Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α"

Transcript

1 ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Περιλαμβάνει Αναλυτική Θεωρία Λυμένες Ασκήσεις Μεθοδολογία Ασκήσεις (Α. Κατανοώ, Β. Εμπεδώνω Γ. Προτεινόμενες Ασκήσεις Ερωτήσεις αντικειμενικού Τύπου Τέστ-Διαγωνίσματα Επαναλήψεις: Προετοιμάζομαι για τις εξετάσεις Σχολικό Έτος: 05-06

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ενότητα -Συναρτήσεις ΜΑΘΗΜΑ ο : Βασικές γνώσεις-επαναλήψεις 5 ΜΑΘΗΜΑ ο : Πεδίο Ορισμού Συνάρτησης.0 ΜΑΘΗΜΑ 3ο : Γραφικές Παραστάσεις.6 ΜΑΘΗΜΑ 4ο : Ισότητα συναρτήσεων-πράξεις συναρτήσεων...4 ΜΑΘΗΜΑ 5ο : Σύνθεση συναρτήσεων...30 ΜΑΘΗΜΑ 6ο : Ασκήσεις-Προβλήματα (Επανάληψη ενότητας)...36 Διαγώνισμα (Από στα μαθήματα -6)...40 Ενότητα -Συναρτήσεις ΜΑΘΗΜΑ 7ο : Μονοτονία συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑ 8ο : Ακρότατα συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑ 9ο : Συνάρτηση...5 ΜΑΘΗΜΑ 0ο : Αντίστροφη συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑ ο : Επανάληψη Ενότητας -Προετοιμάζομαι για τις εξετάσεις...75 Διαγώνισμα Θεωρίας (Από στα μαθήματα 7-)...86 Επαναληπτικό Διαγώνισμα στις Συναρτήσεις...88

3 Ενότητα 3-Ορια ΜΑΘΗΜΑ ο : Όριο συνάρτησης στο ΜΑΘΗΜΑ 3ο : Ιδιότητες ορίων...0 ΜΑΘΗΜΑ 4ο : Μη πεπερασμένο όριο στο ΜΑΘΗΜΑ 5ο : Όριο συνάρτησης στο άπειρο...35 ΜΑΘΗΜΑ 6ο : Επανάληψη στην ενότητα Τέστ Θεωρίας...54 Διαγώνισμα Επαναληπτικό στην ενότητα

4 ΕΝΟΤΗΤΑ Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Έννοια Συνάρτησης Πεδίο Ορισμού Συνάρτησης Γραφικές Παραστάσεις Ισότητα συναρτήσεων-πράξεις συναρτήσεων Σύνθεση συναρτήσεων 4

5 ΜΑΘΗΜΑ ο Βασικές γνώσεις-επαναλήψεις Τα βασικά σύνολα είναι: Το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν = {0,,, 3,...}, Το σύνολο των ακεραίων αριθμών Ζ = {..., 3,,, 0,,, 3,...}, Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεται με Q και είναι όλιο οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή, όπου α, β ακέραιοι με β 0. Το σύνολο R των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται με τα σημεία ενός άξονα, τ ο υ ά ξ ο ν α τ ω ν π ρ α γ μ α τ ι κ ώ ν α ρ ι θ μ ώ ν. Για τα σύνολα Ν, Ζ, Q και R ισχύει: Σχηματικά έχουμε: Πράξεις και διάταξη στο R Οι σπουδαιότερες ιδιότητες της διάταξης των πραγματικών αριθμών είναι οι: 5

6 Αν α β και β γ, τότε α γ Αν α, β 0 και ν ϵ N *, τότε ισχύει η ισοδυναμία: Aν αβ > 0, τότε ισχύει η ισοδυναμία: Διαστήματα πραγματικών αριθμών Αν α, β ϵ R με α < β, τότε ονομάζουμε διαστήματα με άκρα τα α, β καθένα από τα παρακάτω σύνολα: (α, β) = { ϵ R α < < β } : ανοικτό διάστημα [α, β] = { ϵ R α β } : κλειστό διάστημα [α, β) = { ϵ R α < β } : κλειστό-ανοικτό διάστημα (α, β] = { ϵ R α < β } : ανοικτό-κλειστό διάστημα. (Σχ. 3) 6

7 Αν α ϵ R, τότε ονομάζουμε μη φραγμένα διαστήματα με άκρο το α καθένα από τα παρακάτω σύνολα: (α, + ) = { ϵ R > α} [α, + ) = { ϵ R α} (, α) = { ϵ R < α} (, α] = { ϵ R α} (Σχ. 4) Υπό μορφή διαστήματος το σύνολο R το συμβολίζουμε με (,+ ). Τα σημεία ενός διαστήματος Δ, που είναι διαφορετικά από τα άκρα του, λέγονται εσωτερικά σημεία του Δ. Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α, που συμβολίζεται με α, ορίζεται ως εξής:, 0, 0 Οι βασικές ιδιότητες της απόλυτης τιμής είναι οι εξής: 7

8 3 4 ( 0) 5 6 ( 0) 7 ή ( 0) ή Α. Κατανοώ. Να γράψετε σε ποια σύνολα ανήκουν οι επόμενοι αριθμοί: 3, 4,, 3. Αν και να βρείτε σε ποιο διάστημα ανήκουν οι παραστάσεις: 3 και Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά: ( 0)

9 4. Να γράψετε σε μορφή διαστήματατος τις επόμενες ανισώσεις: Ανίσωση Διάστημα 5. Να γράψετε τα επόμενα διαστήματα σε μορφή ανισώσεων: Διάστημα (, ) Ανίσωση [, ) ( 3,7] [0, ] 5 3, Β. Εμπεδώνω. Να γράψετε τα παρακάτω σύνολα σε μορφή διαστήματος / 3 B / 9

10 ΜΑΘΗΜΑ ο Πεδίο Ορισμού Συνάρτησης Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του R. Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα), με την οποία κάθε στοιχείο ϵ A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της στο και συμβολίζεται με (). Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: Χρήσιμες παρατηρήσεις : A R () Το γράμμα, που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το γράμμα y, που παριστάνει την τιμή της στο, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή. Το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης συνήθως συμβολίζεται με D. Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της σε όλα τα ϵ A, λέγεται σύνολο τιμών της και συμβολίζεται με A. Είναι δηλαδή: / ( ) A y y ά A ΜΕΘΟΔΟΣ- Εύρεσης του πεδίου ορισμού μίας συνάρτησης Για να βρούμε το πεδίο ορισμού περιπτώσεις: D μίας συνάρτησης διακρίνουμε τις επόμενες η περίπτωση: A( ) Αν ( ), τότε λύνουμε την εξίσωση B( ) 0 και εξαιρούμε από το τα που B( ) μηδενίζουν τον παρονομαστή, δηλαδή το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: D / B( ) 0 0

11 η περίπτωση: Αν ( ) A( ), τότε λύνουμε την ανίσωση A( ) 0 και το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: D / A( ) 0 3 η περίπτωση: Αν ( ) ln A( ) ή ( ) log A( ), τότε λύνουμε την ανίσωση A( ) 0 και το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: D / A( ) 0 Προφανώς η εύρεση του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης μπορεί να αποτελεί και συνδυασμό των παραπάνω περιπτώσεων. Παραδείγματα- Ασκήσεις Λυμένες. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α) ( ) 4 ΛΥΣΗ ( η περίπτωση) α) Πρέπει: 3 β) g( ) Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: β) Πρέπει: D, 3 40 Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: Dg. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων:, 3 α) ( ) 3 β) g ( ) 4 3 ΛΥΣΗ ( η περίπτωση) α) Πρέπει:

12 3 0 3 Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: β) Πρέπει: D, ή 3 Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: g, 3, D 3. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ΛΥΣΗ (3 η περίπτωση) α) Πρέπει: α) ( ) ln β) g( ) log 3 0 Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: β) Πρέπει:,, D Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: g,, D 4. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 9 α) ( ) ln 5 4 ΛΥΣΗ (συνδυαστική περίπτωση) g( ) ln( ) β) 3 3

13 α) Πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα: ή Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: β) Πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα: 0 ή, 3 3, 4, D Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: D, Α. Κατανοώ. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: Α) ( ) 9. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: Β) g( ) ln Α) ( ) 5 5 Β) g( ) 5 3. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 3 Α) ( ) Β) g( ) Ασκήσεις από το Σχολικό Βιβλίο /Α. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων; 3

14 Β. Εμπεδώνω. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: Α) ( ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: Β) g( ) Α) ( ) 3 3 ln 8 3. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: Α) 3 ( ) ln 6 5 Β) g( ) g( ) 4 3 ln 4 4 ln( ) Β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: Α), ( ) 0,, 0 Β) g( ), 0, 5. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: e ( ) e ln g( ) ln e 6. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) + g( ) (Πεδία Ορισμού με παράμετρο) 7. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ), για κάθε 3 8. Να βρείτε την τιμή του, ώστε το πεδίο ορισμού των επόμενων συναρτήσεων να είναι το 9. Δίνονται οι συναρτήσεις: α) ( ) ln β) ( ) 3 log a, g( ) ln () 0 g ( ) 3, με a 4

