ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ"

Transcript

1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y Το y ονομάζεται τιμή της f στο και συμβολίζεται με f () Πότε δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει f ( ) = g( ) Για να δηλώσουμε ότι δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες γράφουμε g f = 3 Πως ορίζονται οι πράξεις των συναρτήσεων; Ορίζουμε ως άθροισμα f + g, διαφορά f - g, γινόμενο fg και πηλίκο f g δύο συναρτήσεων f, g τις συναρτήσεις με τύπους ( f + g)( ) = f ( ) + g( ) ( f g)( ) = f ( ) g( ) ( fg )( ) = f ( ) g( ) f g ( ) = f ( ) g( )

2 Το πεδίο ορισμού των f + g, f g και fg είναι η τομή A B των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων f και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της g f είναι το που μηδενίζουν τον παρονομαστή g () A B, εξαιρουμένων των τιμών του, δηλαδή το σύνολο { A και B, με g ( ) } 4 Τι ονομάζουμε σύνθεση της f με την g; Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της f με την g, και τη συμβολίζουμε με gof, τη συνάρτηση με τύπο ( gof )( ) = g( f ( )) f(a) B A f f() g(b) g f g g(f()) A Το πεδίο ορισμού της gof αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της f για τα οποία το f () ανήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλαδή είναι το σύνολο A = { A f ( ) } B Είναι φανερό ότι η gof ορίζεται αν f ( A) B A, δηλαδή αν

3 ΣΧΟΛΙΑ Γενικά, αν f, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι gof και fog, τότε αυτές δ ε ν ε ί ν α ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά ίσες Αν f, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η ho (gof ), τότε ορίζεται και η ( hog) of και ισχύει ho ( gof ) = ( hog) of Τη συνάρτηση αυτή τη λέμε σύνθεση των f, g και h και τη συμβολίζουμε με hogof Η σύνθεση συναρτήσεων γενικεύεται και για περισσότερες από τρεις συναρτήσεις 5 Πότε μία συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της; Μια συνάρτηση f λέγεται: γνησίως αύξουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, με < ισχύει: f ) < f ( ) (Σχ α) ( γνησίως φθίνουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, με < ισχύει: f ) > f ( ) (Σχ β) ( y y f( ) f( ) f( ) f( ) Ο (a) Ο (β) Για να δηλώσουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) σε ένα διάστημα Δ, γράφουμε f Δ (αντιστοίχως f Δ)

4 6 Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο και πότε ελάχιστο; Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι: Παρουσιάζει στο A (ολικό) μέγιστο, το f ( ), όταν f ) f ( ) για κάθε A (Σχ α) ( Παρουσιάζει στο A (ολικό) ελάχιστο, το f ), όταν ( f ) f ( ) για κάθε A (Σχ β) ( y y f( ) f() f() C f f( ) O O (a) C f (β) 7 Πότε μια συνάρτηση λέγεται -; Μια συνάρτηση f : A R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε f ) f ( ) Με απαγωγή σε άτοπο αποδεικνύεται ότι: ( Μια συνάρτηση f : A R είναι συνάρτηση, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν f ) = f ( ), τότε ( =

5 ΣΧΟΛΙΑ Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση f είναι, αν και μόνο αν: Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f ( ) = y έχει ακριβώς μια λύση ως προς Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο (Σχ α) y y A B O συνάρτηση - O συνάρτηση όχι - Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε προφανώς, είναι συνάρτηση " " 8 Δικαιολογήστε γιατί οι γραφικές παραστάσεις C και C - των συναρτήσεων f και f είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy Ας πάρουμε τώρα μια συνάρτηση f και ας θεωρήσουμε τις γραφικές παραστάσεις C και C των f και της σύστημα αξόνων Επειδή f στο ίδιο f ( ) y f = ( y) =, αν ένα σημείο M ( α, β ) ανήκει στη γραφική παράσταση C της f,

6 τότε το σημείο Μ ( β, α) θα ανήκει στη γραφική παράσταση C της y M(α,β) f και αντιστρόφως Τα σημεία, όμως, αυτά είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy Επομένως: Oι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και f είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy C y= O C M (β,α) 9 Ποια θεωρήματα ισχύουν για το όριο και τη διάταξη; Για το όριο και τη διάταξη ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα ΘΕΩΡΗΜΑ Αν lim f ( ) >, τότε f ( ) > κοντά στο Αν lim f ( ) <, τότε f ( ) < κοντά στο ΘΕΩΡΗΜΑ Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο και ισχύει f ( ) g( ) κοντά στο, τότε lim f ( ) lim g( ) Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής Έστω οι συναρτήσεις f, g, h Αν h( ) f ( ) g( ) κοντά στο και lim h( ) = lim g( ) = l,τότε lim f ( ) = l

7 Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο του πεδίου ορισμού της; Έστω μια συνάρτηση f και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο, όταν lim f ( ) = f ( ) Πότε μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής; Μία συνάρτηση f που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, θα λέμε ότι είναι συνεχής συνάρτηση 3 Πότε μια συνάρτηση είναι συνεχής στο (α, β); Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα ( α, β), όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του ( α, β) 4 Πότε μια συνάρτηση είναι συνεχής στο [α, β]; Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [ α, β], όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του ( α, β) και επιπλέον lim f ( ) = f ( α) α + και lim f ( ) = f ( β) β 5 Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano και να «δώσετε» την γεωμετρική του ερμηνεία Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ α, β] Αν: η f είναι συνεχής στο [ α, β] και, επιπλέον, ισχύει f ( α) f ( β) <, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ( α, ) τέτοιο, ώστε β f ( ) =

8 Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης f ( ) = στο ανοικτό διάστημα ( α, β) Γεωμετρική ερμηνεία Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης f στο [ α, β] Επειδή τα σημεία A ( α, f ( α)) και y f(β) O a β B(β,f(β)) B ( β, f ( β)) βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα, η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο f(a) Α(α,f(α)) ΣΧΟΛΙΟ Από το θεώρημα του Bolzano προκύπτει ότι: Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ή είναι αρνητική για κάθε, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ (Σχ ) y y f()> O a β O a β f()< (α) (β) Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της

9 y ρ + ρ ρ 3 + ρ 4 + ρ 5 Αυτό μας διευκολύνει στον προσδιορισμό του προσήμου της f για τις διάφορες τιμές του Συγκεκριμένα, ο προσδιορισμός αυτός γίνεται ως εξής: α) Βρίσκουμε τις ρίζες της f β) Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες, επιλέγουμε έναν αριθμό και βρίσκουμε το πρόσημο της f στον αριθμό αυτό Το πρόσημο αυτό είναι και το πρόσημο της f στο αντίστοιχο διάστημα 6 Να διατυπώσετε το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών και να το αποδείξετε Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ α, β] Αν: η f είναι συνεχής στο [ α, β] και f ( α) f ( β) τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f (α) και f (β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον ( α, ) τέτοιος, ώστε f ) = η ΑΠΟΔΕΙΞΗ β Ας υποθέσουμε ότι f ( α) < f ( β) Τότε θα ισχύει f ( α) < η < f ( β) Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση παρατηρούμε ότι: ( g( ) = f ( ) η, [ α, β],

10 η g είναι συνεχής στο [ α, β] και y g ( α) g( β) <, f(β) B(β,f(β)) αφού η y=η g ( α) = f ( α) η < και f(a) Α(α,f(α)) g ( β) = f ( β) η > O a β Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει ( α, ) τέτοιο, ώστε g ) = f ( ) η, οπότε f ( ) = η β ( = 7 Να διατυπώσετε για μια συνεχής συνάρτηση το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [ α, β], τότε η f παίρνει στο [ α, β] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m Δηλαδή, υπάρχουν [ α, ] τέτοια, ώστε, αν m = f ) και M = f ( ), να ισχύει, β ( m f ( ) M, για κάθε [ α, β] ΣΧΟΛΙΟ Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το [ α, β] είναι το κλειστό διάστημα [ m, M], όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της Τέλος, αποδεικνύεται ότι:

11 Aν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα ( α, β), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα ( Α, Β) όπου Α = lim f ( ) και + α B = lim β f ( ) Αν, όμως, η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο ( α, β), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα ( B, A) Μορφή Διαστήματος [ α β] A, Είδος μονοτονίας Σύνολο Τιμών = f γνησίως αύξουσα f ( A) = [ f ( α), f ( β )] = [ α β ) f γνησίως αύξουσα f ( A) = f ( α ), lim f ( ) ) β A, = ( α β] f γνησίως αύξουσα = ( A, f ( A ) lim f ( ), f ( β ) + α = ( α β ) f γνησίως αύξουσα f ( A) = ( lim f ( ), lim f ( ) + ) α β A, [ α β] A, = f γνησίως φθίνουσα f ( A) = [ f ( β ), f ( α )] = [ α β ) f γνησίως φθίνουσα = ( A, f ( A) lim f ( ), f ( α ) β = ( α β] f γνησίως φθίνουσα f ( A) f ( β ), lim f ( ) + ) A, = α = ( α β ) f γνησίως φθίνουσα f ( A) = ( lim f ( ), lim f ( ) + ) β α A,

12 Δίνεται η συνάρτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ f()= -, > -, Να βρείτε: α Το πεδίο ορισμού της f β Τις τιμές f() και f(f(4)) γ Τα α R για τα οποία ισχύει 7 f(συνα)= 4 δ Τα λ R για τα οποία ισχύει f(λ - 4λ + 6) = Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: α β 3 f() = και f() = + 9 και 3 Δίνεται η συνάρτηση g() = + + g() = α α + R 3 f() = ( ) ( 3)+α 5, α α Να βρεθούν οι τιμές του α R έτσι, ώστε η C f να διέρχεται από το σημείο Μ(, -6) β Αν η C f διέρχεται από το σημείο Μ(,-6), να βρεθούν τα κοινά σημεία της C f και του άξονα γ Για α= να βρεθεί η σχετική θέση της C f με τον άξονα 4 Δίνονται οι συναρτήσεις: f() = +α + β και 3 g() = β - 6α με α, β R Αν η C f τέμνει τον άξονα στο 3 και η C g τέμνει τον άξονα y y στο 6, να βρείτε: α Τους αριθμούς α και β β Τα διαστήματα στα οποία η C f είναι κάτω από τη C g

13 5 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ln, > f()=, = y O - e X Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης: α Να λύσετε την ανίσωση f() < β Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ Να βρείτε το πλήθος των λύσεων των εξισώσεων: i f() = - ii f()= - iii f()= - e ivf() = vf() = 8 δ Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f() = α, για τις διάφορες τιμές του α R 6 Έστω f, g : R R δύο συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει f() = g() για κάθε R Να βρείτε τη σχετική θέση των C f και C g 7 Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι ίσες Αν όχι, να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο στο οποίο μπορεί να είναι ίσες α f () = και g() = β f () = και g() = γ f () = ( + ) και g() = + δ ε f () = και g() = f () = και g()=

14 8 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μίας συνάρτησης f y 3 Γ Θ Α -4 Β -3-3 Ε 3 Η 4 5 y= - -3 Ζ α Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f β Να βρεθεί το σύνολο τιμών γ Να βρεθεί το f() δ Να λυθεί η ανίσωση f()< ε Να λυθούν οι εξισώσεις: i) f()= και ii) f()= -3 στ Το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης f()= - 9 Δίνονται οι συναρτήσεις f, g: R R με την ιδιότητα: (f+g) ()-(f-g) ()-4 Να αποδείξετε ότι f = g (f+g)()[(f+g)()-] για κάθε R Έστω f, g συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α R και f()[f()+g()]-4[f()+g()] g()[f()-g()]-8 για κάθε R Να αποδείξετε ότι f = g

15 Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Δ Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f g στις παρακάτω περιπτώσεις: α β g() = 3 και Δ= [-, ] 3 g() = + -3 και Δ = [7, 7] Δίνεται συνάρτηση f με πεδίο ορισμού [-, + ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης h() = f( 8-4) 3 Δίνεται συνάρτηση f με πεδίο ορισμού [ 5, + ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης h() = f( + ) 4 Δίνεται συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει (f f )() = 4-3 για κάθε R Να αποδειχθεί ότι: f() = 5 Έστω f, g: R R με (f g)() = 7+6, R και (g f )(4) = 4 Να αποδειχθεί ότι οι C f, C g έχουν τουλάχιστον ένα κοινό στοιχείο 6 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: 3 α f() = β f() = + ln( - ) - 5 γ f() = ln( - ) - e δ f() = Δίνετε η συνάρτηση f() = - e +, R α Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία β Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης f f γ Για κάθε < να αποδείξετε ότι f (5 ) < f (7 ) 8 Δίνετε η συνάρτηση f() = + - 3, R α Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία β Να βρείτε για ποιες τιμές του η C f βρίσκεται κάτω από τον άξονα γ Να λύσετε την ανίσωση: > + 9 Δίνετε η συνάρτηση f : R R γνησίως φθίνουσα και για κάθε R ισχύει: f (3 ) + f ( + 5) = Να λύσετε την ανίσωση f ( + 4) <

16 Δίνετε η συνάρτηση f() = -+ln, > α Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία β Να βρείτε το πρόσημο της f Δίνετε η συνάρτηση f() = e + ln(+) - α Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία β Να λύσετε την ανίσωση e + ln( + ) > γ Να λύσετε την ανίσωση e e > ln + έστω f() = e +, R α Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία β Να λύσετε την ανίσωση 3 Να λύσετε την ανίσωση: α ( 5) e e (3 ) e e < + + > β ln( + ) + > ln( + 3) Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει f(f()) = f()+- για κάθε R Να αποδείξετε ότι η f είναι - 5 Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει f(f()) = 3-, για κάθε R α Να δείξετε ότι f() = β Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται γ Αν η f είναι πρωτοβάθμια πολυωνυμική συνάρτηση και γνησίως φθίνουσα, να βρεθεί ο τύπος της 6 Δίνεται η συνάρτηση f() = α Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f β Να βρείτε τα κοινά σημεία των C f και C f

17 7 Δίνεται συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει: f(f())+f 3 () = +3, R α Να δείξετε ότι η f είναι β Να λύσετε την εξίσωση f( 3 +) = f(4 ) 8 Δίνεται συνάρτηση f: R R, για την οποία ισχύει: f() f 3 ()+ =, για κάθε R α Να αποδειχθεί ότι η f αντιστρέφεται β Να βρεθεί η f 9 Δίνεται γνησίως μονότονη συνάρτηση f: R R, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(,5) και Β(,4) α Να αποδείξετε ότι ορίζεται η συνάρτηση f β Να λυθεί η εξίσωση f ( f ( ) 3)=5 γ Να λυθεί η ανίσωση f(f (e +3) 3) > 5 3 Δίνεται γνησίως μονότονη συνάρτηση f: R R, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(,5) και Β(3,8) α Να αποδείξετε ότι ορίζεται η συνάρτηση f β Να λυθεί η εξίσωση f ( -+f (-) ) = 5 γ Να λυθεί η ανίσωση f (3+ f (-5) ) < 3 3 Δίνονται οι συναρτήσεις f, g: R R με: (f f )() = 5+9 και g() = f()+3 για κάθε R Να αποδείξετε ότι: α f(3) = 3 β Η συνάρτηση g δεν αντιστρέφεται

18 3 Έστω η συνάρτηση f με 9 f() = α Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη β Να υπολογίσετε το f (9) γ Να λύσετε την εξίσωση f ( 3+) = δ Να βρείτε τα κοινά σημεία των C f και C f 33 Έστω η συνάρτηση f με α Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται β Να βρεθούν τα f ( ) και f ( 3) 9 f() = +, R γ Να βρείτε τα κοινά σημεία των C f και C f 34 Έστω η συνάρτηση f με 3 f() = + + α Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα β Να λυθεί η εξίσωση f () = γ Να λυθεί η εξίσωση f ( ) = δ Να λυθεί η ανίσωση f () 35 Έστω f : R R με f( R)= R για την οποία ισχύει: e + 7f ()+8= για κάθε R f() 3 α Να αποδείξετε ότι η f είναι - β Να βρείτε τον τύπο της - f 36 Έστω συνάρτηση f : R R με σύνολο τιμών f( R)= R Αν η f είναι γνησίως μονότονη και η C f διέρχεται από τα σημεία Α(, 5) και Β(3,-) τότε:

19 α Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα ( ) β Να λυθεί η εξίσωση: ( ) f + f + +3 = 3 γ Να λυθεί η ανίσωση: ( f() ) 5+ 4f() 37 Να υπολογιστούν, αν υπάρχουν τα παρακάτω όρια: A = + 3+ lim + B = lim Γ = lim = lim E = lim Z = 3 lim Να υπολογιστούν, αν υπάρχουν τα παρακάτω όρια: A = lim +3 B = lim Γ = lim +3 = lim E = lim Z = lim α + 3β, < 39 Αν f() =, να βρείτε τα α, β R, αν είναι γνωστό, > ότι υπάρχει το lim f() και η C f να διέρχεται από το σημείο Α(, 8)

20 + α + β, 4 Αν f () = +5, < < 3, να βρείτε τις τιμές των α, β, + β α, 3 ώστε να υπάρχουν τα limf() και lim f() 3 4 Έστω οι συναρτήσεις f και g που είναι ορισμένες στο R για τις οποίες υποθέτουμε ότι: lim(f()+3g())=3 και lim(f() g())=4 Να βρείτε τα όρια: lim f() και lim g() 4 Αν f() 3+5 για κάθε, να βρεθεί το lim f() 43 Αν για κάθε R ισχύει 3 g() + 3 g(), να βρεθεί το lim 44 Έστω συνάρτηση f : R R με την ιδιότητα f() + + για κάθε R Να αποδείξετε ότι 45 Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει: limf()= 3+3 ( )f() για κάθε (,3) Να υπολογίσετε το lim f() 46 Δίνεται η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: 4 +3 ( )f() , R Να υπολογίσετε το όριο lim f() 47 Να υπολογιστούν τα όρια: 3 A = lim ηµ 4+3 Γ = lim ( ) ηµ E = lim ηµ ηµ B lim ηµ ηµ = 8 = lim ( ) ηµ + 4 Z = lim ηµ

21 48 Να υπολογιστούν τα όρια: A = ηµ lim B = lim + ηµ 6 ηµ 3 εφ3 Γ = lim εφ = lim 9 + ηµ 3 + E = εφ+ lim Z = + 5 ηµ lim +ηµ 49 Αν για κάθε κοντά στο ισχύει: αημ+βημ γημ3, να αποδείξετε ότι: α+β = 3γ f () Αν lim 8 = τότε: α Να βρείτε το limf () [ + ] ηµ f () 4 β Να βρείτε το lim 5 Να υπολογιστούν τα όρια: Α = Γ = +4 lim 9 lim B = = +8 lim lim Z = 3 E = lim ( ) 5 Να βρεθούν τα όρια: A Γ = + 4 lim + ( 5 3 = lim ) B = lim ( ) lim E= lim H= lim + +6 = lim Z= lim Θ = lim

22 53 Να βρεθούν τα όρια: ( + + ) B= lim ( ) A= lim Γ = lim ( ) = lim ( 4 ) ( ) E= lim Για τις διάφορες τιμές του α R να υπολογίσετε τα όρια: α α 3 ( ) + 3 A= lim + ( ) ( 3) ( 5)+6 (α+) 5+4 B= lim Γ = α α α α 3 ( ) + ( 7) lim + ( 3) + ( )+6 α α ( α ) = lim ( + α ) E= lim ( α + α + ) Z= lim 9 55 Να βρείτε τους α, β R ώστε: α ( α ) lim β = 5 + β ( α ) lim β = 3 + γ + + lim α+β = 5 +

23 56 Να βρεθούν τα όρια: ( ) + ηµ Α= lim Γ = lim + ηµ συν 3 ηµ +συν B= lim = ( + ) + + lim ηµ 3 57 Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο = τη συνάρτηση: f()= 3, = + 3, 58 Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο = τη συνάρτηση: 59 Δίνεται η συνάρτηση: ηµηµ, f()=, = + f()= 6, = α β 5, Να βρεθούν οι τιμές των α και β έτσι, ώστε η f να είναι συνεχής α + β, 6 Δίνεται η συνάρτηση f() = , = Να βρεθούν τα α, β R αν είναι γνωστό ότι η f είναι συνεχής στο R 7α+6β, - 6 Δίνεται η συνάρτηση f () = +β+4, >- Να βρεθούν τα α, β R, αν είναι γνωστό ότι η f είναι συνεχής στο = - και η C f διέρχεται από το σημείο M( 3, )

24 6 Αν για μία συνάρτηση f ισχύει ότι f () 6f () + 9συν για κάθε R, να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο 63 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : R R Να βρείτε τον τύπο της f στις παρακάτω περιπτώσεις: α f()=ηµ(8) για κάθε R β f()+ + + = + (f()+) για κάθε R γ ( ) f () + = + 3 για κάθε R 64 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο = και ισχύει: f() ηµ 5 3 για κάθε R, να βρεθεί η τιμή f() 65 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, να υπολογίσετε την τιμή f( ) στις παρακάτω περιπτώσεις: α + για κάθε R και = ( )f()= 3 4 β 3 3 ηµ f() + ηµ για κάθε R και = γ f() [ f()+ηµ( ) ] για κάθε R και = δ ε f() ηµ ηµ για κάθε 4 3 * R και = ( )f() 5+6 για κάθε R και = 66 Aν f, g δύο συναρτήσεις ορισμένες στο R και h()=f()g() Αν η συνάρτηση h() είναι συνεχής στο με h( ) και η f δεν είναι συνεχής στο, τότε να δείξετε ότι η g() δεν είναι συνεχής στο 67 Έστω f, g δυο συναρτήσεις στο R για τις οποίες ισχύουν: Η g είναι συνεχής στο 8 lim f()=9 και lim f()= Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h()=f()g() είναι συνεχής στο =8, όταν και μόνο όταν g(8)=

25 Αν δίνεται ότι η f είναι συνεχής σε κάποιο = α και ζητείτε η συνέχεια στο R τότε εργαζόμαστε με βάση τον παρακάτω πίνακα αν η σχέση περιέχει τη μορφή Τότε θέτουμε Έτσι όταν Τότε είναι Και θα έχουμε f ( y) + = h α h α f () = f ( + h α) = f ( y) = h α h α f () = f ( h α) = f ( y) h = α h α h f () = f ( ) = α f ( ) y α = h h α f () = f ( α) = h 68 Δίνεται συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει: f(y)=f(y) yf() για κάθε, y R Αν η f είναι συνεχής στο =4, να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο R 69 Δίνεται η συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει f(+y)=f() f(y) για κάθε, y R Αν η f είναι συνεχής στο =, να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο R 7 Δίνεται συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει f() 5 + lim = 8 Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται + από το σημείο Μ(, 3), να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο = 7 Έστω οι συναρτήσεις f, g συνεχείς στο Rκαι τέτοιες, ώστε: f()< και g() > για κάθε R Αν υπάρχουν α, β R με α < β και f(α)=α, g(β)=β, να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ (α, β) έτσι, ώστε: f(ξ) g(ξ)=ξ 7 Να αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g()=ln(+) και h()=4, έχουν ένα, τουλάχιστον, κοινό σημείο με τετμημένη (,e ) * +

26 73 Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση 3 +α += με α< 3 έχει δύο, τουλάχιστον, ρίζες στο (,) 74 Δίνονται οι συναρτήσεις f()= 3 +3 και g()= +5 4 Να δείξετε ότι οι γραφικές τους παραστάσεις τέμνονται σε ένα, τουλάχιστον, σημείο Μ(, y ) με (,) 75 Να δείξετε ότι η εξίσωση 3 +3 = έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο (,) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση + = μια τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (, ) έχει 77 Έστω f μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] για την οποία ισχύει: ( f(α) ) ( f(β) ) 5 [ f ( α) f ( β )] + + Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f κόβει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον, σημείο με τετμημένη (α, β) 78 Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο R για την οποία ισχύει: + f() e για κάθε R Να αποδείξετε ότι: α Η f είναι συνεχής στο = β Αν η f είναι συνεχής στο R, τότε υπάρχει ένας τουλάχιστον, f( ) (, ) τέτοιος ώστε 8 = γ Αν η f είναι συνεχής στο R, τότε υπάρχει ένας τουλάχιστον, ξ (, ) τέτοιος ώστε f(ξ) = e ξ 79 Αν η f είναι συνεχής στο R και ισχύει < f () < για κάθε R να αποδείξετε ότι η εξίσωση τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (,) + f () = f () έχει μια 8 Έστω f μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [,] με f()=α και f()=β, όπου α, β (,) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (,) τέτοιος, ώστε f(ξ)=ξ

27 8 Δίνονται οι συναρτήσεις f()= + β +γ και g()= + β +γ με γ Αν ρ είναι ρίζα της f και ρ ρίζα της g με ρ < ρ, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() + g() = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, ) ρ ρ 8 Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R R, η οποία ικανοποιεί τις f() συνθήκες: lim = 8 και 4 ηµ ( ) ( )f() 4 για κάθε R Nα αποδείξετε ότι: α f() = και f() = 4 β Αν g() = -+, τότε η C f τέμνει την C g σε ένα τουλάχιστον σημείο Μ(, y ) με (, ) 83 Έστω f συνάρτηση η οποία είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [,] Αν είναι f() < 8 < f(), να αποδείξετε ότι: α Η συνάρτηση h() = f()-8 είναι γνησίως φθίνουσα στο [,] f( ) β Υπάρχει μοναδικός (,) τέτοιος ώστε = 8 84 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: f() f() + e = 5-4 για κάθε για R και f()= Να αποδειχθεί ότι: α Η f αντιστρέφεται 3 β Η εξίσωση ( fof )() - f ( 5- ) = έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (, ) 85 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει lim f()=8 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() + ln= 5 έχει + τουλάχιστον μία θετική ρίζα 86 Να δείξετε ότι η εξίσωση ρίζα στο (,) 87 Να δείξετε ότι η εξίσωση τουλάχιστον ρίζα στο (,) ln + 3e = έχει μία τουλάχιστον 3 ln = έχει μία

28 88 Έστω f μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [,] Aν ισχύει 8f()+9f() =, να δείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [,] 89 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] με α < 8 < β και 4 f (8) + f(α)f(β)=, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον ξ [α, β], ώστε f(ξ)= 9 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και e e π f(α)+π f(β)= αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον ξ [α, β], ώστε f(ξ)= 9 Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο R για την οποία ισχύει β f() α για κάθε R Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f()= έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [α, β] 9 Αν η συνάρτηση f:[α, β] [α, β] είναι συνεχής και α, β >, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ [α, β] τέτοιος ώστε f(ξ) = β α ξ 93 Δίνεται η συνάρτηση f : R R η οποία είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στο R και για την οποία ισχύει: f () + 4f () + = f () + 4f () α Να μελετήσετε τη μονοτονία της f στο R β Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός (,) f ( ) τέτοιος ώστε = 94 Δίνεται η συνάρτηση f : R R η οποία είναι συνεχής στο R με f () = και limf () >, αν και είναι οι μοναδικές ρίζες της εξίσωσης f () =, να υπολογίσετε το όριο 3 lim f () f ( 3) Αν για κάθε [-4, 4] η f είναι συνεχής και ισχύει να αποδείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (-4, 4) να + f ()=6,

29 96 Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f : (, + ) R τέτοια ώστε ( ) f () + = + + για κάθε (, + ) + Να δείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (, + ) 8 97 Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f,g: R R, ώστε για κάθε R να ισχύει η σχέση 9 g ()+f()g() 8 συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R Να αποδείξετε ότι η 98 Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο R για την οποία ισχύει: 6 4 3f ()+7f() 8= για κάθε R Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R 99 Δίνεται η συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύουν: f(9)+f(8)= και f() για κάθε R Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι συνεχής στο R Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: R R με: ( )( ) f() f()+ = + για κάθε R α Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = είναι αδύνατη β Να βρείτε τον τύπο της f, αν f(8)= 49 + Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f: R R, με f()=, για την οποία ισχύει: Έστω f :[, ] f () - 6f()ηµ - 9συν =, για κάθε R f () =,για την οποία ισχύει: [, ] Να βρείτε τον τύπο της f R μια συνάρτηση που είναι συνεχής με f () + = f() +, για κάθε 3 Έστω f :[, 4] R μια συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει: f () + = 3 + 4, για κάθε [, 4] α Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης f () = β Αν επιπλέον η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα y y στο σημείο με τεταγμένη -, να βρείτε τον τύπο της f

30 4 Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f : R Rγια τις οποίες ισχύει: f () - = - + για κάθε R 5 Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f : R Rγια τις οποίες ισχύει: ( ) ( ) f() + + = + + f ( ) για κάθε R 6 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και, [α, β], να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ [α, β] τέτοιος, ώστε 3f( )+4f( )=7f(ξ) 7 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και,, 3 [α, β], να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ [α, β] τέτοιος, ώστε f( )+f( )+3f( 3 )=6f(ξ) 8 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και,, 3 [α, β] Aν κ, λ, μ είναι θετικοί αριθμοί με κ+λ+μ=8 να αποδείξετε ότι υπάρχει κf( )+λf( )+µf( 3) ένα τουλάχιστον ξ [α, β] τέτοιος ώστε: f(ξ)= 8 9 Έστω f: [,6] R συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση με f()=8 και f(6)= Να αποδείξετε ότι: α Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, 6) τέτοιος, ώστε f(ξ) = f() + f() + 3f(3) + 4f(4) β Η εξίσωση f()=7 έχει μοναδική ρίζα Δίνεται η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [,4] με: f()f()f(4)=8 και f() για κάθε [,4] Να αποδείξετε ότι: α f()> για κάθε [,4] β Η εξίσωση f()= έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [,4] γ Η εξίσωση f()= έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [,4]

31 Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο R με f() = 5 και f(f())+f() = για κάθε R Να βρείτε την τιμή f() Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο R με f(8) = 5 και f(f())f() = για κάθε R Να βρείτε την τιμή f(3) 3 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (, + ) με lim f () = γ R και lim f () = δ R, να αποδείξετε ότι υπάρχει μόνο ένας αριθμός > τέτοιος ώστε να ισχύει: f( )+e +ln = 4 Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (,3) R η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο (,] και γνησίως φθίνουσα στο [,3) Αν f () =, lim f () = και + lim f () =, να βρείτε: 3 α Το σύνολο τιμών της f β Το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f (),3 = στο ( ) 5 Να δείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το [, 3 ] και σύνολο τιμών το ( 3,6 ), τότε η f δεν είναι συνεχής

32 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: f () + ηµ3 = 4 5 ηµ για κάθε R α Να βρείτε τον τύπο της f β Να υπολογίσετε τα όρια lim f () και lim f () + γ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () = έχει μία τουλάχιστον αρνητική και μία τουλάχιστον θετική ρίζα Δίνεται συνεχής συνάρτηση f :[,] R για την οποία ισχύει ότι f () + f () = α Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [,] β Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ [,] τέτοιο ώστε: f () f (ξ) = 3 γ Δίνεται η συνάρτηση g() = f () + ( )f ( + ) i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της g ii Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της gτέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο 3 Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f, g : R R Οι C f και Cgδεν έχουν κανένα κοινό σημείο και ισχύει ότι f (8) > g(8) Επίσης ισχύουν οι σχέσεις: ( )f () g() ηµ lim = και lim = 4 + α Να αποδείξετε ότι f () > g() για κάθε R β Να βρείτε τις τιμές f () και g() γ Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) τέτοιο ώστε: 3f ( ) + g( ) = 4

33 4 Έστω f : R R μία συνάρτηση με f () =, η οποία είναι συνεχής και ισχύει ότι: α Να δείξετε ότι f () f () e e β Να δείξετε ότι η f είναι περιττή γ Να βρείτε το σύνολο τιμών της f δ Να δείξετε ότι η εξίσωση ρίζα + =, για κάθε R f () = ln( + ), για κάθε R f () e 7 = έχει, μια τουλάχιστον 5 Έστω f :[, + ) R μία συνεχής συνάρτηση με f () =, για την οποία ισχύει ότι: f () = + f (), για κάθε α Να βρείτε τη συνάρτηση f β Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και στη συνέχεια, να βρείτε το πεδίο ορισμού της f () γ Για κάθε α,β, να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (,) 6 Δίνεται η συνάρτηση f () = + e α Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται β Να λύσετε την εξίσωση e = γ Να λύσετε την ανίσωση ( ) f f () + > f (α) f (β) + = δ Θεωρούμε τη συνεχή και γνησίως μονότονη συνάρτηση g : R R η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση g() g() + e = + Να αποδείξετε ότι: i H g είναι γνησίως αύξουσα ii Η C g διέρχεται από την αρχή των αξόνων 8 ε Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) ( ) τουλάχιστον λύση στο διάστημα (, ) g g () g =, έχει μία 7 Δίνεται η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει η σχέση: 3 f () 3 = 3f (), για κάθε R α Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο R

34 β Αν το σύνολο τιμών της f είναι το R, να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f γ Να λύσετε την εξίσωση f () = δ Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f 8 Έστω η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : (,) R για την οποία ισχύουν: f () + lim = 3 ηµ( ) ( )f () α Να βρείτε τα όρια, για κάθε (,) lim f () + και lim f () β Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης: g() f () ln 3 =, (,) γ Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης: f () 3 h() = e τέμνει την ευθεία y = σε ένα τουλάχιστον (,) 9 Έστω συνάρτηση f : R Rγια την οποία και για κάθε R, ισχύει: ( f ()) ( f () + ) α Να δείξετε ότι στο σημείο = η f είναι συνεχής β f () Να βρείτε το όριο lim + γ Αν η f είναι συνεχής στο R, να δείξετε ότι η εξίσωση f () = 6 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, f :, + R που είναι συνεχής στο πεδίο Έστω συνάρτηση [ ) ορισμού της και για κάθε ισχύει: ( ) f () + α Να βρείτε τον αριθμό f () β Να δείξετε ότι υπάρχει (, ) ώστε να ισχύει f ( ) =

35 Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R Rγια την οποία και για κάθε R, ισχύει: f () + = f () Να δείξετε ότι υπάρχει (,), ώστε 4f ( ) = 7 Έστω η συνεχής συνάρτηση f :[,] R με f () =, f() = 5 και f () = 5 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση τουλάχιστον δύο ρίζες στο (, ) f () = 6 έχει, 3 Δίνονται οι συνεχείς στο R συναρτήσεις f και g για τις οποίες ισχύουν:f () για κάθε RΟι γραφικές τους παραστάσεις τέμνονται στο A(, ) ρ = καιρ = 5 είναι δύο διαδοχικές ρίζες της g() = Να αποδείξετε ότι: α f() < για κάθε R β g() < για κάθε (,5) γ 4 f (3) lim g() = 4 Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο [-3,3] για την οποία ισχύει 3 + 4f () = 7για κάθε [-3,3] α Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης f () = β Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί πρόσημο στο διάστημα (-3,3) γ Να βρεθεί ο τύπος της f δ Αν επιπλέον f () = 6 να βρείτε το όριο 3 3 f () lim 5 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :[, + ) R για την οποία 8 ισχύει: f () ηµ για κάθε > 3 Να βρείτε: α Το όριο: lim 7 β Το όριο: lim ηµ

36 γ Το όριο: δ Το f () limf () 6 Δίνεται η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: (f f )() + f () = + για κάθε Rκαι f () = 5 α Να βρείτε το f (5) β Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται γ Να βρείτε το f () δ Να λύσετε την εξίσωση: ( ) f f ( + 7) = 7 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύουν οι συνθήκες: 3ηµ f (), για κάθε R 4f () + 3f ( + ) = 9, για κάθε R α Να βρείτε το όριο limf () β Να βρείτε το f () γ Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g() = σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη (,) 8 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύουν: f () = + +, για κάθε R + f () lim = α Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει κοινά σημεία με τον άξονα β Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι f () = + +, R γ Να βρείτε το όριο lim ( f ()) δ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση με τύπο g() = f (), έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, )

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΥΤΗΣ. x 0 για κάθε xεr και για την συνάρτηση g ισχύει i. Να βρείτε

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΥΤΗΣ. x 0 για κάθε xεr και για την συνάρτηση g ισχύει i. Να βρείτε ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΤΑ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΥΤΗΣ Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : IR IR τέτοια ώστε f ( ) 1 για κάθε IR (1) και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο i Να βρείτε τα κ και λ

Διαβάστε περισσότερα

Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο

Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Οι απαντήσεις βρίσκονται μετά τις εκφωνήσεις Εξετάστε αν είναι αληθείς ή ψευδείς οι παρακάτω προτάσεις και αιτιολογήστε.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 wwwaskisopolisgr o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: ώρες ΘΕΜΑ A A Να αποδείξετε ότι αν δύο συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο του πεδίου ορισμού τους, τότε και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β], Θωμάς Ραϊκόφτσαλης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μέθοδος Α Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα εξής: Α. Η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ (α,β), Α. Υπάρχει ξ (α,β) έτσι ώστε f(ξ),

Διαβάστε περισσότερα

τότε για κάθε αριθμό ξ μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει τουλάχιστον ένας x0 (α, β) τέτοιος ώστε να ισχύει f(x0)=ξ. Μονάδες 15

τότε για κάθε αριθμό ξ μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει τουλάχιστον ένας x0 (α, β) τέτοιος ώστε να ισχύει f(x0)=ξ. Μονάδες 15 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΘΕΜΑ o Α Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] και f(α)f(β), τότε για κάθε αριθμό ξ μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης (αποκλειστικά

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Bolzano. ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει

Θεώρημα Bolzano. ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει Θεώρημα Bolzno. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει f f 0, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, 0 (, ) τέτοιο, ώστε f( 0

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν Α ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο όταν Για παράδειγμα η συνάρτηση είναι συνεχής στο αφού Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό μια συνάρτηση δεν

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

π x = κπ + με κ. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις οι οποίες έχουν 2

π x = κπ + με κ. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις οι οποίες έχουν 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο.3 Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Συνάρτηση Όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (1o Γ Λυκείου) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f( x)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (1o Γ Λυκείου) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f( x) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (o Γ Λυκείου).Να βρεθούν οι τιμές των α, β R ώστε: Α) τα σημεία (, ),(, ) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης α +β. Β)τα σημεία ( 0, ),( e, ) να ανήκουν στην γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Φ4: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Φ4: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Φ4: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ -3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ -

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

x y f (x). f(a) {y R x A : y f(x)}.

x y f (x). f(a) {y R x A : y f(x)}. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα), με την οποία κάθε στοιχείο A αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

x 1 vii) f(x) 5 x 4 viii) 2 + γ) f (x) = στ) f (x) = e x -1 Β. Γραφική παράσταση Γ. Ίσες συναρτήσεις x 3 x 3 f(x), g(x) ιι)

x 1 vii) f(x) 5 x 4 viii) 2 + γ) f (x) = στ) f (x) = e x -1 Β. Γραφική παράσταση Γ. Ίσες συναρτήσεις x 3 x 3 f(x), g(x) ιι) Α.Πεδίο ορισμού. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) f() = v) f() 4 6 6 5 log 4 ii) f() = iii) f() = log ( ) iv) f() = log ( log 4(- )) vi) f() = 4 vii) f() 5 4 viii) f() ημ.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας 2 ωρών στις Συναρτήσεις

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας 2 ωρών στις Συναρτήσεις ΘΕΜΑ Α Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας ωρών στις Συναρτήσεις 0 9-05 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ).. Αν η συνάρτηση f είναι -, είναι και γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4)

ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4) Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 3 Α. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη στο ο ; Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το θεώρηµα Rolle ; Γ. Να αποδείξετε ότι ( ) a = a ln a (Μονάδες 5) (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων. τέτοια ώστε. lim. και

Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων. τέτοια ώστε. lim. και Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων Άσκηση η Να βρεθούν τα ολικά ακρότατα των συναρτήσεων ) x, 0, ) x x a x x x, x x x x Άσκηση η Αν : a, συνεχής στο, τέτοια ώστε x x και x x Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty. uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui

Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty. uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui ΟΡΙΟ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

x x = e, x > 0 έχει ακριβώς δυο Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

x x = e, x > 0 έχει ακριβώς δυο Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. Δίνεται η συνάρτηση f() ( )ln, >. Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ (, ] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ [, ). Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΜΑΘΗΜΑΤΑ Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της,τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Α2. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της,τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑo ΑAν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, να γραφεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α

Διαβάστε περισσότερα

Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου

Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. "ΑΙΧΜΗ" Κ. Καρτάλη 28 Βόλος τηλ. 242 32598 Φροντιστήριο Μ. Ε. «ΑΙΧΜΗ» Μαθηματικά Προσανατολισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

- 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

- 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ) 1 Να βρεθεί η σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g γα τις οποίες ισχύει: f()+1=g()+e (Η C f κάτω

Διαβάστε περισσότερα

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Κεφάλαιο 5 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano 5.. Η θεωρία και τι προσέχουμε Τα κύρια χαρακτηριστικά μιας συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα Δ, είναι: i. Η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R Α.Πεδίο ορισμού. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) f() = 4 6 6 ii) f() = iii) f() = log ( ) iv) f() = log ( log 4(- )) v) 5 f() log vi) f() = 4 4 vii) f() 5 4 viii) f() ημ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C στο σημείο της A, ( ; ( Έστω μια συνάρτηση και A, ( ένα σημείο της C. Αν υπάρχει το ( ( ( lim και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x

Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x 8 Συνέχεια συνάρτησης Ορισμός της συνέχειας 8. α) Πότε μια συνάρτηση f :A λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση:, αν < f() =, αν i) Να αποδείξετε ότι f() = 7 και να

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην ανάλυση

Εισαγωγή στην ανάλυση Εισαγωγή στην ανάλυση Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Έστω Α ένα υποσύνολο του και Α. Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση Πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους 4 ι) () = 6 + 6 iv) () = log ( log4(- )) v) () = ii) () = iii) () = log ( + ) 5 log 4 vii) () = 5 + 4 viii) ()

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) Δίνεται η εξίσωση z-=z-3i,zc α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία ε: -3y+4= β) Να βρείτε την εικόνα του μιγαδικού z, για τον οποίο το

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. όριο συνεχεία

Συναρτήσεις. όριο συνεχεία Συναρτήσεις όριο συνεχεία Συλλογή Ασκήσεων mathmatica -7 ΕΠΙΛΟΓΗ + ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΗΣ: 9// 7// Πηγή Απαντήσεις Συναρτήσεις -Όριο Συνέχεια:-Μια συλλογή ασκήσεων Έλυσαν οι: XRIMAK Αναστάσης Κοτρώνης

Διαβάστε περισσότερα

1. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z 1, z 2 με Re (z 1 + z 2 ) = 0, ισχύει: Re (z 1 ) + Re (z 2 ) = 0

1. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z 1, z 2 με Re (z 1 + z 2 ) = 0, ισχύει: Re (z 1 ) + Re (z 2 ) = 0 ΣΩΣΤΑ ΛΑΘΟΣ. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z, z με Re (z + z ) = 0, ισχύει: Re (z ) + Re (z ) = 0. Ισχύει η ισοδυναμία : i κ = i λ κ = λ για κάθε κ., λ ακεραίους αριθμούς. 3. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017 Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ.

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ. Συναρτήσεις σελ ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα),

Διαβάστε περισσότερα

Ι. Πραγματικές ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ)

Ι. Πραγματικές ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ) Ι. Πραγματικές ΥΝΑΡΤΗΕΙ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΤΡΟΦΗ). Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα.. Δίνεται η συνάρτηση = f (). Οι τετμημένες των σημείων τομής της C

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (2)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (2) - 4 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ () ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ. Ο ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας ενός σώµατος που κινείται πάνω σε άξονα είναι η επιτάχυνσή του.. Η συνάρτηση f()= 006 έχει διαφορετική

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ενότητα 19 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1). Να βρεθεί η συνάρτηση f όταν: i) A, f ()=3 5 f(0)=1, ii) A=, f ()=συν-ημ f(π)=, Ασκήσεις για λύση - iii) A=, f ()=4e 6 f '(0)=f(0)=1,

Διαβάστε περισσότερα

f (x ) f (x ) f (x )f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) 1 f (x )f (x )

f (x ) f (x ) f (x )f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) 1 f (x )f (x ) o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 26: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων.

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f () = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι σταθερή σ' όλο το διάστημα Δ. Πόρισμα Αν δύο συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

47 Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση gof, αν α) f και g, β) f ηµ και π γ) f ( ) και g εφ 4 g 48 ίνονται οι συναρτήσεις f + και g Να προσδιορίσετε τις συνα

47 Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση gof, αν α) f και g, β) f ηµ και π γ) f ( ) και g εφ 4 g 48 ίνονται οι συναρτήσεις f + και g Να προσδιορίσετε τις συνα ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 43 Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι f g Στις περιπτώσεις που είναι f g να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του στο οποίο ισχύει f g α) β) γ) f και f +

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να μελετήσουμε και να χαράξουμε τη γραφική παράταση μιας συνάρτησης ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της.. Εξετάζουμε την

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους 4 ι) f() = 6 + 6 iv) f() = log ( log4(- )) v) f() = ii) f() = iii) f() = log ( + ) 5 log 4 vii)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση z, z μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν z z = z z Έχουμε: z z = z z ( z z ) ( z z ) = z z z z = z z z z z z = z z z z. Το τελευταίο

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, εναρμονισμένο με την πρόσφατα καθορισμένη ύλη, απευθύνεται στους μαθητές της Γ Λυκείου που έχουν επιλέξει τον προσανατολισμό Θετικών Σπουδών ή Σπουδών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) 3 1 0 011 ΘΕΡΙΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω η συνάρτηση F()=f()+g(). Aν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Για τις Πανελλαδικές Εξετάσεις 07 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης.

( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης. . Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, µε συνεχή δεύτερη παράγωγο και σύνολο τιµών το διάστηµα [, ] a β, όπου a< < β. Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχουν δύο τουλάχιστον σηµεία,, µε, ώστε f ( ) =

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα