Μέγιστα & Ελάχιστα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ

Transcript

1 ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Μέγιστα & Ελάχιστα

2 1 μεταβλητή: Τύπος Taylor Aν y=f(x) είναι καλή συνάρτηση f '( a) f ''( a) f ( a) f x f a x a x a x a R x 1!! n! n + 1 f ( c) n + 1 Rn ( x) = ( x a), a<c< x ( n + 1)! n ( ) = ( ) + ( ) + ( n ) ( ) + n ( ) πχ. f x = e e = x 0.7 ( ),? Eφαρμόζω το Θ. Taylor n=5, a=0 5 6 f (0) f ''(0) f (0) f ( c) f(0.7)= f (0) + (0.7) + (0.7) (0.7) + (0.7) 1!! 5! 6! 6 6 c f ( c) 6 3i0.7 0 < c < 1 1< e < 3 (0.7) < 6! 6! f ( c) 6 3i0.7 e m = (0.7) < 6! 6! 5 6

3 Ακρότατα συνάρτησης Aν f είναι καλή συνάρτηση (παραγ. - συνεχής) f ( x) = f ( a) + f '( a) f ''( c) ( x a) + ( x a),a<c< x 1!! y( x) = f ( a) + f '( a) ( x a), εξίσωση εφαπτομένης 1! Υποθέτω f''(a)>0 Έστω g(x)=f''(x), συνεχής g(a)>0. Λόγω συνέχειας υπάρχει γειτονιά Δ του a τ.ώ. x Δ g( x) > 0 f ''( x) > 0 Άρα x Δ, f ''( c) ( x a) 0 R1 ( x) > 0! y f(x) x f ( x) y( x), x Δ To γράφημα της f είναι πάνω από την εφαπτομένη στο (a,f(a)) Ομοίως αν f''(a)<0 To γράφημα της f είναι κάτω από την εφαπτομένη στο (a,f(a)) Αν f''(a)=0, κανένα συμπέρασμα 3

4 Τοπικά Ακρότατα y f(x) f : U x a τοπικό ελάχιστο αν υπάρχει γειτονιά Δ(a) τ.ώ. x Δ( α ) f (x) f(a) a τοπικό μέγιστο αν υπάρχει γειτονιά Δ(a) τ.ώ. x Δ( α ) f (x) f(a) Αν a τοπικό ακρότατο (δηλ. μέγιστο ή ελάχιστο) τότε f '( a) = 0 Αν f '( a) = 0 1) f ''( a) < 0, a τοπικό μέγιστο ) f ''( a) > 0, a τοπικό ελάχιστο 3) f ''( a) = 0??? 4

5 μεταβλητές: Τύπος Taylor Aν f : U είναι καλή συνάρτηση Εφαπτόμενο επίπεδο f( xy, ) = f( ab, ) + ( ab, ) i( x a) + ( ab, ) i( y b) + R1 ( xy, ) x y 1 f f f R1( x, y) = ( ( c 1, c)( i x a) + ( c1, c)( i x a)( i y b) + ( c 1, c)( i y b) ) x x y y π.χ. x f ( x, y) = ( y + 1) e,( a, b) = (0,0) f ( x, y) = f (0,0) + (0,0) i( x) + (0,0) i( y) + R1 ( x, y) x y... 5

6 μεταβλητές: Τύπος Taylor f( xy, ) = f( ab, ) + ( ab, ) i( x a) + ( ab, ) i( y b) + R1 ( xy, ) x y α β γ 1 f f f R1( x, y) = ( ( c 1, c)( i x a) + ( c1, c)( i x a)( i y b) + ( c 1, c)( i y b) ) x x y y x a y b z = y b του πολυωνύμου R ( z) = α z + β z + γ Διαιρώ με το ( ) και θέτω και εξετάζω το πρόσημο 1 4β 4αγ = 4( β αγ ) Δ= αγ β α > 0 R( z) > 0 Aν Δ> 0 α < 0 R( z) < 0 Aν Δ < 0 αλλαγή προσήμου y α > 0 R( z) 0 Aν Δ= 0 τέλειο τετράγωνο α < 0 R( z) 0 6 x

7 Κριτήριο β παραγώγου Aν f : U (a,b) U είναι τοπικό ελάχιστο αν υπάρχει γειτονιά Δ(a,b) τ.ώ. ( x, y) Δ( α ) f (x,y) f(a,b) (a,b) U είναι τοπικό μέγιστο αν υπάρχει γειτονιά Δ(a,b) τ.ώ. ( x, y) Δ( α ) f (x,y) f(a,b) Aν (a,b) U είναι τοπικό ελάχιστο ή μέγιστο τότε το εφαπτόμενο επίπεδο στο (a,b) είναι με το xy-επίπεδο διάνυσμα στο εφ. επίπεδο ( ( ab, ), ( ab, ), 1) x y ( ab, ) τοπικό ακρότατο ( ab, ) = ( ab, ) = 0 x y Κρίσιμα Σημεία 7

