, i= 0,1,2,... n, koje su poređane u rastućem redosledu zadate =, odnosno uređena tabela: i n x. R n (x)

Transcript

1 Iterpolaca Zadata terpolace Nea su u tačama vredost ee uce,,,, Treba ać polom P,,,,,..., oe su poređae u rastućem redosledu zadate, odoso uređea tabela:, P a a a... a o aprosmra ucu P a tervalu [, ], tao da u tačama,,,,... ma edae vredost sa om: P,,...,. R P P - Sla. - Fuca e terpolaco polom 9

2 4 Tače,...,,, se azvau čvorov terpolace. Iterpolaco polom ee uce, orst se, za procevae vredost uce u tačama,,, što zovemo terpolaca. Ao e zadata vredost ezavso promelve zva tervala terpolace < l >, tavo procevae vredost uce se zove estrapolaca. Estrapolacu treba zbegavat, er e u opštem slučau praćea velm grešama odstupaa procee od tače vredost uce da zame ucu rad eog prblžog derecraa l tegrace T: Ao su terpolaco čvorov,,,..., među sobom razlčt, tada posto eda samo eda polom stepea e većeg od, o zadovolava uslov.. Iz. sled sledeć sstem od edače, sa stm broem epozat a,...,,, : a a a a a a a a a a a a K KKKKKKKKKKKKK K K. Determata sstema -Vadermodova determata e: < D K K K K Pošto e za, D sstem ma edstveo rešee. Rešavae sstema. za veće vredost e pratčo ao su terpolaco čvorov bls D sstem e loše uslovle.. LAGRANŽOV INTERPOLACIONI POLINOM Lagražov Lagrage terpolaco polom - tog stepea LIP se traž u oblu, L P.

3 4 gde su L,,,..., polom stepea zovu se Lagražov oecet. Lagražov oecet mora da zadovol uslove: δ L za za Rad spuea drugog uslova, tražmo ga u oblu: C C L K K gde oecet C određuemo tao da se zadovol prv uslov: C L Dale, L.4 Ao uvedemo ucu: oa e očgledo polom stepea, Lagražov oecet može da se praže u oblu: ' L.5 Zasta, ' ' K K

4 Prmer : P L L L L.? L ; L ; L ; L L L P PROCENA GREŠKE INTERPOLACIJE Greša terpolace uce polomom P predstavla razlu vd slu.: R P.6 Podsetmo se da e greša R, Talorovog poloma - tog stepea, o prolaz roz taču, aprosmra ucu u ool tače,!...! R edaa: R ξ!, ξ, Za grešu terpolacoog poloma, provučeog roz čvorove,,,...,, se može zvest aaloga ormula: 4

5 4 R,,! ξ ξ l:,,! R ξ ξ.7 Prmetmo da se zraz za grešu Talorovog poloma, o sa ucom ma samo edu zaedču taču sa apscsom, doba se z zraza.7 pr uslovu:,...,,,. Kao gracu apsolute greše terpolace u tač uzmamo:! M R.8 gde e: ma ], [ M.8a Zadata. Za ucu sπ ormrat LIP sa čvorovma terpolace:, /6, /. Pomoću poloma procet vredost sπ/ grešu procee. Rešee: s π P L L L P P / / s π P Procevae greše pomoću ormule.8a sa : cos, s ;, cos π π π π π π /6 / /

6 M ma π cos π π ma,, R M! R 6 6 π π <.5 Dale u proce vredost sπ/.8, sgura e samo eda cra, pa ao oača rezultat pšemo: sπ/.8 Tača vredost greše e: s π /.8.8. <.5 što se dobro slaže sa dobeom proceom... KONAČNE RAZLIKE Pretpostavmo da raspolažemo tabelom vredost uce u evdstat tačaa sa oraom > :,,,..., Iz možemo da zračuamo oače razle uapred prvog reda: gde same vredost uce,,,...,,,,..., možemo posmatrat ao oače razle ultog reda. Aalogo, z oač razla prvog reda, ao ove oače razle, dobamo oače razle. reda, td. uoč aalogu sa decom prvog vš zvoda uce. Uopšte, možemo da dešemo oače razle uapred -tog reda,,...,:,,,...,,,...,.9 Zapažamo da za datu tabelu, sa vrsta, možemo da zračuamo - oaču razlu. reda, - oače razle. reda,..., oače razle -. reda samo edu oaču razlu -tog reda. 44

7 Prmer : Za stu tabelu se a sledeć ač mogu desat oače razle uazad: M,,...,,,...,,...,,,..,. Očgledo e: Uopšte, može se poazat sledeće veza zmeđu oač razla uapred uazad: Prmer :,,,...,,,...,. Pue spredae le povezuu vredost uce sa em oačm razlama uapred uazad. 45

8 Procee vredost zvoda z oač razla Procea prvog zvoda u tač : e, u sladu sa decom prvog zvoda, utolo tača uolo e ora ma! T: Ao e uca derecabla u tervalu,, oda posto bar eda tača ξ u tom tervalu, tava da e prv zvod u to tač tačo eda dato proce Lagražova teorema: ξ ξ,, o ξ ξ Proceu drugog zvoda uce dobamo z vredost prv zvoda a aaloga ač : uz to, posto bar eda tača ξ, tava da e: ξ, ξ, Ao e uca polom drugog stepea, drug zvod ao oače razle drugog reda su ostat, pa e gora procea tača:,..., cost,, Procea zvoda tog reda u eom čvoru pomoću oače razle uapred - tog reda za tu taču može se doazat matematčom ducom e: 46

9 uz to:,,,... ξ, ξ,. Ao e uca polom m-tog stepea, oače razle m-tog reda su ostate, odoso razle m reda edae ul, a gora procea tača.. PRVI I DRUGI NJUTNOV INTERPOLACIONI POLINOM Prv Nutov terpolaco polom Uvešćemo bezdmezou promelvu bezdmezoo rastoae: α. gde e ora evdstat vredost ezavso promelve u tabel:,,,...,. Možemo da ažemo da prv terpolaco čvor, gra ulogu reeretog l startog čvora. U čvorovma terpolace promelva uzma celobroe vredost, α,,,...,,,,...,, bezdmezoa Imamo, α α α uopšte, matematčom ducom zvodmo, α,,,...,.4 Može se zvest sledeć terpolaco polom uce, stepea e većeg od, o sa om ma ste vredost u evdstatm tačama,,,,...,, P α α α α α α... α α...[ α ]!!!.5 o se zove Nutov terpolaco polom sa oačm razlama uapred, l raće: prv Nutov terpolaco polom NJIP. 47

10 Za grešu terpolace.6 terpolacom polomom.5 - tog stepea, polazeć od zraza.7 uvodeć u ega ovu bezdmezou promelvu α pomoću.4, dobamo: ξ! R α α α... α, ξ,.6 Iz tog zraza procee -vog zvoda uce z oače razle uapred -vog reda vd. dobamo sledeću proceu grace apsolute greše terpolace: R α α... α α.7! ma gde e apsoluta vredost aveće po apsoluto vredost oače razle uce, ma reda : ma.7a ma Pošto zateva oače razle reda, graca greše terpolace se može procet, samo ao tabela ma vše od vredost uce, l ao smo roz m čvor gde e m<, provul terpolaco polom stepea m, maeg od u ormulama, zameuemo sa m. Drug Nutov terpolaco polom Ao umesto prvog, ao reeret l start čvor uzmemo posled terpolaco čvor u tabel, dolazmo do bezdmezoe promelve, α.8 oa u startom čvoru ma vredost, a u ostalm egatve celobroe vredost, α,,...,,,,,..., Iterpolaco polom roz čvorove,,,..., doba se u oblu: P α α α! α α α!... α α...[ α ]!.9 o se zove Nutov terpolaco polom sa oačm razlama uazad l drug Nutov terpolaco polom NJIP. Za gracu apsolute greše terpolace se zvod zraz: R α α... α α.! ma 48

11 ma.a ma.4 PRAKTIČNI ASPEKTI INTERPOLACIJE U pras, terpolaco polom se reto provlač roz sve tače,,,,..., u tabel. Umesto toga, bra se sup od m, susede tače u tabel m< roz provlač polom m-tog stepea. Izbor stepea poloma U slučau evdstat terpolaco čvorova, za zbor stepea poloma može da se orst sledeć rterum, o sled z međusobe veze oač razla zvoda poloma. Ao su oače razle m - tog reda prblžo ostate, t. razle reda m prblžo edae ul, zač da se uca poaša prblžo ao polom m - tog stepea, pa se ao stepe terpolacoog poloma bra m. Ao terpolaco čvorov su evdstat, prmeue se aaloga rterum ostat podele razla, če desae prmea su uluče u ova materal. Izbor čvorova terpolace Pošto e odabra stepe m terpolacoog poloma, ao zabrat sup m sused terpolaco čvorova,,..., m? Apsoluta vredost prozvoda, m m m desaog čvorovma terpolace, o gurše u zrazu za grešu terpolace.7, ma mmum u cetru tervala [, m]. Zato, terpolacoe čvorove treba brat tao ta tača u oo račuamo vredost uce pomoću eog terpolacoog poloma bude što blža sred tervala, ]. [ m 49

12 P o 7 Sla. - Ilustraca zbora terpolaco čvorova za vadrat polom Kada su odabra terpolaco čvorov,..., m,, rad ormraa terpolacoog poloma treba pomert dese u ormul za LIP, NJIP l NJIP za. Tao, ao orstmo NJIP, starta tača e, već ormula.5 se mea u: P m gde e, α α α! α α α! α m... α α...[ α m ] m! Formule za ormrae LIP će bt: m m P L, L m m Zadata. Za ucu datu tabelom u Prmeru, procet vredost uce u tač 75, orsteć a NJIP b NJIP c Dsutovat grešu rezultata, ao su sve cre u vredostma uce sgure. Rešee: a Na osovu vredost oač razla u tabel, bramo polom. stepea. 5

13 P α α α α, α P b Korstmo ormulu za NJIP drugog stepea sa startom tačom 4 : P α 4 α 4 α α, α P c Apsoluta greša rezultata e zbr dve greše: greše oa potče od greše u vredostma uce greše terpolace Ao prmemo pratčo pravlo za procevae broa sgur cara u rezultatu složeog proračua poglavle. uzmemo u obzr da se pr račuau oač razla gube sgure cre, možemo da procemo da e rezultat dobe sa sgure cre. Tao e graca apsolute greše, oa potče od grešaa u podacma: A.5 Gracu greše terpolace dobamo z ormule.7: α α α R α ma! A R Vdmo da e ovde dopros greše terpolace A mogo ma od doprosa greše oa potče od grešaa polaz podataa, A, pa se može zaemart. To e rezultat dobre aprosmace uce, oa se u datom tervalu vredost ezavso promelve poaša prblžo ao vadrat polom oače razle. reda prblžo ostate. Na osovu dsuse u pretodom zadatu možemo zvest pratča pravla. Pr terpolac u tabelama sa podacma relatvo male tačost apr. espermetal podac rezultat treba prazat sa oolo zača cara olo mau tabelare vredost uce. Pr tom, ao e bro sgur cara u tabelarm vredostma uce eda s, bro sgur cara u dobeo proce uce e st l za eda ma s-, pod pretpostavom da e oreto zvrše zbor stepea terpolacoog poloma terpolaco čvorova 4 5

14 Utca povećaa stepea IP a grešu terpolace Ao ucu e aprosmra dobro eda IP e uočavamo oače razle, oe su prblžo ostate, postavla se ptae da l greša terpolace opada sa povećaem stepea IP. U zrazu za grešu terpolace.7 prv ator, po apsoluto vredost mootoo raste sa povećaem stepea IP, do e za drug ator, ξ,! ξ uočeo da, za vel bro uca, egova apsoluta vredost prvo opada, a oda poče da raste brooc brže raste po apsoluto vredost od meoca. Tao apsoluta greša terpolace ma mmum za e stepe IP, o e sa gledšta greše terpolace, optmala. Ao, rad mmzace greše terpolace, sa sm startm čvorom, povećavamo stepe IP, Nutov IP mau predost ao su prmelv ad LIP, er se pr prelazu sa NJIP stepea m a polom stepea m račua samo dodat čla reda m, do se za LIP morau poovo račuat sv Lagražov oecet. Ao e starta tača pr vru tabele sa evdstatm vredostma, NJIP ma predost ad NJIP er mamo a raspolagau oače razle uapred vš redova. Ao e starta tača pr du tabele sa evdstatm vredostma, NJIP ma predost ad NJIP er mamo a raspolagau oače razle uazad vš redova. Tabelare vredost, često, aročto ao su dobee espermetalm putem date mau mal bro sgur cara. Zbog toga, za oače razle vso redova, zbog poavlaog zvođea estable operace oduzmaa bls broeva t. gublea zača cara, dobau se potpuo epouzdae l besmslee vredost. Tao se u pratčm problemma ačešće brau terpolaco polom sog stepea, avše trećeg. Zadata. U tabel su date su espermetale vredost vsozteta ηns/m tečog etlacetata u uc temperature C. Procet vsoztet a: a t 8 C, b t 6 C uporedt sa espermetalm vredostma Rešee: a 8, Leara terpolaca, m. Izbor čvorova:, α α

15 t 6 η oače razle Kvadrata terpolaca, m : Izbor čvorova:,, α α α α I I Izbor čvorova:,, 8 6 α.5 4 II 55.9 α α II Kometar: dobee vredost vadratom terpolacom I II se zato međusobo razluu, zbog začaog odstupaa uce od poloma. stepea. zražee varace oač razla.reda Kuba terpolaca, m. Izbor čvorova:,,, α.5 α α α I ! dodat cla Polom 4. stepea, m

16 α.5 4 α α α α ! 5 4 Zapažaa: Nabola procea e dobea vadratom terpolacom, sa zborom terpolaco čvorova:,,. Kuba terpolaca e dala bolu proceu od terpolace polomom 4. stepea b 6. Pošto e starta tača pr du tabele, orstmo NJIP. Kvadrata terpolaca, zbor čvorova: 4,, α 4 α α α Kuba terpolaca, dodat čvor, : 4 α α α! Polom 4. stepea, dodat čvor : 4 α α α α ! Zapažae: Nabolu proceu dala e uba terpolaca. 54

17 Zapaža se brza promea vsozteta sa promeom temperature, sporo opadae vredost zvoda pr povšeu reda zvoda, što može da uaže a ucu blsu espoecalo: b ae Zato ćemo logartmovaem preć a ucu l oa b, ao e zapažae tačo, trebalo da se poaša blso learo: l l a bt 6 t l η Pošto amae varrau oače razle. reda, prmeuemo learu terpolacu: a 8, čvorov, 8 6 α.5 4 α e e b 6, čvorov, α.5 4 α e e Kometar: Jedostavom, learom terpolacom u tabel trasormsa vredost uce dobea e procea prblžo stog valteta ao pr terpolac polomma všeg reda u orgalo tabel..5 PISVAJZ I SPLAJN INTERPOLACIJA 55

18 Kao što smo u pretodom poglavlu zapazl, ucu zadatu tabelom:,,,,..., e pratčo aprosmrat a celom tervalu [, ] edm terepolacom polomom stepea, zuzmauć male tabele. Tao se ameće dea da se terval, ] podel a vše podtervala, o po pravlu e obuvatau vše od 4 [ tače u sladu sa zalučom a rau pretrodog poglavla a svaom od uca aprosmra terpolacom polomom sog stepea. Tava terpolaca, sa razlčtm terpolacom polomma u poedm podtervalma, zove se psvaz pecewse terpolaca. U svao od tačaa oe su zaedče za dva suseda podtervala, dva razlčta ''suseda" terpolacoa poloma mau edae vredost, al prv zvod u to tač e epreda, er ma edu vredost sa leve strae, a drugu sa dese strae te tače. Rezultat e da rva, sastavlea a tervalu, ] od delova razlčt poloma, e [ glata. To e edostata ovave terpolace, aročto ao rezultuuća rva treba da posluž za prblžo zračuavae zvoda date uce. Da b rva sastavlea z odsečaa vše terpolaco poloma, dobe psvaz terpolacom bla glata, eopodo e dodat uslov otuteta prvog zvoda, a požela b bla epredost vš zvoda, aročto u problemma procevaa vš zvoda tabelom zadate uce. Tava terpolaca, od oe rva dobea psvaz terpolacom a tervalu, ] ma eprede zvode do eog reda amae prvog zove se spla [ sple terpolaca. Fuca sastavlea z terpolaco poloma stog stepea m, za poede podtervale tervala, ], oa zadovolava uslov otuteta zvoda do [ eog reda, zove se spla stepea m. Ao e m, u ptau e ub spla. Kub spla U slučau ubog splaa, roz svaa dva suseda terpolacoa čvora od uupo čvorova a tervalu, ], provlač se polom. stepea. Da b se spla desao, [ eopodo e dale odredt uupo 4 oeceata, za uupo ub terpolaco poloma a tervalu, ]. Uslov za određvae t oeceata su : [ Uslov:. U svaom od - uutraš čvorova,,,...,, dva "suseda" poloma mau vredost edau vredost uce:. U svaom od - uutraš čvorova, prv drug zvod "sused" poloma mau edae vredost. Uupa bro:. Spla prolaz roz prv posled čvor:, - - Uupo uslova: 4- Nedostae oš uslova to su uslov a gracama tervala, ]. U lteratur se sreću [ razlčt grač uslov, oma se postže da spla ma određee osobe a gracama. U 56

19 Matcad-u postoe tr uce: lsple, psple csple, oe geeršu ub spla za datu tabelu pr čemu se spla dobe, lsple ucom poaša learo, psple ucom poaša ao vadrat polom, csple ucom poaša ao ub polom a gracama tervala, odoso estrapolše se learo, vadrato l ubo, zva tervala, ]. [.6 INVERZNA INTERPOLACIJA Zadata: Na osovu tabele vredost uce,, argumeta, za ou uca doba zadatu vredost,., procet vredost,..., Kao što zamo z matematče aalze, zadata terpolace e edozačo rešv samo ao e uca u eom tervalu oo tače, mootoa u tom tervalu ma verzu ucu. Ta terval mora bt dovolo vel da sadrž bar dva terpolacoa čvora eopoda za agrublu aprosmacu uce, terpolacom polomom. stepea. Pretpostavmo da e uca mootoa a celom tervalu, ]. [ Iverza terpolaca pomoću LIP aprosmramo LIP - om, odabraog stepea m, pr čemu se terpolaco čvorov,,..., m brau tao da zadata vredost lež što blže sred zmeđu prvog posledeg čvora. Drugm rečma, promelve meau uloge vršmo terpolacu u tabel,,,..., : Iverzu ucu m P L, Zadata.4 Procet ulu tabelaro zadate uce, m m m L

20 Rešee: Iverzu ucu ćemo da aprosmramo ubm polomom. Pošto ula lež zmeđu, ao terpolacoe čvorove bramo:,,, L L.58, 4 L.4769 L.774, L Iverza terpolaca pomoću NJIP Ao su vredost u tabel evdstate, ucu zameuemo terpolacom polomom odabraog stepea m, o prolaz roz čvorove,,..., m, odabrae tao da zadata vredost uce lež u blz cetra tervala [, m]. Tao, rešavamo edaču m α α α.. α α...[ α m ].! m! po α, a oda z dobee vredost α dobamo tražeu vredost ao: α.a Problem, za stepee poloma veće od, zateva teratvo rešavae eleare edače. eom od metoda oe su zložee u poglavlu 7. ZADACI. Nać polom o prolaz roz tače,-5,,,5. Rešee: P 4 5. Tače vredost uce date su u tabel: a Formrat tabelu oač razla uapred. b Korsteć ormrau tabelu, ać,, c Šta se a osovu oač razla može zalučt o uc? d Formrat NJIP. stepea za terpolacu u tabel procet.5. e Kola e greša dobee procee? 58

21 Procet ulu uce orsteć LIP.,.,. 4. stepea uporedt rezultate sa vredošću ule:.89 u oo su sve cre sgure. Rešee: a b 6,, 6 c Fuca e polom stepea d P 7 5, P e R.8,.848,.8488,.848. Korsteć LIP. stepea, procet vredost uce date tabelom: u tačama:,4,5,8,9, Rešee: 4.8,.9,.8, 5., 6.8, Data e tabela c p J/gK vredost acetlea, a ormalom prtsu, u uc temperature TK: TK c p J/gK a Odabrat stepe tepolacoog poloma za terpolacu u dato tabel. b Procet c p a temperaturama 5 58K, pomoću NJIP odabraog stepea, ao greše terpolace. c Na osovu procee grešaa terpolace tačost polaz podataa, procet uupu grešu odabrat bro decmala u prazu rezultata. Rešee: a oače razle drugog reda malo varrau b.98,.69 5 c AC,podac.5, A C,terp.., Atot <, tr decmale p p.5 Dat su apo pare pbar etaa a razlčtm temperaturama TK: T p a Odabrat stepe tepolacoog poloma za terpolacu u dato tabel. 59

22 b Procet apo pare a temperaturama 5K 6K, pomoću NJIP odabraog stepea, ao greše terpolace. c Na osovu procee grešaa terpolace tačost polaz podataa, procet uupu grešu odabrat bro decmala u prazu rezultata odabrat bro decmala u prazu rezultata. Rešee: a oače razle trećeg reda malo varrau b.7, R.8-4, 8.5, R c A p, podac.5, Ap,terp..8, Atot <, tr decmale.6 Date su espermetalo određee ostate brze reace dobaa metletletra z aloola: t C lt mol s a Odabrat stepe terpolacoog poloma pomoću oga dobamo vredost za temperature u tervalu, C, oe su sadržae u tabel. b Imauć u vd teorsu relacu Areusov zao, e E RT gde e T - apsoluta temperatura K predložt trasormacu promelv t u ove promelve, oa omogućue oršćee leare terpolace u ovo tabel umesto terpolace polomom všeg stepea u orgalo tabel. c Procet vredost za temperature t, C terpolacom u orgalo tabel a tabel trasormsa vredost b uporedt procee. Rešee: a 4 b, l t 7 c Orgala tabela 9.4, Trasormsaa tabela 9., Dat su apo para p -eptaa, a temperaturama spod temperature lučaa. Sve date cre u vredostma apoa pare su sgure u šrem smslu. t C: pmmhg: a Odabrat stepe terpolacoog poloma za terpolacu u dato tabel. b Procet apo pare eptaa a temperaturama 4 C 8 C, pomoću NJIP odabraog stepea, ao greše terpolace. Na osovu procee grešaa terpolace tačost polaz podataa, procet grešu procea odabrat bro decmala u prazu rezultata. c Imauć u vdu da u oblast ž temperatura prblžo važ sledeća teorsa relaca Klauzusova edača: l p A B T gde e T - apsoluta temperatura K. 6

23 trasormsat a pogoda ač orgale podate, tao da se u ovo tabel može sa dovolom pouzdaošću orstt leara terpolaca. Learom terpolacom u ovo tabel procet apoe para eptaa a 4 C 8 C. d Procet apoe para a 4 C 8 C vadratom terpolacom u tabel trasormsa vredost, ormrao u c. e Uzmauć u obzr espermetale vredost apoa pare eptaa ste tačost, ao oe u tabel: 4 C 9.5 mmhg, p 8 C 47. mmhg p 78 uporedt dsutovat rezultate dobee u b, c d. Rešee: a b 9., R., 48., R.5 c, l, 9., 47. t 7 d 9.5, Dat s vsoztet, η Pa s lorobezola a razlčtm temperaturama, zmere sa gracom relatve greše R η.% : t C : η 4 Pa s: a Odabrat stepe terpolacoog poloma pomoću ega procet vsoztet lorbezola a temperatur 7 C gracu apsolute grese terpolace. b Procet traže vsoztet learom terpolacom u tabel t- lη c Poazat da se ao graca relatve greše R* u vredost vsozteta, dobeo pomoću leare terpolace u tabel t - lη, oa potče od grešaa u vredostma vsozteta može uzet: t t R t R t temperatura za ou se vrš terpolaca η t ža od dve temperature u tabel, zmeđu o lež temperatura t t ora vredost temperatura u tabel Pretpostavt pr tom da su vredost temperatura potpuo tače. d Procet uupu grešu u vredost vsozteta dobeo u b odredt grace u oma lež tača vredost. Rešee: a, 4.6-4, R < -6 b c A η, podac., Aη,terp d A <, 4.6 < η < 4. 6 tot.9 Dat e deo rezultata merea ocetrace pecla u šaržom reatoru u tou vremea, o poazue da ocetraca pecla ao uca vremea, c t ma masmum: 6

24 t, c, edca/mol Potrebo e procet vreme za oe ocetraca pecla dostže masmum, ao vredost masmale ocetrace, aprosmrauć ucu ct terpolacom polomom trećeg stepea. Rešee: 5,. Tražee vredost uce u zadatu. procet pomoću ubog splaa, orsteć Matcad uce lsple, psple csple uporedt rezultate. 6