal.7 4. Moomal poretc Delee u prsteu vše promelvh redukca poloma. 6. Hlbertova teorema o baz 4 7. Greberova baza.4 8. Szdž za poloma S-polom Buchbergerov algortam Algortam redukce baze.0. Algortam za proalažee plaarh preseka poloma.. Lteratura..4

3 Uvod Ižeerska struka e od samog početka bla vezaa za matematku. Već u sredem veku e blo aso da bez temelog pozavaa matematke e moguće preczo zvest zaklučke z usvoeh sazaa. Sa dalm razvoem prrodh auka ovo e blo sve vdlve. Neda zako zke e mogao proć kao deca ako e bo aso desa kao matematčka ormula. Hemsk ogled su kostato korstl procet raču. Arhtekte su se oslaale a ormule koe su m prkazvale parametre obekta ko grade. U daaše vreme, kada se prmea ovh auka ogleda u žeerskm dscplama, emoguće e zamslt obrazovaog stručaka ko ema makar dobre osove u matematc. Ovo e dovelo do toga da svak akultet u svetu svoe žeerske kurseve započe a matematc. Ipak, od samh početaka pa do daas e došlo do velkog pomaka u metodama. Dok e pre sto goda matematka blo obašavaa putem prmera, audtvh predavaa, vežbaa algortama za rešavae zadataka uutar struče lterature, daas e dostupa daleko šr asortma pomagala. Studetma e dostupa šr zbor lterature putem tereta. Komukaca sa astavcma se odva daleko ekase zbog poave emala. Predavaa se vše e vrše samo kredom tablom, već posto velk bro pomagala koa koršćeem mogućost komputera vzuelo predstavlau pomove. Mog komputersk sstem studetma omogućavau proveru rezultata proračua. Aplkace koe su razvee u okvru ovog master rada su krerae kao pomoćo astavo sredstvo. Buchbegerov algortam, ko e koršće u ekolko h, daas e eda od stadardh ača rešavaa sstema edača, korst se u već sstema komputerske algebre. Zbog svoe važost ova algortam se predae a već akulteta sa všm kursevma matematke. Ipak, posto veoma mal bro aplkaca koe prkazuu ač ukcosaa ovog algortma, ače egove prmee. Namera autora e bla da se krera aplkaca koa će moć da prkaže ač ukcosaa ovog algortma gračk prkaže odreñee elemete ove oblast matematke, kako b studetma prblžo ovu oblast. U okvru prve glave ovog rada e dat prkaz teore a osovu koe su bazrae aplkace. Buchbergerov algortam prpada oblast smbolčke algebre, te su date osove teoreme dece koe spadau u ovu oblast. Takoñe e prkazaa eda od prmea Buchbergerovog algortma, odoso teora a koo se oa zasva, kako b u okvru prkaza aplkaca blo desao a čemu se bazra.

4 Glava I : Greberove baze Buchbergerov algortam U daašm matematčkm komputerskm sstemma možemo srest rešea za moge složee proračue. Kao eda od apraktčh metoda za alažee rešea sstema polomalh edača u već sstem možemo srest Greberove baze. Teoru Greberovh baza e oš 9. predstavo Wolgag Gröber u okvru svoe doktorske dsertace E Betrag zum Problem der Mmalbase. U toku svog daleg rada o se bavo račuskom algebrom, al e teora kou e predstavo dobla me Greberove baze tek 965. gode kada e studet Wolgaga Gröbera Bruo Buchberger u svoo doktorsko dsertac E Algorthmus zum Aude der Basselemete des Restklassergs ach eem ulldmesoale Polyomdeal po svom metoru meovao poam Greberovh baza. Buchberger e u tom radu takoñe desao algortam dale pozat kao Buchbergerov algortam, kom se može doć do Greberove baze. Ova algortam se u modkovao varat avla daas u već sstema komputerske algebre, predstavla veoma ekaso rešee za velk bro problema sa kom se programer pr krerau takvh sstema mogu srest.. Ideal prstea Deca. Neka e R= R, +, ) prste, tada podskup I R odreñue deal prstea ukolko e spueo: a) I) y I ) y I b) I) r R) r, r I Teorema. Neka e R= R, +, ) prste eka su I, J R deal prstea R. Tada sledeć skupov predstavlau deale u prsteu R: a) I+ J = { r r= + y I y J} b) I J = { r N) r= y ) I, y ) J} = c) I J = { r r I r J} d) I : J = { r r y J ) r y, y r I} = = Teorema. Neka e R= R, +, ) prste eka su I, J, M R u delu prstea. Tada važ: a) I J I I J b) I M ) + J M ) I + J ) M c) I : M ) + J : M ) I + J ) : M d) I : J + M ) = I : J ) I : M )

5 Teorema.4 Neka e R= R, +, ) prste eka e A R podskup. Tada skup koačh suma:. I m = = = = m m { r r= a y + k b ) =, y ) = R a ) =, b ) = A k ) Z} Odreñue eda deal prstea R. Posebo ako e R komutatv prste sa edcom, tada deal I se može predstavt sledećm skupom: = { = = =. I r r= a ) R a ) A} Deca.5 U prethodo teorem deal I azvamo deal geersa skupom A, što zapsuemo I = A.Pr tom deal I odreñe sa ) azvamo dvostram dealom, a deal I odreñe sa ) azvamo dvostram dealom. Teorema.6 Neka su u prsteu R= R, +, ) dat deal I J geersa skupovma A R B R respektvo. Tada važ: a) I + J = A B b) I J = { a b a A b B} Napomea.7 Ideal I J e aveć deal sadrža u dealma I J. Ua dva deala I J e mora bt deal, meñutm deal I + J e ama deal ko sadrž deale I J. Odatle skup deala ekog prstea u odosu a presek sumu deala predstavla mrežu. Napomea.8 Za ma ko rastuć laac deala I I... ua U J = J k odreñue = eda deal. Teorema.9 Neka e R= R, +, ) prste. Tada su sledeć skaz meñusobo ekvvalet. a) Svak deal I prstea R e geersa koačm skupom. b) Svak rastuć laac deala I I... prstea R postae stacoara, t. Važ I = =... m I m + počev od ekog m. Deca.0 Prste R= R, +, ) ko spuava blo ko uslov prethode teoreme azva se Noether prste. k 0 4

