ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ + 1+ = =

Transcript

1 ΚΕΦ. DTFT ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε το φάσµα δηλ. τον Μετασχ. Fourir ιακριτού Χρόνου (DTFT) για τα επόµενα σήµατα: α) x(n)δ(n)+δ(n-)+δ(n-) β) x(n)δ(n+)-δ(n-) γ) x(n)u(n+)-u(n-4) α) x(n)δ(n)+δ(n-)+δ(n-) ν x[n] n ν x[n] n + + β) x(n)δ(n+)-δ(n-) x[n] -jnω γ) x(n)u(n+)-u(n-4) n n - x[n] -jnω -jnω -j (-) ω -j(-ω + cosω + cosω + cosω -j(-ω + + -j ω -j(-ω -j ω - jsinω -.4 Eνα υψιπερατό φίλτρο έχει την εξής µορφή: y(n)-.9y(n-)+.x(n). Βρείτε την απόκριση συχνότητας για α)ω, και β)ωπ Υ(.9Υ( -iω Υ(. +.9 Για Για +.. ω ) ω π π) -iπ ( )

2 .5 Στό σχήµα.5 δίνεται το διάγραµµα ενός φίλτρου. Βρείτε την απόκριση συχνότητας και δικαιολογείστε τον "ζωνοδιαβατό" χαρακτήρα του φίλτρου. Τ Τ x[n] + Σχήµα.5 y[n] Από το διάγραµµα βρίσκουµε την εξίσωση διαφορών: y(n)x(n)+.9y(n-)-.8y(n-) Y(jj+.9Υ(j -.8Υ(j Υ(j j.9 j +.8 [(.9cosω +.8cos + (.9sinω.8sin ] / Στο διάγραµµα.5α φαίνεται η απόκριση συχνότητας που δικαιολογεί το φίλτρο ως ζωνοδιαβατό.?(?) db ????????????????????????? (Nyquist ) Σχήµα.5α

3 .7 Ενα γραµµικό σύστηµα χαρακτηρίζεται από την εξής εξίσωση διαφορών: y(n).8y(n-)+x(n) α)βρείτε την απόκριση συχνότητας β)υπολογείστε (και σχεδιάστε) την απόκριση y ss (n) στη σταθερή κατάσταση µε διέγερση: x(n)cos(.5πn)u(n) α) Από την εξ. ιαφορών έχουµε:.8 β) - j.577 Για ω.5π.5π) K j.5π.8 y ss 4.98cos(.5πn-.577)4.98cos(.5π(n-.4)).9 Να βρεθεί ο DTFT, X(, του σήµατος : x(n){ }. ειγµατοληπτείστε τον για ωkπ/4, k,,, και δείξτε ότι ταυτίζεται µε τον µετασχηµατισµό DFS της άσκησης.8. x[n] - jnω jω + j Ω για κ! ω ο!)++6 για κ! ω π/!π/) -+j κλπ + jω.. Εάν G ( είναι o DTFT, του σήµατος g (n), να υπολογισθεί ο DTFT για τα σήµατα g (n), g (n), g 4 (n) που φαίνονται στο σχήµα. g (n)g (n)+g (n-4)!g G +G 4 g (n)g (n-4)+g (-n+)!g 4 G + G (-j g 4 (n)g (n)+g (-n+7)!g 4 G + 7 G (-

4 g g n n g g 4 n n.. Μια εξίσωση διαφορών, αναπαράσταση της µεθόδου αριθµητικής ολοκλήρωσης του Simpson, δίνεται από την παρακάτω σχέση: y(n) y(n-) + /{x(n) + 4x(n-) + x(n-)}. Προσδιορίστε την απόκριση συχνότητας του παραπάνω φίλτρου. ΛΥΣΗ: Σχήµα. Με εφαρµογή του DTFT προκύπτει: Η ω ) Υ ( ω ) + 4 ( ω ) * Για ω είναι ω και για ωπ/ είναι ωπ/ /-.5dB. Επιβεβαίωση µε το MATLAB: 6 Magnitud (db) 4 Phas (dgrs) Normalizd Angular Frquncy ( π rads/sampl) Normalizd Angular Frquncy ( π rads/sampl) Απόκριση συχνότητας µέτρου και φάσης φίλτρου 4

5 Imaginary Part Ral Part Πόλοι, µηδενισµοί και κρουστική απόκριση φίλτρου.. Ο τύπος της τραπεζοειδούς ολοκλήρωσης µπορεί να αναπαρασταθεί σαν ένα IIR ψηφιακό φίλτρο µε την παρακάτω εξίσωση διαφορών: y(n) y(n-) +/ {x(n)+ x(n-)} µε y(-). Να προσδιορίστε την απόκριση συχνότητας του παραπάνω φίλτρου. ΛΥΣΗ: Με εφαρµογή του DTFT προκύπτει: ω ) ω ) Υ( ω ) * Για ω είναι ω και για ωπ είναι ωπ. Επιβεβαίωση µε το MATLAB: 5 Ma gni tud (d B) Normalizd Angular Frquncy ( π rads/sampl) Ph as -9 (d gr s) Normalizd Angular Frquncy ( π rads/sampl) Απόκριση συχνότηταςµέτρου και φάσης φίλτρου 5

6 Imaginary Part Ral Part Πόλοι, µηδενισµοί και κρουστική απόκριση φίλτρου. Θεωρείστε ένα LTI σύστηµα διακριτού χρόνου µε κρουστική απόκριση που δίνεται από τη σχέση: h(n)(.5) n u(n). Καθορίστε την απόκριση συχνότητας ) του συστήµατος και προσδιορίστε την τιµή της για ω±π/4. Ποιά είναι η σταθερή κατάσταση y(n) του συστήµατος για είσοδο x(n)cos(πn/4)u(n) ΛΥΣΗ: Η κρουστική απόκριση του συστήµατος είναι: h(n){,.5,.5,.5, } Με εφαρµογή του DTFT έχουµε: H ( (.5 ) + (.5 ) +... ) και η τιµή της για ω±π/4 είναι: ωπ/4 ω-π/4.78 ω.5 Με την εφαρµογή του σήµατος x[n]cos(πn/4)u[n] στη σταθερή κατάσταση το πλάτος προκύπτει π/4).78 και η φάση θ-8.67 ή.5 rad. ηλαδή είναι:y ss.78 cos[(nπ/4)-.5]. Επιβεβαίωση µε το MATLAB: Magnitud (db) Normalizd Angular Frquncy ( π rads/sampl) Phas (dgrs) Normalizd Angular Frquncy ( π rads/sampl) Απόκριση συχνότητας µέτρου και φάσης φίλτρου 6

7 Imaginary Part Ral Part Πόλοι, µηδενισµοί και κρουστική απόκριση φίλτρου..4 Nα βρεθεί η απόκριση συχνότητας (DTFT) του ψηφιακού συστήµατος (φίλτρου) που περιγράφεται από την ακόλουθη εξίσωση διαφορών: y(n)-.85y(n-)+.5x(n)y(n)-.85y(n-)+.5x(n) Υ(-.85 Υ(+.5! Υ(+.85 Υ(.5! Υ([+.85 ].5! Y(