Numeričko rešavanje sistema nelinearnih jednačina

Transcript

1 77 8 Numerčo rešavae sstema elearh edača Zadata Čest problem u žeersm proračuma e alažee rešea eog sstema elearh edača: odoso alažee vredost epozath... tao da bude zadovoleo uslova 8. l u vetorso orm: Prmer : Treba rešt sledeć sstem od dve edače: y y y y Geometrs prva edača predstavla rug u rav Oy a druga pravu u sto rav. Rešee sstema treba da zadovol obe edače geometrs to e tača oa lež u

2 78 preseu datog ruga date prave. Vdmo da posmatra sstem ma dva rešea er postoe dva presea. Kao eda eleara edača sstem elearh edača se rešava teratvo t. uzastopm orgovaem procee rešea em postupom algortmom. Iteratvo rešavae sstema elearh edača ulučue sledeće probleme: postzae overgece a želeom od u opštem slučau vše rešea - problem multcplteta rešea zbor adevate polaze procee rešea [ ] T Jaobeva matrca Jaoba o su uce derecable oda se može desat Jaobeva Jacoby matrca: J 8. Nea - ta vrsta sadrž parcale zvode uce... po svm argumetma redom. Tao se Jaobeva matrca može posmatrat ao prv zvod vetorse uce po vetorsom argumetu. Nea determata se azva Jaoba u matematčo aalz ma prmeu od smee tegracoh promelvh u všestrum tegralma. Prmer : Jaobeva matrca sstema edača z prethodog prmera e: J

3 Gradete egradete teratve metode Iteratve metode rešavaa sstema edača 8. oe orste parcale zvode uca a levm straama edača zovu se gradete metode. Za razlu od gradeth egradete metode e orste parcale zvode uca 8.. Od egradeth metoda upozaćemo se sa: Jaobevom metodom prosth teraca em modacama Gaus-Zadelovom Gauss-Zedel Vegštaovom metodom. Gradeta metoda ou ćemo obradt e Nut-Rapsoova metoda. 9. METOD PROSTIH ITERIJ JKOBIJEV METOD Ova metoda e aaloga metod prosth teraca za rešavae ede eleare edače. Tao polazmo od sstema edača u oblu: ϕ ϕ ϕ ϕ 8. teraco proces e: ϕ ; l u vetorsom oblu: ϕ... 8.a gde e ϕ vetorsa uca sa ompoetama ϕ Dovola uslov overgece Da b ormulsal dovola uslov overgece teracoog procesa 8. eophodo e da se upozamo sa pomom orme matrce posebo l - ormom. Norme matrce su poztv salar o se dešu u learo algebr ao bro poazatel eh aratersta matrce. Oe se zračuavau z elemeata matrce a određe ač. Tao se pod l - ormom matrce podrazumeva aveća od suma apsoluth vredost oeceata matrce po poedm oloama: 79

4 l m ma a 8.5 Prmer : l 8 TEOREM : Iteraco proces 8. overgra a rešeu α ϕα ao: ma ϕ l q < G 8.6 G... gde e prema dato dec l - orme: ϕ l ϕ ma ϕ ϕ Dale masmala vredost l - orme Jaobeve matrce ϕ' u celo oblast G oo prpadau sve procee vetora rešea u tou teracoog procesa mora bt maa od edce. Zbog strogost uslova overgece metod e često eprmelv dvergra. Izlaz rterum Kao rterum za završeta teracoog postupa u pras se ačešće orste sledeć rterum: < ε 8.7a δ < δ 8.7b < ε Zadata 8. Rešt sstem edača: y y z y 8 8.7c yz polazeć od procea 5 sa zlazm rterumom 8.7c toleracom ε -6 Rešee Pratum 8

5 Lear sstem edača o e sstem edača leara: a a a a a b prevodmo ga u ormu 8. uz pretpostavu da su dagoal elemet matrce sstema razlčt od ule: a tao što z. edače zrazmo z. edače td.: b a / a Iteraco proces 8. tao doba obl: l u matrčom oblu: b a / a α β 8.9a gde su elemet matrce α vetora β: TEOREM : o važ: α a α... a b β... a α < odoso ao su dagoal elemet domat: > a a... 8.a teraco proces 8.9 overgra ezavso od polaze procee t. bezuslovo. Iteraco postupc za rešavae SLJ mau predost ad elmacom Gausov egove modace ao e u ptau slabo uslovle sstem er su mu a aumulacu 8

6 grešaa t. hereto po samo svoo prrod su stabl. Nhov edostata e pa sloost a dvergec. Zato e vrlo začaa sledeća teorema. TEOREM : Saglasa SLJ b se uve learm ombovaem edača može prevest u evvaleta o zadovolava dovola uslov overgece Jaobevog teracoog postupa. lgortam learog ombovaa edača se sasto z dva oraa:. Izdvaau se edače oe zadovolavau uslov 8.a postavlau a odgovarauću pozcu. Learo se ombuu edače u clu zadovolavaa uslova 6a pr čemu svaa od edača oa e zdvoea u. orau mora bt ulučea bar u edu ombacu. Zadata 8. Trasormsat sledeće SLJ: a b tao da se zadovol dovola uslov overgece Jaobeve teracoe metode. Rešee a Kora : edača zadovolava uslov 6a : > u edač domata e oecet uz. promelvu: 6 > pa ćemo e premestt a. mesto. u preostalo edač e domata oecet uz pa ćemo e stavt a drugo mesto Kora. e potreba. Rezultat: b Kora : U. edač oecet uz e domata: 5 > prebacuemo e a. mesto. U. edač oecet uz e domata: > prebacuemo e a. mesto. Kora : Leara ombaca : 5 ma uslov da bude. edača u ovom sstemu er: 5 > 8

7 Nedostae oš. edača ou dobamo eom learom ombacom oa svaao mora da uluč oš eulučeu edaču. Na prmer edača 9 dobea ombovaem -- zadovolava uslov da bude. edača. Rezultuuć sstem: Zadata 8. Sstem b z prethodog zadata treba rešt sa toleracom ε -6 u zlazom rterumu 8.7c orsteć ucu ter Pratum XI-. Kao polaze procee uzet ulte vredost. a Rešt sstem bez prehodh learh trasormaca b Rešt sstem ao trasormaca zvedeh u prethodom zadatu c Dobeo rešee uporedt relatva odstupaa sa om dobem ucom lsolve. 9. GUSS - ZEIDELOV MODIFIKIJ METODE PROSTIH ITERIJ Metoda prosth teraca e modovaa tao da se u -vo terac pr zračuavau ove procee za orste ove - ve procee epozath... - : ϕ odoso u slučau learog sstema b a a a Gaus-Zadelov metod često brže overgra od Jaobevog al su uslov overgece st. 8

8 8 9. VEGŠTJNOV METOD Ova metoda predstavla prošree stomee metode za rešavae ede edače:... ; ϕ ϕ ϕ s s t t t 8. Prva teraca se zvod metodom prosth teraca:... ϕ 8.a Zadata 8. Problem 8. rešt Vegštaovom metodom orsteć ucu Wegste. Rešee Pratum 9. NJUTN - RFSONOV METOD Da b polazeć od procee vetora rešea dobeog u -to terac dobl ovu proceu svau od uca u sstemu 8. aprosmramo Talorovm polomom prvog stepea dobeog razvaem oo tače :.. ~ Tao određuemo z uslova da leare uce... ~ budu edae ul: o dešemo orece epozath:... odoso orecu epozatog vetora:

9 gore leare edače po epozatm orecama matrčom oblu apsat ao:... se mogu u J Sada možemo da dešemo teraco proces: J.. 8. Pored rteruma 8.7a-c pr prme ovog postupa u pras se orst zlaz rterum o se bazra a vredostma uca: Mogu se avest sledeće araterste ovog postupa: [ ] < ε 8. teraco proces. reda dale brž od egradeth metoda osetlvost a polaze procee ao pr prme metode tagete a rešavae ede edače u svao terac rešava se rad zračuavaa oreca SLJ ča e matrca Jaobeva matrca zračuata sa vredostma epozath z prethode terace Koačo uočmo aalogu zmeđu teracoe ormule za rešavae ede edače metodom tagete ormule 8.: eda edača: sstem edača: [ ] [ ] Zadata 8.5 Treba ać poztvo rešee y > sstema edača: log y y 5 a prethodm svođeem a edu edaču sa edom epozatom em rešavaem metodom tagete orsteć ucu Nut Prat. IX- uz toleracu δ -7 b u polazom oblu Nut -Rasoovom metodom orsteć ucu Nutsys Pratum XI-5 sa toleracom ε -7. c aalzrat bro realh rešea datog sstema Zadata 8.6 Rešt problem 8. pomoću uce Nutsys. 85

10 9.5 REŠVNJE NELINERNIH SISTEM U MTHD-u Za rešavae sstema elearh edača u Mathcad-u se orst Solve Bloc če oršćee e obašeo u Pogl Pr pozvau uce Fd moguće e brat eda od tr teratve metode za rešavae sstema desm lom: Metod ougovah gradeata o traž ou vredost vetora epozath za ou suma vadrata vredost uca 8. ma mmum. Leveberg - Marvart-ova Leveberg - Marquardt modaca Nut- Raphsoove metode. Kvaz - Nutova metoda modaca Nut- Raphsoove metode. ZDI 8. Treba rešt sledeć sstem edača: y y 5 a o se pr tom rešavau evvalete edače 5 y y poazat da e dovola uslov overgece metode prosth teraca 8.6 zadovole u oblast G {.5 y.5} b Rešt edače e orsteć ucu ter metodom prosth teraca sa polazm proceama.5 y sa toleracom ε u zlazom rterumu 8.7c ε - c Korsteć ucu ter poovt proraču sa stm polazm proceama.5 sa polazm proceama. Pošto proraču overgra za polaze procee oe padau zva oblast G u oo e zadovolem uslov 8.6 da l e to u suprotost sa Teoremom? Rešee: b [ ] 8. a Poazat da ao e zadovole zlaz rterum 8.7c sa zadatom toleracom ε tada e sa stom toleracom sguro zadovole rterum 8.7a u slučau sstema od dve edače. To se ače može doazat za sstem od edača. b Kolo amae sgurh decmala mau rešea... eog sstema edača ao e teraco proces overgrao osclatoro sa toleracom ε - u rterumu 8.7c 8. a Rešt sledeć sstem edača:

11 metodom prosth teraca sa polazom proceom toleracom ε - u rterumu 8.7c orsteć ucu ter. b Uvert se da toleraca ε - obezbeđue sgure decmale u prblžom rešeu. c Kol e dodat bro teraca pr smaeu tolerace sa vredost - a vredost -? Rešee: a [ ] c 8. a Ko od zlazh rteruma 8.7a-c se orst u uc Nutsys Prat. XI-5? b Korsteć ucu Nutsys sa toleracom ε.5 potrebo e metodom Nut- Rasoa locrat rešee sstema: y y z y z z 8 oe se alaz u blz tače. c Uvert se da e tačo rešee: da su u prblžom rešeu oe e sa datom toleracom dobeo u teraca tr decmale sgure. 8.5 U protočom reatoru sa dealm mešaem se odgravau sledeće elemetare reace: B R R B S Izlaze ocetrace supstac B R S oe ćemo ozačt desma dobau se z ompoeth blasa: τ τ τ τ za pozat sastav ulaze smeše ostate brza hemsh reaca otato vreme τ oe se doba ao olč zapreme reatora zapremsog protoa reacoe smeše: τ V F s Potrebo e pomoću Nut-Rasoove metode orsteć ucu Nutsys zračuat zlaze ocetrace ompoeata sa sgure decmale za sledeće podate:.5 mol m..5.5 τ s Kao polaze procee ocetraca uzet ulaze ocetrace. 87

12 Rešee:[ ] 8.6 Matematč model reatora u prethodom problemu može se zapsat u vetorso otac: S r τ gde su vetor zlazh ulazh ocetraca ompoeata S e stehometrsa matrca za dat sstem reaca a r e vetorsa uca če su ompoete brze poedh reaca u sstemu u uc ocetraca ompoeata: S r Treba rešt problem zračuavaa vetora zlazh ocetraca za podate date u prethodom zadatu pomoću Solve bloc-a metoda Leveberg-Marart-a pr čemu problem treba ormulsat u vetorso otac. 8.7 U reatoru za prozvodu stezog gasa parcalom osdacom metaa odgravau se sledeće reace: H O O H O H O H O H H H O O a prtsu p atm. Ulaza strua sadrž samo meta seo pr čemu se a mol metaa uvod a molova seoa. Pretpostava e da reaca de do raa da se sav seo potroš a da reace du sve do postzaa reacoe ravoteže pr čemu su ostate ravoteže ovh reaca a zlazo temperatur z reatora K K. Problem zračuavaa zlazog molsog sastava gasa može se rešt a sledeć ač. o N c 6 ompoete u sstemu ozačmo ao: O O H O H H 5 O 6 stehometrsa matrca posmatraog sstema sa N R reace e: S [ ] S N c N R.5 Traže vetor molsh udela ompoeata u zlazo stru se doba ao: S e N e ν e vetor bro molova ompoeata u ulazo stru a N uupa bro molova u ulazo stru: 88

13 5 6 a N a ν e vetor promea broa molova u poedm reacama: ν N c S a e vetor stepea apredovaa poedh reaca e pr čemu e prema pretpostavc: e a Stepe apredovaa.. reace se dobau z uslova reacoe ravoteže: a e a e e a e e a e e e a e e K a e e e e Potrebo e za sledeće podate: K 6 a.57 K 5.66 K.88 p K p zračuat stepee apredovaa reaca rešavaem datog sstema edača pomoću Solve bloc-a sa polazm proceama: e.5 e a oda vetor molsh udela ompoeata. Rešee: e [a.55.5] [ E E-] 8.8 lteratva ormulaca problema opsaog u prethodom zadatu e preo molsh udela...5 u zlazo stru 6 uupog broa molova u zlazo stru N pr čemu se rešava sstem od N c 6 edača sa sto tolo epozath. To su uslov reacoe ravoteže: 5 K K K p l l 5 K K K p uslov da e suma molsh udela ompoeata u zlazo stru edaa : 6 atoms blas po prsutm atomma O H : a N 5 N 5 N 5 6 Za podate date u prethodom zadatu zračuat mols sastav...5 bro molova prozvoda reaca N pomoću uce Nutsys sa polazm proceama: [.5.5 T ] 89

14 8.9 Matematč model materal eergets blas reatora sa dealm mešaem u ome se odgrava egzoterma reaca prvog reda: B o se hlad dealo zmešam rashladm ludom u omotaču reatora glas: F p ρ c ρc F T F T p e V E RT T H R T K T T t V K T T T gde su: F F - zaprems protoc reacoog rashladog luda - ulaza zlaza ocetraca reatata mol/m T T - ulaze temperature reacoog rashladog luda T T - zlaze temperature reacoog rashladog luda H R - toplota hemse reace K T - oecet prolaza toplote - velča rashlade površe V - zaprema reacoe smeše u reatoru - ostata brze hemse reace - predespoecal ator u reusovom zrazu za E - eerga atvace hem. reace R - uverzala gasa ostata ρ ρ - guste reacoog rashladog luda c c - specče toplote reacoog rashladog luda p p Potrebo e za sledeće podate dmezoo su homoge: F t H R ρ 5lb BTU lbmol K t h 7.8 F 9.9 t h ρ 6.lb h t T c.55 lbmol 5 BTU h t E BTU lbmol p t T R R.987 BTU lbmol R.75 BTU lb R c p T 5 t BTU 5 R lb V 8 t zračuat zlazu ocetracu reatata lbmol/t temperature oba luda T T R rešavauć dat matematč model pomoću Solve bloc-a. a Uvert se da e sa ulazm vredostma ao polazm proceama rešee modela sa začae cre:.55 T 57.8 T 57. b Uvert se da se sa polazm proceama: T T doba drugo rešee: 7.55 T 67. T 66. R 9

15 c alzom graa uce a levo stra edač u zavsost od zlaze temperature reacoog luda T utvrdt da posmatra sstem edača ma reala rešea od oh su u a b ađea dva. d Proać treće rešee sstema:.96 T 59.5 T pogodm zborom polazh procea epozath. 9