6 . Prste poloma Neka e K= K, +, ) pole. Ako e promeva ad K ako su a, a... a 0 K elemet pola takv da a 0 uobčaeo e da se zraz a a + a0 azva polomom stepea po promevo. Drug ač desaa poloma e desae zom koeceata a, a,..., a,...) gde su a K = 0,,...) elemet pola takv da vaš 0 posto takvo da a = 0 za >. Neka e dat polom P zom koeceata, tada stepe poloma dgp) e aveć bro takav da a 0. Tada elemete a, a... a 0 K azvamo koecetma poloma, a koecet a azvamo vodeć koecet poloma. Dale, za polom P dat se beskoačm zom koeceata korstmo zaps koačm zom a, a,..., a ) 0 podrazumevauć da a = 0 za >. Jedca pola K može se postovett sa polomom ) ultog stepea uopšte svak elemet pola c K može se postovett sa polomom c) ultog stepea. Polom = 0,) azvamo promelvom. Uvedmo skup poloma ede promelve: K[ ] = { P= P ) p polom ad K} U skupu K [] uvedmo bare operace: a) a 0, a,..., a,...) b0, b,..., b,...) = c0, c,..., c a, a,..., a,...) + b, b,..., b,...) = a + b, a + b,..., a + b,...) b),...) gde e c = = a a = 0,,,...) 0 b Dva poloma su edaka ako mau edake koecete. Prethoda deca edakost poloma se podudara sa edakošću dve ureñee -torke. Teorema. Neka e K= K, +, ) pole, tada e K[]= K [ ], +, ) komutatva prste sa edcom bez deltela ule. Napomea. Prethoda teorema važ ukolko e K komutatva prste sa edcom bez deltela ule, tada e e K[]= K [ ], +, ) takoñe komutatva prste sa edcom bez deltela ule. Teoreme. Ako su dva poloma ad polem K edaka tada su edake odgovarauće polomske ukce. Obrato tvrñee važ za beskoačo pole K. Teorema.4 Ako e dato koačo pole Galosa K=GFm) sa prost bro N ). Ako su data dva poloma P r m= p elemeata za p- Qs stepea r s respektvo, pr 5

7 čemu e spueo: m > ma{ r, s}, tada su polom P r Q s sa edakm koecetma ako samo ako su m edake odgovarauće polomske ukce. Teorema.5 Neka su dat polom P, Q, K[ ] gde Q e ula polom, ad prsteom K []. Tada postoe edstveo odreñe polom G, R K[ ] takv da važ P = G Q+ R, takv da dg R) < dg Q) l R=0. Teorema.6 Neka e I deal u prsteu poloma K [], tada e deal I geersa edm elemetom, t. posto polom g K[] takav da važ I = {g} zaklučuemo da e algebarska struktura K[]= K [ ], +, ) Noether prste.. Na osovu ovoga Neka e K= K, +, ) pole. Polazeć od prstea poloma ede pomelve K [], saglaso sa apomeom., prste poloma vše promelvh dešemo duktvo: K[,..., ]= K [,..., ])[ ] Teorema.7 Neka e K= K, +, ) pole, tada za svako N algebarska struktura K[,..., ]= K [,..., ], +, ) e komutatva prste sa edcom bez deltela ule. Teorema.8 U prsteu poloma ede vše promelvh, usled komutatvost postoaa edce, sv deal su edostra Neka e dat polom P= P,..., ) K[,..., ], tada važ edakost: gde e A0 N 0,..., ) α =... α P cα α A0 α,..., α koača skup -tork α = ) prrodh broeva gde e α α c α K \{0}. Izraz Mα =... u prethodo sum azvau se moomma. Samm tm, polom P predstavla learu kombacu mooma ad polem K. Poedače α α sabrke cα... za α A0, ko učestvuu u polomu P azvamo oš termma poloma. Dale, -torku α = α,..., α ) azvamo multstepe mooma, a sumu ekspoeata k = α k odreñue stepe mooma, ko ozačavamo dg M ). Prmetmo da 0 0 se edca pola K može predstavt a edstve ač kao moom =..., dakle kao moom ultog multstepea 0= 0,...,0) 6

8 . Moomal deal α α Neka e Mα =... moom u prsteu poloma vše promelvh K[,..., ] gde e α α α α = α,..., α multstepe. Tada korstmo krać zaps =.... ) N 0 Za skup multstepeova α skup mooma { : α A} odreñue deal geersa tm A N0 skupom mooma I = α : α A. Takav deal se azva mooma deal o se može odredt kao skup koačh suma : α I = q : qα K[,..., ] { α α A0 A0 α A 0 Teorema. Neka su A} α α... moom u prsteu poloma vše promelvh α K[,..., ] sa meñusobo razlčtm stepema. Tada e skup mooma { α... } learo ezavsta skup. Teorema. Neka e za skup multstepeova A N0 u prsteu poloma vše promelvh K[,..., ] odreñe moomal deal I = α : α A. Tada za multstepeβ = β,..., β važ β I ako samo ako ) N 0 Teorema. Neka e skup multstepeova A N 0 α α β A ). u prsteu poloma vše promelvh K[,..., ] odreñe moomal deal I = α : α A. Tada za polom P m = bk k= βk K[,..., ] bk K \{0} bk N0 ) važ bk m k= βk I k) Teorema.4 U prsteu poloma vše promelvh K[,..., ] dva moomala deala su edaka ako samo ako se sastoe od edakh skupova mooma. Deca.5 Neka su data dva mooma α βk I β z prstea poloma vše promelvh K[,..., ]. Naveć zaedčk dellac GCD) prethodh mooma e sledeć moom γ α β = GCD, ), takav da e k {,... }) γ = m{ α, β } k k k Deca.6 Nama zaedčk sadržalac prethodo posmatrah mooma e sledeć δ α β moom = LCM, ), takav da e k {,... }) δ = ma{ α, β } k k k 7

