ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8"

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14 Τετάρτη 28 Μαίου 2014 Σχόλιο 1. Υπενθυµίζουµε ότι αν a Z και n N είναι τέτοιοι ώστε (a, n) = 1, τότε η γραµµική ισοτιµία έχει µοναδική λύση ax b (mod n) x bk (mod n), όπου k Z και ak + ln = 1 (ένας τέτοιος αριθµός k υπάρχει διότι (a, n) = 1). Ισοδύναµα, ϐλέποντας την παραπάνω γραµµική ισοτιµία ως εξίσωση [a] n x = [b] n στον δακτύλιο Z n, ϑα έχουµε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει µοναδική λύση στο Z n και όπου : ak + ln = 1. x = [b] n [a] 1 n, όπου [a] 1 = [k] n ( ) Σχόλιο 2. Οπως προκύπτει από το Σχόλιο 1, η επίλυση µιας γραµµικής ισοτιµίας ax b (mod n), όπου (a, n) = 1 ( ) ανάγεται στον προσδιορισµό της αντίστροφης κλάσης [a] 1 n της κλάσης ισοτιµίας [a] n, διότι τότε η µοναδική λύση x 0 (mod n) της ( ) είναι η x 0 bc (mod n), όπου [a] 1 n = [c] n. Επειδή (a, n) = 1,από το Θεώρηµα του Euler, έπεται ότι a φ(n) 1 (mod n) = a φ(n) 1 a 1 (mod n) = [a] φ(n) 1 n και άρα : [a] 1 n Εποµένως η µοναδική λύση της ( ) είναι : = [a] φ(n) 1 n = [a φ(n) 1 ] n x 0 b a φ(n) 1 (mod n) [a] n = [1] n Γενικότερα αν a r 1 (mod n) για κάποιον ϑετικό ακέραιο r, τότε η µοναδική λύση της ( ) είναι : x 0 b a r 1 (mod n) Ενας τέτοιος ακέραιος r υπάρχει πάντα, για παράδειγµα ο φ(n). Αλλά µπορεί να υπάρχουν και άλλοι ακέραιοι µε αυτή την ιδιότητα οι οποίοι µπορεί να είναι µικρότεροι του φ(n). Για παράδειγµα : επειδή (3, 8) = 1, ϑα έχουµε 3 φ(8) 1 (mod 8), δηλαδή (mod 8). Οµως 3 2 = 9 1 mod 8). Και στις δύο περιπτώσεις [3] 1 8 = [3 3 ] 8 = [27] 8 = [3] 8 = [3] 1 8. Προφανώς, για την απλούστευση των αναγκαίων πράξεων, στην αναζήτηση ϑετικού ακεραίου r έτσι ώστε a r 1 (mod n), αναζητούµε τον µικρότερο δυνατό ϑετικό ακέραιο r µε αυτή την ιδιότητα. Οπως ϑα δούµε αργότερα, ισχύει : r φ(n).

2 2 Σχόλιο 3. Τέλος υπενθυµίζουµε επίσης ότι γενικά η γραµµική ισοτιµία ( ) έχει λύση αν και µόνον αν d b, όπου d = (a, n). Αν x 0 είναι µια λύση της ( ), τότε υπάρχουν ακριβώς d το πλήθος λύσεις (mod n) της ( ), οι εξής : x 0, x n d, x n d,, x 0 + (d 1) n d Η λύση x 0 (mod n) προκύπτει από τη µοναδική λύση x 0 (mod n d ) της γραµµικής ισοτιµίας a d x b d mod n ( ) d Η ισοτιµία ( ) έχει µοναδική λύση διότι ( a d, n d ) = 1, και προφανώς η λύση x 0 (mod n d ) είναι και λύση της ( ). Ασκηση 1. Να ϐρεθούν όλες οι λύσεις των παρακάτω ισοτιµιών : x 71 (mod 380) x 419 (mod 440). Λύση. 1. Η πρωτογενής ανάλυση του 380 είναι 380 = Ιδιαίτερα (380, 13) = 1. Εποµένως η ισοτιµία 13 x 71 (mod 380) έχει µοναδική λύση : x = [71] 380 [13] Με χρήση του αλγόριθµου του Ευκλείδη, εύκολα ϐλέπουµε ότι 1 = ( 4) (117) 13 = [1] 380 = [117] 380 [13] 380 = [13] = [117] 380 Τότε ϑα έχουµε : x = [71] 380 [13] = [71] 380 [117] 380 = [8307] 380 = [327] 380 Εποµένως η µοναδική λύση της εξίσωσης [13] 380 x = [71] 380 είναι η x = [327] 380. Ισοδύναµα η µοναδική λύση (mod 380) της ισοτιµίας 13 x 71 (mod 380) είναι η 327 (mod 380) 2. Οι πρωτογενείς αναλύσεις των 440 και 91 είναι 440 = και 91 = Ιδιαίτερα (440, 91) = 1. Εποµένως η ισοτιµία 91 x 419 (mod 440) έχει µοναδική λύση : x = [419] 440 [91] Με χρήση του αλγόριθµου του Ευκλείδη, εύκολα ϐλέπουµε ότι 1 = ( 29) 91 = [1] 440 = [ 29] 440 [91] 440 = [91] = [ 29] 440 = [411] 440 Τότε ϑα έχουµε : x = [419] 440 [91] = [419] 440 [411] 440 = [172209] 440 = [169] 440 Εποµένως η µοναδική λύση της εξίσωσης [91] 440 x = [419] 440 είναι η x = [169] 440. µοναδική λύση (mod 440) της ισοτιµίας 91 x 419 (mod 440) είναι η Ισοδύναµα η 169 (mod 440) Ασκηση 2. Να ϐρεθούν όλες οι λύσεις των παρακάτω ισοτιµιών : x 9 (mod 25) x 610 (mod 1597) x 1500 (mod 1600).

3 3 Λύση. 1. Επειδή (15, 25) = 5 9, έπεται ότι η γραµµική ισοτιµία 15 x 9 (mod 25) δεν έχει καµµία λύση. 2. Υπολογίζουµε εύκολα τις πρωτογείς αναλύσεις των αριθµών 987 και 1597: 987 = & 1597 = 1597 = (987, 1597) = 1 Εποµένως η γραµµική ισοτιµία 987x 610 (mod 1597) έχει µοναδική λύση x 0 (mod 1597) την οποία προσδιορίζουµε ως εξής : Θα έχουµε x c (mod 1597), όπου [c] 1597 = [987] Για τον προσδιορισµό του ακεραίου c, εργαζόµαστε ως εξής : Με χρήση του αλγόριθµου του Ευκλείδη, γράφουµε τον αριθµό 1 ως ακέραιο γραµµικό συνδυασµό των αριθµών 987 και 1597: 1 = ( 377) και τότε ϑα έχουµε [987] 1597 [610] 1597 = [1] Εποµένως [987] = [610] 1597 και άρα η µοναδική λύση της ισοτιµίας είναι : x (mod 1597) (mod 1597) 1596 (mod 1597) 3. Υπολογίζουµε εύκολα τις πρωτογείς αναλύσεις των αριθµών 980 και 1600: 980 = & 1600 = = (980, 1600) = = 20 Επειδή , έπεται ότι η γραµµική ισοτιµία 980x 1500 (mod 1600) έχει ακριβώς 20 ανα δύο ανισότιµες λύσεις (mod 1600). Θα προσδιορίσουµε αυτές τις λύσεις. Η γραµµική ισοτιµία ( ) είναι ισοδύναµη µε την x (mod ) = 49 x 75 (mod 80) ( ) 20 η οποία έχει µοναδική λύση x 0 (mod 80) την οποία προσδιορίζουµε ως εξής : Θα έχουµε x 0 75 c (mod 80), όπου [c] 80 = [49] Για τον προσδιορισµό του ακεραίου c, εργαζόµαστε ως εξής : Με χρήση του αλγόριθµου του Ευκλείδη, γράφουµε τον αριθµό 1 ως ακέραιο γραµµικό συνδυασµό των αριθµών 49 και 80: 1 = ( 31) 49 και τότε ϑα έχουµε [49] 1 80 = [ 31] 80 = [49] 80. Εποµένως η µοναδική λύση της ( ) ϑα είναι Άρα οι λύσεις της αρχικής ισοτιµίας είναι δηλαδή οι εξής : x 0 = (mod 80) = 3675 (mod 80) = 75 (mod 80) 75, , ,, (mod 1600) 75, 155, 235,, 1595 (mod 1600) Ασκηση 3. Να ϐρεθούν όλες οι λύσεις των παρακάτω ισοτιµιών : 1. 2 x 5 (mod 7) 2. 3 x 6 (mod 9) x 30 (mod 40) Λύση. 1. Πρώτος τρόπος: Επειδή (2, 7) = 1 5 έπεται ότι η ισοτιµία 2 x 5 (mod 7) έχει µοναδική λύση (mod 7). Άµεσα παρατηρούµε ότι 2 6 = 12 5 (mod 7) και άρα η µοναδική λύση είναι η x 6 (mod 7)

4 4 εύτερος τρόπος: Εχουµε 7 = = 1 = ( 3) = [1] 7 = [ 3] 7 [2] 7 + [1] 7 [7] 7 = [1] 7 = [ 3] 7 [2] 7 = [2] 7 [4] 7 = [1] 7 = [2] 1 7 = [4] 7 Τότε x = [2] 1 7 [5] 7 = x = [4] 7 [5] 7 = [20] 7 = x = [6] 7 Εποµένως η µοναδική λύση της ισοτιµίας 2 x 5 (mod 7) είναι η x 6 (mod 7). Τρίτος τρόπος: Θα εφαρµόσουµε την διαδικασία στο Σχόλιο 1. Επειδή (2, 7) = 1, από το Θεώρηµα του Euler, ϑα έχουµε 2 φ(7) 1 (mod 7) = (mod 7) = [2] 1 7 [2] 5 7 = [2] 1 7 [2 5 ] 7 = [32] 7 = [4] 7 και τότε όπως και πριν, η µοναδική λύση της γραµµικής ισοτιµίας είναι : x = 5 4, (mod 7) = 20 (mod 7) = 6 (mod 7) 2. Επειδή (3, 9) = 3 6 έπεται ότι η ισοτιµία 3 x 6 (mod 9) έχει 3 λύσεις (mod 9). Αν x 0 είναι µια λύση της 3 x 6 (mod 9) τότε όλες οι λύσεις είναι οι ακόλουθες : x 0 (mod 9), x = x (mod 9), x = x (mod 9) Παρατηρούµε ότι η x 0 = 2 είναι προφανώς µια λύση. Εποµένως όλες οι λύσεις της ισοτιµίας 3 x 6 (mod 9) είναι οι εξής : x 0 2 (mod 9), x 1 5 (mod 9), x 2 8 (mod 9) 3. Πρώτος τρόπος: Επειδή (19, 40) = 1 30 έπεται ότι η ισοτιµία 19 x 30 (mod 40) έχει µοναδική λύση (mod 40). Άµεσα παρατηρούµε ότι = 190 = (mod 40) και άρα η µοναδική λύση είναι η x 10 (mod 40). εύτερος τρόπος: Εχουµε 19 = = 1 = = 1 = 19 9 ( ) = 1 = = [1] 40 = [ 9] 40 [40] 40 + [19] 40 [19] 40 Τότε = [1] 40 = [19] 40 [19] 40 = [19] 1 40 = [19] 40 x = [19] 1 40 [30] 40 = x = [19] 40 [30] 40 = [570] 40 = [10] 40 = x = [6] 7 Συνεπώς η µοναδική λύση της ισοτιµίας 19 x 30 (mod 40) είναι η x 10 (mod 40) Ασκηση 4. Να ϐρεθούν όλοι οι ϑετικοί ακέραιοι b, όπου 0 b < 1001, για τους οποίους η γραµµική ισοτιµία 154 x b (mod 1001) ( ) έχει λύση. Οταν υπάρχει τουλάχιστον µια λύση, πόσες ανισότιµες (mod 1001) λύσεις υπάρχουν ;

5 Λύση. Επειδή οι πρωτογενείς αναλύσεις των αριθµών 154 και 1001 είναι 154 = και 1001 = , έπεται ότι : (154, 1001) = 77. Εποµένως η γραµµική ισοτιµία ( ) έχει λύση αν και µόνον αν 77 b, δηλαδή αν και µόνον αν b = 77 k. Επειδή 0 b < 1001, ϑα πρέπει 0 77 k < 1001 και άρα : 0 k < 13. Εποµένως : η ισοτιµία ( ) έχει λύση b = 77 k, k = 0, 1, 2,, 12 Επειδή (154, 1001) = 77, για κάθε µια από τις παραπάνω 13 τιµές του b, υπάρχουν ακριβώς 77 ανισότιµες (mod 1001) λύσεις της ( ). Θα προσδιορίσουµε αυτές τις λύσεις, υποθέτοντας ότι b = 77 k, όπου 0 k 12. Η γραµµική ισοτιµία ( ) είναι ισοδύναµη µε την x b 1001 (mod ) = 2 x k (mod 13) ( ) Η γραµµική ισοτιµία ( ) έχει µοναδική λύση x 0 (mod 13) την οποία προσδιορίζουµε ως εξής. Θα έχουµε x 0 = k c (mod 13), όπου [2] 1 13 = [c] 13. Από το Θεώρηµα του Euler, ϑα έχουµε : 2 φ(13) 1 (mod 13) = (mod 13) = [2] 1 13 = [211 ] 13 [2 11 ] 13 = [ ] 13 = [ ] 13 = [32] 13 [32] 13 [2] 13 = [6] 13 [6] 13 [2] 13 = = [36] 13 [2] 13 = [10] 13 [2] 13 = [20] 13 = [7] 13 Άρα η µοναδική λύση της (**) είναι η x 0 k 7 (mod 13) Τότε, για κάθε k = 0, 1, 2,, 12, οι λύσεις της ( ) (ανα δύο ανισότιµες (mod 1001)) είναι : δηλαδή : 7k, 7k , 7k ,, 7k k, 7k , 7k ,, 7k (mod 1001) 5 Σχόλιο 4. Θεωρούµε το ακόλουθο σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών x a 1 (mod n 1 ) x a 2 (mod n 2 ) (Σ). x a k (mod n k ) Αν (n i, n j ) = 1, όπου 1 i j k, τότε το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων πιστοποιεί ότι το (Σ) έχει µοναδική λύση x 0 (mod n 1 n 2 n k ). Υπενθυµίζουµε τη διαδικασία εύρεσης της µοναδική λύσης x 0 (mod n 1 n 2 n k ): Θέτουµε : M = n 1 n 2 n k, & M 1 = M n 1, M 2 = M n 2,, M k = M n k Θεωρούµε τις γραµµικές ισοτιµίες : M 1 x 1 (mod n 1 ) M 2 x 1 (mod n 2 ). M k x 1 (mod n k ) Επειδή (M i, n i ) = 1, i = 1, 2,, k, κάθε µια από τις παραπάνω ισοτιµίες έχει µοναδική λύση b i (mod n i ), όπου 1 i k

6 6 Τότε η µοναδική λύση (mod n 1 n 2 n k ) του (Σ) είναι η : M 1 b 1 a 1 + M 2 b 2 a M k b k a k (mod n 1 n 2 n k ) Ασκηση 5. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών x 1 (mod 5) (Σ) x 2 (mod 6) x 3 (mod 7) Λύση. Επειδή οι αριθµοί 5, 6, και 7 είναι ανά δύο πρώτοι µεταξύ τους, µπορούµε να εφαρµόσουµε το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων για την επίλυση του (Σ). Θα έχουµε : a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 3 n 1 = 5, n 2 = 6, n 3 = 7 & M = = 210 M 1 = M = 210 n 1 5 = 42, M 2 = M = 210 n 2 6 = 35, M 3 = M = 210 n 3 7 = 30 Σύµφωνα µε το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων, το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση x 0 (mod 210), την οποία ϐρίσκουµε ως εξής : Θεωρούµε τις γραµµικές ισοτιµίες : M 1 x 1 (mod n 1 ) = 42 x 1 (mod 5) = 2 x 1 (mod 5) M 2 x 1 (mod n 2 ) = 35 x 1 (mod 6) = 5 x 1 (mod 6) M 3 x 1 (mod n 3 ) = 30 x 1 (mod 7) = 2 x 1 (mod 7) όπου χρησιµοποιήσαµε ότι : 42 2 (mod 5), 35 5 (mod 6), και 30 2 (mod 7). Εύκολα ϐλέπουµε ότι οι µοναδικές λύσεις των παραπάνω ισοτιµιών είναι αντίστοιχα : b 1 3 (mod 5), b 2 5 (mod 6), b 3 4 (mod 7) Εποµένως η µοναδική λύση (mod 210) του (Σ) είναι : x 0 M 1 b 1 a 1 + M 2 b 2 a 2 + M 3 b 3 a 3 (mod 210) (mod 210) 836 (mod 210) 206 (mod 210) Ασκηση 6. Να ϐρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθµοί οι οποίοι δίνουν υπόλοιπα 1, 2, και 3, όταν διαιρεθούν µε τους αριθµούς 4, 3, και 5, αντίστοιχα. Λύση. Το πρόβληµα ανάγεται στην επίλυση του ακόλουθου συστήµατος γραµµικών ισοτιµιών : x 1 (mod 4) (Σ) x 2 (mod 3) x 3 (mod 5) Επειδή οι αριθµοί 4, 3, και 5 είναι ανά δύο πρώτοι µεταξύ τους, µπορούµε να εφαρµόσουµε το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων για την επίλυση του (Σ). Θα έχουµε : a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 3 n 1 = 4, n 2 = 3, n 3 = 5 & M = = 60 M 1 = M = 60 n 1 4 = 15, M 2 = M = 60 n 2 3 = 20, M 3 = M = 60 n 3 5 = 12

7 7 Σύµφωνα µε το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων, το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση x 0 (mod 210), την οποία ϐρίσκουµε ως εξής : Θεωρούµε τις γραµµικές ισοτιµίες : M 1 x 1 (mod n 1 ) = 15 x 1 (mod 4) = 3 x 1 (mod 4) M 2 x 1 (mod n 2 ) = 20 x 1 (mod 3) = 2 x 1 (mod 3) M 3 x 1 (mod n 3 ) = 12 x 1 (mod 5) = 2 x 1 (mod 5) όπου χρησιµοποιήσαµε ότι : 15 3 (mod 4), 29 2 (mod 3), και 12 2 (mod 5). Εύκολα ϐλέπουµε ότι οι µοναδικές λύσεις των παραπάνω ισοτιµιών είναι αντίστοιχα : b 1 3 (mod 4), b 2 2 (mod 3), b 3 3 (mod 5) Εποµένως η µοναδική λύση (mod 60) του (Σ) είναι : x 0 M 1 b 1 a 1 + M 2 b 2 a 2 + M 3 b 3 a 3 (mod 60) (mod 60) 233 (mod 60) 53 (mod 60) Άρα οι ακέραιοι οι οποίοι δίνουν υπόλοιπα 1, 2, και 3, όταν διαιρεθούν µε τους αριθµούς 4, 3, και 5, αντίστοιχα, είναι όλοι οι ακέραιοι της µορφής : 53 + k 60, k Z Ασκηση 7. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών x 1 (mod 2) (Σ) : x 2 (mod 3) x 3 (mod 5) x 4 (mod 7) x 5 (mod 11) Λύση. Επειδή οι αριθµοί 2, 3, 5, 7, 11 είναι ανα δυο πρώτοι µεταξύ τους, τότε από το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων έπεται ότι το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λυση Θα έχουµε : x 0 (mod M) = x 0 (mod ) = x 0 (mod 2310) a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 3, a 4 = 4, a 5 = 5 n 1 = 2, n 2 = 3, n 3 = 5, n 4 = 7, n 5 = 11 & M = = 2310 M 1 = = = M 2 = M 3 = M 4 = M 5 = = = 770 = = 462 = = 330 = = 210

8 8 και ϑεωρούµε τις ισοτιµίες : και ϑεωρούµε τις ισοτιµίες : 1155x 1 (mod 2) 770x 1 (mod 3) 462x 1 (mod 5) 330x 1 (mod 7) 210x 1 (mod 11) Επειδή 1155 = , 770 = , 462 = , 330 = και 210 = , το παραπάνω σύστηµα είναι ισοδύναµο µε το ακόλουθο : x 1 (mod 2) b 1 1 (mod 2) 2x 1 (mod 3) 2x 1 (mod 5) = b 2 2 (mod 3) b 3 3 (mod 5) x 1 (mod 7) b 4 1 (mod 7) x 1 (mod 11) b 5 1 (mod 11) Άρα η µοναδική λύση (mod 2310) του (Σ) είναι 5 x 0 = M i b i a i i=1 = = = (mod 2310) Ασκηση 8. Βρείτε έναν αριθµό ο οποίος είναι πολλαπλάσιο του 11 και δίνει υπόλοιπο 1 όταν διαιρεθεί µε τους αριθµούς 2, 3, 5, και 7. Λύση. Το πρόβληµα ανάγεται στην επίλυση του παρακάτω συστήµατος γραµµικών ισοτιµιών : x 0 (mod 11) (Σ) : x 1 (mod 2) x 1 (mod 3) x 1 (mod 5) x 1 (mod 7) Επειδή οι αριθµοί 2, 3, 5, 7, 11 είναι ανα δυο πρώτοι µεταξύ τους, τότε από το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων έπεται ότι το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λυση x 0 (mod M) = x 0 (mod ) = x 0 (mod 2310)

9 9 Υπολογίζουµε και ϑεωρούµε τις ισοτιµίες : M 1 = = = M 2 = = = M 3 = = = M 4 = = = M 5 = = = x 1 (mod 2) 770x 1 (mod 3) 462x 1 (mod 5) 330x 1 (mod 7) 210x 1 (mod 11) Επειδή 1155 = , 770 = , 462 = , 330 = και 210 = , το παραπάνω σύστηµα είναι ισοδύναµο µε το ακόλουθο : x 1 (mod 2) b 1 1 (mod 2) 2x 1 (mod 3) 2x 1 (mod 5) = b 2 2 (mod 3) b 3 3 (mod 5) x 1 (mod 7) b 4 1 (mod 7) x 1 (mod 11) b 5 1 (mod 11) Άρα η µοναδική λύση (mod 2310) του (Σ) είναι x 0 = 5 M i b i a i i=1 = = = (mod 2310) Συνεπώς ο Ϲητούµενος αριθµός είναι ο Παρατηρείστε ότι πράγµατι 2101 = , δηλαδή ο αριθµός 2101 είναι πολλαπλάσιο του 11. Ασκηση 9. είξτε ότι για κάθε k 2, υπάρχουν k το πλήθος διαδοχικοί ακέραιοι, κάθε ένας από τους οποίους διαιρείται από τετράγωνο αριθµού > 1.

10 10 Λύση. Εστω p 1, p 2,, p k διαφορετικοί πρώτοι αριθµοί k σε πλήθος, για παράδειγµα µπορούµε να ϑεωρήσουµε τους πρώτους k πρώτους αριθµούς. Θεωρούµε το παρακάτω σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών : x 0 (mod p 2 1 ) (Σ) : x 1 (mod p 2 2 ) x 2 (mod p 2 3 ). x k + 1 (mod p 2 k ) Επειδή (p 2 i, p2 j ) = 1 για κάθε 1 i j k, από το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων έχουµε ότι το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση mod(p 1 p k ) 2. Εστω N η λύση του (Σ). Τότε N 0 (mod p 2 1 ) p 2 1 N N 1 (mod p 2 2 ) N 2 (mod p 2 3 ). N k + 1 (mod p 2 k ) = p 2 2 N + 1 p 2 3 N + 2. p 2 k N + k 1 Συνεπώς οι k διαδοχικοί ακέραιοι N, N + 1,..., N + k 1 έχουν την ιδιότητα ότι κάθε ένας από αυτούς διαιρείται από τετράγωνο αριθµού > 1. Ασκηση 10. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών x 65 (mod 99) x 2 (mod 98) (Σ) x 51 (mod 97) x 10 (mod 95) Λύση. Οι πρωτογενείς αναλύσεις των αριθµών 99, 98, 97, και 95, είναι 99 = , 98 = 2 7 2, 97 = 97, 95 = 5 13 και άρα οι αριθµοί 99, 98, 97, και 95 είναι ανα δύο πρώτοι µεταξύ τους. Εποµέµνως µπορούµε να εφαρµόσουµε το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων, για την επίλυση του (Σ). Θα έχουµε : n 1 = 99, n 2 = 98, n 3 = 97, n 4 = 95 M = = M 1 = = , M 2 = = , M 3 = = , M 4 = = Θεωρούµε τις γραµµικές ισοτιµίες : Επειδή : M 1 x 1 (mod n 1 ) = x 1 (mod 99) M 2 x 1 (mod n 2 ) = x 1 (mod 98) M 3 x 1 (mod n 3 ) = x 1 (mod 97) M 4 x 1 (mod n 4 ) = x 1 (mod 95) = , = , = , =

11 11 οι παραπάνω ισοτιµίες γράφονται ισοδύναµα : 91 x 1 (mod 99), 3 x 1 (mod 98), 93 x 1 (mod 97), 24 x 1 (mod 95), Οι µοναδικές λύσεις των παραπάνω ισοτιµιών (οι οποίες ϐρίσκονται µε την γνωστή διαδικασία) είναι αντίστοιχα : b 1 37 (mod 99), b 2 35 (mod 98), b 3 24 (mod 97), b 4 4 (mod 95) Εποµένως η µοναδική λύση (mod ) = (mod ) του (Σ) είναι : x 0 M 1 b 1 a 1 + M 2 b 2 a 2 + M 3 b 3 a 3 + M 4 b 4 a 4 (mod ) (mod ) (mod ) (mod ) Ασκηση 11. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών { 51 x 2 (mod 38) (Σ) 3 x 6 (mod 9) Λύση. Επειδή (51, 38) = 1, έπεται ότι η ισοτιµία 51x 2 (mod 38) έχει µοναδική λύση x 0 (mod 38), η οποία προσδιορίζεται ως εξής. Θα έχουµε : x 0 2 c (mod 38), όπου [c] 38 = [51] Οµως [51] 38 = [13] 38 και άρτα αναζητούµε την αντίστροφή κλάση [13] Παρατηρούµε ότι [1] 38 = [39] 38 = [3 13] 38 = [3] 38 [13] 38 και εποµένως [13] 1 38 = [3] 38. Τότε η µοναδική λύσης της ισοτιµίας 51x 2 (mod 38) είναι : 2 3 (mod 38) 6 (mod 38) ( ) Για την δεύτερη ισοτιµία 3x 6 (mod 9), ϑα έχουµε. Επειδή (3, 9) = 3 6, έπεται ότι υπάρχουν 3 ανισότιµες (mod 9) λύσεις, οι οποίες όπως µπορούµε να προσδιορόισουµε εύκολα είναι οι εξής : 2 (mod 9), 5 (mod 9), (8 (mod 9) ( ) Εποµένως για να ϐρούµε τις λύσεις του αρχικού συτήµατος (Σ), από τις σχέσεις ( ) και ( ), αρκεί να ϐρούµε τις λύσεις των εξής συστηµάτων : { { { x 6 (mod 38) x 6 (mod 38) x 6 (mod 38) (Σ 1 ), (Σ x 2 (mod 9) 2 ), (Σ x 5 (mod 9) 3 ) x 8 (mod 9) Για το (Σ 1 ): Επειδή (38, 9) = 1, µπορούµε να εφαρµόσουµε Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων. έχουµε : a 1 = 6, a 2 = 2 & n 1 = 38, n 2 = 9 Θαωρούµε τις ισοτιµίες : { M1 x 1 (mod n 1 ) M 2 x 1 (mod n 2 ) M = 38 9 = 342, M 1 = M n 1 = 9, M 2 = M n 2 = 38 = { 9 x 1 (mod 38) 38 x 1 (mod 9) = { 9 x 1 (mod 38) 2 x 1 (mod 9) κάθε µία εκ των οποίων έχει µοναδική λύση. Για την δεύτερη η µοναδική λύση mod 9 είναι προφανώς η b 2 (mod 9) = 5 (mod 9). Για την πρώτη, υπολογίζουµε εύκολα ότι [9] 1 38 = [17] 38, διότι [9] 38 [17] 38 = [9 17] 38 = [153] 389 = [ ] 38 = [1] 38. Άρα b 1 = 17 & b 2 = 5 Η µοναδική λύση (mod 38 9) του συστήµατος (Σ 1 ) είναι : x 0 M 1 b 1 a 1 +M 2 b 2 a 2 (mod n 1 n 2 ) (mod 342) 1298 (mod 342) 272 (mod 342) Για το (Σ 2 ): Παρόµοια ϐρίσκουµε ότι η µοναδική λύση (mod 342) του (Σ 2 ) είναι η : x (mod 342) Θα

12 12 Για το (Σ 3 ): Παρόµοια ϐρίσκουµε ότι η µοναδική λύση (mod 342) του (Σ 3 ) είναι η : x 2 44 (mod 342) Εποµένως το αρχικό σύστηµα ισοτιµιών (Σ) έχει ακριβώς τρείς λύσεις (mod 342), τις εξής : 272 (mod 342), 158 (mod 342), 44 (mod 342) Σχόλιο 5. Θεωρούµε το ακόλουθο σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών x a 1 (mod n 1 ) x a 2 (mod n 2 ) (Σ). x a k (mod n k ) Υπενθυµίζουµε ότι το σύστηµα (Σ) έχει λύση αν και µόνον αν : d ij := (n i, n j ) a i a j, 1 i j k Αν οι παραπάνω σχέσεις διαιρετότητας ικανοποιούνται, τότε το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση (mod[n 1, n 2,, n k ]) Ασκηση 12. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών x 32 (mod 21) (Σ) x 6 (mod 10) x 2 (mod 12) Λύση. Πρώτος τρόπος: Εχουµε n 1 = 21 = 3 7, n 2 = 10 = 2 5, n 3 = 12 = 2 2 3, b 1 = 32, b 2 = 6, b 3 = 2 και (n 1, n 2 ) = 1 b 1 b 2 (n 1, n 3 ) = 3 b 1 b 3 (n 2, n 3 ) = 2 b 2 b 3 Άρα από τη Θεωρία το σύστηµα (Σ) έχει λύση στο Z και είναι ισοδύναµο µε το παρακάτω σύστηµα : x 32 (mod 3) x 2 (mod 3) x 32 (mod 7) x 4 (mod 7) x 6 (mod 2) x 6 (mod 5) x 0 (mod 2) x 1 (mod 5) x 2 (mod 2 2 ) x 2 (mod 3) x 2 (mod 4) x 2 (mod 3) Επειδή η πρώτη ισοτιµία συµπίπτει µε την έκτη, και η πέµπτη ισοτιµία συνεπάγεται την τρίτη (πραγ- µατικά : αν x 2 (mod 4), τότε 4 x 2, απ όπου εύκολα ϐλέπουµε ότι 2 x, δηλαδή x 0 (mod 2)), και τέλος επειδή το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθµών 3, 7, 2, 5, 4 συµπίπτει µε το ελάχιστο κοινό

13 13 πολλαπλάσιο των αριθµών 3, 7, 5, 4, έπεται ότι το παραπάνω σύστηµα είναι ισοδύναµο µε το ακόλουθο σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών : x 2 (mod 3) x 2 (mod 4) x 1 (mod 5) x 4 (mod 7) Επειδή οι αριθµοί 3, 4, 5, 7 είναι ανα δυο πρώτοι µεταξύ τους, τότε από το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων έπεται ότι το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λυση x 0 (mod M) = x 0 (mod ) = x 0 (mod 420) Ακολουθώντας το συνηθισµένο τρόπο λύσης ϐρίσκουµε ότι : x 0 74 (mod 420). εύτερος Τρόπος: Αφού x 2 (mod 3) έχουµε ότι υπάρχει κάποιο t 1 έτσι ώστε x = 3t Τότε αντικαθιστώντας στην ισοτιµία x 2 (mod 2 2 ) έχουµε 3t (mod 2 2 ) = 3t 1 0 (mod 4) = t 1 0 (mod 4) = t 1 = 4t 2 και άρα x = 12t Από την εξίσωση x 1 (mod 5) έχουµε 12t (mod 5) = 2t 2 3 (mod 5) = 2t 2 2 (mod 5) = t 2 1 (mod 5) Συνεπώς t 2 = 5t και άρα x = 60t Τέλος, αντικαθιστώντας στην x 4 (mod 7) έχουµε 60t (mod 7) = 4t 3 4 (mod 7) Για t 3 = 1 έχουµε τη λύση x = = 74. Πράγµατι έχουµε [74] 3 = [ ] 3 = [14] 3 = [2] 3 [74] 4 = [34] 4 = [32 + 2] 4 = [2] 4 [74] 5 = [75 1] 5 = [ 1] 5 [74] 7 = [70 + 4] 7 = [4] 7 Συνεπώς η µοναδική λύση του συστήµατος (Σ) είναι η x 0 74 (mod 420). Τρίτος Τρόπος: Επειδή (mod 21), και 6 4 (mod 10), το αρχικό σύστηµα είναι προφανώς ισοδύναµο µε το x 11 (mod 21) (Σ ) x 4 (mod 10) x 2 (mod 12) Οπως και προηγουµένως το (Σ ) έχει λύση η οποία είναι µοναδική mod 420. Θεωρούµε τις δύο πρώτες ισοτιµίες { (Σ x 11 (mod 21) 1) x 4 (mod 10) Επειδή (21, 10) = 1, από το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων, το σύστηµα (Σ 1 ) έχει µοναδική λύση mod 210. Εργαζόµενοι όπως στην Άσκηση 5, ϐλέπουµε εύκολα ότι η µοναδική λύση mod 210 του (Σ 1 ) είναι η x 74 (mod 210). Επειδή προφανώς το (Σ ) είναι ισοδύναµο µε το συστηµα { (Σ x 74 (mod 210) 2) x 2 (mod 12)

14 14 έπεται ότι η µοναδική λύση του (Σ 2 ), mod[210, 12] = mod 420, είναι η µοναδική λύση του (Σ) mod 420. Παρατηρούµε ότι το x 0 = 74 ικανοποιεί την x 2 (mod 12), διότι 74 2 = Εποµένως η µοναδική λύση του (Σ) είναι η x 74 (mod 74) Ασκηση 13. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών 3x 6 (mod 12) (Σ) 2x 5 (mod 7) 3x 1 (mod 5) Λύση. Η πρώτη ισοτιµία 3x 6 (mod 12) είναι προφανώς ισοδύναµη µε την x 6 (mod 4). Εποµένως το αρχικό σύστηµα (Σ) είναι ισοδύναµο µε το σύστηµα x 2 (mod 4) (Σ ) 2x 5 (mod 7) 3x 1 (mod 5) Επειδή (2, 7) = 1, η δεύτερη ισοτιµία έχει µοναδική λύση (mod 7) και αυτή η λύση είναι προφανώς η x 6 (mod 7). Επειδή (3, 5) = 1, η τρίτη ισοτιµία έχει µοναδική λύση (mod 5) και αυτή η λύση είναι προφανώς η x 2 (mod 5). Εποµένως το σύστηµα (Σ ) είναι ισοδύναµο µε το σύστηµα x 2 (mod 4) (Σ ) x 6 (mod 7) x 2 (mod 5) στο οποίο µπορούµε να εφαρµόσουµε το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων, και έτσι το (Σ ) έχει µοναδική λύση (mod 4 7 5) = (mod 140). Θα έχουµε : a 1 = 2, a 2 = 6, a 3 = 2 & n 1 = 4, n 2 = 7, n 3 = 5 Θεωρούµε τις ακόλουθες ισοτιµίες : 35 x 1 (mod 4) 20 x 1 (mod 7) = Εποµένως : 28 x 1 (mod 5) M = n 1 n 2 n 3 = = 140 M 1 = M n 1 = = 35 M 2 = M n 2 = = 20 M 3 = M n 3 = = 28 3 x 1 (mod 4) 6 x 1 (mod 7) 3 x 1 (mod 5) b 1 = 3, b 2 = 6, b 3 = 2 και άρα η µοναδική λύση (mod 140) του συστήµατος (Σ ) είναι η = x 0 M 1 b 1 a 1 + M 2 b 2 a 2 + M 3 b 3 a 3 (mod 140) = (mod 140) 1042 (mod 140) 62 (mod 140) x 3 (mod 4) x 6 (mod 7) x 2 (mod 5)

15 15 Εποµένως το αρχικό σύστρηµα (Σ) έχει µοναδική λύση (mod 14), την εξής : 62 (mod 140) Ασκηση 14. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για τα σύστηµατα γραµµικών ισοτιµιών (Σ) 2x 4 (mod 6) 4x 8 (mod 12) 5x 10 (mod 25) & (Σ ) Λύση. 1. Επειδή (2, 6) = 2 4, (4, 12) = 4 8 και (5, 25) = 5 10, έπεται ότι : 2x 4 (mod 6) x 2 (mod 3) 4x 8 (mod 12) x 2 (mod 3) 5x 10 (mod 25) x 2 (mod 5) x 7 (mod 9) x 2 (mod 10) x 3 (mod 12) x 6 (mod 15) Εποµένως το σύστηµα (Σ) είναι ισοδύναµο µε το ακόλουθο σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών : x 2 (mod 3) x 2 (mod 3) x 2 (mod 3) x 2 (mod 5) x 2 (mod 5) Προφανώς η µοναδική λύση (mod 15) του τελευταίου συστήµατος, άρα και του αρχικού, είναι η x 0 2 (mod 15) 2. Επειδή m 13 = (9, 12) = 3 a 1 a 3 = 7 3 = 4, έπεται ότι το σύστηµα (Σ ) δεν έχει ακέραιες λύσεις. Ασκηση 15. ( Πρόβληµα του Branmagupta, 7ος αιώνας µ.χ.) Οταν παίρνουµε αυγά από ένα καλάθι ανά : 2, 3, 4, 5, 6 κάθε ϕορά, τότε µένουν αντίστοιχα 1, 2, 3, 4, 5 αυγά στο καλάθι. Οταν όµως παίρνουµε ανά 7 τότε δεν µένει κανένα. Να υπολογισθεί ο ελάχιστος αριθµός αυγών που ϑα πρέπει να περιέχει το καλάθι. Λύση. Πρώτος τρόπος: Η απάντηση στο Πρόβληµα του Branmagupta είναι η ελάχιστη ϑετική λύση του παρακάτω συστήµατος γραµµικών ισοτιµιών : x 1 (mod 2) x 2 (mod 3) (Σ) : x 3 (mod 4) x 4 (mod 5) x 5 (mod 6) x 0 (mod 7)

16 16 Η ισοτιµία x 5 (mod 6) είναι ισοδύναµη 1 µε το σύστηµα ισοτιµιών x 5 (mod 2) δηλαδή ισοδύναµη µε το σύστηµα x 5 (mod 3) x 1 (mod 2) x 2 (mod 3) Οι παραπάνω δυο ισοτιµίες υπάρχουν ήδη στο γραµµικό σύστηµα (Σ) και άρα µπορούν να παραλη- ϕθούν. Παρατηρούµε επίσης ότι η ισοτιµία x 1 (mod 2) προκύπτει από την x 3 (mod 4) και άρα µπορεί να παραληφθεί. Πράγµατι αφού x 3 (mod 4) έπεται ότι ο x είναι περιττός και άρα η εξίσωση x 1 (mod 2) ισχύει. Συνεπώς το (Σ) είναι ισοδύναµο µε το ακόλουθο σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών : x 2 (mod 3) (Σ ) : x 3 (mod 4) x 4 (mod 5) x 0 (mod 7) Επειδή οι αριθµοί 3, 4, 5, 7 είναι ανα δυο πρώτοι µεταξύ τους, τότε από το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων έπεται ότι το σύστηµα (Σ ), και άρα και το (Σ), έχει µοναδική λυση x 0 (mod M) = x 0 (mod ) = x 0 (mod 420) Ακολουθώντας το συνηθισµένο τρόπο λύσης (ϐλέπε Άσκηση 7) ϐρίσκουµε ότι x 0 = 119. εύτερος τρόπος: Από την x 2 (mod 3) έχουµε ότι x = 3t και άρα από την x 3 (mod 4) έπεται ότι 3t (mod 4) = 3t 1 1 (mod 4) = 3 (3t 1 ) 3 (mod 4) = t 1 3 (mod 4) Εποµένως t 1 = 4t και άρα x = 3 (4t 2 + 3) + 2 = 12t Τότε από την εξίσωση x 4 (mod 5) έπεται ότι 12t (mod 5) = 2t (mod 5) = 2t 2 3 (mod 5) = 3 (2t 2 ) 9 (mod 5) = t 2 4 (mod 5) = t 2 = 5t και άρα x = 12 (5t 3 + 4) + 11 = 60t Τέλος από την εξίσωση x 0 (mod 7) έπεται ότι 60t (mod 7) = 4t 3 3 (mod 7) = 4t 3 4 (mod 7) = t 3 1 (mod 7) Εποµένως t 3 = 7t και άρα x = 420t = 420t Φανερά, για ακέραιο t 4 η ελάχιστη ϑετική τιµή που παίρνει το x είναι 119 για t 4 = 0. ελάχιστος αριθµός αυγών που ϑα πρέπει να περιέχει το καλάθι είναι 119. Συνεπώς ο 1 Γενικά, αν (n1, n 2) = 1, τότε : x a (mod n 1) & x a (mod n 2) x a (mod n 1n 2)

17 17 Ασκηση 16. Σε ένα πάρτυ, κάποιος Ϲητάει από έναν γνωστό του να διαλέξει στην τύχη έναν αριθµό από το 1 µέχρι το 100, και ακολούθως χωρίς να του αναφέρει το αριθµό, του Ϲητάει να του πει τα υπόλοιπα των διαιρέσεων του αριθµού µε τους αριθµούς 3, 5, και 7. Γνωρίζοντας τα υπόλοιπα αυτών των διαιρέσεων, µπορείτε να ϐρείτε τον κρυφό αριθµό ; Λύση. Εστω a 1 το υπόλοιπο της διαίρεσης του x 0 µε το 3, a 2 το υπόλοιπο της διαίρεσης του x 0 µε το 5 και a 3 το υπόλοιπο της διαίρεσης του x 0 µε το 7. Τότε ο κρυφός αριθµός x 0, όπου 1 x 0 100, είναι η λύση του συστήµατος γραµµικών ισοτιµιών : x a 1 (mod 3) (Σ) : x a 3 (mod 5) x a 3 (mod 7) Επειδή οι αριθµοί 3, 5, 7 είναι ανα δυο πρώτοι µεταξύ τους, τότε από το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων έπεται ότι το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λυση x 0 (mod M) = x 0 (mod 3 5 7) = x 0 (mod 105) Υπολογίζουµε M 1 = M 2 = = 35 = 21 και έχουµε τις παρακάτω εξισώσεις : 35x 1 (mod 3) 21x 1 (mod 5) = M 3 = = 15 2x 1 (mod 3) x 1 (mod 5) = x 1 (mod 3) x 1 (mod 5) 15x 1 (mod 7) x 1 (mod 7) x 1 (mod 7) Άρα b 1 = 1, b 2 = 1, b 3 = 1 και η λύση είναι η x 0 = M 1 b 1 a 1 + M 2 b 2 a 2 + M 3 b 3 a 3 = 35 ( 1) a a a 3 = 35a a a 3 Εποµένως ο Ϲητούµενος κρυφός αριθµός είναι το µικρότερο ϑετικό υπόλοιπο (mod 105) του αριθµού : 35a a a 3 Ασκηση 17. Επτά ληστές προσπαθούν να µοιράσουν δίκαια τα κλοπιµαία τα οποία αποτελούνται από ϱάβδους χρυσού. Μετά τη µοιρασιά 6 ϱάβδοι χρυσού περίσσεψαν και στη διαµάχη που ακολούθησε ένας ληστής σκοτώθηκε. Οι υπόλοιποι έξι ληστές δοκίµασαν να µοιράσουν πάλι τους ϱάβδους, αλλά πάλι δεν τα κατάφεραν διότι αυτή τη ϕορά περίσσεψαν 2 ϱάβδοι. Στη διαµάχη που ακολούθησε ένας ακόµα ληστής σκοτώθηκε. Στη νέα µοιρασιά που ακολούθησε περίσσεψε µια ϱάβδος χρυσού και µετά τον ϑάνατο ενός ακόµα ληστή, τελικά οι εναποµείναντες ληστές κατάφεραν να µοιράσουν στα ίσια τους ϱάβδους χρυσού. Ποιός είναι ο ελάχιστος αριθµός ϱάβδων χρυσού που έκλεψαν οι ληστές ;

18 18 Λύση. Εστω x ο Ϲητούµενος αριθµός ϱάβδων χρυσού που έκλεψαν οι ληστές. Εχουµε Επτά ληστές Πρώτη µοιρασιά : x 6 (mod 7) Εξι ληστές εύτερη µοιρασιά : x 2 (mod 6) Πέντε ληστές Τρίτη µοιρασιά : x 1 (mod 5) Τέσσερις ληστές Τελευταία µοιρασιά : x 0 (mod 4) Άρα ο Ϲητούµενος αριθµός ϱάβδων χρυσού είναι η (µοναδική) λύση (mod ) του συστήµατος γραµµικών ισοτιµιών : x 6 (mod 7) x 2 (mod 6) (Σ) : x 1 (mod 5) x 0 (mod 4) Ελέγχουµε ότι πράγµατι το παραπάνω σύστηµα έχει λύση : a 1 = 6, a 2 = 2, a 3 = 1, a 4 = 0 m 12 = (7, 6) = 1 a 1 a 2 = 4 m 13 = (7, 5) = 1 a 1 a 3 = 6 m 14 = (7, 4) = 1 a 1 a 4 = 6 m 23 = (6, 5) = 1 a 2 a 3 = 2 m 24 = (6, 4) = 2 a 2 a 4 = 2 m 34 = (5, 4) = 1 a 3 a 4 = 1 Θεωρούµε το σύστηµα x 6 (mod 7) (Σ ) : x 2 (mod 6) x 1 (mod 5) και υπολογίζουµε a 1 = 6, a 2 = 2, a 3 = 1 M = = 210, M 1 = = 30, M 2 = = 35, M 3 = Τότε έχουµε τις παρακάτω εξισώσεις : 30x 1 (mod 7) 2x 1 (mod 7) x 4 (mod 7) 35x 1 (mod 6) = 5x 1 (mod 6) = x 5 (mod 6) Εποµένως ϑα έχουµε : 42x 1 (mod 5) 2x 1 (mod 5) b 1 = 4, b 2 = 5, b 3 = 3 x 3 (mod 5) = 42,

19 19 και τότε από το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων έπεται ότι η µοναδική λύση (mod 210) του (Σ ) είναι η y 0 = M 1 b 1 a 1 + M 2 b 2 a 2 + M 3 b 3 a 3 = = (mod 210) 146 (mod 210) Από το σύστηµα (Σ) και την παραπάνω λύση του (Σ ) έχουµε το παρακάτω σύστηµα: x 146 (mod 210) x 0 (mod 4) Από τη δεύτερη εξίσωση έπεται ότι x = 4t και άρα από τη πρώτη έχουµε 4t 146 (mod 210) = 2t 73 (mod 105) = t = [2] [73] 105 = [53] 105 [73] 105 = [3869] 105 = [89] 105 Συνεπώς ο ελάχιστος αριθµός ϱάβδων χρυσού που έκλεψαν οι ληστές είναι x = 4 89 = 356 Ασκηση 18. Να ϐρεθούν όλες οι ακέραιες λύσεις του συστήµατος (όχι απαραίτητα γραµµικών) ισοτιµιών : { x (Σ) 2 1 (mod 3) x 2 (mod 4) Λύση. Για την πρώτη ισοτιµία, ϑα έχουµε : x 2 1 (mod 3) 3 x (x 1) (x + 1) 3 x 1 ή 3 x + 1 x 1 (mod 3) ή x 1 (mod 3) x 1 (mod 3) ή x 2 (mod 3) Εποµένως το αρχικό σύστηµα ισοτιµιών (Σ) είναι ισοδύναµο µε το Ϲεύγος συστηµάτων { { x 1 (mod 3) x 2 (mod 3) (Σ 1 ) & (Σ x 2 (mod 4) 2 ) x 2 (mod 4) Για την επίλυση των συστηµάτων (Σ 1 ) και (Σ 2 ) µπορούµε να εφαρµόσουµε Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων, και να έχουµε ότι η µοναδική λύση (mod 12) του (Σ 1 ) είναι : και η µοναδική λύση (mod 12) του (Σ 2 ) είναι : 10 (mod 12) 2 (mod 12) Άρα οι µοναδικές λύσεις (mod 12) του αρχικού συστήµατος (Σ) είναι : 10 (mod 12) & 2 (mod 12) Ασκηση 19. Να ϐρεθούν όλες οι ακέραιες λύσεις του συστήµατος γραµµικών ισοτιµιών : x 2 (mod 14) (Σ) x 16 (mod 21) x 10 (mod 30)

20 20 Λύση. Θα έχουµε : a 1 = 2, a 2 = 16, a 3 = 10 m 12 = (14, 21) = 7 a 1 a 2 = 14 m 13 = (14, 30) = 2 a 1 a 3 = 28 m 23 = (21, 30) = 3 a 2 a 3 = 6 Εποµένως το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση (mod[14, 21, 30]) = (mod 210). Από την πρώτη ισοτιµία, έχουµε : x 2 (mod 14) = 14 x 2 = k Z : x = 14 k + 2 (1) Με χρήση της (1), από την δεύτερη ισοτιµία, έχουµε : x 16 (mod 21) = 14 k+2 16 (mod 21) = 14 k 14 (mod 21) = 2 k 2 (mod 3) Η µοναδική λύση (mod 3) της τελευταίας ισοτιµίας είναι η k 1 (mod 3) και εποµένως : Με χρήση της (2), η σχέση (1) δίνει : k 1 (mod 3) = 3 k 1 = λ Z : k = 3 λ + 1 (2) Με χρήση της (3), από την τρίτη ισοτιµία, έχουµε : x = 14 (3 λ + 1) + 2 = 42 λ + 16 (3) x 10 (mod 30) = 42 λ (mod 30) = 42 λ+6 0 (mod 30) = λ+6 = µ Z : 42 λ + 6 = 30 µ = 7 λ + 1 = 5 µ = 7 λ 1 (mod 5) = 2 λ 4 (mod 5) Η µοναδική λύση της τελευταίας ισοτιµίας είναι λ 2 (mod 5), και άρα : Τότε η (3), µε χρήση της (4), δίνει : λ 2 (mod 5) = 5 λ 2 = ν Z : λ = 5 ν + 2 (4) x = 42 λ + 16 = 42 (5 ν + 2) + 16 = 210 ν = x 100 (mod 210) είναι η µοναδική λύση (mod 210) του αρχικού συστήµατος. Ασκηση 20. Να ϐρεθούν όλες οι ακέραιες λύσεις του συστήµατος γραµµικών ισοτιµιών : x 2 (mod 6) x 4 (mod 8) (Σ) x 2 (mod 14) x 14 (mod 15) Λύση. Θα έχουµε : a 1 = 2, a 2 = 4, a 3 = 2, a 4 = 14 m 12 = (6, 8) = 2 a 1 a 2 = 2 m 13 = (6, 14) = 2 a 1 a 3 = 0 m 14 = (6, 15) = 1 a 1 a 4 = 12 m 23 = (8, 14) = 2 a 2 a 3 = 2 m 24 = (8, 15) = 1 a 2 a 4 = 10 m 34 = (14, 15) = 1 a 3 a 4 = 12 Εποµένως το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση (mod[6, 8, 14, 15]) = (mod 840). Θεωρούµε τις δύο τελευταίες ισοτιµίες : { x 2 (mod 14) (Σ 1 ) x 14 (mod 15)

21 21 Για την επίλυση του συστήµατος (Σ 1 ) µπορούµε να εφαρµόσουµε το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων, και τότε µπορούµε να δούµε εύκολα ότι η µοναδική λύση (mod 14 15) = (mod 210) του (Σ 1 ) είναι : Θεωρούµε τις δύο πρώτες ισοτιµίες : η πρώτη εκ των οποίων δίνει : x 2774 (mod 210) = x 44 (mod 210) (1) (Σ 2 ) { x 2 (mod 6) x 4 (mod 8) x 2 (mod 6) = 6 x 2 = k Z : x = 6 k + 2 (2) Με χρήση της (2), η πρώτη ισοτιµία δίνει : x 4 (mod 8) = 6 k (mod 8) = 6 k 2 (mod 8) = 3 k 1 (mod 4) Η µοναδική λύση της τελευταίας ισοτιµίας είναι Τότε από τις (2) και (3) ϑα έχουµε : k 3 (mod 4) = 4 k 3 = λ Z : k = 4 λ + 3 (3) x = 6 k + 2 = x = 6 (4 λ + 3) + 2 = x = 24 λ + 20 (4) Εποµένως η µοναδική λύση (mod[6, 8]) = (mod 24) του (Σ 2 ) είναι η Θεωρούµε το σύστηµα το οποίο προκύπτει από τις (1) και (5): { x 44 (mod 210) (Σ 3 ) x 20 (mod 24) x 20 (mod(24) (5) η µοναδική λύση του οποίου (mod[210, 24]) = (mod 840) είναι προφανώς η 44 (mod 840), διότι ικανοποιεί και τις δύο ισοτιµίες του (Σ 3 ). Εποµένως η µοναδική λύση (mod 840) του αρχψικού συστήµατος είναι : 44 (mod 840)

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Θεωρια Αριθµων Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 25 Μαιου 2013 2

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Θεωρια Αριθµων Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2013-2014 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Β και Γ Λυκείου Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Ιούλιος 2009 1 ιαιρετοτητα και Ισοτιµιες ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τρίτη 6 Νοεµβρίου 0 Ασκηση. Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (12 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (12 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2015-2016 ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: Ε. Μαρκάκης, Θ. Ντούσκας Λύσεις 2 ης Σειράς Ασκήσεων Πρόβληµα 1 (12 µονάδες) 1) Υπολογίστε τον

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης Στη µνήµη του δασκάλου µου, Χάρη Βαφειάδη... www.math.uoc.gr/

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt206/nt206.html Πέµπτη 6 Νεµβρίου 206 Ασκηση. Να δειχθεί ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφία. Κωνσταντίνου Ελισάβετ

Κρυπτογραφία. Κωνσταντίνου Ελισάβετ Κρυπτογραφία Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα [1, n] που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ 1. Το προβληµα του διακριτου λογαριθµου Στο µάθηµα αυτό ϑα δούµε κάποιους αλγόριθµους για υπολογισµό διακριτών λογάριθµων. Θυµίζουµε ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών Α.Μ.: 403. Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων

ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών Α.Μ.: 403. Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ LIBATI@CEIDUPATRASGR Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών ΑΜ: Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων 8// Να βρεθούν οι OGF για καθεµία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50 Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 2 Απριλίου 2013 Το παρόν κείµενο

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 222 3.1. ύναµη

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές. Χρήστος Ξενάκης

Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές. Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Κρυπτογραφία Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές Χρήστος Ξενάκης Το σύνολο των ακεραίων Ζ = {..., -2, -1, 0, 1, 2,...} Το σύνολο των φυσικών Ν = {0, 1, 2,...}

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαιο 7 ιασκοντες: Ν. Μαρµαρίης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ. Ψαρουάκης Ιστοσελια Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii.html - - Ασκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Η συνάρτηση φ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n > 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Mathematics and its Applications, 5th

Mathematics and its Applications, 5th Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις

Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο Σηµειώσεις Προετοιµασίας για Μαθηµατικούς ιαγωνισµούς Ασκήσεις Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Νοέµβριος 2012 1 Ασκησεις στη Θεωρια Αριθµων 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων: ( = g( = + 4 h( = t( = 5 φ( = ln σ( = ln(ln p( = ln m( = λ R λ - λ - k( = ln 4 s( = ηµ. Να εξετάσετε αν για τις παραπάνω συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 11: Αριθμητική υπολοίπων-δυνάμεις Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

2.4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ . ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Κλασµατική εξίσωση : Ονοµάζουµε κλασµατική εξίσωση κάθε εξίσωση η οποία έχει τον άγνωστο σ έναν τουλάχιστον παρονοµαστή. ΣΧΟΛΙΟ ιαδικασία επίλυσης : i) Αναλύουµε τους παρονοµαστές

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες

Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 4 Νοεµβρίου 2014, 1/19 Το ϑεώρηµα Riemann-Roch Θεωρούµε µια επιφάνεια Riemann M και το σώµα των F των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών. Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη

Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών. Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη Ευχαριστώ ιδιαίτερα τη ϕοιτήτριά µου Μαρίνα Παλαιστή για τη µεταφορά του χειρογράφου µου σε κείµενο "tex" Κεφάλαιο 1 Βασικές Ιδιότητες Ισοδυναµιών Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ. Καθηγητής νάλυση Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) 27 Μαΐου / 20

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ. Καθηγητής νάλυση Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) 27 Μαΐου / 20 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 27 Μαΐου 2010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 11 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Έστω Ρ(ν) ένας ισχυρισµός, ο οποίος αναφέρεται στους θετικούς ακέραιους Αν: i) o ισχυρισµός είναι αληθής για τον ακέραιο 1,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το Κρυπτοσύστηµα RSA Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Υπολογισµός Μέγιστου Κοινού ιαιρέτη Αλγόριθµος του Ευκλείδη Κλάσεις Ισοδυναµίας και Αριθµητική modulo

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Kehagias, 2009

Thanasis Kehagias, 2009 Μέρος II Αναλυτικη Γεωµετρια 33 34 Το παρον τευχος περιεχει συντοµη ϑεωρια, λυµενες και αλυτες ασκησεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Κατα τη γνωµη µου, για τους περισσοτερους ανθρωπους, ο µονος τροπος εξοικειωσης

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑ «ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ» 1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 : Γραµµική εξίσωση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ασύμμετρα Κρυπτοσυστήματα κλειδί κρυπτογράφησης k1 Αρχικό κείμενο (m) (δημόσιο κλειδί) Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 3 Σεπτεµβρίου 205 Εισαγωγή Στην παράγραφο αυτή ϑα δούµε πως προκύπτει η ιδέα του ορίου στην προσπά- ϑεια να ορίσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης.

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης. Γενικές Παρατηρήσεις Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα () Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Υπάρχουν µη κανονικές γλώσσες, π.χ., B = { n n n }. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα

Διαβάστε περισσότερα