15 Αν η C διέρχεται από το σημείο, 3 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου,.-.7 A : i) Να βρείτε το a. i) Nα βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. ii) Nα βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g. 0. Δίνεται η συνάρτηση: με 5 και 5 4 a, a 6 ( ), 7 i) Nα βρείτε το πεδίο ορισμου της συνάρτησης ii) Να βρείτε τις τιμές του α και του β iii), 3 iv) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 3 (Συναρτησιακές σχέσεις). Έστω μια συνάρτηση : 0, με: ln e για κάθε 0 i) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης ii) Να βρείτε τις τιμές:,,. Έστω μια συνάρτηση : με: ( ) ( ) i) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης, για κάθε ii) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης g( ) ( ) 5

16 ΜΑΘΗΜΑ 3 ο Γραφικές Παραστάσεις Γραφική παράσταση: Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Oy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο. Το σύνολο των σημείων M(, y) για τα οποία ισχύει των σημείων, ( ) συνήθως με Επομένως, η y, δηλαδή το σύνολο M, A, λέγεται γραφική παράσταση της και συμβολίζεται C. Η εξίσωση, λοιπόν, y = () επαληθεύεται μόνο από τα σημεία της y είναι η εξίσωση της γραφικής παράστασης της. C. Επειδή κάθε A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο y, δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της με την ίδια τετμημένη. Αυτό σημαίνει ότι κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με τη γραφική παράσταση της το πολύ ένα κοινό σημείο (Σχ. 7α). Έτσι, ο κύκλος δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης, αφού υπάρχουν κατακόρυφες ευθείες που έχει δύο κοινά σημεία με τη γραφική του παράσταση. (Σχ. 7β). Οταν δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, τότε: α) Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της C. β) Το σύνολο τιμών της είναι το σύνολο A των τεταγμένων των σημείων της C. γ) Η τιμή της στο 0 C (Σχ. 8). A είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας 0 και της 6

17 Όταν δίνεται η γραφική παράσταση C, μιας συνάρτησης μπορούμε, επίσης, να σχεδιάσουμε και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και όπως στα επόεμνα παραδείγματα: α) Η γραφική παράστασης της συνάρτησης - είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα, της γραφικής παράστασης της, γιατί αποτελείται από τα σημεία M (, ()) που είναι συμμετρικά των M(, άξονα. (Σχ. 9). ()), ως προς τον β) Η γραφική παράσταση της αποτελείται από τα τμήματα τηςc που βρίσκονται πάνω από τον άξονα και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα, των τμημάτων της C που βρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν. (Σχ. 0). Μερικές βασικές συναρτήσεις Η πολυωνυμική συνάρτηση () = α + β Η πολυωνυμική συνάρτηση () = α, α 0. 7

18 Η πολυωνυμική συνάρτηση () = α 3, α 0. Η ρητή συνάρτηση a, α 0. Οι συναρτήσεις ( ) και g( ). 8

19 Επειδή, 0 g( ), η γραφική παράσταση της αποτελείται απο δύο, 0 κλάδους. Ο ένας είναι η γραφική παράσταση της y προς τον άξονα y y. και ο άλλος η συμμετρική της ως Οι τριγωνικές συναρτήσεις : () = ημ, () = συν, () = εφ Υπενθυμίζουμε ότι, οι συναρτήσεις () = ημ και () = συν είναι περιοδικές με περίοδο T = π, ενώ η συνάρτηση () = εφ είναι περιοδική με περίοδο Τ = π. Η εκθετική συνάρτηση () = α, 0 < α. Υπενθυμίζουμε ότι: 9

20 y y a a a 3 y a a a a y a 4 y y a a a ( a 0 ),,, 7 ( ) 8 Αν a, τότε a a 9 Αν 0 a, τότε a a Η λογαριθμική συνάρτηση () = log α, 0 < α. Υπενθυμίζουμε ότι: y log ya a log a a 3 log a a 4 loga 0 5 log log log a a a 6 7 log log log a log a loga 8 lna e 9 Αν a, τότε loga loga 0 Αν 0 a, τότε loga loga a a 0

21 ΜΕΘΟΔΟΣ Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου,.-.7 Αν ζητείται να βρούμε τις τιμές του ώστε: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα, τότε λύνουμε την ανίσωση ( ) 0. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται κάτω από τον άξονα, τότε λύνουμε την ανίσωση ( ) 0. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g, τότε λύνουμε την ανίσωση ( ) g( ). Η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g, τότε λύνουμε την ανίσωση ( ) g( ). Τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και g, τότε Χρήσιμα: λύνουμε την εξίσωση ( ) g( ). Αν μία συνάρτηση διέρχεται από την αρχή των αξόνων, τότε σημαίνει ότι 0 0 Αν μία συνάρτηση διέρχεται από το σημείο A, 0 y o, τότε σημαίνει ότι y 0 o Α. Κατανοώ Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο 6/Α. Nα παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση: και από τη γραφική παράσταση να προσδιορίσετε το σύνολο των τιμών της σε καθεμιά περίπτωση. Β. Εμπεδώνω. Να βρείτε τα κοινά σημεία ων συναρτήσεων: i) και g( ) ii) ( ) και g( ) ( )

22 . Δίνεται η συνάρτηση:, ( ), a i) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g. ii) Με τη βοήθεια του (i) ερωτήματος, να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g. 3. Δίνεται η συνάρτηση:, g( ), ln, i) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. ii) Με τη βοήθεια του (i) ερωτήματος, να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο /Α. Για ποιές τιμές του ϵ R η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα, όταν: 3/Α. Για ποιές τιμές του ϵ R η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g, όταν: 5/Β. Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση:

23 Aπό τη γραφική παράσταση της να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της σε καθεμιά περίπτωση. /Β. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση είναι : 3

24 ΜΑΘΗΜΑ 4 ο Ισότητα συναρτήσεων-πράξεις συναρτήσεων Ισότητα συναρτήσεων Έστω οι συναρτήσεις: ( ) 3 και g( ) Παρατηρούμε ότι: οι συναρτήσεις, g έχουν κοινό πεδίο ορισμού το σύνολο Α = R και για κάθε A ισχύει ( ) g( ), αφού 3 ( ) g( ) Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι οι συναρτήσεις, g είναι ίσες Γενικά: OΡΙΣΜΟΣ Δύο συναρτήσεις και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει ( ) g( ). Για να δηλώσουμε ότι δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες γράφουμε g. Έστω τώρα, g δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α, Β αντιστοίχως και Γ ένα υποσύνολο των Α και Β. Αν για κάθε ϵ Γ ισχύει ( ) g( ), τότε λέμε ότι οι συναρτήσεις και g είναι ίσες στο σύνολο Γ. (Σχ. ) 4

25 Για παράδειγμα, οι συναρτήσεις ( ) και g( ) που έχουν πεδία ορισμού τα σύνολα A = R {} και B = R {0} αντιστοίχως, είναι ίσες στο σύνολο Γ = R {0,}, αφού για κάθε ισχύει ( ) g( ). Παράδειγματα-Ασκήσεις Λυμένες (Άσκηση από το σχολικό βιβλίο) 7/Α. Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι g. Στις περιπτώσεις που είναι g να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του στο οποίο ισχύει ( ) g( ). ΛΥΣΗ i) ii) iii) ( ) ( ) ( ) και g( ) και g( ) και g( ) i) Τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων και g είναι αντίστοιχα: Επομένως ( ) g( ) D και Dg 0, ( ), για κάθε 0, g( ) και. ii) Τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων και g είναι αντίστοιχα: Έχουμε: D,0 και ( ) και Επομένως ( ) g( ), για κάθε 0. D g *, 0 g( ), 0 5

26 iii) Τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων και g είναι αντίστοιχα: Έχουμε: Επομένως Επομένως ( ) g( ) D 0,, και Dg 0, ( ), για κάθε 0,,. Πράξεις με συναρτήσεις Έστω οι συναρτήσεις: ( ) και g( ) Το πεδίο ορισμού της είναι A, και της g το B, ορισμού τους, ορίζουμε τις συναρτήσεις:. Στο κοινό πεδίο Άθροισμα των, g : g( ) ( ) g( ) Διαφορά των, g : g( ) ( ) g( ) Γινόμενο των, g : g( ) ( ) g( ) Ειδικά για το πηλίκο των, g ορίζουμε στο κοινό πεδίο ορισμού: ( ) ( ), g( ) 0 g,δηλαδή g( ) ( ), g Το πεδίο ορισμού των g, g, g είναι η τομή A B των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της g είναι το A B, εξαιρουμένων των τιμών του που μηδενίζουν τον παρονομαστή g(), δηλαδή το σύνολο: / A B, g( ) 0 / A B, g( ) 0 6