9 Teorema.7 Neka su I,..., = m mr J,..., s poloma vše promelvh K[,..., ]. Tada važ: a) I + J = m,..., mr,,..., s b) I J = r s = = GCD m, ) c) I J = m,..., m s, m,..., mrs d) I s I : J = m mr,..., LCM m, ) LCM m, ) = = dva moomala deala u prsteu r Teorema.8 Dksoova lema [] Maleševć,000) Svak moomal deal I = α : α A gde e A N 0 u prsteu poloma vše promelvh K[,..., ] e koačo geersa deal. 4. Moomal poretc Za epraza skup S 0 relaca duže e epraza podskup ρ S. Ukolko e relaca duže =, tu relacu azvamo bara relaca. Osobe relaca mogu bt: a) Releksvost: S) ρ b) Smetrčost:, y S) ρ y y ρ c) Atsmetrčost:, y S) ρ y yρ = y d) Traztvost:, y, z S) ρ y y ρ z ρ z Deca 4. Bara relaca koa releksva, smetrča traztva se azva relaca ekvvalece. Deca 4. Bara relaca koa e releksva, atsmetrča traztva azva se relaca poretka. Deca 4. Bara relaca e totala l leara ako važ, y S) ρ y y ρ Deca 4.4 Bara relaca koa e totala, atsmetrča traztva azva se relacom totalog poretka. Za relacu totalog poretka ρ ad skupom S uobčaeo e da korstmo ozaku, tada e za svaka dva elemeta, y S moguće zvršt poreñee elemeata y l y Deca 4.5 Elemet α A ) a α α = a) a A S e mmal elemet skupa A S ako važ 8

10 Deca 4.6 Bara relaca totalog poretka ad skupom S e relaca dobrog ureñea ukolko svak epraza podskup A S ma mmal elemet a= ma). Deca 4.7 Na skupu N 0 relaca azva se relacom moomalog poretka ako spuava sledeće uslova: a) e relaca totalog poretka a N 0 b) α, β, γ N ) αβ α + γβ + γ 0 c) e relaca dobrog ureñea a N 0 Lema 4.8 Dcksoova lema e ekvvaleta tvrñeu da u skupu mooma e posto beskoača opadauć z mooma u odosu a ksra moomal poredak Deca 4.8 [] Maleševć,000) Relaca lekskograskog poretka a skupu N 0 uvodmo le a ač ko sledue. Za α, β N 0 smatramo da e α le β ako e u vektoru razlke γ α prva eulta pozca sa leve strae poztva. Tada takoñe pšemo = β Z α β le, čme preosmo relacu le Teorema 4.9 Relaca lekskograskog poretka a skup mooma vše promelvh. Prmer 4.0 U lekskograskom poretku važ: a) y z er e,0,0) 0,,0) 0,0,) b) y le e relaca moomalog poretka le le le le 4 le y z er e α =,,0) le β = 0,,4) α β =,, 4)) > 0) 4 c) y z y z er e α =,,4) β =,,) α β = 0,0, )) le Deca 4. Relacu obrutog lekskograskog poretka le vle >0) a skupu N 0 uvodmo a ač ko sledue. Za α, β N 0 smatramo da e α vle β ako e u vektoru razlke γ = α β Z posleda eulta pozca sa dese strae poztva. Tada takoñe pšemo α β vle, čme preosmo relacu vle a skup mooma vše promelvh. Teorema 4. Relaca obrutog lekskograskog poretka vle e relaca moomalog poretka. Prmer 4. U obrutom lekskograskom poretku važ: a) z y er e 0,0,) 0,,0),0,0 ) b) c) y vle vle vle vle 4 z vle y er e α = 0,,4) vle β =,,0) α β =,, 4 )) >0) 5 y z y z = = β = vle er e α 5,,) vle β,,) α,,0)) >0 9

11 Deca 4.4 Relacu gradraog lekskograskog poretka uvodmoa ač ko sledue. Za α = α > β = β ) α = β α = = čme preosmo relacu α, β N 0 smatramo da e α grle β le β ). Tada takoñe pšemo grle a skup mooma vše promelvh. grle a skupu N 0 ako e tačo α β grle, Teorema 4.5 Relaca gradraog lekskograskog poretka moomalog poretka. grle e relaca Prmer 4.6 U gradraom lekskograskom poretku važ: a) y z er e,0,0) 0,,0) 0,0,) b) c) y z y grle grle grle grle 4 grle y er e α = 0,,4) grle β =,,0) α = 7> = β ) 4 z α =,4,) 4 grle y z er e grle β =,,4) α = 9= β α β = 0,, )) Deca 4.7 Dešmo relacu α rvle β ako samo ako β vle α sa uslovom da e u vektoru razlke: γ = α β Z posleda eulta koordata egatva). Relaca rvle e relaca moomalog poretka služ za desae gradraog obrutog lekskograskog poretka. Za α, β N 0 smatramo da važ α grevle β ukolko e tača dsukca α = α > β = β) α = β α rvleβ ). Tada takoñe u skupu mooma važ = α β grevle = > 0) Teorema 4.8 Relaca obrutog gradraog lekskograskog poretka moomalog poretka. grevle e relaca Prmer 4.9 U obruto gradraom lekskograskom poretku važ: a) z y er e 0,0,) 0,,0),0,0 ) b) c) y z y grevle grevle grevle grevle 4 grevle y er e α = 0,,4) grle β =,,0) α = 7> = β ) 4 z 4 grevle y z er e α =,4,) β =,,4) α = 9= β α β = 0,, )) grevle Neka e ksra eda moomal poredak eka e u prsteu poloma vše pormelvh K[,..., ] dat polom P= ck m k= 0 α k <0) za eke moome k α eke koecete c k K k= 0,,..., m). Smatramo da e polom P sreñe u datom moomalom poretku P= cπ c α α π 0 π m 0 m ako za eku permutacu π skupa π 0

12 deksa I m = { 0,,..., m} spueo απ 0 απ... απ m t. ako su termov poloma P zapsa u opadaućem poretku multstepea. Svak polom se može sredt u datom poretku. Tada dešemo polom P pomove ko su veza za sreñvae poloma u datom moomalom poretk: a) multstepe: MD P) =α 0 π b) vodeć koecet: LC P) = c 0 c) vodeć moom: d) vodeć term: π LM P) = α π 0 α π 0 0 LT P ) = c π 5. Delee u prsteu vše promelvh redukca poloma Teorema 5. Ideal u prsteu poloma vše promelvh K[,..., ] za u opštem slučau su geersa edm elemetom. Algortam delea Iput:,..., k, Output: a,..., a k, r a := 0,..., a k := 0, r := 0 p := WHILE p 0 DO := dvsooccured := alse WHILE k ad dvsooccured = alse DO IF LT ) dvdes LTp) THEN a := a + LTp)/LT ) p := p LTp)/LT ) dvsooccured := true ELSE := + IF dvsooccured = alse THEN r := r + LTp) p := p LTp) STOP) Teorema 5. Neka e data k-torka poloma F =... ) gde su polom k K[,..., ] svak za sebe sreñe u stom moomalom poretku =,.., k). Tada prmeom gore avedeog algortma delea svak polom K[,..., ] se može, r K[,..., ] = zapsat a sledeć ač = a ak k + r za a,.., k) pr čemu l e r = 0 l e r eka K- leara kombaca mooma od koh eda e delv sa ma kom od vodećh mooma LT ),..., LT ) pr datom moomalom k poretku. Pr avedem pretpostavkama važ {,..., s }) LT ) LT a )

