Το πρόβλημα. Έχουμε έναν κύκλο με μοναδιαία ακτίνα. Η εξίσωσή του θα είναι:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Το πρόβλημα. Έχουμε έναν κύκλο με μοναδιαία ακτίνα. Η εξίσωσή του θα είναι:"

Transcript

1 Το πρόβλημα 1 x y Έχουμε έναν κύκλο με μοναδιαία ακτίνα. Η εξίσωσή του θα είναι: x 2 + y 2 = 1 2

2 Το πρόβλημα Για n=6 Εάν βάλουμε πάνω στην περιφέρειά του n σημεία, σε ίση απόσταση μεταξύ τους και τα ενώσουμε, τότε θα πάρουμε ένα κανονικό εγγεγραμμένο πολύγωνο με n ακμές. Αν ενώσουμε τώρα τις εφαπτομένες στα σημεία των κορυφών του εγγεγραμμένου πολυγώνου, θα πάρουμε ένα περιγεγραμμένο πολύγωνο με n ακμές.

3 Το πρόβλημα Το εμβαδόν του μοναδιαίου κύκλου θα είναι: Α = 1 2 π = π Το εμβαδόν του εγγεγραμμένου πολυγώνου θα είναι: A n = n 2 sin 2π n Το εμβαδόν του περιγεγραμμένου πολυγώνου θα είναι: B n = n tan π n Είναι προφανές πως για τα εμβαδά ισχύει: Α n < π < B n

4 Το πρόβλημα Ο μέσος όρος των εμβαδών των δύο πολυγώνων θα είναι: p n = A n + B n 2 Το οποίο αποτελεί μια προσέγγιση του π, με απόλυτο σφάλμα που ικανοποιεί την ανισότητα: p n π < B n A n Και το οποίο είναι προφανές πως τείνει στο μηδέν καθώς το n.

5 Το πρόβλημα Να γραφεί πρόγραμμα που να ζητάει την είσοδο μιας θετικής πραγματικής ανοχής δ και να εμφανίζει την τιμή του p n, όπου n είναι ο μικρότερος ακέραιος για τον οποίο ισχύει: Α n Β n δ Αυτό εξασφαλίζει πως η απόσταση του p n από το π είναι το πολύ δ. p n π δ Σύμφωνα με τις σχέσεις που είδαμε πιο πάνω, θα αναπτύξουμε ένα πρόγραμμα που θα εξετάζει την προσέγγιση του p n προοδευτικά (με την αύξηση του n). Μπορούμε να δοκιμάσουμε τιμές για το n (10, 100, κλπ).

6 Το πρόγραμμα n = 10; for k = 1:8 A_n = (n/2)*sin(2*pi/n); B_n = n*tan(pi/n); rho_n = (A_n + B_n)/2; fprintf('n = %3.2e A_n = %18.16f B_n = %18.16f rho_n - pi = %4.2e\n',n,A_n,B_n,abs(pi-rho_n)) n = 10*n; end Εάν το τρέξουμε θα πάρουμε τα εξής αποτελέσματα:

7 n = 1.00e+01 A_n = B_n = rho_n - pi = 4.75e-02 n = 1.00e+02 A_n = B_n = rho_n - pi = 5.16e-04 n = 1.00e+03 A_n = B_n = rho_n - pi = 5.17e-06 n = 1.00e+04 A_n = B_n = rho_n - pi = 5.17e-08 n = 1.00e+05 A_n = B_n = rho_n - pi = 5.17e-10 n = 1.00e+06 A_n = B_n = rho_n - pi = 5.17e-12 n = 1.00e+07 A_n = B_n = rho_n - pi = 5.15e-14 n = 1.00e+08 A_n = B_n = rho_n - pi = 4.44e-16 n A_n B_n rho_n - pi 1.00e e e e e e e e e e e e e e e e-16 Από τις τιμές του σφάλματος, φαίνεται πως η τάξη μεγέθους του είναι περίπου: 1/n 2

8 Με την χρήση της εντολής for δεν έχουμε την δυνατότητα να ελέγχουμε την ποιότητα του αποτελέσματος, ώστε να σταματήσουμε τις προσεγγίσεις όταν αυτή μας ικανοποιεί. Η φιλοσοφία της εντολής αυτής είναι: Αν B 3 A 3 > δ τότε το p 3 δεν είναι αρκετά καλό και το n >3. Διαφορετικά n = 3. Αν B 4 A 4 > δ τότε το p 4 δεν είναι αρκετά καλό και το n >4. Διαφορετικά n = 4. Αν B 5 A 5 > δ τότε το p 5 δεν είναι αρκετά καλό και το n >5. Διαφορετικά n = 5...

9 Πρόκειται για μια επαναληπτική διαδικασία ανοικτού τύπου, αφού δεν ξέρουμε πόσες επαναλήψεις πρέπει να πραγματοποιηθούν. Η εντολή for είναι καλή όταν ξέρουμε από τα πριν τον αριθμό των επαναλήψεων που πρέπει να πραγματοποιηθούν. Για την περίπτωση που θέλουμε να σταματήσουν οι επαναλήψεις όταν πληρούται μια συνθήκη (π.χ. ικανοποιητικό σφάλμα), χρειαζόμαστε μία εντολή while:

10 delta = input('enter the error tolerance:'); n = 3; A_n = (n/2)*sin(2*pi/n); B_n = n*tan(pi/n); ErrorBound = B_n - A_n; while ErrorBound > delta n = n+1; A_n = (n/2)*sin(2*pi/n); B_n = n*tan(pi/n); ErrorBound = B_n - A_n; end nstar = n; rho_nstar = (A_n + B_n)/2; Η δομή της λειτουργίας της εντολής-βρόχου while είναι ανάλογη της λειτουργίας της εντολής-βρόχου for

11 Λογική Έκφραση Λέξεις Κλειδιά while ErrorBound > delta n = n+1; A_n = (n/2)*sin(2*pi/n); B_n = n*tan(pi/n); ErrorBound = B_n - A_n; end Το σώμα του Βρόχου Υπάρχει το επαναλαμβανόμενο τμήμα του κώδικα: το σώμα του βρόχου, που επαναλαμβάνεται όσο η λογική έκφραση παραμένει αληθής. Αυτή η διαδικασία ελέγχου-εκτέλεσης τερματίζεται όταν η λογική έκφραση γίνει ψευδής.

12 Στον βρόχο while η επαναληπτική διαδικασία ελέγχεται από την λογική έκφραση και οι μεταβλητές που συμμετέχουν πρέπει να αρχικοποιηθούν πριν την είσοδο στον βρόχο. Ένας κίνδυνος που υπάρχει στον βρόχο while είναι να μην τερματίζει ποτέ. Στην εφαρμογή μας, για κάθε θετικό δ, το B n A n θα γίνει τελικά μικρότερο του δ, πράγμα που εξασφαλίζει πως οι επαναλήψεις θα τερματισθούν. Γενικά όμως πρέπει να λαμβάνουμε τα μέτρα μας ώστε να μην «πέφτει ο βρόχος σε πηγάδι». Αυτό γίνεται με την ρύθμιση της λογικής έκφρασης, ώστε να γίνεται ψευδής πέρα από έναν αριθμό επαναλήψεων.

13 Στην περίπτωσή μας π.χ. χρησιμοποιούμε την μεταβλητή nmax η οποία ορίζει πως οι επαναλήψεις θα συνεχίζονται όσο το όριο του σφάλματος είναι πολύ μεγάλο και το n δεν έχει φτάσει στην τιμή nmax. Είναι επίσης πολύ χρήσιμο να ορίζονται όλες οι εμπλεκόμενες μεταβλητές. Στην εφαρμογή μας π.χ. αυτές είναι: n : Το πλήθος των ακμών του τρέχοντος πολυγώνου A_n: Το εμβαδόν A n του τρέχοντος εγγεγραμμένου πολυγώνου B_n: Το εμβαδόν B n του τρέχοντος περιγεγραμμένου πολυγώνου ErrorBound: Η διαφορά εμβαδών B n A n

14 % Script Eg2_2 % Προσέγγιση του π μέσω πολυγώνων % Δώσε τις παραμέτρους επανάληψης... clc delta = input('δώσε την ανοχή του σφάλματος:'); nmax = input('δώσε το όριο των επαναλήψεων:'); % Η περίπτωση τριγώνου... n = 3; A_n = (n/2)*sin(2*pi/n); B_n = n*tan(pi/n); ErrorBound = B_n - A_n; % Αριθμός ακμών πολυγώνου % Εγγεγραμμένη περιοχή % Περιγεγραμμένη περιοχή % Το όριο σφάλματος % Επανέλαβε όσο το σφάλμα είναι πολύ μεγάλο και το n αρκετά μικρό... while (ErrorBound > delta && n < nmax) n = n+1; A_n = (n/2)*sin(2*pi/n); B_n = n*tan(pi/n); ErrorBound = B_n - A_n; end % Εμφάνισε την τελική προσέγγιση... nstar = n; rho_nstar = (A_n + B_n)/2; clc fprintf(' delta = %10.3e\n nstar = %1d\n nmax = %1d\n\n', delta,nstar,nmax) fprintf(' rho_nstar = %20.15f\n Pi = %20.15f\n', rho_nstar,pi)

15 % Script Eg2_2 % Προσέγγιση του π μέσω πολυγώνων % Δώσε τις παραμέτρους επανάληψης... clc delta = input('δώσε την ανοχή του σφάλματος:'); nmax = input('δώσε το όριο των επαναλήψεων:'); % Η περίπτωση τριγώνου... n = 3; A_n = (n/2)*sin(2*pi/n); B_n = n*tan(pi/n); ErrorBound = B_n - A_n; % Αριθμός ακμών πολυγώνου % Εγγεγραμμένη περιοχή % Περιγεγραμμένη περιοχή % Το όριο σφάλματος

16 % Επανέλαβε όσο το σφάλμα είναι πολύ μεγάλο και το n αρκετά μικρό... while (ErrorBound > delta && n < nmax) n = n+1; A_n = (n/2)*sin(2*pi/n); B_n = n*tan(pi/n); ErrorBound = B_n - A_n; end % Εμφάνισε την τελική προσέγγιση... nstar = n; rho_nstar = (A_n + B_n)/2; clc fprintf(' delta = %10.3e\n nstar = %1d\n nmax = %1d\n\n',... delta,nstar,nmax) fprintf(' rho_nstar = %20.15f\n Pi = %20.15f\n',... rho_nstar,pi)

17 Εάν τρέξουμε το πρόγραμμα θα έχουμε τα εξής αποτελέσματα: delta = 1.000e-06 nstar = 5569 nmax = rho_nstar = Pi =

18 Συστάσεις για τις εντολές επανάληψης for, while Οι δύο αυτές εντολές-βρόχοι, αποτελούν μία από τις μεγαλύτερες προκλήσεις στην επίλυση ενός υπολογιστικού προβλήματος και η «κατάκτησή» τους είναι πολύ σημαντική στην βελτίωση της προγραμματιστικής μας ικανότητας. Η εμπειρία μας διδάσκει για το πότε είναι καλύτερα να ελέγξουμε την επανάληψη, χρησιμοποιώντας την μία ή την άλλη εντολή. Εάν ο αριθμός των επαναλήψεων είναι από τα πριν γνωστός, τότε η εντολή for είναι καλύτερη.

19 Συστάσεις για τις εντολές επανάληψης for, while Χρησιμοποιούμε προγραμματιστικά σχόλια για τον ακριβή ορισμό των μεταβλητών της επαναληπτικής διαδικασίας. Σιγουρευόμαστε ότι οι μεταβλητές αυτές έχουν αρχικοποιηθεί σωστά, πριν την ένταξη στον βρόχο. Για τον βρόχο for προσέχουμε το εύρος των τιμών του μετρητή να είναι σωστό.

20 Επισκόπηση της εντολής επανάληψης while Η εντολή χρησιμοποιείται όταν ένα κομμάτι κώδικα πρέπει να εκτελεστεί κατ επανάληψη και το πλήθος των επαναλήψεων δεν είναι γνωστό από τα πριν. while λογική έκφραση τμήμα κώδικα end Η λογική έκφραση αποτελεί το κριτήριο επανάληψης και το τμήμα κώδικα αποτελεί το σώμα του βρόχου.

21 Επισκόπηση της εντολής επανάληψης while while λογική έκφραση τμήμα κώδικα end Στην αρχή υπολογίζεται το κριτήριο επανάληψης, και εάν είναι αληθές, εκτελείται το σώμα του βρόχου. Εάν είναι ψευδές, τότε η ροή περνάει στην επόμενη εντολή, μετά το end. Μετά από κάθε εκτέλεση του σώματος του βρόχου η λογική έκφραση υπολογίζεται ξανά και, αν είναι αληθής, εκτελείται πάλι το σώμα του βρόχου.

22 Παραδείγματα k = 1; n = 10; while k<=n fprintf('k = %1d\n',k) k=k+1; end k = 1; while 4^k < k=k+1 end fprintf('k = %1d\n',k)

23 Πλήκτρο πανικού Όπως προκύπτει και από τα παραπάνω, είναι εμφανής ο κίνδυνος να «πέσει» το πρόγραμμα σε μία ατέρμονη διαδικασία επαναλήψεων χωρίς τέλος. Στην περίπτωση αυτή, υπάρχει η πρόβλεψη να σταματήσουμε το πρόγραμμα με το πάτημα των πλήκτρων Ctrl και c, αρκεί ο cursor να βρίσκεται μέσα στο παράθυρο εντολών του Matlab.

24 Η εντολή break Η εντολή αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον τερματισμό ενός βρόχου. Τυπικά, κάνει έναν βρόχο for να λειτουργεί σαν βρόχος while. Η χρήση της δεν συνιστάται. Για παράδειγμα, οι δύο κώδικες που ακολουθούν, είναι ισοδύναμοι: s = 0; for k = 1:1000 s = s + k; if s>100 break end end fprintf('s = %1d',s) s = 0; k = 1; while s<=100 s = s + k; k = k + 1; end fprintf('s = %1d',s)

25 Το πρόβλημα Οι αριθμοί Fibonacci f 0, f 1, ορίζονται αναδρομικά (recursive). Ξεκινάμε θέτοντας f 0 = 0 και f 1 = 1. Για n μεγαλύτερο ή ίσο του 1, αναφερόμαστε στον f n και f n 1 σαν τον «τρέχοντα» και τον «προηγούμενο» αριθμό Fibonacci, αντίστοιχα. Ο «επόμενος» αριθμός Fibonacci f n+1 δίνεται από την σχέση: f n+1 = f n + f n 1 Αποδεικνύεται πως οι λόγοι: r n = f n+1 f n Συγκλίνουν στην χρυσή αναλογία: φ =

26 Το πρόβλημα Να γραφεί ένα πρόγραμμα που να εμφανίζει τις τιμές των: n, f n, r n, φ r n, για n = 1: n, όπου n είναι η μικρότερη τιμή του n τέτοια ώστε r n r n Η τιμή φ = , 618 είναι η περίφημη χρυσή τομή και βρέθηκε από τους αρχαίους έλληνες. Αποτελεί έναν από τους πιο ενδιαφέροντες αριθμούς στα μαθηματικά. Η χρυσή τομή αναφέρεται επίσης και ως χρυσός λόγος ή χρυσός κανόνας. Άλλα ονόματα είναι χρυσή μετριότητα και Θεϊκή αναλογία ενώ στον Ευκλείδη ο όρος ήταν "άκρος και μέσος λόγος".

