פתרון תרגיל דוגמא מרחב המדגם הוא כל הקומבינציות של 20 חודשי הולדת. לכל ילד 12 אפשרויות,לכן. לכן -

Transcript

1 פתרון תרגיל דוגמא מרחב המדגם הוא כל הקומבינציות של 0 חודשי הולדת לכל ילד אפשרויות,לכן לכן - 0 A 0 מספר קומבינציות שלא מכילות את חודש תשרי הוא A) המאורע המשלים ל- B הוא "אף תלמיד לא נולד באחד מהחודשים אב/אלול", לכן - C i 0 B) B) כדי לחשב את הסת' המאורע יש לבחור חודש עבור תלמיד i )שתי אפשרויות(, ואז לבחור חודש עבור כל אחד מ- 9 התלמידים האחרים )לכל אחד 0 אפשרויות( מכאן - C) C ) C 0 0 ) ג 6! A ) A ) A )שלושת המאורעות הם שווי הסתברות( א )!! )P A3 B )שלושת המאורעות הם שווי ) A B ) A B ב )! 6 הסתברות( A B ) ( A B ) A B ) A B ) 6 )שני המאורעות באיחוד זרים( Ω = 000 ) ספרת העשרות היא ( 9 = A א ב 6 מדגם עם החזרה בגודל 3 מתוך אוכלוסיה בגודל 0 0( אפשרויות לספרת האחדות ו 0 אפשרויות לספרת המאות ) 0^ = A A) = A / Ω = / 0

2 א) ב) ג) B = ( B c = ( ג ) אין את הספרה 9 במספר ) יש את הספרה 9 במספר לפחות פעם אחת B c = 999 B c ) = 09 B) = B c ) = 0 ) כל הספרות זהות ( = C C = 0 C) = 0 / 000 = 00 ד ה ) ספרת העשרות גדולה מספרת האחדות ( = D אפשרויות לספרת העשרות: 9 אפשרויות לספרת האחדות: 0 עד ספרת העשרות פחות אחד אם ספרת העשרות היא אז יש אפשרות אחת לספרת האחדות אם ספרת העשרות היא אז יש אפשרות אחת לספרת האחדות סה"כ מספר האפשרויות לבחור את ספרת האחדות וספרת האחדות הוא = D = 0 D) = 0 / 000 = 0 ו מדגם סדור ללא החזרות בגודל 3 מתוך אוכלוסיה בגודל 0 ) Ω = 098 = 0 A = 9 8 A) = 0 ) ) קיימת הספרה 9 במספר ( = B B = )3 אפשרויות למיקום של הספרה 9 ו 89 אפשרויות לספרות האחרות ) )

3 ד) ה) B) = 03 ) C = 0 C) = 0 ) כמו במקרה של דגימה עם החזרה, יש אפשרויות לבחור את ספרת העשרות וספרת האחדות כך שספרת העשרות גדולה מספרת האחדות D = 8 D) = 0 אפשרויות לספרת המאות - 8 )9 אפשרויות לספרה הראשונה כי "אסור לה" להיות 0, ו- 0 אפשרויות ראשית, 90 א לכל אחת מ- הספרות האחרות( כמובן שמדובר במרחב סימטרי כל התוצאות שוות הסתברות 9 9 תוצאות מתאימות כאן ) אפשרויות לבחירת מיקום ל- 0, ולכל אפשרות כזו אפשריות של שאר ספרות המספר( לכן ההסתברות היא 038 בחירות , ולכן ההסתברות המבוקשת היא 90 ב ניעזר במשלים ההסתברות ש- 0 לא יופיע היא ג ההסתברות שהספרה לא מופיעה כלל: 89 )במקום הראשון לא מופיע לא 0 ולא ( 90 ההסתברות שהספרה מופיעה פעם אחת בדיוק: אם היא בקצה השמאלי יש 9 אפשרויות אם לא יש אפשרויות לבחירת המיקום שלה, 8 אפשרויות לבחור את הספרה הראשונה, )לא 89 מקבלים 0 ולא ( ולכל אחד מ- המקומות הנותרים 9 אפשרויות סה"כ ההסתברות שהספרה מופיעה פעם אחת בדיוק 90 מכאן, ההסתברות שהספרה מופיעה לפחות פעמיים:

4 A B) ד נגדיר: A הספרה 0 לא מופיעה, B הספרה לא מופיעה אנו רוצים לחשב את A B) A B) A B) A) B) A B) A B), A), B) 0 נציב ונקבל AB) 0 9! 0! תהי קבוצת הסידורים האפשריים של המפתחות אז ומתוכם ב- המפתח 9! p באותו אופן, קל לראות 0! 0 8 המתאים ראשון כלומר הסיכוי שיצליח בניסיון הראשון הוא 0 שהסיכוי להצליח בכל אחד מהניסיונות הוא אם שמעון כל כך שיכור, אזי בכל ניסיון ההסתברות שלא יצליח היא במשךn שלבים היא 09 והסיכוי שלא יצליח 09 n ולכן כאשר n שואף לאינסוף נקבל כי הסיכוי יהיה 0 לכן AB! B! A! 6! 9 c! B ) B) 6! c! A ) A) 6!!!! A B) A) B) A B) 6!! AB) 6!

5 ו, ע, בכד הראשון 6 כדורים, בכד השני 6 כדורים ובכד השלישי כדורים סה"כ גודל מרחב 0 66 המדגם: 80, 3 אפשרויות, לבחור רק כדורים שחורים יש 33 א לבחור רק כדורים לבנים יש מאורעות אילו הינם זרים ולכן ניתן לחבר את הסתברותם, ולקבל סה"כ ב זו ההסתברות למאורע המשלים ולכן ההסתברות היא: A) 9 0 ה מאורע המשלים של A הוא "כל הספרות שונות" A) A) 0 עבור עוזי בור שמואל המאורע המשלים של B הוא "הספרה 3 אינה מופיעה כלל" 8 9 B) B) B) 0 עבור עוזי ע, בור שמואל מספר מתחלק ב- אם הוא מסתיים ב- או ב-, 0 כלומר יש שתי אפשרויות, לבחירת הספרה 0 C) האחרונהלכן עבור עוזי עבור שמואל C) 9 0 כדי שהמספ ר יהיה פלינדרום יש לבחור את 3 הספרות הראשונות, ושתי האחרונות נקבעות בהתאם D) D) 0 0 לכן עבור עוזי,ועבור שמואל 9! 9!! ( N k )! k! א ב ג ד 3 סה"כ מספר האפשרויות לבחור יד של קלפים מתוך - בתוך חפיסת הקלפים יש תמונות ו- 0 קלפים שאינם תמונות, לכן מספר האפשרויות לבחור

6 0 מכאן תמונה אחת הוא, ומספר האפשרויות לבחור ארבעה קלפים שאינם תמונה - שההסתברות שיד של חמישה קלפים תכיל תמונה אחת בדיוק כאשר מוציאים קלפים ללא 0 החזרה - כאשר מוציאים חמישה קלפים עם החזרה: גודל מרחב המדגם - ההסתברות בכל שלב להוציא תמונה היא /, וההסתברות בכל שלב להוציא קלף שאינו תמונה היא 0/ ההסתברות לתמונה אחת בדיוק בהוצאת קלפים עם החזרה: k, עבור k בין 0 ו- 3 3 k )בדיוק k כרטיסי הגרלה P) = במכנה - כל האפשרויות לבחור 3 חפיסות כלשהן מתוך 0 במונה מספר האפשרויות לבחור k חפיסות מתוך ה- שבהן כרטיסי הגרלה מספר האפשרויות לבחור k-3 חפיסות מתוך ה- שבהן אין כרטיסי הגרלה ההסתברות שמתוך שלוש חפיסות לפחות באחת יהיה כרטיס ולפחות באחת לא יהיה היא - k=) k=) + )ההסתברויות עבור k כנ"ל( A PA ( ) 3 מס' התוצאות האפשריות של הניסוי הוא מספר המדגמים בגודל 3 מתוך )מספר תתי הקבוצות בגודל 3 מתוך קבוצה של )

7 מס' התוצאות במאורע A הוא מספר המדגמים המכילים לבבות, תלתנים,וכו' כדי לספור כמה כאלה יש ניצור מדגם כזה ונספור בכמה אפשרויות ניתן לעשות זאת: נבחר לבבות יש ) מתוך 3( אפשרויות לעשות זאת- כלומר יש ) מתוך 3( מדגמים שונים של לבבות מתוך 3 הלבבות שבחפיסה כעת נבחר תלתנים מתוך כל התלתנים בחפיסה כעת נבחר עלים,ולבסוף יהלומים מספר הדרכים שבהם אפשר לבחור מדגם כזה הוא לכן )( נשים לב שהשאלה לא מתייחסת לסדר ההוצאה ולכן זה לא מעניין אותנו )אם כי אפשר לפתור גם אם חשיבות לסדר ההוצאה ולהגיע לפתרון הנכון בדרך יותר מסובכת( לכן גודל מרחב המדגם - ה יש בסך הכול אפשרויות לבחור צבע, ואז חייבים לקחת את כל 3 הכרטיסים מאותו הצבע, ועוד מהנותרים - אפשרויות לכן ההסתברות היא 3 ו אפשרויות לבחור צבע שיהיו כרטיסים בצבע זה, אפשרויות לבחור את הכרטיסים 3 מהצבע הזה, ו- אפשרויות לבחור כרטיס מכל אחד מ- 3 הצבעים הנותרים בסך הכול ההסתברות לכך שנבחר כרטיסים מכל הצבעים היא לכן 3 9 הערה: מי שבחר קודם כרטיס מכל צבע ואחר כך עוד כרטיס חישב כל תוצאה פעמיים, וזאת כי ייחס בעצם חשיבות לסדר הבחירה של שני הכרטיסים מאותו צבע 8

8 0, 3 A,8-מ םינטקה םירפסמ 3 םירחוב רבסה( )8-מ לודגה דחא רפסמו 3 ( ) 0 8 pa 0 8 לדוגב היסולכוא ךותמ לדוגב הרזחה אלל רודס אל םגדמ Ω = 8 א A = גוז לכמ דחא גיצנ רוחבל( ) A) = 8 ב B) = 8 :הנומה( תוגוז ינש לש הריחב ) ג C) = 8 6 :הנומה( יול םניאש םישנא העברא לש הריחב ) ד

9 6 D = 3 8 X=0) = 8 )המונה: בחירה של נציג ממשפחת לוי ושלושה אנשים שאינם לוי ) ה נסמן ב X את מספר הזוגות הנשואים אז )סעיף א ) 3 X=)= 8 הסבר: אפשרויות לבחור מי הזוג הנשוי שיושב ליד השולחן, 3 אפשרויות לבחור מי הזוג הנשוי שנשאר בחוץ, אפשרויות לבחור מי הנציג שיושב ליד השולחן מכל אחד מהזוגות האחרים X=) = 8 )סעיף ב ) הערה: בשלב זה כדאי לבדוק ש X=0)+X=)+X=)= 3 3 מדגם לא סדור ללא החזרה בגודל 3 מתוך אוכלוסיה בגודל = Ω א יש 3 קלפי לבבות ולכן ההסתברות היא ב מכל ערך יש קלפים, צריך לבחור קלף אחד מכל ערך ולכן ההסתברות היא:

10 8 3 3 ג יש 8 קלפים שאינם מלכים ולכן ההסתברות היא: צריך לבחור 6 אנשים מתוך ולכן גודל מרחב המדגם 6 א כדי שכולם יהיו נשים צריך לבחור 6 נשים מתוך ה- ולכן ההסתברות היא: ב כדי שמחציתם יהיו נשים צריך לבחור 3 נשים ו- 3 גברים ולכן ההסתברות היא: 8 8 במגירה יש סה"כ גרביים, מתוכם צריך לבחור ולכן גודל מרחב המדגם 6 3 א לבחור גרביים שחורות יש אפשרויות, לבחור גרביים כחולות יש 9 36 אפשרויות שוב אילו מאורעות זרים אפשרויות ולבחור גרביים ירוקות יש שאפשר לחבר את הסתברותם, ונקבל שההסתברות היא:

11 ב נפתור בעזרת המאורע המשלים, גרביים שאינן שחורות, ולכן יש לבחור 0 כלומר, ההסתברות המבוקשת היא: 6 גרביים שאף אחת מהן איננה שחורה יש 36 אפשרויות לבחור גרביים שאינן שחורות 36 6 ג לבחור גרב כחולה יש היא: 8 אפשרויות, לבחור גרב שחורה יש אפשרויות ולכן ההסתברות