13 Počete prpreme: Prmer rada algortma lekskogrask poredak) Ulaz: =- z +z + y z yz = z = -z, =y z a =0 a =0 a =0 r= 0 p== - y +z yz Korak : ltp) lt ) p=p-- z)=z yz a = a +-)=- r=0 Korak : ltp) lt ) p=p--z z )=y z -yz +z a = a +z)=z r=0 Korak : ltp) lt ) p=p-y z yz )=z a = a +yz)=yz r=0 Korak 4: ltp) {} r=r +ltp)=z p=p -ltp)=0 Korak 5: p=0 Algortam završava sa zvršavaem a =- a =z a =yz r= z Deca 5. Polom r=rem,f) azvamo ostatkom pr deleu poloma sa k- torkom sreñeh poloma F. Napomea 5.4 Ostatak pr deleu poloma sa k-torkom sreñeh poloma F zavs od redosleda poloma uutar F, e edstve.

14 Lema 5.5 Za polom k-torku F =... ) sreñeh u stom moomalom poretku važ r=rem,f)=0,..., } { k k Deca 5.6 Za eula polome, g polom ˆ z K[,..., ], sreñee u stom moomalom poretku, smatramo da se polom redukue a polom ˆ po modulu poloma g, u ozac ˆ l ˆ mod g ako posto term h poloma takav da važ: lt g) h ˆ = g h g lt g) Deca 5.7 Neka e polom eka e G = { g,..., g k } skup poloma u K[,..., ] sreñeh u stom moomalom poretku. Polom se redukue a polom ˆ po modulu skupa poloma G, u ozac G ˆ, ako posto polom g G takav da ˆ pr tom e ˆ e sreñe u stom moomalom poretku ). Smatramo da se g polom u potpuost redukovao a polom ˆ po modulu skupa poloma G ako e ˆ ˆ. Navedeo ozačavamo G ˆ. G G Deca 5.8 Polom ˆ e ormala orma poloma po modulu skupa poloma G takav da G ˆ. Normalu ormu poloma ozačavamo ˆ = ormal, G). * Teorema 5.9 Neka e dat skup poloma G= g,..., g } u prsteu poloma vše * { k promelvh K[,..., ]. Tada za svak polom K[,..., ] ormala orma h= ormal, G) odreñue se u koačom brou koraka. Pr tom se polaz polom može zapsat a sledeć ač = a g ak gk + h za eke polome a K[,..., ],..., k), pr čemu l e h=0 l e h eka K-leara kombaca = mooma od koh eda e delv sa ma kom od vodećh mooma lt g ),..., lt g ). Pr tome važ {,..., s }) l ) lt a ). k Teorema 5.0 Neka e dat skup poloma G= g,..., g } u prsteu poloma vše { k promelvh K[,..., ]. Polom K[,..., ] se u potpuost redukue a ulu po modulu skupa poloma G ako samo ako se polom može zapsat a sledeć ač: = a g a k g k za eke polome a K[,..., ] =,..., k). Pr avedem pretpostavkama važ {,..., s }) l ) lt a )

15 6. Hlbertova teorema o baz Deca 6. Neka e I eula deal u prsteu poloma vše promelvh K[,..., ]. Tada skupom vodećh termova deala lt I) = { lt ) I} geeršemo deal vodećh termova lt I ) = { lt ) I} Teorema 6. Neka e I eula deal u K[,..., ], tada važ: a) lt I ) este moomal deal u K[,..., ] b) g,..., g I ) lt I) = { lt g ),..., lt g )} s s Teorema 6. Hlbertova teorema o baz Svak deal I u prsteu poloma vše promelvh K[,..., ] este koačo geersa deal Napomea 6.4 Na osovu Hlbertove teoreme o baz zaklučuemo da e algebarska struktura K[,..., ] = K [,..., ], +, ) Noether prste. 7. Greberova baza U razmatrau u ovom delu aredm delovma ko se odose a Greberove baze smatraćemo da e dat ksra moomal poredak. Teorema 7. Neka e K[,..., ] tada važ { lt ),..., lt s )} lt I) I =,..., deal u prsteu poloma vše promelvh s Deca 7. Koača skup G= g,..., g } u dealu I prstea poloma vše { k promelvh K[,..., ] azva se stadarda Greberova baza deala I ako važ lt I ) = { lt g ),..., lt g )} s Prmer 7. Za polome = y = y postoe polom g = = y g = y = y + y y= y, takv da I = { g, g } da { lt ), lt ) { lt g), lt g ) Napomea 7.4 Neka e G= g,..., g } baza deala I prstea vše promelvh { k K[,..., ]. Uslov da e ormala orma po modulu skupa G edstveo odreñea e ekvvaleta sa uslovom da e G Greberova baza deala I. Navede uslov e korsto B. Buchberger pr dec stadarde Greberove baze. 4

16 Teorema 7.5 Svak deal I u prsteu poloma vše promelvh K[,..., ] ma bar edu stadardu Greberovu bazu G koa este eda baza za deal I. Teorema 7.6 Koača skup G= g,..., g } u dealu I prstea vše promelvh { k K[,..., ] este stadarda Greberova baza deala ako samo ako za svako I važ g G) lt g ) lt ) Teorema 7.7 Neka e G = g,..., g } Greberova baza deala I K,..., ]. Tada za { k [ svako K[,..., ] posto edstveo odreñe r K[,..., ] sa sledećm pretpostavkama: a) Ako e r 0, tada eda moom ko se avla u r kao sabrak e delva sa ekm od mooma lt g ),..., lt g s ) b) Posto g I tako da = g+ r Deca 7.8 Neka e G = g,..., g } Greberova baza deala I K,..., ]. Tada za { s [ svako K[,..., ] edstveo odreñe polom r z prethode teoreme azvamo ostatakom poloma u odosu a Grebereovu bazu G. Teorema 7.9 Neka e G = g,..., g } baza deala I prstea vše promelvh { s K[,..., ]. Uslov da za svako K[,..., ] važ ekvvaleca I rem, g,..., g s )) = 0 e ekvvaleta sa uslovom da e G Greberova baza deala I. Teoreme 7.0 Svaka Greberova baza G = g,..., g }, u prsteu vše promelvh K[,..., ] este eda baza za deal I. { s Teorema 7. Neka su G= g,..., g } G = g,..., g } dve Greberove baze deala { s { k I K,..., ] u odosu a st moomal poredak. Tada za svako [ K,..., ] važ rem, g,..., g )) = rem, g,..., g )) [ s k Teorema 7. Sledeć uslov su meñusobo ekvvalet: a) Skup G e greberova baza za deal I K,..., ] b) Svako I možemo zapsat u oblku [ = a g a s g a,..., as K[,..., ] pr čemu {,..., s }) lt ) lt a g ) c) Svako I se u potpuost redukue a 0 po modulu skupa G s za eke Teorema 7. Neka e G = g,..., g } Greberova baza deala I prstea vše { s promelvh K[,..., ]. Smatramo da e G redukovaa Greberova baza ako su spue sledeć uslov: 5