27 Η αναλογία αυτή, για παράδειγμα, καθιστά ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο πιο ευχάριστο αισθητικά. W = 1 L = Το χρυσό ορθογώνιο

28 Για να πάρουμε την χρυσή αναλογία από τους αριθμούς Fibonacci r n = f n+1 f n πρώτα τους αριθμούς: f 0 = 0 f 1 = 1 f 2 = f 1 + f 0 = = 1 f 3 = f 2 + f 1 = = 2 f 4 = f 3 + f 2 = = 3 f 5 = f 4 + f 3 = = 5 f 6 = f 5 + f 4 = = 8 κτλ. πρέπει να παράγουμε

29 Για τους υπολογισμούς αυτούς χρειάζονται τρεις μεταβλητές. Για κάθε θετικό ακέραιο n, θεωρούμε πως οι: f_old, f_cur, f_new περιέχουν τις τιμές των f n 1, f n, και f n+1 αντίστοιχα. Οι μεταβλητές αυτές ενημερώνονται καθώς μεταβαίνουμε από το n=1, σε n=2, σε n=3, σε n=4: n = 1 0 f_old 1 f_cur 1 f_new n = 2 1 f_old 1 f_cur 2 f_new n = 3 1 f_old 2 f_cur 3 f_new n = 4 2 f_old 3 f_cur 5 f_new

30 Ο κάτωθι κώδικας πραγματοποιεί αυτές τις ενημερώσεις: f_old = f_cur f_cur = f_new f_new = f_old + f_cur Η σειρά των ενημερώσεων είναι ζωτικής σημασίας. Πρέπει πρώτα να ενημερώσουμε την f_old και κατόπιν την f_cur. Παρατηρούμε πως η επαναληπτική αυτή διαδικασία θα προχωρήσει μέχρι ότου τα r n και r n+1 να διαφέρουν ελάχιστα. Προς τούτο θα χρησιμοποιήσουμε τον βρόχο while. Ο ψευδοκώδικας θα είναι:

31 Αρχικοποιήσεις while r n και r n+1 διαφέρουν αρκετά Βρες τον επόμενο αριθμό Fibonacci και τον επόμενο λόγο end Καθώς το κριτήριο τερματισμού περιλαμβάνει τον λόγο των r n και r n+1 χρησιμοποιούμε τις μεταβλητές r_cur και r_new για την αποθήκευση αυτών των τιμών. Οι απαιτούμενες αρχικοποιήσεις θα είναι: tol = 10^-15; % tolerance(ανοχή) n = 2; f_old = 1; % (n-1)-οστός αριθμός Fibonacci f_cur = 1; % n-οστός αριθμός Fibonacci f_new = 2; % (n+1)-οστός αριθμός Fibonacci r_cur = f_cur/f_old; % n-οστός υπολογισμένος Χρυσός λόγος r_new = f_new/f_cur; % (n+1)-οστός υπολογισμένος Χρυσός λόγος

32 Οι απαιτούμενες ενημερώσεις αποτελούν το σώμα του βρόχου: n = n+1; f_old = f_cur; f_cur = f_new; f_new = f_old + f_cur; r_cur = r_new; r_new = f_new/f_cur; Και οι επαναλήψεις θα συνεχίζονται έως ότου αληθεύει η λογική έκφραση: (abs(r_new - r_cur)> 10^-15

33 % Script Eg3_2 % Οι αριθμοί Fibonacci και η χρυσή αναλογία % Αρχικοποίηση clc disp(' n f_n r_n ') disp(' ') tol = 10^-15; n = 2; f_old = 1; % (n-1)-οστός αριθμός Fibonacci f_cur = 1; % n-οστός αριθμός Fibonacci f_new = 2; % (n+1)-οστός αριθμός Fibonacci r_cur = f_cur/f_old; % n-οστός υπολογισμένος Χρυσός λόγος r_new = f_new/f_cur; % (n+1)-οστός υπολογισμένος Χρυσός % λόγος fprintf(' %2d %8d %20.15f \n',n,f_cur,r_cur)

34 while (abs(r_new - r_cur)>tol) % Increase n and update... n = n+1; f_old = f_cur; f_cur = f_new; f_new = f_old + f_cur; r_cur = r_new; r_new = f_new/f_cur; fprintf(' %2d %8d %20.15f \n',n,f_cur,r_cur) end Εάν τρέξουμε το πρόγραμμα θαπάρουμε τα κάτωθι αποτελέσματα:

35 n f_n r_n

36 Γραφικές Παραστάσεις (Το πρόβλημα) Να γραφεί ένα πρόγραμμα που εμφανίζει την γραφική παράσταση της συνάρτησης στο διάστημα [-2,3]: f x = sin 5x e 1 + x 2 Θα ξεκινήσουμε με ένα πιο απλό πρόβλημα, την σχεδίαση του ημιτόνου στο διάστημα [0, 2π]. Στον πίνακα έχουμε τις τιμές του x rad και του sin x. x 2 x 0 π 2 = 1, 571 π = 3, 142 3π 2 = 4, 712 2π = 6, 284 sin x

37 Εάν θεωρήσουμε τα 5 σημεία του πίνακα: P 1 = 0, 0 P 2 = 1,571, 1 P 3 = 3,142, 0 P 4 = 4,712, 1 P 5 = 6,283, 0 Και τα χαράξουμε, θα πάρουμε μία κυματομορφή με 5 σημεία, η οποία βέβαια δεν μπορούμε να πούμε πως μας ικανοποιεί:

38

39 Εάν στα 5 αρχικά σημεία προσθέσουμε κι άλλα (αντί για διαστήματα π/2 πάρουμε π/4), τότε θα έχουμε 9 σημεία: x 0 0,785 1,571 2,356 3,142 3,927 4,712 5,498 6,283 sin x 0 0, , , ,707 0 Η καμπύλη που θα προκύψει θα είναι ελαφρώς καλύτερη, αλλά πάλι όχι ικανοποιητική, καθώς θα έχει πάλι γωνίες.

40

41 Μπορούμε βέβαια να επαναλάβουμε την διαδικασία της εκλέπτυνσης της γραφικής παράστασης, επιλέγοντας περισσότερα δειγματοληπτικά σημεία. Το ποιά δειγματοληψία είναι ικανοποιητική για την απόδοση της γραφικής παράστασης, έχει να κάνει προφανώς με τις απαιτήσεις του ματιού μας, με την ανάλυση της οθόνης (pixel/inch), αλλά και με την συγκεκριμένη εφαρμογή.

42 Γενικά, η γραφική αποτύπωση μιας δεδομένης συνάρτησης y = f x, σε ένα δεδομένο διάστημα [L, R], εμπεριέχει τρία βήματα: 1. Δημιουργία πίνακα με τις τιμές του x στο διάστημα. 2. Δημιουργία πίνακα με τις τιμές του y που αντιστοιχούν στις τιμές της συνάρτησης f x για τις τιμές των x. 3. Έναν μηχανισμό που να συνδέει τα ζεύγη xy και να εμφανίζει την πολυγωνική γραμμή που προκύπτει. Τα βήματα αυτά θα μας οδηγήσουν στο πρόχειρο script: x=linspace(0,2*pi,9); y=sin(x); plot(x,y); title('sin(x)');

43 Η εντολή linspace χρησιμοποιείται για να δημιουργήσει έναν πίνακα με τιμές που ισαπέχουν μεταξύ τους, κατά μήκος ενός δεδομένου διαστήματος. Η σύνταξή της είναι ως εξής: Linspace( Αριστερό Όριο, Δεξί Όριο, Πλήθος Δειγματοληπτικών Σημείων ) Η εκχώρηση x=linspace(0,2*pi,9), εκχωρεί έναν πίνακα (άνυσμα) στο x: x: 0 0,785 1,571 2,356 3,142 3,927 4,712 5,498 6,283 Η εντολή y=sin(x), εκχωρεί έναν πίνακα (άνυσμα) στο y με τα ημίτονα των αντίστοιχων τιμών που εκχωρήθηκαν στο x: y: 0 0, , , ,707 0

44 Οι δύο πίνακες συναποτελούν τον αρχικό πίνακα. Η εντολή plot(x,y) συνδέει τα ζεύγη-σημεία xy που προκύπτουν από τα ανύσματα x και y που έχουν βέβαια τις ίδιες διαστάσεις. Με τα δεδομένα αυτά, αλλά και με την εντολή for που ήδη γνωρίζουμε, μπορούμε να βελτιώσουμε το προηγούμενο script: for n=25:25:500 %Σχεδίαση του sin(x) με n σημεία x=linspace(0,2*pi,n); y=sin(x); plot(x,y); title(sprintf('n = %3d',n)) pause end

