( ) ( ) ( ) ( ) x y

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "( ) ( ) ( ) ( ) x y"

Transcript

1 Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko najviše satelit može biti širok ako mu je duljina 4.4 m? Rješenje 4 Elipsa je skup svih točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti od dviju fiksnih točaka (žarišta) te ravnine konstantna veličina i iznosi a. Velika poluos je a, a mala poluos b. Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava, smjer glavne osi s osi, a smjer sporedne osi s osi ima jednadžbu b + a = a b i li + =. a b Paralelogrami su četverokuti kojima su po dvije nasuprotne stranice usporedne (paralelne). Pravokutnik je paralelogram koji ima barem jedan pravi kut (pravi kut ima 9º). Zadane su velika i mala os elipse pa njezina jednadžba glasi: a = /:.4 a = a = + = b = 4. b = 4. /: b =. a b + = + = ,5 D,5 A,5 B ,5 - -,5 Vrhovi ili tjemena elipse imaju koordinate: - -,5 ( ) ( ) ( ) ( ) A.4,, B.4,, C,., D,.. C,5 D,5 T T A,5 B ,5 T 3 T 4 - -,5 - -,5 Budući da u elipsu treba ucrtati pravokutnik duljine stranice 4.4, sa slike vidi se da će njegovi vrhovi, C

2 koji leže na elipsi, imati koordinate: T.,, T.,, T 3.,, T 4.,, >. Ucrtanom pravokutniku T T T 3 T 4 su os i os osi simetrije. Da bismo izračunali ordinatu, uvrstit ćemo koordinate, na primjer, točke T (., ) u jednadžbu elipse. (, ) = (., ) T T = + = = + = = / 4.4 = 4.4 = 4.4 / = ± 4.4 = ± Širina satelita najviše može biti: T 3 T = T 4 T = =.8393 = m. Vježba 4 Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 48 dm, a mala 4 dm. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko najviše satelit može biti širok ako mu je duljina 44 dm? Rezultat: 6.8 dm. Zadatak 4 (Iva, srednja škola) Kako glasi jednadžba kružnice kojoj su zadane koordinate krajnjih točaka promjera A( 3, ) i B(, 4)? A =, B = C =, D = Rješenje 4 a + b = a + a b + b, a b = a a b + b, a = a. ( ) Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: ( p) + ( q) = r. Opća jednadžba kružnice: + p q + c =, r = p + q c. Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta). Promjer je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici. Dužina koja spaja dvije točke kružnice zove se tetiva. Najveća tetiva prolazi središtem kružnice i zove se promjer (dijametar). Koordinate polovišta P dužine AB, A(, ), B(, ) su + + =. (, ) P, P Udaljenost točaka A( ) B( ), i, :

3 AB = ( ) + ( ). A P B A r S r B Budući da je dužina AB promjer kružnice, polovište P dužine ujedno je središte S kružnice. Računamo koordinate polovišta. A(, ) = A( 3, ) B (, ) = B(, 4 ) P(, ) = P, P(, ) = P, (, ) +, + P = P S ( p, q) = P (, ) ( ) ( ) P, = P, 3 S p, q = S, 3. Duljinu polumjera kružnice možemo izračunati na dva načina..inačica Duljina polumjera je: Neka je Tada vrijedi: r = AS ili r = SB ili r = AB. r = A(, ) = A( 3, ) S (, ) = S (, 3) r = ( ( 3) ) + ( 3 ) r = AS = ( ) + ( ).inačica r = r = + r = 4 + r = 5. U središnju jednadžbu kružnice uvrstimo koordinate točke A i središta S ili koordinate točke B i središta S. A(, ) = A( 3, ) 3 AS. ( ( )) ( ) S p, q = S, = r = r ( p) + ( q) = r

4 Jednadžba kružnice glasi: Odgovor je pod B. + = r 4 + = r r = 5. S p, q = S, 3, r = 5 ( ( ) ) ( 3) ( 5 + = ) ( p) + ( q) = r = = = =. Vježba 4 Kako glasi jednadžba kružnice kojoj su zadane koordinate krajnjih točaka promjera A(4, 6) i B(8, )? A =, B = C =, D = Rezultat: A. Zadatak 43 (Marija, gimnazija) Odredi jednadžbu elipse koja prolazi točkom T( 3, 7) te je zadan numerički ekscentricitet 3 ε =. 4 Rješenje 43 a n n a a n n n a d a c a c, ( ),, b = n a = a n = =, =. b b c b c b d b d d Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n, n. b n b Elipsa je skup svih točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti od dviju fiksnih točaka (žarišta) te ravnine konstantna veličina i iznosi a. Velika poluos je a, a mala poluos b. Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava, smjer glavne osi s osi, a smjer sporedne osi s osi ima jednadžbu b + a = a b i li + =. a b Linearni ekscentricitet elipse: e = a b e = a b. Numerički ekscentricitet elipse: e a b ε = ε =. a a Budući da točka T pripada elipsi, uvrstit ćemo njezine koordinate u jednadžbu elipse. 4

5 (, ) = T ( 3, 7) T ( 3 ) = + =. + = a b a b a b Numerički ekscentricitet elipse je zadan pa vrijedi: a b ε = metoda a b 3 a b a 3 / = = 3 komparacije a 4 a 4 ε = 4 a b a b 3 9 a b 9 a b 9 = = = = / 6 a a a a a 6 ( ) 6 a b = 9 a 6 a 6 b = 9 a 6 a 9 a = 6 b 6 7 a = 6 b 7 a = 6 b /: 7 a = b. 7 Iz sustava jednadžbi izračunamo a i b = 9 a b metoda = + = + = 6 supstitucij 6 6 e b b b b 6 b b a = b = / 6 b = 6 b 847 = 6 b 6 b = b b Računamo a b = 847 /: 6 b =. 6 6 a = b 7 metoda a a a. 847 = = = supstitucije b = 6 Jednadžba elipse glasi: a =, b = = + = b + a = a b = / = Vježba 43 Odredi jednadžbu elipse koja prolazi točkom T(3, 7) te je zadan numerički ekscentricitet 3 ε =. 4 5

6 Rezultat: = 847. Zadatak 44 (Marija, gimnazija) asimptote. Odredi jednadžbu hiperbole ako su njezini fokusi F ( 5, ) i F (5, ), a pravci Rješenje 44 n n n ( a b) = a b. = ± Hiperbola kojoj središte leži u ishodištu koordinatnog sustava, a realna os na osi apscisa ima jednadžbu b a = a b ili = ( kanonska jednadžba hiperbole ). a b Linearni ekscentricitet hiperbole: Koordinate fokusa F i F hiperbole su: e = a + b e = a + b. ( ), (, ) F e, F e. Pravci koji sadrže dijagonale središnjeg pravokutnika s dimenzijama a i b zovu se asimptote i njihove jednadžbe glase: b b =, =. a a Budući da su zadani fokusi hiperbole vrijedi: (, ) = ( 5, ) F e F 5 a b 5 a b a b 5. = + = + + = e = a + b Asimptote hiperbole su pravci pa je = ± b = ± a b b = = / a b = a a = b. a a = ± Iz sustava jednadžbi izračunamo a i b. a + b = 5 metoda ( b) + b = 5 4 b + b = 5 5 b = 5 a = b supstitucije Računamo a. 5 b = 5 /: 5 b = 45. a + b = 5 metoda a 45 5 a 5 45 a 8. + = = = b = 45 supstitucije 6

7 Jednadžba hiperbole glasi: a = 8, b = 45 =. = 8 45 a b Vježba 44 Odredi jednadžbu hiperbole ako su njezini fokusi F ( 5, ) i F (5, ), a pravci = ±.5 asimptote. Rezultat: = Zadatak 45 (Marija, gimnazija) Izračunaj duljinu tetive koju pravac 6 = odsijeca na paraboli =. Rješenje 45 n n a c a d b c a c a d + b c a a n =, =, + =, n = b d b d b d b d b n b, n n a b = n a b. ( a b) = a a b + b. Parabola je skup svih točaka ravnine koje su jednako udaljene od jednog čvrstog pravca d (ravnalice ili direktrise) i jedne čvrste točke F (žarišta ili fokusa) u toj ravnini koja ne leži na tom pravcu. Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu, a žarište na pozitivnom dijelu osi apscise ima jednadžbu Udaljenost točaka A( ) B( ), i, : = p. AB = + Odredimo presjek pravca i parabole tako da riješimo sustav jednadžbi..inačica. ( ) 6 = = + 6 = + 6 / = 6 = = = = metoda ( 6) = = = supstitucije = = / : = a =, b = 3, c = = ( 3) ± ( 3) 4 8 = b ± b 4 a c, a =, b = 3, c = 8, = a = ± ± ± 4, = 4, = 4, = = 4 7

8 8 9 = 4 =. 8 = = 4 Računamo ordinatu da bismo odredili točke presjeka. 9 = 9 9 = 6 = 6 = 9 6 = 3 = 6 9 A(, ) = A, 3. = = 6 = 4 6 = B(, ) = B(, ). = 6 Duljina tetive je duljina dužine AB. 9 A(, ) = A, (, ) (, ) ( 3) B = B AB AB ( 5 = + = + ) AB = ( ) + ( ) AB = + 5 AB = + 5 AB = + 5 AB = djelomično AB korjenovanje 4 AB 4 AB 4 AB = = = = u brojniku.inačica AB = AB =. 6 = metoda 6 = = supstitucije a =, b =, c = 6 6 = ( ) ± ( ) 4 ( 6) = b ± b 4 a c, a =, b =, c = 6, = a = ± + ± ±, =, =, = 5 = 6 = = 3. 4 = = Računamo apscisu da bismo odredili točke presjeka. 8

9 = = 9 = = 9 = 9 /: = = 9 A(, ) = A, 3. = ( ) = 4 = = 4 = 4 /: = Duljina tetive je duljina dužine AB. 9 (, ), 3 = B, = B,. A = A 9 9,, ( 3) B = B AB AB ( 5 = + = + ) AB = ( ) + ( ) AB = + 5 AB = + 5 AB = + 5 AB = djelomično AB korjenovanje 4 AB 4 AB 4 AB = = = = u brojniku AB = AB =. Vježba 45 Izračunaj duljinu tetive koju pravac + 6 = odsijeca na paraboli =. Rezultat: 5 5. Zadatak 46 (Rob, gimnazija) Kružnica a = ima polumjer r =, ako je a jednako Rješenje 46 A. B. 4 C. 6 D. 8 a + b = a + a b + b, a b = a a b + b. Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: p + q = r. Opća jednadžba kružnice: + p q + c =, r = p + q c r = p + q c. Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta)..inačica Napisat ćemo središnju jednadžbu kružnice uporabom matode nadopunjavanja na potpuni kvadrat. 9

10 a = a = a = a = Računamo a. ( ) ( ) a = + + = + 4 a + + = 5 a. p + q = r uvjet r 5 a 5 a 5 a a 5 a 4. = = = = = + + = 5 a r = Odgovor je pod B..inačica Iz opće jednadžbe kružnice očitamo p, q i c. ( ) ( ) p = p = /: p = + p q + c = q = 4 q = 4 /: q = a = c = a c = a c = a Sada je: p =, q =, c = a r = = ( ) + a = + 4 a = + 4 a a= 4. r = p + q c Odgovor je pod B. Vježba 46 Kružnica a = ima polumjer r =, ako je a jednako A. B. 3 C. D. 4 Rezultat: A. Zadatak 47 (Marija, gimnazija) Pravac = tangenta je hiperbole b a = a b, a pravac + = jedna je njezina asimptota. Nañi jednadžbu hiperbole. Rješenje 47 Hiperbola kojoj središte leži u ishodištu koordinatnog sustava, a realna os na osi apscisa ima jednadžbu b a = a b ili = ( kanonska jednadžba hiperbole ). a b Pravci koji sadrže dijagonale središnjeg pravokutnika s dimenzijama a i b zovu se asimptote i njihove jednadžbe glase: b b =, =. a a Pravac = k + l dira hiperbolu b a = a b onda i samo onda kad vrijedi: a k b = l.

11 Jednadžba pravca oblika = k + l naziva se eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, eksplicitna jednadžba pravca. Broj k naziva se koeficijent smjera pravca. Broj l nazivamo odsječak pravca na osi. Jednadžba pravca oblika A + B + C = naziva se implicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, opći oblik jednadžbe pravca. Jednadžbu pravca = transformiramo u eksplicitni oblik kako bismo odredili koeficijent smjera k i odsječak na osi l = 6 = = /: ( 6) = k = = = l = 3 Budući da je pravac + = jedna asimptota hiperbole, slijedi: Tada je: + = = = /: ( ) =. b = a b b / / = = a a = b a = b a = 4 b. a a = Iz svojstva dodira pravca i hiperbole izračunamo b. 5 4 a = 4 b, k =, l = b b = 4 b b = a k b = l b 6 5 b 6 4 b b = b = b = / 9 5 b 9 b = b = 6 6 b = 6 /: 6 b =. Računamo a. a = 4 b a = 4 a = 4. b = Jednadžba hiperbole glasi: a = 4, b = 4 = 4 4 = 4. b a = a b Vježba 47 Pravac = tangenta je hiperbole b a = a b, a pravac.5 + = jedna je njezina asimptota. Nañi jednadžbu hiperbole. Rezultat: 4 = 4.

12 Zadatak 48 (Ante, srednja škola) Putanja Zemlje oko Sunca je elipsa sa Suncem u jednome fokusu (žarištu). Udaljenost Zemlje od Sunca u perihelu (točki u kojoj je Zemlja najbliža Suncu) približno iznosi 47 milijuna kilometara, a udaljenost u afelu (točki u kojoj je Zemlja najudaljenija od Sunca) iznosi 5 milijuna kilometara. Koji je numerički ekscentricitet ε Zemljine putanje? Rješenje 48 m = 47 km =.47 8 km, n = 5 km =.5 8 km, Elipsa je skup svih točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti od dviju fiksnih točaka (žarišta) te ravnine konstantna veličina i iznosi a. Velika poluos je a, a mala poluos b. Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava, smjer glavne osi s osi, a smjer sporedne osi s osi ima jednadžbu b + a = a b i li + =. a b Oblik elipse definira se njezinim ekscentricitetom e. Linearni ekscentricitet elipse je udaljenost od fokusa elipse do ishodišta koordinatnog sustava. Polovica udaljenosti izmeñu žarišta je broj e koji nazivamo linearni ekscentricitet. Numerički ekscentricitet elipse: e ε =. a Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n, n. b n b Proširiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka pomnožiti istim brojem različitim od nule i jedinice a a n =, n, n. b b n a n a c a d b c a d n,, b = = =. b d b d c b c d F F e e a a Računamo veliku poluos a elipse. Sa slike vidi se (donja slika): m + n = a a = m + n m + n a = m + n / a =.

13 Računamo linearni ekscentricitet elipse. Sa slike vidi se (donja slika): m + n m + n m m + n m n m m + e = a e = a m e = m e = e = e =. Numerički ekscentricitet ε Zemljine putanje je: n m n m n m ε e n m a ε m n ε m n ε m n ε = = = = = m + n km.47 km (.5.47) km ε = ε = km +.5 km km ( ) ( ) ( ) km ε =. 8 ε = ε = ε = km ε = + 99 n F m e a Vježba 48 Putanja planeta oko zvijezde je elipsa sa zvijezdom u jednome fokusu (žarištu). Udaljenost planeta od zvijezde u perihelu (točki u kojoj je planet najbliži zvijezdi) približno iznosi 94 milijuna kilometara, a udaljenost u afelu (točki u kojoj je planet najudaljeniji od zvijezde) iznosi 34 milijuna kilometara. Koji je numerički ekscentricitet ε putanje planeta? a Rezultat: Zadatak 49 (Ivana, gimnazija) Odredi jednadžbe tangenata povučenih iz točke P(6, 3) na kružnicu =. Rješenje 49 ( ) b a b n a c a d b c a b = a a b + b, a =, n =, =. c c b d b d Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: p + q = r Opća jednadžba kružnice:. + p q + c =, r = p + q c. Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta). Jednadžba pravca oblika 3

14 = k + l naziva se eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, eksplicitna jednadžba pravca. Broj k naziva se koeficijent smjera pravca. Broj l nazivamo odsječak pravca na osi. Jednadžba pravca oblika A + B + C = naziva se implicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, opći oblik jednadžbe pravca. Tangenta (dodirnica) je pravac koji dodiruje krivulju u jednoj točki. Kružnica p + q = r i pravac dodiruju se ako i samo ako vrijedi:. = k + l ( ) ( ) r + k = k p q + l Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. a ( b + c) = a b + a c, a b + a c = a ( b + c). Da bi umnožak bio jednak nuli, dovoljno je da jedan faktor bude jednak nuli. 4. a b = a = ili b = il i a = b =. Iz opće jednadžbe kružnice odredimo p, q i r. p = p = /: ( ) + p q + c = q = 4 q = 4 /: ( ) = c = 5 c = 5 p = 6 q = r = p + q c r = 6 + ( ) 5 r = r = 5. c = 5 Budući da točka P(6, 3) pripada pravcu (tangenti) = k + l, njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu pravca. P (, ) = P ( 6, 3) 3 = 6 k + l 6 k + l = 3. = k + l Pomoću uvjeta dodira pravca i kružnice dobije se jednadžba oblika: p = 6, q =, r = 5 5 ( ) ( + k ) = ( 6 k ( ) + l) 5 ( + k ) = ( 6 k + + l). r + k = ( k p q + l) Iz sustava jednadžbi 6 k + l = 3 5 ( + k ) = ( 6 k + + l) izračunamo k koeficijent smjera i l odsječak na osi. 6 k + l = 3 l = 3 6 k metoda 5 + = = supstitucije ( k ) ( k l) ( k ) ( k l) 5 ( k ) ( 6 k 3 6 k ) 5 ( k ) ( 5 k ) + = =

15 5 + 5 k = 5 k + k k 5 + k k = k 5 + k k = 5 k + k k = 75 k + k = 75 k + k = / : 5 3 k 4 k = k 3 k 4 = 5 ( ) ( ) k = k = k = k = 4. 3 k 4 = 3 k = 4 3 k = 4 /: 3 k = 3 Dobili smo dva koeficijenta smjera. Sada računamo pripadne odsječke na osi. l = 3 6 k l = 3 6 l = 3 l = 3. k = Prva tangenta ima jednadžbu: k =, l = 3 = + 3 = + 3 = 3 3 =. = k + l l = 3 6 k l = 3 6 l = 3 l = l = l =. k = Druga tangenta ima jednadžbu: 4 55 k =, l = = = / 3 3 = = = k + l Vježba 49 Odredi jednadžbe tangenata povučenih iz točke P(5, 4) na kružnicu =. Rezultat: 4 + =, =. Zadatak 5 (Martina, TUPŠ) Kolika je ploština kružnog vijenca odreñenog kružnicama =? Rješenje 5 Zakon distribucije množenja prema zbrajanju ( a ) = a. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. Opća jednadžba kružnice: + p q + c =, r = p + q c = i Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r > (polumjeru kruga). Ploština kruga polumjera r iznosi: P = r π. Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte), manji krug polumjera r i veći polumjera R, tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu, a ne pripadaju

16 unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac. Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli gdje je R > r. ( ) P = R r π, R S r Najprije izračunamo duljine polumjera oba kruga r i r. Polumjer r ( ) ( ) p = 6 p = 6 /: p = 3 + p q + c = q = 8 q = 8 /: q = = c = c = c = polumjer kruga r = ( 3) + ( 4) ( ) r = r = 7. r = p + q c Polumjer r p = 6 p = 6 /: ( ) p = 3 + p q + c = q = 8 q = 8 /: ( ) q = = c = c = c = polumjer kruga r = ( 3) + ( 4) ( ) r = r = 5. r = p + q c Ploština kružnog vijenca jednaka je razlici ploština krugova polumjera r i r. r = 7, r = 5 P = ( 5) ( 7 ) π P = ( 5 7) π P = 98 π. P = ( r r ) π Vježba 5 Kolika je ploština kružnog vijenca odreñenog kružnicama + =? Rezultat: P = 3 π. + + = i 6

17 Zadatak 5 (Ante, srednja škola) Kolika je duljina tetive koju na krivulji 3 = 3 odsijeca pravac + 5 =? Rješenje 5 A. 6 jed. dužina B. 7 jed. dužina C. 8 jed. dužina D. 9 jed. dužina ( ) a b = a b, a b = a a b + b, a = a, a. Zakon distribucije množenja prema zbrajanju Udaljenost točaka A( ) B( ) a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c., i, : AB = + Sjecište krivulje i pravca odredimo tako da riješimo sustav jednadžbi. 3 = 3 3 = 3 metoda 3 ( 5 ) = = = 5 supstitucije ( ) = = = + 8 = + 8 = /: = a =, b = 5, c = = 5 ± 5 4 ( 4) b ± b 4 a c, = a =, b = 5, c = 4, = a = ± + ± ±, =, =, = 5 9 = 4 = =. 4 = 7 = Računamo ordinatu. = 5 = 5 = 3. = Računamo ordinatu. = 5 = 5 ( 7) = =. = 7 Sjecišta krivulje i pravca su točke: A(, ) = A(, 3). B (, ) = B ( 7, ) Računamo udaljenost točaka A i B. 7.

18 A(, ) = A(, 3) B (, ) = B ( 7, ) AB = ( 7 ) + ( 3) AB = ( ) + ( ) ( ) AB = AB = 8+ 8 AB = 8 AB = 8 Odgovor je pod D. Vježba 5 Kolika je duljina tetive koju na krivulji AB = 9 AB = 9. + = 5 odsijeca pravac =? Rezultat: A. A. 5 jed. dužina B. 3 5 jed. dužina C. 4 5 jed. dužina D. 5 5 jed. dužina Zadatak 5 (Martina, TUPŠ) 3 Odredi kut elipse i pravca ako je: = 48 i =. Rješenje 5 a a b a + b n a c a d b c a c a c a d, n,,, b + = = = = =. n n n b d b d b d b d c b c d Zakon distribucije množenja prema zbrajanju a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n, n. b n b Elipsa je skup svih točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti od dviju fiksnih točaka (žarišta) te ravnine konstantna veličina i iznosi a. Velika poluos je a, a mala poluos b. Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava, smjer glavne osi s osi, a smjer sporedne osi s osi ima jednadžbu b + a = a b i li + =. a b Jednadžba tangente Jednadžba tangente na elipsu + = u točki T(, ) te elipse glasi + =. a b a b Kut φ izmeñu dva pravca koji su odreñeni jednadžbama = k + l i = k + l, k > k računa se po formuli 8

19 k k tg ϕ =. + k k Plan rada: ❶ Odredimo koordinate sjecišta elipse i pravca. ❷ Nañemo jednadžbu tangente na elipsu u tom sjecištu. ❸ Izračunamo kut izmeñu tangente i zadanog pravca. Rad: ❶ Sjecište elipse i pravca dobije se rješavanjem sustava jednadžbi = 48 metoda = = 48 = supstitucije = = 48 = 48 = 48 /: 4 = = 4 = 4 /, = ± 4, = ±. = Računamo ordinate sjecišta i. Računamo 3 = 3 3 = = = 3. = Računamo 3 = 3 3 = ( ) = ( ) = 3. = Sjecišta elipse i pravca su točke A(, 3) i B(, 3). ❷ Jednadžba tangente na elipsu u točki A(, 3) glasi: = = 48 /: 48 + = A(, ) = A(, 3 ) A(, ) = A(, 3 ) A(, ) = A(, 3) jednadžba tangente = + = = 6 A(, ) = A(, 3 ) A(, ) = A(, 3) A(, ) = A(, 3) = + = + = + = / 4 + = = + 4 = + 4. ❸ Kut elipse i pravca je kut izmeñu tangente u zadanoj točki elipse i zadanog pravca. 9

20 kut izmeñu pravaca 3 = + 4 k = k k tg ϕ = 3 3 tg ϕ = 3 = k = + k k tg ϕ = tg ϕ = tg ϕ = tg ϕ = tg ϕ = tgϕ = 8 ϕ = tg 8 ϕ = 8 5 '3 ''. Analogno se rješenje dobije u točki B. Vježba 5 Odredi kut elipse i pravca ako je: Rezultat: 8º 5' 3''. + = i 3 =. 6 Zadatak 53 (Sanja, strukovna škola) Koja krivulja drugog reda ima jednadžbu =? A. hiperbola B. parabola C. kružnica D. elipsa Rješenje 53 Krivulja drugog reda (konika) je skup svih točaka (, ) ravnine za koje vrijedi: A + B + C + D + E + F =. Uvjet A + B +C označava da je lijeva strana polinom drugog stupnja s varijablama i. Glavne krivulje drugog reda su: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola. Elipsa je skup svih točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti od dviju fiksnih točaka (žarišta) te ravnine konstantna veličina i iznosi a. Velika poluos je a, a mala poluos b. Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava, smjer glavne osi s osi, a smjer sporedne osi s osi ima jednadžbu

21 b + a = a b i li + =. a b a b a d =. c b c d Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n, n. b n b Transformiramo zadanu jednadžbu = 3 7 = = 9 /: = + = + = Krivulja je elipsa. Odgovor je pod D. Vježba 53 Koja krivulja drugog reda ima jednadžbu =? Rezultat: D. A. hiperbola B. parabola C. kružnica D. elipsa Zadatak 54 (Irena, srednja škola) Kružnica je zadana jednadžbom ( ) ( ) kružnice za koju je >. Rješenje 54 ( ) + + = 5. Odredite točku T(, ) zadane ( a b) = a a b + b. Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta). Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: ( p) + ( q) = r. Budući da točka T pripada kružnici, koordinate točke T uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice..inačica (, ) = (, ) T T ( + ) + ( ) = = 5 + = 5 ( ) ( ) ( ) ( ) + = 5 = 5 = 5 / = ± 5 = 5 = 5 + = 7 rješenje zbog > = ± 5. = 5 = 5 + = 3 nije rješenje

22 .inačica (, ) = (, ) T T ( + ) + ( ) = = 5 + = 5 ( ) ( ) ( ) + = 5 = = = a =, b = 4, c = 4 = 4 = b ± b 4 a c a =, b = 4, c =, = a ( 4) ( 4) 4 ( ) ± , ± +, ± = =, = = = ± = 7 rješenje zbog >, =. 4 6 = 3 nije rješenje = = Vježba 54 Kružnica je zadana jednadžbom ( + ) + ( ) = 5. Odredite točku T(, ) zadane kružnice za koju je <. Rezultat: = 3. Zadatak 55 (Irena, srednja škola) A(, 6). Kružnica je zadana jednadžbom ( ) ( ) Rješenje = 5. Odredite jednadžbu tangente u točki Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta). Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. Jednadžba tangente kružnice ( p) + ( q) = r. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. p + q = r s diralištem D(, ) glasi: p p + q q = r. Najprije provjerimo pripada li točka A zadanoj kružnici. (, ) = A(, 6) A uvrstimo koordinate točke ( + ) + ( 6 ) = 5 ( + ) + ( ) = 5 u jednadžbu kružnice = = 5 5 = 5. Točka pripada kružnici. Jednadžba tangente glasi:

23 Vježba 55 A(3, 5). (, ) = (, 6) A A jednadžba tangente = 5 ( ) ( ) + ( ) ( + + = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = =. Kružnica je zadana jednadžbom ( ) ( ) Rezultat: =. + + = 5. Odredite jednadžbu tangente u točki Zadatak 56 (Nina, gimnazija) Tijelo kreće iz točke A(4, 5) i giba se po kružnici sa središtem u S(3, ) u pozitivnom smjeru do točke B(, ). Duljina kružnog luka Rješenje 56 5 π AB je AB =. Odredite koordinate točke B. a b = a b, a b = a a b + b, a b = a b a = a. n n n ( ) ( ), ( ) b a b a =. c c Neka su A(, ) i B(, ) dvije točke ravnine. Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom AB = + Ako je r polumjer kružnice, tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom l r π = α, 8 ( α ) Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta). Ako je S(p, q) središte kružnice, a r polumjer, tada središnja jednadžba kružnice glasi: ( p) + ( q) = r. Ako su dane točke A(, ) i B(, ), onda su koordinate vektora koji ih spaja: AB ( ) i ( ). = + j Ako su vektori zadani u koordinatnom sustavu, tada se skalarni produkt definira na ovaj način:. a = a i + a j a b = a b + a b. b = b i + b j Dva su vektora a i b okomita ako im je skalarni produkt jednak nuli: a b a b + a b =. Pravac točkama A(, ), B(, ),, ima koeficijent smjera 3

24 k =. Uvjet okomitosti pravaca: Ako su pravci dani eksplicitnim jednadžbama = k + l, = k + l, tada su okomiti ako i samo ako je k k = k =. k Jednadžba pravca točkom T s danim koeficijentom smjera k Pravac kroz točku T(, ) s koeficijentom smjera k ima jednadžbu ( ) = k. 8 6 C r B S α r negativno -4-6 A pozitivno.inačica Najprije odredimo duljinu polumjera r zadane kružnice. S (, ) = S ( 3, ) A(, ) = A( 4, 5) SA = ( 4 3) + ( 5 ) SA = + ( 7) r = SA = ( ) + ( ) SA = + 49 SA = 5 SA = 5 SA = 5 SA = 5. Polumjer kružnice je r = 5. Pomoću duljine kružnog luka AB izračunamo njegov središnji kut α. 4

25 r π α 5 π α AB =, r = 5 AB = 8 8 metoda komparacij 5 π 5 π e AB = AB = 5 π α 5 π 5 π α 5 π 8 = = / α = π Točka B pripada kružnici čije je središte točka S. Jednadžba kružnice glasi: S p, q = S 3,, r = 5 ( 3) ( ) ( 5 + = ) ( p) + ( q) = r 3 + = = = 5. ( ) Uočimo da su vektori SA i SB meñusobno okomiti jer zatvaraju kut α = 9º. Odredimo vektore SA i SB. S, = S 3, A(, ) = A( 4, 5) SA ( 4 3) i ( 5 ) j SA i 7 j. = + = SA = ( ) i + ( ) j S, = S 3, B (, ) = B (, ) SB ( 3) i ( ) j. = + SB = ( ) i + ( ) j Budući da su vektori meñusobno okomiti njihov skalarni produkt jednak je nuli. SA = i 7 j SB = ( 3) i + ( ) j i 7 j ( 3) i + ( ) j = SA SB = 3 7 = = 7 + =. Sjecište pravca 7 + = i kružnice ( ) ( ) dobijemo rješavanjem sustava jednadžbi. ( ) ( ) ( ) ( ) 3 + = 5 je točka B čije koordinate 7 + = = 7 metoda 3 + = = 5 supstitucije = = = = 5

26 5 + 5 = = /: = a =, b = 4, c = = ( 4) ± ( 4) 4 3 b ± b 4 a c, = a =, b = 4, c = 3, = a = ± ± ±, =, =, = 4 = 6 = 3 =. = = Računamo. = 7 = 7 3 = =. = 3 Koordinate točke B su (, ) = B(, 3) B jer se gibamo u pozitivnom smjeru po kružnici. = 7 = 7 = 7 = 4. = Koordinate točke C su C, = C 4, jer se gibamo u negativnom smjeru po kružnici..inačica Najprije odredimo duljinu polumjera r zadane kružnice. S (, ) = S ( 3, ) A(, ) = A( 4, 5) SA = ( 4 3) + ( 5 ) SA = + ( 7) r = SA = ( ) + ( ) SA = + 49 SA = 5 SA = 5 SA = 5 SA = 5. Polumjer kružnice je r = 5. Pomoću duljine kružnog luka AB izračunamo njegov središnji kut α. r π α 5 π α AB =, r = 5 AB = 8 8 metoda komparacij 5 π 5 π e AB = AB = 6

27 5 π α 5 π 5 π α 5 π 8 = = / α = π Točka B pripada kružnici čije je središte točka S. Jednadžba kružnice glasi: S p, q = S 3,, r = 5 ( 3) ( ) ( 5 + = ) ( p) + ( q) = r 3 + = = = 5. ( ) Odredimo koeficijent smjera pravca SA. S (, ) = S ( 3, ) 5 7 A(, ) = A( 4, 5) k = k = k = k = Pravac koji prolazi točkama S i B okomit je na pravac SA (zatvaraju kut α = 9º) pa njegov koeficijent smjera ima vrijednost k = 7 k = k =. k = 7 7 k Odredimo jednadžbu pravca koji prolazi točkom S, a ima koeficijent smjera k (pravac SB). (, ) = ( 3, ) S S 3 3 k = = ( 3) = = / 7 = k ( ) 7 4 = = + 7 = + 7 = / Sjecište pravca =. + = i kružnice ( ) ( ) dobijemo rješavanjem sustava jednadžbi. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 + = 5 je točka B čije koordinate 7 + = = 7 metoda 3 + = = 5 supstitucije = = = = = = /: = 7

28 a =, b = 4, c = = ( 4) ± ( 4) 4 3 b ± b 4 a c, = a =, b = 4, c = 3, = a = ± ± ± = = =,,, 4 = 6 = = 3. = = Računamo. = 7 = 7 3 = =. = 3 Koordinate točke B su (, ) = B(, 3) B jer se gibamo u pozitivnom smjeru po kružnici. = 7 = 7 = 7 = 4. = Koordinate točke C su C, = C 4, jer se gibamo u negativnom smjeru po kružnici. Vježba 56 Tijelo kreće iz točke A(4, 5) i giba se po kružnici sa središtem u S(3, ) u negativnom smjeru do točke B(, ). Duljina kružnog luka Rezultat: B ( 4, ). Zadatak 57 (Ivana, HTK) Odredi zajedničke točke pravca 3 = i hiperbole Rješenje 57 Jednadžba pravca oblika n n n 5 π AB je AB =. Odredite koordinate točke B. 8 =. 3 ( a b) = a b, a = a i, a >, i =. A + B + C = naziva se implicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, opći oblik jednadžbe pravca. Hiperbola kojoj središte leži u ishodištu koordinatnog sustava, a realna os na osi apscisa ima jednadžbu b a = a b ili = ( kanonska jednadžba hiperbole ). a b Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

29 jedinice a n a =, n, n. b n b Koordinate zajedničkih točaka pravca i hiperbole dobit ćemo tako da riješimo sustav jednadžbi. 3 = = 3 3 ( ) 3 / = = = = / 3 3 = 3 3 = metoda 3 ( 3 ) = = = 3 supstitucije = 3 6 = 3 /: ( 6) = = = 6 6 = /, = ±, = ± i. Rješenja su imaginarni brojevi, a to znači da pravac i hiperbola nemaju zajedničkih točaka. Pogledati sliku. Vježba 57 Odredi zajedničke točke pravca = i hiperbole 3 Rezultat: Nema zajedničkih točaka. =. 3 Zadatak 58 (Ivana, HTK) Odredi jednadžbu tangente u točki D(, > ) elipse Rješenje = 8. a b = a b, a b = a a b + b, a b = a b a = a. n n n ( ) ( ), ( ) 9

30 Elipsa je skup svih točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti od dviju fiksnih točaka (žarišta) te ravnine konstantna veličina i iznosi a. Velika poluos je a, a mala poluos b. Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava, smjer glavne osi s osi, a smjer sporedne osi s osi ima jednadžbu segmentni oblik, b + a = a b ili + =. a b kanonski oblik Jednadžba pravca oblika A + B + C = naziva se implicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, opći oblik jednadžbe pravca. Tangenta koja prolazi točkom T(, ) elipse b + a = a b ili + = a b ima jednadžbu ili b + a = a b + =. a b Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n, n. b n b Prvo izračunamo ordinatu točke D. U jednadžbu elipse uvrstimo = i dobijemo kvadratnu jednadžbu. (, ) = (, ) D D + 4 = = = 8 4 = = 4 4 = 4 /: 4 = = /, = ±, = ± = = D (, ) = D (, ). = nije rješenje zbog > Ordinata koja zadovoljava uvjet > je =. Dakle, diralište je točka D(, ). Napisat ćemo segmentni oblik jednadžbe elipse = = 8 /: 8 + = + = + = Jednadžba tangente u točki D zadane elipse glasi: + = 8 8, a = b = + = + = + = a b 8 8 D (, ) = D (, ) + = + = / 4 + = =

31 Vježba 58 Odredi jednadžbu tangente u točki D(, > ) elipse Rezultat: + 4 =. + =. 8 Zadatak 59 (Ivana, HTK) Napiši jednadžbe tangenata povučenih iz točke P(4, ) na elipsu Rješenje =. Elipsa je skup svih točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti od dviju fiksnih točaka (žarišta) te ravnine konstantna veličina i iznosi a. Velika poluos je a, a mala poluos b. Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava, smjer glavne osi s osi, a smjer sporedne osi s osi ima jednadžbu segmentni oblik, b + a = a b ili + =. a b kanonski oblik Pravac = k + l dodiruje elipsu + = ako i samo ako vrijedi a b a k + b = l. n a c a d b c b a b n =, =, a =, ( a b) = a a b + b. b d b d c c Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice a n a =, n, n. b n b Eksplicitni oblik jednadžbe pravca: Jednadžba pravca oblika = k + l, k koeficijent smjera, l odsječak na osi. A + B + C = naziva se implicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, opći oblik jednadžbe pravca. Plan rada: ❶ Napisati jednadžbu elipse u kanonskom obliku. + =. a b ❷ Uporabiti uvjet dodira pravca i elipse. = k + l a k + b = l. + = a b ❸ Koristiti činjenicu da točka T(, ) leži na tangenti = k + l. (, ) (, ) T = T = k + l. = k + l 3

32 ❹ Riješiti sustav dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice k i l. ❺ Napisati jednadžbe tangenata. Rad: = k + l k, l rješenja. a k + b = l k, l = k + l. = k + l ❶ Jednadžbu zadane elipse napišemo u kanonskom obliku (segmentnom obliku) = + 4 = /: + = + = a = + =. 5 b = 5 ❷ Iz uvjeta dodira pravca i elipse dobije se jednadžba: a =, b = 5 k + 5 = l. a k + b = l ❸ Budući da točka P leži na tangenti = k + l, uvrstit ćemo koordinate točke P u jednadžbu tangente (pravca). P(, ) = P( 4, ) = 4 k + l 4 k + l =. = k + l ❹ Da bismo odredili k i l moramo riješiti sustav jednadžbi. 4 k + l = l = 4 k metoda k + 5 = ( 4 k ) k 5 l k 5 l supstitucije + = + = k + 5 = 8 k + 96 k k k 96 k = 96 k + 8 k + 4 = 96 k + 8 k + 4 = /: 4 4 k 7 k 6 = 3 ( ) a = 4, b = 7, c = 6 4 k 7 k 6 = b ± b 4 a c a = 4, b = 7, c = 6 k, = a ( 7) ( 7) 4 4 ( 6) k ± , 4 k ± +, 48 k ± = = =, k = k = k = k = 7 ± k =., k = k 48 = k 48 = k 48 = 8 Računamo l. l = 4 k l = 4 l = l = l = l =. k =

33 l = 4 k l = 4 l = 4 l = 7 l = k = l l = = 4 l = 4 ❺ Jednadžbe tangenata glase: 5 k =, l = = + = + / 3 3 = + 5 = k + l ( ) = = / =. 3 5 k =, l = = = / 8 8 = 3 5 = k + l =. Vježba 59 Napiši jednadžbe tangenata povučenih iz točke P(, 5) na elipsu Rezultat: 3 =, 6 + =. + 4 = 4. Zadatak 6 (Lucija, graditeljska tehnička škola) Odredi jednadžbu elipse kojoj je zadano a + b = 6, e = 8. Rješenje 6 ( a b) = a a b + b, a b = ( a b) ( a + b). Zakon distribucije množenja prema zbrajanju. a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. Elipsa je skup svih točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti od dviju fiksnih točaka (žarišta) te ravnine konstantna veličina i iznosi a. Velika poluos je a, a mala poluos b. Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava, smjer glavne osi s osi, a smjer sporedne osi s osi ima jednadžbu segmentni oblik, b + a = a b ili + =. a b kanonski oblik 33

34 Linearni ekscentricitet elipse:.inačica e = a b e = a b. a + b = 6 a + b = 6 a + b = 6 a + b = 6 metoda e = a b a b = e a b = 8 a b = 64 supstitucije b = 6 a a ( 6 a) = 64 a ( 56 3 a + a ) = 64 a b = 64 a a a = 64 a a a = a = 64 3 a = a = 3 3 a = 3 /: 3 a =. Računamo b. a + b = 6 + b = 6 b = 6 b = 6. a = Jednadžba elipse glasi: + = a b + = + = a =, b = 6.inačica a + b = 6 a + b = 6 a + b = 6 a + b = 6 e = a b a b = e a b = 8 a b = 64 a + b = 6 a + b = 6 a + b = 6 ( a + b) ( a b) = 64 ( a + b) ( a b) = 64 6 ( a b) = 64 a + b = 6 a + b = 6 metoda suprotnih a = 6 ( a b) = 64 /: 6 a b = 4 koeficijenata a = /: a =. Računamo b. a + b = 6 + b = 6 b = 6 b = 6. a = Jednadžba elipse glasi: + = a b + = + = a =, b = 6 34

35 Vježba 6 Odredi jednadžbu elipse kojoj je zadano a b = 4, e = 8. Rezultat: + =

USB Charger. Battery charger/power supply via 12 or 24V cigarette lighter

USB Charger. Battery charger/power supply via 12 or 24V cigarette lighter USB Charger Battery charger/power supply via 12 or 24V cigarette lighter Compact charger for devices chargeable via USB For example ipod, iphone, MP3 player, etc. Output voltage: 5V; up to 1.2A; short-circuit

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU. 1 Prskalica je pogodna za rasprsivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Prskalica je namenjena za kućnu upotrebu,

Διαβάστε περισσότερα

e-κτιθέμεθα Tαξιδεύουμε στο Μαυροβούνιο και μαθαίνουμε Σέρβικα (γκλουπ, συγνώμη Μαυροβουνιακά). DNEVNE NOVINE! Ανακαλύπτουμε τα καλά

e-κτιθέμεθα Tαξιδεύουμε στο Μαυροβούνιο και μαθαίνουμε Σέρβικα (γκλουπ, συγνώμη Μαυροβουνιακά). DNEVNE NOVINE! Ανακαλύπτουμε τα καλά e-κτιθέμεθα δημιουργικώς ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2011 Tαξιδεύουμε στο Μαυροβούνιο και μαθαίνουμε Σέρβικα (γκλουπ, συγνώμη Μαυροβουνιακά). DNEVNE NOVINE! Ανακαλύπτουμε τα καλά της επικοινωνίας με το adbook. Συμμετέχουμε

Διαβάστε περισσότερα

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12,999,976 km 9,136,765 km 1,276,765 km 499,892 km 245,066 km 112,907 km 36,765 km 24,159 km 7899 km 2408 km 76 km 12 14 16 3 6 11 1 12 7 1 2 5 4 3 9 10 8 18 20 21 22 23 24 25 26

Διαβάστε περισσότερα

Hiotakis: Otkriće nafte i gasa donijeće procvat ekonomije Crne Gore

Hiotakis: Otkriće nafte i gasa donijeće procvat ekonomije Crne Gore Εφημερίδα Pobjeda, κρατική - 17/5/2014 Objavljeno: sub, 17. maj, 2014. Osvježeno: danas 8:40 Hiotakis: Otkriće nafte i gasa donijeće procvat ekonomije Crne Gore PODGORICA Crnogorsku ekonomiju očekuje procvat

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 12 L / LELA16 L

PRSKALICA - LELA 12 L / LELA16 L PRSKALICA - LELA 12 L / LELA16 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU 1 Prskalica je pogodna za raspršivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Uredjaj je namenjen za kućnu,

Διαβάστε περισσότερα

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.587 Π Ρ Α Ξ Η Κ Α Τ Α Θ Ε Σ Η Σ Ο Ρ Ω Ν Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Ο Υ

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.587 Π Ρ Α Ξ Η Κ Α Τ Α Θ Ε Σ Η Σ Ο Ρ Ω Ν Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Ο Υ Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.587 Π Ρ Α Ξ Η Κ Α Τ Α Θ Ε Σ Η Σ Ο Ρ Ω Ν Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Ο Υ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς έ ν τ ε κ α ( 1 1 ) τ ο υ μ ή ν α Α π ρ ι λ ί ο υ η μ έ ρ α Π α ρ α σ κ ε υ ή, τ ο

Διαβάστε περισσότερα

Upute za uporabu SUŠILICA RUBLJA. Kazalo IDCA G35

Upute za uporabu SUŠILICA RUBLJA. Kazalo IDCA G35 Upute za uporabu SUŠILICA RUBLJA HR Hrvatski,1 GR Ελληνικά,17 PT Português,33 Kazalo Važne informacije, 2-3 Postavljanje, 4 Gdje postaviti sušilicu rublja Prozračivanje Električni priključak Uvodne informacije

Διαβάστε περισσότερα

Upute za uporabu. Kazalo SUŠILICA RUBLJA IDCL 75 B H

Upute za uporabu. Kazalo SUŠILICA RUBLJA IDCL 75 B H Upute za uporabu SUŠILICA RUBLJA HR Hrvatski,1 DE Deutsch,33 IDCL 75 B H www.indesit.com GR! Ovaj vas simbol podsjeća da morate pročitati ovu knjižicu s uputama.! Ovu knjižicu držite pri ruci kako biste

Διαβάστε περισσότερα

Upute za uporabu. Kazalo SUŠILICA RUBLJA IDCL G5 B H

Upute za uporabu. Kazalo SUŠILICA RUBLJA IDCL G5 B H Upute za uporabu SUŠILICA RUBLJA HR Hrvatski, 1 IT Italino, 33 IDCL G5 B H www.indesit.com GR! Ovaj vas simbol podsjeća da morate pročitati ovu knjižicu s uputama.! Ovu knjižicu držite pri ruci kako biste

Διαβάστε περισσότερα

Instructions for use WASHING MACHINE. Contents IWSE 61051

Instructions for use WASHING MACHINE. Contents IWSE 61051 Instructions for use WASHING MACHINE GB English,1 HR Hrvatski,13 GR Ελληνικά, 25 Contents Installation, 2-3 Unpacking and levelling Connecting the electricity and water supplies The first wash cycle Technical

Διαβάστε περισσότερα

IAN 73789 AIR SANDER PDEXS 150 A1. AIR SANDER Operation and Safety Notes Translation of original operation manual

IAN 73789 AIR SANDER PDEXS 150 A1. AIR SANDER Operation and Safety Notes Translation of original operation manual AIR SANDER PDEXS 150 A1 AIR SANDER Operation and Safety Notes Translation of original operation manual ŞLEFUITOR EXCENTRIC CU AER COMPRIMAT Instrucţiuni de utilizare şi de siguranţă Traducerea instrucţiunilor

Διαβάστε περισσότερα

Logamatic SC20. el Οδηγία εγκατάστασης και χρήσης 2 hr Upute za instaliranje i rukovanje 27 sl Navodila za namestitev in uporabo 49

Logamatic SC20. el Οδηγία εγκατάστασης και χρήσης 2 hr Upute za instaliranje i rukovanje 27 sl Navodila za namestitev in uporabo 49 el Οδηγία εγκατάστασης και χρήσης 2 hr Upute za instaliranje i rukovanje 27 sl Navodila za namestitev in uporabo 49 7747006071-00.1 SD Logamatic SC20 7 747 008 478 (02/2007) Περιεχόµενα Περιεχόµενα 1 Υποδείξεις

Διαβάστε περισσότερα

MOTORNI TRIMERI BC-900 (S) / BC-1250 ( S,XC ) / BC-1900 (S, XC)

MOTORNI TRIMERI BC-900 (S) / BC-1250 ( S,XC ) / BC-1900 (S, XC) MOTORNI TRIMERI BC-900 (S) / BC-1250 ( S,XC ) / BC-1900 (S, XC) UPUTSTVO ZA UPOTREBU PROČITAJTE OVO UPUTSTVO PAŽLJIVO 1 Hvala na poverenju pri kupovini našeg Villager motornog trimera. Motorni trimeri

Διαβάστε περισσότερα

Džepni turistički rečnik

Džepni turistički rečnik GRČKI 28. jul Samo u Novostima Džepni turistički rečnik Audio-verzija Audio verzija na www.novosti.rs 4.avgust Turski 11. avgust Nemački 18. avgust Ruski 1 2 1 Putovanje Putovanje PUTOVANJE Ταξίδι AUDIO

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo znanosti, obrazovanja i športa Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko društvo klasičnih filologa ZAPORKA NATJECATELJA: ŽUPANIJSKO NATJECANJE U POZNAVANJU KLASIČNIH JEZIKA u kategoriji GRČKI

Διαβάστε περισσότερα

g j ispred e i i Γ γ kao th u engl. that Θ θ Λ λ l λεξικό leksiko Π π p πόλη poli Χ χ h χάος haos gramatiki, jeolojia δelfini

g j ispred e i i Γ γ kao th u engl. that Θ θ Λ λ l λεξικό leksiko Π π p πόλη poli Χ χ h χάος haos gramatiki, jeolojia δelfini Kratki frazeološki rječnik novogrčkog jezika izgovor Naglasak: mjesto naglaska bilježi se akutom ( ) ; na jednosložnim riječima naglasak se ne bilježi. Upitnik se bilježi znakom ; slovo izgovor primjer

Διαβάστε περισσότερα

English... 2 Be sure to note the fold-out page. Hrvatski... 12. Românã... 23... 33. Deutsch... 57 Bitte beachten Sie die Ausklappseite

English... 2 Be sure to note the fold-out page. Hrvatski... 12. Românã... 23... 33. Deutsch... 57 Bitte beachten Sie die Ausklappseite RP71568-Fritteuse LB7 Seite 1 Montag, 19. Dezember 2011 2:34 14 English......................................... 2 Be sure to note the fold-out page. Hrvatski....................................... 12

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΗ PJESME SAPFO. Priredio i preveo Orsat Ligorio

ΜΕΛΗ PJESME SAPFO. Priredio i preveo Orsat Ligorio ΣΑΠΦΩ ΜΕΛΗ PJESME SAPFO Priredio i preveo Orsat Ligorio Uvod Protkan famom od najstarijih vremena, Sapfin je životopis zapravo nepoznat. Prema Strabonu (13. 2, 3) rođena je oko 630 pr.n.e. u mjestu Erez

Διαβάστε περισσότερα

ELECTRIC NAILER / STAPLER PHET 15 A1

ELECTRIC NAILER / STAPLER PHET 15 A1 ELECTRIC NAILER / STAPLER PHET 15 A1 ELECTRIC NAILER / STAPLER Operation and Safety Notes Translation of original operation manual ELEKTRIČNA KLAMERICA Upute za posluživanje i za Vašu sigurnost Prijevod

Διαβάστε περισσότερα

100 240 Vac 50/60 Hz

100 240 Vac 50/60 Hz 26 mm 332353 LE07922AA -14W45 238 mm 167 mm 160 165 cm Ø 6 mm 100 240 Vac 50/60 Hz Cables specifications Specifiche dei cavi Especificaciones cables Προδιαγραφές καλωδίων Specifikacije kablova Specifikimet

Διαβάστε περισσότερα

Washing Machine User s Manual Perilica rublja Korisnički priručnik Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Pralni stroj Navodila za uporabo

Washing Machine User s Manual Perilica rublja Korisnički priručnik Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Pralni stroj Navodila za uporabo EV 5800 +Y Washing Machine User s Manual Perilica rublja Korisnički priručnik Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Pralni stroj Navodila za uporabo Document Number 2820523382_EN / 01-02-13.(11:12) 1 Important

Διαβάστε περισσότερα

Washing Machine User s Manual Perilica rublja Korisnički priručnik Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Pralni stroj Navodila za uporabo

Washing Machine User s Manual Perilica rublja Korisnički priručnik Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Pralni stroj Navodila za uporabo EV 5600 +Y Washing Machine User s Manual Perilica rublja Korisnički priručnik Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Pralni stroj Navodila za uporabo Document Number 2820523298_EN / 01-02-13.(13:43) 1 Important

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Γράψτε την τετράδα των κβαντικών αριθμών που χαρακτηρίζει τα ακόλουθα ηλεκτρόνια: (α) Το εξώτατο ηλεκτρόνιο του ατόμου Rb. (β) Το ηλεκτρόνιο που κερδίζει το ιόν S

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΓΕΣ ΣΚΕΨΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ ΤΟΥ ΓΙΑΝΝΗ ΣΤΕΦΑΝΑΚΙ

ΛΙΓΕΣ ΣΚΕΨΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ ΤΟΥ ΓΙΑΝΝΗ ΣΤΕΦΑΝΑΚΙ ΛΙΓΕΣ ΣΚΕΨΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ ΤΟΥ ΓΙΑΝΝΗ ΣΤΕΦΑΝΑΚΙ Τ Ε Χ Ν Η Θ Α Π Ε Ι Ν Α Ψ Ι Θ Υ Ρ Ι Σ Ο Υ Μ Ε Τ Η Ν Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Η Μ Α Σ Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Σ Τ Ο Α Φ Τ Ι Τ Η Σ Α Ι Ω Ν Ι Ο Τ Η Τ Α Σ. Ο S I M O N E M

Διαβάστε περισσότερα

FORD B-MAX BMAX_V3_2012_Cvr_Main.indd 1-3 30/06/2012 08:42

FORD B-MAX BMAX_V3_2012_Cvr_Main.indd 1-3 30/06/2012 08:42 FORD B-MAX 1 2 3 4 5 6 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12,999,976 km 9,136,765 km 1,276,765 km 499,892 km 245,066 km 112,907 km 36,765 km 24,159 km 7899 km 2408 km 76 km 19 21 22 23 4 2 14 1 13 1 6 3 15 8 9

Διαβάστε περισσότερα

TRAINING OF PHOTOVOLTAIC INSTALLERS. Survey on markets needs and perceptions. Questionnaire. for PV industry key actors and PV owners (WP2 -D2.

TRAINING OF PHOTOVOLTAIC INSTALLERS. Survey on markets needs and perceptions. Questionnaire. for PV industry key actors and PV owners (WP2 -D2. TRAINING OF PHOTOVOLTAIC INSTALLERS Survey on markets needs and perceptions Questionnaire for PV industry key actors and PV owners (WP2 -D2.5) Issued by ReSEL-TUC, 14-Oct-10 Contract N : IEE/09/928/SI2.558379

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΙ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ. κατά τον άξονα Ζ.

ΚΥΚΛΟΙ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ. κατά τον άξονα Ζ. ΚΥΚΛΟΙ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι κύκλοι κατεργασίας χρησιµοποιούνται για ξεχόνδρισµα - φινίρισµα ενός προφίλ χωρίς να απαιτείται να προγραµµατίζουµε εµείς τα διαδοχικά πάσα της κατεργασίας. Έτσι, στο πρόγραµµα περικλείουµε

Διαβάστε περισσότερα

(Tekst značajan za EGP)

(Tekst značajan za EGP) L 82/14 UREDBA KOMISIJE (EU) 2015/516 оd 26. ožujka 2015. o izmjeni Uredbe (EZ) br. 874/2004 o utvrđivanju pravila javne politike u vezi s primjenom i funkcijama vršne.eu domene i načela kojima se uređuje

Διαβάστε περισσότερα

Grčki jezik. Ispitni katalog za državnu maturu u škol. god. 2009./2010. lipanj 2008

Grčki jezik. Ispitni katalog za državnu maturu u škol. god. 2009./2010. lipanj 2008 Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja Grčki jezik Ispitni katalog za državnu maturu u škol. god. 2009./2010. lipanj 2008 Stručna radna skupina za izradbu ispitnih materijala iz Grčkoga jezika:

Διαβάστε περισσότερα

Η Προϊστορία της Γιουγκοσλαβίας

Η Προϊστορία της Γιουγκοσλαβίας Η Προϊστορία της Γιουγκοσλαβίας Rastko Vasié Διευθυντής Ερευνών στο Αρχαιολογικό Ινστιτούτο της Σερβικής Ακαδημίας Επιστημών - Βελιγράδι Μετάφραση: Σ. Χατζηγεωργιάδου Το έδαφος της σημερινής Γιουγκοσλαβίας

Διαβάστε περισσότερα

24o YNE PIO I O O IA 24th INTERNATIONAL CONFERENCE OF PHILOSOPHY

24o YNE PIO I O O IA 24th INTERNATIONAL CONFERENCE OF PHILOSOPHY IE NH ETAIPEIA E HNIKH I O O IA 5, 17456 - H H YMMETOXH N 1 (N μ 29/02/2012 ) (.,,,,.): KATOIKIA : TH E NO TH E NO KATOIKIA : KINHTO TH E NO: NA META X TO : μ YNE PO AKPOATH KAI YNE PO PO O OY YNO EYEI

Διαβάστε περισσότερα

w w u u w u = 1 w v = 0 u v = (w 1, w 2,..., w N ) a β k V β i,j = p(w j = 1 z i = 1) θ d Dir(a) Dir(a) z d,n multi(θ d ) V w d,n β zd,n p(θ,, a, β) = p(θ,, a, β) p( a, β) similarity = (A, B) = AB A

Διαβάστε περισσότερα

IAN 92025 20-60 X 60 SPOTTING SCOPE 20-60 X 60 SPOTTING SCOPE. SPEKTIV 20-60 X 60 Upute za posluživanje i za Vašu sigurnost

IAN 92025 20-60 X 60 SPOTTING SCOPE 20-60 X 60 SPOTTING SCOPE. SPEKTIV 20-60 X 60 Upute za posluživanje i za Vašu sigurnost 20-60 X 60 SPOTTING SCOPE 20-60 X 60 SPOTTING SCOPE Operation and Safety Notes SPEKTIV 20-60 X 60 Upute za posluživanje i za Vašu sigurnost SPECTIV 20-60 X 60 Instrucţiuni de utilizare şi de siguranţă

Διαβάστε περισσότερα

Electrical brewing pot Ηλεκτρικό μπρίκι Električna džezva Електрическо джезве Električni kuhalnik

Electrical brewing pot Ηλεκτρικό μπρίκι Električna džezva Електрическо джезве Električni kuhalnik Electrical brewing pot Ηλεκτρικό μπρίκι Električna džezva Електрическо джезве Električni kuhalnik GB GR SR BG SLO INSTRUCTION MANUAL ΒΙΒΛΙΟ ΟΔΗΓΙΩΝ UPUTSTVO ZA UPOTREBU ИНСТРУКЦИИ ЗА ЕКСПЛОАТАЦИЯ NAVODILA

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΡΤΑΚΙΑ ΚΟΥΖΙΝΑΣ ΝΤΟΥΛΑΠΑΣ

ΠΟΡΤΑΚΙΑ ΚΟΥΖΙΝΑΣ ΝΤΟΥΛΑΠΑΣ ΠΟΡΤΑΚΙΑ ΚΟΥΖΙΝΑΣ ΝΤΟΥΛΑΠΑΣ ΠΡΟΪΟΝΤΑ ΞΥΛΟΥ & ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΠΑΓΚΟΙ ΑΝΘΥΓΡΟΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΠΟΡΤΕΣ O ν έ ο ς χ ά ρ τ η ς τ ο υ ξ ύ λ ο υ * Λόγω των τεχνικών εκτύπωσης τα χρώματα του καταλόγου ενδέχεται

Διαβάστε περισσότερα

Montaj. Συναρμολόγηση. Montaža 11. Sklapanje. Ortam Yükleme. Φόρτωση χαρτιού. Nalaganje medija. Umetanje medija. Yazılımın Kurulması

Montaj. Συναρμολόγηση. Montaža 11. Sklapanje. Ortam Yükleme. Φόρτωση χαρτιού. Nalaganje medija. Umetanje medija. Yazılımın Kurulması TR Montaj MK Склопување EL Συναρμολόγηση SR Montaža 11 SL HR Montaža Sklapanje TR EL SL HR MK SR Kurulum Kılavuzu Οδηγός εγκατάστασης Priročnik za namestitev Vodič za postavu Упатство за поставување Uputstvo

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος 3: Συλλογή εδοµένων Γενικοί Κανόνες Καταγραφής

Μέρος 3: Συλλογή εδοµένων Γενικοί Κανόνες Καταγραφής Μέρος 3: Συλλογή εδοµένων Γενικοί Κανόνες Καταγραφής ΣΥΛΛΟΓΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ, ΓΕΝΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΚΑΤΑΓΡΑΦΗΣ 3.1 Γενικά Στο µέρος αυτό δίδονται κατευθυντήριες οδηγίες και γενικοί κανόνες για τη συλλογή και καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ Ο ΧΛΟΟΚ ELEKTRI"NA KOSILICA ZA TRAVU (ROTACIJSKA) ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ РОТАЦИОННАЯ ГАЗОНОКГ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ Ο ΧΛΟΟΚ ELEKTRINA KOSILICA ZA TRAVU (ROTACIJSKA) ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ РОТАЦИОННАЯ ГАЗОНОКГ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ Ο ΧΛΟΟΚ ΟΟΚΟΠΤΙΚΟ ELEKTRI"NA KOSILICA ZA TRAVU (ROTACIJSKA) ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ РОТАЦИОННАЯ ГАЗОНОКГ АЗОНОКОСИЛКАОСИЛКА MA INA ELECTRIC^ PENTRU TUNS GAZONUL ELEKTROMOS FORGÓKÉSES F NYÍRÓ ELEKTRYCZNA

Διαβάστε περισσότερα

TALAR ROSA -. / ',)45$%"67789

TALAR ROSA -. / ',)45$%67789 TALAR ROSA!"#"$"%$&'$%(" )*"+%(""%$," *$ -. / 0"$%%"$&'1)2$3!"$ ',)45$%"67789 ," %"(%:,;,"%,$"$)$*2

Διαβάστε περισσότερα

1. AT Αυστρία... 3. 2. BE Βέλγιο... 4 3. BG Βουλγαρία... 5 4. CY Κύπρος... 8. 5. CZ Τσεχική Δημοκρατία... 9 6. DE Γερμανία... 13. 7. DK Δανία...

1. AT Αυστρία... 3. 2. BE Βέλγιο... 4 3. BG Βουλγαρία... 5 4. CY Κύπρος... 8. 5. CZ Τσεχική Δημοκρατία... 9 6. DE Γερμανία... 13. 7. DK Δανία... ΑΡΙΘΜΟΙ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΗΣ ΤΑΥΤΟΠΟΙΗΣΗΣ () Οι ΑΦΜ ανά θέμα : Πού βρίσκουμε τους ; 1. AT Αυστρία... 3 2. BE Βέλγιο... 4 3. BG Βουλγαρία... 5 4. CY Κύπρος... 8 5. CZ Τσεχική Δημοκρατία... 9 6. DE Γερμανία... 13

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΣΤΕΡΕΩΝ ΑΠΟΒΛΗΤΩΝ

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΣΤΕΡΕΩΝ ΑΠΟΒΛΗΤΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΣΤΕΡΕΩΝ ΑΠΟΒΛΗΤΩΝ Β. Tσιρίδης 1, Π. Σαμαράς 2, Α. Κούγκολος 3 και Γ. Π. Σακελλαρόπουλος 1 1 Τμήμα Χημικών Μηχανικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης και Ινστιτούτο Τεχνικής Χημικών

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική ραδιενέργεια περιβάλλοντος και ραδιενεργός ρύπανση. Π. Κρητίδης και Ε. Φλώρου Εργαστήριο Ραδιενέργειας Περιβάλλοντος ΙΠΤ-Α, ΕΚΕΦΕ «Δημόκριτος»

Φυσική ραδιενέργεια περιβάλλοντος και ραδιενεργός ρύπανση. Π. Κρητίδης και Ε. Φλώρου Εργαστήριο Ραδιενέργειας Περιβάλλοντος ΙΠΤ-Α, ΕΚΕΦΕ «Δημόκριτος» Φυσική ραδιενέργεια περιβάλλοντος και ραδιενεργός ρύπανση Π. Κρητίδης και Ε. Φλώρου Εργαστήριο Ραδιενέργειας Περιβάλλοντος ΙΠΤ-Α, ΕΚΕΦΕ «Δημόκριτος» Φυσικά ραδιενεργά στοιχεία Παράδειγμα από την οικογένεια

Διαβάστε περισσότερα

ICAO Τελευταία ενηµέρωση Για πληρέστερη ενηµέρωση συµβουλευτείτε και το site της ΥΠΑ: www.ypa.gr

ICAO Τελευταία ενηµέρωση Για πληρέστερη ενηµέρωση συµβουλευτείτε και το site της ΥΠΑ: www.ypa.gr 2//20 ΕΥΤΕΡΑ 2//20 ΤΡΙΤΗ 2//20 ΤΕΤΑΡΤΗ 2//20 ΠΕΜΠΤΗ 2//20 ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 2//20 ΣΑΒΒΑΤΟ 2//20 ΚΥΡΙΑΚΗ Οι ανωτέρω πληροφορίες είναι αυστηρά για προσωπική χρήση και απαγορεύεται να χρησιµοποιηθούν η να αναπαραχθούν

Διαβάστε περισσότερα

Refrigerator. user manual. imagine the possibilities

Refrigerator. user manual. imagine the possibilities SEAD RS7* Refrigerator user manual English imagine the possibilities Thank you for purchasing a Samsung product. To receive a more complete service, please register your product at www.samsung.com/register

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Δ Υ Α Σ Μ Ε Ν Ο Ι Λ Ε Β Η Τ Ε Σ

Σ Υ Ν Δ Υ Α Σ Μ Ε Ν Ο Ι Λ Ε Β Η Τ Ε Σ ΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΟΙ ΛΕΒΗΤΕΣ ΠΑΡΑΓΟΥΜΕ ΠΟΙΟΤΙΚΆ ΚΑΙ ΑΞΙΟΠΙΣΤΑ ΠΡΟΪΟΝΤΑ ΛΕΒΗΤΕΣ ΖΕΣΤΟΥ ΝΕΡΟΥ KOMBI ATMOS ΛΕΙΤΟΥΡΓÍΑ Καινούργια σειρά των λεβήτων KOMBI DC 18 SP (L), DC 25 SP (L), DC 32 SP (L) επιτρέπει καύση ξύλου

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤ. Πιστοποιητικό της Επάρκειας της Ελληνοµάθειας - Μάϊος

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤ. Πιστοποιητικό της Επάρκειας της Ελληνοµάθειας - Μάϊος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤ Πιστοποιητικό της Επάρκειας της Ελληνοµάθειας - Μάϊος Α' ΕΠΙΠΕ Ο 133 STEVOVIĆ BOJANA Επιτυχία Επιτυχία 134 TOMIĆ ANA Επιτυχία Επιτυχία 135 JELIĆ-MARIOKOV ANA Επιτυχία

Διαβάστε περισσότερα

ferroli Αντλίες θερμότητας ίί(ι. 1 i l l! Ι E ali =!= =- ! ϊι^ = τ ϊ^5 "ϊ

ferroli Αντλίες θερμότητας ίί(ι. 1 i l l! Ι E ali =!= =- ! ϊι^ = τ ϊ^5 ϊ ferroli Αντλίες θερμότητας ίί(ι. 1 i l l! m U lh ferroli Ι E ali =!= =-! ϊι^ = τ ϊ^5 "ϊ ' j k r* GRUPPO FEHHQU made in Italy διαιρούμενες Αντλίες θερμότητας Αέρα / Νερού AQUA 2 - AQUA 3 Split Θερμοκρασία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ

ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ Τµήµατα ΧΗΜΕΙΑ 1. Φυτικής Παραγωγής 2. Επιστ. & Τεχνολ. Τροφίµων Τετάρτη 9.30-10.15 Παρασκευή 11.30 13.15 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Φυτική Παραγωγή Πέµπτη 8.30-12.30 Επιστ. & Τεχνολ. Τροφίµων Τετάρτη

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική ΙΙ- Ελεγχος Υποθέσεων ΙΙ (εκδ. 1.1)

Στατιστική ΙΙ- Ελεγχος Υποθέσεων ΙΙ (εκδ. 1.1) Στατιστική ΙΙ- Ελεγχος Υποθέσεων ΙΙ (εκδ. 1.1) Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 17 Ιουλίου 2013 Περιγραφή 1 2 Δίπλευρος και μονόπλευρος Ε.Υ.

Διαβάστε περισσότερα

21 YNE PIO I O O IA 21st INTERNATIONAL CONFERENCE OF PHILOSOPHY

21 YNE PIO I O O IA 21st INTERNATIONAL CONFERENCE OF PHILOSOPHY INTERNATIONAL ASSOCIATION FOR GREEK PHILOSOPHY 5, SIMONIDOU STR., 174 56 ALIMOS GREECE TEL: +30210-9956955, +30210-7277545, +30210-7277548 FAX: +30210-9923281, +30210-7248979 Website: http://www.hri.org/iagp,

Διαβάστε περισσότερα

και Νίκος Τσιτσιµελής. 1 Στη Σερβική έχουν µεταφραστεί ο Πέτρος Χάρης Τελευταία Νύχτα στη Γη, 2004, η Αργυρώ

και Νίκος Τσιτσιµελής. 1 Στη Σερβική έχουν µεταφραστεί ο Πέτρος Χάρης Τελευταία Νύχτα στη Γη, 2004, η Αργυρώ Νίκη Γκαρδιακού Ραντούλοβιτς ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΜΥΘΙΣΤΟΡΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥ 20 ΟΥ ΑΙΩΝΑ ΣΤΗ ΣΕΡΒΙΚΗ Tα τελευταία χρόνια η ελληνική λογοτεχνία των νεοτέρων χρόνων έχει γίνει πολύ δηµοφιλής στη Σερβία. Εδώ κατά

Διαβάστε περισσότερα

9. Matriqnoe predstavlenie line nyh operatorov. Diagonalizuemostь matricy line nogo operatora.

9. Matriqnoe predstavlenie line nyh operatorov. Diagonalizuemostь matricy line nogo operatora. A Utexev 9 Matriqnoe predstavlenie line nyh operatorov Diagonalizuemostь matricy line nogo operatora 1 Matriqnoe predstavlenie line nyh operatorov Budem oboznaqatь qerez V line noe vektornoe prostranstvo

Διαβάστε περισσότερα

Το αντικείμενο αυτό είναι χειροποίητο από 100% οικολογικό βαμβάκι, με φυτικές βαφές και φυτική κόλλα.

Το αντικείμενο αυτό είναι χειροποίητο από 100% οικολογικό βαμβάκι, με φυτικές βαφές και φυτική κόλλα. Cotton leather paper Με υπερηφάνια σας παρουσιάζουμε μια νέα σειρά χειροποίητων προϊόντων το...cotton leather paper. Το αντικείμενο αυτό είναι χειροποίητο από 100% οικολογικό βαμβάκι, με φυτικές βαφές

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Κατάταξη των στοιχείων (Περιοδικός Πίνακας) - Χρησιμότητα του Περιοδικού Πίνακα

2.2 Κατάταξη των στοιχείων (Περιοδικός Πίνακας) - Χρησιμότητα του Περιοδικού Πίνακα 2.2 Κατάταξη των στοιχείων (Περιοδικός Πίνακας) - Χρησιμότητα του Περιοδικού Πίνακα Θεωρία 9.1. Τι είναι ο περιοδικός πίνακας; Αποτελεί μία από τις σημαντικότερες ανακαλύψεις στης Χημείας. Πρόκειται για

Διαβάστε περισσότερα

YNE PIO I O O IA 20th INTERNATIONAL CONFERENCE OF PHILOSOPHY EMA: «GREEK PHILOSOPHY AND ITS RELEVANCE TO ISSUES OF OUR AGE».

YNE PIO I O O IA 20th INTERNATIONAL CONFERENCE OF PHILOSOPHY EMA: «GREEK PHILOSOPHY AND ITS RELEVANCE TO ISSUES OF OUR AGE». IE NH ETAIPEIA E HNIKH I O O IA 5, 17456 - TEL: +30210-9956955, +30210-7277545,+ 30210-7277548 FAX: +30210-9923281, +30210-7248979 Website: http://www.hri.org/iagp, http://www.iagp.gr E-mail: kboud714@ppp.uoa.gr

Διαβάστε περισσότερα

5. Να βρείτε τον ατομικό αριθμό του 2ου μέλους της ομάδας των αλογόνων και να γράψετε την ηλεκτρονιακή δομή του.

5. Να βρείτε τον ατομικό αριθμό του 2ου μέλους της ομάδας των αλογόνων και να γράψετε την ηλεκτρονιακή δομή του. Ερωτήσεις στο 2o κεφάλαιο από τράπεζα θεμάτων 1. α) Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ηλεκτρονίων που μπορεί να πάρει κάθε μία από τις στιβάδες: K, L, M, N. β) Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ηλεκτρονίων που

Διαβάστε περισσότερα

Petrol Grass Trimmer FBS 43 A1

Petrol Grass Trimmer FBS 43 A1 K E Before reading, unfold the page containing the illustrations and familiarise yourself with all functions of the device. M Prije nego što pročitate tekst, otvorite stranicu sa slikama i upoznajte se

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ %"&'$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-

!#$ %&'$!&!(!)%*+, -$!!.!$(-#$&%- !"#$ %"&$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-.#/."0, .1%"("/+.!2$"/ 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 4.)!$"!$-(#&!- 33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΙΑΛΥΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΧΗΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΙΑΛΥΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΧΗΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΙΑΛΥΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΧΗΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εισαγωγή στις φασµατοµετρικές τεχνικές ανάλυσης 2. Προετοιµασία δειγµάτων 3. ιαλυτοποίηση δειγµάτων ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΑΛΥΜΑΤΩΝ Ατοµική Φασµατοσκοπία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΠΟΣΙΜΟΥ ΝΕΡΟΥ ΣΤΙΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΠΟΥ ΕΝΤΑΧΘΗΚΑΝ ΣΤΗ ΔΕΥΑΜΒ

ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΠΟΣΙΜΟΥ ΝΕΡΟΥ ΣΤΙΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΠΟΥ ΕΝΤΑΧΘΗΚΑΝ ΣΤΗ ΔΕΥΑΜΒ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΠΟΣΙΜΟΥ ΝΕΡΟΥ ΣΤΙΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΠΟΥ ΕΝΤΑΧΘΗΚΑΝ ΣΤΗ ΔΕΥΑΜΒ ΑΡΙΘΜΟΣ ΑΝΑΛΥΣΕΩΝ ΔΙΚΤΥΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ ΕΝΟΤΗΤΩΝ ΔΗΜΟΥ ΒΟΛΟΥ ΑΠΟ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟ ΕΩΣ ΚΑΙ ΟΚΤΩΒΡΙΟ 2012 ΠΕΡΙΟΧΗ ή ΔΗΜΟΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΡΤΑΡΙΑΣ (Πορταριά,

Διαβάστε περισσότερα

Ενεργοποίησηκινδύνουγιαεπιβλαβήμικροφύκη: Το παράδειγμα του Μαλιακού κόλπου

Ενεργοποίησηκινδύνουγιαεπιβλαβήμικροφύκη: Το παράδειγμα του Μαλιακού κόλπου Ενεργοποίησηκινδύνουγιαεπιβλαβήμικροφύκη: Το παράδειγμα του Μαλιακού κόλπου Κων/νοςΚουκάρας 1, ΝικόλαοςΚαλογεράκης 2 & ΔημήτριοςΡίζος 3 1. ΤμήμαΈρευνας& Ανάπτυξης, ΝΕΑΡΧΟΣ Ο.Ε. 2. Εργαστήριο Βιοχημικής

Διαβάστε περισσότερα

19 EPSON SX-105 ΝΑΙ 3 ΝΑΙ 9 20 EPSON STYLUS SX235W ΝΑΙ 5 ΝΑΙ 15 21 EPSON WORKFORCE WF-7015 ΝΑΙ 13 ΝΑΙ 39 22 EPSON STYLUS D-88 ΝΑΙ 4 ΝΑΙ 12 23 EPSON

19 EPSON SX-105 ΝΑΙ 3 ΝΑΙ 9 20 EPSON STYLUS SX235W ΝΑΙ 5 ΝΑΙ 15 21 EPSON WORKFORCE WF-7015 ΝΑΙ 13 ΝΑΙ 39 22 EPSON STYLUS D-88 ΝΑΙ 4 ΝΑΙ 12 23 EPSON ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΑΠΟΚΕΝΤΡΩΜΕΝΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΑΤΤΙΚΗΣ Αθήνα, 01/12/2014 ΓΕΝ. Δ/ΝΣΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ Αρ. Πρωτ. :Δ.Υ Δ/ΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ & ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΥΛΙΚΟΥ Ταχ. Δ/νση : Κατεχάκη 56 Ταχ.

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Όρια - Συνέχεια ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Όρια - Συνέχεια ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Όρια Συνέχεια ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ mail: info@iliaskosgr wwwiliaskosgr f] g,! R f] g,, f] g

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΗ ΕΠΕ ΦΛΩΡΟΣ ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΜΗΝΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ

ΓΡΑΜΜΗ ΕΠΕ ΦΛΩΡΟΣ ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΠΡΟΣΦΟΡΑ ΜΗΝΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΓΡΑΜΜΗ ΕΠΕ ΦΛΩΡΟΣ ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ ΜΗΧΑΝΕΣ ΓΡΑΦΕΙΟΥ ΑΝΑΛΩΣΙΜΑ ~ ΑΝΤΑΛΛΑΚΤΙΚΑ ~ SERVICE ΠΛ. ΡΑΚΤΙΒΑΝ 12 (ΠΛ. ΩΡΟΛΟΓΙΟΥ) ΒΕΡΟΙΑ ΤΗΛ. & FAX 2331029908, 67680 Web: www.gramiltd.net email: info@gramiltd.net

Διαβάστε περισσότερα

#INGLiveWell ΤΥΧΕΡΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΚΛΗΡΩΣΗΣ ΤΩΝ ΔΩΡΩΝ / LUCKY NUMBERS FROM THE LOTTERY DRAW FOR THE GIFTS

#INGLiveWell ΤΥΧΕΡΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΚΛΗΡΩΣΗΣ ΤΩΝ ΔΩΡΩΝ / LUCKY NUMBERS FROM THE LOTTERY DRAW FOR THE GIFTS 1 1002 Euromedica 1 επίσκεψη σε γιατρούς διαφόρων ειδικοτήτων, στην Κλινική Αθήναιον 2 1008 Όμιλος Εταιρειών Υγείας ΒΙΟΙΑΤΡΙΚΗ 3 1016 Όμιλος Εταιρειών Υγείας ΒΙΟΙΑΤΡΙΚΗ 4 1017 Όμιλος Εταιρειών Υγείας ΒΙΟΙΑΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Database of electron inelastic mean free path for elemental solids

Database of electron inelastic mean free path for elemental solids Database of electron inelastic mean free path for elemental solids 1. Electron inelastic mean free path (IMFP) 2. Calculation method of electron inelastic mean free path 3. Figures for electron inelastic

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Δομικά σωματίδια της ύλης - Δομή ατόμου - Ατομικός αριθμός - Μαζικός αριθμός - Ισότοπα

1.3 Δομικά σωματίδια της ύλης - Δομή ατόμου - Ατομικός αριθμός - Μαζικός αριθμός - Ισότοπα 1.3 Δομικά σωματίδια της ύλης - Δομή ατόμου - Ατομικός αριθμός - Μαζικός αριθμός - Ισότοπα Θεωρία 3.1. Ποια είναι τα δομικά σωματίδια της ύλης; Τα άτομα, τα μόρια και τα ιόντα. 3.2. SOS Τι ονομάζεται άτομο

Διαβάστε περισσότερα

( α πό τράπεζα θεµάτων) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 : ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ - ΕΣΜΟΙ

( α πό τράπεζα θεµάτων) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 : ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ - ΕΣΜΟΙ Χηµεία Α Λυκείου Φωτεινή Ζαχαριάδου 1 από 22 ( α πό τράπεζα θεµάτων) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 : ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ - ΕΣΜΟΙ 35 1. Για το άτοµο του χλωρίου, δίνεται ότι: 17 Cl α) Να αναφέρετε πόσα πρωτόνια, πόσα νετρόνια

Διαβάστε περισσότερα

ΦΑΣΜΑΤΟΜΕΤΡΙΑ ΑΤΟΜΙΚΗΣ ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗΣ (ATOMIC ABSORPTION SPECTROMETRY, AAS)

ΦΑΣΜΑΤΟΜΕΤΡΙΑ ΑΤΟΜΙΚΗΣ ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗΣ (ATOMIC ABSORPTION SPECTROMETRY, AAS) ΦΑΣΜΑΤΟΜΕΤΡΙΑ ΑΤΟΜΙΚΗΣ ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗΣ (ATOMIC ABSORPTION SPECTROMETRY, AAS) ΑΘΗΝΑ, ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2014 ΓΕΝΙΚΑ Η Φασματομετρία Ατομικής Απορρόφησης είναι μια μέθοδος ΑΤΟΜΙΚΗΣ φασματομετρίας. Προσδιορίζεται η συγκέντρωση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΑΙΟΛΙΚΗ Α.Ε.Ε.Χ. 30.09. 2014 Σύνθεση Χαρτοφυλακίου Αιολικής ΑΕΕΧ Τεµάχια Μέση Τιµή Κτήσεως

ΠΙΝΑΚΑΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΑΙΟΛΙΚΗ Α.Ε.Ε.Χ. 30.09. 2014 Σύνθεση Χαρτοφυλακίου Αιολικής ΑΕΕΧ Τεµάχια Μέση Τιµή Κτήσεως ΠΙΝΑΚΑΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΑΙΟΛΙΚΗ Α.Ε.Ε.Χ. 30.09. 2014 Σύνθεση Χαρτοφυλακίου Αιολικής ΑΕΕΧ Τεµάχια Μέση Τιµή Κτήσεως Τιµή 30/09/2014 Συνολική Αξία Κτήσεως( ) Συνολική Αξία 30/09/2014 ( ) Ι ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

NOVOSTI NΕΑ ΜΟΝΤΕΛΑ 2014

NOVOSTI NΕΑ ΜΟΝΤΕΛΑ 2014 OK FETY NOVOSTI NΕΑ ΜΟΝΤΕΛΑ 2014 THE THE SAFETY BOOK SEKTORI AKTIVNOSTI DE ACTIVITEITEN RIZICI ΟΙ ΚΙΝΔΥΝΟΙ POLJOPRIVREDA / VRT ΓΕΩΡΓΙΑ / ΚΗΠΟΣ GRAĐEVINA BTP / ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ POMOĆNI POSLOVI / OBRTNIŠTVO ΔΕΥΤΕΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

Δημότριοσ Γ. Γουλόσ Επύκουροσ καθηγητόσ Ενδοκρινολογύασ Αναπαραγωγόσ ΑΠΘ

Δημότριοσ Γ. Γουλόσ Επύκουροσ καθηγητόσ Ενδοκρινολογύασ Αναπαραγωγόσ ΑΠΘ Μονϊδα Ενδοκρινολογύασ Αναπαραγωγόσ Α Μαιευτικό - Γυναικολογικό Κλινικό ΑΠΘ Ιατρικό Σχολό Αριςτοτϋλειο Πανεπιςτόμιο Θεςςαλονύκησ Θεραπεύα του υπογοναδιςμού κατϊ τη διϊρκεια τησ αναπαραγωγικόσ ηλικύασ Δημότριοσ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 1 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Μέτρο εξωτερικού γινομένου 2 C A B C ABsin διανυσμάτων A και B Ιδιότητες εξωτερικού γινομένου A B B A εν είναι αντιμεταθετικό.

Διαβάστε περισσότερα

115 61 92-72 Rev. 2 LC 153-HD / 961310034. EastEuro

115 61 92-72 Rev. 2 LC 153-HD / 961310034. EastEuro Priručnik s naputcima Molimo da pažljivo pročitate ove naputke i da stroj uporabite tek kada se uvjerite da ste ih u potpunosti razumjeli. Εγχειρίδιο οδηγιών Διαβάστε προσεχτικά αυτές τις οδηγίες και βεβαιωθείτε

Διαβάστε περισσότερα

the masterpool expirience

the masterpool expirience nature blue πισίνες pools 03 Ο φυσικός μας χώρος από δύο δεκαετίες, κατασκευάζει τις πλέον ονειρεμένες πισίνες και spa στην Ελλάδα. σίγουροι ότι η κατασκευή της πισίνας τους θα αποτελεί ακόμα ένα δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

CAMPING ALIKES AMMOULIANI TEL : +30.23770.51.379

CAMPING ALIKES AMMOULIANI TEL : +30.23770.51.379 CAMPING ALIKES AMMOULIANI TEL : +30.23770.51.379 Μετόχι Fish Tavern Ιστορία Έως το 1925 το νησί της Αμμουλιανής ήταν μετόχι της Μονής Βατοπεδίου του Αγίου Όρους, όπου και έμεναν 2-3 καλόγεροι που διαχειρίζονταν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20

Διαβάστε περισσότερα

ΛΕΒΗΤΕΣ ΜΙΚΤΗΣ ΚΑΥΣΗΣ

ΛΕΒΗΤΕΣ ΜΙΚΤΗΣ ΚΑΥΣΗΣ η πραγματική θερμότητα ΛΕΒΗΤΕΣ ΜΙΚΤΗΣ ΚΑΥΣΗΣ Η καλύτερη επιλογή στην καύση ξύλου και πέλλετ... η πραγματική θερμότητα Γεννήτρια ατμοποίησης ξύλου DOKOGEN Έκθεση συμπιεστών Atmos, 1945 ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΚΑΙ ΕΜΠΕΙΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

FOLOTEC ΠΡΟΦΙΛ ΓΙΑ ΤΟΙΧΟΥΣ & ΑΠΕ Α ΑΡΜΟΙ ΣΥΣΤΟΛΗΣ- ΙΑΣΤΟΛΗΣ

FOLOTEC ΠΡΟΦΙΛ ΓΙΑ ΤΟΙΧΟΥΣ & ΑΠΕ Α ΑΡΜΟΙ ΣΥΣΤΟΛΗΣ- ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΠΡΟΦΙΛ ΓΙΑ ΤΟΙΧΟΥΣ & ΑΠΕ Α ΑΡΜΟΙ ΣΥΣΤΟΛΗΣ- ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΠΡΟΦΙΛ ΓΙΑ ΤΟΙΧΟΥΣ RJ Στρογγυλεµένο γωνιακό προφίλ για τέλειο και ανθεκτικό φινίρισµα στις εξωτερικές γωνίες τοίχων, χωρίς φαλτσογωνιές. ιατίθεται σε

Διαβάστε περισσότερα

eisodos suite N1A Χρώμα Granite 431 Λάμες Inox Ένθετο πάνελ αλουμινίου Χειρολαβή Inox 60x1315mm Κρύσταλλο Διαστάσεις Επιλογές & προσθετα Τυπολογίες

eisodos suite N1A Χρώμα Granite 431 Λάμες Inox Ένθετο πάνελ αλουμινίου Χειρολαβή Inox 60x1315mm Κρύσταλλο Διαστάσεις Επιλογές & προσθετα Τυπολογίες N1 N1A N1 2 3 A Μονόφυλλη πόρτα 4 Εξωτερική λήψη 5 N3 A Μονόφυλλη πόρτα Εσωτερική λήψη (καθιστικό) 6 7 N4 A 8 9 N5 A 10 11 N6 A Δίφυλλη πόρτα με σταθερά Δ/Α Εξωτερική λήψη 12 13 N7 A 14 15 N8 Μονοφυλλη

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Δ Υ Α Σ Μ Ε Ν Ο Ι Λ Ε Β Η Τ Ε Σ

Σ Υ Ν Δ Υ Α Σ Μ Ε Ν Ο Ι Λ Ε Β Η Τ Ε Σ ΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΟΙ ΛΕΒΗΤΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΊΑ ΠΙΟ ΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΛΕΒΗΤΕΣ ΘΕΡΜΟΥ ΝΕΡΟΥ ATMOS D 15 P, D 20 P, D 30 p και D 45 P είναι σχεδιασμένοι για άνετη θέρμανση σπιτιών με πελλέτες και με ξύλο ως εναλλακτικό καύσιμο,

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Αρχές δόμησης πολυηλεκτρονικών ατόμων

1.2 Αρχές δόμησης πολυηλεκτρονικών ατόμων 1.2 Αρχές δόμησης πολυηλεκτρονικών ατόμων 1. Ερώτηση: Τι είναι η ηλεκτρονική δόμηση ή ηλεκτρονική κατανομή; Η συμπλήρωση των τροχιακών με ηλεκτρόνια, λέγεται ηλεκτρονική δόμηση ή ηλεκτρονική κατανομή.

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜ/ΝΙΑ ΕΚΤΥΠΩΣΗΣ (ΗΗ/ΜΜ/ΕΕ) : 11-07-2014 ********************************************* ΩΡΑ ΕΚΤΥΠΩΣΗΣ : 08:39

ΗΜ/ΝΙΑ ΕΚΤΥΠΩΣΗΣ (ΗΗ/ΜΜ/ΕΕ) : 11-07-2014 ********************************************* ΩΡΑ ΕΚΤΥΠΩΣΗΣ : 08:39 ================================================== ΕΤΟΣ : 2012 Α/Α : 47 ΘΕΜΑ : ΜΟΣΧΕΥΜΑΤΑ ********************************************************************* ==================================================

Διαβάστε περισσότερα

Λ Ε Β Η Τ Ε Σ Μ Ε Ι Κ Τ Η Σ Κ Α Υ Σ Η Σ

Λ Ε Β Η Τ Ε Σ Μ Ε Ι Κ Τ Η Σ Κ Α Υ Σ Η Σ Λ Ε Β Η Τ Ε Σ Μ Ε Ι Κ Τ Η Σ Κ Α Υ Σ Η Σ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Λέβητες Atmos D 15 P, D 20 P, D 30 P και D 45 P είναι σχεδιασμένοι για τη θέρμανση σπιτιών με Pellets και με ξύλο ως εναλλακτικό καύσιμο.

Διαβάστε περισσότερα

frame in2 100X75 120X80 150X110 Ficha de pré-instalação Κάρτα προεγκατάστασης Informatieblad voor de pre-installatie

frame in2 100X75 120X80 150X110 Ficha de pré-instalação Κάρτα προεγκατάστασης Informatieblad voor de pre-installatie frame 100 100X5 120 120X80 in2 150X110 Ficha de pré-instalação Κάρτα προεγκατάστασης Informatieblad voor de pre-installatie List za predugradnju Karta przedmontażowa Förinstallationsblad Índice Modo de

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Χημεία Α Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΓΟΘΕΤΗΣ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Χημεία Α Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΓΟΘΕΤΗΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Γενικής Παιδείας Χημεία Α Λυκείου Επιμέλεια: ΒΑΣΙΛΗΣ ΛΟΓΟΘΕΤΗΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr 1 57 1.. 1 kg = 1000 g 1 g = 0,001 kg 1

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές πληροφορίες Επισκόπηση των θέσεων περιστροφικών διακοπτών για φωτοβολταϊκούς μετατροπείς, τελευταία ενημέρωση 11/2014

Τεχνικές πληροφορίες Επισκόπηση των θέσεων περιστροφικών διακοπτών για φωτοβολταϊκούς μετατροπείς, τελευταία ενημέρωση 11/2014 Τεχνικές πληροφορίες Επισκόπηση των θέσεων περιστροφικών διακοπτών για φωτοβολταϊκούς μετατροπείς, τελευταία ενημέρωση 11/2014 1 Υποδείξεις σχετικά με αυτή την επισκόπηση 1.1 Τομέας ισχύος Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

«Καταγραφή υδατικών πόρων του Εθνικού Πάρκου Χελµού-Βουραϊκού και ανάδειξη γεωπικοιλότητας της περιοχής» «Καταγραφή των υδατικών πόρων του Εθνικού Πάρκου Χελµού- Βουραϊκού σε σχέση µε την ποιότητα του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ- ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΝΕΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΟΤ. Κ. Λιάνα- ιευθύντρια Πιστοποίησης

ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ- ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΝΕΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΟΤ. Κ. Λιάνα- ιευθύντρια Πιστοποίησης ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ- ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΝΕΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΟΤ Κ. Λιάνα- ιευθύντρια Πιστοποίησης 1 ραστηριότητες ΕΛΟΤ Τυποποίηση Πιστοποίηση Εργαστηριακές οκιµές Πληροφόρηση Εκπαίδευση Λειτουργία βιβλιοθήκης Λειτουργία εθνικού

Διαβάστε περισσότερα

Με την παρούσα επιστολή θα θέλαμε να σας ενημερώσουμε για την πολιτική ανανέωσης των συνδέσεων προσωπικού της εταιρίας S&B.

Με την παρούσα επιστολή θα θέλαμε να σας ενημερώσουμε για την πολιτική ανανέωσης των συνδέσεων προσωπικού της εταιρίας S&B. 15 Ιανουαρίου 2013 Υπόψη: Κυρίου Νικολόπουλου Κοιν: Κυρίας Γαβριήλ Προς: S&B ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΟΡΥΚΤΑ ΑΕ Αγαπητοί Συνεργάτες, Με την παρούσα επιστολή θα θέλαμε να σας ενημερώσουμε για την πολιτική ανανέωσης

Διαβάστε περισσότερα

Εμποτισμός επιφανειακής ωρίμανσης και σφράγισης δαπέδων σκυροδέματος

Εμποτισμός επιφανειακής ωρίμανσης και σφράγισης δαπέδων σκυροδέματος Φύλλο Ιδιοτήτων Προϊόντος Έκδοση 30/04/2012 Κωδικός: 2012.11.01.030 Sikafloor -ProSeal-22 Εμποτισμός επιφανειακής ωρίμανσης και σφράγισης δαπέδων σκυροδέματος Περιγραφή Προϊόντος Εφαρμογές To Sikafloor

Διαβάστε περισσότερα

ΘΩΡΑΚΙΣΜΕΝΕΣ ΠΟΡΤΕΣ SECURITY STEEL DOORS

ΘΩΡΑΚΙΣΜΕΝΕΣ ΠΟΡΤΕΣ SECURITY STEEL DOORS ΘΩΡΑΚΙΣΜΕΝΕΣ ΠΟΡΤΕΣ SECURITY STEEL DOORS εταιρεία ιδρύθηκε το 1994, και ασχολείται Η αποκλειστικά µε την κατασκευή θωρακισµένης πόρτας ασφαλείας. Στεγάζεται σε ιδιόκτητες εγκαταστάσεις 5000 m2. Εξοπλισµένη

Διαβάστε περισσότερα

Έκτη Διάλεξη Ονοματολογία

Έκτη Διάλεξη Ονοματολογία Έκτη Διάλεξη Ονοματολογία Α) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΝΟΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΑΛΛΑ Στοιχείο Σύμβολο Σθένος Νάτριο Να 1 Κάλιο Κ 1 Μαγνήσιο Mg 2 Ασβέστιο Ca 2 Σίδηρος Fe 2 ή 3 Χαλκός Cu 2 Ψευδάργυρος Zn 2 Λίθιο Li 1 Άργυρος

Διαβάστε περισσότερα

ΦΑΣΜΑΤΟΜΕΤΡΙΑ ΜΑΖΩΝ ΦΑΣΜΑΤΟΜΕΤΡΙΑ

ΦΑΣΜΑΤΟΜΕΤΡΙΑ ΜΑΖΩΝ ΦΑΣΜΑΤΟΜΕΤΡΙΑ ΦΑΣΜΑΤΟΜΕΤΡΙΑ ΜΑΖΩΝ Ίσως η τεχνική με τη μεγαλύτερη ποικιλία εφαρμογών και την εντυπωσιακότερη ανάπτυξη την τελευταία δεκαετία. Η τεχνική MS παρέχει πληροφορίες σχετικά με: Τη στοιχειακή σύσταση του δείγματος

Διαβάστε περισσότερα

ECO SERVICE CHEMICAL PRODUCTS AUTO ΠΛΥΣΊΜΑΤΟΣ - ΣΥΝΤΉΡΗΣΗΣ ΑΥΤΟΚΙΝΉΤΟΥ ČIŠĆENJA - ODRŽAVANJE AUTOMOBILA AUTOREINIGUNG - PFLEGE

ECO SERVICE CHEMICAL PRODUCTS AUTO ΠΛΥΣΊΜΑΤΟΣ - ΣΥΝΤΉΡΗΣΗΣ ΑΥΤΟΚΙΝΉΤΟΥ ČIŠĆENJA - ODRŽAVANJE AUTOMOBILA AUTOREINIGUNG - PFLEGE ECO SERVICE CHEMICAL PRODUCTS AUTO ΠΛΥΣΊΜΑΤΟΣ - ΣΥΝΤΉΡΗΣΗΣ ΑΥΤΟΚΙΝΉΤΟΥ ČIŠĆENJA - ODRŽAVANJE AUTOMOBILA AUTOREINIGUNG - PFLEGE 101 LUCIDACRUSCOTTO PT Abrilhantador para Quadros de Bordo retira odores de

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Μετάφραση Αριθμητικών

Μηχανική Μετάφραση Αριθμητικών ΕΚΠΑ/ΕΜΠ ΔΠΜΣ ΤΕΧΝΟΓΛΩΣΣΙΑ Λογικός Προγραμματισμός Ακ. Έτος 2013-2014 Εξάμηνο Β Διδάσκων: καθ. Μαΐστρος Γιάνης Μηχανική Μετάφραση Αριθμητικών Καρβουνιάρη Δήμητρα Κωλέττη Ερασμία Παπαθανασοπούλου Γεωργία

Διαβάστε περισσότερα