8 Κριτήριο για τοπικά ελάχιστα/μέγιστα Aν ( ab, ) = ( ab, ) = 0 x y f f f Δ= ( ab, ) i ( ab, ) ( ( ab, )) 1) Aν Δ> 0 x y x y f x f x ( ab, ) > 0 (a,b) είναι τοπικό ελάχιστο, το γράφημα πάνω από εφ. επ. ( ab, ) < 0 (a,b) είναι τοπικό μέγιστο, το γράφημα κάτω από εφ. επ. ) Δ< 0 τότε το (a,b) αντιστοιχεί σε σημείο "σαμαριού" 3) Δ= 0 κανένα συμπέρασμα 8

9 Τοπικά ελάχιστα/μέγιστα f ( x, y) = x + y Βρες τα κρίσιμα σημεία 3 3 f ( x, y) = x + y + 3xy Βρες τα κρίσιμα σημεία ( x, y) = x x ( x, y) = y y f x f ( x, y) = ( x, y) = y f x y ( x, y) = 0 Κρίσιμα σημεία: ( x, y) = ( x, y) = 0 ( x, y) = (0,0) x y f f f f Δ= (0,0) i (0,0) ( (0,0)) = 4 > 0, (0,0) > 0 (0,0) τοπικό ελάχιστο x y x y x 9

10 Τοπικά ελάχιστα/μέγιστα f : n ( x,..., x ) τοπικό ακρότατο f ( x,..., x ) = 0 1 n 1 n Εσσιανός (Hessian) Αν Η + ορισμένος ( >0 και det(h)>0) τότε έχουμε τοπικό ελάχιστο Αν Η - ορισμένος ( <0 και det(h)>0) τότε έχουμε τοπικό μέγιστο 10

11 Κρίσιμα σημεία f ( x, y) x y xy = + x f ( x, y) = e cos y f ( x, y) = ysin x 11

12 ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Προσδιορισμός ολικού μέγιστου/ελάχιστου

13 Ακρότατα σε κλειστό πεδίο ορισμού (1 μεταβλητή) f :( a, b) Δεν έχει κατ' ανάγκη ολικό ελάχιστο ή μέγιστο y f a b x f :[ a, b], συνεχής - παραγωγίσιμη Η f λαμβάνει ολικό ελάχιστο, μέγιστο είτε στο (a,b) είτε στο a ή στο b. Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία (μαζί με f(a), f(b)) και συγκρίνουμε τιμές. π.χ f x = x + x x ( ) 5-4, [,5] Κρίσιμα σημεία f '( x) = 0 x = 5 x =.5 ( απορ.) f () = 10 f (5) = 46 a b Οπότε ελάχιστο στο x =, μέγιστο στο x = 5. f x 13

14 Ακρότατα σε κλειστό πεδίο ορισμού ( μεταβλητές) y D f D D :, D κλειστό φραγμένο ο : εσωτερικό του D (αντίστοιχο του (a,b)) D: σύνορο του D (αντίστοιχο του a,b) D o ϑd x Αν f συνεχής και παραγωγίσιμη στο D λαμβάνει ολικό μέγιστο και ελάχιστο Τρόπος υπολογισμού Βρίσκεις τα κρίσιμα σημεία στο D Περιορίζεις τη συνάρτηση στο D οπότε η f γίνεται συνάρτηση μιας μεταβλητής σε κλειστό διάστημα. Βρίσκουμε ολικό μέγιστο, ελάχιστο. ο a b 14

15 Ακρότατα σε κλειστό πεδίο ορισμού ( μεταβλητές) f ( x, y) = 3x + 5y Λύση D = x y x + y {(, ) : 1} κλειστός μοναδιαίος δίσκος D x y x + y < ο ={(, ) : 1} D x y x + y = ={(, ) : 1} Κρίσιμα σημεία στο D (0,0) f(0,0)=0 Περιορίζεις την f στο D. ϕ :[0, π ] t (cos t,sin t) F() t = f ϕ () t = 3cos ο t + 5sin t = 3+ sin t, t [0, π ] 0 π Κρίσιμα σημεία στο [0,π] F '( t) = 4 cos tsin t, t (0, π ) F '( t) = 0, t = π / F( π / ) = 5, t = π F( π ) = 3, t = 3 π / F(3 π / ) = 5 {0,π}: F(0) = 3, F( π ) = 3 Ο λικό μέγιστο έχω στα σημεία (0,1) (για t= π / ) και (0,-1) (για t=3 π / ) με τιμή το 5 Ολικό ελάχιστο έχω στο σημείο (0,0) με τιμή το 0 15

