רפאב שומישה לאיצנטופ,םימ תויתשתל

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "רפאב שומישה לאיצנטופ,םימ תויתשתל"

Transcript

1 פוטנציאל השימושבאפר פחם תחתי Ash) (Bottom כחומר מלוי לעטיפת צנרת תת-קרקעית לתשתיות מים, ביוב, ניקוז ותקשורת מוגש למנהלת אפר הפחם על ידי פרופ' אמריטוס נפתלי גלילי הפקולטה להנדסה אזרחית וסביבתית הטכניון מכון טכנולוגי לישראל נובמבר 2006 חיפה

2 פוטנציאל השימוש באפר פחם תחתי Ash) (Bottom כחומר מלוי לעטיפת צנרת תת קרקעית לתשתיות מים, ביוב, ניקוז ותקשורת פרופ' אמריטוס נפתלי גלילי הפקולטה להנדסה אזרחית וסביבתית 1 הטכניון מכון טכנולוגי לישראל נובמבר 2006 תוכן העניינים תקציר מורחב עמ' iii מבוא תפקידי חומר המילוי בהנחת צנרת טמונה בקרקע תכונות ושימושי אפר הפחם בראי התקינה תכונות אפר הפחם כחומר הנדסי השימוש באפ"ת על-פי התקינה להנחת צנרת 5.1 צנרת בטון ללא לחץ לביוב וניקוז 5.2 צנרת בטון להולכת זורמים בלחץ תנאי הנחה לצנרת קשיחה תנאי הנחה לצנרת קשיחה למחצה תכנון והנחת צנרת פלדה להולכת מים 5.3 תכנון והנחת צנרת פיבגלס (GRP) להולכת מים ושפכים 5.4 סיווג חומר המילוי להנחת צנרת GRP הקריטריונים לבחינת ההתאמה של חומרי המילוי לקרקע הטבעית באתר תנאי הנחת צנרת GRP לפי ASTM תכנון והנחת צנרת PVC 5.5 צנרת תרמופלסטית לביוב ולשימושי זרימה ללא לחץ 5.6 צנרת תרמופלסטית להולכת מים ושפכים בלחץ 5.7 הצעת התקן האירופי PrEN להולכת מים ושפכים בצנרת פלסטית 5.8 סיכום תנאי ההנחה הנדרשים בתקינה עבור אפ"ת כחומר מילוי 5.9 חישובי עיווי (Deflection) עבור צנרת טמונה במילוי אפ"ת חישובי שקיעה יחסית בצנרת פלדה 6.1 חישובי שקיעה יחסית של צנרת PE,PVC,GRP הערות לבדיקה החישובית סיכום נספח א': בדיקות מעבדה לדירוג וסיווג אפר פחם תחתי כחומר מבני נספח ב': חישובי שקיעה עבור צנרת פלדה טמונה במעטפת אפר פחם תחתי רשימת ספרות 1 על פי תקנות הטכניון פרסומי החוקרים בטכניון הם על דעתם בלבד ואינם מייצגים את עמדת הטכניון.

3 ii רשימת ציורים ציור 1: צנרת בטון לביוב וניקוז ללא לחץ בתנאי הנחה סטנדרטיים ציור 2: צנרת בטון להולכת זורמים בלחץ סוגי הנחה לצנרת קשיחה ציור 3: צנרת בטון להולכת זורמים בלחץ סוגי הנחה לצנרת קשיחה למחצה ציור 4: אזור המעטפת המצופף בצנרת פלדה ציור 5: הנחיות כלליות להנחת צנרת פיברגלס (GRP) ציור 6: מבנה חתך התעלה בתקינה לצנרת תרמופלסטית ציור א'- 1 : פילוג גודל אפר פחם גלמי - תחנת הכוח רוטנברג, מדגם 1A רשימת טבלאות תכונות אפר פחם תחתי ממוין ונתונים מייצגים של המנהלת - טבלה 1 קטגוריות קשיחות הקרקע עבור צנרת GRP - טבלה 2 סיכום תנאי ההנחה המתאימים לשימוש באפ"ת - טבלה 3 חישובי שקיעה יחסית של צנרת פלדה (מים) בקשיחויות שונות - טבלה 4 שקיעה יחסית של צנרת PE,PVC,GRP בקשיחויות שונות - טבלה 5 טבלה א'- 1 - ריכוז תוצאות בדיקות מעבדה מיום , אפ"ת גולמי וממוין טבלה א'- 2 - ריכוז תוצאות בדיקות מעבדה מיום , אפ"ת גולמי חישוב שקיעה לצנרת פלדה - D = 10-3/4", ts = 3. טבלה ב'- 1 - חישוב שקיעה לצנרת פלדה - D = 10-3/4", ts = 3.97 טבלה ב'- 2 -

4 iii תקציר מורחב נערכה סקירה מקיפה בנושא פוטנציאל השימוש באפר הפחם התחתי (אפ"ת) כחומר מעטפת לצנרת תת- קרקעית. מטרת הסקירה - בחינת פוטנציאל השימוש באפ"ת כחומר מילוי להנחת צנרת תת קרקעית בתשתיות מים, ביוב, ניקוז ותקשורת, תוך ניצול יתרונותיו היחסיים הנובעים מהרכבו המיוחד, ולחסוך בכך במשאבי טבע ואנרגיה הנדרשים לעבודות תשתית ופיתוח. לשם כך נסקרו תפקידי חומר המילוי בהנחת צנרת, מקומו של האפ"ת בתקינה הבין לאומית, תכונותיו כחומר מבני, וכן תנאי ההנחה הנדרשים בתקינה ומידת ההתאמה של האפ"ת לדרישות אלו. הסקירה נחתמה בבדיקה חישובית של השקיעות המתקבלת בצנרת בקשיחויות שונות, כשאפר הפחם התחתי משמש כמצע לצינור וכחומר המילוי לעטיפתו, ברמות הידוק המוגדרות בתקינה. להלן עיקר הממצאים. 1. תכונות כלליות של האפ"ת אפר הפחם התחתי הינו מוצר לוואי של שריפת הפחם בתחנות הכוח, שמורכב ברובו מסיליקה ואלומינה. החומר דמוי חול אפור המכיל 10% עד 25% דקים. אפר הפחם לסוגיו הינו חומר מילוי הנדסי יעיל. סיווג האפ"ת כחומר הנדסי כפוף לשיטת המיון האחיד לקרקעות השונים. יישום האפ"ת מבוצע לפי שיטות התכנון והבדיקה המתאימות לסוגי קרקע טבעית המקבילים לו, ומעוגן היטב בתקינה ובפרקטיקה ההנדסית. מיון האפ"ת לפי שיטת המיון האחיד הינו אגרגט גרנולרי המכיל יותר מ- 12% דקים, ולעיתים,SW-SC,SW-,SP- שמתאימים כולם לשמש כחומר מילוי תקני להנחת צנרת תת- קרקעית. 2. דרישות התקינה להנחת צנרת תת-קרקעית במהלך הסקירה נבחנו דרישות התקינה להנחת של צנרת בטון, פלדה, פיברגלס, PVC ופוליאתילן. על אף השוני הרב בסוגי הצנרת ובתכונותיהם, כל התקנים שנסקרו מחייבים תנאי הנחה דומים: העמקת התעלה והכנת תשתית להנחת הצינור (לכשנדרש), הכנת שכבת מצע והידוק תושבת לצינור, מילוי מהודק נוסף עד ציר הצינור, ובצנרת קשיחה למחצה וגמישה גם במילוי מבוקר עד מעל ראש הצינור. תנאי ההנחה וסיווג חומר המילוי דומים בתקנים השונים, וכך גם הדרישות המיוחדות לחומר מעטפת: למנוע ריכוז מאמצים בסביבת הצינור, להגנה על ציפוי הצינור, ובהתאם לצורך - למנוע סחיפת דקים בסביבת הצינור. 3. התאמת האפ"ת לדרישות התקינה האפ"ת לסוגיו מוגדר כחומר גרגרי עדין עם דקים, שנמצא במרכז המלצות חומרי המילוי המוגדרים בתקינה. האפ"ת מתאים לכן כחומר מילוי להנחת צנרת מכל הסוגים שנבחנו, כשכבת המצע הראשונית, כחומר מילוי לתושבת הצינור, כמילוי נוסף עד לציר הצינור בצינורות קשיחים, וגם כחומר המילוי עד ראש הצינור ומעליו בצנרת גמישה וקשיחה למחצה, ברמות ההידוק שבתקינה הספציפית לצינורות השונים. האפ"ת מתאים גם לדרישות המיוחדות שבתקינה: בהיותו בעל גודל ופילוג חלקיקים מתאים, חופשי מגושים קשיחים וגופים זרים, ביכולתו לספק תמיכה אחידה והגנה לצינור מפני פגיעת גופים זרים, וכשנדרש - גם למזער תנועת דקים אל ומאת חומר המילוי בעת שיטפונות ובסביבת מי-תהום. 4. עיווי צנרת טמונה במילוי אפ"ת אחד התפקידים מרכזיים של חומר המילוי בהנחת צנרת גמישה וקשיחה למחצה הינו מניעת עיווי או שקיעה טבעתית מעבר לגבול השקיעה המותרת לאורך זמן בצנרת זו: 3% מקוטר הצינור בצנרת פלדה בציפוי במלט פנימי, או 5% בצנרת פיברגלס ובצנרת פלסטית לסוגיה. לשם בחינת ביצועי האפ"ת, נערכה בדיקה חישובית של עיווי הצינורות בתנאי הנחה ועומס שונים, תוך שימוש באפ"ת כחומר מילוי. לשם הדגמה חושב עיווי הצינור הנתון בעומס חיצוני קל ובינוני, עבור צנרת פלדה עם ציפוי מלט פנימי, וכן עבור צנרת פיברגלס,(GRP) PVC ופוליאתילן (PE80) אופיינית, בארבע רמות הידוק של חומר המילוי.

5 iv נמצא כי ברמת ההידוק הבינוני המוצע בתקן עבור האפ"ת PSD) 85-90%), כל הצינורות שנבדקו עמדו בקריטריון העיווי המותר בעומס קרקע בגובה כיסוי בשיעור 3.0 מ', בעודף ניכר; בעומס קל יותר (בכיסוי 0.9 מ', שמתאים לפרויקטים רבים) עמדו הצינורות השונים בקריטריון העיווי המותר גם ברמות הידוק נמוכות מהמומלץ בתקינה. חישובי השקיעה נעשו בשיטה הקלאסית, השמרנית, שאינה כוללת את תרומת קשיחות הקרקע באתר ואת תרומת עומק ההנחה להגברת התמיכה של חומר המילוי בצינור, שכלולים בתקנים החדשים. חישובים אלו, שנעשו לפי נתוני ספרות, חייבים על פי התקינה בבדיקות בקרה לפני הנחת הצנרת ובמהלכה, ללא קשר לסוג חומר המילוי, לשם אימות נתוני התכנון. טמונים בתכונותיו הבסיסיות, 5. יתרונות השימוש באפר הפחם התחתי להנחת צנרת תת-קרקעית יתרונותיו העיקריים של האפ"ת כחומר מעטפת לצנרת תת-קרקעית המתועדות בתקינה שנסקרה: האפ"ת הינו חומר מבנה גרגרי קל משקל, יציב ומנקז, שאמור לשמש כחומר מילוי נוח ליישום בדרגת ההידוק הדרושה, ולספק תמיכה מבנית לצינור הטמון כנדרש בתקינה; בהיותו מוצר תעשייתי מוגדר היטב, אמור האפ"ת לשמש כשכבת מצע שמונעת ריכוז מאמצים בתחתית הצינור, וכשכבת מעטפת המגנה על הצינור וציפויו מפני אבנים, גושים וגופים זרים המצויים בקרקע, ובחומרים המשמשים להשלמת כיסוי הצינור; בהיותו בעל פילוג גרגרים רחב (חומר גרנולרי עם דקים), אמור האפ"ת לעמוד בקריטריונים למניעת סחיפת דקים מהקרקע הטבעית אל סביבת הצינור, ולייתר בכך את הצורך בבד גאוטכני הנדרש בעת שימוש בחומרי מילוי גסים יותר. השימוש באפר הפחם כחומר הנדסי מביא בין השאר לשימור קרקע ומשאבי טבע, לחסכון באנרגיה ולצמצום בפליטת מזהמים הכרוכה בניצולה. כל אלו אמורים להציג את האפ"ת, בכפוף לבדיקות התקן המקובלות, כחומר מבני מועדף להנחת צנרת תת-קרקעית. ולסיכום: לאור הסקירה שנעשתה והבדיקה החישובית, נמצא כי אפר הפחם התחתי מתאים לשמש כחומר מלוי מועדף להנחת צנרת תת-קרקעית לסוגיה, החל מצנרת בטון קשיחה ועד לצנרת פלסטית גמישה, בתנאי קרקע ועומס שונים. כמו בכל חומר מילוי אחר כפוף השימוש באפר פחם לתנאי ההנחה ולבדיקות מעבדה ושדה על פי התקינה המתאימה לצנרת. Keywords: Coal combustion products, bottom ash, structural fill, pipe installation; concrete pipe, steel pipe, fiberglass (GRP) pipe, thermoplastic pipes, PVC pipe, PE pipe.

6 1. מבוא אפר פחם הינו מוצר לוואי של שריפת פחם בתחנות כוח לייצור חשמל, המשמש כחומר מבני בעבודות תשתית וכתוסף לטיוב קרקעות. עיקר אפר הפחם המיוצר בתחנות הכוח הינו אפר מרחף Ash) (Fly - שנסחף עם גזי השריפה ונלכד במסננים אלקטרוסטאטיים שבתחנת הכוח; חלקו האחר הינו אפר פחם תחתי אפ"ת Ash) (Bottom המצטבר בבריכת מים בתחתית תנור שרפת הפחם. אפר הפחם מורכב בעיקרו מסיליקה, אלומינה ומעט תחמוצות ברזל, מגנזיום, סידן וחומרים אחרים. על פי פרסומים רשמיים - ממוצע ייצור אפר הפחם בתחנות הכוח בארץ בשלוש השנים האחרונות מגיע ל- 1.3 מיליון טון לשנה. 85% עד 90% מהייצור הינו אפר פחם מרחף - אבקה דקה של גרגרים זכוכיתיים כדוריים בצבע אפור בהיר, שגודלם מחלקי מיקרון ועד למעלה מ- מיקרון; 10% עד 15% מהייצור הינו אפר פחם תחתי (אפ"ת) - חומר דמוי חול גס בצבע אפור כהה, שחלקיקיו הם תלכידים של חלקיקי האפר המרחף. גודל חלקיקי האפ"ת מגיע עד 5 מ"מ, 60% עד 80% ממנו קטנים מ- 2 מ "מ ו- 10% עד 20% 3 קטנים מ- 75 מיקרון. משקלו המרחבי של האפ"ת הינו 1.0 טון למ בקירוב וצפיפותו המקסימאלית - 3 1,200-1,500 ק"ג למ. מטרת הסקירה המוגשת בזה היא לבחון את פוטנציאל השימוש באפר הפחם התחתי, האפ"ת, כחומר מעטפת לצנרת תת קרקעית בתשתיות מים, ביוב, ניקוז ותקשורת, תוך ניצול יתרונותיו היחסיים הנובעים מהרכבו המיוחד, ולחסוך בכך במשאבי טבע ואנרגיה הנדרשים לעבודות תשתית ופיתוח. במהלך הסקירה יבחנו תכונות אפר הפחם כחומר מבני ומקומו בתקינה הבין לאומית, תוך התמקדות באפר הפחם התחתי ובשימוש בו כחומר מילוי להנחת צנרת תת-קרקעית. במהלך הסקירה יתוארו תפקידי חומר המילוי בהנחת צנרת תת-קרקעית, יוצגו תנאי ההנחה הנדרשים בתקינה להנחת צנרת תת קרקעית לסוגיה ותבחן התאמת האפ"ת לדרישות אלו. הסקירה תיחתם בבדיקה חישובית של השקיעות המתקבלת בצנרת בקשיחויות שונות, המתבססת על נתוני ספרות, כשאפר הפחם התחתי משמש כמצע לצינור וכחומר המילוי מצידי הצינור ומעליו, ברמות הידוק המוגדרות בתקינה. 2. תפקידי חומר המילוי בהנחת צנרת טמונה בקרקע תכנון צנרת טמונה בקרקע חייב לעמוד בארבעה מבחנים: מבחן דרג הלחץ, מבחן השקיעה המותרת, מבחן המאמצים המורכבים ומבחן הקריסה. למעט מבחן דרג הלחץ, עמידת הצינור בשלושת המבחנים האחרים תלויה במידה רבה בסוג חומר המילוי ובתנאי ההנחה של הצינור בקרקע. צנרת תמונה בקרקע מסווגת לפי קשיחותה הטבעתית ומידת הזדקקותה לתמיכת-צד של הקרקע סביבה כדי לשאת בעומסים המתוכננים לאורך זמן. הצינורות השונים מסווגים כצינורות קשיחים (Rigid Pipes) שכוללים צנרת בטון מסוגים שונים, צינורות קשיחים למחצה Pipes) (Semi-rigid שכוללים צנרת בטון ופלדה מסוגים שונים, וצינורות גמישים Pipes) (Flexible שכוללים צנרת פלדה בקטרים גדולים וצנרת פלסטית לסוגיה. הצינורות השונים חייבים כולם ביישום חומרי מילוי לפי תנאי הנחה מתאימים. הצנרת הקשיחה למחצה והגמישה מתוכננת מראש לעיווי טבעתי מוגדר Deflection).(Ring העיווי או שקיעת הצינור (הקטנת הקוטר האנכי) בעקב עומס חיצוני מלווה בהגדלת הקוטר האופקי, ולכן נוצרת תגובת הקרקע הפסיבית, שמספקת תמיכת צד לצינור הטמון. תמיכת הצד והתמיכה בתחתית הצינור שמספקת הקרקע תלויה בחומר המילוי בו נעטף הצינור וברמת הידוקו; בתנאי הנחה בתעלה צרה - תמיכת הצד של הצינור הטמון תלויה גם בקשיחות הקרקע הטבעית באתר. כאמור, שקיעת הצינור וכושר עמידתו בעומס חיצוני תלויים בקשיחות הטבעתית של הצינור ובמידת תמיכת הקרקע סביבו. הקשיחות הטבעתית של הצינור ) 2 SN (kn/m מוגדרת לפי היחס בין קשיחות דופן הצינור לכפיפה לבין קוטרו: 1

7 SN = EI/D m 3 (1) כאן : EI קשיחות דופן הצינור לכפיפה טבעתית ו- D m קוטר הציר הניטראלי של דופן הצינור. הקשיחות הטבעתית של הצינור נתינת לחישוב לפי מבנה הדופן, או לקביעה באמצעות ניסוי לחיצה תקני של דגם צינור. התפקיד המרכזי של חומר המילוי הינו לספק את התמיכה הנאותה לצינור לאורכו ולרוחבו, בהתאם למפרט תנאי ההנחה בפרויקט, ובכך למנוע עיווי טבעתי מעל למתוכנן והיווצרות מאמצים חריגים בצינור תחת העומס הנתון. קשיחות חומר המילוי המהודק, במשולב עם קשיחות הקרקע הטבעית באתר, קובעים את ערכו של מודול תגובת הקרקע ) 2 'E (kn/m לפי טבלאות תקן. העיווי הטבעתי או השקיעה האנכית של חתך הצינור מחושבים לפי נוסחת Marston-Spanglr הקלאסית, בשינויים קלים: [ D W + W ] K 8 SN E' L C L y = < y a (2) במשוואה זאת y הינו העיווי האנכי של חתך הצינור, L D מקדם פיגור העיווי, K קבוע התושבת, - W C עומס קבוע (קרקע ומבניים), W L עומס נע (רכב), SN דרגת קשיחות הצינור (מש' 1), 'E הינו מודול תגובת הקרקע הנדרש בפרויקט המסוים; y a הינו העיווי המותר בצינור. אופן חישוב הצנרת ומפרט הנחת הצינור, כמו גם חומר המילוי ורמת הידוקו מוגדרים ומוכתבים כולם בתקינה המחייבת (להלן). העיווי האנכי המותר מוגבל בסוגי הצנרת השונים, משיקולי יציבות ורמת מאמצי/עיבורי כפיפה מותרים. בצנרת גמישה, ואף גמישה למחצה, הגורם המכריע במידת עיווי הצינור בעומס נתון הינו מודול תגובת הקרקע 'E שבמכנה, שתלוי כאמור בסוג חומר המילוי וברמת הידוקו. ככל שגדלה קשיחות הצינור,SN קטנה השפעת רמת הידוק הקרקע על השקיעה המתקבלת, כפי שיודגם בהמשך. מודול תגובת הקרקע 'E מהווה גורם מרכזי גם בעמידות הצינור הטמון בעומס קריסה, הנובע משילוב של עומס קרקע חיצוני, מפלס מי תהום ותת לחץ פנימי. בצנרת גלויה מחושב עומס הקריסה לפי נוסחת פון-מיזס לקריסת צינור גלילי, בהתאם לקשיחות הצינור ומרווחי התמיכה ההיקפית בקו. לעומת זאת, הצינור הטמון נתמך על ידי הקרקע סביבו, ועומס הקריסה המותר נקבע לפי מכפלת קשיחות הצינור וקשיחות מעטפת הקרקע סביבו, בהתאם לעומק ההנחה. ולכן, סוג חומר המילוי ורמת ההידוק הם שקובעים את מודול תגובת הקרקע 'E ואת עמידות הצינור הטמון בקריסה. כל אלו מוגדרים גם הם בתקינה המתאימה, לפיה יקבע פוטנציאל השימוש באפ"ת. נקודה חשובה נוספת בבחירת חומר המילוי היא מידת ההתאמה של החומר לקרקע הטבעית סביבו, לשם מניעת סחיפת (migration) של דקים והיווצרות חללים בסביבת מעטפת הצינור, ובכך למנוע ערעור תשתית הצינור בעת שיטפונות או תנועת מי תהום. לשם מניעת התופעה יש להשתמש בחומר מלוי בעל דירוג חלקיקים מתאים, המכיל דקים, או לחלופין - ליישם בד גיאוטכני בפן הביניים שבין חומר המילוי לבין הקרקע הטבעית. הפרדה זאת בין חומר המילוי לבין הקרקע באתר דרושה כמשתמשים בחומר מילוי גרגרי גס (אבן גרוסה, צרורות ולעיתים גם חול גס עם מעט דקים) לשם הנחת צנרת בקרקע טבעית דקת גרגיר (חרסית או טין). מידת ההתאמה של חומר המילוי לקרקע סביבו נבחנת באמצעות מבחן דירוג חלקיקים סטנדרטי שמוגדר בתקינה. לפי קריטריון זה, שיפורט להלן - פילוג החלקיקים הנוח של האפ"ת אמור להתאים כשכבת הפרדה בין חומר גרגרי גס לבין קרקע דקת גרגיר. לכן, כשהאפ"ת משמש כחומר מילוי, ובכפוף לבדיקת קריטריון ההפרדה, נמנע הצורך ליישם בד גיאוטכני כדי למנוע סחיפת דקים. 2

8 פוטנציאל השימוש באפ"ת כחומר מילוי להנחת צנרת תת-קרקעית יבחן לכן באפשרות לניצול יתרונותיו היחסיים העיקריים: א. ב. ג. כחומר מבנה גרגרי יציב ומנקז, אמור האפ"ת לשמש כחומר מילוי נוח ליישום בדרגת ההידוק הדרושה, ולספק מצע ומודול תמיכת צד לצינור הגמיש כנדרש בתקינה; כמוצר תעשייתי ממוין ומוגדר היטב, אמור האפ"ת לשמש כשכבת מצע שמונעת ריכוז מאמצים בתחתית הצינור ובהיקפו, וכשכבת מעטפת המגנה על הצינור וציפויו מפני אבנים, גושים וגופים זרים המצויים בקרקע או בחומרים המשמשים להשלמת כיסוי הצינור; בהיותו בעל פילוג גרגרים רחב (חומר גרנולרי עם דקים), אמור האפ"ת לעמוד בקריטריונים למניעת סחיפת דקים מהקרקע הטבעית אל סביבת הצינור, ולייתר בכך את הצורך בבד גיאוטכני הנדרש בעת שימוש בחומרי מילוי גסים יותר. בהמשך תבחן האפשרות ליישם יתרונות אלו, ויתרונות נוספים של האפ"ת, לשם הנחה יעילה של צנרת תת-קרקעית בקשיחויות שונות, לאור הנחיות התקינה ואפשרויות הבחירה של חומר המילוי. 3. תכונות ושימושי אפר הפחם בראי התקינה תכונות מוצרי הלוואי של שריפת פחם, שעיקרם אפר פחם מרחף ואפר פחם תחתי, אופן בדיקתם והשימושים בהם כחומר מבני בפרויקטים הנדסיים נסקר בהרחבה בתקן האמריקני E ASTM [1] ויורשו E [2], ASTM שהוכנו בחסות הוועדה 50-E ASTM להערכת נושאים סביבתיים, באחריות ישירה של תת-הוועדה ASTM E50.03 למניעת זיהום, שימוש מחדש, מחזור ויעילות סביבתית. על פי תקנים אלה, אפר הפחם לסוגיו מהווה חומר מילוי הנדסי יעיל, בדומה לסוגים השונים של קרקע טבעית. יתרונותיו של אפר הפחם כחומר מילוי הנדסי כוללים בין השאר משקל סגולי נמוך, חיכוך פנימי גבוה וקוהזיה מסוימת שאינה אופיינית לחומר גרגרי מקביל. סיווג אפר הפחם כפוף לשיטת הסיווג האחיד לקרקעות השונים. יישום אפר הפחם כחומר מבני כפוף לשיטות הבדיקה והתכנון המתאימים לסוגי הקרקע הטבעית המקבילים לו, שמעוגנות היטב בתקינה ובפרקטיקה ההנדסית. הפרקים [1] 4 ו- 5 [2] בתקנים שהוזכרו עוסקים בחשיבות ובשימוש ההנדסי של אפר הפחם כחומר מילוי באתרי בניה וביסוס, כבישים, סוללות ותעלות, וכל שימוש הנדסי אחר בהם נדרש חומר מילוי מבני. המשקל הסגולי הנמוך, חוזק הגזירה הגבוה ונוחיות היישום וההידוק הופכים את אפר הפחם לחומר מילוי הנדסי יעיל. להלן נתמקד באפר פחם תחתי אפ"ת. הפרקים שצוינו מרחיבים ומפרטים: המשקל הסגולי הנמוך של אפ"ת יכול לשמש יתרון בהפחתת עומס על שכבות קרקע חלשות או על מבנה טמון, וכן במחיר מופחת להובלת החומר הדרוש למילוי נפח נתון (בהובלה לפי משקל). התכונות הפיסיקאליות וההנדסיות של אפ"ת נמדדות באותן שיטות בדיקה לאפיון קרקעות שונים; שיטות בדיקה אלו מגדירות פרמטרים פיסיקאליים והנדסיים למטרות תכנון, בקרת עבודות בנייה ותשתית, והשוואה לחומרים אחרים. אפ"ת הינו חומר בעל תכונת ניקוז חופשי וניתן להידוק למסה צפופה, אי-דחיסה יחסית, שמציגה תלות נמוכה בזמן, כשעיקר הדפורמציה מתרחשת בעת ההידוק. אפ"ת הינו חומר מדורג שניתן להידוק למסה יציבה, פנימית ומנהור. שאינה חשופה בדרך כלל לבעיות ארוזיה 3

9 תנאי הנחה והידוק אפ"ת דומים בדרך כלל לאלו של סוגי קרקע גרגרית גסה או דקה. מאחר ואפ"ת מאופיין בניקוז חופשי, לתחולת הרטיבות השפעה קלה בלבד על תכונות ההידוק של החומר. עם זאת, הרטבה פשוטה משפרת הידוק מתאים. ההידוק מבוצע בשכבות מיושרות כדי להבטיח הידוק אחיד. הידוק טיפוסי מבוצע בדרך כלל במהדקי קרקע מסוג גליל רוטט או מהדקים דומים. לכשניתן, אפשר לבצע הידוק מוקדם באמצעות מעבר טרקטור/בולדוזר על החומר הלא מהודק. בדיקות בקרה לביצוע ההידוק הדרוש נערכות כמקובל במהלך ביצוע הפרויקט, לאחר ביצוע ניסוי הידוק. מקרה של שינוי מקור החומר או החומר עצמו במהלך ביצוע הפרויקט, יש לבצע שוב ניסוי הידוק מבוקר. בהמשך מציגים שני התקנים את פרוצדורות הבדיקה של אפר הפחם לסוגיו, לפי התקינה המסועפת של ASTM לבדיקת תכונות פיסיקליות והנדסיות של קרקע וחומרי מבנה. התקנים מציגים שיקולי תכנון ושיטות ביצוע, ומפנים למקורות ובהן אינפורמציה נוספת באשר לבדיקות, תכנון ובנייה באמצעות מוצרי שריפת פחם. באשר לאפר פחם תחתי מציינים התקנים (פרקים 8): 7, אפ"ת מהודק בדרך כלל ל- 70% צפיפות יחסית, שנמדדת על-פי התקן המקובל. שיטת ההידוק ורמת הידוק נבחנים באמצעות ניסוי שדה מבוקר, ברצועת אפ"ת מהודקת באתר ובכלי ההידוק המוצעים לפרויקט. קבוע לחץ הקרקע הצידי במנוחה אופייני לאפ"ת הינו 0.5. נתון זה חשוב בקביעת תמיכת הצד של הקרקע וחומר המילוי המסופקת לצינור גמיש וקשיח למחצה. שוב מודגשת תכונת הניקוז החופשי של האפ"ת: עקב תכונותיו ומוליכותו ההידרולית, אפ"ת יכול לשמש כשכבה מנקזת, בדומה לחול ואבן גרוסה. בהתאם למקורות השימוש באפר הפחם כחומר הנדסי מביא גם לשימור קרקע ומשאבי טבע ולחסכון באנרגיה, ומתאים לגישות המתקדמות למניעת זיהום, מחזור חומרים ויעילות סביבתית. ולסיכום: שני התקנים מדגישים כי אפר פחם לסוגיו מהווה חומר מילוי הנדסי יעיל, בדומה לסוגי קרקע טבעית שונים. סיווג אפר הפחם כפוף לשיטת הסיווג האחיד לקרקעות השונים. יישום אפר הפחם התחתי כחומר מבני כפוף לשיטות התכנון והבדיקה המתאימים לסוגי הקרקע הטבעית המקבילים לו, ומעוגנים היטב בתקינה ובפרקטיקה ההנדסית. 4. תכונות אפר הפחם כחומר הנדסי אפר הפחם לסוגיו משמש בארץ לעבודות תשתית וסלילת כבישים מאז העבודות בתחום זה מגובות על ידי מפרט מע"ץ מדצמבר [3], 2000 מדריך לשימושי אפר פחם בסלילת כבישים מיוני [4] 2003 ופרסומים נוספים של מנהלת אפר פחם. עבודה מסכמת על אפר הפחם לסוגיו, תכונותיו והשימוש בו הוכנה גם על ידי מנהלת אפר הפחם האוסטרלית, ובה סיכומים והנחיות לשימוש באפר הפחם, פרי ניסיונם המצטבר בעבודות סלילה [5]. טבלה 1 להלן מציגה תוצאות מפרסומים אלו ובדיקות מעבדה נוספות שנעשו במהלך פרויקטים שונים (נספח א'). מיון האפ"ת המדווח לפי שיטת המיון האחיד הינו SW - אגרגט המכיל 12% עד 30% דקים, שמתאים כחומר מילוי תקני מקבוצה,SC3 ולעיתים גם, SW- 11]. [9, אגרגט המכיל עד 12% דקים שמתאים לקבוצת הדירוג SC2 SW-SC 4

10 - טבלה 1 תכונות של אפר פחם תחתי ונתונים מייצגים של המנהלת (נספח א') פרטים תאריך נטילה אחוז עובר: נפה "3/8 (9.5 מ"מ) נפה (4.75 #4 מ"מ) נפה (2.00 #10 מ"מ) נפה (0.425 #40 מ"מ) נפה (0.075 #200 מ"מ) אפר פחם תחתי A1 A5 מצעים אשקלון* 23/01/06 אפר פחם תחתי דק B1 B5 מצעים אשקלון* 23/01/06 אפר פחם תחתי גס C1 C5 מצעים אשקלון* 23/01/06 אפר פחם תחתי גלמי רוטנברג אשקלון* 23/04/06 אפר פחם תחתי גלמי אתרים שונים 04/09/05 אפר פחם תחתי גלמי אפיון מנהלת** NP A-1-b NP 50 A-3(0) NP 62.1 A NP NP NP גבולות אטרברג מיון לפי AASHTO משקל יחסי ASTM D 854 שווה ערך חול (%) ASTM D 3419 מיון קרקע AASHTO ASTM D 3282 צפיפות מקסימאלית (מודיפייד) [ק"ג/מ"ק] רטיבות אופטימאלית [%] ; SP- SW-; SW-SC SP- מת"ק (CBR) [%] מיון אחיד ASTM D קוהזיה (C) [ק"ג/סמ"ר] C2 C3 SC3- SC ,400 2,800-6,900 6,900-13,800 13,800-20,700 C3 SC2 1,400 6,900 13,800 20,700 C2 SC ,800 6,900 13,800 C2 SC ,800 6,900 13,800 C2 SC3 C2 SC3 זווית חיכוך (Φ) [מעלות] קטגוריית קשיחות חומר המילוי M11) (AWWA קטגוריית קשיחות חומר המילוי M45) (AWWA מודול תגובת הקרקע 'E ללא הידוק ***(kpa) 2,800 2,800 מודול תגובת הקרקע 'E בהידוק קל ***(kpa) 6,900 6,900 מודול תגובת הקרקע 'E בהידוק בינוני ***(kpa) 13,800 13,800 מודול תגובת הקרקע 'E בהידוק גבוה ***(kpa) ממוצע של חמשה מדגמים. * פרסום מנהלת אפר הפחם מיום 9 למאי ** *** לפי [11] ופרסומים אחרים; נתונים אלו חייבים בבדיקת שדה. 5

11 5. השימוש באפ"ת על-פי התקינה להנחת צנרת להלן יוצגו בתמצית התקנים המייצגים לחישוב ולהנחת צנרת טמונה למים וביוב לסוגיה, החל מצנרת בטון קשיחה ועד לצנרת תרמופלסטית גמישה. בכל אחד מסוגי הצנרת יבחן פוטנציאל השימוש באפ"ת כחומר מילוי על פי התקינה המתאימה; לבחינת מלא הפרטים המחייבים שבתקן יש לחזור ולעיין בתקנים עצמם. 5.1 צנרת בטון ללא לחץ לביוב וניקוז התקן ASTM C 1479 להנחה של צנרת בטון לביוב, ניקוז ומעבירי מים [6] מביא ארבעה סוגים של תנאי הנחה סטנדרטיים לצינורות אלו, בתנאי סוללה ותעלה. עבור שני המקרים סוללה ותעלה - מוגדרים האלמנטים הבסיסיים בהנחת הצינור הטמון (ציור 1 בתקן): תשתית הצינור,(Foundation) שכבת המצע מתחת לצינור,(Bedding) תושבת הצינור Haunches),(Pipe האזור הנוסף בצידי התושבת Side),(Lower והמילוי הנוסף Backfill) (Overfill or החל מציר הצינור (Springline) ועד לפני הקרקע. עיקר ההתמקדות בתנאי ההנחה הסטנדרטיים הינה באזור שמתחת לציר הצינור, בשעה שההנחיות לגבי המילוי הנוסף מעל לציר הצינור כלליות בלבד. סעיפי התקן מגדירים את ארבעת סוגי ההנחה לצנרת זאת (1 Type עד,(Type 4 בתנאי סוללה ותעלה, לפי סוגי הקרקע וההידוק המינימאלי הנדרשים. סיווג הקרקע ורמת ההידוק עבור חלקי המבנה נקבעים לפי שיטת הדירוג האחיד וצפיפות פרוקטור סטנדרטית SPD.(Standard Proctor Density) תנאי ההנחה הסטנדרטיים בתעלה מובאים לשם הדגמה בציור 1 להלן. פירוט תנאי ההנחה הסטנדרטיים וסוגי חומר המילוי מובאים בנספח X2 וטבלה X2.1. סוגי ההנחה הסטנדרטיים מדורגים מ- 1 עד 4, בסדר יורד, לפי איכות חומר המילוי, רמת ההידוק ורמת בקרת האיכות הנדרשת. חומר המילוי המומלץ מחולק לארבעה קבוצות הצמודות לארבעת תנאי ההנחה סטנדרטיים: קבוצה - 1 קבוצה - 2 חול וצרורות עם מעט דקים - GP.SW, SP, GW, חול וצרורות עם עד 20% דקים וכן טין רזה - SC.GM,, ML, GC,.CL, MH, GC, SC קבוצה - 3 חרסית עם חול וצרורות, חרסית רזה וטין שמן (פלסטי) - קבוצה - 4 חרסית שמנה,CH שאינה מתאימה כחומר מילוי לאזור התושבת. בכל סוגי ההנחה שהוזכרו נדרשת הקפדה על תשתית מיושרת ומהודקת והכנת תעלה ברוחב מינימאלי שיאפשר הידוק מתאים באזור תושבת הצינור. עיקר ההקפדה מתמקדת בסוגי הנחה 1 עד 3, באזור המצע והתושבת עד לציר הצינור. סוגי הנחה אלו כוללים מצע מרופד בעובי מתאים (75 עד 150 מ"מ), כשחלקו המרכזי שמתחת לצינור אינו מהודק, ומילוי מהודק של אזור התושבת, בשכבות, בחומר מילוי משלושת הקבוצות הראשונות, עד למחצית גובה הצינור, ברמות הידוק הולכות ויורדות (טבלאות 2). 1, הנחה מסוג 4, הפשוטה ביותר, כוללת מינימום דרישות לסוג חומר המילוי והידוקו, ומחייבת שימוש בצינור בעל חוזק מספיק כדי לעמוד בעומסים הקיימים על אף המילוי הנחות. כאן אין דרישה להכנת מצע או להידוק החומר עד לציר הצינור, אלא אם תשתית הצינור סלעית, או אם משתמשים בחומר מילוי CL מקבוצה 3, שיש להדקו עד ציר הצינור. חומר המילוי שמעל לציר הצינור יכול לכלול כל אחת מארבעת הקבוצות החומר הראשיות, בדרך כלל בהידוק בשכבות, כנדרש בפרויקט המסוים. התקן מחייב לנקוט צעדים כנגד סחיפת דקים באם קיימים התנאים לכך. 6

12 ציור 1: צנרת בטון לביוב וניקוז ללא לחץ בתנאי הנחה סטנדרטיים [6]. האפ"ת לסוגיו כלול בחומרי המילוי המתאימים שבתקן. כלול בהמלצת חומרי המילוי מקבוצה 2 שבתקן. הינו SPD 95% באזור התושבת ו- 90% באזור, SW- או SP- האפ"ת לסוגיו מוגדר כ-, הידוק האפ"ת ההמתבצע עד למחצית קוטר הצינור המרוחק יותר Side).(Lower האפ"ת מתאים לכן להנחת צנרת בטון בכל ארבעת סוגי ההנחה הסטנדרטיים, כשכבת המצע הראשונית, כחומר מילוי לתושבת הצינור ולחומר הנוסף עד ציר הצינור, וגם עבור חומר המילוי שמעל ציר הצינור, ברמות ההידוק הרשומות בטבלאות 2 1, שבתקן. חורג מהכלל הינו סטנדרט ההנחה מס. 1, בו ניתן להשתמש בחול וצרורות בלבד כמצע וכתושבת לצינור; גם לפי סטנדרד זה ניתן להשתמש באפ"ת מצידי התושבת ומעל לציר הצינור (טבלה 2 בתקן). 5.2 צנרת בטון להולכת זורמים בלחץ התקן [7] AWWA M 9 הינו מדריך לתכנון והנחת צנרת לחץ מבטון מזוין, עם וללא ליבת צילינדר פלדה, בקטרים עד "144 ויותר, ובלחצי עבודה של עד 27 אט', לפי סוגי הצנרת. המדריך מכיל בין השאר הנחיות לחישוב, בחירת חומר המילוי, אופן ההנחה ודרגת ההידוק הדרושים עבור הנחת הצנרת הקשיחה והקשיחה למחצה, המוגדרת בטבלה 2.1 בתקן. הצנרת הקשיחה נושאת בעומסים חיצוניים גבוהים גם מבלי להזדקק לתמיכת הצד של הקרקע, ותנאי הנחה המתמקדים באזור התושבת בלבד, בשעה שהצנרת הקשיחה למחצה נזקקת לתנאי הנחה מוקפדים יותר, שיספקו תמיכת הצד של הקרקע עד מלוא קוטר הצינור. להלן יובאו תנאי ההנחה הדרושים לצינורות אלו, תוך בחינת השימוש באפ"ת בתנאים אלו. 7

13 5.2.1 תנאי הנחה לצנרת קשיחה תנאי ההנחה הדרושים בצנרת הקשיחה מובאים בפרק 6 שבתקן, ומתבססים ככל שניתן על קרקע מקומית. תנאי ההנחה מדורגים בציור לפי חמש דרגות, R1 עד, R5 לפי טיב תמיכת הקרקע וזווית התושבת שמסופקת בכל דרגה, בסדר עולה, עבור תנאי סוללה ותעלה (ציור 2 להלן). ציור 2: צנרת בטון להולכת זורמים בלחץ סוגי הנחה לצנרת קשיחה [7]. האפ"ת, החופשי מגופים זרים, מתאים לריפוד ולמילוי מהודק עד מחצית הצינור, ואף להשלמת מעטפת המגן בחציו העליון. 8

14 בכל המקרים, למעט דרגה R1 הנחותה יותר, מושם דגש על הידוק חומר המילוי עד למחצית קוטר הצינור, כשדרגת תנאי ההנחה נקבעת לפי העומס החיצוני על הצינור ושיקולי עלות. לצנרת בקוטר עד "72 בעומס קרקע בינוני (עד 3 מ' כיסוי), ניתן להסתפק בתנאי הנחה R1 ו - R2, 0 0 שמספקים זווית תושבת של 30 ו- 45 בהתאמה. כאן מונח הצינור ישירות על גבי תחתית התעלה, והמילוי מבוסס על חומר מקומי ללא אבנים, גושים או גופים זרים, או על חומר מיובא. במקרה של קרקע סלעית או קרקע קשה אחרת יש להעמיק את התעלה ולבצע שכבת ריפוד מחומר המילוי גם מתחת לצינור. עבור תנאי עומס חיצוני גבוה יותר, יש ליישם תנאי הנחה R3 עד, R5 שכוללים שכבת ריפוד גם. חומר ריפוד, חופשי מאבנים ורגבים, מהודק היטב ו , מתחת לצינור, בזוית תושבת של 0 60 לאחר הנחת הצינור. כאן ניתן להשתמש בחומר גרגרי, שמצופף גם הוא לאחר הנחת הצינור על גבי המצע הלא-מהודק, וזאת עד להשגת זווית התושבת הדרושה. בכל מקרה מיושם חומר המילוי המהודק, חופשי מרגבים או אבנים, עד לגובה מחצית הצינור. האפ"ת מתאים להגדרות שבתקן, ויכול לשמש בכל המקרים שהוזכרו. ניתן לכן להשתמש באפ"ת לריפוד תחתית הצינור, ליצירת זווית תושבת מהודקת, למילוי מהודק עד מחצית גובה הצינור, ואף להשלמת מעטפת מגן בחצי העליון של הצינור, לשם מניעת פגיעה בציפוי הבטון על ידי גושי אבן וגופים זרים תנאי הנחה לצנרת קשיחה למחצה צנרת קשיחה למחצה מחייבת תמיכת קרקע משופרת בכל מעטפת הצינור Envelope).(Backfill גם כאן מוגדרים שני סוגי הנחה, עם וללא שכבת ריפוד מתחת לצינור, כשבשניהם מיושם הפעם חומר מילוי מהודק עד ראש הצינור. תנאי ההנחה וחומר המילוי מוגדרים בציור ציור 3 להלן. ציור 3: צנרת בטון להולכת זורמים בלחץ סוגי הנחה לצנרת קשיחה למחצה [7]. האפ"ת, כחומר גרגרי המכיל ע"פ רוב יותר מ- 12% דקים, ניתן לסיווג כ- - S4 חומר המילוי העדיף מבין ארבעת חומרי המילוי המוצעים בתקן. 9

