ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

Transcript

1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν ένας από τους πίνακες A, B M n n (R) είναι αντιστρέψιµος, τότε να δειχθεί ότι : A B + I n = B A + I n Λύση Εστω ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος Τότε υπάρχει ο αντίστροφός του A Θα έχουµε : A B + I n = A B + A A = A B + A ) = A B + A = B + A A = = (B + A ) A = B A + A A = B A + I n Παρόµοια εργαζόµαστε αν ο πίνακας B είναι αντιστρέψιµος Ενας τετραγωνικός πίνακας A καλείται ορθογώνιος αν : t A A = I n = A ta Ιδιαίτερα έπεται ότι ένας ορθογώνιος πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και A = t A Επιπλέον, επειδή = I n = A ta = A t A = A A = A, έπεται ότι η ορίζουσα ενός ορθογώνιου πίνακα A είναι ίση µε : A = ± Ασκηση Αν A, B M n (K) είναι ορθογώνιοι πίνακες, να δειχθεί ότι : (A + B) (A B) = t A B t B A Λύση Επειδή οι πίνακες A και B είναι ορθογώνιοι, έπεται ότι : t A = A και t B = B Τότε : (A + B) (A B) = A + B A B = A B A + B = t (A B) A + B = = t A t B A + B = A B A + B = (A B ) (A + B) = = A A + A B B A B B = I n + A B B A I n = = A B B A = t A B t B A Ασκηση Εστω A M n (K) ένας αντισυµµετρικός πίνακας Υποθέτουµε ότι ο πίνακας I n + A είναι αντιστρέψιµος () Είναι ο πίνακας I n A αντιστρέψιµος ; () Αν ο πίνακας I n A είναι αντιστρέψιµος, ποιός είναι ο αντίστροφός του ; () Τι ισχύει αν ο πίνακας A δεν είναι αντισυµµετρικός ;

2 Λύση () Επειδή ο πίνακας A είναι αντισυµµετρικός, έπεται ότι t A = A Επειδή κάθε πίνακας έχει ορίζουσα ίση µε την ορίζουσα του αναστρόφου του, έπεται ότι I n + A = t (I n + A) = t I n + t A = I n A Επειδή ο πίνακας I n + A είναι αντιστρέψιµος, γνωρίζουµε ότι I n + A = 0 και εποµένως ϑα έχουµε και I n A 0, δηλαδή ο πίνακας I n A είναι αντιστρέψιµος () Επειδή ο πίνακας I n + A είναι αντιστρέψιµος, υπάρχει ο αντίστροφός του (I n + A) και ϑα έχουµε : (I n + A) (I n + A) = I n = (I n + A) (I n + A) Παίρνοντας ανάστροφους πίνακες στην παραπάνω σχέση, έπεται ότι : t [(I n +A) (I n +A) ] = t I n = t [(I n +A) (I n +A)] = t [(I n +A) ] t(i n +A) = I n = t (I n +A) t[(i n +A) ] = t [(I n + A) ] ( t I n + t A) = I n = ( t I n + t A) t[(i n + A) ] = = t [(I n + A) ] (I n A) = I n = (I n A) t[(i n + A) ] Αυτό σηµαίνει ότι ο ο αντίστροφος του πίνακα I n A είναι ο πίνακας (I n A) = t [(I n + A) ] () Αν ο πίνακας A δεν είναι αντισυµµετρικός και ο πίνακας I n + A είναι αντιστρέψιµος, τότε δεν ( είναι ) απαραίτητο ο πίνακας I n A να είναι αντιστρέψιµος Για παράδειγµα, έστω ο πίνακας A = 0 ( ) ο οποίος προφανώς δεν είναι αντισυµµετρικός Τότε ο πίνακας I n +A = είναι αντιστρέψιµος 0 ( ) 0 Οµως ο πίνακας I n A = δεν είναι αντιστρέψιµος 0 0 Ασκηση 4 Να ϐρεθεί η ορίζουσα E και ο αντίστροφος E, όπου E είναι ένας εκ των στοιχειωδών πινάκων Λύση () Παρατηρούµε ότι E ij (λ), λ K, E ij, E i (λ), λ K, λ 0 E ij (0) = I n Αν λ, κ είναι δύο στοιχεία του K, τότε όπως µπορούµε να υπολογίσουµε εύκολα : Εποµένως αν κ = λ, ϑα έχουµε : E ij (λ) E ij (κ) = E ij (λ + κ) E ij (λ) E ij ( λ) = I n = E ij ( λ) E ij (λ) Αυτό σηµαίνει ότι ο στοιχειώδης πίνακας E ij (λ) είναι αντιστρέψιµος και E ij (λ) = E ij ( λ) Ο πίνακας E ij (λ) έχει προκύψει από τον µοναδιαίο πίνακα I n µε εφαρµογή της στοιχειώδους πράξης Γ i Γ i + λγ j η οποία δεν αλλάζει την ορίζουσα Εποµένως () Οπως µπορούµε να υπολογίσουµε εύκολα : E ij (λ) = I n = E ij E ij = I n και εποµένως ο πίνακας E ij είναι αντιστρέψιµος και E ij = E ij Ο πίνακας E ij έχει προκύψει από τον µοναδιαίο πίνακα I n µε εφαρµογή της στοιχειώδους πράξης Γ i Γ j η οποία αλλάζει πρόσηµο στην ορίζουσα Εποµένως E ij = I n =

3 () Επειδή το λ είναι µη µηδενικό στοιχείο του K, υπάρχει το στοιχείο λ K Οπως µπορούµε να υπολογίσουµε εύκολα : E i (λ) E i (λ ) = E i () = I n και εποµένως ο πίνακας E ij είναι αντιστρέψιµος και E i (λ) = E i (λ ) Ο πίνακας E i (λ) έχει προκύψει από τον µοναδιαίο πίνακα I n µε εφαρµογή της στοιχειώδους πράξης Γ i λγ i η οποία πολλαπλασιάζει την ορίζουσα µε λ Εποµένως E i (λ) = λ I n = λ Ασκηση 5 Εστω A ένας n n πίνακας µε στοιχεία από το σώµα K () Αν ο πίνακας A δεν είναι αντιστρέψιµος, τότε και ο πίνακας adj(a) δεν είναι αντιστρέψιµος Με άλλα λόγια : A = 0 = adj(a) = 0 () Να δειχθεί ότι : () Να δειχθεί ότι, λ K: adj(a) = A n adj(λa) = λ n adj(a) (4) Αν ο πίνακας A είναι διαγώνιος, ποιός είναι προσαρτηµένος του ; (5) Να δειχθεί ότι : t adj(a) = adj( t A) (6) Να δειχθεί ότι ο προσαρτηµένος πίνακας ενός συµµετρικού πίνακα είναι συµµετρικός πίνακας (7) Πότε ο προσαρτηµένος ενός αντισυµµετρικού πίνακα είναι αντισυµµετρικός ; Λύση () Αν A = O, τότε προφανώς adj(a) = O Υποθέτουµε ότι A O Αν ο πίνακας A δεν είναι αντιστρέψιµος, τότε A = 0 και εποµένως A adj(a) = O, όπως προκύπτει από τη γνωστή µας σχέση A adj(a) = A I n = adj(a) A Αν ο πίνακας adj(a) ήταν αντιστρέψιµος, τότε ϑα είχαµε A adj(a) adj(a) = O adj(a) = O, και άρα A = O το οποίο είναι άτοπο διότι υποθέσαµε ότι A O Άρα ο adj(a) δεν είναι αντιστρέψιµος, ισοδύναµα adj(a) = 0 () Γνωρίζουµε ότι για κάθε πίνακα A ισχύει ότι Παίρνοντας ορίζουσες, ϑα έχουµε : A adj(a) = A I n = adj(a) A A adj(a) = A I n = A adj(a) = A n Αν ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος, τότε η παραπάνω σχέση δίνει : adj(a) = A n Αν ο πίνακας A δεν είναι αντιστρέψιµος, δηλαδή A = 0, τότε από το µέρος () έπεται ότι και ο πίνακας adj(a) δεν είναι αντιστρέψιµος, δηλαδή adj(a) = 0 Άρα ϑα έχουµε adj(a) = 0 = A n Εποµένως η Ϲητούµενη σχέση ισχύει για κάθε τετραγωνικό πίνακα () Συµβολίζοντας µε A kl τον συµπαράγοντα του στοιχείου στη ϑέση (k, l) του πίνακα λa, και µε kl την ελάσσονα ορίζουσα τάξης n που αντιστοιχεί στο στοιχείο στη ϑέση (k, l) του πίνακα λa, ϑα έχουµε : [adj(λa)] ij = A ji = ( ) j+i ji Οµως η ελάσσονα ορίζουσα τάξης n που αντιστοιχεί στο στοιχείο στη ϑέση (j, i) του πίνακα λa είναι η ορίζουσα η οποία προκύπτει αν διαγράψουµε την j-γραµµή και την i-στήλη του πίνακα λa Η τελευταία ορίζουσα προφανώς είναι ίση µε λ n -ϕορές την ελάσσονα ορίζουσα ji που αντιστοιχεί στο στοιχείο στη ϑέση (j, i) του πίνακα A: ji = λn ji Άρα [adj(λa)] ij = A ji = ( )j+i ji = λ n ( ) j+i ji = λ n A ji Άρα adj(λa) = λ n adj(a)

4 4 (4) Εστω λ λ 0 A = 0 0 λ n ένας διαγώνιος πίνακας Θα δείξουµε ότι αν n =, τότε adj(a) = A, και αν n, τότε : λ λ λ n λ λ λ n 0 A = 0 0 λ λ λ n Η περίπτωση n = είναι προφανής Αν k =, τότε ( ) ( ) A A adj(a) = λ 0 = A A 0 λ και άρα ο ισχυρισµός ( ) είναι αληθής Για τη γενική περίπτωση k = n, παρατηρούµε ότι, όταν i j, στον υπολογισµό της ελάσσονας ορίζουσας ij του πίνακα A υπάρχει πάντα µια στήλη ή γραµµή µηδενική και εποµένως ij = 0, δηλαδή A ij = 0 όταν i j Οταν i = j, τότε η ελάσσονα ορίζουσα ii είναι η ορίζουσα τάξης n του διαγώνιου πίνακα ο οποίος στη διαγώνιο έχει όλα τα στοιχεία λ, λ, λ n, εκτός του λ i Εποµένως ii = λ λ i λ i+ λ n, και επειδή A ii = ( ) i+i ii, ϑα έχουµε : A ij = { 0, αν i j λ λ i λ i+ λ n, αν i = j δηλαδή ο πίνακας adj(a) έχει την επιθυµιτή µορφή ( ) (5) Θα έχουµε : [ t adj(a)] ij = (adj(a)) ji = A ij = ( ) i+j ij Από την άλλη πλευρά, συµβολίζοντας µε A kl τον συµπαράγοντα του στοιχείου στη ϑέση (k, l) του πίνακα t A, και µε kl την ελάσσονα ορίζουσα τάξης n που αντιστοιχεί στο στοιχείο στη ϑέση (k, l) του πίνακα t A, ϑα έχουµε : [adj( t A)] ij = A ji = ( ) j+i ji Οµως η ελάσσονα ορίζουσα τάξης n που αντιστοιχεί στο στοιχείο στη ϑέση (j, i) του πίνακα t A είναι η ορίζουσα η οποία προκύπτει αν διαγράψουµε την j-γραµµή και την i-στήλη του πίνακα t A, δηλαδή είναι η ορίζουσα η οποία προκύπτει αν διαγράψουµε την i-γραµµή και την j-στήλη του πίνακα A Άρα ji = ij και εποµένως, i, j =,,, n: [ t adj(a)] ij = [adj( t A)] ij, δηλαδή : t adj(a) = adj( t A) (6) Αν ο πίνακας A είναι συµµετρικός, τότε t A = A και εποµένως : t adj(a) = adj( t A) = adj(a), δηλαδή ο προσαρτηµένος πίνακας του A είναι συµµετρικός (7) Αν ο πίνακας A είναι αντισυµµετρικός, τότε t A = A και εποµένως ϑα έχουµε : t adj(a) = adj( t A) = adj( A) = ( ) n adj(a) = ( ) n adj(a) ( ) Εποµένως : (αʹ) Αν ο n είναι άρτιος, τότε t adj(a) = adj(a), και άρα ο adj(a) είναι αντισυµµετρικός (ϐʹ) Αν ο n είναι περιττός, τότε t adj(a) = adj(a), και άρα ο adj(a) είναι συµµετρικός Ασκηση 6 Εστω A και B δύο αντιστρέψιµοι n n πίνακες µε στοιχεία από ένα σώµα K Να δειχθεί ότι : adj(a B) = adj(b) adj(a) Το συµπέρασµα εξακολουθεί να ισχύει και όταν οι πίνακες A και B δεν είναι αντιστρέψιµοι, η απόδειξη όµως είναι πιο δύσκολη

5 5 () Να δειχθεί ότι αν ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος, τότε και ο πίνακας adj(a) είναι αντιστρέψιµος και : adj(a) = adj(a ) () Να δειχθεί ότι αν ο πίνακας A είναι ορθογώνιος, τότε και ο πίνακας adj(a) είναι ορθογώνιος Λύση Γνωρίζουµε ότι : και εποµένως ϑα έχουµε : Άρα Από την άλλη πλευρά A adj(a) = A I n = adj(a) A και B adj(b) = B I n = adj(b) B adj(a) = A A I n = A A και adj(b) = B B I n = B B adj(b) adj(a) = B B A A = B A B A = (A B) A B ( ) (A B) adj(a B) = A B I n = adj(a B) = (A B) A B I n = (A B) A B ( ) Από τις σχέσεις ( ) και ) έπεται το Ϲητούµενο : adj(a B) = adj(b) adj(a) () Αν ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος, τότε και ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος Επειδή adj(i n ) = I n ϑα έχουµε : adj(a A ) = adj(a ) adj(a) = adj(i n ) = adj(a ) adj(a) = adj(a ) adj(a) = I n adj(a A) = adj(a) adj(a ) = adj(i n ) = adj(a) adj(a ) = adj(a) adj(a ) = I n Άρα ο πίνακας adj(a) είναι αντιστρέψιµος και adj(a) = adj(a ) () Αν ο πίνακας A είναι ορθογώνιος, τότε : t A A = I n = A ta και άρα : adj( t A A) = adj(i n ) = adj(a) adj( t A) = I n = adj(a) tadj(a) = I n adj(a ta) = adj(i n ) = adj( t A) adj(a) = I n = t adj(a) adj(a) = I n Οι παραπάνω σχέσεις δείχνουν ότι ο πίνακας adj(a) είναι ορθογώνιος Ασκηση 7 Εστω A M n (K) ένας πίνακας, όπου n () Αν n =, να δειχθεί ότι adj(adj(a)) = A () Αν n και ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος, να δειχθεί ότι () Να δειχθεί ότι : Λύση () Αν n = και A = adj(a) = ( ) A A = A A adj(adj(a)) = A n A adj(adj(a) = A (n ) ( ) a a, ϑα έχουµε : a a ( ) a a a a (( )) ( ) a a = adj(adj(a)) = adj a a = = A a a a a Το συµπέρασµα εξακολουθεί να ισχύει και όταν ο πίνακας A δεν είναι αντιστρέψιµος Θα δούµε µια απόδειξη της γενικής περίπτωσης αργότερα

6 6 () Από τη σχέση A adj(a) = A I n = adj(a) A η οποία ισχύει για κάθε πίνακα A, ϑα έχουµε : ( ) adj(a) adj(adj(a)) = adj(a) I n Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο µέλη της πρώτης ισότητας µε τον πίνακα A ϑα έχουµε τη σχέση : η οποία µε χρήση της ( ) δίνει : A adj(a) adj(adj(a)) = adj(a) A A I n adj(adj(a)) = adj(a) A = A adj(adj(a)) = adj(a) A Από την Άσκηση 5 έχουµε adj(a) = A n και εποµένως A adj(adj(a)) = A n A Επειδή ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος, από την παραπάνω σχέση ϑα έχουµε : adj(adj(a)) = A n A () Αν ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος τότε από το µέρος () έχουµε adj(adj(a)) = A n A και εποµένως : adj(adj(a)) = A n A = ( A n ) n A = A n n A = A n n+ = A (n ) Αν ο πίνακας A δεν είναι αντιστρέψιµος, δηλαδή A = 0, τότε όπως είδαµε στην απόδειξη του µέρους () της Άσκησης 5, έπεται ότι adj(a) = 0 Με µία ακόµα εφαρµογή του µέρους () της Άσκησης 5, έχουµε adj(adj(a)) = 0 και τότε : adj(adj(a)) = 0 = A (n ) Εποµένως η Ϲητούµενη σχέση είναι αληθής για κάθε τετραγωνικό πίνακα ύο m n πίνακες A και B καλούνται γ-ισοδύναµοι αν ο B προκύπτει από τον A µετά την εκτέλεση πεπε- ϱασµένου πλήθους στοιχειωδών πράξεων στις γραµµές του A Γνωρίζουµε τότε ότι : οι πίνακες A και B είναι γ-ισοδύναµοι αν υπάρχουν στοιχειώδεις m m πίνακες E, E,, E p έτσι ώστε : B = E p E p E E A Ορίζουµε µια σχέση «γ» στο σύνολο M m n (K), ως εξής : A, B M m n (K): A γ B αν και µόνον αν οι πίνακες A και B είναι γ-ισοδύναµοι, δηλαδή, A, B M m n (K): A γ B υπάρχουν στοιχειώδεις m m πίνακες E, E,, E p : B = E p E E A Ασκηση 8 () Να δειχθεί ότι η σχέση «γ» στο σύνολο M m n (K) των m n πινάκων µε στοιχεία από το σώµα K είναι µια σχέση ισοδυναµίας () Να δειχθεί ότι ένας πίνακας A είναι γ-ισοδύναµος µε τον µηδενικό πίνακα αν και µόνον αν A = O () Να δειχθεί ότι ένας πίνακας είναι αντιστρέψιµος αν και µόνον αν είναι γ-ισοδύναµος µε τον I n (4) Να δειχθεί ότι δύο τυχόντες n n αντιστρέψιµοι πίνακες είναι πάντα γ-ισοδύναµοι (5) Να δειχθεί ότι ένας ανστιστρέψιµος πίνακας A είναι γ-ισοδύναµος µε τον πίνακα A n, n Z Λύση () Για να δείξουµε ότι η σχέση «γ» είναι σχέση ισοδυναµίας, πρέπει να δείξουµε ότι είναι ανακλαστική, συµµετρική και µεταβατική (αʹ) Εστω A M m n (K) Επειδή ο µοναδιαίος m m πίνακας E m () = I m είναι στοιχειώδης και I m A = A, έπεται ότι A γ A, και άρα η σχέση «γ» είναι ανακλαστική (ϐʹ) Εστω A, B M m n (K) και υποθέτουµε ότι A γ B Τότε υπάρχουν στοιχειώδεις m m πίνακες E, E,, E p έτσι ώστε : B = E p E E A Τότε ϑα έχουµε : A = E E Ep B Επειδή ο αντίστροφος ενός στοιχειώδους πίνακα είναι στοιχειώδης πίνακας, η τελευταία σχέση δείχνει ότι B γ A Άρα B γ A, και άρα η σχέση «γ» είναι συµµετρική

7 7 (γʹ) Εστω A, B, C M m n (K) και υποθέτουµε ότι A γ B και B γ C Τότε υπάρχουν στοιχειώδεις m m πίνακες E, E,, E p και F, F,, F q έτσι ώστε : B = E p E E A και C = F q F F B Τότε : C = F q F F B = F q F F E p E E A Επειδή οι πίνακες E, E,, E p και F, F,, F q είναι στοιχειώδεις, έπεται ότι A γ C και εποµένως η σχέση «γ» είναι µεταβατική () Αν ο πίνακας A = O, τότε προφανώς ο A είναι γ-ισοδύναµος µε τον εαυτό του Αντίστροφα, έστω ότι A γ O Τότε υπάρχουν στοιχειώδεις n n πίνακες E, E,, E p έτσι ώστε : E p E E A = O Επειδή οι στοιχειώδεις πίνακες είναι αντιστρέψιµοι, και επειδή γινόµενο αντιστρέψιµων πινάκων είναι αντιστρέψιµος πινακας, έπεται ότι ο πίνακας E := E p E E είναι αντιστρέψιµος Τότε E EA = E O και άρα A = O () Γνωρίζουµε ότι ένας τετραγωνικός n n πίνακας A είναι αντιστρέψιµος αν και µόνον αν η ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή του A είναι ο µοναδιαίος n n πίνακας I n, δηλαδή αν και µόνον αν υπάρχουν στοιχειώδεις n n πίνακες E, E,, E p έτσι ώστε : E p E E A = I n Εποµένως ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος αν και µόνον αν είναι γ-ισοδύναµος µε τον I n (4) Αν A, B είναι δύο αντιστρέψιµοι n n πίνακες, τότε από το µέρος () έπεται ότι A γ I n και B γ I n ή ισοδύναµα I n γ B, επειδή η σχέση «γ» είναι συµµετρική Επειδή η σχέση «γ» είναι µεταβατική, ϑα έχουµε A γ B (5) Αν ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος, τότε ορίζεται ο αντίστροφός του A και εποµένως ορίζονται και οι πίνακες A n = (A ) n, n Θέτοντας A 0 = I n, έπεται ότι ορίζονται οι πίνακες A n, n Z, οι οποίοι είναι αντιστρέψιµοι µε αντίστροφο (A n ) = A n = (A ) n Από το µέρος (4) έπεται ότι A γ A n, n Z Ασκηση 9 Να ϐρεθεί η ισχυρά κλιµακωτή µορφή του πίνακα : A = 0 0 Ακολούθως, αν ο A είναι αντιστρέψιµος, να ϐρεθεί ο A µε χρήση πράξεων επί των γραµµών του Λύση Θα υπολογίσουµε ταυτόχρονα την ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή του πίνακα A και τον αντίστροφο A του πίνακα A, αν ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος, εκτελώντας στοιχεώδεις πράξεις στις γραµµές του A (A I ) = Γ Γ Γ Γ Γ +Γ Γ 4 Γ Γ Γ Γ Γ Γ +Γ Γ Γ Γ = (I B) όπου 4 4 B = 0 4 4

8 8 Εποµένως η ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή του πίνακα A είναι ο µοναδιαίος πίνακς I Αυτό σηµαίνει ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και ο αντιστροφός του είναι ο πίνακας 4 4 A = Ασκηση 0 Αν a K, να ϐρεθεί η ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή του πίνακα : A = 0 a 9 και ακολούθως να ϐρεθεί η τιµή του a για τις οποίες ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος Ποιός είναι ο αντίστροφος του A; Λύση Θα έχουµε : (A I ) = a Γ Γ Γ a Γ Γ aγ a 9 a 0 ιακρίνουµε περιπτώσεις : Γ Γ a a a a 9 a 0 Γ Γ +(a )Γ () Αν a = 8, τότε εργαζόµενοι στον πίνακα ( ), ϑα έχουµε : Γ Γ Γ = (B A ) Ο πίνακας B είναι ισχυρά γ-κλιµακωτός και επειδή B I n, έπεται ότι ο πίνακας A δεν είναι αντιστρέψιµος, και η ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή του A είναι ο πίνακας () Αν a 8, τότε εργαζόµενοι στον πίνακα ( ), ϑα έχουµε : Γ 8 a Γ 0 0 = 8 a a a+ (a+) ( a+) (8 a) (8 a) 8 a = Γ Γ + Γ a Γ Γ Γ a 8 a 8 a 8 a+ a 0 0 a+ a a 8 a 8) 8 a 0 0 a 8 a 8 8 a a 8 a 8 a 8 a a 8 a 8 a 8 = (I A ) a+ a 0 0 a 8 a 8 a 8 ( )

9 9 όπου 9 9 A a 8 a 8 a 8 = a 9 9 a 8 a 8 a 8 = 9 9 a 9 9 a+ a a 8 a + a a 8 a 8 a 8 Εποµένως ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και ο αντίστροφός του είναι ο πίνακας A = a a 9 9 a + a Συνοψίζοντας δείξαµε ότι ο πίνακας είναι αντιστρέψιµος αν και µόνον αν a 8 και τότε ο αντίστροφός του είναι ο πίνακας που δίνεται παραπάνω Εστω A ένας m n πίνακας µε στοιχεία από ένα σώµα K Ο πίνακας A καλείται κανονικός αν είναι ταυτόχρονα ισχυρά γ-κλιµακωτός και ισχυρά σ-κλιµακωτός Προφανώς ένας κανονικός πίνακας είναι της µορφής : ( ) I A = r O = r (n r) ( ) O (m r) r O (m r) (n r) όπου I r είναι ο µοναδιαίος r r πίνακας, O r (n r) είναι ο µηδενικός r (n r) πίνακας, O (m r) r είναι ο µηδενικός (m r) r πίνακας, και O (m r) (n r) είναι ο µηδενικός (m r) (n r) πίνακας Προφανώς κάθε m n πίνακας A µπορεί να µετατραπεί, µετά την εκτέλεση πεπερασµένου πλήθους στοιχιωδών πράξεων στις γραµµές και στις στήλες του, σε έναν κανονικό πίνακα, ο οποίος καλείται η κανονική µορφή του A Ασκηση Να ϐρεθεί η ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή του πίνακα : 0 A = και ακολούθως να ϐρεθεί η κανονική µορφή του πίνακα A Λύση Θα έχουµε : Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ +Γ Γ Γ +Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ +Γ

10 := B Ο πίνακας B είναι ισχυρά γ-κλιµακωτός και είναι η ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή του A B = Σ Σ Σ 4 Σ 4 Σ Σ 4 Σ 4 Σ Σ Σ 4 Σ 4 Σ Σ Σ 5 Σ Σ Σ Σ 4 Σ Σ Σ 4 Σ Σ 4 Σ 4 4Σ Σ 4 Σ 4 +Σ 0 0 := C Ο πίνακας C είναι ισχυρά γ-κλιµακωτός και ισχυρά σ-κλιµακωτός Εποµένως ο πίνακας C είναι η κανονική µορφή του πίνακα A Ασκηση Να λυθεί το σύστηµα : (Σ) x + x x = x + x x = x + x + x = Λύση Εχουµε : A =, B =, X = x x, (A B) = Εκτελούµε στοιχιώδεις πράξεις στις γραµµές του επαυξηµένου πίνακα του (Σ): Γ Γ Γ 0 4 Γ Γ Γ Γ Γ +4Γ Γ Γ Γ x Γ Γ Γ Γ Γ Γ 4 Γ Ο τελευταίος πίνακας είναι ο επαυξηµένος πίνακας του γραµµικού συστήµατος x + 0x + 0x = (Σ ) 0x + x + 0x = 0x + 0x + x = το οποίο έχει προφανή λύση την x = x = x = Επειδή το (Σ ) είναι ισοδύναµο µε το (Σ), έπεται ότι το (Σ) έχει µοναδική λύση την : x =, x =, x =

11 Ασκηση Να λυθεί το σύστηµα : (Σ) x + x 5x = x x + 4x = 4 4x + x 6x = 8 Λύση Εχουµε : A = 5 4, B = 4, X = x x, (A B) = x Εκτελούµε στοιχιώδεις πράξεις στις γραµµές του επαυξηµένου πίνακα του (Σ): Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ 4Γ Γ Γ Γ Ο τελευταίος πίνακας είναι ο επαυξηµένος πίνακας του γραµµικού συστήµατος x + 0x x = (Σ ) 0x + x x = 0 0x + 0x + 0x = 0 Γ 7 Γ Για το (Σ ) έχουµε : x = x και x = x Θέτουµε x = λ (αυθαίρετη τιµή από το σώµα K), και τότε έπεται ότι το σύτστηµα (Σ ) έχει άπειρες λύσεις, οι οποίες εξαρτώνται από µια παράµετρο λ K), τις εξής : x = + λ, x = λ, x = λ Επειδή το σύστηµα (Σ ) είναι ισοδύναµο µε το (Σ), έπεται ότι το σύτστηµα (Σ) έχει άπειρες λύσεις, οι οποίες εξαρτώνται από µια παράµετρο λ K), τις εξής : x = + λ, x = λ, x = λ, (λ K) Ασκηση 4 Να λυθεί το σύστηµα : x + x x + x 4 = 0 8x (Σ) + x 9x + 8x 4 = 0 4x + 6x + x x 4 = 0 x + x + 9x + 7x 4 = 0 Λύση Εχουµε : 0 A = , B = 0 0, X = x x x x 4 x 5 0, (A B) = Επειδή ο πίνακας των σταθερών όρων είναι ο µηδενικός εργαζόµαστε Εκτελώντας στοιχειώδεις πράξεις στις γραµµές του πίνακα A των συντελεστών (Σ): Γ Γ 4Γ Γ Γ Γ, Γ 4 Γ 4 Γ Γ Γ +Γ Γ 4 Γ 4 +Γ

12 Γ 5 Γ Γ Γ Γ Γ + Γ Ο τελευταίος πίνακας είναι ο επαυξηµένος του συστήµατος x + x + 0x + 0 x 4 = 0 (Σ 0x ) + 0x + x 4 5 x 4 = 0 0x + 0x + 0x + 0x 4 = 0 0x + 0x + 0x + 0x 4 = 0 Για το (Σ ) έχουµε : x = 4 5 x 4 και x = x 0 x 4 Θέτοντας x = λ και x 4 = µ (αυθαίρετες τιµές από το σώµα K) έπεται ότι το (Σ ) έχει άπειρες λύσεις, οι οποίες εξαρτώνται από δύο παραµέτρους λ, µ K: x = λ 0 µ, x = λ, x = 4 5 µ, x 4 = µ Επειδή το σύστηµα (Σ) είναι ισοδύναµο µε το (Σ ), έπεται ότι το (Σ) έχει άπειρες λύσεις οι οποίες εξαρτώνται από δύο παραµέτρους λ, µ K, τις εξής : x = λ 0 µ, x = λ, x = 4 5 µ, x 4 = µ (λ, µ K) Ασκηση 5 Να λυθεί το σύστηµα : x x + x x 5 = 0 x (Σ) + x x + x 4 = 0 x x + x + x 4 = λ 4x + 4x 4x x 4 + x 5 = λ Λύση Εχουµε : 0 0 A = , B = 0 λ, X = λ 0 0 (A B) = λ λ Εκτελούµε στοιχειώδεις πράξεις στις γραµµές του επαυξηµένου πίνακα του (Σ): x x x x 4 x λ λ Γ Γ +Γ Γ Γ Γ λ λ Γ 4 Γ 4 +4Γ λ λ Γ Γ Γ Γ 4 Γ 4 +Γ λ 4 λ Γ 4 Γ 4 +Γ

13 λ 0 λ Γ Γ λ 0 λ και άρα καταλήγουµε στο παρακάτω σύστηµα : x x + x x 5 = 0 x 4 x 5 = 0 x 5 = λ 0 = λ ιακρίνουµε δύο περιπτώσεις : () Αν λ 0 τότε έπεται ότι το σύστηµα (Σ) είναι αδύνατο () Αν λ = 0 τότε έχουµε x 5 = 0 και άρα x 4 = 0 Ακόµα, από την πρώτη εξίσωση έχουµε x = x x Θέτουµε x = κ και x = ν µε κ, ν R Τότε έχουµε τη γενική λύση : x = κ ν x = κ x = ν κ, ν R x 4 = 0 x 5 = 0 Ασκηση 6 Να λυθεί το σύστηµα : x + x + x + x 4 x 5 = λ x (Σ) + x = λ x 4 x 5 = λ x + x + x 4 x 5 = λ Λύση Εχουµε : A = λ, B = λ λ, X = λ λ (A B) = λ λ 0 λ Εκτελούµε στοιχειώδεις πράξεις στις γραµµές του επαυξηµένου πίνακα του (Σ): x x x x 4 x 5 λ λ λ 0 λ Γ 4 Γ 4 Γ λ λ λ Γ 4 Γ 4 Γ

14 4 λ λ λ 0 + λ και άρα καταλήγουµε στο παρακάτω σύστηµα : x + x + x + x 4 x 5 = λ x + x = λ x 4 x 5 = λ 0 = + λ ιακρίνουµε δύο περιπτώσεις : () Αν λ τότε το σύστηµα (Σ) είναι αδύνατο () Για λ = έχουµε το σύστηµα : x + x + x + x 4 x 5 = x + x = x 4 x 5 = Συνεπώς έχουµε ότι x = x, x 4 = + x 5 και αντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση ϐρίσκουµε x = x + x 5 Θέτουµε x = ν και x 5 = κ µε κ, ν R Τότε έχουµε τη γενική λύση : x = ν + κ x = ν x = ν κ, ν R x 4 = + κ x 5 = ν Ασκηση 7 Αν λ R, να λυθεί το ακόλουθο σύστηµα : x + x + x + x 4 + x 5 x 6 + 0x 7 = 0 0x (Σ) : + x + 0x + 0x 4 + x 5 x 6 + 0x 7 = x + x + x + x 4 + x 5 x 6 + x 7 = x + 0x + x + x 4 + 0x 5 + 0x 6 + 0x 7 = λ Λύση Ο πίνακας συντελεστών και ο πίνακας σταθερών όρων του συστήµατος (Σ) είναι 0 0 A = και B = λ Εκτελούµε στοιχειώδεις πράξεις στον επαυξηµένο πίνακα (A B): (A B) = Γ Γ Γ Γ 4 Γ 4 Γ λ λ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ 4 Γ 4 +Γ λ λ

15 5 Ο τελευταίος πίνακας είναι ο επαυξηµένος πίνακας ενός συστήµατος (Σ ): x + 0x + x + x 4 + 0x 5 + 0x 6 + 0x 7 = (Σ 0x ) : + x + 0x + 0x 4 + x 5 x 6 + 0x 7 = 0x + 0x + 0x + 0x 4 + 0x 5 0x 6 + x 7 = 0 0x + 0x + 0x + 0x 4 + 0x 5 + 0x 6 + 0x 7 = λ το οποίο είναι ισοδύναµο µε το (Σ) ιακρίνουµε τις παρακάτω περιπτώσεις : () Αν λ τότε λ 0, ο τελευταίος πίνακας τότε η τελευταία εξίσωση του (Σ ) είναι αδύνατη διότι ϑα έχουµε 0 = ( λ 0 Εποµένως το (Σ ) και άρα και το (Σ) είναι αδύνατο () Εστω λ = Τότε το (Σ ) είναι της µορφής (παραλείπουµε τους άγνωστους µε µηδενικό συντελεστή): Θέτουµε x + x + x 4 = x + x 5 x 6 = x 7 = 0 = x = κ, x 4 = λ, x 5 = µ, x 6 = ν x = x x 4 x = x 5 + x 6 x 7 = 0 να είναι αυθαίρετες τιµές από το σώµα K, έπεται ότι το σύστηµα (Σ ), άρα και το ισοδύναµό του σύστηαµ (Σ), έχει άπειρες λύσεις οι οποίες εξαρτώνται από 4 παραµέτρους : Εποµένως η γενική λύση του συστήµατος (Σ) είναι x = κ ξ x = µ + ν x = κ x 4 = ξ κ, ξ, µ, ν R x 5 = µ x 6 = ν x 7 = 0 Ασκηση 8 Να λυθεί το σύστηµα (λ R): x y + z = (Σ) x + y + λz = x + λy + z = λ Λύση Εχουµε : A = λ, B =, X = x y, (A B) = λ λ λ z λ λ Εκτελούµε στοιχιώδεις πράξεις στις γραµµές του επαυξηµένου πίνακα του (Σ): (A B) = λ Γ Γ Γ 0 λ Γ Γ Γ λ λ 0 λ + 0 λ ιακρίνουµε περιπτώσεις : () Αν λ + = 0, δηλαδή λ =, τότε ο τελευταίος πίνακας είναι της µορφής :

16 6 ο οποίος είναι ο επαυξηµένος ενός συστήµατος (Σ ) ισοδύναµου µε το (Σ) Επειδή προφανώς το (Σ ) είναι αδύνατο (η τελευταία εξίσωση του είναι της µορφής 0x + 0y + 0z = 4), έπεται ότι το (Σ) είναι αδύνατο () Αν λ + 0, δηλαδή λ, τότε εκτελούµε στοιχειώδεις πράξεις στις γραµµές του τελευταίου πίνακα : 0 λ 0 λ + 0 λ Γ Γ Γ λ+ Γ λ+ 0 λ 0 λ+ 0 0 λ 0 λ 0 0 λ+ (λ ) λ+ Γ Γ +Γ Γ Γ Γ ιακρίνουµε περιπτώσεις : (αʹ) Αν λ+ = 0, δηλαδή αν λ =, τότε ο τελευταίος πίνακας είναι της µορφής και είναι ο επαυξηµένος πίνακας του γραµµικού συστήµατος x + 0y + z = (Σ ) 0x + y + 0z = 0x + 0y + 0z = 0 το οποίο είναι ισοδύναµο µε το σύστηµα (Σ) Θέτοντας z = κ να είναι µια αυθαίρετη τιµή από το σώµα K, έπεται ότι το (Σ ) έχει άπειρες λύσεις, οι οποίες εξαρτώνται από µια παράµετρο κ K: x = κ, y =, z = κ Επειδή το (Σ ) είναι ισοδύναµο µε το (Σ), έπεται ότι το (Σ) έχει άπειρες λύσεις οι οποίες εξαρτώνται από µια παράµετρο, τις εξής : x = κ, y =, z = κ (κ K) (ϐʹ) Αν λ+ 0, δηλαδή αν λ, τότε ο τελευταίος πίνακας είναι της µορφής λ+ 0 λ+ 0 λ 0 Γ Γ +Γ λ 0 0 Γ Γ λ+ Γ λ+ (λ ) Γ 0 0 λ+ Γ λ λ+ λ λ 0 0 λ λ+ ο τελευταίος πίνακας είναι ο επαυξηµένος πίνακας του γραµµικού συστήµατος x + 0y + z = 4 (Σ ) 0x + y + 0z = λ λ+ 0x + 0y + z = 4 λ+ το οποίο είναι ισοδύναµο µε το σύστηµα (Σ) Προφανώς το (Σ ) έχει µοναδική λύση την x = 4, y = λ λ+, z = 4 λ+ Επειδή το (Σ ) είναι ισοδύναµο µε το (Σ), έπεται ότι το (Σ) έχει µοναδική λύση, την εξής : x = 4, y = λ λ +, z = 4 λ + Συνοψίζοντας, δείξαµε ότι το σύστηµα (Σ) είναι : () Είναι αδύνατο, αν λ =

17 7 () Εχει άπειρες λύσεις, αν : λ και λ = Οι άπειρες λύσεις του (Σ) εξαρτώνται από µια παράµετρο και είναι οι εξής : x = κ, y =, z = κ (κ K) () Εχει µοναδική λύση, αν λ και λ Η µοναδική λύση του (Σ) είναι η εξής : x = 4, y = λ λ +, z = 4 λ + Ασκηση 9 Αν a, R, να λυθεί το σύστηµα : x + y + z = 6a (Σ) x + y + ( + )z = 4 x + y + z = a Λύση Εχουµε : A = ( + ), B = 6a 4, X = x y, (A B) = 6a ( + ) 4 a z a Εκτελούµε στοιχιώδεις πράξεις στις γραµµές του επαυξηµένου πίνακα του (Σ): 6a ( + ) 4 Γ Γ Γ 6a a Γ Γ a a ιακρίνουµε περιπτώσεις : () = 0 Τότε ο τελευταίος πίνακας είναι ο a a 0 a ο οποίος είναι ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος x + (Σ y + z = a ) 0x + 0y + 0z = 4 + 6a 0x + y + z = a a a a Από το οποίο ϐλέπουµε ότι : (αʹ) Αν 4 + 6a 0, δηλαδή αν a 4 6 =, τότε το (Σ ) είναι αδύνατο Επειδή το (Σ) είναι ισοδύναµο µε το (Σ ), έπεταιο ότι αν a, τότε το (Σ) είναι αδύνατο (ϐʹ) Αν Αν 4 + 6a = 0, δηλαδή αν a = 4 6 =, τότε ο επαυξηµένος πίνακας του (Σ ) είναι 0 Γ Γ Γ Γ 0 Ο τελευταίος πίνακας είναι είναι ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος x + 0y + (Σ 6 z = 7 ) 0x + y + z = 0x + 0y + 0z = 0 Γ Γ Γ Από το οποίο ϐλέπουµε ότι : y = ( + z) και x = 7 6 z Θέτοντας z = λ, (αυθαίρετη τιµή από το σώµα K), έπεται ότι το σύστηµα (Σ ) έχει άπειρες λύσεις, οι οποίες εξαρτώνται από µια

18 8 παράµετρο λ K: x = 7 6 λ, y = ( + λ), z = λ Επειδή το (Σ ) είναι ισοδύναµο µε το (Σ ) και το (Σ ) είναι ισοδύναµο µε το (Σ),έπεται ότι το (Σ) έχει άπειρες λύσεις οι οποίες εξαρτώνται από µια παράµετρο λ K, τις εξής : () Αν 0 Τότε : a a a x = 7 6 λ, y = ( + λ), z = λ, (λ K) Γ Γ a 0 a + a a ιακρίνουµε περιπτώσεις : (αʹ) Αν = 6, τότε έχουµε τον πίνακα : a 0 0 a Γ Γ +Γ +a 0 0 a a a a = a + a 4+6a 0 0 a 0 0 a a Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ a 0 0 a a ιακρίνουµε περιπτώσεις : (i) Αν +69a 0, δηλαδή αν a 69, τότε το (Σ) είναι αδύνατο, καθώς ο παραπάνω πίνακας είναι ο επαυξηµένος πίνακας ενός συστήµατος το οποίο είναι ισοδύναµο µε το (Σ) και ειναι προφανώς αδύνατο (ii) Αν +69a = 0, δηλαδή αν a = 69, τότε ο τελευταίος πίνακας είναι : ( 69 ) 0 0 ( 69 ) = a Ο τελευταίος πίνακας είναι ο πίνακας του επαυξηµένου συστήµατος x + (Σ y + z = ) 0x + 0y + z = 4 0x + 0y + 0z = 0 το οποίο είναι ισοδύναµο µε το (Σ) και το οποίο έχει άπειρες λύσεις : z = 4, και x = λ +, όπου λ είναι µια αυθαίρετη παράµετρος από το σώµα K Εποµένως το (Σ έχει άπειρες λύσεις οι οποίες εξαρτώνται από µια παράµετρο λ K: x = λ + (ϐʹ) Αν 6, τότε : a a + a 4+6a 0 0, y = λ, z = 4, (λ K) Γ 6 Γ a 4 6a+6a a 0 0 4a 6 6a+6a 6 4+6a 0 0 Ο τελευταίος πίνακας είναι ο πίνακας του επαυξηµένου συστήµατος (Σ ) x + 0y + 6 z = 4a 6 0x + y z = 6a+6a 6 0x + 0y + z = 4+6a Γ Γ Γ

19 το οποίο είναι ισοδυναµο µε το (Σ) και έχει µοναδική λύση : z = 4+6a a+6a +4 4a 6 (6 ), x = 4a a το (Σ), έπεται ότι το (Σ) έχει µοναδική λύση x = 4a + 6a + 4 (6 ) Συνοψίζοντας, δείξαµε ότι το σύστηµα (Σ) είναι : () Είναι αδύνατο, αν : = 0 9, y = 6a+6a a = = 4a 4 6a (6 ) Επειδή το (Σ ) είναι ισοδύναµο µε, y = a + 6a + 4 4a 6, z = 4 + 6a (6 ) και a ή = 6 και a 69 () Εχει µοναδική λύση, αν : 0 και 6 Τότε η µοναδική λύση του (Σ) είναι : x = 4a + 6a + 4 (6 ), y = a + 6a + 4 4a 6, z = 4 + 6a (6 ) () Εχει άπειρες λύσεις, αν : (αʹ) Είτε = 0 και a = Τότε οι λύσεις του (Σ) είναι της µορφής : x = 7 6 λ, y = ( + λ), z = λ, (λ K) (ϐʹ) Είτε = 6 και a = 69 Τότε οι λύσεις του (Σ) είναι της µορφής : x = λ +, y = λ, z = 4, (λ K) Ασκηση 0 Εστω λ, a,, c, h, g, f K, να ϐρεθούν αναγκαίες και ικανές συνθήκες στα στοιχεία αυτά έτσι ώστε το οµογενές σύστηµα γραµµικών εξισώσεων λx + ay + z + cw = 0 ax + λy + hz gw = 0 (Σ) x hy + λz + gw = 0 cx + gy f z + λw = 0 να έχει µια µη-µηδενική λύση Λύση Εστω ότι το (Σ) έχει µια µη-µηδενική λύση X 0 = x 0 y 0 z 0 w 0 δηλαδή ένα τουλάχιστον εκ των x 0, y 0, z 0, w 0 είναι µη-µηδενικό Τότε ικανοποιούνται οι ακόλουθες σχέσεις µεταξύ αριθµών του σώµατος K: λx 0 + ay 0 + z 0 + cw 0 = 0 (A) ax 0 + λy 0 + hz 0 gw 0 = 0 (B) x 0 hy 0 + λz 0 + gw 0 = 0 (C) cx 0 + gy 0 fz 0 + λw 0 = 0 (D) Πολλαπλασιάζοντας : () την πρώτη σχέση (A) µε λx 0, () την δεύτερη σχέση (B) µε λy 0, () την τρίτη σχέση (C) µε λz 0, (4) την τέταρτη σχέση (D) µε λw 0

20 0 και κατόπιν προσθέτοντας όλες τις σχέσεις που προκύπτουν, εύκολα ϐλέπουµε ότι προκύπτει η ακόλουθη σχέση λ (x 0 + y 0 + z 0 + w 0) = 0 Επειδή τουλάχιστον ένα εκ των x 0, y 0, z 0, w 0 είναι µη-µηδενικό, από την τελευταία σχέση έπεται ότι λ = 0, δηλαδή λ = 0 Τότε ο πίνακας των συντελεστών του συστήµατος (Σ) είναι ο ακόλουθος : 0 a c A = a 0 h g h 0 f ( ) c g f 0 δηλαδή είναι ένας αντισυµµετρικός πίνακας τέταρτης τάξης Επειδή το οµογενές σύστηµα A X = O, έχει τουλάχιστον µια µη-µηδενική λύση, έπεται ότι A = 0 Αναπτύσσοντας την ορίζουσα του A κατά τα στοιχεία της πρώτης γραµµής ϐλέπουµε ότι : A = (af + g + ch) Άρα ϑα πρέπει να έχουµε : A = (af + g + ch) = 0, απ όπου έπεται ότι af + g + ch = 0 Εποµένως δείξαµε ότι αν το (Σ) έχει τουλάχιστον µια µη-µηδενική λύση, τότε : λ = af + g + ch = 0 Αντίστροφα, αν λ = af +g+ch = 0, τότε ο πίνακας A των συντελεστών του (Σ) είναι όπως στην παραπάνω σχέση ( ) και άρα η ορίζουσά του ϑα είναι A = (af + g + ch) = 0 Αυτό όµως σηµαίνει ότι 4 το (Σ) έχει τουλάχιστον µια µη-µηδενική λύση Αν A 0, τότε ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και τότε η σχέση A X = O δίνει A A X = A O, δηλαδή I 4 X = O απ όπου X = O Αυτό είναι άτοπο από την υπόθεση ότι το (Σ) έχει µη-µηδενιές λύσεις 4 Πράγµατι, επειδή A 0, η τελευταία γραµµή στην ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή B του A ϑα είναι η µηδενική Αυτό όπως µπορούµε να δούµε εύκολα σηµαίνει ότι το ισοδύναµο µε το (Σ) οµογενές σύστηµα µε πίνακα συντελεστών τον πίνακα B έχει άπειρες λύσεις οι οποίες εξαρτώνται από n παραµέτρους ( είξτε το σαν Άσκηση)