ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΟ ΜΥΣΤΗΡΙΟ. Α. ακανάλης και Ε.Θεοδοσίου Τοµέας Αστροφυσικής-Αστρονοµίας και Μηχανικής Τµήµα Φυσικής-Πανεπιστήµιο Αθηνών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΟ ΜΥΣΤΗΡΙΟ. Α. ακανάλης και Ε.Θεοδοσίου Τοµέας Αστροφυσικής-Αστρονοµίας και Μηχανικής Τµήµα Φυσικής-Πανεπιστήµιο Αθηνών"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΟ ΜΥΣΤΗΡΙΟ ΤΩΝ ΠΥΡΑΜΙ ΩΝ Α. ακανάλης και Ε.Θεοδοσίου Τοµέας Αστροφυσικής-Αστρονοµίας και Μηχανικής Τµήµα Φυσικής-Πανεπιστήµιο Αθηνών Περίληψη Το µυστήριο της ύπαρξης των πυραµίδων µας κατακλύζει µε αναπάντητα ερωτήµατα, τόσο αρχαιολογικού, όσο και επιστηµονικού ενδιαφέροντος. Χωρίς να αµφισβητείται ο νεκρικός χαρακτήρας των πυραµίδων προτάσσονται ορισµένα µαθηµατικά, γεωµετρικά και αστρονοµικά στοιχεία µε έµφαση στη µεγάλη πυραµίδα. Ταυτόχρονα παρουσιάζονται επιγραµµατικά ορισµένες θεωρίες που επιχειρούν να δώσουν απάντηση σε κάποια από αυτά τα ερωτήµατα. Αυτές είναι η θεωρία της «Ταυτόχρονης Μετάβασης» της K. Spence, η µελέτη χωροθέτησης των πυραµίδων στην Γκίζα του J. Legon καθώς και η θεωρία του «Σηµείου Φυγής» του S. Goodfellow. Τέλος, αφού γίνει αναφορά στην ανακάλυψη του R. Gantenbrink, παρουσιάζεται επιγραµµατικά η θεωρία της «Συσχέτισης µε τον Ωρίωνα» του R. Bauval. Εισαγωγή Μια ερµηνεία της λέξης mr στα αρχαία αιγυπτιακά που έδωσε ο καθηγητής Ι.Ε.S. Edwards (1996), ένας από τους πλέον διακεκριµένους Αιγυπτιολόγους παγκοσµίως, είναι «όργανο ανόδου» ή «τόπος ανύψωσης». Ο ίδιος την αµφισβήτησε, όµως η ερµηνεία αυτή µας παραπέµπει σε µια από τις περισσότερο αποδεκτές λειτουργίες της πυραµίδας ως όργανο µετάβασης του πνεύµατος του νεκρού φαραώ στον ουρανό, προς τον ηλιακό δίσκο και στους αειφανείς αστέρες, όπου πιστευόνταν ότι ενώνεται µε την θεία του πηγή. Στην Αίγυπτο υπάρχουν περίπου 90 πυραµίδες. Το έντονα γεωµετρικό τους σχήµα τους δίνει από µόνο του µια αίσθηση µυστηρίου, το κάλεσµα του οποίου επιχείρησαν να απαντήσουν εκατοντάδες µελετητές ανά τους αιώνες. Αρκετές από αυτές είναι ηµιτελείς, άλλες κατεστραµµένες, ενώ δεν είναι λίγες αυτές που δεν περιέχουν καν σαρκοφάγο. Κοινή παραδοχή ανάµεσα στους Αιγυπτιολόγους αποτελεί το γεγονός πως δεν υπάρχουν στοιχεία για την ύπαρξη µιας µακράς προπαρασκευαστικής περιόδου ανάπτυξης ούτως ώστε να δικαιολογείται η αρχιτεκτονική και κατασκευαστική τελειότητα των πρώτων πυραµίδων. εύτερο παράδοξο αποτελεί το γεγονός πως έπειτα από την 4 η δυναστεία, η Αίγυπτος βιώνει µια τεχνολογική «έξοδο». Οι µεταγενέστερες πυραµίδες είναι όχι µόνο µικρότερες σε µέγεθος, αλλά και πολύ κατώτερες σε ποιότητα. Οι Αιγυπτιολόγοι ακολουθώντας το δόγµα πως οι πυραµίδες ήταν τάφοι των φαραώ εκτιµούν πως οι λόγοι ήταν οικονοµικοί έχοντας στο νου το τεράστιο κόστος που απαιτείται για το χτίσιµο µιας πυραµίδας. Η εξήγηση αυτή δεν µοιάζει να είναι ορθή διότι, θα περίµενε κανείς να 1

2 διατηρηθεί τουλάχιστον η κατασκευαστική γνώση και απλώς να µικρύνει το µέγεθος της πυραµίδας. Κυρίαρχο ερώτηµα παραµένει ο ουσιαστικός ρόλος της πυραµίδας και ακολουθούν και άλλα αναπάντητα ερωτήµατα που στοιχειώνουν το µυστήριο της ύπαρξης της. Η κυρίαρχη άποψη ορίζει πως ήταν τάφοι για τους φαραώ, και πως κατα τη διάρκεια του χτισίµατος τους αποτελούσαν κοινωνικά κέντρα, που παρείχαν στέγη και τροφή στους χιλιάδες ανθρώπους οι οποίοι συντελούσαν στην κατασκευή της. Η διαδικασία όµως εύρεσης του φαραώ στον οποίο ανήκει µια πυραµίδα είναι εξαιρετικά δύσκολη, και αποτελεί χρόνιο πονοκέφαλο των µελετητών. Αυτό κυρίως οφείλεται στο γεγονός πως κάθε φαραώ είχε περίπου πέντε διαφορετικά ονόµατα καθώς και στο γεγονός πως η ιερογλυφική γραφή απουσιάζει από τις πυραµίδες της 3 ης και 4 ης δυναστείας. Οι «βουβές» πυραµίδες ονοµάζονται από επιγραφές σε πώµατα βάζων που βρέθηκαν µέσα σε αυτές ή από λακωνικές επιγραφές που βρέθηκαν σε κάποιο κοντινό κτίσµα, από επιγραφές που άφησαν οµάδες λατόµων πάνω σε πέτρες που χρησιµοποιήθηκαν για το χτίσιµο τους καθώς και από επιγραφές που βρέθηκαν σε λίγες πέτρινες στήλες. Το πρόβληµα γίνεται εντονότερο όταν αναλογιστούµε τη µεγάλη αβεβαιότητα που υπάρχει για τη χρονολόγηση των συνολικά 30 δυναστειών, η οποία οξύνεται όσο βαδίζουµε στην αρχαιότητα. Το πρόβληµα χρονολόγησης ενός φαραώ µεταφέρεται και γίνεται πρόβληµα χρονολόγησης µιας πυραµίδας. Το γεγονός πως οποιοσδήποτε φαραώ 4 ης δυναστείας θάφτηκε µέσα σε πυραµίδα παραµένει αναπόδεικτο, όπως φαίνεται από τον Πίνακα Ι. Οι νεκρικοί ναοί γύρω από αυτές καθώς και η εσωτερική διαρρύθµιση των πυραµίδων και των ναών τους δεν επιτρέπει την τέλεση µιας βασιλικής κηδείας µε ό,τι αυτή συνεπάγεται, αφού οι χώροι είναι πολύ µικροί για µια ποµπή και για τελετουργικά. Πυραµίδες 3 ης & 4 ης δυναστείας #Θαλάµων Djoser 2 Σαρκοφάγοι ΠΙΝΑΚΑΣ Ι Ταφικός Λάκκος 2 σαρκοφάγοι Σχόλια για τις σαρκοφάγους Πατούσα µούµιας Υπολλείµατα γυναικείου σκελετού Χρονολογούνται γενιές πρίν (!) τον Djoser Sekhemet 1 1 Σφραγισµένη και άδεια Khaba Meidum Pyramid (Snofru) Bent Pyramid (Snofru) Red Pyramid (Snofru) Khufu 3 1 Χωρίς σκέπασµα, άδεια (Χέοπας) Djefre Khafre (Χεφρήνας) Menkaure (Μυκερίνος) 1 1 Κόκκαλα ταύρου, χρονολογούνται µεταγενέστερα. 3 1 Σαρκοφάγος χάθηκε στη θάλασσα ενώ µεταφέρονταν στο βρεταννικό µουσείο. Χρονολογείται στην 26 η δυναστεία. 2

3 Οι αναφορές αρχαίων περιηγητών όπως ο Ηρόδοτος, ο ιόδωρος ο Σικελιώτης, ο Πορφύριος και ο Πλίνιος, κρίνονται µάλλον αναξιόπιστες όχι µόνο επειδή περιέχουν µεταξύ άλλων και φανταστικά στοιχεία, αλλά κυρίως γιατί ο Χέοπας ήταν για εκείνους τόσο αρχαίος όσο είναι οι ίδιοι για εµάς. Υπάρχουν πολλά ακόµη στοιχεία που υποστηρίζουν την άποψη πως οι πρώτες πυραµίδες δεν λειτουργούσαν ως τάφοι. Εµείς υιοθετούµε την ορθότερη άποψη, δηλαδή πως δεν µπορούµε να προσπελάσουµε τα εµπόδια 4500 περίπου ετών και να µάθουµε την αντικειµενική αλήθεια για το εάν ήταν τάφοι η όχι. εν αµφισβητούµε όµως τον ολοφάνερο νεκρικό χαρακτήρα τους. Οι θεωρίες Παραταύτα, µε τον κατάλληλο κώδικα επικοινωνίας οι κατά τα άλλα «βουβές» πυραµίδες αρχίζουν να µιλούν. Μιλούν όταν κανείς τις εξετάσει µε την παγκόσµια γλώσσα της Γεωµετρίας, των Μαθηµατικών και της Αστρονοµίας. Το ενδιαφέρον µας πλέον θα συγκεντρωθεί στα κατασκευαστικά θαύµατα των πυραµίδων της 4 ης δυναστείας, µε ιδιαίτερη έµφαση στη µεγάλη πυραµίδα. Κατά παράδοση, οι πυραµίδες χτίζονταν κατά τρόπο που η κάθε τους πλευρά προσανατολιζόταν στα τέσσερα σηµεία του ορίζοντα µε µεγάλη ακρίβεια και οι είσοδοι τους βρίσκονταν πάντα στη βορεινή πλευρά. Κατά κανόνα, η είσοδος τους βρισκόταν ψηλότερα από τον υπόγειο κεντρικό θάλαµο και ο διάδροµος που ένωνε τα δύο µέρη ήταν κατηφορικός, µε κλίση περίπου 26 µοιρών. Ήταν πρακτικό γιατί ο θάλαµος µπορούσε να σφραγιστεί εύκολα τοποθετώντας ογκώδεις λίθους που έφραζαν τον διάδροµο. Είχε όµως και συµβολικό χαρακτήρα διότι η ψυχή του φαραώ βγαίνοντας από το θάλαµο και περνώντας χωρίς πρόβληµα µέσα από τα λίθινα εµπόδια, θα ανηφόριζε µε κλίση γύρω στις 26 µοίρες και θα κατευθυνόταν προς τον πολικό αστέρα και τους αειφανείς αστέρες, δηλαδή προς τη θεία της πηγή. Εξαίρεση στον κανόνα αποτελεί η µεγάλη πυραµίδα, που θα εξετάσουµε λεπτοµερέστερα αργότερα. Ας εστιάσουµε τώρα το ενδιαφέρον µας σε µια θεωρία που αφορά στην τοποθέτηση των πυραµίδων έτσι ώστε να προσανατολίζονται προς τα 4 σηµεία του ορίζοντα. Ονοµάζεται θεωρία της Ταυτόχρονης Μετάβασης (Simultaneous Transition), προτάθηκε από την ρ.kate Spence του τµήµατος Ανατολικών Σπουδών του Πανεπιστηµίου της Οξφόρδης και δηµοσιεύτηκε στο περιοδικό Nature (2000). Είναι µια προσπάθεια για χρονολόγηση των πυραµίδων από αστρονοµικά δεδοµένα. Έπειτα από τη δηµοσίευση έχουν εγερθεί πολλές αµφιβολίες που µειώνουν την αξιοπιστία της θεωρίας αυτής, αλλά το θέµα δεν έχει λήξει µιας και η Spence εργάζεται ήδη σε µια εκτενέστερη µελέτη και έχει ανακοινώσει πως θα απαντήσει σε πολλές από αυτές τις αµφιβολίες. 3

4 Η Spence υποστηρίζει πως οι αρχαίοι Αιγύπτιοι καθόριζαν την ακριβή κατεύθυνση του βορρά ευθυγραµµίζοντας ένα αλφάδι µε τη νοητή ευθεία που σχηµατίζει ο µεγάλος κύκλος που περνά από τα αστέρια Kochab (β UMi) και Mizar (ζ UMa), καθώς και από τον άξονα που τρέχει από βορρά προς νότο και βρίσκεται επί των ανατολικών ή δυτικών πλευρών των πυραµίδων. εδοµένου ότι η µέθοδος δεν άλλαξε ανα τους αιώνες, τότε θα πρέπει να παρουσιάζεται ένα συστηµατικό σφάλµα στον προσανατολισµό των πυραµίδων, που οφείλεται στην αποµάκρυνση της νοητής αυτής ευθείας από τον πολικό αστέρα, η οποία οφείλεται στο φαινόµενο της µετάπτωσης. Έτσι κατασκεύασε ένα διάγραµµα όπου στον άξονα των τετµηµένων βρίσκεται ο χρόνος, και στον άξονα των τεταγµένων η απόκλιση των πυραµίδων από το βορρά. Σε γενικές γραµµές η θεωρία επαληθεύεται από τα δεδοµένα, όµως ας δούµε τα κυριότερα προβλήµατα: Το πρώτο είναι ένα κλασικό πρόβληµα της Αρχαιοαστρονοµίας, δηλαδή πως στον ένα άξονα έχουµε τοποθετήσει ιστορικά δεδοµένα (ηµεροµηνίες) και στον άλλο δεδοµένα επιστηµονικής µελέτης (την απόκλιση από το βορρά). Οι ηµεροµηνίες δεν είναι τυχαία χρονικά διαστήµατα όπως γίνεται σε ένα εργαστήριο, και έτσι πρέπει κανείς να δεχθεί πρώτα την ορθότητα του θεωρητικού µοντέλου και στη συνέχεια να τοποθετήσει όπως ο ίδιος ορίζει τα σηµεία στον άξονα του χρόνου. Άλλο πρόβληµα εντοπίζεται στις πυραµίδες τριών διαδοχικών φαραώ, του Χέοπα, του Djefre και του Χεφρήνα. Η πυραµίδα του Djefre παρουσιάζει µια τεράστια απόκλιση, έξω από τα δεδοµένα της 4 ης δυναστείας. Επίσης η Spence στο διάγραµµα της τοποθετεί τον Χεφρήνα χρονολογικά πρίν τον Χέοπα. Μολονότι είναι εντελώς ανορθόδοξη θεώρηση, δεν ακούγεται τόσο παράλογη εάν αναλογιστεί κανείς πως η πυραµίδα του Χεφρήνα µολονότι είναι στην πραγµατικότητα λίγο µικρότερη, φαντάζει µεγαλύτερη από αυτή του Χέοπα διότι είναι χτισµένη σε ψηλότερο σηµείο. Εδώ υπάρχει το εύλογο ερώτηµα, γιατί η µεγαλύτερη πυραµίδα στον κόσµο να µην κτίστηκε λίγα µέτρα πιο πέρα ωστε να βρίσκεται στο ψηλότερο σηµείο της περιοχής; Πάντως τα αρχαιολογικά δεδοµένα δεν αρκούν για να απορρίψουν τις συνέπειες της θεωρίας. Τελειώνοντας µε αυτή τη θεωρία, αναφέρουµε ότι η Spence δεν ήταν ούτε η πρώτη ούτε η µόνη που σκέφτηκε τα παραπάνω, και οφείλουµε να αναφέρουµε τα ονόµατα κι άλλων µελετητών όπως ο Robin Cook 1, γεωλόγος και ο Robert Bauval 2, µηχανικός, του οποίου τη θεωρία θα µελετήσουµε αργότερα. Στη σηµερινή τους µορφή, όλες οι πυραµίδες στην Γκίζα φανερώνουν σε µας µόνο τον σκελετό τους. Κάποτε πρέπει να παρουσίαζαν ένα εκπληκτικό θέαµα, καλυµµένες µε λευκό ασβεστόλιθο, µε τις πλευρές τους εντελώς επίπεδες, να στέκονται απαστράπτουσες κάτω από τον ήλιο της Αιγύπτου. Η βασική µετρική µονάδα που χρησιµοποιήθηκε για το κτίσιµο τους έχει βρεθεί, ονοµάστηκε από τους µελετητές «βασιλικό κύβιτο» και ισοδυναµεί µε 52,37 εκατοστά. Ο John Legon (2003), πτυχιούχος της Σχολής Εφαρµοσµένων Φυσικών Επιστηµών και µε µεγάλο ενδιαφέρον στην αρχαιολογία, µελέτησε εκτενώς και επέκτεινε την πρώτη τοπογραφική µελέτη που έγινε στην Γκίζα από τον W.M.F. Petrie (1883). Τα αποτελέσµατα της εργασίας του έχουν δηµοσιευθεί στα περιοδικά της Αρχαιολογικής κοινότητας του Στάτεν Άιλαντ, στο Discussions in Egyptology και στο Göttinger Miszellen. Είχε την καλοσύνη να µας επιτρέψει να χρησιµοποιήσουµε ορισµένα από τα σχέδια του για την παρουσίαση αυτή. Βασιζόµενος στα αποτελέσµατα της µελέτης του, υποστηρίζει πως βρήκε τις µαθηµατικές σχέσεις µε τις οποίες οι κτίστες καθόρισαν το µέγεθος και τη χωροθέτηση των τριών πυραµίδων. Επίσης 4

5 υποστηρίζει πως υπήρχε ένα ενιαίο σχέδιο που ακολουθήθηκε, και µελετά µέχρι και σήµερα την ύπαρξη κάποιου βαθύτερου συµβολισµού σε αυτό. Μιας και η εργασία του στον τοµέα αυτό δεν έχει τελειώσει, δεν µπορούµε να παρουσιάσουµε τις ιδέες του για τον συµβολισµό αυτή τη στιγµή. Ο χρόνος µας δεν επιτρέπει να ακολουθήσουµε την πορεία των µαθηµατικών συλλογισµών του, θα 5

6 αναφέρουµε όµως για παράδειγµα, ότι οι τρεις πυραµίδες στην Γκίζα περιγράφονται σε ένα ορθογώνιο µε πλευρές και αντίστοιχα. Ο Legon παρατήρησε ότι η τετραγωνική ρίζα χρησιµοποιήθηκε εκτενώς από τους κτίστες, γεγονός που δεν προκαλεί έκπληξη διότι γνωρίζουµε πως οι αρχαίοι αιγύπτιοι την γνώριζαν από τους πάπυρους που έχουν διασωθεί. Ο τρόπος όµως µε τον οποίο χρησιµοποιήθηκε στο όλο σχέδιο προτείνει τη γνώση της εφαρµογής του Πυθαγορείου Θεωρήµατος, γεγονός για το οποίο ο ίδιος είναι πεπεισµένος. Μια άλλη ενδιαφέρουσα θεωρία είναι αυτή του «Σηµείου Φυγής», εµπνευσµένη από τον τότε απόφοιτο της Σχολής Καλών Τεχνών Stephen Goodfellow (2003), ο οποίος συνεργάστηκε µε τον John Legon. Σηµείο φυγής του ζωγράφου σε ένα προοπτικό σχέδιο, είναι το σηµείο τοµής δύο ευθειών που στην πραγµατικότητα είναι παράλληλες. Τρία σηµεία ορίζουν ένα κύκλο. Εάν λοιπόν λάβουµε ως δύο τριάδες τις Β και ΝΑ γωνίες κάθε πυραµίδας, θα τις περιγράψουµε εντός ενός κυκλικού τοµέα. Το προοδευτικά µικρότερο µέγεθός τους µας κατευθύνει στο σηµείο τοµής των δύο κύκλων, το οποίο δεν βρίσκεται κάπου µακριά, αλλά σε ένα πολύ ενδιαφέρον σηµείο. Βρίσκεται πάνω στον περιβάλλοντα τοίχο της τρίτης πυραµίδας, ο οποίος παρουσιάζει κάποιες ανεξήγητες κατασκευαστικές ιδιοµορφίες. Μέχρι σήµερα δεν έχουν γίνει εκτενείς ανασκαφές στον χώρο αυτό, και πιθανότατα δεν θα γίνουν ούτε στο κοντινό µέλλον, µιας και τέτοιου είδους θεωρίες δεν βρίσκουν ανταπόκριση από το τµήµα αιγυπτιακών αρχαιοτήτων. Έτσι µπορεί να µην ελεγχθεί ποτέ η ορθότητα της σκέψης του καλλιτέχνη. Ας εξετάσουµε τώρα λεπτοµερέστερα τη µεγάλη πυραµίδα, που είναι ένα αληθινό κατασκευαστικό θαύµα. Άν και έχει ένα πέτρινο πυρήνα άγνωστων διαστάσεων, υπολογίζεται πως περίπου ξεχωριστοί κατεργασµένοι λίθοι µάζας µεταξύ 2,5 και 15 τόνων χρειάστηκαν για την κατασκευή της. Σύµφωνα µε τις πιο σύγχρονες µετρήσεις του J.H. Cole 3 (έπειτα από τον W.F. Petrie) παραθέτουµε τα ακόλουθα εντυπωσιακά στοιχεία: ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΙ Πλευρά Μήκος Πλευράς (m) ΠΙΝΑΚΑΣ ΙV Βορεινή 226,63 Πλευρά Απόκλιση από τα σηµεία του ορίζοντα Νότια 226,82 Βορεινή 2 28 νοτίως της δύσης Ανατολική 226,76 Νότια 1 57 νοτίως της δύσης υτική 226,71 Ανατολική 5 30 δυτικά του βορρά Περίµετρος 907 m υτική 2 30 δυτικά του βορρά Μέγιστη απόκλιση 20 cm Μέση απόκλιση 3 λεπτά της µοίρας ΠΙΝΑΚΑΣ ΙII Ύψος Πυραµίδας Κλίση πλευρών ως 144,42 m (Αρχικό) προς το έδαφος 135,12 m (Σήµερα)

7 ΠΙΝΑΚΑΣ V Γωνία Μέτρηση ΒΑ Β ΝΑ Ν Η µέγιστη απόκλιση των 20 cm σε ένα κτίσµα µε Σχεδόν τέλειες ορθές γωνίες περίµετρο σχεδόν ενός χιλιοµέτρου είναι ένα πραγµατικά εκπληκτικό αποτέλεσµα, ειδικά όταν αναλογιστεί κανείς πως η ύπαρξη του πέτρινου πυρήνα της πυραµίδας καθιστούσε αδύνατη τη µέτρηση των διαγωνίων ούτως ώστε να ελεγθεί η ακρίβεια του τετραγώνου. Η ακρίβεια µε την οποία το κτίριο έχει ευθυγραµµιστεί µε τα τέσσερα σηµεία του ορίζοντα υποδηλώνει µια αστρονοµική µέθοδο παρατήρησης, εφ όσον οποιαδήποτε άλλη µέθοδος (π.χ. παρατήρηση του ηλιακού δίσκου) θα παρουσίαζε µεγαλύτερο σφάλµα. Απορίας άξιον είναι το γεγονός πως τεράστιοι λίθοι τοποθετήθηκαν µε εκπληκτική ακρίβεια σε µεγάλα ύψη, γύρω στο 2500 π.χ. όταν οι άνθρωποι είχαν στη διάθεση τους µόνο χάλκινα εργαλεία, ενώ η τροχαλία ήταν ανύπαρκτη. Έχουν προταθεί διάφορες θεωρίες που περιλαµβάνουν τη χρήση µιας ράµπας ή περισσοτέρων, όµως απορρίπτονται εξ αρχής από τους µηχανικούς που έλεγξαν την ορθότητα τους. Στην πλειοψηφία τους πιστεύουν πως το πιθανότερο είναι να χρησιµοποιήθηκε ένα ιδιοφυές σύστηµα µοχλών. Ως αποτέλεσµα µέτρων ασφαλείας κάθε σειρά είναι κοίλη προς την κορυφή, γεγονός που µειώνει τις εγκάρσιες δυνάµεις λόγω του βάρους των υπερκείµενων στρωµάτων, δίνοντας στο µνηµείο µεγαλύτερη σταθερότητα. Ο Πήτρι (1883) έλαβε πολλές µετρήσεις για το πάχος µεταξύ δύο διαδοχικών λίθων του περιβλήµατος. Βρήκε πως σε ορισµένα σηµεία το µέσο πάχος είναι µόλις µισό χιλιοστό, δηλαδή η ακρίβεια του τεχνίτη στο ίσιωµα της πέτρας ήταν ένα τέταρτο του χιλιοστού σε µια επιφάνεια πλάτους 190 εκατοστών. Το ότι µια πιστωτική κάρτα δεν χωρά ανάµεσα από δύο πέτρες είναι µύθος, µιας και υπάρχουν πέτρες χωρίς κονίαµα ανάµεσά τους, αυτό όµως δεν αλλάζει την ποιότητα της δουλειάς που παρατηρείται σε κάποια άλλα σηµεία. Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι φανερώνουν την εκπληκτική τους ικανότητα στην ισοπέδωση επιφανειών και σε µεγάλη κλίµακα. Η περίµετρος της βάσης στην οποία είναι χτισµένη η Μεγάλη πυραµίδα, αποκλίνει από το τέλειο επίπεδο µόλις κατα 1,3 cm µια ασήµαντη ποσότητα που µένει απαρατήρητη, κατά την οποία η ΝΑ γωνία της πυραµίδας βρίσκεται ψηλότερα από τη Β γωνία. Εξετάζοντας την κλίση των πλευρών, βρίσκει κανείς πως µια πυραµίδα µε κλίση έχει τη µοναδική γεωµετρική ιδιότητα, ότι το ύψος της προς την περίµετρο της βρίσκεται στην ίδια αναλογία µε αυτή της ακτίνας ενός κύκλου προς την περιφέρεια του, δηλαδή 1/2π. Η εµπλοκή του αριθµού π σε µια εποχή όπου υποτίθεται ότι δεν ήταν γνωστή η ύπαρξη του, έχει δώσει βάση σε πολλές συζητήσεις. Οι πιθανές απαντήσεις είναι δύο: Είτε οι αρχαίοι κτίστες γνώριζαν τον αριθµό αυτό, είτε τον χρησιµοποίησαν χωρίς να τον γνωρίζουν. εν υπάρχουν αρχαιολογικά ευρήµατα που να υποστηρίζουν την πρώτη περίπτωση. Για τη δεύτερη περίπτωση, µια ενδιαφέρουσα πρόταση έκανε ο ηλεκτρολόγος µηχανικός T.E. Connolly 4 στον φυσικό Kurt Mendelssohn (1986): προτείνει πως οι αρχαίοι Αιγύπτιοι δεν γνώριζαν πως ο τρισδιάστατος χώρος είναι ισοτροπικός, µε αποτέλεσµα να µετρούν µε διαφορετικό τρόπο το ύψος και το µήκος. Για το ύψος µπορεί να χρησιµοποιούσαν το βασιλικό κύβιτο, ενώ για το µήκος να κυλούσαν ένα τύµπανο διαµέτρου ενός βασιλικού κύβιτου, µετρώντας τον αριθµό των 7

8 περιστροφών. Εάν το παραπάνω ισχύει και οι αιγύπτιοι χρησιµοποίησαν την αναλογία 4:1, τότε εξηγείται η εµπλοκή του αριθµού π. Εδώ χρειάζεται να σηµειωθεί η σηµασία της τήρησης της ακρίβειας στην κλίση κατα την κατασκευή του µνηµείου, µιας και ένας µικρός υπολογισµός µας δείχνει πως ένα σφάλµα 2, οδηγεί σε ασυµµετρία των κορυφών των πλευρών στην κορυφή της πυραµίδας της τάξεως των 15 µέτρων. Ας εξετάσουµε τώρα τους εσωτερικούς χώρους. Η πραγµατική είσοδος της πυραµίδας είναι µέχρι και σήµερα φραγµένη, και για να εισέλθει κανείς, χρησιµοποιεί την τρύπα που λέγεται ότι άνοιξε ο χαλίφης Μα Μουν, αλλά ίσως να υπήρχε ήδη από αρχαιοτάτων χρόνων. Αρχικά κατηφορίζει κανείς για λίγο και για να προχωρήσει στο εσωτερικό της πυραµίδας ανηφορίζει σε ένα διάδροµο και φτάνει στον πρώτο θάλαµο, αυτόν «της Βασίλισας» και στη Μεγάλη Στοά, ένα ακόµη κατασκευαστικό θαύµα, της οποίας η βαθµωτή διαρρύθµιση έχει εγείρει πολλές απορίες. Περνώντας την φτάνουµε στον «θάλαµο του Βασιλέως». Τα ονόµατα αυτά είναι λανθασµένα, και η χρήση τους οφείλεται στους Άραβες που εξερεύνησαν την πυραµίδα πολύ πριν έρθουν οι πρώτοι Ευρωπαίοι επιστήµονες µε τον Ναπολέοντα. Πρέπει να αναφέρουµε γενικά πως πολλοί ερευνητές έχουν προσπαθήσει να δείξουν πως η µεγάλη πυραµίδα είναι ένα µαθηµατικό µνηµείο που περιέχει την αρχαία µαθηµατική γνώση, και πως χτίστηκε για να διασωθεί αυτή η γνώση από την πάροδο του χρόνου ή από τον κατακλυσµό. Ο ισχυρισµός όµως αυτός δεν είναι δυνατόν να αποδειχθεί, έχει τεράστια συλλογιστικά άλµατα, και επειδή συνοδεύεται από πληθώρα θεωριών που περιέχουν ιδεολογικές σκοπιµότητες, φρόνιµο είναι να µένει κανείς στα δεδοµένα, χωρίς να θεωρητικολογεί απεριόριστα. Θα εστιάσουµε λοιπόν το ενδιαφέρον µας περισσότερο σε δύο αγωγούς που ξεκινούν από τον βόρειο και τον νότιο τοίχο του θαλάµου του βασιλιά που διαπερνώντας την πυραµίδα, βγαίνουν έξω στο ίδιο ύψος, γεγονός που οδήγησε αρχικά τους αρχαιολόγους να πιστέψουν πως ήταν αεραγωγοί. Όταν όµως αναλογιστεί κανείς την ιδιοµορφία της πυραµίδας, η σκέψη του κατευθύνεται αλλού. Η µεγάλη πυραµίδα είναι η µοναδική που έχει εσωτερική διαρρύθµιση και συνεπώς οι δύο αυτοί αγωγοί, διαστάσεων 20 x 20 cm, φέρνουν στο νου αυτό που αναφέραµε προηγουµένως, δηλαδή τους διαδρόµους που οδηγούσαν την ψυχή του φαραώ στον ουρανό. Εξετάζοντας κανείς τη µέση κλίση εισόδου και εξόδου τους, γίνεται αντιληπτό πως την εποχή που χτίστηκε η πυραµίδα, ο βορεινός σκόπευε προς το α του ράκοντος (Thuban), τον τότε πολικό αστέρα, ενώ ο νότιος σκόπευε στα τρία άστρα της ζώνης του Ωρίωνα. Η ιδέα αυτή εµπνεύστηκε αρχικά από τον αρχαιολόγο R.O. Faulkner 5. Ο Waynman Dixon 6, σκέφτηκε πως αντίστοιχοι αγωγοί ίσως να υπάρχουν και στον θάλαµο της βασίλισσας. Έψαξε για κοιλότητες κτυπώντας τους τοίχους, και -χρησιµοποιώντας ένα σφυρί και ένα καλέµι- ανακάλυψε δύο κρυµµένους αγωγούς. Στον βορινό µάλιστα βρέθηκαν τρία περίεργα αντικείµενα, το ένα µάλιστα ξύλινο, που υπήρχαν εκεί σφραγισµένα από την εποχή που κτίστηκε η πυραµίδα. Για άγνωστους λόγους, το ξύλινο κοµµάτι δεν κατέληξε σε κάποιο µουσείο και δεν χρονολογήθηκε ποτέ, γεγονός πολύ περίεργο µιας και ήταν το µοναδικό οργανικό στοιχείο εντός της πυραµίδας. Η χρησιµότητα τους παραµένει άγνωστη µέχρι 8

9 σήµερα, αν και πιθανότατα έχουν συµβολικό χαρακτήρα και µπορεί να χρησιµοποιούνταν σε κάποιο τελετουργικό. Τον 20 ο αιώνα έχουν γίνει διάφορες επιστηµονικές µελέτες στην µεγάλη πυραµίδα για να ελεγθεί εάν υπάρχουν κρυµµένοι θάλαµοι. Η χρήση ραντάρ και έρευνες µε µέτρηση της κοσµικής ακτινοβολίας, έχουν φέρει στο φως ορισµένες ανωµαλίες, αφήνοντας ανοικτό το ενδεχόµενο νέων ανακαλύψεων. Η πιο ενδιαφέρουσα όµως έγινε πριν µερικά χρόνια. Οι αγωγοί αυτοί ερευνήθηκαν διεξοδικά από τον Γερµανό µηχανικό Rudolf Gantenbrink (2003), ο οποίος είχε προσληφθεί για να βελτιώσει τον αερισµό της πυραµίδας. Εξερεύνησε τους αγωγούς µε ένα ροµποτάκι, το Upuaut, που θυµίζει το Pathfinder, εξοπλισµένο µε µια µικρή κάµερα, και έφτασε το 1993 σε αυτό που πολλοί θεωρούν τη µεγαλύτερη αρχαιολογική ανακάλυψη που έγινε τις τελευταίες δεκαετίες. Η κάµερα έδειξε ένα τοιχαλάκι µε 2 χάλκινα πώµατα, και ξεσήκωσε θύελλα στην αρχαιολογική κοινότητα διότι πιθανό να είναι πορτάκι προς ένα κρυµµένο µέχρι τώρα θάλαµο. Στον άλλο αγωγό βρέθηκε ένα ακόµη κοµµάτι ξύλου, το οποίο δεν έχει φτάσει ακόµη στα χέρια των αρχαιολόγων και παραµένει εκεί µέχρι και σήµερα Μια πολύ ενδιαφέρουσα θεωρία έχει προταθεί από τον µηχανικό Robert Bauval, ο οποίος παρατήρησε πως η χωροθέτηση των τριών πυραµίδων µοιάζει έντονα µε την ουρανογραφική θέση των τριών αστεριών της ζώνης του Ωρίωνα. Πράγµατι, πόσοι διαφορετικοί τρόποι υπάρχουν να κτιστούν τρεις πυραµίδες µαζί; Είτε παρατεταγµένες σε µια ευθεία, είτε διαγώνια, είτε στις κορυφές ενός ορθογώνιου τριγώνου. Η συγκεκριµένη διάταξη δεν έχει κάποια συγκεκριµένη αιτία ύπαρξης εάν εξαιρέσει κανείς τη δουλειά του John Legon (2003). Η θεωρία αυτή έχει δηµοσιευθεί στο Discussions in Egyptology και ο ίδιος την περιγράφει εκτενώς στο βιβλίο του. Βασιζόµενος σε µετρήσεις του Gantenbrink (2003), υποστηρίζει πως οι δύο αγωγοί στο θάλαµο της βασίλισσας σκόπευαν στον Σείριο και στον Kochab. Ενώ είναι γνωστό πως ο Σείριος ήταν τεράστιας σηµασίας αστέρι για τους αρχαίους Αιγυπτίους της 4 ης δυναστείας και ταυτιζόταν µε τη θεά Ίσιδα 7, το ίδιο δεν µοιάζει εκ πρώτης όψεως να συµβαίνει και µε τον Ωρίωνα. Μέχρι και σήµερα µαίνεται µια θεολογική διαµάχη µεταξύ του Bauval και των αντιπάλων του, για το εάν ο Ωρίωνας ήταν γνωστός στους αρχαίους κτίστες, εάν ήταν για αυτούς ένα ή περισσότερα αστέρια, καθώς και για το εάν η πυραµίδα είναι αστρικό η ηλιακό σύµβολο. Η διαµάχη βασίζεται στις διαφορετικές ερµηνείες των λεγόµενων «Κειµένων των Πυραµίδων» (Pyramid Texts), ιερογλυφυκών κειµένων που αναφέρονται στη µετάβαση της ψυχής του φαραώ στον ουρανό και βρέθηκαν σε µεταγενέστερες πυραµίδες. Η θεωρία του Bauval, βρίσκει υποστηρικτές πολλούς αστρονόµους και έχει λίγους αλλά παραταύτα σηµαντικούς φίλους στην κοινότητα των Αιγυπτιολόγων. Άλλοι σηµαντικοί αντίλογοι είναι πως για να κάνει τον παραλληλισµό, έχει αναστρέψει τον Ωρίωνα, και έχει δώσει καθαρά αστρικό χαρακτήρα στις πυραµίδες. Πολλοί είναι εκείνοι που απορρίπτουν την ιδέα πως η λειτουργία των αγωγών ήταν να σκοπεύουν σε συγκεκριµένα αστέρια. Ο ίδιος µε τακτικά άρθρα του απαντά σε αυτούς τους ισχυρισµούς µέχρι και σήµερα, και η αντιπαράθεση δεν µοιάζει να τελειώνει. Η θεωρία του βασίζεται όµως και σε άλλα στοιχεία που έχουν να κάνουν µε την ευρύτερη διάταξη στην Γκίζα και καταλήγει στο ότι οι πυραµίδες µεταξύ άλλων, λειτουργούν και σαν δείκτες µιας συγκεκριµένης ηµεροµηνίας, το π.χ. που πιστεύει ότι ήταν η χρονολογία που πίστευαν οι αρχαίοι Αιγύπτιοι ότι ξεκίνησε ο πολιτισµός τους. Επίσης πιστεύει πως η Γκίζα είναι το γήινο ανάλογο του νεκρικού βασιλείου στον ουρανό (Duat), δηλαδή πως είναι η εικόνα του ουρανού προβεβληµένη στη Γή. Η θεωρία του είναι πολύ καλά στοιχειοθετηµένη και γίνεται χρήση σύγχρονων αστρονοµικών προγραµµάτων, όµως επειδή είναι πολύ ανατρεπτική, δεν είναι εύκολο να γίνει αποδεκτή. 9

10 Κλείνοντας, ας θέσουµε στους εαυτούς µας ένα ερώτηµα που θέτει ο Bauval 8 : Τι ήταν αυτό που ανατέθηκε στον αρχιτέκτονα των πυραµίδων; Να σχεδιάσει ένα µνηµείο για να εκφράσει τις αρχές των ιερών µαθηµατικών ή να προµηθεύσει την πυραµίδα µε χαρακτηριστικά που θα εξυπηρετούσαν τη λειτουργία της; Εµείς ασπαζόµαστε και τις δυο υποθέσεις. Πιθανόν όλες οι προαναφερθείσες θεωρίες να έχουν µια δόση της αντικειµενικής αλήθειας, άλλες περισσότερο και άλλες λιγότερο. Έχοντας στο νου τα λόγια του Planck, για να αλλάξουν τα πράγµατα πρέπει να έρθουν 10

11 στο προσκήνιο νέοι άνθρωποι που έχουν µεγαλώσει µε τις επιρροές όλων αυτών των µελετητών, ή η αρχαιολογική σκαπάνη να φέρει κάποτε στο φως τυχαία µια συνταρακτική ανακάλυψη. Μπορούµε όµως να ελπίζουµε και σε µια συντοµότερη εξέλιξη: Στον αραβικό τύπο γράφτηκε πως οι αιγυπτιακές αρχές σκοπεύουν επιτέλους να ολοκληρώσουν τον Νοέµβριο του 2003 την εξερεύνηση των αγωγών στον θάλαµο της βασίλισσας, κάτι για το οποίο όλοι όσοι παρακολουθούν τις εξελίξεις προσµένουν τα τελευταία 10 χρόνια. Ίσως να χυθεί περισσότερο φως σε ένα µυστήριο ηλικίας 4500 ετών, ίσως και όχι. εν µένει παρά να δούµε. Η εργασία αυτή παρουσιάστηκε από τον Άρη ακανάλη στις 16 Σεπτεµβρίου 2003 στο 6 ο Πανελλήνιο Αστρονοµικό Συνέδριο που διοργανώθηκε από την Ελληνική Αστρονοµική Εταιρεία (ΕΛΑΣΕΤ) και από το Ινστιτούτο Αστρονοµίας και Αστροφυσικής (ΙΑΑ), το οποίο έγινε στο Εθνικό Αστεροσκοπείο Αθηνών στην Πεντέλη. Αναφορές [1] Cook R.J. (1992) The Pyramids of Giza, Seven Islands, Glastonbury [2] Bauval, Robert & Gilbert Adrian (1996) The Orion Mystery, Mandarin Paperbacks, London, see plate 15a. Also see his articles on K. Spence at his official website. [3] I.E.S Edwards (1993) The Pyramids of Egypt, Penguin Books, London, p99 [4] Mendelssohn,Kurt (1986) Riddle of the Pyramids, Thames&Husdon, London [5] R.O. Faulkner published this proposal in 1966 at the Journal of Near Eastern Studies vol. 25 [6] I.E.S Edwards (1993) The Pyramids of Egypt, Penguin Books, London, p.104 [7] Pyramid Texts, spells [939,458,632-3,357,929,935,1707,1082-3,1482] [8] Bauval, Robert (1996) The Orion Mystery, Mandarin Paperbacks, London, Appendix 5 Mathematical Astronomy or Astronomical Mathematics? p.283 Ευχαριστίες Στους John Legon και Robert Bauval που είχαν την καλοσύνη να µας επιτρέψουν να χρησιµοποιήσουµε ορισµένα από τα σχέδια και τις εικόνες τους. Βιβλιογραφία 1. Bauval, Robert & Hancock, Graham (1996) The Message of the Sphinx, Three Rivers Press, New York. 2. Bauval, Robert & Gilbert Adrian (1996) The Orion Mystery, Mandarin Paperbacks, London. 11

12 3. Bauval, Robert, (2003) Τhe official website of Robert Bauval, (articles). 4. Chasapis, Constantinos (1963) The Secret of the Cheops Pyramid, publications of the Laboratory of Astronomy, University of Athens, Series I, No Edwards, I.E.S. (1996) The Pyramids of Egypt, Penguin Books, London. 6. Gantenbrink, Rudolph (2003) The official website of Rudolph Gantenbrink. 7. Goodfellow, Stephen (2003) Giza Pyramids; The Vanishing Point. 8. Hancock, Graham (1995) Fingerprints of The Gods, Three Rivers Press, New York. 9. Hancock, Graham, (1998) Heaven s Mirror, Three Rivers Press, New York. 10. Hodges, Peter, How the Pyramids were Built, 1993, Element Books, Worminster 11. Legon, John (2003) Giza Site Plan (official website) Lehner, Mark (2001) The Complete Pyramids, Thames&Hudson Ltd, London. 13. Magli, Giulio (2003) On the astronomical orientation of the IV dynasty Egyptian pyramids and the dating of the second pyramid, Polytechnical University of Milan, department of Mathematics (on Simultaneous Transition Theory). 14. Mendelssohn,Kurt (1986) Riddle of the Pyramids, Thames&Husdon, London. 15. Petrie, W.M.F.(1883) The Pyramids and Temples of Gizeh, Field and Tuer, London. (available at ). 16. Sagan, Carl (1983) Cosmos, Wings Books, New York. 17. Time-Life (1992) Lost Civilizations: Egypt: Land of the Pharaohs, Time-Life books, Virginia. 18. Trimble,Virginia (1964) Astronomical Investigations concerning the so-called Air-Shafts of Cheops Pyramid, Mitteilungen des Institutes für Orientforschung Akademie der Wissenschaften zu Berlin, band x, Heft 2/ West, John (1993) Serpent in the Sky, Quest Books, Wheaton, IL 12

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Πυραμίδες στην Ελλάδα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Πυραμίδες στην Ελλάδα ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Πυραμίδες στην Ελλάδα Oι πυραμίδες που έχουν εντοπιστεί στην Ελλάδα, αποτελούν μοναδικά δείγματα πυραμιδικής αρχιτεκτονικής στον ευρωπαϊκό χώρο. Η μορφή τους, η αρχιτεκτονική τους, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία

Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟ H γενική τάση των κατοίκων της Αιγύπτου στις επιστήμες χαρακτηριζόταν από την προσπάθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΥΡΑΜΙΔΕΣ ΤΗΣ ΓΚΙΖΑΣ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΕΠΤΑ ΘΑΥΜΑΤΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ

ΟΙ ΠΥΡΑΜΙΔΕΣ ΤΗΣ ΓΚΙΖΑΣ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΕΠΤΑ ΘΑΥΜΑΤΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ ΟΙ ΠΥΡΑΜΙΔΕΣ ΤΗΣ ΓΚΙΖΑΣ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΕΠΤΑ ΘΑΥΜΑΤΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ ΟΙ ΠΥΡΑΜΙΔΕΣ ΤΗΣ ΓΚΙΖΑΣ Χτισμένες στη Νεκρόπολη της Γκίζας, μία ανάσα από την πρωτεύουσα της Αιγύπτου, το Κάιρο, αποτελούν το αρχαιότερο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH TZΕΜΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Α.Μ. 3507 ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH Όλοι γνωρίζουμε ότι η εναλλαγή των 4 εποχών οφείλεται στην κλίση που παρουσιάζει ο άξονας περιστροφής

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτρης Δαμάσκος Δημήτρης Πλάντζος Πανεπιστημιακή Ανασκαφή Άργους Ορεστικού

Δημήτρης Δαμάσκος Δημήτρης Πλάντζος Πανεπιστημιακή Ανασκαφή Άργους Ορεστικού Δημήτρης Δαμάσκος Δημήτρης Πλάντζος Πανεπιστημιακή Ανασκαφή Άργους Ορεστικού Η ανασκαφή τού 2012 είχε ως στόχους: την περαιτέρω διερεύνηση της στοάς του μεγάλου ρωμαϊκού κτιρίου με τη στοά περιμετρικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΔΡΟΜΕΣ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ. 1 η εκδρομή (21/11/05): Επίσκεψη στο Αστεροσκοπείο.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΔΡΟΜΕΣ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ. 1 η εκδρομή (21/11/05): Επίσκεψη στο Αστεροσκοπείο. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΔΡΟΜΕΣ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ 1 η εκδρομή (21/11/05): Επίσκεψη στο Αστεροσκοπείο. Στόχοι: Οι εκπαιδευόμενοι: Να ενημερωθούν για το σύμπαν. Να παρατηρήσουν τα ουράνια σώματα. Να σκεφτούν -να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1 η ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Συστήματα αστρονομικών συντεταγμένων και χρόνος ΑΣΚΗΣΗ 1 η (α) Να εξηγηθεί γιατί το αζιμούθιο της ανατολής και της δύσεως του Ηλίου σε ένα τόπο,

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους.

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Νίκος Γ. Τόμπρος Ενότητα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Περιεχόμενα ενότητας Τριγωνομετρικοί οξείας γωνίας αριθμοί Διδακτικοί στόχοι Διδακτικές οδηγίες - επισημάνσεις Πρέπει οι μαθητές να γνωρίζουν:

Διαβάστε περισσότερα

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë Tα βασικά σημεία του μαθήματος Η Γη είναι ένα ουράνιο σώμα, που κινείται συνεχώς στο διάστημα. Το σχήμα της είναι γεωειδές, δηλαδή είναι ελαφρά συμπιεσμένο στις κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

4.Παρουσίαση των κοινωνικών αναγκών που εξυπηρετεί η έρευνα. 6.Ανάλυση των παραμέτρων που θεωρήθηκε ότι δεν επηρεάζουν τα αποτελέσματα της έρευνας.

4.Παρουσίαση των κοινωνικών αναγκών που εξυπηρετεί η έρευνα. 6.Ανάλυση των παραμέτρων που θεωρήθηκε ότι δεν επηρεάζουν τα αποτελέσματα της έρευνας. Πρόλογος 1.Τίτλος της έρευνας. 2.Παρουσίαση του προβλήματος. 3.Παρουσίαση του σκοπού της έρευνας. 4.Παρουσίαση των κοινωνικών αναγκών που εξυπηρετεί η έρευνα. 5.Διαμωρφωση της υπόθεσης της έρευνας. 6.Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 15 Μαρτίου 2006 1/5 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Ν:6 ο Οι απαρχές των Μαθηματικών Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη εκείνη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Ulrich Rückriem. Σκιές της πέτρας ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΗΜΟΤΙΚΟΥ

Ulrich Rückriem. Σκιές της πέτρας ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΗΜΟΤΙΚΟΥ Ulrich Rückriem Σκιές της πέτρας ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΗΜΟΤΙΚΟΥ Το Εθνικό Μουσείο Σύγχρονης Τέχνης επιχορηγείται από το Υπουργείο Πολιτισµού Eκπαιδευτικό Πρόγραµµα για Μαθητές ηµοτικού Οργάνωση

Διαβάστε περισσότερα

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο.

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο. ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ Η ιστιοπλοΐα ανοιχτής θαλάσσης δεν διαφέρει στα βασικά από την ιστιοπλοΐα τριγώνου η οποία γίνεται με μικρά σκάφη καi σε προκαθορισμένο στίβο. Όταν όμως αφήνουμε την ακτή και ανοιγόμαστε στο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Έκλειψη Ηλίου 20ης Μαρτίου 2015

Έκλειψη Ηλίου 20ης Μαρτίου 2015 Έκλειψη Ηλίου 20ης Μαρτίου 2015 Πληροφοριακό υλικό Κέντρο Επισκεπτών Ινστιτούτο Αστρονομίας Αστροφυσικής Διαστημικών Εφαρμογών και Τηλεπισκόπησης (ΙΑΑΔΕΤ) Εθνικό Αστεροσκοπείο Αθηνών Την Παρασκευή 20 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

e-learning στην Αρχαιοαστρονομία (Επίδραση αστρονομίας στους πολιτισμούς και Εκμάθηση ψηφιακών τεχνικών)

e-learning στην Αρχαιοαστρονομία (Επίδραση αστρονομίας στους πολιτισμούς και Εκμάθηση ψηφιακών τεχνικών) (σύντομα δημοσιοποιούνται τα νέα Πιστοποιημένα Προγράμματα δια βίου του Παν/μιου Αιγαίου στο https://e-epimorfosi.aegean.gr. Σας προωθούμε εκ των προτέρων ενημέρωση σχετικά με το πρόγραμμά μας) e-learning

Διαβάστε περισσότερα

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 26.02.14 Χ. Χαραλάμπους 14 ο πρόβλημα (βρίσκεται στο Μουσείο Καλών Τεχνών της Μόσχας από το 1893 μ.χ.) «μετάφραση των συμβόλων: Εάν σου πουν: μία κομμένη πυραμίδα με ύψος 6, με βάση

Διαβάστε περισσότερα

ΛΕΥΚΟΣ ΠΥΡΓΟΣ Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΣΤΟ ΠΕΡΑΣΜΑ ΤΩΝ ΑΙΩΝΩΝ

ΛΕΥΚΟΣ ΠΥΡΓΟΣ Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΣΤΟ ΠΕΡΑΣΜΑ ΤΩΝ ΑΙΩΝΩΝ ΛΕΥΚΟΣ ΠΥΡΓΟΣ Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΣΤΟ ΠΕΡΑΣΜΑ ΤΩΝ ΑΙΩΝΩΝ Μια πολύπαθη Ιστορία κουβαλάει στους πέτρινους τοίχους του το κατ εξοχήν σύμβολο της Θεσσαλονίκης. Ο Λευκός Πύργος της Θεσσαλονίκης είναι ένας Πύργος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο

15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο 15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο 1.- Από τα πρώτα σχολικά µας χρόνια µαθαίνουµε για το πλανητικό µας σύστηµα. Α) Ποιος είναι ο πρώτος και

Διαβάστε περισσότερα

2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος ΑΗ έτσι ώστε: 1 και εφγ = 3

2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος ΑΗ έτσι ώστε: 1 και εφγ = 3 Προβλήµατα 1. Να κατασκευάσετε µια γωνία xαy, γνωρίζοντας ότι: 3 α) εφ xay = 5 β) συν xay = 0,8 γ) ηµ xay = 0,4 2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7 4. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι:

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: ΗΛΙΑΚΑ ΩΡΟΛΟΓΙΑ Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: Οριζόντια Κατακόρυφα Ισημερινά Το παρακάτω άρθρο αναφέρεται στον τρόπο λειτουργίας αλλά και κατασκευής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΜΠΟΥΜ ΜΕ ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΧΡΟΝΟΥ

ΑΛΜΠΟΥΜ ΜΕ ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΧΡΟΝΟΥ ΑΛΜΠΟΥΜ ΜΕ ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΧΡΟΝΟΥ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΛΙΑΤΟΣ Β 3 ΛΑΡΙΣΑ 2008 Τα Όργανα Μέτρησης Του Χρόνου Αστρολάβος Ο αστρολάβος είναι αρχαίο αστρονομικό όργανο που χρησιμοποιούνταν για να παρατηρηθούν τα αστέρια

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο Ο Γνώμονας, ένα απλό αστρονομικό όργανο και οι χρήσεις του στην εκπαίδευση Σοφία Γκοτζαμάνη και Σταύρος Αυγολύπης Ο Γνώμονας Ο Γνώμονας είναι το πιο απλό αστρονομικό όργανο και το πρώτο που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Η Φυσική Γεωγραφία εξετάζει: τον γήινο

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Απόστολος Ντάνης. Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής

Δρ. Απόστολος Ντάνης. Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής Δρ. Απόστολος Ντάνης Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής *Βασικές μορφές προσανατολισμού *Προσανατολισμός με τα ορατά σημεία προορισμού στη φύση *Προσανατολισμός με τον ήλιο *Προσανατολισμός από τη σελήνη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ. www.meteo.gr - 1 -

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ. www.meteo.gr - 1 - ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ H Γη είναι ένας πλανήτης από τους οκτώ συνολικά του ηλιακού μας συστήματος, το οποίο αποτελεί ένα από τα εκατοντάδες δισεκατομμύρια αστρικά συστήματα του Γαλαξία μας, ο οποίος με την

Διαβάστε περισσότερα

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του 1. Υπάρχει αριθµός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική Εργασία µε. Ζωγραφική και Μαθηµατικά

Ερευνητική Εργασία µε. Ζωγραφική και Μαθηµατικά Ερευνητική Εργασία - Ζωγραφική και Μαθηµατικά Ηλίας Νίνος Ερευνητική Εργασία µε θέµα: Μαθηµατικά και Τέχνη Υποθέµα: Μαθηµατικά και Ζωγραφική Οµάδα: Μαρία Βαζαίου- Ηρώ Μπρούφα- Μαθηµατικά εννοούµε την επιστήµη

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0 Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής Γεωδαισία Μοιράζω τη γη (Γη + δαίομαι) Ακριβής Έννοια: Διαίρεση, διανομή /μέτρηση της Γής. Αντικείμενο της γεωδαισίας: Ο προσδιορισμός της μορφής, του

Διαβάστε περισσότερα

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ»

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Τμήμα 5 ης -6 ης Δημοτικού Σάββατο, 27 Οκτωβρίου 2012 Θαλής ο Μιλήσιος 630/635 π.χ. 543 π.χ. Ο πρώτος φιλόσοφος! Ο Θαλής ο Μιλήσιος ανήκει στους προσωκρατικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : Ι. ΖΑΧΑΡΙΑΣ ΑΓΡΙΝΙΟ, 2015 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΒΛΙΟ ΕΚΑΤΟ ΒΑΘΙΕΣ ΛΑΚΕΣ

ΒΙΒΛΙΟ ΕΚΑΤΟ ΒΑΘΙΕΣ ΛΑΚΕΣ ΒΙΒΛΙΟ ΕΚΑΤΟ ΒΑΘΙΕΣ ΛΑΚΕΣ Του Αντιστρατήγου ε.α. Παναγιώτη Πανταζή. Στις Βαθιές Λάκες βρέθηκαν σηµαντικότατα ευρήµατα, τα οποία θεωρείται σκόπιµο να παρουσιασθούν και να αναλυθούν. Τα ευρήµατα αυτά είναι

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

Αµφίπολη: Βρέθηκε σκελετός σε τάφο κάτω από τον τρίτο θάλαµο

Αµφίπολη: Βρέθηκε σκελετός σε τάφο κάτω από τον τρίτο θάλαµο Νοέµβριος 12 2014 13:20 Αµφίπολη: Βρέθηκε σκελετός σε τάφο κάτω από τον τρίτο θάλαµο Τι ανακοίνωσε το υπουργείο Πολιτισµού για τις ανασκαφικές εργασίες στον τάφο της Αµφίπολης. Τι έδειξαν οι ανασκαφές

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Εκτελώντας το πρόγραμμα παίρνουμε ένα παράθυρο εργασίας Γεωμετρικών εφαρμογών. Τα βασικά κουμπιά και τα μενού έχουν την παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Είναι αυτή η πρώτη πόλη της υτικής Ευρώπης;

Είναι αυτή η πρώτη πόλη της υτικής Ευρώπης; Είναι αυτή η πρώτη πόλη της υτικής Ευρώπης; Μέρος της οχύρωσης Οι αρχαιολογικές ανασκαφές που διενεργούνται στην περιοχή της La Bastida (Totana, Murcia στην Ισπανία) έχουν αποκαλύψει ένα επιβλητικό οχυρωματικό

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΓΑΛΗ ΑΡΚΤΟΣ. Τα κυριότερα αντικείμενα της Μ. Άρκτου ALIOTH. Μπλε γίγαντας ορατός με γυμνό μάτι. Απόσταση : 82 ε.φ. Διάμετρος : 6 εκ. χιλιόμετρα.

Η ΜΕΓΑΛΗ ΑΡΚΤΟΣ. Τα κυριότερα αντικείμενα της Μ. Άρκτου ALIOTH. Μπλε γίγαντας ορατός με γυμνό μάτι. Απόσταση : 82 ε.φ. Διάμετρος : 6 εκ. χιλιόμετρα. Αστρονομία Μπιρσιάνης Γιώργος Η ΜΕΓΑΛΗ ΑΡΚΤΟΣ Τα κυριότερα αντικείμενα της Μ. Άρκτου ALIOTH Μπλε γίγαντας ορατός με γυμνό μάτι. Απόσταση : 82 ε.φ. Διάμετρος : 6 εκ. χιλιόμετρα. Λαμπρότητα : 100 φορές τη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΠΟΛΥΕ ΡΑ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ 2. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕ Ο α = µήκος β = πλάτος γ = ύψος δ = διαγώνιος = α. β. γ = Ε β. υ Ε ολ = 2. (αβ + αγ + βγ) 3. ΚΥΒΟΣ = α 3 Ε ολ = 6α 2

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί 1 Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες 1. Ο χάρτης δείχνει

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 2: Πραγματικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Μελετώντας το παρελθόν και παρατηρώντας την σταδιακή εξέλιξη των μαθηματικών από τούς προελληνικούς χρόνους έως σήμερα, διαπιστώνουμε ότι τα μαθηματικά αποτέλεσαν έναν από

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm.

1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο (A = 90 ) και πλευρές = 3 cm, = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Να βρείτε: α) Το εµβαδό Ε Π της παράπλευρης επιφάνειας.

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Να το πάρει το ποτάµι;

Να το πάρει το ποτάµι; Να το πάρει το ποτάµι; Είναι η σκιά ενός σώµατος που το φωτίζει ο Ήλιος. Όπως η σκιά του γνώµονα ενός ηλιακού ρολογιού που µε το αργό πέρασµά της πάνω απ τα σηµάδια των ωρών και µε το ύφος µιας άλλης εποχής

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22. ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α.