15 כאן ניתן להניח צנרת בקוטר עד "24 ישירות על גבי תחתית התעלה; במקרה של קרקע סלעית או קרקע קשה אחרת - יש להעמיק את התעלה וליישם שכבת ריפוד מחומר המילוי גם מתחת לצינור, כפי שנדרש ממילא בצנרת בקטרים גדולים מ-" 24, בכל תנאי קרקע. חומר המילוי למעטפת הצינור, שכוללת את שכבת המצע, את תושבת הצינור ואת שכבת המילוי הנוסף עד ראש הצינור, הינו קרקע דקת גרגיר בעלת פלסטיות נמוכה או קרקע מעורבת, בדרגות הידוק שונות, שקובעות גם את מקדם זווית תושבת הצינור לצרכי חישוב השקיעה תחת עומס: קרקע דקת גרגיר בעלת פלסטיות נמוכה - CL-ML CL, ML, צפיפות פחותה מ- 85% ;(Standard Proctor Density) SPD בהידוק קל למניעת חללים, - S1 CL, ML, CL-ML קרקע דקת גרגיר בעלת פלסטיות נמוכה - מינימאלית = 85% ;SPD בהידוק קל עד בינוני, צפיפות - S2 CL, ML, CL-ML קרקע דקת גרגיר בעלת פלסטיות נמוכה - מינימאלית = 90% ;SPD בהידוק בינוני עד כבד, צפיפות - S3 קרקע דקת גרגיר בעלת פלסטיות נמוכה - CL-ML CL, ML, עם יותר מ- 25% חומר גס, או חומר גרגרי גס עם יותר מ- 12% דקים בהידוק בינוני, צפיפות מינימאלית = 85%.SPD - S4 בכל המקרים - חומר המילוי למעטפת הצינור חייב להיות חופשי מאבנים ורגבים בגודל העולה על 3/4 אינץ בצנרת בקוטר עד "24, ו- 1 אינץ בקטרים גדולים יותר. חומר המילוי ורמת ההידוק נבחרים לפי תנאי הפרויקט וגובה הכיסוי. האפ"ת הינו חומר גרגרי המכיל בדרך כלל יותר מ- 12% דקים, ולכן ניתן לסווגו כ- S4, שהוא חומר המילוי העדיף מבין ארבעת חומרי המילוי המוצעים בתקן. מינימום ההידוק הנדרש 85%.SPD האפ"ת מתאים כמובן גם לשלושת מפרטי ההנחה הראשונים, ביצועיהם גם ברמות ההידוק הנמוכות יותר. הנחותים בטיבם מ- S4, ובכך ישופרו 5.3 תכנון והנחת צנרת פלדה להולכת מים התקן [8] AWWA M11 הינו מדריך לתכנון והנחת צנרת פלדה, שמביא הנחיות לחישוב, בחירת חומר המילוי, אופן ההנחה ודרגת ההידוק הדרושים עבור הנחת צנרת פלדה בקטרים "144 "4. פרק 6 במדריך מביא את אופן חישוב העומס על הצינור ואת תמיכת הקרקע לפי תנאי ההנחה וחומר המילוי. טבלה 6-1 במדריך מציגה שלושה סוגי מילוי המתאימים להנחת הצנרת, בסדר עולה, לפי ארבע רמות הידוק (85%, 90%, 95% ו- % (SPD וארבע דרגות גובה כיסוי (0.6 עד 6.1 מ'). התחום המתקבל עבור מודול תמיכת הקרקע, לפי חומר המילוי, רמת ההידוק וגובה הכיסוי מובא להלן: E' = 3,450 17,930 kpa; CL, ML, CL-ML אגרגאט גרגרי דק: - C1 E' = 4,140 25,510 kpa;, SC אגרגאט גרגרי גס עם דקים: - C2 E' = 4,830 26,200 kpa; SP,, GP, GW אגרגאט גרגרי גס עם מעט או ללא דקים: - C3 פרק 12 מגדיר את חתך התעלה ותנאי ההנחה הדרושים (ציור 4 להלן) ואת רמת ההידוק המינימאלית המומלצות בעת הידוק אזור הצינור: 95%, 90% ו- 85%,SPD עבור קטגוריות הקרקע C2 C1, ו- C3, בהתאמה. זוהי רמת הידוק בסיסית שמביאה בקירוב לאותה רמת תמיכת קרקע בשלושת הקטגוריות: 10

16 E' = 1,000 psi = 6,900 kpa ערך זה מתאים למצב כיסוי מינימאלי של הצינור; משמעותי, כמפורט בטבלה 6-1 שבתקן. בכסוי גבוה יותר עולה גם תמיכת הקרקע באופן ציור 4: אזור המעטפת המצופף בצנרת פלדה [8]. האפ"ת אגרגט גרגרי עם דקים - מתאים לשמש כחומר המילוי C2 שבתקן, המיועד לאזור התושבת ולכל מעטפת הצינור. המדריך, המהווה תקן AWWA לכל דבר, מגדיר את ההקפדה הנדרשת בעת הטיפול והנחה של הצינור, בתעלה מיושרת, על פני שכבת ריפוד מחומר מתאים לא מהודק. המדריך מדגיש את הצורך בציפוף מתאים של אזור תושבת הצינור והמילוי הנוסף עד מעל קדקוד הצינור. האפ "ת אגרגט גרגרי עם דקים - מתאים לכן להגדרת חומר המילוי C2 שבתקן; ההידוק הנדרש 90%. SPD בהידוק מתאים, אמור האפ"ת לספק את כל מרווח מודול תגובת הקרקע 'E הנדרש בהנחת צנרת (טבלה 6-1), וזאת בנוסף ליתרונות האחרים שצוינו במדריכים לשימוש באפר הפחם לסוגיו [1, 2]. 5.4 תכנון והנחת צנרת פיבגלס (GRP) להולכת מים ושפכים התקן [9] AWWA M45 הינו מדריך לתכנון והנחת צנרת פיברגלס GRP) - פוליאסטר משוריין בסיבי זכוכית), שמביא הנחיות לחישוב, בחירת חומר המילוי ואופן הנחת הצנרת תחום קטרים "144 "1. החומר המוגש דומה לזה שבמדריך M11 לתכנון והנחת צנרת פלדה ואף מפורט יותר. שני המדריכים מסווגים את חומר המילוי ואת דרגת ההידוק המתאימה באותו אופן, ומדגישים את חשיבות ציפוף חומר המילוי בכל מעטפת הצינור, ובמיוחד אזור תושבת הצינור. המדריך M45 מרחיב ומגדיר במפורש מוצרי שריפה כחומר מבנה מתאים להנחת הצנרת (פרק - 6 הגדרות). תת-פרק 6.5 מגדיר שוב אגרגטים תעשייתיים כחומרי מילוי להנחת צנרת, בדומה לקרקע טבעית, בהתאם לסיווגם כחומרי מבנה. פרק זה (6.5.1), וכן הפרק המפורט הדן בסחיפת דקים Migration) (Soil מהקרקע הטבעית אל חומרי מילוי, חוזרים ומופיעים בצורה זו או אחרת במרבית התקנים להנחת צנרת, יוצגו להלן. 11

17 5.4.1 סיווג חומר המילוי להנחת צנרת GRP Soil ) חומרי המילוי להנחת צנרת GRP מדורגים לפי חמש קטגוריות קשיחות קרקע - SC1 עד SC5,Stiffness Categories טבלה 6-1 בתקן). נתונים אלו יצוטטו להלן מפאת חשיבותם (טבלה 2): טבלה 2 - קטגוריות קשיחות הקרקע עבור צנרת [9] GRP 3/8 אינצ', עד 15% חול, עד 5% דקים קטגוריית קשיחות הקרקע SC1 סיווג הקרקע אבן גרוסה, צרורות וחול עד 25% (עובר נפה מס. 200). עובר נפה אגרגאט גרגרי עם מעט דקים: הינה אחד מסמלים אלו - או כל קומבינציה שתחילתה GP, GW, SW, SP - כאשר 12% או פחות עובר נפה מס אגרגאט גרגרי עם דקים: - GM, GC,, SC או כל קומבינציה שתחילתה הינה אחד מסמלים אלו, כאשר יותר מ- 12% עובר נפה מס. 200 ויותר מ- 30% נשאר על נפה מס אגרגאט גרגרי עם דקים: 30% נשאר על נפה מס CL, ML, CL-ML, CL/ML, ML/CL כאשר יותר מ- SC2 SC3 - כאשר 30% או אגרגאט גרגרי עם דקים: CL, ML, CL-ML, CL/ML, ML/CL פחות נשאר על נפה מס SC4 קרקע פלסטית או אורגנית מובהקת:.MH, CH, OL, OH, PT SC5 בטבלה זאת הקטגוריה SC1 (אבן גרוסה) מגיעה לקשיחות הנדרשת kpa) (E' = 1,000 psi or 6,900 בהידוק מינימאלי; שאר הקטגוריות מחייבות מאמץ הידוק הולך וגדל כדי להגיע לאותה רמת קשיחות הקרקע. חתך התעלה ותנאי ההנחה מתוארים בציור 5 להלן. המלצות השימוש בחומר המילוי מקטגוריות SC1 עד SC4 מוגדרות בטבלה 6-2; הקטגוריה החמישית (SC5) אינה מתאימה לשמש חומר מלוי לצנרת גמישה, ואינה מופיעה בטבלה. אפ"ת המכיל יותר מ- 12% דקים (טבלה 1) מסווג כאן כחומר מילוי מסוג SC3 שיתרונותיו רבים (להלן) הקריטריונים לבחינת ההתאמה של חומרי המילוי לקרקע הטבעית באתר [9] ניסיון שדה מראה כי תנועת חלקיקי קרקע דקים migration) (Soil בנוכחות מי תהום ובעת שיטפונות גורמת לאבדן תמיכת הקרקע בצינור. לכן, באם צפוי גרדיאנט הידראולי בסביבת הצינור יש לבדוק את דירוג חומר המילוי המוצע ואת מידת התאמתו למזעור תנועת דקים בתנאי הקרקע באתר. פילוג וגודל החלקיקים של חומר המילוי חייב להתאים לאלו של החומר הסמוך לו כדי לצמצם למינימום את תנועת החלקיקים הדקים, כאשר צפויה תנועת מים בתווך. הקריטריונים המשמשים לבחינת מידת ההתאמה של חומרי המילוי לקרקע הטבעית באתר (6.5.2) יצוטטו להלן מפאת חשיבותם: d 85 הינו מידת פתחי הנפה בה עובר 15% ממשקל החומר הגס יותר, ו- כאשר D 15 D, 15 d/ 85 < 5 הינו מידת פתחי הנפה בה עובר 85% ממשקל החומר הדק יותר; 12

18 d 50 - הינו מידת פתחי הנפה בה עובר 50% ממשקל החומר הגס יותר, ו כאשר D 50, D 50 /d 50 < 25 הינו מידת פתחי הנפה בה עובר 50% ממשקל החומר הדק יותר; אין להשתמש בקריטריון אם החומר הגס יותר מדורג מלא Graded).(Well אם החומר הדק יותר הינו קרקע פלסטית מובהקת CL) או,(CH כי אז, במקום הקריטריון D 15 הינו מידת פתחי הנפה בה,D 15 < 0.5 כאשר < 5 85,D 15 /d יש להשתמש בקריטריון עובר 15% ממשקל החומר הגס יותר. בהעדר תנאים אלה יש להימנע משימוש בחומרי מלוי גסים מסוג SC1 בקרקע טבעית משופעת בחלקיקים דקים, אלא אם משתמשים בבד גאוטכני או בפילטר קרקע מתאים לחציצה בין החומרים שאינם תואמים. ציור 5: הנחיות כלליות להנחת צנרת פיברגלס ) GRP ( [9]. חומר האפ"ת, שהינו חומר גרגרי מקטגוריית קשיחות, SC3 מתאים לשימוש כללי בצנרת. GRP תנאי הנחת צנרת GRP לפי ASTM התקן ASTM D 3839 להנחת צנרת [10] GRP מגדיר את תנאי ההנחה ואת קטגוריות קשיחות הקרקע באופן דומה או זהה לפרקים 6 5, ב- M45.AWWA כך הטבלאות 2 1, לסיווג הקרקעות והמלצות השימוש בהן, כך גם הגדרת קטגוריות קשיחות הקרקע SC1 עד SC5 שבתקן. גם כאן - האפ"ת ) ( שייך לקטגוריה SC3 המומלצת לשימוש כחומר מילוי. בדומה ל-, M45 מדגיש התקן את הצורך במניעת תנועת דקים באם צפוי גרדיאנט הידראולי בסביבת הצינור, ומביא ההנחיות לבדיקת דירוג חומר המילוי ומידת התאמתו למזעור תנועת דקים מהקרקע הטבעית לחללים שבחומר המילוי (סעיף 5.5 בתקן). ושוב, הפילוג הרחב יחסית של חלקיקי האפ"ת אמור להתאים בדרך כלל לקריטריונים המוצעים, ולמנוע את הצורך בשימוש בבד גאוטכני לצורך מניעת תנועת הדקים. בתקן D3839 וגם במדריך M45 נדרשת הקפדה על אופן ההנחה: הכנת תחתית מיושרת ומרופדת, הימנעות מעומס מרוכז, הידוק מבוקר של חומר המילוי על פי הנחיות, הקפדה על מילוי חומר והידוקו באזור התושבת שמתחת לצינור (ציור 5 לעיל). 13

19 ולסיכום פרק זה - חומר האפ"ת מהווה חומר גרגרי עם דקים מקטגוריית קשיחות SC3 מתאים לשימוש כללי בצנרת,GRP בהידוק מינימאלי של.SDP 90% דווקא הפילוג הנוח של האפ"ת, המכיל לעיתים עד 30% דקים, מהווה על פי התקן יתרון ביישומו כחומר מילוי להנחת צנרת: בדיקת עקום הדירוג של האפ"ת מראה כי הקריטריונים למזעור תנועת דקים שבתקן אמורים להתקיים ביישומו כחומר מילוי בקרקע חרסיתית ובקרקעות דומות. אי לכך בכפוף לבדיקות דירוג הקרקע והאפ"ת, השימוש באפר פחם תחתי אמור לספק את כל הנדרש מחומר מבני לתמיכת הצנרת, וגם למנוע את הצורך ביישום בד גאוטכני לחציצה בין חומר גנולרי גס לבין הקרקע הטבעית. 5.5 תכנון והנחת צנרת PVC התקן [11] AWWA M23 הינו מדריך לתכנון והנחת צנרת,PVC שמביא הנחיות לחישוב, בחירת חומר המילוי ואופן הנחת הצנרת תחום קטרים "48 "4. החומר המוגש דומה לזה שב- M11 ו- M45 המוקדשים לצנרת פלדה ופוליאסטר משוריין סיבים, בהתאמה. התקן לצנרת PVC אף מפורט יותר בנושאים מסוימים, כמו בחירת מודול הקרקע הטבעית 'E n לפי מבחן הקשות Count) (Blow לפי טבלה 4-7, ובחירת מקדמי חיכוך וחוזק גזירה של חומרי מילוי, כולל חומר המסווג כאפ"ת, לפי טבלה 4-12 שבתקן. כמו בקודמיו, מסווגים חומרי המילוי כחומרי מבנה בהתאם לטבלה למיון קרקעות שבסעיף לעיל, כשהם מדורגים לחמש קטגוריות קשיחות קרקע - SC1 עד SC5 (טבלה 4-5 בתקן). כאן מצורפים לטבלה ערכי מודול תגובת הקרקע של חומר המילוי 'E b לפי ארבע רמות: ללא הידוק (לאחר בחינה הנדסית), בהידוק קל SPD),(<85% בינוני SPD),(85-95% וגבוה SPD).(>95% טבלה 4-4 ונוסחה 4-12 בתקן מביאים ערך משוקלל למודול תגובת הקרקע 'E, שמביא בחשבון את תרומת מודול הקרקע הטבעית והיחס בין רוחב התעלה לקוטר הצינור לתמיכת הצד הכוללת של הקרקע הטבעית וחומר המילוי, בדומה ל- M45 (ככל שהתעלה צרה יותר תרומת מודול הקרקע הטבעית למודול המשוקלל גדולה יותר). חתך התעלה ותנאי ההנחה מתוארים בציור 7-1 בתקן (ציור 6 להלן). האלמנטים הבסיסיים שבציור חוזרים בכל צנרת גמישה: חפירה והחלפת תחתית התעלה (Foundation) באם אינה יציבה, הכנת שכבת מצע (Bedding) מתחת לצינור לכל אורכו, הכנת תושבת (Haunching) עד לציר הצינור,(Springline) מילוי ראשוני Backfill) (Initial של חומר מילוי לגובה 150 עד 300 מ"מ מעל לראש הצינור, ומילוי נוסף Backfill) (Final עד לפני הקרקע. האזור מתחתית התעלה ועד לגובה המוגדר מעל לראש הצינור, שכוללים את שכבת המצע, תושבת הצינור והמילוי הראשוני, מוגדרים כמעטפת הצינור (Pipe.Embedment) ביצוע קפדני של אלמנטים אלו קובע את תפקודו התקין של הצינור הגמיש לאורך זמן. עם זאת התקן מרשה להניח צנרת בתנאי הנחה נחותים יותר (ציור 7-3 בתקן), לפי מימדי הצינור והעומס החיצוני ובהתאם להוראות היצרן. ולסיכום גם כאן, חומר האפ"ת שמהווה חומר גרגרי עם דקים מקטגוריית קשיחות,SC3 מתאים לשימוש כללי בצנרת,PVC בכל אחת מקטגוריות ההידוק, וגם בהידוק מינימאלי (לאחר בדיקה הנדסית). גם תקן זה מדגיש את הצורך בתאמה בין החומר המשמש למצע ולתושבת לצינור לבין הקרקע הטבעית למניעת סחיפת דקים בין חומר המילוי והקרקע הטבעית. כפי שצוין הדירוג הרחב של חלקיקי האפ"ת מקיים התאמה זאת בתנאי הקרקע המקובלים. 14

