z έχει µετασχ-z : X(z)= 2z 2

Transcript

1 ΨΕΣ-Μετασχ- Λύσεις Ασκήσεων Σ.Φωτόουλος ΑΣΚΗΣΗ 4. Βρείτε τον µετασχηµατισµό- των σηµάτων ου φαίνονται στο αρακάτω σχήµα Α4. εκφράζοντάς τους σε όσο το δυνατόν αλούστερη-συµαγέστερη µορφή. a a a -->... --> 7 Σχήµα Α (α) x[ ] a u[ ] Εειδή x[] a u[] έχει µετασχ- : X() a και σύµφωνα µε την ιδιότητα του Z 0 0 µετασχηµατισµού-: x[ ] X() έχουµε: X - α () ( - α) (b) [] u[] u[ 8] x X () ( ) ( 7 8 ) ( ) AΣΚΗΣΗ 4. Χρησιµοοιώντας µόνο τις ααντήσεις της άσκησης 4. και τις ιδιότητες του µετασχηµατισµού-, βρείτε τον µετασχηµατισµό- του σήµατος ου φαίνεται αρακάτω: Σχήµα Α >

2 ΨΕΣ-Μετασχ- Λύσεις Ασκήσεων Σ.Φωτόουλος Με βάση τα σήµατα x [ ] και x [ ] της άσκησης 4., και θέτοντας α/ το σήµα x ( ) του σχ.4. µορεί να εκφραστεί ως εξής: x [] x [ ] x[ 5] () 8 Άρα x [] u[ ] u[ 0] u[ 8] Με βάση τη σχέση () και την ιδιότητα της µετάθεσης στο χρόνο ο µετασχ-, X ( ) του x [ ] θα είναι : X () X () X () 5 8 ( ) 7 ( ) ( 0.5) 5 8 ( ) 9 ( ) 7 ( 0.5) ΑΣΚΗΣΗ 4. Ένα σήµα x() ξεκινά τη χρονική στιγµή 0 και έχει έξι εερασµένες τιµές δειγµάτων:,,,, -,. Το σήµα αυτό αοτελεί την είσοδο ενός LTI συστήµατος του οοίου η κρουστική αόκριση h() έχει τρεις εερασµένες τιµές δειγµάτων:,,. Με συνέλιξη της x() µε την h() βρείτε την έξοδο y(). Εαληθεύστε ότι ο µετασχηµατισµός- της y() ισούται µε το γινόµενο των µετασχηµατισµών των x() και h(). x [] - h[] y[] x[] h[] Η συνέλιξη γραφικά γίνεται αν αντιστραφεί το ένα αό τα δυο σήµατα όως φαίνεται αρακάτω y[0] y[] + y[] y[] 6 4 y[4] 5 y[5] 6 y[6] 0 7 y[7] Αρα Y() Εαλήθευση µε το µετασχ.- : --

3 ΨΕΣ-Μετασχ- Λύσεις Ασκήσεων Σ.Φωτόουλος X() + H() + H()X() Y() AΣΚΗΣΗ 4.4 Χρησιµοοιώντας ένα ίνακα των µετασχηµατισµών -, και την µέθοδο ανάλυσης σε µερικά κλάσµατα (αν χρειάζεται), βρείτε τα σήµατα ου αντιστοιχούν στους αρακάτω µετασχηµατισµούς -: (α) X() (β) X() ( )( ) 0.5 (α) X() Αό τους ίνακες βλέουµε ότι δίνεται το εξής ζεύγος µετασχ.-: α siωο X () x[] α si(ω )u[] α cosω + α ο ο Συγκρίνοντας µε τη συγκεκριµένη συνάρτηση Χ() έχουµε α 0.5 α και α cosω ο ω ο /4 X() si 4 cos + 4 Αρα : x[] si u[] 4 (β) ( 0.5) X() ( 0.8)( ) Υολογίζουµε: 0.5 ( 0.8)( ) A B

4 ΨΕΣ-Μετασχ- Λύσεις Ασκήσεων Σ.Φωτόουλος 0.5 A 0.5 B Άρα.5.5 X() 0.8 x[].5u[ ].5(0.8) x[] (.5.5(0.8) ) u[ ] u[ ] AΣΚΗΣΗ 4.5 Βρείτε τους όλους και τους µηδενισµούς στο µιγαδικό είεδο των αρακάτω συναρτήσεων µεταφοράς. Ποιες αό αυτές είναι ασταθείς ή µη αιτιατές ; + (α) H () (β) H () (γ) H () (δ) H () ( ) (α) (β) H ( ) eros :, - poles : 0.8, H ( ) eros : 0.5 ± i poles : ± i + (γ) H() + ( )( + ) 0.5 ( 0.5)( + 0.5) eros :, ±j poles : 0.5, -0.5 Το σύστηµα είναι ΜΗ ΑΙΤΙΑΤΟ διότι το σήµα εξόδου εξαρτάται αό µελλοντική τιµή του σήµατος εισόδου. 9 k j (δ) H() eros:e 9, k 0,,... 8 poles :, 0 8-τάξης 8 ( ) (Ο όλος και ο µηδενισµός αλληλοαναιρούνται) -4-

5 ΨΕΣ-Μετασχ- Λύσεις Ασκήσεων Σ.Φωτόουλος ΑΣΚΗΣΗ 4.6 Χρησιµοοιώντας ίνακα µετασχ., βρείτε τα σήµατα x() ου αντιστοιχούν στα διαγράµµατα µηδενισµών και όλων του σχήµατος Α (α) (β) (γ) Σχήµα Α (α) A B 0 /8 0 /8 0 /8 0 /8 X() ( )( 0.8) x[] 0 /8u() 0 /8( 0.8) 0 /8 (β) X() (γ) X() [ ( 0.8) ] u() ( e ( + 0.5) j ( 0.8e )( e j j )( 0.8e ) j ) u() ( cos ) ( + 0.5) x[] cos u[] cos + cos si cos x[] si u[] AΣΚΗΣΗ 4.7 Χρησιµοοιώντας τον ελάχιστο δυνατό αριθµό όλων και µηδενισµών στο είεδο, σχεδιάστε ένα ψηφιακό φίλτρο µε την ακόλουθη συµεριφορά: (α) λήρη αόρριψη στο ω 0 (β) λήρη αόρριψη στο ω / (γ) µια στενή ζώνη διάβασης στο ω / σαν αοτέλεσµα όλων τοοθετηµένων σε ακτίνα 0.9 στο είεδο, και (δ) όχι εριττή καθυστέρηση στο σήµα εξόδου -5-

6 ΨΕΣ-Μετασχ- Λύσεις Ασκήσεων Σ.Φωτόουλος Για να υάρχει λήρης αόρριψη στη συχνότητα ω 0, ρέει να υάρχει ένας µηδενισµός της συνάρτησης µεταφοράς στο σηµείο. j Για αόρριψη στη συχνότητα ω /, ρέει να υάρχει µηδενισµός στο σηµείο e ±. Η ύαρξη όλων κοντά στον µοναδιαίο άξονα, δηµιουργεί µια ζώνη διέλευσης στην αντίστοιχη συχνότητα ω /. Για να µην υάρχουν καθυστερήσεις στο σήµα εξόδου ρέει ο αριθµός των όλων να ισούται µε τον αριθµό των µηδενισµών. Στη ερίτωση ου δεν ισχύει αυτό µορούν να ροστεθούν όλοι ή µηδενισµοί στο 0 χωρίς να εηρεάζεται η συµεριφορά του συστήµατος. Σύµφωνα µε τα αραάνω η συνάρτηση µεταφοράς θα είναι η εξής : i i ( )( cos + ) ) ) ( 0.9 cos + 0.8) ( )( e )( e + H() i i ( 0.9e )( 0.9e Η εξίσωση διαφορών ροκύτει αό την () ως εξής: Y() + Y() Y() + 0.8Y() X() X() + X() X() X() Σύµφωνα µε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Ζ: y[ + ] + 0.9y[ + ] + 0.9y[ + ] x[ + ] x[ + ] + x[ + ] x[] y[] 0.9y[ ] 0.8y[ ] + x[] x[ ] + x[ ]x[ ] Άρα h[] 0.9h[ ] 0.8h[ ] + δ[] δ[ ] + δ[ ] δ[ ] () ΑΣΚΗΣΗ 4.8 Ένα φίλτρο δεύτερης τάξης εριγράφεται αό την εξής εξίσωση διαφορών y [ ] ay[ ] by[ ] + x[ ] Ποια εδία τιµών είναι δυνατά για τους συντελεστές α και b, ώστε το φίλτρο να είναι ευσταθές (και εοµένως και χρήσιµο); Εάν το b είναι κοντά στη µονάδα, οια ερίου τιµή του α θα δώσει: (α) µια ζώνη διέλευσης µε κέντρο στο ω / (β) µια ζώνη διέλευσης µε κέντρο στο ω / -6-

7 ΨΕΣ-Μετασχ- Λύσεις Ασκήσεων Σ.Φωτόουλος Z y[] ay[ ] + by[ ] x[] Y() a Y() + b Y() () X() a + b a + b Y() X() Η γενική µορφή των συστηµάτων δεύτερης τάξης είναι : H() r cosθ + r όου r η αόσταση (µέτρο) του όλου αό το κέντρο και θ η φάση. Προκειµένου το σύστηµα να είναι ευσταθές, ρέει σύµφωνα µε τη σχέση () b 0 και b< έτσι ώστε ο όλος να βρίσκεται στο εσωτερικό του µοναδιαίου κύκλου. Αό την () ροκύτει ότι rcosθ α και αφού 0 b< και cosθ - < α <. Aν b r τότε η () γίνεται : Y() X() a + r (a) Ζώνη διέλευσης για ω /, θα ρέει : r cosθ a cosθ α α r (b) Ζώνη διέλευσης για ω /, θα ρέει : r cosθ a cosθ α α u u ΑΣΚΗΣΗ 4.9 Στο αρακάτω σχήµα Α4.9 δεικνύεται το διάγραµµα ένός ψηφιακού εεξεργαστή. Βρείτε τον µετασχ.- του σήµατος εξόδου του όταν στην είσοδό εφαρµόζεται µοναδιαία κρούση δ[], µε τις εξής αρχικές συνθήκες: (α) y [ ] y[ ] 0 (β) y [ ], y[ ] Ποιο αό τα αοτελέσµατα αντιροσωεύει την ραγµατική συνάρτηση µεταφοράς του εεξεργαστή; Ποιες αρχικές συνθήκες θα ροκαλούσαν το σήµα εξόδου να είναι µηδέν για >0,εάν στην είσοδο, για 0, εφαρµοζόταν µια µοναδιαία κρούση; y[] 0.5y[ ] 0.5y[ ] + x[] x[ ] Y() 0.5 Y() x() T { y( ) + Y() } 0.5{ y( ) + y( ) + Y() } + X() X() 0.5y( ) 0.5y( ) 0.5 y( ) + X() X() () [ ] -0.5 Z T T y() Σχήµα Α4.9-7-

8 ΨΕΣ-Μετασχ- Λύσεις Ασκήσεων Σ.Φωτόουλος α) y [ ] y[ ] 0, x[] δ[] X() Άρα Y() H() β) y ( ), y( ) + Άρα Y() Για να µηδενιστεί το σήµα εξόδου θα ρέει να µηδενιστεί ο αριθµητής της (): Αυτό θα γίνει αν 0.5y[ ] y[ ] και 0.5y[ ] y[ ] 4 ΑΣΚΗΣΗ 4.0 Υολογίστε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό-, σε κλειστή µορφή, της συνάρτησης: Y (), < 4 4 Aντί της Υ () θεωρούµε την συνάρτηση Y (), > 4 4 Για την Υ () µε το ROC >4 έχουµε x () 4 u() Xρησιµοοιώντας την ιδιότητα αντιστροφής χρόνου έχουµε : H x (-) 4 - u(-) έχει µετασχ. Z : Y (), < 4 4 ου είναι η αρχική συνάρτηση. Άρα τελικά y 4 [ ] u[ ] ΑΣΚΗΣΗ 4. Βρείτε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό- της ακόλουθης συνάρτησης χρησιµοοιώντας την µέθοδο των µερικών κλασµάτων , > 0. ( ) 5 X Αρχικά, για να βρούµε τους όλους ολλαλασιάζουµε µε X () Στη συνέχεια υολογίζουµε για τον αρανοµαστή: ( ) ( ) -8-

9 ΨΕΣ-Μετασχ- Λύσεις Ασκήσεων Σ.Φωτόουλος X() X( ) ( )( ) ( 0.5 )( 0.5 ) Η ανάλυση σε µερικά κλάσµατα έχει τη γενική µορφή: B C 4 X Βρίσκουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό: x u 0.5 u ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ΑΣΚΗΣΗ 4. Ο µετασχηµατισµός - µιας ακολουθίας h() δίνεται αό: + H( ) ( 0.5)( + 0.5) Υολογίστε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό - µε τη µέθοδο των µερικών κλασµάτων. Ειβεβαιώστε τα µερικά κλάσµατα χρησιµοοιώντας το MATLAB. Με ανάλυση σε µερικά κλάσµατα της Η() λαµβάνουµε: H () και ο αντίστροφος µετασχηµατισµός - δίνεται αό τους ίνακες: [ ] ( 0.5) u[ ] ( 0.5) u[ ] h Ειβεβαίωση µε το MATLAB: Χρησιµοοιούµε την εντολή residue(b,a) ου υολογίζει τους συντελεστές () i p( i) k() i της σχέσης: B() r() r( ) r( ) A() p() p( ) p( ) και ου στην ροκείµενη ερίτωση δίνει: r 4, r 4 + k + ( ) ( ) () 0.5, p( ) () 8 p 0.5 () + k( )... r, και k Για να χρησιµοοιήσουµε αυτή την εντολή υοτίθεται ότι είχαµε υολογίσει την Η( - ) την οοία και αναλύσαµε σε µερικά κλάσµατα -9-

10 ΨΕΣ-Μετασχ- Λύσεις Ασκήσεων Σ.Φωτόουλος ηλ. Η( ) h()-8δ()+4 (0.5) u()+4 (-0.5) u() Ας σηµειωθεί ότι η τελευταία αυτή σχέση ταυτίζεται µε την ροηγούµενη. ΑΣΚΗΣΗ 4. Υολογίστε την συνάρτηση µεταφοράς ενός αιτιατού LTI συστήµατος διακριτού χρόνου ου ροσδιορίζεται αό την αρακάτω εξίσωση διαφορών: y x +.6x x x +.5y 0.47y 0.06y Εκφράστε την συνάρτηση µεταφοράς σε µορφή κλάσµατος και σχεδιάστε το διάγραµµα όλων και µηδενισµών. Είναι το σύστηµα ευσταθές; [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Ο µετασχηµατισµός - της αραάνω εξίσωσης είναι: Y X +.6 X X () () ( ) ( ) X ( ) +.5 Y () 0.47 Y () 0.06 Y () ()[ ] X ()[ ] Y Και αό αυτό η συνάρτηση µεταφοράς είναι: Y () ( ) H X Οι όλοι της συνάρτησης είναι: p 0.9, p 0.7, p 0. ενώ οι µηδενισµοί:.9, 0., 0. () 0 Το διάγραµµα όλων - µηδενισµών ακολουθεί. Το σύστηµα είναι ευσταθές καθώς όλοι οι όλοι βρίσκονται µέσα στον µοναδιαίο κύκλο. -0-

11 ΨΕΣ-Μετασχ- Λύσεις Ασκήσεων Σ.Φωτόουλος ΑΣΚΗΣΗ 4.4 Προσδιορίστε την έκφραση της κρουστικής αόκρισης h() της ακόλουθης, αιτιατής IIR συνάρτησης µεταφοράς H(): ( ) ( )( ) H ( + )( 0.5 ) Ειλέγουµε την µέθοδο υολογισµού του αντίστροφου µετασχ. µέσω της αντίστοιχης εξίσωσης διαφορών. Η εξίσωση διαφορών υολογίζεται σχετικά εύκολα αό την συνάρτηση µεταφοράς: H Y y ( )( ) Y () () X () ( + )( 0.5 ).5 + () X () + 4. X () X () +.5 Y () Y () + Y () [] x[] + 4.x[ ] + 0.8x[ ] +.5y[ ] y[ ] + y[ ] Για τον υολογισµό της h() θέτουµε x()δ() [] 0 δ [] δ [ ] + 0.8δ [ ] +.5y[ ] y[ ] + y[ ] [] δ [] + 4.δ [ 0] + 0.8δ [ ] +.5y[ 0] y[ ] + y[ ] [] δ [] + 4.δ [] + 0.8δ [] 0 +.5y[ ] y[ 0] + y[ ] [] δ [] + 4.δ [] + 0.8δ [] +.5y[ ] y[ ] + y[ 0] [] 4.5y[] y[] + y[] y y y y y y [] 5... Aρα η κρουστική αόκριση του συστήµατος είναι: h [] 0, h[] 6.7, h[] 4.55, h[ ] 7.75, h[ 4] 6.75, h[ 5]... ************** Ένας δεύτερος τρόος υολογισµού της κρουστικής αόκρισης, σε κλειστή µορφή όµως, είναι µέσω του αντίστροφου µετασχηµατισµού της συνάρτησης H(). Η ανάλυση σε µερικά κλάσµατα της συνάρτησης µεταφοράς είναι: j j H() ( + j) ( j) και ο αντίστροφος µετασχηµατισµός δίνει: h().5[ 0.5] u[ ] +.56( ) cos u[ ] 4 ΑΣΚΗΣΗ 4.5 Nα βρεθεί ο µετασχ- των σηµάτων α) x()δ()+δ(-)+0.5δ(-) και β) x()(-0.5) u() α) Αό τον ορισµό έχουµε: Χ()x(0)+x() - +x() β) Αό τον ορισµό: --

12 ΨΕΣ-Μετασχ- Λύσεις Ασκήσεων Σ.Φωτόουλος X() x(0)+x() - +x() - +x() ( 0.5 ) ΑΣΚΗΣΗ 4.6 Να βρεθεί η εξίσωση διαφορών ου αντιστοιχεί στην συνάρτηση (µεταφοράς) 0.5 H() Εύκολα βρίσκεται y()-0.5y(-)x()+0.5x(-) ΑΣΚΗΣΗ 4.7 Ένα ψηφιακό σύστηµα έχει είσοδο x()u() και έξοδο y()0.9 u(). Να βρεθεί α)η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος και β)η κρουστική του αόκριση α) Βρίσκουµε: X() και Y() 0.9 Y() Άρα: H() X() 0.9 β) O αντίστροφος µετασχηµατισµός υολογίζεται: H() h()δ() u(-) ΑΣΚΗΣΗ 4.8 Nα βρεθεί ο αντίστροφος µετασχ- του Έχουµε: H() A B Γ H() 0.5 ( )( 0.6) AH() 0 5/6, B H()(-) 5/4 και Γ H()(-0.6) 0.6-5/ 5 / 6 5 / 4 5 / Y() + y() 5 / 6 δ( ) + 5 / 4u( ) 5 / (0.6) 0.6 u( ) ΑΣΚΗΣΗ 4.9 Η εξίσωση διαφορών για ένα σύστηµα είναι η εξής: y()+0.8y(-)-0.9y(-)x(-). Είναι το σύστηµα αυτό ευσταθές; Αό την Ε.. βρίσκουµε: H()

13 ΨΕΣ-Μετασχ- Λύσεις Ασκήσεων Σ.Φωτόουλος Oι όλοι της Η() είναι: και Εειδή > το σύστηµα είναι ασταθές Παρατήρηση: Το σύστηµα αυτό ΕΝ είναι ας τάξεως όου ο συντελεστής του - µας ληροφορεί για την ευστάθεια. ΑΣΚΗΣΗ 4.0 Υλοοιείστε την κανονική µορφή της συνάρτησης µεταφοράς: H( ) και κατόιν την traspose µορφή της H είναι αυτή ου φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα (α): Η κανονική µορφή της συνάρτησης ( ) (α) (β) Αό την κανονική µορφή µορούµε να σχεδιάσουµε την traspose αλλάζοντας τους αθροιστές σε κόµβους και τους κόµβους σε αθροιστές. Είσης θα ρέει να αλλάξουµε και τη φορά ροής των σηµάτων. Η traspose υλοοίηση δεικνύεται στο αραάνω σχήµα (β) ΑΣΚΗΣΗ 4. Η δοµή ου φαίνεται στο εόµενο σχήµα ανατύχθηκε για την υλοοίηση της IIR συνάρτησης µεταφοράς: ( ) ( ) H ( + )( + ) Όµως, αό λάθος, δυο αό τους ολλαλασιαστές σε αυτή τη δοµή έχουν εσφαλµένες τιµές. Βρείτε αυτούς τους ολλαλασιαστές και υολογίστε τις σωστές τους τιµές. --

14 ΨΕΣ-Μετασχ- Λύσεις Ασκήσεων Σ.Φωτόουλος Όως φαίνεται αό το σχήµα η συνάρτηση µεταφοράς υλοοιείται µε αράλληλη δοµή. Θα υολογίσουµε τους συντελεστές µε τη µέθοδο των ολοκληρωτικών υολοίων: B C H ( ) A + + p p Α B H ()( + 0.5) B B B B C H C ()( + ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( + ) C C C.5.5 Αρα η συνάρτηση µεταφοράς γίνεται τώρα: H( ) Αό την µορφή αυτή φαίνονται τα σφάλµατα στην αρχική υλοοίηση. Ο ολλαλασιαστής 5 ρέει να είναι -. Ο ολλαλασιαστής 0.5 ρέει να είναι 0.5. Η υλοοίηση µε διορθωµένους τους συντελεστές δεικνύεται στο εόµενο σχήµα:

15 ΨΕΣ-Μετασχ- Λύσεις Ασκήσεων Σ.Φωτόουλος ΑΣΚΗΣΗ 4. Στο ακόλουθο σχήµα φαίνεται µιά ελλιής υλοοίηση της αιτιατής IIR συνάρτησης µεταφοράς: () ( 5 ) H ( + 0.5)( ) Υολογίστε τις τιµές των συντελεστών Α και Β. Η συνάρτηση µεταφοράς µε βάση το διάγραµµα ου υλοοιείται είναι η ακόλουθη: A 0.4 A BA H() B B () H ( )( ) ( A 0.4) ( BA + 0.) ( + 0.5)( B) Συγκρίνοντας µε αυτή ου δίνεται στην εκφώνηση της άσκησης, έχουµε: () ( 5 ) 5 ( A 0.4) ( BA + 0.) H ( + 0.5)( ) ( ) ( + 0.5)( B) A A 5.4 BA + 0. B 5 ( + 0.5) -5-