ΗΥ 111, Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Εαρινό Εξάμηνο Διδάσκων: Κώστας Παναγιωτάκης

Transcript

1 ΗΥ, Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Εαρινό Εξάμηνο - Διδάσκων: Κώστας Παναγιωτάκης 5 ο Φροντιστήριο (6//). Βρείτε και χαρακτηρίστε τα κρίσιμα σημεία των συνάρτησεων a. (, ) = sin. b. (, ) = +. Υποθέστε ότι είστε υπεύθυνος για την παραγωγή δύο μοντέλων επεξεργαστών, X και Y. Το κέρδος από την K, = , όπου η τιμή πώληση των επεξεργαστών δίνεται από τη συνάρτηση ( ) των επεξεργαστών τύπου X και η τιμή των επεξεργαστών τύπου Y, σε δεκάδες. Το αφεντικό σας σάς υπόσχεται προαγωγή δεδομένου ότι θα μεγιστοποιήσετε το κέρδος από την πώληση. Καθορίστε την τιμή των επεξεργαστών κάθε τύπου ώστε να πάρετε την προαγωγή.. Βρείτε το ολικό μέγιστο και το ολικό ελάχιστο της συνάρτησης ( ) D= {(, ) : π, π}., = sin + cos στο τετράγωνο. Έστω η επίπεδη μεταλλική πλάκα του παρακάτω σχήματος. (,) (,) (,) Η πλάκα θερμαίνεται και η θερμοκρασία σε κάθε σημείο της, (, ) (συμπεριλαμβανομένου και του συνόρου της), περιγράφεται από τη συνάρτηση ( ) σημείο της πλάκας και τις τιμές της θερμοκρασίας σε αυτά. T, = + +. Βρείτε το θερμότερο και το ψυχρότερο

2 Συνοπτική θεωρία στα ακρότατα συναρτήσεων μεταβλητών (/) - Τοπικά Ακρότατα Κριτήριο ης παραγώγου - Ολικά Ακρότατα σε κλειστό πεδίο ορισμού

3 Λύσεις. a. Προφανώς, :. Επίσης, η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη σε όλο το κρίσιμα σημεία αντιστοιχούν στις θέσεις μηδενισμού των Εύρεση κρίσιμων σημείων = και =.. Συνεπώς, τα = sin και = cos = sin = = kπ, k = = cos = cos( kπ ) = = kπ, k Άρα, κρίσιμα σημεία είναι τα ( kπ ),, k (,) = sin() Χαρακτηρισμός κρίσιμων σημείων Χρησιμοποιώ το κριτήριο της ης παραγώγου: = =, sin, = = 8 6 = = cos, = = cos - - Η εσσιανή ορίζουσα (, ) είναι: (, ) = cos = = , k = cos k = <, k, δηλ. όλα τα κρίσιμα σημεία της αντιστοιχούν σε Άρα, ( π) ( π) σημεία «σαμαριού» (σαγματικά σημεία). b. Προφανώς, :. Επίσης, η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη σε όλο το κρίσιμα σημεία αντιστοιχούν στις θέσεις μηδενισμού των = και =.. Συνεπώς, τα Εύρεση κρίσιμων σημείων (,) = - + = και =.8 = ( ) = = ή = ± = = =.6.. Άρα, κρίσιμα σημεία είναι τα ( ),, (,) και (,)

4 Χαρακτηρισμός κρίσιμων σημείων Χρησιμοποιώ το κριτήριο της ης παραγώγου: =, =, =, = Η εσσιανή ορίζουσα (, ) είναι: (, ) ( ) = = =. i. (, ) (,) =, δηλ. δεν μπορώ να χαρακτηρίσω το κρίσιμο σημείο χρησιμοποιώντας το κριτήριο της ης παραγώγου. Κάνω τις εξής παρατηρήσεις: - (,) - Αν περιοριστώ στον κατακόρυφο άξονα ( = ), έχω (, ) =,. - Αν περιοριστώ στο τμήμα του οριζόντιου άξονα ( = ) μεταξύ - και, έχω (, ) =, (,) Συνεπώς, σε κάθε γειτονιά του σημείου (, ) υπάρχουν σημεία με τιμές μεγαλύτερες της (,) και σημεία με τιμές μικρότερες της (,), δηλ. το (, ) είναι σημείο «σαμαριού». ii. (-, ) (,) =, δηλ. δεν μπορώ να χαρακτηρίσω το κρίσιμο σημείο χρησιμοποιώντας το κριτήριο της ης παραγώγου. Παρατηρώ ότι η (, ) g, g :, με g ( ) = και g ( ) =, δηλ. (, ) g( ) g( ) έστω μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο άλλων συναρτήσεων μίας μεταβλητής, = +. Προφανώς, g ( ) =, () Στη συνέχεια, θα βρω τα ακρότατα της g ( ) : g '( ) = g '( ) = = ή =±

5 Το πρόσημο της g ( ) και η μονοτονία της g ( ) ' φαίνονται παρακάτω: g '( ) ( ) g Συνεπώς, η g ( ) τοπικό μέγιστο για παρουσιάζει τοπικά ελάχιστα, για = με τιμή ( ) g =. = ± με τιμή g ± = και ένα Δεδομένης της μονοτονίας της g ( ) g( ) g ± =, (), τα δύο τοπικά ελάχιστα είναι και ολικά, άρα = +. Τελικά, από τις () και (), συμπεπαίνουμε ότι (, ) g( ) g( ) Όμως,, =, δηλ. η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο σημείο,. iii. (-, ) Χρησιμοποιώντας αντίστοιχη συλλογιστική με το ερώτημα (i), διαπιστώνουμε ότι η (, ) ολικό ελάχιστο στο σημείο,. έχει K, :. H ( ) είναι συνεχής και παραγωγίσιμη. Εύρεση κρίσιμων σημείων K K K = = 8 +, K = = 6 + K = 8 + = = K = 6 + = = 7 Άρα, υπάρχει ένα κρίσιμο σημείο στη θέση (, 7 ). Χαρακτηρισμός κρίσιμων σημείων Χρησιμοποιώ το κριτήριο της ης παραγώγου

6 K =, K =, K = K =. Η εσσιανή ορίζουσα (, ) είναι: K K (, ) = KK KK K K = =. Αφού, K (, 7) < και (, 7) > η K παρουσιάζει μέγιστο στο σημείο ( ), 7. Συνεπώς, οι τιμές που μεγιστοποιούν το κέρδος είναι: - για επεξεργαστές τύπου X. - 7 για επεξεργαστές τύπου Y.. Προφανώς, η : D είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο κλειστό φραγμένο πεδίο ορισμού της D. π D D π Κρίσιμα σημεία στο εσωτερικό, = cos, = sin D ( k + ) π = cos = =, k = sin = = mπ, m Όμως, π, π π, π. < < < <, άρα τα κρίσιμα σημεία της (, ) στο (,) = sin + cos D είναι τα, π π και Οι τιμές της στα σημεία αυτά είναι: π,π = () π,π = - ()

7 Περιορισμός της στο σύνορο, Διακρίνω περιπτώσεις i. =, π D (, ) = cos, π Η (, ) παρουσιάζει μέγιστο για = και = π με τιμή ( ) ( ) και ελάχιστο για = π με τιμή (,π ) = - (), =,π = () ii. < π, = π ( π), = sin +, < π Η (,π ) παρουσιάζει μέγιστο για και ελάχιστο για π = με τιμή π π = με τιμή,π = π,π = (6) (5) iii. =π, < π ( π ) Η (, ), = cos, < π = με τιμή ( ) = π με τιμή ( π, ) = - (8) π παρουσιάζει μέγιστο για και ελάχιστο για π, = (7) iv. <<π, = ( ), = sin +, < < π Η (,) παρουσιάζει μέγιστο για και ελάχιστο για π = με τιμή π π = με τιμή, = π, = () (9) Τελικά, από τις () (), διαπιστώνω ότι η παρουσιάζει: π π π π - ολικό μέγιστο στα σημεία, και,π με τιμή, =,π = π - ολικό ελάχιστο στο σημείο, π με τιμή π, π =

8 . Προφανώς, θα πρέπει να υπολογίσω τα μέγιστα και τα ελάχιστα της συνεχούς και παραγωγίσιμης T : D στο κλειστό φραγμένο πεδίο ορισμού της, D= (, ) : +,, { } (,) D C C D (,) C Κρίσιμα σημεία στο εσωτερικό, D T =, T = T = = = T = = = Το σημείο, δεν ανήκει στο εσωτερικό D, συνεπώς δεν υπάρχουν κρίσιμα σημεία της T στο εσωτερικό του πεδίου ορισμού. Περιορισμός της T στο σύνορο, Διακρίνω περιπτώσεις D i. C = {(,) : } ( ) ( ) t = T, = +, Καταρχήν, θα βρω τα κρίσιμα σημεία της t ( ) : t '( ) = t '( ) = = = Συνεπώς, η τιμή της T(,) για = είναι ( ) Εφόσον, όμως η t ( ) άκρο για =, δηλ. t ( ) = T (, ) = 5 () T, = () ορίζεται σε κλειστό διάστημα πρέπει να υπολογίσω και την τιμή της και στο

9 ii. C = {(, ) : < } ( ) ( ) t = T, = +, < Θα βρω τα κρίσιμα σημεία της t ( ) : t '( ) = t '( ) = = = Συνεπώς, η τιμή της T(, ) για = / είναι T, = () Υπολογίζω την τιμή της t ( ) στο άκρο για = : t ( ) = T ( ) = (), iii. C = {(, ) : = + < < }, ( ) = (, + ) = + ( + ) ( + ) t T = < <, Θα βρω τα κρίσιμα σημεία της t ( ) : t '( ) = 6 t '( ) = 6 = = 6 Από την εξίσωση του συνόρου υπολογίζω την τιμή του 5 = + =. 6 6 Συνεπώς, η τιμή της T(, ) στο ( ) 5, =, 6 6 είναι T 5 5, 6 6 = 6 () Τελικά, από τις () (), διαπιστώνω ότι το θερμότερο σημείο της πλάκας είναι το (, ) με θερμοκρασία T (, ) = 5 και το ψυχρότερο σημείο της πλάκας είναι το, με θερμοκρασία T, =.