( ) ( ) ( ) ( ) x y

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "( ) ( ) ( ) ( ) x y"

Transcript

1 Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko najviše satelit može biti širok ako mu je duljina 4.4 m? Rješenje 4 Elipsa je skup svih točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti od dviju fiksnih točaka (žarišta) te ravnine konstantna veličina i iznosi a. Velika poluos je a, a mala poluos b. Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava, smjer glavne osi s osi, a smjer sporedne osi s osi ima jednadžbu b + a = a b i li + =. a b Paralelogrami su četverokuti kojima su po dvije nasuprotne stranice usporedne (paralelne). Pravokutnik je paralelogram koji ima barem jedan pravi kut (pravi kut ima 9º). Zadane su velika i mala os elipse pa njezina jednadžba glasi: a = /:.4 a = a = + = b = 4. b = 4. /: b =. a b + = + = ,5 D,5 A,5 B ,5 - -,5 Vrhovi ili tjemena elipse imaju koordinate: - -,5 ( ) ( ) ( ) ( ) A.4,, B.4,, C,., D,.. C,5 D,5 T T A,5 B ,5 T 3 T 4 - -,5 - -,5 Budući da u elipsu treba ucrtati pravokutnik duljine stranice 4.4, sa slike vidi se da će njegovi vrhovi, C

2 koji leže na elipsi, imati koordinate: T.,, T.,, T 3.,, T 4.,, >. Ucrtanom pravokutniku T T T 3 T 4 su os i os osi simetrije. Da bismo izračunali ordinatu, uvrstit ćemo koordinate, na primjer, točke T (., ) u jednadžbu elipse. (, ) = (., ) T T = + = = + = = / 4.4 = 4.4 = 4.4 / = ± 4.4 = ± Širina satelita najviše može biti: T 3 T = T 4 T = =.8393 = m. Vježba 4 Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 48 dm, a mala 4 dm. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko najviše satelit može biti širok ako mu je duljina 44 dm? Rezultat: 6.8 dm. Zadatak 4 (Iva, srednja škola) Kako glasi jednadžba kružnice kojoj su zadane koordinate krajnjih točaka promjera A( 3, ) i B(, 4)? A =, B = C =, D = Rješenje 4 a + b = a + a b + b, a b = a a b + b, a = a. ( ) Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: ( p) + ( q) = r. Opća jednadžba kružnice: + p q + c =, r = p + q c. Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta). Promjer je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici. Dužina koja spaja dvije točke kružnice zove se tetiva. Najveća tetiva prolazi središtem kružnice i zove se promjer (dijametar). Koordinate polovišta P dužine AB, A(, ), B(, ) su + + =. (, ) P, P Udaljenost točaka A( ) B( ), i, :

3 AB = ( ) + ( ). A P B A r S r B Budući da je dužina AB promjer kružnice, polovište P dužine ujedno je središte S kružnice. Računamo koordinate polovišta. A(, ) = A( 3, ) B (, ) = B(, 4 ) P(, ) = P, P(, ) = P, (, ) +, + P = P S ( p, q) = P (, ) ( ) ( ) P, = P, 3 S p, q = S, 3. Duljinu polumjera kružnice možemo izračunati na dva načina..inačica Duljina polumjera je: Neka je Tada vrijedi: r = AS ili r = SB ili r = AB. r = A(, ) = A( 3, ) S (, ) = S (, 3) r = ( ( 3) ) + ( 3 ) r = AS = ( ) + ( ).inačica r = r = + r = 4 + r = 5. U središnju jednadžbu kružnice uvrstimo koordinate točke A i središta S ili koordinate točke B i središta S. A(, ) = A( 3, ) 3 AS. ( ( )) ( ) S p, q = S, = r = r ( p) + ( q) = r

4 Jednadžba kružnice glasi: Odgovor je pod B. + = r 4 + = r r = 5. S p, q = S, 3, r = 5 ( ( ) ) ( 3) ( 5 + = ) ( p) + ( q) = r = = = =. Vježba 4 Kako glasi jednadžba kružnice kojoj su zadane koordinate krajnjih točaka promjera A(4, 6) i B(8, )? A =, B = C =, D = Rezultat: A. Zadatak 43 (Marija, gimnazija) Odredi jednadžbu elipse koja prolazi točkom T( 3, 7) te je zadan numerički ekscentricitet 3 ε =. 4 Rješenje 43 a n n a a n n n a d a c a c, ( ),, b = n a = a n = =, =. b b c b c b d b d d Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n, n. b n b Elipsa je skup svih točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti od dviju fiksnih točaka (žarišta) te ravnine konstantna veličina i iznosi a. Velika poluos je a, a mala poluos b. Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava, smjer glavne osi s osi, a smjer sporedne osi s osi ima jednadžbu b + a = a b i li + =. a b Linearni ekscentricitet elipse: e = a b e = a b. Numerički ekscentricitet elipse: e a b ε = ε =. a a Budući da točka T pripada elipsi, uvrstit ćemo njezine koordinate u jednadžbu elipse. 4

5 (, ) = T ( 3, 7) T ( 3 ) = + =. + = a b a b a b Numerički ekscentricitet elipse je zadan pa vrijedi: a b ε = metoda a b 3 a b a 3 / = = 3 komparacije a 4 a 4 ε = 4 a b a b 3 9 a b 9 a b 9 = = = = / 6 a a a a a 6 ( ) 6 a b = 9 a 6 a 6 b = 9 a 6 a 9 a = 6 b 6 7 a = 6 b 7 a = 6 b /: 7 a = b. 7 Iz sustava jednadžbi izračunamo a i b = 9 a b metoda = + = + = 6 supstitucij 6 6 e b b b b 6 b b a = b = / 6 b = 6 b 847 = 6 b 6 b = b b Računamo a b = 847 /: 6 b =. 6 6 a = b 7 metoda a a a. 847 = = = supstitucije b = 6 Jednadžba elipse glasi: a =, b = = + = b + a = a b = / = Vježba 43 Odredi jednadžbu elipse koja prolazi točkom T(3, 7) te je zadan numerički ekscentricitet 3 ε =. 4 5

6 Rezultat: = 847. Zadatak 44 (Marija, gimnazija) asimptote. Odredi jednadžbu hiperbole ako su njezini fokusi F ( 5, ) i F (5, ), a pravci Rješenje 44 n n n ( a b) = a b. = ± Hiperbola kojoj središte leži u ishodištu koordinatnog sustava, a realna os na osi apscisa ima jednadžbu b a = a b ili = ( kanonska jednadžba hiperbole ). a b Linearni ekscentricitet hiperbole: Koordinate fokusa F i F hiperbole su: e = a + b e = a + b. ( ), (, ) F e, F e. Pravci koji sadrže dijagonale središnjeg pravokutnika s dimenzijama a i b zovu se asimptote i njihove jednadžbe glase: b b =, =. a a Budući da su zadani fokusi hiperbole vrijedi: (, ) = ( 5, ) F e F 5 a b 5 a b a b 5. = + = + + = e = a + b Asimptote hiperbole su pravci pa je = ± b = ± a b b = = / a b = a a = b. a a = ± Iz sustava jednadžbi izračunamo a i b. a + b = 5 metoda ( b) + b = 5 4 b + b = 5 5 b = 5 a = b supstitucije Računamo a. 5 b = 5 /: 5 b = 45. a + b = 5 metoda a 45 5 a 5 45 a 8. + = = = b = 45 supstitucije 6

7 Jednadžba hiperbole glasi: a = 8, b = 45 =. = 8 45 a b Vježba 44 Odredi jednadžbu hiperbole ako su njezini fokusi F ( 5, ) i F (5, ), a pravci = ±.5 asimptote. Rezultat: = Zadatak 45 (Marija, gimnazija) Izračunaj duljinu tetive koju pravac 6 = odsijeca na paraboli =. Rješenje 45 n n a c a d b c a c a d + b c a a n =, =, + =, n = b d b d b d b d b n b, n n a b = n a b. ( a b) = a a b + b. Parabola je skup svih točaka ravnine koje su jednako udaljene od jednog čvrstog pravca d (ravnalice ili direktrise) i jedne čvrste točke F (žarišta ili fokusa) u toj ravnini koja ne leži na tom pravcu. Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu, a žarište na pozitivnom dijelu osi apscise ima jednadžbu Udaljenost točaka A( ) B( ), i, : = p. AB = + Odredimo presjek pravca i parabole tako da riješimo sustav jednadžbi..inačica. ( ) 6 = = + 6 = + 6 / = 6 = = = = metoda ( 6) = = = supstitucije = = / : = a =, b = 3, c = = ( 3) ± ( 3) 4 8 = b ± b 4 a c, a =, b = 3, c = 8, = a = ± ± ± 4, = 4, = 4, = = 4 7

8 8 9 = 4 =. 8 = = 4 Računamo ordinatu da bismo odredili točke presjeka. 9 = 9 9 = 6 = 6 = 9 6 = 3 = 6 9 A(, ) = A, 3. = = 6 = 4 6 = B(, ) = B(, ). = 6 Duljina tetive je duljina dužine AB. 9 A(, ) = A, (, ) (, ) ( 3) B = B AB AB ( 5 = + = + ) AB = ( ) + ( ) AB = + 5 AB = + 5 AB = + 5 AB = djelomično AB korjenovanje 4 AB 4 AB 4 AB = = = = u brojniku.inačica AB = AB =. 6 = metoda 6 = = supstitucije a =, b =, c = 6 6 = ( ) ± ( ) 4 ( 6) = b ± b 4 a c, a =, b =, c = 6, = a = ± + ± ±, =, =, = 5 = 6 = = 3. 4 = = Računamo apscisu da bismo odredili točke presjeka. 8

9 = = 9 = = 9 = 9 /: = = 9 A(, ) = A, 3. = ( ) = 4 = = 4 = 4 /: = Duljina tetive je duljina dužine AB. 9 (, ), 3 = B, = B,. A = A 9 9,, ( 3) B = B AB AB ( 5 = + = + ) AB = ( ) + ( ) AB = + 5 AB = + 5 AB = + 5 AB = djelomično AB korjenovanje 4 AB 4 AB 4 AB = = = = u brojniku AB = AB =. Vježba 45 Izračunaj duljinu tetive koju pravac + 6 = odsijeca na paraboli =. Rezultat: 5 5. Zadatak 46 (Rob, gimnazija) Kružnica a = ima polumjer r =, ako je a jednako Rješenje 46 A. B. 4 C. 6 D. 8 a + b = a + a b + b, a b = a a b + b. Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: p + q = r. Opća jednadžba kružnice: + p q + c =, r = p + q c r = p + q c. Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta)..inačica Napisat ćemo središnju jednadžbu kružnice uporabom matode nadopunjavanja na potpuni kvadrat. 9

10 a = a = a = a = Računamo a. ( ) ( ) a = + + = + 4 a + + = 5 a. p + q = r uvjet r 5 a 5 a 5 a a 5 a 4. = = = = = + + = 5 a r = Odgovor je pod B..inačica Iz opće jednadžbe kružnice očitamo p, q i c. ( ) ( ) p = p = /: p = + p q + c = q = 4 q = 4 /: q = a = c = a c = a c = a Sada je: p =, q =, c = a r = = ( ) + a = + 4 a = + 4 a a= 4. r = p + q c Odgovor je pod B. Vježba 46 Kružnica a = ima polumjer r =, ako je a jednako A. B. 3 C. D. 4 Rezultat: A. Zadatak 47 (Marija, gimnazija) Pravac = tangenta je hiperbole b a = a b, a pravac + = jedna je njezina asimptota. Nañi jednadžbu hiperbole. Rješenje 47 Hiperbola kojoj središte leži u ishodištu koordinatnog sustava, a realna os na osi apscisa ima jednadžbu b a = a b ili = ( kanonska jednadžba hiperbole ). a b Pravci koji sadrže dijagonale središnjeg pravokutnika s dimenzijama a i b zovu se asimptote i njihove jednadžbe glase: b b =, =. a a Pravac = k + l dira hiperbolu b a = a b onda i samo onda kad vrijedi: a k b = l.

11 Jednadžba pravca oblika = k + l naziva se eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, eksplicitna jednadžba pravca. Broj k naziva se koeficijent smjera pravca. Broj l nazivamo odsječak pravca na osi. Jednadžba pravca oblika A + B + C = naziva se implicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, opći oblik jednadžbe pravca. Jednadžbu pravca = transformiramo u eksplicitni oblik kako bismo odredili koeficijent smjera k i odsječak na osi l = 6 = = /: ( 6) = k = = = l = 3 Budući da je pravac + = jedna asimptota hiperbole, slijedi: Tada je: + = = = /: ( ) =. b = a b b / / = = a a = b a = b a = 4 b. a a = Iz svojstva dodira pravca i hiperbole izračunamo b. 5 4 a = 4 b, k =, l = b b = 4 b b = a k b = l b 6 5 b 6 4 b b = b = b = / 9 5 b 9 b = b = 6 6 b = 6 /: 6 b =. Računamo a. a = 4 b a = 4 a = 4. b = Jednadžba hiperbole glasi: a = 4, b = 4 = 4 4 = 4. b a = a b Vježba 47 Pravac = tangenta je hiperbole b a = a b, a pravac.5 + = jedna je njezina asimptota. Nañi jednadžbu hiperbole. Rezultat: 4 = 4.