27 Παραδείγματα-Ασκήσεις Λυμένες Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου,.-.7. Δίνονται οι συναρτήσεις: ( ) και g( ) Να βρείτε τις συναρτήσεις g, g, g, g ΛΥΣΗ Βρίσκουμε πρώτα το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων και g. Έχουμε: Άρα D,. Ακόμα, 0, άρα Dg, 0 Επομένως για την εύρεση των συναρτήσεων g, g, g, εργαζόμαστε για κάθε,. Έχουμε: Για τη συνάρτηση g,, g( ),, g,, g ισχύει αν, πρέπει επιπλέον να είναι g ( ) 0 0, το οποίο. Οπότε:. Δίνονται οι συναρτήσεις:, g,, 0 ( ) και, 0, 0 g( ), 0 Να βρείτε τις συναρτήσεις g και g. 7

28 ΛΥΣΗ Στην περίπτωση αυτή το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων, g είναι το,0 0,. Για 0 έχουμε: Για 0 έχουμε: g ( ) g Για 0 είναι (0), g(0) και άρα: Επομένως: g ( ) g g(0) 3 και g(0), 0 g( ), 0 3, 0, 0 g, 0, 0 και Α. Κατανοώ Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο 8/Α. Δίνονται οι συναρτήσεις: Να βρείτε τις συναρτήσεις g, g, g, g 9/Α. Ομοίως για τις συναρτήσεις: και g( ) και g( ) 8

29 . Δίνονται οι συναρτήσεις: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου,.-.7 Β. Εμπεδώνω Να βρείτε τις συναρτήσεις. Δίνονται οι συναρτήσεις:, 0 ( ), 0, 0 g και g. και, 0 g( ), 0 ( ) Να βρείτε τις συναρτήσεις,, g και g. και g( ), 0, 0 3. Δίνονται οι συναρτήσεις, g : με: g ( ) g ( ) 6 5 g ( ) ( ), για κάθε i) Να βρείτε τους τύπους των συναρτήσεων, g ii) Να υπολογίσετε την παράσταση: A ( ) g( ) ( ) 8 9

30 ΜΑΘΗΜΑ 5 ο Σύνθεση συναρτήσεων Έστω η συνάρτηση ( ). Η τιμή της φ στο μπορεί να οριστεί σε δύο φάσεις ως εξής: α) Στο ϵ R αντιστοιχίζουμε τον αριθμό y = και στη συνέχεια β) στο y = αντιστοιχίζουμε τον αριθμό y, εφόσον y = 0. η g( y) y, που έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Β = [0, + ) (β φάση). Έτσι, η τιμή της φ στο γράφεται τελικά: ( ) g ( ) Η συνάρτηση λέγεται σύνθεση της με την g και συμβολίζεται με go. Το πεδίο ορισμού της δεν είναι ολόκληρο το πεδίο ορισμού Α της, αλλά περιορίζεται στα A για τα οποία η τιμή ( ) ανήκει στο πεδίο ορισμού Β της g, δηλαδή είναι το σύνολο A = [, + ). Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Αν, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της με την g, και τη συμβολίζουμε με go, τη συνάρτηση με τύπο go g ( ) ( ). Το πεδίο ορισμού της go αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της για τα οποία το ( ) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι το σύνολο : 30

31 A A / ( ) B Είναι φανερό ότι η go ορίζεται αν A Ø, δηλαδή αν (A) B Ø. Ερώτηση: Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της og ; ΠΡΟΣΟΧΗ Στη συνέχεια, θα ασχοληθούμε μόνο με συναρτήσεις που οι συνθέσεις τους έχουν πεδίο ορισμού διάστημα ή ένωση διαστημάτων. ΣΧΟΛΙΑ Στην παραπάνω εφαρμογή παρατηρούμε ότι go og. Γενικά, αν, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι go και og, τότε αυτές δ ε ν ε ί ν α ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά ίσες. Αν, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η hogo, τότε ορίζεται και η hogo και ισχύει: ho go hog o Τη συνάρτηση αυτή τη λέμε σύνθεση των, g, h και τη συμβολίζουμε με hogo. Η σύνθεση συναρτήσεων γενικεύεται και για περισσότερες από τρεις συναρτήσεις. Παραδείγματα-Ασκήσεις Λυμένες. Να προσδιορίσετε τη σύνθεση og αν: ( ) e και g( ) ln( ) ΛΥΣΗ Τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων, g είναι αντίστοιχα πεδίο ορισμού της og είναι: D και Dg,. Το og, / ( ), D g. 3

32 Για κάθε, έχουμε: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου,.-.7 og g e ln( ) ( ) ( ) ln( ) ( ) Σημαντική παρατήρηση: Για να βρούμε τη og (ή τη go ) βρίσκουμε πρώτα το πεδίο ορισμού της og (ή της go ) με D og (ή Dgo ) και έπειτα τον τύπο της. Δεν είναι σωστό (και ούτε πάντα το ίδιο) να βρούμε τον τελικό τύπο της og (ή της go ) και από αυτόν να προσδιορίσουμε το πεδίο ορισμού της og (ή της go ).. Να προσδιορίσετε τη σύνθεση og και την go αν: ( ) και g( ) ΛΥΣΗ Τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων, g είναι αντίστοιχα, D και Dg. Το πεδίο ορισμού της og είναι: og / ( ), / / 0 0, D g Για κάθε 0, έχουμε: og ( ) g( ) Το πεδίο ορισμού της go είναι: Για κάθε, go έχουμε:, / ( ), D go ( ) g( ( )) g( ) 3 3

33 3. Έστω η συνάρτηση με πεδίο ορισμού το A 0,. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: i) ( 4) ii) ( e ) iii) (ln ) iv) ( 4 4) ΛΥΣΗ i) Πρέπει: Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το A 4,6 4 0, ii) Πρέπει: e e e 0, 0 ln ln Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το A, ln iii) Πρέπει: ln 0, 0 ln ln 0 ln e Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το A3, e iv) Πρέπει: 4 4 0, ( ) 0 4 0,,0 0, Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το A4,0 0, 33

34 Α. Κατανοώ Άσκηση από το σχολικό βιβλίο: 0/Α. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση go, αν /Α. Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) και g( ). Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις go και og. Β. Εμπεδώνω Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο: 7/Α. Δίνονται οι συναρτήσεις () = + και g() = α +. Για ποια τιμή του α ϵ R ισχύει og go ; /Α. Να εκφράσετε τη συνάρτηση ως σύνθεση δύο ή περισσοτέρων συναρτήσεων, αν. Δίνεται η συνάρτηση : Να αποδείξετε ότι: με: Προτεινόμενες Ασκήσεις o ( ), για κάθε i) () ii) ( ) ( ) iii) (0) () 0. Δίνεται η συνάρτηση : με: o ( ) 3, για κάθε Να αποδείξετε ότι: i) () ( ) (3 ) 3 ii) 34

35 3. Δίνονται οι συναρτήσεις: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου,.-.7 ( ) e, g( ) ln( ), h( ) Να βρεθεί η σύνθεση ogoh 35

36 ΜΑΘΗΜΑ 6 ο Ασκήσεις-Προβλήματα (Επανάληψη) Α. Από το σχολικό βιβλίο 6/Β. Να βρείτε συνάρτηση τέτοια, ώστε να ισχύει : 8/Β. Δίνονται οι συναρτήσεις: α) (()) =, για κάθε ϵ R {α} και β) g(g()) =, για κάθε ϵ [0, ]. 3/Β. Στο επόμενο σχήμα είναι AB =, AΓ = 3 και ΓΔ =. Να εκφράσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου ως συνάρτηση του = ΑΜ, όταν το Μ διαγράφει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ. /Β. Ένα κουτί κυλινδρικού σχήματος έχει ακτίνα βάσης cm και όγκο 68 cm 3. Το υλικό των βάσεων κοστίζει 4 δρχ. ανά cm, ενώ το υλικό της κυλινδρικής επιφάνειας,5 δρχ. ανά 36

37 cm. Να εκφράσετε το συνολικό κόστος ως συνάρτηση του. Πόσο κοστίζει ένα κουτί με ακτίνα βάσης 5 cm, και ύψος 8 cm; 4/Β. Ένα ορθογώνιο ΚΛΜΝ ύψους cm είναι εγγεγραμμένο σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ βάσης ΒΓ = 0cm και ύψους ΑΔ = 5cm. Να εκφράσετε το εμβαδό Ε και την περίμετρο Ρ του ορθογωνίου ως συνάρτηση του. ΕΡΓΑΣΙΑ: 4/Α. Οι ανθρωπολόγοι εκτιμούν οτι το ύψος του ανθρώπου δίνεται από τις συναρτήσεις: A() =, ,64 (για τους άνδρες) και Γ() =,75 + 7,48 (για τις γυναίκες) όπου σε εκατοστά, το μήκος του βραχίονα. Σε μία ανασκαφή βρέθηκε ένα οστό από βραχίονα μήκους 0,45 m. α) Αν προέρχεται από άνδρα ποιο ήταν το ύψος του; β) Aν προέρχεται από γυναίκα ποιο ήταν το ύψος της; 5/Α. Σύρμα μήκους l = 0cm κόβεται σε δύο κομμάτια με μήκη cm και (0 ) cm. Με το πρώτο κομμάτι σχηματίζουμε τετράγωνο και με το δεύτερο ισόπλευρο τρίγωνο. Να βρείτε το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων ως συνάρτηση του. 9/Β. Οι πολεοδόμοι μιας πόλης εκτιμούν ότι, όταν ο πληθυσμός Ρ της πόλης είναι εκατοντάδες χιλιάδες άτομα, θα υπάρχουν στην πόλη χιλιάδες αυτοκίνητα. Έρευνες δείχνουν ότι σε t έτη από σήμερα ο πληθυσμός της πόλης θα είναι εκατοντάδες χιλιάδες άτομα. i) Να εκφράσετε τον αριθμό Ν των αυτοκινήτων της πόλης ως συ-νάρτηση του t. 37

38 ii) Πότε θα υπάρχουν στην πόλη 0 χιλιάδες αυτοκίνητα.; Β. Προτεινόμενες Ασκήσεις. Δίνονται οι συναρτήσεις: ln και g( ) e α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων και g. β) Να βρείτε τις συναρτήσεις og και go. γ) Να βρείτε τα σημείο τομής των συναρτήσεων και g (αν υπάρχουν). δ) Να βρείτε τα σημείο τομής των και g με τους άξονες.. Δίνονται οι συναρτήσεις: και g( ) α) Να εξετάσετε σε ποιο σύνολο οι συναρτήσεις, g είναι ίσες. β) Να βρείτε για ποια η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g. γ) Να βρείτε για ποια η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα. 3. Δίνονται οι συναρτήσεις: και α) Να βρείτε τις συναρτήσεις og και go. g( ) β) Να βρείτε για ποια η γραφική παράσταση της συνάρτησης og βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g. γ) Να βρείτε για ποια η γραφική παράσταση της συνάρτησης go βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g. δ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων go, και g. 4. Δίνεναι η συνάρτηση : 0, με: 38

39 Να αποδείξετε ότι: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου,.-.7 y y, για κάθε, y 0 i) () 0 ii) ( ), 0 iii) ( ) ( y) y,, y 0 5. Δίνεναι η συνάρτηση : Να αποδείξετε ότι: με: i) (0) 0, (), ( ) y y, για κάθε, y ii) H είναι άρτια iii), 39

40 Διαγώνισμα στην ενότητα ΘΕΜΑ ο Α. Να δώσετε τους παρακάτω ορισμούς: Α. Πότε δύο συναρτήσεις και g λέγονται ίσες; Α. Πως ορίζεται η σύνθεση og ; (Μονάδες 8) (Μονάδες 7) Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλα σας τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη.. Αν ορίζονται οι συνθέσεις og και go, τότε είναι υποχρεωτικά ίσες. Ισχύει: ho og ho og 3. Αν A είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και B το πεδίο ορισμού της g, τότε το πεδίο ορισμού της g είναι A B. 4. Αν δύο συναρτήσεις, g έχουν πεδία ορισμού αντίστοιχα A και B με A B, τότε το πεδίο ορισμού της g είναι το B. 5. Αν δύο συναρτήσεις, g έχουν πεδία ορισμού αντίστοιχα A και B, τότε το πεδίο ορισμού της g είναι πάντα το A B. (Μονάδες 5Χ3=5) ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι συναρτήσεις: ( ) ln( ) και ( ) g e Α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των, g (Μονάδες ) Β. Να βρείτε τις συναρτήσεις g και g (Μονάδες 0) Γ. Να ορίσετε τις συναρτήσεις og και go (Μονάδες 8) 40

41 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνονται οι συναρτήσεις: και g( ) Α. Να εξετάσετε σε ποιο σύνολο οι συναρτήσεις, g είναι ίσες. (Μονάδες 8) Β. Να βρείτε για ποια η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g. (Μονάδες ) Γ. Να βρείτε για ποια η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα. (Μονάδες 0) 4

42 ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Συνάρτηση «-» Αντίστροφη Συνάρτησης 4

43 ΜΑΘΗΜΑ 7 ο Μονοτονία συνάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση λέγεται : γνησίως αύξουσα σ' ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, με ισχύει ( ) ( ) (Σχ. α) γνησίως φθίνουσα σ' ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, με ισχύει ( ) ( ) (Σχ. β) Για να δηλώσουμε ότι η είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) σε ένα διάστημα Δ, γράφουμε Δ (αντιστοίχως Δ). Για παράδειγμα, η συνάρτηση ( ) : είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+ ), αφού για 0 έχουμε ( ) ( ) είναι γνησίως φθίνουσα στο (,0], αφού για 0 έχουμε 0, οπότε 0 ( ) ( ), δηλαδή, δηλαδή 43

44 Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η είναι γνησίως μονότονη στο Δ. Στην περίπτωση που το πεδίο ορισμού της είναι ένα διάστημα Δ και η είναι γνησίως μονότονη σ' αυτό, τότε θα λέμε, απλώς, ότι η είναι γνησίως μονότονη. Σημείωση: Μια συνάρτηση λέγεται, απλώς: αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ, όταν για οποιαδήποτε, ϵ Δ με ισχύει: ( ) ( ) φθίνουσα σ' ένα διάστημα Δ, όταν για οποιαδήποτε, ϵ Δ με ισχύει: ( ) ( ) ΜΕΘΟΔΟΣ: Πως αποδεικνύουμε ότι μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη Όταν ζητείται να αποδείξουμε ότι μία συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα (ή γνησίως φθίνουσα) τότε βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της Α και λέμε: «Έστω, A...και κατασκευάζουμε την ανισότητα ( ) ( ) (ή ( ) ( ) αντίστοιχα). ΜΕΘΟΔΟΣ-«Δυσεπίλυτης» ανίσωσης Για να λύσουμε μία ανίσωση της μορφής ( g( )) ( h( )) ή ( g( )) ( h( )) στο Δ αν γνωρίζουμε (ή έχουμε αποδείξει) ότι η είναι γνησίως μονότονη στο Δ, τότε: Α) Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο Δ έχουμε: 44

45 ( g( )) ( h( )) g( ) h( ) ( g( )) ( h( )) g( ) h( ) και λύνουμε μία ευκολότερη ανίσωση. Β) Αν η είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ έχουμε: ( g( )) ( h( )) g( ) h( ) ( g( )) ( h( )) g( ) h( ) και λύνουμε μία ευκολότερη ανίσωση. Γ) Αν έχουμε να λύσουμε μία ανίσωση της μορφής ( ) προσπαθούμε να βρούμε με παρατήρηση, τέτοιο ώστε ( a) a ή ( ) και έχουμε: a στο Α, ( ) a ( ) ( ), a ή, ( ) a ( ) ( ), a Παράδείγματα-Ασκήσεις Λυμένες (Άσκηση από το σχολικό βιβλίο) /Α. Nα βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες ΛΥΣΗ i) ( ) ii) ( ) ln( ) iii) ( ) 3e i) Πρέπει 0 ( ) iv), επομένως το πεδίο ορισμού της είναι D,,, με. Έχουμε:. Έστω ( ) ( ) Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο D. 45

46 ii) Πρέπει 0,, με Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου,.-.7 επομένως το πεδίο ορισμού της είναι D,. Έχουμε:. Έστω ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ( ) ( ) Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο D. iii) To πεδίο ορισμού της είναι το. Έστω, με. Έχουμε: e e e e 3 3 3e 3e ( ) ( ) Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο. iv) To πεδίο ορισμού της είναι το. Έστω, με. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:,, και έχουμε: ( ) ( ) Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο,.,, και έχουμε: ( ) ( ) Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο,. 4/Α. Να δείξετε ότι: i) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. ii) Αν δύο συναρτήσεις, g είναι γνησίως αύξουσες σε ένα διάστημα Δ, τότε η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. 46