17 a) Skup lt g ),..., lt g )} odreñue mmal geeratorsk skup za lt I ) { s g b) Vodeć termov lt ) su moomč moom, t. lc ) =, za svako {,..., s} c) Neda moom lm g ) e delv ma kom moomom ko se avla kao sabrak u geeratoru g g ) + c m = lm c k m G za, {,..., s}) k Teorema 7.4 Svak eula deal I prstea vše promelvh K[,..., ] ma edstveo odreñeu redukovau Greberovu bazu. 8. Szdž za poloma S-polom Deca 8. Neka e data k-torka poloma F =,..., ) ad prsteom poloma vše k a,..., a k promelvh K[,..., ], tada k-torka poloma S = ) poloma ad prsteom poloma vše promelvh K[,..., ] azva se Szdž k-torke poloma F ako važ a a k 0 k = Teorema 8. Neka e m,...,mk z mooma u prsteu poloma vše promelvh K[,..., ]. Ako e S = syz m,..., mk ), tada e S leara kombaca szudža oblka zs m, m ) r zs m, m ) r s = e e za < k m m Deca 8. [.] Co,Lttle,O Shea,997) Neka su g K[,..., ] dva poloma, S-polom, zs lm ), lm g)) zs lm ), lm g)) za polome g odreñe e sa S, g) = g lt ) lt g) Prmer račuaa S-poloma = + yz z) g = z + y yz zs, g) = zslm),lmg)) zs lm ), lm g)) S, g) = lt ) = zs, z ) = z zs lm ), lm g)) g lt g) z z S, g) = + yz z) z + y z S, g) = z + yz z) z + y yz) 4 y yz S, g) = z + yz z z + y yz 4 S, g) = + + yz z yz) g 6

18 Lema 8.4 Za polome g K[,..., ] važ lt g) = lt ) lt g), Lema 8.5 Za polome, g, g K[,..., ] eka važe uslov, lm g), lm g)) zs lm ), lm = md zs lm g), lm g lt g) + lt g) = 0 zs )). Neka e γ = md lt g )) = md lt )) δ ))). Tada važo lt g γ ) g+ lt ) g = c S g, g γ = γ δ N 0. ) za ek koecet c K \{0} multstepe Lema 8.6 Za svaka dva poloma, g K[,..., ] važ zs lm ), lm g)) lt S, g)) Teorema 8.7 Neka e da skup G = g,..., g } ko geerše deal I K,..., ]. Ako { s [ za svako g, g G S-polom S g, g ) spuavau uslove S g, g ) = a g as g s k {,..., s}) lt S g g )) lt ak g k ) za eke polome a,..., as K[,..., ] tada skup G odreñue Greberovu bazu. Teorema 8.8 Skup G= g,..., g } odreñue edu Greberovu bazu deala { s I = { g,..., g s } u prsteu poloma vše promelvh K[,..., ] ako samo ako važ g, g G) S g, g ) I 9. Buchbergerov algortam Buchbergerov algortam Iput: Skup polom F =,..., ) ko geerše deal I k Output: Skup G= g,..., g s ) Greberova baza deala I G : = F M = {, ), G = } : whle M 0) do p,q):=a ek ureñe par z M M : = M \ { p. q)} S : = S p, q) h : = ormal S, G) h 0) the M : = M { g, h) g G} G : = G { h} edwhle 7

19 Teorema 9. [.] Co,Lttle,O Shea,997) Neka e dat skup poloma F =,..., ) gde su k polom K[,..., ] svak za sebe sreñe u stom moomalom poretku =,..., k). Tada prmeom Buchbergerovog algortma od svako skupa poloma F =,..., ) dobamo G= g,..., g ) ko odreñue edu Greberovu bazu deala I. k s Prmer ukcosaa Buchbergerovog algortma Ulaz polom: =-4-9y +z =4 - +9y -y M:={, )} Korak : p= q= M=M/{, )} s=s, ) s= 4 9y + z 4 + 9y y 4 4 s= / +y/4 -z /4 h=ormals,g) / +y/4 -z/4: -4-9y +z, y -y)=0,0) rem = / +y/4 -z /4 h=/ +y/4 -z/4 h 0 =h G= G { } M = M {, ),, )} Korak : p= q= M=M/{, )} s=s, ) s= y/ - z/ -9y /4 +z/4 h=ormals,g) h= -9y / +yz/ z /4 +z/4 h 0 4 =h G= G { 4 } M = M {, 4 ),, 4 ),, 4 )} 8

20 Korak : p= q= M=M/{, )} s=s, ) s= y/ -z/ +/ -9y /4 +y/4 h=ormals,g) h= 0 Korak 4: p= q= 4 M=M/{, 4 )} s=s, 4 ) s= - yz/ + z /8 - z/8-9y 4 /4 + y z/4 h=ormals,g) h= 0 Korak 5: p= q= 4 M=M/{, 4 )} s=s, 4 ) s= - ^yz/ + z /8 - z/8 + y / -9 y 4 /4 + y /4 h=ormals,g) h= 0 Korak 6: p= q= 4 M=M/{, 4 )} s=s, 4 ) s= -yz/ + z /8 -z/8 -y / + y z/ h=ormals,g) h= 0 Greberova baza: =-4-9y +z =4 - +9y -y =/ +y/4 -z/4 4 =-9y / +yz/ z /4 +z/4 9

21 0. Algortam redukce baze Teorema 0. Neka e G eda Greberova baza deala I K,..., ]. Ako posto elemet Greberova baza. [ p G takav da lt p) lt G \{ p}) tada e G \{ p} geeratorsk skup Deca 0. Greberova baza deala I K[,..., ] este mmala Greberova baza deala I ako važ: a) p G) lc p) = b) p G) lt p) lt G \{ p}) Teorema 0. Greberova baza G deala I K[,..., ] este mmala Greberova baza ako samo ako važ: a) p G) lc p) = b) lt G) este mmala baza moomalog deala lt I ) Deca 0.4 [.] Co,Lttle,O Shea,997) Greberova baza G deala I K[,..., ] este redukovaa Greberova baza ako važ: a) p G) lc p) = b) Za svako p G e posto moom α poloma p tako da α lt G \{ p}) Algortam redukce Greberove baze Iput: G = { g,..., g s }- Greberova baza Output: G= ˆ { gˆ,..., gˆ } - Redukovaa Greberova baza k G ˆ : = G or all g Gˆ do µ G ˆ µ g) lt µ ) lt g) the G ˆ : = Gˆ \{ g} else g : = rem g, Gˆ \{ g}) or all g Gˆ do g g : = lc g) Teorema 0.5 Neka e data Greberova baza deala I K[,..., ] u odosu a ksra moomal poredak. Prmeom algortma redukce baze od svake Greberove baze dobamo redukovau Greberovu bazu. 0

22 Teorema 0.6 Redukovaa Greberova baza e edstvea predstavla specala sluča mmale Greberove baze eula deala I. Prmer ukcosaa algortma redukce Greberove baze Greberova baza: =-4-9y +z =4 - +9y -y =/ +y/4 -z/4 4 =-9y / +yz/ z /4 +z/4 Korak : p= =-4-9y +z ltp)= -4 { 4, / } ltp) G ˆ : = G \ { } Korak : p= =4 - +9y -y ltp)= 4 { / } ltp) G ˆ : = G \ { } Korak : p= = / +y/4 -z/4 ltp)= / { } ltp) p=remp,g) p=/ +y/4 -z/4 Korak 4: p= 4 = -9y / +yz/ z /4 +z/4 ltp)= / { } ltp) p=remp,g) p=-9 y / +yz/ z /4 +z/4 Redukovaa Greberova baza: = / +y/4 -z/4 = -9 y / +yz/ z /4 +z/4

23 . Algortam za proalažee plaarh preseka poloma Deca. [5.] Maleševć,Obradovć,009) Ukolko e dat sstem dve eleare polomale edače, y, z) = 0, y, z) = 0, sstem ma plaaro rešee ako posto leara polom g = g, y, z) = A+ By+ Cz+ D takvo da svako rešee sstema e takoñe rešee leare edače g, y, z) = 0 za eke reale promelve A,B,C D. Teorema. Ukolko Greberova baza sadrž leara polom, oda e rešee sstema plaaro. Teorema. Sstem ma plaar presek A + By+ Cz+ D= 0 za eke A, B, C, D R A 0. Ukolko za deal I =, e stto y lt I) z lt I ) oda lear polom g ˆ = gˆ, y, z) = + B / A) y+ C / A) z+ D / A) e elemet redukovae Greberove Baze Teorema.4 [5.] Maleševć,Jovovoć,Čampara,00) Ako za deal I =, posto geerator h u Buchbergerovom algortmu ko e leara, l prmeom algortma redukce proañemo redukova algortam h p ko e leara, oda sstem ma plaara presek Napomeat.5 Pomeuta tvrñea su dokazaa samo a lekskograskom moomalom poretku, a su oš dokazaa a sstemma sa vše od tr promelve u drugm moomalm poretcma Prmer utvrñvaa plaarog preseka 4 Ulaz polom : = + yz+ y z 4 Korak : = y z GB= buchberger, ) 4 GB = { + yz+ y z 4, y z } Neda polom u GB e leara. Vrš se redukca GB Korak : Vrš se redukca ad polomom p = + yz+ y z 4 4 Parcala redukca p = + yz+ y z 4 4 lt =y Korak : t= lt e del t = y z

24 Korak : t=yz lt t t / lt = z p=p - z* p= + yz + y z 4-4) yz z 4 - z) = + y + z 4 p e plaara polom p = + y + z 4 Otkrve plaar presek p. Izvršavae algortma se zaustavla

25 Lteratura [.] Proesor Brako Maleševć, Materal za astavu z predmeta Smbolčka aglebra, Elektrotehčk akultet u Beogradu [.] A. Heck: Brd's-eye vew o Gröber Bases, Nuclear Ist. ad Methods Physcs Research A ), 6- [.] K. Forsma: Htchhker gude to Gröber bases, Research Isttute or Symbolc Computato, Lz, Techcal Report 07499). [4.] B. Maleševć, M. Obradovć: A Applcato o Groeber Basest to Plaarty o Itersecto o Suraces, Flomat : 009), pp Thompso SCIE lst 009.) [5.] B. Maleševć, I. Jovovć, M. Čampara: Groeber bases JAVA wth applcatos computer graphcs, Proceedgs o -d Iteratoal Coerece or Geometry ad Egeerg Graphcs mongeometra 00, Paper No. 9, pp. -0, Jue 00, Belgade. [6.] B. Maleševć, I. Jovovć, M. Makragć, B. Baac, V. Katć, A. Jovaovć, A. Peovć: Buchberger-ov algortam vzuelzaca moomalh deala, koereca Matematka promee, Prrodo matematčk akultet, ma 0, Beograd [7.] D. Co, J. Lttle, D. O Shea : Ideals,Varetes ad Algorthms, Sprger, New York, 997 [8.] Ral Frooberg: A Itroducto to Groober bases, Joh Wley & Sos Ltd., 997 4

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA PRIBLIŽNI BROJ I GREŠKA tača vredost ekog broja X prblža vredost ekog broja X apsoluta greška Δ = X X graca apsolute greške (gorja graca) relatva greška X X

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKO PROGRAMIRANJE I OPTIMIZACIJA

MATEMATIČKO PROGRAMIRANJE I OPTIMIZACIJA MATEMATIČKO PROGRAMIRANJE I OPTIMIZACIJA Profesor: Zorca Stamrovć Asstet: Mara Ivaovć Izbor predmet: 5 goda, smerov: R I (master) Semestar: zmsk, 010 Lteratura: kga Kombatora optmzaca, autor Dragoš Cvetkovć,

