ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΟ ΜΥΣΤΗΡΙΟ. Α. ακανάλης και Ε.Θεοδοσίου Τοµέας Αστροφυσικής-Αστρονοµίας και Μηχανικής Τµήµα Φυσικής-Πανεπιστήµιο Αθηνών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΟ ΜΥΣΤΗΡΙΟ. Α. ακανάλης και Ε.Θεοδοσίου Τοµέας Αστροφυσικής-Αστρονοµίας και Μηχανικής Τµήµα Φυσικής-Πανεπιστήµιο Αθηνών"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΟ ΜΥΣΤΗΡΙΟ ΤΩΝ ΠΥΡΑΜΙ ΩΝ Α. ακανάλης και Ε.Θεοδοσίου Τοµέας Αστροφυσικής-Αστρονοµίας και Μηχανικής Τµήµα Φυσικής-Πανεπιστήµιο Αθηνών Περίληψη Το µυστήριο της ύπαρξης των πυραµίδων µας κατακλύζει µε αναπάντητα ερωτήµατα, τόσο αρχαιολογικού, όσο και επιστηµονικού ενδιαφέροντος. Χωρίς να αµφισβητείται ο νεκρικός χαρακτήρας των πυραµίδων προτάσσονται ορισµένα µαθηµατικά, γεωµετρικά και αστρονοµικά στοιχεία µε έµφαση στη µεγάλη πυραµίδα. Ταυτόχρονα παρουσιάζονται επιγραµµατικά ορισµένες θεωρίες που επιχειρούν να δώσουν απάντηση σε κάποια από αυτά τα ερωτήµατα. Αυτές είναι η θεωρία της «Ταυτόχρονης Μετάβασης» της K. Spence, η µελέτη χωροθέτησης των πυραµίδων στην Γκίζα του J. Legon καθώς και η θεωρία του «Σηµείου Φυγής» του S. Goodfellow. Τέλος, αφού γίνει αναφορά στην ανακάλυψη του R. Gantenbrink, παρουσιάζεται επιγραµµατικά η θεωρία της «Συσχέτισης µε τον Ωρίωνα» του R. Bauval. Εισαγωγή Μια ερµηνεία της λέξης mr στα αρχαία αιγυπτιακά που έδωσε ο καθηγητής Ι.Ε.S. Edwards (1996), ένας από τους πλέον διακεκριµένους Αιγυπτιολόγους παγκοσµίως, είναι «όργανο ανόδου» ή «τόπος ανύψωσης». Ο ίδιος την αµφισβήτησε, όµως η ερµηνεία αυτή µας παραπέµπει σε µια από τις περισσότερο αποδεκτές λειτουργίες της πυραµίδας ως όργανο µετάβασης του πνεύµατος του νεκρού φαραώ στον ουρανό, προς τον ηλιακό δίσκο και στους αειφανείς αστέρες, όπου πιστευόνταν ότι ενώνεται µε την θεία του πηγή. Στην Αίγυπτο υπάρχουν περίπου 90 πυραµίδες. Το έντονα γεωµετρικό τους σχήµα τους δίνει από µόνο του µια αίσθηση µυστηρίου, το κάλεσµα του οποίου επιχείρησαν να απαντήσουν εκατοντάδες µελετητές ανά τους αιώνες. Αρκετές από αυτές είναι ηµιτελείς, άλλες κατεστραµµένες, ενώ δεν είναι λίγες αυτές που δεν περιέχουν καν σαρκοφάγο. Κοινή παραδοχή ανάµεσα στους Αιγυπτιολόγους αποτελεί το γεγονός πως δεν υπάρχουν στοιχεία για την ύπαρξη µιας µακράς προπαρασκευαστικής περιόδου ανάπτυξης ούτως ώστε να δικαιολογείται η αρχιτεκτονική και κατασκευαστική τελειότητα των πρώτων πυραµίδων. εύτερο παράδοξο αποτελεί το γεγονός πως έπειτα από την 4 η δυναστεία, η Αίγυπτος βιώνει µια τεχνολογική «έξοδο». Οι µεταγενέστερες πυραµίδες είναι όχι µόνο µικρότερες σε µέγεθος, αλλά και πολύ κατώτερες σε ποιότητα. Οι Αιγυπτιολόγοι ακολουθώντας το δόγµα πως οι πυραµίδες ήταν τάφοι των φαραώ εκτιµούν πως οι λόγοι ήταν οικονοµικοί έχοντας στο νου το τεράστιο κόστος που απαιτείται για το χτίσιµο µιας πυραµίδας. Η εξήγηση αυτή δεν µοιάζει να είναι ορθή διότι, θα περίµενε κανείς να 1

2 διατηρηθεί τουλάχιστον η κατασκευαστική γνώση και απλώς να µικρύνει το µέγεθος της πυραµίδας. Κυρίαρχο ερώτηµα παραµένει ο ουσιαστικός ρόλος της πυραµίδας και ακολουθούν και άλλα αναπάντητα ερωτήµατα που στοιχειώνουν το µυστήριο της ύπαρξης της. Η κυρίαρχη άποψη ορίζει πως ήταν τάφοι για τους φαραώ, και πως κατα τη διάρκεια του χτισίµατος τους αποτελούσαν κοινωνικά κέντρα, που παρείχαν στέγη και τροφή στους χιλιάδες ανθρώπους οι οποίοι συντελούσαν στην κατασκευή της. Η διαδικασία όµως εύρεσης του φαραώ στον οποίο ανήκει µια πυραµίδα είναι εξαιρετικά δύσκολη, και αποτελεί χρόνιο πονοκέφαλο των µελετητών. Αυτό κυρίως οφείλεται στο γεγονός πως κάθε φαραώ είχε περίπου πέντε διαφορετικά ονόµατα καθώς και στο γεγονός πως η ιερογλυφική γραφή απουσιάζει από τις πυραµίδες της 3 ης και 4 ης δυναστείας. Οι «βουβές» πυραµίδες ονοµάζονται από επιγραφές σε πώµατα βάζων που βρέθηκαν µέσα σε αυτές ή από λακωνικές επιγραφές που βρέθηκαν σε κάποιο κοντινό κτίσµα, από επιγραφές που άφησαν οµάδες λατόµων πάνω σε πέτρες που χρησιµοποιήθηκαν για το χτίσιµο τους καθώς και από επιγραφές που βρέθηκαν σε λίγες πέτρινες στήλες. Το πρόβληµα γίνεται εντονότερο όταν αναλογιστούµε τη µεγάλη αβεβαιότητα που υπάρχει για τη χρονολόγηση των συνολικά 30 δυναστειών, η οποία οξύνεται όσο βαδίζουµε στην αρχαιότητα. Το πρόβληµα χρονολόγησης ενός φαραώ µεταφέρεται και γίνεται πρόβληµα χρονολόγησης µιας πυραµίδας. Το γεγονός πως οποιοσδήποτε φαραώ 4 ης δυναστείας θάφτηκε µέσα σε πυραµίδα παραµένει αναπόδεικτο, όπως φαίνεται από τον Πίνακα Ι. Οι νεκρικοί ναοί γύρω από αυτές καθώς και η εσωτερική διαρρύθµιση των πυραµίδων και των ναών τους δεν επιτρέπει την τέλεση µιας βασιλικής κηδείας µε ό,τι αυτή συνεπάγεται, αφού οι χώροι είναι πολύ µικροί για µια ποµπή και για τελετουργικά. Πυραµίδες 3 ης & 4 ης δυναστείας #Θαλάµων Djoser 2 Σαρκοφάγοι ΠΙΝΑΚΑΣ Ι Ταφικός Λάκκος 2 σαρκοφάγοι Σχόλια για τις σαρκοφάγους Πατούσα µούµιας Υπολλείµατα γυναικείου σκελετού Χρονολογούνται γενιές πρίν (!) τον Djoser Sekhemet 1 1 Σφραγισµένη και άδεια Khaba Meidum Pyramid (Snofru) Bent Pyramid (Snofru) Red Pyramid (Snofru) Khufu 3 1 Χωρίς σκέπασµα, άδεια (Χέοπας) Djefre Khafre (Χεφρήνας) Menkaure (Μυκερίνος) 1 1 Κόκκαλα ταύρου, χρονολογούνται µεταγενέστερα. 3 1 Σαρκοφάγος χάθηκε στη θάλασσα ενώ µεταφέρονταν στο βρεταννικό µουσείο. Χρονολογείται στην 26 η δυναστεία. 2

3 Οι αναφορές αρχαίων περιηγητών όπως ο Ηρόδοτος, ο ιόδωρος ο Σικελιώτης, ο Πορφύριος και ο Πλίνιος, κρίνονται µάλλον αναξιόπιστες όχι µόνο επειδή περιέχουν µεταξύ άλλων και φανταστικά στοιχεία, αλλά κυρίως γιατί ο Χέοπας ήταν για εκείνους τόσο αρχαίος όσο είναι οι ίδιοι για εµάς. Υπάρχουν πολλά ακόµη στοιχεία που υποστηρίζουν την άποψη πως οι πρώτες πυραµίδες δεν λειτουργούσαν ως τάφοι. Εµείς υιοθετούµε την ορθότερη άποψη, δηλαδή πως δεν µπορούµε να προσπελάσουµε τα εµπόδια 4500 περίπου ετών και να µάθουµε την αντικειµενική αλήθεια για το εάν ήταν τάφοι η όχι. εν αµφισβητούµε όµως τον ολοφάνερο νεκρικό χαρακτήρα τους. Οι θεωρίες Παραταύτα, µε τον κατάλληλο κώδικα επικοινωνίας οι κατά τα άλλα «βουβές» πυραµίδες αρχίζουν να µιλούν. Μιλούν όταν κανείς τις εξετάσει µε την παγκόσµια γλώσσα της Γεωµετρίας, των Μαθηµατικών και της Αστρονοµίας. Το ενδιαφέρον µας πλέον θα συγκεντρωθεί στα κατασκευαστικά θαύµατα των πυραµίδων της 4 ης δυναστείας, µε ιδιαίτερη έµφαση στη µεγάλη πυραµίδα. Κατά παράδοση, οι πυραµίδες χτίζονταν κατά τρόπο που η κάθε τους πλευρά προσανατολιζόταν στα τέσσερα σηµεία του ορίζοντα µε µεγάλη ακρίβεια και οι είσοδοι τους βρίσκονταν πάντα στη βορεινή πλευρά. Κατά κανόνα, η είσοδος τους βρισκόταν ψηλότερα από τον υπόγειο κεντρικό θάλαµο και ο διάδροµος που ένωνε τα δύο µέρη ήταν κατηφορικός, µε κλίση περίπου 26 µοιρών. Ήταν πρακτικό γιατί ο θάλαµος µπορούσε να σφραγιστεί εύκολα τοποθετώντας ογκώδεις λίθους που έφραζαν τον διάδροµο. Είχε όµως και συµβολικό χαρακτήρα διότι η ψυχή του φαραώ βγαίνοντας από το θάλαµο και περνώντας χωρίς πρόβληµα µέσα από τα λίθινα εµπόδια, θα ανηφόριζε µε κλίση γύρω στις 26 µοίρες και θα κατευθυνόταν προς τον πολικό αστέρα και τους αειφανείς αστέρες, δηλαδή προς τη θεία της πηγή. Εξαίρεση στον κανόνα αποτελεί η µεγάλη πυραµίδα, που θα εξετάσουµε λεπτοµερέστερα αργότερα. Ας εστιάσουµε τώρα το ενδιαφέρον µας σε µια θεωρία που αφορά στην τοποθέτηση των πυραµίδων έτσι ώστε να προσανατολίζονται προς τα 4 σηµεία του ορίζοντα. Ονοµάζεται θεωρία της Ταυτόχρονης Μετάβασης (Simultaneous Transition), προτάθηκε από την ρ.kate Spence του τµήµατος Ανατολικών Σπουδών του Πανεπιστηµίου της Οξφόρδης και δηµοσιεύτηκε στο περιοδικό Nature (2000). Είναι µια προσπάθεια για χρονολόγηση των πυραµίδων από αστρονοµικά δεδοµένα. Έπειτα από τη δηµοσίευση έχουν εγερθεί πολλές αµφιβολίες που µειώνουν την αξιοπιστία της θεωρίας αυτής, αλλά το θέµα δεν έχει λήξει µιας και η Spence εργάζεται ήδη σε µια εκτενέστερη µελέτη και έχει ανακοινώσει πως θα απαντήσει σε πολλές από αυτές τις αµφιβολίες. 3

4 Η Spence υποστηρίζει πως οι αρχαίοι Αιγύπτιοι καθόριζαν την ακριβή κατεύθυνση του βορρά ευθυγραµµίζοντας ένα αλφάδι µε τη νοητή ευθεία που σχηµατίζει ο µεγάλος κύκλος που περνά από τα αστέρια Kochab (β UMi) και Mizar (ζ UMa), καθώς και από τον άξονα που τρέχει από βορρά προς νότο και βρίσκεται επί των ανατολικών ή δυτικών πλευρών των πυραµίδων. εδοµένου ότι η µέθοδος δεν άλλαξε ανα τους αιώνες, τότε θα πρέπει να παρουσιάζεται ένα συστηµατικό σφάλµα στον προσανατολισµό των πυραµίδων, που οφείλεται στην αποµάκρυνση της νοητής αυτής ευθείας από τον πολικό αστέρα, η οποία οφείλεται στο φαινόµενο της µετάπτωσης. Έτσι κατασκεύασε ένα διάγραµµα όπου στον άξονα των τετµηµένων βρίσκεται ο χρόνος, και στον άξονα των τεταγµένων η απόκλιση των πυραµίδων από το βορρά. Σε γενικές γραµµές η θεωρία επαληθεύεται από τα δεδοµένα, όµως ας δούµε τα κυριότερα προβλήµατα: Το πρώτο είναι ένα κλασικό πρόβληµα της Αρχαιοαστρονοµίας, δηλαδή πως στον ένα άξονα έχουµε τοποθετήσει ιστορικά δεδοµένα (ηµεροµηνίες) και στον άλλο δεδοµένα επιστηµονικής µελέτης (την απόκλιση από το βορρά). Οι ηµεροµηνίες δεν είναι τυχαία χρονικά διαστήµατα όπως γίνεται σε ένα εργαστήριο, και έτσι πρέπει κανείς να δεχθεί πρώτα την ορθότητα του θεωρητικού µοντέλου και στη συνέχεια να τοποθετήσει όπως ο ίδιος ορίζει τα σηµεία στον άξονα του χρόνου. Άλλο πρόβληµα εντοπίζεται στις πυραµίδες τριών διαδοχικών φαραώ, του Χέοπα, του Djefre και του Χεφρήνα. Η πυραµίδα του Djefre παρουσιάζει µια τεράστια απόκλιση, έξω από τα δεδοµένα της 4 ης δυναστείας. Επίσης η Spence στο διάγραµµα της τοποθετεί τον Χεφρήνα χρονολογικά πρίν τον Χέοπα. Μολονότι είναι εντελώς ανορθόδοξη θεώρηση, δεν ακούγεται τόσο παράλογη εάν αναλογιστεί κανείς πως η πυραµίδα του Χεφρήνα µολονότι είναι στην πραγµατικότητα λίγο µικρότερη, φαντάζει µεγαλύτερη από αυτή του Χέοπα διότι είναι χτισµένη σε ψηλότερο σηµείο. Εδώ υπάρχει το εύλογο ερώτηµα, γιατί η µεγαλύτερη πυραµίδα στον κόσµο να µην κτίστηκε λίγα µέτρα πιο πέρα ωστε να βρίσκεται στο ψηλότερο σηµείο της περιοχής; Πάντως τα αρχαιολογικά δεδοµένα δεν αρκούν για να απορρίψουν τις συνέπειες της θεωρίας. Τελειώνοντας µε αυτή τη θεωρία, αναφέρουµε ότι η Spence δεν ήταν ούτε η πρώτη ούτε η µόνη που σκέφτηκε τα παραπάνω, και οφείλουµε να αναφέρουµε τα ονόµατα κι άλλων µελετητών όπως ο Robin Cook 1, γεωλόγος και ο Robert Bauval 2, µηχανικός, του οποίου τη θεωρία θα µελετήσουµε αργότερα. Στη σηµερινή τους µορφή, όλες οι πυραµίδες στην Γκίζα φανερώνουν σε µας µόνο τον σκελετό τους. Κάποτε πρέπει να παρουσίαζαν ένα εκπληκτικό θέαµα, καλυµµένες µε λευκό ασβεστόλιθο, µε τις πλευρές τους εντελώς επίπεδες, να στέκονται απαστράπτουσες κάτω από τον ήλιο της Αιγύπτου. Η βασική µετρική µονάδα που χρησιµοποιήθηκε για το κτίσιµο τους έχει βρεθεί, ονοµάστηκε από τους µελετητές «βασιλικό κύβιτο» και ισοδυναµεί µε 52,37 εκατοστά. Ο John Legon (2003), πτυχιούχος της Σχολής Εφαρµοσµένων Φυσικών Επιστηµών και µε µεγάλο ενδιαφέρον στην αρχαιολογία, µελέτησε εκτενώς και επέκτεινε την πρώτη τοπογραφική µελέτη που έγινε στην Γκίζα από τον W.M.F. Petrie (1883). Τα αποτελέσµατα της εργασίας του έχουν δηµοσιευθεί στα περιοδικά της Αρχαιολογικής κοινότητας του Στάτεν Άιλαντ, στο Discussions in Egyptology και στο Göttinger Miszellen. Είχε την καλοσύνη να µας επιτρέψει να χρησιµοποιήσουµε ορισµένα από τα σχέδια του για την παρουσίαση αυτή. Βασιζόµενος στα αποτελέσµατα της µελέτης του, υποστηρίζει πως βρήκε τις µαθηµατικές σχέσεις µε τις οποίες οι κτίστες καθόρισαν το µέγεθος και τη χωροθέτηση των τριών πυραµίδων. Επίσης 4

5 υποστηρίζει πως υπήρχε ένα ενιαίο σχέδιο που ακολουθήθηκε, και µελετά µέχρι και σήµερα την ύπαρξη κάποιου βαθύτερου συµβολισµού σε αυτό. Μιας και η εργασία του στον τοµέα αυτό δεν έχει τελειώσει, δεν µπορούµε να παρουσιάσουµε τις ιδέες του για τον συµβολισµό αυτή τη στιγµή. Ο χρόνος µας δεν επιτρέπει να ακολουθήσουµε την πορεία των µαθηµατικών συλλογισµών του, θα 5

6 αναφέρουµε όµως για παράδειγµα, ότι οι τρεις πυραµίδες στην Γκίζα περιγράφονται σε ένα ορθογώνιο µε πλευρές και αντίστοιχα. Ο Legon παρατήρησε ότι η τετραγωνική ρίζα χρησιµοποιήθηκε εκτενώς από τους κτίστες, γεγονός που δεν προκαλεί έκπληξη διότι γνωρίζουµε πως οι αρχαίοι αιγύπτιοι την γνώριζαν από τους πάπυρους που έχουν διασωθεί. Ο τρόπος όµως µε τον οποίο χρησιµοποιήθηκε στο όλο σχέδιο προτείνει τη γνώση της εφαρµογής του Πυθαγορείου Θεωρήµατος, γεγονός για το οποίο ο ίδιος είναι πεπεισµένος. Μια άλλη ενδιαφέρουσα θεωρία είναι αυτή του «Σηµείου Φυγής», εµπνευσµένη από τον τότε απόφοιτο της Σχολής Καλών Τεχνών Stephen Goodfellow (2003), ο οποίος συνεργάστηκε µε τον John Legon. Σηµείο φυγής του ζωγράφου σε ένα προοπτικό σχέδιο, είναι το σηµείο τοµής δύο ευθειών που στην πραγµατικότητα είναι παράλληλες. Τρία σηµεία ορίζουν ένα κύκλο. Εάν λοιπόν λάβουµε ως δύο τριάδες τις Β και ΝΑ γωνίες κάθε πυραµίδας, θα τις περιγράψουµε εντός ενός κυκλικού τοµέα. Το προοδευτικά µικρότερο µέγεθός τους µας κατευθύνει στο σηµείο τοµής των δύο κύκλων, το οποίο δεν βρίσκεται κάπου µακριά, αλλά σε ένα πολύ ενδιαφέρον σηµείο. Βρίσκεται πάνω στον περιβάλλοντα τοίχο της τρίτης πυραµίδας, ο οποίος παρουσιάζει κάποιες ανεξήγητες κατασκευαστικές ιδιοµορφίες. Μέχρι σήµερα δεν έχουν γίνει εκτενείς ανασκαφές στον χώρο αυτό, και πιθανότατα δεν θα γίνουν ούτε στο κοντινό µέλλον, µιας και τέτοιου είδους θεωρίες δεν βρίσκουν ανταπόκριση από το τµήµα αιγυπτιακών αρχαιοτήτων. Έτσι µπορεί να µην ελεγχθεί ποτέ η ορθότητα της σκέψης του καλλιτέχνη. Ας εξετάσουµε τώρα λεπτοµερέστερα τη µεγάλη πυραµίδα, που είναι ένα αληθινό κατασκευαστικό θαύµα. Άν και έχει ένα πέτρινο πυρήνα άγνωστων διαστάσεων, υπολογίζεται πως περίπου ξεχωριστοί κατεργασµένοι λίθοι µάζας µεταξύ 2,5 και 15 τόνων χρειάστηκαν για την κατασκευή της. Σύµφωνα µε τις πιο σύγχρονες µετρήσεις του J.H. Cole 3 (έπειτα από τον W.F. Petrie) παραθέτουµε τα ακόλουθα εντυπωσιακά στοιχεία: ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΙ Πλευρά Μήκος Πλευράς (m) ΠΙΝΑΚΑΣ ΙV Βορεινή 226,63 Πλευρά Απόκλιση από τα σηµεία του ορίζοντα Νότια 226,82 Βορεινή 2 28 νοτίως της δύσης Ανατολική 226,76 Νότια 1 57 νοτίως της δύσης υτική 226,71 Ανατολική 5 30 δυτικά του βορρά Περίµετρος 907 m υτική 2 30 δυτικά του βορρά Μέγιστη απόκλιση 20 cm Μέση απόκλιση 3 λεπτά της µοίρας ΠΙΝΑΚΑΣ ΙII Ύψος Πυραµίδας Κλίση πλευρών ως 144,42 m (Αρχικό) προς το έδαφος 135,12 m (Σήµερα)

7 ΠΙΝΑΚΑΣ V Γωνία Μέτρηση ΒΑ Β ΝΑ Ν Η µέγιστη απόκλιση των 20 cm σε ένα κτίσµα µε Σχεδόν τέλειες ορθές γωνίες περίµετρο σχεδόν ενός χιλιοµέτρου είναι ένα πραγµατικά εκπληκτικό αποτέλεσµα, ειδικά όταν αναλογιστεί κανείς πως η ύπαρξη του πέτρινου πυρήνα της πυραµίδας καθιστούσε αδύνατη τη µέτρηση των διαγωνίων ούτως ώστε να ελεγθεί η ακρίβεια του τετραγώνου. Η ακρίβεια µε την οποία το κτίριο έχει ευθυγραµµιστεί µε τα τέσσερα σηµεία του ορίζοντα υποδηλώνει µια αστρονοµική µέθοδο παρατήρησης, εφ όσον οποιαδήποτε άλλη µέθοδος (π.χ. παρατήρηση του ηλιακού δίσκου) θα παρουσίαζε µεγαλύτερο σφάλµα. Απορίας άξιον είναι το γεγονός πως τεράστιοι λίθοι τοποθετήθηκαν µε εκπληκτική ακρίβεια σε µεγάλα ύψη, γύρω στο 2500 π.χ. όταν οι άνθρωποι είχαν στη διάθεση τους µόνο χάλκινα εργαλεία, ενώ η τροχαλία ήταν ανύπαρκτη. Έχουν προταθεί διάφορες θεωρίες που περιλαµβάνουν τη χρήση µιας ράµπας ή περισσοτέρων, όµως απορρίπτονται εξ αρχής από τους µηχανικούς που έλεγξαν την ορθότητα τους. Στην πλειοψηφία τους πιστεύουν πως το πιθανότερο είναι να χρησιµοποιήθηκε ένα ιδιοφυές σύστηµα µοχλών. Ως αποτέλεσµα µέτρων ασφαλείας κάθε σειρά είναι κοίλη προς την κορυφή, γεγονός που µειώνει τις εγκάρσιες δυνάµεις λόγω του βάρους των υπερκείµενων στρωµάτων, δίνοντας στο µνηµείο µεγαλύτερη σταθερότητα. Ο Πήτρι (1883) έλαβε πολλές µετρήσεις για το πάχος µεταξύ δύο διαδοχικών λίθων του περιβλήµατος. Βρήκε πως σε ορισµένα σηµεία το µέσο πάχος είναι µόλις µισό χιλιοστό, δηλαδή η ακρίβεια του τεχνίτη στο ίσιωµα της πέτρας ήταν ένα τέταρτο του χιλιοστού σε µια επιφάνεια πλάτους 190 εκατοστών. Το ότι µια πιστωτική κάρτα δεν χωρά ανάµεσα από δύο πέτρες είναι µύθος, µιας και υπάρχουν πέτρες χωρίς κονίαµα ανάµεσά τους, αυτό όµως δεν αλλάζει την ποιότητα της δουλειάς που παρατηρείται σε κάποια άλλα σηµεία. Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι φανερώνουν την εκπληκτική τους ικανότητα στην ισοπέδωση επιφανειών και σε µεγάλη κλίµακα. Η περίµετρος της βάσης στην οποία είναι χτισµένη η Μεγάλη πυραµίδα, αποκλίνει από το τέλειο επίπεδο µόλις κατα 1,3 cm µια ασήµαντη ποσότητα που µένει απαρατήρητη, κατά την οποία η ΝΑ γωνία της πυραµίδας βρίσκεται ψηλότερα από τη Β γωνία. Εξετάζοντας την κλίση των πλευρών, βρίσκει κανείς πως µια πυραµίδα µε κλίση έχει τη µοναδική γεωµετρική ιδιότητα, ότι το ύψος της προς την περίµετρο της βρίσκεται στην ίδια αναλογία µε αυτή της ακτίνας ενός κύκλου προς την περιφέρεια του, δηλαδή 1/2π. Η εµπλοκή του αριθµού π σε µια εποχή όπου υποτίθεται ότι δεν ήταν γνωστή η ύπαρξη του, έχει δώσει βάση σε πολλές συζητήσεις. Οι πιθανές απαντήσεις είναι δύο: Είτε οι αρχαίοι κτίστες γνώριζαν τον αριθµό αυτό, είτε τον χρησιµοποίησαν χωρίς να τον γνωρίζουν. εν υπάρχουν αρχαιολογικά ευρήµατα που να υποστηρίζουν την πρώτη περίπτωση. Για τη δεύτερη περίπτωση, µια ενδιαφέρουσα πρόταση έκανε ο ηλεκτρολόγος µηχανικός T.E. Connolly 4 στον φυσικό Kurt Mendelssohn (1986): προτείνει πως οι αρχαίοι Αιγύπτιοι δεν γνώριζαν πως ο τρισδιάστατος χώρος είναι ισοτροπικός, µε αποτέλεσµα να µετρούν µε διαφορετικό τρόπο το ύψος και το µήκος. Για το ύψος µπορεί να χρησιµοποιούσαν το βασιλικό κύβιτο, ενώ για το µήκος να κυλούσαν ένα τύµπανο διαµέτρου ενός βασιλικού κύβιτου, µετρώντας τον αριθµό των 7

8 περιστροφών. Εάν το παραπάνω ισχύει και οι αιγύπτιοι χρησιµοποίησαν την αναλογία 4:1, τότε εξηγείται η εµπλοκή του αριθµού π. Εδώ χρειάζεται να σηµειωθεί η σηµασία της τήρησης της ακρίβειας στην κλίση κατα την κατασκευή του µνηµείου, µιας και ένας µικρός υπολογισµός µας δείχνει πως ένα σφάλµα 2, οδηγεί σε ασυµµετρία των κορυφών των πλευρών στην κορυφή της πυραµίδας της τάξεως των 15 µέτρων. Ας εξετάσουµε τώρα τους εσωτερικούς χώρους. Η πραγµατική είσοδος της πυραµίδας είναι µέχρι και σήµερα φραγµένη, και για να εισέλθει κανείς, χρησιµοποιεί την τρύπα που λέγεται ότι άνοιξε ο χαλίφης Μα Μουν, αλλά ίσως να υπήρχε ήδη από αρχαιοτάτων χρόνων. Αρχικά κατηφορίζει κανείς για λίγο και για να προχωρήσει στο εσωτερικό της πυραµίδας ανηφορίζει σε ένα διάδροµο και φτάνει στον πρώτο θάλαµο, αυτόν «της Βασίλισας» και στη Μεγάλη Στοά, ένα ακόµη κατασκευαστικό θαύµα, της οποίας η βαθµωτή διαρρύθµιση έχει εγείρει πολλές απορίες. Περνώντας την φτάνουµε στον «θάλαµο του Βασιλέως». Τα ονόµατα αυτά είναι λανθασµένα, και η χρήση τους οφείλεται στους Άραβες που εξερεύνησαν την πυραµίδα πολύ πριν έρθουν οι πρώτοι Ευρωπαίοι επιστήµονες µε τον Ναπολέοντα. Πρέπει να αναφέρουµε γενικά πως πολλοί ερευνητές έχουν προσπαθήσει να δείξουν πως η µεγάλη πυραµίδα είναι ένα µαθηµατικό µνηµείο που περιέχει την αρχαία µαθηµατική γνώση, και πως χτίστηκε για να διασωθεί αυτή η γνώση από την πάροδο του χρόνου ή από τον κατακλυσµό. Ο ισχυρισµός όµως αυτός δεν είναι δυνατόν να αποδειχθεί, έχει τεράστια συλλογιστικά άλµατα, και επειδή συνοδεύεται από πληθώρα θεωριών που περιέχουν ιδεολογικές σκοπιµότητες, φρόνιµο είναι να µένει κανείς στα δεδοµένα, χωρίς να θεωρητικολογεί απεριόριστα. Θα εστιάσουµε λοιπόν το ενδιαφέρον µας περισσότερο σε δύο αγωγούς που ξεκινούν από τον βόρειο και τον νότιο τοίχο του θαλάµου του βασιλιά που διαπερνώντας την πυραµίδα, βγαίνουν έξω στο ίδιο ύψος, γεγονός που οδήγησε αρχικά τους αρχαιολόγους να πιστέψουν πως ήταν αεραγωγοί. Όταν όµως αναλογιστεί κανείς την ιδιοµορφία της πυραµίδας, η σκέψη του κατευθύνεται αλλού. Η µεγάλη πυραµίδα είναι η µοναδική που έχει εσωτερική διαρρύθµιση και συνεπώς οι δύο αυτοί αγωγοί, διαστάσεων 20 x 20 cm, φέρνουν στο νου αυτό που αναφέραµε προηγουµένως, δηλαδή τους διαδρόµους που οδηγούσαν την ψυχή του φαραώ στον ουρανό. Εξετάζοντας κανείς τη µέση κλίση εισόδου και εξόδου τους, γίνεται αντιληπτό πως την εποχή που χτίστηκε η πυραµίδα, ο βορεινός σκόπευε προς το α του ράκοντος (Thuban), τον τότε πολικό αστέρα, ενώ ο νότιος σκόπευε στα τρία άστρα της ζώνης του Ωρίωνα. Η ιδέα αυτή εµπνεύστηκε αρχικά από τον αρχαιολόγο R.O. Faulkner 5. Ο Waynman Dixon 6, σκέφτηκε πως αντίστοιχοι αγωγοί ίσως να υπάρχουν και στον θάλαµο της βασίλισσας. Έψαξε για κοιλότητες κτυπώντας τους τοίχους, και -χρησιµοποιώντας ένα σφυρί και ένα καλέµι- ανακάλυψε δύο κρυµµένους αγωγούς. Στον βορινό µάλιστα βρέθηκαν τρία περίεργα αντικείµενα, το ένα µάλιστα ξύλινο, που υπήρχαν εκεί σφραγισµένα από την εποχή που κτίστηκε η πυραµίδα. Για άγνωστους λόγους, το ξύλινο κοµµάτι δεν κατέληξε σε κάποιο µουσείο και δεν χρονολογήθηκε ποτέ, γεγονός πολύ περίεργο µιας και ήταν το µοναδικό οργανικό στοιχείο εντός της πυραµίδας. Η χρησιµότητα τους παραµένει άγνωστη µέχρι 8

9 σήµερα, αν και πιθανότατα έχουν συµβολικό χαρακτήρα και µπορεί να χρησιµοποιούνταν σε κάποιο τελετουργικό. Τον 20 ο αιώνα έχουν γίνει διάφορες επιστηµονικές µελέτες στην µεγάλη πυραµίδα για να ελεγθεί εάν υπάρχουν κρυµµένοι θάλαµοι. Η χρήση ραντάρ και έρευνες µε µέτρηση της κοσµικής ακτινοβολίας, έχουν φέρει στο φως ορισµένες ανωµαλίες, αφήνοντας ανοικτό το ενδεχόµενο νέων ανακαλύψεων. Η πιο ενδιαφέρουσα όµως έγινε πριν µερικά χρόνια. Οι αγωγοί αυτοί ερευνήθηκαν διεξοδικά από τον Γερµανό µηχανικό Rudolf Gantenbrink (2003), ο οποίος είχε προσληφθεί για να βελτιώσει τον αερισµό της πυραµίδας. Εξερεύνησε τους αγωγούς µε ένα ροµποτάκι, το Upuaut, που θυµίζει το Pathfinder, εξοπλισµένο µε µια µικρή κάµερα, και έφτασε το 1993 σε αυτό που πολλοί θεωρούν τη µεγαλύτερη αρχαιολογική ανακάλυψη που έγινε τις τελευταίες δεκαετίες. Η κάµερα έδειξε ένα τοιχαλάκι µε 2 χάλκινα πώµατα, και ξεσήκωσε θύελλα στην αρχαιολογική κοινότητα διότι πιθανό να είναι πορτάκι προς ένα κρυµµένο µέχρι τώρα θάλαµο. Στον άλλο αγωγό βρέθηκε ένα ακόµη κοµµάτι ξύλου, το οποίο δεν έχει φτάσει ακόµη στα χέρια των αρχαιολόγων και παραµένει εκεί µέχρι και σήµερα Μια πολύ ενδιαφέρουσα θεωρία έχει προταθεί από τον µηχανικό Robert Bauval, ο οποίος παρατήρησε πως η χωροθέτηση των τριών πυραµίδων µοιάζει έντονα µε την ουρανογραφική θέση των τριών αστεριών της ζώνης του Ωρίωνα. Πράγµατι, πόσοι διαφορετικοί τρόποι υπάρχουν να κτιστούν τρεις πυραµίδες µαζί; Είτε παρατεταγµένες σε µια ευθεία, είτε διαγώνια, είτε στις κορυφές ενός ορθογώνιου τριγώνου. Η συγκεκριµένη διάταξη δεν έχει κάποια συγκεκριµένη αιτία ύπαρξης εάν εξαιρέσει κανείς τη δουλειά του John Legon (2003). Η θεωρία αυτή έχει δηµοσιευθεί στο Discussions in Egyptology και ο ίδιος την περιγράφει εκτενώς στο βιβλίο του. Βασιζόµενος σε µετρήσεις του Gantenbrink (2003), υποστηρίζει πως οι δύο αγωγοί στο θάλαµο της βασίλισσας σκόπευαν στον Σείριο και στον Kochab. Ενώ είναι γνωστό πως ο Σείριος ήταν τεράστιας σηµασίας αστέρι για τους αρχαίους Αιγυπτίους της 4 ης δυναστείας και ταυτιζόταν µε τη θεά Ίσιδα 7, το ίδιο δεν µοιάζει εκ πρώτης όψεως να συµβαίνει και µε τον Ωρίωνα. Μέχρι και σήµερα µαίνεται µια θεολογική διαµάχη µεταξύ του Bauval και των αντιπάλων του, για το εάν ο Ωρίωνας ήταν γνωστός στους αρχαίους κτίστες, εάν ήταν για αυτούς ένα ή περισσότερα αστέρια, καθώς και για το εάν η πυραµίδα είναι αστρικό η ηλιακό σύµβολο. Η διαµάχη βασίζεται στις διαφορετικές ερµηνείες των λεγόµενων «Κειµένων των Πυραµίδων» (Pyramid Texts), ιερογλυφυκών κειµένων που αναφέρονται στη µετάβαση της ψυχής του φαραώ στον ουρανό και βρέθηκαν σε µεταγενέστερες πυραµίδες. Η θεωρία του Bauval, βρίσκει υποστηρικτές πολλούς αστρονόµους και έχει λίγους αλλά παραταύτα σηµαντικούς φίλους στην κοινότητα των Αιγυπτιολόγων. Άλλοι σηµαντικοί αντίλογοι είναι πως για να κάνει τον παραλληλισµό, έχει αναστρέψει τον Ωρίωνα, και έχει δώσει καθαρά αστρικό χαρακτήρα στις πυραµίδες. Πολλοί είναι εκείνοι που απορρίπτουν την ιδέα πως η λειτουργία των αγωγών ήταν να σκοπεύουν σε συγκεκριµένα αστέρια. Ο ίδιος µε τακτικά άρθρα του απαντά σε αυτούς τους ισχυρισµούς µέχρι και σήµερα, και η αντιπαράθεση δεν µοιάζει να τελειώνει. Η θεωρία του βασίζεται όµως και σε άλλα στοιχεία που έχουν να κάνουν µε την ευρύτερη διάταξη στην Γκίζα και καταλήγει στο ότι οι πυραµίδες µεταξύ άλλων, λειτουργούν και σαν δείκτες µιας συγκεκριµένης ηµεροµηνίας, το π.χ. που πιστεύει ότι ήταν η χρονολογία που πίστευαν οι αρχαίοι Αιγύπτιοι ότι ξεκίνησε ο πολιτισµός τους. Επίσης πιστεύει πως η Γκίζα είναι το γήινο ανάλογο του νεκρικού βασιλείου στον ουρανό (Duat), δηλαδή πως είναι η εικόνα του ουρανού προβεβληµένη στη Γή. Η θεωρία του είναι πολύ καλά στοιχειοθετηµένη και γίνεται χρήση σύγχρονων αστρονοµικών προγραµµάτων, όµως επειδή είναι πολύ ανατρεπτική, δεν είναι εύκολο να γίνει αποδεκτή. 9

10 Κλείνοντας, ας θέσουµε στους εαυτούς µας ένα ερώτηµα που θέτει ο Bauval 8 : Τι ήταν αυτό που ανατέθηκε στον αρχιτέκτονα των πυραµίδων; Να σχεδιάσει ένα µνηµείο για να εκφράσει τις αρχές των ιερών µαθηµατικών ή να προµηθεύσει την πυραµίδα µε χαρακτηριστικά που θα εξυπηρετούσαν τη λειτουργία της; Εµείς ασπαζόµαστε και τις δυο υποθέσεις. Πιθανόν όλες οι προαναφερθείσες θεωρίες να έχουν µια δόση της αντικειµενικής αλήθειας, άλλες περισσότερο και άλλες λιγότερο. Έχοντας στο νου τα λόγια του Planck, για να αλλάξουν τα πράγµατα πρέπει να έρθουν 10

11 στο προσκήνιο νέοι άνθρωποι που έχουν µεγαλώσει µε τις επιρροές όλων αυτών των µελετητών, ή η αρχαιολογική σκαπάνη να φέρει κάποτε στο φως τυχαία µια συνταρακτική ανακάλυψη. Μπορούµε όµως να ελπίζουµε και σε µια συντοµότερη εξέλιξη: Στον αραβικό τύπο γράφτηκε πως οι αιγυπτιακές αρχές σκοπεύουν επιτέλους να ολοκληρώσουν τον Νοέµβριο του 2003 την εξερεύνηση των αγωγών στον θάλαµο της βασίλισσας, κάτι για το οποίο όλοι όσοι παρακολουθούν τις εξελίξεις προσµένουν τα τελευταία 10 χρόνια. Ίσως να χυθεί περισσότερο φως σε ένα µυστήριο ηλικίας 4500 ετών, ίσως και όχι. εν µένει παρά να δούµε. Η εργασία αυτή παρουσιάστηκε από τον Άρη ακανάλη στις 16 Σεπτεµβρίου 2003 στο 6 ο Πανελλήνιο Αστρονοµικό Συνέδριο που διοργανώθηκε από την Ελληνική Αστρονοµική Εταιρεία (ΕΛΑΣΕΤ) και από το Ινστιτούτο Αστρονοµίας και Αστροφυσικής (ΙΑΑ), το οποίο έγινε στο Εθνικό Αστεροσκοπείο Αθηνών στην Πεντέλη. Αναφορές [1] Cook R.J. (1992) The Pyramids of Giza, Seven Islands, Glastonbury [2] Bauval, Robert & Gilbert Adrian (1996) The Orion Mystery, Mandarin Paperbacks, London, see plate 15a. Also see his articles on K. Spence at his official website. [3] I.E.S Edwards (1993) The Pyramids of Egypt, Penguin Books, London, p99 [4] Mendelssohn,Kurt (1986) Riddle of the Pyramids, Thames&Husdon, London [5] R.O. Faulkner published this proposal in 1966 at the Journal of Near Eastern Studies vol. 25 [6] I.E.S Edwards (1993) The Pyramids of Egypt, Penguin Books, London, p.104 [7] Pyramid Texts, spells [939,458,632-3,357,929,935,1707,1082-3,1482] [8] Bauval, Robert (1996) The Orion Mystery, Mandarin Paperbacks, London, Appendix 5 Mathematical Astronomy or Astronomical Mathematics? p.283 Ευχαριστίες Στους John Legon και Robert Bauval που είχαν την καλοσύνη να µας επιτρέψουν να χρησιµοποιήσουµε ορισµένα από τα σχέδια και τις εικόνες τους. Βιβλιογραφία 1. Bauval, Robert & Hancock, Graham (1996) The Message of the Sphinx, Three Rivers Press, New York. 2. Bauval, Robert & Gilbert Adrian (1996) The Orion Mystery, Mandarin Paperbacks, London. 11

12 3. Bauval, Robert, (2003) Τhe official website of Robert Bauval, (articles). 4. Chasapis, Constantinos (1963) The Secret of the Cheops Pyramid, publications of the Laboratory of Astronomy, University of Athens, Series I, No Edwards, I.E.S. (1996) The Pyramids of Egypt, Penguin Books, London. 6. Gantenbrink, Rudolph (2003) The official website of Rudolph Gantenbrink. 7. Goodfellow, Stephen (2003) Giza Pyramids; The Vanishing Point. 8. Hancock, Graham (1995) Fingerprints of The Gods, Three Rivers Press, New York. 9. Hancock, Graham, (1998) Heaven s Mirror, Three Rivers Press, New York. 10. Hodges, Peter, How the Pyramids were Built, 1993, Element Books, Worminster 11. Legon, John (2003) Giza Site Plan (official website) Lehner, Mark (2001) The Complete Pyramids, Thames&Hudson Ltd, London. 13. Magli, Giulio (2003) On the astronomical orientation of the IV dynasty Egyptian pyramids and the dating of the second pyramid, Polytechnical University of Milan, department of Mathematics (on Simultaneous Transition Theory). 14. Mendelssohn,Kurt (1986) Riddle of the Pyramids, Thames&Husdon, London. 15. Petrie, W.M.F.(1883) The Pyramids and Temples of Gizeh, Field and Tuer, London. (available at ). 16. Sagan, Carl (1983) Cosmos, Wings Books, New York. 17. Time-Life (1992) Lost Civilizations: Egypt: Land of the Pharaohs, Time-Life books, Virginia. 18. Trimble,Virginia (1964) Astronomical Investigations concerning the so-called Air-Shafts of Cheops Pyramid, Mitteilungen des Institutes für Orientforschung Akademie der Wissenschaften zu Berlin, band x, Heft 2/ West, John (1993) Serpent in the Sky, Quest Books, Wheaton, IL 12

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Πυραμίδες στην Ελλάδα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Πυραμίδες στην Ελλάδα ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Πυραμίδες στην Ελλάδα Oι πυραμίδες που έχουν εντοπιστεί στην Ελλάδα, αποτελούν μοναδικά δείγματα πυραμιδικής αρχιτεκτονικής στον ευρωπαϊκό χώρο. Η μορφή τους, η αρχιτεκτονική τους, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία

Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟ H γενική τάση των κατοίκων της Αιγύπτου στις επιστήμες χαρακτηριζόταν από την προσπάθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΥΡΑΜΙΔΕΣ ΤΗΣ ΓΚΙΖΑΣ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΕΠΤΑ ΘΑΥΜΑΤΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ

ΟΙ ΠΥΡΑΜΙΔΕΣ ΤΗΣ ΓΚΙΖΑΣ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΕΠΤΑ ΘΑΥΜΑΤΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ ΟΙ ΠΥΡΑΜΙΔΕΣ ΤΗΣ ΓΚΙΖΑΣ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΕΠΤΑ ΘΑΥΜΑΤΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ ΟΙ ΠΥΡΑΜΙΔΕΣ ΤΗΣ ΓΚΙΖΑΣ Χτισμένες στη Νεκρόπολη της Γκίζας, μία ανάσα από την πρωτεύουσα της Αιγύπτου, το Κάιρο, αποτελούν το αρχαιότερο

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH TZΕΜΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Α.Μ. 3507 ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH Όλοι γνωρίζουμε ότι η εναλλαγή των 4 εποχών οφείλεται στην κλίση που παρουσιάζει ο άξονας περιστροφής

Διαβάστε περισσότερα

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë Tα βασικά σημεία του μαθήματος Η Γη είναι ένα ουράνιο σώμα, που κινείται συνεχώς στο διάστημα. Το σχήμα της είναι γεωειδές, δηλαδή είναι ελαφρά συμπιεσμένο στις κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1 η ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Συστήματα αστρονομικών συντεταγμένων και χρόνος ΑΣΚΗΣΗ 1 η (α) Να εξηγηθεί γιατί το αζιμούθιο της ανατολής και της δύσεως του Ηλίου σε ένα τόπο,

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΔΡΟΜΕΣ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ. 1 η εκδρομή (21/11/05): Επίσκεψη στο Αστεροσκοπείο.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΔΡΟΜΕΣ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ. 1 η εκδρομή (21/11/05): Επίσκεψη στο Αστεροσκοπείο. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΔΡΟΜΕΣ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ 1 η εκδρομή (21/11/05): Επίσκεψη στο Αστεροσκοπείο. Στόχοι: Οι εκπαιδευόμενοι: Να ενημερωθούν για το σύμπαν. Να παρατηρήσουν τα ουράνια σώματα. Να σκεφτούν -να

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτρης Δαμάσκος Δημήτρης Πλάντζος Πανεπιστημιακή Ανασκαφή Άργους Ορεστικού

Δημήτρης Δαμάσκος Δημήτρης Πλάντζος Πανεπιστημιακή Ανασκαφή Άργους Ορεστικού Δημήτρης Δαμάσκος Δημήτρης Πλάντζος Πανεπιστημιακή Ανασκαφή Άργους Ορεστικού Η ανασκαφή τού 2012 είχε ως στόχους: την περαιτέρω διερεύνηση της στοάς του μεγάλου ρωμαϊκού κτιρίου με τη στοά περιμετρικά

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ

7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ 63 7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ Υπενθυμίζεται ότι αστρονομικό αζιμούθιο Α D μιας διεύθυνσης D, ως προς το σημείο (τόπο) Ο, ονομάζεται το μέτρο της δίεδρης γωνίας που σχηματίζεται μεταξύ του επιπέδου του

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους.

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Νίκος Γ. Τόμπρος Ενότητα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Περιεχόμενα ενότητας Τριγωνομετρικοί οξείας γωνίας αριθμοί Διδακτικοί στόχοι Διδακτικές οδηγίες - επισημάνσεις Πρέπει οι μαθητές να γνωρίζουν:

Διαβάστε περισσότερα

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο.

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο. ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ Η ιστιοπλοΐα ανοιχτής θαλάσσης δεν διαφέρει στα βασικά από την ιστιοπλοΐα τριγώνου η οποία γίνεται με μικρά σκάφη καi σε προκαθορισμένο στίβο. Όταν όμως αφήνουμε την ακτή και ανοιγόμαστε στο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Ακολούθησέ με... στην ακρόπολη των Μυκηνών

Ακολούθησέ με... στην ακρόπολη των Μυκηνών ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ, ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΛΗΡΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΜΟΥΣΕΙΩΝ TMHMA ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Ακολούθησέ με... στην ακρόπολη

Διαβάστε περισσότερα

4.Παρουσίαση των κοινωνικών αναγκών που εξυπηρετεί η έρευνα. 6.Ανάλυση των παραμέτρων που θεωρήθηκε ότι δεν επηρεάζουν τα αποτελέσματα της έρευνας.

4.Παρουσίαση των κοινωνικών αναγκών που εξυπηρετεί η έρευνα. 6.Ανάλυση των παραμέτρων που θεωρήθηκε ότι δεν επηρεάζουν τα αποτελέσματα της έρευνας. Πρόλογος 1.Τίτλος της έρευνας. 2.Παρουσίαση του προβλήματος. 3.Παρουσίαση του σκοπού της έρευνας. 4.Παρουσίαση των κοινωνικών αναγκών που εξυπηρετεί η έρευνα. 5.Διαμωρφωση της υπόθεσης της έρευνας. 6.Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 15 Μαρτίου 2006 1/5 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Ν:6 ο Οι απαρχές των Μαθηματικών Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη εκείνη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 26.02.14 Χ. Χαραλάμπους 14 ο πρόβλημα (βρίσκεται στο Μουσείο Καλών Τεχνών της Μόσχας από το 1893 μ.χ.) «μετάφραση των συμβόλων: Εάν σου πουν: μία κομμένη πυραμίδα με ύψος 6, με βάση

Διαβάστε περισσότερα

Ulrich Rückriem. Σκιές της πέτρας ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΗΜΟΤΙΚΟΥ

Ulrich Rückriem. Σκιές της πέτρας ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΗΜΟΤΙΚΟΥ Ulrich Rückriem Σκιές της πέτρας ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΗΜΟΤΙΚΟΥ Το Εθνικό Μουσείο Σύγχρονης Τέχνης επιχορηγείται από το Υπουργείο Πολιτισµού Eκπαιδευτικό Πρόγραµµα για Μαθητές ηµοτικού Οργάνωση

Διαβάστε περισσότερα

7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ

7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ 61 7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ Υπενθυμίζεται ότι αστρονομικό αζιμούθιο Α D μιας διεύθυνσης D, ως προς το σημείο (τόπο) Ο, ονομάζεται το μέτρο της δίεδρης γωνίας που σχηματίζεται μεταξύ του επιπέδου του

Διαβάστε περισσότερα

1o ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΩΚΕΑΝΩΝ» Χάρτες: Προσδιορισμός θέσης

1o ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΩΚΕΑΝΩΝ» Χάρτες: Προσδιορισμός θέσης 1o ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΩΚΕΑΝΩΝ» Χάρτες: Προσδιορισμός θέσης Απαραίτητο όλων των ωκεανογραφικών ερευνών και μελετών Προσδιορισμός θέσης & πλοήγηση σκάφους Σε αυτό το εργαστήριο.. Τι περιλαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΛΕΥΚΟΣ ΠΥΡΓΟΣ Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΣΤΟ ΠΕΡΑΣΜΑ ΤΩΝ ΑΙΩΝΩΝ

ΛΕΥΚΟΣ ΠΥΡΓΟΣ Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΣΤΟ ΠΕΡΑΣΜΑ ΤΩΝ ΑΙΩΝΩΝ ΛΕΥΚΟΣ ΠΥΡΓΟΣ Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΣΤΟ ΠΕΡΑΣΜΑ ΤΩΝ ΑΙΩΝΩΝ Μια πολύπαθη Ιστορία κουβαλάει στους πέτρινους τοίχους του το κατ εξοχήν σύμβολο της Θεσσαλονίκης. Ο Λευκός Πύργος της Θεσσαλονίκης είναι ένας Πύργος

Διαβάστε περισσότερα

ΦΕ1. Περιεχόμενα. Η φυσική. Υπόθεση και φυσικό μέγεθος

ΦΕ1. Περιεχόμενα. Η φυσική. Υπόθεση και φυσικό μέγεθος Περιεχόμενα ΦΕ1 ΤΑ ΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΚΑΙ Η ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥΣ ΤΟ ΜΗΚΟΣ 2015-16 6 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΘΗΝΑΣ Τα φυσικά μεγέθη Η Μέτρηση των φυσικών μεγεθών Μια μονάδα μέτρησης για όλους Το φυσικό μέγεθος Μήκος Όργανα μέτρησης

Διαβάστε περισσότερα

Πειραματική μελέτη λεπτών σφαιρικών φακών

Πειραματική μελέτη λεπτών σφαιρικών φακών Πειραματική μελέτη λεπτών σφαιρικών φακών Τάξη - Τµήµα: Ονόµατα µαθητών οµάδας: ) 2).. 3) 4) Πειραματική μελέτη λεπτών σφαιρικών φακών Στόχοι της εργαστηριακής άσκησης ) Μέτρηση των γεωµετρικών χαρακτηριστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΥΚΗΝΑΪΚΗ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ

ΜΥΚΗΝΑΪΚΗ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΜΥΚΗΝΑΪΚΗ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Εισαγωγικά: ΟΡΙΣΜΟΣ: Με τον όρο μυκηναϊκός πολιτισμός χαρακτηρίζεται ο προϊστορικός πολιτισμός της ΎστερηςΕποχήςτουΧαλκούαπότο1600-1100 π. Χ. που αναπτύχθηκε κυρίως στην κεντρική

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου. ρ. Σ.Πατσιοµίτου

Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου. ρ. Σ.Πατσιοµίτου Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου ρ. Σ.Πατσιοµίτου Το ορθό πρίσµα και τα στοιχεία του Στη Στερεοµετρία τα παρακάτω στερεά σώµατα ονοµάζονται ορθά πρίσµατα. Οι δύο παράλληλες έδρες του λέγονταιβάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό.

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Αρχιμήδης ο Συρακούσιος Ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας και από τους μεγαλύτερους όλων των εποχών. Λέγεται ότι υπήρξε μαθητής του Ευκλείδη, ότι ταξίδεψε στην Αίγυπτο, σπούδασε στην Αλεξάνδρεια

Διαβάστε περισσότερα

Έκλειψη Ηλίου 20ης Μαρτίου 2015

Έκλειψη Ηλίου 20ης Μαρτίου 2015 Έκλειψη Ηλίου 20ης Μαρτίου 2015 Πληροφοριακό υλικό Κέντρο Επισκεπτών Ινστιτούτο Αστρονομίας Αστροφυσικής Διαστημικών Εφαρμογών και Τηλεπισκόπησης (ΙΑΑΔΕΤ) Εθνικό Αστεροσκοπείο Αθηνών Την Παρασκευή 20 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

Β. ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ

Β. ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ Α. Μια σύντοµη περιγραφή της εργασίας που εκπονήσατε στο πλαίσιο του µαθήµατος της Αστρονοµίας. Β. ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ Για να απαντήσεις στις ερωτήσεις που ακολουθούν αρκεί να επιλέξεις την ή τις σωστές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗ ΚΟΙΜΗΤΗΡΙΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΡΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗ ΚΟΙΜΗΤΗΡΙΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΡΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗ ΚΟΙΜΗΤΗΡΙΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΡΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το δημοτικό κοιμητήριο της Βάρης βρίσκεται στη θέση «Ασύρματος» της Δημοτικής Ενότητας Βάρης του Δήμου Βάρης Βούλας Βουλιαγμένης.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΜΠΟΥΜ ΜΕ ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΧΡΟΝΟΥ

ΑΛΜΠΟΥΜ ΜΕ ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΧΡΟΝΟΥ ΑΛΜΠΟΥΜ ΜΕ ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΧΡΟΝΟΥ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΛΙΑΤΟΣ Β 3 ΛΑΡΙΣΑ 2008 Τα Όργανα Μέτρησης Του Χρόνου Αστρολάβος Ο αστρολάβος είναι αρχαίο αστρονομικό όργανο που χρησιμοποιούνταν για να παρατηρηθούν τα αστέρια

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Οι µαύρες τρύπες είναι ουράνια σώµατα σαν όλα τα άλλα, όπως οι πλανήτες και ο ήλιος, τα οποία όµως διαφέρουν από αυτά σε µία µικρή αλλά θεµελ

Εισαγωγή Οι µαύρες τρύπες είναι ουράνια σώµατα σαν όλα τα άλλα, όπως οι πλανήτες και ο ήλιος, τα οποία όµως διαφέρουν από αυτά σε µία µικρή αλλά θεµελ ιαθεµατική Εργασία µε Θέµα: Οι Φυσικές Επιστήµες στην Καθηµερινή µας Ζωή Τµήµα: Β 2 Γυµνασίου Υπεύθυνος Καθηγητής: Παζούλης Παναγιώτης Συντακτική Οµάδα: Πάνου Μαρία, Πάνου Γεωργία 1 Εισαγωγή Οι µαύρες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Εκφράζω προς όλους τις θερμές ευχαριστίες μου για την συνεργασία και την βοήθειά τους στην προετοιμασία του τεύχους αυτού.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Εκφράζω προς όλους τις θερμές ευχαριστίες μου για την συνεργασία και την βοήθειά τους στην προετοιμασία του τεύχους αυτού. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το τεύχος αυτό περιέχει τα βασικά στοιχεία της Γεωδαιτικής Αστρονομίας (Geodetic Astronomy) που είναι αναγκαία στους φοιτητές της Σχολής Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών του Ε.Μ.Πολυτεχνείου

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 29.02.12 Χ. Χαραλάμπους Ο πάπυρος του Rhind---Ahmes 81 από αυτά τα προβλήματα έχουν λύσεις που αναφέρονται σε κλασματικές ποσότητες Πρόβλημα 3, π. του Rhind: «να διαιρέσεις 6 φραντζόλες

Διαβάστε περισσότερα

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων. Βαρβιτσιώτης Ιωάννης Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Μάιος 2015

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων. Βαρβιτσιώτης Ιωάννης Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Μάιος 2015 Κατακόρυφη πτώση σωμάτων Βαρβιτσιώτης Ιωάννης Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Μάιος 2015 Α. Εισαγωγή Ερώτηση 1. Η τιμή της μάζας ενός σώματος πιστεύετε ότι συνοδεύει το σώμα εκ κατασκευής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Η Φυσική Γεωγραφία εξετάζει: τον γήινο

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος ΑΗ έτσι ώστε: 1 και εφγ = 3

2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος ΑΗ έτσι ώστε: 1 και εφγ = 3 Προβλήµατα 1. Να κατασκευάσετε µια γωνία xαy, γνωρίζοντας ότι: 3 α) εφ xay = 5 β) συν xay = 0,8 γ) ηµ xay = 0,4 2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7 4. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α.

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 014-015 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν

Διαβάστε περισσότερα

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89...

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89... ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ: Β ΜΕΡΟΣ 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89... Οι παραπάνω αριθμοί ονομάζονται Ακολουθία Fibonacci το άθροισμα των 2 προηγουμένων αριθμών ισούται με τον επόμενο αριθμό στην ακολουθία. Το πηλίκο τον

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι:

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: ΗΛΙΑΚΑ ΩΡΟΛΟΓΙΑ Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: Οριζόντια Κατακόρυφα Ισημερινά Το παρακάτω άρθρο αναφέρεται στον τρόπο λειτουργίας αλλά και κατασκευής

Διαβάστε περισσότερα

e-learning στην Αρχαιοαστρονομία (Επίδραση αστρονομίας στους πολιτισμούς και Εκμάθηση ψηφιακών τεχνικών)

e-learning στην Αρχαιοαστρονομία (Επίδραση αστρονομίας στους πολιτισμούς και Εκμάθηση ψηφιακών τεχνικών) (σύντομα δημοσιοποιούνται τα νέα Πιστοποιημένα Προγράμματα δια βίου του Παν/μιου Αιγαίου στο https://e-epimorfosi.aegean.gr. Σας προωθούμε εκ των προτέρων ενημέρωση σχετικά με το πρόγραμμά μας) e-learning

Διαβάστε περισσότερα

15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο

15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο 15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο 1.- Από τα πρώτα σχολικά µας χρόνια µαθαίνουµε για το πλανητικό µας σύστηµα. Α) Ποιος είναι ο πρώτος και

Διαβάστε περισσότερα

Είναι αυτή η πρώτη πόλη της υτικής Ευρώπης;

Είναι αυτή η πρώτη πόλη της υτικής Ευρώπης; Είναι αυτή η πρώτη πόλη της υτικής Ευρώπης; Μέρος της οχύρωσης Οι αρχαιολογικές ανασκαφές που διενεργούνται στην περιοχή της La Bastida (Totana, Murcia στην Ισπανία) έχουν αποκαλύψει ένα επιβλητικό οχυρωματικό

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΤΗΣ ΚΥΠΡΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΤΗΣ ΚΥΠΡΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΤΗΣ ΚΥΠΡΟΥ Ιερό Αφροδίτης Π α ν α γ ι ώ τ η ς Ν ε ο φ ύ τ ο υ Β 2 Υπεύθυνη καθηγήτρια: Μαρία Χατζημιχαήλ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Γενική Εισαγωγή..σελ.3 Ιστορική αναδρομή..σελ.3 Περιγραφή του χώρου.σελ.4

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Βασίλης Καραγιάννης Η παρέμβαση πραγματοποιήθηκε στα τμήματα Β2 και Γ2 του 41 ου Γυμνασίου Αθήνας και διήρκησε τρεις διδακτικές ώρες για κάθε τμήμα. Αρχικά οι μαθητές συνέλλεξαν

Διαβάστε περισσότερα

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ»

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Τμήμα 5 ης -6 ης Δημοτικού Σάββατο, 27 Οκτωβρίου 2012 Θαλής ο Μιλήσιος 630/635 π.χ. 543 π.χ. Ο πρώτος φιλόσοφος! Ο Θαλής ο Μιλήσιος ανήκει στους προσωκρατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Απόστολος Ντάνης. Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής

Δρ. Απόστολος Ντάνης. Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής Δρ. Απόστολος Ντάνης Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής *Βασικές μορφές προσανατολισμού *Προσανατολισμός με τα ορατά σημεία προορισμού στη φύση *Προσανατολισμός με τον ήλιο *Προσανατολισμός από τη σελήνη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Σταυρούλα Πατσιομίτου

Σταυρούλα Πατσιομίτου Αριστοτέλους Μεταφυσικά 1078 α 30 Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr Σ υνδέονται τα Μαθηματικά με την Αισθητική, με την Τέχνη, με την Τεχνολογία. Πόσο σημαντικό είναι να γνωρίζουμε την Ιστορία τους;

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΗΣ ΓΗΣ

ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΗΣ ΓΗΣ Χαρτογραφία Ι 1 Το σχήμα και το μέγεθος της Γης [Ι] Σφαιρική Γη Πυθαγόρεια & Αριστοτέλεια αντίληψη παρατηρήσεις φυσικών φαινομένων Ομαλότητα γεωμετρικού σχήματος (Διάμετρος

Διαβάστε περισσότερα

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του 1. Υπάρχει αριθµός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Αµφίπολη: Βρέθηκε σκελετός σε τάφο κάτω από τον τρίτο θάλαµο

Αµφίπολη: Βρέθηκε σκελετός σε τάφο κάτω από τον τρίτο θάλαµο Νοέµβριος 12 2014 13:20 Αµφίπολη: Βρέθηκε σκελετός σε τάφο κάτω από τον τρίτο θάλαµο Τι ανακοίνωσε το υπουργείο Πολιτισµού για τις ανασκαφικές εργασίες στον τάφο της Αµφίπολης. Τι έδειξαν οι ανασκαφές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής Πανεπιστήµιο Κύπρου Χρήστος Παντσίδης Παναγιώτης Σπύρου Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΓΑΛΗ ΑΡΚΤΟΣ. Τα κυριότερα αντικείμενα της Μ. Άρκτου ALIOTH. Μπλε γίγαντας ορατός με γυμνό μάτι. Απόσταση : 82 ε.φ. Διάμετρος : 6 εκ. χιλιόμετρα.

Η ΜΕΓΑΛΗ ΑΡΚΤΟΣ. Τα κυριότερα αντικείμενα της Μ. Άρκτου ALIOTH. Μπλε γίγαντας ορατός με γυμνό μάτι. Απόσταση : 82 ε.φ. Διάμετρος : 6 εκ. χιλιόμετρα. Αστρονομία Μπιρσιάνης Γιώργος Η ΜΕΓΑΛΗ ΑΡΚΤΟΣ Τα κυριότερα αντικείμενα της Μ. Άρκτου ALIOTH Μπλε γίγαντας ορατός με γυμνό μάτι. Απόσταση : 82 ε.φ. Διάμετρος : 6 εκ. χιλιόμετρα. Λαμπρότητα : 100 φορές τη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : Ι. ΖΑΧΑΡΙΑΣ ΑΓΡΙΝΙΟ, 2015 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22. ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α.

2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22. ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α. Θέµατα & Ασκήσεις από: www.arnos.gr 2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22 ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σύµφωνα µε τη θεωρία του εµπειρισµού

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο Ο Γνώμονας, ένα απλό αστρονομικό όργανο και οι χρήσεις του στην εκπαίδευση Σοφία Γκοτζαμάνη και Σταύρος Αυγολύπης Ο Γνώμονας Ο Γνώμονας είναι το πιο απλό αστρονομικό όργανο και το πρώτο που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ. Πέτρου Αναστασία. Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Αργύρη Παναγιώτα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ. Πέτρου Αναστασία. Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Αργύρη Παναγιώτα ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Πέτρου Αναστασία Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Αργύρη Παναγιώτα ΑΘΗΝΑ 2013 Ο Πυθαγόρας (586 500 π.χ.) του Μνησάρχου και της «ωραίας υπέρ φύσιν» Πυθαϊδος γεννήθηκε στη Σάμο. Μικρός επισκέφθηκε τους Δελφούς,

Διαβάστε περισσότερα

Αφροδίτη, Κρόνος, Ερμής, Ουρανός, Δίας, Ποσειδώνας, Άρης

Αφροδίτη, Κρόνος, Ερμής, Ουρανός, Δίας, Ποσειδώνας, Άρης Αφροδίτη, Κρόνος, Ερμής, Ουρανός, Δίας, Ποσειδώνας, Άρης Το χρώμα της Αφροδίτη είναι κίτρινο προς κόκκινο. Το μέγεθός της είναι 9,38-10 χλ. Η απόσταση από τη γη είναι 41.400.000 χλ. Δεν είναι αρκετή απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική Εργασία µε. Ζωγραφική και Μαθηµατικά

Ερευνητική Εργασία µε. Ζωγραφική και Μαθηµατικά Ερευνητική Εργασία - Ζωγραφική και Μαθηµατικά Ηλίας Νίνος Ερευνητική Εργασία µε θέµα: Μαθηµατικά και Τέχνη Υποθέµα: Μαθηµατικά και Ζωγραφική Οµάδα: Μαρία Βαζαίου- Ηρώ Μπρούφα- Μαθηµατικά εννοούµε την επιστήµη

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΒΛΙΟ ΕΚΑΤΟ ΒΑΘΙΕΣ ΛΑΚΕΣ

ΒΙΒΛΙΟ ΕΚΑΤΟ ΒΑΘΙΕΣ ΛΑΚΕΣ ΒΙΒΛΙΟ ΕΚΑΤΟ ΒΑΘΙΕΣ ΛΑΚΕΣ Του Αντιστρατήγου ε.α. Παναγιώτη Πανταζή. Στις Βαθιές Λάκες βρέθηκαν σηµαντικότατα ευρήµατα, τα οποία θεωρείται σκόπιµο να παρουσιασθούν και να αναλυθούν. Τα ευρήµατα αυτά είναι

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. 5 Συστήματα συντεταγμένων

Κεφάλαιο 5. 5 Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο 5 5 Συστήματα συντεταγμένων Στις Γεωεπιστήμες η μορφή της γήινης επιφάνειας προσομοιώνεται από μια επιφάνεια, που ονομάζεται γεωειδές. Το γεωειδές είναι μια ισοδυναμική επιφάνεια του βαρυτικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

2. Η ΑΙΓΥΠΤΟΣ (Σελ )

2. Η ΑΙΓΥΠΤΟΣ (Σελ ) 2. Η ΑΙΓΥΠΤΟΣ (Σελ. 20-23) 2.1. Η Χώρα. Νείλος : Πηγές από Αιθιοπία και δέλτα. Δυτικά : Η Λιβυκή έρημος. Ανατολικά : Η έρημος του Σινά έως Ερυθρά Θάλασσα. Λάσπη Ευφορία. Άνω Αίγυπτος-Κάτω Αίγυπτος. 2.2.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ. www.meteo.gr - 1 -

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ. www.meteo.gr - 1 - ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ H Γη είναι ένας πλανήτης από τους οκτώ συνολικά του ηλιακού μας συστήματος, το οποίο αποτελεί ένα από τα εκατοντάδες δισεκατομμύρια αστρικά συστήματα του Γαλαξία μας, ο οποίος με την

Διαβάστε περισσότερα

Θυμάμαι σαν χθες (παρόλου που πέρασαν μερικά χρονάκια) τον Μαθηματικό μας, να μας λέει με δυνατή και σοβαρή φωνή:

Θυμάμαι σαν χθες (παρόλου που πέρασαν μερικά χρονάκια) τον Μαθηματικό μας, να μας λέει με δυνατή και σοβαρή φωνή: Τουρναβίτης Στέργιος Eπαναληπτικές ασκήσεις Γεωμετρίας Β Γυμνασίου Θυμάμαι σαν χθες (παρόλου που πέρασαν μερικά χρονάκια) τον Μαθηματικό μας, να μας λέει με δυνατή και σοβαρή φωνή: «Ένα καλό σχήμα σε άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΥΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΙΣΟΥΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 16_10_2012 ΙΣΟΥΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 2.1 Απεικόνιση του ανάγλυφου Μια εδαφική περιοχή αποτελείται από εξέχουσες και εισέχουσες εδαφικές μορφές. Τα εξέχοντα εδαφικά τμήματα βρίσκονται μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή 1 ΙΝΥΣΜΤ Εισαγωγή Το διάνυσμα είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα έννοιας που αναπτύχθηκε μέσα από τη στενή αλληλεπίδραση Μαθηματικών και Φυσικής. κανόνας του παραλληλόγραμμου, σύμφωνα με τον οποίο το

Διαβάστε περισσότερα

β. Πιο κάτω από τη βάση τοποθετούμε το εστιακό σημείο του παρατηρητή, σε κάτοψη.

β. Πιο κάτω από τη βάση τοποθετούμε το εστιακό σημείο του παρατηρητή, σε κάτοψη. Προβολές σε άλλα επίπεδα - Προοπτικές απεικονίσεις Μπορεί να γίνει προβολή ως προς σημείο το οποίο μπορεί να είναι το ανθρώπινο μάτι, ή ακριβέστερα το εστιακό σημείο του ανθρώπινου ματιού: Η απεικόνιση

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Χάρτινες Ιστορίες. «...ανέφερα εγγράφως...» Διάρκεια Έκθεσης:

Χάρτινες Ιστορίες. «...ανέφερα εγγράφως...» Διάρκεια Έκθεσης: Χάρτινες Ιστορίες Ένα εκπαιδευτικό πρόγραµµα για µαθητές και µαθήτριες του γυµνασίου µε αφορµή την έκθεση «...ανέφερα εγγράφως...» «...ανέφερα εγγράφως...» ΘΗΣΑΥΡΟΙ ΤΟΥ ΙΣΤΟΡΙΚΟΥ ΑΡΧΕΙΟΥ ΤΗΣ ΑΡΧΑΙΟΛΟΓΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ένα παιχνίδι των πολυγώνων

Ένα παιχνίδι των πολυγώνων Ένα παιχνίδι των πολυγώνων Το παιγνίδι αυτό, αναπτύχθηκε στα πλαίσια του μαθήματος πληροφορικής της Γ τάξης, στην ενότητα που αφορά στο σχεδιασμό πολυγώνων, απ όλα τα παιδιά, της Γ τάξης του σχολείου μας.

Διαβάστε περισσότερα

Ερµηνεία Τοπογραφικού Υποβάθρου στη Σύνταξη και Χρήση Γεωλoγικών Χαρτών

Ερµηνεία Τοπογραφικού Υποβάθρου στη Σύνταξη και Χρήση Γεωλoγικών Χαρτών ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ Επιµέλεια: ηµάδη Αγόρω Ερµηνεία Τοπογραφικού Υποβάθρου στη Σύνταξη και Χρήση Γεωλoγικών Χαρτών ΙΣΟΫΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ: είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έλλειψης

Μεθοδολογία Έλλειψης Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση

Διαβάστε περισσότερα

8. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛΑΤΟΥΣ

8. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛΑΤΟΥΣ 69 8. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛΑΤΟΥΣ 8.1 Εισαγωγή Υπενθυμίζεται ότι το αστρονομικό πλάτος ενός τόπου είναι η γωνία μεταξύ της διεύθυνσης της κατακορύφου του τόπου και του επιπέδου του ουράνιου Ισημερινού. Ο προσδιορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Η ΒΑΣΙΛΙΚΗ «ΑΓ. ΣΟΦΙΑ» Η ΝΕΚΡΟΠΟΛΗ

Η ΒΑΣΙΛΙΚΗ «ΑΓ. ΣΟΦΙΑ» Η ΝΕΚΡΟΠΟΛΗ Η ΒΑΣΙΛΙΚΗ «ΑΓ. ΣΟΦΙΑ» Η ΝΕΚΡΟΠΟΛΗ Η ΒΑΣΙΛΙΚΗ «ΑΓ. ΣΟΦΙΑ» Η ΝΕΚΡΟΠΟΛΗ Η σημερινή βασιλική «Αγ. Σοφία» βρίσκεται στο κέντρο της κύριας νεκρόπολης της αρχαίας πόλης Σέρντικα. Σ αυτή την περιοχή έχουν ανακαλυφθεί

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση Παραμετρική σχεδίαση Παραμετρικό αντικείμενο (2D σχήμα/3d στερεό) ονομάζουμε το αντικείμενο του οποίου η (γεωμετρική)

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

8 ο ΛΥΚΕΙΟΠΑΤΡΩΝ Όνοµαοµάδας : AVEC Ονόµαταµελών : ΑνδρικοπούλουΚωνσταντίνα, ΑβραµοπούλουΝικολέτα, ΜίντζαΕρµιόνη, Παπακωστοπούλου Βασιλική Όνοµα

8 ο ΛΥΚΕΙΟΠΑΤΡΩΝ Όνοµαοµάδας : AVEC Ονόµαταµελών : ΑνδρικοπούλουΚωνσταντίνα, ΑβραµοπούλουΝικολέτα, ΜίντζαΕρµιόνη, Παπακωστοπούλου Βασιλική Όνοµα 8 ο ΛΥΚΕΙΟΠΑΤΡΩΝ Όνοµαοµάδας : AVEC Ονόµαταµελών : ΑνδρικοπούλουΚωνσταντίνα, ΑβραµοπούλουΝικολέτα, ΜίντζαΕρµιόνη, Παπακωστοπούλου Βασιλική Όνοµα υπεύθυνου τµήµατος : Γλαρού Άννα ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟ ΣΤΗΝ

Διαβάστε περισσότερα

α) f(x(t), y(t)) = 0,

α) f(x(t), y(t)) = 0, Ρητές καμπύλες Μια επίπεδη αλγεβρική καμπύλη V (f) είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου K 2 που μηδενίζουν κάποιο συγκεκριμένο ανάγωγο πολυώνυμο f K[x, y], δηλαδή V (f) = {(x 0, y 0 ) K 2 f(x

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα

Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα [ 1 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα Νικόλαος Στυλιανόπουλος Ηµερίδα Ιστορία των Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κύπρου Νοέµβριος 2016 [ 2 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου υσκολίες

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Tοπογραφικά Σύμβολα. Περιγραφή Χάρτη. Συνήθως στους χάρτες υπάρχει υπόμνημα με τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται. Τα πιο συνηθισμένα είναι τα εξής:

Tοπογραφικά Σύμβολα. Περιγραφή Χάρτη. Συνήθως στους χάρτες υπάρχει υπόμνημα με τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται. Τα πιο συνηθισμένα είναι τα εξής: Tοπογραφικά Σύμβολα Συνήθως στους χάρτες υπάρχει υπόμνημα με τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται. Τα πιο συνηθισμένα είναι τα εξής: Κεντρική Αρτηρία Ρέμα Δευτερεύουσα Αρτηρία Πηγάδι Χωματόδρομος Πηγή Μονοπάτι

Διαβάστε περισσότερα