47 iii) Αν δύο συναρτήσεις, g είναι γνησίως αύξουσες σε ένα διάστημα Δ και ισχύει ( ) 0 και g( ) 0 για κάθε, τότε η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Ανάλογα συμπεράσματα διατυπώνονται, αν οι, g είναι γνησίως φθίνουσες σε ένα διάστημα Δ. Α. Κατανοώ. Να εξετάσετε την μονοτονία των συναρτήσεων: i) ( ) e 3 3 ii) g( ). Να εξετάσετε την μονοτονία των συναρτήσεων: i) ( ) log(3 ) ii) g Β. Εμπεδώνω ( ) 3ln. Δίνεται η συνάρτηση: 5 3 ( ) 3 6 i) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. ii) Να λύσετε την εξίσωση iii) Να λύσετε την ανίσωση e 3e e 6. Δίνεται η συνάρτηση: ( ) a, a i) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. ii) Να λύσετε την ανίσωση: 4 a 3. Δίνεται η συνάρτηση: i) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία. ii) Να λύσετε την ανίσωση ( ) 3 iii) Να λύσετε την ανίσωση: 3 ( ) e e e 3 47

48 4. Δίνονται οι συναρτήσεις, g :. i) Αν η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και η g γνησίως αύξουσα, να εξετάσετε τη μονοτονία της συνάρτησης og. ii) Να λύσετε την ανίσωση: 5. Δίνεται η συνάρτηση : og ( 4 ) og 4 με ( ) e. i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη. ii) Να λύσετε την ανίσωση: 6. Δίνεται η συνάρτηση e e 3 ( ) ln,. i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη. ii) Να λύσετε την ανίσωση: 4 ln Να λύσετε τις επόμενες ανισώσεις, αν γνωρίζετε ότι η συνάρτηση : γνησίως αύξουσα: i) ii) e 4 e 5 iii) ln είναι 48

49 ΜΑΘΗΜΑ 8 ο Ακρότατα συνάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι : Παρουσιάζει στο 0 A (Σχ. 7α) A (ολικό) μέγιστο, το ( 0), όταν ( ) ( 0 ) για κάθε Παρουσιάζει στο 0 (Σχ. 7β) A (ολικό) ελάχιστο, το το ( 0), όταν το ( 0) για κάθε ϵ A Για παράδειγμα: Η συνάρτηση () = + (Σχ. 8α) παρουσιάζει μέγιστο στο 0 = 0, το (0) =, αφού () (0) για κάθε ϵ R. Η συνάρτηση () = (Σχ. 8β) παρουσιάζει ελάχιστο στο 0 =, το () = 0, αφού () () για κάθε ϵ R. 49

50 Η συνάρτηση () = ημ (Σχ. 9α) παρουσιάζει μέγιστο, το y =, σε καθένα από τα σημεία κπ + π/, κ ϵ Z και ελάχιστο, το y =, σε καθένα από τα σημεία κπ π/, κ ϵ Z, αφού ημ για κάθε ϵ R. Η συνάρτηση () = 3 (Σχ. 9β) δεν παρουσιάζει ούτε μέγιστο, ούτε ελάχιστο, αφού είναι γνησίως αύξουσα. Άλλες συναρτήσεις παρουσιάζουν μόνο μέγιστο, άλλες μόνο ελάχιστο, άλλες και μέγιστο και ελάχιστο και άλλες ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο. Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης λέγονται (ολικά) ακρότατα της. Παράδείγματα-Ασκήσεις Λυμένες. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή των συναρτήσεων: i) ( ) 3 ii) g( ) 4. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή των συναρτήσεων: i) ( ) 5 3 ii) Α. Κατανοώ. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή των συναρτήσεων: 3 i) ( ) ii) ( ) 50

51 . Να βρείτε την ελάχιστη τιμή των συναρτήσεων: i) ( ) 3 ii) g( ). Έστω οι συναρτήσεις, g :. Β. Εμπεδώνω i) Αν η έχει μέγιστο στο o και η g είναι γνησίως φθίνουσα, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση og έχει ελάχιστο στο o. ii) Αν η έχει ελάχιστο στο o και η g είναι γνησίως αύξουσα, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση og έχει μέγιστο στο o.. Έστω οι συναρτήσεις, g :. i) Αν η έχει μέγιστο στο o, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση έχει ελάχιστο στο o. ii) Αν η έχει ελάχιστο στο o, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση με 0 έχει μέγιστο στο o. Οι ασκήσεις με τα ακρότατα λύνονται ευκολότερα με όσα θα μάθουμε στο ο Κεφάλαιο. Για το λόγο αυτό μας αρκεί να καταλάβουμε τις έννοιες τώρα. 5

52 ΜΑΘΗΜΑ 9 ο Συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση : λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: «Aν, τότε ( ) ( )» που σημαίνει ότι: "Τα διαφορετικά στοιχεία, D έχουν πάντοτε διαφορετικές εικόνες Εναλλακτικά: Μια συνάρτηση : είναι συνάρτηση, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: «Αν ( ) ( ), τότε» Έστω η συνάρτηση ( ) συνεπαγωγή αν, ( ) ( ).. Παρατηρούμε ότι για οποιαδήποτε, 0 ισχύει η ΣΧΟΛΙΑ Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση είναι «-», αν και μόνο αν: 5

53 Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση () = y έχει ακριβώς μια λύση ως προς. Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη. Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της το πολύ σε ένα σημείο. Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε προφανώς, είναι συνάρτηση ''-'' Υπάρχουν, όμως, συναρτήσεις που είναι - αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες, όπως για παράδειγμα η συνάρτηση: Μια συνάρτηση που είναι άρτια στο Α δεν είναι και «-» αφού ισχύει ( ) ( ) για κάθε A. Παράδείγματα-Ασκήσεις Λυμένες. Να αποδείξετε ότι οι επόμενες συναρτήσεις είναι «-» στο πεδίο ορισμού τους: ΛΥΣΗ i) ( ) e ii) i) Το πεδίο ορισμού της είναι D. Για κάθε, g( ) ln με έχουμε: e e e e Επομένως η είναι «-» στο. ii) Πρέπει αρχικά να έχουμε: και 53

54 0 0 0 Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) Για κάθε,, με g g g g g είναι g, έχουμε: D. ln ln ln ln Επομένως η είναι «-» στο,.. Να αποδείξετε ότι οι επόμενες συναρτήσεις δεν είναι «-» ΛΥΣΗ 3 i) ( ) 3 ii) g( ) 4 Μπορούμε, εκτός από τη γενικότητα, να αποδείξουμε ότι οι συναρτήσεις δεν είναι «-» βρίσκοντας ένα αντιπαράδειγμα, δηλαδή ένα ζεύγος,, με αλλά με ίσες εικόνες. Το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων, g είναι το. i) Αν, 4 έχουμε: Επομένως η είναι «-» στο. ii) Αν 0 ( ) ( ) 0 ( 4) ( ) έχουμε: g( ) g g Επομένως η είναι «-» στο. 3. Έστω συνάρτηση : Να αποδείξετε ότι η είναι: i) περιττή ii) «-» ΛΥΣΗ με o ( ), για κάθε. i) Για να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση είναι περιττή θα πρέπει να αποδείξουμε ότι για κάθε, ισχύει ( ) ( ). 54

55 ΜΕΘΟΔΟΣ-Πως αποδεικνύουμε ότι μία συνάρτηση (δεν) είναι «-» Αν ζητείται να αποδείξουμε ότι μία συνάρτηση είναι «συνάρτηση -» βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της Α (αν δεν δίνεται) και λέμε: «Έστω, A με ( ) ( ).... Αν η παραπάνω διαδικασία οδηγεί σε αδιέξοδο, τότε μπορούμε να δοκιμάσουμε να αποδείξουμε ότι η φθινουσα). είναι γνησίως μονότονη (γνησίως αύξουσα ή γνησίως Αν ζητείται να αποδείξουμε ότι μία συνάρτηση δεν είναι «συνάρτηση -» βρίσκουμε ένα τουλάχιστον αντιπαράδειγμα, δηλαδή δύο σημεία, του πεδίου ορισμού της με και ( ) ( ). Αν ζητείται να εξετάσουμε αν μία συνάρτηση είναι «συνάρτηση -» βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της Α (αν δεν δίνεται) και λέμε: «Έστω, A με ( ) ( ). Καταλήγουμε σε σχέση από την οποία αν δεν μπορούμε οπωσδήποτε να έχουμε μόνο, αλλά και κάτι εναλλακτικό, τότε η δεν είναι «-». ΜΕΘΟΔΟΣ-Λύση «δυσεπίλυτης» εξίσωσης Αν έχουμε να λύσουμε μία εξίσωση: Α) Της μορφής ( ) a () με a, τότε αν η συνάρτηση είναι «-» η εξίσωση έχει το πολύ μία ρίζα. Ειδικότερα αν Α είναι το πεδίο ορισμού της και a A η εξίσωση () έχει ακριβώς μία λύση η οποία μορεί να βρεθεί με παρατήρηση ή να αποδειχθεί η ύπαρξη της, όπως θα μάθουμε παρακάτω. Αν a A, τότε η εξίσωση () δεν έχει λύση στο Α. Β) Της μορφής ( g( )) ( h( )) με την να είναι «-» στο Α, τότε έχουμε να λύσουμε την ευκολότερη εξίσωση g( ) h( ). Α. Κατανοώ. Να αποδείξετε ότι οι επόμενες συναρτήσεις είναι «-» στο πεδίο ορισμού τους: i) ( ) e ii) g( ) ln. Να αποδείξετε ότι οι επόμενες συναρτήσεις δεν είναι «-» 3 i) ( ) 5 ii) g( ) 0 55

56 3. Να εξετάσετε αν οι επόμενες συναρτήσεις είναι «-» 3, 0 i) ( ), 3, 3 ii) g( ), 0 Β. Εμπεδώνω. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) e. Δίνεται η συνάρτηση 7 ii) ln( ) ( ), iii) e 8 i) Να βρείτε το () ii) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι «-» iii) Να λύσετε την εξίσωση 3. Έστω συνάρτηση : Να αποδείξετε ότι: i) H είναι «-» με o ( ) ( ) 3, για κάθε. ii) Να λύσετε την εξίσωση Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση :. i) Να αποδείξετε ότι η σνάρτηση g ( ) 06 δεν είναι «-». ii) Να λύσετε στο, την ανίσωση: 04 ( ) Να λύσετε τις εξισώσεις, αν γνωρίζετε ότι η συνάρτηση : i) ii) e 4 e 5 6. Δίνεται η συνάρτηση είναι «-» iii) ln ( ) ln,. i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη. ii) Να λύσετε την εξίσωση: 56

57 4 ln Δίνεται η συνάρτηση : με ( ) e. i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη. ii) Να λύσετε την εξίσωση: e e 3 57

58 ΜΑΘΗΜΑ 0 ο Αντίστροφη συνάρτησης Έστω μια συνάρτηση : A R. Αν υποθέσουμε ότι αυτή είναι -, τότε για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών, (A), της υπάρχει μοναδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Αγια το οποίο ισχύει () = y. Επομένως ορίζεται μια συνάρτηση g : (A) R με την οποία κάθε y ϵ (A) αντιστοιχίζεται στο μοναδικό ϵ A για το οποίο ισχύει () =y. Από τον τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι: έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών (A) της, έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της και ισχύει η ισοδυναμία: ( ) y g( y) 58

59 Αυτό σημαίνει ότι, αν η αντιστοιχίζει το στο y, τότε η g αντιστοιχίζει το y στο και αντιστρόφως. Δηλαδή η g είναι η αντίστροφη διαδικασία της. Για το λόγο αυτό η g λέγεται αντίστροφη συνάρτηση της και συμβολίζεται με. Επομένως έχουμε ( ) y ( y) ( ), A και ( y) y, y A Λόγω του παραπάνω συμπεράσματος έχουμε: Αν ένα σημείο M(α, β) ανήκει στη γραφική παράσταση C της, τότε το σημείο Μ (α,β) θα ανήκει στη γραφική παράσταση C της και αντιστρόφως. Τα σημεία, όμως, αυτά είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy. Επομένως: Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy. 59

60 Έτσι, οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων () = α και g() = log α, 0< α, είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y =. Προφανώς ισχύει. ΜΕΘΟΔΟΣ-Εύρεση της αντίστροφης συνάρτησης και του συνόλου τιμών της Έστω : Για να βρούμε την αντίστροφη συνάρτηση της Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της Α (αν δεν δίνεται). Κατόπιν αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση που δόθηκε είναι «-» στο Α και επομένως υπάρχει η αντίστροφη της στο Α. Θέτουμε: y ( ) και λύνουμε ως προς [με ( ) ], θέτοντας όλους τους περιορισμούς που προκύπτουν ως προς y και με A. Τέλος εναλλάσουμε τα, y και έχουμε τον τύπο της ). με το πεδίο ορισμού της (δηλαδή το σύνολο τιμών της Με την παραπάνω διαδικασία και θέτοντας όλους τους περιορισμούς ως προς y βρίσκουμε το σύνολο τιμών της ( ή D D ). ΒΑΣΙΚΟ ΣΧΟΛΙΟ Αν λύνοντας την εξίσωση y ( ) ως προς A διαπιστώσουμε ότι έχει: Το πολύ μία ρίζα στο Α για κάθε y ή Μία ακριβώς ρίζα στο Α για κάθε y, τότε η συνάρτηση είναι «-». ΜΕΘΟΔΟΣ-Λύση εξισώσεων και Οι εξισώσεις και είναι ισοδύναμες μόνο όταν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. Ο ισχυρισμός αυτός, όταν χρσιμοποιείται, χρειάζεται απόδειξη αφού δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο. Στην περίπτωση αυτή λύνουμε την πιο εύκολη από τις δύο εξισώσεις. 60

61 Δηλαδή τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων C και C της και, όταν υπάρχουν, βρίσκονται πάνω στην ευθεία y γνησίως αύξουσα., μόνο όταν η είναι Στη λύση εξισώσεων που περιέχουν όρους της μορφής g( ) απαιτούμε η g( ) D πρέπει να, δηλαδή η g( ) να ανήκει στο σύνολο τιμών της. ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ (που μπορεί να χρησιμοποιείται στις ασκήσεις αφού πρώτα αποδειχθεί). «Αν : είναι γνησίως μονότονη στο Α, τότε η στο A.» έχει το ίδιο είδος μονοτονίας Απόδειξη: Έστω ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο Α. Έστω y, y A αποδείξουμε ότι y y. Εχουμε y, y, A. Τότε y, y και άρα: με y y. Θα για κάποια y y y y Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο A. Με όμοιο τρόπο αποδεικνύεται και η περίπτωση που η : είναι γνησίως φθίνουσα στο Α (τότε και η είναι γνησίως φθίνουσα στο A. Η πρόταση αυτή ενδεχομένως να μας χρειαστεί όταν μας ζητείται η μονοτονία της στο Α και είναι δύσκολη (ή και αδύνατη) η κατασκευή με τις ανισότητες. Τότε πιθανόν η εύρεση της μονοτονίας της αντίστροφης στο A να είναι ευκολότερη. ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ (που μπορεί να χρησιμοποιείται στις ασκήσεις αφού πρώτα αποδειχθεί). «Αν : είναι γνησίως αύξουσα και οι γραφικές παραστάσεις C, C των συναρτήσεων ευθεία y., τέμνονται, τότε τα κοινά τους σημεία βρίσκονται πάνω στην 6

62 Απόδειξη Έστω ότι οι γραφικές παραστάσεις C, C των συναρτήσεων σημείο M, το οποίο δεν ανήκει στην ευθεία y έχουμε (), ( ) (), τέμνονται στο, δηλαδή. Ακόμα, αφού το σημείο Μ είναι κοινό σημείο της C, C. Διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: Αν, τότε έχουμε διαδοχικά: ( ) ( ), που είναι άτοπο. Αν ( ) ( ), που είναι άτοπο. Επομένως και άρα το κοινό σημείο Μ των C, C ανήκει στην ευθεία y. Άρα αν μας ζητείται να βρούμε τα κοινά σημεία των C, C μπορούμε να λύσουμε την εξίσωση (Ι) (αν έχουμε βρει την ). Αν όμως έχουμε (ή μπορούμε να αποδείξουμε) ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της,τότε μπορούμε να λύσουμε την εξίσωση, ( D D ) που πιθανόν να είναι πιο εύκολη από την (Ι) για να βρούμε τα κοινά σημεία τωνc, C χωρίς να βρούμε την επόμενα). Παράδείγματα-Ασκήσεις Λυμένες (Άσκηση 5 στα /Α. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι "-" και για καθεμία απ' αυτές να βρείτε την αντίστροφή της i) ( ) 3 ii) ( ) v) ( ) ln ΛΥΣΗ vi) ( ) e vii) iii) 3 ( ) iv) ( ) e ( ) e viii) ( ) Θα εξετάσουμε αρχικά ποιες από αυτές τις συναρτήσεις είναι «-». i) To πεδίο ορισμού της ( ) είναι το. Έστω, με ( ) ( ).Έχουμε: ( ) ( ) Άρα η είναι «-», οπότε έχει αντίστροφη. 6

63 Εύρεση: y ( ) y3 y ή 3 y. 3 Επομένως η αντίστροφή της είναι: ( ), 3 ii) To πεδίο ορισμού της ( ) είναι το. Έστω, με ( ) ( ). Έχουμε: ( ) ( ) ή Επομένως η δεν είναι «-» και άρα δεν έχει αντίστροφη συνάρτηση (θα μπορούσαμε να αποδείξουμε ότι η δεν είναι «-» με ένα αντιπαράδειγμα όπως π.χ () ( ) 5 iii) To πεδίο ορισμού της ( ) ( ). ( ) είναι το. Έστω, με Έχουμε: ( ) ( ) 3 3 3( ) 0 ( ) 3 0 ή 3 Επομένως η δεν είναι «-» και άρα δεν έχει αντίστροφη συνάρτηση (θα μπορούσαμε να αποδείξουμε ότι η δεν είναι «-» με ένα αντιπαράδειγμα όπως π.χ () () ). 3 iv) To πεδίο ορισμού της ( ) είναι το ( ) ( ).,. Έστω,, με Έχουμε: ( ) ( ) 3 3 Άρα η είναι «-», οπότε έχει αντίστροφη. 63

64 Εύρεση: ( ) y y y y ή y 3 Πρέπει όμως : y y y y y , Άρα η αντίστροφη συνάρτηση της είναι η ( ) 3,,0 v) To πεδίο ορισμού της ( ) ln( ) ( ) ( ). Έχουμε:. είναι το, D. Έστω, με ( ) ( ) ln( ) ln( ) Άρα η είναι «-», οπότε έχει αντίστροφη. Εύρεση: y y ( ) yln( ) y e e ή y e Πρέπει όμως : e y, e y e y 0 y Άρα η αντίστροφη συνάρτηση της είναι η ( ) e,. vi) To πεδίο ορισμού της ( ) e είναι το. Έστω, με ( ) ( ). Έχουμε: ( ) ( ) e e e e Άρα η είναι «-», οπότε έχει αντίστροφη. Εύρεση: ( ) ye y e y ln y ln y, με y 0 y ή y ln,. 64

65 Επομένως η αντίστροφή της είναι: ln, vii) To πεδίο ορισμού της Έχουμε: e ( ) e είναι το. Έστω, με ( ) ( ). e e ( ) ( ) e e e e e e e e e e e e e e Άρα η είναι «-», οπότε έχει αντίστροφη. Εύρεση: e ( ) y ye y e e y y e e y e y e ή y y e ln y y y ln Πρέπει: Επομένως η αντίστροφη της είναι: y 0 0 y y y y ή y ln,,, viii) To πεδίο ορισμού της ( ) είναι το. Έστω, με ( ) ( ). Έχουμε: ( ) ( ) ή ή Επομένως η δεν είναι «-» και άρα δεν έχει αντίστροφη συνάρτηση. 65

66 . Δίνεται η συνάρτηση διέρχεται από το σημείο A ln, ln 3. ( ) ln ae, a η γραφική παράσταση της οποίας i) Να βρείτε την τιμή του α. ii) Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη. iii) Να βρείτε την αντίστροφη της. iv) Να λύσετε την ανίσωση ( ) ln 7. ΛΥΣΗ i) Για να διέρχεται η γραφική παράσταση της από το σημείο Α πρέπει: ln ln ln 3ln ae ln 3ln a ln 9a 9a 4 ii) D. Έστω, με ( ) ( ). Έχουμε διαδοχικά: ( ) ( ) ln 4e ln 4e 4e 4e 4e 4e Άρα η είναι συνάρτηση «-» και επομένως είναι αντιστρέψιμη. iii) Θέτουμε: y y y e e y ( ) y ln4e 4e e e ln 4 4 Πρέπει: y e 0 y 0 y e e y 0 4 Άρα e n, 0 4. iv) H συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο (αυτό θα μπορούσαμε να το έχουμε ήδη αποδείξει στο (ii) ερώτημα και να εξασφαλίζαμε το «-»). Έστω, με. Έχουμε διαδοχικά: 66

67 e e 4e 4e 4e 4e ln 4e ln 4e ( ) ( ) Η ανίσωση γίνεται: 3. Δίνεται η συνάρτηση: i) Nα αποδείξετε ότι η είναι «-». ii) Να βρείτε την αντίστροφη της. ( ) ln 7 ln 7 ( ) ln ln iii) Να βρείτε τα σημεία τομής της με την ευθεία y 3. ΛΥΣΗ i) To πεδίο ορισμού της είναι, Έστω,, D. με ( ) ( ). Έχουμε διαδοχικά: ( ) ( ) ln ln ii) Θέτουμε: y y y y y y y e y ( ) y ln e e e e e e y e Πρέπει: e y 0 y 0 y y e e y y 0 0e 0e y 0 y y y e e e Άρα: e, 0 e iii) Έχουμε: 67

68 e 3 e 3e 3e 3 ln 3 e Επομένως το κοινό σημείο είναι A ln 3, ln 3 ή το ln 3,3 A. 4. Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) και g ( ) 4. Να βρεθεί η συνάρτηση go ( ). ΛΥΣΗ Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το D, και η g το g,, D. Η go έχει πεδίο ορισμού το: go, / ( ),, / ( ) ( ) D ή Έχουμε: ( ) το οποίο προφανώς ισχύει ή ( ) 4 6 Επομένως το πεδίο ορισμού της go είναι: go, 6 6, D. Για κάθε go ( ) g ( ) g 4 6 Έστω go ( ) h( ) 6. Θα βρούμε την αντίστροφη της ( ) h, δηλαδή την go. Έχουμε: h( ) y 6 y 6 y y 6, με y 0 και y 6 6 y 0 (αληθής για κάθε y ) 68

69 Επομένως y 6 ή go 6, Δίνεται η συνάρτηση 5 3, i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. ii) Να λύσετε την εξίσωση iii) Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα κοινά σημεία των γραφικων παραστάσεων της και ΛΥΣΗ i) Έστω, με () () (3) Προσθέτοντας κατά μέλη τις (), (), (3) έχουμε.επομένως η είναι γνησίως αύξουσα στο. ή ισοδύναμα ii) Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο (άρα και «-» οπότε υπάρχει η θα είναι ισοδύναμη με την, δηλαδή έχουμε: ) η εξίσωση iii) Tα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων της και, αν υπάρχουν, θα βρίσκονται πάνω στην ευθεία y, δηλαδή θα αποτελούν λύση της εξίσωσης (επειδή η είναι γνησίως αύξουσα). Επομένως είναι το σημείο O0, (0) ή το 0,0 O. 6. Δίνεται η συνάρτηση ln, 0. i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται. ii) Να λύσετε την ανίσωση. 69

70 Σημαντική παρατήρηση για τη λύση ανισώσεων της μορφής ( ) ( ) () Βρίσκουμε τα πεδία ορισμού D, D Βρίσκουμε το A. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: των συναρτήσεων και. ( ) A και εξετάζουμε αν υπάρχουν λύσεις της () ή ( ) A και τότε έχουμε: ( ) ( ), ί. ύ ( ) ( ) ( ) ( ), ί. φθίνουσα και λύνουμε την ανίσωση που προκύπτει (που πιθανόν είναι ευκολότερη) στην οποία δεν εμφανίζεται η. ΛΥΣΗ i) D 0,. Θα αποδείξουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη (άρα θα είναι και «-» επομένως θα αντιστρέφεται). Έστω, 0, με. Έχουμε: ln ln () () Με πρόσθεση των () και () κατά μέλη έχουμε: ln ln + ( ) ( ) Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο 0,, άρα αντιστρέφεται. ii) Έχουμε: 0, ό 0, 0 ί ή ό ( ) ln ln 0 0, 0 Επομένως η ανίσωση αληθεύει για κάθε,0 0,, 70

71 7. Δίνεται η συνάρτηση : Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου,.-.7 i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται. 3 για την οποία ισχύει, για κάθε. ii) Να βρείτε την αντίστροφή της (προσέξτε το σημείο αυτό στη λύση). ΛΥΣΗ i) Έστω, με (). Είναι 3 3 μέλη των σχέσεων () και () έχουμε: 3 3 Άρα η είναι «-» και επομένως η αντιστρέφεται. () και με πρόσθεση κατά ii) Αφού η δοθείσα σχέση ισχύει για κάθε, θέτουμε όπου το και έχουμε: 3 3 (3) Άρα η συνάρτηση ισχύει μόνο για κάθε 3, (I) είναι η αντίστροφη της ; Όχι διότι η σχέση (3) A και όχι για κάθε (είναι πιθανή αντίστροφη της ). Άρα οφείλουμε να αποδείξουμε ότι το σύνολο τιμών της είναι το, ώστε η συνάρτηση 3 g( ) να αποτελεί την αντίστροφη της. Αν yo, τότε αν y y έχουμε διαδοχικά: ( 0) y y 3 3 ( ) y y 0 ( ) y y y ( ) y 0 0 Επομένως 3, (I) είναι η αντίστροφη της. Α. Κατανοώ. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι "-" και για καθεμία απ' αυτές να βρείτε την αντίστροφή της i) ( ) 3 ii) ( ) 3 iii) 5 ( ) iv) ( ) 3 7

72 v) ( ) ln3 5 3 vi) ( ) e 5 vii) e ( ) e. Να βρείτε το σύνολο τιμών των επόμενων συναρτήσεων 3 i) ( ) ln ii) 3 g( ) e viii) ( ) 3 Β. Εμπεδώνω 3 (Άσκηση από το σχολικό βιβλίο) Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, g, φ και ψ. Να βρείτε ποιες από τις συναρτήσεις, g,, έχουν αντίστροφη και για καθεμία απ' αυτές να χαράξετε τη γραφική παράσταση της αντίστροφής της.. Δίνεται η συνάρτηση: ln, 0 ( ), Να αποδείξετε ότι είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφή της 7

73 3. Δίνεται η συνάρτηση : i) Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστέψιμη Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου,.-.7 με () 0 και o ( ) 3 5, για κάθε ii) Να βρείτε το iii) Να λύσετε την εξίσωση: ( ) 5 4. Δίνεται η συνάρτηση: e ( ), e Να αποδείξετε ότι: i) H αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της ii) Η εξίσωση ( ) 0 έχει μοναδική ρίζα 5. Δίνεται η συνάρτηση : με 3 ( ) ( ) e, για κάθε. i) Nα αποδείξετε ότι ( ) 0, για κάθε. ii) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της με τον άξονα y y. iii) Nα αποδείξετε ότι η είναι «-» iv) Να λύσετε την εξίσωση: e ln 3 ln e a e 6. Δίνεται η συνάρτηση ( ), e το σημείο M ln 3,. a της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από i) Να βρείτε την τιμή του α ii) Να αποείξετε ότι η είναι «-» 73

74 iii) Να βρείτε την iv) Να αποδείξετε ότι η είναι περιττή. 7. Δίνονται οι συναρτήσεις e ( ) e, g( ) e i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι «-» ii) Να βρείτε την iii) Να βρείτε την go 8. Δίνεται η συνάρτηση : με 3 ( ) ( ) 0, για κάθε. i) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από την αρχή των αξόνων. ii) Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη iii) Να βρείτε την 9. Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της, να αποδείξετε ότι και η αντίστροφή της έχει το ίδιο είδος μονοτονίας στο πεδίο ορισμού της. 0. Δίνεται η συνάρτηση : i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται. ii) Να βρείτε την αντίστροφη της. 3 με 3 3 για κάθε.. Δίνονται οι αντιστρέψιμες συναρτήσεις, g : g ( ) ( ). Να βρείτε την συνάρτηση g. με ( ) 4 και 74

75 ΜΑΘΗΜΑ ο Γενική επανάληψη Α. Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους. Αν, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού και ορίζονται οι συνθέσεις og και go, τότε αυτές οι συνθέσεις είναι υποχρεωτικά ίσες.. Μια συνάρτηση : είναι, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση ( ) y έχει ακριβώς μία λύση ως προς. 3. Μία συνάρτηση : είναι συνάρτηση -, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε ( ) ( ). 4. Αν η έχει αντίστροφη συνάρτηση και η γραφική παράσταση της έχει κοινό σημείο Α με την ευθεία y =, τότε το σημείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της 5. Αν μια συνάρτηση : είναι, τότε για την αντίστροφη συνάρτηση και ( ), A Προετοιμάζομαι για τις εξετάσεις y y, y ( A) ισχύει: 6. Αν μια συνάρτηση : είναι, τότε υπάρχουν σημεία της με την ίδια τεταγμένη. 7. Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία την ευθεία y = που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy. 8. Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα. 9. Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι, αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες. 0. Κάθε συνάρτηση, που είναι - στο πεδίο ορισμού της, είναι γνησίως μονότονη.. Κάθε συνάρτηση, που είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της, είναι και -.. Μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο 0 A, όταν ( ) ( 0 ), για κάθε A. 3. Δύο συναρτήσεις που έχουν τον ίδιο τύπο εναι πάντα ίσες. 4. Οι συναρτήσεις o και o, όταν ορίζονται, είναι πάντα ίσες. 75

76 Β. Ερωτήσεις Πολλαπλής επιλογής Στις επόμενες προτάσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:. Αν Α είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και Β το πεδίο ορισμού της g, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι: α. Το β. Το Β γ. Το A B δ. A B. Αν Α είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και Β το πεδίο ορισμού της g, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι: α. A B β. A B / g( ) 0 γ. A B / ( ) 0 δ. Το Α 3. Αν Α είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και Β το πεδίο ορισμού της g, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης go α. A / ( ) B β. B / ( ) A 4. Η εξίσωση y = () επαληθεύεται γ. A B δ. A B α. μόνο από τα σημεία της C β. Από όλα τα σημεία του επιπέδου Oy γ. Μόνο από τα σημεία με 0 δ. Τίποτα από τα προηγούμενα 5. Η συνάρτηση ( ) 4 είναι : α. Γνησίως αύξουσα στο β. Γνησίως φθίνουσα στο γ. «-» δ. Γνησίως αύξουσα στο, 0 Γ. Ασκήσεις Λυμένες ΘΕΜΑ Ο Δίνεται η συνάρτηση με τύπο 3 4 Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Β. Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης. Γ. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τους άξονες και y y. Δ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i) 1.ii) 1.iii) 1.iv) Ποιο είναι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x) = ln(1.

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i) 1.ii) 1.iii) 1.iv) Ποιο είναι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x) = ln(1. .. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 45 48 A Οµάδας.i) Ποιο είναι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης () + 3+ Οι ρίζες του τριωνύµου 3 + είναι και. Πρέπει 3 + 0 και Άρα D (, ) (, ) (, + ).ii) Ποιο είναι το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 9η Κατηγορία: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Θεωρούμε, Δ, όπου Δ διάστημα του πεδίου ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑ 5. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση - Αντίστροφη συνάρτηση Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση :Α R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α µε ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

x y f (x). f(a) {y R x A : y f(x)}.

x y f (x). f(a) {y R x A : y f(x)}. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα), με την οποία κάθε στοιχείο A αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 +

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 + Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Έστω η συνάρτηση f () = - 3 +. α) Να βρείτε τις τιμές f (), f (0), f (-3), f () β) Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες γ) Να βρείτε τις τιμές f (t), f (t), f ( + h),,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( )

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( ) MONOTONIA ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ I MONOTONIA ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο α,β Παρατηρούµε ότι διάστηµα [ ] καθώς αυξάνουν οι τιµές του

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ i) Να αποδείξετε την ταυτότητα α β γ αββγγα α β βγ γα ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους αβγ,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; α β γ αβ βγ γα Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων β,

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016 Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 06 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο.

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Περιορισμοί στο R. ln x,log. Β= ln Α Β Α Β Α. Σύνοψη γραφικών παραστάσεων

Περιορισμοί στο R. ln x,log. Β= ln Α Β Α Β Α. Σύνοψη γραφικών παραστάσεων στο R Πεδίο ορισμού συνάρτησης είναι η συναλήθευση των περιορισμών της συνάρτησης στο R, αν δεν έχει περιορισμούς λέμε ότι έχει πεδίο ορισμού το R. Όταν έχω πρέπει ν Α, Α Α Α Β Β ln Α, log Α Α> ln Β logα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 α) f β) f 1 1 9 γ) f δ) f log 1 4 ημ ημ συν ε) f α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί + (1) Έχουμε: (1).(

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1 Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f () = ( -) 4 - + β) f () = - - + 3 4 - - γ) f () = δ) f () = - + - - 5-3

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Γιώργος Μιχαηλίδης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΥ Προσανατολισμός Θετικών Σπουδών και Σπουδών ικονομίας και Πληροφορικής Α ΤΜΣ ΡΙ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΔΙΑΦΡΙΚΣ ΛΓΙΣΜΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο έχει την υπογραφή του συγγραφέα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων µε τύπο: i) ii) iii) iv) v) 2. Δίνεται η συνάρτηση µε:. Να βρείτε µια περίοδο της. 3. Δίνεται η συνάρτηση µε:. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΑΥΤΗΣ)

ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΑΥΤΗΣ) ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΑΥΤΗΣ) A. Εύρεση Πεδίου Ορισμού Συναρτήσεων-Άρτια και περιττή Συνάρτηση Η ανάλυση των πεδίων ορισμού για τις διαφορετικές πραγματικές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά) 9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) =

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) = ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) () = 4 6 6 ii) () = iii) () = log ( ) iv) () = log ( log4(- )) v) vii) () 5 4 viii) () 5 log

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η Εκθετική συνάρτηση Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε αντιστοιχεί η δύναμη α. Έτσι ορίζεται η συνάρτηση : f : με f α, 0 α η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α, τότε έχουμε τη σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 1 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 2 Κατεύθυνση σχολικές ασκήσεις 287 ασκήσεις και τεχνικές σε 18 σελίδες. Kglykos.

Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 1 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 2 Κατεύθυνση σχολικές ασκήσεις 287 ασκήσεις και τεχνικές σε 18 σελίδες. Kglykos. Κώστας Γλυκός Γενικής κεφάλαιο Κατεύθυνση Κεφάλαιο Κατεύθυνση σχολικές ασκήσεις 87 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7 0 0 8 8 8 8 Kglykosgr / / 0 6 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα