ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΟ ΜΥΣΤΗΡΙΟ. Α. ακανάλης και Ε.Θεοδοσίου Τοµέας Αστροφυσικής-Αστρονοµίας και Μηχανικής Τµήµα Φυσικής-Πανεπιστήµιο Αθηνών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΟ ΜΥΣΤΗΡΙΟ. Α. ακανάλης και Ε.Θεοδοσίου Τοµέας Αστροφυσικής-Αστρονοµίας και Μηχανικής Τµήµα Φυσικής-Πανεπιστήµιο Αθηνών"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΟ ΜΥΣΤΗΡΙΟ ΤΩΝ ΠΥΡΑΜΙ ΩΝ Α. ακανάλης και Ε.Θεοδοσίου Τοµέας Αστροφυσικής-Αστρονοµίας και Μηχανικής Τµήµα Φυσικής-Πανεπιστήµιο Αθηνών Περίληψη Το µυστήριο της ύπαρξης των πυραµίδων µας κατακλύζει µε αναπάντητα ερωτήµατα, τόσο αρχαιολογικού, όσο και επιστηµονικού ενδιαφέροντος. Χωρίς να αµφισβητείται ο νεκρικός χαρακτήρας των πυραµίδων προτάσσονται ορισµένα µαθηµατικά, γεωµετρικά και αστρονοµικά στοιχεία µε έµφαση στη µεγάλη πυραµίδα. Ταυτόχρονα παρουσιάζονται επιγραµµατικά ορισµένες θεωρίες που επιχειρούν να δώσουν απάντηση σε κάποια από αυτά τα ερωτήµατα. Αυτές είναι η θεωρία της «Ταυτόχρονης Μετάβασης» της K. Spence, η µελέτη χωροθέτησης των πυραµίδων στην Γκίζα του J. Legon καθώς και η θεωρία του «Σηµείου Φυγής» του S. Goodfellow. Τέλος, αφού γίνει αναφορά στην ανακάλυψη του R. Gantenbrink, παρουσιάζεται επιγραµµατικά η θεωρία της «Συσχέτισης µε τον Ωρίωνα» του R. Bauval. Εισαγωγή Μια ερµηνεία της λέξης mr στα αρχαία αιγυπτιακά που έδωσε ο καθηγητής Ι.Ε.S. Edwards (1996), ένας από τους πλέον διακεκριµένους Αιγυπτιολόγους παγκοσµίως, είναι «όργανο ανόδου» ή «τόπος ανύψωσης». Ο ίδιος την αµφισβήτησε, όµως η ερµηνεία αυτή µας παραπέµπει σε µια από τις περισσότερο αποδεκτές λειτουργίες της πυραµίδας ως όργανο µετάβασης του πνεύµατος του νεκρού φαραώ στον ουρανό, προς τον ηλιακό δίσκο και στους αειφανείς αστέρες, όπου πιστευόνταν ότι ενώνεται µε την θεία του πηγή. Στην Αίγυπτο υπάρχουν περίπου 90 πυραµίδες. Το έντονα γεωµετρικό τους σχήµα τους δίνει από µόνο του µια αίσθηση µυστηρίου, το κάλεσµα του οποίου επιχείρησαν να απαντήσουν εκατοντάδες µελετητές ανά τους αιώνες. Αρκετές από αυτές είναι ηµιτελείς, άλλες κατεστραµµένες, ενώ δεν είναι λίγες αυτές που δεν περιέχουν καν σαρκοφάγο. Κοινή παραδοχή ανάµεσα στους Αιγυπτιολόγους αποτελεί το γεγονός πως δεν υπάρχουν στοιχεία για την ύπαρξη µιας µακράς προπαρασκευαστικής περιόδου ανάπτυξης ούτως ώστε να δικαιολογείται η αρχιτεκτονική και κατασκευαστική τελειότητα των πρώτων πυραµίδων. εύτερο παράδοξο αποτελεί το γεγονός πως έπειτα από την 4 η δυναστεία, η Αίγυπτος βιώνει µια τεχνολογική «έξοδο». Οι µεταγενέστερες πυραµίδες είναι όχι µόνο µικρότερες σε µέγεθος, αλλά και πολύ κατώτερες σε ποιότητα. Οι Αιγυπτιολόγοι ακολουθώντας το δόγµα πως οι πυραµίδες ήταν τάφοι των φαραώ εκτιµούν πως οι λόγοι ήταν οικονοµικοί έχοντας στο νου το τεράστιο κόστος που απαιτείται για το χτίσιµο µιας πυραµίδας. Η εξήγηση αυτή δεν µοιάζει να είναι ορθή διότι, θα περίµενε κανείς να 1

2 διατηρηθεί τουλάχιστον η κατασκευαστική γνώση και απλώς να µικρύνει το µέγεθος της πυραµίδας. Κυρίαρχο ερώτηµα παραµένει ο ουσιαστικός ρόλος της πυραµίδας και ακολουθούν και άλλα αναπάντητα ερωτήµατα που στοιχειώνουν το µυστήριο της ύπαρξης της. Η κυρίαρχη άποψη ορίζει πως ήταν τάφοι για τους φαραώ, και πως κατα τη διάρκεια του χτισίµατος τους αποτελούσαν κοινωνικά κέντρα, που παρείχαν στέγη και τροφή στους χιλιάδες ανθρώπους οι οποίοι συντελούσαν στην κατασκευή της. Η διαδικασία όµως εύρεσης του φαραώ στον οποίο ανήκει µια πυραµίδα είναι εξαιρετικά δύσκολη, και αποτελεί χρόνιο πονοκέφαλο των µελετητών. Αυτό κυρίως οφείλεται στο γεγονός πως κάθε φαραώ είχε περίπου πέντε διαφορετικά ονόµατα καθώς και στο γεγονός πως η ιερογλυφική γραφή απουσιάζει από τις πυραµίδες της 3 ης και 4 ης δυναστείας. Οι «βουβές» πυραµίδες ονοµάζονται από επιγραφές σε πώµατα βάζων που βρέθηκαν µέσα σε αυτές ή από λακωνικές επιγραφές που βρέθηκαν σε κάποιο κοντινό κτίσµα, από επιγραφές που άφησαν οµάδες λατόµων πάνω σε πέτρες που χρησιµοποιήθηκαν για το χτίσιµο τους καθώς και από επιγραφές που βρέθηκαν σε λίγες πέτρινες στήλες. Το πρόβληµα γίνεται εντονότερο όταν αναλογιστούµε τη µεγάλη αβεβαιότητα που υπάρχει για τη χρονολόγηση των συνολικά 30 δυναστειών, η οποία οξύνεται όσο βαδίζουµε στην αρχαιότητα. Το πρόβληµα χρονολόγησης ενός φαραώ µεταφέρεται και γίνεται πρόβληµα χρονολόγησης µιας πυραµίδας. Το γεγονός πως οποιοσδήποτε φαραώ 4 ης δυναστείας θάφτηκε µέσα σε πυραµίδα παραµένει αναπόδεικτο, όπως φαίνεται από τον Πίνακα Ι. Οι νεκρικοί ναοί γύρω από αυτές καθώς και η εσωτερική διαρρύθµιση των πυραµίδων και των ναών τους δεν επιτρέπει την τέλεση µιας βασιλικής κηδείας µε ό,τι αυτή συνεπάγεται, αφού οι χώροι είναι πολύ µικροί για µια ποµπή και για τελετουργικά. Πυραµίδες 3 ης & 4 ης δυναστείας #Θαλάµων Djoser 2 Σαρκοφάγοι ΠΙΝΑΚΑΣ Ι Ταφικός Λάκκος 2 σαρκοφάγοι Σχόλια για τις σαρκοφάγους Πατούσα µούµιας Υπολλείµατα γυναικείου σκελετού Χρονολογούνται γενιές πρίν (!) τον Djoser Sekhemet 1 1 Σφραγισµένη και άδεια Khaba Meidum Pyramid (Snofru) Bent Pyramid (Snofru) Red Pyramid (Snofru) Khufu 3 1 Χωρίς σκέπασµα, άδεια (Χέοπας) Djefre Khafre (Χεφρήνας) Menkaure (Μυκερίνος) 1 1 Κόκκαλα ταύρου, χρονολογούνται µεταγενέστερα. 3 1 Σαρκοφάγος χάθηκε στη θάλασσα ενώ µεταφέρονταν στο βρεταννικό µουσείο. Χρονολογείται στην 26 η δυναστεία. 2