20 ציור 6: מבנה חתך התעלה המומלץ בתקינה לצנרת תרמופלסטית [11-13]. האפ"ת מתאים לקבוצת חומר.[11 מילוי SC3 עבור צנרת [11], PVC ולקבוצה III לפי התקנים המשלימים לצנרת תרמופלסטית [10, 5.6 צנרת תרמופלסטית לביוב ולשימושי זרימה ללא לחץ התקן ASTM D 2321 להנחת צנרת תרמופלסטית לשימושי זרימה ללא לחץ [12] מביא הנחיות לבחירת חומר המילוי ואופן הנחת הצנרת התרמופלסטית בתחום רחב של תנאי שירות. התקן מגדיר בין השאר את מוצרי השריפה כחומר מילוי מתאים להנחת הצנרת (טרמינולוגיה פרק 3). פרק 5 בתקן מגדיר את אגרגטים ומוצרי לוואי תעשייתיים המתאימים כחומרי מילוי להנחת צנרת, בהתאם לסיווגם כחומרי מבנה, לפי טבלה 1 שבתקן. חומרי המילוי מסווגים לחמש קבוצות, I עד, V בדומה לקטגוריות קשיחות הקרקע SC1 עד SC5 במדריך AWWA M45 ובתקן הצמוד לו D3839 (סעיף לעיל ). האפ "ת ) ( כלול שוב כחומר מילוי מתאים מקבוצה, III כשקבוצה V אינה מתאימה לשמש כחומר מלוי לצנרת גמישה. התקן מדגיש את חשיבות תחתית התעלה המיושרת שתספק תמיכה לצינור (סעיף 7.2), ואת ההידוק (X1.6.1 ), שכוללת כאן את מלוא אזור התושבת, ועד המתאים בתושבת הצינור - haunches pipe למחצית קוטר הצינור (ציור 6 לעיל). ההידוק המינימאלי המומלץ במעטפת הצינור עבור קבוצה III (אפ"ת) הינו 90% SPD (טבלה 2 בתקן), שמביא למודול תמיכת קרקע של ). 6,900 kpa) 1,000 psi המתכנן יכול לסטות מערך זה לשני הכוונים, בהתבססו על גבול השקיעה המותרת, קשיחות הצינור והקרקע באתר, וטיב בקרת האיכות הצפויה בעת ההנחה (סעיף X1.6.2 בתקן). 15

21 הקריטריונים לבחינת תנועת דקים שצוטטו בסעיף לעיל משמשים גם בתקן זה לבחינת אפשרות סחיפת דקים מהקרקע שבאתר לחללים שבין חלקיקי החומר הגס יותר (X1.8.1 ). חומר האפ"ת עומד בדרישות אלו. ולסיכום - האפ"ת מתאים לשימוש כללי גם לפי התקן הנבדק, בהידוק מינימאלי של.SDP 90% גם כאן - השימוש באפ"ת כחומר מילוי, בכפוף לבדיקת דירוג הקרקע, מיתר את הצורך ביישום בד גאוטכני למניעת סחיפת דקים, גם בנוכחות מי תהום וכשהקרקע הטבעית הינה חרסית או טין. 5.7 צנרת תרמופלסטית להולכת מים ושפכים בלחץ התקן [13] ASTM D 2774 מוקדש לצנרת תרמופלסטית להולכת זורמים בחץ, שמביא הנחיות להנחת הצנרת בתחום קטרים של "63 (1,372 מ"מ) או פחות. החומר מובא באופן תמציתי, תוך הדגשת עקרונות ההנחה והפנייה למקורות ולהנחיות יצרנים, וזאת עקב המגוון הרחב של סוגי הצנרת התרמופלסטית, תנאי הקרקע והמשתמש הסופי המסוים. התקן מציין את גמישות הצינור ותפקודו התקין גם בעיווי משמעותי תחת עומס, אך מדגיש את הצורך בתנאי הנחה שיבטיחו את התמיכה ההכרחית בתחתית התעלה ואת תמיכת הצד החיונית של הקרקע וחומר המילוי בעת עיווי הצינור. התקן מגדיר את האלמנטים הבסיסיים הדרושים בהנחת הצינור הטמון, בדומה לתקן המיוחד לצנרת PVC (ציור 6 לעיל): הצורך בהעמקת תחתית התעלה באם נדרש, בשכבת מצע מתחת לצינור, בהכנת תושבת לצינור ומילוי מבוקר עד לציר הצינור, במילוי הראשוני עד מעל לראש הצינור, והמילוי הנוסף עד לפני הקרקע. גם כאן האזור מתחתית התעלה ועד לגובה המוגדר מעל לראש הצינור מוגדרים כמעטפת הצינור Embedment),(Pipe המגנה עליו מפגיעה חיצונית ומספקת לו את תמיכת הקרקע הנדרשת לנשיאה בעומס החיצוני. ביצוע קפדני של אלמנטים אלו קובע את תפקודו התקין של הצינור הגמיש לאורך זמן. כמו בתקנים האחרים נדרשת הקפדה על תשתית מיושרת ומהודקת בתחתית התעלה שתיתן תמיכה אחידה לצינור לכל אורכו, והכנת תעלה ברוחב מינימאלי שיאפשר הידוק מתאים באזור תושבת הצינור. פירוט הדרישות להכנת תושבת הצינור והמילוי הנוסף מובא בפרק 9 בתקן זה: המעטפת חייבת לספק תמיכה מבנית אחידה והגנה פיסיקאלית על הצינור מפני פגיעה; החומר למעטפת הצינור חייב להיות יציב וגרגרי במידה מספקת, כך שניתן יהיה ליישמו כראוי מתחת ולצידי הצינור לשם קבלת תושבת מתאימה, ולהדק את מעטפת הצינור לדרגת הצפיפות הנדרשת במפרטי ההנחה; חומרי המילוי המתאימים הם אלו המסווגים כצרורות וחול עם מעט דקים לפי שיטת הדירוג האחיד - SP,GW, GP, SW, וכן צרורות וחול עם דקים המסווגים כ- SC ;GM, GC,, המילוי עד לגובה מוגדר מעל לראש הצינור יעשה בשכבות מהודקות; כל חומר מקומי או אחר באזור מעטפת הצינור יהיה חופשי מגופים זרים, חומר אורגאני, סלעים ואבנים מעל גודל מוגדר; באם צפויה תנועת מים בקרקע מלווה בתנועת דקים Migration) (Soil אל או מאזור מעטפת הצינור, יש למנוע את תנועת הדקים באמצעות בחירת חומר מילוי בעל דירוג גודל חלקיקים מתאים לקרקע באתר, או לחילופין - להשתמש בפילטר קרקע או בבד גאוטכני, לשם חציצה בין מעטפת הצינור והקרקע באתר. האפ"ת אגרגט עם דקים המסווג, ולעיתים,SP-, SW-SC מתאים לכן לשמש כחומר מילוי מובחר, מהודק בשכבות, בכל אזור מעטפת הצינור, בהתאם להגדרת חומרי המילוי שבתקן. 16

22 5.8 הצעת התקן האירופי PrEN להולכת מים ושפכים בצנרת פלסטית הצעת התקן האירופית [14] PrEN מכילה עבודה מקיפה ומפורטת על הנחיות תכנון והנחת צנרת פלסטית לסוגיה, ומיועדת לצנרת מים ושפכים, בזרימה גרביטציונית או בלחץ, בקטרים של עד 3,000 מ"מ. המסמך זהה בגישתו לתקנים האחרים שנסקרו AWWA),(ASTM, ואף מפורט יותר בתחומים מסוימים. כך בנושא סיווג הקרקע הטבעית באתר וחומרי המילוי, שיטות ההנחה, והנקודות להדגשה בביצוע הנחת הצנרת: בחירת קשיחות הצינור, טבלאות הידוק לפי סוגי הקרקע וחומר המילוי, עומק ההנחה, קשיחות הצינור, משקל וסוג מכשיר ההידוק, ההקפדה הדרושה בהידוק תושבת הצינור haunches),(pipe סחיפת דקים (migration) ואופן השימוש בבד גאוטכני, כל זאת בפירוט רב. טבלה 1.A לסיווג קבוצות הקרקע לפי שיטת הדירוג האחיד זהה בקירוב לטבלה 6-1 לקטגוריות קשיחות הקרקע שב- M45 והטבלאות הדומות בשאר התקנים. הקרקע מסווגת כאן ל- 6 קבוצות, כששתי הקבוצות האחרונות (קרקע פלסטית או אורגנית מובהקת) מתאימות לסיווג SC5 שבתקינה האמריקאית (סעיף לעיל) אינן מיועדות לשימוש כחומר מילוי. האפ"ת () מתאים גם כאן לקבוצה 3 המומלצת לשימוש כחומר מילוי. הצפיפות או דרגת הקונסולידציה של קרקעות ניתנת להערכה בשיטות שונות. טבלה 2.A מביאה דרגת קונסולידציה של קרקעות שונים לפי מבחן הקשות Count) (Blow ודרגת ההידוק SPD) %). Standard Proctor - עבור קרקע לא מופרת שלא נבדקה מוצע להניח קונסולידציה שוות ערך שבין 91% ל- 97%.SPD טבלה 1 בתקן האירופי מביאה המלצות מפורטות לקשיחות מינימאלית של צינור (1250 עד 00 פסקל), בהעדר עומס רכב, לפי גובה הכיסוי, סוג הקרקע הטבעית שבאתר וארבע קבוצות חומר המילוי המומלצות (זהות לאלו שב- M45 ); טבלה 2 מביאה ערכים מומלצים לקשיחות המינימאלית של הצינור כשצפוי גם עומס רכב. טבלה 5 מביאה ערכי ציפוף חומר המילוי עבור 4 סוגי חומר המילוי המומלצים, בשלוש דרגות הידוק: קל (N), בינוני (M) וגבוה (W); ערכי הציפוף מגיעים ל- 75% עד,SPD % לפי סוג חומר המילוי ודרגת ההידוק. טבלה 6 מביאה המלצות לעובי מכסימאלי של שכבת ההידוק ומספר ההידוקים הדרושים לשכבה, לארבעת קבוצות חומר המילוי (1-4), עבור הידוק בינוני וגבוה, לפי סוג ומשקל ציוד ההידוק. כמו בתקנים האמריקאיים לצנרת פלסטית, גם הצעת התקן האירופית מחייבת תמיכה אחידה בתחתית ובתושבת הצינור, אך מתירה בתנאים מסוימים הידוק מינימאלי, בכפוף לעמידה בדרישות השקיעה והמאמץ המותרים בצנרת על פי הסטנדרטים המתאימים. בהצעת התקן מוקדש סעיף נרחב לתנאי הנחה מיוחדים המחייבים שימוש בבד גאוטכני למניעת תנועת דקים, כולל הנחיות מפורטות ליישום הפילטר הגאוטכני (סעיף וציורים 5 עד 10). כאמור לעיל, השימוש באפ"ת אמור למנוע את תנועת הדקים וליתר את הצורך ביישום הפילטר הגאוטכני. 5.9 סיכום תנאי ההנחה הנדרשים בתקינה עבור אפ"ת כחומר מילוי התקנים להנחת צנרת מים, ביוב, ניקוז ותקשורת, עבור צנרת בטון, פלדה, PVC,GRP ו-,PE דומים בדרישותיהם לתנאי הנחת הצנרת מהסוגים השונים. סווג הקרקעות ותנאי ההנחה לצנרת מבוססים על אותם עקרונות, וכך גם הקפדה הנדרשת בנושא אופן ההנחה: הצורך בהכנת תחתית מיושרת ומרופדת, הקפדה על דחיפת חומר מילוי והידוקו באזור התושבת, הגנה על מעטפת הצינור (גם בצנרת בטון) מפני חלקי אבן וגופים זרים והידוק מבוקר של חומר המילוי על פי ההנחיות. טבלה 3 להלן מציגה סיכום השוואתי של ההגדרות והדרישות הבסיסיות להנחת צנרת במילוי אפ"ת על פי בתקנים השונים. 17

23 טבלה - 3 סיכום תנאי ההנחה המתאימים לשימוש באפ"ת צנרת PE ASTM D 2321 D 2774 [12, 13] צנרת PVC AWWA M23 [11] צנרת פיברגלס AWWA M45 [9] צנרת פלדה AWWA M11 [8] פרטים מראה מקום צנרת בטון ללא לחץ ASTM C 1479 צנרת בטון בלחץ AWWA M9 [7] [6] מס. -1,370 III GM, GC, SC SC3 GM, GC, SC SC3 GM, GC, SC C2 GM, GC, SC (+) S4 CL, ML, SC Type 2 GM, GC, SC קוטר נומינאלי () חומר המילוי ושיטת ההנחה המתאים לאפ"ת מיון הקרקע בתקן (ASTM D 2487) מיון הקרקע אפ"ת 90% (+) 85% 90% (+) 90% 85% (+) 90% (+) 5 הידוק מומלץ (SPD) 6,900 (+) 6, מ "מ מעל לראש הצינור עמ' 84 Installation 6,900 (+) מ "מ מעל לראש הצינור 6,900 (+) מ "מ מעל לראש הצינור 6,900 (+) 6 מודול הקרקע המתקבל (MPa) E' 6,900 (+) 7 תחום ההידוק הנדרש עד ציר הצינור עד ראש הצינור * מ "מ מעל לראש הצינור סעיף X Table 2, Fig. 7-3 סעיף Fig. 6-1 Type R1 8 דרישה להתאמת חומר המילוי לקרקע באתר סעיף אפשרות הנחת הצינור בתנאים נחותים (ללא הידוק) Table 2 Type 4 * לצנרת בטון קשיחה עד ציר הצינור (סעיף 5.2.1). עיון בתקנים ובטבלה המסכמת מביא למסקנות הבאות: א. חומר האפ"ת מתאים לשמש כחומר מילוי בכל סוגי הצנרת שנבחנו (שורות 2-4 בטבלה); ב. ההידוק המינימאלי המומלץ, 85-90%, SPD ומתאימים לכל סוגי הצנרת (שורות 5-6 בטבלה); ומודול הקרקע המתאים לו, זהים למעשה ג. הדרישה להתאמת חומר המילוי לקרקע הטבעית באתר שמופיעה במרבית התקנים (שורה 8 בטבלה), מתאימה במיוחד לאפ"ת, שפילוג חלקיקיו ואחוז הדקים שבו מתאימים למזעור סחיפת חלקיקים דקים בקרקע גם בתנאי הצפה וזרימת מי תהום; ד. כמחצית מהתקנים שנסקרו (שורה 9 בטבלה) מאפשרים הנחת צנרת ללא הידוק חומר המילוי, למעט נקיטת אמצעים לדחיפת חומר המילוי אל אזור התושבת שברביע התחתון של הצינור. כפי שצוין (פרק 2 לעיל), אחד התפקידים העיקריים של חומר המילוי הצנרת גמישה הינו מניעת עיווי או שקיעה טבעתית חריגים בחתך הצינור לאורך זמן deflection).(long-term pipe העיווי לאורך זמן.6 חישובי עיווי הצינור Deflection) (Pipe עבור צנרת טמונה במילוי אפ"ת

24 (Short-term.deflection) העיווי המותר לאורך זמן בצנרת פלסטית, וכן בצנרת פלדה עם ציפוי גמיש (פנים וחוץ), הינו 5% מהקוטר האנכי [8, 9], או כ- 3% עם סיום ההנחה. ביצועי האפ"ת, כמו כל חומר מילוי אחר, יבחנו לאור גבולות עיווי אלו. 6.1 חישובי שקיעה יחסית בצנרת פלדה טבלה 4 מציגה את תוצאות חישוב העיווי של צנרת פלדה עם ציפוי מלט פנימי, בקוטר "10 עד "40, בקשיחות טבעתית 3.3 עד 44 קילו-פסקל. נתוני הצנרת (שורות 1-5 בטבלה) נלקחו מקטלוג היצרן - צינורות המזרח התיכון; עובי דופן הצנרת שנבחרה הינו מהנמוכים בקטלוג לצנרת זאת. דרג הלחץ לצנרת שנבחרה הינו מ- 11 בר (צנרת "40, דופן 4.76 מ"מ) ועד 28 בר (צנרת "10-3/5, דופן 3. מ"מ). עובי הציפוי הפנימי (מלט) - מ- 8 עד 13 מ"מ. הקשיחות הטבעתית SN של הצנרת (נוסחה 1 לעיל) אינה מופיעה בקטלוג היצרן, אף כי נתון זה חיוני לחישוב השקיעה הטבעתית של הצנרת בתנאי ההנחה והעומס הנתונים. ערך הקשיחות הטבעתית חושב במקורב, תוך התחשבות בתרומת שכבת ציפוי המלט הפנימי באזור מאמצי הלחיצה שבדופן לקשיחות הצינור. ערכו של מודול ינג לציפוי המלט נלקח מהמדריך ;AWWA-M11 לשם ביטחון נלקחה רק 60% מתרומת ציפוי המלט לחישוב הקשיחות הטבעתית (גישת חישוב זאת תיבדק בניסוי תקני). אופן חישוב קשיחות הצינור והשקיעה לפי נוסחת Spangler (נוסחה 2), מודגם בנספח ב'. החישוב שבנספח ב' בוצע עבור צינור "10-3/4 בשתי דרגות העובי הנמוכות שבקטלוג היצרן, ומדגים את השפעת עובי הדופן, העומס על הצינור וסוגי הידוק הקרקע על השקיעה המתקבלת. הדוגמה שבנספח כוללת גם את פירוט הקבועים ששמשו בנוסחה 2 ואת נוסחאות ביניים לחישוב עומס הקרקע והקשיחות המשוקללת של הצינור המצופה במלט. מודול תגובת הקרקע 'E עבור חומר האפ"ת בהידוקים השונים נלקח מהתקינה [12 7]. לשלושת סוגי ההידוק המקובלים (הידוק קל, בינוני וגבוה) נוסף גם יישום חומר מילוי לא מהודק (Dumped Backfill Material) שאינו מומלץ בתקינה, לשם בחינת השקיעה בתנאי ביצוע לקויים. חישובי העיווי בוצעו עבור מילוי אפ"ת (C2) בדרגות הידוק שונות. הבדיקה החישובית של העיווי בצנרת הפלדה (טבלה 4) נעשתה בארבע דרגות הידוק של חומר המילוי (האפ"ת): בשפיכה ללא הידוק, ובהידוק קל SPD) 85%>), בינוני SPD) 85-95%) וגבוה SPD) 95%<), כמקובל בתקינה. בדיקה חישובית ראשונה נעשתה עבור תנאי הנחה נוחים: גובה כיסוי של 0.9 מ', ללא עומס רכב (שורות 6 עד 9 בטבלה). בדיקה נוספת נערכה עבור כיסוי 3.0 מ', ונועדה להדגים את השקיעה המתקבלת כשקיים עומס נוסף על הצינור, הנובע מתוספת גובה כיסוי, עומס קבוע או עומס רכב. העיווי המקסימאלי בגובה כיסוי 0.9 מ' (כיסוי ממקובל בפרויקטים רבים) התקבל בצינור הפלדה בקשיחות 3.3 קילו-פסקל (צינור בקוטר "40, עובי דופן 4.76), בתנאי הנחה ללא הידוק (שורה 9 בטבלה, 'E =). 690 kpa העיווי שהתקבל (3.50% מקוטר הצינור) עולה על המותר לצינור הפלדה; העיווי המחושב בעומס זה בכל שאר הצינורות שנבחנו עומדת בדרישות השקיעה המותרת (3%), אף כי הנחת צנרת בהידוק נמוך מ- 85% SPD אינה מומלצת בתקינה לצנרת זאת. 19

25 - טבלה 4 חישובי שקיעה יחסית (עיווי) של צנרת פלדה להולכת מים עם ציפוי מלט, שונות, מונחת במעטפת אפ"ת בתנאי עומס והידוק שונים. בקשיחויות 42" 40" 40" 16" 16" 16" 10-3/4" 2 קוטר הצינור שורה עמודה קוטר חיצון () עובי דופן () עובי ציפוי פנימי 6.0 () דרג הלחץ( Bar ) קשיחות טבעתית 5 מחושבת (kpa) SN * * 3.50* * * * עיווי בכיסוי 0.9 מ' ללא הידוק (%) E' = 690 kpa עיווי בכיסוי 0.9 מ', הידוק קל (%) E' = 2,800 kpa עיווי בכיסוי 0.9 מ', הידוק בינוני (%) E' = 6,900 kpa עיווי בכיסוי 0.9 מ', הידוק גבוה (%) E' = 13,800 kpa עיווי בכיסוי 3.0 מ' ללא הידוק (%) E' = 690 kpa * * עיווי בכיסוי 3 מ', הידוק קל (%) E' = 2,800 kpa עיווי בכיסוי 3 מ', הידוק בינוני (%) E' = 6,900 kpa עיווי בכיסוי 3 מ', הידוק גבוה (%) E' = 13,800 kpa (*) העיווי המחושב לאורך זמן עולה על העיווי המותר בצנרת פלדה עם ציפוי מלט פנימי (3%). 20 קטלוג מוצרים צינורות המזרח התיכון בע"מ 2

26 השקיעה המתקבלת בתנאי הנחה ללא הידוק בגובה כיסוי 3 מ' (שורה 10 בטבלה) חורגת מהמותר בצנרת פלדה בכל הצינורות שקשיחותם קטנה מ- 40 קילו-פסקל. לעומת זאת, בהידוק בינוני של חומר המילוי (שורה 12, kpa 'E), = 6900 שמתאים לעומס קרקע זה, כל הצינורות שנבדקו עומדים שוב בקריטריון השקיעה המותרת לצנרת פלדה בציפוי מלט פנימי, כנדרש בתקינה. 6.2 חישובי שקיעה יחסית של צנרת PE,PVC,GRP טבלה 5 מציגה את תוצאות חישוב השקיעה היחסית של צנרת GRP וצנרת תרמופלסטית,PVC),(PE בקוטר 400 ו- 0 מ"מ, טמונה במילוי אפ"ת, באותם תנאי הנחה ועומס ששמשו לחישובי השקיעה בצנרת הפלדה. קשיחות הצנרת שנבדקה עד 40 קילו-פסקל; נתוני מידות הצנרת וקשיחותה הטבעתית (שורות 1-4 בטבלה) נלקחו או חושבו לפי נתוני התקינה הישראלית לצינורות אלו (ת"י 92, ת"י 532 ות"י 499, בהתאמה). העיווי המותר לצנרת זאת, כמו גם לצנרת פלדה בציפוי גמיש (פנים וחוץ), הינו 5% מקוטר הצינור. ריכוז תוצאות העיווי היחסי המתקבל עבור הקשיחות הטבעתית המחושבת בכל הצינורות שנבחנו מוצג בשורות 5 עד 12 בטבלה, בארבע דרגות הידוק ושתי דרגות עומס קרקע, בדומה לאלו ששמשו בצנרת הפלדה (טבלה 4). העיווי המקסימאלי בגובה כיסוי 0.9 מ' מתקבל בצינור GRP בקשיחות 2.5 קילו-פסקל (צינור בקוטר 0 מ"מ, עובי דופן 10.6 מ"מ), בתנאי הנחה ללא הידוק (שורה 8 בטבלה, 'E). = 690 kpa העיווי שהתקבל (3.95% מקוטר הצינור) אינו עולה על המותר לצינור.GRP קשיחותם הטבעתית של כל שאר הצינורות הגמישים שנבחנו עולה על הקשיחות המינימאלית של צינור ה- GRP שנבדק, ולכן שקיעתם היחסית קטנה יותר. כלומר כל הצנרת הגמישה שנבחנה עומדת בעומס זה בקריטריון העיווי המותר גם ללא הידוק חומר המילוי, אף כי הנחת צנרת בהידוק נמוך מ- 85% SPD אינה מומלצת בתקינה לצנרת זאת. השקיעה היחסית המתקבלת בגובה כיסוי 3 מ', בתנאי הנחה ללא הידוק (שורה 9 בטבלה), חורגת מהמותר בכל הצינורות שקשיחותם קטנה מ- 20 קילו-פסקל (צינור PE בקוטר 400 מ"מ ועובי דופן 23.7 מ"מ). לעומת זאת, כבר בהידוק קל של חומר המילוי (שורה 10, kpa 'E), = 2800 כל הצינורות שנבדקו עומדים שוב בקריטריון השקיעה המותרת לצנרת PVC,GRP ו-,PE כנדרש בתקינה, על אף עומס הקרקע המוגבר. הערות לבדיקה החישובית: התקינה האמריקאית שלאחר שנת (M (AWWA ;M11-04 AWWA מאמצת את מודול הקרקע בכלוא,Ms Soil Confined Modulus שתלוי בעומק ההנחה (טבלאות M11; 6-1 M45) 5-4, במקום מודול תמיכת הקרקע 'E הקלאסי שבנוסחת השקיעה (2); התקנים [5] M45-05 טבלה 5-5, וכן קודמו M45-97 טבלה 5-4, מציעים מקדם Sc לשקלול השפעת רוחב התעלה וחוזק הקרקע הטבעית לשם קביעת מודול קרקע 'E או Ms של חומר המילוי בתעלה. המקדם Sc תלוי בסוג חומר המילוי וברמת ההידוק, ובתקנים החדשים גם בעומק ההנחה. בתנאים של תעלה צרה וקרקע יציבה, במיוחד במילוי לא מהודק, המקדם Sc גדול מ- 1.0, ומביא להגדלת ערכי תמיכת חומר המילוי והקרקע סביבו בצינור בשיעור של עד 50% יותר

חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א'

חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' מד''ח 4 - חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' ( u) u u u < < שאלה : נתונה המד''ח הבאה: א) ב) ג) לכל אחד מן התנאים המצורפים בדקו האם קיים פתרון יחיד אינסוף פתרונות או אף פתרון אם קיים פתרון אחד או יותר

Διαβάστε περισσότερα

ניהול תמיכה מערכות שלבים: DFfactor=a-1 DFt=an-1 DFeror=a(n-1) (סכום _ הנתונים ( (מספר _ חזרות ( (מספר _ רמות ( (סכום _ ריבועי _ כל _ הנתונים (

ניהול תמיכה מערכות שלבים: DFfactor=a-1 DFt=an-1 DFeror=a(n-1) (סכום _ הנתונים ( (מספר _ חזרות ( (מספר _ רמות ( (סכום _ ריבועי _ כל _ הנתונים ( תכנון ניסויים כאשר קיימת אישביעות רצון מהמצב הקיים (למשל כשלים חוזרים בבקרת תהליכים סטטיסטית) נחפש דרכים לשיפור/ייעול המערכת. ניתן לבצע ניסויים על גורם בודד, שני גורמים או יותר. ניסויים עם גורם בודד: נבצע

Διαβάστε περισσότερα

התפלגות χ: Analyze. Non parametric test

התפלגות χ: Analyze. Non parametric test מבחני חי בריבוע לבדיקת טיב התאמה דוגמא: זורקים קוביה 300 פעמים. להלן התוצאות שהתקבלו: 6 5 4 3 2 1 תוצאה 41 66 45 56 49 43 שכיחות 2 התפלגות χ: 0.15 התפלגות חי בריבוע עבור דרגות חופש שונות 0.12 0.09 0.06

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

EMC by Design Proprietary

EMC by Design Proprietary ערן פליישר אייל רוטברט הנדסה וניהול בע"מ eranf@rotbart-eng.com 13.3.15 בית ספר אלחריזי הגבלת החשיפה לקרינה של שדה מגנטי תכנון מיגון הקרינה תוכן העניינים כלליותכולה... 2 1. נתונים... 3 2. נתונימיקוםומידות...

Διαβάστε περισσότερα

HLM H L M טבלת עומסים לעוגן בודד (בטון ב- 30 )

HLM H L M טבלת עומסים לעוגן בודד (בטון ב- 30 ) HM HM מאפיינים טכנולוגיה: עוגן נקבה סוג פלדה העוגן נקבה: Cold Formed steel D62 סוג פלדה הבורג :. Steel f uk = 0 N/mm 2 ; f yk = 6 N/mm 2 גלוון: 5µ Zn HM Bolt HM Eye European Approval ETA01/00 ETAG001 option

Διαβάστε περισσότερα

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur פתרון תרגיל --- 5 מרחבים וקטורים דוגמאות למרחבים וקטורים שונים מושגים בסיסיים: תת מרחב צירוף לינארי x+ y+ z = : R ) בכל סעיף בדקו האם הוא תת מרחב של א } = z = {( x y z) R x+ y+ הוא אוסף הפתרונות של המערכת

Διαβάστε περισσότερα

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות

גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות 08 005 שאלה גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות f ( ) f ( ) g( ) f ( ) ו- lim f ( ) ו- ( ) (00) lim ( ) (00) f ( בסביבת הנקודה (00) ) נתון: מצאו ) lim g( ( ) (00) ננסה להיעזר בכלל הסנדביץ לשם כך

Διαβάστε περισσότερα

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

דיאגמת פאזת ברזל פחמן

דיאגמת פאזת ברזל פחמן דיאגמת פאזת ברזל פחמן הריכוז האוטקטי הריכוז האוטקטוידי גבול המסיסות של פריט היווצרות פרליט מיקרו-מבנה של החומר בפלדה היפר-אוטקטואידית והיפו-אוטקטוידית. ככל שמתקרבים יותר לריכוז האוטקטואידי, מקבלים מבנה

Διαβάστε περισσότερα

תרגול פעולות מומצאות 3

תרגול פעולות מומצאות 3 תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

3-9 - a < x < a, a < x < a

3-9 - a < x < a, a < x < a 1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.

