i b, onda postoje jedinstveni q (kvocijent) (ostatak) takvi da je a = bq + r. , broj 5 dijeli broj n 5 n

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "i b, onda postoje jedinstveni q (kvocijent) (ostatak) takvi da je a = bq + r. , broj 5 dijeli broj n 5 n"

Transcript

1 4 Cel broev Sup prrodh broeva { 3K } Sup prrodh broeva ule 0 { 0} { 03K } Sup celh broeva { K 3 03 K} 4 Delvost u supu celh broeva Defca Nea su tao da e b a Svostva: Za \ { 0} Za b \ { 0} 3 Za b \ { 0} 4 Za \ { 0} 5 Za \ { 0} ab cel broev a 0 Kažemo da a del b pšemo a b ao posto a e a a a a b b a dau a ± b a c a b b c dau a c a b c a b c a b c b a dau a ( b ± c a dae a ( bc Teorem (o deleu o su zada a b oda postoe edstve q (vocet r 0 K b (ostata tav da e a bq r { } Zadata Podsetmo se: delvost e relaca parcalog uređaa a supu prrodh broeva Zadata Doažte da za svao bro 5 del bro 5 t da ( 5 5 Zadata 3 Doažte da e umoža blo oa tr uzastopa cela broa delv sa 6 Zadata 4 Doažte da za svao 7 ( 3 6 Zadata 5 Doažte da za svao Zadata 6 Doažte da za svao ( ( 3 Zadata 7 Doažte da e za svao za svao 0 bro / 55

2 Zadata 8 Doažte da e suma ubova tr uzastopa prroda broa delva s 9 Zadata 9 Doažte da vred: a b c ( a b c 3( a b c 4 Naveća zaedča mera ama zaedč všerat Euldov algortam Zaedč deltel (zaedča mera celh broeva da d a d b ab e sva cel bro d 0 taav Naveća zaedča mera celh broeva ab \ { 0} u ozac ( a b bro o del a b Nama zaedč všerat celh broeva ab \ { 0} V ( a b e ama prrod bro oeg dele a b ( a b M ( a b V ( a b V ( a b ( a b m{ a b} max{ a b} V ( a b M M M e aveć prrod u ozac Slčo se aveća zaedča mera ama zaedč všerat defrau za vše celh broeva razlčth od ule Za efetvo račuae aveće zaedče mere celh broeva orst se Euldov algortam Propozca Nea su a b q r tav da vred a bq r Vrede tvrde: a Sva zaedč deltel od a b uedo e zaedč deltel od b r M a b M b r b ( ( Teorem (Euldov algortam za račuae ( a b sled: a bq r 0 < r < b b r q r 0 < r < r r r q3 r3 0 < r 3 < r r r3 q4 r4 0 < r 4 < r3 r r q r r < r 0 < r r q oda e M ( a b r M Nea su a b Delmo ao (posled u zu ostataa o e razlčt od ule Prmer Odredte M ( 5895 M ( ( M 56

3 za ee s t (štovše Uočte oš da ( d a Posledca Iz Euldovog algortma vd se da e M ( a b sa tb moglo b se poazat da e M ( a b m{ sa tb > 0 : s t } d b d M ( a b Kažemo da su cel broev ab \ { 0} relatvo prost ao e ( a b Propozca o su c \ { 0} ab tav da su b M a relatvo prost ( ac b oda b c 43 Prost broev osov teorem artmete Prrod bro p > e prost (prm bro ao su mu ed prrod deltel p Prroda bro o e prost e slože bro a egov deltel azvau se fator K Preržmo zaoružmo preržmo sve všerate od zaoružmo ama preostal preržmo sve egove všerate zaoružmo ama preostal td Zaoruže broev su prost Eratosteovo sto e postupa za alažee prosth broeva u supu { } Zgodo: Lema Nea e a a > Nama deltel od a o e već od e prost bro Lema Za sva prost bro p sva prrod bro a e ( M p a l p a 57

4 Propozca o e p prost bro p ( ab oda p a l p b Posledca o e p prost bro p ( a a K a oda posto barem eda a taav da p a Teorem (Rastav a proste deltele osov teorem artmete Za sva prrod bro a > α α α posto edstve rastav a proste deltele a p p K p gde su p < p < K < p sv razlčt prost broev o dele a poreda po velč a α K Napomea Broev α azvau se ratost prosth broeva p u rastavu Posledca Nea su a α α α p p K p b p p K p β β β tao da su p p K p sv prost m m α β fator od a b zaedo (e alfe/bete mogu bt ula Stavmo { } m m m max{ α β } Tada e M ( a b p p M M M K p V ( a b p p K p M vred V ( a b ab M ( a b Nadale Posledca Prrodh deltela prrodog broa a p p K ma točo ( ( α ( α α K Teorem (Euld Sup svh prosth broeva e besoača (Posledca e da e sup svh prosth broeva prebrovo besoača α α α p Napomea o -t po redu prost bro ozačmo p može se poazat da e p ~ l t p lm te da e recproča suma svh prosth broeva besoača (Euler l Zadata Nea e p prost bro Odredte sva celobroa rešea edadžbe x xy p Zadata Odredte sve prrode broeve m tave da e bro ( ( m 5 m poteca broa Zadata 3 Doažte da e log racoala bro detalo obrazložte sva ora Zadata 4 Doažte: ao e p prost bro a broev p ab p a p b ( ( a b relatvo prost tada vred: p Zadata 5 Doažte: ao e p prost bro oda p za sve { K p } Zadata 6 Posto l prroda bro m taav da egova četvrta poteca pr deleu sa 4 dae vocet o e prost bro ostata? 58

5 Zadata 7 Doažte: ao e p prost bro p 5 tada e p delv sa Zadata 8 Odredte sve proste broeve p tave da su p p 7 prost broev Zadata 9 Odredte sve a tave da 3 a 4 a a u supu ma 4 deltela 44 Kogruece modulo Za cele broeve ab ažemo da su ogruet modulo ao mau st ostata pr deleu sa Evvaleto o su ogruet modulo a b Pšemo ( mod a b Svostva ogruece (mod : ao ( a a( mod a b( mod dae b a( mod 3 a b( mod b c( mod povlač a c( mod 4 o su a b ( mod a b ( mod oda e ( a a ( b b ( mod ( aa ( bb ( mod 5 o e a b( mod ao su l m te ( x oda e a b l( mod a b( mod m m a b ( mod p( a p( b( mod p polom s celobrom oefcetma Prmer Poažte da 9( mod Prmer Poažte da 9 ( a a a ( a a K a K Teorem (Mal Fermatov teorem o e p prost bro oda za sva a vred a p ( mod p a Uputa Teorem doažte matematčom ducom orsteć Zadata 435 Deframo sada fucu ϕ : 0 tao da e svao ϕ bro broeva z K o su relatvo prost sa Fuca ϕ azva se Eulerova fuca supa { } 0 stavmo da e ( 59

6 Teorem Za Eulerovu fucu ϕ vred: ϕ ( o e \ { } č e rastav a proste fatore p p K oda e ( ϕ K p p p α α α p Teorem (Eulerov teorem o e a tao da e M ( a oda vred ϕ a ( ( mod Zadata Odredte posledu zameu broa Zadata Bez upotrebe alulatora odredte poslede dve zamee broa Zadata 3 Odredte poslede tr zamee broa Zadata 4 Odredte šest posledh zame broa Zadata 5 a Doažte da e umoža pet uzastoph prrodh broeva delv sa 0 b Koe sve ostate dae umoža pet uzastoph prrodh broeva pr deleu sa 7? 5555 Zadata 6 Doažte da e bro 5555 delv sa 7 Zadata 7 Doažte da bro završava sa 43 Zadata 8 o e prrod bro a relatvo prost sa 3 poažte da bro 3 del bro a 0 p Zadata 9 Doažte tvrdu: ao e tvrde? prost bro oda e p prost bro Vred l obrat Zadata 0 Odredte ostata pr deleu broa 538 sa Zadata Odredte ostata pr deleu broa sa 73 Zadata Izračuate x ao e 003 x( mod9 Zadata 3 Izračuate x ao e 7 00 x( mod 9 Zadata 4 Izračuate x ao e 7 99 x( mod5 Zadata 5 Izračuate x ao e 9 0 x( mod Zadata 6 Doažte da e bro 9 7 delv sa 0 60

7 Zadata 7 Odredte ama x tao da stovremeo vred ( mod x 5( mod7 x Zadata 8 Odredte rter delvost sa 3 u baz 45 Dofatse edadžbe Defca Jedadžba oo tražmo celobroa rešea azva se dofatsom edadžbom Poveso azv se prvo orsto za polomale edadžbe č su oefcet cel broev al daas e prošre Razmotrt ćemo prvo rešavae leare dofatse edadžbe s dve varable Teorem Nea su zada M a b oda ao ( c a b c Dofatsa edadžba ax by c ma rešee oda samo Zadata Odredte sva celobroa rešea edadžbe 7 x 50y Ima l edadžba prrodh rešea? Zadata Odredte sva celobroa rešea edadžbe 5 x 0y 30 Ima l prrodh rešea? Zadata 3 Odredte sva celobroa rešea edadžbe 333 x 707 y Zadata 4 Odredte sva celobroa rešea edadžbe xy x y Zadata 5 Odredte sva celobroa rešea edadžbe 7 x 3y Zadata 6 Odredte sva prroda rešea edadžbe xy x y Zadata 7 Odredte sva prroda rešea edadžbe xy 0 3x y Zadata 8 Odredte sva prroda sva celobroa rešea edadžbe 3x y 30 Zadata 9 Odredte sva prroda rešea edadžbe x y z Zadata 0 Odredte sva celobroa rešea edadžbe 3 y 5 x Zadata Odredte sva prroda rešea edadžbe x! y! z! x x Zadata Odredte sva celobroa rešea edadžbe y 6

8 5 Uvod u ombatoru Teorem (Osova pravla prebroavaa Pravlo edaost (l bece Nea su B oač supov Tada e B ao samo ao posto beca f : B Pravlo zbroa (l sume Nea su K oač međusobo dsut supov Tada e hova ua oača sup K K 3 Pravlo umoša (l produta teorem o uzastopom prebroavau Nea su K oač supov Tada e hov Kartezev produt oača sup K K 4 Drchletov prcp o predmeta blo ao rasporedmo u uta oda će barem eda od h sadržat barem predmeta Poopće Drchletov prcp: o e m predmeta razmešteo u uta oda bar eda m uta sadrž bar predmeta Prsetmo se: a Bro svh podsupova -člaog supa e b Nea su B φ oača o su t supov oač sup B { f f B} B B : e Zadata Na olo ača se zmeđu 6 mušaraca 4 žee 5 dečaa 3 devočce može zabrat: a eda osoba b po eda mušarac eda žea eda deča eda devočca (8360 Zadata Na štadu e zložeo 0 razlčth vrsta razgledca Turst žel poslat svaome od svoa 4 pratela po edu od h Na olo ača e to moguće zvest? (0000 Zadata 3 Regstarsa tablca vozla sasto se od ozae mesta grba 3 l 4 broe te edog l dva slova abecede (bez slova č ć dž đ l š ž Ko e aveć bro automobla spltsh regstraca? ( Zadata 4 Sva od pet momaa bra po edu od osam devoaa za ples Na olo ača to mogu apravt? (670 6

9 9 Zadata 5 Kolo ma prrodh broeva strogo mah od mlardu ( 0 o sadrže zameu u svom deadsom zapsu? (65795 Zadata 6 Kolo e eparh broeva zmeđu od oh sva ma razlčte zamee? (40 Zadata 7 Kolo će sumaada bt u zrazu ( ( x ( x x K ao raspsvaa? ( Zadata 8 Lstć sportse progoze ma redaa U sva reda treba upsat 0 l Na olo ača se može sput lstć? ( 3 Zadata 9 Loot a šfru ma 4 oluta sa po 0 bro Loot otvara samo točo uesea šfra Kolo šfr možemo zadat? (0000 Zadata 0 Kolo uupo ma razlčth (suvslh esuvslh reč od 6 slova oe možemo 6 ačt od 30 slova abecede? ( 30 Zadata Doažte da u grup od 3 lud posto bar dvoe o mau st astrološ za Zadata Pet razlčth par ruavca alaz se u ladc u mračo sob Izvlačmo asumce po edu ruavcu e vraćamo h u ladcu Kolo e amae zvlačea potrebo da bsmo bl sgur da mamo ompletra eda par? Zadata 3 Doažte: među 44 lud bar e četvoro rođeo u stom mesecu Zadata 4 Doažte: ao e u grup vežb PINM 35 lud a a raspolagau e 5 račuala bar za edm račualom će sedt bar tr studeta Zadata 5 Iz supa { 3 } K odabra e podsup S od elemeta Doažte: tada postoe x y S x y tao da e x delv sa y Zadata 6 Doažte da za sva prrod bro posto všerat od deadsog obla Zadata 7 Doažte da posto poteca broa 3 oa u deadsom zapsu završava zameama 000 Zadata 8 Doažte da e sva racoal bro q p perodča decmal bro Zadata 9 Na sptu e blo 5 zadataa a položl su studet o su točo rešl barem zadata Isptu su prstupla 3 studeta a položlo h e 5% Doažte da među th 5 zadataa posto barem eda o e točo rešlo avše studeata Zadata 0 Doažte da posto poteca broa oa u deadsom zapsu poče sa

10 5 Varace permutace ombace bez poavlaa Varaca bez poavlaa reda -člaog supa e uređea -tora razlčth elemeata tog supa Specalo varaca bez poavlaa reda -člaog supa azva se permutaca bez poavlaa -člaog supa U upotreb e poam permutace reda bez poavlaa! K a (! Bro varaca bez poavlaa reda -člaog supa e ( ( ( bro permutaca bez poavlaa -člaog supa e! Nea su zada oač supov { a a } B { b b } K a K b Svaa varaca bez poavlaa reda supa B odgovara edo ec f : B o e svaa permutaca odgovara edo bec supa f : B l bec supa u samog sebe Katad se zato pomom permutaca ozačava baš beca eog supa u samog sebe Prmer: a Napšte sve varace bez poavlaa reda supa { 345} b Napšte sve varace bez poavlaa reda 3 supa { 34} c Napšte sve permutace bez poavlaa supa { 34} d Na olo ača možemo presložt slova reč DISKRETN? e Kolo ma reč od tr (četr pet razlčth slova abecede? Zadata Četrdeset lud treba preć grač prelaz eda po eda Na olo e ača to moguće apravt: a ao e sveedo om će redosledom prelazt gracu ( 40! b ao e u grup desetero dece među oma ema braće/sestara a svao dete mora bt uz 0 svou mau (eposredo spred l eposredo za ( 30! 0 c ao svao dete mora bt za svoe mae (e užo eposredo za ( 40!/ Prmer: Na olo ača oo stola može sest lud (dva rasporeda smatramo edama ao h možemo dobt rotacom edog u drug? ( (! Zadata Šest mušaraca pet žea treba poredat u red a blaga tao da azmečo stoe mušarac žea mušarac žea Na olo ača e to moguće zvest? (86400 Kombaca bez poavlaa reda -člaog supa e -čla podsup tog supa Bro ombaca bez poavlaa reda -člaog supa e Napomea Odavde se može poazat oršteem bomog teorema da parttv sup -člaog supa ma elemeata 64

11 Prmer: a Napšte sve ombace bez poavlaa reda supa { 345} b Napšte sve ombace bez poavlaa reda 3 supa { 34} Zadata 3 a Od ošaraša eog tma u gr e 5 Kolo tavh petor ma uupo? (79 b Izbor ogomete reprezetace mora od ogometaša zabrat al za petorcu svoh favorta već e odlučo da će grat Na olo ača može složt momčad? (376 Zadata 4 Na šahovsom turru sva e grač odgrao sa svam od preostalh grača edu partu Uupo e odgrao 78 parta Kolo e šahsta sudelovalo a turru? (3 Zadata 5 Od 7 žea 4 mušarca treba zabrat delegacu tao da se oa sasto od: a petero lud to 3 žee mušarca (0 b blo olo lud al mora bt edao žea mušaraca (39 c petero lud od oh su bar dve žee (455 d petero lud s tm da eda od h bude već uapred određea žea (0 e šestero lud po troe oba spola s tm da u delegacu e mogu uć zaedo po eda uapred određe mušarac žea (95 Zadata 6 Na olo ača možemo odabrat 5 od 5 graće arte ao među ma mora bt barem eda tref? (0303 Zadata 7 U supu od 50 prozvoda e 40 spravh 0 espravh Na olo ača možemo formrat uzora od 5 prozvoda al tao da u emu budu 3 sprava esprava prozvoda? ( Zadata 8 Sluča pous ma dva elemetara shoda uspeh euspeh Poavlamo ga puta Na olo se ača može u pousa realzrat 0 uspeha? Set se: PINM - veroatost - boma razdoba Zadata 9 U celobroo oordato mrež araćm putem od toče O ( 00 do toče T ( p q ( p q azvamo oač z brdova te mreže s početom u shodštu raem u toč T pr čemu su dozvole samo pomac tpa ( 0 ( 0 (orac udeso prema gore Kolo ma tavh araćh puteva? Zadata 0 Kolo ma šestoslovh (e užo suvslh reč od reč BCDEF tao da slova F budu pre C da su sva slova u reč međusobo razlčta? (40 Zadata Sela up 3 rave sve 4 ooš od čovea o ma 6 rava 5 sva 8 ooš Na olo ača to može apravt? (4000 Zadata Na olo ača možemo 30 studeata podelt a 4 supe tao da u prve dve supe mamo po 5 studeata a u preostale dve supe po 0? Na olo ao troca uapred zabrah studeata morau bt u sto sup? ( Zadata 3 Osoba ma pratela Na olo ača može pozvat petoro h a večeru? Na olo uolo e dvoe eh pratela brač par eće ć edo bez drugoga? Na olo ao dvoe eh pratela e razgovarau eće doć supa? (

