ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8"

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14 Τετάρτη 28 Μαίου 2014 Σχόλιο 1. Υπενθυµίζουµε ότι αν a Z και n N είναι τέτοιοι ώστε (a, n) = 1, τότε η γραµµική ισοτιµία έχει µοναδική λύση ax b (mod n) x bk (mod n), όπου k Z και ak + ln = 1 (ένας τέτοιος αριθµός k υπάρχει διότι (a, n) = 1). Ισοδύναµα, ϐλέποντας την παραπάνω γραµµική ισοτιµία ως εξίσωση [a] n x = [b] n στον δακτύλιο Z n, ϑα έχουµε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει µοναδική λύση στο Z n και όπου : ak + ln = 1. x = [b] n [a] 1 n, όπου [a] 1 = [k] n ( ) Σχόλιο 2. Οπως προκύπτει από το Σχόλιο 1, η επίλυση µιας γραµµικής ισοτιµίας ax b (mod n), όπου (a, n) = 1 ( ) ανάγεται στον προσδιορισµό της αντίστροφης κλάσης [a] 1 n της κλάσης ισοτιµίας [a] n, διότι τότε η µοναδική λύση x 0 (mod n) της ( ) είναι η x 0 bc (mod n), όπου [a] 1 n = [c] n. Επειδή (a, n) = 1,από το Θεώρηµα του Euler, έπεται ότι a φ(n) 1 (mod n) = a φ(n) 1 a 1 (mod n) = [a] φ(n) 1 n και άρα : [a] 1 n Εποµένως η µοναδική λύση της ( ) είναι : = [a] φ(n) 1 n = [a φ(n) 1 ] n x 0 b a φ(n) 1 (mod n) [a] n = [1] n Γενικότερα αν a r 1 (mod n) για κάποιον ϑετικό ακέραιο r, τότε η µοναδική λύση της ( ) είναι : x 0 b a r 1 (mod n) Ενας τέτοιος ακέραιος r υπάρχει πάντα, για παράδειγµα ο φ(n). Αλλά µπορεί να υπάρχουν και άλλοι ακέραιοι µε αυτή την ιδιότητα οι οποίοι µπορεί να είναι µικρότεροι του φ(n). Για παράδειγµα : επειδή (3, 8) = 1, ϑα έχουµε 3 φ(8) 1 (mod 8), δηλαδή (mod 8). Οµως 3 2 = 9 1 mod 8). Και στις δύο περιπτώσεις [3] 1 8 = [3 3 ] 8 = [27] 8 = [3] 8 = [3] 1 8. Προφανώς, για την απλούστευση των αναγκαίων πράξεων, στην αναζήτηση ϑετικού ακεραίου r έτσι ώστε a r 1 (mod n), αναζητούµε τον µικρότερο δυνατό ϑετικό ακέραιο r µε αυτή την ιδιότητα. Οπως ϑα δούµε αργότερα, ισχύει : r φ(n).

2 2 Σχόλιο 3. Τέλος υπενθυµίζουµε επίσης ότι γενικά η γραµµική ισοτιµία ( ) έχει λύση αν και µόνον αν d b, όπου d = (a, n). Αν x 0 είναι µια λύση της ( ), τότε υπάρχουν ακριβώς d το πλήθος λύσεις (mod n) της ( ), οι εξής : x 0, x n d, x n d,, x 0 + (d 1) n d Η λύση x 0 (mod n) προκύπτει από τη µοναδική λύση x 0 (mod n d ) της γραµµικής ισοτιµίας a d x b d mod n ( ) d Η ισοτιµία ( ) έχει µοναδική λύση διότι ( a d, n d ) = 1, και προφανώς η λύση x 0 (mod n d ) είναι και λύση της ( ). Ασκηση 1. Να ϐρεθούν όλες οι λύσεις των παρακάτω ισοτιµιών : x 71 (mod 380) x 419 (mod 440). Λύση. 1. Η πρωτογενής ανάλυση του 380 είναι 380 = Ιδιαίτερα (380, 13) = 1. Εποµένως η ισοτιµία 13 x 71 (mod 380) έχει µοναδική λύση : x = [71] 380 [13] Με χρήση του αλγόριθµου του Ευκλείδη, εύκολα ϐλέπουµε ότι 1 = ( 4) (117) 13 = [1] 380 = [117] 380 [13] 380 = [13] = [117] 380 Τότε ϑα έχουµε : x = [71] 380 [13] = [71] 380 [117] 380 = [8307] 380 = [327] 380 Εποµένως η µοναδική λύση της εξίσωσης [13] 380 x = [71] 380 είναι η x = [327] 380. Ισοδύναµα η µοναδική λύση (mod 380) της ισοτιµίας 13 x 71 (mod 380) είναι η 327 (mod 380) 2. Οι πρωτογενείς αναλύσεις των 440 και 91 είναι 440 = και 91 = Ιδιαίτερα (440, 91) = 1. Εποµένως η ισοτιµία 91 x 419 (mod 440) έχει µοναδική λύση : x = [419] 440 [91] Με χρήση του αλγόριθµου του Ευκλείδη, εύκολα ϐλέπουµε ότι 1 = ( 29) 91 = [1] 440 = [ 29] 440 [91] 440 = [91] = [ 29] 440 = [411] 440 Τότε ϑα έχουµε : x = [419] 440 [91] = [419] 440 [411] 440 = [172209] 440 = [169] 440 Εποµένως η µοναδική λύση της εξίσωσης [91] 440 x = [419] 440 είναι η x = [169] 440. µοναδική λύση (mod 440) της ισοτιµίας 91 x 419 (mod 440) είναι η Ισοδύναµα η 169 (mod 440) Ασκηση 2. Να ϐρεθούν όλες οι λύσεις των παρακάτω ισοτιµιών : x 9 (mod 25) x 610 (mod 1597) x 1500 (mod 1600).

3 3 Λύση. 1. Επειδή (15, 25) = 5 9, έπεται ότι η γραµµική ισοτιµία 15 x 9 (mod 25) δεν έχει καµµία λύση. 2. Υπολογίζουµε εύκολα τις πρωτογείς αναλύσεις των αριθµών 987 και 1597: 987 = & 1597 = 1597 = (987, 1597) = 1 Εποµένως η γραµµική ισοτιµία 987x 610 (mod 1597) έχει µοναδική λύση x 0 (mod 1597) την οποία προσδιορίζουµε ως εξής : Θα έχουµε x c (mod 1597), όπου [c] 1597 = [987] Για τον προσδιορισµό του ακεραίου c, εργαζόµαστε ως εξής : Με χρήση του αλγόριθµου του Ευκλείδη, γράφουµε τον αριθµό 1 ως ακέραιο γραµµικό συνδυασµό των αριθµών 987 και 1597: 1 = ( 377) και τότε ϑα έχουµε [987] 1597 [610] 1597 = [1] Εποµένως [987] = [610] 1597 και άρα η µοναδική λύση της ισοτιµίας είναι : x (mod 1597) (mod 1597) 1596 (mod 1597) 3. Υπολογίζουµε εύκολα τις πρωτογείς αναλύσεις των αριθµών 980 και 1600: 980 = & 1600 = = (980, 1600) = = 20 Επειδή , έπεται ότι η γραµµική ισοτιµία 980x 1500 (mod 1600) έχει ακριβώς 20 ανα δύο ανισότιµες λύσεις (mod 1600). Θα προσδιορίσουµε αυτές τις λύσεις. Η γραµµική ισοτιµία ( ) είναι ισοδύναµη µε την x (mod ) = 49 x 75 (mod 80) ( ) 20 η οποία έχει µοναδική λύση x 0 (mod 80) την οποία προσδιορίζουµε ως εξής : Θα έχουµε x 0 75 c (mod 80), όπου [c] 80 = [49] Για τον προσδιορισµό του ακεραίου c, εργαζόµαστε ως εξής : Με χρήση του αλγόριθµου του Ευκλείδη, γράφουµε τον αριθµό 1 ως ακέραιο γραµµικό συνδυασµό των αριθµών 49 και 80: 1 = ( 31) 49 και τότε ϑα έχουµε [49] 1 80 = [ 31] 80 = [49] 80. Εποµένως η µοναδική λύση της ( ) ϑα είναι Άρα οι λύσεις της αρχικής ισοτιµίας είναι δηλαδή οι εξής : x 0 = (mod 80) = 3675 (mod 80) = 75 (mod 80) 75, , ,, (mod 1600) 75, 155, 235,, 1595 (mod 1600) Ασκηση 3. Να ϐρεθούν όλες οι λύσεις των παρακάτω ισοτιµιών : 1. 2 x 5 (mod 7) 2. 3 x 6 (mod 9) x 30 (mod 40) Λύση. 1. Πρώτος τρόπος: Επειδή (2, 7) = 1 5 έπεται ότι η ισοτιµία 2 x 5 (mod 7) έχει µοναδική λύση (mod 7). Άµεσα παρατηρούµε ότι 2 6 = 12 5 (mod 7) και άρα η µοναδική λύση είναι η x 6 (mod 7)

4 4 εύτερος τρόπος: Εχουµε 7 = = 1 = ( 3) = [1] 7 = [ 3] 7 [2] 7 + [1] 7 [7] 7 = [1] 7 = [ 3] 7 [2] 7 = [2] 7 [4] 7 = [1] 7 = [2] 1 7 = [4] 7 Τότε x = [2] 1 7 [5] 7 = x = [4] 7 [5] 7 = [20] 7 = x = [6] 7 Εποµένως η µοναδική λύση της ισοτιµίας 2 x 5 (mod 7) είναι η x 6 (mod 7). Τρίτος τρόπος: Θα εφαρµόσουµε την διαδικασία στο Σχόλιο 1. Επειδή (2, 7) = 1, από το Θεώρηµα του Euler, ϑα έχουµε 2 φ(7) 1 (mod 7) = (mod 7) = [2] 1 7 [2] 5 7 = [2] 1 7 [2 5 ] 7 = [32] 7 = [4] 7 και τότε όπως και πριν, η µοναδική λύση της γραµµικής ισοτιµίας είναι : x = 5 4, (mod 7) = 20 (mod 7) = 6 (mod 7) 2. Επειδή (3, 9) = 3 6 έπεται ότι η ισοτιµία 3 x 6 (mod 9) έχει 3 λύσεις (mod 9). Αν x 0 είναι µια λύση της 3 x 6 (mod 9) τότε όλες οι λύσεις είναι οι ακόλουθες : x 0 (mod 9), x = x (mod 9), x = x (mod 9) Παρατηρούµε ότι η x 0 = 2 είναι προφανώς µια λύση. Εποµένως όλες οι λύσεις της ισοτιµίας 3 x 6 (mod 9) είναι οι εξής : x 0 2 (mod 9), x 1 5 (mod 9), x 2 8 (mod 9) 3. Πρώτος τρόπος: Επειδή (19, 40) = 1 30 έπεται ότι η ισοτιµία 19 x 30 (mod 40) έχει µοναδική λύση (mod 40). Άµεσα παρατηρούµε ότι = 190 = (mod 40) και άρα η µοναδική λύση είναι η x 10 (mod 40). εύτερος τρόπος: Εχουµε 19 = = 1 = = 1 = 19 9 ( ) = 1 = = [1] 40 = [ 9] 40 [40] 40 + [19] 40 [19] 40 Τότε = [1] 40 = [19] 40 [19] 40 = [19] 1 40 = [19] 40 x = [19] 1 40 [30] 40 = x = [19] 40 [30] 40 = [570] 40 = [10] 40 = x = [6] 7 Συνεπώς η µοναδική λύση της ισοτιµίας 19 x 30 (mod 40) είναι η x 10 (mod 40) Ασκηση 4. Να ϐρεθούν όλοι οι ϑετικοί ακέραιοι b, όπου 0 b < 1001, για τους οποίους η γραµµική ισοτιµία 154 x b (mod 1001) ( ) έχει λύση. Οταν υπάρχει τουλάχιστον µια λύση, πόσες ανισότιµες (mod 1001) λύσεις υπάρχουν ;

5 Λύση. Επειδή οι πρωτογενείς αναλύσεις των αριθµών 154 και 1001 είναι 154 = και 1001 = , έπεται ότι : (154, 1001) = 77. Εποµένως η γραµµική ισοτιµία ( ) έχει λύση αν και µόνον αν 77 b, δηλαδή αν και µόνον αν b = 77 k. Επειδή 0 b < 1001, ϑα πρέπει 0 77 k < 1001 και άρα : 0 k < 13. Εποµένως : η ισοτιµία ( ) έχει λύση b = 77 k, k = 0, 1, 2,, 12 Επειδή (154, 1001) = 77, για κάθε µια από τις παραπάνω 13 τιµές του b, υπάρχουν ακριβώς 77 ανισότιµες (mod 1001) λύσεις της ( ). Θα προσδιορίσουµε αυτές τις λύσεις, υποθέτοντας ότι b = 77 k, όπου 0 k 12. Η γραµµική ισοτιµία ( ) είναι ισοδύναµη µε την x b 1001 (mod ) = 2 x k (mod 13) ( ) Η γραµµική ισοτιµία ( ) έχει µοναδική λύση x 0 (mod 13) την οποία προσδιορίζουµε ως εξής. Θα έχουµε x 0 = k c (mod 13), όπου [2] 1 13 = [c] 13. Από το Θεώρηµα του Euler, ϑα έχουµε : 2 φ(13) 1 (mod 13) = (mod 13) = [2] 1 13 = [211 ] 13 [2 11 ] 13 = [ ] 13 = [ ] 13 = [32] 13 [32] 13 [2] 13 = [6] 13 [6] 13 [2] 13 = = [36] 13 [2] 13 = [10] 13 [2] 13 = [20] 13 = [7] 13 Άρα η µοναδική λύση της (**) είναι η x 0 k 7 (mod 13) Τότε, για κάθε k = 0, 1, 2,, 12, οι λύσεις της ( ) (ανα δύο ανισότιµες (mod 1001)) είναι : δηλαδή : 7k, 7k , 7k ,, 7k k, 7k , 7k ,, 7k (mod 1001) 5 Σχόλιο 4. Θεωρούµε το ακόλουθο σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών x a 1 (mod n 1 ) x a 2 (mod n 2 ) (Σ). x a k (mod n k ) Αν (n i, n j ) = 1, όπου 1 i j k, τότε το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων πιστοποιεί ότι το (Σ) έχει µοναδική λύση x 0 (mod n 1 n 2 n k ). Υπενθυµίζουµε τη διαδικασία εύρεσης της µοναδική λύσης x 0 (mod n 1 n 2 n k ): Θέτουµε : M = n 1 n 2 n k, & M 1 = M n 1, M 2 = M n 2,, M k = M n k Θεωρούµε τις γραµµικές ισοτιµίες : M 1 x 1 (mod n 1 ) M 2 x 1 (mod n 2 ). M k x 1 (mod n k ) Επειδή (M i, n i ) = 1, i = 1, 2,, k, κάθε µια από τις παραπάνω ισοτιµίες έχει µοναδική λύση b i (mod n i ), όπου 1 i k

6 6 Τότε η µοναδική λύση (mod n 1 n 2 n k ) του (Σ) είναι η : M 1 b 1 a 1 + M 2 b 2 a M k b k a k (mod n 1 n 2 n k ) Ασκηση 5. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών x 1 (mod 5) (Σ) x 2 (mod 6) x 3 (mod 7) Λύση. Επειδή οι αριθµοί 5, 6, και 7 είναι ανά δύο πρώτοι µεταξύ τους, µπορούµε να εφαρµόσουµε το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων για την επίλυση του (Σ). Θα έχουµε : a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 3 n 1 = 5, n 2 = 6, n 3 = 7 & M = = 210 M 1 = M = 210 n 1 5 = 42, M 2 = M = 210 n 2 6 = 35, M 3 = M = 210 n 3 7 = 30 Σύµφωνα µε το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων, το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση x 0 (mod 210), την οποία ϐρίσκουµε ως εξής : Θεωρούµε τις γραµµικές ισοτιµίες : M 1 x 1 (mod n 1 ) = 42 x 1 (mod 5) = 2 x 1 (mod 5) M 2 x 1 (mod n 2 ) = 35 x 1 (mod 6) = 5 x 1 (mod 6) M 3 x 1 (mod n 3 ) = 30 x 1 (mod 7) = 2 x 1 (mod 7) όπου χρησιµοποιήσαµε ότι : 42 2 (mod 5), 35 5 (mod 6), και 30 2 (mod 7). Εύκολα ϐλέπουµε ότι οι µοναδικές λύσεις των παραπάνω ισοτιµιών είναι αντίστοιχα : b 1 3 (mod 5), b 2 5 (mod 6), b 3 4 (mod 7) Εποµένως η µοναδική λύση (mod 210) του (Σ) είναι : x 0 M 1 b 1 a 1 + M 2 b 2 a 2 + M 3 b 3 a 3 (mod 210) (mod 210) 836 (mod 210) 206 (mod 210) Ασκηση 6. Να ϐρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθµοί οι οποίοι δίνουν υπόλοιπα 1, 2, και 3, όταν διαιρεθούν µε τους αριθµούς 4, 3, και 5, αντίστοιχα. Λύση. Το πρόβληµα ανάγεται στην επίλυση του ακόλουθου συστήµατος γραµµικών ισοτιµιών : x 1 (mod 4) (Σ) x 2 (mod 3) x 3 (mod 5) Επειδή οι αριθµοί 4, 3, και 5 είναι ανά δύο πρώτοι µεταξύ τους, µπορούµε να εφαρµόσουµε το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων για την επίλυση του (Σ). Θα έχουµε : a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 3 n 1 = 4, n 2 = 3, n 3 = 5 & M = = 60 M 1 = M = 60 n 1 4 = 15, M 2 = M = 60 n 2 3 = 20, M 3 = M = 60 n 3 5 = 12

7 7 Σύµφωνα µε το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων, το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση x 0 (mod 210), την οποία ϐρίσκουµε ως εξής : Θεωρούµε τις γραµµικές ισοτιµίες : M 1 x 1 (mod n 1 ) = 15 x 1 (mod 4) = 3 x 1 (mod 4) M 2 x 1 (mod n 2 ) = 20 x 1 (mod 3) = 2 x 1 (mod 3) M 3 x 1 (mod n 3 ) = 12 x 1 (mod 5) = 2 x 1 (mod 5) όπου χρησιµοποιήσαµε ότι : 15 3 (mod 4), 29 2 (mod 3), και 12 2 (mod 5). Εύκολα ϐλέπουµε ότι οι µοναδικές λύσεις των παραπάνω ισοτιµιών είναι αντίστοιχα : b 1 3 (mod 4), b 2 2 (mod 3), b 3 3 (mod 5) Εποµένως η µοναδική λύση (mod 60) του (Σ) είναι : x 0 M 1 b 1 a 1 + M 2 b 2 a 2 + M 3 b 3 a 3 (mod 60) (mod 60) 233 (mod 60) 53 (mod 60) Άρα οι ακέραιοι οι οποίοι δίνουν υπόλοιπα 1, 2, και 3, όταν διαιρεθούν µε τους αριθµούς 4, 3, και 5, αντίστοιχα, είναι όλοι οι ακέραιοι της µορφής : 53 + k 60, k Z Ασκηση 7. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών x 1 (mod 2) (Σ) : x 2 (mod 3) x 3 (mod 5) x 4 (mod 7) x 5 (mod 11) Λύση. Επειδή οι αριθµοί 2, 3, 5, 7, 11 είναι ανα δυο πρώτοι µεταξύ τους, τότε από το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων έπεται ότι το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λυση Θα έχουµε : x 0 (mod M) = x 0 (mod ) = x 0 (mod 2310) a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 3, a 4 = 4, a 5 = 5 n 1 = 2, n 2 = 3, n 3 = 5, n 4 = 7, n 5 = 11 & M = = 2310 M 1 = = = M 2 = M 3 = M 4 = M 5 = = = 770 = = 462 = = 330 = = 210

8 8 και ϑεωρούµε τις ισοτιµίες : και ϑεωρούµε τις ισοτιµίες : 1155x 1 (mod 2) 770x 1 (mod 3) 462x 1 (mod 5) 330x 1 (mod 7) 210x 1 (mod 11) Επειδή 1155 = , 770 = , 462 = , 330 = και 210 = , το παραπάνω σύστηµα είναι ισοδύναµο µε το ακόλουθο : x 1 (mod 2) b 1 1 (mod 2) 2x 1 (mod 3) 2x 1 (mod 5) = b 2 2 (mod 3) b 3 3 (mod 5) x 1 (mod 7) b 4 1 (mod 7) x 1 (mod 11) b 5 1 (mod 11) Άρα η µοναδική λύση (mod 2310) του (Σ) είναι 5 x 0 = M i b i a i i=1 = = = (mod 2310) Ασκηση 8. Βρείτε έναν αριθµό ο οποίος είναι πολλαπλάσιο του 11 και δίνει υπόλοιπο 1 όταν διαιρεθεί µε τους αριθµούς 2, 3, 5, και 7. Λύση. Το πρόβληµα ανάγεται στην επίλυση του παρακάτω συστήµατος γραµµικών ισοτιµιών : x 0 (mod 11) (Σ) : x 1 (mod 2) x 1 (mod 3) x 1 (mod 5) x 1 (mod 7) Επειδή οι αριθµοί 2, 3, 5, 7, 11 είναι ανα δυο πρώτοι µεταξύ τους, τότε από το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων έπεται ότι το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λυση x 0 (mod M) = x 0 (mod ) = x 0 (mod 2310)

9 9 Υπολογίζουµε και ϑεωρούµε τις ισοτιµίες : M 1 = = = M 2 = = = M 3 = = = M 4 = = = M 5 = = = x 1 (mod 2) 770x 1 (mod 3) 462x 1 (mod 5) 330x 1 (mod 7) 210x 1 (mod 11) Επειδή 1155 = , 770 = , 462 = , 330 = και 210 = , το παραπάνω σύστηµα είναι ισοδύναµο µε το ακόλουθο : x 1 (mod 2) b 1 1 (mod 2) 2x 1 (mod 3) 2x 1 (mod 5) = b 2 2 (mod 3) b 3 3 (mod 5) x 1 (mod 7) b 4 1 (mod 7) x 1 (mod 11) b 5 1 (mod 11) Άρα η µοναδική λύση (mod 2310) του (Σ) είναι x 0 = 5 M i b i a i i=1 = = = (mod 2310) Συνεπώς ο Ϲητούµενος αριθµός είναι ο Παρατηρείστε ότι πράγµατι 2101 = , δηλαδή ο αριθµός 2101 είναι πολλαπλάσιο του 11. Ασκηση 9. είξτε ότι για κάθε k 2, υπάρχουν k το πλήθος διαδοχικοί ακέραιοι, κάθε ένας από τους οποίους διαιρείται από τετράγωνο αριθµού > 1.

10 10 Λύση. Εστω p 1, p 2,, p k διαφορετικοί πρώτοι αριθµοί k σε πλήθος, για παράδειγµα µπορούµε να ϑεωρήσουµε τους πρώτους k πρώτους αριθµούς. Θεωρούµε το παρακάτω σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών : x 0 (mod p 2 1 ) (Σ) : x 1 (mod p 2 2 ) x 2 (mod p 2 3 ). x k + 1 (mod p 2 k ) Επειδή (p 2 i, p2 j ) = 1 για κάθε 1 i j k, από το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων έχουµε ότι το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση mod(p 1 p k ) 2. Εστω N η λύση του (Σ). Τότε N 0 (mod p 2 1 ) p 2 1 N N 1 (mod p 2 2 ) N 2 (mod p 2 3 ). N k + 1 (mod p 2 k ) = p 2 2 N + 1 p 2 3 N + 2. p 2 k N + k 1 Συνεπώς οι k διαδοχικοί ακέραιοι N, N + 1,..., N + k 1 έχουν την ιδιότητα ότι κάθε ένας από αυτούς διαιρείται από τετράγωνο αριθµού > 1. Ασκηση 10. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών x 65 (mod 99) x 2 (mod 98) (Σ) x 51 (mod 97) x 10 (mod 95) Λύση. Οι πρωτογενείς αναλύσεις των αριθµών 99, 98, 97, και 95, είναι 99 = , 98 = 2 7 2, 97 = 97, 95 = 5 13 και άρα οι αριθµοί 99, 98, 97, και 95 είναι ανα δύο πρώτοι µεταξύ τους. Εποµέµνως µπορούµε να εφαρµόσουµε το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων, για την επίλυση του (Σ). Θα έχουµε : n 1 = 99, n 2 = 98, n 3 = 97, n 4 = 95 M = = M 1 = = , M 2 = = , M 3 = = , M 4 = = Θεωρούµε τις γραµµικές ισοτιµίες : Επειδή : M 1 x 1 (mod n 1 ) = x 1 (mod 99) M 2 x 1 (mod n 2 ) = x 1 (mod 98) M 3 x 1 (mod n 3 ) = x 1 (mod 97) M 4 x 1 (mod n 4 ) = x 1 (mod 95) = , = , = , =

11 11 οι παραπάνω ισοτιµίες γράφονται ισοδύναµα : 91 x 1 (mod 99), 3 x 1 (mod 98), 93 x 1 (mod 97), 24 x 1 (mod 95), Οι µοναδικές λύσεις των παραπάνω ισοτιµιών (οι οποίες ϐρίσκονται µε την γνωστή διαδικασία) είναι αντίστοιχα : b 1 37 (mod 99), b 2 35 (mod 98), b 3 24 (mod 97), b 4 4 (mod 95) Εποµένως η µοναδική λύση (mod ) = (mod ) του (Σ) είναι : x 0 M 1 b 1 a 1 + M 2 b 2 a 2 + M 3 b 3 a 3 + M 4 b 4 a 4 (mod ) (mod ) (mod ) (mod ) Ασκηση 11. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών { 51 x 2 (mod 38) (Σ) 3 x 6 (mod 9) Λύση. Επειδή (51, 38) = 1, έπεται ότι η ισοτιµία 51x 2 (mod 38) έχει µοναδική λύση x 0 (mod 38), η οποία προσδιορίζεται ως εξής. Θα έχουµε : x 0 2 c (mod 38), όπου [c] 38 = [51] Οµως [51] 38 = [13] 38 και άρτα αναζητούµε την αντίστροφή κλάση [13] Παρατηρούµε ότι [1] 38 = [39] 38 = [3 13] 38 = [3] 38 [13] 38 και εποµένως [13] 1 38 = [3] 38. Τότε η µοναδική λύσης της ισοτιµίας 51x 2 (mod 38) είναι : 2 3 (mod 38) 6 (mod 38) ( ) Για την δεύτερη ισοτιµία 3x 6 (mod 9), ϑα έχουµε. Επειδή (3, 9) = 3 6, έπεται ότι υπάρχουν 3 ανισότιµες (mod 9) λύσεις, οι οποίες όπως µπορούµε να προσδιορόισουµε εύκολα είναι οι εξής : 2 (mod 9), 5 (mod 9), (8 (mod 9) ( ) Εποµένως για να ϐρούµε τις λύσεις του αρχικού συτήµατος (Σ), από τις σχέσεις ( ) και ( ), αρκεί να ϐρούµε τις λύσεις των εξής συστηµάτων : { { { x 6 (mod 38) x 6 (mod 38) x 6 (mod 38) (Σ 1 ), (Σ x 2 (mod 9) 2 ), (Σ x 5 (mod 9) 3 ) x 8 (mod 9) Για το (Σ 1 ): Επειδή (38, 9) = 1, µπορούµε να εφαρµόσουµε Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων. έχουµε : a 1 = 6, a 2 = 2 & n 1 = 38, n 2 = 9 Θαωρούµε τις ισοτιµίες : { M1 x 1 (mod n 1 ) M 2 x 1 (mod n 2 ) M = 38 9 = 342, M 1 = M n 1 = 9, M 2 = M n 2 = 38 = { 9 x 1 (mod 38) 38 x 1 (mod 9) = { 9 x 1 (mod 38) 2 x 1 (mod 9) κάθε µία εκ των οποίων έχει µοναδική λύση. Για την δεύτερη η µοναδική λύση mod 9 είναι προφανώς η b 2 (mod 9) = 5 (mod 9). Για την πρώτη, υπολογίζουµε εύκολα ότι [9] 1 38 = [17] 38, διότι [9] 38 [17] 38 = [9 17] 38 = [153] 389 = [ ] 38 = [1] 38. Άρα b 1 = 17 & b 2 = 5 Η µοναδική λύση (mod 38 9) του συστήµατος (Σ 1 ) είναι : x 0 M 1 b 1 a 1 +M 2 b 2 a 2 (mod n 1 n 2 ) (mod 342) 1298 (mod 342) 272 (mod 342) Για το (Σ 2 ): Παρόµοια ϐρίσκουµε ότι η µοναδική λύση (mod 342) του (Σ 2 ) είναι η : x (mod 342) Θα

12 12 Για το (Σ 3 ): Παρόµοια ϐρίσκουµε ότι η µοναδική λύση (mod 342) του (Σ 3 ) είναι η : x 2 44 (mod 342) Εποµένως το αρχικό σύστηµα ισοτιµιών (Σ) έχει ακριβώς τρείς λύσεις (mod 342), τις εξής : 272 (mod 342), 158 (mod 342), 44 (mod 342) Σχόλιο 5. Θεωρούµε το ακόλουθο σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών x a 1 (mod n 1 ) x a 2 (mod n 2 ) (Σ). x a k (mod n k ) Υπενθυµίζουµε ότι το σύστηµα (Σ) έχει λύση αν και µόνον αν : d ij := (n i, n j ) a i a j, 1 i j k Αν οι παραπάνω σχέσεις διαιρετότητας ικανοποιούνται, τότε το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση (mod[n 1, n 2,, n k ]) Ασκηση 12. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών x 32 (mod 21) (Σ) x 6 (mod 10) x 2 (mod 12) Λύση. Πρώτος τρόπος: Εχουµε n 1 = 21 = 3 7, n 2 = 10 = 2 5, n 3 = 12 = 2 2 3, b 1 = 32, b 2 = 6, b 3 = 2 και (n 1, n 2 ) = 1 b 1 b 2 (n 1, n 3 ) = 3 b 1 b 3 (n 2, n 3 ) = 2 b 2 b 3 Άρα από τη Θεωρία το σύστηµα (Σ) έχει λύση στο Z και είναι ισοδύναµο µε το παρακάτω σύστηµα : x 32 (mod 3) x 2 (mod 3) x 32 (mod 7) x 4 (mod 7) x 6 (mod 2) x 6 (mod 5) x 0 (mod 2) x 1 (mod 5) x 2 (mod 2 2 ) x 2 (mod 3) x 2 (mod 4) x 2 (mod 3) Επειδή η πρώτη ισοτιµία συµπίπτει µε την έκτη, και η πέµπτη ισοτιµία συνεπάγεται την τρίτη (πραγ- µατικά : αν x 2 (mod 4), τότε 4 x 2, απ όπου εύκολα ϐλέπουµε ότι 2 x, δηλαδή x 0 (mod 2)), και τέλος επειδή το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθµών 3, 7, 2, 5, 4 συµπίπτει µε το ελάχιστο κοινό

13 13 πολλαπλάσιο των αριθµών 3, 7, 5, 4, έπεται ότι το παραπάνω σύστηµα είναι ισοδύναµο µε το ακόλουθο σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών : x 2 (mod 3) x 2 (mod 4) x 1 (mod 5) x 4 (mod 7) Επειδή οι αριθµοί 3, 4, 5, 7 είναι ανα δυο πρώτοι µεταξύ τους, τότε από το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων έπεται ότι το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λυση x 0 (mod M) = x 0 (mod ) = x 0 (mod 420) Ακολουθώντας το συνηθισµένο τρόπο λύσης ϐρίσκουµε ότι : x 0 74 (mod 420). εύτερος Τρόπος: Αφού x 2 (mod 3) έχουµε ότι υπάρχει κάποιο t 1 έτσι ώστε x = 3t Τότε αντικαθιστώντας στην ισοτιµία x 2 (mod 2 2 ) έχουµε 3t (mod 2 2 ) = 3t 1 0 (mod 4) = t 1 0 (mod 4) = t 1 = 4t 2 και άρα x = 12t Από την εξίσωση x 1 (mod 5) έχουµε 12t (mod 5) = 2t 2 3 (mod 5) = 2t 2 2 (mod 5) = t 2 1 (mod 5) Συνεπώς t 2 = 5t και άρα x = 60t Τέλος, αντικαθιστώντας στην x 4 (mod 7) έχουµε 60t (mod 7) = 4t 3 4 (mod 7) Για t 3 = 1 έχουµε τη λύση x = = 74. Πράγµατι έχουµε [74] 3 = [ ] 3 = [14] 3 = [2] 3 [74] 4 = [34] 4 = [32 + 2] 4 = [2] 4 [74] 5 = [75 1] 5 = [ 1] 5 [74] 7 = [70 + 4] 7 = [4] 7 Συνεπώς η µοναδική λύση του συστήµατος (Σ) είναι η x 0 74 (mod 420). Τρίτος Τρόπος: Επειδή (mod 21), και 6 4 (mod 10), το αρχικό σύστηµα είναι προφανώς ισοδύναµο µε το x 11 (mod 21) (Σ ) x 4 (mod 10) x 2 (mod 12) Οπως και προηγουµένως το (Σ ) έχει λύση η οποία είναι µοναδική mod 420. Θεωρούµε τις δύο πρώτες ισοτιµίες { (Σ x 11 (mod 21) 1) x 4 (mod 10) Επειδή (21, 10) = 1, από το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων, το σύστηµα (Σ 1 ) έχει µοναδική λύση mod 210. Εργαζόµενοι όπως στην Άσκηση 5, ϐλέπουµε εύκολα ότι η µοναδική λύση mod 210 του (Σ 1 ) είναι η x 74 (mod 210). Επειδή προφανώς το (Σ ) είναι ισοδύναµο µε το συστηµα { (Σ x 74 (mod 210) 2) x 2 (mod 12)

14 14 έπεται ότι η µοναδική λύση του (Σ 2 ), mod[210, 12] = mod 420, είναι η µοναδική λύση του (Σ) mod 420. Παρατηρούµε ότι το x 0 = 74 ικανοποιεί την x 2 (mod 12), διότι 74 2 = Εποµένως η µοναδική λύση του (Σ) είναι η x 74 (mod 74) Ασκηση 13. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών 3x 6 (mod 12) (Σ) 2x 5 (mod 7) 3x 1 (mod 5) Λύση. Η πρώτη ισοτιµία 3x 6 (mod 12) είναι προφανώς ισοδύναµη µε την x 6 (mod 4). Εποµένως το αρχικό σύστηµα (Σ) είναι ισοδύναµο µε το σύστηµα x 2 (mod 4) (Σ ) 2x 5 (mod 7) 3x 1 (mod 5) Επειδή (2, 7) = 1, η δεύτερη ισοτιµία έχει µοναδική λύση (mod 7) και αυτή η λύση είναι προφανώς η x 6 (mod 7). Επειδή (3, 5) = 1, η τρίτη ισοτιµία έχει µοναδική λύση (mod 5) και αυτή η λύση είναι προφανώς η x 2 (mod 5). Εποµένως το σύστηµα (Σ ) είναι ισοδύναµο µε το σύστηµα x 2 (mod 4) (Σ ) x 6 (mod 7) x 2 (mod 5) στο οποίο µπορούµε να εφαρµόσουµε το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων, και έτσι το (Σ ) έχει µοναδική λύση (mod 4 7 5) = (mod 140). Θα έχουµε : a 1 = 2, a 2 = 6, a 3 = 2 & n 1 = 4, n 2 = 7, n 3 = 5 Θεωρούµε τις ακόλουθες ισοτιµίες : 35 x 1 (mod 4) 20 x 1 (mod 7) = Εποµένως : 28 x 1 (mod 5) M = n 1 n 2 n 3 = = 140 M 1 = M n 1 = = 35 M 2 = M n 2 = = 20 M 3 = M n 3 = = 28 3 x 1 (mod 4) 6 x 1 (mod 7) 3 x 1 (mod 5) b 1 = 3, b 2 = 6, b 3 = 2 και άρα η µοναδική λύση (mod 140) του συστήµατος (Σ ) είναι η = x 0 M 1 b 1 a 1 + M 2 b 2 a 2 + M 3 b 3 a 3 (mod 140) = (mod 140) 1042 (mod 140) 62 (mod 140) x 3 (mod 4) x 6 (mod 7) x 2 (mod 5)

15 15 Εποµένως το αρχικό σύστρηµα (Σ) έχει µοναδική λύση (mod 14), την εξής : 62 (mod 140) Ασκηση 14. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για τα σύστηµατα γραµµικών ισοτιµιών (Σ) 2x 4 (mod 6) 4x 8 (mod 12) 5x 10 (mod 25) & (Σ ) Λύση. 1. Επειδή (2, 6) = 2 4, (4, 12) = 4 8 και (5, 25) = 5 10, έπεται ότι : 2x 4 (mod 6) x 2 (mod 3) 4x 8 (mod 12) x 2 (mod 3) 5x 10 (mod 25) x 2 (mod 5) x 7 (mod 9) x 2 (mod 10) x 3 (mod 12) x 6 (mod 15) Εποµένως το σύστηµα (Σ) είναι ισοδύναµο µε το ακόλουθο σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών : x 2 (mod 3) x 2 (mod 3) x 2 (mod 3) x 2 (mod 5) x 2 (mod 5) Προφανώς η µοναδική λύση (mod 15) του τελευταίου συστήµατος, άρα και του αρχικού, είναι η x 0 2 (mod 15) 2. Επειδή m 13 = (9, 12) = 3 a 1 a 3 = 7 3 = 4, έπεται ότι το σύστηµα (Σ ) δεν έχει ακέραιες λύσεις. Ασκηση 15. ( Πρόβληµα του Branmagupta, 7ος αιώνας µ.χ.) Οταν παίρνουµε αυγά από ένα καλάθι ανά : 2, 3, 4, 5, 6 κάθε ϕορά, τότε µένουν αντίστοιχα 1, 2, 3, 4, 5 αυγά στο καλάθι. Οταν όµως παίρνουµε ανά 7 τότε δεν µένει κανένα. Να υπολογισθεί ο ελάχιστος αριθµός αυγών που ϑα πρέπει να περιέχει το καλάθι. Λύση. Πρώτος τρόπος: Η απάντηση στο Πρόβληµα του Branmagupta είναι η ελάχιστη ϑετική λύση του παρακάτω συστήµατος γραµµικών ισοτιµιών : x 1 (mod 2) x 2 (mod 3) (Σ) : x 3 (mod 4) x 4 (mod 5) x 5 (mod 6) x 0 (mod 7)

16 16 Η ισοτιµία x 5 (mod 6) είναι ισοδύναµη 1 µε το σύστηµα ισοτιµιών x 5 (mod 2) δηλαδή ισοδύναµη µε το σύστηµα x 5 (mod 3) x 1 (mod 2) x 2 (mod 3) Οι παραπάνω δυο ισοτιµίες υπάρχουν ήδη στο γραµµικό σύστηµα (Σ) και άρα µπορούν να παραλη- ϕθούν. Παρατηρούµε επίσης ότι η ισοτιµία x 1 (mod 2) προκύπτει από την x 3 (mod 4) και άρα µπορεί να παραληφθεί. Πράγµατι αφού x 3 (mod 4) έπεται ότι ο x είναι περιττός και άρα η εξίσωση x 1 (mod 2) ισχύει. Συνεπώς το (Σ) είναι ισοδύναµο µε το ακόλουθο σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών : x 2 (mod 3) (Σ ) : x 3 (mod 4) x 4 (mod 5) x 0 (mod 7) Επειδή οι αριθµοί 3, 4, 5, 7 είναι ανα δυο πρώτοι µεταξύ τους, τότε από το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων έπεται ότι το σύστηµα (Σ ), και άρα και το (Σ), έχει µοναδική λυση x 0 (mod M) = x 0 (mod ) = x 0 (mod 420) Ακολουθώντας το συνηθισµένο τρόπο λύσης (ϐλέπε Άσκηση 7) ϐρίσκουµε ότι x 0 = 119. εύτερος τρόπος: Από την x 2 (mod 3) έχουµε ότι x = 3t και άρα από την x 3 (mod 4) έπεται ότι 3t (mod 4) = 3t 1 1 (mod 4) = 3 (3t 1 ) 3 (mod 4) = t 1 3 (mod 4) Εποµένως t 1 = 4t και άρα x = 3 (4t 2 + 3) + 2 = 12t Τότε από την εξίσωση x 4 (mod 5) έπεται ότι 12t (mod 5) = 2t (mod 5) = 2t 2 3 (mod 5) = 3 (2t 2 ) 9 (mod 5) = t 2 4 (mod 5) = t 2 = 5t και άρα x = 12 (5t 3 + 4) + 11 = 60t Τέλος από την εξίσωση x 0 (mod 7) έπεται ότι 60t (mod 7) = 4t 3 3 (mod 7) = 4t 3 4 (mod 7) = t 3 1 (mod 7) Εποµένως t 3 = 7t και άρα x = 420t = 420t Φανερά, για ακέραιο t 4 η ελάχιστη ϑετική τιµή που παίρνει το x είναι 119 για t 4 = 0. ελάχιστος αριθµός αυγών που ϑα πρέπει να περιέχει το καλάθι είναι 119. Συνεπώς ο 1 Γενικά, αν (n1, n 2) = 1, τότε : x a (mod n 1) & x a (mod n 2) x a (mod n 1n 2)

17 17 Ασκηση 16. Σε ένα πάρτυ, κάποιος Ϲητάει από έναν γνωστό του να διαλέξει στην τύχη έναν αριθµό από το 1 µέχρι το 100, και ακολούθως χωρίς να του αναφέρει το αριθµό, του Ϲητάει να του πει τα υπόλοιπα των διαιρέσεων του αριθµού µε τους αριθµούς 3, 5, και 7. Γνωρίζοντας τα υπόλοιπα αυτών των διαιρέσεων, µπορείτε να ϐρείτε τον κρυφό αριθµό ; Λύση. Εστω a 1 το υπόλοιπο της διαίρεσης του x 0 µε το 3, a 2 το υπόλοιπο της διαίρεσης του x 0 µε το 5 και a 3 το υπόλοιπο της διαίρεσης του x 0 µε το 7. Τότε ο κρυφός αριθµός x 0, όπου 1 x 0 100, είναι η λύση του συστήµατος γραµµικών ισοτιµιών : x a 1 (mod 3) (Σ) : x a 3 (mod 5) x a 3 (mod 7) Επειδή οι αριθµοί 3, 5, 7 είναι ανα δυο πρώτοι µεταξύ τους, τότε από το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων έπεται ότι το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λυση x 0 (mod M) = x 0 (mod 3 5 7) = x 0 (mod 105) Υπολογίζουµε M 1 = M 2 = = 35 = 21 και έχουµε τις παρακάτω εξισώσεις : 35x 1 (mod 3) 21x 1 (mod 5) = M 3 = = 15 2x 1 (mod 3) x 1 (mod 5) = x 1 (mod 3) x 1 (mod 5) 15x 1 (mod 7) x 1 (mod 7) x 1 (mod 7) Άρα b 1 = 1, b 2 = 1, b 3 = 1 και η λύση είναι η x 0 = M 1 b 1 a 1 + M 2 b 2 a 2 + M 3 b 3 a 3 = 35 ( 1) a a a 3 = 35a a a 3 Εποµένως ο Ϲητούµενος κρυφός αριθµός είναι το µικρότερο ϑετικό υπόλοιπο (mod 105) του αριθµού : 35a a a 3 Ασκηση 17. Επτά ληστές προσπαθούν να µοιράσουν δίκαια τα κλοπιµαία τα οποία αποτελούνται από ϱάβδους χρυσού. Μετά τη µοιρασιά 6 ϱάβδοι χρυσού περίσσεψαν και στη διαµάχη που ακολούθησε ένας ληστής σκοτώθηκε. Οι υπόλοιποι έξι ληστές δοκίµασαν να µοιράσουν πάλι τους ϱάβδους, αλλά πάλι δεν τα κατάφεραν διότι αυτή τη ϕορά περίσσεψαν 2 ϱάβδοι. Στη διαµάχη που ακολούθησε ένας ακόµα ληστής σκοτώθηκε. Στη νέα µοιρασιά που ακολούθησε περίσσεψε µια ϱάβδος χρυσού και µετά τον ϑάνατο ενός ακόµα ληστή, τελικά οι εναποµείναντες ληστές κατάφεραν να µοιράσουν στα ίσια τους ϱάβδους χρυσού. Ποιός είναι ο ελάχιστος αριθµός ϱάβδων χρυσού που έκλεψαν οι ληστές ;

18 18 Λύση. Εστω x ο Ϲητούµενος αριθµός ϱάβδων χρυσού που έκλεψαν οι ληστές. Εχουµε Επτά ληστές Πρώτη µοιρασιά : x 6 (mod 7) Εξι ληστές εύτερη µοιρασιά : x 2 (mod 6) Πέντε ληστές Τρίτη µοιρασιά : x 1 (mod 5) Τέσσερις ληστές Τελευταία µοιρασιά : x 0 (mod 4) Άρα ο Ϲητούµενος αριθµός ϱάβδων χρυσού είναι η (µοναδική) λύση (mod ) του συστήµατος γραµµικών ισοτιµιών : x 6 (mod 7) x 2 (mod 6) (Σ) : x 1 (mod 5) x 0 (mod 4) Ελέγχουµε ότι πράγµατι το παραπάνω σύστηµα έχει λύση : a 1 = 6, a 2 = 2, a 3 = 1, a 4 = 0 m 12 = (7, 6) = 1 a 1 a 2 = 4 m 13 = (7, 5) = 1 a 1 a 3 = 6 m 14 = (7, 4) = 1 a 1 a 4 = 6 m 23 = (6, 5) = 1 a 2 a 3 = 2 m 24 = (6, 4) = 2 a 2 a 4 = 2 m 34 = (5, 4) = 1 a 3 a 4 = 1 Θεωρούµε το σύστηµα x 6 (mod 7) (Σ ) : x 2 (mod 6) x 1 (mod 5) και υπολογίζουµε a 1 = 6, a 2 = 2, a 3 = 1 M = = 210, M 1 = = 30, M 2 = = 35, M 3 = Τότε έχουµε τις παρακάτω εξισώσεις : 30x 1 (mod 7) 2x 1 (mod 7) x 4 (mod 7) 35x 1 (mod 6) = 5x 1 (mod 6) = x 5 (mod 6) Εποµένως ϑα έχουµε : 42x 1 (mod 5) 2x 1 (mod 5) b 1 = 4, b 2 = 5, b 3 = 3 x 3 (mod 5) = 42,

19 19 και τότε από το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων έπεται ότι η µοναδική λύση (mod 210) του (Σ ) είναι η y 0 = M 1 b 1 a 1 + M 2 b 2 a 2 + M 3 b 3 a 3 = = (mod 210) 146 (mod 210) Από το σύστηµα (Σ) και την παραπάνω λύση του (Σ ) έχουµε το παρακάτω σύστηµα: x 146 (mod 210) x 0 (mod 4) Από τη δεύτερη εξίσωση έπεται ότι x = 4t και άρα από τη πρώτη έχουµε 4t 146 (mod 210) = 2t 73 (mod 105) = t = [2] [73] 105 = [53] 105 [73] 105 = [3869] 105 = [89] 105 Συνεπώς ο ελάχιστος αριθµός ϱάβδων χρυσού που έκλεψαν οι ληστές είναι x = 4 89 = 356 Ασκηση 18. Να ϐρεθούν όλες οι ακέραιες λύσεις του συστήµατος (όχι απαραίτητα γραµµικών) ισοτιµιών : { x (Σ) 2 1 (mod 3) x 2 (mod 4) Λύση. Για την πρώτη ισοτιµία, ϑα έχουµε : x 2 1 (mod 3) 3 x (x 1) (x + 1) 3 x 1 ή 3 x + 1 x 1 (mod 3) ή x 1 (mod 3) x 1 (mod 3) ή x 2 (mod 3) Εποµένως το αρχικό σύστηµα ισοτιµιών (Σ) είναι ισοδύναµο µε το Ϲεύγος συστηµάτων { { x 1 (mod 3) x 2 (mod 3) (Σ 1 ) & (Σ x 2 (mod 4) 2 ) x 2 (mod 4) Για την επίλυση των συστηµάτων (Σ 1 ) και (Σ 2 ) µπορούµε να εφαρµόσουµε Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων, και να έχουµε ότι η µοναδική λύση (mod 12) του (Σ 1 ) είναι : και η µοναδική λύση (mod 12) του (Σ 2 ) είναι : 10 (mod 12) 2 (mod 12) Άρα οι µοναδικές λύσεις (mod 12) του αρχικού συστήµατος (Σ) είναι : 10 (mod 12) & 2 (mod 12) Ασκηση 19. Να ϐρεθούν όλες οι ακέραιες λύσεις του συστήµατος γραµµικών ισοτιµιών : x 2 (mod 14) (Σ) x 16 (mod 21) x 10 (mod 30)

20 20 Λύση. Θα έχουµε : a 1 = 2, a 2 = 16, a 3 = 10 m 12 = (14, 21) = 7 a 1 a 2 = 14 m 13 = (14, 30) = 2 a 1 a 3 = 28 m 23 = (21, 30) = 3 a 2 a 3 = 6 Εποµένως το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση (mod[14, 21, 30]) = (mod 210). Από την πρώτη ισοτιµία, έχουµε : x 2 (mod 14) = 14 x 2 = k Z : x = 14 k + 2 (1) Με χρήση της (1), από την δεύτερη ισοτιµία, έχουµε : x 16 (mod 21) = 14 k+2 16 (mod 21) = 14 k 14 (mod 21) = 2 k 2 (mod 3) Η µοναδική λύση (mod 3) της τελευταίας ισοτιµίας είναι η k 1 (mod 3) και εποµένως : Με χρήση της (2), η σχέση (1) δίνει : k 1 (mod 3) = 3 k 1 = λ Z : k = 3 λ + 1 (2) Με χρήση της (3), από την τρίτη ισοτιµία, έχουµε : x = 14 (3 λ + 1) + 2 = 42 λ + 16 (3) x 10 (mod 30) = 42 λ (mod 30) = 42 λ+6 0 (mod 30) = λ+6 = µ Z : 42 λ + 6 = 30 µ = 7 λ + 1 = 5 µ = 7 λ 1 (mod 5) = 2 λ 4 (mod 5) Η µοναδική λύση της τελευταίας ισοτιµίας είναι λ 2 (mod 5), και άρα : Τότε η (3), µε χρήση της (4), δίνει : λ 2 (mod 5) = 5 λ 2 = ν Z : λ = 5 ν + 2 (4) x = 42 λ + 16 = 42 (5 ν + 2) + 16 = 210 ν = x 100 (mod 210) είναι η µοναδική λύση (mod 210) του αρχικού συστήµατος. Ασκηση 20. Να ϐρεθούν όλες οι ακέραιες λύσεις του συστήµατος γραµµικών ισοτιµιών : x 2 (mod 6) x 4 (mod 8) (Σ) x 2 (mod 14) x 14 (mod 15) Λύση. Θα έχουµε : a 1 = 2, a 2 = 4, a 3 = 2, a 4 = 14 m 12 = (6, 8) = 2 a 1 a 2 = 2 m 13 = (6, 14) = 2 a 1 a 3 = 0 m 14 = (6, 15) = 1 a 1 a 4 = 12 m 23 = (8, 14) = 2 a 2 a 3 = 2 m 24 = (8, 15) = 1 a 2 a 4 = 10 m 34 = (14, 15) = 1 a 3 a 4 = 12 Εποµένως το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση (mod[6, 8, 14, 15]) = (mod 840). Θεωρούµε τις δύο τελευταίες ισοτιµίες : { x 2 (mod 14) (Σ 1 ) x 14 (mod 15)

21 21 Για την επίλυση του συστήµατος (Σ 1 ) µπορούµε να εφαρµόσουµε το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων, και τότε µπορούµε να δούµε εύκολα ότι η µοναδική λύση (mod 14 15) = (mod 210) του (Σ 1 ) είναι : Θεωρούµε τις δύο πρώτες ισοτιµίες : η πρώτη εκ των οποίων δίνει : x 2774 (mod 210) = x 44 (mod 210) (1) (Σ 2 ) { x 2 (mod 6) x 4 (mod 8) x 2 (mod 6) = 6 x 2 = k Z : x = 6 k + 2 (2) Με χρήση της (2), η πρώτη ισοτιµία δίνει : x 4 (mod 8) = 6 k (mod 8) = 6 k 2 (mod 8) = 3 k 1 (mod 4) Η µοναδική λύση της τελευταίας ισοτιµίας είναι Τότε από τις (2) και (3) ϑα έχουµε : k 3 (mod 4) = 4 k 3 = λ Z : k = 4 λ + 3 (3) x = 6 k + 2 = x = 6 (4 λ + 3) + 2 = x = 24 λ + 20 (4) Εποµένως η µοναδική λύση (mod[6, 8]) = (mod 24) του (Σ 2 ) είναι η Θεωρούµε το σύστηµα το οποίο προκύπτει από τις (1) και (5): { x 44 (mod 210) (Σ 3 ) x 20 (mod 24) x 20 (mod(24) (5) η µοναδική λύση του οποίου (mod[210, 24]) = (mod 840) είναι προφανώς η 44 (mod 840), διότι ικανοποιεί και τις δύο ισοτιµίες του (Σ 3 ). Εποµένως η µοναδική λύση (mod 840) του αρχψικού συστήµατος είναι : 44 (mod 840)

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Θεωρια Αριθµων Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 25 Μαιου 2013 2

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών»)

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών») Πρώτοι αριθµοί: Τι µας λέει στο βιβλίο (σελ.25-26): 1. Μου αρέσουν οι πρώτοι αριθµοί, γι αυτό αρίθµησα µε πρώτους τα κεφάλαια. Οι πρώτοι αριθµοί είναι αυτό που αποµένει όταν αφαιρέσεις όλα τα στερεότυπα

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ 1 1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΜΚ ΕΚΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πολλαπλάσια του α : Είναι οι αριθµοί που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουµε τον α µε όλους τους φυσικούς. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Ασφάλεια Πληροφοριακών Συστημάτων

Ασφάλεια Πληροφοριακών Συστημάτων Ασφάλεια Πληροφοριακών Συστημάτων Κρυπτογραφία/Ψηφιακές Υπογραφές Διάλεξη 2η Δρ. Β. Βασιλειάδης Τμ. Διοίκησης Επιχειρήσεων, ΤΕΙ Δυτ. Ελλάδας Kρυπτανάλυση Προσπαθούμε να σπάσουμε τον κώδικα. Ξέρουμε το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

Ο Σέρλοκ Χόλμς, η εις άτοπο απαγωγή και οι απαρχές του internet.

Ο Σέρλοκ Χόλμς, η εις άτοπο απαγωγή και οι απαρχές του internet. Λέσχη Ανάγνωσης Γενικού Λυκείου Σαντορίνης Σχολικό έτος 2011-2012 Ο Σέρλοκ Χόλμς, η εις άτοπο απαγωγή και οι απαρχές του internet. Γιάννης Παπόγλου Το σμαραγδένιο στέμμα Σύµφωνα µε ένα παλιό µου ρητό,

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις Ο(n), Ω(n), Θ(n) Ανάλυση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ Όταν στα µαθηµατικά λέµε ότι το τείνει στο και συµβολίζεται, εννοούµε ότι οι τιµές προσεγγίζουν την τιµή, είτε µε από τιµές µικρότερες του δηλ από αριστερά του, είτε από τιµές µεγαλύτερες

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα Αλγεβρικες οµες Ι Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 4 εκεµβρίου 2012

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Περιεχόµενα Εισαγωγη 1 Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ 1 Γενικά Η ψηφιακή υπογραφή είναι µια µέθοδος ηλεκτρονικής υπογραφής όπου ο παραλήπτης ενός υπογεγραµµένου ηλεκτρονικού µηνύµατος µπορεί να διαπιστώσει τη γνησιότητα του,

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 2η

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 2η ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ0 Ε ρ γ α σ ί α η Ε ρ ω τ ή µ α τ α Ερώτηµα 1. (1) Να διατυπώστε αλγόριθµο που θα υπολογίζει το ν-οστό όρο της ακολουθίας a ν : ν = 1,,3,..., όπου a 1 = 1, a

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΑΤΑΞΗ

1.1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΑΤΑΞΗ 1 1.1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΑΤΑΞΗ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ 1. Φυσικοί αριθµοί : Είναι οι αριθµοί 0, 1, 2, 3,, 10000, 10001,.50000 2. Προηγούµενος επόµενος : Κάθε φυσικός αριθµός εκτός από το 0 έχει έναν προηγούµενο

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0 Σελίδα από 53 Κεφάλαιο 3 Πίνακες Περιεχόµενα 3 Ορισµοί Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 3 3 Πράξεις µε Πίνακες Πρόσθεση Πινάκων Πολλαπλασιασµός Πίνακα µε Αριθµό Πολλαπλασιασµός Πινάκων ιωνυµικό Ανάπτυγµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ 1. Τι εννοούµε λέγοντας θερµοδυναµικό σύστηµα; Είναι ένα κοµµάτι ύλης που αποµονώνουµε νοητά από το περιβάλλον. Περιβάλλον του συστήµατος είναι το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους.

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους. Να βρεθεί ΠΓΠ ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος µεταφοράς (το πρόβληµα βασίζεται σε αυτό των Aarik και Randolph, 975). Λύση: Για κάθε δυϊλιστήριο i (i=, 2, ) και πόλη j (j=, 2,, 4), θεωρούµε την µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Τεστ ελέγχου πρώτων µε χρήση αθροισµάτων Gauss και Jacobi

Τεστ ελέγχου πρώτων µε χρήση αθροισµάτων Gauss και Jacobi Τεστ ελέγχου πρώτων µε χρήση αθροισµάτων Gauss και Jacobi Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης - Εµµανουήλ Γ. Τσακνάκης 1 Αυγούστου 006 1 Περιγραφή του Αλγορίθµου Περίληψη Εστω ότι έχουµε ένα µεγάλο περιττό αριθµό

Διαβάστε περισσότερα

Κλάσµατα ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο. Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια

Κλάσµατα ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο. Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο Κλάσµατα Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια Όπως φαίνεται όµως ο Σάκης έφαγε 1 κοµµάτι από τα 8 Το κοµµάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

t, όπου t Ζ. , t Ζ. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

t, όπου t Ζ. , t Ζ. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Επίλυση Γραμμικής Διοφαντικής Εξίσωσης Έστω η εξίσωση x y, όπου,, ακέραιοι με και Αν αναζητούμε ακέραιες λύσεις της εξίσωσης αυτής, ηλαή ζεύγη ακεραίων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 13 1.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνθεση συναρτήσεων

ΜΑΘΗΜΑ 13 1.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνθεση συναρτήσεων ΜΑΘΗΜΑ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνθεση συναρτήσεων Θεωρία Σχόλια Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Έστω οι συναρτήσεις : A R, :Β R Το τυχαίο A, µε την A. αντιστοιχίζεται στην τιµή Αν η τιµή αυτή ( ) B θα αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015 Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 215 Άσκηση 1: (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (ax+b)(x 2 +1) αν το a είναι ϑετικός αριθµός. (ϐ) Το µεσηµέρι, ένα σαλιγκάρι που ϐρίσκεται στο κέντρο ενός

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Μετασχηµατισµός Laplace ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 4 Μαρτίου 29 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας του µετασχηµατισµού Laplace

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ 1 3.5 ΕΜΒ Ν ΚΥΚΛΙΚΥ ΙΣΚΥ ΘΕΩΡΙ Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ : Ε = πρ Σηµείωση : Tο εµβαδόν του κυκλικού δίσκου, χάριν ευκολίας αναφέρεται σαν εµβαδόν του κύκλου. ΣΧΛΙ Για το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

Φρ. Κουτελιέρης. Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι

Φρ. Κουτελιέρης. Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 1/24 Κ2: Γραµµικά συστήµατα 1. Ορισµοί 2. Σύστηµα σε µορφή πίνακα 3. Επίλυση Crammer 4. Επίλυση Gauss

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

παράθυρα ιδακτικό υλικό µαθητή Πλήκτρα για να το παράθυρο Λωρίδα τίτλου Πλαίσιο παραθύρου

παράθυρα ιδακτικό υλικό µαθητή Πλήκτρα για να το παράθυρο Λωρίδα τίτλου Πλαίσιο παραθύρου ιδακτικό υλικό µαθητή παράθυρα Κατά τη διάρκεια της µελέτης µας γράφουµε και διαβάζουµε, απλώνοντας πάνω στο γραφείο τετράδια και βιβλία. Ξεκινώντας ανοίγουµε αυτά που µας ενδιαφέρουν πρώτα και συνεχίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER

ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ2 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ Γ. Μήτσου Οκτώβριος 2007 Α. Θεωρία Εισαγωγή Η ταχύτητα του φωτός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΩΝ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΩΝ ΘΕΜΑ 1 ο Έστω το πρόβληµα της τοποθέτησης τεσσάρων (4) βασιλισσών πάνω σε µια σκακιέρα 4x4, έτσι ώστε να µην απειλεί η µία την άλλη. Προσπαθήστε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

4.2 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 1 4. 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόβληµα : Ονοµάζουµε την κατάσταση που δηµιουργείται όταν αντι- µετωπίζουµε εµπόδια και δυσκολίες στην προσπάθεια µας να φτάσουµε σε έναν συγκεκριµένο στόχο.. Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = 0.5 + 0.4 0.3 = 0.6.

P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = 0.5 + 0.4 0.3 = 0.6. 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Θεωρούµε δύο ενδεχόµενα A, B. Με πιθανότητα 0.5 ϑα συµβεί το A, µε πιθανότητα 0.4 ϑα συµβεί το B και µε πιθανότητα 0.3 ϑα συµβούν και τα δυο. Ποια είναι η πιθανότητα να µη συµβεί

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο Κεφάλαιο 3 ιανύσµατα στον -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο 3.1 Εισαγωγή στα ιανύσµατα (Γεωµετρική) Πολλές ϕυσικές ποσότητες, όπως το εµβαδόν, το µήκος, η µάζα και η ϑερµοκρασία, περιγράφονται πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Οι χάρτες των 850 Hpa είναι ένα από τα βασικά προγνωστικά επίπεδα για τη παράµετρο της θερµοκρασίας. Την πίεση των 850 Hpa τη συναντάµε στην ατµόσφαιρα σε ένα µέσο ύψος περί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ. παθητικά: προκαλούν την απώλεια ισχύος ενός. ενεργά: όταν τροφοδοτηθούν µε σήµα, αυξάνουν

ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ. παθητικά: προκαλούν την απώλεια ισχύος ενός. ενεργά: όταν τροφοδοτηθούν µε σήµα, αυξάνουν 1. Εισαγωγικά στοιχεία ηλεκτρονικών - Ι.Σ. ΧΑΛΚΙΑ ΗΣ διαφάνεια 1 1. ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ Ηλεκτρικό στοιχείο: Κάθε στοιχείο που προσφέρει, αποθηκεύει και καταναλώνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των

Διαβάστε περισσότερα

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια 8 Κρούσεις Στην µηχανική µε τον όρο κρούση εννοούµε τη σύγκρουση δύο σωµάτων που κινούνται το ένα σχετικά µε το άλλο.το ϕαινόµενο της κρούσης έχει δύο χαρακτηριστικά : ˆ Εχει πολύ µικρή χρονική διάρκεια.

Διαβάστε περισσότερα