Διαβάστε περισσότερα

תרגילים באמצעות Q. תרגיל 2 CD,BF,AE הם גבהים במשולש .ABC הקטעים. ABC D נמצאת על המעגל בין A ל- C כך ש-. AD BF ABC FME

תרגילים באמצעות Q. תרגיל 2 CD,BF,AE הם גבהים במשולש .ABC הקטעים. ABC D נמצאת על המעגל בין A ל- C כך ש-. AD BF ABC FME הנדסת המישור - תרגילים הכנה לבגרות תרגילים הנדסת המישור - תרגילים הכנה לבגרות באמצעות Q תרגיל 1 מעגל העובר דרך הקודקודים ו- של המקבילית ו- חותך את האלכסונים שלה בנקודות (ראה ציור) מונחות על,,, הוכח כי

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( )

פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( ) פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד a d U c M ( יהי b (R) a b e ל (R M ( (אין צורך להוכיח). מצאו קבוצה פורשת ל. U בדקו ש - U מהווה תת מרחב ש a d U M (R) Sp,,, c a e

Διαβάστε περισσότερα

תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשע"ב זהויות טריגונומטריות

תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשעב זהויות טריגונומטריות תרגול חזרה זהויות טריגונומטריות si π α) si α π α) α si π π ), Z si α π α) t α cot π α) t α si α cot α α α si α si α + α siα ± β) si α β ± α si β α ± β) α β si α si β si α si α α α α si α si α α α + α si

Διαβάστε περισσότερα

TECHNION Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 ציור 1: דיאגרמת הבלוקים

TECHNION Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 ציור 1: דיאגרמת הבלוקים TECHNION Iael Intitute of Technology, Faculty of Mechanical Engineeing מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 d e C() y P() - ציור : דיאגרמת הבלוקים? d(t) ו 0 (t) (t),c() 3 +,P() + ( )(+3) שאלה מס נתונה

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשעד פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה

Διαβάστε περισσότερα

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות

Διαβάστε περισσότερα

קורס: מבוא למיקרו כלכלה שיעור מס. 17 נושא: גמישויות מיוחדות ושיווי משקל בשוק למוצר יחיד

קורס: מבוא למיקרו כלכלה שיעור מס. 17 נושא: גמישויות מיוחדות ושיווי משקל בשוק למוצר יחיד גמישות המחיר ביחס לכמות= X/ Px * Px /X גמישות קשתית= X(1)+X(2) X/ Px * Px(1)+Px(2)/ מקרים מיוחדים של גמישות אם X שווה ל- 0 הגמישות גם כן שווה ל- 0. זהו מצב של ביקוש בלתי גמיש לחלוטין או ביקוש קשיח לחלוטין.

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

תחתיים של מסילות ברזל

תחתיים של מסילות ברזל הנחיות תכנוניות למעבירי מים ומעברים תחתיים של מסילות ברזל גרסה מס' 2, אוקטובר 2013 הוכן עבור רכבת ישראל צוות הפרויקט אינג' בני מיירנץ ד"ר אינג' א. סטונסקו אגף תכנון חטיבת פיתוח חטיבת פיתוח אגף תכנון פרק

Διαβάστε περισσότερα

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 5: להלן סטטיסטיקה תיאורית מפורטת עם טבלת שכיחות לציוני בית ספר לוח 1: סטטיסטיקה תיאורית של ציוני בית ספר

שאלה 5: להלן סטטיסטיקה תיאורית מפורטת עם טבלת שכיחות לציוני בית ספר לוח 1: סטטיסטיקה תיאורית של ציוני בית ספר 20 0 79.80 78.50 75 שאלה 5: להלן סטטיסטיקה תיאורית מפורטת עם טבלת שכיחות לציוני בית ספר לוח : סטטיסטיקה תיאורית של ציוני בית ספר סטטיסטיקה תיאורית של ציוני בית ספר Score Valid Missing גודל מדגם חסרים מדד=

Διαβάστε περισσότερα

= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin(

= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin( א. s in(0 c os(0 s in(60 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 0 s in(70 מתאים לזהות של cos(θsin(φ : s in(θ φ s in(θcos(φ sin ( π cot ( π cos ( 4πtan ( 4π sin ( π cos ( π sin ( π cos ( 4π sin ( 4π

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון

Διαβάστε περισσότερα

PDF created with pdffactory trial version

PDF created with pdffactory trial version הקשר בין שדה חשמלי לפוטנציאל חשמלי E נחקור את הקשר, עבור מקרה פרטי, בו יש לנו שדה חשמלי קבוע. נתון שדה חשמלי הקבוע במרחב שגודלו שווה ל. E נסמן שתי נקודות לאורך קו שדה ו המרחק בין הנקודות שווה ל x. המתח

Διαβάστε περισσότερα

- הסקה סטטיסטית - מושגים

- הסקה סטטיסטית - מושגים - הסקה סטטיסטית - מושגים פרק נעסוק באכלוסיה שהתפלגותה המדויקת אינה ידועה. פרמטרים לא ידועים של ההתפלגות. מתקבלים מ"מ ב"ת ושווי התפלגות לשם כך,,..., סימון: התפלגות האכלוסיה תסומן בפרק זה המטרה לענות על

Διαβάστε περισσότερα

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p

Διαβάστε περισσότερα

Logic and Set Theory for Comp. Sci.

Logic and Set Theory for Comp. Sci. 234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =

Διαβάστε περισσότερα

x = r m r f y = r i r f

x = r m r f y = r i r f דירוג קרנות נאמנות - מדד אלפא מול מדד שארפ. )נספחים( נספח א': חישוב מדד אלפא. מדד אלפא לדירוג קרנות נאמנות מוגדר באמצעות המשוואה הבאה: כאשר: (1) r i r f = + β * (r m - r f ) r i r f β - התשואה החודשית

Διαβάστε περισσότερα

1. שאלות הכנה. 2. רקע תיאורטי המקובלות.

1. שאלות הכנה. 2. רקע תיאורטי המקובלות. 1 נספח ב' : בדיקות קושי 1. שאלות הכנה. 1. הגדר מה זה קושי.. האם קושי הוא תכונה אלסטית או פלסטית, הסבר. 3. הסבר את הנוסחאות לבדיקת קשיות בשיטות ברינל, ויקרס ורוקוול. באילו יחידות נמדדת הקשיות? 4. הסבר את

Διαβάστε περισσότερα

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון. Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.

Διαβάστε περισσότερα

5.1 כללי. A s והלחוץ A s

5.1 כללי. A s והלחוץ A s 5. חישוב חתך בפעולת כוח אקסצנטרי 5.1 כללי כפיפה טהורה הינה מקרה פרטי של פעולת כוח אקסצנטרי על חתך. הסכימה הסטטית המורכבת במבנים בהנדסה אזרחית מביאה לכך שבמיעוט המקרים קיימת כפיפה טהורה ובמרביתם הכפיפה

Διαβάστε περισσότερα

- 1 - מבוא: l 2 מעוות: מאמץ: σzy σ. xx xy xz. = yx yy yz. σ σ σ σ מתקיים: υ υ. σ σ σ. i i. i i. i i. i 1

- 1 - מבוא: l 2 מעוות: מאמץ: σzy σ. xx xy xz. = yx yy yz. σ σ σ σ מתקיים: υ υ. σ σ σ. i i. i i. i i. i 1 מבוא: דף נוסחאות למבחן סוף סמסטר מכניקת המוצקים 084504) ( - - ε (חסר יחידות) Δl l F Kgf m מאמץ: מעוות: xz yz yx zx zy xz yx yz. מתקיים: zx zy zz טנזור המאמצים: לכן טנזור המאמצים הינו מטריצה סימטרית. υ

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

s ק"מ קמ"ש מ - A A מ - מ - 5 p vp v=

s קמ קמש מ - A A מ - מ - 5 p vp v= את זמני הליכת הולכי הרגל עד הפגישות שלהם עם רוכב האופניים (שעות). בגרות ע מאי 0 מועד קיץ מבוטל שאלון 5006 מהירות - v קמ"ש t, א. () נסמן ב- p נכניס את הנתונים לטבלה מתאימה: רוכב אופניים עד הפגישה זמן -

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית

תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית אנליזה נומרית 0211 סתיו - תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית נרצה לפתור את מערכת המשוואות יהי פתרון מקורב של נגדיר את השארית: ואת השגיאה: שאלה 1: נתונה מערכת המשוואות הבאה: הערך את השגיאה היחסית

Διαβάστε περισσότερα

Draft SI 5 part 1. The Standards Institution of Israel. Aggregate concrete blocks: Blocks for walls and for cover ICS CODE:

Draft SI 5 part 1. The Standards Institution of Israel. Aggregate concrete blocks: Blocks for walls and for cover ICS CODE: Draft SI 5 part 1 October 2014 טיוטה לתקן ישראלי ת"י 5 חלק 1 אוקטובר 2014 ICS CODE: בלוקי בטון מאגרגאטים: בלוקים לקירות ולחיפוי Aggregate concrete blocks: Blocks for walls and for cover מסמך זה הוא הצעה

Διαβάστε περισσότερα

7. רדיסטריבוציה של מומנטים*

7. רדיסטריבוציה של מומנטים* 7. רדיסטריבוציה של מומנטים* 7.1 מבוא תכן אלמנטים מבטון מזוין מושתת על ההנחה הבסיסית שתסבולת כל חתך לא תיפחת מההטרחה המירבית אשר תתפתח באותו החתך תחת פעולת הכוחות החיצוניים בהביא בחשבון מצבי העמיסה המסוכנים.

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות

תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות. פתרו את המשוואות הבאות. לא מספיק למצוא פתרון אחד יש למצוא את כולם! sin ( π (א) = x sin (ב) = x cos (ג) = x tan (ד) = x) (ה) = tan x (ו) = 0 x sin (x) + sin (ז) 3 =

Διαβάστε περισσότερα

x a x n D f (iii) x n a ,Cauchy

x a x n D f (iii) x n a ,Cauchy גבולות ורציפות גבול של פונקציה בנקודה הגדרה: קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a תקרא סביבה של a. קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a אך לא מכילה את a עצמו תקרא סביבה מנוקבת של a. יהו a R ו f פונקציה מוגדרת

Διαβάστε περισσότερα

תבריגים, ברגים ואומים להידוק

תבריגים, ברגים ואומים להידוק תבריגים, ברגים ואומים להידוק מבוא לפרק ברגים משמשים ליצירת קשר נייח או נייד בין חלקים שונים. ישנם שלושה סוגים: 1) ברגי הידוק תפקידם לחבר ולהדק חלקים. 2) ברגי איטום- ברגים עם הידוק מוקדם לצורך אטימה 3)

Διαβάστε περισσότερα

normally open (no) normally closed (nc) depletion mode depletion and enhancement mode enhancement mode n-type p-type n-type p-type n-type p-type

normally open (no) normally closed (nc) depletion mode depletion and enhancement mode enhancement mode n-type p-type n-type p-type n-type p-type 33 3.4 מודל ליניארי ומעגל תמורה לטרנזיסטורי אפקט שדה ישנם שני סוגים של טרנזיסטורי אפקט השדה: א ב, (ormally מבוסס על שיטת המיחסו( oe JFT (ormally oe המבוסס על שיטת המיחסור MOFT ו- MOFT המבוסס על שיטת העשרה

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים:

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשעו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים: לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( 2016 2015 )............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה.1

Διαβάστε περισσότερα

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

SI 466 part 1 June Amendment No. 4. The Standards Institution of Israel. Concrete code: General principles. November 2016

SI 466 part 1 June Amendment No. 4. The Standards Institution of Israel. Concrete code: General principles. November 2016 SI 466 part 1 June 2003 Amendment No. 4 November 2016 תקן ישראלי ת"י 466 חלק 1 טבת התשס"ח יוני 2003 גיליון תיקון מס' 4 חשוון התשע"ז נובמבר 2016 חוקת הבטון: עקרונות כלליים Concrete code: General principles

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

א הקיטסי ' טטסל אובמ רלדנ הינור בג '

א הקיטסי ' טטסל אובמ רלדנ הינור בג ' מבוא לסטטיסטיקה א' נדלר רוניה גב' מדדי פיזור Varablty Measures of עד עתה עסקנו במדדים מרכזיים. אולם, אחת התכונות החשובות של ההתפלגות, מלבד מיקום מרכזי, הוא מידת הפיזור של ההתפלגות. יכולות להיות מספר התפלגויות

Διαβάστε περισσότερα

גמישויות. x p Δ p x נקודתית. 1,1

גמישויות. x p Δ p x נקודתית. 1,1 גמישויות הגמישות מודדת את רגישות הכמות המבוקשת ממצרך כלשהוא לשינויים במחירו, במחירי מצרכים אחרים ובהכנסה על-מנת לנטרל את השפעת יחידות המדידה, נשתמש באחוזים על-מנת למדוד את מידת השינויים בדרך כלל הגמישות

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח.

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח. החשמלי השדה הקדמה: מושג השדה חשמלי נוצר, כאשר הפיזיקאי מיכאל פרדיי, ניסה לתת הסבר אינטואיטיבי לעובדה שמטענים מפעילים זה על זה כוחות ללא מגע ביניהם. לטענתו, כל עצם בעל מטען חשמלי יוצר מסביבו שדה המשתרע

Διαβάστε περισσότερα

תשתית טכנולוגית להקטנת תכולת הקלינקר בבטון: אפר פחם עם צמנט CEMII

תשתית טכנולוגית להקטנת תכולת הקלינקר בבטון: אפר פחם עם צמנט CEMII תשתית טכנולוגית להקטנת תכולת הקלינקר בבטון: אפר פחם עם צמנט CEMII עמית קני ארנון בנטור NATIONAL BUILDING RESEARCH INSTITUTE המכון הלאומי לחקר הבנייה משרד הבינוי והשיכון מיסודם של Founded by MINISTRY OF

Διαβάστε περισσότερα

"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי

קשר-חם : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי נושא: חקירת משוואות פרמטריות בעזרת גרפים הוכן ע"י: אביבה ברש. תקציר: בחומר מוצגת דרך לחקירת

Διαβάστε περισσότερα

מבחן t לשני מדגמים בלתי תלויים. T test for independent samples

מבחן t לשני מדגמים בלתי תלויים. T test for independent samples מבחן t לשני מדגמים בלתי תלויים T test for independent samples מטרת המבחן השוואת תוחלות של שתי אוכלוסיות. דוגמים מדגם מקרי מכל אוכלוסיה, באופן שאין תלות בין שני המדגמים ובודקים האם ההבדל שנמצא בין ממוצעי

Διαβάστε περισσότερα

12. טבלות מתוחות בכיוון אחד*

12. טבלות מתוחות בכיוון אחד* 12. טבלות מתוחות בכיוון אחד* 12.1 כללי טבלה היא אלמנט מישורי אשר מידה אחת שלו h העובי (בכיוון ( z קטנה בצורה משמעותית משתי המידות האחרות (כיוונים x ו ( y ראה ציור. 12.1a הטבלה מקשית כאשר היא יצוקה במלוא

Διαβάστε περισσότερα

בסל A רמת התועלת היא: ) - השקה: שיפוע קו תקציב=שיפוע עקומת אדישות. P x P y. U y P y A: 10>6 B: 9>7 A: 5>3 B: 4>3 C: 3=3 C: 8=8 תנאי שני : מגבלת התקציב

בסל A רמת התועלת היא: ) - השקה: שיפוע קו תקציב=שיפוע עקומת אדישות. P x P y. U y P y A: 10>6 B: 9>7 A: 5>3 B: 4>3 C: 3=3 C: 8=8 תנאי שני : מגבלת התקציב תנאי ראשון - השקה: שיפוע קו תקציב=שיפוע עקומת אדישות 1) MRS = = שיווי המשקל של הצרכן - מציאת הסל האופטימלי = (, בסל רמת התועלת היא: ) = התועלת השולית של השקעת שקל (תועלת שולית של הכסף) שווה בין המוצרים

Διαβάστε περισσότερα

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יחל סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר

Διαβάστε περισσότερα

לרמת טיבוע מעביר של 80% התכנון הכללי נעשה עבור T=50 שנה הכביש וסחף מכוניות.

לרמת טיבוע מעביר של 80% התכנון הכללי נעשה עבור T=50 שנה הכביש וסחף מכוניות. תכנון מעבירי מים אגן היקוות ערוץ כביש חישוב ספיקת השיא לתכן על פי חישובי ספיקת שיא,CIA) תחלס, תחלסון וכד' ( קיים תקן הקושר את גודל הכביש לתקופת החזרה באופן כללי התכנון בארץ נעשה לתקופת חזרה של 50 שנה (2%=p

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית (1) - פתרון תרגיל 11

אלגברה לינארית (1) - פתרון תרגיל 11 אלגברה לינארית ( - פתרון תרגיל דרגו את המטריצות הבאות לפי אלגוריתם הדירוג של גאוס (א R R4 R R4 R=R+R R 3=R 3+R R=R+R R 3=R 3+R 9 4 3 7 (ב 9 4 3 7 7 4 3 9 4 3 4 R 3 R R3=R3 R R 4=R 4 R 7 4 3 9 7 4 3 8 6

Διαβάστε περισσότερα

הקשור (נפחית, =P כאשר P קבוע. כלומר zˆ P. , ρ b ומשטחית,

הקשור (נפחית, =P כאשר P קבוע. כלומר zˆ P. , ρ b ומשטחית, אלקטרוסטטיקה בנוכחות חומרים התחום שבין מישור y למישור t ממולא בחומר בעל פולריזציה לא אחידה +α)ˆ P 1)P כאשר P ו - α קבועים. מצא את צפיפויות המטען הנתונה ע"י σ). חשב את סה"כ המטען הקשור בגליל (מהחומר ומשטחית

Διαβάστε περισσότερα

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשעא, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. בB בB תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: 035804 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 מכונית נסעה מעיר A לעיר B על כביש ראשי

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה!

לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה! הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב 24/10/2007 מרצה: פרופ אורנה גרימברג מתרגלים: גבי סקלוסוב,קרן צנזור,רותם אושמן,אורלי יהלום לוגיקה ותורת הקבוצות 234293 אביבתשס ז מבחןסופי מועדב הנחיות: משךהבחינה:

Διαβάστε περισσότερα

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית

Διαβάστε περισσότερα

Domain Relational Calculus דוגמאות. {<bn> dn(<dn, bn> likes dn = Yossi )}

Domain Relational Calculus דוגמאות. {<bn> dn(<dn, bn> likes dn = Yossi )} כללים ליצירת נוסחאות DRC תחשיב רלציוני על תחומים Domain Relational Calculus DRC הואהצהרתי, כמוSQL : מבטאיםבורקמהרוציםשתהיההתוצאה, ולא איךלחשבאותה. כלשאילתהב- DRC היאמהצורה )} i,{ F(x 1,x

Διαβάστε περισσότερα

יווקיינ לש תוביציה ןוירטירק

יווקיינ לש תוביציה ןוירטירק יציבות מגבר שרת הוא מגבר משוב. בכל מערכת משוב קיימת בעיית יציבות מהבחינה הדינמית (ולא מבחינה נקודת העבודה). חשוב לוודא שהמגבר יציב על-מנת שלא יהיו נדנודים. קריטריון היציבות של נייקוויסט: נתונה נערכת המשוב

Διαβάστε περισσότερα

פתרון 4. a = Δv Δt = = 2.5 m s 10 0 = 25. y = y v = 15.33m s = 40 2 = 20 m s. v = = 30m x = t. x = x 0.

פתרון 4. a = Δv Δt = = 2.5 m s 10 0 = 25. y = y v = 15.33m s = 40 2 = 20 m s. v = = 30m x = t. x = x 0. בוחן לדוגמא בפיזיקה - פתרון חומר עזר: מחשבון ודף נוסחאות מצורף זמן הבחינה: שלוש שעות יש להקפיד על כתיבת יחידות חלק א יש לבחור 5 מתוך 6 השאלות 1. רכב נוסע במהירות. 5 m s לפתע הנהג לוחץ על דוושת הבלם והרכב

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה. α α פלוני, וכדומה. הזוויות α ל- β שווה ל-

הרצאה. α α פלוני, וכדומה. הזוויות α ל- β שווה ל- מ'' ל'' Deprmen of Applied Mhemics Holon Acdemic Insiue of Technology PROBABILITY AND STATISTICS Eugene Knzieper All righs reserved 4/5 חומר לימוד בקורס "הסתברות וסטטיסטיקה" מאת יוג'ין קנציפר כל הזכויות

Διαβάστε περισσότερα

(ספר לימוד שאלון )

(ספר לימוד שאלון ) - 40700 - פתרון מבחן מס' 7 (ספר לימוד שאלון 035804) 09-05-2017 _ ' i d _ i ' d 20 _ i _ i /: ' רדיוס המעגל הגדול: רדיוס המעגל הקטן:, לכן שטח העיגול הגדול: / d, לכן שטח העיגול הקטן: ' d 20 4 D 80 Dd 4 /:

Διαβάστε περισσότερα

נוהל בדיקת רוחות בתוכניות בניין עיר מפורטות ובהליכי רישוי בניה

נוהל בדיקת רוחות בתוכניות בניין עיר מפורטות ובהליכי רישוי בניה נוהל בדיקת רוחות בתוכניות בניין עיר מפורטות ובהליכי רישוי בניה גרסה 2 יולי 2016 כללי א תכנון המבנים יתחשב במשטר הרוחות האופייני באתר לצורך הבטחת נוחות ובטיחות הולכי הרגל ב מתודולוגיה בשלב התכנון התב"עי

Διαβάστε περισσότερα

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.

Διαβάστε περισσότερα

זיהוי פגמים במיתר באמצעות גלים עומדים

זיהוי פגמים במיתר באמצעות גלים עומדים מה חדש במעבדה? זיהוי פגמים במיתר באמצעות גלים עומדים מרק גלר, ישיבת בני עקיבא, נתניה אלכסנדר רובשטין, מכון דווידסון, רחובות מבוא גלים מכניים תופסים מקום חשוב בלימודי הפיזיקה בבית הספר. הנושא של גלים מכניים

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית מטריצות מטריצות הפיכות

אלגברה לינארית מטריצות מטריצות הפיכות מטריצות + [( αij+ β ij ] m λ [ λα ij ] m λ [ αijλ ] m + + ( + +C + ( + C i C m q m q ( + C C + C C( + C + C λ( ( λ λ( ( λ (C (C ( ( λ ( + + ( λi ( ( ( k k i חיבור מכפלה בסקלר מכפלה בסקלר קומוטטיב אסוציאטיב

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה 7 טרנזיסטור ביפולרי BJT

הרצאה 7 טרנזיסטור ביפולרי BJT הרצאה 7 טרנזיסטור ביפולרי JT תוכן עניינים: 1. טרנזיסטור ביפולרי :JT מבנה, זרם, תחומי הפעולה..2 מודל: S MOLL (אברסמול). 3. תחומי הפעולה של הטרנזיסטור..1 טרנזיסטור ביפולרי.JT מבנה: PNP NPN P N N P P N PNP

Διαβάστε περισσότερα

התעייפות: ערך היחס המקסימלי פקטורים: עמיסה: גודל: A Se = Cload Csize Csurf Ctemp Creliab S.

התעייפות: ערך היחס המקסימלי פקטורים: עמיסה: גודל: A Se = Cload Csize Csurf Ctemp Creliab S. - - תהליך האופטימיזיציה:.. יש לבודד את הפרמטרים שמשתנים בתוך הפונקציה הנתונה-מציאת היחס... בניית טבלא עפ"י היחס שנמצא..3. מציאת החומר המקיים את היחס בעל הערך הגבוה/נמוך ביותר שנמצא (עפ"י הדרישה) ערך היחס

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון

Διαβάστε περισσότερα

תוכתורמ ןויז תותשרו תוטומ ןוגיעו תוקבדיה.10

תוכתורמ ןויז תותשרו תוטומ ןוגיעו תוקבדיה.10 10. הידבקות ועיגון מוטות ורשתות זיון מרותכות 10.1 כללי עצם קיום הבטון המזוין מבוסס על שיתוף פעולה בין שני החומרים בטון ופלדה, ברם, לבטון אנחנו חופשיים לעצב כל צורה (אנחנו שולטים בצורת המבנה במרחב) ואילו

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

מהדרוש להבנת ותכן קורות כבר מצוי בפרק על טבלות מתוחות בכיוון אחד פרק 12. ציור 13.1

מהדרוש להבנת ותכן קורות כבר מצוי בפרק על טבלות מתוחות בכיוון אחד פרק 12. ציור 13.1 13. קורות* 13.1 כללי קורה היא אלמנט קווי מימדי החתך שלו ) הגובה h והרוחב b כאשר החתך מלבני) קטנים ביחס למימד השלישי המיפתח L (ציור 13.1a), אלא אם כן מדובר בקורה גבוהה בה היחס L/h נמוך. במקרה זה חלות הוראות

Διαβάστε περισσότερα

16. חדירה* ציור 16.1 * פרק זה מעודכן ל נובמבר 2010

16. חדירה* ציור 16.1 * פרק זה מעודכן ל נובמבר 2010 16. חדירה* כללי 16.1 חדירה היא גזירה היקפית בטבלה הנשענת על עמוד או גזירה היקפית בטבלת יסוד עליה נשען עמוד. זו היא גזירה סביב עומס מרוכז בודד. צורת הכשל דומה לחדירה של עמוד דרך טבלה כפי שניראה בציור 16.1a

Διαβάστε περισσότερα

אחד הפרמטרים המרכזיים בחישובי פיזור מזהמים הוא גובה השחרור האפקטיבי של המזהמים.H e

אחד הפרמטרים המרכזיים בחישובי פיזור מזהמים הוא גובה השחרור האפקטיבי של המזהמים.H e H e תמרה והגובה האפקטיבי עילוי אחד הפרמטרים המרכזיים בחישובי פיזור מזהמים הוא גובה השחרור האפקטיבי של המזהמים.H e גובה השחרור האפקטיבי מוגדר כסכום בין גובהה הפיסי של הארובה ) s H) ועילוי התמרה (H ). H

Διαβάστε περισσότερα

פתרון מבחן פיזיקה 5 יח"ל טור א' שדה מגנטי ורמות אנרגיה פרק א שדה מגנטי (100 נקודות)

פתרון מבחן פיזיקה 5 יחל טור א' שדה מגנטי ורמות אנרגיה פרק א שדה מגנטי (100 נקודות) שאלה מספר 1 פתרון מבחן פיזיקה 5 יח"ל טור א' שדה מגנטי ורמות אנרגיה פרק א שדה מגנטי (1 נקודות) על פי כלל יד ימין מדובר בפרוטון: האצבעות מחוץ לדף בכיוון השדה המגנטי, כף היד ימינה בכיוון הכוח ולכן האגודל

Διαβάστε περισσότερα

{ } { } { A חוקי דה-מורגן: הגדרה הסתברות מותנית P P P. נוסחת בייס ) :(Bayes P P נוסחת ההסתברות הכוללת:

{ } { } { A חוקי דה-מורגן: הגדרה הסתברות מותנית P P P. נוסחת בייס ) :(Bayes P P נוסחת ההסתברות הכוללת: A A A = = A = = = = { A B} P{ A B} P P{ B} P { } { } { A P A B = P B A } P{ B} P P P B=Ω { A} = { A B} { B} = = 434 מבוא להסתברות ח', דפי נוסחאות, עמוד מתוך 6 חוקי דה-מורגן: הגדרה הסתברות מותנית נוסחת

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות אלגוריתמים חמדניים אלגוריתם חמדן, הוא כזה שבכל צעד עושה את הבחירה הטובה ביותר האפשרית, ולא מתחרט בהמשך גישה זו נראית פשטנית מדי, וכמובן שלא תמיד היא נכונה, אך במקרים רבים היא מוצאת פתרון אופטימאלי בתרגול

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים והגדרות

רשימת משפטים והגדרות רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F

Διαβάστε περισσότερα

ב ה צ ל ח ה! /המשך מעבר לדף/

ב ה צ ל ח ה! /המשך מעבר לדף/ בגרות לבתי ספר על יסודיים סוג הבחינה: מדינת ישראל קיץ תשע"א, מועד ב מועד הבחינה: משרד החינוך 035804 מספר השאלון: דפי נוסחאות ל 4 יחידות לימוד נספח: מתמטיקה 4 יחידות לימוד שאלון ראשון תכנית ניסוי )שאלון

Διαβάστε περισσότερα

תכנון דינאמי. , p p p והמטריצה המתקבלת היא בגודל

תכנון דינאמי. , p p p והמטריצה המתקבלת היא בגודל תכנון אלגוריתמים, אביב, תרגול מס' תכנון דינאמי תכנון דינאמי בתרגול זה נדון בבעיית הכפלת סדרת מטריצות (6..(CLR ראשית נראה דוגמא:. A, A, A, A נסמן את גודל המטריצות בסדרה ע"י סדרת גדלים כאשר, p 5 5 p היא

Διαβάστε περισσότερα

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה Analytical Electromagnetism Fall Semester 202-3 אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה צפיפויות מטען וזרם צפיפות מטען נפחית ρ מוגדרת כך שאינטגרל נפחי עליה נותן את המטען הכולל Q dv ρ היחידות של ρ הן מטען

Διαβάστε περισσότερα

xpy xry & ~yrx xiy xry & yrx

xpy xry & ~yrx xiy xry & yrx האם קיים קשר בין העדפה ובחירה? ההנחה שקיים קשר הדוק בין מערכת ההעדפות של היחידה הכלכלית ובין התנהגותה המתבטאת בבחירה בין האפשרויות העומדות בפניה מקובלת מאד בתיאוריה הכלכלית. למעשה הנחת העבודה הבלעדית בניתוח

Διαβάστε περισσότερα

שיעור 1. זוויות צמודות

שיעור 1. זוויות צמודות יחידה 11: זוגות של זוויות שיעור 1. זוויות צמודות נתבונן בתמרורים ובזוויות המופיעות בהם. V IV III II I הדסה מיינה את התמרורים כך: בקבוצה אחת שלושת התמרורים שמימין, ובקבוצה השנייה שני התמרורים שמשמאל. ש

Διαβάστε περισσότερα

םיצוחל םיטנמלא.18 יללכ 18.1

םיצוחל םיטנמלא.18 יללכ 18.1 18. אלמנטים לחוצים 18.1 כללי אלמנטים לחוצים הם אלמנטים לאורכם פועל כוח לחיצה. אלה בדרך כלל עמודים אך לא תמיד. באלמנטים שונים, בכפוף לתנאי הסמיכה שלהם יכולים להתעורר כוחות לחיצה גדולים (למשל כוח לחיצה עקב

Διαβάστε περισσότερα

-107- גיאומטריה זוויות מבוא מטרתנו בפרק זה היא לחזור על המושגים שנלמדו ולהעמיק את הלימוד בנושא זה.

-107- גיאומטריה זוויות מבוא מטרתנו בפרק זה היא לחזור על המושגים שנלמדו ולהעמיק את הלימוד בנושא זה. -07- בשנים קודמות למדתם את נושא הזוויות. גיאומטריה זוויות מבוא מטרתנו בפרק זה היא לחזור על המושגים שנלמדו ולהעמיק את הלימוד בנושא זה. זווית נוצרת על-ידי שתי קרניים היוצאות מנקודה אחת. הנקודה נקראת קדקוד

Διαβάστε περισσότερα

רשימת בעיות בסיבוכיות

רשימת בעיות בסיבוכיות ב) ב) רשימת בעיות בסיבוכיות כל בעיה מופיעה במחלקה הגדולה ביותר שידוע בוודאות שהיא נמצאת בה, אלא אם כן מצוין אחרת. כמובן שבעיות ב- L נמצאות גם ב- וב- SACE למשל, אבל אם תכתבו את זה כתשובה במבחן לא תקבלו

Διαβάστε περισσότερα

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V ) הצגות של חבורות סופיות c ארזים 6 בינואר 017 1 משפט ברנסייד משפט 1.1 ברנסייד) יהיו p, q ראשוניים. תהי G חבורה מסדר.a, b 0,p a q b אזי G פתירה. הוכחה: באינדוקציה על G. אפשר להניח כי > 1 G. נבחר תת חבורה

Διαβάστε περισσότερα