12 53 Varace permutace ombace s poavlaem Varaca s poavlaem reda -člaog supa e uređea -tora elemeata tog supa Varaca s poavlaem reda -člaog supa ma Uoč: mogu bt blo av prrod broev Prmer Kolo se troslovh (četveroslovh stoslovh reč može ačt od 30 slova abecede? ( Prmer Bro elemeata parttvog supa pomoću D NE zašavaa među elemetma Prmer Bro svh barh reč dule 3 bta (edostrua preczost Zadata Test a premom sptu ma 40 ptaa s pouđem odgovorma B C D E 40 Na olo se razlčth ača može rešt ta test? ( 5 Promatramo ovaav problem: zadaa e reč dule sastavlea od razlčth slova { a a K a } u oo se slovo a poavlue puta slovo a poavlue puta slovo a poavlue puta Zama as olo ma aagrama (e užo suvslh reč oe se mogu dobt premetaem slova te reč Ov aagram poead se azvau permutacama s poavlaem reda Permutaca s poavlaem reda ma multom oefcet! K Ova bro azva se!! K! Napomea Slčo supu možemo defrat tzv oač multsup M { a a K a a a K a K a a K a } gde su K K tzv ratost elemeata a a K a Permutaca s poavlaem reda e zapravo obča permutaca multsupa M Prmer a Na olo ača možemo presložt slova reč BOBB? (6!/!/3! b Na olo ača možemo presložt slova reč MISSISSIPPI? (!/4!/4!/! c U olo permutaca slova reč JUPITER samoglasc dolaze abecedm redom? (7!/3! Zadata Kolo razlčth reč možemo apsat permutraem slova reč MTEMTIK? Zadata 3 Kolo osmerozameasth broeva možemo apsat pomoću broeva 33337? (8!/3!/4! Zadata 4 U žar se a sto polc alaze 3 sta reča eglesog detča reča fracusog 5 edah reča emačog eza Na olo se ača mogu rasporedt? (50 66

13 Teorem (Multom teorem Za sve x x K x za sve vred ( x x K x x x Kx K K K 0 Prmer Raspšte zraze za a ( x x K x b ( x x 4 x3 Prmer Ko e čla uz 9 a b c u razvou ( 3 a b c? Posledca K K K 0 Posledca ("Sa brucoša" o e p prost bro a p p p p ( x x x x x K x ( mod p K x x K x vred Posledca (Mal Fermatov teorem o e p prost bro a p ( mod p 5 7 Zadata 5 U razvou ( x x gde e 5 odredte oefcet uz Promatramo ovaav problem: zada e sup { a a } K a 7 x Odredmo bro euređeh - tor elemeata tog supa ( mogu bt blo av prrod broev t uređeh -tor u oma se elemet mogu poavlat al permutrae -tore detfcramo Ovava -tora azva se ombacom s poavlaem reda -člaog supa Prmer o e { a b} 4 ( a a a a ( a a a b ( a a b b ( a b b b ( b b b b tražee ombace s poavlaem reda 4 su četvore Prmer Za { a b c} tražee ombace s poavlaem reda su parov ( a ( a b ( a c ( b b ( b c ( c c a Napomea Kombaca s poavlaem reda -člaog supa e zapravo podmultsup oačog multsupa M Dozvolee ratost egovh elemeata su prrod broev zmeđu 0 ča e suma upravo Kombaca s poavlaem reda -člaog supa ma Svaa ombaca s poavlaem reda -člaog supa odgovara edom rešeu edadžbe x x K x gde su x x K x 0 67

14 68 Prmer Na olo ača možemo 0 edah bomboa podelt a šestero dece? Na olo ao svao dete mora dobt barem eda bombo? Na olo ao prvo drugo dete morau dobt barem po dva bomboa? ( Zadata 6 Uočte: Člaova e s dese strae u multomom teoremu upravo Zadata 7 Na olo ača možemo čooladca podelt među petero dece (pretpostavlamo da su čooladce edae? Na olo ača to možemo učt ao svao dete mora dobt bar dve čooladce? (805 Zadata 8 U autobusu se alaz 0 lud utobus stae a 5 staca ao čega se praza vraća u garažu Na olo ača lud mogu zać a tm stacama? (00 Zadata 9 Kolo rešea ( 3 0 z y x ma edadžba 6 z y x? Kolo ma rešea ( 3 z y x? Kolo ma rešea oa zadovolavau uvete y x? (806 Zadata 0 Na olo ača se može 0 edah uglca rasporedt u 7 uta tao da barem eda uta ostae praza? ( Formula ulučvaa slučvaa Deražma o su oač supov očto vred Slčo za oače supove 3 vred sledeća aaloga edaost Teorem (FUI Sylvesterova formula o su U K a U e oača sup vrede edaost ( < < < K K K ( c c c U < < < K K K Zadata Doažte FUI matematčom ducom Prmer Kolo ma prrodh broeva od do 000 o su delv s 3 a su delv sa sa 5 sa 7? (5

15 Zadata U eom razredu od 30 učea 0 h vol matematu 4 fzu 3 emu 5 učea vol matematu fzu 7 fzu emu 4 matematu emu a 3 vole sva tr predmeta Kolo učea e vol eda od ta tr predmeta? (6 Zadata 3 U eom gradu a plaet XYZ žv 000 stvorea sa surlom 5000 sa repom 9000 bez ede dlae Četr tsuće h sa surlom ma rep 6000 s repom e dlaavo 5000 dlaavh ma surlu do e h 000 dlaavo repato surlasto o zamo da 7000 stvorea ema repa surle olo staova ma ta grad? (30000 Permutacu f (bez poavlaa -člaog supa za ou e f ( x x za sve x azvamo deražmaom (totalom zbrom Bro deražmaa ozačavamo sa D 0 D D D 9 td 3 4 D Očto e D! K!! 3!! π : π Tvrda Bro deražmaa -člaog supa e općeto ( (Upotrebmo Sylvesterovu formulu sa { ( }! Posledca Za vele D pa e postota deražmaa u brou svh permutaca otprle e eda K e Prmer Učec edog razreda trebau sam pregledat svoe domaće zadaće z matemate to tao da od 30 učea t eda e dobe svou zadaću a pregled Na olo ača e podelu zadaćca moguće zvest? (Odgovor: D 30 Zadata 4 Nea su B oač supov tao da e sureca sa supa a sup B azovemo ( B Sur 0 ( B ( ( m m B o sup svh Sur doažte da e Zadata 5 Pustom hoda arava od devet deva Nao odmora u oaz astavlau put al tao da eda od deva e hoda za oe deve za oe e hodala pre oaze Na olo ača e to moguće ostvart? (4839 Zadata 6 U eom društvu pezoera prmetl su da ema člaa o e b bo ćelav l e b oso aočale U treucma doolce ustaovl su da e 3 čla ćelav da h 4 os aočale da h ma aočale stovremeo su ćelav Kolo člaova ma društvo pezoera? (43 69

16 6 Reurzve relace U ovom delu bavt ćemo se zovma realh broeva o poazuu staovtu pravlost da se člaov za s većm desma mogu zračuat oršteem određee formule od člaova za s mam desma t posto formula po oo se čla sledbe može zračuat z prethodh člaova za Ovava formula azva se reurzva formula reurzva relaca l edostavo reurza Reurze se orste u rešavau eh specfčh problema a česte su u programrau Prmer rtmetč z ovaav e z: za zada prv čla (3 sva duć čla za dobe se tao da prethod čla uvećamo za 5 Općeto ao su zada real broev a d za artmetč z vred reurzva formula a a d Prmer Slčo geometrs z dobemo tao da za zada prv čla duće člaove za račuamo možeem prethodh člaova stm "vocetom" q Dale za zadae reale broeve a q za artmetč z vred reurza a a q Geometrs z e pr M ćemo se ogračt a promatrae reurzvh relaca obla a F( a a a gde e F ea oreta fuca realh varabl a > Očto će za potpuo reurzvo zadavae za bt potrebo pozavat "počete uvete" t prvh broeva (pr a a a a 0 a a l sl pomoću oh će se ase račuat vš člaov za Prmer Reurza za bro a permutaca - člaog supa očto e a a a aso e da e a Napomea Vala reć da se reurze mogu defrat za zove drugh obeata a e samo broeva pr za zove fuca matrca sudova td Od teresa e ać formulu za opć čla za t egovu zatvoreu (ereurzvu formu ao e to moguće Otpre zamo da e za artmetč z to a a ( d za geometrs z a aq a za z permutaca! a Zadata Nea e a bro ača a o se ea osoba može popet stubštem od stepeca ao može zaoračt po edu l dve stepece Odredte reurzvu relacu za a a a a a a ( Zadata Nea e a bro prrodh - zameasth broeva sastavleh od zame 34 tao da su susede zamee ( u oem redosledu Napšte reurzvu relacu za a ( a 3 a a a 4 a 4 70

17 6 Leare reurzve relace s ostatm oefcetma gde e > c c K c zada broev a f zadaa fuca azva se leara reurzva relaca reda s ostatm oefcetma oa e homogea ao e f 0 a ehomogea ao e f 0 Cl e da se odred opće rešee te reurze to u zatvoreom oblu ao esplcta fuca od Reurzva relaca obla a c a c a K c a f ( Prvo ćemo razmotrt rešavae homogeh learh reurzvh relaca reda s ostatm oefcetma a c a c a K c a Rešea pretpostavlamo u oblu za a x gde e x epozat bro m zapravo tražmo sve vredost x oe će dat rešea dae reurze Uvrštavamo dobvamo x c K x cx c x z čega sređvaem odmah sled x c x cx K c 0 Ovo e araterstča edadžba aše homogee reurzve relace oa ao zamo po Osovom teoremu algebre z Matemate ma općeto omplesh rešea x x K x Teorem Opće rešee homogee leare reurzve relace reda s ostatm oefcetma a c a ca K ca može se apsat u oblu a C r ( Cr ( K Cr ( gde su C C K C a r ( r ( r ( zov oe dobvamo pomoću rešea prpade araterstče edadžbe x c x c x K c 0 Svaom edostruom rešeu všestruom rešeu x araterstče edadžbe odgovara z x ratost m zov x x m x x a svaom Napomea Uvrštavaem početh uveta u opće rešee reurze tog reda dobe se sustav learh edadžb z oeg određuemo orete vredost ostat problema C C K C Zadata Odredte opće rešee reurzve relace a a 3a Odredte rešee za počete uvete a 0 a ( ( 3 a 4 Zadata Odredte opće rešee reurzve relace a 6 a 9a Odredte rešee za počete uvete a 3 a 7 ( a 3 ( 7

18 Zadata 3 Odredte opće rešee reurzve relace a a a Odredte rešee za π π 3cos 3 s počete uvete a a 0 ( a Zadata 4 Odredte opće rešee reurzve relace a a a a3 Odredte rešee za počete uvete a 0 0 a a ( 5 ( 6 a 3 Problem rešavaa ehomogeh learh reurzvh relaca reda s ostatm oefcetma a c a ca K ca f ( ešto e tež Geeralo uolo zamo edo eo (partularo rešee r ( te opće rešee C r ( Cr ( K Cr ( prpade homogee leare reurzve relace reda s ostatm oefcetma a c a ca K ca oda e opće rešee te ehomogee reurze a r( C r ( Cr ( K Cr ( C C K C Ostae am ostrurat partularo rešee r( za pozatu fucu f ( ćemo se tablcom: f ( r( Cb C e ostata P s ( polom stupa s C s b C e ostata Uolo e fuca ( U tu svrhu poslužt b ao x b e rešee arat ed prp hom rr m b ao e x b rešee arat ed prp hom rr ratost m Q s ao x e rešee arat ed prp hom rr m Q s ( ( ao e x rešee arat ed prp hom rr ratost m ( s b ( b Q s ( e polom stupa s Q ao x b e rešee arat ed prp hom rr m Qs ao e b x rešee arat ed prp hom rr ratost m Q s ( e polom stupa s f zbro zraza razlčth obla partularo rešee tražmo ao zbro poedh partularh rešea ehomogeh edadžb Napomea Klasfaca termologa postupa rešavaa learh reurzvh relaca reda s ostatm oefcetma podsećau a oe learh dferecalh edadžb reda s ostatm oefcetma to e slučao Zadata 5 Odredte opć čla za ( počet uvet a ( a a zadaog reurzvom relacom a uz a 7

19 Zadata 6 Odredte opć čla za ( a 4a 4a uz počete uvete 0 a 0 zadaog reurzvom relacom a a ( ( a Zadata 7 Odredte opće rešee reurzve relace a 5a 4 5 ( a 5 C Zadata 8 Odredte opće rešee reurzve relace a C 3 C ( ( 3 3a a a 3 3 Zadata 9 Rešte reurzvu relacu a 5a a 0 uz počete uvete a 6 a ( a Zadata 0 Odredte opće rešee reurzve relace ( a C C a 3 4a 4a 5 Zadata Odredte opć čla za ( a 0 zadaog reurzvom relacom a a a a uz počete uvete a 0 a 0 a 3 ( ( a Zadata Rešte reurzvu relacu ( ( a ( ( a 0 a uz počet uvet a Zadata 3 Rešte reurzvu relacu a a 39a 45a3 5 uz počete uvete a 0 a 6 a 5 ( a Zadata 4 Nea e z ( a zada formulom a 3 4 Odredte edu learu reurzu ou zadovolava ta z (Npr a 3 8 l a 4a 3a a Zadata 5 Nea e z ( a zada formulom a 3( ( learu reurzu ou zadovolava ta z (Npr a a 0 Odredte edu Zadata 6 Za z odredte homogeu learu reurzvu relacu Odredte opć čla tog za ( a 3a 3a a 3 a 73

20 6 Reurzvo rešavae problema Zadata (Fboaccev broev Zečev se razmožavau tao da sva par zečeva svaa dva meseca dobe par mladh zeca zečcu Mlad zečev se po avršeu dva meseca žvota poču razmožavat stm tempom Pod pretpostavom da smo a početu mal eda par zečeva da su zečev besmrt odredte reurzu zatvoreu formulu za bro F parova zečeva ao mesec ( F F F uz počete uvete F F F Zadata (Haos torev Fracus e matematčar Lucas 883 zabležo l zmslo ovu legedu: u drevom vetamsom hramu ma eda vela soba u sred oe su tr osača a ma 64 zlata oluta Oo osača se reću šutlv svećec Brahme sledeć staro proročastvo hov e posao da premeste sve olutove s prvog osača a treć al tao da u svaom potezu smu pomaut samo eda olut da već olut ada e može doć a ma olut Na da ad spue zadata aže proročastvo bt će ra sveta Odredte reurzvu relacu za bro poteza pr premeštau dsova s prvog a treć osač rešte e ( a a a a Zadata 3 Odlučl ste se bavt ozarstvom a pustom adrasom otou u tu svrhu početom prve gode abavl arca ozu o pretpostavmo da se prrodm prrastom populaca oza/araca a otou svae gode udvostručava da te gode prodate arća odredte reurzvu relacu za bro oza/araca u to god rešte e Rešte st problem za sluča da te gode prodate arća (U prvom slučau a a a a Zadata 4 Ozačmo sa vadratu matrcu tog reda obla 0 K 0 0 K K 0 0 K K K K K K K K a sa d eu determatu Postavte reurzu za račuae d rešte e ( d d d d d 3 d 74

21 Zadata 5 Kolo razlčth porua možemo poslat u mroseud ao se porue sastoe od tru vrsta sgala pr čemu za odašlae prve vrste treba eda a za odašlae druge treće vrste po dve mroseude ao zmeđu sgala u poruc ema razmaa? Postavte reurzu rešte e a a 3 ( a a a ( a 3 Zadata 6 Reurzom rešte: a olo se ača pravouta površa dmeza može popločat oršteem pločca dmeza (pločca se može oretat? (Idetča rezultatu prethodog zadata Rešmo sada reurze oe smo postavl u prethodo cel: Zadata 7 Nea e a bro ača a o se ea osoba može popet stubštem od stepeca ao može zaoračt po edu l dve stepece Postavte reurzvu relacu za a uz počete uvete a a rešte e ( a a a ( a 5 F ( 5 Zadata 8 Nea e a bro prrodh - zameasth broeva sastavleh od zame 34 tao da su susede zamee ( u oem redosledu Postavte reurzvu relacu za a uz počete uvete rešte e ( a 3 a a a 4 a 4 rešee e a ( 7 7( 3 7 4( 4 7 7( 3 7 7( 7 3 Rešt ćemo oš eolo zadataa svodeć eleare reurzve relace a leare Zadata 9 Rešte reurzvu relacu a uz počet uvet a ( a 5 a Zadata 0 Rešte reurzvu relacu ( a 4 ( ( a 3 Zadata Za sva čla a Za 0 4 a za ( a odredte opć čla za ( b Za prozvol { } 0 a uz počet uvet a a vred a a a 3a 3 a ( a 3 3 a 0 c \ 0 odredte lm a 75

22 7 Bare algebarse operace lgebarse struture Defca Nea e S epraza sup Bara algebarsa operaca l samo bara operaca a supu S e blo ava fuca o : S S S Kažemo da e sup S s obzrom a baru operacu o grupod l raće: ( S o e grupod Uobčaeo e delovae fuce o a x y S o x y zapsat pratče ao xo y umesto ( o u grupodu ( S o za sve x y z S vred da e ( x y o z xo ( yo z bara operaca o asocatva Grupod ( o o ažemo da e S ča e bara operaca o asocatva azvamo polugrupom o posto e S taav da e za sve x S x o e eo x x ažemo da e e eutral elemet za baru operacu o a S Polugrupu ( S o u oo posto eutral elemet azvamo moodom S o za sva elemet x S posto y S tao da e x o y yo x e o u moodu ( ažemo da e y verz elemet elemeta x a mood ( S o azvamo grupom Iverz elemet elemeta x S često se ozačava s x S o za sve x y S vred da e xo y yo x ažemo da e bara operaca o omutatva a za grupod ( S o da e omutatva l belov grupod Slčo u slučau da e ( S o polugrupa (mood grupa govormo o omutatvo l belovo polugrup (moodu grup o u grupodu ( Grupod mood grupe e su prmer tzv algebarsh strutura Općeto algebarsa strutura e sup "opremle" edom l vše algebarsh operaca oe zadovolavau ea svostva Još ee algebarse struture oe ovom prlom ećemo proučavat su prsteov pola algebre vetors prostor U astavu ćemo se prsett eh od broh barh operaca oe smo u dosadašem šolovau susrel Prmer Na supovma broeva defral smo bare operace zbraaa možea a supovma operacu oduzmaa a a supovma \ { 0} \ { 0} \ { 0} delea : Uočte da su pr ( ( \ { 0} : grupod ( belova polugrupa \ 0 belove grupe ( 0 ( belov mood a ( ( { } Prmer Na supu M m ( svh realh matrca tpa ( zbraaa matrca Uverte se da e M ( belova grupa ( m Prmer Na supu ( operacu možea matrca Uverte se da e ( ( trvalom slučau m promatramo baru operacu M svh realh vadrath matrca reda promatramo baru M mood al e belov (osm u 76

23 Prmer Ozačmo s GL ( sup svh regularh realh vadrath matrca reda a emu promotrmo baru operacu možea matrca Uverte se da e ( GL ( grupa al e belova (osm u trvalom slučau Prmer Nea e X epraza sup Uverte se da e ( X X o fuca mood Je l belov mood? gde o ozačava ompozcu Prmer Nea e X epraza sup ea e G sup svh beca supa X a samog sebe o G o grupa oa e belova čm e X 3 o ozačava ompozcu fuca uverte se da e ( Prmer Nea e X epraza sup X U sup X uvedmo algebarsu operacu defrauć za sve f g X ovu fucu f g : X tao da e za sve x X f g x f x g x X belova grupa ( ( ( ( Uverte se da e ( Prmer Nea e S prozvola sup a ( S P egov parttv sup Na supu P ( S deframo baru operacu prese baru operacu ua Uverte se da su ( P ( S ( P ( S belov mood Prmer Koača epraza sup azovmo alfabet a egove elemete smbolma Reč ad alfabetom e prozvola oača z smbola ("strg" z pr čemu dozvolavamo reč * dule 0 (prazu reč o sa ozačmo sup svh reč ad alfabetom deframo baru operacu o oateace ("leplea strgova" tao da ao su * a a K a b b K bm a aka o bbkbm aakabb Kbm Poažte da e ( o mood Je l belov? Propozca a Mood ( S o može sadržat samo eda eutral elemet b U grup ( S o sva elemet x S ma samo eda eutral elemet U slučau da e sup a ome se zadae bara operaca oača delovae te operace zgodo e pregledo prazat tablcom (tzv Cayleyeva tablca Prmer Nea e S { e a b c} Proverte da e ( S o belova grupa Bara operaca o a S zadaa e tablcom: o e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e x 77

24 Prmer Nea e Promotrmo relacu evvalece (mod a supu e / (mod { 0 K } Na / (mod deframo baru operacu x y / x y x y belova vocet sup [ ] [ ] [ ] tao da e za sve [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (mod grupa Sastavte Cayleyevu tablcu bare operace 5 Doažte da e ( / (mod Prmer Nea e Na supu / (mod deframo baru operacu tao da e za sve [ x] [ y] / ( mod [ x] [ y] [ x y] Doažte da e ( / ( mod belov mood Je l belova grupa? Sastavte Cayleyevu tablcu bare operace 5 Defca Nea e ( G o grupa o e H G ao da e ( o e ( H o podgrupa grupe ( G o o e ( o od ( G o H taođer grupa Tada ažemo da H belova grupa ažemo da e belova podgrupa Prmer o e ( G o grupa č e eutral elemet e oda e ({ }o podgrupa Jaso ( G o e taođer podgrupa od ( G o e eda ea belova Prmer Očto e ( belova podgrupa od ( ( e belova podgrupa od ( ( e belova podgrupa od ( Prmer Nea su epredh a supu ( b a a < Ozačmo sa ( a b a b Poažte da e ( ( ab a b b a C sup svh fuca f : a b C belova podgrupa belove grupe Propozca Nea e ( G o grupa H G Vred: ( H o e podgrupa grupe ( o ao vred da e x y H xo y H Defca Nea su ( G o ( H grupe Fucu f G H f ( xo y f ( x f ( y azvamo homomorfzmom grupa ( G o ( H G ao samo : tavu da e za sve x y G a za te grupe ažemo da su homomorfe Uolo e homomorfzam f uedo beca ažemo da e zomorfzam o H tada azvamo zomorfma grupa ( o G ( H grupe ( G ( Propozca 3 Zadae su grupe ( G o ( H o e pozato da e fuca f : G H homomorfzam grupa doažte da vred: a o e e G eutral elemet grupe G a e H eutral elemet grupe H oda e f ( e e b Za sva G [ ] x e ( x f ( x f Zadata Doažte Propozce 3 78

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ %"&'$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-

!#$ %&'$!&!(!)%*+, -$!!.!$(-#$&%- !"#$ %"&$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-.#/."0, .1%"("/+.!2$"/ 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 4.)!$"!$-(#&!- 33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περίοδοι περιοδικού πίνακα Ο περιοδικός πίνακας αποτελείται από 7 περιόδους. Ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνει κάθε περίοδος δεν είναι σταθερός, δηλ. η περιοδικότητα

Διαβάστε περισσότερα

T E S T 3 jun 2006 Ime prezime index : 1. Potrebno je fitovati eksperimentalne podatke: ( xi, yi

T E S T 3 jun 2006 Ime prezime index : 1. Potrebno je fitovati eksperimentalne podatke: ( xi, yi T E S T 3 u 6 Ime prezme de :. Potrebo e tovat espermetale podate:.... a Rad grače provere adevatost edostave emprse ormule a potrebo e ucrtat orgale l trasormsae esp. podate u dagram. Pogoda zbor dagrama

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. 1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα

Διαβάστε περισσότερα

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l)

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l) ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ Σχέση κβαντικών αριθµών µε στιβάδες υποστιβάδες - τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 22 Φεβρουαρίου 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 22 Φεβρουαρίου 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.

Διαβάστε περισσότερα

Appendix B Table of Radionuclides Γ Container 1 Posting Level cm per (mci) mci

Appendix B Table of Radionuclides Γ Container 1 Posting Level cm per (mci) mci 3 H 12.35 Y β Low 80 1 - - Betas: 19 (100%) 11 C 20.38 M β+, EC Low 400 1 5.97 13.7 13 N 9.97 M β+ Low 1 5.97 13.7 Positrons: 960 (99.7%) Gaas: 511 (199.5%) Positrons: 1,199 (99.8%) Gaas: 511 (199.6%)

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Άσκηση 8 Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Δ. Φ. Αναγνωστόπουλος Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ιωάννινα 2013 Άσκηση 8 ii Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Πίνακας περιεχομένων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

! " # " $ #% $ "! #&'() '" ( * / ) ",. #

!  #  $ #% $ ! #&'() ' ( * / ) ,. # Ψ ƒ! " # " $ #% $ "! #&'() '" ( * +",-.'!( / ) ",. # 0# $"!"#$%# Ψ 12/345 6),78 94. ƒ 9)")1$/):0;3;::9 >'= ( ? 9 @ '&( % A! &*?9 '( B+)C*%++ &*%++C 0 4 3'+C( D'+C(%E $B B - " % B

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση.

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. 3. Λίστα Παραμέτρων 3.. Λίστα Παραμέτρων Στην αρχική ρύθμιση, μόνο οι παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

! " #$% & '()()*+.,/0.

!  #$% & '()()*+.,/0. ! " #$% & '()()*+,),--+.,/0. 1!!" "!! 21 # " $%!%!! &'($ ) "! % " % *! 3 %,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0 %%4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5

Διαβάστε περισσότερα

Η ΑΝΘΥΦΑΙΡΕΤΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΕΞΩΣΗΣ ΤΗΣ ΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΟ ΔΕΚΑΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΗΣ ΠΟΛΙΤΕΙΑΣ ΤΟΥ ΠΛΑΤΩΝΟΣ

Η ΑΝΘΥΦΑΙΡΕΤΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΕΞΩΣΗΣ ΤΗΣ ΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΟ ΔΕΚΑΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΗΣ ΠΟΛΙΤΕΙΑΣ ΤΟΥ ΠΛΑΤΩΝΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΉΜΩΝ ΑΓΩΓΉΣ & ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ, ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ &

Διαβάστε περισσότερα

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải.

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải. Đường tròn cung dây tiếp tuyến BÀI 1 : Cho tam giác ABC. Đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E, D. BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh : 1. AH vuông góc BC (tại F thuộc BC). 2. FA.FH

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΕΜΕ 28 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, 26 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2011 ( )

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΕΜΕ 28 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης ΣΑΒΒΑΤΟ, 26 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2011 ( ) ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΕΜΕ 8 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 0 Ενδεικτικές Λύσεις θεμάτων μεγάλων τάξεων ΠΡΟΒΛΗΜΑ Να λύσετε στους ακέραιους την εξίσωση 4 xy y x = xy 6.

Διαβάστε περισσότερα

Řečtina I průvodce prosincem a začátkem ledna prezenční studium

Řečtina I průvodce prosincem a začátkem ledna prezenční studium Řečtina I průvodce prosincem a začátkem ledna prezenční studium Dobson číst si Dobsona 9. až 12. lekci od 13. lekce už nečíst (minulý čas probírán na stažených slovesech velmi matoucí) Bartoň pořídit si

Διαβάστε περισσότερα

www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont

www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont w. ww lua so ab me lar m.co t me la sit po dis ion du c, bli pu via lar ca do w. ww me.co m, de la ion nta t do cu me on t ed hn iqu tec les en ce s, rι fιr ma rq ue se t lo go s, so nt la pr op riι tι

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Mixed Distributions = + k k. = n. k k k. ρ k Χ Χ ] e [ ] Χ i

Mixed Distributions = + k k. = n. k k k. ρ k Χ Χ ] e [ ] Χ i p d d Mxd Dstrbutos ρν ( ( ρ Ν( ρ ( ρ ρ ρ ( L ( ρ [ ρ ( ( ρ ( ]! " # $&% ' * - 3 4&5 6 7 8 9: ;A@CB < DFE G IKJLNM OFP QRS TU V S WTNX ρ Y[Z!\LZ!]^]`_ ab!c L! d!! ρ ( ρ Ρ( ρ ρ gh Cḧ l l ρ log L ρ log!

Διαβάστε περισσότερα

SIEMENS Squirrel Cage Induction Standard Three-phase Motors

SIEMENS Squirrel Cage Induction Standard Three-phase Motors - SIEMENS Squirrel Cage Induction Standard Three-phase Motors 2 pole 3000 rpm 50Hz Rated current Power Efficiency Rated Ratio Noise Output Frame Speed Weight 3V 400V 415V factor Class 0%Load 75%Load torque

Διαβάστε περισσότερα

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1 Sarò signor io sol Canzon, ottava stanza Domenico Micheli Soprano Soprano 2 Alto Alto 2 Α Α Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io sol Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io µ Tenor Α Tenor 2 Α Sa rò

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσιαστές: ??ast?s??? Τσάκας. ?/?t?? t???/?s????p???af???? t??????? ?a??a Se???t?

Παρουσιαστές: ??ast?s??? Τσάκας. ?/?t?? t???/?s????p???af???? t??????? ?a??a Se???t? Παρουσιαστές:??ast?s??? Τσάκας?/?t?? t???/?s????p???af???? t????????a??a Se???t???p????f?????a???????? Master of Applied Science (M.App.Sci)? a?ep?s t?µ?? G?a s?? ί???/?s????p???af???? t??????? Τα κυριότερα

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA TRANSPORTA

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA TRANSPORTA METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA TRANSPORTA 1. Općentost o metodama za rešavane problema transporta Zatvoren (zvorn l transformran otvoren) transportn problem s troškovma transporta kao krterem rešavau se

Διαβάστε περισσότερα

STVARANJE VEZE C-C POMO]U ORGANOBORANA

STVARANJE VEZE C-C POMO]U ORGANOBORANA STVAAJE VEZE C-C PM]U GAAA 2 6 rojne i raznovrsne reakcije * idroborovanje alkena i reakcije alkil-borana 3, Et 2 (ili TF ili diglim) Ar δ δ 2 2 3 * cis-adicija "suprotno" Markovnikov-ljevom pravilu *

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

! "#" "" $ "%& ' %$(%& % &'(!!")!*!&+ ,! %$( - .$'!"

! #  $ %& ' %$(%& % &'(!!)!*!&+ ,! %$( - .$'! ! "#" "" $ "%& ' %$(%&!"#$ % &'(!!")!*!&+,! %$( -.$'!" /01&$23& &4+ $$ /$ & & / ( #(&4&4!"#$ %40 &'(!"!!&+ 5,! %$( - &$ $$$".$'!" 4(02&$ 4 067 4 $$*&(089 - (0:;

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016 Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016 Άσκηση Φ4.1: Θεωρείστε τις ακόλουθες σχέσεις επί του συνόλου Α={1, 2, 3} 1. R={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)} 2. S={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2),

Διαβάστε περισσότερα

Ανταλλακτικά για Laptop Lenovo

Ανταλλακτικά για Laptop Lenovo Ανταλλακτικά για Laptop Lenovo Ημερομηνία έκδοσης καταλόγου: 6/11/2011 Κωδικός Προϊόντος Είδος Ανταλλακτικού Μάρκα Μοντέλο F000000884 Inverter Lenovo 3000 C200 F000000885 Inverter Lenovo 3000 N100 (0689-

Διαβάστε περισσότερα

,, #,#, %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, )

,, #,#, %&'(($#(#)&*& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) !! "#$%&'%( (%)###**#+!"#$ ',##-.#,,, #,#, /01('/01/'#!2#! %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) 6###+! 4! 4! 4,*!47! 4! (! 8!9%,,#!41! 4! (! 4!5),!(8! 4! (! :!;!(7! (! 4! 4!!8! (! 8! 4!!8(!44!

Διαβάστε περισσότερα

bab.la Φράσεις: Ταξίδι Τρώγοντας έξω ελληνικά-ελληνικά

bab.la Φράσεις: Ταξίδι Τρώγοντας έξω ελληνικά-ελληνικά Τρώγοντας έξω : Στην είσοδο Θα ήθελα να κρατήσω ένα τραπέζι για _[αριθμός ατόμων]_ στις _[ώρα]_. (Tha íthela na kratíso éna trapézi ya _[arithmós atómon]_ στις _[óra]_.) Θα ήθελα να κρατήσω ένα τραπέζι

Διαβάστε περισσότερα

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron À Ô ÐÓ ÖÓÒØ ØÓÙÔ Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ò Ø Ô ØÓÙ Ô Ñ Ð Ø ØÓÙhttp://www.mathematica.grº Å Ø ØÖÓÔ LATEX ÛØ Ò Ã Ð Ò Ø ÃÓØÖôÒ Ä ÙØ Ö ÈÖÛØÓÔ Ô Õ ÐÐ ËÙÒ ÔÓÙÓ ËÕ Ñ Ø Å Õ Ð Æ ÒÒÓ ÉÖ ØÓÌ Ë Ð ¹ ÅÔÓÖ Ò Ò Ô Ö Õ Ò Ò Ñ Ð Ö º ÌÓß

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 101-00 Αφιερωμέν σε κάθε μαθητή πυ ασχλείται ή πρόκειται να ασχληθεί με Μαθηματικύς διαγωνισμύς

Διαβάστε περισσότερα

#&' ()* #+#, 2 )' #$+34 4 )!' 35+,6 5! *,#+#26 37)*! #2#+#42 %8')* #44+#%$,)88) 9 #,6+-55 $)8) -53+2#5 #6) :&' 2#3+23- ##) :* 232+464 #-) ''7 465+436

#&' ()* #+#, 2 )' #$+34 4 )!' 35+,6 5! *,#+#26 37)*! #2#+#42 %8')* #44+#%$,)88) 9 #,6+-55 $)8) -53+2#5 #6) :&' 2#3+23- ##) :* 232+464 #-) ''7 465+436 ! "#$$% #& ()* #+#, -./0*1 2 ) #$+34 4 )! 35+,6 5! *,#+#26 37)*! #2#+#42 %8)* #44+#%$,)88) 9 #,6+-55 $)8) -53+2#5 #6) :& 2#3+23- ##) :* 232+464 #-) 7 465+436 .* &0* 0!*07 ;< =! ))* *0*>!! #6&? @ 8 (? +

Διαβάστε περισσότερα

TALAR ROSA -. / ',)45$%"67789

TALAR ROSA -. / ',)45$%67789 TALAR ROSA!"#"$"%$&'$%(" )*"+%(""%$," *$ -. / 0"$%%"$&'1)2$3!"$ ',)45$%"67789 ," %"(%:,;,"%,$"$)$*2

Διαβάστε περισσότερα

Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων. Γιώργος Μπαλόγλου

Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων. Γιώργος Μπαλόγλου Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Γιώργος Μπαλόγλου 4 η Μαθηματική Εβδομάδα, Θεσσαλονίκη, 7- Μαρτίου 0 Μνήμη Λουκά Κανάκη (95-0) υποθετικό κίνητρο: τομή δύο επιπέδων Ας θυμηθούμε ότι ένα επίπεδο E στον τρισδιάστατο

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ. 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2

ΛΥΣΕΙΣ. 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2 ΛΥΣΕΙΣ 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή παραµαγνητικά: 38 Sr, 13 Al, 32 Ge. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2 Η ηλεκτρονική δοµή του

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

XX. PREDAVANJE 20. OSNOVNA SVOJSTVA LAPLACEOVE TRANSFORMACIJE (1) b) Linearnost. L [af 1 (t)+bf 2 (t)]=al [f 1 (t)]+bl [f 2 (t)] ; a i b su konstante

XX. PREDAVANJE 20. OSNOVNA SVOJSTVA LAPLACEOVE TRANSFORMACIJE (1) b) Linearnost. L [af 1 (t)+bf 2 (t)]=al [f 1 (t)]+bl [f 2 (t)] ; a i b su konstante 88. Oova vova aplaceove afomace XX. PREDAVANJE Defca edoae aplaceove afomace. Poam kompleke fekvece. zbo doe goe gace defckog egala. Oova vova aplaceove afomace. Pme ešavaa dfeecale edadžbe pvog eda. Raav

Διαβάστε περισσότερα

Statistika sažetak i popis formula

Statistika sažetak i popis formula Stattka ažetak pop formula Dekrptva tattka Artmetčka reda brojeva,,, : + + + = + + 3 + 4 + 5 5 Na prmjer, artmetčka reda brojeva,,3,4,5 je broj = = 3 5 5 Frekvecja ekog podatka je broj pojavljvaja tog

Διαβάστε περισσότερα

ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., ( µ ) ( (

ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., ( µ ) (  ( 35 Þ 6 Ð Å Vol. 35 No. 6 2012 11 ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., 2012 È ÄÎ Ç ÓÑ ( µ 266590) (E-mail: jgzhu980@yahoo.com.cn) Ð ( Æ (Í ), µ 266555) (E-mail: bbhao981@yahoo.com.cn) Þ» ½ α- Ð Æ Ä

Διαβάστε περισσότερα

10/2013. Mod: 02D-EK/BT. Production code: CTT920BE

10/2013. Mod: 02D-EK/BT. Production code: CTT920BE 10/2013 Mod: 02D-EK/BT Production code: CTT920BE GR ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΧΡΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ σελ. 1 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΚΕΦ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 3 ΚΕΦ 2 ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ... 3 2.1 ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΣΥΣΚΕΥΑΣΙΑ...3 2.2 ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΕΙΔΟΠΟΙΗΣΗ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ (Μόνο για μοντέλα με R600a)

ΠΡΟΕΙΔΟΠΟΙΗΣΗ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ (Μόνο για μοντέλα με R600a) ΠΡΟΕΙΔΟΠΟΙΗΣΗ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ (Μόνο για μοντέλα με R600a) Αυτή η συσκευή περιέχει συγκεκριμένη ποσότητα ψυκτικού ισοβουτανίου (R600a), ένα φυσικό αέριο με υψηλή περιβαλλοντική συμβατότητα, το οποίο είναι όμως

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές) Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΙΤΣΙΝΑΔΟΡΟΣ ΛΑΔΙΟΥ ΑΕΡΟΣ ΓΙΑ ΠΡΙΤΣΙΝΙΑ M4/M12 ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ - ΑΝΤΑΛΛΑΚΤΙΚΑ

ΠΡΙΤΣΙΝΑΔΟΡΟΣ ΛΑΔΙΟΥ ΑΕΡΟΣ ΓΙΑ ΠΡΙΤΣΙΝΙΑ M4/M12 ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ - ΑΝΤΑΛΛΑΚΤΙΚΑ GR ΠΡΙΤΣΙΝΑΔΟΡΟΣ ΛΑΔΙΟΥ ΑΕΡΟΣ ΓΙΑ ΠΡΙΤΣΙΝΙΑ M4/M12 ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ - ΑΝΤΑΛΛΑΚΤΙΚΑ H OLJLAJNYOMÁSÚ SZEGECSELŐ M4/M12 SZEGECSEKHEZ HASZNÁLATI UTASÍTÁS - ALKATRÉSZEK SLO OLJNO-PNEVMATSKI KOVIČAR ZA ZAKOVICE

Διαβάστε περισσότερα

Για να εμφανιστούν σωστά οι χαρακτήρες της Γραμμικής Β, πρέπει να κάνετε download και install τα fonts της Linear B που υπάρχουν στο τμήμα Downloads.

Για να εμφανιστούν σωστά οι χαρακτήρες της Γραμμικής Β, πρέπει να κάνετε download και install τα fonts της Linear B που υπάρχουν στο τμήμα Downloads. Για να εμφανιστούν σωστά οι χαρακτήρες της Γραμμικής Β, πρέπει να κάνετε download και install τα fonts της Linear B που υπάρχουν στο τμήμα Downloads. Η μυκηναϊκή Γραμμική Β γραφή ονομάστηκε έτσι από τον

Διαβάστε περισσότερα

. & Fax: : /12/ , / /2007 «...»..3861/2010, / / /1/787167/.

. & Fax: : /12/ , / /2007 «...»..3861/2010, / / /1/787167/. : 441. & Fax: 2103451620 :. 600.16/12/1808.291,05 2015 : -.:... 2286/1995 118/2007 «....»..3861/2010,...3871/2010... 113/2010..831.3/1/787167/.69/12 2012/ / /4 1. :. ( ) ( ). ( ),, (45.600,00 ), (14) (4)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΕΤΡΕΛΑΙΟΥ & Φ.ΑΕΡΙΟΥ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΕΤΡΕΛΑΙΟΥ & Φ.ΑΕΡΙΟΥ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΕΤΡΕΛΑΙΟΥ & Φ.ΑΕΡΙΟΥ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ; ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΓΕΩΦΥΣΙΚΩΝ ΚΑΤΑΓΡΑΦΩΝ ΣΕ ΥΔΡΟΓΕΩΤΡΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

a -80.6MPa, m =49.4MPa a =80.6MPa, m =-49.4MPa. a =49.4MPa, m =-80.6MPa a =-49.4MPa, m =-80.6MPa

a -80.6MPa, m =49.4MPa a =80.6MPa, m =-49.4MPa. a =49.4MPa, m =-80.6MPa a =-49.4MPa, m =-80.6MPa 1 2 1 2 3 4 5 0.24 0.24 4.17 4.17 6 a m a -80.6MPa, m =49.4MPa a =80.6MPa, m =-49.4MPa a =49.4MPa, m =-80.6MPa a =-49.4MPa, m =-80.6MPa 1 7 max min m a r 8 9 1 ] ] S [S] S [S] 2 ] ] S [S] S [S] 3 ] ] S

Διαβάστε περισσότερα

Χθμικόσ Δεςμόσ (Ομοιοπολικόσ-Ιοντικόσ Δεςμόσ) Οριςμοί, αναπαράςταςη κατά Lewis, ηλεκτραρνητικότητα, εξαιρζςεισ του κανόνα τησ οκτάδασ, ενζργεια δεςμοφ

Χθμικόσ Δεςμόσ (Ομοιοπολικόσ-Ιοντικόσ Δεςμόσ) Οριςμοί, αναπαράςταςη κατά Lewis, ηλεκτραρνητικότητα, εξαιρζςεισ του κανόνα τησ οκτάδασ, ενζργεια δεςμοφ Χθμικόσ Δεςμόσ (Ομοιοπολικόσ-Ιοντικόσ Δεςμόσ) Οριςμοί, αναπαράςταςη κατά Lewis, ηλεκτραρνητικότητα, εξαιρζςεισ του κανόνα τησ οκτάδασ, ενζργεια δεςμοφ Τβριδιςμόσ Υβριδικά τροχιακά και γεωμετρίεσ Γηαίξεζε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Τμήμα Φυσικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Ι. ΑΡΒΑΝΙΤΙ ΗΣ jarvan@physcs.auth.gr 2310 99 8213 ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΠΟΛΩΣΗ ΣΥΜΒΟΛΗ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ISBN , 2009

ISBN , 2009 .... 2009 681.3.06(075.3) 32.973.26 721 367.. 367 : -. :.., 2009. 419.:.,. ISBN 978-5-88874-943-2. :. -,.,. (2006 2009),,,,.. 11-, -. matsievsky@newmail.ru. 681.3.06(075.3) 32.973.26 721 ISBN 978-5-88874-943-2..,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΥΝΑΤΟΤΗΤΑΣ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΟΥ ΓΕΩΘΕΡΜΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΘΕΡΜΩΝ ΝΙΓΡΙΤΑΣ (Ν. ΣΕΡΡΩΝ)

ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΥΝΑΤΟΤΗΤΑΣ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΟΥ ΓΕΩΘΕΡΜΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΘΕΡΜΩΝ ΝΙΓΡΙΤΑΣ (Ν. ΣΕΡΡΩΝ) ελτίο της Ελληνικής Γεωλογικής Εταιρίας τοµ. XXXVI, 2004 Πρακτικά 10 ου ιεθνούς Συνεδρίου, Θεσ/νίκη Απρίλιος 2004 Bulletin of the Geological Society of Greece vol. XXXVI, 2004 Proceedings of the 10 th

Διαβάστε περισσότερα

Base Metal + Alloying Elements

Base Metal + Alloying Elements 2109101, 3 + (+ ) Base Metal + Alloying Elements (+ Impurities) = Fe + C + Mn + i + P + = Al + i + Mg + Cu + Fe = Fe + Cr + Ni + C; Cr > 13% 2 - / (, ) (Component)- (Phase)- Homogenous Distinct Portion

Διαβάστε περισσότερα

PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen

PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen The following full text is a publisher's version. For additional information about this publication click this link. http://hdl.handle.net/2066/52779

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

x ax by c y a x b y c

x ax by c y a x b y c Γεωμετρία Affine - Εφαρμογές Δόρτσιος Κων/νος, Μαθηματικός mail:kdortsi@sch.gr Τσίντσιφας Γεώργιος, Μαθηματικός mail :gtsintsifas@yahoo.com Εισαγωγή Η Γραμμική Γεωμετρία περιέχει τρία είδη Μετασχηματισμών

Διαβάστε περισσότερα

3. Υπολογίστε το μήκος κύματος de Broglie (σε μέτρα) ενός αντικειμένου μάζας 1,00kg που κινείται με ταχύτητα1 km/h.

3. Υπολογίστε το μήκος κύματος de Broglie (σε μέτρα) ενός αντικειμένου μάζας 1,00kg που κινείται με ταχύτητα1 km/h. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ποια είναι η συχνότητα και το μήκος κύματος του φωτός που εκπέμπεται όταν ένα e του ατόμου του υδρογόνου μεταπίπτει από το επίπεδο ενέργειας με: α) n=4 σε n=2 b) n=3 σε n=1 c)

Διαβάστε περισσότερα

Devizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković

Devizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković Devizno tržište Devizni urs i devizno tržište Devizni urs - cena jedne valute izražena u drugoj valuti Promene deviznog ursa utiču na vrednost ative i pasive oje su izražene u stranoj valuti Devizni urs

Διαβάστε περισσότερα

L A TEX 2ε. mathematica 5.2

L A TEX 2ε. mathematica 5.2 Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια : xr.

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια : xr. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 14 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ο ΘΕΜΑ Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 Έλυσαν οι Δημήτρης Ιωάννου, Γιώργος Βισβίκης, Μπάμπης Στεργίου, Χρήστος Κάναβης, Γιώργης Καλαθάκης, Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης,

Διαβάστε περισσότερα

A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N

A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N I N F O T E K N I K V o l u m e 1 5 N o. 1 J u l i 2 0 1 4 ( 61-70) A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N N o v i

Διαβάστε περισσότερα

3. Η διάρκεια της διαβούλευσης ορίζεται σε τέσσερις (4) ημέρες από την ημέρα ανάρτησης.

3. Η διάρκεια της διαβούλευσης ορίζεται σε τέσσερις (4) ημέρες από την ημέρα ανάρτησης. ΕΛΛΗΝΙΚΗ 1 Η Υ.ΠΕ. ΑΤΤΙΚΉΣΑ ΔΗΜΟΚΡΑΤΊΑ ΓΕΝΙΚΟ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ «ΙΠΠΟΚΡΑΤΕΙΟ ΠΠΟΚΡΑΤΕΙΟ» ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΥΠΟΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ Ταχ. Δ/νση: Βασ. Σοφίας 114 Αθήνα, 22.07.2014

Διαβάστε περισσότερα

Τριφασικοί ηλεκτροκινητήρες DR/DV/DT/DTE/DVE, Ασύγχρονοι Σερβοκινητήρες CT/CV

Τριφασικοί ηλεκτροκινητήρες DR/DV/DT/DTE/DVE, Ασύγχρονοι Σερβοκινητήρες CT/CV Ηλεκτροµειωτήρες \ Βιοµηχανικοί µειωτήρες \ Ηλεκτρονικά κινητήριων µηχανισµών \ Αυτοµατισµοί \ Υπηρεσίες Τριφασικοί ηλεκτροκινητήρες DR/DV/DT/DTE/DVE, Ασύγχρονοι Σερβοκινητήρες CT/CV A6.C01 Έκδοση 07/200

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας ρυθμίσεων στο χώρο εγκατάστασης

Πίνακας ρυθμίσεων στο χώρο εγκατάστασης 1/8 Κατάλληλες εσωτερικές μονάδες *HVZ4S18CB3V *HVZ8S18CB3V *HVZ16S18CB3V Σημειώσεις (*5) *4/8* 4P41673-1 - 215.4 2/8 Ρυθμίσεις χρήστη Προκαθορισμένες τιμές Θερμοκρασία χώρου 7.4.1.1 Άνεση (θέρμανση) R/W

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πυρηνική Φυσική και τα Στοιχειώδη Σωμάτια Θεόδωρος Μερτζιμέκης, July 15, Προβλήματα διαλέξεων

Εισαγωγή στην Πυρηνική Φυσική και τα Στοιχειώδη Σωμάτια Θεόδωρος Μερτζιμέκης, July 15, Προβλήματα διαλέξεων Εισαγωγή στην Πυρηνική Φυσική και τα Στοιχειώδη Σωμάτια Θεόδωρος Μερτζιμέκης, July 15, 2015 Προβλήματα διαλέξεων Τα προβλήματα και οι συνοδευτικές λύσεις που ακολουθούν έχουν διδαχθεί στο μάθημα κορμού

Διαβάστε περισσότερα

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1 Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΦΛΟΙΟΥ ΤΗΣ ΓΗΣ.

ΣΥΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΦΛΟΙΟΥ ΤΗΣ ΓΗΣ. ΣΥΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΦΛΟΙΟΥ ΤΗΣ ΓΗΣ. Η σύσταση του φλοιού ουσιαστικά καθορίζεται από τα πυριγενή πετρώματα μια που τα ιζήματα και τα μεταμορφωμένα είναι σε ασήμαντες ποσότητες συγκριτικά. Η δημιουργία των βασαλτικών-γαββρικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΙΙ Εξετάσεις Ιουνίου 2002

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΙΙ Εξετάσεις Ιουνίου 2002 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Εξετάσεις Ιουνίου (α) Αναπτύξτε την µέθοδο του τραπεζίου για τον αριθµητικό υπολογισµό του ολοκληρώµατος: b I( f ) = f ( x) a όπου f (x) συνεχής και ολοκληρώσιµη

Διαβάστε περισσότερα

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1] 1 ( ) 2007 02 16 (2006 5 19 ) 1 1 11 1 12 2 13 Ore 8 14 9 2 (2007 2 16 ) 10 1 11 ( ) ( [T] 131),, s 1 a as 1 [T] 15 (, D ), Lie, (derived category), ( ) [T] Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ (Επιλέγετε δέκα από τα δεκατρία θέματα) ΘΕΜΑΤΑ 1. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; Γιατί; (α) Από τα στοιχεία Mg, Al, Cl, Xe, C και Ρ, τον μεγαλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδες Αίματος. Αντιγόνα ερυθρών, Λευκών και Αιμοπεταλίων. Μπακαλούδη Βασιλική Αιματολόγος, Επιμελήτρια A Κέντρο Αίματος «ΑΧΕΠΑ»

Ομάδες Αίματος. Αντιγόνα ερυθρών, Λευκών και Αιμοπεταλίων. Μπακαλούδη Βασιλική Αιματολόγος, Επιμελήτρια A Κέντρο Αίματος «ΑΧΕΠΑ» Ομάδες Αίματος Αντιγόνα ερυθρών, Λευκών και Αιμοπεταλίων Μπακαλούδη Βασιλική Αιματολόγος, Επιμελήτρια A Κέντρο Αίματος «ΑΧΕΠΑ» Αντιγόνα ερυθρών Τα αντιγόνα στην επιφάνεια των ερυθρών αποτελούν τις ομάδες

Διαβάστε περισσότερα

Το αντικείμενο αυτό είναι χειροποίητο από 100% οικολογικό βαμβάκι, με φυτικές βαφές και φυτική κόλλα.

Το αντικείμενο αυτό είναι χειροποίητο από 100% οικολογικό βαμβάκι, με φυτικές βαφές και φυτική κόλλα. Cotton leather paper Με υπερηφάνια σας παρουσιάζουμε μια νέα σειρά χειροποίητων προϊόντων το...cotton leather paper. Το αντικείμενο αυτό είναι χειροποίητο από 100% οικολογικό βαμβάκι, με φυτικές βαφές

Διαβάστε περισσότερα

A A i j, i i. Ta kiểm chứng lại rằng giá trị này không phụ thuộc vào cách biểu diễn hàm f thành tổ hợp tuyền tính những hàm ñặc trưng. =, = j A B.

A A i j, i i. Ta kiểm chứng lại rằng giá trị này không phụ thuộc vào cách biểu diễn hàm f thành tổ hợp tuyền tính những hàm ñặc trưng. =, = j A B. Produced wth a Tral Verso o PDF otator - www.pdfotator.com Chươg 2. Tích phâ Lebesgue ê soạ: Nguyễ Trug Hếu CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN LEESGUE 2.. ðịh ghĩa tích phâ Lebesgue 2... Tích phâ cho hàm ñơ gả hôg âm

Διαβάστε περισσότερα

Carolina Bernal, Frédéric Christophoul, Jean-Claude Soula, José Darrozes, Luc Bourrel, Alain Laraque, José Burgos, Séverine Bès de Berc, Patrice Baby

Carolina Bernal, Frédéric Christophoul, Jean-Claude Soula, José Darrozes, Luc Bourrel, Alain Laraque, José Burgos, Séverine Bès de Berc, Patrice Baby Gradual diversions of the Rio Pastaza in the Ecuadorian piedmont of the Andes from 1906 to 2008: role of tectonics, alluvial fan aggradation and ENSO events Carolina Bernal, Frédéric Christophoul, Jean-Claude

Διαβάστε περισσότερα