45 Η εντολή title χρησιμοποιείται για να εμφανίσει την συμβολοσειρά sprintf('n = %3d',n)στο πάνω μέρος του παραθύρου των γραφικών. Η συνάρτηση sprintf είναι ίδια ακριβώς με την fprintf μόνο που επιστρέφει την αντίστοιχη συμβολοσειρά, αντί να την εμφανίζει στο παράθυρο εντολών. Η εντολή pause χρησιμοποιείται για να σταματάει την εκτέλεση του προγράμματος, μέχρι που ο χρήστης να πατήσει κάποιο πλήκτρο. Έτσι κάθε φορά χαράσσεται η καμπύλη με διαφορετικό αριθμό σημείων n, για να μπορούμε να μελετήσουμε την καμπύλη με τον δικό μας ρυθμό. Για n=100 έχουμε την κυματομορφή:

46

47 Εάν επιστρέψουμε τώρα στο αρχικό πρόβλημα και με βάση αυτά που μέχρι τώρα έχουμε δει, το τελικό πρόγραμμα που θα χαράξει την συνάρτηση: Θα είναι: f x = sin 5x e 1 + x 2 x 2

48 % Script Eg4_1 % Χάραξη της συνάρτησης f(x) = sin(5x)*exp(x/2)/(1 + % x^2) στο διάστημα [-2,3]. L = -2; % Αριστερό όριο R = 3; % Δεξί όριο N = 200; % Πλήθος δειγματοληπτικών σημείων % Υπολογισμός των διανυσμάτων των τιμών x και της % συνάρτησης f... x = linspace(l,r,n); y = sin(5*x).* exp(-x/2)./ (1 + x.^2); % Χάραξη και ετικέτες... plot(x,y,[l R],[0 0],':') title('the function f(x) = sin(5x) * exp(x/2) / (1 + x^2)') ylabel('y = f(x)') xlabel('x')

49

50 Η εντολή καταχώρησης x = linspace(l,r,n); Ορίζει το αριστερό και το δεξιό όριο του x, καθώς και τα ισοδιαστήματα Ν της περιοχής ορισμού του. Η εντολή plot(x,y,[l R],[0 0],':') Ζητάει την χάραξη των ζευγών xy, και τον άξονα του μηδενός από L μέχρι R, με διακεκομμένη γραμμή αυτός. Η εντολή title('the function f(x) = sin(5x) * exp(x/2) / (1 + x^2)') δίνει τον τίτλο της κυματομορφής. Τα ylabel('y = f(x)') και xlabel('x') ονοματίζουν τους άξονες x και y.

51 Λίγο χρώμα Τα χρώματα στο περιβάλλον γραφικών του Matlab παριστάνονται με διανύσματα τριών θέσεων [1x3] όπου οι τρεις αριθμοί καθορίζουν τις ποσότητες του κόκκινου του πράσινου και του μπλε χρώματος, αντίστοιχα. Π.χ. Γαλάζιο = = [ ] Μοβ = = [ ] Αυτά τα διανύσματα λέγονται διανύσματα rgb (redgreen-blue) και οι τιμές, για κάθε χρώμα, κυμαίνονται μεταξύ 0 και 1. Το 0 σημαίνει καθόλου και το 1 σημαίνει εξ ολοκλήρου.

52 Έτσι οι τρεις αριθμοί ορίζουν το μίγμα του χρώματος. Για παράδειγμα το άνυσμα δημιουργεί το χρώμα: [ ] Να γραφεί ένα πρόγραμμα που θα εμφανίζει έντεκα χρωματικά πλαίσια κυμαινόμενα από το γαλάζιο μέχρι το μοβ, όπως δείχνουν τα ανύσματα ακολούθως: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

53 Για την εμφάνιση του πλαισίου ενός συγκεκριμένου χρώματος μπορεί να χρησιμοποιηθεί η εντολή fill. Το script: x = [ ]; y = [ ]; v = [ ] fill (x,y,v) Παράγει ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με κορυφές (0,0), (3,0), (3,1), (0,1) και το γεμίζει με χρώμα που καθορίζεται από το διάνυσμα-rgb v (το γαλάζιο εν προκειμένω). Στο script που ακολουθεί θα εμφανιστούν ένα γαλάζιο, ένα μοβ κι ένα με το χρώμα που μόλις πριν δημιουργήσαμε:

54 x = [ ]; y = [ ]; hold on fill (x,y,[ ]) fill (x,y+1,[ ]) fill (x,y+2,[ ]) Η εντολή hold on εξασφαλίζει ότι όλα τα γραφήματα θα προστεθούν στο τρέχον παράθυρο γραφικών.

55

56 Εάν φροντίσουμε να έχουμε αντί για 3, 11 παραλληλόγραμμα, θα έχουμε λύσει το αρχικό πρόβλημα. Ο ψευδοκώδικας που θα το κάνει αυτό, πρέπει να χρησιμοποιήσει ένα βρόχο, και πάνω - κάτω θα είναι της κάτωθι μορφής: n = 10; Υπόλοιπες αρχικοποιήσεις for j=0:n % Εμφάνισε το παραλληλόγραμμο j Υπολόγισε το διάνυσμα-rgb v για το χρώμα του end πλαισίου j. Υπολόγισε τα διανύσματα x και y θέση του πλαισίου j. fill(x,y,v) που ορίζουν την

57 Για να μετατρέψουμε τον ψευδοκώδικα σε script, θα ξεκινήσουμε από τον υπολογισμό των χρωμάτων. Το κάθε πλαίσιο j πρέπει να έχει ποσοστό γαλάζιου (cyan) ίσο με (1-j/10) και ποσοστό μοβ (magenta) ίσο με j/10. cyan = [0 1 1]; Magenta = [1 0 1]; f = j/n v = (1-f)*cyan + f*magenta; Για την θέση των πλαισίων θα χρησιμοποιήσουμε την προηγούμενη λογική. Κάθε πλαίσιο θα έχει πλάτος 3 και ύψος 1. Το πλαίσιο 0 θα βρίσκεται στο κάτω μέρος του σωρού: fill ([ ],[ ],v)

58 Και θα συνεχίζουν στα επόμενα βήματα με την τιμή του y νααυξάνεται σε κάθε βήμα κατά 1: x = [ ]; y = [ ] + j; Έτσι ο ψευδοκώδικας θα γίνει: cyan = [0 1 1]; % rgb του «κάτω» χρώματος magenta = [1 0 1]; % rgb του «πάνω» χρώματος n = 10; % τα ενδιάμεσα χρώματα είναι n-1 x = [ ]; % συντεταγμένες x των πλαισίων y = [ ]; % συντεταγμένες y των πλαισίων for j=0:n % Εμφάνισε το πλαίσιο j... f = j/n; v = (1-f)*cyan + f*magenta; fill(x,y+j,v) end

59 Θα προσθέσουμε την τιμή rgb δίπλα από κάθε πλαίσιο χρησιμοποιώντας την εντολή text. Η εντολή αυτή δέχεται μια θέση xy και μια συμβολοσειρά την οποία την εμφανίζει σ αυτή την θέση. Εάν βάλουμε την εντολή: text(3.5,j+.5,sprintf('[ %4.2f, %4.2f, %4.2f ]',v(1),v(2),v(3))) Αμέσως μετά την εντολή fill θα εμφανισθούν οι τιμές rgb, δεξιά από κάθε πλαίσιο. Συνήθως χρειάζονται κάποιες δοκιμές για να πετύχουμε την ακριβή θέση της συμβολοσειράς. Στην αρχή του προγράμματος προετοιμάζουμε το παράθυρο γραφικών:

60 close all:κλείνουν όλα τα ανοιχτά παράθυρα γραφικών. figure:δημιουργείται καινούργιο παράθυρο γραφικών. axis equal off:κρύβουν τους άξονες και θέτουν την ίδια κλίμακα και κατά τις δύο κατευθύνσεις x και y. hold on:κρατάνε το τρέχον παράθυρο γραφικών, ώστε σε κάθε κύκλο να προστίθενται τα πλαίσια στο ίδιο παράθυρο. Με την hold off απενεργοποιείται η συγκράτηση του παραθύρου και εξασφαλίζεται ότι το παράθυρο γραφικών (shg) θα εμφανισθεί στην οθόνη. Το τελικό πρόγραμμα θα είναι:

61 % Script Eg4_2 % Εμφανίζει τις διαβαθμίσεις των χρωμάτων γαλάζιο και μοβ % Προετοίμασε το παράθυρο γραφικών... close all figure axis equal off hold on % Αρχικοποιήσεις... cyan = [0 1 1]; % rgb του «κάτω» χρώματος magenta = [1 0 1]; % rgb του «πάνω» χρώματος n = 10; % τα «ενδιάμεσα» χρώματα είναι n-1 x = [ ]; % συντεταγμένες x των πλαισίων y = [ ]; % συντεταγμένες y των πλαισίων % Πρόσθεσε χρωματιστά πλαίσια στο παράθυρο γραφικών... for j=0:n % Εμφάνισε το πλαίσιο j και την rgb τιμή του... f = j/n; v = (1-f)*cyan + f*magenta; fill(x,y+j,v) text(3.5,j+.5,sprintf('[ %4.2f, %4.2f, %4.2f ]',v(1),v(2),v(3))) end hold off shg

62

63 Επισκόπηση Matlab Η συνάρτηση fill Λειτουργεί όπως η εντολή plot με την διαφορά πως στην εντολή fill(x,y,c) το τελευταίο της σημείο, που καθορίζεται από τα διανύσματα x και y, ενώνεται με το πρώτο σημείο και η σχηματιζόμενη επιφάνεια χρωματίζεται σύμφωνα με το c. Διανύσματα-rgb Ένα διάνυσμα c τριών θέσεων, με τιμές στο διάστημα [0,1], μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αναπαράσταση ενός χρώματος. To c(1) είναι η ένταση του κόκκινου χρώματος, το c(2) είναι του πράσινου και το c(3) είναι του μπλε. Οι τιμές των διανυσμάτων για τα 8 βασικά χρώματα είναι οιεξής:

64 Επισκόπηση Matlab Χρώμα Μνημονικό rgb μαύρο k [0 0 0] μπλε b [0 0 1] πράσινο g [01 0] γαλάζιο c [01 1] κόκκινο r [10 0] μοβ m [1 0 1] κίτρινο y [11 0] άσπρο w [1 1 1]

65 Επισκόπηση Matlab Η συνάρτηση figure Ανοίγει παράθυρα γραφικών τα οποία αριθμούνται. Για παράδειγμα το: x = linspace(0,2*pi,100); figure plot(x,sin(x)) figure plot(x,cos(x)) Θα δημιουργήσει 2 παράθυρα: το figure 1 για το sin(x) και το figure 2 για το cos(x). Εάν υπάρχουν ήδη κι άλλα ανοιχτά παράθυρα γραφικών, τότε η αρίθμηση των νέων θα ξεκινήσει από εκεί που τελειώνουν τα προηγούμενα παράθυρα που είναι ανοιχτά.

66 Επισκόπηση Matlab Η συνάρτηση text Χρησιμοποιείται για να εμφανίζει μια συμβολοσειρά στο παράθυρο των γραφικών. text(συντεταγμένη-x, συντεταγμένη-y, συμβολοσειρά) Η συνάρτηση close all Η εντολή αυτή διαγράφει όλα τα ανοιχτά παράθυρα γραφικών.

67 Επισκόπηση Matlab Οι συναρτήσεις hold on και hold off Μετά από μία εντολή hold on, όλες οι εντολές plot και fill τοποθετούνται στο τρέχον παράθυρο γραφικών. Για να τερματισθεί αυτή η λειτουργία χρησιμοποιείται το hold off που πρέπει να το χρησιμοποιούμε στο τέλος του προγράμματος για να μην δημιουργούνται προβλήματα με τα γραφικά στο επόμενο πρόγραμμα.

68 Επισκόπηση Matlab Η εντολή shg Η εντολή αυτή φέρνει το τρέχον παράθυρο γραφικών στο προσκήνιο, επισκιάζοντας όλα τα άλλα που μπορεί να είναι ανοιχτά. Την χρησιμοποιούμε συχνά στο τέλος ενός σημαντικού γραφικού υπολογισμού που πρέπει να αξιολογηθεί.

69 Επισκόπηση Matlab Η εντολές axis off, axis equal, axis square Οι εντολές αυτές ρυθμίζουν τα προεπιλεγμένα χαρακτηριστικά των αξόνων. Η axis off κρύβει τους άξονες (και τα xlabel & ylabel). H axis equal θέτει τους άξονες στην ίδια κλίμακα. Η axis square κάνει τετράγωνο το παράθυρο των γραφικών (αντί του προεπιλεγμένου ορθογωνίου).

70 Χαράσσοντας μια έλλειψη Η έλλειψη είναι μία κωνική τομή και προκύπτει από την τομή ενός κώνου με επίπεδο που τον τέμνει πλαγίως ως προς τον άξονά του. Μπορεί να θεωρηθεί ως γενίκευση του κύκλου, όπως προκύπτει στην ειδική περίπτωση που η τομή του κώνου με επίπεδο κάθετο στον άξονά του είναι κύκλος με κέντρο επί του άξονα.

71 Ε 1, Ε 2 : Εστίες έλλειψης, ΔΒ: μεγάλος άξονας, ΑΓ: μικρός άξονας, Ο: (η τομή των δύο αξόνων ή το μέσον Ε 1 Ε 2 ), το Κέντρο έλλειψης.

72 Χαράσσοντας μια έλλειψη Συγκεκριμένα, ας είναι Ε 1, Ε 2 δύο σημεία σε ένα ευκλείδειο επίπεδο με απόσταση 2γ μεταξύ τους και α > γ ένας θετικός αριθμός. Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από τα δύο σταθερά σημεία Ε 1, Ε 2 είναι σταθερό και ισούται με 2α > 2γ. x 2 + y 2 Η εξίσωση της έλλειψης είναι: = 1 a β όπου: β 2 = α 2 γ 2 Οι παραμετρικές της εξισώσεις είναι: x = αcos t y = βsin t για 0 t 2π

73 Πρόγραμμα a = input('μεγάλος άξονας:'); b = input('μικρός άξονας:'); t = linspace(0,2*pi,200); x = a*cos(t); y = b*sin(t); plot(x,y) Εάν δώσουμε: a = 5, b = 3 θα έχουμε την έλλειψη:

74

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 3

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 3 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 3 Σημειώσεις βασισμένες στο βιβλίο Το MATLAB στην Υπολογιστική Επιστήμη και Τεχνολογία Μια Εισαγωγή ΔΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Πρόβλημα: Για δεδομένο αριθμό Α, μα βρεθεί η A. Γεωμετρική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 5

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 5 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 5 Σημειώσεις βασισμένες στο βιβλίο Το MATLAB στην Υπολογιστική Επιστήμη και Τεχνολογία Μια Εισαγωγή Πίνακες (Arrays) [1/2] Δομές δεδομένων για την αποθήκευση δεδομένων υπό

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα: Εμβαδόν σφαίρας

Το πρόβλημα: Εμβαδόν σφαίρας Το πρόβλημα: Εμβαδόν σφαίρας Θέλουμε να γράψουμε ένα πρόγραμμα που θα υπολογίζει το εμβαδόν Α μιας σφαίρας, ακτίνας r. Για παράδειγμα, έστω πως έχουμε την σφαίρα της γης, η οποία έχει ως γνωστόν ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 3: Δομές επανάληψης

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 3: Δομές επανάληψης ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 3: Δομές επανάληψης Μιχάλης Δρακόπουλος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 3 Σημειώσεις βασισμένες στο βιβλίο Το MATLAB στην Υπολογιστική Επιστήμη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 1

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 1 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 1 Σημειώσεις βασισμένες στο βιβλίο Το MATLAB στην Υπολογιστική Επιστήμη και Τεχνολογία Μια Εισαγωγή Περιεχόμενο μαθήματος: Αλγοριθμική επίλυση προβλημάτων Προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 3 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 3 ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Χ (ΤΕΤΜΗΜΕΝΩΝ) ΚΑΙ Υ (ΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ) ΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Ασκήσεις της Ενότητας 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- α. Η χρήση της πένας Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Υπάρχουν εντολές που μας επιτρέπουν να επιλέξουμε το χρώμα της πένας, καθώς και το

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ Εντολές επανάληψης Εντολές επανάληψης while for do-while ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ Παράδειγμα #1 Εντολή while

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ Εντολές επανάληψης Εντολές επανάληψης while for do-while ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ Παράδειγμα #1 Εντολή while ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ Εντολές επανάληψης Εντολές επανάληψης Στη C++ υπάρχουν 3 διαφορετικές εντολές επανάληψης: while for do-while 1 2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ Εντολή while Παράδειγμα #1 Κατασκευάστε πρόγραμμα που για

Διαβάστε περισσότερα

Γενικός τρόπος σύνταξης: Όνομα_συνάρτησης(όρισμα1,όρισμα2,,όρισμαΝ) Η ονομασία τους είναι δεσμευμένη. Παραδείγματος χάριν: sin(x) cos(x) tan(x) exp(x)

Γενικός τρόπος σύνταξης: Όνομα_συνάρτησης(όρισμα1,όρισμα2,,όρισμαΝ) Η ονομασία τους είναι δεσμευμένη. Παραδείγματος χάριν: sin(x) cos(x) tan(x) exp(x) Εσωτερικές (built-in) συναρτήσεις του Matlab Γενικός τρόπος σύνταξης: Όνομα_συνάρτησης(όρισμα1,όρισμα2,,όρισμαΝ) Επιτελούν διάφορες προκαθορισμένες λειτουργίες Η ονομασία τους είναι δεσμευμένη Παραδείγματος

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομες εισαγωγικές σημειώσεις για την. Matlab

Σύντομες εισαγωγικές σημειώσεις για την. Matlab Σύντομες εισαγωγικές σημειώσεις για την Matlab Δήλωση Μεταβλητών Για να εισάγει κανείς δεδομένα στη Matlab υπάρχουν πολλοί τρόποι. Ο πιο απλός είναι στη γραμμή εντολών να εισάγουμε αυτό που θέλουμε και

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηματικής Ανάλυσης Ι. Εισαγωγή στη Matlab Βασικές Συναρτήσεις-Γραφικές παραστάσεις. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Σχολή Θετικών Επιστημών

Εργαστήριο Μαθηματικής Ανάλυσης Ι. Εισαγωγή στη Matlab Βασικές Συναρτήσεις-Γραφικές παραστάσεις. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Σχολή Θετικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής με εφαρμογές στη Βιοϊατρική Εργαστήριο Μαθηματικής Ανάλυσης Ι Εισαγωγή στη Matlab Βασικές Συναρτήσεις-Γραφικές παραστάσεις Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Ψευδοκώδικας. November 7, 2011

Ψευδοκώδικας. November 7, 2011 Ψευδοκώδικας November 7, 2011 Οι γλώσσες τύπου ψευδοκώδικα είναι ένας τρόπος περιγραφής αλγορίθμων. Δεν υπάρχει κανένας τυπικός ορισμός της έννοιας του ψευδοκώδικα όμως είναι κοινός τόπος ότι οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση

Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Εισαγωγή στη MATLAB ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΑΚΡΙΒΗΣ ΒΟΗΘΟΙ: ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΗΣ ΣΩΚΡΑΤΗΣ, ΣΚΟΡΔΑ ΕΛΕΝΗ E-MAIL: SDIMITRIADIS@CS.UOI.GR, ESKORDA@CS.UOI.GR Τι είναι Matlab Είναι ένα περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα, αλγόριθμοι, ψευδοκώδικας

Προβλήματα, αλγόριθμοι, ψευδοκώδικας Προβλήματα, αλγόριθμοι, ψευδοκώδικας October 11, 2011 Στο μάθημα Αλγοριθμική και Δομές Δεδομένων θα ασχοληθούμε με ένα μέρος της διαδικασίας επίλυσης υπολογιστικών προβλημάτων. Συγκεκριμένα θα δούμε τι

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικές παραστάσεις (1ο μέρος)

Γραφικές παραστάσεις (1ο μέρος) ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ Τμήμα Ηλεκτρονικής Φυσική των Αισθητήρων Γραφικές παραστάσεις (1ο μέρος) Σε αυτήν την ενότητα θα εξοικειωθείτε με τον τρόπο απεικόνισης γραφικών παραστάσεων στο MATLAB, και συγκεκριμένα με τις

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής (Queuing Systems)

Συστήματα Αναμονής (Queuing Systems) ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ - ΕΜΠ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηλεκτρονικής & Συστημάτων Πληροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης & Βέλτιστου Σχεδιασμού Δικτύων Τηλεματικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 1: Εισαγωγή

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 1: Εισαγωγή ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 1: Εισαγωγή Μιχάλης Δρακόπουλος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 1 Σημειώσεις βασισμένες στο βιβλίο Το MATLAB στην Υπολογιστική Επιστήμη και

Διαβάστε περισσότερα

3) το παράθυρο Πίνακας τιμών όπου εμφανίζονται οι τιμές που παίρνουν οι παράμετροι

3) το παράθυρο Πίνακας τιμών όπου εμφανίζονται οι τιμές που παίρνουν οι παράμετροι Ο Δ Η Γ Ι Ε Σ Γ Ι Α Τ Ο M O D E L L U S 0.0 4. 0 5 Για να κατεβάσουμε το πρόγραμμα Επιλέγουμε Download στη διεύθυνση: http://modellus.co/index.php/en/download. Στη συνέχεια εκτελούμε το ModellusX_windows_0_4_05.exe

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικές παραστάσεις (2ο μέρος)

Γραφικές παραστάσεις (2ο μέρος) Γραφικές παραστάσεις (2ο μέρος) Σε αυτήν την ενότητα θα εξοικειωθείτε με τον τρόπο απεικόνισης γραφικών παραστάσεων στο MATLAB χρησιμοποιώντας την εντολή plot με πίνακες. Επίσης, θα δείτε επιπλέον εντολές

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΝΟΤΗΤΑ Γραφήματα στο MATLAB

5 η ΕΝΟΤΗΤΑ Γραφήματα στο MATLAB ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΕ Η/Υ 5 η ΕΝΟΤΗΤΑ Γραφήματα στο MATLAB Ν.Δ. Λαγαρός Μ. Φραγκιαδάκης Α. Στάμος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

21. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 - ΔΗΜΙΟΥΡΓΩΝΤΑΣ ΜΕ ΤΟ BYOB BYOB. Αλγόριθμος Διαδικασία Παράμετροι

21. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 - ΔΗΜΙΟΥΡΓΩΝΤΑΣ ΜΕ ΤΟ BYOB BYOB. Αλγόριθμος Διαδικασία Παράμετροι 21. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 - ΔΗΜΙΟΥΡΓΩΝΤΑΣ ΜΕ ΤΟ BYOB BYOB Αλγόριθμος Διαδικασία Παράμετροι Τι είναι Αλγόριθμος; Οι οδηγίες που δίνουμε με λογική σειρά, ώστε να εκτελέσουμε μια διαδικασία ή να επιλύσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙI. Άδειες Χρήσης. Εντολές for, while, do-while Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙI. Άδειες Χρήσης. Εντολές for, while, do-while Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙI Εντολές for, while, do-while Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός. Εργαστήριο 6 Εντολές Επανάληψης

Σκοπός. Εργαστήριο 6 Εντολές Επανάληψης Εργαστήριο 6 Εντολές Επανάληψης Η δομή Επιλογής στη PASCAL H δομή Επανάληψης στη PASCAL. Ρεύμα Εισόδου / Εξόδου.. Ρεύμα Εισόδου / Εξόδου. To πρόγραμμα γραφικών gnuplot. Γραφικά στη PASCAL. Σκοπός 6.1 ΕΠΙΔΙΩΞΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2. Α1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων πληροφορικής

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2. Α1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων πληροφορικής Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2 Α1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων πληροφορικής Α2. Ο αλγόριθμος αποτελείται από ένα πεπερασμένο σύνολο εντολών Α3. Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο

Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο Ενότητα 8: Γραφικές παραστάσεις Διδάσκουσα: Τσαγκαλίδου Ροδή Τμήμα: Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Δομή Επανάληψης. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Δομή Επανάληψης. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Δομή Επανάληψης Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Δομή Επανάληψης Επανάληψη με αρίθμηση DO = ,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 5: Πίνακες [1/2] (Διανύσματα)

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 5: Πίνακες [1/2] (Διανύσματα) ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 5: Πίνακες [1/2] (Διανύσματα) Μιχάλης Δρακόπουλος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 5 Σημειώσεις βασισμένες στο βιβλίο Το MATLAB στην Υπολογιστική

Διαβάστε περισσότερα

Οι εντολές ελέγχου της ροής ενός προγράμματος.

Οι εντολές ελέγχου της ροής ενός προγράμματος. Κεφάλαιο ΙΙI: Οι εντολές ελέγχου της ροής ενός προγράμματος 31 Εντολές ελέγχου της ροής Στο παρόν κεφάλαιο ασχολούμαστε με την σύνταξη των εντολών της C οι οποίες εισάγουν λογική και ελέγχουν την ροή εκτέλεσης

Διαβάστε περισσότερα

2. Δισδιάστατα γραφικά

2. Δισδιάστατα γραφικά 2. Δισδιάστατα γραφικά 2.1 Δισδιάστατες γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων μίας μεταβλητής. Η βασική εντολή σχεδίασης, του Sage, μιας γραφικής παράστασης μίας συνάρτησης μίας μεταβλητής είναι η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα «Ημίτονο και ζωγραφική!»: Έχει δει στα μαθηματικά τη γραφική παράσταση της συνάρτησης του ημιτόνου; Σας θυμίζει κάτι η παρακάτω εικόνα;

Παράδειγμα «Ημίτονο και ζωγραφική!»: Έχει δει στα μαθηματικά τη γραφική παράσταση της συνάρτησης του ημιτόνου; Σας θυμίζει κάτι η παρακάτω εικόνα; Τελεστές, συνθήκες και άλλα! Όπως έχει διαφανεί από όλα τα προηγούμενα παραδείγματα, η κατασκευή κατάλληλων συνθηκών στις εντολές εάν, εάν αλλιώς, για πάντα εάν, περίμενε ώσπου, επανέλαβε ώσπου, είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Συναρτήσεων. 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: στ. x 1

Στοιχεία Συναρτήσεων. 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: στ. x 1 Στοιχεία Συναρτήσεων 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: 1 α. f() β. f() 3 6 8 3 1 γ. g() δ. g() ( 6)( 5) 4 ε. h() 4 στ. h() 4 ζ. ε. στ. 1 φ() η. 1 1 1 r() 5 6 1 r() 1 5 6 φ() 5. Στις

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1) Πότε χρησιμοποιείται η δομή επανάληψης

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ AΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ. Εισαγωγή στη Python

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ AΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ. Εισαγωγή στη Python ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ AΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Εισαγωγή στη Python Νικόλαος Ζ. Ζάχαρης Αναπληρωτής

Διαβάστε περισσότερα

ΓΛΩΣΣΑ ΑΛΦΑΒΗΤΟ ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑΘΕΡΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΓΛΩΣΣΑ ΑΛΦΑΒΗΤΟ ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑΘΕΡΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΓΛΩΣΣΑ ΑΛΦΑΒΗΤΟ Κεφαλαία και μικρά γράμματα ελληνικού αλφαβήτου: Α Ω και α ω Κεφαλαία και μικρά γράμματα λατινικού αλφαβήτου: A Z και a z Αριθμητικά ψηφία: 0 9 Ειδικοί χαρακτήρες: + - * / =. ( ),! & κενός

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Διαδικασίες

Επαναληπτικές Διαδικασίες Επαναληπτικές Διαδικασίες Οι επαναληπτικές δομές ( εντολές επανάληψης επαναληπτικά σχήματα ) χρησιμοποιούνται, όταν μια ομάδα εντολών πρέπει να εκτελείται αρκετές- πολλές φορές ανάλογα με την τιμή μιας

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Προγραμματισμού Η/Υ

Θέματα Προγραμματισμού Η/Υ Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Πληροφορική και Υπολογιστική Βιοϊατρική Θέματα Προγραμματισμού Η/Υ Ενότητα 7: Θεματική Ενότητα: Δομές επανάληψης ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Η/Υ Θεματική Ενότητα 7 Δομές επανάληψης

Διαβάστε περισσότερα

ds ds ds = τ b k t (3)

ds ds ds = τ b k t (3) Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

Η ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Εντολές Επανάληψης REPEAT UNTIL, FOR, WHILE

Η ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Εντολές Επανάληψης REPEAT UNTIL, FOR, WHILE ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 7 Ο Η ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Εντολές Επανάληψης REPEAT UNTIL, FOR, WHILE Βασικές Έννοιες: Δομή Επανάληψης, Εντολές Επανάληψης (For, While do, Repeat until), Αλγόριθμος, Αθροιστής, Μετρητής, Παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Παιχνιδάκια με τη LOGO

Παιχνιδάκια με τη LOGO Όταν σβήνει ο υπολογιστής ξεχνάω τα πάντα. Κάτι πρέπει να γίνει Κάθε φορά που δημιουργώ ένα πρόγραμμα στη Logo αυτό αποθηκεύεται προσωρινά στη μνήμη του υπολογιστή. Αν θέλω να διατηρηθούν τα προγράμματά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 3)

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 3) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 3) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 3) Σεπτέμβριος 2015

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Η γλώσσα προγραμματισμού C ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 3: Πίνακες, βρόχοι, συναρτήσεις 1 Ιουνίου 2017 Το σημερινό εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

4. Εισαγωγή στο Matlab

4. Εισαγωγή στο Matlab ΠΠΜ 500: Εφαρμογές Μηχανικής με Ανάπτυξη Λογισμικού 4. Εισαγωγή στο Matlab Εαρινό εξάμηνο 2006 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www. www.eng. eng.ucy.ac.cy/petros 1 Θέματα Εισαγωγή στο Matlab

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

> μεγαλύτερο <= μικρότερο ή ίσο < μικρότερο == ισότητα >= μεγαλύτερο ή ίσο!= διαφορετικό

> μεγαλύτερο <= μικρότερο ή ίσο < μικρότερο == ισότητα >= μεγαλύτερο ή ίσο!= διαφορετικό 5 ο Εργαστήριο Λογικοί Τελεστές, Δομές Ελέγχου Λογικοί Τελεστές > μεγαλύτερο = μεγαλύτερο ή ίσο!= διαφορετικό Οι λογικοί τελεστές χρησιμοποιούνται για να ελέγξουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Εργαστήριο 1 MATLAB ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1. Θέμα εργαστηρίου: Εισαγωγή στο MATLAB και στο Octave

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Εργαστήριο 1 MATLAB ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1. Θέμα εργαστηρίου: Εισαγωγή στο MATLAB και στο Octave ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Θέμα εργαστηρίου: Εισαγωγή στο MATLAB και στο Octave Περιεχόμενο εργαστηρίου: - Το περιβάλλον ανάπτυξης προγραμμάτων Octave - Διαδικασία ανάπτυξης προγραμμάτων MATLAB - Απλά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Ι. Τι χρειάζεται η εντολή DO ; ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΕΝΤΟΛΗ DO. Όταν απαιτείται να εκτελεστεί πολλές φορές το ίδιο τμήμα ενός προγράμματος.

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Ι. Τι χρειάζεται η εντολή DO ; ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΕΝΤΟΛΗ DO. Όταν απαιτείται να εκτελεστεί πολλές φορές το ίδιο τμήμα ενός προγράμματος. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Ι Τι χρειάζεται η εντολή DO ; ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΕΝΤΟΛΗ DO Όταν απαιτείται να εκτελεστεί πολλές φορές το ίδιο τμήμα ενός προγράμματος. Τετριμμένο παράδειγμα: Κατασκευάστε πρόγραμμα που θα εμφανίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 26 Γραφικά δύο διαστάσεων... 11. 27 Γραφικά τριών διαστάσεων... 45

Περιεχόμενα. 26 Γραφικά δύο διαστάσεων... 11. 27 Γραφικά τριών διαστάσεων... 45 Περιεχόμενα 26 Γραφικά δύο διαστάσεων... 11 26.1 Η συνάρτηση plot...11 26.2 Στυλ γραμμών, σημειωτές, και χρώματα...14 26.3 Κάνναβοι διαγραμμάτων, πλαίσιο αξόνων, και ετικέτες...16 26.4 Προσαρμογή αξόνων

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8: Ελεύθερη πτώση

Κεφάλαιο 8: Ελεύθερη πτώση Κεφάλαιο 8: Ελεύθερη πτώση Σύνοψη Πειραματικός προσδιορισμός του διαγράμματος διαστήματος χρόνου s(t) ενός σώματος, το οποίο εκτελεί ελεύθερη πτώση. Υπολογισμός της κλίσης της καμπύλης s(t) σε μια τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 17

ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 17 ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 17 10 Νοεµβρίου, 2006 Γεώργιος Έλληνας Επίκουρος Καθηγητής ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην πληροφορική

Εισαγωγή στην πληροφορική Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Εισαγωγή στην πληροφορική Βασίλειος Βεσκούκης Δρ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Υπολογιστών ΕΜΠ v.vescoukis@cs.ntua.gr Η γλώσσα προγραμματισμού

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,,

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,, 1. i) Να αποδείξετε την ταυτότητα 1 ( ) ( ) ( ) + + = + +. ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; + + + +.. Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων (,, ) είναι όταν είναι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 14

ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 14 ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 14 20 Οκτωβρίου, 2005 Ηλίας Κυριακίδης Λέκτορας ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ 2005Ηλίας Κυριακίδης,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 11 12 (B - Γ Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Από την εικόνα μπορούμε να δούμε ότι: 1 + 3 + 5 + 7 = 4 4. Ποια είναι η τιμή του: 1 + 3 +

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά στοιχεία στο Matlab

Βασικά στοιχεία στο Matlab Αριθμητική : + - * / ^ 3ˆ2 - (5 + 4)/2 + 6*3 >> 3^2 - (5 + 4)/2 + 6*3 22.5000 Βασικά στοιχεία στο Matlab Το Matlab τυπώνει την απάντηση και την καταχωρεί σε μια μεταβλητή που την ονομάζει ans. Αν θέλουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2 Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2 1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων Πληροφορικής 2. Ο αλγόριθμος αποτελείται από ένα πεπερασμένο σύνολο εντολών 3. Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε. 11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 1 3 5 Ε 9 7. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες όταν αντιστραφούν

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Μελετήστε την θεωρία που αφορά Επαναληπτικές Μεθόδους Επίλυσης Γραμμικών Συστημάτων.

Μελετήστε την θεωρία που αφορά Επαναληπτικές Μεθόδους Επίλυσης Γραμμικών Συστημάτων. ΗΥ213 Αριθμητική Ανάλυση Εργαστήριο 7 Οδηγίες για προετοιμασία Διαβάστε και εκτελέστε όλα τα προηγούμενα εργαστήρια. Μελετήστε την θεωρία που αφορά Επαναληπτικές Μεθόδους Επίλυσης Γραμμικών Συστημάτων.

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Γραμμικής Άλγεβρας. H Matlab ως γλώσσα προγραμματισμού

Εργαστήριο Γραμμικής Άλγεβρας. H Matlab ως γλώσσα προγραμματισμού Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής με Εφαρμογές στη Βιοϊατρική Εργαστήριο Γραμμικής Άλγεβρας H Matlab ως γλώσσα προγραμματισμού Προγραμματιστικές δομές Έλεγχος ροής if if

Διαβάστε περισσότερα

2ο ΓΕΛ ΑΓ.ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΑΕΠΠ ΘΕΟΔΟΣΙΟΥ ΔΙΟΝ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΑ ΠΑΡΑΚΑΤΩ

2ο ΓΕΛ ΑΓ.ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΑΕΠΠ ΘΕΟΔΟΣΙΟΥ ΔΙΟΝ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΑ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΑ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΣΤΑΘΕΡΕΣ είναι τα μεγέθη που δεν μεταβάλλονται κατά την εκτέλεση ενός αλγόριθμου. Εκτός από τις αριθμητικές σταθερές (7, 4, 3.5, 100 κλπ), τις λογικές σταθερές (αληθής και ψευδής)

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

2.2.7 Τίτλος στη γραφική παράσταση

2.2.7 Τίτλος στη γραφική παράσταση 2.2.7 Τίτλος στη γραφική παράσταση Η επιλογή title τοποθετεί μία επικεφαλίδα (τίτλο) στη γραφική παράσταση. title = None (προεπιλογή) title = επικεφαλίδα δεν θέτει καμία επικεφαλίδα θέτει ως επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Πέτρος Μάρκος

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Πέτρος Μάρκος B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πέτρος Μάρκος κριτήρια αξιολόγησης MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Διαγωνίσματα σε κάθε μάθημα και επαναληπτικά σε κάθε κεφάλαιο Διαγωνίσματα σε όλη την ύλη για τις τελικές εξετάσεις Αναλυτικές απαντήσεις σε όλα

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω. ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

4 ο Εργαστήριο Τυχαίοι Αριθμοί, Μεταβλητές Συστήματος

4 ο Εργαστήριο Τυχαίοι Αριθμοί, Μεταβλητές Συστήματος 4 ο Εργαστήριο Τυχαίοι Αριθμοί, Μεταβλητές Συστήματος Μεταβλητές Συστήματος Η Processing χρησιμοποιεί κάποιες μεταβλητές συστήματος, όπως τις ονομάζουμε, για να μπορούμε να παίρνουμε πληροφορίες από το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

2 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 2 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα: ΜΑΘΑΙΝΟΝΤΑΣ ΤΟ MATLAB, ΜΕΡΟΣ B Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Βρόχοι. Εντολή επανάληψης. Το άθροισμα των αριθμών 1 5 υπολογίζεται με την εντολή. Πρόβλημα. Πώς θα υπολογίσουμε το άθροισμα των ακέραιων ;

Βρόχοι. Εντολή επανάληψης. Το άθροισμα των αριθμών 1 5 υπολογίζεται με την εντολή. Πρόβλημα. Πώς θα υπολογίσουμε το άθροισμα των ακέραιων ; Εντολή επανάληψης Το άθροισμα των αριθμών 1 5 υπολογίζεται με την εντολή Πρόβλημα Πώς θα υπολογίσουμε το άθροισμα των ακέραιων 1 5000; Ισοδύναμοι υπολογισμοί του Ισοδύναμοι υπολογισμοί του Ισοδύναμοι υπολογισμοί

Διαβάστε περισσότερα

Περι-γράφοντας... βρόχους

Περι-γράφοντας... βρόχους Όνομα(τα): Όνομα Η/Υ: Σ Τμήμα: Ημερομηνία: Περι-γράφοντας... βρόχους Ξεκινήστε το Χώρο Δραστηριοτήτων, επιλέξτε τη θεματική ενότητα: ΘΕ05: Επανάληψη και επιλέξτε την πρώτη δραστηριότητα (Περι-γράφοντας...

Διαβάστε περισσότερα