3 Οι αναφορές αρχαίων περιηγητών όπως ο Ηρόδοτος, ο ιόδωρος ο Σικελιώτης, ο Πορφύριος και ο Πλίνιος, κρίνονται µάλλον αναξιόπιστες όχι µόνο επειδή περιέχουν µεταξύ άλλων και φανταστικά στοιχεία, αλλά κυρίως γιατί ο Χέοπας ήταν για εκείνους τόσο αρχαίος όσο είναι οι ίδιοι για εµάς. Υπάρχουν πολλά ακόµη στοιχεία που υποστηρίζουν την άποψη πως οι πρώτες πυραµίδες δεν λειτουργούσαν ως τάφοι. Εµείς υιοθετούµε την ορθότερη άποψη, δηλαδή πως δεν µπορούµε να προσπελάσουµε τα εµπόδια 4500 περίπου ετών και να µάθουµε την αντικειµενική αλήθεια για το εάν ήταν τάφοι η όχι. εν αµφισβητούµε όµως τον ολοφάνερο νεκρικό χαρακτήρα τους. Οι θεωρίες Παραταύτα, µε τον κατάλληλο κώδικα επικοινωνίας οι κατά τα άλλα «βουβές» πυραµίδες αρχίζουν να µιλούν. Μιλούν όταν κανείς τις εξετάσει µε την παγκόσµια γλώσσα της Γεωµετρίας, των Μαθηµατικών και της Αστρονοµίας. Το ενδιαφέρον µας πλέον θα συγκεντρωθεί στα κατασκευαστικά θαύµατα των πυραµίδων της 4 ης δυναστείας, µε ιδιαίτερη έµφαση στη µεγάλη πυραµίδα. Κατά παράδοση, οι πυραµίδες χτίζονταν κατά τρόπο που η κάθε τους πλευρά προσανατολιζόταν στα τέσσερα σηµεία του ορίζοντα µε µεγάλη ακρίβεια και οι είσοδοι τους βρίσκονταν πάντα στη βορεινή πλευρά. Κατά κανόνα, η είσοδος τους βρισκόταν ψηλότερα από τον υπόγειο κεντρικό θάλαµο και ο διάδροµος που ένωνε τα δύο µέρη ήταν κατηφορικός, µε κλίση περίπου 26 µοιρών. Ήταν πρακτικό γιατί ο θάλαµος µπορούσε να σφραγιστεί εύκολα τοποθετώντας ογκώδεις λίθους που έφραζαν τον διάδροµο. Είχε όµως και συµβολικό χαρακτήρα διότι η ψυχή του φαραώ βγαίνοντας από το θάλαµο και περνώντας χωρίς πρόβληµα µέσα από τα λίθινα εµπόδια, θα ανηφόριζε µε κλίση γύρω στις 26 µοίρες και θα κατευθυνόταν προς τον πολικό αστέρα και τους αειφανείς αστέρες, δηλαδή προς τη θεία της πηγή. Εξαίρεση στον κανόνα αποτελεί η µεγάλη πυραµίδα, που θα εξετάσουµε λεπτοµερέστερα αργότερα. Ας εστιάσουµε τώρα το ενδιαφέρον µας σε µια θεωρία που αφορά στην τοποθέτηση των πυραµίδων έτσι ώστε να προσανατολίζονται προς τα 4 σηµεία του ορίζοντα. Ονοµάζεται θεωρία της Ταυτόχρονης Μετάβασης (Simultaneous Transition), προτάθηκε από την ρ.kate Spence του τµήµατος Ανατολικών Σπουδών του Πανεπιστηµίου της Οξφόρδης και δηµοσιεύτηκε στο περιοδικό Nature (2000). Είναι µια προσπάθεια για χρονολόγηση των πυραµίδων από αστρονοµικά δεδοµένα. Έπειτα από τη δηµοσίευση έχουν εγερθεί πολλές αµφιβολίες που µειώνουν την αξιοπιστία της θεωρίας αυτής, αλλά το θέµα δεν έχει λήξει µιας και η Spence εργάζεται ήδη σε µια εκτενέστερη µελέτη και έχει ανακοινώσει πως θα απαντήσει σε πολλές από αυτές τις αµφιβολίες. 3

4 Η Spence υποστηρίζει πως οι αρχαίοι Αιγύπτιοι καθόριζαν την ακριβή κατεύθυνση του βορρά ευθυγραµµίζοντας ένα αλφάδι µε τη νοητή ευθεία που σχηµατίζει ο µεγάλος κύκλος που περνά από τα αστέρια Kochab (β UMi) και Mizar (ζ UMa), καθώς και από τον άξονα που τρέχει από βορρά προς νότο και βρίσκεται επί των ανατολικών ή δυτικών πλευρών των πυραµίδων. εδοµένου ότι η µέθοδος δεν άλλαξε ανα τους αιώνες, τότε θα πρέπει να παρουσιάζεται ένα συστηµατικό σφάλµα στον προσανατολισµό των πυραµίδων, που οφείλεται στην αποµάκρυνση της νοητής αυτής ευθείας από τον πολικό αστέρα, η οποία οφείλεται στο φαινόµενο της µετάπτωσης. Έτσι κατασκεύασε ένα διάγραµµα όπου στον άξονα των τετµηµένων βρίσκεται ο χρόνος, και στον άξονα των τεταγµένων η απόκλιση των πυραµίδων από το βορρά. Σε γενικές γραµµές η θεωρία επαληθεύεται από τα δεδοµένα, όµως ας δούµε τα κυριότερα προβλήµατα: Το πρώτο είναι ένα κλασικό πρόβληµα της Αρχαιοαστρονοµίας, δηλαδή πως στον ένα άξονα έχουµε τοποθετήσει ιστορικά δεδοµένα (ηµεροµηνίες) και στον άλλο δεδοµένα επιστηµονικής µελέτης (την απόκλιση από το βορρά). Οι ηµεροµηνίες δεν είναι τυχαία χρονικά διαστήµατα όπως γίνεται σε ένα εργαστήριο, και έτσι πρέπει κανείς να δεχθεί πρώτα την ορθότητα του θεωρητικού µοντέλου και στη συνέχεια να τοποθετήσει όπως ο ίδιος ορίζει τα σηµεία στον άξονα του χρόνου. Άλλο πρόβληµα εντοπίζεται στις πυραµίδες τριών διαδοχικών φαραώ, του Χέοπα, του Djefre και του Χεφρήνα. Η πυραµίδα του Djefre παρουσιάζει µια τεράστια απόκλιση, έξω από τα δεδοµένα της 4 ης δυναστείας. Επίσης η Spence στο διάγραµµα της τοποθετεί τον Χεφρήνα χρονολογικά πρίν τον Χέοπα. Μολονότι είναι εντελώς ανορθόδοξη θεώρηση, δεν ακούγεται τόσο παράλογη εάν αναλογιστεί κανείς πως η πυραµίδα του Χεφρήνα µολονότι είναι στην πραγµατικότητα λίγο µικρότερη, φαντάζει µεγαλύτερη από αυτή του Χέοπα διότι είναι χτισµένη σε ψηλότερο σηµείο. Εδώ υπάρχει το εύλογο ερώτηµα, γιατί η µεγαλύτερη πυραµίδα στον κόσµο να µην κτίστηκε λίγα µέτρα πιο πέρα ωστε να βρίσκεται στο ψηλότερο σηµείο της περιοχής; Πάντως τα αρχαιολογικά δεδοµένα δεν αρκούν για να απορρίψουν τις συνέπειες της θεωρίας. Τελειώνοντας µε αυτή τη θεωρία, αναφέρουµε ότι η Spence δεν ήταν ούτε η πρώτη ούτε η µόνη που σκέφτηκε τα παραπάνω, και οφείλουµε να αναφέρουµε τα ονόµατα κι άλλων µελετητών όπως ο Robin Cook 1, γεωλόγος και ο Robert Bauval 2, µηχανικός, του οποίου τη θεωρία θα µελετήσουµε αργότερα. Στη σηµερινή τους µορφή, όλες οι πυραµίδες στην Γκίζα φανερώνουν σε µας µόνο τον σκελετό τους. Κάποτε πρέπει να παρουσίαζαν ένα εκπληκτικό θέαµα, καλυµµένες µε λευκό ασβεστόλιθο, µε τις πλευρές τους εντελώς επίπεδες, να στέκονται απαστράπτουσες κάτω από τον ήλιο της Αιγύπτου. Η βασική µετρική µονάδα που χρησιµοποιήθηκε για το κτίσιµο τους έχει βρεθεί, ονοµάστηκε από τους µελετητές «βασιλικό κύβιτο» και ισοδυναµεί µε 52,37 εκατοστά. Ο John Legon (2003), πτυχιούχος της Σχολής Εφαρµοσµένων Φυσικών Επιστηµών και µε µεγάλο ενδιαφέρον στην αρχαιολογία, µελέτησε εκτενώς και επέκτεινε την πρώτη τοπογραφική µελέτη που έγινε στην Γκίζα από τον W.M.F. Petrie (1883). Τα αποτελέσµατα της εργασίας του έχουν δηµοσιευθεί στα περιοδικά της Αρχαιολογικής κοινότητας του Στάτεν Άιλαντ, στο Discussions in Egyptology και στο Göttinger Miszellen. Είχε την καλοσύνη να µας επιτρέψει να χρησιµοποιήσουµε ορισµένα από τα σχέδια του για την παρουσίαση αυτή. Βασιζόµενος στα αποτελέσµατα της µελέτης του, υποστηρίζει πως βρήκε τις µαθηµατικές σχέσεις µε τις οποίες οι κτίστες καθόρισαν το µέγεθος και τη χωροθέτηση των τριών πυραµίδων. Επίσης 4

5 υποστηρίζει πως υπήρχε ένα ενιαίο σχέδιο που ακολουθήθηκε, και µελετά µέχρι και σήµερα την ύπαρξη κάποιου βαθύτερου συµβολισµού σε αυτό. Μιας και η εργασία του στον τοµέα αυτό δεν έχει τελειώσει, δεν µπορούµε να παρουσιάσουµε τις ιδέες του για τον συµβολισµό αυτή τη στιγµή. Ο χρόνος µας δεν επιτρέπει να ακολουθήσουµε την πορεία των µαθηµατικών συλλογισµών του, θα 5

6 αναφέρουµε όµως για παράδειγµα, ότι οι τρεις πυραµίδες στην Γκίζα περιγράφονται σε ένα ορθογώνιο µε πλευρές και αντίστοιχα. Ο Legon παρατήρησε ότι η τετραγωνική ρίζα χρησιµοποιήθηκε εκτενώς από τους κτίστες, γεγονός που δεν προκαλεί έκπληξη διότι γνωρίζουµε πως οι αρχαίοι αιγύπτιοι την γνώριζαν από τους πάπυρους που έχουν διασωθεί. Ο τρόπος όµως µε τον οποίο χρησιµοποιήθηκε στο όλο σχέδιο προτείνει τη γνώση της εφαρµογής του Πυθαγορείου Θεωρήµατος, γεγονός για το οποίο ο ίδιος είναι πεπεισµένος. Μια άλλη ενδιαφέρουσα θεωρία είναι αυτή του «Σηµείου Φυγής», εµπνευσµένη από τον τότε απόφοιτο της Σχολής Καλών Τεχνών Stephen Goodfellow (2003), ο οποίος συνεργάστηκε µε τον John Legon. Σηµείο φυγής του ζωγράφου σε ένα προοπτικό σχέδιο, είναι το σηµείο τοµής δύο ευθειών που στην πραγµατικότητα είναι παράλληλες. Τρία σηµεία ορίζουν ένα κύκλο. Εάν λοιπόν λάβουµε ως δύο τριάδες τις Β και ΝΑ γωνίες κάθε πυραµίδας, θα τις περιγράψουµε εντός ενός κυκλικού τοµέα. Το προοδευτικά µικρότερο µέγεθός τους µας κατευθύνει στο σηµείο τοµής των δύο κύκλων, το οποίο δεν βρίσκεται κάπου µακριά, αλλά σε ένα πολύ ενδιαφέρον σηµείο. Βρίσκεται πάνω στον περιβάλλοντα τοίχο της τρίτης πυραµίδας, ο οποίος παρουσιάζει κάποιες ανεξήγητες κατασκευαστικές ιδιοµορφίες. Μέχρι σήµερα δεν έχουν γίνει εκτενείς ανασκαφές στον χώρο αυτό, και πιθανότατα δεν θα γίνουν ούτε στο κοντινό µέλλον, µιας και τέτοιου είδους θεωρίες δεν βρίσκουν ανταπόκριση από το τµήµα αιγυπτιακών αρχαιοτήτων. Έτσι µπορεί να µην ελεγχθεί ποτέ η ορθότητα της σκέψης του καλλιτέχνη. Ας εξετάσουµε τώρα λεπτοµερέστερα τη µεγάλη πυραµίδα, που είναι ένα αληθινό κατασκευαστικό θαύµα. Άν και έχει ένα πέτρινο πυρήνα άγνωστων διαστάσεων, υπολογίζεται πως περίπου ξεχωριστοί κατεργασµένοι λίθοι µάζας µεταξύ 2,5 και 15 τόνων χρειάστηκαν για την κατασκευή της. Σύµφωνα µε τις πιο σύγχρονες µετρήσεις του J.H. Cole 3 (έπειτα από τον W.F. Petrie) παραθέτουµε τα ακόλουθα εντυπωσιακά στοιχεία: ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΙ Πλευρά Μήκος Πλευράς (m) ΠΙΝΑΚΑΣ ΙV Βορεινή 226,63 Πλευρά Απόκλιση από τα σηµεία του ορίζοντα Νότια 226,82 Βορεινή 2 28 νοτίως της δύσης Ανατολική 226,76 Νότια 1 57 νοτίως της δύσης υτική 226,71 Ανατολική 5 30 δυτικά του βορρά Περίµετρος 907 m υτική 2 30 δυτικά του βορρά Μέγιστη απόκλιση 20 cm Μέση απόκλιση 3 λεπτά της µοίρας ΠΙΝΑΚΑΣ ΙII Ύψος Πυραµίδας Κλίση πλευρών ως 144,42 m (Αρχικό) προς το έδαφος 135,12 m (Σήµερα)

7 ΠΙΝΑΚΑΣ V Γωνία Μέτρηση ΒΑ Β ΝΑ Ν Η µέγιστη απόκλιση των 20 cm σε ένα κτίσµα µε Σχεδόν τέλειες ορθές γωνίες περίµετρο σχεδόν ενός χιλιοµέτρου είναι ένα πραγµατικά εκπληκτικό αποτέλεσµα, ειδικά όταν αναλογιστεί κανείς πως η ύπαρξη του πέτρινου πυρήνα της πυραµίδας καθιστούσε αδύνατη τη µέτρηση των διαγωνίων ούτως ώστε να ελεγθεί η ακρίβεια του τετραγώνου. Η ακρίβεια µε την οποία το κτίριο έχει ευθυγραµµιστεί µε τα τέσσερα σηµεία του ορίζοντα υποδηλώνει µια αστρονοµική µέθοδο παρατήρησης, εφ όσον οποιαδήποτε άλλη µέθοδος (π.χ. παρατήρηση του ηλιακού δίσκου) θα παρουσίαζε µεγαλύτερο σφάλµα. Απορίας άξιον είναι το γεγονός πως τεράστιοι λίθοι τοποθετήθηκαν µε εκπληκτική ακρίβεια σε µεγάλα ύψη, γύρω στο 2500 π.χ. όταν οι άνθρωποι είχαν στη διάθεση τους µόνο χάλκινα εργαλεία, ενώ η τροχαλία ήταν ανύπαρκτη. Έχουν προταθεί διάφορες θεωρίες που περιλαµβάνουν τη χρήση µιας ράµπας ή περισσοτέρων, όµως απορρίπτονται εξ αρχής από τους µηχανικούς που έλεγξαν την ορθότητα τους. Στην πλειοψηφία τους πιστεύουν πως το πιθανότερο είναι να χρησιµοποιήθηκε ένα ιδιοφυές σύστηµα µοχλών. Ως αποτέλεσµα µέτρων ασφαλείας κάθε σειρά είναι κοίλη προς την κορυφή, γεγονός που µειώνει τις εγκάρσιες δυνάµεις λόγω του βάρους των υπερκείµενων στρωµάτων, δίνοντας στο µνηµείο µεγαλύτερη σταθερότητα. Ο Πήτρι (1883) έλαβε πολλές µετρήσεις για το πάχος µεταξύ δύο διαδοχικών λίθων του περιβλήµατος. Βρήκε πως σε ορισµένα σηµεία το µέσο πάχος είναι µόλις µισό χιλιοστό, δηλαδή η ακρίβεια του τεχνίτη στο ίσιωµα της πέτρας ήταν ένα τέταρτο του χιλιοστού σε µια επιφάνεια πλάτους 190 εκατοστών. Το ότι µια πιστωτική κάρτα δεν χωρά ανάµεσα από δύο πέτρες είναι µύθος, µιας και υπάρχουν πέτρες χωρίς κονίαµα ανάµεσά τους, αυτό όµως δεν αλλάζει την ποιότητα της δουλειάς που παρατηρείται σε κάποια άλλα σηµεία. Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι φανερώνουν την εκπληκτική τους ικανότητα στην ισοπέδωση επιφανειών και σε µεγάλη κλίµακα. Η περίµετρος της βάσης στην οποία είναι χτισµένη η Μεγάλη πυραµίδα, αποκλίνει από το τέλειο επίπεδο µόλις κατα 1,3 cm µια ασήµαντη ποσότητα που µένει απαρατήρητη, κατά την οποία η ΝΑ γωνία της πυραµίδας βρίσκεται ψηλότερα από τη Β γωνία. Εξετάζοντας την κλίση των πλευρών, βρίσκει κανείς πως µια πυραµίδα µε κλίση έχει τη µοναδική γεωµετρική ιδιότητα, ότι το ύψος της προς την περίµετρο της βρίσκεται στην ίδια αναλογία µε αυτή της ακτίνας ενός κύκλου προς την περιφέρεια του, δηλαδή 1/2π. Η εµπλοκή του αριθµού π σε µια εποχή όπου υποτίθεται ότι δεν ήταν γνωστή η ύπαρξη του, έχει δώσει βάση σε πολλές συζητήσεις. Οι πιθανές απαντήσεις είναι δύο: Είτε οι αρχαίοι κτίστες γνώριζαν τον αριθµό αυτό, είτε τον χρησιµοποίησαν χωρίς να τον γνωρίζουν. εν υπάρχουν αρχαιολογικά ευρήµατα που να υποστηρίζουν την πρώτη περίπτωση. Για τη δεύτερη περίπτωση, µια ενδιαφέρουσα πρόταση έκανε ο ηλεκτρολόγος µηχανικός T.E. Connolly 4 στον φυσικό Kurt Mendelssohn (1986): προτείνει πως οι αρχαίοι Αιγύπτιοι δεν γνώριζαν πως ο τρισδιάστατος χώρος είναι ισοτροπικός, µε αποτέλεσµα να µετρούν µε διαφορετικό τρόπο το ύψος και το µήκος. Για το ύψος µπορεί να χρησιµοποιούσαν το βασιλικό κύβιτο, ενώ για το µήκος να κυλούσαν ένα τύµπανο διαµέτρου ενός βασιλικού κύβιτου, µετρώντας τον αριθµό των 7

8 περιστροφών. Εάν το παραπάνω ισχύει και οι αιγύπτιοι χρησιµοποίησαν την αναλογία 4:1, τότε εξηγείται η εµπλοκή του αριθµού π. Εδώ χρειάζεται να σηµειωθεί η σηµασία της τήρησης της ακρίβειας στην κλίση κατα την κατασκευή του µνηµείου, µιας και ένας µικρός υπολογισµός µας δείχνει πως ένα σφάλµα 2, οδηγεί σε ασυµµετρία των κορυφών των πλευρών στην κορυφή της πυραµίδας της τάξεως των 15 µέτρων. Ας εξετάσουµε τώρα τους εσωτερικούς χώρους. Η πραγµατική είσοδος της πυραµίδας είναι µέχρι και σήµερα φραγµένη, και για να εισέλθει κανείς, χρησιµοποιεί την τρύπα που λέγεται ότι άνοιξε ο χαλίφης Μα Μουν, αλλά ίσως να υπήρχε ήδη από αρχαιοτάτων χρόνων. Αρχικά κατηφορίζει κανείς για λίγο και για να προχωρήσει στο εσωτερικό της πυραµίδας ανηφορίζει σε ένα διάδροµο και φτάνει στον πρώτο θάλαµο, αυτόν «της Βασίλισας» και στη Μεγάλη Στοά, ένα ακόµη κατασκευαστικό θαύµα, της οποίας η βαθµωτή διαρρύθµιση έχει εγείρει πολλές απορίες. Περνώντας την φτάνουµε στον «θάλαµο του Βασιλέως». Τα ονόµατα αυτά είναι λανθασµένα, και η χρήση τους οφείλεται στους Άραβες που εξερεύνησαν την πυραµίδα πολύ πριν έρθουν οι πρώτοι Ευρωπαίοι επιστήµονες µε τον Ναπολέοντα. Πρέπει να αναφέρουµε γενικά πως πολλοί ερευνητές έχουν προσπαθήσει να δείξουν πως η µεγάλη πυραµίδα είναι ένα µαθηµατικό µνηµείο που περιέχει την αρχαία µαθηµατική γνώση, και πως χτίστηκε για να διασωθεί αυτή η γνώση από την πάροδο του χρόνου ή από τον κατακλυσµό. Ο ισχυρισµός όµως αυτός δεν είναι δυνατόν να αποδειχθεί, έχει τεράστια συλλογιστικά άλµατα, και επειδή συνοδεύεται από πληθώρα θεωριών που περιέχουν ιδεολογικές σκοπιµότητες, φρόνιµο είναι να µένει κανείς στα δεδοµένα, χωρίς να θεωρητικολογεί απεριόριστα. Θα εστιάσουµε λοιπόν το ενδιαφέρον µας περισσότερο σε δύο αγωγούς που ξεκινούν από τον βόρειο και τον νότιο τοίχο του θαλάµου του βασιλιά που διαπερνώντας την πυραµίδα, βγαίνουν έξω στο ίδιο ύψος, γεγονός που οδήγησε αρχικά τους αρχαιολόγους να πιστέψουν πως ήταν αεραγωγοί. Όταν όµως αναλογιστεί κανείς την ιδιοµορφία της πυραµίδας, η σκέψη του κατευθύνεται αλλού. Η µεγάλη πυραµίδα είναι η µοναδική που έχει εσωτερική διαρρύθµιση και συνεπώς οι δύο αυτοί αγωγοί, διαστάσεων 20 x 20 cm, φέρνουν στο νου αυτό που αναφέραµε προηγουµένως, δηλαδή τους διαδρόµους που οδηγούσαν την ψυχή του φαραώ στον ουρανό. Εξετάζοντας κανείς τη µέση κλίση εισόδου και εξόδου τους, γίνεται αντιληπτό πως την εποχή που χτίστηκε η πυραµίδα, ο βορεινός σκόπευε προς το α του ράκοντος (Thuban), τον τότε πολικό αστέρα, ενώ ο νότιος σκόπευε στα τρία άστρα της ζώνης του Ωρίωνα. Η ιδέα αυτή εµπνεύστηκε αρχικά από τον αρχαιολόγο R.O. Faulkner 5. Ο Waynman Dixon 6, σκέφτηκε πως αντίστοιχοι αγωγοί ίσως να υπάρχουν και στον θάλαµο της βασίλισσας. Έψαξε για κοιλότητες κτυπώντας τους τοίχους, και -χρησιµοποιώντας ένα σφυρί και ένα καλέµι- ανακάλυψε δύο κρυµµένους αγωγούς. Στον βορινό µάλιστα βρέθηκαν τρία περίεργα αντικείµενα, το ένα µάλιστα ξύλινο, που υπήρχαν εκεί σφραγισµένα από την εποχή που κτίστηκε η πυραµίδα. Για άγνωστους λόγους, το ξύλινο κοµµάτι δεν κατέληξε σε κάποιο µουσείο και δεν χρονολογήθηκε ποτέ, γεγονός πολύ περίεργο µιας και ήταν το µοναδικό οργανικό στοιχείο εντός της πυραµίδας. Η χρησιµότητα τους παραµένει άγνωστη µέχρι 8

9 σήµερα, αν και πιθανότατα έχουν συµβολικό χαρακτήρα και µπορεί να χρησιµοποιούνταν σε κάποιο τελετουργικό. Τον 20 ο αιώνα έχουν γίνει διάφορες επιστηµονικές µελέτες στην µεγάλη πυραµίδα για να ελεγθεί εάν υπάρχουν κρυµµένοι θάλαµοι. Η χρήση ραντάρ και έρευνες µε µέτρηση της κοσµικής ακτινοβολίας, έχουν φέρει στο φως ορισµένες ανωµαλίες, αφήνοντας ανοικτό το ενδεχόµενο νέων ανακαλύψεων. Η πιο ενδιαφέρουσα όµως έγινε πριν µερικά χρόνια. Οι αγωγοί αυτοί ερευνήθηκαν διεξοδικά από τον Γερµανό µηχανικό Rudolf Gantenbrink (2003), ο οποίος είχε προσληφθεί για να βελτιώσει τον αερισµό της πυραµίδας. Εξερεύνησε τους αγωγούς µε ένα ροµποτάκι, το Upuaut, που θυµίζει το Pathfinder, εξοπλισµένο µε µια µικρή κάµερα, και έφτασε το 1993 σε αυτό που πολλοί θεωρούν τη µεγαλύτερη αρχαιολογική ανακάλυψη που έγινε τις τελευταίες δεκαετίες. Η κάµερα έδειξε ένα τοιχαλάκι µε 2 χάλκινα πώµατα, και ξεσήκωσε θύελλα στην αρχαιολογική κοινότητα διότι πιθανό να είναι πορτάκι προς ένα κρυµµένο µέχρι τώρα θάλαµο. Στον άλλο αγωγό βρέθηκε ένα ακόµη κοµµάτι ξύλου, το οποίο δεν έχει φτάσει ακόµη στα χέρια των αρχαιολόγων και παραµένει εκεί µέχρι και σήµερα Μια πολύ ενδιαφέρουσα θεωρία έχει προταθεί από τον µηχανικό Robert Bauval, ο οποίος παρατήρησε πως η χωροθέτηση των τριών πυραµίδων µοιάζει έντονα µε την ουρανογραφική θέση των τριών αστεριών της ζώνης του Ωρίωνα. Πράγµατι, πόσοι διαφορετικοί τρόποι υπάρχουν να κτιστούν τρεις πυραµίδες µαζί; Είτε παρατεταγµένες σε µια ευθεία, είτε διαγώνια, είτε στις κορυφές ενός ορθογώνιου τριγώνου. Η συγκεκριµένη διάταξη δεν έχει κάποια συγκεκριµένη αιτία ύπαρξης εάν εξαιρέσει κανείς τη δουλειά του John Legon (2003). Η θεωρία αυτή έχει δηµοσιευθεί στο Discussions in Egyptology και ο ίδιος την περιγράφει εκτενώς στο βιβλίο του. Βασιζόµενος σε µετρήσεις του Gantenbrink (2003), υποστηρίζει πως οι δύο αγωγοί στο θάλαµο της βασίλισσας σκόπευαν στον Σείριο και στον Kochab. Ενώ είναι γνωστό πως ο Σείριος ήταν τεράστιας σηµασίας αστέρι για τους αρχαίους Αιγυπτίους της 4 ης δυναστείας και ταυτιζόταν µε τη θεά Ίσιδα 7, το ίδιο δεν µοιάζει εκ πρώτης όψεως να συµβαίνει και µε τον Ωρίωνα. Μέχρι και σήµερα µαίνεται µια θεολογική διαµάχη µεταξύ του Bauval και των αντιπάλων του, για το εάν ο Ωρίωνας ήταν γνωστός στους αρχαίους κτίστες, εάν ήταν για αυτούς ένα ή περισσότερα αστέρια, καθώς και για το εάν η πυραµίδα είναι αστρικό η ηλιακό σύµβολο. Η διαµάχη βασίζεται στις διαφορετικές ερµηνείες των λεγόµενων «Κειµένων των Πυραµίδων» (Pyramid Texts), ιερογλυφυκών κειµένων που αναφέρονται στη µετάβαση της ψυχής του φαραώ στον ουρανό και βρέθηκαν σε µεταγενέστερες πυραµίδες. Η θεωρία του Bauval, βρίσκει υποστηρικτές πολλούς αστρονόµους και έχει λίγους αλλά παραταύτα σηµαντικούς φίλους στην κοινότητα των Αιγυπτιολόγων. Άλλοι σηµαντικοί αντίλογοι είναι πως για να κάνει τον παραλληλισµό, έχει αναστρέψει τον Ωρίωνα, και έχει δώσει καθαρά αστρικό χαρακτήρα στις πυραµίδες. Πολλοί είναι εκείνοι που απορρίπτουν την ιδέα πως η λειτουργία των αγωγών ήταν να σκοπεύουν σε συγκεκριµένα αστέρια. Ο ίδιος µε τακτικά άρθρα του απαντά σε αυτούς τους ισχυρισµούς µέχρι και σήµερα, και η αντιπαράθεση δεν µοιάζει να τελειώνει. Η θεωρία του βασίζεται όµως και σε άλλα στοιχεία που έχουν να κάνουν µε την ευρύτερη διάταξη στην Γκίζα και καταλήγει στο ότι οι πυραµίδες µεταξύ άλλων, λειτουργούν και σαν δείκτες µιας συγκεκριµένης ηµεροµηνίας, το π.χ. που πιστεύει ότι ήταν η χρονολογία που πίστευαν οι αρχαίοι Αιγύπτιοι ότι ξεκίνησε ο πολιτισµός τους. Επίσης πιστεύει πως η Γκίζα είναι το γήινο ανάλογο του νεκρικού βασιλείου στον ουρανό (Duat), δηλαδή πως είναι η εικόνα του ουρανού προβεβληµένη στη Γή. Η θεωρία του είναι πολύ καλά στοιχειοθετηµένη και γίνεται χρήση σύγχρονων αστρονοµικών προγραµµάτων, όµως επειδή είναι πολύ ανατρεπτική, δεν είναι εύκολο να γίνει αποδεκτή. 9

10 Κλείνοντας, ας θέσουµε στους εαυτούς µας ένα ερώτηµα που θέτει ο Bauval 8 : Τι ήταν αυτό που ανατέθηκε στον αρχιτέκτονα των πυραµίδων; Να σχεδιάσει ένα µνηµείο για να εκφράσει τις αρχές των ιερών µαθηµατικών ή να προµηθεύσει την πυραµίδα µε χαρακτηριστικά που θα εξυπηρετούσαν τη λειτουργία της; Εµείς ασπαζόµαστε και τις δυο υποθέσεις. Πιθανόν όλες οι προαναφερθείσες θεωρίες να έχουν µια δόση της αντικειµενικής αλήθειας, άλλες περισσότερο και άλλες λιγότερο. Έχοντας στο νου τα λόγια του Planck, για να αλλάξουν τα πράγµατα πρέπει να έρθουν 10

11 στο προσκήνιο νέοι άνθρωποι που έχουν µεγαλώσει µε τις επιρροές όλων αυτών των µελετητών, ή η αρχαιολογική σκαπάνη να φέρει κάποτε στο φως τυχαία µια συνταρακτική ανακάλυψη. Μπορούµε όµως να ελπίζουµε και σε µια συντοµότερη εξέλιξη: Στον αραβικό τύπο γράφτηκε πως οι αιγυπτιακές αρχές σκοπεύουν επιτέλους να ολοκληρώσουν τον Νοέµβριο του 2003 την εξερεύνηση των αγωγών στον θάλαµο της βασίλισσας, κάτι για το οποίο όλοι όσοι παρακολουθούν τις εξελίξεις προσµένουν τα τελευταία 10 χρόνια. Ίσως να χυθεί περισσότερο φως σε ένα µυστήριο ηλικίας 4500 ετών, ίσως και όχι. εν µένει παρά να δούµε. Η εργασία αυτή παρουσιάστηκε από τον Άρη ακανάλη στις 16 Σεπτεµβρίου 2003 στο 6 ο Πανελλήνιο Αστρονοµικό Συνέδριο που διοργανώθηκε από την Ελληνική Αστρονοµική Εταιρεία (ΕΛΑΣΕΤ) και από το Ινστιτούτο Αστρονοµίας και Αστροφυσικής (ΙΑΑ), το οποίο έγινε στο Εθνικό Αστεροσκοπείο Αθηνών στην Πεντέλη. Αναφορές [1] Cook R.J. (1992) The Pyramids of Giza, Seven Islands, Glastonbury [2] Bauval, Robert & Gilbert Adrian (1996) The Orion Mystery, Mandarin Paperbacks, London, see plate 15a. Also see his articles on K. Spence at his official website. [3] I.E.S Edwards (1993) The Pyramids of Egypt, Penguin Books, London, p99 [4] Mendelssohn,Kurt (1986) Riddle of the Pyramids, Thames&Husdon, London [5] R.O. Faulkner published this proposal in 1966 at the Journal of Near Eastern Studies vol. 25 [6] I.E.S Edwards (1993) The Pyramids of Egypt, Penguin Books, London, p.104 [7] Pyramid Texts, spells [939,458,632-3,357,929,935,1707,1082-3,1482] [8] Bauval, Robert (1996) The Orion Mystery, Mandarin Paperbacks, London, Appendix 5 Mathematical Astronomy or Astronomical Mathematics? p.283 Ευχαριστίες Στους John Legon και Robert Bauval που είχαν την καλοσύνη να µας επιτρέψουν να χρησιµοποιήσουµε ορισµένα από τα σχέδια και τις εικόνες τους. Βιβλιογραφία 1. Bauval, Robert & Hancock, Graham (1996) The Message of the Sphinx, Three Rivers Press, New York. 2. Bauval, Robert & Gilbert Adrian (1996) The Orion Mystery, Mandarin Paperbacks, London. 11

12 3. Bauval, Robert, (2003) Τhe official website of Robert Bauval, (articles). 4. Chasapis, Constantinos (1963) The Secret of the Cheops Pyramid, publications of the Laboratory of Astronomy, University of Athens, Series I, No Edwards, I.E.S. (1996) The Pyramids of Egypt, Penguin Books, London. 6. Gantenbrink, Rudolph (2003) The official website of Rudolph Gantenbrink. 7. Goodfellow, Stephen (2003) Giza Pyramids; The Vanishing Point. 8. Hancock, Graham (1995) Fingerprints of The Gods, Three Rivers Press, New York. 9. Hancock, Graham, (1998) Heaven s Mirror, Three Rivers Press, New York. 10. Hodges, Peter, How the Pyramids were Built, 1993, Element Books, Worminster 11. Legon, John (2003) Giza Site Plan (official website) Lehner, Mark (2001) The Complete Pyramids, Thames&Hudson Ltd, London. 13. Magli, Giulio (2003) On the astronomical orientation of the IV dynasty Egyptian pyramids and the dating of the second pyramid, Polytechnical University of Milan, department of Mathematics (on Simultaneous Transition Theory). 14. Mendelssohn,Kurt (1986) Riddle of the Pyramids, Thames&Husdon, London. 15. Petrie, W.M.F.(1883) The Pyramids and Temples of Gizeh, Field and Tuer, London. (available at ). 16. Sagan, Carl (1983) Cosmos, Wings Books, New York. 17. Time-Life (1992) Lost Civilizations: Egypt: Land of the Pharaohs, Time-Life books, Virginia. 18. Trimble,Virginia (1964) Astronomical Investigations concerning the so-called Air-Shafts of Cheops Pyramid, Mitteilungen des Institutes für Orientforschung Akademie der Wissenschaften zu Berlin, band x, Heft 2/ West, John (1993) Serpent in the Sky, Quest Books, Wheaton, IL 12

Δημήτρης Δαμάσκος Δημήτρης Πλάντζος Πανεπιστημιακή Ανασκαφή Άργους Ορεστικού

Δημήτρης Δαμάσκος Δημήτρης Πλάντζος Πανεπιστημιακή Ανασκαφή Άργους Ορεστικού Δημήτρης Δαμάσκος Δημήτρης Πλάντζος Πανεπιστημιακή Ανασκαφή Άργους Ορεστικού Η ανασκαφή τού 2012 είχε ως στόχους: την περαιτέρω διερεύνηση της στοάς του μεγάλου ρωμαϊκού κτιρίου με τη στοά περιμετρικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΔΡΟΜΕΣ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ. 1 η εκδρομή (21/11/05): Επίσκεψη στο Αστεροσκοπείο.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΔΡΟΜΕΣ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ. 1 η εκδρομή (21/11/05): Επίσκεψη στο Αστεροσκοπείο. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΔΡΟΜΕΣ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ 1 η εκδρομή (21/11/05): Επίσκεψη στο Αστεροσκοπείο. Στόχοι: Οι εκπαιδευόμενοι: Να ενημερωθούν για το σύμπαν. Να παρατηρήσουν τα ουράνια σώματα. Να σκεφτούν -να

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους.

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Νίκος Γ. Τόμπρος Ενότητα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Περιεχόμενα ενότητας Τριγωνομετρικοί οξείας γωνίας αριθμοί Διδακτικοί στόχοι Διδακτικές οδηγίες - επισημάνσεις Πρέπει οι μαθητές να γνωρίζουν:

Διαβάστε περισσότερα

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë Tα βασικά σημεία του μαθήματος Η Γη είναι ένα ουράνιο σώμα, που κινείται συνεχώς στο διάστημα. Το σχήμα της είναι γεωειδές, δηλαδή είναι ελαφρά συμπιεσμένο στις κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

e-learning στην Αρχαιοαστρονομία (Επίδραση αστρονομίας στους πολιτισμούς και Εκμάθηση ψηφιακών τεχνικών)

e-learning στην Αρχαιοαστρονομία (Επίδραση αστρονομίας στους πολιτισμούς και Εκμάθηση ψηφιακών τεχνικών) (σύντομα δημοσιοποιούνται τα νέα Πιστοποιημένα Προγράμματα δια βίου του Παν/μιου Αιγαίου στο https://e-epimorfosi.aegean.gr. Σας προωθούμε εκ των προτέρων ενημέρωση σχετικά με το πρόγραμμά μας) e-learning

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Η Φυσική Γεωγραφία εξετάζει: τον γήινο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1

ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1 ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1 Στο σημείο αυτό του οδοιπορικού γνωριμίας με τις διάφορες μεθόδους αυτογνωσίας θα συναντήσουμε την Αστρολογία και θα μιλήσουμε για αυτή. Θα ερευνήσουμε δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΓΑΛΗ ΑΡΚΤΟΣ. Τα κυριότερα αντικείμενα της Μ. Άρκτου ALIOTH. Μπλε γίγαντας ορατός με γυμνό μάτι. Απόσταση : 82 ε.φ. Διάμετρος : 6 εκ. χιλιόμετρα.