16 Ακρότατα σε κλειστό πεδίο ορισμού ( μεταβλητές) f ( x, y) = ( x + y ) Λύση 4 D = x y x + y {(, ) : 1} κλειστός μοναδιαίος δίσκος D x y x + y < ο ={(, ) : 1} D x y x + y = ={(, ) : 1} Κρίσιμα σημεία στο D ο Περιορίζεις την f στο D. ϕ :[0, π ] t (cos t,sin t) 0 π 16

17 Ακρότατα σε κλειστό πεδίο ορισμού ( μεταβλητές) f ( x, y) = + x + y x y Λύση Κρίσιμα σημεία στο... D Περιορίζεις την f στο D... 3 περιπτώσεις ο A (0,5) D B (0,0) x+y=5 Γ (5,0) 17

18 Ακρότατα σε κλειστό πεδίο ορισμού ( μεταβλητές) f ( x, y) = + x + y x y A (0,1) Γ (-1,0) B(1,0) Matlab: figure; ezplot3('cos(t)','sin(t)','+cos(t)+sin(t)-(cos(t))^-(sin(t))^'); hold on; ezplot3('t','1-t','+t+1-t-t^-(1-t)^',[0 1]); %AB hold on; ezplot3('t','1-t','+t+1-t-t^-(1-t)^',[0 1]); %AB %ΑΓ %ΓΒ hold on; ezmesh('+x+y-x^-y^',[-1 1], [-1 1]); 18

19 ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Πολλαπλασιαστές Lagrange

20 Ακρότατα υπό συνθήκη y U Aν f : U Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της f σε μια καμπύλη g(x,y)=0. g r(): t x t ( x( t), y( t)) f ( r( t)) = f ( x( t), y( t)) df Ορισμός p κρίσιμο ( t0 ) = 0 dt df dx dy Από κανόνα αλυσίδας ( t0) = ( p) i ( t0) + ( p) i ( t0) = f ( p) ir '( t0) dt x dt y dt p κρίσιμο f ( p) ir '( t ) = 0 f ( p) r '( t ) 0 0 Όταν η καμπύλη δίδεται από τη g(x,y)=0 τότε g( p) r '( t ) άρα f ( p) / / g( p) f ( p) = λ g( p), (λ πολλαπλασιαστές lagrange) *Αν λ = 0, ισχύει πάλι πως είμαι σε κρίσιμο σημείο. g 0 0 0

21 Ακρότατα υπό συνθήκη f ( x, y) = 3x + 5y (, ) = + 1= 0 Κρίσιμα σημεία της f επί της g g x y x y Έστω ( x, y) κρίσημο σημείο τότε έχουμε: f =< 6 x,10y > g =< x,y > f ( x, y) = λ g( x, y) x + y 1= 0 Matlab: figure; ezplot3('cos(t)','sin(t)','3*(cos(t))^+5*(sin(t))^'); hold on; ezmesh('3*x^+5*y^',[-1 1], [-1 1]); Να βρεθεί η απόσταση του Ο(0,0,0) από το x+y+3z=1. min ( x 0) + ( y 0) + ( z 0) d( x, y, z) = x + y + z d =< x, y,z > g =< 1,, 3 > Έστω p = ( x, y) κρίσημο σημείο τότε έχουμε: d( p) = λ g( p) x+y+3z=1 1

22 Ακρότατα υπό συνθήκη Να μεγιστοποιηθεί ο όγκος κυλίνδρου δοσμένης επιφάνειας c. V ( r, h) = π r h S r h = πr + πrh = c (, ) V rh, r =< π π > S =< 4πr + πh,πr > r h V ( p) = λ S( p) πr + πrh = c

23 Ακρότατα υπό συνθήκη Να μεγιστοποιηθεί ο όγκος κυλίνδρου εγγεγραμμένου στη μοναδιαία σφαίρα. V ( r, h) = π r h g r h = h + r = (, ) 1 0 V 4 πrh,πr =< > g =< r,h > h 1 r Ο(0,0) V ( p) = λ g( p) h + r = 1 3