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

1 Uvod i neki osnovni pojmovi

1 Uvod i neki osnovni pojmovi Prrodo-matematčk fakultet, Uverztet u Nšu, Srbja http://www.pmf..ac.rs/m Matematka formatka 3 05, 5-64 Nestadard ač za sumraje ekh redova Mhalo Krstć studet matematke, PMF Uverzteta u Nšu E-mal: mhalo994@yahoo.com

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORJA ETONSKH KONSTRUKCJA 1 PRESEC SA PRSLNO - VELK EKSCENTRCTET ČSTO SAVJANJE - SLOODNO DENZONSANJE Poznato: Nepoznato: - statčk tcaj za pojedna opterećenja ( ) - sračnato - kvaltet materjala (, σ v

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Moguća i virtuelna pomjeranja

Moguća i virtuelna pomjeranja Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

i b, onda postoje jedinstveni q (kvocijent) (ostatak) takvi da je a = bq + r. , broj 5 dijeli broj n 5 n

i b, onda postoje jedinstveni q (kvocijent) (ostatak) takvi da je a = bq + r. , broj 5 dijeli broj n 5 n 4 Cel broev Sup prrodh broeva { 3K } Sup prrodh broeva ule 0 { 0} { 03K } Sup celh broeva { K 3 03 K} 4 Delvost u supu celh broeva Defca Nea su tao da e b a Svostva: Za \ { 0} Za b \ { 0} 3 Za b \ { 0}

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

Klasični linearni regresioni model (KLRM)

Klasični linearni regresioni model (KLRM) Profesor Zorca Mladeovć Klasč lear regreso model (KLRM) Zorca Mladeovć Ključe teme Postavka pretpostavke KLRM Svojstva ocea parametara u KLRM Elemet statstčkog zaključvaja u KLRM Predvđaje u KLRM Ekoomsk

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

pismeni br.4 4.2: Izračunati yds, gdje je K luk parabole y 2 = 2 px od ishodišta to točke

pismeni br.4 4.2: Izračunati yds, gdje je K luk parabole y 2 = 2 px od ishodišta to točke Prakkm Maemaka III Prredo DJočć smen br : Raz Forero red nkc eroda dan ormom za < za < : Izračna ds gde e k araboe od shodša o očke M : Izračna koordnae ežsa homogenog ka ckode a sn a ; : Izračna I e [

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

Izrada Domaće zadaće 4

Izrada Domaće zadaće 4 Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehički fakultet Predmet: Ižejerska matematika I Daa: 76006 Izrada Domaće zadaće Zadatak : Izračuajte : si( ) (cos( )) L 0 a) primjeom L'Hospitalovog pravila; b) izravom upotrebom

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007.

Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007. Itegral i mjera Braslav Rabar 13. lipja 2007. Def 1 Neka je X skup tada familiju F podskupova od X zovemo σ-algebra a X ako je X uutra te je zatvorea a komplemetiraje i prebrojive uije tada urede par (X,

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja

2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja Skupovi brojeva 17 Skupovi brojeva.1 Skup prirodih brojeva Skup N prirodih brojeva čie brojevi 1,,3,... Nad skupom prirodih brojeva defiisae su operacije sabiraja (+) i možeja ( ), čiji je rezultat takože

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1. Rešenje: Imamo sistem sa ekvivalentnim paralelnim serverima: λp 5. X=λ(1-p 5 ) X μ

Zadatak 1. Rešenje: Imamo sistem sa ekvivalentnim paralelnim serverima: λp 5. X=λ(1-p 5 ) X μ Zadatak U račuarskom etru ostoi soba sa 3 račuara. Soba e mala i u o, ored oih koi treuto rade, može da čeka oš dva korisika. Korisii dolaze ezaviso i slučao, u roseku 4 korisika a sat. Svaki korisik radi

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1 I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Oaj koj cje praksu bez teorjskh osova slča je moreplovcu koj ulaz u brod bez krme busole e zajuć kuda se plov. ( LEONARDO DA VINCI ) P r e d a v a j a z a d r

Διαβάστε περισσότερα

Numeričko rešavanje sistema nelinearnih jednačina

Numeričko rešavanje sistema nelinearnih jednačina 77 8 Numerčo rešavae sstema elearh edača Zadata Čest problem u žeersm proračuma e alažee rešea eog sstema elearh edača:......... 8. odoso alažee vredost epozath... tao da bude zadovoleo uslova 8. l u vetorso

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Dobijanje empirijskih formula iz eksperimentalnih podataka

Dobijanje empirijskih formula iz eksperimentalnih podataka Doae emprsh formula z espermetalh podataa Zadata ftovaa espermetalh podataa Nea smo u clu aalze zavsost f() ee fzče velče od druge fzče velče, zvršl z merea dol taelu sa parovma zmereh vredost posmatrah

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL. Bilješke s predavanja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godina 2010./2011. Natipkao i uredio: Ivan Krijan

MJERA I INTEGRAL. Bilješke s predavanja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godina 2010./2011. Natipkao i uredio: Ivan Krijan MJERA I INTEGRAL Bilješke s predavaja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godia 2010./2011. Natipkao i uredio: Iva Krija Zagreb, 23. 05. 2011. Sadržaj Sadržaj 1 UVOD 3 2 PRSTEN SKUPOVA 8 3 MJERE NA

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI predavač: dr Marko Petković

POLINOMI predavač: dr Marko Petković Gmnazja Svetozar Markovć, Nš Dodatna nastava z matematke za drug, treć četvrt razred Nedelja, 01.11.2009. POLINOMI predavač: dr Marko Petkovć 1 Osnovna teorja Defncja. Neka je R prsten. Polnom P (x) nad

Διαβάστε περισσότερα

METODE OPTIMIZACIJE NELINEARNO PROGRAMIRANJE

METODE OPTIMIZACIJE NELINEARNO PROGRAMIRANJE MEODE OPIMIZACIJE NELINEARNO PROGRAMIRANJE Dr Dšć Dr Mloš Stć Grđevsk kultet Uverztet u Beogrdu 4. UVOD FORMULACIJA PROBLEMA Zdtk optmzcje je prolžeje promeljvh pr kojm clj krterjumsk ukcj uzm ekstremu

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika krutog tijela ( ) Gibanje krutog tijela. Gibanje krutog tijela. Pojmovi: C. Složeno gibanje. A. Translacijsko gibanje krutog tijela. 14.

Dinamika krutog tijela ( ) Gibanje krutog tijela. Gibanje krutog tijela. Pojmovi: C. Složeno gibanje. A. Translacijsko gibanje krutog tijela. 14. Pojmo:. Vektor se F (transacja). oment se (rotacja) Dnamka krutog tjea. do. oment tromost masa. Rad krutog tjea A 5. Knetka energja k 6. oment kona gbanja 7. u momenta kone gbanja momenta se f ( ) Gbanje

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupo 8 bodova) MJERA I INTEGRAL završi ispit 4. srpja 216. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!) (a) (2 boda) Defiirajte p za ekspoete p [1, +. (b) (6 bodova) Dokažite da

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

Aksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0.

Aksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0. Aksioma zamene Aksioma zamene opisuje sledeće: ako je P (x, y) neko svojstvo parova skupova (x, y) takvo da za svaki skup x postoji tačno jedan skup y takav da par (x, y) ima svojstvo P, tada za svaki

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

Elementi energetske elektronike

Elementi energetske elektronike ELEKTRIČNE MAŠINE Elemen energeske elekronke Uvod Čme se bav energeska elekronka? Energeska elekronka se bav konverzjom (prevaranjem) razlčh oblka elekrčne energje. Uvod Gde se kors? Elemen energeske elekronke

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t

Διαβάστε περισσότερα

T E S T 3 jun 2006 Ime prezime index : 1. Potrebno je fitovati eksperimentalne podatke: ( xi, yi

T E S T 3 jun 2006 Ime prezime index : 1. Potrebno je fitovati eksperimentalne podatke: ( xi, yi T E S T 3 u 6 Ime prezme de :. Potrebo e tovat espermetale podate:.... a Rad grače provere adevatost edostave emprse ormule a potrebo e ucrtat orgale l trasormsae esp. podate u dagram. Pogoda zbor dagrama

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

Niz i podniz. Definicija Svaku funkciju a : N S zovemo niz u S. Za n N pišemo a(n) = a n i nazivamo n-tim članom niza.

Niz i podniz. Definicija Svaku funkciju a : N S zovemo niz u S. Za n N pišemo a(n) = a n i nazivamo n-tim članom niza. 2. NIZOVI 1 / 78 Niz i podiz 2 / 78 Niz i podiz Defiicija Svaku fukciju a : N S zovemo iz u S. Za N pišemo a() = a i azivamo -tim člaom iza. Ozaka za iz je (a ) N ili (a ) ili samo (a ). Kodomea iza može

Διαβάστε περισσότερα

Αναλογικά Συστήματα Ενδοεπικοινωνίας. Τιμή σε ΕΥΡΩ τύπος περιγραφή χωρίς ΦΠΑ με ΦΠΑ 23% Μεγαφωνικά συστήματα μικρής ισχύος Σειρές LEM & LEF

Αναλογικά Συστήματα Ενδοεπικοινωνίας. Τιμή σε ΕΥΡΩ τύπος περιγραφή χωρίς ΦΠΑ με ΦΠΑ 23% Μεγαφωνικά συστήματα μικρής ισχύος Σειρές LEM & LEF Μεγαφωνικά συστήματα μικρής ισχύος Σειρές LEM & LEF Συσκευές επιτραπέζιες ή επίτοιχες LEM-1 Κέντρο 1 γραμμής. 73,00 89,79 LEM-1DL Το ίδιο αλλά με button για αυτόματο άνοιγμα πόρτας. 100,00 123,00 LEM-3

Διαβάστε περισσότερα

zastori sunset curtain Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju.

zastori sunset curtain Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju. zastori zastori sunset curtain Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju. (mm) (mm) za PROZOR im (mm) tv25 40360 360 400 330x330 tv25 50450 450 500 410x410

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

Glava 5 Z-TRANSFORMACIJA I NJENE PRIMJENE U ANALIZI DISKRETNIH LTI ISTEMA

Glava 5 Z-TRANSFORMACIJA I NJENE PRIMJENE U ANALIZI DISKRETNIH LTI ISTEMA Glava 5 Z-TRANSFORMACIJA I NJENE PRIMJENE U ANALIZI DISKRETNIH LTI ISTEMA Trasformacoe tehke su moća alat a aalu sgala LTI sstema. U ovoj glav ćemo uvest -trasformacju, opsat jee osobe mogućost prmjee

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

nepoznati parametar θ jednak broju θ 0, u oznaci H 0 (θ =θ 0 ), je primer proste hipoteze. Ako hipoteza nije prosta, onda je složena.

nepoznati parametar θ jednak broju θ 0, u oznaci H 0 (θ =θ 0 ), je primer proste hipoteze. Ako hipoteza nije prosta, onda je složena. Testiraje parametarskih hipoteza Pretpostavka (hipoteza) o parametru raspodele se zove parametarska hipoteza. Postupak jeog potvrđivaja ili odbacivaja a osovu podataka iz uzorka je parametarski test. t

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

U okviru prvog dijela predavanja predviđeno je da studenti savladaju slijedeće programske sadržaje:

U okviru prvog dijela predavanja predviđeno je da studenti savladaju slijedeće programske sadržaje: Predavaja iz predmeta Matematika za ekoomiste: I dio U okviru prvog dela predavaja predviđeo je da studeti savladaju sledeće programske sadržaje: Pojam matrice i operace s matricama Jediiča matrica raspoovaa

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

AD8114/AD8115* AD8114/AD8115 SER/PAR D0 D1 D2 D3 D4 A0 A1 A2 A3 CLK DATA OUT DATA IN UPDATE RESET 16 OUTPUT G = +1, G = +2

AD8114/AD8115* AD8114/AD8115 SER/PAR D0 D1 D2 D3 D4 A0 A1 A2 A3 CLK DATA OUT DATA IN UPDATE RESET 16 OUTPUT G = +1, G = +2 AD4/AD5* DATA IN UPDATE CE RESET SER/PAR AD4/AD5 D D D2 D3 D4 256 OUTPUT G = +, G = +2 A A A2 A3 DATA OUT AD4/AD5 AD4/AD5 t t 3 t 2 t 4 DATA IN OUT7 (D4) OUT7 (D3) OUT (D) t 5 t 6 = UPDATE = t 7 DATA OUT

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. 1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

! "#! & "0/! ).#! 71 1&$ -+ #" &> " %+# "1 2$

! #! & 0/! ).#! 71 1&$ -+ # &>  %+# 1 2$ "#$" &""'(() *+ , -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. / 0-1 2 $1 " 1 /& 1------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3

Διαβάστε περισσότερα

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l)

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l) ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ Σχέση κβαντικών αριθµών µε στιβάδες υποστιβάδες - τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n,

Διαβάστε περισσότερα