Η ΜΕΓΑΛΗ ΑΡΚΤΟΣ. Τα κυριότερα αντικείμενα της Μ. Άρκτου ALIOTH. Μπλε γίγαντας ορατός με γυμνό μάτι. Απόσταση : 82 ε.φ. Διάμετρος : 6 εκ. χιλιόμετρα. Αστρονομία Μπιρσιάνης Γιώργος Η ΜΕΓΑΛΗ ΑΡΚΤΟΣ Τα κυριότερα αντικείμενα της Μ. Άρκτου ALIOTH Μπλε γίγαντας ορατός με γυμνό μάτι. Απόσταση : 82 ε.φ. Διάμετρος : 6 εκ. χιλιόμετρα. Λαμπρότητα : 100 φορές τη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

9. Τοπογραφική σχεδίαση

9. Τοπογραφική σχεδίαση 9. Τοπογραφική σχεδίαση 9.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό εξετάζει τις παραμέτρους, μεθόδους και τεχνικές της τοπογραφικής σχεδίασης. Η προσέγγιση του κεφαλαίου γίνεται τόσο για την περίπτωση της συμβατικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΣΕ ΔΙΠΛΑ ΑΣΤΡΑ ΜΕ ΜΙΑ ΒΙΝΤΕΟΚΑΜΕΡΑ Μανόλης Καπετανάκης (mkapet@yahoo.com) Ελληνική Αστρονομική Ένωση

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΣΕ ΔΙΠΛΑ ΑΣΤΡΑ ΜΕ ΜΙΑ ΒΙΝΤΕΟΚΑΜΕΡΑ Μανόλης Καπετανάκης (mkapet@yahoo.com) Ελληνική Αστρονομική Ένωση ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΣΕ ΔΙΠΛΑ ΑΣΤΡΑ ΜΕ ΜΙΑ ΒΙΝΤΕΟΚΑΜΕΡΑ Μανόλης Καπετανάκης (mkapet@yahoo.com) Ελληνική Αστρονομική Ένωση Περίληψη: Λέγοντας «μέτρηση διπλού άστρου» εννοούμε τη μέτρηση δύο γωνιών, της «γωνίας θέσης»

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΒΛΙΟ ΕΚΑΤΟ ΒΑΘΙΕΣ ΛΑΚΕΣ

ΒΙΒΛΙΟ ΕΚΑΤΟ ΒΑΘΙΕΣ ΛΑΚΕΣ ΒΙΒΛΙΟ ΕΚΑΤΟ ΒΑΘΙΕΣ ΛΑΚΕΣ Του Αντιστρατήγου ε.α. Παναγιώτη Πανταζή. Στις Βαθιές Λάκες βρέθηκαν σηµαντικότατα ευρήµατα, τα οποία θεωρείται σκόπιµο να παρουσιασθούν και να αναλυθούν. Τα ευρήµατα αυτά είναι

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

8 ο ΛΥΚΕΙΟΠΑΤΡΩΝ Όνοµαοµάδας : AVEC Ονόµαταµελών : ΑνδρικοπούλουΚωνσταντίνα, ΑβραµοπούλουΝικολέτα, ΜίντζαΕρµιόνη, Παπακωστοπούλου Βασιλική Όνοµα

8 ο ΛΥΚΕΙΟΠΑΤΡΩΝ Όνοµαοµάδας : AVEC Ονόµαταµελών : ΑνδρικοπούλουΚωνσταντίνα, ΑβραµοπούλουΝικολέτα, ΜίντζαΕρµιόνη, Παπακωστοπούλου Βασιλική Όνοµα 8 ο ΛΥΚΕΙΟΠΑΤΡΩΝ Όνοµαοµάδας : AVEC Ονόµαταµελών : ΑνδρικοπούλουΚωνσταντίνα, ΑβραµοπούλουΝικολέτα, ΜίντζαΕρµιόνη, Παπακωστοπούλου Βασιλική Όνοµα υπεύθυνου τµήµατος : Γλαρού Άννα ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟ ΣΤΗΝ

Διαβάστε περισσότερα

www.biofial.com www.biofial.gr

www.biofial.com www.biofial.gr Νοέµβριος 2013 Θεοχάρης Χ. ηµήτριος Μηχανολόγος Μηχανικός Α.Π.Θ. ιευθυντής Παραγωγής BIOFIAL HYDRAULICS Ενεργειακή απόδοση υδραυλικών ανελκυστήρων Πραγµατικότητα και προοπτικές Key Words: Υδραυλικός Ανελκυστήρας,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΡΟΧΙΑ ΤΟΥ ΗΛΙΟΥ. Σελίδα 1 από 6

Η ΤΡΟΧΙΑ ΤΟΥ ΗΛΙΟΥ. Σελίδα 1 από 6 Η ΤΡΟΧΙΑ ΤΟΥ ΗΛΙΟΥ Στόχος(οι): Η παρατήρηση της τροχιάς του ήλιου στον ουρανό και της διακύμανση της ανάλογα με την ώρα της ημέρας ή την εποχή. Εν τέλει, η δραστηριότητα αυτή θα βοηθήσει τους μαθητές να

Διαβάστε περισσότερα

Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων

Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Δημήτρης Δεληκαράογλου Αναπλ. Καθ., Σχολή Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επισκ.

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ

Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗΣ & ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΗΣ Σύνταξη κειμένου: Μαρία Ν. Δανιήλ, Αρχιτέκτων

Διαβάστε περισσότερα

Η ΒΑΣΙΛΙΚΗ «ΑΓ. ΣΟΦΙΑ» Η ΝΕΚΡΟΠΟΛΗ

Η ΒΑΣΙΛΙΚΗ «ΑΓ. ΣΟΦΙΑ» Η ΝΕΚΡΟΠΟΛΗ Η ΒΑΣΙΛΙΚΗ «ΑΓ. ΣΟΦΙΑ» Η ΝΕΚΡΟΠΟΛΗ Η ΒΑΣΙΛΙΚΗ «ΑΓ. ΣΟΦΙΑ» Η ΝΕΚΡΟΠΟΛΗ Η σημερινή βασιλική «Αγ. Σοφία» βρίσκεται στο κέντρο της κύριας νεκρόπολης της αρχαίας πόλης Σέρντικα. Σ αυτή την περιοχή έχουν ανακαλυφθεί

Διαβάστε περισσότερα

Είναι αυτή η πρώτη πόλη της υτικής Ευρώπης;

Είναι αυτή η πρώτη πόλη της υτικής Ευρώπης; Είναι αυτή η πρώτη πόλη της υτικής Ευρώπης; Μέρος της οχύρωσης Οι αρχαιολογικές ανασκαφές που διενεργούνται στην περιοχή της La Bastida (Totana, Murcia στην Ισπανία) έχουν αποκαλύψει ένα επιβλητικό οχυρωματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ (4) Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Δευτέρα, 25/5/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΕΛΛΗΝΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΣΚΗΝΙΟ ΤΟΥ ΘΕΑΤΡΟΥ ΤΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΑΣ ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗ-ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΣΥΝΘΕΣΗ ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΕΝΟΣ ΜΕΤΑΚΙΟΝΙΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

ΤΟ ΕΛΛΗΝΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΣΚΗΝΙΟ ΤΟΥ ΘΕΑΤΡΟΥ ΤΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΑΣ ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗ-ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΣΥΝΘΕΣΗ ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΕΝΟΣ ΜΕΤΑΚΙΟΝΙΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΤΟ ΕΛΛΗΝΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΣΚΗΝΙΟ ΤΟΥ ΘΕΑΤΡΟΥ ΤΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΑΣ ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗ-ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΣΥΝΘΕΣΗ ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΕΝΟΣ ΜΕΤΑΚΙΟΝΙΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ Αρχιτεκτονική μελέτη: Βασιλεία Μανιδάκη αρχιτέκτων ΥΠΠΟΤ-ΥΣΜΑ Δεκέμβριος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ»

ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ» ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ 26 ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22. ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α.

2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22. ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α. Θέµατα & Ασκήσεις από: www.arnos.gr 2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22 ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σύµφωνα µε τη θεωρία του εµπειρισµού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis)

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχοντας παρουσιάσει τις βασικές έννοιες των ελέγχων υποθέσεων, θα ήταν, ίσως, χρήσιμο να αναφερθούμε σε μια άλλη περιοχή στατιστικής συμπερασματολογίας

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου)

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου) Kangourou Sans Frontières Καγκουρό Ελλάς Επώνυµο: Όνοµα: Όνοµα πατέρα: e-mail: ιεύθυνση: Τηλέφωνο: Εξεταστικό Κέντρο: Σχολείο προέλευσης: Τάξη: Θέµατα Καγκουρό 007 Επίπεδο: (για µαθητές της ' και ' τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Αρχή της απροσδιοριστίας και διττή σωματιδιακή και κυματική φύση της ύλης.

Αρχή της απροσδιοριστίας και διττή σωματιδιακή και κυματική φύση της ύλης. 1 Αρχή της απροσδιοριστίας και διττή σωματιδιακή και κυματική φύση της ύλης. Μέχρι τις αρχές του 20ου αιώνα υπήρχε μια αντίληψη για τη φύση των πραγμάτων βασισμένη στις αρχές που τέθηκαν από τον Νεύτωνα

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΗΝ ΙΜ ΕΣΦΙΓΜΕΝΟΥ ΣΤΙΣ ΚΑΡΥΕΣ

ΑΠΟ ΤΗΝ ΙΜ ΕΣΦΙΓΜΕΝΟΥ ΣΤΙΣ ΚΑΡΥΕΣ ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΤΟΥ ΑΓΙΟΥ ΟΡΟΥΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΙΜ ΕΣΦΙΓΜΕΝΟΥ ΣΤΙΣ ΚΑΡΥΕΣ Απόσταση: 19 km Διάρκεια: 7 8 ώρες The Friends of Mount Athos, 2007 2014. All rights reserved. Version 1.1 ΠΡΟΣΟΧΗ: Μεγάλο τμήμα της διαδρομής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ 19 Σεπτεμβρίου 2013 ΘΕΜΑ: «ΑΓΡΟΤΙΚΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΤΑ XVII: ΤΟ ΑΣΤΕΡΙ. Συντάχθηκε απο τον/την Ονειρόκοσμος Τετάρτη, 11 Αυγούστου 2010 13:27 * ΤΟ ΑΣΤΕΡΙ * 1 / 5

ΚΑΡΤΑ XVII: ΤΟ ΑΣΤΕΡΙ. Συντάχθηκε απο τον/την Ονειρόκοσμος Τετάρτη, 11 Αυγούστου 2010 13:27 * ΤΟ ΑΣΤΕΡΙ * 1 / 5 * ΤΟ ΑΣΤΕΡΙ * 1 / 5 Τ αστέρι που εικονίζεται σ αυτή την κάρτα είναι ο πλανήτης Αφροδίτη, ο Έσπερος των αρχαίων, που ο λαός τον ονομάζει Αποσπερίτη. Το ίδιο άστρο, όταν προβάλλει την αυγή πριν ανατείλει

Διαβάστε περισσότερα

Να το πάρει το ποτάµι;

Να το πάρει το ποτάµι; Να το πάρει το ποτάµι; Είναι η σκιά ενός σώµατος που το φωτίζει ο Ήλιος. Όπως η σκιά του γνώµονα ενός ηλιακού ρολογιού που µε το αργό πέρασµά της πάνω απ τα σηµάδια των ωρών και µε το ύφος µιας άλλης εποχής

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΗΛΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ

ΤΟ ΗΛΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟ ΗΛΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Το ηλιακό μας σύστημα απαρτίζεται από τον ήλιο (κεντρικός αστέρας) τους 8 πλανήτες, (4 εσωτερικούς ή πετρώδεις: Ερμής, Αφροδίτη, Γη και Άρης, και 4 εξωτερικούς: Δίας,

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα και προετοιμασία για τέσσερις παίκτες

Περιεχόμενα και προετοιμασία για τέσσερις παίκτες Ένα παιχνίδι του Peter Prinz για 2-4 παίκτες Σαν αρχαιολόγοι, οι παίκτες αποκτούν την γνώση που απαιτείται για να ξεκινήσουν αποστολές σε Αίγυπτο, Μεσοποταμία, Κρήτη και Ελλάδα. Ποιός έχει τη δύναμη να

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΑΧΑΝΕΣ ΣΥΜΠΑΝ. Απόσταση 0 1 1.52 5.2 9.54 30 55 50,000 267,000 Κλιμακούμενη 10 cm 1 mm 16.3 m 56 m 102 m 321 m 600 m 540 km 3,000 km

ΤΟ ΑΧΑΝΕΣ ΣΥΜΠΑΝ. Απόσταση 0 1 1.52 5.2 9.54 30 55 50,000 267,000 Κλιμακούμενη 10 cm 1 mm 16.3 m 56 m 102 m 321 m 600 m 540 km 3,000 km ΤΟ ΑΧΑΝΕΣ ΣΥΜΠΑΝ Αν υποθέσουμε ότι ο Ήλιος αναπαριστάται με σφαίρα (μεγέθους) διαμέτρου 10 cm, τότε η Γη τοποθετείται περίπου 11 μέτρα μακριά και έχει μέγεθος μόλις 1 mm (χιλιοστό). Ο Ερμής και η Αφροδίτη

Διαβάστε περισσότερα

Δημόσια Ελληνική Αστρονομική Εγκυκλοπαίδεια www.astronomia.gr

Δημόσια Ελληνική Αστρονομική Εγκυκλοπαίδεια www.astronomia.gr Ερασιτεχνικής Αστρονομίας Δημόσια Ελληνική Αστρονομική Εγκυκλοπαίδεια www.astronomia.gr Ανδρέας Παπαλάμπρου Παναγιώτης Αντωνόπουλος Κωνσταντίνος-Νεκτάριος Γουργουλιάτος Νικόλας-Ρικάρδο Καβαλιέρο Αστρονομική

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο 2011. 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2011 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Υπολογισμός (ακρίβεια έως 5 δεκαδικά) Yale Babylonian collection, 1800 π.χ. 24 51 10 1+ + + = 1.41421296 2 3 60 60 60 Τετραγωνική ρίζα του 2 Ποια είναι η

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΚΤΙΡΙΟΥ

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΚΤΙΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Χώρα, Πόλη Ελλάδα, Αρχάνες Μελέτη περίπτωσης Όνομα Δήμου: Αρχανών κτιρίου: Όνομα σχολείου: 2 Δημοτικό Σχολείο Αρχανών Το κλίμα στις Αρχάνες έχει εκτεταμένες περιόδους ηλιοφάνειας, Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΑΣΤΗΜΙΚΗΣ. Β' Τάξη Γενικού Λυκείου

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΑΣΤΗΜΙΚΗΣ. Β' Τάξη Γενικού Λυκείου ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ & ΔΙΑΣΤΗΜΙΚΗΣ Β' Τάξη Γενικού Λυκείου Ομάδα συγγραφής: Κων/νος Γαβρίλης, καθηγητής Μαθηματικών Β/θμιας Εκπαίδευσης. Μαργαρίτα Μεταξά, Δρ. Αστροφυσικής, καθηγήτρια Φυσικής του Τοσιτσείου-Αρσακείου

Διαβάστε περισσότερα

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης ΗλιακήΓεωµετρία Γιάννης Κατσίγιαννης ΗηλιακήενέργειαστηΓη Φασµατικήκατανοµήτηςηλιακής ακτινοβολίας ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιο ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιοµπορεί να αναλυθεί σε δύο κύριες συνιστώσες: Περιφορά

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΑΡΧΑΙΟ ΘΕΑΤΡΟ ΤΗΣ ΛΙΝΔΟΥ ΣΟΦΙΑ ΒΑΣΑΛΟΥ ΒΠΠΓ

ΤΟ ΑΡΧΑΙΟ ΘΕΑΤΡΟ ΤΗΣ ΛΙΝΔΟΥ ΣΟΦΙΑ ΒΑΣΑΛΟΥ ΒΠΠΓ ΤΟ ΑΡΧΑΙΟ ΘΕΑΤΡΟ ΤΗΣ ΛΙΝΔΟΥ ΣΟΦΙΑ ΒΑΣΑΛΟΥ ΒΠΠΓ Περιγραφή μνημείου Το αρχαίο θέατρο της Λίνδου διαμορφώνεται στους πρόποδες της δυτικής πλαγιάς του βράχου της λινδιακής ακρόπολης. Το κοίλο χωρίζεται σε

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο Το Πυθαγόρειο θεώρημα: μία διάσημη μαθηματική σχέση στον εργαστηριακό πάγκο της Φυσικής Παναγιώτης Μουρούζης Το Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο συνήθως περιγράφεται φορμαλιστικά από μία σχέση της μορφής 2

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α 4 ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Κα ΤΣΑΓΚΟΓΕΩΡΓΑ

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α 4 ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Κα ΤΣΑΓΚΟΓΕΩΡΓΑ ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α 4 ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Κα ΤΣΑΓΚΟΓΕΩΡΓΑ 1 ΤΙΤΛΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΕΛ. 3 ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΕΛ. 4 ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΚΟΠΟΥ ΣΕΛ. 5 ΥΛΙΚΑ ΣΕΛ. 6 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ, ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΕΛ. 7 ΑΝΑΛΥΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα Κ. Σ. Δ. Μ. Ο. Μ. Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Η κοινότητα στεγαζόταν

Διαβάστε περισσότερα

Ν έφη ονοµάζονται οι αιωρούµενοι ατµοσφαιρικοί σχηµατισµοί οι οποίοι αποτελούνται από υδροσταγόνες, παγοκρυστάλλους ή και από συνδυασµό υδροσταγόνων και παγοκρυστάλλων. Ουσιαστικά πρόκειται για το αποτέλεσµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΥΘΕΡΟ - ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Β Ενιαίου Λυκείου (Μάθημα : Κατεύθυνσης)

ΕΛΕΥΘΕΡΟ - ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Β Ενιαίου Λυκείου (Μάθημα : Κατεύθυνσης) ΕΛΕΥΘΕΡΟ - ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Β Ενιαίου Λυκείου (Μάθημα : Κατεύθυνσης) ΓΕΝΙΚΟΙ ΣΚΟΠΟΙ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΙ Το μάθημα απευθύνεται σε μαθητές με ειδικό ενδιαφέρον για το ΣΧΕΔΙΟ (Ελεύθερο και Προοπτικό) και που ενδέχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ & ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ ΚΒ ΕΦΟΡΕΙΑ ΠΡΟΪΣΤΟΡΙΚΩΝ & ΚΛΑΣΙΚΩΝ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΩΝ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΑ Θ Ε Α Τ Ρ Ο ΛΙΝΔΟΥ ΧΟΡΗΓΙΚΟΣ ΦΑΚΕΛΟΣ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ & ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ ΚΒ ΕΦΟΡΕΙΑ ΠΡΟΪΣΤΟΡΙΚΩΝ & ΚΛΑΣΙΚΩΝ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΩΝ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΑ Θ Ε Α Τ Ρ Ο ΛΙΝΔΟΥ ΧΟΡΗΓΙΚΟΣ ΦΑΚΕΛΟΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ & ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ ΚΒ ΕΦΟΡΕΙΑ ΠΡΟΪΣΤΟΡΙΚΩΝ & ΚΛΑΣΙΚΩΝ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΩΝ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΑ Θ Ε Α Τ Ρ Ο ΛΙΝΔΟΥ ΧΟΡΗΓΙΚΟΣ ΦΑΚΕΛΟΣ ΡΟΔΟΣ, ΜΑΡΤΙΟΣ 2011 1 1. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελ. 2 2. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΜΝΗΜΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007 ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ ΔΙΟΝΥΣΟΥ Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 157 80 Ζωγράφος Αθήνα Τηλ.: 210 772 2666 2668, Fax: 210 772 2670 ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Η ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ ΣΗΜΕΡΑ. 1.1 Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Η ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ ΣΗΜΕΡΑ. 1.1 Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Η ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ ΣΗΜΕΡΑ 1.1 Εισαγωγή Η Ευρωπαϊκή Ένωση διευρύνεται και αλλάζει. Τον Μάιο του 2004, δέκα νέες χώρες εντάχθηκαν στην Ευρωπαϊκή Ένωση. Η διεύρυνση αποτελεί µια ζωτικής σηµασίας

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας µε απάντηση Φυσικής Γ Γυµνασίου (ταλαντώσεις)

Ερωτήσεις θεωρίας µε απάντηση Φυσικής Γ Γυµνασίου (ταλαντώσεις) Ερωτήσεις θεωρίας µε απάντηση Φυσικής Γ Γυµνασίου (ταλαντώσεις) Πότε µια κίνηση λέγεται περιοδική; Να γράψετε τρία παραδείγµατα. Μια κίνηση λέγεται περιοδική όταν επαναλαµβάνεται σε ίσα χρονικά διαστήµατα.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1.1 16950 Β (ΑΝΑΡΤΗΘΗΚΕ 08-11-14) α) Να κατασκευάσετε ένα γραµµικό σύστηµα δυο εξισώσεων µε δυο αγνώστους µε συντελεστές διάφορους του µηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙ ΟΙΚΩΝ. Τεταρτημόρια

ΠΕΡΙ ΟΙΚΩΝ. Τεταρτημόρια ΠΕΡΙ ΟΙΚΩΝ Οι οίκοι είναι ένα από τα κυριότερα ερμηνευτικά μέσα που χρησιμοποιεί η αστρολογία. Μαζί με τους πλανήτες, τα ζώδια και τις όψεις αποτελούν τις βασικές αρχές στις οποίες στηρίζεται η ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Η Βοιωτία θεωρείται από αρχαίους και συγχρόνους ιστορικούς καθώς και γεωγράφους, περιοχή ευνοημένη από τη φύση και τη γεωπολιτική θέση της.

Η Βοιωτία θεωρείται από αρχαίους και συγχρόνους ιστορικούς καθώς και γεωγράφους, περιοχή ευνοημένη από τη φύση και τη γεωπολιτική θέση της. Η Βοιωτία θεωρείται από αρχαίους και συγχρόνους ιστορικούς καθώς και γεωγράφους, περιοχή ευνοημένη από τη φύση και τη γεωπολιτική θέση της. Βρίσκεται στο κέντρο σχεδόν της ελληνικής χερσονήσου, πάνω στο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ

ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΒΑΒΥΛΩΝΙΩΝ Οι Βαβυλώνιοι ζούσαν στη Μεσοποταµία,περιοχή µεταξύ των ποταµών Τίγρη και Ευφράτη.Η Μεσοποταµία ήταν κέντρο πολιτισµού των Σουµέριων,Ακκάδιων,Ασσύριων,Αραµαίων

Διαβάστε περισσότερα

Ενεργειακοί Υαλοπίνακες

Ενεργειακοί Υαλοπίνακες Ενεργειακοί Υαλοπίνακες Μπορεί η οικολογική προσέγγιση μιας πιο λελογισμένης χρήσης των ενεργειακών πόρων του πλανήτη να προσπαθεί εδώ και πολλά χρόνια να μας πείσει για μια οικονομικότερη χρήση των πηγών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΡΟΦΙΛ ΣΥΣΤΑΔΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ

ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΡΟΦΙΛ ΣΥΣΤΑΔΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΡΟΦΙΛ ΣΥΣΤΑΔΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ ΑΤΕΙ ΚΑΒΑΛΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΡΑΜΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΑΣΟΠΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΔΑΣ ΜΑΡΙΟΣ 2008 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Στον κ. Ι. Τάκο για την καθοδήγηση του σε όλη

Διαβάστε περισσότερα

Επιστημονική φαντασία

Επιστημονική φαντασία Ενότητα 10 Περιγράφουμε ταξίδια στο μέλλον Αφηγούμαστε φανταστικές ιστορίες Περιγράφουμε ανεξήγητα φαινόμενα Περιγράφουμε μυστηριώδη αντικείμενα Χρησιμοποιούμε μελλοντικούς χρόνους Αναγνωρίζουμε και χρησιμοποιούμε

Διαβάστε περισσότερα

Το παραμύθι της Επιπεδίας

Το παραμύθι της Επιπεδίας Το παραμύθι της Επιπεδίας Ιστορία του J.Weeks, βασισμένη σε ιδέες του μυθιστορήματος Flatland: a romance in many dimensions, του E.A.Abbott, το οποίο δημοσιεύτηκε το 1884, και στο οποίο βασίστηκε το κινηματογραφικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟ ΜΕΓΑΛΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΑΣΤΕΡΙΑ;

ΠΟΣΟ ΜΕΓΑΛΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΑΣΤΕΡΙΑ; ΠΟΣΟ ΜΕΓΑΛΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΑΣΤΕΡΙΑ; Α) Ακτίνα αστέρων (Όγκος). Στον Ήλιο, και τον Betelgeuse, μπορούμε να μετρήσουμε απευθείας τη γωνιακή διαμέτρο, α, των αστεριών. Αν γνωρίζουμε αυτή τη γωνία, τότε: R ( ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις Η Φύση της Επιστήµης Ενότητες Κεφαλαίου 1 Μοντέλα Θεωρίες και Νόµοι Μετρήσεις και αβεβαιότητα (σφάλµατα); Σηµαντικά ψηφία Μονάδες, Πρότυπα, και το Διεθνές Σύστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ. Θέμα: «Μελέτη της βολής με κατασκευή και εκτόξευση χάρτινων πυραύλων με χρήση εκτοξευτή που λειτουργεί με πιεσμένο αέρα»

ΦΥΣΙΚΗ. Θέμα: «Μελέτη της βολής με κατασκευή και εκτόξευση χάρτινων πυραύλων με χρήση εκτοξευτή που λειτουργεί με πιεσμένο αέρα» ΦΥΣΙΚΗ Θέμα: «Μελέτη της βολής με κατασκευή και εκτόξευση χάρτινων πυραύλων με χρήση εκτοξευτή που λειτουργεί με πιεσμένο αέρα» Τάξη Γ : Λεμπιδάκης Αποστόλης, Καπετανάκης Δημήτρης, Κοπιδάκης Γιώργος, Ζαμπετάκης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ Ο ΗΓΟΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ SEEING-GR ΑΣΤΕΡΟΣΚΟΠΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΜΑΡΤΙΟΣ 2005

ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ Ο ΗΓΟΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ SEEING-GR ΑΣΤΕΡΟΣΚΟΠΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΜΑΡΤΙΟΣ 2005 ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ Ο ΗΓΟΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ SEEING-GR ΑΣΤΕΡΟΣΚΟΠΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΜΑΡΤΙΟΣ 2005 3,0 Seeing X Seeing Y 2,5 2,0 SEEING (") 1,5 1,0 0,5 0,0 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 JD=2452727+ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ ΣΕ «ΕΙΚΟΝΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ»

ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ ΣΕ «ΕΙΚΟΝΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ» 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 217 ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ ΤΗΣ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ ΣΕ «ΕΙΚΟΝΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ» Λουκία Μαρνέλη Εκπαιδευτικός Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης Διεύθυνση: Μονής Κύκκου 1, 15669 Παπάγου

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Προϊστορική οικία από το Ακρωτήρι Θήρας (16ος αι. π.χ.)

Προϊστορική οικία από το Ακρωτήρι Θήρας (16ος αι. π.χ.) Προϊστορική οικία από το Ακρωτήρι Θήρας (16ος αι. π.χ.) Μελέτη: Κ. Παλυβού Κατασκευή: Ι. Γιαννόπουλος Ιδιοκτησία: Εταιρεία Μελέτης Αρχαίας Ελληνικής Τεχνολογίας/TEE Η λεγόμενη Ξεστή 3 ήταν σημαντικό δημόσιο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 102, Στρόβολος 200, Λευκωσία Τηλ. 57-2278101 Φαξ: 57-2279122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 201 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ

ΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ ΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ Το λαμπρότερο αστέρι στον νυχτερινό ουρανό είναι ο Σείριος Α του αστερισμού του Μεγάλου Κυνός (a Canis Majoris) και αποτελεί μέρος διπλού συστήματος αστέρων. Απέχει από το ηλιακό

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

Θ Ε Μ Α Τ Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΜΑΘΗΤΙΚΩΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ

Θ Ε Μ Α Τ Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΜΑΘΗΤΙΚΩΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ Θ Ε Μ Α Τ Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΜΑΘΗΤΙΚΩΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ 1 ος Πανελλήνιος Μαθητικός ιαγωνισµός Αστρονοµίας 1996 Από τα πανάρχαια χρόνια ο άνθρωπος ένιωσε να τον ελκύει η µαγεία του έναστρου ουρανού. Επινοώντας

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση Γεωµετρική θεώρηση του Φωτός Ανάκλαση ηµιουργίαειδώλουαπόκάτοπτρα. είκτης ιάθλασης Νόµος του Snell Ορατό Φάσµα και ιασπορά Εσωτερική ανάκλαση Οπτικές ίνες ιάθλαση σε

Διαβάστε περισσότερα