η απόσταση d γίνεται ελάχιστη. Τα αντίστοιχα σημεία των καμπυλών είναι: P, P, , P, P, ( 2) ,

Transcript

1 Λύσεις Ασκήσεων ου Κεφαλαίου 45 και επειδή d x x = / = > η απόσταση d γίνεται ελάχιστη. Τα αντίστοιχα σημεία των καμπυλών είναι: και ( x ) = ( x x ) = P P, P,.58975,.478 x = x = ( x ) = ( x x ) = P ( ) P, P,.44,.478 x =.44 x =.44 και η ελάχιστη απόσταση είναι: ( ) ( ) ( ) ( ) d P, P = x x + x x =.579 x=.58975, x=.44 6) Θεωρούμε έναν μεταλλικό κυκλικό δίσκο με εξίσωση x + =. Ο δίσκος θερμαίνεται έτσι ώστε η θερμοκρασία Τ σε κάθε σημείο (x,) δίνεται από την σχέση: T(x,)=x + -x Βρείτε τα πιο θερμά και τα πιο ψυχρά σημεία του μεταλλικού δίσκου καθώς και τη θερμοκρασία τους. Λύση: Τα ακρότατα θα αναζητηθούν στο εσωτερικό του κυκλικού δίσκου και στην περιφέρεια του. α) Στο εσωτερικό του δίσκου. Ψάχνουμε να βρούμε που μηδενίζονται οι πρώτες παράγωγοι του Τ. Έχουμε: T x =x-=, T =4= (x,)=(/,)

2 46 Λύσεις Ασκήσεων ου Κεφαλαίου Χρησιμοποιούμε την ορίζουσα του Hess για να βρούμε το είδος του ακροτάτου: T x =, T =4, T x =, T x = H= = 8 4 f Επειδή H> και =>, το ακρότατο είναι ελάχιστο και το ελάχιστο x αυτό είναι T(/,)=-/4 β) Στην περιφέρεια του δίσκου. A Τρόπος: Μέθοδος των πολλαπλασιαστών του Lagrange. Έχουμε: ( ) λ ( ) F = x + x + x + F = ( x x) λ ( x ) x i + + ( x + x) + λ ( x + ) = j x + λx = () 4+ λ = () Από την σχέση () διακρίνουμε δυο περιπτώσεις: α) Εάν = τότε από την σχέση x + = έχουμε x=±. Τα κρίσιμα σημεία είναι: ( x, ) = ( ±,) με αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης T T, = και, =. β) Εάν τότε από την () προκύπτει λ=- (). Η () με την βοήθεια της () γράφεται x 4x= x= (4) και από την σχέση x + = βρίσκουμε το : + = = =± 4 4 Άρα τα κρίσιμα σημεία είναι ( x) συνάρτησης:, =, ± με αντίστοιχες τιμές της

3 Λύσεις Ασκήσεων ου Κεφαλαίου T,, T, = = 4 4 Με την μέθοδο των πολλαπλασιαστών του Lagrange τα ακρότατα πάνω στην περιφέρεια x + = είναι: 9 9 T(, ) =, T(, ) =, T,, T, = = 4 4 Β τρόπος: Χρησιμοποιούμε τις συνήθεις παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου: x = cos t, = sin t, οπότε η θερμοκρασία T ( x, ) γράφεται σαν συνάρτηση του t: T cos t,sin t = cos t+ sin t cost = + sin t cost Βρίσκουμε τα ακρότατα με τον συνήθη τρόπο: sin tcost sin t sin t, cost = + = = = ) sint = t =, t = π ) 4 cos t = t = π, t = π α) Για t = x= cos=, = sin=. Ακρότατο σημείο (,)

4 48 Λύσεις Ασκήσεων ου Κεφαλαίου β) Για t = π x= cosπ =, = sinπ =. Ακρότατο σημείο (-,) α) Για t = π x= cos π =, = sin π =. Ακρότατο σημείο, β) Για t = π x= cos π =, = sin π =. Ακρότατο σημείο, Χαρακτηρισμός των ακροτάτων χρησιμοποιώντας την δεύτερη παράγωγο: Έχουμε: cos sin cos = t t+ t. Επομένως α) Για το ακρότατο σημείο (,), που αντιστοιχεί για t =, έχουμε: () t t t t= t= = cos sin + cos = + = > άρα το σημείο (,) T, =. είναι σημείο ελαχίστου με ελάχιστο β) Για το ακρότατο σημείο (-,), που αντιστοιχεί για t = π, έχουμε: () cos t sin t cost t=π t=π = + = + = > άρα το σημείο (-,) T, =. είναι σημείο ελαχίστου με ελάχιστο α) Για το ακρότατο σημείο έχουμε:, cos t sin t cost, που αντιστοιχεί για = + = < άρα το 9 σημείο μεγίστου με μέγιστο T, =. 4, t = π, είναι

5 β) Για το ακρότατο σημείο έχουμε: () Λύσεις Ασκήσεων ου Κεφαλαίου 49,, που αντιστοιχεί για cos sin cos t = π, = t t+ t = < άρα το σημείο 9, είναι σημείο μεγίστου με μέγιστο T, =. 4 Γ τρόπος: Από την εξίσωση του κύκλου: x + = λύνουμε ως προς =-x, (επειδή ο τύπος της θερμοκρασίας Τ δεν περιέχει ) και αντικαθιστούμε στον τύπο του Τ: T( x) = x + ( x ) x=x x+ =x = x=/ dx και από την σχέση x + = βρίσκουμε =±. Επομένως τα ακρότατα σημεία είναι, ±. Επειδή δε = < τα σημεία αυτά είναι dx σημεία μεγίστου. Οι αντίστοιχες τιμές των μεγίστων είναι: 9 T, = 4 και 9 T, =. 4 Όμως ακρότατα πρέπει να αναζητήσουμε και στα άκρα του διαστήματος [-,] μεταβολής του x. Όταν το x=- ή το είναι. Επομένως ακρότατα έχουμε στα σημεία (-,) και (,), τα οποία είναι σημεία ελαχίστου επειδή παρεμβάλλονται μεταξύ των σημείων,,,, που είναι σημεία μεγίστου. Οι αντίστοιχες τιμές των ελαχίστων είναι: T, =, T, =. Δ τρόπος: Εάν από την εξίσωση του δίσκου x + = λύσουμε ως προς x θα έχουμε x =± και αντικαθιστώντας στον τύπο του Τ, βρίσκουμε: T+ = + = + για x = +

6 4 Λύσεις Ασκήσεων ου Κεφαλαίου T = + + = + + Εύρεση των ακροτάτων x = + = = + = (A) d = + = = (B) d α) Εάν = τότε x = ± και τα ακρότατα σημεία είναι (, ) ±. Υπολογίζουμε την δεύτερη παράγωγο του Τ για τον χαρακτηρισμό των ακροτάτων αυτών σημείων: + d = + + ( ) ( ) = + + d = ( ) ( ) = Για = έχουμε d = + = >, = = > + d = = Επομένως τα ακρότατα ( ±, ) είναι σημεία ελαχίστων με Τ(,)= και Τ(-,)=. β) Εάν τότε από τον μηδενισμό της πρώτης παραγώγου + = + = προκύπτουν μιγαδικές τιμές για το και η περίπτωση d αυτή, που αντιστοιχεί για μόνο x =. Τώρα λύνουμε την εξίσωση: x = απορρίπτεται. Επομένως θα έχουμε = = d 4 = = 4 4 =

7 Λύσεις Ασκήσεων ου Κεφαλαίου 4 = =± και 4 x= = =. 4 Επομένως τα ακρότατα σημεία είναι, ±. Υπολογίζουμε το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου για τον χαρακτηρισμό των ακροτάτων: d =± = ( ) = = 6< 4 4 =± 4 Άρα τα ακρότατα σημεία είναι σημεία μεγίστου. 4 7) Δίνεται η επιφάνεια S, που ορίζεται από την εξίσωση: z = g( x, ) =. Να βρεθούν τα σημεία της S που είναι πλησιέστερα στην x αρχή των αξόνων. Λύση: Η απόσταση του σημείου (x,,z) από την αρχή (,,) δίνεται από την έκφραση: d = x + + z Εάν (x,,z) S, τότε η d εκφράζεται σαν μια συνάρτηση δυο μεταβλητών: dx (, ) = x+ + x Η συνάρτηση d τείνει στο άπειρο όταν τα x, πλησιάζουν το μηδέν ή τείνουν στο άπειρο. Έτσι φαίνεται λογικό η συνάρτηση d να παίρνει μια ελάχιστη τιμή για κάποιες μη μηδενικές πεπερασμένες τιμές των x και. Η d ελαχιστοποιείται όταν το υπόριζο ελαχιστοποιείται. Θέτουμε: f ( x, ) = x + + x