2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22. ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α. Θέµατα & Ασκήσεις από: www.arnos.gr 2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22 ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σύµφωνα µε τη θεωρία του εµπειρισµού

Διαβάστε περισσότερα

Η ΒΑΣΙΛΙΚΗ «ΑΓ. ΣΟΦΙΑ» Η ΝΕΚΡΟΠΟΛΗ

Η ΒΑΣΙΛΙΚΗ «ΑΓ. ΣΟΦΙΑ» Η ΝΕΚΡΟΠΟΛΗ Η ΒΑΣΙΛΙΚΗ «ΑΓ. ΣΟΦΙΑ» Η ΝΕΚΡΟΠΟΛΗ Η ΒΑΣΙΛΙΚΗ «ΑΓ. ΣΟΦΙΑ» Η ΝΕΚΡΟΠΟΛΗ Η σημερινή βασιλική «Αγ. Σοφία» βρίσκεται στο κέντρο της κύριας νεκρόπολης της αρχαίας πόλης Σέρντικα. Σ αυτή την περιοχή έχουν ανακαλυφθεί

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 0.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 0. ραστηριότητες στο Επίπεδο 0. Σε αυτό το επίπεδο περιλαµβάνονται δραστηριότητες ταξινόµησης, αναγνώρισης και περιγραφής διαφόρων σχηµάτων. Είναι σηµαντικό να χρησιµοποιούνται πολλά διαφορετικά και ποικίλα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας;

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Τα μαθηματικά διαπερνούν κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα. Σ αυτή την παρουσίαση θα

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 2015. Εισαγωγικό σημείωμα

Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 2015. Εισαγωγικό σημείωμα Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 015 Εισαγωγικό σημείωμα Σύμφωνα με τις οδηγίες της ΔΕΠΠΣ: Στα Μαθηματικά ελέγχονται οι ικανότητες των μαθητών/τριών στην κατανόηση και στην

Διαβάστε περισσότερα

9. Τοπογραφική σχεδίαση

9. Τοπογραφική σχεδίαση 9. Τοπογραφική σχεδίαση 9.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό εξετάζει τις παραμέτρους, μεθόδους και τεχνικές της τοπογραφικής σχεδίασης. Η προσέγγιση του κεφαλαίου γίνεται τόσο για την περίπτωση της συμβατικής

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις: Τελική Εξέταση 28 Αυγούστου 2015

Λύσεις: Τελική Εξέταση 28 Αυγούστου 2015 Φ230: Αστροφυσική Ι Λύσεις: Τελική Εξέταση 28 Αυγούστου 2015 1. Ο Σείριος Α, έχει φαινόμενο οπτικό μέγεθος mv - 1.47 και ακτίνα R1.7𝑅 και αποτελεί το κύριο αστέρι ενός διπλού συστήματος σε απόσταση 8.6

Διαβάστε περισσότερα

Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων

Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Δημήτρης Δεληκαράογλου Αναπλ. Καθ., Σχολή Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επισκ.

Διαβάστε περισσότερα

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση.

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. 1. Εισαγωγή. Κάθε μέτρηση, όσο προσεκτικά και αν έχει γίνει, περικλείει κάποια αβεβαιότητα. Η ανάλυση των σφαλμάτων είναι η μελέτη και ο υπολογισμός αυτής της αβεβαιότητας στη

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους, y Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α + βy = γ, µε α 0 ή β 0. Γραφική παράσταση γραµµικής εξίσωσης Κάθε γραµµική εξίσωση α + βy = γ παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

Κέντρο Περιβαλλοντικής Εκπαίδευσης. Δραπετσώνας & Τροιζήνας Μεθάνων. Λόφος Μουσών. Φύλλα εργασίας

Κέντρο Περιβαλλοντικής Εκπαίδευσης. Δραπετσώνας & Τροιζήνας Μεθάνων. Λόφος Μουσών. Φύλλα εργασίας Κέντρο Περιβαλλοντικής Εκπαίδευσης Δραπετσώνας & Τροιζήνας Μεθάνων Λόφος Μουσών Φύλλα εργασίας Στόχος των φύλλων εργασίας είναι να ανιχνευθούν βιωματικά στον χώρο τα κυριότερα στοιχεία της ανάπλασης του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης ΗλιακήΓεωµετρία Γιάννης Κατσίγιαννης ΗηλιακήενέργειαστηΓη Φασµατικήκατανοµήτηςηλιακής ακτινοβολίας ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιο ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιοµπορεί να αναλυθεί σε δύο κύριες συνιστώσες: Περιφορά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΤΗΣ ΟΥΡΑΝΙΟΥ ΘΟΛΟΥ

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΤΗΣ ΟΥΡΑΝΙΟΥ ΘΟΛΟΥ Ερασιτεχνικής Αστρονομίας ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΤΗΣ ΟΥΡΑΝΙΟΥ ΘΟΛΟΥ ΝΙΚΟΣ ΓΙΑΝΝΑΚΟΠΟΥΛΟΣ (Εκπαιδευτικός ΠΕ19-Μεταπτυχιακός φοιτητής ΕΑΠ- Μέλος Αστρονομικής Εταιρείας Πάτρας «Ωρίων») gianakop@gmail.com ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1

ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1 ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1 Στο σημείο αυτό του οδοιπορικού γνωριμίας με τις διάφορες μεθόδους αυτογνωσίας θα συναντήσουμε την Αστρολογία και θα μιλήσουμε για αυτή. Θα ερευνήσουμε δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ α. Τι είναι έξαρμα του πόλου υπέρ τον ορίζοντα και γιατί ενδιαφέρει τον ναυτιλλόμενο. β. Να ορίσετε τα είδη των αστέρων (αειφανείς, αφανείς και Αμφιφανείς)και να γράψετε τις συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

8 ο ΛΥΚΕΙΟΠΑΤΡΩΝ Όνοµαοµάδας : AVEC Ονόµαταµελών : ΑνδρικοπούλουΚωνσταντίνα, ΑβραµοπούλουΝικολέτα, ΜίντζαΕρµιόνη, Παπακωστοπούλου Βασιλική Όνοµα

8 ο ΛΥΚΕΙΟΠΑΤΡΩΝ Όνοµαοµάδας : AVEC Ονόµαταµελών : ΑνδρικοπούλουΚωνσταντίνα, ΑβραµοπούλουΝικολέτα, ΜίντζαΕρµιόνη, Παπακωστοπούλου Βασιλική Όνοµα 8 ο ΛΥΚΕΙΟΠΑΤΡΩΝ Όνοµαοµάδας : AVEC Ονόµαταµελών : ΑνδρικοπούλουΚωνσταντίνα, ΑβραµοπούλουΝικολέτα, ΜίντζαΕρµιόνη, Παπακωστοπούλου Βασιλική Όνοµα υπεύθυνου τµήµατος : Γλαρού Άννα ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟ ΣΤΗΝ

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΡΟΧΙΑ ΤΟΥ ΗΛΙΟΥ. Σελίδα 1 από 6

Η ΤΡΟΧΙΑ ΤΟΥ ΗΛΙΟΥ. Σελίδα 1 από 6 Η ΤΡΟΧΙΑ ΤΟΥ ΗΛΙΟΥ Στόχος(οι): Η παρατήρηση της τροχιάς του ήλιου στον ουρανό και της διακύμανση της ανάλογα με την ώρα της ημέρας ή την εποχή. Εν τέλει, η δραστηριότητα αυτή θα βοηθήσει τους μαθητές να

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός της εστιακής απόστασης f λεπτού συμμετρικού συγκλίνοντος φακού απο τη γραμμική μεγέθυνση Μ

Υπολογισμός της εστιακής απόστασης f λεπτού συμμετρικού συγκλίνοντος φακού απο τη γραμμική μεγέθυνση Μ ΟΜΑΔΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΑ ΜΑΘΗΤΩΝ 1)... 2)... 3)... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : Υπολογισμός της εστιακής απόστασης f λεπτού συμμετρικού συγκλίνοντος φακού απο τη γραμμική μεγέθυνση Μ Με το πείραµα αυτό θα προσδιορίσουµε: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ Γενικές αρχές και έννοιες Στο σύστημα προβολής κατά Monge δεν μας δίνεται η δυνατότητα ν αντιληφθούμε άμεσα τα αντικείμενα του χώρου, παρά μόνο αφού συνδυάσουμε τις δύο προβολές του αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΣ ΧΑΡΤΗΣ. Στοιχεία τοπογραφικών χαρτών

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΣ ΧΑΡΤΗΣ. Στοιχεία τοπογραφικών χαρτών ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΣ ΧΑΡΤΗΣ Στοιχεία τοπογραφικών χαρτών ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Τοπογραφικοί χάρτες Βασικό στοιχείο του χάρτη αποτελεί : το τοπογραφικό υπόβαθρο, που αναπαριστά µε τη βοήθεια γραµµών (ισοϋψών)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΤΙ ΡΩΤΑΜΕ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΤΙ ΜΑΣ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΠΩΣ ΜΑΣ ΤΟ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΣΥΝΘΕΣΗ: Οργάνωση ενός συνόλου από επιμέρους στοιχεία σε μια ενιαία διάταξη Αρχική ιδέα σύνθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα