ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ Ακρότατα Δρ. Ιωάννης Ε. Λιβιέρης Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. TEI Δυτικής Ελλάδας

2 2 Ακρότατα συνάρτησης Έστω συνάρτηση f A R 2 R και ένα σημείο P(x, y ) A. Η τιμή f(x, y ) καλείται Ολικό (ή απόλυτο) μέγιστο στο Α, αν και μόνο αν ισχύει f x, y f (x, y) για κάθε (x, y) A. Oλικό (ή απόλυτο) ελάχιστο στο Α, αν και μόνο αν ισχύει f x, y f (x, y) για κάθε (x, y) A. Και στις δύο περιπτώσεις, το σημείο (x, y ) αποτελεί σημείο ολικού (ή απόλυτου) ακροτάτου.

3 3 Ακρότατα συνάρτησης Εάν η συνθήκη της περίπτωσης (α) ((β)) ισχύει μόνο για τα σημεία (x,y) που ανήκουν σε μια περιοχή ϖ(x,y ) A του (x,y ), τότε η τιμή f (x,y ) αποτελεί τοπικό ή σχετικό μέγιστο (ελάχιστο). Και στις δύο παραπάνω περιπτώσεις, το σημείο (x,y ) αποτελεί σημείο τοπικού (ή σχετικού) ακροτάτου.

4 4 Ακρότατα συνάρτησης Ολικό μέγιστο Τοπικά μέγιστα

5 5 Κριτήριο 1 ης παραγώγου Αν μια συνάρτηση f (x, y) είναι παραγωγίσιμη στο εσωτερικό σημείο (x, y ) και έχει τοπικό ακρότατο σ αυτό, τότε ισχύει f x (x, y ) = fy(x, y ) = απ όπου συνεπάγεται ότι f x, y = Τα σημεία στα οποία μηδενίζεται η κλίση μιας συνάρτησης ή δεν υπάρχει τουλάχιστον μία από τις f x, fy, λέγονται στάσιμα ή κρίσιμα σημεία της συνάρτησης.

6 6 Παρατηρήσεις Αν το (x, y ) είναι στάσιμο σημείο μιa παραγωγίσιμης συνάρτησης, τότε εκεί το εφαπτόμενο επίπεδο της επιφάνειας z = f (x, y) είναι παράλληλο προς το επίπεδο Oxy, δηλ. της μορφής z = z (χωρίς, ωστόσο, το σημείο να είναι απαραίτητα ακρότατο).

7 7 Σαγματικά σημεία Αν μια συνάρτηση f(x, y) σε ένα στάσιμο σημείο (x, y ) δεν έχει τοπικό ακρότατο, τότε το σημείο ονομάζεται σαγματικό. f (x,y) = x 2 + y 2 + 4xy Σε κάθε περιοχή ενός σημείου (x, y ) όπου αντιστοιχεί ένα σαγματικό σημείο μια συνάρτησης f, υπάρχουν σημεία κοντά στο (x,y ) όπου f x, y f(x, y ), αλλά και σημεία όπου f x, y f(x, y )

8 8 Κριτήριο 2 ης παραγώγου Έστω συνάρτηση f A R 2 R, με συνεχείς παραγώγους μέχρι και 2 ης τάξης σε μια περιοχή του εσωτερικού σημείο (x, y ) A, όπου f x (x, y ) = fy(x, y ) = Θέτουμε D f (x,y )f (x,y ) f 2 (x,y ). xx yy xy Αν D >, f xx (x,y ) >, η f έχει τοπικό ελάχιστο στο (x,y ). Αν D >, f xx (x,y ) <, η f έχει τοπικό μέγιστο στο (x,y ). Αν D <, το σημείο είναι σαγματικό. Αν D =, μπορεί να συμβαίνει οποιαδήποτε περίπτωση. D f xx (x,y ) f yx (x,y ) f xy (x,y ) f yy (x,y ) Ορίζουσα του πίνακα του Hess

9 9 Γεωμετρική Ερμηνεία Η συνθήκη D > σημαίνει πώς όλες οι παραπάνω καμπύλες στρέφουν τα κοίλα προς τα πάνω, ή όλες προς τα κάτω (ανάλογα με το πρόσημο της f xx ).

10 1 Αναζήτηση ολικών ακροτάτων Εντοπίζονται τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης στα εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού. Υπολογίζονται οι τιμές τις συνάρτησης στα κρίσιμα σημεία. Εντοπίζονται (αν υπάρχουν) τα κρίσιμα σημεία στο σύνορο του πεδίου ορισμού της και υπολογίζονται οι αντίστοιχες τιμές. Συγκρίνονται οι υπολογισμένες τιμές και εντοπίζονται η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή.

11 11 Δεσμευμένα ακροτάτα Ως δεσμευμένα χαρακτηρίζονται τα ακρότατα μιας συνάρτησης, της οποίας οι μεταβλητές πληρούν κάποιες δεσμεύσεις/περιορισμούς. Παράδειγμα: Να βρεθεί το ολικό μέγιστο της f x, y = x 2 + 2y 2 για τα σημεία που ικανοποιούν την εξίσωση 2x 2 + y 3 2 = 1

12 12 Δεσμευμένα ακροτάτα Διατύπωση προβλήματος: Αναζητούμε τα σημεία στα οποία μια συνάρτηση z = f (x, y) παίρνει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή, με την προϋπόθεση ότι τα σημεία αυτά αποτελούν ταυτόχρονα σημεία μιας καμπύλης C: g(x, y) = του επιπέδου Oxy.

13 13 Αναγκαίες συνθήκες Αν η καμπύλη C περιγράφεται από τις εξισώσεις x = x(t), y = y(t) τότε είναιf (x, y) = f (x(t), y(t)) = h(t), οπότε dh f dx f dy f f, dx dy dt x dt y dt x y, dt dt f r Αν το σημείο Ρ είναι ακρότατο υπό συνθήκη της f, τότε Εφαπτόμενο Διάνυσμα dh dt P f r P P δηλ. σε αυτήν την περίπτωση το διάνυσμα f κάθετο στην καμπύλη C στο σημείο P. P είναι

14 14 Αναγκαίες συνθήκες Επιπλέον, το διάνυσμα g είναι κάθετο στην καμπύλη C P στο σημείο P Συνεπώς τα διανύσματα f P, g P δηλ. υπάρχει λ 1 R, τέτοιο ώστε f λ P 1 g f λg P P P είναι παράλληλα μεταξύ τους, Ορίζοντας τη συνάρτηση Φ(x,y,λ) = f (x,y) + λg(x,y), τα υποψήφια σημεία δεσμευμένων ακροτάτων προκύπτουν από τη λύση του συστήματος Φ x (x,y) = Φ y (x,y) = Φ λ (x,y) = Πολλαπλασιαστής Lagrange

15 15 Κριτήριο 2 ης παραγώγου Περίπτωση z = f (x,y), με περιορισμό g(x,y) =. Ικανή συνθήκη για να αποτελεί τοπικό μέγιστο το σημείο (x,y ), όπου x, y, λ μια λύση του συστήματος Φ x = Φ y = Φ λ = (όπου Φ = f + λg), είναι D(x,y,λ ) > όπου Φ xx Φ xy g x D(x,y,λ ) Φ Φ g yx yy y g x g y (x,y,λ )