xpy xry & ~yrx xiy xry & yrx

Transcript

1 האם קיים קשר בין העדפה ובחירה? ההנחה שקיים קשר הדוק בין מערכת ההעדפות של היחידה הכלכלית ובין התנהגותה המתבטאת בבחירה בין האפשרויות העומדות בפניה מקובלת מאד בתיאוריה הכלכלית. למעשה הנחת העבודה הבלעדית בניתוח ההתנהגות של היחידה הכלכלית היא שאפשר לייחס לה מערכת העדפות כך שהיא בוחרת באפשרות מועדפת ביותר על פי אותה מערכת העדפות. מן הראוי לציין שבהנחה זו המכונה עקרון הרציונאליות מערכת ההעדפות המיוחסת ליחידה הכלכלית איננה אלא כלי ) קונסטרוקציה תיאורטית ( המאפשר מתן הסבר וניבוי להתנהגותה. הקיום של קשר הדוק כזה בין העדפה ובחירה איננו הכרחי. יתכן שמערכת ההעדפות איננה מוגדרת ובכל זאת קיימת בחירה. יתכן שמערכת ההעדפות מוגדרת אך היא איננה מתיישבת עם הבחירה. ויתכן כי למושג ההעדפה כלל אין משמעות כמו למשל במקרה של קבוצה של פרטים העומדים בפני בחירה קבוצתית. הפרק הנוכחי מוקדש להצגה פורמאלית של המושגים העדפה ובחירה ולהבהרת הקשר ביניהם. בפרט נשיב על שתי שאלות: מהן התכונות ההכרחיות של מערכת העדפות המבטיחות את קיומה של בחירה המתיישבת עם אותה מערכת העדפות ) מוּנעת על ידה )? ( מהן התכונות ההכרחיות של בחירה המבטיחות שאפשר להתייחס אליה כמתיישבת עם מערכת העדפות כלשהי (מוּנעת על ידה)? (2 בחירה מוּנעת-העדפה בכל הקשר של העדפה ובחירה המושגים הראשוניים הם קבוצה של אפשרויות X ויחס העדפה R המוגדר עליה. בפרק זה נניח כי X היא קבוצה סופית ונסמן את אבריה הטיפוסיים ב- xyz וכדומה. יחס ההעדפה R היחס "עדיף מ- או שקול ל-" מאפשר השוואה בין זוגות ) לאו דווקא כל הזוגות ( של אפשרויות. את הקביעה שאפשרות x עדיפה מ- או שקולה לאפשרות y נרשום בצורה מקוצרת כך: xry. מהיחס R מתקבלים היחס P "עדיף מ-" והיחס I "שקול ל-" כך: xpy xry & ~yrx xiy xry & yrx ) משמעות הסימון: ~yrx היא: "לא מתקיים.(yRx נסמן ב- χ את קבוצת כל תתי הקבוצות הלא ריקות של X

2 { S X : } χ = S φ בהינתן יחס העדפה R ותת-קבוצה של אפשרויות S השייכת ל- χ נגדיר את קבוצת המקסימום המתאימה ל- (R כך: M(R = { x ε S : y ε S xry } M(R כוללת את האפשרויות הטובות ביותר ב- S על פי יחס ההעדפה R. מקובל לכנות את ו- R S שטבעי להניח שבהינתן מאחר S ול- בשם קבוצת הבחירה המתאימה ל- R M(R האפשרויות הנבחרות הן אלו הכלולות ב- M(R. כלומר מקבל ההחלטות בוחר מבין האפשרויות העומדות לפניו את האפשרות הטובה ביותר מבחינתו. הנחה זו המקובלת בתחום הכלכלה ובמידה מסוימת גם במדעי החברה האחרים נקראת בשם עיקרון הרציונאליות. דפוס ההתנהגות הנובע ממנה נקרא בשם התנהגות רציונאלית. השאלה הראשונה בה נדון היא: מהן התכונות ההכרחיות של יחס ההעדפה R המבטיחות שבהינתן תת- קבוצה כלשהי של אפשרויות S קבוצת הבחירה M(R היא לא ריקה?. xrx רפלקסיביות: יחס ההעדפה R הוא רפלקסיבי אם כל אפשרות x עדיפה מ- או שקולה לעצמה דהיינו שלמות: יחס ההעדפה R הוא שלם אם לכל שתי אפשרויות שונות x ו- y x עדיפה מ- או שקולה ל- y. yrx xry או y עדיפה מ- או שקולה ל- x כלומר או הבהר לעצמך מדוע רפלקסיביות ושלמות הן תכונות הכרחיות לכך שקבוצת הבחירה M(R היא לא ריקה לכל S. ב- X טרנסיטיביות: יחס העדפה R הוא טרנסיטיבי אם לכל שלש אפשרויות xyz אי- מעגליות: xry & yrz xrz יחס העדפה R איננו מעגלי אם לכל סדרת אפשרויות ב- {xyz...uv } X xpy & ypz... & upv xrv 2

3 שים לב אי- מעגליות היא דרישה חלשה יותר מטרנסיטיביות; טרנסיטיביות גוררת אי-מעגליות אך אי-מעגליות לא גוררת טרנסיטיביות. יחס R נקרא בשם סדר (ordering) אם הוא רפלקסיבי שלם וטרנסיטיבי. אם R הוא סדר אז בהינתן S כלשהי השייכת ל- χ קבוצת הבחירה M(R איננה ריקה. במילים אחרות רפלקסיביות שלמות וטרנסיטיביות הם תנאים מספיקים לקיומה של קבוצת בחירה לא ריקה בכל הנסיבות. טענה זו נובעת מהתוצאה הבאה המבהירה מהם התנאים ההכרחיים והמספיקים לקיומה של קבוצת בחירה לא ריקה לכל S ב- χ. משפט : יהא R יחס רפלקסיבי ושלם. קבוצת הבחירה M(R קבוצה של אפשרויות S השייכת ל- χ אם ורק אם R איננו מעגלי. הוכחה: (מספיקות) לכל נבחר S X. x S אם לכל (מכיוון שהיחס R הוא רפלקסיבי ושלם) קיימת בהכרח אפשרות y אם לכל s ב- yrs S הרי שוב סיימנו את ההוכחה. איננה ריקה בהינתן כל תת- xrs s S הרי שסיימנו את ההוכחה. אחרת {} x.ypx כך ש- y S \ אחרת קיימת אפשרות z { x y} z S \ כך ש- zpy. מההנחה שהיחס R איננו מעגלי משתמע כי.zRx מאחר ש- X ) ולפיכך גם ( S היא קבוצה סופית ניתן להמשיך את הטיעון באופן דומה ולהסיק כי בהכרח קיימת אפשרות המועדפת מ- או שקולה לכל אפשרות אחרת ב- S. } x { ונניח S =... x n. x תהא Rx n. עלינו להוכיח כי x Px2Px3... Px n Px n (הכרחיות) נניח כי כי. i=2...n x i לפיכך היות ו- M ( R i=2...n xi Px i. M מאחר ש- ( R φ x x M ( R חייב להתקיים כי (S ופירוש הדבר הוא שהאפשרות עדיפה מ- M ( R φ x כפי שרצינו להוכיח. Rx n או שקולה לכל אפשרות ב- S ובפרט מ.ש.ל. פונקציה (.)C המתאימה לכל תת-קבוצה של אפשרויות S ב- χ תת-קבוצה לא ריקה של אפשרויות )C נקראת בשם פונקצית בחירה function).(choice תת-הקבוצה המוכלת ב- S S הנבחרת יכולה להכיל אפשרות אחת או כמה אפשרויות. אם תת-הקבוצה הנבחרת תמיד מכילה אפשרות אחת נאמר שפונקצית הבחירה היא נחושה.(determined) על פי משפט ג. אם R הוא 3 החומר הנוכחי הוא חלק מההקדמה לקורס. כדי להימנע מסרבול יתר ומסטייה מהנושא העיקרי של הקורס בחרנו לכלול בפרק זה רק את התוצאות העיקריות הנוגעות לקשר בין העדפה ובחירה ולהציגן ללא הוכחות פרט להוכחה של המשפט הראשון המוצגת להלן. דיון מעמיק יותר הכולל הוכחות של התוצאות הכלולות בפרק זה ושל תוצאות נוספות מופיע בספרם של (998) Banks.Austen-Smith and

4 יחס רפלקסיבי שלם וטרנסיטיבי (ולפיכך לא מעגלי) על X דהיינו אם R הוא סדר על קבוצת האפשרויות X אז M(R C( = היא פונקצית בחירה מוגדרת היטב. לפונקציה זו נקרא בשם פונקצית הבחירה הרציונאלית המתאימה ל- R או פונקצית הבחירה המוּנעת על-ידי R. 2 בחירה הניתנת לרציונליזציה נעבור עתה להבהרת התכונות ההכרחיות של בחירה תכונות הניתנות לבירור תצפיתי-אמפירי המבטיחות שהבחירה ניתנת לרציונליזציה על ידי סדר כלומר שניתן להתייחס לבחירה כמונעת על-ידי יחס העדפה רפלקסיבי שלם וטרנסיטיבי. פונקצית בחירה (.)C ניתנת לרציונליזציה אם קיים יחס R על X כך שלכל S ב- χ.c( = M(R מועמד טבעי להענקת רציונליזציה ל- (.)C הוא היחס R c הנגזר מפונקצית הבחירה (.)C כך: ({ x y} ) x y X xrc y x C היחס R c מכונה יחס הבסיס של (.)C. קל לוודא כי טענה : פונקצית בחירה (.)C ניתנת לרציונליזציה אם ורק אם היא ניתנת לרציונליזציה על-ידי.C( = M(R c יחס הבסיס שלה. כלומר אם ורק אם לכל S ב- χ הדוגמה שלפניך מבהירה שלא כל פונקצית בחירה ניתנת לרציונליזציה. דוגמה : {} z ) z C ( = {} y ) y C ( = { x} ) x C ( = X = כי נניח } yz { x. ו- {( { y z} ) = C( { x y z} ) { y } C = { x y} ) = C( { x z} ) { x} C ( = { x y z} ) y R כל יחס C ( = { x y} ) x על פי טענה ג. מאחר ו- = ( C ו- המספק רציונליזציה R c לפונקציית הבחירה (.)C ובפרט יחס הבסיס חייב לקיים את הדרישה הבלתי אפשרית : xpy ו-.yPx מכאן ש- (.)C איננה ניתנת לרציונליזציה. להלן נציג שתי תכונות של פונקציות בחירה. התכונה האחת תכונה α מכונה עקביות בצמצום. התכונה האחרת תכונה β מכונה עקביות בהרחבה. עקביות בצמצום מנוסחת במונחים של שינויים מותרים בבחירה בעת שקבוצת האפשרויות מצטמצמת. עקביות בהרחבה מנוסחת במונחים של שינויים מותרים בבחירה בעת שקבוצת האפשרויות מתרחבת. פונקצית בחירה (.)C מקיימת את תכונה α אם ורק אם לכל S ו- T השייכות ל- χ 4

5 S T C( T ) S C( x נבחרת מ- T ו- T מצטמצמת על ידי הרחקת חייבת להמשיך ולהיבחר מקבוצת האפשרויות מתכונה α משתמעת הדרישה שאם אפשרות אזי אפשרות x אפשרויות השונות מ- המצומצמת. x C P L קל לוודא כי פונקצית הבחירה בדוגמה איננה מקיימת את תכונה. α פונקצית בחירה זו איננה חריגה. פונקציות בחירה רבות ושכיחות אינן מקיימות תכונה זו. כלל הרובניות (.) (plurality rule ) הוא דוגמה לפונקצית בחירה שאיננה מקיימת את תכונת העקביות בצמצום. על פי כלל זה כאשר קבוצה של פרטים בוחרת מועמד מתוך קבוצה של מועמדים כל פרט מציין מי הוא המועמד המועדף מבחינת מספר הבוחרים הגדול ביותר. α. תכונה דוגמה ג. 2 : נניח כ י פרטים T = { x yz } מעדיפים את החמישי מעדיף את x ביותר מבחינתו ונבחרים המועמדים המועדפים ביותר הדוגמה שלפניך מבהירה שכלל הרובניות אכן מפר את וכי יחסי ההעדפה הטרנסיטיביים של חמישה בוחרים הם כדלקמן. שני מ- z. y ואת מ- y שני פרטים מעדיפים את. מ- x z ואת מ- z y. מ- y x ואת מ- x z במקרה זה המועמדים x T אך x בלבד נבחר מתוך תת הקבוצה = { x yz } איננו ו- y הפרט נבחרים מתוך y משמעות העובדה שהמועמד.S={ x y} נבחר מתוך y} { x היא שכלל הרובניות מפר את תכונה.α פונקצית בחירה (.)C מקיימת את תכונה β אם ורק אם לכל S ו- T השייכות ל- χ S T & C( C( T ) φ C (S ) C(T ) S אזי מתכונה β משתמעת הדרישה שאם אפשרות x נבחרת מתוך S וגם מתוך T המכילה את כל אפשרות אחרת שנבחרת מ- S גם כן נבחרת מ- T. קל להוכיח כי פונקצית בחירה נחושה מקיימת את תכונה β וכי כלל הרובניות איננו מקיים את תכונה. β התכונות α ו- β הן תכונות הכרחיות ומספיקות לכך שפונקצית הבחירה (.)C על-ידי סדר חלש. ניתנת לרציונליזציה 5

6 משפט 2: פונקצית בחירה (.)C ניתנת לרציונליזציה על ידי סדר אם ורק אם היא מקיימת את תכונה α ואת תכונה β. ממשפט 2 ומכך שפונקצית בחירה נחושה מקיימת את תכונה β נובע שתכונה α היא תנאי הכרחי ומספיק לכך שפונקצית בחירה נחושה ניתנת לרציונליזציה על-ידי סדר. התכונות α ו- β הצרכן. שקולות לאקסיומה החלשה של ההעדפה הנגלית אותה הכרנו בהקשר של תורת פונקצית בחירה מקיימת את לכל S ו- T השייכות ל- χ האקסיומה החלשה של ההעדפה הנגלית( WARP ) אם ורק אם x C( y S \ C( & y C(T) x T כלומר אם אפשרות x מתגלה כמועדפת מאפשרות ) y אם x נבחרת מ- S ו- y כלולה ב- S אך איננה נבחרת) אזי y לא יכולה להתגלות כמועדפת מ- x (מהעובדה ש- y נבחרת מ- T נובע ש- x איננה שייכת ל- T ). α C(.) : טענה 2 פונקצית בחירה מקיימת את התכונות ו- β אם ורק אם היא מקיימת את האקסיומה החלשה של ההעדפה הנגלית( WARP ). מטענה 2 ומשפט 2 מתקבלת התוצאה החותמת את הפרק. משפט 3: פונקצית בחירה (.)C ניתנת לרציונליזציה על ידי סדר אם ורק אם היא מקיימת את האקסיומה החלשה של ההעדפה הנגלית( WARP ). 6

7 תרגילים ג. בחירה מוּנעת-העדפה שאלה : א. מהי קבוצת הבחירה בתורת הצרכן? ב. מהי קבוצת הבחירה בתורת היצרן? א. בתורת הצרכן קבוצת הבחירה כוללת סלי המצרכים השייכים לקבוצת התקציב והמועדפים מ- או שקולים לכל סל בקבוצה זו. ב. בתורת היצרן קבוצת הבחירה כוללת תכניות ייצור השייכות לקבוצת אפשרויות הייצור והמניבות רווח מקסימאלי. שאלה 2: הסבר מדוע רפלקסיביות ושלמות של R הן תכונות הכרחיות לכך שקבוצת הבחירה M(R היא לא ריקה לכל S. רפלקסיביות היא תכונה הכרחית להבטחת הקיום של קבוצת בחירה לא ריקה באותם מקרים שבהם S מכילה אפשרות אחת בלבד. שלמות היא תכונה הכרחית להבטחת הקיום של קבוצת בחירה לא ריקה באותם מקרים שבהם S מכילה שתי אפשרויות. שאלה 3: הסבר מדוע רפלקסיביות שלמות וטרנסיטיביות מבטיחות את אפשרות המימוש של עיקרון הרציונאליות. שלשת התכונות האלה מבטיחות שבכל תת-קבוצה של אפשרויות קיימת אפשרות "טובה ביותר". פירוש הדבר הוא שעיקרון הרציונאליות ניתן למימוש. 2 בחירה הניתנת לרציונליזציה שאלה 4 : הוכח את טענה ג. : פונקצית בחירה (.)C ניתנת לרציונליזציה אם ורק אם היא ניתנת לרציונליזציה על-ידי יחס הבסיס שלה. כלומר אם ורק אם לכל S ב-.C( = M(R c (S χ הוכחת המספיקות פשוטה: אם יחס הבסיס של (.)C מספק רציונליזציה ל- (.)C על פי הגדרה (.)C ניתנת לרציונליזציה. 7

8 ב y לצורך הוכחת ההכרחיות נניח כי (.)C ניתנת לרציונליזציה על-ידי יחס R ונוכיח כי יחס R שכזה M(R.) ב- X x. חייב להיות שווה ליחס R c לכל שתי אפשרויות ו- y על פי הגדרת. x C( { x y} xr y C C(.) רציונליזציה ל- מספק מאחר ש- R. xry x M ( R { x y}) { x y} ) x C ({ x }) R c אך על פי הגדרת. x M ( R y לכן. R= R c כלומר xry xr C y לכל שתי אפשרויות x ו- -X מ.ש.ל. שאלה 5: הוכח שפונקצית בחירה נחושה מקיימת את התכונה עקביות β. C( אם פונקצית הבחירה (.)C היא נחושה אזי מהעובדה שהחיתוך של קבוצות הבחירה ו- C(T) הוא לא ריק נובע כי C(=C(T). פירוש הדבר הוא שפונקצית הבחירה (.)C מקיימת את התכונה עקביות β. שאלה 6: קבוצה של פרטים בוחרת מועמד מתוך קבוצה של מועמדים. על פי כלל הרובניות rule) (plurality כל פרט מציין מי הוא המועמד המועדף ביותר מבחינתו ונבחרות האפשרויות המועדפות ביותר מבחינת מספר הבוחרים הגדול ביותר.חווה דעתך על הטענה שלפניך: "ברור שכלל הרובניות מקיים את התכונה עקביות α. אם מועמד מסוים נבחר מקבוצת מועמדים T הוא נבחר גם מכל תת-קבוצה S המוכלת ב- T מאחר ובשני המקרים אותו מועמד הוא המועמד המועדף ביותר של מספר הבוחרים הגדול ביותר". הטענה שיקרית. נכון שאם מועמד מסוים נבחר מקבוצת המועמדים T אז הוא המועמד המועדף ביותר מתוך T של מספר הבוחרים הגדול ביותר. אך כאשר הקבוצה T מצטמצמת לקבוצה S בהחלט יתכן כי אותו מועמד איננו המועמד המועדף ביותר של מספר הפרטים הגדול ביותר כפי שמבהירה דוגמה ג. 2. שאלה 7: הוכח שכלל הרובניות מפר את התכונה עקביות β. נניח כי x { וכי יחסי ההעדפה הטרנסיטיביים של חמישה בוחרים הם כדלקמן. שני y z w} T = פרטים מעדיפים את x מ- y את y מ- w ואת w מ- z. שני פרטים מעדיפים את w מ- y את y מ- z ואת z מ- x. הפרט החמישי מעדיף את z מ- x את x מ- w ואת w מ- y. במקרה זה המועמדים x 8

9 { x y z w} אך x ו- w נבחרים מתוך = T. משמעות העובדה { x y z} ו- y נבחרים מתוך = S שהמועמד y איננו נבחר מתוך T היא שכלל הרובניות מפר את התכונה עקביות β. שאלה 8: הוכח שכלל הרובניות איננו מקיים את האקסיומה החלשה של ההעדפה הנגלית (WARP). C( x אך x T כלומר כלל הרובניות מפר את בדוגמה ג. 2 C(T) y S \ C( & y. WARP שאלה 9: הנח כי C( היא פונקצית בחירה המוּנעת על-ידי יחס ההעדפה.C(=M(R R הוכח כי (.)C מקיימת את התכונות עקביות α ועקביות β. { x T : y T xry} נניח כי. S T על-פי הגדרה = ) T. C ( מכאן נקבל שאם C(.). z C( y S אז zry כלומר קבלנו אפוא שפונקצית הבחירה z C( T ) S מקיימת את התכונה עקביות α S T C( T ) S C( y T zry z C( נניח כי S T.C( C( וכי T ) φ מכאן שאם אז כלומר β מקיימת את התכונה עקביות (.)C קבלנו אפוא שפונקצית הבחירה. z C(T ) S T & C( C( T ) φ C( C( T ) שאלה 0: א. האם פונקצית בחירה המונעת על-ידי יחס העדפה R היא נחושה? ב. האם כלל הרובניות הוא פונקצית בחירה נחושה? א. לא. בהחלט יתכן כי קבוצת המקסימום המתאימה לקבוצת אפשרויות מסוימת S מכילה יותר מאפשרות אחת. בדוגמאות שכאלה נתקלנו בקורס תורת המחירים א. ב. לא. ראה דוגמה 2. 9