מבוא לתורת השדות עוזי וישנה

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "מבוא לתורת השדות עוזי וישנה"

Transcript

1 מבוא לתורת השדות עוזי וישנה

2 מבוא לתורת השדות מהדורה 1.38 הקדמה. שדות הם החוגים המוצלחים ביותר: הם קומוטטיביים, וכל האברים שלהם הפיכים. המרכז של כל חוג פשוט הוא שדה, ולכן אין זה פלא ששדות תופסים מקום מרכזי בתורת החוגים. יתרה מזו, מכיוון ששדות מיוחדים מופיעים באופן טבעי בשטחים אחרים של המתמטיקה, יש לתורת השדות חשיבות עצמאית. במבוא נתמקד באברים אלגבריים, ונראה שכל שדה מוכל בשדה סגור אלגברית. החלק העיקרי של הקורס מוקדש לתורת גלואה, החוקרת שדות באמצעות הרחבות סופיות. תורת גלואה, שפיתח (בעיקר) אווריסט גלואה בסביבות 1830, הולידה את תורת החבורות, ופתרה שתיים מקבוצות הבעיות המרכזיות במתמטיקה של אותה עת: הבעיות הגאומטריות של ימי קדם מחד, וההוכחה שלא ניתן לפתור את המשוואה הפולינומית ממעלה n 5, מאידך. חוברת זו מציגה, לצד מבוא כללי לתורת השדות ויסודות התאוריה של גלואה, גם פתרון לשאלות אלו. עוזי וישנה,

3 תוכן עניינים 7 מבוא 1 7 רקע מתורת החוגים חוגים ואידאלים שדות מושגי יסוד בתחומי שלמות חוג הפולינומים מעל שדה בניות של שדות אי פריקות של פולינומים שורשים קריטריון אייזנשטיין 11 הלמה של גאוס הרחבות של שדות שדה הוא חוג פשוט יוצרים של הרחבה פולינומים בשדה הרחבה הצבה והפולינום המינימלי ממד של הרחבות כפליות הממד הממד של הרחבה פשוטה שדה מפצל תורת גלואה שדות פיצול שיכונים ספרביליות מאפיין של שדה פולינומים ספרביליים שיכונים במקרה הספרבילי הרחבות ספרביליות

4 תוכן עניינים תוכן עניינים 25 הרחבות אי ספרביליות טהורות חבורות גלואה אוטומורפיזמים חבורת גלואה הסדר של חבורת גלואה שדה השבת התאמת גלואה ממד וסדר הרחבות גלואה סדר וממד המשפט היסודי הלמה של ארטין המשפט היסודי של תורת גלואה בעיית ההיפוך סגור גלואה מספר שדות הביניים הרכבה של שדות שימושים שורשי יחידה החבורה הכפלית של שדה הפולינומים הציקלוטומיים השדה ] n Q[ρ משוואות ממעלה שלישית ורביעית משוואה ממעלה שלישית פתרון בעזרת פונקציות סימטריות 43 הדיסקרימיננטה משוואה ממעלה רביעית הפתרון של פרארי 44 ניתוח הפתרון של פרארי פתרון בעזרת סדרת ההרכב 48 פתירות על ידי רדיקלים הנורמה והעקבה הרחבות רדיקליות הרחבות ציקליות חבורות פתירות משפט גלואה על פתירות לפי רדיקלים בניות במחוגה וסרגל והבעיות של ימי קדם בניות במחוגה וסרגל שדה המספרים הניתנים לבניה

5 תוכן עניינים תוכן עניינים שרשראות של הרחבות ריבועיות בניית מצולעים משוכללים הבעיות הגאומטריות של ימי קדם אוריגמי שדות סופיים נושאים נוספים בתורת השדות הרחבות אלגבריות הרחבה נוצרת סופית אלגבריות ויוצרים סגור אלגברי יחסי שדה סגור אלגברית הסגור האלגברי של שדה יחידות הסגור האלגברי הרחבות טרנסצנדנטיות פונקציות סימטריות הרחבות מדרגה נושאים נוספים 4.3 5

6 תוכן עניינים תוכן עניינים 6

7 פרק 1 מבוא נכתבו ספרים רבים על תורת השדות בכלל ועל תורת גלואה בפרט. כמה אפשרויות מומלצות: Lectures in Abstract Algebra III / Jacobson.1 Groups, Rings, Fields / Rowen.2 Algebra / Lang.3 4. Tignol - Galois Theory / דוגמאות מפורטות על משואוות ממעלה נמוכה..5 Humphrys - Introduction to Galois Theory / נקודת מבט הסטורית. Galois Theory / Cox רקע מתורת החוגים חוגים ואידאלים מבנה אלגברי עם שתי פעולות (הנקראות חיבור וכפל) ושני קבועים (אפס ואחד) הוא חוג, אם הוא מהווה חבורה אבלית ביחס לחיבור, מונויד ביחס לכפל, ומתקיימת תכונת הדיסטריבוטיביות:.x(y+z) = xy+xz,(x+y)z = xy+xy בין הדוגמאות המוכרות: חוג השלמים, חוגי מטריצות וחוגי פולינומים. חוג הוא קומוטטיבי אם xy = yx לכל.x, y אידיאל של חוג R הוא קבוצת אברים I R הסגורה לחיבור וחיסור וסגורה לפעולת כפל 'מבחוץ', כלומר xa, ax I לכל a I ו R x. במקרה כזה מסמנים I R אידיאל הוא האנלוג לתת חבורה נורמלית בתורת החבורות, בכך שאם.I R אז חבורת המנה R/I היא חוג ביחס לפעולת הכפל המושרית מ R. לדוגמא, לכל n,,nz Z וחוג המנה Z/nZ הוא חוג המספרים מודולו n, עם פעולות החיבור והכפל 7

8 1.1. רקע מתורת החוגים פרק 1. מבוא המודולריות. אידיאל שאינו שווה לחוג כולו נקרא אידיאל אמיתי. כל אידיאל אמיתי מוכל באידיאל אמיתי מקסימלי (טענה זו נובעת מן הלמה של צורן) שדות שדה הוא חוג קומוטטיבי שבו כל איבר 0 x הוא הפיך. לדוגמא, R Q, ו C הם שדות. לעומת זאת Z אינו שדה. יש גם שדות סופיים, למשל F, p = Z/pZ כאשר p מספר טבעי ראשוני. גם תורת המודולים מעל שדות פשוטה בתכלית: כל מודול מעל שדה הוא חופשי, בעל דרגה מוגדרת היטב (הקרויה ממד); יש מרחב וקטורי יחיד, עד כדי איזומורפיזם, מכל ממד. יהי K שדה. תת קבוצה F K שהיא שדה בעצמה (ביחס לאותן פעולות) נקראת תת שדה. תרגיל (*) תת קבוצה = F K היא תת שדה אם היא סגורה לחיבור ונגדי, לכפל ולהפכי. תת חוג F K הוא תת שדה אם הוא סגור להפכי מושגי יסוד בתחומי שלמות חוג קומוטטיבי שאין לו מחלקי אפס נקרא תחום שלמות. תחום שלמות שבו כל אידיאל הוא ראשי (כלומר נוצר על ידי איבר אחד) נקרא תחום ראשי. אם מוגדרת על תחום שלמות R פונקציה { } R N d : כך שלכל a ולכל 0 b יש איבר x a Rb כך ש ( d(b,d(x) < אז R הוא תחום אוקלידי. כל תחום אוקלידי הוא תחום שלמות. איבר p בתחום שלמות R הוא אי פריק אם כל פירוק p = ab הוא טריוויאלי (היינו אחד הגורמים הפיך). איבר p הוא ראשוני אם מ ab p נובע ש a p או p. b כל איבר ראשוני הוא אי פריק. בתחום ראשי, כל איבר אי פריק הוא ראשוני, כך שהמושגים מתלכדים. בתחום ראשי, כל איבר אפשר לפרק למכפלה של ראשוניים באופן יחיד (היחידות היא עד כדי החלפת סדר הגורמים, וכפל בהפיכים). יהי R תחום ראשי. המחלק המשותף המקסימלי של,a b R הוא אותו d (יחיד עד כדי כפל בהפיך) כך ש Rd.Ra + Rb = הגדרה זו שקולה לכך ש b d,a ו d x לכל.x a, b האברים a, b הם זרים אם,Ra + Rb = R אם ורק אם 1 הוא צירוף לינארי שלהם (מעל R), אם ורק אם כל מחלק משותף x,a b הוא הפיך. משפט השאריות הסיני קובע שאם,a b זרים, אז R/Rab = R/Ra R/Rb (ובאופן כללי יותר, אם (.R/Ra 1 a t = R/Ra1 R/Ra t זרים בזוגות, אז a 1,..., a t אם R חוג קומוטטיבי ו M R אידיאל מקסימלי (כלומר, אין אידיאל M R כך ש M M), אז חוג המנה R/M הוא שדה. בתחום ראשי, לכל איבר אי פריק p, האידיאל Rp הוא מקסימלי, ולכן המנה R/Rp היא שדה. 8

9 מבוא 1.1. רקע מתורת החוגים פרק חוג הפולינומים מעל שדה { N =,R[λ] כאשר N אינו מוגבל, n=0 a nλ n : a 0,..., a N R} יהי R חוג. החוג נקרא חוג הפולינומים במשתנה אחד מעל R. על הבניה הזו אפשר לחזור: במקום ] 2 (R[λ 1 ])[λ כותבים ] 2,R[λ 1, λ משום שסדר הוספת המשתנים אינו חשוב: (R[λ 1 ])[λ 2 ] = (R[λ 2 ])[λ 1 ]. באופן כללי יותר מגדירים באינדוקציה ] n.r[a 1,..., a n ] = (R[a 1,..., a n 1 ])[a כאשר R = F הוא שדה, החוג [λ] F הוא חוג אוקלידי באמצעות פונקציית המעלה,d( a n λ n ) = max an 0 n ולכן הוא ראשי וחלות עליו כל התכונות הטובות שהוזכרו בתת הסעיף הקודם. בפרט, לכל פולינום [λ] f F יש פירוק יחיד לגורמים אי פריקים. טענה יהי [λ] f, F פולינום ממעלה n. חוג המנה [λ]/ f F הוא מרחב וקטורי, עם הבסיס } 1 n { x i + f : i = 0,...,. חוג המנה [λ]/ f F הוא שדה אם ורק אם f = R[λ]f אידיאל מקסימלי, אם ורק אם f אי פריק. אם f = gh כאשר,g h זרים, אז לפי משפט השאריות,f = g n 1 אז 1 gn t הסיני [λ]/ h.f [λ]/ f = F [λ]/ g F לכן, אם נפרק t.f [λ]/ f = F [λ]/ g n i חוג מהצורה n F [λ]/ g הוא חוג מקומי (שדה אם ורק i אם = 1 n), ו(אם g אי פריק), אינו ניתן לפירוק כמכפלה של חוגים בניות של שדות להלן כמה בניות של שדות (נציג אחרות בהמשך). 1. חוגי מנה: (א) לכל חוג קומוטטיבי R ולכל אידיאל מקסימלי R/M M, הוא שדה. (ב) בפרט, יהי R תחום שלמות, ויהי p R איבר אי פריק. אז R/pR הוא שדה. למשל, Z/pZ הוא שדה סופי בן p אברים. (ג) בפרט, אם [λ] f F הוא אי פריק, אז [λ]/ f F הוא שדה. נחזור לעסוק בבניה זו בהמשך (טענה ). 2. שדה שברים: { a, שבו השוויון (א) יהי R תחום שלמות. שדה השברים 0} b b : a, b R, a a b = אם,ab = a b הוא שדה ביחס לפעולות הטבעיות b מוגדר כך ש מסמנים ב ( q(r. R את שדה השברים של. a a b b = aa bb a a b + ו b = ab +a b bb למשל, שדה השברים של Z הוא Q. שדה השברים של שדה F שווה (ליתר 9

