ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :"

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ευτέρα 30 Μαρτίου 2015 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν όλοι οι ϑετικοί ακέραιοι a, b για τους οποίους ισχύει : (a, b) = 18 & [a, b] = 540 Λύση. Θα έχουµε 18 a και 18 b, και άρα a = 18 και b = 18m. Επειδή (a, b) [a, b] = a b, ϑα έχουµε = m, δηλαδή 540 = 18m και άρα : m = 30. Επειδή οι ϑετικοί διαιρέτες του 30 είναι οι 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30, έπεται ότι το Ϲεύγος (, m) είναι ένα εκ των : (1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6) και (30, 1), (15, 2), (10, 3), (6, 5). Συνεπώς οι ϑετικοί ακέραιοι a, b µε τις Ϲητούµενες ιδιότητες ϑα προκύπτουν από τα παραπάνω Ϲεύγη αν αυτά πολλαπλασιασθούν µε το 18: (a, b) { (18, 540), (36, 270), (54, 180), (90, 108), (540, 18), (270, 36), (180, 54), (108, 90) } Ασκηση Αν α, β, γ είναι µη-αρνητικοί ακέραιοι, δείξτε ότι : max { α, β, γ } = α + β + γ min { α, β } min { α, γ } min { β, γ } + min { α, β, γ } 2. είξτε ότι αν a, b, c είναι ϑετικοί ακέραιοι, τότε : [a, b, c] = a b c (a, b, c) (a, b) (a, c) (b, c) ( ) ( ) Λύση. 1. Υπάρχουν 6 δυνατές περιπτώσεις για τα α, β, γ: α β γ, α γ β, β α γ, β γ α, γ α β, γ β α Θα δείξουµε τη Ϲητούµενη σχέση στην περίπτωση α β γ. Οι άλλες περιπτώσεις αντιµετωπίζονται ανάλογα. Θα έχουµε : max { α, β, γ } = γ, α β γ = min { α, β } = α, min { α, γ } = α, min { β, γ } = β min { α, β, γ } = α Εποµένως : α+β+γ min { α, β } min { α, γ } min { β, γ } +min { α, β, γ } = α+β+γ α α β+α = γ = max { α, β, γ }

2 2 2. Παρατηρούµε ότι επειδή (a, b) a, (a, c) c και (b, c) b, το κλάσµα στην δεξιά πλευρά της ( ): a b c (a, b, c) (a, b) (a, c) (b, c) = a b c (a, b, c) = a (a, b) (a, c) (b, c) (a, b) b (b, c) c (a, b, c) (a, c) είναι ένας (ϑετικός) ακέραιος. Για τους ϑετικούς ακεραίους a, b, c µπορούµε να γράψουµε : a = p α 1 1 pα 2 2 pα, b = pβ 1 1 pβ 2 2 pβ, c = pγ 1 1 pγ 2 2 pγ όπου p 1, p 2,, p είναι διακεκριµµένοι πρώτοι, και α i, β i, γ i, 1 i, είναι µη-αρνητικοί ακέραιοι. Τότε ϑα έχουµε : [a, b, c] = p max{α 1, β 1, γ 1 } 1 p max{α 2, β 2, γ 2 } 2 p max{α, β, γ } (a, b, c) = p min{α 1, β 1, γ 1 } 1 p min{α 2, β 2, γ 2 } 2 p min{α, β, γ } (a, b) = p min{α 1, β 1 } 1 p min{α 2, β 2 } 2 p min{α, β } (a, c) = p min{α 1, γ 1 } 1 p min{α 2, γ 2 } 2 p min{α, γ } (b, c) = p min{β 1, γ 1 } 1 p min{β 2, γ 2 } 2 p min{β, γ } Θα έχουµε : όπου m = 1, 2,, : a b c = p α 1+β 1 +γ 1 1 p α 2+β 2 +γ 2 2 p α +β +γ (a, b) (a, c) (b, c) [a, b, c] = p x 1 1 px 2 2 p x x m = max { α m, β m, γ m } + min{αm, β m } + min{α m, γ m } + min{β m, β m } Από την άλλη πλευρά ϑα έχουµε : όπου m = 1, 2,, : a b c (a, b, c) = p y 1 1 py 2 2 py y m = α m + β m + γ m + min { α m, β m, γ m } Λαµβάνοντας υπ όψιν τη σχέση ( ) οι παραπάνω σχέσεις δίνουν m = 1, 2,, : x m = y m και εποµένως : (a, b) (a, c) (b, c) [a, b, c] = a b c (a, b, c) Ασκηση 3. Εστω a 1,..., a n ϑετικοί ακέραιοι. είξτε ότι [a 1, a 2,..., a n ] = a 1 a 2 a n (a i, a j ) = 1 για κάθε 1 i j n ( ) Λύση. Θα αποδείξουµε την παραπάνω ισοδυναµία µε χρήση της Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής. Αν n = 1, τότε η ( ) ισχύει τετριµµένα. Εστω n = 2. Υπενθυµίζουµε ότι (a 1, a 2 ) [a 1, a 2 ] = a 1 a 2. Εποµένως [a 1, a 2 ] = a 1 a 2 [a 1, a 2 ] = (a 1, a 2 ) [a 1, a 2 ] (a 1, a 2 ) = 1 Επαγωγική Υπόθεση: Υποθέτουµε ότι για τυχόντες ϑετικούς ακεραίους a 1, a 2,, a n 1 ισχύει : [a 1, a 2,..., a n 1 ] = a 1 a 2 a n 1 (a i, a j ) = 1 για κάθε 1 i j n 1 ( ) «=» Υποθέτουµε ότι : (a i, a j ) = 1 για κάθε 1 i j n. Θα δείξουµε ότι : d = ([a 1, a 2 ], a ) = 1, 3 n Πράγµατι, αν d 1, τότε έστω p ένας πρώτος διαιρέτης του d. Τότε p a και p [a 1, a 2 ]. Επειδή (a 1, a 2 ) = 1, έπεται ότι [a 1, a 2 ] = a 1 a 2 και άρα p a 1 a 2, δηλαδή p a 1 ή p a 2. Τότε όµως p (a 1, a ) = 1 το οποίο είναι άτοπο, ή p (a 2, a ) = 1 το οποίο είναι επίσης άτοπο. Άρα πράγµατι d = 1.

3 3 Επειδή [a 1, a 2, a 3, a n ] = [[a 1, a 2 ], a 3, a n ] και ([a 1, a 2 ], a ) = 1 και (a m, a r ) = 1, 3 m r n, έπεται µε χρήση της Επαγωγικής Υπόθεσης ότι : και [a 1, a 2, a 3, a n ] = [[a 1, a 2 ], a 3, a n ] = [a 1, a 2 ] a 3 a n = a 1 a 2 a 3 a n «=» Υποθέτουµε ότι : [a 1, a 2,..., a n ] = a 1 a 2 a n. Επειδή από την υπόθεση ϑα έχουµε : και εποµένως : [a 1, a 2, a 3, a n ] = [[a 1, a 2,, a n 1 ], a n ] [[a 1, a 2,, a n 1 ], a n ] = [a 1, a 2,, a n 1 ] a ( n ) [a1, a 2,, a n 1 ]a n a 1 a 2 a n = [a 1, a 2,, a n 1 ] a ( n ) [a1, a 2,, a n 1 ], a n [a 1, a 2,, a n 1 ] = a 1 a 2 a n 1 ([a 1, a 2,, a n 1 ], a n ) Εστω d = ( [a 1, a 2,, a n 1 ], a n ), και M = [a1, a 2,, a n 1 ]. Τότε : M = a 1 a 2 a n 1 d = a 1 a 2 a n 1 M Οπως επειδή προφανώς ισχύει [a 1, a 2,, a n 1 ] a 1 a 2 a n 1, ϑα έχουµε αναγκαστικά d = 1 και : Από την Επαγωγική Υπόθεση, τότε έπεται ότι : [a 1, a 2,, a n 1 ] = a 1 a 2 a n 1 (a i, a j ) = 1, για κάθε 1 i j n 1 και µένει να δείξουµε ότι d = (a, a n ) = 1, για κάθε = 1, 2,, n 1. Σταθεροποιώντας ένα τέτοιο και επιλέγοντας m, αντικαθιστούµε στην παραπάνω διαδικασία τον αριθµό a n µε τον αριθµό a m. Τότε χρησιµοποιώντας ότι [a 1, a 2,, a n ] = [[a 1, a 2, a m 1, a m+1,, a n ], a m ] η παραπάνω διαδικασία, δείχνει ότι ϑα έχουµε : (a i, a j ) = 1, για κάθε 1 i j n και i, j m. Ιδιαίτερα ϑα έχουµε d = (a, a n ) = 1, για κάθε = 1, 2,, n 1. Συνοψίζοντας, δείξαµε ότι : (a i, a j ) = 1, για κάθε 1 i j n Ασκηση 4. Βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις ή αποδείξτε ότι δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις, για τις ακόλουθες διοφαντικές εξισώσεις x y = x y = x + 18y = 97 Λύση. 1. Από τον Ευκλείδειο αλγόριθµο έχουµε 1745 = = = = = = 7 5 Άρα d = (1485, 1745) = 5

4 4 Επειδή d 15, έπεται ότι η εξίσωση 1485x y = 15 έχει λύση. Για την εύρεση όλων των λύσεων, ϑα έχουµε : 5 = = 75 2 ( ) = = ( ) = = ( ) = = ( ) = Εποµένως 5 = και άρα 15 = ( 3 47) (3 40) 1745 Τότε έχουµε τη λύση x 0 = 3 47 = 141 και y 0 = 3 40 = 120 και για όλες οι λύσεις της εξίσωσης 1485x y = 15 δίνονται ως εξής : x = x 0 + b d y = y 0 a d t = t = t t = t = t 2. Από τον Ευκλείδειο αλγόριθµο έχουµε 1001 = = = = = = = 2 1 Άρα d = (102, 1001) = 1 Επειδή d 1, η εξίσωση 102x y = 1 έχει λύση.

5 5 Για την εύρεση όλων των λύσεων, ϑα έχουµε : Άρα έχουµε τη λύση 1 = = 5 2 (7 1 5) = = (19 2 7) = = ( ) = = ( ) = = ( ) = x 0 = 422 και y 0 = 43 Τότε όλες οι λύσεις της εξίσωσης 102x y = 1 είναι οι ακόλουθες : x = x 0 + b 1001 d t = t = t y = y 0 a d t = t = t 3. Υπολογίζουµε τον µέγιστο κοινό διαιρέτη : (60, 18) = 3 και Άρα η εξίσωση 60x+18y = 97 δεν έχει ακέραιες λύσεις. Ασκηση 5. (α) Εστω η ιοφαντική εξίσωση ax + by = c όπου a, b, c N και (a, b) = 1. Να δείξετε ότι το σύνολο των ϑετικών 1 λύσεων της παραπάνω διοφαντικής εξίσωσης είναι πεπερασµένο. (β) Να εξετασθεί αν η ιοφαντική εξίσωση έχει ϑετικές λύσεις. 31x + 43y = 5 Λύση. Επειδή d = (a, b) = 1 c, έπεται ότι η εξίσωση ax + by = c έχει λύσεις. Αν (x 0, y 0 ) είναι µια λύση, τότε όλες οι λύσεις είναι της µορφής : x = x 0 + b d t = x 0 + b t y = y 0 a d t = y 0 a t Επειδή Ϲητάµε ϑετικές λύσεις ϑα πρέπει x > 0 και y > 0, δηλαδή x 0 + b t > 0 και y 0 a t > 0. Άρα t > x 0 y 0 και b a > t = x 0 < t < y 0 b a Επειδή οι ακέραιοι στο διάστηµα ( x 0 b, y 0 ) a 1 Με τον όρο ϑετικές λύσεις ενοούµε λύσεις (x, y) µε την ιδιότητα x > 0 και y > 0.

6 6 είναι πεπερασµένοι σε πλήθος έπεται ότι το σύνολο των ϑετικών λύσεων της εξίσωσης ax + by = c είναι πεπερασµένο. Επιπρόσθετα το σύνολο των ϑετικών λύσεων είναι : x = x 0 + b t y = y 0 at ( x 0 b, y ) 0 a Από τον Ευκλείδειο αλγόριθµο έχουµε ότι (43, 31) = 1 5 και άρα η εξίσωση 31x + 43y = 5 έχει λύση. Τότε ϐρίσκουµε x 0 = 90 και y 0 = 65 και εποµένως όλες οι λύσεις της εξίσωσης είναι x = x 0 + b d t = t y = y 0 a d t = t Για να έχουµε ϑετικές λύσεις ϑα πρέπει t ( x 0 b, y 0 ) (90 = a 43, 65 ) ( ) = 2.093, και Z ( 2.093, ) = Συνεπώς από το πρώτο µέρος της άσκησης έπεται ότι η εξίσωση 31x + 43y = 5 δεν έχει ϑετικές λύσεις. Ασκηση 6. Ενας υπάλληλος ταχυδροµείου διαθέτει µόνο γραµµατόσηµα των 14 και 21 λεπτών. Με ποιούς συνδυασµούς αυτών των γραµµατοσήµων µπορεί να αποσταλλεί ένα δέµα το οποίο τιµάται : (α) 3.50, (β) 4.00 ; Λύση. (α) Εστω x ο αριθµός των γραµµατοσήµων των 14 λεπτών και y ο αριθµός των γραµµατοσή- µων των 21 λεπτών. Τότε το πλήθος x και y αυτών των γραµµατοσήµων ϑα πρέπει να ικανοποιεί τη ιοφαντική εξίσωση : 14x + 21y = 350 (α) Επειδή (14, 21) = 3 350, έπεται ότι η (α) έχει ακέραιες λύσεις. Επειδή 7 = , ϑα έχουµε : 350 = 50 7 = και άρα το Ϲεύγος (x 0, y 0 ) = ( 50, 50) αποτελεί µια ακέραια λύση της (α). Ολες οι ακέραιες λύσεις της (α) ϑα είναι : x = x 0 + b d t = t = t y = y 0 a d t = t = 50 2t Επειδή προφανώς x, y 0, αναζητούµε µη-αρνητικές λύσεις : { ( t, 50 2t) Z & t 0 & 50 2t 0 } απ όπου εύκολα ϐλέπουµε ότι ϑα πρέπει t 25 = t = 17, 18, 189, 20, 21, 22, 23, 24, 25 Ετσι οι δυνατές µη-αρνητικές ακέραιες λύσεις της (α), και άρα οι δυνατοί συνδυασµοί γραµ- µατοσήµων είναι : x = 1 & y = 16, x = 4 & y = 14, x = 7 & y = 12, x = 10 & y = 10 x = 13 & y = 8, x = 16 & y = 6, x = 19 & y = 4, x = 22 & y = 2, x = 25 & y = 0

7 7 (β) Εστω x ο αριθµός των γραµµατοσήµων των 14 λεπτών και y ο αριθµός των γραµµατοσήµων των 21 λεπτών. Τότε το πλήθος x και y αυτών των γραµµατοσήµων ϑα πρέπει να ικανοποιεί τη ιοφαντική εξίσωση : 14x + 21y = 400 (β) Επειδή (14, 21) = 3 400, έπεται ότι η (β) δεν έχει ακέραιες λύσεις. Άρα είναι αδύνατο να αποσταλλεί το δέµα αξίας 4 χρησιµοποιώντας γραµµατόσηµα των 14 και 21 λεπτών. Ασκηση 7. Με χρήση του αλγορίθµου του Ευκλείδη υπολογίστε τους µέγιστους κοινούς διαιρέτες : d = (20785, 44350) & δ = (34709, ) και εκφράστε καθέναν από τους d, δ ως ακέραιο γραµµικό συνδυασµό των παραπάνω αριθµών. Λύση. 1. Από τον Ευκλείδειο αλγόριθµο έχουµε Άρα = = = = = = 5 5 d = (44350, 20785) = 5 Θα εκφράσουµε το d = 5 ως ακέραιο γραµµικό συνδυασµό των και Θα έχουµε : 5 = = ( ) 5 ( ) Εποµένως : Άρα = ( ) 7 ( ) + 50 ( ) = ( ) 100 ( ) = ( ) = 1707 (20785) (44350) (1) 2. Από τον Ευκλείδειο αλγόριθµο έχουµε d = 5 = 1707 (20785) (44350) = = = = = = = = 1 15 δ = (100313, 34709) = 1 Εργαζόµενοι όπως στο µέρος 1. µπορούµε να εκφράσουµε το δ = 1 ως ακέραιο γραµµικό συνδυασµό των και ως εξής : δ = 1 = 6286 (34709) (100313)

8 8 Ασκηση 8. Να ϐρεθούν, αν υπάρχουν όλες οι ακέραιες λύσεις των ιοφαντικών εξισώσεων : (α) x y = 25 & (β) x y = 37 Επιπρόσθετα να ϐρεθούν, αν υπάρχουν, όλες οι ϑετικές ακέραιες λύσεις τους. Λύση. 1. Από την Άσκηση 7 έχουµε (44350, 20785) = 5 25 και άρα η ιοφαντική εξίσωση x y = 25 έχει λύση. Επιπλέον από την Άσκηση 7, έχουµε 5 = 1707 (20785) (44350) = 25 = 5 5 = (20785) (44350) = Εποµένως το Ϲεύγος 25 = (x 0, y 0 ) = ( 8535, 40000) είναι µια λύση της (α) Ολες οι ακέραιες λύσεις της (α) ϑα είναι : x = x 0 + b d t = t = t y = y 0 a dt = = t Για τις ϑετικές λύσεις, ϑα έχουµε : x > 0 & y > 0 = t > 0 & t > 0 = 8870t > 8535 & 4157t < Εποµένως : < t < = < t < Ετσι επειδή, ϑα έχουµε t = 1, 2, 3,, 9. Εποµένως η (α) έχει 9 ϑετικές ακέραιες λύσεις : { } ( t, t) t = 1, 2,, 9 2. Από την Άσκηση 7 έχουµε δ = (100313, 34709) = 1 37 και άρα η ιοφαντική εξίσωση x y = 37 έχει λύση. Επιπλέον από την Άσκηση 7, έχουµε δ = 1 = 6286 (34709)+2175 (100313) = 37 = 37 1 = (34709) (100313) = Εποµένως το Ϲεύγος 37 = (x 0, y 0 ) = ( , 80485) είναι µια λύση της (β) Ολες οι ακέραιες λύσεις της (β) ϑα είναι : x = x 0 + b d t = t = t y = y 0 a dt = = t Για τις ϑετικές λύσεις, ϑα έχουµε : Εποµένως : x > 0 & y > 0 = t > 0 & t > 0 = = t > & 34709t < = < t < < t < Ετσι επειδή δεν υπάρχει ακέραιος στο ανοιχτό διάστηµα ( , ) των πραγ- µατικών αριθµών, έπεται ότι η (β) δεν έχει ϑετικές ακέραιες λύσεις.

9 Ασκηση 9. Εστω a 1,..., a n ϑετικοί ακέραιοι, n 2, και c ένας ακέραιος. Υποθέτουµε ότι d = (a 1,..., a n ) c. είξτε ότι η ιοφαντική εξίσωση έχει άπειρες ακέραιες λύσεις. Λύση. Υπενθυµίζουµε ότι : a 1 x 1 + a 2 x a n x n = c η ιοφαντική εξίσωση a 1 x 1 +a 2 x 2 + +a n x n = c έχει ακέραιες λύσεις d = (a 1,..., a n ) c Θα δείξουµε µε χρήση της Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής ότι στην περίπτωση κατά την οποία d c, η ( ) έχει άπειρες λύσεις. Αν n = 2, τότε γνωρίζουµε ότι αν d = (a 1, a 2 ) c, τότε η ιοφαντική εξίσωση a 1 x 1 + a 2 x 2 = c έχει άπειρες ακέραιες λύσεις οι οποίες δίνονται από τους παρακάτω τύπους : x 1 = z + a 2 d t x 2 = w a 1 d t όπου (z, w) είναι µια λύση της a 1 x 1 + a 2 x 2 = c. Υποθέτουµε ότι η ( ) έχει άπειρες ακέραιες λύσεις, για τυχόντες ακεραίους a 1,, a n, c έτσι ώστε : d = (a 1,..., a n ) c. Θεωρούµε την ιοφαντική εξίσωση : και υποθέτουµε d = (a 1,..., a n, a n+1 ) c. a 1 x 1 + a 2 x a n x n + a n+1 x n+1 = c Θεωρούµε το σύνολο { a n x n + a n+1 x n+1 Z x n, x n+1 Z } των ακεραίων γραµµικών συνδυασµών των a n, a n+1. Θα δείξουµε ότι { an x n + a n+1 x n+1 Z x n, x n+1 Z } = { (a n, a n+1 )y Z y Z } Πράγµατι αν c = a n x n + a n+1 x n+1, όπου x n, x n+1 Z, τότε επειδή c Z, η ιοφαντική εξίσωση c = a n x n + a n+1 x n+1 µε αγνώστους τα x n και x n+1 έχει λύση και τότε όπως γνωρίζουµε ϑα έχουµε (a n, a n+1 ) c. Ετσι υπάρχει ακέραιος y έτσι ώστε c = (a n, a n+1 )y. Αντίστροφα αν c = (a n, a n+1 )y για κάποιον ακέραιο y, τότε (a n, a n+1 ) c και εποµένως η ιοφαντική εξίσωση c = a n x n + a n+1 x n+1 µε αγνώστους τα x n και x n+1 έχει λύση. Με άλλα λόγια υπάρχουν ακέραιοι x n και x n+1 έτσι ώστε c = a n x n + a n+1 x n+1 Z. Θεωρούµε, για κάθε ακέραιο y, τη ιοφαντική εξίσωση : 9 ( ) ( ) a n x n + a n+1 x n+1 = (a n, a n+1 )y ( ) ως προς x n, x n+1, η οποία προφανώς έχει ακέραια λύση, και εποµένως ϑα έχει άπειρες ακέραιες λύσεις. Χρησιµοποιώντας ότι (a 1,..., a n 1, a n, a n+1 ) = (a 1,..., a n 1, (a n, a n+1 )), έπεται ότι ϑα έχουµε (a 1,..., a n 1, (a n, a n+1 )) c, και άρα η ιοφαντική εξίσωση ( ) ανάγεται στην a 1 x 1 + a 2 x a n 1 x n 1 + (a n, a n )y = c ( ) η οποία είναι µια ιοφαντική εξίσωση n µεταβλητών. Από την Επαγωγική υπόθεση, η ( ) έχει άπειρες λύσεις. Εποµένως, επειδή κάθε ακέραια λύση της ( ) είναι και ακέραια λύση της ( ), έπεται ότι και η αρχική ιοφαντική εξίσωση ( ) έχει άπειρες λύσεις. Ασκηση 10. Βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις ή αποδείξτε ότι δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις, για τις ακόλουθες διοφαντικές εξισώσεις 1. 2x + 3y + 4z = x + 21y + 35z = 8

10 x + 102y + 103z = 1 Λύση. 1. Θέτουµε z = να είναι ένας τυχαίος αλλά σταθερός ακέραιος, και τότε έχουµε την εξίσωση ως προς x και y: 2x + 3y = 5 4t Επειδή (2, 3) = 1 5 4t,, έπεται ότι η εξίσωση 2x + 3y = 5 4t έχει λύση, έστω την (x 0, y 0 ). Τότε 2x 0 + 3y 0 = 5 4t και όλες οι λύσεις της 2x + 3y = 5 4t είναι οι ακόλουθες : x = x 0 + b d s = x s s Z y = y 0 a d s = y 0 2 s Τότε η γενική λύση της 2x + 3y + 4z = 5 είναι x = x s 2x 0 + 3y 0 = 5 4t y = y 0 2 s όπου s, z = t Παρατηρούµε ότι για x 0 = 5 2t και y 0 = 5 η εξίσωση 2x 0 + 3y 0 = 5 4t ικανοποιείται. Τότε η γενική λύση της 2x + 3y + 4z = 5 είναι η εξής : x = 5 2t + 3s y = 5 2s s, z = t 2. Επειδή d = (7, 21, 35) = 7 και 7 8 έπεται ότι η εξίσωση 7x + 21y + 35z = 8 δεν έχει ακέραιες λύσεις. 3. Θέτουµε z = να είναι ένας τυχαίος αλλά σταθερός ακέραιος, και τότε έχουµε την εξίσωση ως προς x και y: 101x + 102y = 1 103t Επειδή (101, 102) = 1 έπεται ότι η εξίσωση 101x + 102y = 1 103t έχει λύση,. ουλεύοντας όπως και στο ερώτηµα 1, τότε έπεται ότι x = s + t y = 1 101s 2t s, z = t και έτσι έχουµε ϐρει τη γενική λύση της εξίσωσης 101x + 102y + 103z = 1. Ασκηση 11. Ενας ϕοιτητής επιστρέφει στην Νέα Υόρκη απο διακοπές στη Ελλάδα και την Αγγλία. Στην Νέα Υόρκη αλλάζει τις λίρες Αγγλίας και τα ευρώ τα οποία έχει σε δολλάρια και µετά την αλλαγή λαµβάνει συνολικά δολλάρια. Αν παίρνει 1.11 δολλάρια για κάθε ευρώ και 1.69 δολλάρια για κάθε λίρα Αγγλίας, πόσα ευρώ και πόσες λίρες Αγγλίας είχε πρίν την αλλαγή συναλλάγµατος ;

11 11 Λύση. Εστω x ο αριθµός των ευρώ και y ο αριθµός των λιρών Αγγλίας που είχε ο ϕοιτητής πριν τη συναλλαγή. Οπως προκύπτει από τα δεδοµένα του προβλήµατος, τα x και y είναι (ϑετικές) λύσεις της ιοφαντικής εξίσωσης : 111x + 169y = Από τον Ευκλείδειο αλγόριθµο έχουµε 169 = = = = = = = 2 1 Άρα d = (169, 111) = 1. Αφού d η εξίσωση 111x + 169y = έχει λύση. Εχουµε 1 = = 3 1 (5 1 3) = = ( ) = Εποµένως 1 = ( 44) 169 και άρα Τότε έχουµε τη λύση = ( ) = = ( ) = = ( ) = = ( ) ( ) 169 x 0 = = και y 0 = = και όλες οι λύσεις της εξίσωσης 111x + 169y = δίνονται ως εξής : x = x 0 + b d t = t y = y 0 a d t = t Επειδή x > 0 και y > 0 και επειδή, ϑα έχουµε : t = = t = 4677 t < = Τότε αντικαθιστώντας ϐρίσκουµε ότι x = ( 4677) = = 53 y = ( 4677) = = 35 Συνεπώς πρίν την αλλαγή συναλλάγµατος ο ϕοιτητής είχε x = 53 ευρώ και y = 35 λίρες Αγγλίας.

12 12 Ασκηση 12. Ενας ιδιοκτήτης ϐιβλιοπωλείου παραγγέλνει ηµερολόγια, καθένα εκ των οποίων κοστίζει 5, µαρκαδόρους, καθένας εκ των οποίων κοστίζει 3, και ξύστρες, όπου τρείς ξύστρες µαζί κοστίζουν 1. Αν η παραγγελία αφορά 100 κοµµάτια και το συνολικό ποσό το οποίο πλήρωσε είναι 100, πόσα ηµερολόγια, µαρκαδόρους, και ξύστρες παρέλαβε ο ϐιβλιοπώλης ; Λύση. Εστω x ο αριθµός των ηµερολογίων, y ο αριθµός των µαρκαδόρων, και z ο αριθµός των ξυστρών της παραγγελίας. Τότε προφανώς οι αριθµοί x, y, z αποτελούν ακέραιες λύσειςν των εξισώσεων x + y + z = 100 & 5x + 3y + z 3 = 100 Ισοδύναµα οι x, y, z αποτελούν ακέραιες λύσεις των ιοφαντικών εξισώσεων : x + y + z = 100 & 15x + 9y + z = 300 ( ) Αντικαθιστώντας το z = 100 x y στην δεύτερη εξίσωση, προκύπτει η ιοφαντική εξίσωση : 14x + 8y = 200 η οποία έχει άπειρες ακέραιες λύσεις διότι (14, 8) = Μια προφανής ακέραια λύση της ( ) είναι η x 0 = 0 και y 0 = 25, και όλες οι ακέραιες λύσεις της ( ) δίνονται από τους τύπους : x = 4t & y = 25 7t, και εποµένως z = 100 x y = t Επειδή αναζητούµε µη-αρνητικές λύσεις, ϑα πρέπει να έχουµε : απ όπου άµεσα ϐλέπουµε ότι : x = 4t 0 & y = 25 7t 0 & z = t 0 t = 0, 1, 2, 3 Εποµένως οι µη-αρνητικές λύσεις του συστήµατος ιοφαντικών εξισώσεων ( ) είναι : (x, y, z) { (0, 25, 75), (4, 18, 78), (8, 1, 81) (12, 4, 84) } ( )

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Α Μπεληγιάννης - Σ Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuogr/abelga/numbertheory/nthtml Τετάρτη 10 Απριλίου 2013 Ασκηση 1 Θεωρούµε τις αριθµητικές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Θεωρια Αριθµων Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2013-2014 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Θεωρια Αριθµων Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 25 Μαιου 2013 2

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 2 Απριλίου 2013 Το παρόν κείµενο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt206/nt206.html Πέµπτη 6 Νεµβρίου 206 Ασκηση. Να δειχθεί ότι

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος Σεπτεµβρίου ακαδηµαϊκού έτους 29-2 Τρίτη, 3 Αυγούστου 2 Εφαρµοσµένη Άλγεβρα ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος Α. Μπεληγιάννης

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος Α. Μπεληγιάννης Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2016-2017 Τµηµα Β ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html 19 Οκτωβρίου 2016 Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς

Μαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μαθηµατική Επαγωγή Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 1 / 17 Υπενθύµιση: Ακολουθίες Ακολουθία είναι συνάρτηση από

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή Επαγωγή HY8- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, /03/06 Μαθηµατική Επαγωγή Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος.

Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος. Πανεπιστηµιο Αιγαιου Τµηµα Μαθηµατικων 8 200 Καρλοβασι Σαµος Καρλόβασι 09/02/2012 Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος. 1. Απαντήστε µε α(αλήθεια)

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Χαρακτηρισµοί Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 233 4. Χαρακτηρισµοί

Διαβάστε περισσότερα

2 Αποδείξεις. 2.1 Εξαντλητική µέθοδος. Εκδοση 2005/03/22. Υπάρχουν πολλών ειδών αποδείξεις. Εδώ ϑα δούµε τις πιο κοινές:

2 Αποδείξεις. 2.1 Εξαντλητική µέθοδος. Εκδοση 2005/03/22. Υπάρχουν πολλών ειδών αποδείξεις. Εδώ ϑα δούµε τις πιο κοινές: 2 Αποδείξεις Υπάρχουν πολλών ειδών αποδείξεις. Εδώ ϑα δούµε τις πιο κοινές: Εκδοση 2005/03/22 Εξαντλητική µέθοδος ή µέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβληµα έχει πεπερασµένες αριθµό περιπτώσεων τις εξετάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις

Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο Σηµειώσεις Προετοιµασίας για Μαθηµατικούς ιαγωνισµούς Ασκήσεις Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Νοέµβριος 2012 1 Ασκησεις στη Θεωρια Αριθµων 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 00) Η Εργασία χωρίζεται σε µέρη: Το πρώτο Ασκήσεις - περιλαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 19/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Βασικά θεωρήματα για τις γραμμικές Σ.Δ.Ε. Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαιο 7 ιασκοντες: Ν. Μαρµαρίης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ. Ψαρουάκης Ιστοσελια Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii.html - - Ασκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τρίτη 6 Νοεµβρίου 0 Ασκηση. Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Αριθµοί Liouville Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Εισαγωγή Η ϑεωρία των υπερβατικών αριθµών έχει ως αφετηρία µια ϕηµισµένη εργασία του Liouville, το 844, ο οποίος περιέγραψε µια κλάση πραγµατικών αριθµών οι οποίοι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

12xy(1 x)dx = 12y. = 12 y. = 12 y( ) = 12 y 1 6 = 2y. x 6x(1 x)dx = 6. dx = 6 3 x4

12xy(1 x)dx = 12y. = 12 y. = 12 y( ) = 12 y 1 6 = 2y. x 6x(1 x)dx = 6. dx = 6 3 x4 Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. α) Η περιθωριακή σ.π.π. της f X,Y για την τ.µ X γίνεται:

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Κεφάλαιο 0 Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Στο παρόν εισαγωγικό Κεφάλαιο, υπενθυµίζουµε, κατά κύριο λόγο χωρίς αποδείξεις, ϐασικές γνώσεις από : τη στοιχειώδη ϑεωρία συνόλων και απεικονίσεων,

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α. = g(t)dt, x [0, 1] i) είξτε ότι F(x) > 0 για κάθε x (0, 1] ii) είξτε ότι f(x)g(x) > F(x) για κάθε x (0, 1] και G(x) για κάθε x (0, 1]

4 η ΕΚΑ Α. = g(t)dt, x [0, 1] i) είξτε ότι F(x) > 0 για κάθε x (0, 1] ii) είξτε ότι f(x)g(x) > F(x) για κάθε x (0, 1] και G(x) για κάθε x (0, 1] ΜΑΘΗΜΑ 48 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 η ΕΚΑ Α 3. Έστω f συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο [, ], µε f() >. ίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο [, ], για την οποία ισχύει g() > για κάθε [, ] Ορίζουµε τις

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι 4 ιανυσµατικοί χώροι - Βασικοί ορισµοί και ιδιότητες ιανυσµατικοί Χώροι Ένας ιανυσµατικός Χώρος V (δχ) είναι ένα σύνολο από µαθηµατικά αντικείµενα (αριθµούς, διανύσµατα, πίνακες,

Διαβάστε περισσότερα

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικές οµές ΙΙ 1. Εστω ότι R Z 3 [x]. Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες 30 λεπτά (αʹ) Να αποδείξετε ότι ο R είναι περιοχή

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 222 3.1. ύναµη

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα