AKSIOMATIKA TEORIJE VEROVATNOĆE

Transcript

1 AKSIOMATIKA TEORIJE VEROVATNOĆE E

2 Aksomatka teorje verovatoće Polaz se od osovh stavova, tzv. aksoma, a osovu kojh se sve ostale osobe mogu dokazat. Za posmatra prostor el. shoda aksomatzacja daje odgovore a ptaja: Koje podskupove prostora el. shoda možemo posmatrat? Kako račuat verovatoće pojavljvaja događaja pr jedom zvođeju ekspermeta? Sstem aksoma je dao A. N. Kolmogorov 933. gode. Treba uvest strukturu a PEI da bsmo formulsal formule 2

3 Polje događaja Defcja 9. Neka je F famlja (skup) događaja z Ω sa osobama: A Sgura događaj Ω prpada famlj F. A2 Ako ek dog. A prpada famlj F, oda Ā prpada fam. F. A3 Ako su A B blo koja dva događaja aja koj prpadaju F,, tada jhova uja prpada F. Takva famlja događaja F je polje l algebra događaja. Kada se osoba A3 zame osobom: A3 Ako je A, A 2,..., A blo koj koača l prebrojv z događaja koj prpadaju F, tada jhova uja prpada F. Takva famlja događaja F je σ-polje l σ- algebra dog. 3

4 Polje l σ-polje događaja Može sadržat koačo l beskoačo mogo događaja Ako je skup el. shoda koača skup, tada je svaka famlja događaja z Ω koača famlja. Svako σ-polje događaja je polje događaja, a obruto e važ. Nad stm prostorom el. shoda možemo posmatrat vše razlčth polja događaja. Presek dva polja (σ-polja) dog. je polje (σ-polje) dog. Uja dva polja (σ-polja) dog. e mora bt polje (σ-polje) događaja. 4

5 F parttv skup Ako je F parttv skup (skup svh podskupova) skupa Ω, tada za svak dog. A koj prpada F svak dog. B za koj važ B A, sled da B prpada F. Ako je Ω koača skup koj sadrž elemetarh shoda, a polje F je parttva skup skupa Ω, tada polje F ma 2 elemeata. Ω {, 2, 3, 4} PEI pr bacaju umersae kocke P(Ω){Ø, {},, {4}, {,2},, {3,4},,, {2,3,4}, Ω} Broj elemeata od P je

6 Prmer 4. Polja događaja Ako je Ω prozvolja prostor el. shoda A Ω, tada je F {Ω, Ø, A, Ā} polje događaja. I F 2 {Ω, Ø } je polje (tzv. trvjalo polje) događaja. Posmatrajmo prostor el. shoda z Prmera u tom prostoru el. shoda dog. A: zbr je para broj, B: zbr je deljv sa 6. Odredt ajmaje polje događaja koje sadrž dog. A B. Jedo od mogućh razlagaja PEI a potpu sstem događaja je: B, A\B Ā. O će prpadat polju koje treba formrat. Formramo F 3 a osovu Def. 9. Prema A2, B prpada polju. Takođe, A \ B će prpadat polju. I emoguć dog. prpada polju: F 3 {Ω 2, Ø, A, Ā, B, B, A\B, A \ B} 6

7 Teorema 2 Ako su A B događaj koj prpadaju polju (l σ-polju) događaja F, tada događaj A B A\B prpadaju polju (l σ-polju) F. Dokaz. Na osovu A2 je Ā F B F. Tada je, a osovu A3 Ā B F, pa je a osovu A2 događaj C A B F Po De Morgaovm obrascma je CA B, pa je dokaz završe. Tvrđeje teor. 2: Polje (σ-polje) događaja je zatvoreo u odosu a presek u odosu a razlku događaja. 7

8 Mmalo polje geersao kolekcjom C Često se polje (σ-polje) određuje polazeć od eke kolekcje C podskupova Ω. Za svaku kolekcju C postoje σ-polja koja je sadrže (pr. parttv skup je jedo takvo σ-polje). Presek svh polja (σ-polja) koja sadrže C je polje (σpolje) koje se azva mmalo polje (σ-polje) geersao kolekcjom C, ozačava sa σ(c). 8

9 Borelovo σ-polje a R Ako umesto Ω uzmemo skup realh brojeva R kolekcju C koju če terval oblka (-,a), a R, tada se odgovarajuće mmalo σ-polje geersao kolekcjom C azva Borelovo σ-polje a R, ozačava sa B. Njegov elemet su Borelov skupov. Uređe par (R,B) je Borelova prava. Kolekcje C{(-,a], a R} C{(a, b], a <b; a, b R} geeršu Borelovo σ-polje B. Borelov skupov polja se prmejuju pr defsaju slučajh promeljvh. 9

10 Defcja verovatoće Verovatoće događaja se defšu samo za događaje koj prpadaju ekom polju (l σ-polju) događaja. Defcja 0. Neka reala fukcja P defsaa a σ- polju F događaja z Ω ma osobe: eegatvost B Za svak događaj A koj prpada F važ P(A) 0. B2 Za sgura događaj Ω važ P(Ω). ormraost B3 Za svak z (koača l prebrojv) događaja koj prpadaju F koj su međusobo dsjukt u parovma važ: probabltas P UA j P(A j ) j j Tada je fukcja P verovatoća a σ-polju F. Preslkavaje skupa događaja F [0,] adtvost verovatoće 0

11 Aksome teorje verovatoće A, A2, A3, B, B2, B3. Prostor verovatoća je uređea trojka (Ω, F, P). Aksomama B, B2, B3 verovatoća je jedozačo određea. Prmer: Neka je a elemetma polja F {Ω, Ø, A, Ā} defsaa fukcja P: P(A)p, P(Ā)- p, P(Ω), P(Ø)0. Tada je P verovatoća u smslu aksomatke. Kako p može bt blo koj broj z tervala (0,), sled da verovatoća a polju F je jedozačo određea.

12 Osobe verovatoće - Teorema 3. mootoost verovatoće Ako je A B, tada je P(A) P(B). 2 Ako je P(A) verovatoća dog. A, tada je P(Ā)-P(A). Verovatoća emogućeg događaja je P(Φ)0. 3 Ako su A B dva događaja, tada je P(A B)P(A)+P(B)-P(AB) 4 Ako je A, A 2,... koača l prebrojv z događaja, tada je P UA j P(A j ) j j Bulova ejedakost 5 Ako događaj A, A 2,..., A če mootoo eopadajuć z događaja, tada je P A U j lm P(A) j eprekdost verovatoće 2

13 Dokaz Teoreme 3 Iz A B sled BA+(ĀB), pa je P(B)P(A)+P(ĀB). Zbog B je P(ĀB) 0, pa sled tvrđeje. 2 Imamo da je A+ĀΩ, pa je P(A+Ā)P(Ω). Na osovu B2 B3 sled P(A)+P(Ā), što je trebalo dokazat. Ako je AΦ, dobjamo P(Φ)0. 3 A B A+(B Ā) B (B A)+(B Ā). Na osovu B3 zaključujemo: P(A B) P(A)+P(B Ā), kao P(B) P(B A)+P(B Ā), odakle sled tvrđeje. 4 Dokazujemo dukcjom a osovu tvrđeja 3. 5 Neka je A j, j N mootoo eopadajuć z događaja, A A 2... A j... (A A 2 zač A A 2 l A A 2 ) 3

14 Dokaz Teoreme 3, stav 5 Defšmo z događaja B j, j N a sledeć ač: A A A A B U A B > Događaj B su međusobo dsjukt važ: stoga je: U U B A U U B A P P P P ) (B lm ) (B U A U B ) (A lm A lm B lm P P P U U 4

15 KLASIČNA DEFINICIJA VEROVATNOĆE E 5

16 Klasča defcja verovatoće Prethodla aksomatskom zasvaju teorje verovatoće. Odos se a prostor elemetarh shoda Ω koj je koača skup, pr čemu su verovatoće pojavljvaja svh elemetarh shoda ste. Neka je Ω{ω,,ω }. El. shodu ω j prdružmo broj p j >0, j,2,..., tako da je p + p p p j je verovatoća el. shoda ω j, j,2,...,. 6

17 Verovatoća u koačoj šem Događaj A koj sadrž k el. shoda: A{ω j,,ω jk }. Verovatoću dog. A defšemo kao zbr verovatoća el. shoda koj prpadaju dog. A P(A) p j p jk Verovatoća a u koačoj oj šem. 7

18 Klasča defcja verovatoće Ako svakom el. shodu ω j prdružmo stu verovatoću p j j,2, K, ako dog. A sadrž k el. događaja, tada je jegova verov. P(A) k Klasča defcja verovatoće k broj el. shoda z A, je broj el. shoda z Ω. Verovatoća događaja je kolčk broja povoljh shoda za posamtra događaj broja svh mogućh shoda u ekspermetu. Laplas (82. god.) 8

19 Prmer klasče def. verovatoće Bacaju se dve kockce, jeda bela, druga plava. Odredt verovatoću da se dobje zbr 9. Povolj: 9 3(b)+6(p), 4(b)+5(p), 5(b)+4(p), 6(b)+3(p) Moguć: (b)+(p),, 6(b)+(p) (b)+6(p),, 6(b)+6(p) P(zbr 9)4/36/9 9

20 Osobe verovatoće Na osovu klasče defcje verovatoće se može dokazat da je: () P(Ā)-P(A) (2) P(Φ)0 (3) P(Ω) (4) 0 P(A) (5) Iz A B sled P(A) P(B) (6) Za dsjukte dog. A B važ P(A+B)P(A)+P(B) (7) Za uje dva događaja u opštem slučaju važ P(A B)P(A)+P(B)-P(AB) Iz P(A)k/, k-broj povoljh shoda, 0 k, sled (4) 20

21 Prmer Ekspermet: bacaje ovčća, belež se straa a koju je ovčć pao. Prostor el. shoda je dvočla, a verovatoća svakog el. shoda je ½. Ekspermet: braje jede karte z špla od 52 karte. Belež se boja ekspermeta: crvea l cra. Prostor el. shoda je dvočla, a verovatoća svakog el. shoda je ½. Struktura ekspermeta. Permutacje sa bez poavljaja, varjacje sa bez poavljaja, kombacje sa bez poavljaja. 2

22 Kombatorka KOMBINACIJE: Iz skupa od člaova treba zračuat kolko ma podskupova velče k (k ) ( )...( k + )! k k! k!( k)! VARIJACIJE: Iz skupa od člaova kolko razlčth zova duže k možemo apravt da svak elemet može da se poov prozvolja broj puta sa poavljajem k k N Kolko razlčth zova duže k možemo apravt da se svak elemet jav jeda put bez poavljaja! (k ) ( )...( k + ) ( k)! PERMUTACIJE! 22