10 1.1. רקע מתורת החוגים פרק 1. מבוא דיוק, איזומורפי) לשדה עצמו. אם R תחום ראשי, כל שבר אפשר להציג בצורה a b כאשר a, b זרים. כל תת חוג של שדה הוא תחום שלמות, ובזכות הבניה של שדה שברים גם ההיפך נכון: כל תחום שלמות מוכל בשדה. (ב) בפרט, אם F שדה, אז שדה השברים של [λ] F נקרא שדה הפונקציות הרציונליות (במשתנה אחד) מעל F, ומסמנים אותו ב ( λ ) F (שימו לב לסוגריים העגולים במקרה זה, לעומת הסוגריים המרובעים במקרה של חוג הפולינומים.) אברי השדה (λ) F הם השברים מהצורה פולינומים ו 0 g, עם הפעולות הטבעיות של שברים. f, g כאשר f(λ) g(λ) (ג) באופן כללי יותר, לכל מספר משתנים λ, 1,..., λ n שדה השברים של חוג הפולינומים ] n F [λ 1,..., λ נקרא שדה הפונקציות הרציונליות ב n משתנים, ומסמנים אותו ב (.F (λ 1,..., λ n, שבו,a n F הטורים.3 יהי F שדה. אוסף הטורים הפורמליים n= N a nλ n מתחילים בנקודה כלשהי (ועשויים להיות אינסופיים), נקרא השדה של טורי לורן מעל F, ומסמנים אותו ב (( λ )) F. זהו אכן שדה, המכיל את שדה הפונקציות.F (λ) תרגיל (*) לכל הומומורפיזם של חוגים F, K יש המשכה להומומורפיזם K(λ) F (λ) (המשכה היא הומומורפיזם מ ( λ ) F המתלכד עם ההומומורפיזם הנתון על F) אי פריקות של פולינומים יהי F שדה. כפי שראינו, המנה [λ]/ p F היא שדה אם ורק אם p פולינום אי פריק (מעל F). נדון באי פריקות של פולינומים משלוש זוויות (שיטה רביעית, של הפולינום המינימלי, מוצגת במסקנה ). שורשים פולינום ממעלה ראשונה הוא לעולם אי פריק, ולכן נדון כאן רק בפולינומים ממעלה גבוהה יותר. איבר a F הוא שורש של הפולינום [λ] f F אם = 0 f(a) (וראה תת סעיף 1.2.4). תרגיל (*) a הוא שורש של [λ] f F אם ורק אם λ a מחלק את.f(λ) הדרכה. חילוק עם שארית: כתוב r(λ) f(λ) = q(λ)(λ a)) + כאשר deg(λ deg(r) <.a) = 1 לכן, פולינום (ממעלה < 1) עם שורש הוא פריק. מאידך, תרגיל (*) אם פולינום ממעלה 2 או 3 פריק, אז יש לו שורש. 10

11 מבוא 1.1. רקע מתורת החוגים פרק 1. אם כך, פולינום ממעלה נמוכה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש. טענה זו אינה נכונה במעלות מ 4 ומעלה: תרגיל (*) תן דוגמא לפולינום פריק מעל Q, ממעלה 4, שאין לו שם שורשים. איך מראים שלפולינום אין שורשים? נניח ש R תחום ראשי, q(r) F = ו = f R[λ] a n λ n + + a 0 (כל פולינום מעל F אפשר להביא לצורה כזו על ידי כפל בסקלר). c d (כלומר,c d זרים) הוא שורש של f, אז תרגיל (*) אם שבר מצומצם F d a n ו c. a 0 בפרט, אם הפולינום מתוקן (כלומר המקדם המוביל שלו הוא 1), אז כל שורש שלו ב F נמצא למעשה ב R. לתרגיל יש מסקנה חשובה אחרת. תרגיל (*) לכל a,a הפולינומים λ a,λ a זרים זה לזה. מסקנה מספר השורשים של פולינום 0 f מעל שדה כלשהו, אינו עולה על המעלה שלו. קריטריון אייזנשטיין יהי R תחום שלמות. נניח ש R p ראשוני. פולינום R[λ] a n λ n + + a 0 נקרא פולינום אייזנשטיין אם מתקיימים התנאים הבאים:.p 2 a 0,p a n 1,..., a 0,p a n טענה פולינום אייזנשטיין הוא אי פריק מעל R. התרגיל הבא מאפשר לעבור מפולינום שאינו מקיים את הקריטריון, לכזה שכן מקיים אותו: תרגיל (*) אם f(x) פריק מעל R אז לכל,a 0,a, b R גם b) f(ax + פריק. מצא הצבה הדרכה. תרגיל (**) הראה ש 1 x 6 + x 3 + אי פריק מעל.Z שאחריה הפולינום יקיים את התנאי עבור = 3 p. הלמה של גאוס טענה מציגה מקרה שבו פולינום הוא אי פריק מעל חוג R. אלא שאנחנו מעוניינים באי פריקות מעל שדה (למשל שדה השברים של R), וא פריורי אי פריקות מעל R אינה מועילה: תרגיל (**) נניח ש R R 1 הם תחומי שלמות, R[λ].f אם f אי פריק מעל R 1 אז הוא גם אי פריק מעל R, אבל ההיפך אינו בהכרח נכון. 11

12 1.2. הרחבות של שדות פרק 1. מבוא בפרט, תרגיל (**) נניח ש R תחום שלמות, q(r).f R[λ],F = אם f אי פריק מעל F אז הוא גם אי פריק מעל R, אבל ההיפך אינו בהכרח נכון. הלמה הבאה מספקת פתרון לבעיה הזו. טענה (הלמה של גאוס) יהי R תחום ראשי. אם R[λ] f אי פריק מעל R, אז F. אי פריק גם מעל f 1.2 הרחבות של שדות זוג שדות F K נקרא הרחבה של שדות; במקרה זה K נקרא הרחבה של F. הדגש הוא על כך שהשדה K מרחיב את השדה F, וכולל כביכול פתרונות למשוואות שאי אפשר לפתור ב F. הרחבה כזו מסמנים גם ב K/F (אין לזה שום קשר עם הסימון הזהה של חוג מנה). שדות המקיימים F L K נקראים שדות ביניים של ההרחבה.K/F שדה הוא חוג פשוט חוג פשוט הוא חוג שאין לו אידיאלים פרט ל 0. תרגיל (*) חוג קומוטטיבי הוא פשוט אם ורק אם הוא שדה. לעובדה זו יש מסקנה חשובה: תרגיל (*) כל הומומורפיזם (של חוגים עם יחידה) F, A כאשר F שדה, הוא שיכון (כלומר הומומורפיזם חד חד ערכי). בפרט, כל הומומורפיזם בין שדות הוא שיכון, כלומר הוא מגדיר הרחבה של השדה הקטן לתוך השדה הגדול. כל הכלה F K מגדירה שיכון באופן טבעי. במקרים רבים אפשר לשכן את אותו השדה בשדה גדול בכמה דרכים. 1. אם Q, K אז יש שיכון יחיד Q K (והוא השיכון הטבעי). תרגיל (**) מצא שני שיכונים שונים של [2 ]Q ב R. 3. הראה שאין אף שיכון של [2 ]Q לתוך R. 12

13 מבוא 1.2. הרחבות של שדות פרק יוצרים של הרחבה L Λ הערה יהיו F E שדות, ויהי Λ אוסף של שדות ביניים. אז החיתוך L הוא שדה. יהיו F K שדות עם קבוצת איברים S. K חיתוך תת השדות של K הכוללים את S הוא תת השדה הנוצר על ידי S, ומסמנים אותו ב ( S ) F. זהו השדה הקטן ביותר הכולל את F ואת S. אוסף המנות של פולינומים באיברים של S הוא שדה, השווה לפיכך ל ( S ) F. בפרט, אפשר לבחור {a} S = ולקבל את השדה (a) F. הרחבה כזו, באיבר אחד, נקראת הרחבה פשוטה. F Λ שדה. הערה אם Λ קבוצת שדות סדורה לינארית, אז F פולינומים בשדה הרחבה תהי F K הרחבה של שדות. חוג הפולינומים [λ] F מוכל ב [ K[λ, ולכן כל פולינום מעל F הוא גם פולינום מעל K. יש אברים ב [ λ ] F שהתכונות שלהם עשויות להשתנות כשעוברים לחוג הגדול יותר. לדוגמא, פולינום [λ] f F עשוי להיות אי פריק מעל F ולהתפרק מעל שדה הרחבה K של.F למשל, x אי פריק מעל,Q אבל מתפרק מעל 2] Q[ למכפלה (x 2 + 2x + 1)(x 2 2x + 1). מכיוון שהפירוק מעל K הוא יחיד, הפירוק של f לגורמים איפריקים מעל F מעודן ב K : כל גורם אי פריק מעל K מחלק (מעל K) גורם אי פריק מעל F. טענה נניח ש F K שדות, ו [λ].f, g F 1. המחלק המשותף המקסימלי של,f g כפולינומים מעל F שווה למחלק המשותף המקסימלי שלהם כפולינומים מעל K. 2. בפרט: (א) אם פולינומים [λ],f g F הם זרים מעל F, אז הם זרים גם מעל K. (ב) אם [λ] f, g F ו g f מעל,K אז f g גם מעל.F d F המחלק המשותף המקסימלי מעל F, ויהי d K המחלק המשותף המקסימלי מעל הוכחה. יהי מאידך, d F d K לפי ההגדרה של,d K משום ש d F מחלק את f, g בחוג.K[λ] מחד,.K מכאן שעד כדי כפל בסקלר, d K d F מעל.K d F עבור [λ],a, b F ולכן = af + bg.d K = d F הטענה השניה נובעת מהראשונה משום ש g,f זרים אם ורק אם המחלקה משותף המקסימלי שלהם הוא 1, ו g f אם ורק אם המחלק המשותף המקסימלי הוא f. 13

14 1.2. הרחבות של שדות פרק 1. מבוא לסיכום, המושג 'פולינום אי פריק' תלוי בשדה שמעליו בוחנים את הפולינום; שדה יכול להיות אי פריק מעל שדה אחד, ופריק מעל שדה גדול יותר. אבל המושגים 'פולינומים זרים' ו 'מחלק' אינם תלויים בשדה הבסיס. תרגיל (**) לכל הרחבה ;F (λ) K[λ] = F [λ],k/f ראה טענה הערה. פורמלית כדי שלחיתוך תהיה משמעות יש לחשוב על (λ) F ועל K[λ] כעל תת קבוצות של.K(λ) הצבה והפולינום המינימלי תהי A אלגברה מעל F (היינו, חוג A שהמרכז שלו מכיל את F). אז לכל a, A הומומורפיזם ההצבה F [λ] A הוא ההומומורפיזם המוגדר לפי Φ a : f(λ) f(a). אם הגרעין של Φ a הוא אפס, אומרים ש a טרנסצנדנטי. פירושו של דבר הוא שלא קיים פולינום המאפס את a (פרט כמובן לפולינום האפס). תרגיל (*) אם a טרנסצנדנטי, [a] F איזומורפי לחוג הפולינומים. אם הגרעין [λ] Ker(Φ a F ( אינו אפס, אז a אלגברי. במקרה זה יש יוצר f a של ) a Ker(Φ (יחיד עד כדי כפל בסקלר), שהוא הפולינום המינימלי של a. לפי משפט האיזומורפיזם הראשון, (1.1) F [λ]/ f a = Im(Φ a ) = F [a]. למינימליות יש משמעות כפולה, ולמרבה הנוחות שתיהן מתלכדות: טענה הפולינום המתוקן הוא בעל מעלה מינימלית בקבוצת הפולינומים המאפסים את a, והוא מחלק כל פולינום אחר המאפס את a (ולכן הוא גם המינימום לגבי יחס החלוקה). מסקנה יהי a A איבר אלגברי מעל F, עם פולינום מינימלי f. a אז dim(f [a]) = deg(f a ). הוכחה. [a] F [λ]/ f a = ImΦ a = F היא תת אלגברה של,A והממד מתקבל מטענה טענה אם A תחום שלמות, אז הפולינום המינימלי f a אי פריק, ואז [a] F שדה. 14

15 מבוא 1.2. הרחבות של שדות פרק 1. הוכחה. אם f a = f 1 f 2 אז מ 0 = )(a) f 1 (a)f 2 (a) = (f 1 f 2 נובע = 0 (a) f 1 או = 0 (a) f, 2 בסתירה למינימליות של המעלה. ומכיוון ש [ λ ] F תחום ראשי, האידיאל שאיבר אי פריק יוצר הוא מקסימלי. החידוש בטענה זו הוא שכאשר a אלגברי, לכל פולינום ב a (אם אינו מתחלק בפולינום המינימלי) יש פולינום אחר ב a כך שמכפלתם היא 1. להלן הוכחה חישובית לעובדה שימושית זו: תרגיל (**) נניח ש f, a פולינום אי פריק מעל F, הוא הפולינום המינימלי של.a אם 0 g(a) אז g(λ) זר ל ( λ ),f a ולכן קיימים [λ] α(λ), β(λ) F כך ש.g(a) 1 = הראה ש ( β(a.α(λ)f a (λ) + β(λ)g(λ) = 1 הטענה האחרונה היא הקריטריון הנוסף לאי פריקות שהבטחנו בתת סעיף 1.1.6: מסקנה תהי K/F הרחבה של שדות, ויהי a. K אז הפולינום המינימלי של a מעל F הוא אי פריק (מעל F). (מיידי מטענה משום ש K הוא תחום שלמות.) כעת נניח ש A שדה. נסמן ב ( a ) F את תת השדה הנוצר על ידי a. הערה כאשר a אלגברי, F [a] = ImΦ a הוא שדה כפי שראינו (הערה ), ולכן.F (a) = F [a] תרגיל (*) אם a טרנסצנדנטי, אז (a) F איזומורפי לשדה פונקציות רציונליות.F (λ) ממד של הרחבות נסמן את הממד של מרחב וקטורי V מעל שדה K ב.dim K V את K/F הרחבה של שדות, אז K הוא מרחב וקטורי מעל F (עם הכפל בסקלר המושרה מכפל ב K ), ולכן יש ממד, שאותו נסמן ב K K]. F: ] = dim F הממד הוא אינווריאנט חשוב ביותר בתורת השדות. כפליות הממד טענה יהי V מרחב וקטורי מעל שדה K, כאשר F K תת שדה. אז dim F V = [K :F ] dim K V. מסקנה בפרט בשרשרת הרחבות,F K E [E :F ] = [E :K] [K :F ]. 15

16 1.2. הרחבות של שדות פרק 1. מבוא הממד של הרחבה פשוטה כפי שראינו, הממד ] [a]:f F] שווה לדרגת הפולינום המינימלי של a מעל F. טענה תהי F L הרחבה של שדות, ויהי a E איבר בשדה.E L אז [L[a]:L] [F [a]:f ]. הוכחה. הפולינום המינימלי של a מעל L מחלק (מעל L) את הפולינום המינימלי של אותו איבר מעל F. דוגמא בטענה יכול להיות אי שוויון אמיתי: קח,L = F [ρα],f = Q.2 = [L[a]:L] < [F [a]:f ] אז = 3.ρ = a = α כאשר = 2 3 α ו תרגיל (**) אם F L E ו E,a ומתקיים 1 ] [a]:f,[l[a]:l] = [F אז יש שיכון F [a] L הדרכה. הפולינום המינימלי של a מעל F מתפצל מעל L לגורמים.(λ a )g(λ) מסקנה בטענה קח [b],l = F אז ] [b]:f.[f [a, b]:f ] [F [a]:f ][F באינדוקציה נובע מזה כי (1.2) [F [a 1,..., a n ]:F ] [F [a i ]:F ]. הערה אי השוויון במסקנה הפוך מן הטענה האנלוגית לחבורות, שם לכל H 1, H 2 G מתקיים [G:H 1 H 2 ] [H 1 :H 1 H 2 ] [H 2 :H 1 H 2 ], ובפרט לכל חבורה,G תת חבורה H ואברים,a, b G [ H, a, b :H] [ H, a :H] [ H, b :H]. 16

17 מבוא 1.2. הרחבות של שדות פרק שדה מפצל טענה נניח ש [ λ ] f F פולינום אי פריק. אז בשדה [λ]/ f F יש ל f שורש. הוכחה. הראה באמצעות חישוב ישיר ש f λ + הוא שורש של f. טענה עבור כל פולינום f מעל שדה F, יש הרחבה K של F שבה יש שורש של f. הוכחה. יהי g גורם אי פריק של f, אז [λ]/ g F הוא שדה שיש בו שורש ל g, ולכן ל f. הגדרה יהי [λ] f F פולינום מתוקן. הפולינום f מתפצל ב F אם קיימים.f מפצל את F במקרה זה אומרים ש.f(λ) = (λ α i ) כך ש α 1,..., α n F הרחבה E/F שבה הפולינום מתפצל נקראת שדה מפצל של f. עלינו להכליל מושג זה עבור שיכונים: כל שיכון ϕ : F E משרה שיכון של חוגי הפולינומים [λ] E[λ] ϕ, : F לפי הנוסחה ) 0.ϕ(a n λ n + + a 0 ) = ϕ(a n )λ n + + ϕ(a נאמר שהשיכון מפצל את מתפצל ב E. ϕ(f) אם f F [λ] מטענה נובע באינדוקציה: מסקנה לכל פולינום f מעל שדה יש שדה מפצל, שממדו אינו עולה על!(f.(deg הוכחה. נסמן deg(f) n. = יהי a שורש של גורם אי פריק g של f; ניקח = 1 F [λ]/ g.f מעל F 1 אפשר לכתוב (λ).f(λ) = (λ a)f 1 לפי הנחת האינדוקציה יש שדה מפצל E של f 1 מעל,F 1 כך ש!( 1 (n.[e :F 1 ] כמובן, E מפצל את,f ומתקיים n!.[e :F ] = [E :F 1 ][F 1 :F ] (n 1)! deg(g) 17

18 1.2. הרחבות של שדות פרק 1. מבוא 18

19 פרק 2 תורת גלואה 2.1 שדות פיצול יהי [λ] f. F הרחבה K/F היא שדה פיצול של f, אם K שדה מפצל מינימלי של f. כלומר, K מפצל את f, אז אף שדה ביניים F K K אינו מפצל. מה מסביר תופעה כזו? מעל השדה K אפשר לפצל את הפולינום לגורמים לינאריים ) i,f(λ) = λ) α ואז הפולינום מתפצל מעל תת שדה F K K אם ורק אם K.α 1,..., α n מכאן שאם E שדה המפצל את,f כלומר ) i f(λ) = (λ α עם,α i E אז E מכיל תת שדה שהוא שדה פיצול, ] n.k = F [α 1,..., α לפי ההוכחה של מסקנה, זוהי הרחבה שהממד שלה n!.[k :F ] הערה אם F L K ו K שדה פיצול של [λ] f F מעל,F אז K שדה פיצול גם מעל L, עם אותם יוצרים שיכונים כפי שכבר ציינו, מנקודת המבט של תורת החוגים, שדה הוא חוג קומוטטיבי פשוט. אחת התוצאות היא: מסקנה כל הומומורפיזם של שדות הוא שיכון. יהיו F, L, E שדות כך ש L,F ויהי ϕ : F E שיכון. שיכון ϕ : L E נקרא המשכה של ϕ, אם הצמצום של ϕ ל F שווה ל ϕ. אפשר לשרטט מצב זה בדיאגרמה (ראו להלן). אומרים שהדיאגרמה קומוטטיבית אם לכל איבר בנקודת המוצא F, התמונה ביעד E שווה בשתי הדרכים; כלומר, אם ϕ(a) ϕ(a) = לכל a. F הדיאגרמה 19

20 2.1. שדות פיצול פרק 2. תורת גלואה קומוטטיבית אם ורק אם ϕ הוא המשכה של ϕ: L ϕ E F ϕ E הגדרה אם L/F הרחבה של שדות ו F E שיכון, נסמן ב E n L F את מספר ההמשכות של השיכון לשיכון L. E תרגיל (**) יהי F 0 תת השדה הראשוני של F (כלומר F הוא השדה Q או אחד השדות.(Z/pZ הראה שיש שיכון יחיד F. 0 F תרגיל (*) אם F, K חולקים אותו שדה ראשוני,F 0 הראה ש n F F 0 K הוא מספר השיכונים של F ב K..n Q[i] Q C דוגמא Q[i] משוכן ב C בשתי דרכים, כלומר = 2 למה יהי φ : F E שיכון. תהי [a] F 1 = F הרחבה פשוטה, ויהי [λ] f F n F 1 שווה למספר השורשים של φ(f) ב E. בפרט: F E הפולינום המינימלי של a. אז.n F 1.1 מתקיים ] :F F E [F 1 2. יש המשכה של φ ל F 1 E אם ורק אם ל ( φ(f יש לפחות שורש אחד ב E. נאמר שפולינום g המתפצל בשדה E הוא ספרבילי שם, אם בפירוק שלו לגורמים אין אף גורם כפול (מהצורה (α 2 λ)). בצורה פחות מדוייקת מקובל לומר ש'כל השורשים של f ב E שונים זה מזה' (בהמשך נראה שתכונה זו אינה תלויה ב E כלל). משפט יהי φ : F E שיכון. n K F E [K :F ]. 1. לכל הרחבה סופית,K/F 2. אם K נוצר מעל F על ידי שורשים של פולינום f שתמונתו φ(f) מתפצלת ב E, אז (א) יש הרחבה K E של φ..n K F E (ב) אם φ(f) ספרבילי ב E אז ] F: K] = 20

21 2.2. ספרביליות פרק 2. תורת גלואה הוכחה. עבור,1 כתוב ] n.k = F [a 1,..., a נוכיח את הטענה באינדוקציה על.n n F 1 המשכות של השיכון אל נסמן ] 1.F 1 = F [a לפי למה יש ] :F F E [F 1.φ 1 : F 1 E לפי הנחת האינדוקציה, לכל אחת מאלה יש 1] n K F 1 E [K :F המשכות ל K E, ואם נסכם על כל ההמשכות הראשונות נקבל בסך הכל (2.1) n K F E = φ 1 n K φ 1 : F 1 E φ 1 [K :F 1 ] [F 1 :F ][K :F 1 ] = [K :F ] המשכות אל K. את 2 נוכיח באותו אופן, אלא שהפעם נניח ש a 1,..., a n כולם שורשים של f n F 1 1 כי יש ב E שורשים ב K. שוב ניקח ] 1.F 1 = F [a לפי למה F E f 1 f כאשר ספרבילי ב E, φ(f 1 ) מתקיים אם n F 1 ל ( φ(f, והשוויון ] :F F E = [F 1 הוא הפולינום המינימלי של a. 1 אם = 1 n, זה נובע מהספרביליות של.φ(f) כעת, f הוא פולינום מעל K F, 1 שדה נוצר על ידי אותם שורשים מעל F, 1 ולכל שיכון E,φ : F 1 E מפצל את φ(f).φ (f) = לפי הנחת האינדוקציה, ראשית, כל שיכון F 1 E אפשר להמשיך לשיכון K, E ושנית, אם φ(f) ספרבילי ב E אז מתקיים שוויון 1].n K F 1 E = [K :F לכן, אם גם φ(f) וגם ) 1 φ(f ספרביליים ב E יש ;n K F F אבל כאשר φ(f) ספרבילי גם ) 1 φ(f ספרבילי. שוויון ] :F [K = משפט לכל פולינום מעל שדה F יש שדה פיצול יחיד עד כדי איזומורפיזם. הוכחה. יהיו K,K שדות פיצול. לפי משפט (א) יש שיכון K K, שהוא על כי K מפצל מינימלי. מעתה אפשר לדבר על שדה הפיצול של פולינום (מעל שדה נתון), בהא הידיעה. שדה הפיצול אכן תלוי בשדה הבסיס: למשל, שדה הפיצול של Q[λ] λ מעל Q הוא C. הוא R אבל שדה הפיצול של אותו פולינום מעל,Q[i] מסקנה יהיו F F 1 K שדות, ו E F שיכון.,n F 1 ולכל שיכון ϕ : F 1 E הממשיך את F E = [F 1 :F ] אז,n K F E אם ] :F [K = השיכון הנתון.n K ϕ : F 1 E = [K :F 1] 1,F E הוכחה. באי השוויון (2.1) שווים זה לזה אגף שמאל ואגף ימין, ומכאן שיש שוויון בכל שלב בדרך. 2.2 ספרביליות מאפיין של שדה המאפיין של השדה F הוא הסדר של 1 בחבורה החיבורית של השדה, או 0 אם הסדר הוא אינסופי. את המאפיין של F מסמנים ב.charF מאפיין חיובי של שדה הוא תמיד מספר ראשוני. תת השדה הנוצר על ידי 1 נקרא תת השדה הראשוני של F. תת השדה הראשוני תלוי רק במאפיין, והוא שווה ל Q במאפיין אפס, או לשדה Z/pZ במאפיין p. מכאן שכל שדה מכיל עותק של Q או של איזשהו F. p = Z/pZ 21

22 פרק 2. תורת גלואה 2.2. ספרביליות תרגיל (*) בכל הרחבה,K/F לשני השדות אותו מאפיין. הערה אם F שדה ממאפיין,p אז (a + b) p = a p + b p לכל.a, b F לכן הפונקציה x x p היא שיכון (!) של שדות F. F את התמונה של השיכון הזה מסמנים.F שהוא איזומורפי ל,F זהו תת שדה של ;F p = {a p : a F } תרגיל (*) תן דוגמא לשדה F ממאפיין p כך ש.F p F הגדרה שדה הוא מושלם אם המאפיין שלו אפס, או שהמאפיין > 0 p ומתקיים F. p = F פולינומים ספרביליים הגדרה פולינום [λ] f F הוא ספרבילי (מעל F) אם כל שורשיו בשדה הפיצול שלו מעל F שונים זה מזה. הערה נניח ש f = f 1 f t פירוק לגורמים אי פריקים (מתוקנים) מעל.F אז f ספרבילי אם ורק אם כל ה f i שונים וספרביליים. (משום שבשדה הפיצול של f, לגורמים אי פריקים שונים אין שורשים משותפים). לדוגמא, 1) 2 (x 2 + אינו ספרבילי. הערה Jacobson קורא לפולינום ספרבילי, אם כל גורם אי פריק שלו הוא ספרבילי. לפי הגדרה זו, (1 2 x) 2 + דווקא כן ספרבילי מעל Q. ההגדרה שלנו נמצאת למשל בספרו של,Lang והיא מקובלת יותר. מסקנה אם [λ] f F ספרבילי ו f g מעל,F אז גם g ספרבילי. על חוג הפולינומים [λ] F מגדירים נגזרת פורמלית לפי החוק i 1 a i λ i ) = a i iλ.( תרגיל (*) הוכח את כלל לייבניץ.(fg) = fg + f g טענה הפולינום [λ] f F ספרבילי אם ורק אם = 1 ) f.(f, הוכחה. לפי טענה אפשר לחשב את המחלק המשותף המקסימלי בשדה הפיצול K. אם f אינו ספרבילי אז אפשר לכתוב g(λ) f(λ) = (λ a) 2 לאיזשהו,a K ואז (λ) f (λ) = 2(λ a)g(λ) + (λ a) 2 g אינו זר ל ( f(λ משום ששניהם מתחלקים ב ( a.(λ מאידך, נניח שהפולינום ספרבילי. נכתוב ) i f(λ) = (λ a עבור a i K השונים זה מזה, אז לפי כלל לייבניץ f (λ) = n (λ a 1 ) (λ a i 1 )(λ a i+1 ) (λ a n ), i=1 ולכן לכל,f (a j ) = i j (a j a i ) 0,j כלומר אף a j אינו שורש של (λ) ;f אבל a 1,..., a n הם השורשים היחידים של,f(λ) ומכאן שהפולינומים זרים. 22

23 2.2. ספרביליות פרק 2. תורת גלואה תרגיל (**) הפולינום [λ] λ 5 + λ F ספרבילי אם ורק אם charf.53, 61 טענה יהי [λ] g F פולינום אי פריק. אז התנאים הבאים שקולים: 1. g אינו ספרבילי..g = 0.2.g(λ) = g 1 (λ p כך ש ( ויש פולינום g 1 p = charf > 0.3 הוכחה. (2) :(1) מכיוון ש g אי פריק, (g, g ) = g אם ורק אם 1 ) g (g, אם ורק אם g אינו ספרבילי. אבל g g = (g, g ) אינו אפשרי ל 0 g בגלל המעלה, ומתקיים אם = 0.g (3) :(2) נכתוב.g(λ) = a i λ i אם i 1 = g = ia i λ,0 אז = 0 n na כאשר deg(g) n, = כך ש 0 = n בשדה. לכן המאפיין הוא ראשוני כלשהו, p, ולא אפס. בנוסף לזה, = 0 i ia בשדה לכל,i ולכן = 0 i a לכל i זר ל p. כלומר, = g(λ) ) p a i (λ p ) i/p = g 1 (λ כאשר.g 1 (λ) = a i λ i/p מאידך אם ) p g(λ) = g 1 (λ אז = 0 ) (λp g (λ) = (λ p ) g 1 (λp ) = pλ p 1 g 1 לפי הכלל לנגזרת פנימית (או לפי בדיקה ישירה). ספרביליות אינה תלויה בשדה: מסקנה יהיו F K שדות, ויהי [λ].f F אז f ספרבילי כפולינום מעל F אם ורק אם הוא ספרבילי כפולינום מעל K. הוכחה. לפי טענה הספרביליות תלויה רק בנגזרת, שאינה תלויה בשדה. הערה בהמשך לטענה , אם [λ] g F אי פריק ולא ספרבילי, ו = g(λ).deg(g) = p deg(g 1 אי פריק ו ( אז g 1,g 1 (λ p ) שיכונים במקרה הספרבילי בהמשך ללמה 2.1.7: n F 1 למה יהי F E שיכון ותהי [a] F 1 = F הרחבה פשוטה של ;F אז = E F ספרבילי ומתפצל ב E. f אם ורק אם F] 1 F: ] באותו אופן, לפי משפט : משפט יהיו f פולינום מעל K F, שדה פיצול של f מעל F, ו E שדה מפצל. אז n K F E אם ורק אם f ספרבילי. = [K :F ] 23

24 פרק 2. תורת גלואה 2.2. ספרביליות הרחבות ספרביליות הגדרה איבר של הרחבה K/F הוא איבר ספרבילי אם הפולינום המינימלי שלו ספרבילי. ההרחבה נקראת הרחבה ספרבילית אם כל האיברים שלה ספרביליים. תרגיל (*) בכל הרחבה,K/F כל a F הוא ספרבילי. המינימלי שלו הוא λ, a שהוא פולינום ספרבילי. הדרכה. הפולינום תרגיל (*) כל הרחבה של שדות במאפיין אפס היא ספרבילית. הדרכה. לפי טענה כל פולינום אי פריק במאפיין אפס הוא ספרבילי. טענה יהיו F K E שדות, ויהי.a E אם a ספרבילי מעל,F אז הוא ספרבילי מעל K. הוכחה. הפולינום המינימלי g של a מעל K מחלק (מעל K) את הפולינום המינימלי של a מעל F, שאותו נסמן ב f. לפי מסקנה f ספרבילי מעל K, ולפי מסקנה גם g ספרבילי. להלן דוגמא טיפוסית להרחבה לא ספרבילית. טענה יהיו F E שדות ממאפיין,p ויהי.a E נניח ש a p F ו.a F אז.1 הפולינום המינימלי של a מעל F הוא.λ p a p F. אינו ספרבילי מעל a 2. הוכחה. ברור ש a הוא שורש של.f(λ) = λ p a p יהי g(λ) הפולינום המינימלי של a מעל g(λ) = (λ a) k ולכן,f(λ) = (λ a) p אלא ששם,E ולכן גם מעל,F מעל g f אז.F לאיזשהו.k p מאידך [λ],g(λ) F ולכן המקדם החופשי שלו ;a k F אם k < p נובע מכאן a, F בסתירה להנחה. אבל = 0 f, ומכאן ש f לא ספרבילי. טענה תהי K/F הרחבה של שדות ממאפיין p, ויהי a. K אז a ספרבילי אם ורק אם [a].f [a p ] = F הוכחה. יהי g הפולינום המינימלי של a מעל F. אם האיבר a אינו ספרבילי אז g אינו ספרבילי, וקיים dim(f [a p ]) = deg(g 1 ) < deg(g) = dim(f [a]) במקרה זה ;g(λ) = g 1 (λ p כך ש ( g 1 לפי מסקנה, ולכן [a].f [a p ] F מצד שני, אם [a],f [a p ] F אז a אינו ספרבילי מעל ] p F a] לפי טענה , ולכן אינו ספרבילי גם מעל F לפי טענה משפט תהי K/F הרחבת שדות סופית ממאפיין p. אז K/F ספרבילית אם ורק אם.(K p המכיל את K הוא תת השדה הקטן ביותר של F K p (כאשר F K p = K 24

25 2.2. ספרביליות פרק 2. תורת גלואה הוכחה. אם K/F ספרבילית, אז לכל a K מתקיים a F [a] = F [a p ] F K p לפי טענה ולכן.K = F K p מצד שני, נניח ש K, = F K p ויהי a K איבר לא ספרבילי מעל F; עלינו להגיע לסתירה. לפי טענה, [a],f [a p ] F ולכן a אינו ספרבילי מעל ] p,f [a ובנוסף = K.F K p F [a p ]K p נחליף, אם כך, את F ב [,F [a p וכך נוכל להניח ש.a p F נשלים =.K נגדיר העתקה את {a} לבסיס a 1,..., a n של ההרחבה, עם,a 1 = a כך ש F a i F a p i.p (a i ) = a p i מכיוון ש = לינארית P, : K K כמרחבים לינאריים מעל F, לפי F F p a p i לפי ההנחה, P על, ולכן גם חד חד ערכי. אבל = F ( F a i ) p = F K p = K = 0 p P (a a p ) = P (a) P (a p ) = a p a לפי ההגדרה, ולכן,a = a p F בסתירה להנחה. מסקנה יהיו F K E שדות. אם ההרחבות E/K ו K/F ספרביליות, אז גם E/F ספרבילית. הוכחה. לפי משפט, p E = KE ו,K = F K p ומספיק לחשב = p F E p = F (KE p ).F K p E p2 = KK p E p2 = K(KE p ) p = KE p = E משפט הרחבה K/F הנוצרת על ידי איברים ספרביליים היא ספרבילית. הוכחה. ראשית, נניח ש K נוצר על ידי איבר אחד, כלומר [a] K = F כאשר a K ספרבילי מעל.F אז F K p = F [a p ] = F [a] = K לפי טענה, ו K/F ספרבילית לפי משפט שנית, נניח ש K נוצר סופית, כלומר ] n K = F [a 1,..., a כאשר a i ספרביליים מעל.F נסמן ] i.k i = F [a 1,..., a לפי טענה, כל a i ספרבילי מעל i 1,K ולפי החלק הראשון K i ספרבילי מעל 1 i K. אינדוקציה על פי מסקנה מראה ש K/F ספרבילית. וכעת תהי K/F הרחבה הנוצרת על ידי הקבוצה כלשהי S שכל אבריה (אלגבריים ו)ספרביליים מעל.F יהי,a K אז קיימת תת קבוצה סופית S 0 S כך ש [,a F (S 0 ) = F [S 0 ו [ F S] 0 ספרבילי לפי החלק הקודם של המשפט; לכן גם a ספרבילי הרחבות אי ספרביליות טהורות הרחבה K/F היא אי ספרבילית טהורה אם כל איבר a K שאינו ב F הוא לא ספרבילי. הערה אם K/F אי ספרבילית טהורה ו K F, L אז גם K/L וגם L/F אי ספרביליות טהורות. דוגמא יהי F שדה, ויהי a F כך ש.a F p אז a] F [ p הוא הרחבה אי ספרבילית טהורה של F. טענה הממד של הרחבה אי ספרבילית טהורה (מממד סופי) הוא חזקה של p. 25

26 פרק 2. תורת גלואה 2.2. ספרביליות הוכחה. באינדוקציה על הממד. יהי a K איבר שאינו ב.F לפי טענה, [a],f [a p ] F ולפי טענה, p.[f [a]:f [a p ]] = לפי הנחת האינדוקציה ] ]:F [F [a p ו [[ a ] [K :F הם חזקות p, וסיימנו כי ] ]:F.[K :F ] = [K :F [a]] [F [a]:f [a p ]] [F [a p מסקנה תהי K/F הרחבה כלשהי של שדות. 1. האוסף K sep של אברי K שהם ספרביליים מעל F, הוא שדה..F K sep K.2.3 ההרחבה K sep /F ספרבילית מקסימלית; 4. ההרחבה K/K sep אי ספרבילית טהורה. הוכחה..1 יהיו ;a 0,a, b K sep לפי משפט, כל איבר של b] F [a, הוא ספרבילי, ובפרט a, a + b, a 1, ab ספרביליים. 2. כל איבר של F הוא ספרבילי (תרגיל ). 3. כל איבר ספרבילי ב K שייך ל K. sep.4 אם a K ספרבילי מעל K sep אז ההרחבה K sep [a]/k sep ספרבילית לפי משפט, ואז K sep [a]/f ספרבילית לפי הטרנזיטיביות ו a ספרבילי מעל F כאיבר בהרחבה ספרבילית; אבל אז.a K sep אם כך, בכל הרחבה K/F יש תת הרחבה ספרבילית מקסימלית K sep (הנקראת גם הסגור הספרבילי היחסי של F בתוך K K); אי ספרבילי טהור מעל תת השדה הזה. כך אפשר לפרק כל הרחבה לצעד ספרבילי ואחריו צעד איספרבילי. האם אפשר להפוך את הסדר, ולבצע ראשית הרחבה אי ספרבילית ואחר כך הרחבה ספרבילית? הדוגמא הבאה מראה שזה בלתי אפשרי. דוגמא יהי k שדה מושלם ממאפיין 2, וניקח (µ F = k(λ, ו K = F [x x 4 = λx 2 + µ]. הסגור הספרבילי של F בתוך K הוא ] 2 F, x] ו [ K/F x] 2 אי ספרבילי. מאידך, אין ב K אף איבר אי ספרבילי מעל F (לפי חישוב ישיר: אין אף איבר מחוץ ל F שריבועו ב F). 26

27 תורת גלואה 2.3. חבורות גלואה פרק חבורות גלואה אוטומורפיזמים אוטומורפיזם של הרחבת שדות K/F הוא אוטומורפיזם K K המקבע את כל אברי F. כל אנדומורפיזם K K הוא אוטומורפיזם מעל תת השדה הראשוני של K, אבל אוטומורפיזמים של הרחבה מאפשרים ללמוד את המבנה של K מעל F, ולא כשדה בעלמא. הערה נניח ש ( S ) K; = F אז כל אוטומורפיזם של ההרחבה K/F נקבע לפי התמונות של אברי S. בפרט, אם [a],k = F אז אוטומורפיזם σ : K K נקבע לפי הערך.σ(a) לטענה הקלה הבאה תפקיד מרכזי בקשר בין פולינומים לאוטומורפיזמים: טענה יהי σ : K K אוטומורפיזם מעל.F לכל שורש a K של פולינום f.(f(σ(a)) = σ(f(a)) = הוא שורש (משום ש 0 σ(a) גם,F [λ] יש להבחין שלא כל פונקציה המעבירה כל יוצר של K/F לשורש אחר של אותו פולינום מינימלי אפשר להמשיך לאוטומורפיזם חבורת גלואה הגדרה תהי K/F הרחבה של שדות. חבורת גלואה של ההרחבה היא החבורה ) Gal(K/F של כל האוטומורפיזמים K K השומרים את אברי F. תרגיל (**) חשב את חבורות גלואה של ההרחבות.Q[ρ 3 Q/[,C/R תאר את האוטומורפיזמים של Q[2 1/3, ρ 3 ]/Q ושל ] 3.Q[2 1/3, ρ 3 ]/Q[ρ דוגמא חבורת גלואה (Q/[ Gal(Q[2 1/3 היא טריוויאלית. הערה נניח ש [ K = F [α 1,..., α n כאשר α i הם שורשי פולינום מעל.f אז כל אוטומורפיזם משרה תמורה על השורשים, ומוגדר לפיה. כלומר, יש שיכון Gal(K/F ) S n. בהערה אין צורך להניח ש f אי פריק. אם,f = f 1 f t כמו במקרה. S deg fi מתקבלת הצגה לתוך המכפלה,f = (x 2 2)(x 2 3) 27

28 2.3. חבורות גלואה פרק 2. תורת גלואה הסדר של חבורת גלואה הערה כאשר ] F: K] סופי, כל שיכון K K השומר על F שומר על הממד, ולכן הוא אוטומורפיזם. (בממד אינסופי הטענה אינה נכונה, כפי שמראה דוגמא ) טענה תהי K/F הרחבה סופית. הסדר של חבורת גלואה ) Gal(K/F הוא, לפי. Gal(K/F ) = n K F K הערה 2.3.7, מספר השיכונים,F 1 אז ) /F Gal(F 1 שווה למספר השורשים של לפי למה,2.1.7 אם [a] = F הפולינום המינימלי f ב F. 1 לפי משפט : משפט לכל הרחבה סופית. Gal(K/F ) [K :F ],K/F במשפט, ניקח :E = K משפט יהי K שדה פיצול של פולינום ספרבילי מעל F. אז ] F:. Gal(K/F ( = K] שדה השבת יהי K שדה. לכל תת שדה F K מתאימה חבורת אוטומורפיזמים ).Gal(K/F בכיוון ההפוך, לכל חבורת אוטומורפיזמים G מתאים תת שדה K G = {a K : ( σ G)σ(a) = a}, הנקרא שדה השבת של G. הערה אם F L K אז ) Gal(K/F.Gal(K/L) ואם H G אז.K G K H הערה לכל F K מתקיים ) Gal(K/F F K (כי אברי F קבועים תחת כל אוטומורפיזם של,(K/F ולכל חבורת אוטומורפיזמים G של G Gal(K/K G ),K (כי כל אוטומורפיזם ב G שומר על כל אברי K). G התאמת גלואה נטפל בהתאמה של חבורה לשדה ושדה לחבורה באופן פורמלי. נסמן ב F את סריג תת השדות של K, וב G את סריג תת החבורות של,Aut(K) ונגדיר העתקות : F G F G : 28 לפי Gal(K/L) L = ו.H = K H

29 תורת גלואה 2.3. חבורות גלואה פרק 2. G? = K K G הערה תכונות מיידיות של ההעתקות הללו: 1. שתי ההעתקות הופכות סדר הכלה (זו הערה )..2 תמיד L L ו H H (זו הערה.( ומזה נובע:.H = H ו L = L.3.4 H H = אם ורק אם L H = לשדה כלשהו ;L בדומה,.H לחבורה כלשהי L = H אם ורק אם L = L אם לנסח את 2 ו 4 על פי הסימונים הקאנוניים: הערה תהי G חבורת אוטומורפיזמים של K. אז ) G G, Gal(K/K עם שוויון אם ורק אם G חבורה גלואה של הרחבה כלשהי. (לפי מסקנה,2.5.4 תמיד = ) G Gal(K/K.(G G K K G? F.2 תהי K/F הרחבה. אז ) Gal(K/F,F K עם שוויון אם ורק אם F הוא שדה שבת של חבורה כלשהי. (ראה מסקנה : F שדה שבת אם ורק אם K/F 'הרחבת גלואה') ממד וסדר להתאמת גלואה שהוצגה בסעיף הקודם נוסיף את מרכיב הגודל: לחבורות אוטומורפיזמים סופיות יש סדר, H ; לתת שדות יש ממד, ] F: K]. מכיוון שלא יהיה חשש לבלבול, נסמן ] F: F. = K] לגדלים אלה יש תכונה שימושית: אם H G (חבורות סופיות) אז G, H ומ G H = נובע.H = G באופן דואלי, בשדות: אם F L K (הרחבות מקו ממד סופי) אז F L ומ L F = נובע.F = L כעת אפשר לקרוא את משפט 2.3.9: לכל F K (סופי), (2.2) F F. בכך נוצר חוסר סימטריה מסויים, משום שאיננו יודעים טענה דואלית על חבורות אוטומורפיזמים. 29

30 2.4. הרחבות גלואה פרק 2. תורת גלואה משפט מצביע על תכונה המיוחדת למקרה ש K/F שדה פיצול של פולינום ספרבילי. נבחין שאם K/F כזה ו F, L אז K הוא שדה פיצול של אותו פולינום ספרבילי גם מעל L. לכן נקרא לתת שדה כזה 'תת שדה גדול', ונבחין שתת שדה המכיל תת שדה גדול הוא גדול בעצמו. משפט קובע שלכל F גדול, F F. = טענה אם F גדול, אז.F = F הוכחה. לפי ההנחה F ; F = אבל F,F כלומר גם F גדול, ולכן = F. F כעת F F = F = F = לפי הערה, מש"ל. בלשון קונוונציונלית, מסקנה אם K/F שדה פיצול של פולינום ספרבילי, אז K. Gal(K/F ) = F 2.4 הרחבות גלואה הגדרה הרחבה E/F היא נורמלית אם הפולינום המינימלי מעל F של כל a, E מתפצל ב E. הרחבה נורמלית וספרבילית נקראת הרחבת גלואה. הערה אם K/F גלואה ו,F L K אז גם K/L גלואה. משפט תהי K/F הרחבה סופית. התנאים הבאים שקולים: 1. K/F הרחבת גלואה. 2. K הוא שדה פיצול של פולינום ספרבילי מעל F (כלומר: F גדול)..K עבור חבורת אוטומורפיזמים מתאימה של F = K G.3 הוכחה. (1) :(2) תהי S קבוצת יוצרים (סופית) של.K/F לכל a S יהי f a הפולינום המינימלי מעל F. לפי ההנחות f = f a ספרבילי ומתפצל מעל K. אבל K שדה הפיצול של f. (2) :(3) מסקנה (3) :(1) יהי.a K צריך להוכיח שהפולינום המינימלי f של a מעל F הוא ספרבילי ומתפצל ב K. יהיו a = a 1,..., a n השורשים השונים של f ב K, ויהי ) i.g(λ) = (λ a ברור ש g f מעל.K אבל G פועלת על קבוצת השורשים ומתקיים σ(g) = g לכל.σ G לכן [λ],g F וכיוון ש f אי פריק,.g = f לכן f ספרבילי ומתפצל ב K. נוסיף עוד שתי תכונות שקולות: 30

31 תורת גלואה 2.5. המשפט היסודי פרק 2. טענה התכונות (1), (2), (3) שקולות גם לבאות:.(F = F (היינו F = K Gal(K/F ).4.( F = F (או Gal(K/F ) = [K :F ].5 הוכחה. את (1) (2) (3) הוכחנו במשפט השקילות (3) (4) היא הערה הגרירה (2) (5) היא משפט נוכיח (5).(4) נניח F. F = מכיוון ש F הוא שדה שבת, זהו שדה גדול, ולכן הוא מקיים את תכונה :(5) F. F = אבל F F = ולכן F, F = F = F = ו ) Gal(K/F F = F = K הוא שדה שבת סדר וממד נסכם את התכונות הידועות עד כאן על הסדר והממד. טענה לכל תת שדה F ולכל חבורת אוטומורפיזמים G מתקיים G G = G ; F = F F. הוכחה. לפי טענה,2.4.4 F F = אם ורק אם F. F = עבור G F = הטענה הראשונה מתקיימת, ולכן תמיד G, G = אבל G,G וזה מוכיח את השורה הראשונה. אם נציב F G = נקבל בשוויון הימני F F = כי F,F = והרי.F F כי F F קיבלנו את (2.2) כמסקנה. את אי השוויון F F אי אפשר להחליף בשוויון. ראינו בדוגמא שיתכן F. F = 1 < 3 = זה גם מראה שיתכן L F = בלי ;F = L בדוגמא לעיל.F = K = 1 את אי השוויון על חבורות נחליף בשוויון בפרק הבא. 2.5 המשפט היסודי לפי הידוע לנו עד כה, אם G חבורת אוטומורפיזמים של K, אז יתכן ש = G G 1 ) G,Gal(K/K כלומר יש ל K/K G יותר אוטומורפיזמים משהגדירו את שדה השבת. כאן G,G 1 = והרי לשתי החבורות יש אותו שדה שבת 1 G.G = לכן ה'תקלה' בהכלה G G 1 משמעה גם ששדה השבת אינו מגדיר היטב את החבורה שהגדירה אותו. הלמה של ארטין מראה שכל הבעיות האלה אינן מתרחשות. 31

32 2.5. המשפט היסודי פרק 2. תורת גלואה הלמה של ארטין את התוצאה ] G G K] K: (טענה 2.4.5) אפשר להוכיח ישירות באמצעות למה שיש לה גם שימושים אחרים. תהי G חבורה של אוטומורפיזמים של K, ונסמן F. = K G כל אוטומורפיזם הוא איבר של ) (F End F (K) = M n כאשר ] :F.n = [K זהו מרחב וקטורי מעל K, על ידי הפעולה kφ(x).(kφ)(x) = ככזה, הממד שלו הוא כמובן n. למה האיברים של (K) G End F בלתי תלויים ליניארית מעל.K בפרט G.[K :F ] הוכחה. נניח שיש צירוף ליניארי = 0 i k i σ שבו לא כל המקדמים אפס. נבחר צירוף כזה עם מספר קטן ביותר של מונומים. על ידי הרכבה מימין אפשר להניח ש = 1 1 σ. לפי ההנחה = 0 (x) k i σ i לכל.x K קח t K שאינו נשמר תחת.σ 2 על ידי הצבת tx במקום x מקבלים = 0 (x) k i σ i (t)σ i, אבל גם = 0 (x) k i σ 1 (t)σ i. אם נחסר נקבל יחס קצר יותר, בסתירה. נימוק דומה למדי, מעט יותר מורכב, מוכיח גם את הכיוון ההפוך. נפתח בהערה כללית. הערה תהי ) Gal(K/F G חבורה של אוטומורפיזמים. תהי = 0 i j : i a ijx מערכת משוואות מעל K בנעלמים x, i שהיא אינווריאנטית להפעלת G: לכל משוואה σ G ולכל,j המשוואה = 0 i σ(a ij )x נובעת מן המערכת. אז גם מרחב הפתרונות אינווריאנטי להפעלת,G כלומר אם ) m (x 1,..., x פתרון, אז לכל σ G גם )) m (σ(x 1 ),..., σ(x פתרון. אכן, נניח ש 0 = i a ij x לכל,j אז לכל σ G ולכל. a ij σ(x i ) = σ( σ 1 (a ij )x i ) = 0,j למה (הלמה של ארטין) תהי G חבורת אוטומורפיזמים של שדה כלשהו K..[K :K G ] G אז הוכחה. נכתוב } n.g = {σ 1 = 1,..., σ צריך להוכיח שאם m > n אז כל m איברים.F 1 = K G הם תלויים ליניארית מעל a 1,..., a m K במערכת המשוואות = 0 j j σ i(a j )x יש m נעלמים ו n משוואות, ולכן יש לה פתרון שונה מאפס.x 1,..., x m K נתבונן בפתרון כזה שבו מספר ה 0 j x מינימלי. על ידי סידור מחדש של ה a, j אפשר להניח 0 1 x. נחלק את הפתרון ב,x 1 ונקבל פתרון שבו = 1 1.x לפי הערה,2.5.2 גם הווקטור )) m (σ(x 1 ),..., σ(x פתרון. אבל,σ(x 1 ) = x 1 ולכן חיסור שני הפתרונות יתן פתרון עם מספר קטן יותר של גורמים שונים מאפס, בסתירה, אלא אם σ(x j ) = x j לכל j. מכיוון שזה נכון לכל. x j a j מתקבלת התלות הליניארית = 0 i ועבור = 1,x 1,..., x m K G,σ מטענה מקבלים כעת G ; G = G = אבל 32 הוכחנו G. G.G = G ולכן,G G

33 תורת גלואה 2.5. המשפט היסודי פרק 2. מסקנה לכל חבורת אוטומורפיזמים G של שדה K, Gal(K/K G ) = G [K :K G ] = G. ו המשפט היסודי של תורת גלואה תהי K/F הרחבת גלואה עם ) Gal(K/F.G = ההעתקות Gal(K/L) L = ו H = K H מעבירות תת חבורות של G (הסריג G) להרחבות ביניים של F (הסריג F), ולהיפך. משפט ההעתקות Gal(K/L) : L ו : H K H הן אנטי איזומורפיזמים הפוכים זה לזה של הסריגים G ו F. בנוסף לזה: ] H H = [K :K ו ( Gal(K/L.[K :L] = הוכחה. אלו אנטי הומומורפיזמים של הסריגים לפי הערה (1) לפי הערה 2.4.2, K גלואה מעל כל הרחבת ביניים F, L K ולפי מסקנה נובע מכאן L. = L לפי מסקנה 2.5.4, H H. = לכן ההעתקות הופכות זו את זו, ומכאן שהן אנטי איזומורפיזמים. השוויון H H = נובע ממסקנה 2.5.4, אבל כל שדה ביניים הוא מהצורה H ולכן גם L. L = H 1, H 2 = H 1 H 2, (H 1 H 2 ) = H 1 H 2 ; בפרט: מסקנה (L 1 L 2 ) = L 1, L 2, (L 1 L 2 ) = L 1 L 2. K H 1,H 2 = K H 1 K H 2, K (H 1 H 2 ) = K H 1 K H 2 ; Gal(K/L 1 L 2 ) = Gal(K/L 1 ), Gal(K/L 2 ), Gal(K/L 1 L 2 ) = Gal(K/L 1 ) Gal(K/L 2 ). 33

34 2.5. המשפט היסודי פרק 2. תורת גלואה נשאלת השאלה אלו הרחבות ביניים של K/F הן גלואה מעל F (הרי K הרחבת גלואה של כל שדה ביניים לפי הערה 2.4.2). משפט תהי K/F הרחבת גלואה עם.Gal(K/F ) = G אז E H F/ הרחבה נורמלית אם ורק אם,H G ובמקרה זה.Gal(E H /F ) = G/H K τhτ 1 = { a K : ( σ H)τστ 1 (a) = a } = {τ(b) : b K, ( σ H)τσ(b) = τ(b)} = τ({b K : ( σ H)σ(b) = b} = τ(k H ). הוכחה. מחישוב, נסמן.L = K H נניח ש L הרחבה נורמלית של.F יהי,a L אז לכל τ G K τhτ 1 מכאן ש =.τ(a) L ולכן F, מעל a שורש של הפולינום המינימלי של τ(a).h G ולכן,τ G לכל τhτ 1 = H מכאן ש.τ(L) = L = K H כעת נניח ש H G. לפי החישוב, τ(l) = L לכל τ, G ולכן הצמצום של איברי G ל L מגדיר הומומורפיזם ) ) Gal(L/F θ. : Gal(K/F קל לבדוק ש,Ker(θ) = {τ G : τ L = 1} = Gal(L/F ) על. אבל θ ולכן,L θ(g) K G = F ולכן ) )/Gal(L/F.Gal(L/F ) = G/Ker(θ) = Gal(K/F מכאן ש = ) Gal(L/F L/F ולפי טענה פירושו של דבר הוא ש,[G:Gal(K/L)] = [K:F ] [K:L] = [L:F ] גלואה. n. K F K אם נציב עובדה זו המשפט היסודי קובע ש [ = Gal(K/F ) = [K :F במסקנה , נקבל שתי תוצאות מעניינות: מסקנה תהי K/F הרחבת גלואה. לכל שדה ביניים F L K יש ] F [L: שיכונים.L K [L:F ] לכן מספר תת השדות של K האיזומורפיים ל L שווה ל. Gal(L/F ) בפרט, אם L/F הרחבת גלואה, אז אף תת שדה אחר של L אינו איזומורפי לו. מסקנה תהי K/F הרחבת גלואה. כל איזומורפיזם של שדות ביניים מושרה על ידי אוטומורפיזם של K. הוכחה. כל איזומורפיזם של שדות ביניים L L ϕ : הוא שיכון,L L K ולפי מסקנה שיכון כזה ניתן להמשכה לשיכון σ, : K K שהוא אוטומוזפיזם לפי הממד. במלים אחרות, ϕ הוא הצמצום של σ ל L. מסקנה (בהמשך להערה 2.3.6) נניח ש K/F היא הרחבת הפיצול של [λ] f. F אז חבורת גלואה ) Gal(K/F פועלת טרנזיטיבית על השורשים של f, אם ורק אם f אי פריק. 34

35 תורת גלואה 2.5. המשפט היסודי פרק 2. הוכחה. אם הפולינום פריק, אוטומורפיזם אינו יכול להעביר שורש של גורם אחד לשורש של גורם אחר. מצד שני, נניח ש f פריק. אם α α, שורשים של,f אז ] [α F [α] = F [λ]/ f = F לפי,(1.1) כאשר האיזומורפיזמים מעבירים α.α λ + f לפי מסקנה יש אוטומורפיזם.σ(α) = α כך ש σ Gal(K/F ) בעיית ההיפוך אחת הבעיות המרכזיות בתורת גלואה היא בעיית ההיפוך: האם כל חבורה סופית G מהווה חבורת גלואה של איזושהי הרחבה?K/Q נענה כאן על שאלה קלה בהרבה, ונראה שכל חבורה סופית מהווה חבורת גלואה של הרחבה כלשהי. לאור הערה 2.3.6, עלינו לטפל בתת חבורות של S. n טענה תהי G S n תת חבורה כלשהי. אז קיימת הרחבת גלואה K/F כך ש G.Gal(K/F ) = הוכחה. נבחר שדה כלשהו,k ונתבונן בשדה הפונקציות הרציונליות ) n.k = k(α 1,..., α החבורה S n פועלת כחבורת תמורות על היוצרים α, 1,..., α n ובעזרת פעולה זו היא מהווה חבורה של אוטומורפיזמים של K. כתת חבורה, גם G פועלת על K. שדה השבת F = K G כולל את הפונקציות שהן סימטריות ביחס לפעולת G. לפי משפט 2.4.3, K/F היא הרחבת גלואה, ו.G = Gal(K/F ).f(λ) = (λ α i ) K S n נתבונן בפולינום [λ] [λ] K G תרגיל (*) הפולינום f אי פריק מעל F, = K G אם ורק אם פעולת G על n},... {1, היא טרנזיטיבית סגור גלואה טענה לכל הרחבה ספרבילית סופית L/F יש הרחבת גלואה K/F כך ש L. K הרחבה מינימלית כזו נקראת 'סגור גלואה' של.L/F אם ] t L = F [α 1,..., α ו f i הפולינום המינימלי של α i מעל F, אז שדה הפיצול של f 1 f t הוא סגור גלואה של.L/F נתבונן בסגור גלואה מנקודת המבט של התאמת גלואה: נסמן ) Gal(K/F G, = אז K N /F אז תת חבורה המוכלת ב H, N G אם.H G עבור תת חבורה L = K H הרחבת גלואה המכילה את L, ולפי המינימליות = 1 N. במלים אחרות, תת החבורה הנורמלית המקסימלית ש N מכיל, 1 ghg,core G (H) = g G היא טריוויאלית. מסקנה אם K/F סגור גלואה של הרחבה,L/F אז יש שיכון Gal(K/F ) S n כאשר ] [L:F.n = בפרט ] [K:F Gal(K/F ) S לכל הרחבת גלואה.K/F 35

36 2.5. המשפט היסודי פרק 2. תורת גלואה הוכחה. לפי הלמה של שטייניץ (למה ) [α] L, = F ואז אוטומורפיזמים של K מוגדרים על ידי פעולת התמורה שלהם על השורשים השונים של הפולינום המינימלי f של α בתוך K. הערה אם K/F גלואה ו L = K H עבור ) Gal(K/F,H G = אז: 1. תת השדה המקסימלי של L שהוא גלואה מעל F הוא :g G K; ghg 1 2. תת השדה המינימלי של K המכיל את L שהוא גלואה מעל F הוא G(H) K; Core 3. תת השדה המינימלי של L ש L גלואה מעליו הוא G(H) K; N לכן = ) Gal(L/F.N G (H)/H מספר שדות הביניים מסקנה בכל הרחבת גלואה סופית יש מספר סופי של שדות ביניים. מסקנה לכל הרחבה ספרבילית סופית L/F יש מספר סופי של שדות ביניים. (קח K L כך ש K/F גלואה, והפעל את מסקנה ). (טענה זו אינה נכונה אם L/F אינה ספרבילית.) למה (הלמה של שטייניץ) כל הרחבה ספרבילית סופית L/F היא הרחבה פשוטה. הוכחה. ההוכחה למקרה ש F אינסופי. בהמשך (הערה 3.1.2) נראה שהטענה נכונה גם במקרה הסופי. יהיו.x, y L יש אינסוף איברים מהצורה,α F,x + αy אבל (מסקנה ) רק מספר סופי של שדות ביניים של.F/L לכן יש שני ערכים שונים,x + αy, x + α y אבל אז L 0.L 0 = F [x + αy] = F [x + α y] כך ש α, α F ולכן (α α )y L 0 ומכאן y L 0 ו.x L 0 כלומר, y].f [x + αy] = F [x, כעת הטענה נובעת מאינדוקציה על מספר היוצרים הרכבה של שדות אפשר לדלג הגדרת ההרכבה,K 1 K 2 כאשר.K 1, K 2 E חבורת גלואה של ההרכבה מעל.F = K 1 K 2 טענה אם,F F, K E אז ] :F.[F K :K] [F (באינדוקציה על מספר היוצרים של F, F/ לפי טענה ). 36

37 פרק 3 שימושים 3.1 שורשי יחידה איבר ρ F נקרא שורש יחידה אם יש > 0 n כך ש 1 = n ρ. במלים אחרות שורשי יחידה הם האברים מסדר סופי בחבורה הכפלית של השדה. שורש יחידה הוא מסדר n אם = 1 n ρ; הוא נקרא פרימיטיבי אם הסדר שלו, כאיבר בחבורה, שווה ל n. ρ n = e 2πi את האיבר המסויים של שדה מעל שדות ממאפיין אפס, מסמנים ב n המספרים המרוכבים C המוגדר לפי הנוסחה הטריגונומטרית. בחירה זו אינה מהותית, משום שאם ρ n שורש יחידה פרימיטיבי מסדר n, אז שורשי היחידה אחרים מאותו סדר הם החזקות ρ k n עבור k, U n כאשר U n היא חבורת אוילר (שסדרה ϕ(n) הוא פונקציית אוילר בנקודה n) החבורה הכפלית של שדה משפט כל תת חבורה כפלית סופית של שדה היא ציקלית. הוכחה. נסמן exp(g) e. = אז כל אברי G הם שורשים של הפולינום 1 e x, ולפי מסקנה 1.1.9, e G. לכן G e, = ומכיוון שבחבורה אבלית תמיד יש איבר שסדרו שווה לאקספוננט, G ציקלית. הערה כעת אפשר להשלים את ההוכחה של הלמה של שטייניץ, למה תהי K הרחבה ספרבילית של שדות סופיים (את המקרה האינסופי כבר הוכחנו). אז K/F חבורה סופית ולכן ציקלית. נסמן ב K a יוצר של החבורה, אז בהכרח [a] K. = F לעומת זאת, חבורות כפליות אינסופיות של שדה יכולות להיות בעלות מבנה מורכב. לדוגמא, החבורה הכפלית Q היא מכפלה ישרה 5 3 2, 1 כלומר.Z 2 Z N 37

38 3.1. שורשי יחידה פרק 3. שימושים הפולינומים הציקלוטומיים כל שורש יחידה מסדר n מאפס את הפולינום 1 n λ, אבל זהו אינו הפולינום המינימלי, משום שהוא פריק בעליל. נגדיר את הפולינום הציקלוטומי מסדר Φ, n (λ) C[λ] n, באופן הבא: Φ n (λ) = (k,n)=1 (λ ρ k n) כאשר ) n ρ n = exp( 2π הוא שורש יחידה פרימיטיבי מסדר n (אבל להגדרת הפולינום אין זה משנה מהו השורש שנבחר). deg(φ n (λ)) = ϕ(n). מן ההגדרה נובע ש מסקנה השורשים של (λ) Φ n הם שורשי היחידה הפרימיטיביים מסדר n. ברור ש Φ d (λ) = n 1 (λ ρ nk/d n ) = (λ ρ i n) = λ n 1. d n d n (k,n)=d i=0 משפט Z[λ] Φ n (λ) הוכחה. באינדוקציה על.n עבור = 1,n.Φ n (λ) = λ 1 נניח שהטענה נכונה לכל מחלק של,n אז 1 n Φ n (λ) λ מעל המרוכבים, עם מנה d(λ),φ n(λ) = d n, d<n Φ ולכן Q[λ] Φ. n (λ) לפי הלמה של גאוס, Z[λ] Φ n (λ) כי המנה היא פולינום מתוקן ולכן פרימיטיבי. בזכות המשפט הזה, הפולינום הציקלוטומי מוגדר מעל כל שדה. 38

39 שימושים 3.1. שורשי יחידה פרק 3. Φ 2 (λ) = λ2 1 λ 1 = λ + 1; Φ 3 (λ) = λ3 1 λ 1 = λ2 + λ + 1; Φ 4 (λ) = λ 4 1 (λ 1)(λ + 1) = λ2 + 1; Φ 5 (λ) = λ5 1 λ 1 = λ4 + λ 3 + λ 2 + λ + 1; Φ 6 (λ) = λ 6 1 (λ 1)(λ + 1)(λ 2 + λ + 1) = λ2 λ + 1; דוגמא Φ 105 (λ) = λ 48 + λ 47 + λ 46 λ 43 λ 42 2λ 41 + λ 2 + λ + 1 ) 105 Φ הוא הפולינום הציקלוטומי הראשון עם מקדם שאינו,0.) ±1 משפט הפולינומים (λ) Φ n אי פריקים מעל.Q הוכחה. אחרת, לפי הלמה של גאוס, אפשר להניח שיש פירוק לא טריוויאלי = (λ) Φ n g(λ)h(λ) כאשר Z[λ],g, h ו g אי פריק. אז קיימים שורש ρ של g וראשוני p זר ל n, כך ש ρ p שורש של h. מכאן ש ( g(λ) h(λ p מעל Z. מעתה נעבוד מעל.Z/pZ נבחין ש 1 n λ ספרבילי כי n 1 (λ n 1) = nλ ו 0 n g(λ) h(λ p ) = h(λ) p מתקיים p מודולו ספרבילי. ומכאן נובע בפרט ש g,(mod p) ולכן,g h ומכאן שגם 1) n g 2 Φ n (λ מודולו,p סתירה לספרביליות השדה ] n Q[ρ לפי משפט 3.1.6, (λ) Φ n הוא הפולינום המינימלי של ρ n מעל Q. לכן [Q[ρ n ]:Q] = deg(φ n (λ)) = ϕ(n). יתרה מזו, ] n Q[ρ הוא שדה הפיצול של (λ) Φ n (וגם של 1 n λ), שהוא ספרבילי, ולכן Q[ρ n Q/[ היא הרחבת גלואה. אם כך, מהי חבורת גלואה שלה? טענה.Gal(Q[ρ n ]/Q) = U n הוכחה. נגדיר התאמה f : Gal(Q[ρ n ]/Q) U n לפי σ k אם ;σ(ρ n ) = ρ k n תמיד קיים k U n יחיד כזה, משום ש ( σ(ρ n הוא שורש של (λ).φ n מאידך, לכל ρ k n,k U n הוא שורש של הפולינום המינימלי.Φ n מכאן ש ρ n ρ k n מגדיר איזומורפיזם Q[ρ n ] = Q[λ]/ Φ n (λ) = Q[ρ k n], ולכן ההתאמה היא על. לבסוף, קל לבדוק ש ( f(σ)f(σ.f(σσ ) = 39

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשעד פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה

Διαβάστε περισσότερα

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V ) הצגות של חבורות סופיות c ארזים 6 בינואר 017 1 משפט ברנסייד משפט 1.1 ברנסייד) יהיו p, q ראשוניים. תהי G חבורה מסדר.a, b 0,p a q b אזי G פתירה. הוכחה: באינדוקציה על G. אפשר להניח כי > 1 G. נבחר תת חבורה

Διαβάστε περισσότερα

מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשע"ז

מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשעז חוברת תרגולים בקורס "תורת גלואה" 88 311 21 בפברואר 2017 מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשע"ז ערך: איתי רוזנבאום 1 תורת גלואה תרגול ראשון חזרה מחוגים F שדה F. חוג הפולינומים עם מקדמים ב F [λ] זהו חוג אוקלידי,

Διαβάστε περισσότερα

Logic and Set Theory for Comp. Sci.

Logic and Set Theory for Comp. Sci. 234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 1 מערכת המספרים השלמים בשיעור הקרוב אנו נעסוק בקבוצת המספרים השלמים Z עם הפעולות (+) ו ( ), ויחס סדר (>) או ( ). כל התכונות הרגילות והידועות של השלמים מתקיימות: חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות),

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב 2011 2010 פרופ' יעקב ורשבסקי אסף כץ 15//11 1 סמל לזנדר יהי מספר שלם קבוע, ו K שדה גלובלי המכיל את חבורת שורשי היחידה מסדר µ. תהי S קבוצת הראשוניים הארכימדיים

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין

Διαβάστε περισσότερα

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון

Διαβάστε περισσότερα

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חחע ועל מכיוון שהיא מוגדרת עי. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חחע אז ועל פי הגדרת הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לחוגים ומודולים עוזי וישנה

מבוא לחוגים ומודולים עוזי וישנה מבוא לחוגים ומודולים עוזי וישנה 25 באוקטובר 2015 מבוא לחוגים ומודולים מהדורה 1.311 הקדמה. תורת החוגים עשירה בשיטות ורעיונות, וחובקת דוגמאות מכל תחומי המתמטיקה. קורס ראשון בתחום מוגבל, מטבע הדברים, למושגים

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון

Διαβάστε περισσότερα

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח. 1 תשע'א תירגול 8 אלגברה לינארית 1 טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של וקטור אם הוכחה: חד חד ערכית ויהי כך ש מכיוון שגם נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח

Διαβάστε περισσότερα

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012 מבנים אלגבריים 80446 II אור דגמי, or@digmi.org 27 במרץ 2012 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ אלכס לובוצקי בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים 1 שדות 3 1.1 תזכורת מהעבר....................................................

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות λ = 0 A. F n n ערך עצמי של A אם ורק אם A לא הפיכה..det(λ I ערך עצמי של λ F.A F n n n A) = 0 אם ורק אם: A v וקטור עצמי של Tהמתאים יהי T: V V אופרטור לינארי. אם λ F ערך עצמי של,T לערך העצמי λ, אזי λ הוא

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן אלגברה לינארית 1 יובל קפלן מחברת סיכום הרצאות ד"ר אלי בגנו בקורס "אלגברה לינארית 1" (80134) באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר

Διαβάστε περισσότερα

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

מבנים אלגבריים עוזי וישנה

מבנים אלגבריים עוזי וישנה מבנים אלגבריים עוזי וישנה מבנים אלגבריים מהדורה 2.58 למתרגל הקדמה. חוברת זו ערוכה ומסודרת לפי תוכנית הלימודים בקורס 'מבנים אלגבריים' למדעי המחשב, 89-214, באוניברסיטת בר אילן. הקורס (בהיקף של שעתיים הרצאה

Διαβάστε περισσότερα

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות תורת המספרים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב 017 1 פירוק לגורמים ראשוניים 1.1 הגדרות חוג A C נקראת חוג אם: היא מכילה את 0 ואת 1 סגורה תחת חיבור, חיסור, וכפל הפיך A חוג. a A נקרא הפיך אם 0,a.a 1 A קבוצת

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לתורת החבורות עוזי וישנה

מבוא לתורת החבורות עוזי וישנה מבוא לתורת החבורות עוזי וישנה 12 בפברואר 2017 מבוא לתורת החבורות מהדורה 3.931 הקדמה. חוברת זו ערוכה ומסודרת לפי תוכנית הלימודים בקורס "אלגברה מופשטת 1" לתלמידי מתמטיקה, 88-211, באוניברסיטת בר אילן. הקורס

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה. בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעב (2012) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לחוגים ומודולים עוזי וישנה

מבוא לחוגים ומודולים עוזי וישנה מבוא לחוגים ומודולים עוזי וישנה 16 במרץ 2017 מבוא לחוגים ומודולים מהדורה 1.342 הקדמה. תורת החוגים עשירה בשיטות ורעיונות, וחובקת דוגמאות מכל תחומי המתמטיקה. קורס ראשון בתחום מוגבל, מטבע הדברים, למושגים

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית,

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס תורת הקבוצות (80200) באוניברסיטה העברית, תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות L

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים והגדרות

רשימת משפטים והגדרות רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות חיים שרגא רוזנר כ"ה בניסן, תשע"ה תזכורות תקציר איזומורפיזם סדר, רישא, טרנזיטיביות, סודרים, השוואת סודרים, סודר עוקב, סודר גבולי. 1. טרנזיטיבות וסודרים קבוצה A היא טרנזיטיבית

Διαβάστε περισσότερα

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1 1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n

Διαβάστε περισσότερα

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית

Διαβάστε περισσότερα

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A ) הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y

Διαβάστε περισσότερα

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.

Διαβάστε περισσότερα

מבנים אלגבריים למדעי המחשב מערכי תרגול קורס אבי אלון, תומר באואר וגיא בלשר ינואר 2016, גרסה 0.22

מבנים אלגבריים למדעי המחשב מערכי תרגול קורס אבי אלון, תומר באואר וגיא בלשר ינואר 2016, גרסה 0.22 מבנים אלגבריים למדעי המחשב מערכי תרגול קורס 89-214 אבי אלון, תומר באואר וגיא בלשר ינואר 2016, גרסה 0.22 אוניברסיטת בר אילן סמסטר א תשע ו תוכן העניינים 3 מבוא.............................. 3 מבוא לתורת

Διαβάστε περισσότερα

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b

Διαβάστε περισσότερα

תרגול פעולות מומצאות 3

תרגול פעולות מומצאות 3 תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעד (2014) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

1 סכום ישר של תת מרחבים

1 סכום ישר של תת מרחבים אלמה רופיסה :הצירטמ לש ןדרו'ג תרוצ O O O O O O ןאבצ זעוב סכום ישר של תת מרחבים פרק זה כולל טענות אלמנטריות, שהוכחתן מושארת לקורא כתרגיל הגדרה: יהיו V מרחב וקטורי, U,, U k V תת מרחבים הסכום W U + U 2 +

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשסט 467 אלגברה א', סמסטר חורף תשס"ט, פתרונות לשיעורי הבית, עמוד מתוך 6 467 אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט תוכן עניינים : גליון שדות... גליון מרוכבים 7... גליון מטריצות... גליון 4 דירוג,

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2 אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק

Διαβάστε περισσότερα

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות

Διαβάστε περισσότερα

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11.1 K α : F איזומורפיזם של שדות. א. טענה 1 :.α(0 F ) = 0 K עלינו להוכיח כי לכל,b K מתקיים.b + α(0 F ) = α(0 F ) + b = b עבור b K (כיוון ש α חח"ע ועל), קיים ויחיד x F כך ש.α(x)

Διαβάστε περισσότερα

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z.

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z. פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן הגדרה 5. טורלורןסביבקוטב z מסדרm שלפונקציה( f(z הואמהצורה n m a n(z z m. למשל,טורלורן שלהפונקציה e z /z 2 סביב הוא + 2./z 2 +/z+/2+/3!z+/4!z משפט 5. תהי f פונקציה אנליטית

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות

אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות סוכם ע"פ הרצאות פרופ' מ.קריבלביץ' 1.2 אידאלים של פולינומים הגדרה 1.13 יהי F שדה. קבוצת פולינומים [x] I F נקראת אידיאל ב [ x ] F אם מתקיים:.0 I.1.2 לכל f 1, f 2 I מתקיים.f

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לתבניות ריבועיות עוזי וישנה

מבוא לתבניות ריבועיות עוזי וישנה מבוא לתבניות ריבועיות עוזי וישנה 16 בנובמבר 2014 מבוא לתבניות ריבועיות מהדורה 1.57 הקדמה. לתורה של תבניות ריבועיות יש היבטים אלגבריים, אריתמטיים וגאומטריים. נציג כמה מהמשפטים היפים של התאוריה הזו על קצה

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1

חשבון אינפיניטסימלי 1 חשבון אינפיניטסימלי 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ צליל סלע בקורס "חשבון אינפיניטסימלי 1" (80131) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו.

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה.

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. מרצה: למברג דן תוכן העניינים 3 מספרים ממשיים 1 3.................................. סימונים 1. 1 3..................................

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.

Διαβάστε περισσότερα

{ : Halts on every input}

{ : Halts on every input} אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים

אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים לכסון מטריצות יהי F שדה ו N n נאמר שמטריצה (F) A M n היא לכסינה אם היא דומה למטריצה אלכסונית כלומר, אם קיימת מטריצה הפיכה (F) P M n כך ש D P AP = כאשר λ λ 2 D = λ n

Διαβάστε περισσότερα

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות מינימיזציה של DFA L. הוא אוטמומט מינימלי עבור L של שפה רגולרית A ראינו בסוף הסעיף הקודם שהאוטומט הקנוני קיים A DFA בכך הוכחנו שלכל שפה רגולרית קיים אוטומט מינמלי המזהה אותה. זה אומר שלכל נקרא A A לאוטומט

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A

Διαβάστε περισσότερα

שדות הגדרת השדה: חשבון מודולו n: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות משפט: יהא F שדה. משפט: יהא F שדה ו- (mod )

שדות הגדרת השדה: חשבון מודולו n: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות משפט: יהא F שדה. משפט: יהא F שדה ו- (mod ) שדות הגדרת השדה: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות אחת נקראת חיבור ותסומן ב + האחרת נקראת כפל ותסומן ב * כך שתתקיימנה הדרישות הבאות: a, b F a b. סגירות לחיבור: F a F a 0 0 a a a, b, c F a

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים תרגולמס 5

מודלים חישוביים תרגולמס 5 מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך

Διαβάστε περισσότερα

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יחל סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר

Διαβάστε περισσότερα

גירסה liran Home Page:

גירסה liran   Home Page: גירסה 1.00 26.10.03 סיכום באלגברה א מסמך זה הורד מהאתר.hp://uderwar.liveds.co.il אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר. מחבר המסמך איננו אחראי לכל נזק, ישיר או עקיף, שיגרם עקב השימוש

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: כמתים והצרנות. משתנים קשורים וחופשיים. 1 כמתים והצרנות בתרגול הקודם עסקנו בתחשיב הפסוקים, שבו הנוסחאות שלנו היו מורכבות מפסוקים יסודיים (אשר קיבלו ערך T או F) וקשרים.

Διαβάστε περισσότερα

3-9 - a < x < a, a < x < a

3-9 - a < x < a, a < x < a 1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לאלגברה ליניארית

מבוא לאלגברה ליניארית BEN GURION UNIVERSITY BE ER SHEVA, ISRAEL אוניברסיטת בן גוריון בנגב באר שבע מבוא לאלגברה ליניארית אמנון יקותיאלי המחלקה למתמטיקה אוניברסיטת בן גוריון amyekut@mathbguacil חוברת זו מיועדת לקורסים באלגברה

Διαβάστε περισσότερα

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012 אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012

תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 תורת הקבוצות 80200 אור דגמי, ÓÖ Ñ ºÓÖ 11 בפברואר 2012 אתר אינטרנט: ØØÔ»» Ñ ºÓÖ תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים תוכן עניינים תוכן עניינים מבוא.............................................

Διαβάστε περισσότερα

"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי

קשר-חם : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי נושא: חקירת משוואות פרמטריות בעזרת גרפים הוכן ע"י: אביבה ברש. תקציר: בחומר מוצגת דרך לחקירת

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135) באוניברסיטה העברית,

אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס אלגברה לינארית 2 (80135) באוניברסיטה העברית, אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135 באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר באמצעות

Διαβάστε περισσότερα

נושאים: 4. בסיס 5. מימד ליניארית - אסוציאטיביות (קיבוץ) וקומטטיביות (חילוף) החיבור בין אברי V (הוקטורים) לאיברי F (סקלרים) התנאים:

נושאים: 4. בסיס 5. מימד ליניארית - אסוציאטיביות (קיבוץ) וקומטטיביות (חילוף) החיבור בין אברי V (הוקטורים) לאיברי F (סקלרים) התנאים: תרגול 1 אלגברה ליניארית נושאים: מרחב ליניארי 1. תת מרחב ליניארי 2. Span.3 תלות ליניארית 4. בסיס 5. מימד 6. טרנספורמציות דמות, גרעין, (שניהם תתי מרחב), משפט המימדים 7. מרחב העמודות, דרגה של מטריצה, מרחב

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה פרק 12: שקילות מצבים וצמצום מכונות לעי תים קרובות, תכנון המכונה מתוך סיפור המעשה מביא להגדרת מצבים יתי רים states) :(redundant הפונקציה שהם ממלאים ניתנת להשגה באמצעו ת מצבים א חרים. כיוון שמספר רכיבי הזיכרון

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5 1 במאי 1 1. נוכיח כי מרחב הפולינומים R[t] אינו נפרש סופית: נניח שהוא כן נפרש סופית. אם כך, ניקח קבוצה סופית פורשת שלו:.R[t] קבוצה סופית של פולינומים, שפורשת את כל המרחב p}

Διαβάστε περισσότερα

תורת המספרים ושימושים בקריפטוגרפיה

תורת המספרים ושימושים בקריפטוגרפיה תורת המספרים ושימושים בקריפטוגרפיה יובל קפלן ( בקורס "תורת סיכום הרצאות פרופ אלכס לובוצקי ) המספרים ושימושים בקריפטוגרפיה" (80611) באוניברסיטה העברית,.007 8 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך עלÎידי יובל קפלן.

Διαβάστε περισσότερα

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד.

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד. חידה לחימום ( M ש- N > (כך מספרים טבעיים Mו- N שappleי appleתוappleים בעלי אותה הזוגיות (שappleיהם זוגיים או שappleיהם אי - זוגיים). המספרים הטבעיים מ- Mעד Nמסודרים בשורה, ושappleי שחקappleים משחקים במשחק.

Διαβάστε περισσότερα

logn) = nlog. log(2n

logn) = nlog. log(2n תכנוןוניתוחאלגוריתמים סיכוםהתרגולים n log O( g( n)) = Ω( g( n)) = θ ( g( n)) = תרגול.3.04 סיבוכיות { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 f ( n) c g( n) } { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 c g( n) f ( n) } { f ( n)

Διαβάστε περισσότερα

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין סיכום אינפי 2 9 ביוני 200 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה בשום דרך. סוכם ע"י נגה רוטמן בשעות לא הגיוניות בעליל,

Διαβάστε περισσότερα

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון. Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה מתמטית הוא התחום במתמטיקה שחוקר בצורה מדויקת מושגים כמו טענה ו- הוכחה. על מנת לספק מוטיבציה, נתבונן בשתי דוגמאות היסטוריות.

לוגיקה מתמטית הוא התחום במתמטיקה שחוקר בצורה מדויקת מושגים כמו טענה ו- הוכחה. על מנת לספק מוטיבציה, נתבונן בשתי דוגמאות היסטוריות. לוגיקה מתמטית משה קמנסקי 1. מבוא לוגיקה מתמטית הוא התחום במתמטיקה שחוקר בצורה מדויקת מושגים כמו טענה ו- הוכחה. על מנת לספק מוטיבציה, נתבונן בשתי דוגמאות היסטוריות. 1.1. גאומטריית המישור. אוקלידס רצה לדעת

Διαβάστε περισσότερα

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר דקדוק חסר הקשר דקדוק חסר הקשר הנו רביעיה > S

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה מתמטית משה קמנסקי 23 בינואר 2018

לוגיקה מתמטית משה קמנסקי 23 בינואר 2018 לוגיקה מתמטית משה קמנסקי 23 בינואר 2018 1 מבוא לוגיקה מתמטית הוא התחום במתמטיקה שחוקר בצורה מדויקת מושגים כמו טענה ו- הוכחה. על מנת לספק מוטיבציה, נתבונן בשתי דוגמאות היסטוריות. 1.1 גאומטריית המישור אוקלידס

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות.

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. A = 1,4,7,17,20 B = 1, a, b, c 2 נאמר ש x שייך ל A ונסמן x A אם x הוא

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה.

הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה. 1 לוגיקה סיכום הגדרות משפטים ודברים חשובים אחרים תודה רבה לניצן פומרנץ על הסיכום הכולל של החומר הקדמה הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה. הערה 0.2 נשים לב שלכל שפה יש רובד

Διαβάστε περισσότερα

חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים

חדווא 2 סיכום טענות ומשפטים חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים 3 ביוני 2 n S(f, T ) := (t k+ t k ) inf k= סכום דרבו תחתון מוגדר על ידי [t k,t k+ ] f אינטגרל רימן חלוקות של קטע חלוקה של קטע [,] הינה אוסף סדור סופי של נקודות מהצורה: טענה.2

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה למדעי המחשב תרגולים

לוגיקה למדעי המחשב תרגולים לוגיקה למדעי המחשב תרגולים ניצן פומרנץ 17 ביוני 2015 אתר הקורס: במודל בשבוע הראשון התרגילים ייועלו גם ל www.cs.tau.ac.il/~shpilka/teaching לירון כהן: liron.cohen@math.tau.ac.il (לא לשלוח שאלות על החומר

Διαβάστε περισσότερα

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r ל' ' פונקציות פרימיטיביות רקורסיביות חישוביות הרצאה 4 האם כל פונקציה מלאה היא פרימיטיבית רקורסיבית? לא נראה שתי הוכחות: פונקציות רקורסיביות (המשך) זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה קיומית: קיימות פונקציות

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב הרצאות

לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב הרצאות לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב הרצאות גדי אלכסנדרוביץ' תוכן עניינים 2..................................................... מבוא 1 3.................................... תורת הקבוצות הנאיבית מושגי יסוד

Διαβάστε περισσότερα

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח.

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח. החשמלי השדה הקדמה: מושג השדה חשמלי נוצר, כאשר הפיזיקאי מיכאל פרדיי, ניסה לתת הסבר אינטואיטיבי לעובדה שמטענים מפעילים זה על זה כוחות ללא מגע ביניהם. לטענתו, כל עצם בעל מטען חשמלי יוצר מסביבו שדה המשתרע

Διαβάστε περισσότερα

(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p;

(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p; מבני נתונים פתרונות לסט שאלות דומה לשאלות בנושאים () זמני ריצה של פונקציות רקורסיביות () מיונים השאלות פתרו את נוסחאות הנסיגה בסעיפים א-ג על ידי הצבה חוזרת T() כאשר = T() = T( ) + log T() = T() כאשר =

Διαβάστε περισσότερα

מערך תרגיל קורס סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי 2 למדעי המחשב

מערך תרגיל קורס סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי 2 למדעי המחשב מערך תרגיל קורס 89-33 סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי למדעי המחשב יוני 05, גרסה 0.9 מבוא נתחיל עם כמה דגשים: דף הקורס נמצא באתר.www.math-wiki.com שאלות בנוגע לחומר הלימודי מומלץ לשאול בדף השיחה באתר

Διαβάστε περισσότερα

В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 2010.

В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 2010. ודים בוגיינקו תורגם ע"י מריה סבצ'וק משוואות פ ל זהו תרגום מרוסית של הספר: В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 00. http://biblio.mccme.ru/ode/34/shop קובץ PDF של ההוצאה הראשונה ברוסית:

Διαβάστε περισσότερα

מושגי יסוד בטופולוגיה אלגברית

מושגי יסוד בטופולוגיה אלגברית מושגי יסוד בטופולוגיה אלגברית 1 תוכן עניינים תוכן עניינים תוכן עניינים I הרצאות 5 1 מנהלות......................................... 5 2 חבורה יסודית...................................... 5 2.1 הגדרות ועובדות

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות

חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות 13 בינואר 211 מרצה: אילון לינדנשטראוס מתרגל: רון רוזנטל סוכם ע י: אור שריר פניות לתיקונים והערות: tnidtnid@gmail.com אתר הסיכומים שלי: http://bit.ly/huji_notes

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים

מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים (8..05). טענה אודות סדר גודל. log טענה: מתקיים Θ(log) (!) = הוכחה: ברור שמתקיים: 3 4... 4 4 4... 43 פעמים במילים אחרות:! נוציא לוגריתם משני האגפים: log(!) log( ) log(a b

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות אלגוריתמים חמדניים אלגוריתם חמדן, הוא כזה שבכל צעד עושה את הבחירה הטובה ביותר האפשרית, ולא מתחרט בהמשך גישה זו נראית פשטנית מדי, וכמובן שלא תמיד היא נכונה, אך במקרים רבים היא מוצאת פתרון אופטימאלי בתרגול

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( )

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( ) 9. חשבון אינטגרלי. עד כה עסקנו בבעיות של מציאת הנגזרת של פונקציה נתונה. נשאלת השאלה בהינתן נגזרת האם נוכל למצוא את הפונקציה המקורית (הפונקציה שנגזרתה נתונה)? זוהי שאלה קשה יותר, חשבון אינטגרלי דן בבעיה

Διαβάστε περισσότερα