ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΥΡΒΩ ΟΥΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΗΣ ΕΣΜΗΣ ΕΚΡΟΗΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ & ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ & ΑΕΡΟΝΑΥΤΙΚΗΣ ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΥΡΒΩ ΟΥΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΗΣ ΕΣΜΗΣ ΕΚΡΟΗΣ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ALEKSANDER F. CAVO (ΑΛΕΞΑΝ ΡΟΣ Φ. ΤΣΑΒΟΣ) ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ ΠΑΤΡΑ ΙΟΥΛΙΟΣ 008 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

2

3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ & ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ & ΑΕΡΟΝΑΥΤΙΚΗΣ ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΥΡΒΩ ΟΥΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΗΣ ΕΣΜΗΣ ΕΚΡΟΗΣ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ALEKSANDER F. CAVO (ΑΛΕΞΑΝ ΡΟΣ Φ. ΤΣΑΒΟΣ) ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ ΠΑΤΡΑ ΙΟΥΛΙΟΣ 008 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

4

5 Τριµελής συµβουλευτική ε ιτρο ή Θρασύβουλος Πανίδης, Επίκουρος Καθηγητής του Τµήµατος, Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών του Πανεπιστηµίου Πατρών, επιβλέπων Παναγιώτης Κούτµος, Αναπληρωτής Καθηγητής του Τµήµατος, Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών του Πανεπιστηµίου Πατρών Κωνσταντίνος Περράκης, Λέκτορας του Τµήµατος, Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών του Πανεπιστηµίου Πατρών Εισηγητής Θέµατος Αρχικός ε ιβλέ ων ηµοσθένης. Παπαηλιού, Οµότιµος Καθηγητής του Τµήµατος, Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών του Πανεπιστηµίου Πατρών Ε ταµελής εξεταστική ε ιτρο ή Ιωάννης Αικατερινάρης, Καθηγητής του Τµήµατος, Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών του Πανεπιστηµίου Πατρών ηµοσθένης Γεωργίου, Αναπληρωτής Καθηγητής του Τµήµατος, Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών του Πανεπιστηµίου Πατρών Ιωάννης Καλλιντέρης, Καθηγητής του Τµήµατος, Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών του Πανεπιστηµίου Πατρών Παναγιώτης Κούτµος, Αναπληρωτής Καθηγητής του Τµήµατος, Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών του Πανεπιστηµίου Πατρών Κωνσταντίνος Μαθιουδάκης, Καθηγητής της Σχολής Μηχανολόγων Μηχανικών του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου Θρασύβουλος Πανίδης, Επίκουρος Καθηγητής του Τµήµατος, Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών του Πανεπιστηµίου Πατρών Κωνσταντίνος Περράκης, Λέκτορας του Τµήµατος, Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών του Πανεπιστηµίου Πατρών ΠΑΤΡΑ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 008 Η έγκριση της διδακτορικής διατριβής από το Τµήµα Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών του Πανεπιστηµίου Πατρών δεν υποδηλοί αποδοχή των γνωµών του συγγραφέα (Ν. 5343/3, αρθρ. 0 () και Ν. 168/8, αρθρ. 50 (8).

6

7 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Θα ήθελα στο σηµείο αυτό να αναφερθώ στο δάσκαλο και επιβλέποντα καθηγητή της παρούσας διατριβής, αείµνηστο Καθηγητή ηµοσθένη Παπαηλίου για την αµέριστη βοήθεια, καθοδήγηση και τις πολυτιµότατες συµβουλές του για το µεγαλύτερο διάστηµα που διήρκησε αυτή η προσπάθεια. Η συνεργασία µας µε δίδαξε πάρα πολλά και θα µου µείνει αξέχαστη. Επίσης ένα µεγάλο ευχαριστώ στον Επίκουρο Καθηγητή κ. Θράσο Πανίδη, για την πολύπλευρη και πολύτιµη βοήθεια του σε κρίσιµες περιόδους, όπως και για τις ατέλειωτες επιστηµονικές συζητήσεις µας και για τις εύστοχες συµβουλές που µου έδωσε στο τελευταίο διάστηµα της διατριβής µου ως επιβλέπον καθηγητής. Ειλικρινείς ευχαριστίες στο συνάδελφο, ρ. Μηχανικό, Γιώργο Λεµονή, για την βοήθεια του στην εκµάθηση και κατανόηση των µετρητικών συστηµάτων που χρησιµοποίησα και τις συµβουλές και την γνώµη του που κατά καιρούς µου έδωσε. Ευχαριστώ τον Λέκτορα, κ. Κώστα Περράκη, για τις πολύτιµες συµβουλές και τις τεχνικές του οδηγίες. Ευχαριστώ τον Αναπληρωτή Καθηγητή, κ. Παναγιώτη Κούτµο, για την προθυµία που έδειξε όποτε ζήτησα την επιστηµονική του γνώµη και βοήθεια. Επίσης ευχαριστώ τους συναδέλφους µου, υποψήφιους διδάκτορες, Ανδρέα Βούρο, Αλέξανδρο Ροµέο, ηµήτρη Χαλασοχώρη, Αθανάσιο Γιανναδάκη και Γιάννη Σκούρα για την πολύπλευρη βοήθεια που µου προσέφεραν, οποτεδήποτε τη χρειάστηκα. Ακόµα θα ήταν παράλειψη να µην ευχαριστήσω των Επίκουρο Καθηγητή Γιάννη Καλογήρου και ρ. Μηχανικό Ανδρέα Μπακρόζη για την βοήθεια και τις συµβουλές τους στο ξεκίνηµα αυτής της προσπάθειας. Τέλος ένα µεγάλο ευχαριστώ στο Ίδρυµα Κρατικών Υποτροφιών (Ι.Κ.Υ) για την οικονοµική υποστήριξη, αλλά και την εµπιστοσύνη που έδειξε στο πρόσωπο µου. Όµως πάνω από όλα αισθάνοµαι την ανάγκη να τονίσω ότι χωρίς τη βοήθεια, την συµπαράσταση, την κατανόηση και την υποµονή των γονέων µου, αλλά και της µέλλουσας συζύγου µου, Ελεάνας, θα ήταν αδύνατη η ολοκλήρωση αυτή της ερευνητικής δουλειάς και επειδή ένα ευχαριστώ φαντάζει πολύ λίγο, τους αφιερώνω την παρούσα ιδακτορική ιατριβή. I

8 II

9 ABSTRACT In the present work the three-dimensional velocity and vorticity vector fields in the near field of the rectangular turbulent jet with aspect ratio 6 have been experimentally investigated. Turbulent rectangular jets are prototypical free shear flows of practical interest in propulsion, combustion and environmental flows. The presented data, consisting of distributions of mean and statistical characteristics of the components of the two fields at several locations within the jet s near field region, were obtained by using an in-house constructed 1-sensor hot wire probe consisting of three closely separated orthogonal 4-hot wire velocity arrays. The probe measures the three components of velocity simultaneously at three closely spaced locations. Spatial velocity derivatives are estimated using a forward difference scheme of first order accuracy. Streamwise velocity derivatives are estimated using Taylor s frozen turbulence hypothesis. The 1-sensor construction and measurement technique relies upon previous work of Lemonis & Dracos (1995) and Lemonis (1995) and has been further improved and refined at the Laboratory of Applied Thermodynamics of the University of Patras. Measurements have been conducted in a jet with Reynolds number Re D = 1000 at nozzle distances, x/d =1, 3, 6 and 11, where D is the width of the nozzle. The performance of the 1-sensor probe is investigated in comparison with X-sensor probe measurements. Results referring to measurements of velocity with both sensors are in good agreement, except in locations where the steep velocity gradients and the three dimensionality of the velocity field undermine X-wire probe measurements. The statistical properties of the velocity-vorticity fields based on measurements with the 1-sensor probe are presented in comparison with several experimental and direct numerical simulation data of other researchers. Distributions of fluctuating velocity vorticity fields show that in the potential core region the values are low on the centerline of the jet and quite high in the shear layers. Downstream the velocity-vorticity fluctuations spread from the shear layer towards the centre and the edge of the jet leading to merging of the two mixing layers. The results also confirm the high levels of dissipation rate in the shear layers. The turbulent energy balance shows important differences to that in plane jets. The budget of the transport equation for fluctuating enstrophy at x/d=11 indicates that the rotation and stretching by the fluctuating strain rate is balanced by the viscous dissipation of vorticity. The anisotropies in the near field of the turbulent rectangular jet are illustrated and discussed in detail. III

10 The structure development of a rectangular turbulent jet in the near field region has been also investigated experimentally using PIV. The results obtained with PIV measurements offer the advantages of flow visualization along with the possibility of better understanding the flow phenomena, in particular, how the formation, interaction and merging of vortices contribute to the development of the rectangular jet. The results of spectra distributions indicate that the most amplified frequency after the end of the potential core give rise to a Strouhal Number St=f y c /U 0 0,11. In the regions of turbulent shear layers at x/d=3, 6, 11 the pdf s of the relative helicity density h have shapes showing a preferred tendency for the total velocity and vorticity vectors to be aligned. On the other hand, in the regions of turbulent shear layers at x/d=1 where the total vorticity vector is more nearly orthogonal to the mean flow, the pdf s show the opposite shape, as would be expected. Comparison and integration of the obtained information with the existing body of experimental evidence on turbulent rectangular jets is expected to enhance knowledge on the turbulence structure in free shear flows. IV

11 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα εργασία παρουσιάζονται πειραµατικά αποτελέσµατα των τρισδιάστατων διανυσµάτων των τυρβωδών πεδίων ταχύτητας και στροβιλότητας στην εγγύς περιοχή της τυρβώδους ορθογωνικής δέσµης µε λόγο σύγκλισης 6. Οι τυρβώδεις ορθογωνικές ελεύθερες δέσµες έχουν πρακτικό ενδιαφέρον για την καύση, την πρόωση και τις περιβαλλοντικές ροές. Για την µέτρηση των µέσων και στατιστικών χαρακτηριστικών των συνιστωσών των δυο πεδίων σε διαφορετικές θέσεις στην εγγύς περιοχή της δέσµης χρησιµοποιήθηκε κεφαλή 1-αισθητήρων θερµού νήµατος αποτελούµενη από τρεις κεφαλές 4-αισθητήρων. Η κεφαλή 1-αισθητήρων µετράει ταυτόχρονα τις τρεις συνιστώσες της ταχύτητας σε τρεις διαφορετικές θέσεις και επιτρέπει τον υπολογισµό των χωρικών παραγώγων του ανύσµατος της ταχύτητας µε την µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών µε ακρίβεια πρώτης τάξεως. Η κατασκευή της κεφαλής 1-αισθητήρων και η τεχνική µέτρηση βασίζεται στην εργασία των Lemonis & Drakos (1995) και Lemonis (1995) και έχει περαιτέρω βελτιωθεί στο Εργαστήριο Τεχνικής Θερµοδυναµικής του Πανεπιστηµίου Πατρών. Οι µετρήσεις διεξήχθησαν σε αριθµό Reynolds, Re D = 1000 σε αποστάσεις κατά µήκος της ροής ίσες προς x/d =1, 3, 6 και 11, όπου D είναι το πλάτος του ακροφυσίου. Η αξιοπιστία της κεφαλής 1-αισθητήρων εκτιµήθηκε σε σύγκριση µε τα αποτελέσµατα της κεφαλής αισθητήρων X. Τα αποτελέσµατα από τις µετρήσεις του πεδίου ταχύτητας και µε τις δύο κεφαλές είναι σε καλή συµφωνία, εκτός από τις θέσεις όπου οι µεγάλες χωρικές κλίσεις της ταχύτητας και η τρισδιαστατότητα του πεδίου ταχύτητας υπονοµεύουν τις µετρήσεις µε την κεφαλή αισθητήρων Χ. Οι στατιστικές ιδιότητες των πεδίων της ταχύτητας και στροβιλότητας που υπολογίστηκαν από τις µετρήσεις µε την κεφαλή 1-αισθητήρων εκτιµιούνται σε σύγκριση µε πειραµατικά και υπολογιστικά αποτελέσµατα άλλων ερευνητών. Οι κατανοµές των κυµαινόµενων πεδίων της ταχύτητας και στροβιλότητας δείχνουν ότι στην περιοχή του πυρήνα δυναµικού οι τιµές είναι αρκετά χαµηλές στον κεντρικό άξονα της δέσµης και αρκετά υψηλές στα διατµητικά στρώµατα. Κατάντι της ροής οι διακυµάνσεις της ταχύτητας και στροβιλότητας µεταφέρονται από τα διατµητικά στρώµατα προς το κέντρο και τις άκρες της δέσµης και οδηγούν στη συγχώνευση των διατµητικών στρωµάτων. Τα αποτελέσµατα επιβεβαιώνουν επίσης τα υψηλά επίπεδα του ρυθµού εκφυλισµού (dissipation rate) στα διατµητικά στρώµατα. Το ισοζύγιο της τυρβώδους ενέργειας παρουσιάζει σηµαντικές V

12 διαφορές µε το αντίστοιχο της επίπεδης δέσµης. Η σύγκριση των όρων της εξίσωσης της µέσης τετραγωνικής διακύµανσης της στροβιλότητας στη θέση x/d=11 δείχνει ότι η περιστροφή και η διάταση λόγω των διακυµάνσεων του ρυθµού παραµόρφωσης (strain rate) εξισορροπείται από τον ιξώδη εκφυλισµό της στροβιλότητας. Οι ανισοτροπίες στην εγγύς περιοχή της τυρβώδους ορθογωνικής δέσµης ερευνώνται και συζητούνται λεπτοµερώς. Για την ερευνά της δοµικής εξέλιξης της τυρβώδης ορθγωνικής δέσµης στην εγγύς περιοχή χρησιµοποιήθηκε επίσης και η µέθοδος PIV. Οι µετρήσεις µε την µέθοδο PIV προσφέρουν το πλεονέκτηµα της απεικόνισης της ροής µαζί µε τη δυνατότητα καλύτερης κατανόησης των φαινόµενων της ροής, και ειδικότερα, πώς η δηµιουργία, η αλληλεπίδραση και η συγχώνευση των στροβίλων συµβάλλουν στην ανάπτυξη της ορθογωνικής δέσµης. Τα αποτελέσµατα των κατανοµών φασµάτων ισχύος δείχνουν ότι µετά το τέλος του πυρήνα δυναµικού η ενισχυµένη συχνότητα αντιστοιχεί σε αριθµό Strouhal St=f y c /U 0 0,11. Οι κατανοµές της πυκνότητας ελικότητας στις περιοχές των διατµητικών στρωµάτων για x/d=3, 6, 11 δείχνουν µια τάση των ολικών διανυσµάτων της ταχύτητας και στροβιλότητας να ευθυγραµµιστούν. Από την άλλη, στις περιοχές των διατµητικών στρωµάτων για x/d=1 όπου το ολικό διάνυσµα της ταχύτητας είναι περίπου κάθετο προς την µέση ροή οι κατανοµές παρουσιάζουν αντίθετη µορφή, όπως θα αναµενόταν. Η συλλογή πληροφοριών στην παρούσα έρευνα και η σύγκριση µε τα ήδη υπάρχοντα στην βιβλιογραφία πειραµατικά αποτελέσµατα για τις τυρβώδες δέσµες αναµένεται να διευρύνουν περαιτέρω τη γνώση σχετικά µε τη δοµή των ελεύθερων διατµητικών ροών. VI

13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ABSTRACT ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ Σελίδες Ι ΙΙΙ V VII XI ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Εισαγωγή ιατύπωση του Σκοπού της Εργασίας 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΣΜΕΣ ΕΚΡΟΗΣ-ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 7.1 Ελεύθερες Τυρβώδεις ιατµητικές Ροές Γενικά για τις ελεύθερες τυρβώδεις διατµητικές ροές 7.1. Βασικές έννοιες για τις ελεύθερες τυρβώδες δέσµες Ορθογωνική δέσµη αέρα σε ακίνητο περιβάλλον Βασικές εξισώσεις 11. Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας για την εγγύς περιοχή ανάπτυξης µιας ελεύθερης τυρβώδους ορθογωνικής και επίπεδης δέσµης 15.. Ανασκόπηση προηγούµενων εργασιών ως προς την µέτρηση του διανύσµατος της στροβιλότητας 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 5 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΑΞΗ Περιγραφή της υπό µελέτης συσκευής Ακροφύσιο Εξόδου Θάλαµος καθησυχασµού ιαχύτης Ανεµιστήρας Κινητήρας 8 VII

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 30 ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΑΙ ΛΗΨΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ Ανεµοµετρία θερµού νήµατος Βασικές αρχές της ανεµοµετρίας θερµού νήµατος Κεφαλή 1-αισθητήρων για µετρήσεις µε τη µέθοδο της ανεµοµετρίας θερµού νήµατος Υπολογισµός Στροβιλότητας Αξιολόγηση-εκτίµηση των µετρήσεων µε χρήση κεφαλής πολλαπλών αισθητήρων και καθορισµός ταχυτήτων σε τρεις διευθύνσεις Ιδιότητες βαθµονόµησης αισθητήρων τύπου θερµού νήµατος Λήψη δεδοµένων και επεξεργασία Η κεφαλή αισθητήρων Χ Λήψη δεδοµένων και επεξεργασία Ανάλυση σήµατος του ανεµοµέτρου Ανάλυση πειραµατικών σφαλµάτων για τις µετρήσεις που πραγµατοποιήθηκαν µε την κεφαλή αισθητήρων Χ 49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 5 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ Εισαγωγή 5 5. Ανάλυση του µέσου πεδίου ταχύτητας Ανάλυση του τυρβώδους πεδίου ταχύτητας Ανάλυση της τυρβώδης κινητικής ενέργειας 80 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 85 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΣΤΡΟΒΙΛΟΤΗΤΑΣ Εισαγωγή Το µέσο πεδίο στροβιλότητας Το τυρβώδες πεδίο της στροβιλότητας Η διάταση των στροβίλων (vortex stretching) Η εξίσωση της µέσης τετραγωνικής διακύµανσης της στροβιλότητας 99 VIII

15 6.6 Η ανισοτροπία της τυρβώδους ορθογωνικής δέσµης στην εγγύς περιοχή 103 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟ Ο PIV, ΦΑΣΜΑΤΑ ΙΣΧΥΟΣ ΚΑΙ ΕΛΙΚΟΤΗΤΑ Αποτελέσµατα µε την µέθοδο ταχυµετρίας απεικόνισης σωµατιδίων (PIV) Εισαγωγή Ταχυµετρία απεικόνισης σωµατιδίων (P.I.V) Λήψη δεδοµένων και επεξεργασία Βασικές αρχές της ταχυµετρίας απεικόνισης σωµατιδίων (P.I.V) Σύγκριση µετρήσεων µε τις µεθόδους ταχυµετρίας απεικόνισης σωµατιδίων και ανεµοµετρίας θερµού νήµατος οµική ανάπτυξη της ορθογωνικής δέσµης αέρα Ανάλυση φασµάτων ισχύος των πεδίων ταχύτητας και στροβιλότητας Μέτρηση της ελικότητας (helicity) τυρβώδους πεδίου ορθογωνικής δέσµης Εισαγωγή Ανάλυση αποτελεσµάτων της ελικότητας 135 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 140 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 145 ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 154 IX

16 X

17 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ Το νόηµα όλων των συµβόλων δίνεται ξεκάθαρα στο κείµενο. Η συγκεκριµένη λίστα περιγράφει τα σύµβολα που χρησιµοποιούνται συχνότερα. Γενικοί Κανόνες Συµβολισµών (τελεστές) ɶu, ω x Στιγµιαίες τιµές U, Ω Μέσες τιµές u, ω ιακυµαινόµενες τιµές u, ω Οι τυρβώδεις εντάσεις, δηλ. οι ρίζες των µέσων τετραγώνων (ρ.µ.τ) των διακυµαινοµένων τιµών U, Ω Ανύσµατα Σύστηµα Συντεταγµένων Παρακάτω παρουσιάζεται το σύστηµα συντεταγµένων στην έξοδο του ακροφυσίου. Το συγκεκριµένο σύστηµα αναλύεται σε συµφωνία µε το τρισδιάστατο, ορθογωνικό, δεξιόχειρο καρτεσιανό σύστηµα µε το x στην κατεύθυνση κατά µήκος της ροής, το y στην κατεύθυνση κατά πλάτος του ακροφυσίου και το z στην κατεύθυνση κατά µήκος της σχισµής του ακροφυσίου. X Y Z XI

18 Τελεστές < > ή Μέσος όρος ( ) t D Dt ε ijk δ ij, ( ) x j ιανυσµατικός τελεστής κλίσης Μερική παράγωγος ως προς την αντίστοιχη ανεξάρτητη µεταβλητή Ολική παράγωγος t Τελεστής εναλλαγής έλτα του Kronecker ( ) ( ) + U j x j Λατινικά γράµµατα AR Λόγος πλευρών του ακροφυσίου, AR=L/D D, L Πλάτος και µήκος του ακροφυσίου αντίστοιχα d, l ιάµετρος και µήκος σύρµατος του πλέγµατος D e E E(x) f F u, F v, F w Fω x, Fω y, Fω z Ισοδύναµη διάµετρος, D Τάση ανεµοµέτρου Ρυθµός εισροής e 4L D = π Συχνότητα µιας δίνης ή µιας διαταραχής Συντελεστές λοξότητας της διαµήκους, εγκάρσιας και κατά µήκος της σχισµής ταχύτητας Συντελεστές λοξότητας της διαµήκους, εγκάρσιας και κατά µήκος της σχισµής στροβιλότητας H Πυκνότητα ελικότητας, H u = ω H Ελικότητα, H = u ω dv V h Σχετική πυκνότητα ελικότητας, h= H /( u ω ) = cosθ h Σχετική πυκνότητα ελικότητας των διακυµάνσεων της ροής, h =cosθ XII

19 k Λόγος σύγκλισης. Ο λόγος σύγκλισης ορίζεται σαν το πηλίκο της µέσης ταχύτητας εξόδου προς την µέση ταχύτητα εισόδου του ακροφυσίου k b, k t Εγκάρσιος και εφαπτοµενικός συντελεστής ευαισθησίας k h k s k st M(x) διεύθυνσης Λόγος µήκους προς διάµετρο κυψελίδας Συντελεστής αντίστασης του πλέγµατος Ολικός βαθµός αντίστασης των πλεγµάτων Μέση τιµή του ρυθµού ροής ορµής MF(x) Μέση τιµή του ρυθµού ροής ορµής λόγω της διαµήκους MT(x) OHR P Q=U Q(x) q r Re Re Λ Re λ S u, S v, S w Sω x, Sω y, Sω z S ij τυρβώδους ταχύτητας Μέση τιµή του ολικού ρυθµού ροής ορµής Λόγος υπερθέρµανσης Σταθερή πίεση Μέση τιµή του ρυθµού ροής µάζας Τυρβώδης κινητική ενέργεια Αριθµός πλεγµάτων Αριθµός Reynolds, Re = U 0 D/ν Αριθµός Reynolds, Αριθµός Reynolds, Re Re Λ λ u ' Λ =, µε βάση τη µακροκλίµακα ν u ' λ =, µε βάση τη µικροκλίµακα ν Συντελεστές λοξότητας της διαµήκους, εγκάρσιας και κατά µήκος της σχισµής ταχύτητας Συντελεστές λοξότητας της διαµήκους, εγκάρσιας και κατά µήκος της σχισµής στροβιλότητας Μέση τιµή του ρυθµού παραµόρφωσης, S ij 1 U U j ( i = + ) x x s ij ιακυµαινόµενη τιµή του ρυθµού παραµόρφωσης, s ɶ ij s ij 1 u u j ( i = + ) x x j i Στιγµιαία τιµή του ρυθµού παραµόρφωσης j i XIII

20 St Αριθµός Strouhal, St=f y c /U c U, V, W Μέσες τιµές της διαµήκους, εγκάρσιας και κατά µήκος της σχισµής ταχύτητας u, v, w ιακυµαινόµενες τιµές της διαµήκους, εγκάρσιας και κατά µήκος της σχισµής ταχύτητας u, v, w ρ.µ.τ τιµές της διαµήκους, εγκάρσιας και κατά µήκος της σχισµής ταχύτητας U Άνυσµα της ταχύτητας U 0 U c U eff Μέση τιµή της διαµήκους ταχύτητας εξόδου Μέση τιµή της διαµήκους αξονικής ταχύτητας Ενεργή ταχύτητα ψύξης U H Μέση τιµή της διαµήκους ταχύτητας του κινούµενου περιβάλλοντος ρευστού. Στην παρούσα έρευνα U H =0 U max, U min Η µέγιστη και ελάχιστη τιµή της µέσης διαµήκους ταχύτητας U n, U t, U b Συνιστώσες του διανύσµατος της ταχύτητας σε σχέση µε το καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων του νήµατος (x w, y w, z w ) U ιαφορά µέσης διαµήκους ταχύτητας uɶ, vɶ, w Στιγµιαίες τιµές της διαµήκους, εγκάρσιας και κατά µήκος της σχισµής ταχύτητας x, y, z Χωρικές συντεταγµένες στο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων x w, y w, z w Χωρικές συντεταγµένες στο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων µε βάση το νήµα y c Ήµι-πλάτος της κατανοµής της µέσης διαµήκους ταχύτητας Ελληνικά γράµµατα α Γωνία πρόνευσης (pitch) β Γωνία εκτροπής (yaw) β r δ 1 Συντελεστής απόφραξης του πλέγµατος. Πάχος µετατόπισης αρχικού οριακού στρώµατος ε Ρυθµός εκφυλισµού, ε ν sijsij η θ Λ Μικροκλίµακα Kolmogoroff Πάχος ορµής αρχικού οριακού στρώµατος Ολοκληρωτική κλίµακα µήκους ή µακροκλίµακα XIV

21 λ Μικροκλίµακα Taylor µ Κινηµατικό ιξώδες ν Ιξώδες ρ Πυκνότητα δέσµης εκροής Ω x, Ω y, Ω z Μέσες τιµές της διαµήκους, εγκάρσιας και κατά µήκος της σχισµής σττροβιλότητας ω x, ω y, ω z ιακυµαινόµενες τιµές της διαµήκους, εγκάρσιας και κατά µήκος της σχισµής σττροβιλότητας ω x, ω y, ω Στιγµιαίες τιµές της διαµήκους, εγκάρσιας και κατά µήκος της z σχισµής σττροβιλότητας XV

22 XVI

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ 1.1 Εισαγωγή ιατύπωση του Σκοπού της Εργασίας Οι περισσότερες ροές που απαντώνται στη φύση και σε τεχνολογικές εφαρµογές είναι τυρβώδεις. Το οριακό στρώµα στην ατµόσφαιρα της Γης, ελεύθερα τυρβώδη ρεύµατα στην ανώτερη τροπόσφαιρα, το ελεύθερο τυρβώδες απόρρευµα της Γης στον ηλιακό άνεµο, υδάτινα ρεύµατα κάτω από την επιφάνεια των ωκεανών, οριακά στρώµατα σχηµατιζόµενα σε πτέρυγες αεροπλάνων, ελεύθερα τυρβώδη απορρεύµατα πίσω από πλοία, αυτοκίνητα, υποβρύχια και αεροσκάφη ή η ροή των υδάτων σε ποτάµια και κανάλια είναι µερικά παραδείγµατα τυρβώδους ροής. Στην πραγµατικότητα, η στρωτή ροή είναι η εξαίρεση και όχι ο κανόνας. Η µελέτη της τύρβης είναι µια πολύπλοκη δραστηριότητα που έχει ένα ευρύ φάσµα εφαρµογών. Όλες οι τυρβώδεις ροές χαρακτηρίζονται από την παρουσία κυµαινόµενης στροβιλότητας. Αυτό είναι το κύριο χαρακτηριστικό που διακρίνει την τύρβη από άλλες στοχαστικές κινήσεις των ρευστών που δεν κατατάσσονται ως τυρβώδεις. Ο θεµελιώδης χαρακτήρας και η τεχνολογική σηµασία της στροβιλότητας έχει επισηµανθεί µε βάση την διαρκή έρευνα από τις αρχές του προηγούµενου αιώνα. Η στροβιλότητα φαίνεται να κατέχει κυρίαρχη θέση και ρόλο στην πλειοψηφία των ροϊκών καταστάσεων που περιλαµβάνουν τύρβη και σχετικά φαινόµενα µεταφοράς. Πρέπει να επισηµανθεί ότι από τότε που η µεγάλης κλίµακας συνεκτικές δοµές αναγνωρίσθηκαν ως στοιχεία του τυρβώδες πεδίου παρουσιάστηκαν στοχαστικά µοντέλα τύρβης τα οποία περιλαµβάνουν οργανωµένη στροβιλότητα. Έτσι λοιπόν η αποδεδειγµένη παρουσία στροβιλότητας σε ροές δικαιολογεί την άποψη πολλών ερευνητών ότι η γνώση της στροβιλότητας και της δυναµικής της συµπεριφοράς είναι κρίσιµη για την ευρεία κατανόηση ροϊκων φαινόµενων µε αναµενόµενες επιπτώσεις στην πρόοδο της τεχνολογίας. Η µεταβολή από µια καθαρά στοχαστική περιγραφή της τύρβης σε ένα µοντέλο το οποίο αποδέχεται την οργανωµένη στροβιλότητα ως ένα ενεργό στοιχείο της δοµής της, αναβαθµίζει το ρόλο της στροβιλότητας στην έρευνα των τυρβωδών ροών και τονίζει την ανάγκη εξέτασης της φυσικής της και των επιπτώσεων της. Παρά τη γενική αποδοχή της 1

24 σηµασίας της στροβιλότητας σε ροϊκές διαδικασίες υπάρχει ένα αξιοσηµείωτο γνωστικό έλλειµµα σε σχέση µε την συσσωρευµένη γνώση που υπάρχει σχετικά µε την ταχύτητα σε ροές όπου κυρίαρχο φαινόµενο αποτελεί η τύρβη. Η αλλαγή αυτή στο τρόπο προσέγγισης των τυρβωδών ροών αναπτύσσεται στις ερευνητικές προσπάθειες των τελευταίων ετών. Βασίζεται στις καινούριες δυνατότητες που µας παρέχει η ανάπτυξη τόσο υπολογιστικών εργασιών όπως το DNS και το LES αλλά και πειραµατικών τεχνικών που επιτρέπουν την απευθείας µέτρηση της στροβιλότητας βασιζόµενες σε τεχνικές LDA, PIV, και Hot wire. Είναι φυσικό σε τέτοιες προσεγγίσεις να ξεκινάει κανείς από ιδιαίτερα απλά ροϊκά πεδία όπως είναι τα οριακά στρώµατα, ελεύθερα διατµητικά στρώµατα και οι δέσµες εκροής. Στα πλαίσια αυτά η παρούσα εργασία έχει ως στόχο τη διερεύνηση των χαρακτηριστικών στην εγγύς περιοχή ορθογωνικής δέσµης εκροής µε την χρήση και ταυτόχρονη αξιοποίηση και εξέλιξη της τεχνικής ανεµοµετρίας θερµού νήµατος πολλαπλών αισθητήρων. Για την µέτρηση των µέσων και στατιστικών χαρακτηριστικών των πεδίων ταχύτητας-στροβιλότητας χρησιµοποιήθηκε κεφαλή δώδεκα νηµάτων, ανεµόµετρου θερµού σύρµατος, ικανή ταυτόχρονης µέτρησης των τριών συνιστωσών των ανυσµάτων ταχύτητας και στροβιλότητας καθώς και των εννέα χωρικών παραγώγων των συνιστωσών της ταχύτητας. Οι συνιστώσες της µετρητικής διάταξης κεφαλή-σύστηµα βαθµονόµησηςλογισµικό για την βαθµονόµηση της κεφαλής και την επεξεργασία των µετρήσεων σχεδιάστηκαν, αναπτύχθηκαν και κατασκευάστηκαν στο Εργαστήριο Τεχνικής Θερµοδυναµικής. Μελετώντας κανείς πειραµατικά το πεδίο στροβιλότητας και τα συνακόλουθα φαινόµενα συναγωγής (convection), διάχυσης (diffusion) και φθοράς (decay) της στροβιλότητας, µπορεί να κατανοήσει πολύ πιο ολοκληρωµένα τις ορθογωνικές δέσµες, ιδίως για µεγάλους αριθµούς Reynolds που είναι συνδεδεµένοι µε τις περισσότερες τυρβώδεις ροές. Παράλληλα, µπορεί κανείς ν ανακαλύψει ενδιαφέροντα και χρήσιµα πλαίσια θεωρητικής εξοµοίωσης γι αυτές τις ροές. Η στροβιλότητα εκφράζεται ως δυο φορές η γωνιακή ταχύτητα ενός σωµατιδίου του ρευστού γύρω από το κέντρο µάζας όπως παρατηρείται από αδρανειακό σύστηµα αναφοράς. Εφαρµόζοντας τον τελεστή του στροβιλισµού στο διάνυσµα της ταχύτητας παίρνουµε τη σχέση µεταξύ της στροβιλότητας και των παραγώγων της χωρικής ταχύτητας: ω= u ɶ όπου ω είναι η στιγµιαία τιµή της στροβιλότητας.

25 ω= 0 Αφού η απόκλιση του στροβιλισµού ενός διανυσµατικού πεδίου είναι µηδέν, έχουµε: Αυτή η σχέση φανερώνει την σωληνοειδή φύση ενός στροβιλώδους διανυσµατικού πεδίου. Έτσι, τοπολογικά οι γραµµές στροβιλισµού πρέπει να περατώνονται στα όρια του πεδίου ροής ή να σχηµατίζουν κλειστές διαδροµές. Η σηµασία της στροβιλότητας στην µελέτη της τύρβης φαίνεται στην εξίσωση διατήρησης της στροβιλότητας, η οποία για ένα ασυµπίεστο ρευστό µε σταθερή τιµή ιξώδους έχει ως εξής: D ω = ω ɶ u + ν ω, Dt και εξάγεται παίρνοντας το στροβιλισµό των εξισώσεων Navier-Stokes. Αυτή η εξίσωση δείχνει ότι ο χρονικός και ο χωρικός ρυθµός µεταβολής της στροβιλότητας ισούται µε την παραµόρφωση των γραµµών στροβιλισµού από το ρυθµό παραµόρφωσης, συν το ρυθµό της ιξώδους διάχυσης της στροβιλότητας. Είναι αξιοσηµείωτο ότι η πίεση, η οποία, ιδιαίτερα σε υψηλές συχνότητες, είναι δύσκολο να µετρηθεί, δεν υπεισέρχεται άµεσα σε αυτή την εξίσωση. Αυτό το γεγονός οδηγεί σε κάποιες απλοποιήσεις στην ερµηνεία και την µοντελοποίηση αυτής της εξίσωσης. Η διάχυση της στροβιλότητας από τις ιξώδεις δυνάµεις είναι µια σχετικά αργή διαδικασία που εξαρτάται από το κινηµατικό ιξώδες του ρευστού. Αυτό µας επιτρέπει σε κάποιες περιπτώσεις να αγνοήσουµε το ιξώδες και να αναλύσουµε τη δυναµική της στροβιλότητας εφαρµόζοντας τα θεωρήµατα του Kelvin και του Helmholtz που περιγράφουν την κίνηση των στροβίλων στη ροή χωρίς ιξώδες. Η παραµόρφωση των γραµµών των στροβίλων προκαλεί σε πολλές περιπτώσεις µια πολύ ταχύτερη µεταβολή της στροβιλότητας. Η διάταση ενός στροβίλου προκαλεί αύξηση της στροβιλότητάς του σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της στροφορµής (σχήµα 1). Αυτή η διαδικασία αποτελεί σήµερα το µόνο γνωστό µηχανισµό που οδηγεί στην παραγωγή στροβιλότητας µέσα σε ένα τυρβώδες ροϊκό πεδίο. Η συστολή ενός στροβίλου µειώνει το µέγεθος της στροβιλότητάς του. Η κάµψη των γραµµών των στροβίλων προκαλεί αύξηση της στροβιλότητας στη νέα διεύθυνση και την ανάλογη µείωση στην αρχική διεύθυνση. 3

26 Σχήµα 1. ιάταση των στροβίλων (Vortex stretching) από το µέσο ρυθµό παραµόρφωσης. Η έρευνα της τύρβης έχει επιφέρει πρόοδο σε δύο κατευθύνσεις. Απ τη µία, µε την σηµαντική πρόοδο της τεχνολογίας, έχουν αναπτυχθεί ακριβείς και αποδοτικές τεχνικές µέτρησης, οι οποίες επιτρέπουν λεπτοµερείς πειραµατικές µελέτες τυρβωδών ροϊκών πεδίων και ποσοτικές αναλύσεις αυτών των διαδικασιών. Παράλληλα µε τη περαιτέρω βελτίωση της παραδοσιακής τεχνικής µέτρησης της τύρβης, την ανεµοµετρία θερµού νήµατος (hot-wire anemometry), έχουν επίσης αναπτυχθεί και διαφορετικές οπτικοτεχνικές και ηλεκτροχηµικές µέθοδοι. Ωστόσο, το ανεµόµετρο θερµού νήµατος παραµένει ακόµα το πιο αποτελεσµατικό όργανο στην πειραµατική µελέτη της τύρβης, τουλάχιστον για ροές αερίων. Απ την άλλη, µε τη γρήγορη εξέλιξη της τεχνολογίας των υπολογιστών έχουν αναπτυχθεί αριθµητικές µέθοδοι εξοµοίωσης που επιτρέπουν την λεπτοµερή περιγραφή της τυρβώδους ροής. Αυτά τα αριθµητικά µοντέλα είναι βασισµένα στις εξισώσεις Navier-Stokes και κάνουν δυνατή την εξοµοίωση διαδικασιών που συχνά δεν είναι δυνατόν να πραγµατοποιηθούν πειραµατικά. Ένα σηµαντικό στοιχείο της αριθµητικής εξοµοίωσης είναι ότι µας δίνει µια χαρτογράφηση του συνολικού ροϊκού πεδίου (Lemonis 1995). Οι δυνατότητες περαιτέρω ανάπτυξης και προς τις δύο κατευθύνσεις είναι πολλές. Υπάρχει µια µεγάλη λίστα προβληµάτων υψηλής προτεραιότητας σχετικά µε τη χρήση οργάνων που δεν έχουν λυθεί ακόµα, όπως για παράδειγµα η ανίχνευση µικρής κλίµακας κινήσεων του ρευστού ή µικρών και υψηλής συχνότητας διακυµάνσεων της πίεσης και της συγκέντρωσης. Ακόµα, τα υπάρχοντα όργανα δεν είναι σε θέση να δώσουν ακριβείς πληροφορίες για πολλές διεργασίες σε ροϊκά πεδία µε αποκόλληση, συµπιεστές ροές, υπερηχητικές ή πολυφασικές ροές. Σε πολλές περιπτώσεις δεν είναι επίσης δυνατή µε αριθµητικά µοντέλα η ανάλυση µικρών χρονικών και χωρικών κλιµάκων σε τυρβώδεις ροές. 4

27 Ακόµα και οι δυνατότητες των σηµερινών υπερυπολογιστών είναι ανεπαρκείς όταν απαιτείται υψηλή χρονική και χωρική ανάλυση. Υπάρχει µια ισχυρή αλληλεπίδραση µεταξύ των δυο αυτών πεδίων έρευνας. Τα µαθηµατικά µοντέλα χρησιµοποιούν αρχικές συνθήκες και βασικές παραµέτρους που συχνά καθορίζονται από το πείραµα. Απ την άλλη, αποτελέσµατα που προέρχονται από σύγχρονες πειραµατικές τεχνικές µπορούν να επαληθευτούν συγκρινόµενα µε δεδοµένα προερχόµενα από αριθµητικές εξοµοιώσεις, εφόσον δεν υπάρχουν ακόµα άλλα πειραµατικά δεδοµένα προς αντιπαράθεση. Παροµοίως, µπορούµε να επαληθεύσουµε µαθηµατικά µοντέλα µε δεδοµένα προερχόµενα από πειράµατα. Η µέτρηση του στιγµιαίου, τρισδιάστατου διανύσµατος της στροβιλότητας αποτελούσε για πολύ καιρό έναν άπιαστο στόχο. Οι πρώτες προσπάθειες έγιναν από τον Kovasznay (1954), αργότερα από τον Wyngaard (1969), Foss (1976, 1981), από τους Καστρινάκη & Eckelmann (1983), Καστρινάκη και συν. (1984), Antonia και συν. (1987, 1988) και άλλους, οι οποίοι επινόησαν αισθητήρες ικανούς να ανιχνεύουν µια ή και δύο από τις τρεις συνιστώσες του διανύσµατος της στροβιλότητας. Οι Wallace και συν. (1986, 1989, 199, 1994) και Tsinober και συν. (199, 1993) κατά την δεκαετία του 90 εξέλιξαν κεφαλή που επιτρέπουν για πρώτη φορά τη στιγµιαία µέτρηση και των τριών συνιστωσών του διανύσµατος της στροβιλότητας. Με αυτό το πρωτότυπο είδος κεφαλής είναι δυνατή η ανίχνευση των κλίσεων της χωρικής ταχύτητας στη διεύθυνση της µέσης ροής. Για τον καθορισµό των κλίσεων χρησιµοποιείται η υπόθεση του Taylor η οποία ισχύει µε ικανοποιητική ακρίβεια για ισοτροπικές τυρβώδεις ροές (Lin, 1953). Οι Piomelli και συν. (1989) έχουν δείξει ότι σε οριακά στρώµατα, ακόµα και σχετικά κοντά στα τοιχώµατα, αυτή η σχέση παρέχει ικανοποιητική ακρίβεια. Για να κατασκευαστεί µια κεφαλή αυτού του τύπου, χρησιµοποιούνται τρεις ή τέσσερις αισθητήρες θερµού νήµατος συναρµολογηµένοι σε µια κεφαλή. Η κεφαλή που σχεδιάστηκε στην παρούσα εργασία αποτελείται από τρις κεφαλές των τεσσάρων νηµάτων µε νήµα των.5 µm. Το πρώτο τµήµα της παρούσας εργασίας (κεφάλαιο 4) ασχολείται µε την περιγραφή των οργάνων µέτρησης και των τεχνικών υπολογισµού για τη µέτρηση του στιγµιαίου τρισδιάστατου διανύσµατος της ταχύτητας µε αισθητήρες τεσσάρων θερµών νηµάτων. Ο συγκεκριµένος αισθητήρας επιτρέπει ικανοποιητικές µετρήσεις ακόµα και σε περιοχές µεγάλης έντασης της τύρβης στις ελεύθερες τυρβώδες διατµητικές ροές. Στο δεύτερο µέρος της εργασίας (κεφάλαιο 5, 6) θα παρουσιαστούν και θα συζητηθούν πειραµατικά αποτελέσµατα από µετρήσεις της ταχύτητας και στροβιλότητας σε τυρβώδη δισδιάστατη δέσµη. Οι µετρήσεις διεξήχθησαν σε αριθµό Reynolds, Re D =1000, σε 5

28 αποστάσεις κατά την διεύθυνση της ροής ίσες προς x/d=1, 3, 6, και 11 όπου D το πλάτος του ακροφυσίου. Στην εργασία παρουσιάζονται λεπτοµερείς αναλύσεις που αφορούν το µέσο και τυρβώδες πεδίο ταχύτητας και στροβιλότητας. Αυτές οι αναλύσεις επιτρέπουν τη µελέτη σηµαντικών φαινόµενων όπως είναι η δηµιουργία, η συγχώνευση και η αλληλεπίδραση των στροβίλων που κυριαρχούν στη ροή. Τα αποτελέσµατα, ένα µεγάλο µέρος των οποίων ελήφθησαν για πρώτη φορά πειραµατικά, συγκρίνονται µε µετρήσεις προερχόµενες από την κεφαλή αισθητήρων X και µε αποτελέσµατα από προηγούµενες πειραµατικές και υπολογιστικές µελέτες. Στο τρίτο µέρος (κεφάλαιο 7) παρουσιάζονται αποτελέσµατα από µια άλλη µέθοδο που χρησιµοποιήθηκε στην παρούσα εργασία για την λήψη µετρήσεων. Η µέθοδος αυτή είναι η Ταχυµετρία Απεικόνισης Σωµατιδίων (Particle Image Velolcimetry). Η P.I.V είναι µια, µη παρεµβαλλόµενη στην ροή µέθοδος, η οποία έχει την δυνατότητα ταυτόχρονης µέτρησης του διανύσµατος της διδιάστατης ταχύτητας σε ολόκληρο το υπό εξέταση ροϊκό πεδίο. Παράλληλα προκύπτει και η οπτικοποίηση της ροής όπου περιλαµβάνει την οπτική καταγραφή των δοµών του ροϊκού πεδίου και µεταφοράς τους κατά µήκος αλλά και κατά πλάτος της δέσµης. Επιπλέον το κεφάλαιο αυτό επικεντρώνεται στη στατιστική περιγραφή του πεδίου της ελικότητας και στην εκτίµησή των δυνατοτήτων της για τον καθορισµό της τοπολογίας αλλά και της εξέλιξης της ορθογωνικής τυρβώδους δέσµης. 6

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΣΜΕΣ ΕΚΡΟΗΣ-ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ.1 Ελεύθερες Τυρβώδεις ιατµητικές Ροές.1.1 Γενικά για τις ελεύθερες τυρβώδεις διατµητικές ροές Στη διεθνή βιβλιογραφία ως ελεύθερες τυρβώδεις διατµητικές ροές ορίζονται εκείνες οι ελεύθερες τυρβώδεις ροές οι οποίες σχηµατίζονται από την εκτόνωση ρευστού διαµέσου ενός ακροφυσίου και κατά την ανάπτυξή τους περιορίζονται από κάποιο ρευστό, είτε σε ηρεµία είτε κινούµενο µε οµοιόµορφη ταχύτητα, εξελίσσονται δηλαδή απουσία στερεού τοιχώµατος. Τα ελεύθερα τυρβώδη διατµητικά ροϊκά πεδία χωρίζονται σε δύο µεγάλες οµάδες: α) τις ροές δέσµης (jet flows) β) τις ροές απορεύµατος (wake flows).1. Βασικές έννοιες για τις ελεύθερες τυρβώδες δέσµες Κατά τον Abramovich (1963) οι δέσµες (jets) ορίζονται µε βάση τις επιφάνειες «εφαπτοµενικής αποµάκρυνσης» (tangential separation surfaces) που εµφανίζονται σε πολλές περιπτώσεις κίνησης υγρού ή αερίου. Η ροή του ρευστού σε οποιαδήποτε από τις δύο πλευρές µιας τέτοιας επιφάνειας χαρακτηρίζεται ως δέσµη (jet). Οι δέσµες µπορεί να κινούνται στη ίδια ή σε αντίθετες διευθύνσεις. Η εφαπτοµενική αποµάκρυνση (µεταβολή) παρατηρείται για παραµέτρους, όπως η ταχύτητα ροής, η θερµοκρασία και η συγκέντρωση του ρευστού, ενώ η κατανοµή της στατικής πίεσης αποδεικνύεται να είναι συνεχής. Η αστάθεια µιας επιφάνειας εφαπτοµενικής αποµάκρυνσης προκαλεί στροβίλους σε αυτή, οι οποίοι κινούνται άτακτα κατά µήκος και κατά πλάτος της ροής, προκαλώντας ανταλλαγή µάζας µεταξύ των γειτονικών δεσµών και εγκάρσια µεταφορά ορµής, θερµότητας και συστατικών. Σαν αποτέλεσµα, σχηµατίζεται µια περιοχή πεπερασµένου πάχους µε µια συνεχή κατανοµή ταχύτητας, θερµοκρασίας και συγκέντρωσης στο όριο των δύο δεσµών. Αυτή η περιοχή ονοµάζεται διατµητικό στρώµα τυρβώδους δέσµης. 7

30 Η απλούστερη περίπτωση ενός διατµητικού στρώµατος δέσµης αναφέρεται στην εκροή ενός ρευστού σταθερής αρχικής ταχύτητας (U 0 = const.) σε ένα µέσο κινούµενο µε σταθερή ταχύτητα (U H = const.), διότι το πάχος του στρώµατος στην αρχική περιοχή της δέσµης είναι ίσο µε το µηδέν. Η αύξηση του πάχους του διατµητικού στρώµατος της δέσµης, το οποίο αποτελείται από σωµατίδια του περιβάλλοντος µέσου που παρασύρονται από αυτό και από σωµατίδια της ίδιας της δέσµης, τα οποία έχουν επιβραδυνθεί, οδηγεί από τη µια µεριά σε µια αύξηση της διατοµής της δέσµης και από την άλλη, σε µια βαθµιαία εξάλειψη του άτριβου πυρήνα, δηλ. της περιοχής µεταξύ των εσωτερικών ορίων των διατµητικών στρωµάτων. Το σχήµα.1 δείχνει ένα απλοποιηµένο διάγραµµα της δέσµης. u H uh uh D/ u c 0 u b y c u Αρχική περιοχή Μεταβατική περιοχή Κύρια περιοχή Σχήµα.1. ιάγραµµα δέσµης εκροής. Το τµήµα της δέσµης, στο οποίο υπάρχει ο πυρήνας δυναµικού της ροής ονοµάζεται αρχική περιοχή (initial region). Όπως έχει αποδειχθεί σε πολλά πειράµατα, µια από τις βασικές ιδιότητες µιας δέσµης αυτού του είδους είναι, ότι η στατική πίεση είναι σταθερή σε κάθε σηµείο του πυρήνα δυναµικού (potential core) µε αποτέλεσµα η ταχύτητα στην περιοχή αυτή να παραµένει σταθερή. Η εξασθένηση της δέσµης πέραν της αρχικής περιοχής γίνεται φανερή τόσο από τη διεύρυνσή της όσο και από τη µεταβολή της ταχύτητας κατά µήκος του άξονα της δέσµης. Σε µια ορισµένη απόσταση από το τέλος της αρχικής περιοχής, η δέσµη µοιάζει µε µια ροή, που προέρχεται από µια πηγή µε απειροελάχιστο πάχος (στην περίπτωση αξονοσυµµετρικής ροής, η πηγή είναι ένα σηµείο και στην περίπτωση παραλληλεπίπεδης ροής είναι µια ευθεία γραµµή, κάθετη στο επίπεδο ροής της δέσµης). Γίνεται συχνά χρήση ενός απλοποιηµένου διαγράµµατος της δέσµης, στο οποίο θεωρείται ότι το µήκος της µεταβατικής περιοχής είναι 8

31 ίσο µε το µηδέν. Σε αυτή την περίπτωση η διατοµή, στην οποία η κύρια και η αρχική περιοχή εφάπτονται ονοµάζεται µεταβατική διατοµή της δέσµης. Αν η µεταβατική περιοχή ληφθεί υπόψη στους υπολογισµούς, τότε η µεταβατική διατοµή θεωρείται ότι συµπίπτει µε την αρχή της κύριας περιοχής..1.3 Ορθογωνική δέσµη αέρα σε ακίνητο περιβάλλον. Ο τύπος της τυρβώδους δέσµης, που µελετάµε στην συγκεκριµένη εργασία είναι αυτός της ορθογωνικής δέσµης που εκρέει µέσα σε ακίνητο περιβάλλον (submerged jet). Οι τυρβώδεις ορθογωνικές ελεύθερες δέσµες έχουν πρακτικό ενδιαφέρον για την καύση, την πρόωση και τις περιβαλλοντικές ροές. Αν το πεδίο ταχυτήτων στην αρχική διατοµή της δέσµης είναι οµοιόµορφο, τα όρια των αναµειγνυόµενων στρωµάτων σχηµατίζουν αποκλίνουσες επιφάνειες, οι οποίες τέµνονται στην άκρη του ακροφυσίου (στο σχήµα., στην αρχική περιοχή της ακίνητης δέσµης). Εξωτερικά, το διατµητικό στρώµα έρχεται σε επαφή µε το ακίνητο ρευστό και το εξωτερικό όριο θεωρείται ότι αντιπροσωπεύει την επιφάνεια, σε όλα τα σηµεία της οποίας η αξονική συνιστώσα της ταχύτητας είναι µηδέν (U H =0). Εσωτερικά, το διατµητικό στρώµα καταλήγει σε ένα πυρήνα σταθερής ταχύτητας. Έτσι, στο εσωτερικό όριο του οριακού στρώµατος η ταχύτητα ροής είναι ίση µε την ταχύτητα εκροής (U=U 0 ). Ως γνωστών οι ορθογωνικές τυρβώδεις δέσµες µε µεγάλους αριθµούς Reynolds είναι τρισδιάστατες. Βασικό χαρακτηριστικό των ελεύθερων τυρβωδών διατµητικών ροών είναι η συνεχής παραγωγή τύρβης από της τυρβώδεις διατµητικές τάσεις. Εάν δεν υπήρχε παραγωγή τύρβης αυτή θα εκφυλιζόταν µε τη διαµήκη µετατόπιση. Η παραγωγή της τύρβης καθορίζεται από τη βαθµίδα της κατανοµής της µέσης ταχύτητας, η οποία εξαρτάται από την τύρβη που δηµιουργείται ανάντη και µεταφέρεται κατάντη µέσω της τυρβώδους διάχυσης και µέσω της µεταφοράς από τη µέση ροή. Από αυτή τη στενή σχέση µεταξύ της τύρβης και της µέσης ταχύτητας είναι λογικό να αναµένουµε οµοιότητα καθώς η τύρβη παράγεται συνεχώς από τη µέση κίνηση µέσω των τυρβωδών διατµητικών τάσεων. Έχουν αναπτυχθεί αρκετές θεωρίες για αυτές τις τυρβώδεις ροές και έχουν γίνει αρκετές υποθέσεις για τη στήριξη τους σχετικά µε τη λεγόµενη οµοιότητα ή αυτοδιατήρηση. 9

32 U H = 0 U=U 0 X Σχήµα.. ιάγραµµα ορθογωνικής δέσµης σε ακίνητο περιβάλλον. Κατά τον Hinze (1975) ο όρος αυτοδιατήρηση σηµαίνει ότι η τύρβη διατηρεί τη δοµή της κατά τη διάρκεια της ανάπτυξης της τυρβώδους περιοχής της κύριας δοµής µε τη διαµήκη µετατόπιση. Για να προσεγγίσει η ροή την κατάσταση της αυτοδιατήρησης απαιτείται χρόνος και κάποια διαµήκη απόσταση. Οι διάφορες κλίµακες µήκους παίζουν σηµαντικό ρόλο στην περιγραφή και ανάλυση της τυρβώδους ροής. Υπάρχουν δυο κατηγορίες κλιµάκων µήκους, οι µεταγωγικές ή διαµήκεις κλίµακες µήκους και οι διαχυτικές ή εγκάρσιες κλίµακες µήκους. Η «ολοκληρωτική κλίµακα µήκους» ή η «µακροκλίµακα» Λ σχετίζεται µε τις διαστάσεις των µεγαλύτερων στροβιλωδών δοµών της ροής. Η «µικροκλίµακα Taylor» λ είναι ένα µέτρο για τις διαστάσεις των στροβίλων που είναι κυρίως υπεύθυνοι για την κατανάλωση. έτσι, το λ ονοµάζεται συχνά και «µικροκλίµακα κατανάλωσης». Η «µικροκλίµακα Kolmogoroff» η είναι χαρακτηριστική του µεγέθους των µικροτέρων κλιµάκων που εµφανίζονται στην τυρβώδη ροή, πέρα από τις οποίες το ιξώδες κυριαρχεί στη ροή. Στην παρούσα έρευνα η χαρακτηριστική κλίµακα µήκος που χρησιµοποιείται είναι το ηµί-πλάτους της δέσµης y c, το όποιο προσδιορίζεται ως η απόσταση από το κεντρικό άξονα µέχρι το σηµείο όπου η µέση διαµήκης ταχύτητα είναι το ήµισυ της αξονικής ταχύτητας, U c. Κατά τον Prandtl & Tietjens (1934) ο νόµος, που διέπει την αύξηση του ηµί-πλάτους των δεσµών που εκρέουν σε ακίνητο περιβάλλον και το µήκος µείξης στη διεύθυνση της ροής είναι: y c = cx, Λ = cx, όπου c είναι σταθερά. Ο παραπάνω γραµµικός νόµος για την αύξηση του πάχους δέσµης και του µήκους µείξης κατά µήκος της ροής ισχύει για δέσµες διαφορετικών σχηµάτων, όπως µιας άπειρης επίπεδης ροής, παραλληλεπίπεδης και αξονοσυµµετρικής δέσµης. 10

33 .1.4 Βασικές εξισώσεις Η βάση για τη µαθηµατική περιγραφή της ελεύθερης τυρβώδους ροής είναι οι εξισώσεις Navier-Stokes και η εξίσωση της συνέχειας, η οποία για ασυµπίεστο, Νευτωνικό ρευστό είναι: ɶ ɶ u ɶ i ɶ ui 1 p ui + u j = + v t x ρ x x x ɶ t u j j i j j (.1) = 0 (.) Η ανάλυση κατά Reynolds διαχωρίζει τις εξαρτηµένες από το χρόνο µεταβλητές σε µια µέση χρονική τιµή και µια διακύµανση: uɶ = U + u (.3) όπου i i U i t + T 0 1 = lim uidt T (.4) t t0 Η µέση χρονική τιµή της διακύµανσης είναι εξ ορισµού ίση µε µηδέν. Η εξ. (.3) δίνει την ανάλυση της ταχύτητας. Χρησιµοποιώντας την εξ. (.3) µπορούµε να εφαρµόσουµε την ανάλυση κατά Reynolds στις ποσότητες που σχετίζονται µε τις παραγώγους της ταχύτητας. Οι παράγωγοι της χωρικής ταχύτητας αναλύονται ως εξής: uɶ i Ui ui = ( Ui+ ui ) = + (.5) x x x x j j j j Η ανάλυση της στροβιλότητας δίνεται ɶ u j U j u j ω k = εijk = εijk ( + ), (.6) x x x j Ω k ε ijk xi i i i U u j =, ω k = εijk, (.7) x i όπου ε ijk είναι ο τελεστής εναλλαγής. Με παρόµοιο τρόπο παίρνουµε για το ρυθµό παραµόρφωσης: s ɶ = S + s (.8) ij ij ij S ij 1 U U u u i j 1 i j = ( + ), sij = ( + ) x x x x j i j i (.9) 11

34 Για να εξάγουµε τις εξισώσεις κίνησης για τη µέση ροή και την τύρβη ξεχωριστά, εφαρµόζουµε την ανάλυση κατά Reynolds στην εξ. (.1). Για σταθερή µέση ροή µε παίρνουµε: Ui 1 U j = ( P δ ij + µ Sij ρ ui u j ), x x ρ j j (.10) u i = 0 t όπου δ ij είναι το δέλτα του Kronecker. Η εξ. (.10) είναι η εξίσωση διατήρησης της ορµής για ασυµπίεστο, Νευτωνικό ρευστό µε σταθερή µέση ροή. είχνει ότι ο ρυθµός µεταβολής της ορµής ενός σωµατιδίου του ρευστού οφείλεται σε δυνάµεις πίεσης, ιξώδεις τάσεις και τάσεις Reynolds. Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση αυτή µε τη ταχύτητα της µέσης ροής U i παίρνουµε την εξίσωση διατήρησης της µέσης κινητικής ενέργειας 1 P U j ( Ui Ui ) = ( U j + ν Ui Sij Ui uiu j ) x x ρ j ν S S + u u S ij ij i j ij j (.11) Οι τρεις πρώτοι όροι του δεξιού µέλους αυτής της εξίσωσης περιγράφουν το έργο των δυνάµεων πίεσης, τη µεταφορά µέσης κινητικής ενέργειας από τις ιξώδεις τάσεις και τη µεταφορά µέσης κινητικής ενέργειας από τις τάσεις Reynolds. Ο τέταρτος όρος αντιστοιχεί στο έργο των ιξωδών δυνάµεων που δρουν ενάντια στο µέσο ρυθµό παραµόρφωσης. Ο πέµπτος όρος εκφράζει τη µέση κινητική ενέργεια που µετατρέπεται σε τυρβώδη κινητική ενέργεια από το µέσο ρυθµό παραµόρφωσης. Οι δύο ιξώδεις όροι στην εξίσωση αυτή είναι συνήθως αµελητέοι. Η εξίσωση που διέπει την τυρβώδη κινητική ενέργεια λαµβάνεται πολλαπλασιάζοντας τις εξισώσεις Navier-Stokes (.1) µε u ɶ i, παίρνοντας τη µέση χρονική τιµή όλων των όρων και αφαιρώντας την εξίσωση (.11), που διέπει την κινητική ενέργεια της µέσης ροής. Η τελική εξίσωση, το ισοζύγιο τυρβώδους κινητικής ενέργειας, είναι: U j ( ui ui ) = ( u j p+ uiuiu j ν uisij ) x x ρ j u u S ν s s i j ij ij ij j (.1) O ρυθµός µεταβολής της τυρβώδους κινητικής ενέργειας οφείλεται εποµένως σε έργο λόγω βαθµίδας της πίεσης, σε µεταφορά λόγω τυρβωδών διακυµάνσεων της ταχύτητας, σε µεταφορά λόγω ιξωδών τάσεων και σε δύο είδη έργου παραµόρφωσης. Αντίθετα µε την εξίσωση για τη µέση κινητική ενέργεια, οι όροι παραµόρφωσης σε αυτή την εξίσωση είναι 1

35 πολύ σηµαντικοί. Ο πρώτος όρος, uiu j Sij, εµφανίζεται και στην εξ. (.11) για τη µέση κινητική ενέργεια, αλλά µε αντίθετο πρόσηµο. Αυτός ο όρος είναι συνήθως αρνητικός, έτσι ώστε η συνεισφορά του στην εξίσωση για την τυρβώδη κινητική ενέργεια να είναι θετική. Έτσι, ο όρος αυτός ονοµάζεται «όρος τυρβώδους παραγωγής». ίνει την απώλεια της µέσης κινητικής ενέργειας που µετατρέπεται σε τυρβώδη κινητική ενέργεια από το µέσο ρυθµό παραµόρφωσης. Ο δεύτερος όρος παραµόρφωσης ε (.13) ν sijsij είναι θετικός και αντιπροσωπεύει την απώλεια τυρβώδους κινητικής ενέργειας λόγω του έργου που παράγουν οι ιξώδεις δυνάµεις αντίθετα στο διακυµαινόµενο ρυθµό παραµόρφωσης. Έτσι, ο όρος αυτός ονοµάζεται ρυθµός εκφυλισµού και χαρακτηρίζει την «ιξώδη» ή «τοπική κατανάλωση». Για να εισάγουµε το µέγεθος της στροβιλότητας στις εξισώσεις κίνησης, εφαρµόζουµε τον τελεστή του στροβιλισµού στους όρους των εξισώσεων Navier-Stokes (.1). Για σταθερή µέση ροή παίρνουµε U Ω Ωi j j =Ω j Sij+ ν x j x j x j (.14) Ο πρώτος όρος του δεξιού µέλους αυτής της εξίσωσης δίνει την παραγωγή στροβιλότητας λόγω παραµόρφωσης, ενώ ο δεύτερος τη διάχυση της στροβιλότητας λόγω του ιξώδους. Αναλύοντας κατά Reynolds τους όρους στην εξ. (.14) και παίρνοντας τις µέσες χρονικές τιµές έχουµε: Ωi ωi j j = j + ω j ij+ω j ij + ν x j x j x j x j U u s S Ω (.15) Για να πάρουµε ξεχωριστά τη δυναµική της µέσης και της διακυµαινόµενης στροβιλότητας, χρειαζόµαστε σχέσεις για τη µέση και τη διακυµαινόµενη ενστροφία (enstrophy) Ω i Ω i και ωω i i. Πολλαπλασιάζοντας την εξ.(.15) µε Ω i και αναδιατάσσοντας τους όρους που προκύπτουν, παίρνουµε µια σχέση της µορφής: 1 Ωi U ( Ω Ω ) = ( Ω ω u ) + u ω +Ω Ω S x x x j i i i i j j i i j ij j j j Ω 1 Ω Ω +Ω + Ω Ω i i i i ω j ω j sij ν ( ) i i ν x j x j x j (.16) Ο πρώτος όρος του δεξιού µέλους αυτής της εξίσωσης δίνει τη µεταφορά της µέσης στροβιλότητας λόγω τυρβωδών αλληλεπιδράσεων στροβιλότητας-ταχύτητας. Ο δεύτερος 13

36 όρος είναι ισοδύναµος µε τον όρο τυρβώδους παραγωγής στις εξ. (.11) και (.1). Εµφανίζεται και στην εξίσωση για τη διακυµαινόµενη σροβιλότητα που δόθηκε προηγούµενα αλλά µε αντίθετο πρόσηµο. Κάποιοι συγγραφείς ονοµάζουν αυτόν τον όρο παραγωγή λόγο βαθµίδας της τυρβώδους στροβιλότητας. Ο τρίτος όρος είναι εφελκυσµός ή θλίψη της µέσης στροβιλότητας από το µέσο ρυθµό παραµόρφωσης. Ο τέταρτος όρος είναι η παραγωγή ή δαπάνη µέσης στροβιλότητας λόγω της διάτασης των συνιστωσών της διακυµαινόµενης στροβιλότητας από τους διακυµαινόµενους ρυθµούς παραµόρφωσης. Ο πέµπτος όρος είναι η ιξώδης µεταφορά µέσης στροβιλότητας και ο έκτος ιξώδης δαπάνη µέσης στροβιλότητας. Για να πάρουµε την εξίσωση για το µέσο τετράγωνο της διακύµανσης της στροβιλότητας πολλαπλασιάζουµε την εξ. (.15) µε ω i και αφαιρούµε από αυτήν την εξ.(.16) για τη µέση στροβιλότητα. Η εξίσωση που προκύπτει έχει ως εξής: 1 Ωi 1 U ( ω ω ) = u ω ( uωω ) + ωω s i x x x j i i j j i i i j ij j j j 1 ω ω + ω ω +Ω ω + ν ω ω ν i i i j Sij j i sij ( ) i i x j x j x j (.17) Ο πρώτος όρος του δεξιού µέλους είναι η παραγωγή του ωω i i λόγο βαθµίδας (gradient production of ωiω i ). Αυτός ο όρος ανταλλάσσει στροβιλότητα µεταξύ των ωω i i και ΩΩ i i µε τον ίδιο τρόπο όπως το ( uiu jsij ) ανταλλάσσει ενέργεια µεταξύ UiU i και uiu i. Ο δεύτερος όρος είναι η µεταφορά του µέσου τετραγώνου της τυρβώδους στροβιλότητας µέσω διακυµάνσεων της τυρβώδους ταχύτητας. Αυτός ο όρος είναι αντίστοιχος του όρου µεταφοράς ( u u u ) i i j x j στην εξίσωση για το uiu i. Ο τρίτος όρος είναι η παραγωγή µέσης τετραγωνικής τυρβώδους στροβιλότητας µέσω τυρβώδους διάτασης της τυρβώδους στροβιλότητας. Αυτός είναι ένας από τους κυρίαρχους όρους στην εξίσωση για το ωω i i. Ο τέταρτος όρος είναι η παραγωγή (ή καταστροφή, ανάλογα µε την περίπτωση) τυρβώδους στροβιλότητας προκαλούµενη από την διάταση (ή συρρίκνωση) των διακυµάνσεων της στροβιλότητας από το µέσο ρυθµό παραµόρφωσης S ij. Ο πέµπτος όρος είναι ένας µικτός όρος παραγωγής. Εµφανίζεται και στην εξίσωση για το ΩΩ i i µε το ίδιο πρόσηµο. Φανερά, η διάταση της κυµαινόµενης στροβιλότητας από διακυµάνσεις του ρυθµού παραµόρφωσης παράγει ΩΩ i i και ωω i i µε τον ίδιο ρυθµό. 14

37 Ο έκτος και ο έβδοµος όρος στο δεξιό µέλος είναι ιξώδης µεταφορά και εκφυλισµός του ωω i i, αντίστοιχα. Σε ροές µε µεγάλο αριθµό Reynolds Re Λ, π.χ. όταν λ<<λ, ο όρος στο αριστερό µέλος της εξ. (.17), όπως και οι όροι υπ αριθµόν ένα, δύο, τέσσερα, πέντε και έξι του δεξιού µέλους της εξ. (.17) γίνονται πολύ µικρότεροι από τον τρίτο και τον έβδοµο. Σε υψηλούς αριθµούς Reynolds εποµένως, το ισοζύγιο τυρβώδους στροβιλότητας µπορεί να προσεγγιστεί από την εξίσωση (Taylor, 1938): ω ωi ωi ω j sij x x i ν j j (.18) Έτσι, η παραγωγή ή απώλεια στροβιλότητας λόγω παραµόρφωσης των στροβίλων αντισταθµίζεται από την ιξώδη κατανάλωση στροβιλότητας. Αφού ο όρος του δεξιού µέλους είναι θετικός, τότε και το αριστερό µέλος πρέπει να είναι θετικό. Αυτό σηµαίνει ότι η διαδικασία παραγωγής στροβιλότητας µέσω διάτασης των στροβίλων πρέπει να υπερισχύει της διαδικασίας της συρρίκνωσης των στροβίλων, η οποία οδηγεί σε µείωση της στροβιλότητας. Αυτός ο όρος ονοµάζεται εποµένως «διατατικός όρος», «όρος παραγωγής» ή «όρος παραγωγής ενστροφίας». Ένα ακόµα ενδιαφέρον συµπέρασµα που προκύπτει από την εξ. (.18), είναι ότι το ισοζύγιο του µέσου τετραγώνου της διακυµαινόµενης στροβιλότητας είναι κατά προσέγγιση ανεξάρτητο από τη δοµή της µέσης ροής, αφού οι µέσες ποσότητες U i, Ω i και S ij δεν υπεισέρχονται σ αυτή την εξίσωση. Μπορεί έτσι κάποιος να αναµένει ότι η δυναµική της διακυµαινόµενης στροβιλότητας είναι όµοια για όλα τα είδη τυρβώδους ροής.. Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας...1 Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας για την εγγύς περιοχή ανάπτυξης µιας ελεύθερης τυρβώδους ορθογωνικής και επίπεδης δέσµης Στο κεφάλαιο αυτό, συνοψίζονται µερικά από τα βασικότερα στοιχεία που έχουν καταγραφεί στην διεθνή βιβλιογραφία για το αρχικό πεδίο ανάπτυξης των ελεύθερων επίπεδων και ορθογώνικών τυρβωδών δεσµών. Το µεγαλύτερο µέρος των προηγουµένων εργασιών επικεντρώθηκε στην επιρροή του λόγου πλευρών, AR, του ακροφυσίου (AR=L/D, όπου L και D είναι το µήκος και το πλάτος αντίστοιχα του ακροφυσίου) στην κατανοµή των τυρβωδών στατιστικών του πεδίου 15

38 ταχύτητας (Sfeir, 1976, 1979, Sforza και συν., 1966, 1979, Marsters & Fotneringham, 1980). Μελέτες των δεσµών αέρα που εκρέουν από αιχµηρά τοιχώµατα ενός ορθογώνιου ακροφυσίου έχουν παρουσιαστεί επίσης από τους Tsuchiya και συν. (1986), Quinn (199), Lozanova & Stankov (1998), Mi και συν. (001, 005) και Deo και συν. (007). Το πεδίο ροής µιας ορθογωνικής δέσµης χαρακτηρίζεται από την παρουσία τριών ευδιάκριτων περιοχών, καθορισµένες από την εξέλιξη της µέσης διαµήκους αξονικής ταχύτητας κατά µήκος της ροής, U c, (Krothapalli και συν., 1981), δηλαδή α) την περιοχή του πυρήνα δυναµικού (x/d=0 4~5), µε σχεδόν σταθερή την U c, που τελειώνει όταν τα δύο διατµητικά στρώµατα κατά πλάτος του ακροφυσίου συναντιούνται, β) τη διδιάστατη περιοχή (x/d=4~5 5~30) στην οποία η εξέλιξη της µέσης ταχύτητας U c προσεγγίζει σε ένα µεγάλο ποσοστό αυτή της επίπεδης δέσµης, και γ) την αξοσυµµετρική περιοχή, η οποία ξεκινά περίπου στη θέση x/d=5~30, θέση όπου τα διατµητικά στρώµατα κατά µήκος της σχισµής του ακροφυσίου συναντιούνται. Στην περιοχή αυτή η εξέλιξη της µέσης ταχύτητας U c είναι περίπου ίδια µε αυτήν της αξοσυµµετρικής δέσµης. Οι µετρήσεις στην παρούσα έρευνα διεξήχθησαν στην πρώτη και δεύτερη περιοχή (x/d=0 11), οι οποίες είναι σχεδόν ίδιες µε αυτές της επίπεδης δέσµης. Κάποιες µελέτες σχετικά µε την ανάπτυξη και εξέλιξη στην εγγύς περιοχή µιας επίπεδης τυρβώδους δέσµης, αναφέρονται παρακάτω. Στην αρχική περιοχή της επίπεδης δέσµης, στην οποία υπάρχει ο πυρήνας δυναµικού, εµφανίζονται οι συµµετρικές και οι αντισυµµετρικές διαταραχές. Οι αντισυµµετρικές διαταραχές έχουν χαµηλότερες συχνότητες από τις συµµετρικές και εντοπίζονται στο διατµητικό στρώµα στην έξοδο του ακροφυσίου. Επισηµάνετε ότι η σχετική ένταση των δυο ειδών διακυµάνσεων εξαρτώνται έντονα από την κατανοµή της αρχικής µέσης ταχύτητας. Η κατανοµή ενός παραβολικού τύπου οδηγεί στην επικράτηση των αντισυµµετρικών διακυµάνσεων. Η ύπαρξη επίπεδου προφίλ της µέσης ταχύτητας, όπως θα παρατηρήσουµε στην συγκεκριµένη µελέτη, έχει ως αποτέλεσµα την επικράτηση των συµµετρικών διακυµάνσεων, Thomas & Goldschmidt (1986). Από πειραµατικά αποτελέσµατα οι Thomas & Goldschmidt (1986) διαπίστωσαν ότι οι αντισυµµετρικές διαταραχές αλληλεπιδρούν µε τις αντίστοιχες συµµετρικές στο διατµητικό στρώµα µε αποτέλεσµα να επηρεάζουν την συνακόλουθη φασµατική ανάπτυξη. Όµως, οι συµµετρικές διαταραχές παίζουν κυρίαρχο ρόλο στην δοµική ανάπτυξη του διατµητικού στρώµατος της δέσµης. Αρχικά παρουσιάζονται στο δηµιουργηθέν διατµητικό στρώµα της δέσµης αλλά µε µικρό µέγεθος, και αυξάνουν κατά µήκος της ροής σε συµφωνία µε την 16

39 θεωρία της γραµµικής ευστάθειας για την αύξηση των διαταραχών στο χώρο. Ο Sato(1960) επισήµανε πως η δράση των µη γραµµικών επιδράσεων που οδηγεί στην παραµόρφωση της κατανοµής της µέσης ταχύτητας ξεκινάει όταν ικανοποιείται η σχέση u /U C > 4% όπου το u αντιστοιχεί στην µέση τετραγωνική ρίζα της διακυµαινόµενης διαµήκους ταχύτητας στην συχνότητα f. Αυτές οι επιδράσεις συνοδεύονται από την δηµιουργία στροβίλων στο διατµητικό στρώµα ή µε την περιέλιξη (roll up) του διατµητικού στρώµατος. Οι Rockwell & Niccolls (197) πραγµατοποίησαν µια µελέτη απεικόνισης της ροής σε µία αρχικά αναπτυσσόµενη δοµή µιας δισδιάστατης δέσµης και βρήκαν πως για ορισµένους αριθµούς Reynolds η δοµής της δέσµης µεταλλάσσεται κατά τυχαίο τρόπο µεταξύ των συµµετρικών και των αντισυµµετρικών τύπων. Η ακριβής αιτία της κυκλικότητας δεν είναι γνωστή αλλά πιθανότατα παίζουν ρόλο οι αρχικές συνθήκες. Πολλές έρευνες έχουν πραγµατοποιηθεί για την παραγωγή και την αποσύνδεση των στροβίλων στο διατµητικό στρώµα. Σ αυτές περιλαµβάνετε ο αριθµός Strouhal (St=f y c /U C ; όπου f η συχνότητα των στροβίλων, U c η µέση ταχύτητα στον κεντρικό άξονα και y c το ήµιπλάτος του διατµητικού στρώµατος) που συνδέεται µε την παραγωγή και αποσύνδεση των στροβίλων σε συνάρτηση µε τον αριθµό Reynolds Re. Έτσι στην περίπτωση της στρωτής δισδιάστατης δέσµης για πολύ χαµηλούς Re ο αριθµός Strouhal είναι ανεξάρτητος από τον αριθµό Re, (Sato, 1960). Χρησιµοποιώντας την µέθοδο απεικόνισης της δέσµης οι Beavers & Wilson 1970) συµπεράνανε ότι για Re = ο αριθµός Strouhal εξακολουθεί να είναι ανεξάρτητος από τον αριθµό Re και έχει τιµή 0.43 ( ο τύπος που χρησιµοποίησαν είναι St = f D/U 0, όπου D είναι το πλάτος του ακροφυσίου και U 0 η ταχύτητα εξόδου). Για Re > 3000 και µε την προϋπόθεση ότι το πάχος του διατµητικού στρώµατος είναι µικρότερο από το πλάτος D, ο αριθµός Strouhal είναι ανάλογος µε την τετραγωνική ρίζα του αριθµού Reynolds. Tα αναπτυσσόµενα διατµητικά στρώµατα του jet (και οι συνδυαζόµενες δοµές) συναντιούνται κοντά στο σηµείο x/d=4~6. Η συγχώνευση των διατµητικών στρωµάτων στο τέλος του πυρήνα δυναµικού [µια καλή περιγραφή µε βάση το φάσµα της ταχύτητας έχει γίνει από τους Thomas & Goldschmidt (1986)] λαµβάνει χώρα οµαλά περίπου για x/d=~3. Το γεγονός της συγχώνευσης των διατµητικών στρωµάτων έχει ως αποτέλεσµα την αναδόµηση της ροής, η οποία οδηγεί σε µια απώλεια της εγκάρσιας δισδιαστατότητας και το σχηµατισµό µιας αυτοσυντηρούµενης δοµής αντισυµµετρικής µορφής. Η δοµή αυτή γνωστή και ως φαινόµενο του κυµατισµού (flapping) της τυρβώδους επίπεδης δέσµης αναφέρθηκε για πρώτη φορά από τους Goldschmitd & Brandshaw (1973) και αργότερα από τους Everitt & Robins (1978) και Cevantes & Goldschmitd (1981). Συγκεκριµένα παρατηρήθηκε η ύπαρξη αρνητικής συσχέτισης µεταξύ διακυµάνσεων της διαµήκους ταχύτητας, που µετρηθήκαν 17

40 ταυτόχρονα από ανεµόµετρα θερµού νήµατος τοποθετηµένα αντιδιαµετρικά στα διατµητικά στρώµατα στις θέσεις =±1. Ο όρος «κυµατισµός» είναι στην πραγµατικότητα µια όχι και τόσο κατάλληλη ονοµασία που προέρχεται από παλιότερες ερµηνείες αυτού του φαινόµενου και στις οποίες λεγόταν ότι η δέσµη «κυµατίζει» όπως µια σηµαία. Οι Oler & Goldschmitd (198) πρότειναν ότι τέτοιες µετρήσεις της συσχέτισης φανερώνουν την ύπαρξη συνεκτικών δοµών µεγάλης κλίµακας στην περιοχή οµοιότητας της επίπεδης δέσµης µε τη µορφή αυτοσυντηρούµενων αντισυµµετρικών σειρών στροβίλων αντίθετης φοράς. Από την ανάλυση του φάσµατος των ταχυτήτων σε απόρευµα σώµατος στον κεντρικό άξονα οι Papailiou & Likoudis (1974) παρατήρησαν ότι η κορυφή που αντιπροσωπεύει τις συγκεκριµένες δοµές εξαφανίζεται µετά το x/d = 14 στην u συνιστώσα ενώ στην v συνιστώσα παρατηρείται µέχρι το x/d = 60. Μετρήσεις συσχέτισης από τους Antonia και συν. (1983) στήριξαν µια τέτοια ιδέα περί σειράς αντισυµµετρικών δοµών και έδειξαν ότι ο φαινοµενικός κυµατισµός µπορεί πράγµατι να εξηγηθεί σε σχέση µε το πέρασµα στροβιλωδών δοµών από το ζεύγος του θερµού νήµατος και ότι δεν σχετίζεται µε εγκάρσια µεταφορά µάζας από τη δέσµη. Οι Antonia και συν. (1983) υπέδειξαν επίσης ότι η παρουσία µιας δοµής αντισυµµετρικής µορφής δεν έρχεται σε αντίθεση µε παλαιότερες παρατηρήσεις των Gutmark & Wygnanski (1976) και των Moum, Kawall & Keffer (1983) οι οποίες έδειχναν την ανεξάρτητη τρισδιάστατη τυχαία κίνηση της τυρβώδους / µη τυρβώδους διαχωριστικής επιφάνειας εκατέρωθεν της δέσµης. Λεπτοµερείς καµπύλες ισο-συσχέτισης βασισµένες τόσο σε εγκάρσιες όσο και σε διαµήκεις διακυµάνσεις ταχυτήτων όπως παρατηρήθηκαν σε διαφορετικές διατάξεις δέσµης από τους Mumford (198), Antonia και συν. (1983) και Thomas & Brehob (1986) επιδεικνύουν µια αξιοσηµείωτη οµοιότητα και εµφανίζονται συνεπείς µε την ύπαρξη µιας σειράς δοµών µεγάλης κλίµακας στην περιοχή οµοιότητας της επίπεδης δέσµης. Επιπλέον ο Goldshmidt, Mollemi & Oler (1983) για να δώσουν πιο ικανοποιητική εικόνα υπογράµµισαν ότι η σειρά αυτή θυµίζει έντονα την οδό von Karman. Η µελέτη των Antonia και συν. (1983) έγινε σε θερµαινόµενη δέσµη και η ύπαρξη εγκαρσίων συνεκτικών µετώπων θερµοκρασίας χρησιµοποιήθηκε σαν βασικό χαρακτηριστικό. Η τοπολογία των συνεκτικών δοµών που εξήχθη από αυτή τη µέθοδο υπέδειξε µια αντισυµµετρική σειρά δοµών. Τα θερµοκρασιακά µέτωπα βρέθηκε ότι σχετίζονται µε τις αποκλίνουσες γειτονικές συνεκτικές δοµές στην ίδια πλευρά της δέσµης. Η συνεισφορά των συνεκτικών και των τυχαίων κινήσεων στην µεταφορά ορµής και ενέργειας βρέθηκε να είναι συγκρίσιµη. Ο Mumford (198) χρησιµοποίησε µια τεχνική αναγνώρισης προτύπων που βασίστηκε σε µια επαναληπτική διαδικασία µε σκοπό να διερευνήσει την τοπολογία των 18

41 συνεκτικών δοµών µεγάλης κλίµακας σε µία τυρβώδη επίπεδη δέσµη. Ένα αρχικό πρότυπο δοµής, του οποίου η µορφή βασιζόταν σε συµβατικές µετρήσεις της συσχέτισης, χρησιµοποιήθηκε σαν αφετηρία και τροποποιήθηκε µε βάση τα πειραµατικά δεδοµένα µέχρι να επιτευχθεί σύγκλιση. Τα αποτελέσµατα φανέρωναν την ύπαρξη πολλαπλών κυλινδρόµορφων δοµών των οποίων οι άξονες εκτείνονταν ή στην διεύθυνση κατά µήκος της σχισµής του ακροφυσίου, ή σε αυτήν της διάτµησης της σχετικής µε την κλίση της µέσης ταχύτητας. Την ύπαρξη συγκεκριµένων δοµών (υπό κλίση) την υποστηρίζει ένας αριθµός συγγραφέων (Tennekes & Lumley 197: Townsend 1956) επισηµαίνοντας ότι η ικανότητα των δοµών να διατηρούν την ταυτότητά τους, εξαρτάται από την ικανότητά τους να αποσπούν ενέργεια από την µέση ροή. Τέτοιες δοµές είναι τυπικά αυτές όπου οι κύριοι άξονές τους παρατάσσονται µε το µέσο ρυθµό παραµόρφωσης (strain rate). Τέτοιος προσανατολισµός αυξάνει την µεταφορά ενέργειας µε το γνωστό µηχανισµό διάτασης στροβίλων (vortex stretching). Επίσης η ύπαρξη πολλαπλών µορφών δοµής στη ροή υποδειχθήκαν από τους Antonia και συν. (1983) και Thomas & Brehob (1986) για να εξηγήσουν τις µικρές ολοκληρωτικές µακροκλίµακες στη διεύθυνση κατά µήκος της σχισµής στην περιοχή οµοιότητας. Χωροχρονικές συναρτήσεις συσχέτισης σχηµατιζόµενες µεταξύ εγκαρσίων ή διαµηκών συνιστωσών των διακυµάνσεων της ταχύτητας, που µετρούνται ταυτόχρονα σε αντίθετες πλευρές της επίπεδης δέσµης βρέθηκαν να είναι ηµι-περιοδικές. Έτσι, µια τοπική χρονική κλίµακα, τ c µπορεί να οριστεί ως η µέση χρονική καθυστέρηση µεταξύ διαδοχικών µέγιστων ή ελάχιστων των συναρτήσεων συσχετισµού. Μελέτες των Cevantes & Goldschmitd (1981), Antonia & συνεργ. (1983), Thomas & Goldschmitd (1986) και Thomas & Brehod (1986) σε διαφορετικές πειραµατικές διατάξεις δίνουν στην περιοχή οµοιότητας όλες το ίδιο σταθερό αριθµό Strouhal: St=f y c /U C =0.11 Μολονότι πολλές λεπτοµέρειες που αφορούν την τοπολογία, προέλευση, εξέλιξη, αµοιβαία αλληλεπίδραση και το ρόλο των συνεκτικών δοµών στην δυναµική του πεδίου ροής δεν είναι ακόµα ξεκάθαρες, υπάρχει χωρίς αµφιβολία µια αξιοσηµείωτη συνεκτική δοµή στην περιοχή οµοιότητας του επιπέδου jet. Αυτή η δοµή φαίνεται να ξεκινά κοντά στο τέλος του πυρήνα δυναµικού του jet και εξελίσσεται κατά µήκος της ροής. Η τοπολογία δοµής που προκύπτει µπορεί να είναι πολύπλοκη, αφού οι µελέτες προτείνουν κυλίνδρους ευθυγραµµισµένους στη διεύθυνση κατά µήκος της σχισµής του ακροφυσίου και στη 19

42 διεύθυνση της διάτµησης, που σχετίζεται µε το προφίλ της µέσης ταχύτητας. Μεταξύ των πολλών ερευνών για τις τυρβώδεις ορθογώνικες δέσµες αέρα η παρούσα έρευνα είναι η πρώτη που παρουσιάζει πειραµατικά αποτελέσµατα των συνιστωσών της στροβιλότητας... Ανασκόπηση προηγούµενων εργασιών ως προς την µέτρηση του διανύσµατος της στροβιλότητας. Μέθοδοι ικανές για τον προσδιορισµό µιας ή δυο συνιστωσών του στιγµιαίου διανύσµατος της στροβιλότητας µε βάση την τεχνική HWA έχουν αναπτυχθεί από τους Kovasznay (1954), Καστρινάκης & Eckelmann (1983), Foss (1976, 1981), Antonia και συν. (1987,1988) και άλλους. Η εξέλιξη αυτών των µεθόδων φαίνεται στις ανασκοπήσεις που έχουν κατά καιρούς δηµοσιευθεί (Comte-Bellot, 1980, Wallace, 1986, Foss & Wallace, 1989 και Wallace & Foss, 1995). Οι διατάξεις που έχουν εξελιχθεί για τη µέτρηση της τρισδιάστατης στροβιλότητας αποτελούνται από τουλάχιστον τρεις πολύ-νηµατικές κεφαλές συναρµολογηµένες σε µια και µοναδική κεφαλή στροβιλότητας. Με αυτό τον τρόπο το τρισδιάστατο διάνυσµα της ταχύτητας µετράται ταυτόχρονα σε διάφορα σηµεία του ροϊκού πεδίου. Στο σχήµα.3 δίνεται µια σύνοψη των κεφαλών που κατασκευάστηκαν στις µελέτες που αναφέρονται παρακάτω. Αξίζει να σηµειωθεί ότι όλες οι διατάξεις αποτελούνται από κεφαλές της ίδιας περίπου συνολικής διαµέτρου µε θερµό νήµα των.5 µm. Οι πρώτη κεφαλή αυτού του τύπου χρησιµοποιήθηκε από τον Wallace (1986). Ο Wallace και οι συνεργάτες του χρησιµοποίησαν µια κεφαλή εννέα θερµών νηµάτων αποτελούµενη από τρεις κεφαλές των τριών θερµών νηµάτων µε σχετικά χοντρά, κοινά κεντρικά στηρίγµατα (σχήµα.3α). Για να ελαχιστοποιηθεί η αλληλεπίδραση µεταξύ των νηµάτων, η ηλεκτρική αντίσταση του κεντρικού στηρίγµατος (prong) µειώθηκε µε επινικέλωση περισσότερο από τα περιφερειακά στηρίγµατα. Η εκτίµηση των τριών συνιστωσών και των έξι παραγώγων της ταχύτητας στις κάθετες στη ροή διευθύνσεις βασίστηκε στη χρησιµοποίηση µιας ενεργού ταχύτητας ψύξης U eff (ο ορισµός της U eff δίνεται στο κεφάλαιο 4) για κάθε θερµό νήµα και τα αναπτύγµατα κατά Taylor σε πρώτη τάξη των συνιστωσών της ταχύτητας γύρω από το κέντρο µάζας της κεφαλής (Vukoslavcevic και συν., 1991). Οι παράγωγοι της ταχύτητας κατά µήκος της ροής εκτιµήθηκαν βάσει της υπόθεσης του Taylor για την «παγωµένη τύρβη» (frozen turbulence). Με αυτή την κεφαλή ελήφθησαν εκτεταµένες µετρήσεις της ταχύτητας και των κλίσεων της ταχύτητας σε ροή οριακού 0

43 στρώµατος, Balint και συν. (1991), και ακόµα σε στρώµατα ανάµειξης δύο ροών και τύρβη πλέγµατος, Kit και συν.(1987), Balint και συν. (1988) και Wallace & Balint (1989). Οι Tsinober και συν. (199) χρησιµοποίησαν αρχικά κεφαλές των τριών θερµών νηµάτων µε ξεχωριστά εσωτερικά στηρίγµατα (σχήµα.3β). Βρήκαν ότι προσθέτοντας ένα τέταρτο νήµα σε κάθε σειρά, µπορούσαν να επιτύχουν µεγαλύτερη ακρίβεια. Το διάνυσµα της ταχύτητας στο κέντρο µάζας κάθε υπό-κεφαλής υπολογίστηκε χρησιµοποιώντας πολυώνυµα Chebychev τέταρτης τάξης για να προσεγγιστούν τα τρισδιάστατα δεδοµένα βαθµονόµησης της σειράς. Οι παράγωγοι της ταχύτητας σε διευθύνσεις κάθετες στη ροή εκτιµήθηκαν µε σχήµατα πεπερασµένων διαφορών ακρίβειας πρώτης τάξης. Οι παράγωγοι της ταχύτητας στη διεύθυνση της ροής υπολογίστηκαν σύµφωνα µε την υπόθεση Taylor. Με την κεφαλή των δώδεκα θερµών νηµάτων που αποτελείται από τρεις κεφαλές των τεσσάρων νηµάτων, έκαναν πειραµατικές έρευνες των σχέσεων ταχύτητας-στροβιλότητας σε τυρβώδη ροή πλέγµατος και στην εξωτερική περιοχή τυρβώδους οριακού στρώµατος. Έχουν καταφέρει να αποδείξουν σηµαντικές ιδιότητες ευθυγράµµισης του διανύσµατος της στροβιλότητας σ αυτές τις ροές. Συνεχίζοντας, οι Tsinober και συν. (1993) προσθέσανε δυο ακόµα κεφαλές των τεσσάρων νηµάτων στην κεφαλή των δώδεκα νηµάτων, για να πάρουν µια κεφαλή των είκοσι νηµάτων (σχήµα.3γ). Οι έξι παράγωγοι των συνιστωσών της ταχύτητας κάθετα στη διεύθυνση της ροής εκτιµώνται από ένα σχήµα κεντρικών διαφορών πέντε σηµείων µε ακρίβεια δεύτερης τάξης. Η διάταξη των νηµάτων σε αυτή την κεφαλή παρουσιάζει το πλεονέκτηµα ότι και οι εννιά παράγωγοι της ταχύτητας υπολογίζονται γύρω από την ίδια θέση, το κέντρο µάζας της κεφαλής, και ότι και οι παράγωγοι δεύτερης τάξης µπορούν να υπολογιστούν επίσης στο ίδιο σηµείο. Το µήκος διακριτότητας σ αυτή τη διάταξη, ωστόσο, είναι σηµαντικά µεγαλύτερο απ ότι σε διατάξεις τριών κεφαλών. Με αυτή την κεφαλή πραγµατοποιήθηκαν µετρήσεις σε ελεύθερη τυρβώδη ροή και προσδιορίστηκαν αναλύσεις σχετικές για την ευθυγράµµιση της στροβιλότητας και τις ιδιότητες µεταφοράς της ενστροφίας. Σε πιο πρόσφατες εργασίες, οι Wallace και συν. (199) χρησιµοποίησαν µια κεφαλή στροβιλότητας µε δώδεκα θερµά νήµατα, αποτελούµενη από τρεις κεφαλές των τεσσάρων θερµών νηµάτων η καθεµία (σχήµα.3δ). Η διαδικασία εκτίµησης των δεδοµένων είναι παρόµοια µε αυτή που περιγράφεται στους Vukoslavcevic και συν. (1991) µε τη διαφορά ότι το U eff εξάγεται από την εξίσωση Jorgensen (1971) (Marasli και συν., 1993). Λόγω της παρουσίας του τετάρτου θερµού νήµατος σε κάθε κεφαλή, βελτιώθηκε η σύγκλιση της διαδικασίας εκτίµησης. Με αυτή την κεφαλή οι Wallace & Ong (1994) διεξήγαγαν πειράµατα 1

44 σε τυρβώδες οριακό στρώµα πάχους 1 m στην αεροσήραγγα 80 ποδών στο Ames της NASA. Λόγω των µεγάλων διαφορών µεταξύ των κλιµάκων µήκους της τύρβης, κατέστη δυνατό να µετρηθούν υψηλής ανάλυσης φάσµατα συχνοτήτων της ταχύτητας και της στροβιλότητας και ν αποδειχθεί πειραµατικά η θεωρία του Kolmogoroff περί τοπικής ισοτροπίας. O Lemonis και συν. (1995) σχεδίασαν µια βελτιωµένη εκδοχή της κεφαλής πέντε κεφαλών που σχεδιάστηκε από τους Tsinober και συν. (1993). Οι διαστάσεις των κεφαλών διατηρήθηκαν ίδιες, όµως λόγω της νέας διάταξης των κεφαλών κατέστη δυνατό να µειωθεί η διακριτότητα από.8 mm σε 1.4 mm και να µειωθεί έτσι και το συνολικό µέγεθος της κεφαλής. Έτσι, η χωρική ανάλυση της κεφαλής είναι συγκρίσιµη µε αυτή των κεφαλών µε τρεις υπό κεφαλές. Στην συγκεκριµένη εργασία χρησιµοποιείται µια κεφαλή στροβιλότητας µε δώδεκα θερµά νήµατα, αποτελούµενη από τρεις κεφαλές των τεσσάρων θερµών νηµάτων η καθεµία, παρόµοια µε αυτή των Wallace και συν. 199 (σχήµα.3ε)..3α)

45 .3β).3γ) 3

46 .3δ).3ε) Σχήµα.3 (α, β, γ, δ, ε) Πρόσοψη διαφόρων κεφαλών πολλαπλών αισθητήρων (όλες οι διαστάσεις σε mm). 4

47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΑΞΗ 3.1 Περιγραφή της υπό µελέτης συσκευής Η πειραµατική διάταξη που µελετήθηκε είναι εγκατεστηµένη στο εργαστήριο Τεχνικής Θερµοδυναµικής. Στο σχήµα 3.1 φαίνεται το κατασκευαστικό σχέδιο της συσκευής. Η διάταξη αποτελείται από τα ακόλουθα τµήµατα: 1. Ακροφύσιο εξόδου. Θάλαµος καθησυχασµού 3. ιαχύτης 4. Ανεµιστήρας - Κινητήρας H πειραµατική διάταξη έχει εγκατασταθεί σε ένα κλειστό χώρο 6m x 4m, ώστε να προστατεύεται η δέσµη από εξωτερικά ρεύµατα. Παρακάτω δίνονται συνοπτικά στοιχεία για τα επιµέρους τµήµατα. 300 x Ακροφύσιο εξόδου. Θάλαµος καθησυχασµού ιαχύτης 4. Ανεµιστήρας - Κινητήρας 3 4 Σχήµα 3.1 Κατασκευαστικό σχέδιο πειραµατικής συσκευής. 5

48 3.1.1 Ακροφύσιο Εξόδου Το τµήµα αυτό επιταχύνει τη ροή και τη φέρνει στις επιθυµητές συνθήκες στο πεδίο µετρήσεων. Επίσης αυξάνει την οµοιοµορφία της κατανοµής της ταχύτητας στην διατοµή. Τα χαρακτηριστικά του ακροφυσίου είναι τα εξής: ιατοµή εισόδου: 00mm x 300mm Μήκος: 188mm ιατοµή εξόδου: πλάτος D=50mm, µήκος L=300mm Λόγος πλευρών: AR=L/D=6 Πάχος τοιχωµάτων του ακροφυσίου: mm Λόγος σύγκλισης k=4. Ο λόγος σύγκλισης ορίζεται σαν το πηλίκο της µέσης ταχύτητας εξόδου προς την µέση ταχύτητα εισόδου του ακροφυσίου. Από τις µεθόδους σχεδίασης υποηχητικών ακροφυσίων που αναφέρονται στη βιβλιογραφία επιλέγεται η µέθοδος του G. Börger (1973). Η συγκεκριµένη µέθοδος υπολογίζει τη µορφή της δυναµικής ροής ξεκινώντας από ένα τυχαίο ανάπτυγµα ακροφυσίου. Στη συνέχεια το ανάπτυγµα µεταβάλλεται συνεχώς µέχρι ωσότου προκύψει η κατάλληλη ροή στο ακροφύσιο. Η µέθοδος αυτή προτιµήθηκε διότι για δοσµένο λόγο σύγκλισης (k=4) και προκαθορισµένη οµοιογένεια της ταχύτητας εξόδου ( U/U ±0.07, όπου U/U είναι η επιτρεπόµενη απόκλιση της µέσης ταχύτητας εξόδου και η U=U max -U min ), το ακροφύσιο έχει το µικρότερο δυνατό µήκος, χωρίς να εµφανιστεί σε κανένα σηµείο αποκόλληση του οριακού στρώµατος. Ο λόγος σύγκλισης ελαττώνει διαφορές ταχυτήτων µεταξύ παράλληλα κινουµένων ροϊκών στρωµάτων αέρα που προϋπάρχουν στη ροή. Η ευνοϊκή επίδραση της σύγκλισης οφείλεται στο ότι σύµφωνα µε τον Bernoulli (για σταθερή ολική ενέργεια) στην έξοδο αυξάνει σηµαντικά το επίπεδο της κινητικής ενέργειας των στρωµάτων (είναι ανάλογο του u ) έτσι ώστε µια µικρή µόνο διαφορά ταχυτήτων αρκεί για να καλύψει την ενεργειακή διαφορά που συνεχίζει να υπάρχει στην έξοδο. Περαιτέρω λεπτοµέρειες για το σχεδιασµό του ακροφισίου µε την µέθοδο Börger δίνονται στην σπουδαστική εργασία του Τζοβάνη

49 3.1. Θάλαµος καθησυχασµού Οι απαιτήσεις για τη ποιότητα της ροής στην είσοδο του ακροφυσίου µπορούν να επιτευχθούν µε κατάλληλο σχεδιασµό του θαλάµου καθησυχασµού. Εδώ προσαρµόζονται αποσβεστικά πλέγµατα και κυψελίδα µε σκοπό να εξοµαλύνουν τη ροή, να τη κάνουν δηλαδή οµοιόµορφη, οµογενή και να της µειώσουν το επίπεδο τύρβης. Το συνολικό µήκος του θαλάµου είναι 310mm. Πλέγµατα Τα πλέγµατα συµβάλλουν στην εξοµάλυνση των ανοµοιοµορφιών της ταχύτητας και µειώνουν το επίπεδο τύρβης της ροής. Οι µεγάλες δίνες καταστρέφονται χτυπώντας πάνω στο πλέγµα και γίνονται µικρότερες ή ίσες του ανοίγµατος µεταξύ δύο συρµάτων του πλέγµατος. Αυτή η δραστική µείωση οδηγεί σε πιο γρήγορο εκφυλισµό. Όµως µε τα πλέγµατα, οι διαµήκεις διακυµάνσεις της τύρβης αποσβένονται ισχυρότερα από τις εγκάρσιες. Εποµένως η ισότροπη τύρβη διερχόµενη από πλέγµα καθίσταται ανισότροπη. Η ισότροπη όµως κατάσταση αποκαθίσταται σύντοµα. Με την τοποθέτηση κατάλληλων πλεγµάτων σε ορισµένη απόσταση µεταξύ τους, µπορούν να επιτευχθούν πολύ χαµηλά επίπεδα τύρβης, µε ικανοποιητική οµοιοµορφία. Ο προσδιορισµός του απαραίτητου αριθµού πλεγµάτων εξαρτάται από το επίπεδο τύρβης που επιδιώκεται µε τη τοποθέτηση τους. Έχουµε επιλέξει πλέγµα τετραγωνικού βρόχου (1 1mm) µε σύρµα κυκλικής διατοµής. Ο συντελεστής απόφραξης ορίζεται ως: β r = επιφάνεια βρόχων / ολική επιφάνεια = (l-d)² / l² = (1-(d/l))² = 0.64 όπου l=1mm το πλάτος τετραγωνικού βρόγχου και d=0.3mm η διάµετρος του σύρµατος. Ο συντελεστής αντίστασης k s ενός πλέγµατος προσδιορίζεται από την εµπειρική σχέση: k s =(1-β r )/β r = Για αριθµό r=5 ιδίου τύπου πλεγµάτων, τοποθετηµένων σε αγωγό σταθερής διατοµής, ο ολικός βαθµός αντίστασης k st των πλεγµάτων είναι: k st =rk s =

50 Κυψελίδα Η εγκατάσταση κυψελίδας στο θάλαµο καθησυχασµού της ροής βοηθάει στην εξοµάλυνση και ευθυγράµµιση της ροής καθώς και στη µείωση της τύρβης. ιασπά τις δίνες µεγάλης κλίµακας σε µικρότερες και µειώνει τις εγκάρσιες µεταβολές της µέσης ταχύτητας. Αποτελείται από κυψέλες κυκλικής διατοµής µε µήκος κυψέλης 10 φορές τη διάµετρο της. Για ροές µε γωνιότητα µεγαλύτερη από 10 µειώνεται δραστικά η αποδοτικότητα της κυψελίδας ενώ ταυτόχρονα αυξάνεται η συνεισφορά της στις ολικές απώλειες πίεσης. Ο συντελεστής αντίστασης ή απωλειών πίεσης κυψελίδας, µε κυψέλη κυκλικής διατοµής και λόγο µήκους προς διάµετρο κυψέλης ίσο µε 10, είναι k h = ιαχύτης Χρησιµοποιείται για την επιβράδυνση της ροής, δηλαδή τη µετατροπή της δυναµικής πίεσης σε στατική, µε κύριες απαιτήσεις την ελαχιστοποίηση των ενεργειακών απωλειών και τη διατήρηση της οµοιοµορφίας του ροϊκού πεδίου. Η ανάστροφη βαθµίδα της πίεσης που επικρατεί στο διαχύτη, µπορεί να προκαλέσει την αποκόλληση του οριακού στρώµατος από τα τοιχώµατα του διαχύτη, µε αποτέλεσµα την αύξηση των απωλειών και της έντασης της τύρβης. Οι Batchelor & Shaw (1944) ανέφεραν ότι η ροή δεν αποκολείται όταν η ολική γωνία απόκλισης του διαχύτη δεν υπερβαίνει τους 7 0. Στην παρούσα πειραµατική διάταξη ο διαχύτης µε ολική γωνία απόκλισης των απέναντι τοιχωµάτων ίση µε 5, εξασφαλίζει το απαιτούµενο ροϊκό πεδίο µε αντιστάθµισµα την αύξηση του µήκους του διαχύτη Ανεµιστήρας - Κινητήρας Το µέγεθος του ανεµιστήρα αποτελεί µια κρίσιµη επιλογή καθώς ένας µικρός ανεµιστήρας είναι χαµηλής απόδοσης, ενώ σε ένα µεγάλο παρουσιάζεται το φαινόµενο του πτερυγισµού των πτερυγίων. Έχουµε επιλέξει ανεµιστήρα µε χαρακτηριστικά: Ισχύς : 1.5 KW Συχνότητα : 800 rpm Τάση λειτουργίας : 0 V (τριφασικό) Το πείραµα πραγµατοποιήθηκε σε έναν αριθµό Reynolds Re = U 0 D/ν = 1000, όπου το U 0 είναι η ταχύτητα εξόδου από το ακροφύσιο, D είναι το πλάτος του ακροφυσίου και ν είναι 8

51 το κινηµατικό ιξώδες του αέρα στην περιβαλλοντική θερµοκρασία 3 o C. Η κατανοµή της διαµήκης τυρβώδης έντασης στην έξοδο του ακροφυσίου είναι οµοιόµορφη και η τιµή της είναι περίπου 1%, εκτός από τα οριακά στρώµατα κοντά στα τοιχώµατα του ακροφυσίου, όπου η µέγιστη τιµή είναι περίπου %. Έχοντας υπόψη τον παράγοντα µορφής (shape factor) και την κατανοµή της µέσης ταχύτητας, τα αρχικά οριακά στρώµατα χαρακτηρίζονται ως στρωτά (Hussain & Clark 1977, Lozanova & Stankov 1998). 9

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΑΙ ΛΗΨΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 4.1 Ανεµοµετρία θερµού νήµατος Βασικές αρχές της ανεµοµετρίας θερµού νήµατος Οι αρχές της ανεµοµετρίας θερµού νήµατος αναπτύχθηκαν στις αρχές της προηγούµενης δεκαετίας (1914). Σύγχρονα συστήµατα, οι δυνατότητές τους και οι περιορισµοί τους περιγράφονται από τους Hinze 1975, Perry 198 και Lomas Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν µερικές επεξηγητικές έννοιες. Η αναφορά θα περιοριστεί σε µεθόδους ανεµοµετρίας σταθερής θερµοκρασίας (CTA). Το αισθητήριο της ανεµοµετρίας θερµού νήµατος είναι ένα πολύ λεπτό µεταλλικό νήµα, το οποίο θερµαίνεται από το ηλεκτρικό ρεύµα. Το ανεµόµετρο θερµού νήµατος συνδέεται µε το ένα σκέλος µίας γέφυρας Wheatstone και η τάση ρυθµίζεται σε τέτοια τιµή ώστε η θερµοκρασία του νήµατος να είναι υψηλότερη από αυτήν της ροής του ρευστού. Το νήµα ψύχεται από το ρέον ρευστό, ελαττώνεται έτσι η θερµοκρασία του και συνεπώς µειώνεται η τιµή της ηλεκτρικής του αντίστασης. ύο βασικές διαφορετικές µέθοδοι µπορούν να εφαρµοστούν: η µία ονοµάζεται µέθοδος σταθερής θερµοκρασίας (CTA) ενώ η δεύτερη καλείται µέθοδος σταθερού ηλεκτρικού ρεύµατος (CCA). Στην πρώτη περίπτωση η θερµοκρασία του νήµατος και άρα και η ηλεκτρική του αντίσταση διατηρείται σταθερή ενώ η τάση µεταβάλλεται µε την ταχύτητα. Η µεταβολή αυτή είναι και το αντικείµενο µέτρησης. Η µέθοδος ανεµοµετρίας σταθερής θερµοκρασίας παρουσιάζει πολλά πλεονεκτήµατα και είναι ευρέως αποδεκτή. Στη µέθοδο CCA, που χρησιµοποιείται κυρίως για µετρήσεις της θερµοκρασίας, µεταβάλλεται η ηλεκτρική αντίσταση καθώς το ρεύµα διατηρείται σταθερό. Η σχέση µεταξύ της τάσης της γέφυρας του ανεµοµέτρου και της ταχύτητας του ρευστού προσδιορίστηκε από τον King (νόµος του King). E = A+B U (4.1) n Ο εκθέτης µπορεί να υπολογιστεί µόνο πειραµατικά και η τιµή του είναι συνήθως

53 Ο Jorgensen (1971), θέλοντας να καθορίσει τη διεύθυνση της ροής, εισήγαγε την έννοια της «ενεργής» ταχύτητας ψύξης (effective cooling velocity), η οποία δίνεται από τη σχέση U = U + k U + k U (4.) eff n b b t t όπου U n, U t, U b είναι οι συνιστώσες του διανύσµατος της ταχύτητας σε σχέση µε το καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων του νήµατος (x w, y w, z w ), µε το x w άξονα να βρίσκεται στο επίπεδο που διαµορφώνεται από το νήµα και το στήριγµά του. Ο άξονας y w είναι σύµφωνος µε τη διεύθυνση του νήµατος (σχήµα 4.1). Οι ταχύτητες U n, U b και U t ονοµάζονται κάθετη, εγκάρσια και εφαπτοµενική συνιστώσα της ταχύτητας και οι συντελεστές k b και k t ονοµάζονται εγκάρσιος και εφαπτοµενικός συντελεστής ευαισθησίας διεύθυνσης αντίστοιχα (directional sensitivity factors). Σχήµα 4.1 Συνιστώσες της ταχύτητας στο σύστηµα συντεταγµένων του αισθητήρα (x,y,z) και στο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων των νηµάτων (x w, y w, z w ) για κλίση του ανεµοµέτρου 45 ως προς την επικείµενη ροή. U Η διαφορά µεταξύ της ταχύτητας της ροής U [οπού U είναι το άνυσµα της ταχύτητας = (U,V,W) ] και της «ενεργής ταχύτητας ψύξης» U eff είναι σηµαντική εξαιτίας της διαφορετικής συνεισφοράς των συνιστωσών U n, U t, και U b στο ρυθµό µεταφοράς θερµότητας από το νήµα προς την επικείµενη ροή. Οι συντελεστές k b και k t υπολογίζονται πειραµατικά κυρίως από τη γωνιακή βαθµονόµηση του αισθητήρα σε οµοιόµορφη ροή. Τυπικές τιµές των κατευθυντικών συντελεστών ευαισθησίας είναι k b =1.0.0 και k t =

54 Ο νόµος του King µε όρους της ταχύτητας U eff γίνεται: E = A+B U. (4.3) eff Από τις δύο προηγούµενες εξισώσεις είναι δυνατό να δηµιουργηθεί ένα µαθηµατικό µοντέλο για την απόκριση του νήµατος. Το µοντέλο αυτό είναι του τύπου: E=f( U,α,β) (4.4) Οι γωνίες α και β αντιστοιχούν στο οριζόντιο πρόνευσης (pitch) και κατακόρυφο εκτροπής (yaw) επίπεδο σάρωσης. Οι γωνίες αυτές καθορίζουν το διάνυσµα της ταχύτητας στο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων του αισθητήρα (σχήµα 4.1). Θεωρητικά, χρησιµοποιώντας αισθητήρες που αποτελούνται από τρία νήµατα που έχουν γνωστές συναρτήσεις απόκρισης, είναι δυνατή η κατασκευή ενός µαθηµατικού µοντέλου τριών εξισώσεων. Το µοντέλο αυτό θα εκτιµά την κατεύθυνση του διανύσµατος της ταχύτητας από τις τρεις µετρούµενες τάσεις του ανεµοµέτρου E 1, E, E 3. Ο νόµος του King και οι εξισώσεις του Jorgensen είναι κατάλληλες για αισθητήρες µε ιδεατή γεωµετρία και ικανότητα µεταφοράς θερµότητας. Η εφαρµογή των σχέσεων αυτών σε πραγµατικούς αισθητήρες µπορεί να οδηγήσει σε σηµαντικά σφάλµατα. Επιπρόσθετα, όπως φαίνεται και σε προηγούµενες µελέτες (Bruun και Tropea, 1985, Muller, 1987, Chew και Ha, 1988, Wagner και Kent, 1988), οι κατευθυντικοί συντελεστές ευαισθησίας k b και k t, οι οποίοι θεωρούνται σταθεροί στις εξισώσεις του Jorgensen, εξαρτώνται από το µέγεθος της ταχύτητας καθώς και από τη γωνία προσβολής. Οι συντελεστές αυτοί µπορεί να αποκλίνουν σηµαντικά από τις µέσες τιµές τους. 4. Κεφαλή 1-αισθητήρων για µετρήσεις µε τη µέθοδο της ανεµοµετρίας θερµού νήµατος Η κατασκευή της κεφαλής 1-αισθητήρων, η βαθµονόµηση της κεφαλής και όλα τα τεχνικά στοιχειά στηρίζονται επάνω στην προηγούµενη εργασία του Lemonis (1995) και Lemonis & Dracos (1995), και έχουν περαιτέρω βελτιωθεί στο εργαστήριο της τεχνικής θερµοδυναµικής του Πανεπιστηµίου Πατρών. Η ακρίβεια, η ευαισθησία και η αξιοπιστία της τεχνικής έχουν πιστοποιηθεί σε µετρήσεις οριακού στρώµατος και τύρβης πλέγµατος. Η 3

55 κεφαλή 1-αισθητήρων που χρησιµοποιείται στην παρούσα µελέτη κατασκευάζεται στο εργαστήριο Θερµοδυναµικής και αποτελείται από ένα συνδυασµό τριών κεφαλών τεσσάρων νηµάτων η κάθε µία (διάµετρος νηµάτων,5 µm, µήκος 0.5 mm, σχήµα 4., 4.3, 4.4). Η απόσταση µεταξύ των κεφαλών 4-αισθητήρων περιορίζεται από κριτήρια χωρικής ανάλυσης και ακρίβειας. Ο θόρυβος, τα σφάλµατα βαθµονόµησης και καθορισµού της απόστασης µεταξύ των κεφαλών οδηγούν σε µεγάλη υπερεκτίµηση των µετρηµένων παραγώγων της ταχύτητας (Antonia και συν. 1993, Wallace & Foss 1995). Από την άλλη πλευρά µια αποδεκτή απόσταση µεταξύ των διατάξεων πρέπει να είναι συγκρίσιµη µε τις µικρότερες κλίµακες της ροής. Σύµφωνα µε προηγούµενες έρευνες η βέλτιστη απόσταση µεταξύ των διατάξεων για τον υπολογισµό των παραγώγων της ταχύτητας εµφανίζεται να είναι -4 κλίµακες Kolmogorov, ικανοποιώντας έτσι και τους δύο περιορισµούς. Η κλίµακα Kolmogorov της παρούσας ροής βασισµένη στην ισοτροπική σχέση για τον εκφυλισµό υπολογίστηκε στην τιµή η= mm. Οι χαρακτηριστικές διαστάσεις µε βάση τις οποίες υπολογίστηκαν οι εγκάρσιες κλίσεις της ταχύτητας είναι 1.04 και 1. mm που κυµαίνονται µεταξύ,η-7,4η και,6η-8,6η. Κατά συνέπεια η κεφαλή 1-αισθητήρων είναι σε θέση να διαγνώσει όλες τις κλίµακες της στροβιλότητας εκτός από τις πολύ µικρές Long prong Short prong tube teflon insulation epoxy prong 45 0 ~ Σχήµα 4. Σχηµατική διάταξη της κεφαλής 1-αισθητήρων και του θερµού νήµατος µε κλίση 45 µαζί µε τα στηρίγµατα του. 33

56 Σχήµα 4.3 Σχηµατική διάταξη της κεφαλής 4-αισθητήρων σε τρισδιάστατη µορφή. Σχήµα 4.4 Σχηµατική διάταξη της κεφαλής 1-αισθητήρων σε τρισδιάστατη µορφή. Στην συγκεκριµένη διάταξη δεν χρησιµοποιείται κοινό στήριγµα µε σκοπό την ελαχιστοποίηση της εσωτερικής ηλεκτρονικής επικοινωνίας και της θερµικής παρεµβολής µεταξύ των νηµάτων. Οι άκρες των νηµάτων συγκολλούνται µε τα δύο στηρίγµατα (prongs) βολφραµίου τα οποία είναι µονωµένα µε τεφλόν. Τα στηρίγµατα αυτά έχουν µια ακάλυπτη 34

57 βάση µε διάµετρο15µm η οποία στενεύει οµοιόµορφα κατά µήκος του στηρίγµατος φτάνοντας σε 0µm στην άκρη. Το µήκος του ακάλυπτου στηρίγµατος είναι της τάξης των 13mm κρατώντας έτσι τους αισθητήρες σε µια απόσταση από τη βάση τον στηριγµάτων περισσότερο από δέκα φορές µεγαλύτερη της διαµέτρου τους, ελαχιστοποιώντας έτσι την παρεµπόδιση (blockage) και την αεροδυναµική παρεµβολή µε την ροή. Ένα πολύ µικρό σταγονίδιο εποξικής ρητίνης (epoxy) στην µέση των στηριγµάτων δίνει στη κατασκευή του στηρίγµατος την απαραίτητη ακαµψία για να αποφύγει τις δονήσεις. Η πυραµιδική µορφή της διάταξης των κεφαλών ελαχιστοποιεί τη θερµική ακτινοβολία µεταξύ των αισθητήρων και εξασφαλίζει ότι κανένας αισθητήρας δεν λειτουργεί στο απόρεµα από άλλο αισθητήρα για γωνίες της ροής µικρότερες από 45 µοίρες. Ο λόγος υπερθέρµανσης 1,4 χρησιµοποιείται ως µια καλή επιλογή για την αποφυγή των θερµικών παρεµβολών χωρίς να υπονοµεύεται η ευαισθησία της κεφαλής 1-αισθητήρων στις περιβαλλοντικές µεταβολές της θερµοκρασίας. Οι περιβαλλοντικές µεταβολές της θερµοκρασίας δεν υπερέβησαν ποτέ το ±0. o C κατά τη διάρκεια της βαθµονόµησης και µέτρησης. Οι βαθµονοµήσεις της κεφαλής 1-αισθητήρων εκτελούνται στον δυναµικό πυρήνα µιας κυκλικής δέσµης. Μια καινοτοµία σε σχέση µε την εργασία Lemonis & Dracos (1995) είναι η χρήση ενός περιστρεφόµενου ακροφυσίου για τη βαθµονόµηση, το οποίο καθοδηγείται από δύο ελεγχόµενους υπολογιστές (step motors) στις κατευθύνσεις πρόνευσης (pitch) και εκτροπής (yaw). Η κεφαλή 1-αισθητήρων τοποθετείται κατακόρυφα, στον κεντρικό άξονα της δέσµης κάθετα µε το επίπεδο εξόδου του ακροφυσίου. Κατά συνέπεια η κεφαλή 1- αισθητήρων βαθµονοµείται επιτόπια µε πλήρως αυτοµατοποιηµένη διαδικασία επιτρέποντας µια ακρίβεια προσδιορισµού της θέσης της δέσµης καλύτερη από 0,01 µοίρες, και γρήγορες γωνιακές βαθµονοµήσεις, που διαρκούν ~-.5 min για ένα φάσµα ±45 µοίρες, σε θέσεις πλέγµατος 9 pitch x 9 yaw (σχήµα 4.5). Με την κεφαλή 1-αισθητήρων επιτυγχάνεται η ταυτόχρονη µέτρηση και των τριών συνιστωσών της ταχύτητας σε τρία σηµεία σε κάθετο προς τη ροή επίπεδο επιτρέποντας τον υπολογισµό της στροβιλότητας της ροής µέσω υπολογισµού των παραγώγων της ταχύτητας µε τη βοήθεια αριθµητικού σχήµατος διαφορών, ακρίβειας πρώτης τάξης. Η παράγωγος στη διεύθυνση της ροής που πρέπει επίσης να υπολογισθεί για τη µέτρηση του ανύσµατος της στροβιλότητας λαµβάνεται µε εφαρµογή της υπόθεσης Taylor. 35

58 α) β) Σχήµα 4.5 Η βαθµονόµιση της κεφαλής 1-αισθητήρων σε διαφορετικές γωνίες α) εκτροπής (yaw) και β) πρόνευσης (pitch). 36

59 4..1 Υπολογισµός Στροβιλότητας Η στροβιλότητα ορίζεται ως ο στροβιλισµός του διανυσµατικού πεδίου της ταχύτητας ( ) u ɶ ( x, y, z) = uɶ, vɶ, w και δίνεται από την σχέση: i j k ɶ ɶ ɶ ɶ w vɶ u w v u ω curlu u ɶ = = = = ( ) i + ( ) j + ( ) k x y z y z z x x y uɶ vɶ w (4.5) Στην συνέχεια παρατίθεται η µεθοδολογία υπολογισµού των παραγώγων του πεδίου ταχυτήτων: Οι παράγωγοι της ταχύτητας κατά µήκος της ροής. H χωρική παράγωγος γύρω από ένα σηµείο (π.χ. Α) κατά µήκος της ροής ισοδυναµεί µε την χρονική παράγωγο (Taylor hypothesis). uɶ 1 ɶ i u A = x U t A i A (4.6) όπου U A είναι η µέση τοπική ταχύτητα. Οι διαµήκεις παράγωγοι της ταχύτητας δεν µπορούν να ληφθούν άµεσα από κεφαλές θερµού νήµατος µε όλους τους αισθητήρες τοποθετηµένους στο εγκάρσιο επίπεδο της ροής. Η υπόθεση Taylor της παγωµένης τύρβης στην πλειοψηφία των πειραµάτων χρησιµοποιείται στην απλή µορφή της παίρνοντας τη µέση τοπική ταχύτητα ως ταχύτητα µεταφοράς (Vukoslavčević και συν. 1991, Balint και συν. 1991, Balint και συν. 1989, Kit και συν. 1993) αν και έχουν γίνει κάποιες προσπάθειες για πιο εξελιγµένες εκτιµήσεις (Honkan & Andreopoulos, 1997a). Η ισχύς της υπόθεσης Taylor σε διατµητικές ροές υψηλής τύρβης είναι ακόµα ένα ανοικτό ζήτηµα προς έρευνα. Οι Zaman & Hussain (1981) ερευνώντας το πεδίο στροβιλότητας σε κυκλικές δέσµες αέρα µε συνεκτικές δοµές που επιβάλλονται µέσω µίας 37

60 ελεγχόµενης διέγερσης, κατέληξαν στο συµπέρασµα ότι η επιλογή της µέσης τοπικής ταχύτητας ως ταχύτητας µεταφοράς στα διατµητικά στρώµατα είναι αµφισβητήσιµη. Οι Werner & Southerland (1997) εκτίµησαν ότι οι διαµήκεις παράγωγοι που υπολογίζονται µε την υπόθεση Taylor χρειάζονται µια διόρθωση 0,74 σε σχέση µε τις πραγµατικές παραγώγους στην περιοχή αυτό-οµοιότητας µιας κυκλικής δέσµης, ενώ οι Mi & Antonia (1994) κατέληξαν στο συµπέρασµα ότι η χρησιµοποίηση της υπόθεσης Taylor στην περιοχή αυτόοµοιότητας της δέσµης είναι σωστή µόνο κοντά στον κεντρικό άξονα. Στην παρούσα εργασία η µέση τοπική ταχύτητα έχει επιλεχτεί ως ταχύτητα µεταφοράς στην υπόθεση Taylor δεδοµένου ότι είναι η απλούστερη και άµεσα εφαρµόσιµη επιλογή που επιτρέπει την άµεση σύγκριση µε προηγούµενα αποτελέσµατα. Η συγκεκριµένη επιλογή έχει χρησιµοποιηθεί και από άλλους ερευνητές σε τυρβώδες διατµητικές ροές όπως οι Balint και συν. 1989, Kit και συν κτλ. Οι υψηλή δειγµατοληψία, που χρησιµοποιείται στο συγκεκριµένο πείραµα µε την κεφαλή 1-αισθητήρων, αντιστοιχεί σε χωρική ανάλυση µε βάση την υπόθεση Taylor στη χειρότερη περίπτωση ~0.5 mm (πάντα µικρότερη από τις αντίστοιχες διαστάσεις της κεφαλής που χρησιµοποιούνται για τον υπολογισµό των παραγώγων στην εγκάρσια και κατά µήκος της σχισµής κατεύθυνση), σε συµφωνία µε τις προτάσεις Piomelli και συν. (1989) και Cenedese και συν. (1991) οι οποίοι κατέληξαν στο συµπέρασµα ότι για υψηλά επίπεδα τύρβης η υπόθεση Taylor είναι ουσιαστικά σωστή για µικρές αποστάσεις. Οι παράγωγοι της ταχύτητας στις εγκάρσιες διευθύνσεις της ροής. Οι µετρήσεις των τριών συνιστωσών της ταχύτητας στα σηµεία B, C, D (σχήµα 4.6). Ο υπολογισµός της παραγώγου (θεωρούµε το τρίγωνο BCD ως ένα σηµείο) γίνεται ως εξής: ( u ɶ, v ɶ, w ) διεξήχθησαν ταυτόχρονα x στο σηµείο Α ɶ uɶ ɶ i, C + ui, D ɶ ɶ ɶ ui, B u ɶ ɶ ɶ i ui, B ui, E ui, B ( ui, C + ui, D ) A = = = x x x x (4.7) 38

61 Σχήµα 4.6 Πρόσοψη της διάταξης της κεφαλής 1-αισθητήρων. Για των υπολογισµό της παραγώγου x 3 στο σηµείο Α έχουµε: uɶ uɶ uɶ A = x x i i, D i, C 3 3 (4.8) 4.. Αξιολόγηση-εκτίµηση των µετρήσεων µε χρήση κεφαλής πολλαπλών αισθητήρων και καθορισµός ταχυτήτων σε τρεις διευθύνσεις. Η σχέση E = A + B U n eff µεταξύ της τάσης εξόδου ενός ανεµοµέτρου συνδεµένου µε αισθητήρα θερµού νήµατος και της «ενεργής» ταχύτητας ψύξης U eff (effective cooling velocity) δεν είναι γραµµική. Όπως αναφέρθηκε σε προηγούµενη ενότητα, οι εξισώσεις (4.) και (4.3) µπορούν να χρησιµοποιηθούν για την κατασκευή ενός µαθηµατικού µοντέλου το οποίο θα υπολογίζει την απόκριση των νηµάτων, η οποία και δίνεται από την σχέση (4.4). Εποµένως, ο αναλυτής θα µπορούσε να παράγει αντίστροφες συναρτήσεις του τύπου U=f(E 1,,E 4 ), όπου οι δείκτες αντιστοιχούν στα νήµατα της µίας διάταξης της κεφαλής, για τον υπολογισµό των ανυσµάτων των συνιστωσών της ταχύτητας στις τρεις διευθύνσεις που αντιστοιχούν σε τάσεις ανεµοµέτρου για µετρήσεις σε τυρβώδη ροή. Η προσέγγιση αυτή απαιτεί, εντούτοις, τέλεια γεωµετρία της κεφαλής, η οποία, όµως, είναι απίθανο να επιτευχθεί στην πράξη. Ως εκ τούτου, αναπτύχθηκε πειραµατικά µια διαδικασία βαθµονόµησης, η οποία βασίζεται σε αριθµητικές προσεγγίσεις των εξισώσεων απόκρισης της κεφαλής σε γνωστά ανύσµατα της ταχύτητας (Lemonis & Dracos 1995, Lemonis 1995). Η διαδικασία στοχεύει στην ταυτόχρονη µέτρηση των τάσεων εξόδου E 1,,E 4 των ανεµόµετρων που χρησιµοποιούν διατάξεις µε κεφαλές τεσσάρων νηµάτων, για 39

62 συµµετρικό πλέγµα γωνιών πρόνευσης (pitch) και εκτροπής (yaw) σε διαφορετικές τιµές ταχυτήτων Q (όπου Q=U). Η διαδικασία βαθµονόµησης δεν απαιτεί κάποια γνώση της γεωµετρίας της κεφαλής και των φυσικών ιδιοτήτων του. Η βαθµονόµηση σε τρεις διευθύνσεις µίας κεφαλής 1-αισθητήρων, η οποία αποτελείται από τρεις κεφαλές τεσσάρων νηµάτων, παράγει ασυνεχείς συναρτήσεις {F w } για τη µέτρηση των τάσεων εξόδου του ανεµοµέτρου. Οι συναρτήσεις αυτές είναι του τύπου {F w }={f w (Q, α, β)}, µε w=1-4 να είναι ο αριθµός των νηµάτων. Χρησιµοποιώντας εκφράσεις µε προσεγγιστικές συναρτήσεις {F w } είναι πιθανόν να υπολογίσουµε τις τάσεις Ε w για κάθε τριάδα των τιµών Q, α, β. Έπειτα, χρησιµοποιούνται αριθµητικές µέθοδοι για τον αντίστροφο υπολογισµό των διανυσµάτων της ταχύτητας. Η τελευταία είναι τρισδιάστατη και αντιστοιχεί στις τάσεις που µετράει το ανεµόµετρο σε περιοχές τυρβώδους ροής. Οι συναρτήσεις βαθµονόµησης {F w }={f w (Q, α, β)} προσεγγίζονται από πολυώνυµα τριών µεταβλητών Bernstein-Bezier (Lasser,1987). Η διαδικασία βαθµονόµησης της κεφαλής 1-αισθητήρων που ακολουθήθηκε στην παρούσα εργασία είναι παρόµοια µε αυτήν στην εργασία Lemonis Έτσι, στο σχήµα 4.7 απεικονίζονται οι καµπύλες της γωνιακής βαθµονόµησης της κεφαλής σε δύο διαφορετικές ταχύτητες καθώς και οι αποκλίσεις µεταξύ µετρήσεων και θεωρητικών υπολογισµών όπως αυτές παρουσιάζονται στην εργασία Lemonis Τα κατά προσέγγιση πολυώνυµα P w της κάθε συνάρτησης βαθµονόµησης καθορίζονται όπως και το γινόµενο τανυστών των τριών πολυωνύµων του Bernstein ( ) ( ) 1 i i Β (x) = x 1 x µε (l+1) (m+1) (n+1) άγνωστους πολυωνυµικούς συντελεστές b ijk 1 1 i i (εξίσωση 4.9). Παράλληλα εναρµονίζεται το διάνυσµα x = (x 1,x,x 3 ) στους άξονες βαθµονόµησης, µε το x 1 να αντιστοιχεί στο Q, το x στο α και το x 3 στο β. 40

63 Σχήµα 4.7 Συναρτήσεις βαθµονόµησης ενός νήµατος κεφαλής 1-αισθητήρων σε 3 m/sec (αριστερά) και 10 m/sec (δεξιά), πάνω διαγράµµατα : µετρήσεις, κάτω διαγράµµατα : αποκλίσεις µεταξύ µετρήσεων και υπολογισµών. 1 m n 1 m n ( ) ( ) ( ) (4.9) ijk P = b B x B x B x, w=1-4, w w i 1 j k 3 i= 0 j=0 k=0 Προσεγγίσεις ελάχιστων τετραγώνων απαιτούν την ελαχιστοποίηση του τετραγώνου του σφάλµατος D µε N=n1 n n3, όπου n 1, n και n 3 είναι ο αριθµός των διακριτών σηµείων στους άξονες βαθµονόµησης. N 1 m m w ( ) ( ) ( ) ijk i 1ν j ν k 3ν w (4.10) ν 1 m n D = b B x B x B x F, w=1-4, ν=1 i=0 j=0 k=0 ιαφόριση της εξίσωσης (4.10) παράγει 41

64 N 1 m n Ν lmn lmn lmn bw B ( ) ( ) ( ) ijk ijk xν Bpqr xν = Fw B ν pqr x ν, w=1-4, (4.11) ν=1 i=0 j=0 k=o ν=1 Η εξίσωση (4.11) λειτουργεί µε τη χρήση µητρώων ( ) =, w=1-4. b ( ) Ν Ν Ν lmn lmn lmn lmn lmn Β000 xν Β000 xν Βlmn xν Β000 xν Fw Β ν 000 xν bw ( ) ( ) ( ) ( ) ν=1 ν=1 000 ν=1 Ν Ν Ν lmn lmn lmn lmn lmn Β000 xν Βlmn xν Βlmn xν Βlmn xν Fw Β ν lmn xν ν=1 ν=1 ν=1 w000 ( ) ( ) ( ) ( ) (4.1) όπου ( ) = ( ) ( ) ( ) B x B x B x B x. lmn 1 m n ijk i 1 j k 3 Η εξίσωση (4.1) περιγράφει ένα γραµµικό σύστηµα εξισώσεων που αποτελείται από (l+1) (m+1) (n+1) εξισώσεις µε όµοιο αριθµό συντελεστών Bezier, του τύπου A b = y, w=1-4. (4.13) w w Το µητρώο στην αριστερή µεριά της εξίσωσης (4.13) είναι συµµετρικό και απόλυτα καθορισµένο. Έτσι η εξίσωση (4.13) µπορεί να λυθεί αποτελεσµατικά µε παραγοντοποιήσεις κατά Cholesky. Το µητρώο A εξαρτάται µόνο από την παραµετροποίηση των αξόνων βαθµονόµησης. Ως εκ τούτου, οι υπολογισµοί για το µητρώο απαιτούνται µόνο µία φορά, εάν η παραµετροποίηση των αξόνων είναι κοινή για όλα τα νήµατα του αισθητήρα. Έπειτα, η εξίσωση (4.13) µπορεί να επιλυθεί διαδοχικά τέσσερις φορές, λαµβάνοντας κάθε φορά το διάνυσµα y του αντίστοιχου νήµατος. w Αν θεωρηθεί ένα δείγµα τεσσάρων τάσεων εξόδου ανεµοµέτρου Ε 1,...,Ε 4 οι οποίες έχουν µετρηθεί σε περιοχή τυρβώδους ροής από κεφαλή 4-αισθητήρων, η έκφραση της κάθε τάσης προκύπτει από την προσέγγιση των πολυωνύµων P w 4

65 1 m n 1 m n 1= 1 ijk i 1 j j 3 i=0 j=0 k=0 ( ) ( ) ( ) E b B x B x B x, (4.14) 1 m n 1 m n 4 = 4 ijk i 1 j j 3 i=0 j=0 k=0 ( ) ( ) ( ) E b B x B x B x. Το παραπάνω σύστηµα εξισώσεων αποτελείται από τέσσερις µη γραµµικές εξισώσεις και έχει τρεις άγνωστους. Η χρησιµοποίηση και των τεσσάρων εξισώσεων γίνεται για την βελτίωση των λύσεων x 1, x και x 3. Αν θεωρηθεί ότι η διάταξη των τεσσάρων νηµάτων είναι ένας συνδυασµός τεσσάρων ανεξάρτητων διατάξεων τριών νηµάτων η κάθε µία τότε στο σύστηµα (4.14) µπορεί να διαχωριστεί σε τέσσερα συστήµατα µη γραµµικών εξισώσεων. Το κάθε σύστηµα θα αποτελείται από τρεις εξισώσεις και ο αριθµός των αγνώστων του θα είναι τρεις. Επιλύνοντας τα τέσσερα αυτά συστήµατα µη γραµµικών εξισώσεων παίρνουµε τέσσερις διαφορετικές λύσεις για τις τρεις συνιστώσες της ταχύτητας. Αντικείµενο µελέτης και έρευνας αποτέλεσε η κεφαλή 4-αισθητήρων για τον Rosemann (1989). O Rosemann παρατήρησε ότι για νήµατα µε κλίση 45 οι τιµές των συνιστωσών της ταχύτητας, που προκύπτουν από τις προηγούµενες εξισώσεις, είναι έγκυρες για κάθε ζευγάρι των γωνιών πρόνευσης (pitch) και εκτροπής (yaw), που πληρεί τη συνθήκη ( α β ) < φ. Η γωνία φ πρέπει σύµφωνα µε τις µελέτες των Pailhas και Cousteix (1986) να είναι το πολύ 30. Η περιοχή αυτή καλύπτει το φάσµα των γωνιών που µας ενδιαφέρει σε κάθε τυρβώδη ροή Ιδιότητες βαθµονόµησης αισθητήρων τύπου θερµού νήµατος. Για τον ικανοποιητικό προσδιορισµό των παραγώγων της ταχύτητας απαιτείται υψηλή ακρίβεια και αξιοπιστία των µετρήσεων της ταχύτητας. Για το λόγο αυτό η διαδικασία βαθµονόµησης είναι ιδιαίτερα σηµαντική. Η βαθµονόµηση πρέπει να επιτυγχάνει µονοσήµαντη αντιστοιχία των τάσεων εξόδου του ανεµόµετρου µε τις συνιστώσες της ταχύτητας. Η διαδικασία βαθµονόµησης περιλαµβάνει την καταγραφή των τάσεων εξόδου όλων των αισθητήρων για διάφορες τιµές της κυρίας ταχύτητας της ροής και για διάφορες διευθύνσεις ροής σε σχέση µε τον προσανατολισµό του αισθητήρα. Η συλλογή των δεδοµένων πρέπει να γίνει σε ένα αρκετά πυκνό πλέγµα ταχυτήτων και γωνιών ώστε να επιτυγχάνεται η µονοσήµαντη αντιστοίχηση. Ιδίως σε ροές µε υψηλά 43

66 επίπεδα τύρβης η βαθµονόµηση πρέπει να περιλαµβάνει µέγιστες γωνίες ώστε να οδηγεί σε αξιόπιστα αποτελέσµατα. Οποιαδήποτε µεταβολή των συνθηκών η της κεφαλής ακόµα και η απλή αποσύνδεση και επανασύνδεση του απαιτεί την επανάληψη της διαδικασίας βαθµονόµησης. Κατά τη διαδικασία βαθµονόµησης κεφαλών µε αισθητήρες θερµού νήµατος απαιτούνται: α) σταθερή µέση ταχύτητα ροής, β) µικρά επίπεδα τύρβης της ροής βαθµονόµησης, γ) σταθερή θερµοκρασία ροής, όµοια µε αυτή της ροής κατά τη διάρκεια των µετρήσεων, δ) υψηλή ακρίβεια στη ρύθµιση της ταχύτητας, ε) µικρής έντασης διαταραχές της ροής γύρω από τον αισθητήρα, στ) υψηλός βαθµός αυτοµατισµού για τη µείωση της διάρκειας της διαδικασίας βαθµονόµησης 4..4 Λήψη δεδοµένων και επεξεργασία Κατά τη διάρκεια της παρούσας εργασίας η λήψη δεδοµένων και η ακόλουθη ανάλυσή τους έγινε ψηφιακά. Το σύστηµα απόκτησης δεδοµένων αποτελούσε µία κάρτα A/D της National Instruments τύπου AT-MIO-16E-1 µε 16SE/8DI κανάλια διακριτότητας 1bits και 1.5 MS/s µέγιστη συχνότητα δειγµατοληψίας σε συνδυασµό µε ένα PC (σχήµα 4.8). Όλα τα σήµατα εξόδου του ανεµοµέτρου περνούσαν από µονάδες διαµόρφωσης σήµατος (signal conditioners) ενσωµατωµένους σε αυτά, πριν να ψηφιοποιηθούν. Ύστερα από την αφαίρεση µιας σταθερής τάσης, το σήµα διερχόταν από χαµηλοπερατό φίλτρο (low pass filter) διώχνοντας από αυτό υψηλές συχνότητες που δεν είχαν σχέση µε το υπό παρακολούθηση φαινόµενο. Η χρήση του ανώτερου φίλτρου, απέτρεπε ταυτόχρονα την πιθανότητα παραµόρφωσης (aliasing) του σήµατος που προκαλεί απεικόνιση υψηλών συχνοτήτων σε χαµηλότερες, υποπολλαπλάσιες των υψηλών. 44

67 . Σχήµα 4.8 Σύστηµα απόκτησης δεδοµένων PC Η συχνότητα δειγµατοληψίας που επιλέχθηκε, σύµφωνα και µε τις συστάσεις των Bendat & Piersol (1971), για µια χρονική σειρά δειγµάτων ήταν1khz. 4.3 Η κεφαλή αισθητήρων Χ Η κεφαλή αισθητήρων τύπου X που χρησιµοποιήθηκε στην παρούσα µελέτη ήταν κατασκευής TSI (141 - T 1.5) µε διάµετρο νήµατος 5µm και µήκος 1 mm (σχήµα 4.9). Τo ανεµόµετρο που χρησιµοποιήθηκε ήταν µοντέλο ΑΝ-1003 της AA Labs ltd. Το στηρίγµατα των αισθητήρων ήταν τοποθετηµένο σε µηχανισµό µετακίνησης µε ακρίβεια µετατόπισης 0.1mm. Ο λόγος υπερθέρµανσης των νηµάτων ήταν OHR=1.4 και η θερµοκρασία λειτουργίας τους 50 C, µειώνοντας σηµαντικά την επίδραση µικρών αλλαγών της θερµοκρασίας περιβάλλοντος στις µετρήσεις Λήψη δεδοµένων και επεξεργασία Το σύστηµα λήψης δεδοµένων αποτελείται από µια Α\D κάρτα της ΡCLAB (PCL - 814) µε 14bits διακριτότητα, 16 κανάλια εισόδου, δυνατότητα DMA µεταφοράς δεδοµένων, 100 KHz µέγιστη συχνότητα δειγµατοληψίας σε συνδυασµό µε ένα PC

68 Όλα τα σήµατα εξόδου του ανεµοµέτρου περνούσαν από ρυθµιστές σήµατος (signal conditioners) ενσωµατωµένους σε αυτά, πριν να ψηφιοποιηθούν. Μετά την αφαίρεση µιας σταθερής D.C. τάσης το σήµα διέρχεται από χαµηλοπερατό φίλτρο (low pass filter) το οποίο έδιωχνε από το σήµα υψηλές συχνότητες που δεν είχαν σχέση µε το υπό παρακολούθηση φαινόµενο. Η χρήση του ανώτερου φίλτρου επέτρεπε ταυτόχρονα την πιθανότητα παραµόρφωσης (aliasing) του σήµατος που προκαλεί «απεικόνιση» των υψηλών συχνοτήτων σε χαµηλότερες, υποπολλαπλάσιες των υψηλών. Ιδιαίτερη προσοχή δόθηκε στην αξιοποίηση κατά το µέγιστο της διακριτότητας του µετατροπέα Α/D. Συνήθως µετά την αφαίρεση κατάλληλης συνεχούς τάσης το σήµα εξόδου βρισκόταν στην περιοχή 0-1.5V (και σπανιότερα στην περιοχή 0 -.5V) χωρίς να υποστεί ενίσχυση. Οι περιοχές αυτές ήταν µέσα στο εύρος λειτουργίας της κάρτας που επιτρέπει τη µέγιστη δυνατή διακριτότητα (1.5/16383 και.5/16383). Η συχνότητα δειγµατοληψίας που επιλέχθηκε ήταν khz για µια χρονική σειρά δειγµάτων Ανάλυση σήµατος του ανεµοµέτρου Η ανάλυση σήµατος των αισθητήρων Χ βασίζεται στη σχέση απόκρισης- διεύθυνσης που δίνεται από τον Hinze (1975). Η διαδικασία ανάλυσης που ακολουθήθηκε περιγράφεται από τον Lekakis (1988), Καλογήρου (1994) και συνοψίζεται παρακάτω. Σύµφωνα µε το σχήµα 4.9 οι ενεργές ταχύτητες ψύξης των αισθητηρίων 1 και είναι αντίστοιχα: U eff 1 ²=ũ²[sin²(Φ 1 -Ψ)+K 1 ²cos²(Φ 1 -Ψ)] (4.15) U eff ²= ũ²[sin²(φ +Ψ)+K ²cos²(Φ +Ψ)] (4.16) όπου ũ το µέτρο του στιγµιαίου διανύσµατος της ταχύτητας στο επίπεδο (x,y), ψ η γωνία που σχηµατίζει το διάνυσµα της ταχύτητας µε τον άξονα του οργάνου και Κ 1,Κ οι συντελεστές εκτροπής (yaw coefficients) των νηµάτων 1 και αντίστοιχα. Το σύστηµα των εξισώσεων απόκρισης του οργάνου γράφεται: U eff 1 ²= ũ ²[sin²(Φ 1 -Ψ)+Κ 1 ²cos²(Φ 1 -Ψ)] (4.17) 46

69 Α=U eff 1 ²/U eff ² (4.18) Η εξίσωση 4.18 που είναι ο λόγος των ενεργών ταχυτήτων, είναι ανεξάρτητη του µέτρου του διανύσµατος της ταχύτητας. Η λύση της δίνει το Ψ και η εξίσωση 4.17 δίνει το ũ. Το παραπάνω σύστηµα εξισώσεων έχει σαν αποτέλεσµα δύο διανύσµατα ταχύτητας που ικανοποιούν τις εξισώσεις απόκρισης των αισθητήρων, όµως µόνο µία από αυτές αντιπροσωπεύει το στιγµιαίο διάνυσµα ũ. Αυτό συµβαίνει λόγω του ότι η εξίσωση 4.18 είναι δευτέρου βαθµού ως προς Ψ. Σαν λύση λαµβάνεται αυτή για την οποία lψl 45. Ένα σφάλµα που πάντα υπεισέρχεται στην ανάλυση των σηµάτων της κεφαλής αισθητήρων Χ σχετίζεται µε την επίδραση της w συνιστώσας της ταχύτητας. Το σφάλµα αυτό έχει µελετηθεί εκτενώς από τους Tutu & Chevray (1975) και τα αποτελέσµατα τους δείχνουν ότι είναι σηµαντικό σε ροές µε ένταση τύρβης µεγαλύτερη από 15%. Σχήµα 4.9 Σχηµατική και γεωµετρική παράσταση µίας κεφαλής αισθητήρων Χ µε τις συντεταγµένες xy προσαρµοσµένες σ αυτήν. Σχήµα 4.10 Προσανατολισµοί κεφαλής αισθητήρων Χ κατά τη διάρκεια βαθµονόµησης. 47

70 Η βαθµονόµηση καθορίζει τη σχέση ανάµεσα στην τάση εξόδου κάθε αισθητήρα του ανεµοµέτρου µε το µέγεθος και τη διεύθυνση του διανύσµατος της ταχύτητας. Όπως και στην περίπτωση του απλού αισθητήρα, χρησιµοποιείται ένα πολυώνυµο τετάρτου βαθµού που συνδέει την ενεργό ταχύτητα U eff µε την τάση εξόδου του ανεµοµέτρου: U eff = ũ [sin²φ i +K²( ũ,φ i )cos²φ i ] 1/ =f(e)=a 0 +A 1 E+A E²+A 3 E³+A 4 E 4 (4.19) υο βασικές προσεγγίσεις στη βαθµονόµηση είναι σε ευρεία χρήση: Η πρώτη περιλαµβάνει απευθείας βαθµονόµηση των τάσεων των αισθητηρίων για όλα τα δυνατά µεγέθη και διευθύνσεις του διανύσµατος της ταχύτητας που συναντιούνται σε κάποιο ιδιαίτερο πείραµα. Τα δεδοµένα βαθµονόµησης χρησιµοποιούνται για να φτιαχτεί ένας πίνακας αναφοράς (look-up table). Αυτή η µέθοδος έχει χρησιµοποιηθεί για την βαθµονόµηση της κεφαλής αισθητήρων Χ από τους Willmarth και Bogar (1977), Johnson και Eckelmann (1984). Αν απαιτείται µεγάλη ακρίβεια, η µέθοδος αυτή είναι κοπιαστική και χρονοβόρα. Η δεύτερη προσέγγιση που χρησιµοποιείται περισσότερο, βασίζεται στην ιδέα της συσχέτισης της τάσης εξόδου του ανεµοµέτρου µε το µέγεθος και την διεύθυνση της ταχύτητας µέσω της ενεργού ταχύτητας ψύξης U eff. Οι σχέσεις για την ενεργό ταχύτητα ψύξης παρατέθηκαν παραπάνω. Η διαδικασία βαθµονόµησης που ακολουθήθηκε εδώ περιλαµβάνει δύο βήµατα. Πρώτα γίνεται η βαθµονόµηση ταχύτητας, η οποία συνίσταται στο να τοποθετηθεί η κεφαλή µε τον άξονα της παράλληλα µε µια ροή, της οποίας η ταχύτητα σταδιακά µεταβάλλεται. Το αποτέλεσµα αυτής της βαθµονόµησης είναι η σχέση µεταξύ της Ε και ũ. Η ενεργός ταχύτητα προσδιορίζεται από την σχέση : U eff = ũ (sin²45 +Κ²cos²45 ) 1/ (4.0) µε χρήση µιας υποθετικής τιµής για το K και υποθέτοντας ότι η γωνία του νήµατος είναι 45. Στη συνέχεια διεξάγεται σε ένα αριθµό ταχυτήτων, ο προσδιορισµός της «γωνιακής απόκρισης», που συνίσταται στη στρέψη της κεφαλής γύρω από άξονα κάθετο στο επίπεδο των αισθητηρίων και του διανύσµατος της ταχύτητας (σχήµα. 4.10). Τα δύο παραπάνω βήµατα συνδυάζονται στη συνέχεια µε ένα επαναληπτικό αλγόριθµο ώστε να ληφθεί η πραγµατική σχέση ενεργού ταχύτητας- τάσης. Ο αλγόριθµος ξεκινά υποθέτοντας τρεις τιµές του K. Με βάση τις τιµές αυτές, υπολογίζονται τρεις οµάδες από ενεργές ταχύτητες από τα 48

71 δεδοµένα βαθµονόµησης ταχύτητας µε τη σχέση 4.0. Έτσι προσδιορίζονται οι συντελεστές του πολυωνύµου τετάρτου βαθµού που συνδέει τα U eff, Ε: U eff = ũ οj (sin²45 +k²cos²45 ) 1/ =A 0 (0) +Α 1(0) Ε j +A (0) E j ²+A 3 (0) E j ³+ A 4 (0) E j 4 (4.1) όπου j παριστάνει κάποια από τις ταχύτητες βαθµονόµησης. Μία συνάρτηση σφάλµατος : N ɶ R= [ f ( Ei ) u(sin φi + cos φi ) ] (4.) i= 1 1 προσδιορίζεται για κάθε K, όπου i παριστάνει δεδοµένα που αντιστοιχούν σε µια ορισµένη γωνία. Οι τρεις τιµές του K που υποθέτουµε και τα αντίστοιχα σφάλµατα R ορίζουν µια παραβολή R(K), η οποία χρησιµοποιείται για να προκύψει µια νέα εκτίµηση του K. Το καινούργιο K και τα δύο από τα προηγούµενα, µε τις σχετικά χαµηλότερες τιµές R χρησιµοποιούνται για να προχωρήσει η επαναληπτική διαδικασία, ενώ απορρίπτεται το K µε το µεγαλύτερο R. Η µέθοδος αυτή συγκλίνει πάντα και έτσι βρίσκεται ο συντελεστής K που αντιστοιχεί σε κάποια δεδοµένη ταχύτητα για την οποία πραγµατοποιήθηκε γωνιακή βαθµονόµηση. Με γνωστά τα K, για την περιοχή ταχυτήτων που ενδιαφέρει, υπολογίζεται η πραγµατική σχέση ũ-ε από την εξίσωση Ανάλυση πειραµατικών σφαλµάτων για τις µετρήσεις που πραγµατοποιήθηκαν µε την κεφαλή αισθητήρων Χ Τα σφάλµατα κατά την διάρκεια των µετρήσεων πρέπει να διαχωριστούν σε συστηµατικά και τυχαία. H επίδραση τους είναι τέτοια, ώστε πάντα να υπάρχει αµφιβολία για το αν µια µέτρηση είναι επιτυχής ή όχι. Όµως υπάρχει διαφορά στο αν µια µέτρηση ή πείραµα είναι ορθό ή ακριβές. Για να είναι ορθό ένα πείραµα ή µια µέτρηση πρέπει τα συστηµατικά σφάλµατα να είναι όσο το δυνατόν µικρότερα, ενώ η ακρίβεια έχει να κάνει µε την επίδραση των τυχαίων σφαλµάτων, τα οποία δεν µπορούν να εµποδιστούν γιατί οφείλονται σε ακανόνιστες αίτιες όπως π.χ. η επίδραση λόγω µεταβολής της θερµοκρασίας. Κατά τη διάρκεια της πειραµατικής διαδικασίας παρουσιάζονται σφάλµατα τα οποία αφορούν κυρίως την κεφαλή αισθητήρων Χ και τα περισσότερα από αυτά µπορούν να χαρακτηριστούν ως αναπόφευκτα. Πιο συγκεκριµένα έγιναν σφάλµατα πού αφορούσαν τις 49

72 γωνίες που σχηµάτιζε η κεφαλή αισθητήρων Χ µε τον οριζόντιο άξονα της ροής. Παρόλο που o έλεγχος ήταν συστηµατικός και αυστηρός πολύ µικρές γωνίες της τάξης της 1 έως µοιρών (που πιθανόν σχηµάτιζε η κεφαλή αισθητήρων Χ µε τη ροή), ήταν αδύνατον να εντοπιστούν και όπως είναι γνωστό σε κεφαλές αυτού του τύπου κάτι τέτοιο έχει συνέπειες. Οι µετρήσεις των u-v και u-w έγιναν σε διαφορετικές χρονικές στιγµές µε αποτέλεσµα κάποιο σφάλµα στον ακριβή προσδιορισµό και των τριών συνιστωσών της ταχύτητας. Ως γνωστών για τον προσδιορισµό της w-συνιστώσας έπρεπε να τοποθετηθεί η κεφαλή αισθητήρων Χ στο επίπεδο Χ-Ζ και να ξαναγίνουν οι µετρήσεις, επειδή η κεφαλή αισθητήρων Χ µετράει µόνο δύο συνιστώσες της ταχύτητας κάθε φορά. Σε καµιά περίπτωση η τιµή της ποσότητας <u > που µετρήθηκε µε τον αισθητήρα στο xyεπίπεδο δεν είχε απόκλιση µεγαλύτερη του 8% από την αντίστοιχη <u > που µετρήθηκε στο xz-επίπεδο. Αυτό οφείλεται τόσο στις διαφορετικές χρονικές στιγµές των πειραµάτων προσδιορισµού των τριών συνιστωσών και στις θέσεις που γίνονταν οι µετρήσεις (που πιθανόν να ήταν ελάχιστα διαφορετικές) όσο και στις πιθανές αποκλίσεις της κεφαλής σε σχέση µε τον οριζόντιο άξονα της ροής µε γωνίες τόσο µικρές που καθιστούσαν αδύνατο τον εντοπισµό τους και στις δύο περιπτώσεις. Από τη στιγµή που υιοθετήθηκε η παραδοχή ότι και τα δύο νήµατα "µετράνε" την ροή στο ίδιο σηµείο, µια άλλη σηµαντική πηγή σφάλµατος είναι η απόσταση µεταξύ των νηµάτων της κεφαλής. Ο εντοπισµός των σφαλµάτων που οφείλονται στην παραπάνω υπόθεση, πρέπει να προκύψει από σχέσεις που να συνδέουν τις µετρούµενες µε τις πραγµατικές ποσότητες. Οι Hirota και συν. (1988) έδωσαν τέτοιες αναλυτικές σχέσεις ώστε να µπορεί να υπολογιστεί το σφάλµα στο µέσο και τυρβώδες πεδίο ταχυτήτων. Σύµφωνα λοιπόν µε αυτές τις σχέσεις το µέγιστο σφάλµα στη µέση ταχύτητα είναι περίπου % και τα σφάλµατα στις ποσότητες u, v, και w είναι %, -6% και -6.5% αντίστοιχα. Οι θετικές τιµές εκφράζουν υπερεκτίµηση ενώ αντίθετα οι αρνητικές υποτιµούν τις µετρούµενες ποσότητες. H ακρίβεια µε την οποία µετακινήθηκε το στήριγµα του αισθητήρα ήταν ±0.1 mm για τις εγκάρσιες µετακινήσεις και ± mm για τις διαµήκεις. Από τα παραπάνω είναι εύκολο να αντιληφθεί κανείς ότι υπάρχουν σφάλµατα τα οποία οφείλονται στον υπολογισµό των παραγώγων από τα αντίστοιχα πειραµατικά δεδοµένα. Για τον υπολογισµό αυτών των σφαλµάτων χρησιµοποιήθηκε η ανάλυση του Sawhney (1996). Έτσι για παράδειγµα, σύµφωνα µ' αυτόν, το µέγιστο λάθος στον υπολογισµό της µέσης στροβιλότητας είναι ±4% και για τους υπολογισµούς των όρων της µεταφοράς της τυρβώδους κινητικής ενέργειας, της παραγωγής της τύρβης από τις διατµητικές και τις κύριες τάσεις και της τυρβώδους διάχυσης είναι αντίστοιχα, ±8%, ±8%, ±7% και ±11%. 50

73 Ένα άλλο στοιχείο που πρέπει να ληφθεί υπόψη στην παρούσα ανάλυση σφαλµάτων είναι η χωρική ανοµοιοµορφία της ροής κατά µήκος του νήµατος του αισθητήρα. Υπάρχουν δύο κύριες πηγές σφαλµάτων στην περίπτωση αυτή. H πρώτη έχει να κάνει µε τις αλλαγές της µέσης ταχύτητας κατά µήκος του νήµατος. H δεύτερη πηγή αφορά την περίπτωση όπου το µήκος του νήµατος δεν είναι αρκετά µικρό σε σχέση µε τις µικρότερες κλίµακες της τύρβης. Όπως ήδη αναφέρθηκε η κλίµακα Kolmogorov της παρούσας ροής βασισµένη στην ισοτροπική σχέση για τον εκφυλισµό υπολογίστηκε στην τιµή η= mm. Κατά τον Κουρούνη (1997) για δεδοµένες διαστάσεις νήµατος της κεφαλής αισθητήρων Χ όπως, l ν =1mm και d ν =5µm, έχουµε ελαττωµατική χωρική ανάλυση (spatial resolution) της µικρής κλίµακας τύρβης, σε εργαστηριακά πειράµατα όπου η κλίµακα Kolmogorov είναι της τάξης του 0.1 mm. Είναι γνωστό ότι οι µετρήσεις που γίνονται σε περιοχές µε υψηλή ένταση τύρβης (u >15%) δίνουν σηµαντικό σφάλµα κυρίως στις τυρβώδεις ποσότητες (Tutu & Chevray 1975). Σύµφωνα µε τους Swaminathan και συν. (1986b) όταν η ένταση της τύρβης της διαµήκους ταχύτητας u είναι 0%, τότε το σφάλµα στη ποσότητα <u > είναι 3.5% και των ποσοτήτων <v > και <uv> είναι κοντά στο 10%. Το µέσο σφάλµα προσδιορισµού της ταχύτητας από την καµπύλη βαθµονόµησης σε σχέση µε την πραγµατική τιµή που έδειξε το µανόµετρο κατά τη διάρκειά της, ήταν περίπου 0.3% για το πρώτο και 0.1% για το δεύτερο κανάλι της κεφαλής αισθητήρων Χ. Οι µικρές ταλαντώσεις που προκαλούσε ενίοτε η ροή του αέρα στο στήριγµα του αισθητήρα ίσως να δηµιουργούσαν και αυτές κάποιο σφάλµα στις µετρήσεις. Ακόµα και οι αλλαγές στην τάση του ρεύµατος στο κεντρικό δίκτυο είναι δυνατόν να προκαλέσουν σφάλµατα στις ενδείξεις του ανεµοµέτρου. Ωστόσο o λεγόµενος ηλεκτρικός θόρυβος σε καµιά περίπτωση δεν ξεπέρασε τα 800 µv, κάτι που αντιστοιχεί περίπου στο 1.5% της µέσης τάσης που παρατηρήθηκε στις µετρήσεις. Σφάλµατα που αφορούν την επιλογή της συχνότητας δειγµατοληψίας θεωρήθηκαν συγκριτικά πολύ µικρά. Σε αρκετές από τις µετρήσεις που πραγµατοποιήθηκαν, έγινε επαλήθευση για να εξετάσουµε την επαναληψιµότητα των αποτελεσµάτων. Σε καµία περίπτωση δεν παρουσιάστηκε απόκλιση µεγαλύτερη από 1%. Από τα παραπάνω φαίνεται ότι οι πηγές σφαλµάτων της παρούσας µετρητικής µεθόδου είναι αρκετές και οι περισσότερες απ'αυτές αναπόφευκτες. Παρ'όλα αυτά έγινε συστηµατική µελέτη και καταβλήθηκε µεγάλη προσπάθεια ώστε να περιορισθούν τα σφάλµατα στο ελάχιστο δυνατό. 51

74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ 5.1 Εισαγωγή Η στατιστική περιγραφή του πεδίου ταχύτητας παίζει σηµαντικό ρόλο για την κατανόηση της δοµής και της εξέλιξης της ορθογωνικής δέσµης εκροής. Παρακάτω θα ακολουθήσουν συγκρίσεις των αποτελεσµάτων της εργασίας αυτής που πραγµατοποιήθηκαν µε µετρητικές διατάξεις (κεφαλές) 1-αισθητήρων και αισθητήρων X µε πειραµατικά δεδοµένα άλλων ερευνητών σε διατάξεις µε διάφορους λόγους πλευρών (AR) και αριθµούς Reynοlds (πίνακας 5.1). Οι περισσότερες από τις αναφερόµενες µελέτες, (Quinn 199, Brown και συν. 1983, Thomas & Prakash 1991 κτλ.) χρησιµοποιούνται για σύγκριση της εξέλιξης κατά µήκος της ροής του ηµί-πλάτους της δέσµης, του εκφυλισµού της µέσης ταχύτητας, και των εντάσεων διακύµανσης στον κεντρικό άξονα επειδή τεκµηριώνουν καλά την εγγύς περιοχή της δέσµης αέρα. Εντούτοις, αυτές οι µελέτες δεν παρέχουν ολοκληρωµένες µετρήσεις στην πλήρως αναπτυγµένη περιοχή της δέσµης. Τα στοιχεία σχετικά µε την πλήρως αναπτυγµένη περιοχή των Gutmark & Wygnanski (1976) χρησιµοποιούνται για την αξιολόγηση της συµπεριφοράς αυτό-διατήρησης. 5. Ανάλυση του µέσου πεδίου ταχύτητας Οι κατανοµές του µέσου πεδίου ταχύτητας U, αδιαστατοποιηµένες µε την µέση διαµήκη ταχύτητα στο κεντρικό άξονα, U c, σε διαφορετικές θέσεις, παριστάνονται στο σχήµα 5.1 και 5.. Η ταχύτητα στην έξοδο του ακροφυσίου παρουσιάζει µια σχεδόν οµοιόµορφη κατανοµή (top hat profile) όπως αποδεικνύεται από τις µετρήσεις στη θέση x/d=1. Κατάντι της ροής τα διαγράµµατα διαµορφώνονται σε κατανοµές τύπου καµπάνας (bell shaped distribution) και είναι σε συµφωνία µε τα αντίστοιχα διαγράµµατα του Quinn (199) και Browne και συν. (1984). Η διαµήκης µέση ταχύτητα στο διατµητικό στρώµα στις πλευρές της ορθογωνικής δέσµης στην έξοδο του ακροφυσίου δίνεται από την κατανοµή υπερβολικής εφαπτοµένης, U(y) = U/[1+tanh(y/θ)] 5

75 όπου θ είναι το πάχος ορµής του διατµητικού στρώµατος και U η µέση ταχύτητα της ορθογωνικής δέσµης AR=6 x/d=1 X-wire AR=6 x/d=1 1-wire AR=6 x/d=6 X-wire AR=6 x/d=6 1-wire AR=5 x/d=5 Quinn (199) AR=10 x/d=5 Quinn (199) AR=0 x/d=7 Browne et al. (1984) U / U C y / y c Σχήµα 5.1 Οι εγκάρσιες κατανοµές της µέσης διαµήκους ταχύτητας (x/d=1, 6). 1.0 AR=6 x/d=11 X-wire AR=6 x/d=11 1-wire AR=5 x/d=1.6 Quinn (199) AR=10 x/d=1.6 Quinn (199) 0.8 U / U C y / y c Σχήµα 5. Οι εγκάρσιες κατανοµές της µέσης διαµήκους ταχύτητας (x/d=11). Το σχήµα 5.3 παρουσιάζει τις κατανοµές της µέσης εγκάρσιας ταχύτητας, V, αδιαστατοποιηµένες µε την ταχύτητα εξόδου U 0, σε δύο διαφορετικές θέσεις της δέσµης, x/d=6, 11. Στην διδιάστατη δέσµη η τιµή της µέσης εγκάρσιας ταχύτητας V είναι ισοδύναµη µε την ταχύτητα εισροής (entrainment rate), Ve. Τα πειραµατικά αποτελέσµατα των Gutmark & 53

76 Wygnanski (1976) και τα υπολογιστικά αποτελέσµατα DNS των Stanley και συν. (00) που δείχνουν παρόµοιες τάσεις συµπεριλαµβάνονται επίσης στο σχήµα x/d=6 X-wire x/d=11 X-wire x/d=6 1-wire x/d=11 1-wire x/d=11 Stanley et al. (00) x/d=140 Gutm. & Wygn. (1976) 0.0 V / U Σχήµα 5.3 Οι εγκάρσιες κατανοµές της µέσης εγκάρσιας ταχύτητας (x/d=6, 11). Με βάση τα πειραµατικά αποτελέσµατα οι Browne και συν. (1984) καταλήγουν στο συµπέρασµα ότι οι κατανοµές της µέσης ταχύτητας στην επίπεδη δέσµη εµφανίζονται αυτόδιατηρούµενες πέρα από το x/d=5. Για ορθογωνική δέσµη, οι Everett & Robins (1978) ανέφεραν ότι η απόσταση κατά µήκος της ροής όπου οι κατανοµές εµφανίζουν αυτόοµοιότητα συνδέεται άµεσα µε το λόγο πλευρών (aspect ratio) του ακροφυσίου. Οι Krothapalli και συν. (1981) παρατήρησαν ότι η οµοιότητα, για το ακροφύσιο µε λόγο πλευρών 16.7, βρέθηκε στις κατανοµές της µέσης ταχύτητας, πέρα από το x/d=30. Σύµφωνα µε αυτά τα συµπεράσµατα η οµοιότητα πρέπει να αναµένεται στην αξοσυµµετρική περιοχή της ορθογωνικής δέσµης. Τα αποτελέσµατα της παρούσας εργασίας για x/d=6 και 11 δείχνουν ότι όσον αφορά τις κατανοµές της µέσης ταχύτητας µπορεί να τεκµηριωθεί οµοιότητα τουλάχιστον για ένα περιορισµένο διάστηµα, µέσα στην διδιάστατη περιοχή των ορθογώνιων δεσµών. Είναι γνωστό όµως, πώς οι κατανοµές της µέσης ταχύτητας για ένα ευρύ φάσµα ροών, δεν αποτελούν αξιόπιστους δείκτες της αυτοδιατήρησης. Προκειµένου να διαπιστωθεί η οµοιότητα της ροής είναι αναγκαίο να εξεταστεί κάθε µεταβλητή (µέση ή τυρβώδης) ξεχωριστά, κατά µήκος της ροής. 54

77 Το σχήµα 5.4 παρουσιάζει την αύξηση του ηµί-πλάτους της δέσµης y c, το όποιο προσδιορίζεται ως η απόσταση από το κεντρικό άξονα µέχρι το σηµείο όπου η µέση διαµήκης ταχύτητα είναι το ήµισυ της αξονικής ταχύτητας, U c. Πέρα από το x/d=5 παρατηρείται µια γραµµική εξάρτηση του ήµι-πλάτος της δέσµης µε την διαµήκη συντεταγµένη, x, µε κλίση που εξαρτάται από τον λόγο πλευρών και από την γεωµετρία του ακροφυσίου (Krothapalli και συν., 1981). Αυτή η γραµµική εξέλιξη περιγράφεται συνήθως από την σχέση: yc D x = A1 + A D Όπως φαίνεται στον πίνακα 5., τα τρέχοντα αποτελέσµατα δίνουν τις τιµές A 1 = και A =.35 για την περιοχή από το x/d = 6 έως 1. Για την δυσδιάστατη δέσµη η τιµή της A 1 κυµαίνεται µεταξύ του 0.09 και 0.1 (Kotsovinos, 1976). Η τιµή της Α 1 για την παρούσα έρευνα είναι µικρότερη από τα αποτελέσµατα των άλλων ερευνητών. Υπάρχει µια µεγάλη διακύµανση της A των πειραµατικών µελετών που καθιστά δύσκολη τη σύγκριση. Οι αρχικές συνθήκες στις επίπεδες και ορθογωνικές δέσµες. Source Re AR=L/D Τύπος εξόδου Τρέχοντα αποτελ. (X-w & 1- w) Quinn (199) ,11x D ακροφύσιο Σχισµή µε οξείες ακµές Tsuchiya και συν. (1986) διάφορα Krothapalli και συν. (1981) Brown και συν. (1983) Gutmark & Wygnanski (1976) Ορθογωνικός αγωγός D ακροφύσιο D ακροφύσιο 55

78 Hussain & Clark (1977) D ακροφύσιο Stanley και συν. (00) Thomas & Prakash (1991) D ακροφύσιο D ακροφύσιο Πίνακας 5.1 Η αύξηση του ήµι-πλάτους, y c, και η ελάττωση της αξονικής ταχύτητας, U c, των τρεχουσών αποτελεσµάτων µαζί µε άλλα πειραµατικά αποτελέσµατα. Source A 1 A B 1 B Τρέχοντα αποτελέσµατα X-w Quinn (199) AR= AR= Tsuchiya και συν. (1986) Browne και συν. (1983) Stanley και συν. (00) Πίνακας 5. 56

79 4 AR=6 X-wire AR=6 1-wire AR=5 X-wire Tsuchiya (1986) AR=10 X-wire Quinn (199) 3 y c / D 1 0 y c /D=0.085(x/D+.35) x/d Σχήµα 5.4 Η εξέλιξη του ηµί-πλάτους της ταχύτητας κατά µήκος της ροής. 3 AR=6 X-wire AR=6 1-wire AR=5 Quinn (199) AR=0 Browne et al. (1983) AR=0 DNS Stanley et al. (00) (U 0 / U C ) 1 (U 0 /U C ) =0.085(x/D+8.3) x/d Σχήµα 5.5 Η εξέλιξη της αξονικής ταχύτητας κατά µήκος της ροής. 57

80 Η ανάλυση των επίπεδων δεσµών αέρα προβλέπει µια γραµµική σχέση του αντιστρόφου του τετραγώνου της µέσης διαµήκους ταχύτητας στον κεντρικό άξονα και της διαµήκους συντεταγµένης x, για x/d 5, σχήµα 5.5, U 0 x = B1 + B U C D όπου U 0 η µέση διαµήκης ταχύτητα στην έξοδο του ακροφυσίου. Τα τρέχοντα αποτελέσµατα προσδιορίζουν τις τιµές για τους συντελεστές B 1 = και B = 8.3. Ο πίνακας 5. παρουσιάζει µια σύγκριση αυτών των τιµών µε τα αποτελέσµατα από διάφορες πειραµατικές µελέτες. Είναι σαφές ότι υπάρχει µια ευρεία απόκλιση στις παραµέτρους του ρυθµού ελάττωσης της ταχύτητας στον κεντρικό άξονα, Β 1 και Β, µεταξύ των µελετών. εδοµένου ότι η εξέλιξη της ορθογωνικής δέσµης επηρεάζεται έντονα από τις συνθήκες στην έξοδο του ακροφυσίου, την γεωµετρία του ακροφυσίου και το τυρβώδες περιβάλλον, αναµένεται ότι αυτές οι τιµές θα ποικίλλουν για κάθε πείραµα (βλ. Krothapalli και συν., 1981, Stanley & Sarkar 000). 5.3 Ανάλυση του τυρβώδους πεδίου ταχύτητας Οι τυρβώδεις εντάσεις, οι τιµές των ριζών µέσων τετραγώνων (ρ.µ.τ) των διακυµάνσεων των συνιστωσών της ταχύτητας, u, v και w, στον κεντρικό άξονα, αδιαστατοποιηµένες µε U c, βασισµένες σε µετρήσεις κεφαλών αισθητήρων Χ και 1-αισθητήρων, παρουσιάζονται στα σχήµατα 5.6 και 5.7. Τα αποτελέσµατα της συγκεκριµένης έρευνας βρίσκονται σε συµφωνία µε τα αποτελέσµατα από άλλες πειραµατικές µελέτες. Η κατανοµή ' u /U c των Krothapalli και συν. (1981) παρουσιάζει µια µικρή κορυφή στο x / D= 11. Στην βιβλιογραφία (Hill και συν. 1976, Krothapalli και άλοι 1981, Browne και συν. 1983), τεκµαίρεται, χωρίς να επιβεβαιώνεται πλήρως, ότι η φύση της καµπύλης ' u /U c στον κεντρικό άξονα εξαρτάται από τη φύση των οριακών στρωµάτων στα χείλη του ακροφυσίου. Εάν αυτά είναι τυρβώδη τότε εµφανίζεται µια µονοτονή αύξηση της ' u /U c, ενώ εάν είναι στρωτά, παρατηρείται µια µικρή κορυφή (Hill και συν. 1976, Pascal 1978, Krothapalli και συν. 1981, Browne και συν ). Τα κύρια χαρακτηριστικά του αρχικού οριακού στρώµατος για την παρούσα έρευνα περιγράφονται στον πίνακα 5.3 µαζί µε εκείνα του Hussain & Clark (1977). Σύµφωνα µε τον 58

81 Schlichting (1968) ο παράγοντας µορφής (shape factor) δ 1 /θ [δ 1 είναι το πάχος µετατόπισης (displacement thickness) και θ είναι το πάχος ορµής] δείχνει ότι τα οριακά στρώµατα της παρούσας µελέτης στην έξοδο του ακροφυσίου, x/d=0.04, είναι στρωτά. Τα χαρακτηριστικά του αρχικού οριακού στρώµατος για x/d=0.04 (Τα αποτελέσµατα του Hussain & Clark, 1977, ελήφθησαν στη θέση x/d = -0.05) Πηγή Re L/D δ 1 (mm) θ (mm) δ 1 /θ Τύπος Παρούσα έρευνα ,564 0,16,61 Στρωτό Hussain & Clark (1977) ,47 0,373 0,175 0,135,6774,7791 Στρωτό Στρωτό Πίνακας AR=6 X-wire AR=6 1-wire AR=5 Quinn (199) AR10 Quinn (199) u' / U C x / D Σχήµα 5.6 Η εξέλιξη της τυρβώδους έντασης της διαµήκους ταχύτητας κατά τον άξονα της ροής. 59

82 u' / U C, v' / U C, w' / U C u'/u C X-wire v'/u C X-wire w'/u C X-wire u'/u C 1-wire v'/u C 1-wire w'/u C 1-wire u'/u C Krothapalli et al. (1981) v'/u C Krothapalli et al. (1981) w'/u C Krothapalli et al. (1981) x/d Σχήµα 5.7 Η εξέλιξη των τυρβωδών εντάσεων των συνιστωσών της ταχύτητας κατά τον άξονα της ροής. Ο Quinn (199) υποστηρίζει ότι οι αιχµηρές κορυφές παρουσιάζονται µόνο στις δέσµες µε λόγο πλευρών µεγαλύτερο του 10, ενώ σε µια δέσµη µε λόγο 5, κοντά στο 6 της παρούσας έρευνας, είναι µόλις διακριτή µια µικρή κορυφή. Τα σχήµατα 5.8, 5.9 και 5.10 παρουσιάζουν τις κατανοµές των ρ.µ.τ των διακυµάνσεων της διαµήκους, εγκάρσιας και κατά µήκος της σχισµής ταχύτητας στις θέσεις x/d=6 και 11. Τα αποτελέσµατα των Thomas & Prakash (1991) και Gutmark & Wygnanski (1976) συµπεριλαµβάνονται επίσης για σύγκριση. Οι ποσοτικές διαφορές µε τα αποτελέσµατα των Gutmark & Wygnanski (1976) αποκαλύπτουν τη διαφορά της υπό µελέτη ροής µε την πλήρως αναπτυγµένη επίπεδη δέσµη στην περιοχή αυτό-οµοιότητας. Η αποκλίσεις µε τις µετρήσεις των Thomas & Prakash (1991) πρέπει να αποδοθούν στα διαφορετικά επίπεδα τύρβης των αρχικών συνθηκών και επίσης στους διαφορετικούς λόγους πλευρών. 60

83 0.30 x/d=6 X-wire x/d=11 X-wire x/d=6 1-wire x/d=11 1-wire x/d=1 Thom. & Pra. (1991) x/d=140 Gutm. & Wyg. (1976) 0.5 u '/ U C Σχήµα 5.8 Οι εγκάρσιες κατανοµές της τυρβώδους έντασης της διαµήκους ταχύτητας x/d=6 X-wire x/d=11 X-wire x/d=6 1-wire x/d=11 1-wire x/d=1 Thom. & Pra. (1991) x/d=140 Gut. & Wygn. (1976) v ' / U C Σχήµα 5.9 Οι εγκάρσιες κατανοµές της τυρβώδους έντασης της εγκάρσιας ταχύτητας. Σε αυτά τα σχήµατα παρατηρούνται οι µεγαλύτερες αποκλίσεις µεταξύ των µετρήσεων µε κεφαλές 1-αισθητήρων και αισθητήρων Χ. Η κεφαλή αισθητήρων X επιτρέπει την ταυτόχρονη µέτρηση των δύο συνιστωσών της ταχύτητας σε ένα επίπεδο που βρίσκεται στην 61

84 µέση της απόστασης µεταξύ των επιπέδων των δύο θερµών νηµάτων. Από την άλλη πλευρά, οι κεφαλές 1-αισθητήρων έχουν την ικανότητα να µετρούν ταυτόχρονα τις τρεις συνιστώσες της ταχύτητας. Λαµβάνοντας υπόψη ότι το πεδίο ταχύτητας στα διατµητικά στρώµατα είναι τρισδιάστατο, οι µετρήσεις µε 1- αισθητήρες αναµένονται να είναι πιο αξιόπιστες από τις µετρήσεις µε αισθητήρες Χ (Cavo και συν. 007). Στο κεφάλαιο 4 αναφέρθηκε ότι ένα σφάλµα που πάντα υπεισέρχεται στην ανάλυση των σηµάτων των αισθητήρων Χ σχετίζεται µε την επίδραση της w συνιστώσας της ταχύτητας. Το σφάλµα αυτό έχει µελετηθεί εκτενώς από τους Tutu & Chevray (1975) και τα αποτελέσµατα τους δείχνουν ότι είναι σηµαντικό σε ροές µε ένταση τύρβης µεγαλύτερη από 15%. 0.0 x/d=6 X-wire x/d=11 X-wire x/d=6 1-wire x/d=11 1-wire x/d=140 Gutm. & Wygn. (1976) 0.15 w ' / U C Σχήµα 5.10 Οι εγκάρσιες κατανοµές της τυρβώδους έντασης της κατά µήκος της σχισµής ταχύτητας. Οι γωνίες πρόνευσης (pitch) και εκτροπής (yaw) του µέσου διανύσµατος της ταχύτητας από τις µετρήσεις µε την κεφαλή 1-αισθητήρων παρουσιάζονται στο σχήµα 5.11, και οι αντίστοιχες τιµές των ρ.µ.τ στα σχήµατα 5.1 και Οι µέσες τιµές των γωνιών εκτροπής παραµένουν κοντά στο µηδέν αναδεικνύοντας το διδιάστατο χαρακτήρα του µέσου πεδίου της ροής. Οι µέσες τιµές των γωνιών πρόνευσης αυξάνονται µε την απόσταση από τον κεντρικό άξονα µε ρυθµό που µειώνεται όσο η απόσταση από την έξοδο αυξάνεται σε συµφωνία µε τις κατανοµές της µέσης ταχύτητας. Στις περισσότερες περιπτώσεις το διάστηµα τιµών των γωνιών, η έκταση της οποίας ορίζεται ως τρεις φορές της τιµής της ρ.µ.τ γύρω από τη µέση τιµή, παραµένει µέσα στο διάστηµα τιµών των ±30 ο όπου η ακρίβεια της 6

85 κεφαλής έχει καθιερωθεί πολύ καλά. Ακόµη και στις πιο απώτατες θέσεις από τον άξονα οι µετρηµένες τιµές της γωνίας παραµένουν µέσα στο διάστηµα τιµών ±45 ο της βαθµονόµησης. α, β (deg) x/d=1 pitch x/d=3 pitch x/d=6 pitch x/d=11 pitch x/d=1 yaw x/d=3 yaw x/d=6 yaw x/d=11 yaw ,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 1,6 Σχήµα Οι κατανοµές των µέσων τιµών των γωνιών πρόνευσης (pitch), α, και εκτροπής (yaw), β x/d=1 x/d=3 x/d=6 x/d=11 1 α' (deg) ,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 1,6 Σχήµα 5.1 Οι εγκάρσιες κατανοµές των τυρβωδών ρ.µ.τ. της γωνίας πρόνευσης (pitch). 63

86 Οι υψηλές τιµές των διακυµάνσεων των γωνιών pitch και yaw στα διατµητικά στρώµατα επεξηγούν την περιορισµένη ικανότητα της κεφαλής µε αισθητήρες Χ να µετρήσει µε ακρίβεια το τυρβώδες πεδίο ταχύτητας σε αυτήν την περιοχή x/d=1 x/d=3 x/d=6 x/d=11 β' (deg) ,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 1,6 Σχήµα 5.13 Οι εγκάρσιες κατανοµές των τυρβωδών ρ.µ.τ. της γωνίας εκτροπής (yaw) u ' s / U X-wire 1-wire Re=3550 Hussain & Clark(1977) Re=81400 Hussain & Clark(1977) x / D Σχήµα 5.14 Η εξέλιξη της τυρβώδους έντασης της διαµήκους ταχύτητας στο επίπεδο όπου το 1. Η εξέλιξη των τυρβωδών ποσοτήτων στα διατµητικά στρώµατα αξίζει ιδιαίτερης προσοχής δεδοµένου ότι εκεί παράγεται αρχικά η τύρβη και η στροβιλότητα. Οι µεταβολές της τυρβώδους έντασης της ταχύτητας ' u s (x) στο διατµητικό στρώµα στο επίπεδο που 64

87 καθορίζεται από το 1 παρουσιάζονται στο σχήµα Σύµφωνα µε τους Hussain & Clark (1977) και Sato (1960) αρχικά στρωτά οριακά στρώµατα οδηγούν σε γρήγορο ρυθµό αύξησης της τύρβης. Λόγω της αστάθειας και µετάβασης ο ρυθµός αύξησης είναι αρχικά υψηλότερος στις περιπτώσεις που το αρχικό οριακό στρώµα είναι στρωτό σε σύγκριση µε αυτές στις οποίες είναι τυρβώδες. Οι διαµήκεις συνιστώσες του µέσου ολικού ρυθµού ροής ορµής MT(x) (σχήµα 5.15), του µέσου ρυθµού ροής ορµής M(x) (σχήµα 5.16), και του µέσου ρυθµού ροής ορµής MF(x) λόγω της διαµήκους τυρβώδους ταχύτητας (fig. 5.17) ορίζονται ως: p ( ) ρ( + + s ) MT x U u dy ρ M ( x) ρ U dy MF( x) ρu dy= MT M Τα παραπάνω µεγέθη παρουσιάζονται στα αναφερόµενα σχήµατα αδιαστατοποιηµένα µε τις τιµές εξόδου MT e και M e αντίστοιχα. Το όριο ολοκλήρωσης της ορµής στην παρούσα έρευνα είναι στο 0% της U c. Σύµφωνα µε την έρευνα των Lozanova & Stankov (1998) το ολοκλήρωµα της p s /ρ (η p s είναι η εγκάρσια στατική πίεση και ρ είναι η πυκνότητα της ροής) αποτελεί περίπου το 4% του ολοκληρώµατος της U, µε αποτέλεσµα η συνεισφορά της p s /ρ στην εξίσωση της ολικής ορµής να είναι αµελητέα. Στα σχήµατα 5.15 και 5.17 παρουσιάζονται τα τρέχοντα αποτελέσµατα των MT(x) και MF(x) αντίστοιχα, σε σύγκριση µε τα αποτελέσµατα των Hussain και Clark (1977). Οι MT(x) και M(x) της παρούσας έρευνας αυξάνονται µέχρι x/d=1, παραµένουν σταθερές µέχρι x/d=, όπου παρουσιάζουν µια απότοµη µείωση σε τιµές που παραµένουν σταθερές µέχρι x/d=8 και για x/d>8 αρχίζουν να αυξάνονται µονότονα, ενώ ο MF(x) (η συνεισφορά στην MT(x) του τυρβώδους πεδίου, σχήµα 5.17), αυξάνεται µονότονα κατά µήκος της ροής. Με βάση την θεωρία της δέσµης αναµένεται ο ολικός ρυθµός ροής να παραµένει σταθερός κατά µήκος της ροής. Τα αποτελέσµατα της MT(x) και M(x) δείχνουν ότι η τιµή της ολικής ορµής κατά µήκος της δέσµης δεν παραµένει σταθερή. Μια προσπάθεια εξήγησης αυτής της ασυµφωνίας µεταξύ της θεωρίας και των πειραµάτων έγινε από τον Schneider (1985) ο οποίος υποστήριξε ότι οι πειραµατικές εκτιµήσεις για την ορµή θα µειωνόταν αν λαµβάνονταν υπόψη η περιοχή ανακυκλωφορίας της ροής στα άκρα της δέσµης. Πάντως, µε βάση και την βιβλιογραφία, µια πιο πειστική εξήγηση αυτής της ασυµφωνίας παραµένει ζητούµενο. 65

88 1,5 1,4 Present study X-wire Re=3550 Hussain & Clark (1977) Re=81400 Hussain & Clark (1977) 1,3 MT/MT e 1, 1,1 1,0 0, x/d Σχήµα 5.15 Η εξέλιξη του ολικού ρυθµού ροής ορµής κατά µήκος της ροής. 1,15 X-wire M(x)/M e 1,10 1,05 1,00 0, x/d Σχήµα 5.16 Η εξέλιξη του µέσου ρυθµού ροής ορµής κατά µήκος της ροής. 66

89 Present study X-wire Re=3550 Hussain & Clark (1977) Re=81400 Hussain & Clark (1977) 0,1 0,10 MF(x) / MT e 0,08 0,06 0,04 0,0 0, x/d Σχήµα 5.17 Η εξέλιξη του µέσου ρυθµού ροής ορµής λόγω της διαµήκους τυρβώδους ταχύτητας. Το σχήµα 5.18 παρουσιάζει τον αδιστατοποιηµένο ρυθµό ροής µάζας Q(x)/Q e, όπου Q( x) = ρu ( x, y) dyκαι Q e είναι η τιµή εξόδου του Q(x). Όπως υπογραµµίστηκε παραπάνω, όταν ένα στρωτό διατµητικό στρώµα γίνεται ασταθές, οι διακυµάνσεις της ταχύτητας αυξάνονται σε µέγεθος µε συνέπεια την περιέλιξη της ροής σε µια σειρά από στροβίλους µε άξονα παράλληλο µε το µήκος της σχισµής. 3,0 Present study X-wire Re=3550 Hussain & Clark (1977) Re=81400 Hussain & Clark (1977),5 Q(x)/Q e,0 1,5 Q/Q e = x/d 1,0 0, x/d Σχήµα 5.18 Η εξέλιξη του ρυθµού ροής µάζας κατά µήκος της ροής. Η οποιαδήποτε µικρή ασυµµετρία στις αποστάσεις των στροβίλων ή στην ισχύ δύο (ή τριών) γειτονικών στροβίλων θα τους προτρέψει στο να περιστραφεί ο ένας στρόβιλος γύρω 67

90 από τον άλλο (ζευγάρωµα) διαµορφώνοντας έτσι ένα µεγαλύτερο στρόβιλο. Σε αυτήν την διαδικασία ζευγαρώµατος µη-στροβιλιζόµενο περιβαλλοντικό ρευστό παγιδεύεται µεταξύ των ζευγαρωµένων στροβίλων. Η επακόλουθη διάχυση των διακυµάνσεων της τυρβώδους στροβιλότητας στο µη-στροβιλιζόµενο ρευστό ολοκληρώνεται µέσω του ιξώδους. Ο Hussain και Clark (1977) έχουν προτείνει ότι η διαδικασία ζευγαρώµατος είναι ο αρχικός µηχανισµός που ελέγχει την αύξηση του ελεύθερου διατµητικού στρώµατος σε αντιδιαστολή µε την παραδοσιακή έννοια της εισροής (entrainment). Στο σχήµα 5.19 οι τιµές ρυθµού ροής µάζας της συγκεκριµένης έρευνας συµφωνούν ικανοποιητικά µε τις αντίστοιχες τιµές των Lozanova & Stankov (1998). 5 4 Present study X-wire AR=4.76 Loz. & Sta. (1998) AR=6.67 Loz. & Sta. (1998) AR=10 Loz. & Sta. (1998) [Q(x)-Q e ]/Q e x/d Σχήµα 5.19 Η εξέλιξη του ρυθµού ροής µάζας κατά µήκος της ροής. Η µετρήσεις του ρυθµού εισροής της δέσµης συνήθως βασίζονται στην εκτίµηση του διαµήκους ρυθµού ροής µάζας Q(x)/Q e σε συνάρτηση του x/d e οπού D e είναι η ισοδύναµη διάµετρος ( D e 4L D = ). ιαφορίζοντας την εξίσωση πρώτου βαθµού που προσεγγίζει τον π ρυθµό ροής µάζας, όπως αυτή παρουσιάζεται στο σχήµα 5.0, προκύπτει ότι ο ρυθµός εισροής E( x) d[ Q( x) / Q ) / d( x / D ] στην παρούσα εργασία λαµβάνει την τιµή 0.1. Στην e e βιβλιογραφία παρατηρείται σηµαντική διασπορά των τιµών του ρυθµού εισροής που κυµαίνονται από την τιµή 0.7 (Zaman 1986) και 0.30 (Crow & Champagne1971) µέχρι 0.36 (Bridges και συν. 1989). Οι διαφορές οφείλονται κατά κύριο λόγο στις διαφορετικές αρχικές συνθήκες. Επί πλέον η εκτίµηση του ρυθµού ροής µάζας µε ολοκλήρωση της κατανοµής της 68

91 ταχύτητας παρουσιάζει αβεβαιότητες που οφείλονται στην αδυναµία να µετρηθεί η ταχύτητα µε ακρίβεια στα όρια της δέσµης λόγω της ανακυκλοφορίας και της παρουσίας υψηλής τύρβης.,0 Q(x)/Q e 1,5 Q(x)/Q e =1+0.1 x/d e 1, x/d e Σχήµα 5.0 Η εξέλιξη του ρυθµού εισροής κατά µήκος της ροής. Τα σχήµατα 5.1 και 5. δείχνουν ότι οι µετρήσεις των διατµητικών τάσεων Reynolds µε κεφαλή αισθητήρων Χ και κεφαλή 1-αισθητήρων σε διαφορετικές θέσεις, αδιαστατοποιηµένες µε U c, συγκρίνονται καλά µε τα αποτελέσµατα του Quinn (199) και Browne και συν. (1983). Μια πληρέστερη εικόνα απεικονίζεται στο σχήµα 5.3 όπου παρουσιάζονται όλες οι µετρήσεις των τάσεων Reynolds µε την κεφαλή 1-αισθητήρων. Είναι ευρέως γνωστό ότι η τύρβη εξαρτάται από την διάτµηση λόγω της µέσης διαµήκης κλίσης της ταχύτητας U y για την παραγωγή της τάσης Reynolds <uv>. Το σχήµα 5.3 δείχνει ότι η κύρια συνιστώσα των τάσεων Reynolds είναι πάντα η <uv>. Η χωρική κατανοµή της <uv> είναι συµβατή µε την εξέλιξη της δέσµης, οι υψηλές τιµές συνδέονται µε την παρουσία των στροβίλων Kelvin- Helmholtz που αναπτύσσονται στις άκρες µέσα στην πρώτη περιοχή, οι οποίες αναπτύσσονται λόγω της πετυχηµένης συγχώνευσης και µεταναστεύουν προς το κέντρο µετά την συνάντηση των διατµητικών στρωµάτων, που εναλλάσσονται έκτοτε στις αντίθετες πλευρές του κεντρικού άξονα σε µια αντισυµµετρική µορφή. Η κυριαρχία της <uv> είναι µια ένδειξη ότι οι βασικές µεγάλης κλίµακας δοµές αποτελούνται από κυλινδρικής µορφής στροβίλους µε κατεύθυνση κατά µήκος της σχισµής του ακροφυσίου (σχήµα 5.4) χωρίς να αποκλείεται η ταυτόχρονη παρουσία άλλων κυλινδρικών µορφών σε διαφορετικές κατευθύνσεις (Cavo και συν. 007). 69

92 <uv> / U C x (a) AR=6 x/d=6 X-wire AR=6 x/d=6 1-wire AR=5 x/d=5 Quinn (199) AR=10 x/d=5 Quinn (199) AR=0 x/d=5 Browne et al. (1984) Σχήµα 5.1 Οι εγκάρσιες κατανοµές της διατµητικής τάσης Reynolds (x/d=6)..5 (b).0 AR=6 x/d=11 X-wire AR=6 x/d=11 1-wire AR=5 x/d=1.6 Quinn (199) AR=10 x/d=1.6 Quinn (199) AR=0 x/d=1 Browne et al. (1984) <uv> / U c x Σχήµα 5. Οι εγκάρσιες κατανοµές της διατµητικής τάσης Reynolds (x/d=11). Παρακάτω παρουσιάζονται οι εγκάρσιες κατανοµές του συντελεστή λοξότητας και κύρτωσης των συνιστωσών της ταχύτητας (σχήµατα 5.5, 5.6, 5.7, 5.8 και 5.9). Είναι γνωστό ότι σε µια οµογενή τυρβώδη ροή, όπου η κατανοµή της πυκνότητας πιθανότητας είναι κανονική, οι συντελεστές λοξότητας και κύρτωσης παίρνουν τις τιµές 0 και 3 αντίστοιχα (Tennekes & Lumley, 197). Έτσι, µελετώντας τις κατανοµές λοξότητας και κύρτωσης του τυρβώδους πεδίου της ταχύτητας, η απόκλιση από την οµογένεια αποδίδεται στην ύπαρξη οργανωµένων δοµών στη ροή (Βερροιόπουλος 1994). Ο συντελεστής λοξότητας (σχήµα 5.5, 5.6, 5.7) δείχνει εάν και κατά πόσο, µεγάλες διακυµάνσεις τις ταχύτητας είναι πιο συχνά πάνω από την µέση τιµή (θετικός συντελεστής) ή πιο χαµηλά από την µέση τιµή (αρνητικός συντελεστής). Με άλλα λόγια, αντικατοπτρίζει την συµµετρία της 70

93 κατανοµής πυκνότητας πιθανότητας σε σχέση µε την µέση τιµή και αναλόγως του πρόσηµου που παίρνει ο συντελεστής, µπορεί να εξαχθούν συµπεράσµατα για τη δοµή της ροής και για το µηχανισµό µίξης του πεδίου. 1, 1, <uv> 1-wire <uw> 1-wire <vw> 1-wire <u i u j > / U C X 100 0,8 0,4 0,0-0,4 0,0 0,5 1,0 1,0 x/d=3 x/d=1 0,8 0,4 0,0 x/d=11-0,4 0,0 0,5 1,0 1,5 0,8 x/d=6 0,5 0,4 0,0 0,0-0,4 0,0 0,5 1,0 1,5 0,0 0,5 1,0 1,5 Σχήµα 5.3 Οι εγκάρσιες κατανοµές των διατµητικών τάσεων Reynolds από µετρήσεις µε κεφαλή 1-αισθητήρων. ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΗ ΣΤΡΟΒΙΛΟΙ ΕΣΜΗ ΑΕΡΑ ΤΑ ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΕΣΜΗΣ ΑΚΡΟΦΥΣΙΟ Σχήµα 5.4 Σχηµατική εικόνα των στροβίλων κυλινδρικής µορφής µε άξονα παράλληλο µε το µήκος της σχισµής. 71

94 3,0,5,0 X-wire 1-wire x/d=1,5,0 1,5 X-wire 1-wire x/d=3 S u 1,5 1,0 0,5 0,0 S u 1,0 0,5 0,0-0,5-0,5-1,0 0,0 0,5 1,0 1,5,0-1,0 0,0 0,5 1,0 1,5,0 5.5 α) 5.5 β) S u,5,0 1,5 1,0 0,5 X-wire 1-wire x/d=6 S u,0 1,5 1,0 0,5 X-wire 1-wire x/d=11 0,0 0,0-0,5-0,5-1,0 0,0 0,5 1,0 1,5,0-1,0 0,0 0,5 1,0 1,5,0 5.5 γ) 5.5 δ) Σχήµα 5.5 Οι εγκάρσιες κατανοµές του συντελεστή λοξότητας της διαµήκους ταχύτητας: α) x/d=1, β) x/d=3, γ) x/d=6, δ) x/d=11. 1,0 0,5 X-wire 1-wire x/d=1 1 X-wire 1-wire x/d=3 0,0 S v S v -0,5 0-1,0-1,5-1 -,0 0,0 0,5 1,0 1,5,0-0,0 0,5 1,0 1,5,0 5.6 α) 5.6 β) 7

95 1,0 0,5 X-wire 1-wire x/d=6 0,5 X-wire 1-wire x/d=11 0,0 0,0 S v -0,5 S v -0,5-1,0-1,5-1,0 -,0 0,0 0,5 1,0 1,5,0-1,5 0,0 0,5 1,0 1,5,0 5.6 γ) 5.6 δ) Σχήµα 5.6 Οι εγκάρσιες κατανοµές του συντελεστή λοξότητας της εγκάρσιας ταχύτητας: α) x/d=1, β) x/d=3, γ) x/d=6, δ) x/d=11. S w = <w 3 >/(w') 3 1,0 0,5 0,0 x/d=1 x/d=3 x/d=6 x/d=11-0,5-1,0 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 1,6 Σχήµα 5.7 Οι εγκάρσιες κατανοµές του συντελεστή λοξότητας της κατά µήκος της σχισµής ταχύτητας. 10 X-wire 1-wire 10 X-wire 1-wire 8 x/d=1 8 x/d=3 F u 6 F u ,0 0,5 1,0 1,5,0 0 0,0 0,5 1,0 1,5,0 5.8 α) 5.8 β) 73

96 8 X-wire 1-wire 8 X-wire 1-wire 6 x/d=6 6 x/d=11 F u 4 F u 4 0 0,0 0,5 1,0 1,5,0 0 0,0 0,5 1,0 1,5,0 5.8 γ) 5.8 δ) Σχήµα 5.8 Οι εγκάρσιες κατανοµές του συντελεστή κύρτωσης της διαµήκους ταχύτητας: α) x/d=1, β) x/d=3, γ) x/d=6, δ) x/d= X-wire 1-wire x/d= X-wire 1-wire x/d=3 F v F v ,0 0,5 1,0 1,5,0 4 0,0 0,5 1,0 1,5,0 5.9 α) 5.9 β) 10 X-wire 1-wire x/d=6 8 X-wire 1-wire x/d= F v 6 F v 4 4 0,0 0,5 1,0 1,5,0 0,0 0,5 1,0 1,5,0 5.9 γ) 5.9 δ) Σχήµα 5.9 Οι εγκάρσιες κατανοµές του συντελεστή κύρτωσης της εγκάρσιας ταχύτητας α) x/d=1, β) x/d=3, γ) x/d=6, δ) x/d=11. 74

97 Στη θέση x/d=1 κοντά στον κεντρικό άξονα οι τιµές της λοξότητας της u συνιστώσας (σχήµα 5.5α) είναι κοντά στον µηδέν και της κύρτωσης (σχήµα 5.8α) κοντά στο τρία αναδεικνύοντας την οµοιότητα της ροής στο δυναµικού πυρήνα. Στα άκρα της κατανοµής παρουσιάζεται µια διαφοροποίηση των τιµών µε την εµφάνιση αρνητικών τιµών της λοξότητας εσωτερικά του διατµητικού στρώµατος οι οποίες αυξάνονται µέσα στο διατµητικό στρώµα µέχρι µια µέγιστη τιµή στην εξωτερική πλευρά του. Η συµπεριφορά αυτή παρουσιάζεται σε µεγαλύτερες περιοχές καθώς αποµακρυνόµαστε από το ακροφύσιο, µε αντίστοιχη µείωση της κλίσης µέσα στο διατµητικό στρώµα. Από την απόσταση x/d=6 και πέρα οι διαταραχές επεκτείνονται µέχρι τον κεντρικό άξονα της δέσµης σηµατοδοτώντας την επέκταση της διατµητικής περιοχής και των στροβίλων που συνδέονται µε αυτήν µέχρι το κέντρο της δέσµης. Οι παρατηρήσεις αυτές µπορούν να εξηγηθούν µε βάση την δηµιουργία στροβίλων στο διατµητικό στρώµα λόγω των ασταθειών Kelvin-Helmholtz που εµφανίζονται στα αρχικά στάδια της δέσµης. Οι στρόβιλοι αυτοί εγκολπώνουν περιβάλλον ρευστό το οποίο χαρακτηρίζεται από µικρότερες ταχύτητες. Στην εξωτερική πλευρά του διατµητικού στρώµατος η παρουσία των ροϊκών µαζών του περιβάλλοντος επιβάλουν µια σχετική µικρή µέση ταχύτητα ενώ οι ταχύτερες µάζες που προέρχονται από την δέσµη έχουν σχετικά µικρή παρουσία µε υψηλότερες µέσες ταχύτητες οδηγώντας σε µια κατανοµή µε θετική λοξότητα. Αντίθετα στην εσωτερική πλευρά του διατµητικού στρώµατος κυριαρχούν οι ταχύτερες µάζες της δέσµης επιβάλλοντας µια υψηλή µέση ταχύτητα ενώ οι σχετικά λιγότερες αργές µάζες που φτάνουν σ αυτή την περιοχή από το περιβάλλον οδηγούν σε µια κατανοµή µε αρνητική λοξότητα. Η αντισυµµετρία που χαρακτηρίζει τις κατανοµές λοξότητας της v συνιστώσας υποδηλώνει ότι οι στρόβιλοι που δηµιουργούνται στα διατµητικά στρώµατα είναι αντίρροποι (σχήµα 5.6). Σε αντίθεση µε τις δύο συνιστώσες u, v ο συντελεστής λοξότητας της w συνιστώσας (σχήµα 5.7) παρουσιάζει τιµές πολύ κοντά στο µηδέν. Οι συγκεκριµένες τιµές είναι αναµενόµενες από την στιγµή που η δέσµη είναι συµµετρική σε σχέση µε τον y άξονα. Όσον αφορά τον συντελεστή κύρτωσης (σχήµα 5.8 και 5.9), οι µεγάλες τιµές δείχνουν ότι οι τυρβώδες διακυµάνσεις έχουν διαλειπτόµενο χαρακτήρα, µεταβάλλονται δηλαδή από ταχύτατες διακυµάνσεις υψηλής έντασης, σε αργές µεγάλου περιόδου. Η αύξηση των συντελεστών λοξότητας και κύρτωσης στον κεντρικό άξονα για x/d=3, 6 και 11 εξηγείται µε την τυρβώδη διάχυση από τα διατµητικά στρώµατα στο κέντρο της ροής. 75

98 Οι εγκάρσιες κατανοµές των τριπλών γινοµένων της ταχύτητας u u παρουσιάζονται στα i j σχήµατα 5.30, 5.31, 5.3, 5.33, 5.34 και Τα τριπλά γινόµενα της ταχύτητας αντιπροσωπεύουν την τυρβώδη µεταφορά (ή την τυρβώδη διάχυση) των διατµητικών τάσεων Reynolds από την τυρβώδη (ή κυµαινόµενη) ταχύτητα. Παραδείγµατος χάριν, το uv αντιπροσωπεύει την τυρβώδη µεταφορά της διατµητικής τάσης Reynolds uv από την v (σχήµα 5.31). Σηµειώνεται ότι η τυρβώδης µεταφορά των διατµητικών τάσεων Reynolds που συνδέονται µε τα τριπλά γινόµενα της ταχύτητας κυριαρχείται από της κινήσεις µεγάλης κλίµακας δοµών, Quinn (199).,5,0 X-wire 1-wire x/d=1 1,5 1,0 X-wire 1-wire x/d=3 <u 3 > / U 3 c x 103 1,5 1,0 0,5 0,0 <u 3 > / U 3 c x 103 0,5 0,0-0,5-1,0-0,5-1,5-1,0 -,0-1,5 0,0 0,5 1,0 1,5,0 -,5 0,0 0,5 1,0 1,5, α) 5.30 β) <u 3 > / U 3 c x 103,0 1,5 1,0 0,5 0,0-0,5-1,0-1,5 X-wire 1-wire x/d=6 -,0 0,0 0,5 1,0 1,5,0,5 <u 3 > / U 3 c x X-wire 1-wire x/d=11 0,0 0,5 1,0 1,5, γ) 5.30 δ) Figure 5.30 (α, β, γ, δ) Οι εγκάρσιες κατανοµές του τριπλού γινοµένου της ταχύτητας uu. 76

99 (<uv >/ U 3 c ) x X-wire 1-wire x/d=1 (<uv > / U 3 c ) x 103 1,0 0,5 0,0-0,5 X-wire 1-wire x/d=3 - -1,0-1,5-3 0,0 0,5 1,0 1,5,0 0,0 0,5 1,0 1,5, α) 5.31 β) (<uv > / U 3 c ) x 103 1,0 0,5 0,0-0,5 X-wire 1-wire x/d=6 (uv / U 3 c ) x x/d=11 X-wire 1-wire Robins (1973) Gur. & Wyg. (1976) Heskestad (1965a) -1, ,5 0,0 0,5 1,0 1,5,0 0,0 0,5 1,0 1,5, γ) 5.31 δ) Figure 5.31 (α, β, γ, δ) Οι εγκάρσιες κατανοµές του τριπλού γινοµένου της ταχύτητας uv. (<uw > / U 3 c ) x 103 0,5 0,0-0,5 x/d=1 x/d=3 x/d=6 x/d=11-1,0-1,5 0,0 0,4 0,8 1, 1,6,0 Figure 5.3 Οι εγκάρσιες κατανοµές του τριπλού γινοµένου της ταχύτητας uw. 77

100 ,5 X-wire 1-wire 1,5 X-wire 1-wire <v 3 > / U 3 c x 103,0 1,5 1,0 0,5 0,0 x/d=1 <v 3 > / U 3 c x 103 1,0 0,5 0,0 x/d=3-0,5-1,0-0,5-1,5 0,0 0,5 1,0 1,5,0-1,0 0,0 0,5 1,0 1,5, α) 5.33 β) <v 3 > / U 3 c x 103 1,5 1,0 0,5 0,0 x/d=6 X-wire 1-wire <v 3 > / U 3 c x 103 1,0 0,5 0,0 X-wire 1-wire x/d=11-0,5-0,5-1,0 0,0 0,5 1,0 1,5,0 0,0 0,5 1,0 1,5, γ) 5.33 δ) 4 x/d=11 X-wire 1-wire Wyg. & Fied. (1969) <v 3 > / U 3 c x ,00 0,05 0,10 0,15 0,0 y/x 5.33 ε) Figure 5.33 (α, β, γ, δ, ε) Οι εγκάρσιες κατανοµές του τριπλού γινοµένου της ταχύτητας vv. 78

101 (<vu > / U 3 c ) x X-wire 1-wire x/d=1 (<vu > / U 3 c ) x 103 1,5 1,0 0,5 0,0 X-wire 1-wire x/d=3-1 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5,0-1,0 0,0 0,5 1,0 1,5, α) 5.34 β) (<vu > / U 3 c ) x 103 1,0 0,5 0,0 X-wire 1-wire x/d=6 (<vu > / U 3 c ) x x/d=11 X-wire 1-wire Robins (1973) Gut. & Wyg. (1976) Heskestad (1965a) -0,5-1 -1,0 0,0 0,5 1,0 1,5,0-0,0 0,5 1,0 1,5, γ) 5.34 δ) Figure 5.34 (α, β, γ, δ, ε) Οι εγκάρσιες κατανοµές του τριπλού γινοµένου της ταχύτητας vu. (<vw > / U 3 c ) x 103 1,0 0,5 0,0 1-wire x/d=1 x/d=3 x/d=6 x/d=11 (vw / U 3 c ) x 103,5 x/d=11,0 1,5 1,0 0,5 1-wire Wyg. & Fied. (1969) 0,0-0,5-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5,0-1,0 0,00 0,05 0,10 0,15 0, α) 5.35 β) Figure 5.35 (α, β) Οι εγκάρσιες κατανοµές του τριπλού γινοµένου της ταχύτητας vw. 79

102 5.4 Ανάλυση της τυρβώδους κινητικής ενέργειας Οι κατανοµές της τυρβώδους κινητικής ενέργειας στις θέσεις x/d=6 και 11 παρουσιάζονται στα σχήµατα 5.36 και 5.37, αντίστοιχα. Η τυρβώδης κινητική ενέργεια q, είναι το άθροισµα των τριών συνιστωσών της τυρβώδους κινητικής ενέργειας (ορθών τάσεων Reynolds) u, v, w. Όπως και στην περίπτωση των διατµητικών τάσεων Reynolds, υπάρχει µια στενή αλληλεξάρτηση µεταξύ της τυρβώδους κινητικής ενεργείας και της τοπικής διάτµησης της µέσης διαµήκους ταχύτητας. 6 AR=6 x/d=5 X-wire AR=6 x/d=6 1-wire AR=5 x/d=5 Quinn (199) AR=10 x/d=5 Quinn (199) AR=0 x/d=5 Quinn (199) 5 (q /U c ) x ,0 0,5 1,0 1,5,0,5 Σχήµα 5.36 Οι εγκάρσιες κατανοµές της τυρβώδους κινητικής ενέργειας. Αρχικά (0<x/D<4-5) η τυρβώδης κινητική ενέργεια q κατανέµεται λόγω της αλληλεπίδρασης του πυρήνα δυναµικού της δέσµης µε τον περιβάλλοντα αέρα. Οι τιµές είναι αρκετά χαµηλές στο κέντρο της δέσµης και αρκετές υψηλές στα άκρα του. Στη συνέχεια όταν τα διατµητικά στρώµατα που αναπτύσσονται στις πλευρές του δυναµικού πυρήνα συναντιούνται, οι κατανοµές του q αλλάζουν δραµατικά µέσα σε πολύ µικρή απόσταση και αυξάνονται σε µέγεθος κοντά στο κέντρο (Browne και συν. 1984). Η συµπεριφορά αυτή των στρωµάτων που συναντιούνται για x / D 4-5, παρουσιάζει µεγάλη οµοιότητα µε τη συµπεριφορά δύο κινούµενων στροβίλων ίσης διαµέτρου όταν αυτοί συγκρούονται (σύµφωνα µε τους Schultz & Grunow 1981). 80

103 (q /U c ) x AR=6 x/d=11 X-wire AR=6 x/d=11 1-wire AR=5 x/d=1.6 Quinn (199) AR=10 x/d=1.6 Quinn (199) AR=0 x/d=1.6 Quinn (199) 0,0 0,5 1,0 1,5,0,5 Σχήµα 5.37 Οι εγκάρσιες κατανοµές της τυρβώδους κινητικής ενέργειας. (q /U c ) x AR=6 X-wire AR=6 1-wire AR=0 Quinn(1994) x/d Σχήµα 5.38 Η εξέλιξη της τυρβώδους κινητικής ενέργειας κατά τον άξονα της ροής. Η µεταβολή της τυρβώδους κινητικής ενέργειας κατά τον κεντρικό άξονα της δέσµης παρουσιάζεται στο σχήµα Ο Quinn (1994) αναφέρει ότι η απότοµη άνοδος της τυρβώδους κινητικής ενέργειας στην εγγύς περιοχή της ορθογωνικής δέσµης οφείλεται στην αύξηση και αλληλεπίδραση, µε τη συνακόλουθη υψηλή τυρβώδη δραστηριότητα, των διατµητικών στρωµάτων που προέρχονται και από τις τέσσερις πλευρές του ακροφυσίου. Είναι σαφές ότι η τυρβώδης κινητική ενέργεια, που παράγεται στα διατµητικά στρώµατα, µεταφέρεται και διαχέετε προς τον κεντρικό άξονα και στα άκρα της δέσµης. Οι τιµές της παρούσας εργασίας συµφωνούν αρκετά καλά µε τις αντίστοιχες τιµές του Quinn (1994). 81

104 ε = Στο σχήµα 5.39 παρουσιάζονται οι εγκάρσιες κατανοµές του όρου εκφυλισµού vs ij s ij. Αυτός ο όρος αυξάνεται κατά µήκος του κεντρικού άξονα της δέσµης. Στην περιοχή των διατµητικών στρωµάτων παρατηρούνται υψηλές τιµές του ρυθµού εκφυλισµού, που συνδυάζονται µε τα υψηλά επίπεδα διακύµανσης της ταχύτητας και της στροβιλότητας στην περιοχή αυτή. 0,008 0,006 x/d=1 x/d=3 x/d=6 x/d=11 ε y c / U c 3 0,004 0,00 0,000 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 1,6 Σχήµα 5.39 Οι εγκάρσιες κατανοµές του ρυθµού εκφυλισµού της ενέργειας. Το σχήµα 5.40 παρουσιάζει την ισορροπία των όρων στην εξίσωση της τυρβώδους κινητικής ενέργειας στην θέση x/d=11. Η εξίσωση της τυρβώδους κινητικής ενέργειας µπορεί να γραφτεί ως : 1 U 1 U q u u v q i i ( ) + i j + ( + ) + = 0 xi x j x j ρ Τα τρέχοντα αποτελέσµατα συγκρίνονται µε τα αποτελέσµατα του Bradbury (1965). Οι διαφορές που παρατηρούνται στις κατανοµές του όρου παραγωγής τυρβώδους ενέργειας, Pd, είναι ανάλογες µε αυτές των διατµητικών τάσεων (σχήµα 5.1 και 5.) και οφείλονται στον διαφορετικό λόγο πλευρών και στις διαφορετικές αρχικές συνθήκες. Επιπλέον, τονίζεται το γεγονός οι µετρήσεις του Bradbury (1965) διεξήχθησαν για x/d=40 σε µια περιοχή που θεωρείται ήδη ισότροπη ενώ οι παρούσες µετρήσεις διεξήχθησαν για x/d=11, σε µια περιοχή όπου η τύρβη δεν έχει αναπτυχθεί πλήρως. p ε 8

105 Loss Gain Energy balance-terms x y c /U 3 C 0,0 0,01 0,00-0,01-0,0 Ad ε Pd Df Production x/d=11 1-wire Production x/d=11 X-wire Advection x/d=11 1-wire Dissipation x/d=11 1-wire Diffusion x/d=11 1-wire Production x/d=40 Bradbury (1965) Advection x/d=40 Bradbury (1965) Diffusion x/d=40 Bradbury (1965) Dissipation x/d=40 Bradbury (1965) 0,0 0,5 1,0 1,5,0,5 3,0 α) 0,01 Production x/d=11 1-wire Production x/d=11 X-wire Advection x/d=11 1-wire Dissipation x/d=11 1-wire Diffusion x/d=11 1-wire Gain Loss Energy balance-terms x y c /U 3 C 0,00 Df Ad ε Pd -0,01 0,0 0,5 1,0 1,5,0 β) Σχήµα 5.40(α, β) Οι εγκάρσιες κατανοµές των όρων της εξίσωσης της τυρβώδους κινητικής ενέργειας στην θέση x/d=11. 83

106 Όπως και στην περίπτωση της παραγωγής Pd, ανάλογα µειωµένες τιµές των τρεχόντων αποτελεσµάτων σε σχέση µε τα αντίστοιχα του Bradbury (1965), παρουσιάζονται επίσης στον όρο ιξώδους εκφυλισµού (viscosity dissipation), ε = vs ij s ij, ικανοποιώντας έτσι την ισορροπία που απαιτείται στην εξίσωση της τυρβώδους κινητικής ενέργειας. Με βάση τα αποτελέσµατα του Bradbury (1965), ο όρος µεταφοράς (advection), 1 Ad = Ui q x i ( ) µεταφέρει την ενέργεια από τα άκρα της δέσµης προς τον άξονα ενώ ο όρος διάχυσης, 1 p Df = v( q + ), µεταφέρει την διακυµαινόµενη ενέργεια µακριά από την περιοχή της x ρ j µέγιστης παραγωγής προς τον άξονα της δέσµης καθώς και τα άκρα της. Όλοι οι όροι της εξίσωσης της κινητικής ενέργειας έχουν αδιαστατοποιηθεί µε το µέγεθος y c / U. Ένα ισχυρό πλεονέκτηµα των τρεχόντων αποτελεσµάτων στη µελέτη της ενεργειακής ισορροπίας είναι ότι κάθε όρος µπορεί να µετρηθεί εκτός από των όρο της διάχυσης πού υπολογίστηκε αφαιρώντας από το µηδέν όλους τους άλλους όρους. Για τις πειραµατικές µελέτες στο παρελθόν, ήταν απαραίτητο να γίνουν διάφορες παραδοχές αναφορικά µε τους όρους της εξίσωσης για να υπολογιστεί η ισορροπία τους. Οι Ramaprian & Chandrasekhara (1985) δεν µέτρησαν την w συνιστώσα της ταχύτητας, αλλά χρησιµοποίησαν µια εκτίµηση της τυρβώδους κινητικής ενέργειας βασιζόµενοι µόνο στις εγκάρσιες και στις διαµήκεις ταχύτητες. Εποµένως, αντί να µετρήσουν τον εκφυλισµό (dissipation) απευθείας, τον υπολόγισαν χρησιµοποιώντας το ενεργειακό φάσµα του u. Από την άλλη ο Bradbury (1965) και οι Gutmark & Wygnanski (1976), υπολόγισαν τον εκφυλισµό χρησιµοποιώντας την ισοτροπική σχέση ε = 15 ν ( u / x). Γενικά, όλες οι µελέτες έχουν προσεγγίζει τη µορφή της εξίσωσης της τυρβώδους κινητικής ενέργειας χρησιµοποιώντας παραδοχές οριακού-στρώµατος στην κατανοµή της µέσης ταχύτητας για να µειώσουν τους όρους. Ενώ αναγνωρίζεται ότι αυτές είναι καλές και απαραίτητες προσεγγίσεις, σε µερικές περιπτώσεις οι συνέπειες τους µπορεί να είναι σηµαντικές. 3 c, 84

107 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΣΤΡΟΒΙΛΟΤΗΤΑΣ 6.1 Εισαγωγή Η συµπεριφορά της επίπεδης δέσµης λόγω της συγχώνευσης των διατµητικών στρωµάτων είναι σύµφωνη µε την ενδεχόµενη καταστροφή των δοµών που δηµιουργούνται από την περιέλξη της ροής και το ζευγάρωµα των στροβίλων µε άξονα κατά µήκος της σχισµής (0 x/d 4 5) στην έντονη τρισδιάστατη τύρβη. Το σχήµα 6.1 παρουσιάζει την απεικόνιση της ροής της ορθογωνικής δέσµης στην εγγύς περιοχή. Τα αποτελέσµατα των Rockwell & Niccolls (197) και Antonia και συν. (1983), καθώς επίσης και η παρούσα απεικόνιση, δείχνουν ότι στις περιπτώσεις όπου οι κατανοµή της µέσης ταχύτητας στην έξοδο του ακροφυσίου είναι οµοιόµορφη, οι µεγάλης κλίµακας δοµές κοντά στην έξοδο του ακροφυσίου είναι κυρίως συµµετρικές. Όταν τα διατµητικά στρώµατα αλληλεπιδρούν κατά µήκος της ροής, αυτές οι δοµές αναδιοργανώνονται σε µια ασύµµετρη µορφή. Σχήµα 6.1 Απεικόνιση της ορθογωνικής δέσµης στην εγγύς περιοχή της. 85

108 6. Το µέσο πεδίο στροβιλότητας Στις ορθογώνιες δέσµες αέρα οι διαµήκεις παράγωγοι των συνιστωσών της µέσης ταχύτητας αναµένονται να είναι αµελητέοι έναντι της εγκάρσιας παραγώγου, x<< y. Υποθέτοντας µια D δέσµη αέρα µε µία κανονική (Gaussian) κατανοµή της µέσης διαµήκους ταχύτητας και µε σταθερές ανάπτυξης παρόµοιες µε αυτές της παρούσας έρευνας δηλαδή τις Α 1, Α, B 1 και B µπορεί να αποδειχθεί αναλυτικά ότι η διαµήκης παράγωγος V x είναι πάντα µικρότερη από ±3% της εγκάρσιας παραγώγου U y. Υπό αυτούς τους όρους, η κυρίαρχη συνιστώσα της µέσης στροβιλότητας Ω z = V x U y µπορεί να υπολογιστεί προσεγγιστικά ως U y. Επίσης η µέση στροβιλότητα διαφόριση της κατανοµής U(y). Ω z µπορεί να εκτιµηθεί µε τη differetiating U(y) 1-wire vorticity mean x/d= x/d= Ω z y c / U C x/d= x/d= Σχήµα 6. Οι εγκάρσιες κατανοµές της µέσης κατά µήκος της σχισµής στροβιλότητας. Το σχήµα 6. απεικονίζει τις εγκάρσιες κατανοµές της µέσης στροβιλότητας Ω z, σε διάφορες θέσεις κατά µήκος της ροής. Παρουσιάζονται δύο είδη εκτιµήσεων. Με βάση την ανωτέρω ανάλυση η Ω z εκτιµάται αρχικά υπολογίζοντας την παράγωγο U y, διαφοροποιώντας την καµπύλη µετρήσεων U(y). Τονίζεται ότι είτε χρησιµοποιούνται οι µετρήσεις της κεφαλής αισθητήρων Χ είτε της κεφαλής 1-αισθητήρων τα αποτελέσµατα είναι παρόµοια. Η δεύτερη εκτίµηση της Ωzείναι βασισµένη στον υπολογισµό του µέσου 86

109 όρου της χρονικής σειράς των τοπικών στιγµιαίων τιµών της u ɶ y µε βάση τις µετρήσεις που επιτυγχάνονται µέσω της κεφαλής 1-αισθητήρων. Και οι δύο εκτιµήσεις παρουσιάζουν µια ικανοποιητική σύγκλιση υποστηρίζοντας έτσι την ικανότητα της κεφαλής 1-αισθητήρων να µετράει µε µεγάλη ακρίβεια την τοπική στιγµιαία στροβιλότητα. Πρέπει να σηµειωθεί ότι αφού οι διαµήκεις παράγωγοι υπολογίζονται µε βάση την υπόθεση Taylor, οι µέσες τιµές τους (συµπεριλαµβανόµενο και της V x ), είναι µηδέν. εδοµένου ότι η διαστατική ανάλυση δείχνει ότι η V x είναι αµελητέα, δεν αναµένεται σηµαντικό σφάλµα (Cavo και συν. 007). u, v Ø.5 µm y x ~1 mm u, v (a) Ø5 µm ~0,8 mm (b) Σχήµα 6.3 Σχηµατική εικόνα σχετικά µε τις διαφορές πυραµιδοειδών κεφαλών και αισθητήρων Χ. a): πυραµιδοειδής κεφαλή. b): αισθητήρες Χ. Οι εµφανιζόµενες αποκλίσεις µεταξύ της κεφαλής 1-αισθητήρων και των αισθητήρων Χ είναι αναµενόµενες και οφείλονται: στη διαφορετική συµπεριφορά που παρουσιάζουν πυραµιδοειδείς κεφαλές 4 αισθητήρων και αισθητήρων Χ σε ροές µε σηµαντικές κλίσεις της ταχύτητας uɶ i / x (i = 1-, j = 1- u ɶ i : στιγµιαία τιµή της συνιστώσας της ταχύτητας στην j κατεύθυνση i). Οι διαφορές στην συµπεριφορά οφείλονται στη διαφορετική διάταξη των νηµάτων και τη διαφορετική χωρική διακριτότητα των κεφαλών (σχήµα 6.3). στις διαφορές των διαστάσεων των κεφαλών: νήµα διαµέτρου,5 µm και µήκους 0,5 mm για την κεφαλή 1-αισθητηρών, νήµα διαµέτρου 5 µm και µήκους 1 mm για την κεφαλή αισθητήρων X. 87

110 στην µειωµένη δυνατότητα των αισθητήρων Χ να µετρά τρισδιάστατες ροές (βλ. επίσης το κεφάλαιο 5). 6.3 Το τυρβώδες πεδίο της στροβιλότητας Το σχήµα 6.4 απεικονίζει τις εγκάρσιες κατανοµές της ρ.µ.τ των διακυµάνσεων των τριών συνιστωσών της στροβιλότητας σε διαφορετικές θέσεις. Οι κατανοµές έχουν αδιαστατοποιηθεί είτε µε τη σταθερά U 0 /D για να απεικονίσουν την ανακατανοµή των διακυµάνσεων της στροβιλότητας, είτε µε την U c /y c για να αποκαλύψουν την αύξηση των διακυµάνσεων της στροβιλότητας σε σύγκριση µε την τοπική διάτµηση. Στην περιοχή του πυρήνα δυναµικού οι διακυµάνσεις τις στροβιλότητας αναδεικνύουν την εξάρτηση τους από την αλληλεπίδραση του πυρήνα της δέσµης µε τον περιβάλλοντα αέρα, δηλ. οι τιµές είναι αρκετά χαµηλές στον κεντρικό άξονα της δέσµης και αρκετά υψηλές στα διατµητικά στρώµατα (Cavo και συν. 007). Αυτή η συµπεριφορά µπορεί να συνδεθεί µε το επίπεδο της τύρβης στα οριακά στρώµατα του ακροφυσίου και την περιέλξη των εξωτερικών ροϊκών γραµµών της δέσµης σε ένα προφανές στρόβιλο (Rockwell & Niccolls, 197) στην περιοχή του διατµητικού στρώµατος (σχήµα 6.1). Κατά µήκος της ροής οι διακυµάνσεις της στροβιλότητας ανακατανέµονται αρχικά σε µια µεγαλύτερη περιοχή λόγω της συγχώνευσης των δοµών (x/d=3, σχήµα 6.1), και εκτείνονται περαιτέρω προς το κέντρο και τις άκρες της δέσµης λόγω της συγχώνευσης των δύο διατµητικών στρωµάτων. Οι τιµές των ρ.µ.τ των διακυµάνσεων των παραγώγων της ταχύτητας, αδιαστατοποιηµένες µε y c /U c, παρουσιάζονται στα σχήµατα 6.5, 6.6, 6.7. Όπως αναµενόταν, οι εγκάρσιες κλίσεις / y και / z είναι σηµαντικά µεγαλύτερες από τις διαµήκεις κλίσεις στο µεγαλύτερο µέρος της δέσµης µε εξαίρεση κάποια σηµεία στα όρια της δέσµης. Το γεγονός αυτό στηρίζει την χρησιµοποίηση της υπόθεσης Taylor και δείχνει την σχετικά µικρότερη σηµασία που έχουν οι διαµήκεις κλίσεις σε σχέση µε τις εγκάρσιες κλίσεις για το υπολογισµό των συνιστωσών της στροβιλότητας ω y και ω z. 88

111 ω'z D/U 0 ω'y D/U 0 ω'x D/U ,0 0,5 1,0 1,5 0,0 0,5 1,0 1, x/d=1 x/d=3 x/d=6 x/d=11 0,0 0,5 1,0 1,5 ω' y / U ω' y / U ω'z y / U x c C y c C c C ,0 0,5 1,0 1, x/d=1 x/d=3 x/d=6 x/d=11 0,0 0,5 1,0 1,5 0,0 0,5 1,0 1,5 (a) (b) Σχήµα 6.4 Οι εγκάρσιες κατανοµές των τυρβωδών εντάσεων των συνιστωσών της στροβηλότητας. Οι κατανοµές της πυκνότητας πιθανότητας των τριών συνιστωσών της στροβιλότητας στον κεντρικό άξονα για x/d=1 και σε =0.85, x/d=6 που απεικονίζονται στο σχήµα 6.8 επιτρέπουν την εκτίµηση της ποιότητας των µετρήσεων. Εφόσον η υπολειπόµενη πραγµατική στροβιλότητα στον κεντρικό άξονα για x/d=1 εκτιµάται ότι είναι πολύ µικρή, το πλάτος των κατανοµών παρέχει το υψηλότερο όριο του επιπέδου θορύβου του οργάνου µέτρησης (Vukoslavčević et al. 1991, Balint et al. 1991). 89

112 ( u/ x j )' y c /U c 4,0 3,5 3,0,5,0 1,5 1,0 0,5 x/d=3 ( u/ x)' ( u/ y)' ( u/ z)' 0,0 0,0 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 1,6 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 1,6 4,0 4,0 3,5 3,0,5,0 1,5 1,0 0,5 x/d=1 0,0 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 1,6 4,0 3,5 3,0,5,0 1,5 1,0 0,5 3,6 3,,8,4,0 1,6 1, 0,8 0,4 x/d=11 x/d=6 0,0 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 1,6 Σχήµα 6.5 Οι εγκάρσιες κατανοµές των ρ.µ.τ των διακυµάνσεων των παραγώγων της διαµήκους ταχύτητας. ( v/ x i )' y c /U c 3,5 3,0,5,0 1,5 1,0 0,5 0,0 x/d=3 ( v/ x)' ( v/ y)' ( v/ z)' 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 1,6 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 1,6 4,0 3, 3,5 x/d=1 x/d=6,8 3,0,5,4,0,0 1,5 1,6 1,0 0,5 0,0 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 1,6 5,0 4,5 4,0 3,5 3,0,5,0 1,5 1,0 1, 0,8 0,4 x/d=11 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 1,6 Σχήµα 6.6 Οι εγκάρσιες κατανοµές των ρ.µ.τ των διακυµάνσεων των παραγώγων της εγκάρσιας ταχύτητας. 90

113 ( w/ x i )' y c /U c 4,0 3,5 3,0,5,0 1,5 1,0 0,5 x/d=3 ( w/ x)' ( w/ y)' ( w/ z)' 0,0 0,0 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 1,6 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 1,6 4,0 4,0 3,5 3,0,5,0 1,5 1,0 0,5 x/d=1 0,0 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 1,6 4,0 3,5 3,0,5,0 1,5 1,0 0,5 3,6 3,,8,4,0 1,6 1, 0,8 0,4 x/d=11 x/d=6 0,0 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 1,6 Σχήµα 6.7 Οι εγκάρσιες κατανοµές των ρ.µ.τ των διακυµάνσεων των παραγώγων της κατά µήκος της σχισµής ταχύτητας. 0,0015 x/d=1 =0 x/d=6 =0.85 PDF (ω z ) PDF (ω y ) PDF (ω x ) 0,0010 0,0005 0, ω 0,0015 x 0,0010 0,0005 0, ω 0,0015 y 0,0010 0,0005 0, ω z Σχήµα 6.8 Οι κατανοµές της πυκνότητας πιθανότητας των τριών συνιστωσών της στροβιλότητας στον κεντρικό άξονα και στο διατµητικό στρώµα. Όπως φαίνεται στο σχήµα 6.8 τα πλάτη των κατανοµών στο x/d=1 είναι όλα της ίδιας τάξης µεγέθους και σηµαντικά µικρότερα από τα πλάτη των κατανοµών στο =0.85, x/d=6, δείχνοντας έτσι υψηλό λόγο σήµατος προς θόρυβο στις µετρήσεις. 91

114 Οι τιµές των ρ.µ.τ στο x/d=1 στον κεντρικό άξονα αντιστοιχούν στη χειρότερη ' περίπτωση στο 8,4%, 10,3% και 6,9% των ρ.µ.τ των διακυµάνσεων της στροβιλότητας ω x, ' ' ω y και ω z µετρηµένες στην περιοχή των διατµητικών στρωµάτων. Αυτές οι εκτιµήσεις ακρίβειας είναι σε συµφωνία µε τα αποτελέσµατα του Lemonis (1997) ο οποίος βρήκε κατά µέσο όρο µια απόκλιση 8% µεταξύ των µετρηµένων και θεωρητικών εκτιµήσεων των παραγωγών της ταχύτητας στην τύρβη πλέγµατος. Η µεταβολές κατά µήκος της ροής στον κεντρικό άξονα των ρ.µ.τ των συνιστωσών της στροβιλότητας αδιαστατοποιηµένες µε την τοπική µέση διάτµηση απεικονίζονται στο σχήµα 6.9. Από τη θέση στην οποία τα χαρακτηριστικά της αλληλεπίδρασης φθάσουν στον κεντρικό άξονα, όλες οι τιµές αυξάνονται µονότονα λόγω της ανακατανοµής της στροβιλότητας και της µείωσης της τοπικής µέσης διάτµησης. Οι διαµήκεις διακυµάνσεις της στροβιλότητας στον κεντρικό άξονα παραµένουν υψηλότερες από τις εγκάρσιες και της κατά µήκος της σχισµής συνιστώσες µε την εξής σειρά ω ' > ω ' > ω '. x y z 4 ω ' x ω ' c y c / U C 3 ω ' y ω ' z x / D Σχήµα 6.9 Η εξέλιξη των ρ.µ.τ των διακυµάνσεων των συνιστωσών της στροβιλότητας στον κεντρικό άξονα κατά µήκος της ροής. Το σχήµα 6.10 παρουσιάζει τις µεταβολές κατά µήκος της ροής στο διατµητικό στρώµα των τυρβωδών εντάσεων των τριών συνιστωσών της στροβιλότητας. Σε αντίθεση µε την εξέλιξη των κεντρικών αντίστοιχων µεταβλητών, οι διακυµάνσεις της στροβιλότητας στο διατµητικό στρώµα επιτυγχάνουν υψηλές εντάσεις κοντά στην έξοδο του ακροφυσίου και µείωση κατά µήκος της ροής. Αυτή η συµπεριφορά, πολύ παρόµοια µε αυτήν των εντάσεων των διακυµάνσεων της ταχύτητας, εξηγείται µε την τυρβώδη διάχυση από το διατµητικό 9

115 στρώµα προς την κεντρική περιοχή της δέσµης. Αξίζει να σηµειωθεί ότι οι διαµήκεις εντάσεις των διακύµανσεων της στροβιλότητας παραµένουν σε όλες τις περιπτώσεις υψηλότερες από τις υπόλοιπες συνιστώσες µε την εξής σειρά ω ' > ω ' > ω '. Οι Stanley και συν. (00) έχουν επίσης εκτιµήσει την x z y ' ω x ως την κυρίαρχη συνιστώσα, αν και οι υπολογισµοί τους αναφέρονται σε σηµαντικά διαφορετικές συνθήκες και η γενική τάση των κατανοµών τους είναι διαφορετική. 9 ω ' s D / U ω ' x ω ' y ω ' z x / D Σχήµα 6.10 Η εξέλιξη των ρ.µ.τ των διακυµάνσεων των συνιστωσών της στροβιλότητας στον διατµητικό στρώµα, ±1, κατά µήκος της ροής. Στα σχήµατα 6.11 και 6.1 παρουσιάζονται οι εγκάρσιες κατανοµές των συντελεστών λοξότητας και κύρτωσης. Όπως και στο πεδίο της ταχύτητας, σε µια οµογενή τυρβώδη ροή, όπου η κατανοµή της πυκνότητας πιθανότητας είναι κανονική συνάρτηση, οι συντελεστές λοξότητας και κύρτωσης παίρνουν τις τιµές 0 και 3 αντίστοιχα. Ο αρνητικός συντελεστής της λοξότητας υποδηλώνει την παρουσία αρνητικών διακυµάνσεων σε σηµαντική απόσταση από τη µέση τιµή. Ο συντελεστής κύρτωσης των διακυµάνσεων της στροβιλότητας, που παρουσιάζεται στο σχήµα 6.1, έχει υψηλότερες τιµές από το αντίστοιχο της ταχύτητας δείχνοντας έτσι το κατά πολύ περισσότερο διαλειπτόµενο χαρακτήρα του σήµατος της στροβιλότητας από αυτό της ταχύτητας. Οι συντελεστές της λοξότητας και κύρτωσης για το πεδίο της στροβιλότητας σχετίζονται µε την µεταφορά των διακυµάνσεων της τυρβώδους στροβιλότητας από περιοχές υψηλής τύρβης σε περιοχές χαµηλής τύρβης. 93

116 Sω x = <ω 3 x > / <ω x '>3 1,4 1, 1,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 x/d=1 x/d=6 x/d=11 Sω y = <ω 3 y > / <ω y '>3 0,4 0, 0,0-0, -0,4-0,6 x/d=1 x/d=6 x/d=11-0, 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 1,6-0,8 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 1,6 α) β) Sω z = <ω 3 z > / <ω z '>3 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 x/d=1 x/d=6 x/d=11-0, -0,4 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 1,6 γ) Σχήµα 6.11 Οι εγκάρσιες κατανοµές του συντελεστή λοξότητας των διακυµάνσεων της στροβιλότητας: α) S(ω x ), b) S(ω y ), γ) S(ω z ). Fω i / (ω ' i )4 0 F(ω x ) 18 F(ω y ) F(ω z ) 16 x/d= ,0 0,4 0,8 1, 1,6 Fω i / (ω ' i ) F(ω x ) F(ω y ) F(ω z ) x/d=6 4 0,0 0,4 0,8 1, 1,6 α) β) 94

117 Fω i / (ω ' i ) F(ω x ) F(ω y ) F(ω z ) x/d=11 4 0,0 0,4 0,8 1, 1,6 γ) Σχήµα 6.1 Οι εγκάρσιες κατανοµές του συντελεστή κύρτωσης των διακυµάνσεων της στροβιλότητας: α) x/d=1, β) x/d=6, γ) x/d= Η διάταση των στροβίλων (vortex stretching) Ο όρος ω j sij (vortex stretching) αντιπροσωπεύει τη διάταση των στροβίλων που έχει ως αποτέλεσµα την δηµιουργία νέων τοπικών στροβίλων µικρής κλίµακας οι οποίοι συντηρούνται από τις δοµές µεγάλης κλίµακας. Τονίζεται επίσης ότι νέοι στρόβιλοι δηµιουργούνται και µε την περιστροφή παλαιών στροβίλων. Στο σχήµα 6.13 παρουσιάζονται οι όροι των συνιστωσών ω j sxj, ω j syj, ω j szj και της συνισταµένης τους ω j sij αδιαστατοποιηµένοι µε y / U στις θέσεις x/d = 1, 3, 6 και 11. Οι τιµές των ορών που c c παρουσιάζονται στα διατµητικά στρώµατα για x/d = 1 και 3 οφείλονται στην συγχώνευση των δοµών όπως και στην ελάττωση ή ενίσχυση των τρισδιάστατων διαταραχών οι οποίες αλληλεπιδρούν µετάξι τους ως αποτέλεσµα την µετέπειτα δηµιουργία δοµών. 95

118 <ω j s xj >=<ω x s xx +ω y s xy +ω z s xz > <ω j s yj >=<ω x s yx +ω y s yy +ω z s yz > <ω j s zj >=<ω x s zx +ω y s zy +ω z s zz > 3 x/d=3 3 x/d=11 / U c <ω j sij> y c ,0 0,5 1,0 1,5 3 x/d= ,0 0,5 1,0 1,5 3 x/d= ,0 0,5 1,0 1,5-1 α) 0,0 0,5 1,0 1,5 / U c <ω j sij> y c x/d=1 x/d=3 x/d=6 x/d=11 0 0,0 0,5 1,0 1,5 β) Σχήµα 6.13 Οι εγκάρσιες κατανοµές της διάτασης των στροβίλων: α) οι συνιστώσες ω jsxj, s ω j yj, j zj ω s β) η συνισταµένη ω jsij. 96

119 Για x/d=6 παρατηρείται µείωση των τιµών ενισχύοντας έτσι την άποψη πολλών ερευνητών που παρουσιάζουν την συνάντηση των διατµητικών στρωµάτων ως µετωπική σύγκρουση δύο κυλινδρικών στροβίλων, µε αποτέλεσµα την µετέπειτα αποδιοργάνωση της ροής. Στην θέση x/d=11 οι όροι παρουσιάζονται πιο ισχυροί που σηµαίνει ότι η στρόβιλοι τείνουν να συγχωνεύονται δείχνοντας έτσι ότι η ροή αρχίζει να αναδοµείται. Σηµειώνεται ότι η συνιστώσα ω j syj παραµένει σε όλες τις περιπτώσεις υψηλότερη από τις υπόλοιπες συνιστώσες. Πολλοί ερευνητές συνδέουν την περιοχή µετά την συνάντηση των διατµητικών στρωµάτων µε την απώλεια της διδιαστατότητας της δέσµης και την πιθανή εµφάνιση τρισδιάστατων δοµών. Τα πειραµατικά αποτελέσµατα του Thomas & Goldschmidt (1986) για Re=6000 έδειξαν ότι η διάταξη στροβίλων τύπου Karman (σχήµα 6.14α) χάνει την διδιάστατη µορφή της για x/d > 8. Το συµπέρασµα τους αυτό βασίστηκε στις µικρές τιµές του λόγου Λ z /Λ x πέρα από την περιοχή δυναµικού. Αναλυτικότερα οι τιµές Λ z /Λ x που µέτρησαν παρουσιάζονται στον πίνακα 6.1. X / D Λ z / Λ x Πίνακας 6.1 Οι Λ z, Λ x είναι οι µακροκλίµακες που προέκυψαν από τις χωρικές συσχετίσεις των διακυµάνσεων της διαµήκους ταχύτητας. Οι µετρήσεις πραγµατοποιήθηκαν µε θερµικά νήµατα τοποθετηµένα στην κατεύθυνση z (κατεύθυνση κατά µήκος της σχισµής του ακροφυσίου) για πλευρική συσχέτιση και στην κατεύθυνση x για διαµήκη συσχέτιση. Στις µετρήσεις αυτές τα νήµατα ήταν τοποθετηµένα στο επίπεδο του διατµητικού στρώµατος ( 1). Συνεχίζοντας, οι Thomas & Goldschmidt (1986) υποστηρίζουν ότι οι συσχετίσεις για εγκάρσιο διαχωρισµό των αισθητήρων, στην y κατεύθυνση, δίνουν ενδείξεις για την παρουσία µιας εκτεταµένης δοµής µε υψηλή εγκάρσια κλίση. Οι µετρήσεις οδηγούν στο συµπέρασµα ότι οι άξονες των υπό κλίση δοµών είναι περίπου ευθυγραµµισµένοι µε την κατεύθυνση της µέσης διάτµησης (σχήµα 6.14β). Αυτό δεν εκπλήσσει, γιατί ένας αριθµός 97

120 συγγραφέων (Tennekes & Lumley 197 και Townsend 1956) έχουν επισηµάνει ότι η ικανότητα της στροβιλοειδούς δοµής να διατηρεί την ταυτότητά της, εξαρτάται από την ικανότητά της να αποσπά ενέργεια από την µέση ροή. Τέτοιες δοµές είναι τυπικά στροβιλοειδείς µε κύριους άξονες να ευθυγραµµίζονται µε το µέσο ρυθµό παραµόρφωσης. Ο προσανατολισµός αυτός αυξάνει τη µεταφορά ενέργειας µε το γνωστό µηχανισµό της διάτασης στροβίλων. Ο Mumford (198) ανέφερε συνδυασµούς από κυλίνδρους µε τους άξονές τους να παρατάσσονται στην κατεύθυνση της µέσης διάτµησης και κυλίνδρους να παρατάσσονται στην κατεύθυνση κατά µήκος της σχισµής, ενώ οι Brown και συν. (1983) εξέφρασαν την πιθανότητα ότι η επίπεδη δέσµη υποστηρίζει περισσότερες από µια βασικές δοµικές µορφές. X Κύρια ροή ω U(x) Y ~5D x D y z α) β) Σχήµα 6.14 Σχηµατική παρουσίαση των κυλινδρικών µορφών στροβίλων µε άξονες στην κατευθύνσεις: α) της σχισµής και β) της µέσης διάτµησης. 98

121 Η παρούσα έρευνα υποστηρίζει ότι η κυριαρχία της <uv> (σχήµα 5.3) είναι µια ένδειξη ότι οι βασικές µεγάλης κλίµακας δοµές αποτελούνται από κυλινδρικής µορφής στροβίλους µε κατεύθυνση κατά µήκος της σχισµής του ακροφυσίου χωρίς να αποκλείεται η ταυτόχρονη παρουσία άλλων κυλινδρικών µορφών σε διαφορετικές κατευθύνσεις. 6.5 Η εξίσωση της µέσης τετραγωνικής διακύµανσης της στροβιλότητας Στο κεφάλαιο αναφέρθηκε ότι η εξίσωση.17 για το µέσο τετράγωνο των διακυµάνσεων της στροβιλότητας είναι αντίστοιχη µε αυτή της εξίσωσης τυρβώδους κινητικής ενέργειας και δίνεται από την σχέση: 1 i i jωisij ν ωω i i ν x j x j x j x j ( ) 1 Ωi 1 U ωω = uω uωω + ω ω s + ωω S x x x j i i j i j i i i j ij i j ij j j j +Ω + ω ω Για αποφυγή επαναλήψεων δεν αναφέρονται στην συγκεκριµένη παράγραφο η φυσική ερµηνεία των όρων της εξίσωσης.17 εφόσον αυτό έχει γίνει αναλυτικά στο κεφάλαιο. 1/ <ω i ω i > (D/U 0 ) x/d=1 x/d=3 x/d=6 x/d=11 0 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 1,6 Σχήµα 6.15 Οι εγκάρσιες κατανοµές της ενστροφίας. Στα σχήµα 6.15 παρουσιάζονται οι εγκάρσιες κατανοµές της ενστροφίας 1 ω ω. i i Παρατηρείται ότι η εξέλιξη της ενστροφίας είναι παρόµοια µε αυτήν της τυρβώδους έντασης της στροβιλότητας (σχήµα 6.4), δηλαδή υψηλές τιµές παρουσιάζονται στα διατµητικά στρώµατα. Η αύξηση της ενστροφίας στον κεντρικό άξονα (σχήµα 6.16) µέχρι το τέλος του 99

122 πυρήνα δυναµικού είναι χαµηλός, και ενισχύεται µετά τη συνάντηση των διατµητικών στρωµάτων (x/d=6). Κατά την εξέλιξη της δέσµης η ενστροφία σταδιακά µεταφέρεται από τα διατµητικά στρώµατα προς τον κεντρικό άξονα και τις άκρες της δέσµης, όπως παρόµοια συµβαίνει µε την τυρβώδη κινητική ενέργεια. Το σχήµα 6.17 παρουσιάζει τους όρους 1, 3, 4, 5 και 7 στο δεξιό µέλος της εξισώσης.17 όπου φαίνεται ξεκάθαρα ότι υπερέχουν οι όροι 3 και 7. Όπως αναφέρθηκε στο κεφάλαιο σε ροές µε µεγάλο αριθµό Reynolds Re Λ, π.χ. όταν λ<<λ, ο όρος στο αριστερό µέλος της εξ. (.17), όπως και οι όροι υπ αριθµόν ένα, δύο, τέσσερα, πέντε και έξι του δεξιού µέλους της εξ. (.17) γίνονται πολύ µικρότεροι από τον τρίτο και τον έβδοµο. Το σχήµα 6.18 παρουσιάζει την σχέση µεταξύ της µακροκλίµακας, Λ και µικροκλίµακας, λ στη θέση x/d= / <ω i ω i > (D/U 0 ) Σχήµα 6.16 Η εξέλιξη της ενστροφίας στον κεντρικό άξονα κατά µήκος της ροής. Έχοντας υπόψη τα αποτελέσµατα των Balint & Wallace (1989) και την εικόνα που παρατηρείται στα σχήµατα 6.17 και 6.18, το ισοζύγιο τυρβώδους στροβιλότητας µπορεί να προσεγγιστεί από την εξίσωση (Taylor, 1938): ω ωi ωi ω j sij x x i ν j j Έτσι, η παραγωγή ή απώλεια στροβιλότητας λόγω παραµόρφωσης των στροβίλων αντισταθµίζεται από την ιξώδη κατανάλωση στροβιλότητας. Αφού ο όρος του δεξιού µέλους 100

123 είναι θετικός, τότε και το αριστερό µέλος πρέπει να είναι θετικό. Αυτό σηµαίνει ότι η διαδικασία παραγωγής στροβιλότητας µέσω διάτασης των στροβίλων υπερισχύει της διαδικασίας της συστολής των στροβίλων. Οι όροι της εξίσωσης της ενστροφίας x (y c /U c ) όρος 1 όρος 3 όρος 4 όρος 5 όρος 7 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 Σχήµα 6.17 Οι εγκάρσιες κατανοµές των ορών του δεξιού µέλους της εξίσωσης.17 στη θέση x/d=11: Ωi Ωz όρος 1: u jωi = uyωz x y j, όρος 3: i jsij U ωω, όρος 4: ωω i jsij = ωω x y y, i i όρος 5: Ω jωisij =Ω z ( ωxsxz + ωysyz + ωzszz ), όρος 7: ν ω ω. x x Στα σχήµατα 6.19, 6.0 και 6.1 παρουσιάζονται οι εγκάρσιες κατανοµές των τριπλών γινοµένων της στροβιλότητας, u jωω i i. Ο όρος αυτός είναι η µεταφορά του µέσου τετραγώνου της τυρβώδους στροβιλότητας µέσω διακυµάνσεων της τυρβώδους ταχύτητας. j j 101

124 Παραδείγµατος χάριν, το uω z αντιπροσωπεύει την µεταφορά του µέσου τετραγώνου της τυρβώδους στροβιλότητας ω z µέσω της διακύµανσης της τυρβώδους ταχύτητας u Λ λ Λ, λ Σχήµα 6.18 Εγκάρσιες κατανοµές της µακροκλίµακας, Λ και µικροκλίµακας, λ. <u i ω j > / u' i (ω' j ) <u i ω j > / u' i (ω' j ) 0,4 0,8 1, 1,6 <uω > x 0,8 x/d=3 <uω > y <uω > z 0, x/d=11 0,4 0,0 0,0-0, -0,4-0,4-0,8-0,6 0,0 0,4 0,8 1, 1,6 0,0 0,4 0,8 1, 1,6 0,4 0, 0,3 0, x/d=1 0,0 x/d=6 0,1-0, 0,0-0,1-0,4-0, -0,6-0,3-0,4-0,8 0,0 0,0 0,4 0,8 1, 1,6 Σχήµα 6.19 Οι εγκάρσιες κατανοµές των τριπλών γινοµένων της στροβιλότητας, uωω i i. 10

125 <u i ω j > / u' i (ω' j ) <u i ω j > / u' i (ω' j ) 3 0,8 x/d=3 x/d=11 0,6 0,4 0, 1 <vω > x <vω > y 0,0 0 <vω > z -0, -0,4 0,0 0,4 0,8 1, 1,6 0,0 0,4 0,8 1, 1,6 1,0 0,4 x/d=1 x/d=6 0,8 0,0 0,6 0,4-0,4 0, 0,4 0,8 1, 1,6-0,8 0,0-0, 0,0 0,4 0,8 1, 1,6 0,0 Σχήµα 6.0 Οι εγκάρσιες κατανοµές των τριπλών γινοµένων της στροβιλότητας, vωω i i. <u i ω j > / u' i (ω' j ) <u i ω j > / u' i (ω' j ) 0,5 x/d=3 0,0-0,5 <wω > x <wω > y <wω > z 0,6 x/d=11 0,4 0, 0,0-0, -1,0-0,4 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 1,6 0,0 0,4 0,8 1, 1,6 0,8 0,6 0,6 x/d=1 0,4 0, 0,0-0, x/d=6 0,4 0, 0,0-0, 0,4 0,8 1, 1,6-0,4-0,4 0,0 0,4 0,8 1, 1,6 0,0 Σχήµα 6.1 Οι εγκάρσιες κατανοµές των τριπλών γινοµένων της στροβιλότητας, wωω i i. 6.6 Η ανισοτροπία της τυρβώδους ορθογωνικής δέσµης στην εγγύς περιοχή Η άµεση παραγωγή της ενέργειας από τη µέση διάτµηση για 0<x/D<6 οδηγεί σε ανισοτροπία του τυρβώδους πεδίου σε αυτήν την περιοχή της δέσµης. Ο πίνακας 6. παρουσιάζει τις τιµές της ανισοτροπίας στα διατµητικά στρώµατα στις θέσεις x/d=1, 3, 6 της 103

126 παρούσας έρευνας καθώς και τα πειραµατικά αποτελέσµατα άλλων ερευνητών που ελήφθησαν στα διατµητικά στρώµατα για περιοχές πλήρως ανεπτυγµένης τύρβης µε εξαίρεση τα DNS αποτελέσµατα που ελήφθησαν στην δισδιάστατη δέσµη στη θέση x/d=4 από τους Stanley και συν. (00). Παρατηρείται ότι στην παρούσα εργασία η ανισοτροπία στη θέση x/d=1 είναι πιο ισχυρή από αυτήν στις θέσεις x/d=3 και x/d=6. Επιπλέον υπάρχει µια καλή uv συµφωνία της τιµής q στη θέσεις x/d=3 και x/d=6 µε τα αποτελέσµατα των Wygnanski & Fielder (1970) και Bell & Mehta (1990). Η ανισοτροπία των τάσεων Reynolds για 1 στην θέση x/d=11 παρουσιάζεται στον πίνακα 6.3 σε σύγκριση µε άλλα διαθέσιµα πειραµατικά στοιχεία. Τα αποτελέσµατα της παρούσας έρευνας µαζί µε αυτά των Stanley και συν. (00) παρουσιάζουν µεγαλύτερη ισοτροπία των ορθών συνιστωσών των τάσεων Reynolds σε σύγκριση µε τα αποτελέσµατα των Gutmark &Wygnanski (1976) και Ramaprian & uv Chandrasekhara (1985). Η τιµή της διατµητικής τάσης Reynolds q είναι στο ίδιο επίπεδο µε τις τιµές των άλλων ερευνητών. Στον κεντρικό άξονα της δέσµης για x/d 11 (πίνακας 6.4) η ανισοτροπία αλλάζει σηµαντικά από τα επίπεδα της περιοχής υψηλής-διάτµησης και συµφωνεί αρκετά καλά µε τα αποτελέσµατα των Gutmark & Wygnanski (1976) και Brawne και συν. (1983). Είναι σαφές ότι οι δοµές µεγάλης κλίµακας δεν χαλαρώνουν µέχρι την ισοτροπία παρά την απουσία µέσης διάτµησης στον κεντρικό άξονα. Τα DNS αποτελέσµατα των Stanley και συν. (00) δείχνουν ότι η περιοχή της δέσµης για x/d=11 είναι περιοχή οµοιότητας σε αντίθεση µε την αντίστοιχη περιοχή της δέσµης στην παρούσα έρευνα όπου λόγω των διαφορετικών αρχικών συνθηκών κάτι τέτοιο δεν συµβαίνει. Ο πίνακας 6.5 απαριθµεί τις ορθές διακυµάνσεις των παραγώγων της ταχύτητας για τον άξονα καθώς επίσης και για την περιοχή υψηλής διάτµησης στην θέση x/d=11 όπως αυτές µετρήθηκαν µε την κεφαλή 1-αισθητήρων. Παράλληλα στον πίνακα 6.5 παρουσιάζονται και οι τιµές µε την µέθοδο DNS. Όσον αφορά τα τρέχοντα αποτελέσµατα, οι αποκλίσεις από το ισοτροπικό όρο ( / ) ( / ) ( / ) u x = v y = w z είναι µεγάλες και στις δύο περιοχές, ενώ οι τιµές στα αποτελέσµατα µε DNS είναι µεγαλύτερες περίπου κατά 1% στα διατµητικά στρώµατα και 3% στον άξονα. 104

127 Τα αποτελέσµατα µε DNS είναι πιο κοντά στην ισοτροπία επειδή η περιοχή x/d=11 αποκαλείται αυτό-οµοιόµορφη σε αντίθεση µε την παρούσα έρευνα όπου η τύρβη δεν είναι πλήρως ανεπτυγµένη µε συνέπεια η αυτό-οµοιότητα να επιτυγχάνεται για x/d > 11. Όπως φαίνεται στον πίνακα 6.6, 6.7 σχεδόν όλες οι εγκάρσιες διακυµάνσεις των παραγώγων της ταχύτητας, που µετρήθηκαν µε την κεφαλή 1-αισθητήρων, έχουν διαφορετικές τιµές στον άξονα αλλά και στην περιοχή διάτµησης επιβεβαιώνοντας την πλήρη ανισοτροπία της δέσµης στηv θέση x/d=11. Επίσης οι τιµές αυτές είναι πολύ µακριά από την ισότροπη τιµή. Αντιθέτως, η µέθοδος DNS υποστηρίζει ότι κοντά στον άξονα αυτοί οι όροι συγκλίνουν αρκετά καλά και οι αναλογίες των εγκάρσιων διακυµάνσεων των παραγώγων µε τις κανονικές διακυµάνσεις των παραγώγων τείνουν στην ισοτροπική τιµή του.0 µε απόκλιση περίπου κατά 9%. ΠΗΓΗ 1-wire x/d=1 ( =0.88) 1-wire x/d=3 ( =1) 1-wire x/d=6 ( =0.85) uu q vv q ww uv q q DNS Stanley (00) x/d= Wygnanski & Fielder (1970) Spencer & Jones (1971) Bell & Mehta (1990) Πίνακας 6. Σύγκριση των τυρβωδών εντάσεων στα διατµητικά στρώµατα της παρούσας έρευνας για x/d=1, 3 και 6 µε τιµές άλλων πειραµατικών αποτελεσµάτων στις περιοχές πλήρης ανεπτυγµένης τύρβης. Οι διαφορετικές τιµές άλλα και εκτιµήσεις της µεθόδου DNS µε την παρούσα έρευνα, όπως ήδη υπογραµµίστηκε παραπάνω, οφείλονται στις διαφορετικές αρχικές συνθήκες, στη διαφορετική γεωµετρία του ακροφυσίου όπως και στη διαφορετική φύση των διατµητικών στρωµάτων που αναπτύσσονται στην έξοδο του ακροφυσίου. 105

128 ΠΗΓΗ uu q vv q ww uv q q 1-wire ( =0.90) 0,36 0,8 0, DNS Stanley (00) x/d= Gutmark &Wygnanski (1976) Ramaprian & Chandr. (1985) = 1 = Όπου + παίρνετε q = ( 3 )( u + v ) Πίνακας 6.3 Σύγκριση των τυρβωδών εντάσεων στα διατµητικά στρώµατα της παρούσας έρευνας για x/d=11 µε τιµές άλλων πειραµατικών αποτελεσµάτων στις περιοχές πλήρης ανεπτυγµένης τύρβης. ΠΗΓΗ uu q vv q ww q 1-wire DNS Stanley (00) x/d= Gutmark & Wygnanski (1976) Ramaprian & Chandr. (1985) Everit & Robins (1978) Brawne και συν. (1983) Πίνακας 6.4 Σύγκριση των τυρβωδών εντάσεων στον κεντρικό άξονα, =0, της παρούσας έρευνας για x/d=11 µε τιµές άλλων πειραµατικών αποτελεσµάτων στις περιοχές πλήρης ανεπτυγµένης τύρβης. 106

129 ( u / x) ( ε /15 v) ( v / y) ( ε /15 v) ( w / z) ( ε /15 v) Τιµή ισοτροπίας wire = = DNS =± = Πίνακας 6.5 Οι ορθές διακυµάνσεις παραγώγων της ταχύτητας για x/d=11. ( u / y) ( u / x) ( u / z) ( u / x) ( v / x) ( v / y) Τιµή ισοτροπίας wire =0.90 5,63 5,90 0,34 =0 16,94 1,35 0,1 DNS =± = Πίνακας 6.6 Οι εγκάρσιες διακυµάνσεις παραγώγων της ταχύτητας για x/d=11. ( v / z) ( v / y) ( w / x) ( w / z) ( w / y) ( w / z) Τιµή ισοτροπίας wire =0.90 0,73 0,9 1,13 =0 0,83 0,10 0,70 DNS =± = Πίνακας 6.7 Οι εγκάρσιες διακυµάνσεις παραγώγων της ταχύτητας για x/d=

130 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟ Ο PIV, ΦΑΣΜΑΤΑ ΙΣΧΥΟΣ ΚΑΙ ΕΛΙΚΟΤΗΤΑ 7.1 Αποτελέσµατα µε την µέθοδο ταχυµετρίας απεικόνισης σωµατιδίων (PIV) Εισαγωγή Για την κατανόηση της ανάπτυξης της ορθογωνικής δέσµης είναι σηµαντική η αναγνώριση και η κατανόηση τόσο της τοπικής φύσης των ασταθειών της δέσµης όσο και της γενικής µη γραµµικής ανάπτυξής τους στο χώρο και στο χρόνο. Ιδιαίτερα σηµαντικό, είναι ο ρυθµός µε τον οποίο αναµιγνύονται τα ρευστά που προέρχονται από τη δέσµη και από το περιβάλλον καθώς συναντώνται στα διατµητικά στρώµατα. Αυτή η πληροφορία δίνεται από το ρυθµό εισροής της δέσµης (entrainment rate), ο οποίος καθορίζει το ρυθµό διάδοσης της διαχωριστικής επιφάνειας µεταξύ στροβιλόδους και αστρόβιλου ρευστού. Η ιξώδης διάχυση της στροβιλότητας που επιδρά κατά κύριο λόγο στις µικρότερες κλίµακες, όπου οι κλίσεις είναι µεγαλύτερες, διαδίδει τη στροβιλότητα στο αστρόβιλο ρευστό. Εντούτοις, η παραγωγή αυτής της µικρής κλίµακας στροβιλότητας, ελέγχεται από παραµορφώσεις (strain) που επιβάλλονται από τις µεγάλες κλίµακες της ροής. Κατά συνέπεια, ο ρυθµός εισροής καθορίζεται από την ταχύτητα µε την οποία οι συστροφές της διαχωριστικής επιφάνειας µε τις µεγαλύτερες κλίµακες εισέρχονται στο περιβάλλον ρευστό (Tennekes και Lumley 197). Οι µεγάλης κλίµακας στρόβιλοι τείνουν να είναι συνεκτικοί µε εύκολα αναγνωρίσιµα χαρακτηριστικά και για το λόγο αυτό ονοµάζονται και συνεκτικές δοµές. Ο έλεγχος της ανάπτυξης της δέσµης σε πρακτικές εφαρµογές εξαρτάται από την κατανόηση της δυναµικής και της τοπολογίας των συνεκτικών δοµών και ιδιαίτερα από το πώς οι ιδιότητες της δέσµης επηρεάζονται µέσω του ελέγχου του σχηµατισµού, της αλληλεπίδρασης, της συγχώνευσης και της κατάρρευσης των συνεκτικών δοµών. Οι µηχανισµοί που επιδρούν στη περιέλιξη και στη συγχώνευση των στροβίλων στην ροή της ελεύθερης δέσµης, µέσω διαταραχής των αρχικών διατµητικών στρωµάτων είναι οι εξής: 1) διαταραχές στα ελεύθερα ρεύµατα ) διαταραχές που οφείλονται στα οριακά στρώµατα, στα απορεύµατα, σε µικρές περιοχές ανακυκλοφορίας ή ακουστικές περιβαλλοντικές διαταραχές και 3) διαταραχές ανάδρασης από την κατάντι ροή. Στα 108

131 πειράµατα στο εργαστήριο οι µηχανισµοί αυτοί αποµονώνονται δύσκολα, επειδή η τύρβη στις ελεύθερες ροές και στα οριακά στρώµατα δεν µπορεί να εξαλειφθεί Ταχυµετρία απεικόνισης σωµατιδίων (P.I.V) Η τρίτη µέθοδος που χρησιµοποιήθηκε στην παρούσα εργασία για την λήψη µετρήσεων, είναι η Ταχυµετρία Απεικόνισης Σωµατιδίων (Particle Image Velolcimetry). Η P.I.V είναι µια, µη παρεµβαλλόµενη στην ροή µέθοδος, η οποία έχει την δυνατότητα ταυτόχρονης µέτρησης του διανύσµατος της ταχύτητας (D-3D) σε ολόκληρο το υπό εξέταση ροϊκό πεδίο. Παράλληλα προκύπτει και η οπτικοποίηση της ροής. Στην µέθοδο µπορεί κάποιος να διακρίνει: α) το πειραµατικό µέρος, που περιλαµβάνει την οπτική καταγραφή εικόνων του ροϊκού πεδίου και την µεταφορά τους στον υπολογιστή µε χρήση οπτικών µεθόδων (σύστηµα βιντεοκάµερας-frame grabber) και β) την ψηφιακή επεξεργασία των εικόνων, µέσω λογισµικού Flow Manager, για εξαγωγή πληροφορίας (διανυσµατικό πεδίο ταχυτήτων ρευστού κ.α.). Το ολοκληρωµένο σύστηµα P.I.V που χρησιµοποιήθηκε αποτελείται από δύο κεφαλές παλµικού λέιζερ τεχνολογίας Nd Young (Quantel) (σχήµα 7.1α,β) και µια ψηφιακή CCD κάµερα (Flow-Sense) της Dantec (σχήµα 7.). Και οι δύο συσκευές συγχρονίζονται από ρυθµιστή της Dantec, ο οποίος λειτουργεί και ρυθµίζεται µέσω του προγράµµατος λογισµικού Flow Manager. Το φύλλο φωτός δηµιουργείται από ειδικό οπτικό της Dantec. Η τροφοδοσία έγινε από την αναρρόφηση του ανεµιστήρα µε χρήση ηλεκτρονικού νεφελοποιητή (nebulizer) Λήψη δεδοµένων και επεξεργασία Στο πειραµατικό µέρος γίνεται διασπορά του ρευστού µε κατάλληλα τροχιοδεικτικά σωµατίδια (είτε στερεά, είτε σταγονίδια διαµέτρου µερικών µικρών) και ακολουθεί φωτισµός αυτών από µια ισχυρή δέσµη (Laser) διαµορφωµένη σε ένα επίπεδο φωτός. Η camera τοποθετηµένη κάθετα στο επίπεδο του φωτός ρυθµίζεται να καταγράφει και να αποθηκεύει στον υπολογιστή ζεύγη εικόνων του ροϊκού πεδίου µε χρονική απόσταση µεταξύ των εικόνων t. Τα φωτισµένα σωµατίδια στην δεύτερη εικόνα (frame) έχουν υποστεί µια σχετική µετατόπιση σε σχέση µε την πρώτη εικόνα του κάθε ζεύγους (τυπικά της τάξης των µερικών pixels, ή µια απόσταση d 1, µερικών µικρών). 109

132 α)παλµικό Laser δύο κεφαλών. β) Σύστηµα ψύξης και λειτουργίας. Σχήµα 7.1(α, β) Παλµικό laser Nd: Young. Σχήµα 7. Ψηφιακή κάµερα CCD της Dantec. Κατά την ψηφιακή επεξεργασία του κάθε ζεύγους εικόνων προσδιορίζεται η µέση, στατιστικά, απόσταση d 1 που έχουν διανύσει τα σωµατίδια σε χρόνο t (γνωστός χρόνος ανάµεσα στα δύο frames), ώστε να προσδιοριστεί η ταχύτητα uɶ = d / t 1. Το υπολογιστικό µέρος περιλαµβάνει αρχικά προεπεξεργασία της εικόνας (για την εξάλειψη θορύβου από ανακλάσεις, καθαρισµός από υποφωτισµένα εκτός εστίασης σωµατίδια). Κατάτµηση των εικόνων σε επιµέρους τµήµατα προς επεξεργασία (τυπικά µεγέθους 3x3, 64x64 pixels). 110

133 Σχήµα 7.3. Βασική αρχή λειτουργίας της PIV. Στην συνέχεια γίνεται επεξεργασία των αντίστοιχων τµηµάτων του κάθε ζεύγους εικόνων για τον υπολογισµό της µέσης µετακίνησης των σωµατιδίων σε αυτά τα τµήµατα. Η επεξεργασία αυτή περιλαµβάνει τον υπολογισµό της συνάρτησης συσχέτισης (correlation function) και απαιτεί την χρήση αλγορίθµου D FFT (Fast Fourier Transform). Το αποτέλεσµα του σταδίου αυτού είναι ένα διάνυσµα ταχύτητας για κάθε τµήµα της εικόνας. Τέλος γίνεται µετεπεξεργασία (Post Processing) του συνολικού διανυσµατικού πεδίου για οµαλοποίησή του (Adaptive Correlation) Βασικές αρχές της ταχυµετρίας απεικόνισης σωµατιδίων (P.I.V) Η ταχυµετρία απεικόνισης σωµατιδίων (P.I.V) είναι µια τεχνική µέτρησης του συνολικού στιγµιαίου πεδίου ταχυτήτων της υπό µελέτης ροής. Αποτελεί µια σχετικά νέα µέθοδο που έχει αναπτυχθεί τα τελευταία 5 χρόνια. Οι βασικές αρχές της µεθόδου ορίστηκαν από τον Adrian (1988, 1991). Άλλες αναφορές για την χρήση της µεθόδου έγιναν από τους Kean & Adrian (1990, 199), Westerweel (1993), Στη συνέχεια δίνονται ορισµένα βασικά στοιχεία για την λειτουργία της µεθόδου. Η P.I.V βασίζεται στην γνωστή εξίσωση : ταχύτητα = µετατόπιση χρόνο (7.1) Ουσιαστικά, στην P.I.V µετράτε η απόσταση που διανύουν σωµατίδια, που έχουν διασκορπιστεί στην ροή, για γνωστό χρονικό διάστηµα. Τα σωµατίδια αυτά είναι γνωστά σαν 111

134 τροχιοδεικτικά σωµατίδια διασποράς. ιαφορετικοί τύποι τροχιοδεικτικών διασποράς χρησιµοποιούνται ανάλογα µε το είδος της ροής που ερευνάται. Τα τροχιοδεικτικά σωµατίδια ακολουθούν επακριβώς την ροή. Για να παρατηρήσουµε την κίνηση των σωµατιδίων, µια περιοχή της ροής φωτίζεται από κατάλληλο λεπτό φύλλο φωτός. Το φύλλο φωτός, που παράγεται από ένα Laser και ένα σύστηµα οπτικών, δεν είναι συνεχές (µόνιµο) αλλά πάλλετε έτσι ώστε να δηµιουργήσει ένα στροβοσκοπικό φαινόµενο. Παγώνει ουσιαστικά την κίνηση των τροχιοδεικτικών σωµατιδίων. Το χρονικό διάστηµα µεταξύ δύο παλµών του Laser είναι ο παρονοµαστής της εξίσωσης (7.1). Για να καταγράψουµε την θέση των φωτισµένων σωµατιδίων, χρησιµοποιείται CCDcamera που είναι τοποθετηµένη κάθετα στο επίπεδο του φωτός. Οι θέσεις των σωµατιδίων καταγράφονται σαν «κηλίδες» φωτός σε µαύρο υπόβαθρο. Το παλλόµενο φύλλο φωτός και η κάµερα συγχρονίζονται, έτσι ώστε οι θέσεις των σωµατιδίων στον πρώτο παλµό του Laser να καταγράφονται στην πρώτη εικόνα (frame 1) που λαµβάνει η camera, και οι θέσεις των σωµατιδίων στον δεύτερο παλµό να καταγράφονται στην δεύτερη εικόνα (frame). Η βασική αρχή της P.I.V απεικονίζεται πιο κάτω (σχήµα 7.3). Οι εικόνες που καταγράφει η κάµερα, διαιρούνται σε ορθογωνικούς τοµείς που ονοµάζονται περιοχές «εξέτασης» (interrogations areas) (σχήµα 7.4α). Για κάθε έναν από αυτούς τους τοµείς, γίνεται συσχέτιση (correlation) των δυο διαδοχικών εικόνων που καταγράφηκαν στον πρώτο και δεύτερο παλµό του Laser, για να παραχθεί το διάνυσµα της µέσης µετατόπισης των σωµατιδίων. Αν η διεργασία αυτή γίνει για όλους τους τοµείς «εξέτασης» κατασκευάζεται το διανυσµατικό πεδίο των µέσων µετατοπίσεων των σωµατιδίων. Υπάρχουν τρεις βασικές τεχνικές συσχέτισης, η αυτοσυσχέτιση, η ετεροσυσχέτιση που είναι πιο διαδεδοµένη και η προσεγγιστική συσχέτιση. Στη συνέχεια διαιρώντας µε τον χρόνο, που µεσολαβεί µεταξύ των δύο παλµών, το πεδίο των µετατοπίσεων µετατρέπεται σε πεδίο ταχυτήτων. Το πεδίο των ταχυτήτων επιδέχεται επιπλέον επεξεργασία και είναι γνωστό σαν «τραχύ» διανυσµατικό πεδίο ταχυτήτων (raw velocity map) (σχήµα 7.4β). Για να επιταχύνουµε τις διεργασίες συσχέτισης των εικόνων (frames1 και ) χρησιµοποιούνται διαδικασίες FFT. Στην συνέχεια εφαρµόζονται αλγόριθµοι οµαλοποίησης (validation) στο «τραχύ» διανυσµατικό πεδίο ταχυτήτων, έτσι ώστε λανθασµένα διανύσµατα να εντοπιστούν και να αφαιρεθούν. Χρησιµοποιείται λογισµικό (Flow Manager) που αρχειοθετεί το «τραχύ» πεδίο ταχυτήτων και κατασκευάζει το νέο οµαλοποιηµένο πεδίο. Επίσης, είναι δυνατόν να πραγµατοποιηθεί επιπλέον ανάλυση για την κατασκευή των ροϊκών γραµµών του πεδίου, της κατανοµής της στροβιλότητας κ.α. 11

135 Σχήµα 7.4 : α) Ανάλυση υποπεριοχής ροϊκού πεδίου. β) Απεικόνιση ροϊκού πεδίου. Από την παραπάνω συνοπτική περιγραφή είναι φανερό πως τα βασικά θέµατα που απασχολούν κατά την εφαρµογή της µεθόδου είναι : η διασπορά των τροχιοδεικτικών σωµατιδίων, ο κατάλληλος φωτισµός αυτών (Laser), το καταγραφικό µέσο των διαδοχικών εικόνων (camera), ο συγχρονισµός Laser-camera, η συσχέτιση των εικόνων (µέσω λογισµικού Flow Manager), η βελτιστοποίηση και επεξεργασία του πεδίου ταχυτήτων και τέλος η επιπλέον ανάλυση Σύγκριση µετρήσεων µε τις µεθόδους ταχυµετρίας απεικόνισης σωµατιδίων και ανεµοµετρίας θερµού νήµατος Στα παρακάτω σχήµατα (7.5 µέχρι 7.10) παρουσιάζονται επιλεγµένες µετρήσεις των µέσων και στατιστικών χαρακτηριστικών των τυρβωδών πεδίων ταχύτητας και στροβιλότητας όπως προέκυψαν βάσει των µετρήσεων µε την κεφαλή αισθητήρων Χ, µε την κεφαλή 1- αισθητήρων και µε τη µέθοδο PIV. Από τα σχήµατα αυτά, που περιλαµβάνουν αποτελέσµατα που έχουν συζητηθεί λεπτοµερώς στα προηγούµενα κεφάλαια, παρατηρείται µια ικανοποιητική σύγκλιση των αποτελεσµάτων της µεθόδου PIV µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα των άλλων δύο µεθόδων. Με βάση τα παραπάνω συµπεραίνεται ότι οι µετρήσεις µε την µέθοδο PIV εµφανίζουν ικανοποιητική ακρίβεια. Έχοντας ως κύριο σκοπό την απεικόνιση της ροής, η συγκεκριµένη εργασία δεν παρουσιάζει αναλυτική εκτίµηση των σφαλµάτων στις µετρήσεις που διεξήχθησαν µε τη µέθοδο PIV αφήνοντας το ζήτηµα αυτό ανοιχτό για το µέλλον. 113

136 U / U C 1,0 x/d=1 X-wire x/d=6 X-wire x/d=1 1-wire x/d=6 1-wire x/d=1 PIV x/d=6 PIV 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5,0 y / y c Σχήµα 7.5 Οι εγκάρσιες κατανοµές της µέσης διαµήκους ταχύτητας (x/d=1, 6). 1,0 0,8 x/d=11 X-wire x/d=11 1-wire x/d=11 PIV U / U C 0,6 0,4 0, 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5,0 y / y c Σχήµα 7.6 Οι εγκάρσιες κατανοµές της µέσης διαµήκους ταχύτητας (x/d=11). 114

137 Ω z y c / U C x/d=3 x/d= differetiating U(y) 1 vorticity mean PIV vorticity mean x/d=11 x/d= Σχήµα 7.7 Οι εγκάρσιες κατανοµές της µέσης κατά µήκος της σχισµής στροβιλότητας. u' / U C, v' / U C 0,15 0,10 0,05 u' X-wire v' X-wire u' 1-wire v' 1-wire u' PIV v' PIV 0, x/d Σχήµα 7.8 Η εξέλιξη των τυρβωδών εντάσεων των συνιστωσών της ταχύτητας κατά τον άξονα της ροής. 115

138 0,0 0,15 x/d=6 X-wire x/d=11 X-wire x/d=6 1-wire x/d=11 1-wire x/d=6 PIV x/d=11 PIV u '/ U C 0,10 0,05 0,00 0,0 0,5 1,0 1,5,0,5 Σχήµα 7.9 Οι εγκάρσιες κατανοµές της τυρβώδης έντασης της διαµήκους ταχύτητας. 1, 1,0 (a) x/d=6 X-wire x/d=6 1-wire x/d=6 PIV <uv> / U C x 100 0,8 0,6 0,4 0, 0,0-0, -0,4 0,0 0,5 1,0 1,5,0,5 Σχήµα 7.10 Οι εγκάρσιες κατανοµές της διατµητικής τάσης Reynolds (x/d=6). 116

139 7.1.6 οµική ανάπτυξη της ορθογωνικής δέσµης αέρα. Οι µετρήσεις µε την µέθοδο PIV πέρα από την ποσοτική καταγραφή, προσφέρουν το πλεονέκτηµα της απεικόνισης της ροής µαζί µε τη δυνατότητα καλύτερης κατανόησης των δοµικών χαρακτηριστικών της ροής, και ειδικότερα, πώς η δηµιουργία, η αλληλεπίδραση και η συγχώνευση των στροβίλων συµβάλλουν στην ανάπτυξη της ορθογωνικής δέσµης. Οι ακόλουθες φωτογραφίες παρουσιάζουν δίνες ανθωρολογιακής φοράς (κόκκινες) και δίνες ωρολογιακής φοράς (µπλέ). Το σχήµα 7.11 παρουσιάζει ένα χάρτη στιγµιαίων τιµών της στροβιλότητας στην περιοχή 0 x/d. Παρατηρείται ότι στη θέση x/d=0.8, στην ασταθή µη-γραµµική περιοχή Kelvin-Helmholtz, δηµιουργούνται οι πρώτοι στρόβιλοι λόγω της αναδίπλωσης της ροής. Οι αρχικά διακριτοί στρόβιλοι µετακινούνται κατά µήκος της ροής αλληλεπιδρώντας µεταξύ τους µε αποτέλεσµα την εξάπλωση της στροβιλότητας ωσότου ο πυρήνας της δέσµης να εξαλειφθεί για 4 x/d 5. Ως αποτέλεσµα της µεταξύ τους αλληλεπίδρασης, οι στρόβιλοι κυλινδρικής µορφής συγχωνεύονται σε καθορισµένες θέσεις. Οι θέσεις συγχώνευσης παρουσιάζονται σε εκείνα τα στάδια της διαδικασίας όπου τα κέντρα των πυρήνων των στροβίλων ευθυγραµµίζονται εγκάρσια. Στη συγκεκριµένη δέσµη οι αλληλεπιδράσεις των στροβίλων ενισχύονται από µικρές εγκάρσιες µετατοπίσεις νεοσχηµατιζόµενων δοµών στο διατµητικό στρώµα. Αυτές οι µετατοπίσεις προκαλούνται κυρίως από διακυµάνσεις της πίεσης και της ταχύτητας. Ως αποτέλεσµα της αµοιβαίας αλληλεπίδρασης πραγµατοποιείται η πρώτη συγχώνευση των στροβίλων στη θέση x/d 1 (σχήµα 7.11). Στη θέση x/d 1.5 παρατηρείται και η δεύτερη συγχώνευση, η οποία περιλαµβάνει τους στροβίλους που προέκυψαν και από την πρώτη συγχώνευση. Στο σχήµα 7.1 παρατηρούµε την εγκάρσια ευθυγράµµιση των στροβίλων στις θέσεις x/d.5 και x/d 3.5 για τις δίνες µε ανθωρολογιακή και µε ωρολογιακή φορά. Ως φυσικό επακόλουθο της ευθυγράµµισης γίνονται αντιληπτές η τρίτη συγχώνευση των στροβίλων στη θέση x/d.5 και η τέταρτη στη θέση x/d 3.5 (σχήµα 7.1). Η συγχώνευση των στροβίλων είναι ο κύριος µηχανισµός για την εξάπλωση του διατµητικού στρώµατος της δέσµης. Στην περιοχή x/d=4 έως 6, στο τέλος του πυρήνα δυναµικού είναι εµφανής η συνάντηση των δύο διατµητικών στρωµάτων, θέση x/d 5, (σχήµα

140 x/d= pix x/d= pix 1500 Figure Ο χάρτης των στιγιαιων τιµών της στροβιλότητας στην περιοχή 0 x/d. x/d=4 x/d=3 Figure 7.1. Ο χάρτης των στιγιαιων τιµών της στροβιλότητας στην περιοχή x/d

141 x/d=6 x/d=5 Figure Ο χάρτης των στιγιαιων τιµών της στροβιλότητας στην περιοχή 4 x/d 6. x/d=1 x/d=11 Figure 7.14 Ο χάρτης των στιγιαιων τιµών της στροβιλότητας στην περιοχή 10 x/d