Filter Design - Part IΙI. Νοέµβριος 2005 ΨΕΣ 1

Transcript

1 Filter Design - Part IΙI Νοέµβριος 5 ΨΕΣ

2 Designing a filter : define H( & translate it into Difference Equation Νοέµβριος 5 ΨΕΣ

3 Τύποι φίλτρν Τα 4 βασικά είδη φίλτρν είναι: Η =. Βαθυπερατό ή κατπερατό (Low-pass. Υψιπερατό ή ανπερατό Η Η = (α (β (High-pass 3. Ζνοδιαβατό (Band-pass και 4. Απόρριψης ζώνης ή ζνοφρακτικό (band-reject = π π (γ (δ Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 3

4 πραγµατικές προδιαγραφές Η( Στη ζώνη διέλευσης (- p φαίνεται η κυµάτση µεταξύ τν τιµών δ και -δ. Στη ζώνη αποκοπής (> s ηκυµάτση είναι µικρότερη του δ δ -δ δ Ζώνη διέλευσης Ζώνη µετάβασης Ζώνη αποκοπής p s Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 4

5 Η( σε db Προδιαγραφές σε λογαριθµική κλίµακα db (decibel δ R p = log και Αs = log logδ δ δ δ R p Ζώνη µετάβασης A s p s Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 5

6 Σχεδιασµός FIR φίλτρν Φίλτρα πεπερασµένης κρουστικής απόκρισης Finite Impulse Response (FIR filters y(n = M k= bk x(n k Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 6

7 Βασικές κατηγορίες FIR φίλτρν. Φίλτρα µέσης τιµής (ΜΑ filters. Μέθοδος Μετασχ. Fourier ή Μέθοδος τν παραθύρν 3. Φίλτρα ισοκυµατικά βέλτιστα (equiripple filters 4. Φίλτρα µε δειγµατοληψία συχνότητας Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 7

8 e.g. y(n = 3. x(n. x(n-. x(n- ( Let s compute the impulse response h(n of the system for x(n = δ(n ----( -- y(n = h(n h(n = 3. δ(n. δ(n-. δ(n- h( = 3. δ(. δ(-. δ(- = 3... = 3 h( = 3. δ(. δ(-. δ(- = 3... = h( = 3. δ(. δ(-. δ(- = 3... = h(3 = 3. δ(3. δ(3-. δ(3- = 3... = h(n = [ 3. ] Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 8

9 So, y(n = 3. x(n. x(n-. x(n- ( y(n reads = [ k= 3... ]. h(n x(n-k = b r * x( n convolution This is generalized for every FIR-filter : M r y(n = bk x(n k = b* x(n, k= r b = [b b...b ] [ h(, h(,...h(m] M Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 9

10 δ(n LTI-system h(n δ(n FIR- Filter h(n y(n = M k= bk x(n k Νοέµβριος 5 ΨΕΣ

11 Χαρακτηριστικά τν FIR φίλτρν Hµορφή τν FIR φίλτρν: y(n = M k = b k x (n k Συνάρτηση µεταφοράς και απόκριση συχνότητας H(z = M k= b k z k και Η( = Μ k= b k e jk Έχουν µόνο µηδενισµούς ευστάθεια Νοέµβριος 5 ΨΕΣ

12 Η γραµµική φάση αποτελεί το βασικό χαρακτηριστικό τν FIR φίλτρν Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για γραµµική φάση είναι η συµµετρία τν συντελεστών h(n του FIR φίλτρου Για ένα φίλτρο τάξες Ν, έχουµε δύο είδη συµµετρίας: άρτια: h(n = h(n-n και περιττή: h(n = -h(n-n Νοέµβριος 5 ΨΕΣ

13 Χ( H( Υ( Για φίλτρα µε άρτια / περιττή συµµετρία ισχύει Υ( Χ( ( = = ct. e, ct R H M -j δηλ. Η απόκριση συχνότητας περιλαµβάνει µεταβολή φάσης ενός ηµίτονου/συνηµίτονου στην είσοδο κατά ποσότητα ανάλογης της συχνότητας του. - µε αποτέλεσµα τη µηδενική παραµόρφση του συνολικού σήµατος στην είσοδο (που αποτελείται από αυτά τα ηµίτονα/συνηµίτονα Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 3

14 Χ( H( Υ( H( =.5 Linear phase Non-Linear phase H( =.5 Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 4

15 Υπολογισµός της απόκρισης συχνότητας µε την υπόθεση άρτιας συµµετρίας: b k =b -k Για ευκολία υποθέτουµε συµµετρία και στο χρόνο (µη αιτιατό σύστηµα h(n =[b -M.b - b b b...b M ] H ( = Μ b k κ = Μ e jk = b o b cos b cos... b M = b o M k= b k cos k Η απόκριση συχνότητας είναι πραγµατική δηλ. η φάση είναι = Το σύστηµα γίνεται αιτιατό µε µετακίνηση της h(n κατά Μ σηµεία. Από την ιδιότητα του DTFT έχουµε: Η(=e -jm Η ( ηλαδή η φάση είναι: θ = - Μ Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 5

16 Στο πάν σχήµα οι συντελεστές είναι συµµετρικοί ς προς την αρχή τν αξόνν και το σύστηµα είναι βέβαια µη αιτιατό. Στο κάτ σχήµα το σύστηµα είναι αιτιατό και έχει (γραµµική φάση θ = -Μ - - h(n θ= n θ=-μ e.g. Μ=6 Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 6

17 Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 7 Να υπολογισθεί η απόκριση Η( για µήκος φίλτρου Ν=7 και άρτια συµµετρία συντελεστών: h(n=h(6-n για n=,,...6 παράδειγµα παράδειγµα { } { } { } ( cos( ( cos( ( cos( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (... ( ( ( ( ( h h h h e h e e h e e h e e h e e h e h e h h e h e h e h e e h e h h h n e H j j j j j j j j j j j j j j j j j jn = = = = = Προφανώς η φάση είναι: θ= θ= - 3 3

18 Τα 4 είδη τν FIR φίλτρν Τύπος Ν = περιττός & άρτια συµµετρία h(n=h(n--n H( = -α όπου α=(ν-/ H( : Υλοποιεί όλους τους τύπους τν φίλτρν Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 8

19 Τύπος Ν=άρτιος & άρτια συµµετρία Και Επειδή για =π Η r (= h(n=h(n--n - Η( =Η r ( e -jα Ν/ H r ( N π = h( n cos(n- H(=-α όπου α=(ν-/ ΕΝ µπορεί να υλοποιήσει φίλτρα Υψιπερατά και Απόρριψης ζώνης. Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 9

20 Τύπος 3 Ν=περιττός & περιττή συµµετρία h(n=-h(n--n Η( = Η r ( e j[β-α] H(= β-α = π/-(ν-/ (N / H r ( = h( N- n sin(n για = και =π Η r = Aρα ο τύπος αυτός ΕΝ δίνει Υψιπερατά και Βαθυπερατά φίλτρα. Είναι όµς κατάλληλο για διαφοριστές και µετασχ. Hilbert Νοέµβριος 5 ΨΕΣ

21 Τύπος 4 Ν=άρτιος & περιττή συµµετρία h(n=-h(n--n Η(= Η r ( e j[β-α] όπου για = Η r = H(=β-α =π/-(ν-/ N H ( h( N r = nsin{(n - } Αρα ο τύπος αυτός είναι κατάλληλος για διαφοριστές και µετασχ. Hilbert Νοέµβριος 5 ΨΕΣ

22 Τα 4 είδη τν FIR φίλτρν - Παράδειγµα Κέντρα συµµετρίας N= N= N= N= Τύπος Τύπος Τύπος3 Τύπος4 Νοέµβριος 5 ΨΕΣ

23 Μηδενισµοί τν FIR φίλτρν Επειδή δεν έχουν πόλους αλλά µόνο µηδενισµούς η ευστάθεια είναι δεδοµένη για όλο το µιγαδικό επίπεδο z Οι µηδενισµοί εφόσον είναι µιγαδικοί θα πρέπει να είναι συζυγείς για να έχουµε συναρτήσεις µε πραγµατικούς συντελεστές z z * Εάν θερήσουµε και την συµµετρία δεδοµένη θα πρέπει για κάθε µηδενισµό να υπάρχει και ο αντίστροφός του (επειδή Η(z=H(z - z (z - Aρα για κάθε µηδενισµό τιµής z, θα πρέπει να υπάρχουν και οι µηδενισµοί: z *, (z - και (z * - Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 3

24 Notes on FIR-filters design Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 4

25 To φίλτρο (κινούµενης µέσης τιµής (moving average filter To φίλτρο αυτό τάξες Ν=Μ έχει συντελεστές που έχουν ίδια τιµή και ίση µε /Ν: h(n =/N για n=,, N Π.χ. Μ= Ν=3 h(n = [ h( h( h(3 ] = /3. [ ] Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 5

26 y(n = h(n * x(n x(n = [ x( x( x(3 x(4 x(5.. ] h(n = /3. [ ] y(n = [y( y( y(3 y(4...] = [.?. x( x( 3 x(3 x( x(3 3 x(4 x(3 x(4 3 x(5... ] Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 6

27 Ολισθαίνν συµψηφισµός Ν=3 : εύρος παραθύρου x(n = [ x( x( x(3 x(4 x(5.. ] ( /3 y(n = [ y( y(3 y(4.. ] Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 7

28 Η απόκριση συχνότητας (DTFT υπολογίζεται ( για Ν=περιττό: H(= M {coscos..cosm} (για αιτιατό φίλτρο ηφάσηείναι: H(= -Μ H(.8 Απόκριση συχνότητας γιά Ν=Μ=5. ιακρίνονται οι µηδενισµοί για =π/5 και 4π/ π Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 8

29 Υπολογισµών τν µηδενισµών και τν πόλν του φίλτρου µέσης τιµής (για Ν=5 h(n = /5. [ ] =. [ ] Η(z =.{ z - z - z -3 z -4 }= - z. - z -5 - Mία µορφή για την απόκριση: Η(=. e -j sin.5 sin.5 Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 9

30 - z H(z =. - z -5 - Για τους µηδενισµούς : z 5 = θέτοντας : z=e jθ έχουµε e jθ5 = = e jkπ θ=kπ/ Imaginary Part z= e jπ/5 Άρα οι µηδενισµοί της H(z είναι: - Real Part z= e jπ/5, z= e j4π/5, z= e j6π/5, z= e j8π/5 (Ο µηδενισµός z= δεν υφίσταται λόγ του αντίστοιχου πόλου Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 3

31 We ve created easily a Low-pass filter (the moving average How can we transform it to a Band-pass filter? Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 3

32 Ζνοδιαβατά φίλτρα Μία βαθυπερατή συνάρτηση Η( µετατοπίζεται στο πεδίο τν συχνοτήτν κατά ο εάν συνελιχθεί µε τηµοναδιαία κρουστική συνάρτηση δ( ο. ο ο Επειδήησυνέλιξηστοπεδίοτνσυχνοτήτναντιστοιχείσε πολλαπλασιασµό στο πεδίο του χρόνου, µια ζνοδιαβατή συνάρτηση προκύπτει από τους συντελεστές του βαθυπερατού φίλτρου αν πολλαπλασιαστούν µε cos(n ο Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 3

33 Ζνοδιαβατά φίλτρα - Παράδειγµα θερούµε τους συντελεστές βαθυπερατού φίλτρου που είναι h(n=/, n= - ές Πολλαπλασιάζουµε µε cos(n.π/3: n=- ές h b =/cos(n.π/3 Η απόκριση συχνότητας δεικνύεται στο παρακάτ σχήµα.8 Η(.6.4 π/ π Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 33

34 Υψιπερατά φίλτρα Υψιπερατά φίλτρα υλοποιούνται όπς τα ζνοδιαβατά ο ο αν η µετατόπιση της συχνότητας είναι ο =π Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 34

35 Επειδή cos(nπ = ± ουσιαστικά αρκεί αλλαγή προσήµου κάθε περιττού όρου τν συντελεστών του βαθυπερατού φίλτρου για να µετατραπεί στο αντίστοιχο υψιπερατό.5 h(n h(n Βαθυπερατό H( Υψιπερατό.5 H( Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 35

36 Απόκριση µέτρου και απόκριση πλάτους Ηαπόκρισηµέτρου Η( διαφοροποιείται από την απόκριση πλάτους Η r ( στις περιοχές που η απόκριση έχει πραγµατική αλλά αρνητική τιµή Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 36

37 Έστ h(n = [ ] Η απόκριση συχνότητας είναι : H(e j = Σ h(n e -jn = e -j e -j = e -j {cos} Απόκριση Πλάτους : H(e j =H r (e j H(e j H r (e j = cos και H(e j =- για < π Απόκριση Μέτρου: H(e j = H(e j H(e j H(e j = cos και H(e j =- για < π/3 H(e j =π- γιαπ/3< π Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 37

38 3 Η r ( 3 H( (α (β -.5 xπ -.5 xπ Απόκριση πλάτους (α και απόκριση µέτρου (β Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 38

39 Transform the LP-filter h(n = [ ] to a HP-filter h HP (n = [ ].* [ cos(-.π cos(.π cos(.π ] = [ ].* [- - ] = [- - ] Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 39

40 Why red? The color red is used by many non-human animals including monkeys, fish and birds to signal information to other members of their group. Red may also influence human mood and emotions, including aggressive behavior. What about other sports? Drs. Hill and Barton suspect these influences may affect the outcome of the combat sports. They even present some new data suggesting that wearing red had a winning influence in the outcome of soccer games played in the Euro 4 soccer tournament. Baseball's World Series (4: The winner was the Boston RED Sox Νοέµβριος 5 ΨΕΣ 4