24 Ακρότατα υπό συνθήκες Aν : 3 f U Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της f επί των g(x,y,z)=0 και g (x,y,z)=0 (τομή επιφανειών δίνει καμπύλη). 1 y g U Ερώτημα:Περιορίστε την f στην g βρείτε τα κρίσιμα σημεία. 1 Προηγουμένως P κρίσιμο σημείο όταν f ( p) στην εφαπτομένη της καμπύλης. Τα g ( p) και g ( p) είναι κάθετα στην εφαπτομένη της καμπύλης. 1 Επομένως, το f ( p) αρκεί να ανήκει στο επίπεδο που ορίζουν τα g ( p) και g ( p), f ( p) = λ1 g 1 p + λ g p λ 1 λ ( ) ( ), (, πολλαπλασιαστές lagrange) 1 x 4

25 Ακρότατα υπό συνθήκη Να βρεθεί το σημείο τομής των επιπέδων που είναι πιο κοντά στο Ο(0,0,0) x+3z=10, x+y+z=1. min ( x 0) + ( y 0) + ( z 0) d( x, y, z) = x + y + z d =< x, y,z > g =< 1, 0, 3 > 1 g =<,1,1 > d( p) = λ1 g1( p) + λ g( p) x+ y+z=1 x+3z=10 5

26 Ακρότατα υπό συνθήκη f x y x xy y D x y x y 4 (, ) = + +, = {(, ) + 1} Βρείτε τα ακρότατα της f. a D x y x + y < ο 4 )κρίσιμα σημεία στο ={(, ) : 1} f =< x + y,y + x > x + y = 0 ο f ( x, y) = 0 x = y = 0 D f(0,0)=0 y + x = 0 β 4 )κρίσιμα σημεία στο ={(, ) : 1} g( x, y) x y 4 = + 1 D x y x + y = f ( p) = λ g( p) 4 x + y = 1 6

27 ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Πεπλεγμένες Συναρτήσεις

28 Θεώρημα πεπλεγμένων συναρτήσεων Θε ώ ρημα πεπλεγμένων συναρτήσεων x y π.χ. + 1 = 0 : G 4 (,0) Ερώτημα: Γύρω από ποια σημεία P=(x,y ) G η καμπύλη παριστά γράφημα συνάρτησης ως προς x, δηλαδή υπάρχει γειτονιά Δ(x ) τ.ώ. Δ(x ) x f ( x) 0 Πρόβλημα έχω στα σημεία Q όπως το (,0) για τα οποία η εφαπτομένη του γραφήματος στο Q είναι // με τον y άξονα ή ισοδύναμα η κάθετη της καμπύλης στο Q είναι στον y άξονα. Αν η G δίδεται από μια εξίσωση g(x,y)=0 τότε η στο P=(x,y ) είναι g (x,y )

29 Θεώρημα πεπλεγμένων συναρτήσεων Αν η g(x,y) παριστά καμπύλη G στο επίπεδο τότε τα σημεία Q(x,y ) γύρω από τα οποία η Γ δε παριστά γράφημα συνάρτησης είναι 0 0 αυτά που το g (x,y ) στον y άξονα. 0 0 g g g (x 0,y 0) =< (x 0,y 0), (x 0,y 0) > x y g Άρα υπάρχει πρόβλημα με τα σημεία (x 0,y 0) = 0. y (,0) x y π.χ. g(x,y)= + 1 = 0 : G 4 g + + (x 0,y 0) = 0 y = 0 x =,( x, y) = (,0) y 9

30 Θεώρημα πεπλεγμένων συναρτήσεων Έστω f(x,y)=0 καμπύλη και P(x 0,y 0) τ.ώ. (x 0,y 0) 0 y dy Έστω y=y(x) σε γειτονιά του P. Βρες ; dx z=f(x,y) df dx dy dy Θεωρώντας f(x,y(x))=0 0= x = + = y=y(x) dx x dx y dx dx y dy Στο παράδειγμα = dx x / x =- y y Γενικότερα αν f(x,y,z)=0 ορίζει επιφάνεια S πάρε P(x,y,z ), θέλω να βρω z=z(x,y), πρόβλημα έχω στα σημεία Q για τα οποία f ( Q) είναι κάθετο στο z άξονα (Q)=0. z 30

31 Θεώρημα πεπλεγμένων συναρτήσεων 3 3 z -xy+yz+y =0(1). Σε ποια σημεία έχω πρόβλημα z =0 3z 0 3z () + y = y = z=0 και y=0, x ( a,0, 0), a (1) () z + z 7a + a, (, 3, ), x = a a a 3 3 z f = z( x, y) ( x, y, z( x, y)) = 0 Γενικά αν f(x,..,x,z)=0 1 n f(x,z)=0 και P=(X,z) με f(p) = 0. Τότε γύρω από το P μπορώ να παραστήσω συνάρτηση z=z(x 1,..,x n) αν ( P ) 0 z 0 31

32 Υπενθύμιση από γραμμική άλγεβρα a11 a1... a1n c1 x1 a1 a... an c x A x = c, A =,c=, x= a a... a c x n1 n nn n n Αν det(α) 0 τότε έχω μοναδική λύση που εξαρτάται από το c, A. y1 Έστω το σύστημα A x = y, y y y n Αν det(α) 0 τότε έχω μοναδική λύση =, y μεταβλητή f1( x1,..., xn ) = y1 Εάν P(X 0,Y 0) ικανοποιεί το σύστημα, τότε Γενικότερα αν... γύρω από το P μπορώ να επιλύσω ως προς x1,..., fn( x1,..., xn) = y n i αν det( (X 0 )) 0 x j x n 3

33 Παράδειγμα x + xyz = u 1 + yz xz xy i π.χ. y + xy = v det( (X 0 )) = det y 1 x 0 x + j z x 3z w 0 1 6z + + = + Έστω P = (1,1,1), y = (,, 6) i det( (X 0 )) = 17. Άρα υπάρχει γειτονιά Δ(,,6) ώστε για (u 0,v 0,w 0) Δ x j μπορώ να γράψω x=x( u,v,w ),y=y(u,v,w ),z=z(u,v,w ) και να λύσω το σύστημα

34 Υπενθύμιση από γραμμική άλγεβρα f1( x1,..., xn, y1,..., ym) = 0 Εάν P(X 0,Y 0) ικανοποιεί το σύστημα, τότε Γενικότερα αν... γύρω από το P μπορώ να επιλύσω ως προς x1,..., x fn( x1,..., xn, y1,..., ym) 0 = i αν det( (P)) 0 x j n 3 xu+ xyv+ w= 0 3x u + y v xyv i π.χ. det( (X 0 )) = det x w + yv = 0 x j xw v Έστω P = (1,1,1,1, ) i det( (P)) = 16. Άρα υπάρχει γειτονιά Δ(1,1,-) ώστε για (x,y) Δ x j μπορώ να γράψω x=x(u,v,w ),y=y(u,v, w ),z=z(u,v,w ) και να λύσω το σύστημα

35 ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Επίλυση Συστημάτων με χρήση Matlab

36 Επίλυση συστημάτων με χρήση Matlab A x = b Παράδειγμα x+y+3z = 1 x+y+3z = 4x+5y+z = 3 A = [1 3; 1 3; 4 5 1]; b = [1 3]'; det(a) x = inv(a)*b 36

37 Επίλυση συστημάτων με χρήση Matlab Λύσεις εξίσωσης (π.χ. από συστήματα με χρήση πολλαπλασιαστών Lagrange) Πρόβλημα: Υπολόγισε τις λύσεις της εξίσωσης cos(*x)+sin(x)=1. Λύση: s = solve('cos(*x)+sin(x)=1') s = [ 0] [ pi] [ 1/6*pi] [ 5/6*pi] 37

38 Επίλυση συστημάτων με χρήση Matlab Υπολόγισε τις λύσεις του συστήματος x 6 +y 6 = 1 x+y = 1 Λύση: figure; ezplot('x^6+y^6-1',[- ],[- ]); hold on; ezplot('x+*y- 1',[- ],[- ]); A = solve('x^6 + y^6= 1 ', 'x + *y = 1') A = x: [6x1 sym] y: [6x1 sym] A.x A.y 38

39 Επίλυση συστημάτων με χρήση Matlab Υπολόγισε τις λύσεις του συστήματος z+x 6 +y 6 = 1 z+x+y = 1 *z-x-y = 1 Λύση: figure; ezmesh('-x^6-y^6 + 1',[-1 1],[-1 1]); hold on; ezmesh('-x-*y+ 1',[-1 1],[-1 1]); hold on; ezmesh('0.5*(+x+y+ 1)',[-1 1],[-1 1]); A = solve('z+x^6 + y^6= 1 ', 'z+x + *y = 1','*z-x-y=1') A = x: [6x1 sym] y: [6x1 sym] A 39

40 Επίλυση συστημάτων με χρήση Matlab Αθροίσματα Πρόβλημα: Υπολόγισε το άθροισμα Λύση: syms x k s1 = symsum(1/k^,1,inf) s1 = 1/6*pi^ 40