12 Zadatak 48 (Ante, srednja škola) Putanja Zemlje oko Sunca je elipsa sa Suncem u jednome fokusu (žarištu). Udaljenost Zemlje od Sunca u perihelu (točki u kojoj je Zemlja najbliža Suncu) približno iznosi 47 milijuna kilometara, a udaljenost u afelu (točki u kojoj je Zemlja najudaljenija od Sunca) iznosi 5 milijuna kilometara. Koji je numerički ekscentricitet ε Zemljine putanje? Rješenje 48 m = 47 km =.47 8 km, n = 5 km =.5 8 km, Elipsa je skup svih točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti od dviju fiksnih točaka (žarišta) te ravnine konstantna veličina i iznosi a. Velika poluos je a, a mala poluos b. Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava, smjer glavne osi s osi, a smjer sporedne osi s osi ima jednadžbu b + a = a b i li + =. a b Oblik elipse definira se njezinim ekscentricitetom e. Linearni ekscentricitet elipse je udaljenost od fokusa elipse do ishodišta koordinatnog sustava. Polovica udaljenosti izmeñu žarišta je broj e koji nazivamo linearni ekscentricitet. Numerički ekscentricitet elipse: e ε =. a Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n, n. b n b Proširiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka pomnožiti istim brojem različitim od nule i jedinice a a n =, n, n. b b n a n a c a d b c a d n,, b = = =. b d b d c b c d F F e e a a Računamo veliku poluos a elipse. Sa slike vidi se (donja slika): m + n = a a = m + n m + n a = m + n / a =.

13 Računamo linearni ekscentricitet elipse. Sa slike vidi se (donja slika): m + n m + n m m + n m n m m + e = a e = a m e = m e = e = e =. Numerički ekscentricitet ε Zemljine putanje je: n m n m n m ε e n m a ε m n ε m n ε m n ε = = = = = m + n km.47 km (.5.47) km ε = ε = km +.5 km km ( ) ( ) ( ) km ε =. 8 ε = ε = ε = km ε = + 99 n F m e a Vježba 48 Putanja planeta oko zvijezde je elipsa sa zvijezdom u jednome fokusu (žarištu). Udaljenost planeta od zvijezde u perihelu (točki u kojoj je planet najbliži zvijezdi) približno iznosi 94 milijuna kilometara, a udaljenost u afelu (točki u kojoj je planet najudaljeniji od zvijezde) iznosi 34 milijuna kilometara. Koji je numerički ekscentricitet ε putanje planeta? a Rezultat: Zadatak 49 (Ivana, gimnazija) Odredi jednadžbe tangenata povučenih iz točke P(6, 3) na kružnicu =. Rješenje 49 ( ) b a b n a c a d b c a b = a a b + b, a =, n =, =. c c b d b d Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: p + q = r Opća jednadžba kružnice:. + p q + c =, r = p + q c. Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta). Jednadžba pravca oblika 3

14 = k + l naziva se eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, eksplicitna jednadžba pravca. Broj k naziva se koeficijent smjera pravca. Broj l nazivamo odsječak pravca na osi. Jednadžba pravca oblika A + B + C = naziva se implicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, opći oblik jednadžbe pravca. Tangenta (dodirnica) je pravac koji dodiruje krivulju u jednoj točki. Kružnica p + q = r i pravac dodiruju se ako i samo ako vrijedi:. = k + l ( ) ( ) r + k = k p q + l Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. a ( b + c) = a b + a c, a b + a c = a ( b + c). Da bi umnožak bio jednak nuli, dovoljno je da jedan faktor bude jednak nuli. 4. a b = a = ili b = il i a = b =. Iz opće jednadžbe kružnice odredimo p, q i r. p = p = /: ( ) + p q + c = q = 4 q = 4 /: ( ) = c = 5 c = 5 p = 6 q = r = p + q c r = 6 + ( ) 5 r = r = 5. c = 5 Budući da točka P(6, 3) pripada pravcu (tangenti) = k + l, njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu pravca. P (, ) = P ( 6, 3) 3 = 6 k + l 6 k + l = 3. = k + l Pomoću uvjeta dodira pravca i kružnice dobije se jednadžba oblika: p = 6, q =, r = 5 5 ( ) ( + k ) = ( 6 k ( ) + l) 5 ( + k ) = ( 6 k + + l). r + k = ( k p q + l) Iz sustava jednadžbi 6 k + l = 3 5 ( + k ) = ( 6 k + + l) izračunamo k koeficijent smjera i l odsječak na osi. 6 k + l = 3 l = 3 6 k metoda 5 + = = supstitucije ( k ) ( k l) ( k ) ( k l) 5 ( k ) ( 6 k 3 6 k ) 5 ( k ) ( 5 k ) + = =

15 5 + 5 k = 5 k + k k 5 + k k = k 5 + k k = 5 k + k k = 75 k + k = 75 k + k = / : 5 3 k 4 k = k 3 k 4 = 5 ( ) ( ) k = k = k = k = 4. 3 k 4 = 3 k = 4 3 k = 4 /: 3 k = 3 Dobili smo dva koeficijenta smjera. Sada računamo pripadne odsječke na osi. l = 3 6 k l = 3 6 l = 3 l = 3. k = Prva tangenta ima jednadžbu: k =, l = 3 = + 3 = + 3 = 3 3 =. = k + l l = 3 6 k l = 3 6 l = 3 l = l = l =. k = Druga tangenta ima jednadžbu: 4 55 k =, l = = = / 3 3 = = = k + l Vježba 49 Odredi jednadžbe tangenata povučenih iz točke P(5, 4) na kružnicu =. Rezultat: 4 + =, =. Zadatak 5 (Martina, TUPŠ) Kolika je ploština kružnog vijenca odreñenog kružnicama =? Rješenje 5 Zakon distribucije množenja prema zbrajanju ( a ) = a. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. Opća jednadžba kružnice: + p q + c =, r = p + q c = i Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r > (polumjeru kruga). Ploština kruga polumjera r iznosi: P = r π. Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte), manji krug polumjera r i veći polumjera R, tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu, a ne pripadaju

16 unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac. Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli gdje je R > r. ( ) P = R r π, R S r Najprije izračunamo duljine polumjera oba kruga r i r. Polumjer r ( ) ( ) p = 6 p = 6 /: p = 3 + p q + c = q = 8 q = 8 /: q = = c = c = c = polumjer kruga r = ( 3) + ( 4) ( ) r = r = 7. r = p + q c Polumjer r p = 6 p = 6 /: ( ) p = 3 + p q + c = q = 8 q = 8 /: ( ) q = = c = c = c = polumjer kruga r = ( 3) + ( 4) ( ) r = r = 5. r = p + q c Ploština kružnog vijenca jednaka je razlici ploština krugova polumjera r i r. r = 7, r = 5 P = ( 5) ( 7 ) π P = ( 5 7) π P = 98 π. P = ( r r ) π Vježba 5 Kolika je ploština kružnog vijenca odreñenog kružnicama + =? Rezultat: P = 3 π. + + = i 6

17 Zadatak 5 (Ante, srednja škola) Kolika je duljina tetive koju na krivulji 3 = 3 odsijeca pravac + 5 =? Rješenje 5 A. 6 jed. dužina B. 7 jed. dužina C. 8 jed. dužina D. 9 jed. dužina ( ) a b = a b, a b = a a b + b, a = a, a. Zakon distribucije množenja prema zbrajanju Udaljenost točaka A( ) B( ) a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c., i, : AB = + Sjecište krivulje i pravca odredimo tako da riješimo sustav jednadžbi. 3 = 3 3 = 3 metoda 3 ( 5 ) = = = 5 supstitucije ( ) = = = + 8 = + 8 = /: = a =, b = 5, c = = 5 ± 5 4 ( 4) b ± b 4 a c, = a =, b = 5, c = 4, = a = ± + ± ±, =, =, = 5 9 = 4 = =. 4 = 7 = Računamo ordinatu. = 5 = 5 = 3. = Računamo ordinatu. = 5 = 5 ( 7) = =. = 7 Sjecišta krivulje i pravca su točke: A(, ) = A(, 3). B (, ) = B ( 7, ) Računamo udaljenost točaka A i B. 7.

18 A(, ) = A(, 3) B (, ) = B ( 7, ) AB = ( 7 ) + ( 3) AB = ( ) + ( ) ( ) AB = AB = 8+ 8 AB = 8 AB = 8 Odgovor je pod D. Vježba 5 Kolika je duljina tetive koju na krivulji AB = 9 AB = 9. + = 5 odsijeca pravac =? Rezultat: A. A. 5 jed. dužina B. 3 5 jed. dužina C. 4 5 jed. dužina D. 5 5 jed. dužina Zadatak 5 (Martina, TUPŠ) 3 Odredi kut elipse i pravca ako je: = 48 i =. Rješenje 5 a a b a + b n a c a d b c a c a c a d, n,,, b + = = = = =. n n n b d b d b d b d c b c d Zakon distribucije množenja prema zbrajanju a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n, n. b n b Elipsa je skup svih točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti od dviju fiksnih točaka (žarišta) te ravnine konstantna veličina i iznosi a. Velika poluos je a, a mala poluos b. Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava, smjer glavne osi s osi, a smjer sporedne osi s osi ima jednadžbu b + a = a b i li + =. a b Jednadžba tangente Jednadžba tangente na elipsu + = u točki T(, ) te elipse glasi + =. a b a b Kut φ izmeñu dva pravca koji su odreñeni jednadžbama = k + l i = k + l, k > k računa se po formuli 8

19 k k tg ϕ =. + k k Plan rada: ❶ Odredimo koordinate sjecišta elipse i pravca. ❷ Nañemo jednadžbu tangente na elipsu u tom sjecištu. ❸ Izračunamo kut izmeñu tangente i zadanog pravca. Rad: ❶ Sjecište elipse i pravca dobije se rješavanjem sustava jednadžbi = 48 metoda = = 48 = supstitucije = = 48 = 48 = 48 /: 4 = = 4 = 4 /, = ± 4, = ±. = Računamo ordinate sjecišta i. Računamo 3 = 3 3 = = = 3. = Računamo 3 = 3 3 = ( ) = ( ) = 3. = Sjecišta elipse i pravca su točke A(, 3) i B(, 3). ❷ Jednadžba tangente na elipsu u točki A(, 3) glasi: = = 48 /: 48 + = A(, ) = A(, 3 ) A(, ) = A(, 3 ) A(, ) = A(, 3) jednadžba tangente = + = = 6 A(, ) = A(, 3 ) A(, ) = A(, 3) A(, ) = A(, 3) = + = + = + = / 4 + = = + 4 = + 4. ❸ Kut elipse i pravca je kut izmeñu tangente u zadanoj točki elipse i zadanog pravca. 9

20 kut izmeñu pravaca 3 = + 4 k = k k tg ϕ = 3 3 tg ϕ = 3 = k = + k k tg ϕ = tg ϕ = tg ϕ = tg ϕ = tg ϕ = tgϕ = 8 ϕ = tg 8 ϕ = 8 5 '3 ''. Analogno se rješenje dobije u točki B. Vježba 5 Odredi kut elipse i pravca ako je: Rezultat: 8º 5' 3''. + = i 3 =. 6 Zadatak 53 (Sanja, strukovna škola) Koja krivulja drugog reda ima jednadžbu =? A. hiperbola B. parabola C. kružnica D. elipsa Rješenje 53 Krivulja drugog reda (konika) je skup svih točaka (, ) ravnine za koje vrijedi: A + B + C + D + E + F =. Uvjet A + B +C označava da je lijeva strana polinom drugog stupnja s varijablama i. Glavne krivulje drugog reda su: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola. Elipsa je skup svih točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti od dviju fiksnih točaka (žarišta) te ravnine konstantna veličina i iznosi a. Velika poluos je a, a mala poluos b. Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava, smjer glavne osi s osi, a smjer sporedne osi s osi ima jednadžbu

21 b + a = a b i li + =. a b a b a d =. c b c d Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n, n. b n b Transformiramo zadanu jednadžbu = 3 7 = = 9 /: = + = + = Krivulja je elipsa. Odgovor je pod D. Vježba 53 Koja krivulja drugog reda ima jednadžbu =? Rezultat: D. A. hiperbola B. parabola C. kružnica D. elipsa Zadatak 54 (Irena, srednja škola) Kružnica je zadana jednadžbom ( ) ( ) kružnice za koju je >. Rješenje 54 ( ) + + = 5. Odredite točku T(, ) zadane ( a b) = a a b + b. Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta). Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: ( p) + ( q) = r. Budući da točka T pripada kružnici, koordinate točke T uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice..inačica (, ) = (, ) T T ( + ) + ( ) = = 5 + = 5 ( ) ( ) ( ) ( ) + = 5 = 5 = 5 / = ± 5 = 5 = 5 + = 7 rješenje zbog > = ± 5. = 5 = 5 + = 3 nije rješenje

22 .inačica (, ) = (, ) T T ( + ) + ( ) = = 5 + = 5 ( ) ( ) ( ) + = 5 = = = a =, b = 4, c = 4 = 4 = b ± b 4 a c a =, b = 4, c =, = a ( 4) ( 4) 4 ( ) ± , ± +, ± = =, = = = ± = 7 rješenje zbog >, =. 4 6 = 3 nije rješenje = = Vježba 54 Kružnica je zadana jednadžbom ( + ) + ( ) = 5. Odredite točku T(, ) zadane kružnice za koju je <. Rezultat: = 3. Zadatak 55 (Irena, srednja škola) A(, 6). Kružnica je zadana jednadžbom ( ) ( ) Rješenje = 5. Odredite jednadžbu tangente u točki Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta). Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. Jednadžba tangente kružnice ( p) + ( q) = r. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. p + q = r s diralištem D(, ) glasi: p p + q q = r. Najprije provjerimo pripada li točka A zadanoj kružnici. (, ) = A(, 6) A uvrstimo koordinate točke ( + ) + ( 6 ) = 5 ( + ) + ( ) = 5 u jednadžbu kružnice = = 5 5 = 5. Točka pripada kružnici. Jednadžba tangente glasi:

23 Vježba 55 A(3, 5). (, ) = (, 6) A A jednadžba tangente = 5 ( ) ( ) + ( ) ( + + = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = =. Kružnica je zadana jednadžbom ( ) ( ) Rezultat: =. + + = 5. Odredite jednadžbu tangente u točki Zadatak 56 (Nina, gimnazija) Tijelo kreće iz točke A(4, 5) i giba se po kružnici sa središtem u S(3, ) u pozitivnom smjeru do točke B(, ). Duljina kružnog luka Rješenje 56 5 π AB je AB =. Odredite koordinate točke B. a b = a b, a b = a a b + b, a b = a b a = a. n n n ( ) ( ), ( ) b a b a =. c c Neka su A(, ) i B(, ) dvije točke ravnine. Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom AB = + Ako je r polumjer kružnice, tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom l r π = α, 8 ( α ) Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta). Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: ( p) + ( q) = r. Ako su dane točke A(, ) i B(, ), onda su koordinate vektora koji ih spaja: AB ( ) i ( ). = + j Ako su vektori zadani u koordinatnom sustavu, tada se skalarni produkt definira na ovaj način:. a = a i + a j a b = a b + a b. b = b i + b j Dva su vektora a i b okomita ako im je skalarni produkt jednak nuli: a b a b + a b =. Pravac točkama A(, ), B(, ),, ima koeficijent smjera 3

24 k =. Uvjet okomitosti pravaca: Ako su pravci dani eksplicitnim jednadžbama = k + l, = k + l, tada su okomiti ako i samo ako je k k = k =. k Jednadžba pravca točkom T s danim koeficijentom smjera k Pravac kroz točku T(, ) s koeficijentom smjera k ima jednadžbu ( ) = k. 8 6 C r B S α r negativno -4-6 A pozitivno.inačica Najprije odredimo duljinu polumjera r zadane kružnice. S (, ) = S ( 3, ) A(, ) = A( 4, 5) SA = ( 4 3) + ( 5 ) SA = + ( 7) r = SA = ( ) + ( ) SA = + 49 SA = 5 SA = 5 SA = 5 SA = 5. Polumjer kružnice je r = 5. Pomoću duljine kružnog luka AB izračunamo njegov središnji kut α. 4

25 r π α 5 π α AB =, r = 5 AB = 8 8 metoda komparacij 5 π 5 π e AB = AB = 5 π α 5 π 5 π α 5 π 8 = = / α = π Točka B pripada kružnici čije je središte točka S. Jednadžba kružnice glasi: S p, q = S 3,, r = 5 ( 3) ( ) ( 5 + = ) ( p) + ( q) = r 3 + = = = 5. ( ) Uočimo da su vektori SA i SB meñusobno okomiti jer zatvaraju kut α = 9º. Odredimo vektore SA i SB. S, = S 3, A(, ) = A( 4, 5) SA ( 4 3) i ( 5 ) j SA i 7 j. = + = SA = ( ) i + ( ) j S, = S 3, B (, ) = B (, ) SB ( 3) i ( ) j. = + SB = ( ) i + ( ) j Budući da su vektori meñusobno okomiti njihov skalarni produkt jednak je nuli. SA = i 7 j SB = ( 3) i + ( ) j i 7 j ( 3) i + ( ) j = SA SB = 3 7 = = 7 + =. Sjecište pravca 7 + = i kružnice ( ) ( ) dobijemo rješavanjem sustava jednadžbi. ( ) ( ) ( ) ( ) 3 + = 5 je točka B čije koordinate 7 + = = 7 metoda 3 + = = 5 supstitucije = = = = 5

26 5 + 5 = = /: = a =, b = 4, c = = ( 4) ± ( 4) 4 3 b ± b 4 a c, = a =, b = 4, c = 3, = a = ± ± ±, =, =, = 4 = 6 = 3 =. = = Računamo. = 7 = 7 3 = =. = 3 Koordinate točke B su (, ) = B(, 3) B jer se gibamo u pozitivnom smjeru po kružnici. = 7 = 7 = 7 = 4. = Koordinate točke C su C, = C 4, jer se gibamo u negativnom smjeru po kružnici..inačica Najprije odredimo duljinu polumjera r zadane kružnice. S (, ) = S ( 3, ) A(, ) = A( 4, 5) SA = ( 4 3) + ( 5 ) SA = + ( 7) r = SA = ( ) + ( ) SA = + 49 SA = 5 SA = 5 SA = 5 SA = 5. Polumjer kružnice je r = 5. Pomoću duljine kružnog luka AB izračunamo njegov središnji kut α. r π α 5 π α AB =, r = 5 AB = 8 8 metoda komparacij 5 π 5 π e AB = AB = 6

27 5 π α 5 π 5 π α 5 π 8 = = / α = π Točka B pripada kružnici čije je središte točka S. Jednadžba kružnice glasi: S p, q = S 3,, r = 5 ( 3) ( ) ( 5 + = ) ( p) + ( q) = r 3 + = = = 5. ( ) Odredimo koeficijent smjera pravca SA. S (, ) = S ( 3, ) 5 7 A(, ) = A( 4, 5) k = k = k = k = Pravac koji prolazi točkama S i B okomit je na pravac SA (zatvaraju kut α = 9º) pa njegov koeficijent smjera ima vrijednost k = 7 k = k =. k = 7 7 k Odredimo jednadžbu pravca koji prolazi točkom S, a ima koeficijent smjera k (pravac SB). (, ) = ( 3, ) S S 3 3 k = = ( 3) = = / 7 = k ( ) 7 4 = = + 7 = + 7 = / Sjecište pravca =. + = i kružnice ( ) ( ) dobijemo rješavanjem sustava jednadžbi. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 + = 5 je točka B čije koordinate 7 + = = 7 metoda 3 + = = 5 supstitucije = = = = = = /: = 7

28 a =, b = 4, c = = ( 4) ± ( 4) 4 3 b ± b 4 a c, = a =, b = 4, c = 3, = a = ± ± ± = = =,,, 4 = 6 = = 3. = = Računamo. = 7 = 7 3 = =. = 3 Koordinate točke B su (, ) = B(, 3) B jer se gibamo u pozitivnom smjeru po kružnici. = 7 = 7 = 7 = 4. = Koordinate točke C su C, = C 4, jer se gibamo u negativnom smjeru po kružnici. Vježba 56 Tijelo kreće iz točke A(4, 5) i giba se po kružnici sa središtem u S(3, ) u negativnom smjeru do točke B(, ). Duljina kružnog luka Rezultat: B ( 4, ). Zadatak 57 (Ivana, HTK) Odredi zajedničke točke pravca 3 = i hiperbole Rješenje 57 Jednadžba pravca oblika n n n 5 π AB je AB =. Odredite koordinate točke B. 8 =. 3 ( a b) = a b, a = a i, a >, i =. A + B + C = naziva se implicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, opći oblik jednadžbe pravca. Hiperbola kojoj središte leži u ishodištu koordinatnog sustava, a realna os na osi apscisa ima jednadžbu b a = a b ili = ( kanonska jednadžba hiperbole ). a b Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

29 jedinice a n a =, n, n. b n b Koordinate zajedničkih točaka pravca i hiperbole dobit ćemo tako da riješimo sustav jednadžbi. 3 = = 3 3 ( ) 3 / = = = = / 3 3 = 3 3 = metoda 3 ( 3 ) = = = 3 supstitucije = 3 6 = 3 /: ( 6) = = = 6 6 = /, = ±, = ± i. Rješenja su imaginarni brojevi, a to znači da pravac i hiperbola nemaju zajedničkih točaka. Pogledati sliku. Vježba 57 Odredi zajedničke točke pravca = i hiperbole 3 Rezultat: Nema zajedničkih točaka. =. 3 Zadatak 58 (Ivana, HTK) Odredi jednadžbu tangente u točki D(, > ) elipse Rješenje = 8. a b = a b, a b = a a b + b, a b = a b a = a. n n n ( ) ( ), ( ) 9

30 Elipsa je skup svih točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti od dviju fiksnih točaka (žarišta) te ravnine konstantna veličina i iznosi a. Velika poluos je a, a mala poluos b. Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava, smjer glavne osi s osi, a smjer sporedne osi s osi ima jednadžbu segmentni oblik, b + a = a b ili + =. a b kanonski oblik Jednadžba pravca oblika A + B + C = naziva se implicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, opći oblik jednadžbe pravca. Tangenta koja prolazi točkom T(, ) elipse b + a = a b ili + = a b ima jednadžbu ili b + a = a b + =. a b Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n, n. b n b Prvo izračunamo ordinatu točke D. U jednadžbu elipse uvrstimo = i dobijemo kvadratnu jednadžbu. (, ) = (, ) D D + 4 = = = 8 4 = = 4 4 = 4 /: 4 = = /, = ±, = ± = = D (, ) = D (, ). = nije rješenje zbog > Ordinata koja zadovoljava uvjet > je =. Dakle, diralište je točka D(, ). Napisat ćemo segmentni oblik jednadžbe elipse = = 8 /: 8 + = + = + = Jednadžba tangente u točki D zadane elipse glasi: + = 8 8, a = b = + = + = + = a b 8 8 D (, ) = D (, ) + = + = / 4 + = =

31 Vježba 58 Odredi jednadžbu tangente u točki D(, > ) elipse Rezultat: + 4 =. + =. 8 Zadatak 59 (Ivana, HTK) Napiši jednadžbe tangenata povučenih iz točke P(4, ) na elipsu Rješenje =. Elipsa je skup svih točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti od dviju fiksnih točaka (žarišta) te ravnine konstantna veličina i iznosi a. Velika poluos je a, a mala poluos b. Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava, smjer glavne osi s osi, a smjer sporedne osi s osi ima jednadžbu segmentni oblik, b + a = a b ili + =. a b kanonski oblik Pravac = k + l dodiruje elipsu + = ako i samo ako vrijedi a b a k + b = l. n a c a d b c b a b n =, =, a =, ( a b) = a a b + b. b d b d c c Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n, n. b n b Eksplicitni oblik jednadžbe pravca: Jednadžba pravca oblika = k + l, k koeficijent smjera, l odsječak na osi. A + B + C = naziva se implicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, opći oblik jednadžbe pravca. Plan rada: ❶ Napisati jednadžbu elipse u kanonskom obliku. + =. a b ❷ Uporabiti uvjet dodira pravca i elipse. = k + l a k + b = l. + = a b ❸ Koristiti činjenicu da točka T(, ) leži na tangenti = k + l. (, ) (, ) T = T = k + l. = k + l 3

32 ❹ Riješiti sustav dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice k i l. ❺ Napisati jednadžbe tangenata. Rad: = k + l k, l rješenja. a k + b = l k, l = k + l. = k + l ❶ Jednadžbu zadane elipse napišemo u kanonskom obliku (segmentnom obliku) = + 4 = /: + = + = a = + =. 5 b = 5 ❷ Iz uvjeta dodira pravca i elipse dobije se jednadžba: a =, b = 5 k + 5 = l. a k + b = l ❸ Budući da točka P leži na tangenti = k + l, uvrstit ćemo koordinate točke P u jednadžbu tangente (pravca). P(, ) = P( 4, ) = 4 k + l 4 k + l =. = k + l ❹ Da bismo odredili k i l moramo riješiti sustav jednadžbi. 4 k + l = l = 4 k metoda k + 5 = ( 4 k ) k 5 l k 5 l supstitucije + = + = k + 5 = 8 k + 96 k k k 96 k = 96 k + 8 k + 4 = 96 k + 8 k + 4 = /: 4 4 k 7 k 6 = 3 ( ) a = 4, b = 7, c = 6 4 k 7 k 6 = b ± b 4 a c a = 4, b = 7, c = 6 k, = a ( 7) ( 7) 4 4 ( 6) k ± , 4 k ± +, 48 k ± = = =, k = k = k = k = 7 ± k =., k = k 48 = k 48 = k 48 = 8 Računamo l. l = 4 k l = 4 l = l = l = l =. k =

33 l = 4 k l = 4 l = 4 l = 7 l = k = l l = = 4 l = 4 ❺ Jednadžbe tangenata glase: 5 k =, l = = + = + / 3 3 = + 5 = k + l ( ) = = / =. 3 5 k =, l = = = / 8 8 = 3 5 = k + l =. Vježba 59 Napiši jednadžbe tangenata povučenih iz točke P(, 5) na elipsu Rezultat: 3 =, 6 + =. + 4 = 4. Zadatak 6 (Lucija, graditeljska tehnička škola) Odredi jednadžbu elipse kojoj je zadano a + b = 6, e = 8. Rješenje 6 ( a b) = a a b + b, a b = ( a b) ( a + b). Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. Elipsa je skup svih točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti od dviju fiksnih točaka (žarišta) te ravnine konstantna veličina i iznosi a. Velika poluos je a, a mala poluos b. Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava, smjer glavne osi s osi, a smjer sporedne osi s osi ima jednadžbu segmentni oblik, b + a = a b ili + =. a b kanonski oblik 33

34 Linearni ekscentricitet elipse:.inačica e = a b e = a b. a + b = 6 a + b = 6 a + b = 6 a + b = 6 metoda e = a b a b = e a b = 8 a b = 64 supstitucije b = 6 a a ( 6 a) = 64 a ( 56 3 a + a ) = 64 a b = 64 a a a = 64 a a a = a = 64 3 a = a = 3 3 a = 3 /: 3 a =. Računamo b. a + b = 6 + b = 6 b = 6 b = 6. a = Jednadžba elipse glasi: + = a b + = + = a =, b = 6.inačica a + b = 6 a + b = 6 a + b = 6 a + b = 6 e = a b a b = e a b = 8 a b = 64 a + b = 6 a + b = 6 a + b = 6 ( a + b) ( a b) = 64 ( a + b) ( a b) = 64 6 ( a b) = 64 a + b = 6 a + b = 6 metoda suprotnih a = 6 ( a b) = 64 /: 6 a b = 4 koeficijenata a = /: a =. Računamo b. a + b = 6 + b = 6 b = 6 b = 6. a = Jednadžba elipse glasi: + = a b + = + = a =, b = 6 34

35 Vježba 6 Odredi jednadžbu elipse kojoj je zadano a b = 4, e = 8. Rezultat: + =

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y . ANALITICKA GEOMETRIJA. Pravac Imlicitni oblik jednadzbe pravca: a + by + c = 0 Opci oblik pravca: gdje je : y = k+ l k koeficijent smjera pravca, k = tan α l odsjecak pravca na osi y k > 0 pravac je

Διαβάστε περισσότερα

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4. Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra

Analitička geometrija i linearna algebra 1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

I. dio. Zadaci za ponavljanje

I. dio. Zadaci za ponavljanje I. dio Zadaci za ponavljanje ZADACI ZA PONAVLJANJE. BROJEVI: Prirodni, cijeli, racionalni i realni brojevi. Izgradnja skupova N, Z, Q, R.. Odredi najveću zajedničku mjeru M(846, 46).. Napiši broj u sustavu

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 5. GEOMETRIJA 5.1 Opcenito o kutevima Poznate su slijedece vrste kuteva: siljasti kut α < 90 pravi kut α = 90 tupi kut 90 < α < 180 ravni kut α = 180 izboceni kut 180 < α < 360 puni kut α = 360 Komplementi

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIJA KUGLE I SFERE

GEOMETRIJA KUGLE I SFERE Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Ružica Korać GEOMETRIJA KUGLE I SFERE Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Maja Starčević Zagreb, rujan 2015. Svaki dan je

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA

5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA 5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMEARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINAAMA 5. Funkcije zadane u paametaskom obliku Ako se koodinate neke tocke,, zadaju u obliku funkcije neke tece pomjenjive, koja se tada naziva paameta,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Pitanja za usmeni dio ispita iz matematike

Pitanja za usmeni dio ispita iz matematike PITANJA ZA MATURALNI ISPIT Pitanja za usmeni dio ispita iz matematike. Dokazati da je zbroj unutarnjih kutova u trokutu 80 0,a spoljnjih 60 0.. Dokazati da je spoljnji kut trokuta jednak zbroju dva nesusjedna

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Primjer prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela dan je na slici. Odredimo prodor tih tijela.

Primjer prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela dan je na slici. Odredimo prodor tih tijela. S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 90 Primjer 4.56. Osnovka ABCD uspravne četverostrane prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog 2011. 1 Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno

Διαβάστε περισσότερα

Temeljni pojmovi o trokutu

Temeljni pojmovi o trokutu 1. Temeljni pojmovi o trokutu U ovom poglavlju upoznat ćemo osnovne elemente trokuta i odnose medu - njima. Zatim ćemo definirati težišnice, visine, srednjice, simetrale stranica i simetrale kutova trokuta.

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

4 Sukladnost i sličnost trokuta

4 Sukladnost i sličnost trokuta 4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

POPIS ZADATAKA: 1.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=4+3i 2.Riješi zadatak:izi= *

POPIS ZADATAKA: 1.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=4+3i 2.Riješi zadatak:izi= * POPIS ZADATAKA:.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=+i i i.riješi zadatak:izi= * i i.izračunaj:(8+6i)(8-6i)=.odredi realne brojeve i y za koje vrijedi:(-i)+(+i)y=i.riješi kvadratnu jednadžbu :9²-=0

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru

Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Darija Brajković 2. prosinca 2013. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Operacije s vektorima 4 2.1 Zbrajanje vektora...............................

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 7. razred osnovne škole

MATEMATIKA 7. razred osnovne škole Matematika 7. razred osnovne škole 1 MATEMATIKA 7. razred osnovne škole KOORDINATNI SUSTAV 1. Koordinatni sustav na pravcu Koordinatni sustav na pravcu, ishodište, jedinična dužina koordinata točke. Pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE 9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna

Διαβάστε περισσότερα

( pol funkcije), horizontalna ili kosa.

( pol funkcije), horizontalna ili kosa. 4. ANALIZA TOKA FUNKCIJE, EKSTREMI 4. Opci pojmovi Nultocke funkcije - su tocke u kojima je funkcija jednak nula. Za razlomljenu racionalnu funkciju, je kada je brojnik nula. Polovi funkcije - su tocke

Διαβάστε περισσότερα

7.5. KOORDINATNI SISTEMI

7.5. KOORDINATNI SISTEMI - 84-75 KOORDINATNI SISTEMI 75 Dekartov desni pravougli koordinatni sistem U paragrafu 73 definisali smo desni pravougli koordinatni sistem (O;i, j, k) gdje su: (a) koordinatni početak ili ishodište O

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet. Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina

Διαβάστε περισσότερα

Matematika Zbirka zadataka

Matematika Zbirka zadataka Matematika Zbirka zadataka Kristina Devčić Božidar Ivanković Veleučilište Nikola Tesla u Gospiću Uvod Unaprijed se zahvaljujemo na svakom komentaru o propustima i nedosljednostima, a svaka primjedba glede

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike

Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike Tijekom ocjenjivanja nacionalnih ispita i ispita državne mature, neovisno o razini, uvidjeli smo neke probleme pri rješavanju zadataka. Ovdje želimo navesti

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 5. TRIGONOMETRIJA 5. Definicija trigonometrijskih funkcija Naj jednostavnija definicija trigonometrijskih funkcija dobije se promatranjem pravokutnog ( ) ( r) ( ) trokuta. Svaki takav trokut, za promatrani

Διαβάστε περισσότερα

Ekstremi funkcije jedne varijable

Ekstremi funkcije jedne varijable maksimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) < f(x 0 ) (1) za po volji male vrijednosti h minimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) > f(x

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 Uvod u numeričku matematiku Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 1 Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci Numerička integracija O problemima integriranja

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...

Διαβάστε περισσότερα

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00. 4. razred-rješenja. 00 + 00 + 00 3 + 00 4 + 00 = 00 ( + + 3 + 4 + ) = 00 = 300... UKUPNO 4 BODA. 96 8 : 4 + 0 ( 68 66 ) = 96 7 + 0 = 89 + 0 = 09...

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije....................... 7. Primjeri ekonomskih funkcija.................. 78.3 Limes funkcije........................... 8.4 Neprekidnost

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2 za kemičare Drugi kolokvij svibnja 2016.

Matematika 2 za kemičare Drugi kolokvij svibnja 2016. Napomene. Dozvoljena pomagala za rješavanje kolokvija su: kalkulator, tiskane ili rukom pisane tablice s formulama i pribor za pisanje. Neće se bodovati nečitko pisani dijelovi testa. Napišite svoje ime,

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Zbirka oglednih zadataka iz matematike za pripreme za upis na Ekonomski fakultet

Zbirka oglednih zadataka iz matematike za pripreme za upis na Ekonomski fakultet X. GIMNAZIJA Zbirka oglednih zadataka iz matematike za pripreme za upis na Ekonomski fakultet Pripremila Vesna Skočir PREDGOVOR Zbirka sadrži zadatke koji su se zadnjih nekoliko godina pojavljivali na

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

Pomoć za program GeoGebra 2.5

Pomoć za program GeoGebra 2.5 Pomoć za program GeoGebra 2.5 Markus Hohenwarter, www.geogebra.at Htvatska verzija: Šime Šuljić, Ela Rac Marinić Kragić 3. svibnja 2005. Sadržaj Sadržaj 2 1 Što je program GeoGebra? 5 2 Primjeri 6 2.1

Διαβάστε περισσότερα

Obi ne diferencijalne jednadºbe

Obi ne diferencijalne jednadºbe VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 1 Obične diferencijalne jednadžbe 1. reda Obi ne diferencijalne jednadºbe Uvodni pojmovi Diferencijalne jednadºbe su jednadºbe oblika: f(,

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 29. siječnja 2007.

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 29. siječnja 2007. Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 9. siječnja 007.. U brojevnom

Διαβάστε περισσότερα

RJEŠENJA ZA 4. RAZRED

RJEŠENJA ZA 4. RAZRED RJEŠENJA ZA 4. RAZRED OVDJEJEDANJEDANNAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA- ČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK OCI- JENITI I BODOVATI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN..

Διαβάστε περισσότερα

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0 9. Z transformacija 9.. Z transformacija Z transformacija nia brojeva {f[n]} a koje vrijedi je Z [ f[n] ] = f[n] = 0, n < 0 9.) f[n] n = F ). 9.) Ovom transformacijom niu brojeva {f[n]} pridružuje se funkcija

Διαβάστε περισσότερα

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................

Διαβάστε περισσότερα

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima UVOD Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima u svrhu lakšeg praćenja i boljeg razumijevanja predavanja iz kolegija matematika. Ovi materijali čine suštinu nastavnog gradiva pa, uz obaveznu literaturu,

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u aritmetiku eliptičkih krivulja

Uvod u aritmetiku eliptičkih krivulja Uvod u aritmetiku eliptičkih krivulja 1. Uvod i motivacija - 1. lekcija Začetci ideje o eliptičkim krivuljama mogu se nazrijeti kod Diofanta (vjerojatno u 3. stoljeću) u postupku rješavanja jednadžba u

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE U RIJECI POMORSKI FAKULTET PRIMJENA MATEMATIČKIH ALATA U ELEKTROTEHNICI SKRIPTA ZA VJEŽBE

SVEUČILIŠTE U RIJECI POMORSKI FAKULTET PRIMJENA MATEMATIČKIH ALATA U ELEKTROTEHNICI SKRIPTA ZA VJEŽBE SVEUČILIŠTE U RIJECI POMORSKI FAKULTET PRIMJENA MATEMATIČKIH ALATA U ELEKTROTEHNICI SKRIPTA ZA VJEŽBE Sadržaj DVOSTRUKI INTEGRALI TROSTRUKI INTEGRALI 3 VEKTORSKA ANALIZA 4 KRIVULJNI INTEGRALI 34 5 PLOŠNI

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

SKUP REALNIH BROJEVA BROJEVI I RAČUNSKE OPERACIJE. Koja je vrijednost izraza : ? A. B. C. 5 D. 7. Koja je od navedenih tvrdnji istinita?

SKUP REALNIH BROJEVA BROJEVI I RAČUNSKE OPERACIJE. Koja je vrijednost izraza : ? A. B. C. 5 D. 7. Koja je od navedenih tvrdnji istinita? SŠ AMBROZA HARAČIĆA MALI LOŠINJ ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE Viša (A) razina Zadaci i rješenja sa nacionalnih ispita i državnih matura 006.-0. Prikupio i obradio: Ivan Brzović,prof. Mali Lošinj,rujan

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto?

Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto? Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto? Franka Miriam Brückler Igor Pažanin Zagreb, 2012. Sadržaj 1 Uvod 7 1.1 Varijable i konstante............................

Διαβάστε περισσότερα

Dirichletov princip. Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem

Dirichletov princip. Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem Dirichletov princip Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem obliku glasi ovako: Dirichletov princip: Ako n + 1 predmet rasporedimo kako

Διαβάστε περισσότερα

Zadatke trebate rjesiti potpuno samostalno. Tek ako nesto "zapne" odnosno za kontrolu rezultata koristite ove upute.

Zadatke trebate rjesiti potpuno samostalno. Tek ako nesto zapne odnosno za kontrolu rezultata koristite ove upute. 1 OE 11/12 Zadaci za pripremu III. ciklusa laboratorijskih vjezbi PTA ZA RJESAVANJE Zadatke trebate rjesiti potpuno samostalno. Tek ako nesto "zapne" odnosno za kontrolu rezultata koristite ove upute.

Διαβάστε περισσότερα

Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone.

Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone. Matrice Uvod u matrice i vektore Pretpostavite da ste odgovorni za iznajmljivanje automobila zaposlenicima svoje firme Sedmični najmovi za različite veličine automobila su: kompaktni 9KM, srednji 60KM,

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

A 2 A 1 Q=? p a. Rješenje:

A 2 A 1 Q=? p a. Rješenje: 8. VJEŽBA - RIJEŠENI ZADACI IZ MEANIKE FLUIDA. Oreite minimalni protok Q u nestlačiom strujanju fluia ko koje će ejektor početi usisaati flui kroz ertikalnu cječicu. Zaano je A = cm, A =,5 cm, h=,9 m.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

5. Aproksimacija i interpolacija

5. Aproksimacija i interpolacija APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA 56 5. Aproksimacija i interpolacija 5.. Opći problem aproksimacije Što je problem aproksimacije? Ako su poznate neke informacije o funkciji f, definiranoj na nekom skupu X

Διαβάστε περισσότερα

Nikola Sandrić MATEMATIKA 1. Gradevinski fakultet Sveučilište u Zagrebu

Nikola Sandrić MATEMATIKA 1. Gradevinski fakultet Sveučilište u Zagrebu Tomislav Došlić Nikola Sandrić MATEMATIKA 1 Gradevinski fakultet Sveučilište u Zagrebu Predgovor Poštovani čitatelji, u rukama imate nastavni materijal koji izlaže gradivo kolegija Matematika 1 za studente

Διαβάστε περισσότερα

Prirodoslovno matematički fakultet Matematički odjel

Prirodoslovno matematički fakultet Matematički odjel Prirodoslovno matematički fakultet Matematički odjel Zagreb, 31.01.006. Petra Deković Terezija Guzmić Danijel Kolarić Petra Korenić Nina Mikolaj Marin Žuvela Ovom nastavnom cjelinom uvode se u petom razredu

Διαβάστε περισσότερα

Vježbe iz matematike 1

Vježbe iz matematike 1 Vježbe iz matematike B. Ivanković N. Kapetanović 8. rujna 005. Uvod Vježbe su tijekom dugog niza održavanja nadopunjavane. Osnovu vježbi napravila je Nataša Kapetanović, ing. matematike, a podebljao ih

Διαβάστε περισσότερα