ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8"

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14 Τετάρτη 28 Μαίου 2014 Σχόλιο 1. Υπενθυµίζουµε ότι αν a Z και n N είναι τέτοιοι ώστε (a, n) = 1, τότε η γραµµική ισοτιµία έχει µοναδική λύση ax b (mod n) x bk (mod n), όπου k Z και ak + ln = 1 (ένας τέτοιος αριθµός k υπάρχει διότι (a, n) = 1). Ισοδύναµα, ϐλέποντας την παραπάνω γραµµική ισοτιµία ως εξίσωση [a] n x = [b] n στον δακτύλιο Z n, ϑα έχουµε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει µοναδική λύση στο Z n και όπου : ak + ln = 1. x = [b] n [a] 1 n, όπου [a] 1 = [k] n ( ) Σχόλιο 2. Οπως προκύπτει από το Σχόλιο 1, η επίλυση µιας γραµµικής ισοτιµίας ax b (mod n), όπου (a, n) = 1 ( ) ανάγεται στον προσδιορισµό της αντίστροφης κλάσης [a] 1 n της κλάσης ισοτιµίας [a] n, διότι τότε η µοναδική λύση x 0 (mod n) της ( ) είναι η x 0 bc (mod n), όπου [a] 1 n = [c] n. Επειδή (a, n) = 1,από το Θεώρηµα του Euler, έπεται ότι a φ(n) 1 (mod n) = a φ(n) 1 a 1 (mod n) = [a] φ(n) 1 n και άρα : [a] 1 n Εποµένως η µοναδική λύση της ( ) είναι : = [a] φ(n) 1 n = [a φ(n) 1 ] n x 0 b a φ(n) 1 (mod n) [a] n = [1] n Γενικότερα αν a r 1 (mod n) για κάποιον ϑετικό ακέραιο r, τότε η µοναδική λύση της ( ) είναι : x 0 b a r 1 (mod n) Ενας τέτοιος ακέραιος r υπάρχει πάντα, για παράδειγµα ο φ(n). Αλλά µπορεί να υπάρχουν και άλλοι ακέραιοι µε αυτή την ιδιότητα οι οποίοι µπορεί να είναι µικρότεροι του φ(n). Για παράδειγµα : επειδή (3, 8) = 1, ϑα έχουµε 3 φ(8) 1 (mod 8), δηλαδή (mod 8). Οµως 3 2 = 9 1 mod 8). Και στις δύο περιπτώσεις [3] 1 8 = [3 3 ] 8 = [27] 8 = [3] 8 = [3] 1 8. Προφανώς, για την απλούστευση των αναγκαίων πράξεων, στην αναζήτηση ϑετικού ακεραίου r έτσι ώστε a r 1 (mod n), αναζητούµε τον µικρότερο δυνατό ϑετικό ακέραιο r µε αυτή την ιδιότητα. Οπως ϑα δούµε αργότερα, ισχύει : r φ(n).

2 2 Σχόλιο 3. Τέλος υπενθυµίζουµε επίσης ότι γενικά η γραµµική ισοτιµία ( ) έχει λύση αν και µόνον αν d b, όπου d = (a, n). Αν x 0 είναι µια λύση της ( ), τότε υπάρχουν ακριβώς d το πλήθος λύσεις (mod n) της ( ), οι εξής : x 0, x n d, x n d,, x 0 + (d 1) n d Η λύση x 0 (mod n) προκύπτει από τη µοναδική λύση x 0 (mod n d ) της γραµµικής ισοτιµίας a d x b d mod n ( ) d Η ισοτιµία ( ) έχει µοναδική λύση διότι ( a d, n d ) = 1, και προφανώς η λύση x 0 (mod n d ) είναι και λύση της ( ). Ασκηση 1. Να ϐρεθούν όλες οι λύσεις των παρακάτω ισοτιµιών : x 71 (mod 380) x 419 (mod 440). Λύση. 1. Η πρωτογενής ανάλυση του 380 είναι 380 = Ιδιαίτερα (380, 13) = 1. Εποµένως η ισοτιµία 13 x 71 (mod 380) έχει µοναδική λύση : x = [71] 380 [13] Με χρήση του αλγόριθµου του Ευκλείδη, εύκολα ϐλέπουµε ότι 1 = ( 4) (117) 13 = [1] 380 = [117] 380 [13] 380 = [13] = [117] 380 Τότε ϑα έχουµε : x = [71] 380 [13] = [71] 380 [117] 380 = [8307] 380 = [327] 380 Εποµένως η µοναδική λύση της εξίσωσης [13] 380 x = [71] 380 είναι η x = [327] 380. Ισοδύναµα η µοναδική λύση (mod 380) της ισοτιµίας 13 x 71 (mod 380) είναι η 327 (mod 380) 2. Οι πρωτογενείς αναλύσεις των 440 και 91 είναι 440 = και 91 = Ιδιαίτερα (440, 91) = 1. Εποµένως η ισοτιµία 91 x 419 (mod 440) έχει µοναδική λύση : x = [419] 440 [91] Με χρήση του αλγόριθµου του Ευκλείδη, εύκολα ϐλέπουµε ότι 1 = ( 29) 91 = [1] 440 = [ 29] 440 [91] 440 = [91] = [ 29] 440 = [411] 440 Τότε ϑα έχουµε : x = [419] 440 [91] = [419] 440 [411] 440 = [172209] 440 = [169] 440 Εποµένως η µοναδική λύση της εξίσωσης [91] 440 x = [419] 440 είναι η x = [169] 440. µοναδική λύση (mod 440) της ισοτιµίας 91 x 419 (mod 440) είναι η Ισοδύναµα η 169 (mod 440) Ασκηση 2. Να ϐρεθούν όλες οι λύσεις των παρακάτω ισοτιµιών : x 9 (mod 25) x 610 (mod 1597) x 1500 (mod 1600).

3 3 Λύση. 1. Επειδή (15, 25) = 5 9, έπεται ότι η γραµµική ισοτιµία 15 x 9 (mod 25) δεν έχει καµµία λύση. 2. Υπολογίζουµε εύκολα τις πρωτογείς αναλύσεις των αριθµών 987 και 1597: 987 = & 1597 = 1597 = (987, 1597) = 1 Εποµένως η γραµµική ισοτιµία 987x 610 (mod 1597) έχει µοναδική λύση x 0 (mod 1597) την οποία προσδιορίζουµε ως εξής : Θα έχουµε x c (mod 1597), όπου [c] 1597 = [987] Για τον προσδιορισµό του ακεραίου c, εργαζόµαστε ως εξής : Με χρήση του αλγόριθµου του Ευκλείδη, γράφουµε τον αριθµό 1 ως ακέραιο γραµµικό συνδυασµό των αριθµών 987 και 1597: 1 = ( 377) και τότε ϑα έχουµε [987] 1597 [610] 1597 = [1] Εποµένως [987] = [610] 1597 και άρα η µοναδική λύση της ισοτιµίας είναι : x (mod 1597) (mod 1597) 1596 (mod 1597) 3. Υπολογίζουµε εύκολα τις πρωτογείς αναλύσεις των αριθµών 980 και 1600: 980 = & 1600 = = (980, 1600) = = 20 Επειδή , έπεται ότι η γραµµική ισοτιµία 980x 1500 (mod 1600) έχει ακριβώς 20 ανα δύο ανισότιµες λύσεις (mod 1600). Θα προσδιορίσουµε αυτές τις λύσεις. Η γραµµική ισοτιµία ( ) είναι ισοδύναµη µε την x (mod ) = 49 x 75 (mod 80) ( ) 20 η οποία έχει µοναδική λύση x 0 (mod 80) την οποία προσδιορίζουµε ως εξής : Θα έχουµε x 0 75 c (mod 80), όπου [c] 80 = [49] Για τον προσδιορισµό του ακεραίου c, εργαζόµαστε ως εξής : Με χρήση του αλγόριθµου του Ευκλείδη, γράφουµε τον αριθµό 1 ως ακέραιο γραµµικό συνδυασµό των αριθµών 49 και 80: 1 = ( 31) 49 και τότε ϑα έχουµε [49] 1 80 = [ 31] 80 = [49] 80. Εποµένως η µοναδική λύση της ( ) ϑα είναι Άρα οι λύσεις της αρχικής ισοτιµίας είναι δηλαδή οι εξής : x 0 = (mod 80) = 3675 (mod 80) = 75 (mod 80) 75, , ,, (mod 1600) 75, 155, 235,, 1595 (mod 1600) Ασκηση 3. Να ϐρεθούν όλες οι λύσεις των παρακάτω ισοτιµιών : 1. 2 x 5 (mod 7) 2. 3 x 6 (mod 9) x 30 (mod 40) Λύση. 1. Πρώτος τρόπος: Επειδή (2, 7) = 1 5 έπεται ότι η ισοτιµία 2 x 5 (mod 7) έχει µοναδική λύση (mod 7). Άµεσα παρατηρούµε ότι 2 6 = 12 5 (mod 7) και άρα η µοναδική λύση είναι η x 6 (mod 7)

4 4 εύτερος τρόπος: Εχουµε 7 = = 1 = ( 3) = [1] 7 = [ 3] 7 [2] 7 + [1] 7 [7] 7 = [1] 7 = [ 3] 7 [2] 7 = [2] 7 [4] 7 = [1] 7 = [2] 1 7 = [4] 7 Τότε x = [2] 1 7 [5] 7 = x = [4] 7 [5] 7 = [20] 7 = x = [6] 7 Εποµένως η µοναδική λύση της ισοτιµίας 2 x 5 (mod 7) είναι η x 6 (mod 7). Τρίτος τρόπος: Θα εφαρµόσουµε την διαδικασία στο Σχόλιο 1. Επειδή (2, 7) = 1, από το Θεώρηµα του Euler, ϑα έχουµε 2 φ(7) 1 (mod 7) = (mod 7) = [2] 1 7 [2] 5 7 = [2] 1 7 [2 5 ] 7 = [32] 7 = [4] 7 και τότε όπως και πριν, η µοναδική λύση της γραµµικής ισοτιµίας είναι : x = 5 4, (mod 7) = 20 (mod 7) = 6 (mod 7) 2. Επειδή (3, 9) = 3 6 έπεται ότι η ισοτιµία 3 x 6 (mod 9) έχει 3 λύσεις (mod 9). Αν x 0 είναι µια λύση της 3 x 6 (mod 9) τότε όλες οι λύσεις είναι οι ακόλουθες : x 0 (mod 9), x = x (mod 9), x = x (mod 9) Παρατηρούµε ότι η x 0 = 2 είναι προφανώς µια λύση. Εποµένως όλες οι λύσεις της ισοτιµίας 3 x 6 (mod 9) είναι οι εξής : x 0 2 (mod 9), x 1 5 (mod 9), x 2 8 (mod 9) 3. Πρώτος τρόπος: Επειδή (19, 40) = 1 30 έπεται ότι η ισοτιµία 19 x 30 (mod 40) έχει µοναδική λύση (mod 40). Άµεσα παρατηρούµε ότι = 190 = (mod 40) και άρα η µοναδική λύση είναι η x 10 (mod 40). εύτερος τρόπος: Εχουµε 19 = = 1 = = 1 = 19 9 ( ) = 1 = = [1] 40 = [ 9] 40 [40] 40 + [19] 40 [19] 40 Τότε = [1] 40 = [19] 40 [19] 40 = [19] 1 40 = [19] 40 x = [19] 1 40 [30] 40 = x = [19] 40 [30] 40 = [570] 40 = [10] 40 = x = [6] 7 Συνεπώς η µοναδική λύση της ισοτιµίας 19 x 30 (mod 40) είναι η x 10 (mod 40) Ασκηση 4. Να ϐρεθούν όλοι οι ϑετικοί ακέραιοι b, όπου 0 b < 1001, για τους οποίους η γραµµική ισοτιµία 154 x b (mod 1001) ( ) έχει λύση. Οταν υπάρχει τουλάχιστον µια λύση, πόσες ανισότιµες (mod 1001) λύσεις υπάρχουν ;

5 Λύση. Επειδή οι πρωτογενείς αναλύσεις των αριθµών 154 και 1001 είναι 154 = και 1001 = , έπεται ότι : (154, 1001) = 77. Εποµένως η γραµµική ισοτιµία ( ) έχει λύση αν και µόνον αν 77 b, δηλαδή αν και µόνον αν b = 77 k. Επειδή 0 b < 1001, ϑα πρέπει 0 77 k < 1001 και άρα : 0 k < 13. Εποµένως : η ισοτιµία ( ) έχει λύση b = 77 k, k = 0, 1, 2,, 12 Επειδή (154, 1001) = 77, για κάθε µια από τις παραπάνω 13 τιµές του b, υπάρχουν ακριβώς 77 ανισότιµες (mod 1001) λύσεις της ( ). Θα προσδιορίσουµε αυτές τις λύσεις, υποθέτοντας ότι b = 77 k, όπου 0 k 12. Η γραµµική ισοτιµία ( ) είναι ισοδύναµη µε την x b 1001 (mod ) = 2 x k (mod 13) ( ) Η γραµµική ισοτιµία ( ) έχει µοναδική λύση x 0 (mod 13) την οποία προσδιορίζουµε ως εξής. Θα έχουµε x 0 = k c (mod 13), όπου [2] 1 13 = [c] 13. Από το Θεώρηµα του Euler, ϑα έχουµε : 2 φ(13) 1 (mod 13) = (mod 13) = [2] 1 13 = [211 ] 13 [2 11 ] 13 = [ ] 13 = [ ] 13 = [32] 13 [32] 13 [2] 13 = [6] 13 [6] 13 [2] 13 = = [36] 13 [2] 13 = [10] 13 [2] 13 = [20] 13 = [7] 13 Άρα η µοναδική λύση της (**) είναι η x 0 k 7 (mod 13) Τότε, για κάθε k = 0, 1, 2,, 12, οι λύσεις της ( ) (ανα δύο ανισότιµες (mod 1001)) είναι : δηλαδή : 7k, 7k , 7k ,, 7k k, 7k , 7k ,, 7k (mod 1001) 5 Σχόλιο 4. Θεωρούµε το ακόλουθο σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών x a 1 (mod n 1 ) x a 2 (mod n 2 ) (Σ). x a k (mod n k ) Αν (n i, n j ) = 1, όπου 1 i j k, τότε το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων πιστοποιεί ότι το (Σ) έχει µοναδική λύση x 0 (mod n 1 n 2 n k ). Υπενθυµίζουµε τη διαδικασία εύρεσης της µοναδική λύσης x 0 (mod n 1 n 2 n k ): Θέτουµε : M = n 1 n 2 n k, & M 1 = M n 1, M 2 = M n 2,, M k = M n k Θεωρούµε τις γραµµικές ισοτιµίες : M 1 x 1 (mod n 1 ) M 2 x 1 (mod n 2 ). M k x 1 (mod n k ) Επειδή (M i, n i ) = 1, i = 1, 2,, k, κάθε µια από τις παραπάνω ισοτιµίες έχει µοναδική λύση b i (mod n i ), όπου 1 i k

6 6 Τότε η µοναδική λύση (mod n 1 n 2 n k ) του (Σ) είναι η : M 1 b 1 a 1 + M 2 b 2 a M k b k a k (mod n 1 n 2 n k ) Ασκηση 5. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών x 1 (mod 5) (Σ) x 2 (mod 6) x 3 (mod 7) Λύση. Επειδή οι αριθµοί 5, 6, και 7 είναι ανά δύο πρώτοι µεταξύ τους, µπορούµε να εφαρµόσουµε το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων για την επίλυση του (Σ). Θα έχουµε : a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 3 n 1 = 5, n 2 = 6, n 3 = 7 & M = = 210 M 1 = M = 210 n 1 5 = 42, M 2 = M = 210 n 2 6 = 35, M 3 = M = 210 n 3 7 = 30 Σύµφωνα µε το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων, το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση x 0 (mod 210), την οποία ϐρίσκουµε ως εξής : Θεωρούµε τις γραµµικές ισοτιµίες : M 1 x 1 (mod n 1 ) = 42 x 1 (mod 5) = 2 x 1 (mod 5) M 2 x 1 (mod n 2 ) = 35 x 1 (mod 6) = 5 x 1 (mod 6) M 3 x 1 (mod n 3 ) = 30 x 1 (mod 7) = 2 x 1 (mod 7) όπου χρησιµοποιήσαµε ότι : 42 2 (mod 5), 35 5 (mod 6), και 30 2 (mod 7). Εύκολα ϐλέπουµε ότι οι µοναδικές λύσεις των παραπάνω ισοτιµιών είναι αντίστοιχα : b 1 3 (mod 5), b 2 5 (mod 6), b 3 4 (mod 7) Εποµένως η µοναδική λύση (mod 210) του (Σ) είναι : x 0 M 1 b 1 a 1 + M 2 b 2 a 2 + M 3 b 3 a 3 (mod 210) (mod 210) 836 (mod 210) 206 (mod 210) Ασκηση 6. Να ϐρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθµοί οι οποίοι δίνουν υπόλοιπα 1, 2, και 3, όταν διαιρεθούν µε τους αριθµούς 4, 3, και 5, αντίστοιχα. Λύση. Το πρόβληµα ανάγεται στην επίλυση του ακόλουθου συστήµατος γραµµικών ισοτιµιών : x 1 (mod 4) (Σ) x 2 (mod 3) x 3 (mod 5) Επειδή οι αριθµοί 4, 3, και 5 είναι ανά δύο πρώτοι µεταξύ τους, µπορούµε να εφαρµόσουµε το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων για την επίλυση του (Σ). Θα έχουµε : a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 3 n 1 = 4, n 2 = 3, n 3 = 5 & M = = 60 M 1 = M = 60 n 1 4 = 15, M 2 = M = 60 n 2 3 = 20, M 3 = M = 60 n 3 5 = 12

7 7 Σύµφωνα µε το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων, το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση x 0 (mod 210), την οποία ϐρίσκουµε ως εξής : Θεωρούµε τις γραµµικές ισοτιµίες : M 1 x 1 (mod n 1 ) = 15 x 1 (mod 4) = 3 x 1 (mod 4) M 2 x 1 (mod n 2 ) = 20 x 1 (mod 3) = 2 x 1 (mod 3) M 3 x 1 (mod n 3 ) = 12 x 1 (mod 5) = 2 x 1 (mod 5) όπου χρησιµοποιήσαµε ότι : 15 3 (mod 4), 29 2 (mod 3), και 12 2 (mod 5). Εύκολα ϐλέπουµε ότι οι µοναδικές λύσεις των παραπάνω ισοτιµιών είναι αντίστοιχα : b 1 3 (mod 4), b 2 2 (mod 3), b 3 3 (mod 5) Εποµένως η µοναδική λύση (mod 60) του (Σ) είναι : x 0 M 1 b 1 a 1 + M 2 b 2 a 2 + M 3 b 3 a 3 (mod 60) (mod 60) 233 (mod 60) 53 (mod 60) Άρα οι ακέραιοι οι οποίοι δίνουν υπόλοιπα 1, 2, και 3, όταν διαιρεθούν µε τους αριθµούς 4, 3, και 5, αντίστοιχα, είναι όλοι οι ακέραιοι της µορφής : 53 + k 60, k Z Ασκηση 7. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών x 1 (mod 2) (Σ) : x 2 (mod 3) x 3 (mod 5) x 4 (mod 7) x 5 (mod 11) Λύση. Επειδή οι αριθµοί 2, 3, 5, 7, 11 είναι ανα δυο πρώτοι µεταξύ τους, τότε από το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων έπεται ότι το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λυση Θα έχουµε : x 0 (mod M) = x 0 (mod ) = x 0 (mod 2310) a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 3, a 4 = 4, a 5 = 5 n 1 = 2, n 2 = 3, n 3 = 5, n 4 = 7, n 5 = 11 & M = = 2310 M 1 = = = M 2 = M 3 = M 4 = M 5 = = = 770 = = 462 = = 330 = = 210

8 8 και ϑεωρούµε τις ισοτιµίες : και ϑεωρούµε τις ισοτιµίες : 1155x 1 (mod 2) 770x 1 (mod 3) 462x 1 (mod 5) 330x 1 (mod 7) 210x 1 (mod 11) Επειδή 1155 = , 770 = , 462 = , 330 = και 210 = , το παραπάνω σύστηµα είναι ισοδύναµο µε το ακόλουθο : x 1 (mod 2) b 1 1 (mod 2) 2x 1 (mod 3) 2x 1 (mod 5) = b 2 2 (mod 3) b 3 3 (mod 5) x 1 (mod 7) b 4 1 (mod 7) x 1 (mod 11) b 5 1 (mod 11) Άρα η µοναδική λύση (mod 2310) του (Σ) είναι 5 x 0 = M i b i a i i=1 = = = (mod 2310) Ασκηση 8. Βρείτε έναν αριθµό ο οποίος είναι πολλαπλάσιο του 11 και δίνει υπόλοιπο 1 όταν διαιρεθεί µε τους αριθµούς 2, 3, 5, και 7. Λύση. Το πρόβληµα ανάγεται στην επίλυση του παρακάτω συστήµατος γραµµικών ισοτιµιών : x 0 (mod 11) (Σ) : x 1 (mod 2) x 1 (mod 3) x 1 (mod 5) x 1 (mod 7) Επειδή οι αριθµοί 2, 3, 5, 7, 11 είναι ανα δυο πρώτοι µεταξύ τους, τότε από το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων έπεται ότι το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λυση x 0 (mod M) = x 0 (mod ) = x 0 (mod 2310)

9 9 Υπολογίζουµε και ϑεωρούµε τις ισοτιµίες : M 1 = = = M 2 = = = M 3 = = = M 4 = = = M 5 = = = x 1 (mod 2) 770x 1 (mod 3) 462x 1 (mod 5) 330x 1 (mod 7) 210x 1 (mod 11) Επειδή 1155 = , 770 = , 462 = , 330 = και 210 = , το παραπάνω σύστηµα είναι ισοδύναµο µε το ακόλουθο : x 1 (mod 2) b 1 1 (mod 2) 2x 1 (mod 3) 2x 1 (mod 5) = b 2 2 (mod 3) b 3 3 (mod 5) x 1 (mod 7) b 4 1 (mod 7) x 1 (mod 11) b 5 1 (mod 11) Άρα η µοναδική λύση (mod 2310) του (Σ) είναι x 0 = 5 M i b i a i i=1 = = = (mod 2310) Συνεπώς ο Ϲητούµενος αριθµός είναι ο Παρατηρείστε ότι πράγµατι 2101 = , δηλαδή ο αριθµός 2101 είναι πολλαπλάσιο του 11. Ασκηση 9. είξτε ότι για κάθε k 2, υπάρχουν k το πλήθος διαδοχικοί ακέραιοι, κάθε ένας από τους οποίους διαιρείται από τετράγωνο αριθµού > 1.

10 10 Λύση. Εστω p 1, p 2,, p k διαφορετικοί πρώτοι αριθµοί k σε πλήθος, για παράδειγµα µπορούµε να ϑεωρήσουµε τους πρώτους k πρώτους αριθµούς. Θεωρούµε το παρακάτω σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών : x 0 (mod p 2 1 ) (Σ) : x 1 (mod p 2 2 ) x 2 (mod p 2 3 ). x k + 1 (mod p 2 k ) Επειδή (p 2 i, p2 j ) = 1 για κάθε 1 i j k, από το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων έχουµε ότι το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση mod(p 1 p k ) 2. Εστω N η λύση του (Σ). Τότε N 0 (mod p 2 1 ) p 2 1 N N 1 (mod p 2 2 ) N 2 (mod p 2 3 ). N k + 1 (mod p 2 k ) = p 2 2 N + 1 p 2 3 N + 2. p 2 k N + k 1 Συνεπώς οι k διαδοχικοί ακέραιοι N, N + 1,..., N + k 1 έχουν την ιδιότητα ότι κάθε ένας από αυτούς διαιρείται από τετράγωνο αριθµού > 1. Ασκηση 10. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών x 65 (mod 99) x 2 (mod 98) (Σ) x 51 (mod 97) x 10 (mod 95) Λύση. Οι πρωτογενείς αναλύσεις των αριθµών 99, 98, 97, και 95, είναι 99 = , 98 = 2 7 2, 97 = 97, 95 = 5 13 και άρα οι αριθµοί 99, 98, 97, και 95 είναι ανα δύο πρώτοι µεταξύ τους. Εποµέµνως µπορούµε να εφαρµόσουµε το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων, για την επίλυση του (Σ). Θα έχουµε : n 1 = 99, n 2 = 98, n 3 = 97, n 4 = 95 M = = M 1 = = , M 2 = = , M 3 = = , M 4 = = Θεωρούµε τις γραµµικές ισοτιµίες : Επειδή : M 1 x 1 (mod n 1 ) = x 1 (mod 99) M 2 x 1 (mod n 2 ) = x 1 (mod 98) M 3 x 1 (mod n 3 ) = x 1 (mod 97) M 4 x 1 (mod n 4 ) = x 1 (mod 95) = , = , = , =

11 11 οι παραπάνω ισοτιµίες γράφονται ισοδύναµα : 91 x 1 (mod 99), 3 x 1 (mod 98), 93 x 1 (mod 97), 24 x 1 (mod 95), Οι µοναδικές λύσεις των παραπάνω ισοτιµιών (οι οποίες ϐρίσκονται µε την γνωστή διαδικασία) είναι αντίστοιχα : b 1 37 (mod 99), b 2 35 (mod 98), b 3 24 (mod 97), b 4 4 (mod 95) Εποµένως η µοναδική λύση (mod ) = (mod ) του (Σ) είναι : x 0 M 1 b 1 a 1 + M 2 b 2 a 2 + M 3 b 3 a 3 + M 4 b 4 a 4 (mod ) (mod ) (mod ) (mod ) Ασκηση 11. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών { 51 x 2 (mod 38) (Σ) 3 x 6 (mod 9) Λύση. Επειδή (51, 38) = 1, έπεται ότι η ισοτιµία 51x 2 (mod 38) έχει µοναδική λύση x 0 (mod 38), η οποία προσδιορίζεται ως εξής. Θα έχουµε : x 0 2 c (mod 38), όπου [c] 38 = [51] Οµως [51] 38 = [13] 38 και άρτα αναζητούµε την αντίστροφή κλάση [13] Παρατηρούµε ότι [1] 38 = [39] 38 = [3 13] 38 = [3] 38 [13] 38 και εποµένως [13] 1 38 = [3] 38. Τότε η µοναδική λύσης της ισοτιµίας 51x 2 (mod 38) είναι : 2 3 (mod 38) 6 (mod 38) ( ) Για την δεύτερη ισοτιµία 3x 6 (mod 9), ϑα έχουµε. Επειδή (3, 9) = 3 6, έπεται ότι υπάρχουν 3 ανισότιµες (mod 9) λύσεις, οι οποίες όπως µπορούµε να προσδιορόισουµε εύκολα είναι οι εξής : 2 (mod 9), 5 (mod 9), (8 (mod 9) ( ) Εποµένως για να ϐρούµε τις λύσεις του αρχικού συτήµατος (Σ), από τις σχέσεις ( ) και ( ), αρκεί να ϐρούµε τις λύσεις των εξής συστηµάτων : { { { x 6 (mod 38) x 6 (mod 38) x 6 (mod 38) (Σ 1 ), (Σ x 2 (mod 9) 2 ), (Σ x 5 (mod 9) 3 ) x 8 (mod 9) Για το (Σ 1 ): Επειδή (38, 9) = 1, µπορούµε να εφαρµόσουµε Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων. έχουµε : a 1 = 6, a 2 = 2 & n 1 = 38, n 2 = 9 Θαωρούµε τις ισοτιµίες : { M1 x 1 (mod n 1 ) M 2 x 1 (mod n 2 ) M = 38 9 = 342, M 1 = M n 1 = 9, M 2 = M n 2 = 38 = { 9 x 1 (mod 38) 38 x 1 (mod 9) = { 9 x 1 (mod 38) 2 x 1 (mod 9) κάθε µία εκ των οποίων έχει µοναδική λύση. Για την δεύτερη η µοναδική λύση mod 9 είναι προφανώς η b 2 (mod 9) = 5 (mod 9). Για την πρώτη, υπολογίζουµε εύκολα ότι [9] 1 38 = [17] 38, διότι [9] 38 [17] 38 = [9 17] 38 = [153] 389 = [ ] 38 = [1] 38. Άρα b 1 = 17 & b 2 = 5 Η µοναδική λύση (mod 38 9) του συστήµατος (Σ 1 ) είναι : x 0 M 1 b 1 a 1 +M 2 b 2 a 2 (mod n 1 n 2 ) (mod 342) 1298 (mod 342) 272 (mod 342) Για το (Σ 2 ): Παρόµοια ϐρίσκουµε ότι η µοναδική λύση (mod 342) του (Σ 2 ) είναι η : x (mod 342) Θα

12 12 Για το (Σ 3 ): Παρόµοια ϐρίσκουµε ότι η µοναδική λύση (mod 342) του (Σ 3 ) είναι η : x 2 44 (mod 342) Εποµένως το αρχικό σύστηµα ισοτιµιών (Σ) έχει ακριβώς τρείς λύσεις (mod 342), τις εξής : 272 (mod 342), 158 (mod 342), 44 (mod 342) Σχόλιο 5. Θεωρούµε το ακόλουθο σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών x a 1 (mod n 1 ) x a 2 (mod n 2 ) (Σ). x a k (mod n k ) Υπενθυµίζουµε ότι το σύστηµα (Σ) έχει λύση αν και µόνον αν : d ij := (n i, n j ) a i a j, 1 i j k Αν οι παραπάνω σχέσεις διαιρετότητας ικανοποιούνται, τότε το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση (mod[n 1, n 2,, n k ]) Ασκηση 12. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών x 32 (mod 21) (Σ) x 6 (mod 10) x 2 (mod 12) Λύση. Πρώτος τρόπος: Εχουµε n 1 = 21 = 3 7, n 2 = 10 = 2 5, n 3 = 12 = 2 2 3, b 1 = 32, b 2 = 6, b 3 = 2 και (n 1, n 2 ) = 1 b 1 b 2 (n 1, n 3 ) = 3 b 1 b 3 (n 2, n 3 ) = 2 b 2 b 3 Άρα από τη Θεωρία το σύστηµα (Σ) έχει λύση στο Z και είναι ισοδύναµο µε το παρακάτω σύστηµα : x 32 (mod 3) x 2 (mod 3) x 32 (mod 7) x 4 (mod 7) x 6 (mod 2) x 6 (mod 5) x 0 (mod 2) x 1 (mod 5) x 2 (mod 2 2 ) x 2 (mod 3) x 2 (mod 4) x 2 (mod 3) Επειδή η πρώτη ισοτιµία συµπίπτει µε την έκτη, και η πέµπτη ισοτιµία συνεπάγεται την τρίτη (πραγ- µατικά : αν x 2 (mod 4), τότε 4 x 2, απ όπου εύκολα ϐλέπουµε ότι 2 x, δηλαδή x 0 (mod 2)), και τέλος επειδή το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθµών 3, 7, 2, 5, 4 συµπίπτει µε το ελάχιστο κοινό

13 13 πολλαπλάσιο των αριθµών 3, 7, 5, 4, έπεται ότι το παραπάνω σύστηµα είναι ισοδύναµο µε το ακόλουθο σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών : x 2 (mod 3) x 2 (mod 4) x 1 (mod 5) x 4 (mod 7) Επειδή οι αριθµοί 3, 4, 5, 7 είναι ανα δυο πρώτοι µεταξύ τους, τότε από το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων έπεται ότι το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λυση x 0 (mod M) = x 0 (mod ) = x 0 (mod 420) Ακολουθώντας το συνηθισµένο τρόπο λύσης ϐρίσκουµε ότι : x 0 74 (mod 420). εύτερος Τρόπος: Αφού x 2 (mod 3) έχουµε ότι υπάρχει κάποιο t 1 έτσι ώστε x = 3t Τότε αντικαθιστώντας στην ισοτιµία x 2 (mod 2 2 ) έχουµε 3t (mod 2 2 ) = 3t 1 0 (mod 4) = t 1 0 (mod 4) = t 1 = 4t 2 και άρα x = 12t Από την εξίσωση x 1 (mod 5) έχουµε 12t (mod 5) = 2t 2 3 (mod 5) = 2t 2 2 (mod 5) = t 2 1 (mod 5) Συνεπώς t 2 = 5t και άρα x = 60t Τέλος, αντικαθιστώντας στην x 4 (mod 7) έχουµε 60t (mod 7) = 4t 3 4 (mod 7) Για t 3 = 1 έχουµε τη λύση x = = 74. Πράγµατι έχουµε [74] 3 = [ ] 3 = [14] 3 = [2] 3 [74] 4 = [34] 4 = [32 + 2] 4 = [2] 4 [74] 5 = [75 1] 5 = [ 1] 5 [74] 7 = [70 + 4] 7 = [4] 7 Συνεπώς η µοναδική λύση του συστήµατος (Σ) είναι η x 0 74 (mod 420). Τρίτος Τρόπος: Επειδή (mod 21), και 6 4 (mod 10), το αρχικό σύστηµα είναι προφανώς ισοδύναµο µε το x 11 (mod 21) (Σ ) x 4 (mod 10) x 2 (mod 12) Οπως και προηγουµένως το (Σ ) έχει λύση η οποία είναι µοναδική mod 420. Θεωρούµε τις δύο πρώτες ισοτιµίες { (Σ x 11 (mod 21) 1) x 4 (mod 10) Επειδή (21, 10) = 1, από το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων, το σύστηµα (Σ 1 ) έχει µοναδική λύση mod 210. Εργαζόµενοι όπως στην Άσκηση 5, ϐλέπουµε εύκολα ότι η µοναδική λύση mod 210 του (Σ 1 ) είναι η x 74 (mod 210). Επειδή προφανώς το (Σ ) είναι ισοδύναµο µε το συστηµα { (Σ x 74 (mod 210) 2) x 2 (mod 12)

14 14 έπεται ότι η µοναδική λύση του (Σ 2 ), mod[210, 12] = mod 420, είναι η µοναδική λύση του (Σ) mod 420. Παρατηρούµε ότι το x 0 = 74 ικανοποιεί την x 2 (mod 12), διότι 74 2 = Εποµένως η µοναδική λύση του (Σ) είναι η x 74 (mod 74) Ασκηση 13. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών 3x 6 (mod 12) (Σ) 2x 5 (mod 7) 3x 1 (mod 5) Λύση. Η πρώτη ισοτιµία 3x 6 (mod 12) είναι προφανώς ισοδύναµη µε την x 6 (mod 4). Εποµένως το αρχικό σύστηµα (Σ) είναι ισοδύναµο µε το σύστηµα x 2 (mod 4) (Σ ) 2x 5 (mod 7) 3x 1 (mod 5) Επειδή (2, 7) = 1, η δεύτερη ισοτιµία έχει µοναδική λύση (mod 7) και αυτή η λύση είναι προφανώς η x 6 (mod 7). Επειδή (3, 5) = 1, η τρίτη ισοτιµία έχει µοναδική λύση (mod 5) και αυτή η λύση είναι προφανώς η x 2 (mod 5). Εποµένως το σύστηµα (Σ ) είναι ισοδύναµο µε το σύστηµα x 2 (mod 4) (Σ ) x 6 (mod 7) x 2 (mod 5) στο οποίο µπορούµε να εφαρµόσουµε το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων, και έτσι το (Σ ) έχει µοναδική λύση (mod 4 7 5) = (mod 140). Θα έχουµε : a 1 = 2, a 2 = 6, a 3 = 2 & n 1 = 4, n 2 = 7, n 3 = 5 Θεωρούµε τις ακόλουθες ισοτιµίες : 35 x 1 (mod 4) 20 x 1 (mod 7) = Εποµένως : 28 x 1 (mod 5) M = n 1 n 2 n 3 = = 140 M 1 = M n 1 = = 35 M 2 = M n 2 = = 20 M 3 = M n 3 = = 28 3 x 1 (mod 4) 6 x 1 (mod 7) 3 x 1 (mod 5) b 1 = 3, b 2 = 6, b 3 = 2 και άρα η µοναδική λύση (mod 140) του συστήµατος (Σ ) είναι η = x 0 M 1 b 1 a 1 + M 2 b 2 a 2 + M 3 b 3 a 3 (mod 140) = (mod 140) 1042 (mod 140) 62 (mod 140) x 3 (mod 4) x 6 (mod 7) x 2 (mod 5)

15 15 Εποµένως το αρχικό σύστρηµα (Σ) έχει µοναδική λύση (mod 14), την εξής : 62 (mod 140) Ασκηση 14. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για τα σύστηµατα γραµµικών ισοτιµιών (Σ) 2x 4 (mod 6) 4x 8 (mod 12) 5x 10 (mod 25) & (Σ ) Λύση. 1. Επειδή (2, 6) = 2 4, (4, 12) = 4 8 και (5, 25) = 5 10, έπεται ότι : 2x 4 (mod 6) x 2 (mod 3) 4x 8 (mod 12) x 2 (mod 3) 5x 10 (mod 25) x 2 (mod 5) x 7 (mod 9) x 2 (mod 10) x 3 (mod 12) x 6 (mod 15) Εποµένως το σύστηµα (Σ) είναι ισοδύναµο µε το ακόλουθο σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών : x 2 (mod 3) x 2 (mod 3) x 2 (mod 3) x 2 (mod 5) x 2 (mod 5) Προφανώς η µοναδική λύση (mod 15) του τελευταίου συστήµατος, άρα και του αρχικού, είναι η x 0 2 (mod 15) 2. Επειδή m 13 = (9, 12) = 3 a 1 a 3 = 7 3 = 4, έπεται ότι το σύστηµα (Σ ) δεν έχει ακέραιες λύσεις. Ασκηση 15. ( Πρόβληµα του Branmagupta, 7ος αιώνας µ.χ.) Οταν παίρνουµε αυγά από ένα καλάθι ανά : 2, 3, 4, 5, 6 κάθε ϕορά, τότε µένουν αντίστοιχα 1, 2, 3, 4, 5 αυγά στο καλάθι. Οταν όµως παίρνουµε ανά 7 τότε δεν µένει κανένα. Να υπολογισθεί ο ελάχιστος αριθµός αυγών που ϑα πρέπει να περιέχει το καλάθι. Λύση. Πρώτος τρόπος: Η απάντηση στο Πρόβληµα του Branmagupta είναι η ελάχιστη ϑετική λύση του παρακάτω συστήµατος γραµµικών ισοτιµιών : x 1 (mod 2) x 2 (mod 3) (Σ) : x 3 (mod 4) x 4 (mod 5) x 5 (mod 6) x 0 (mod 7)

16 16 Η ισοτιµία x 5 (mod 6) είναι ισοδύναµη 1 µε το σύστηµα ισοτιµιών x 5 (mod 2) δηλαδή ισοδύναµη µε το σύστηµα x 5 (mod 3) x 1 (mod 2) x 2 (mod 3) Οι παραπάνω δυο ισοτιµίες υπάρχουν ήδη στο γραµµικό σύστηµα (Σ) και άρα µπορούν να παραλη- ϕθούν. Παρατηρούµε επίσης ότι η ισοτιµία x 1 (mod 2) προκύπτει από την x 3 (mod 4) και άρα µπορεί να παραληφθεί. Πράγµατι αφού x 3 (mod 4) έπεται ότι ο x είναι περιττός και άρα η εξίσωση x 1 (mod 2) ισχύει. Συνεπώς το (Σ) είναι ισοδύναµο µε το ακόλουθο σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών : x 2 (mod 3) (Σ ) : x 3 (mod 4) x 4 (mod 5) x 0 (mod 7) Επειδή οι αριθµοί 3, 4, 5, 7 είναι ανα δυο πρώτοι µεταξύ τους, τότε από το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων έπεται ότι το σύστηµα (Σ ), και άρα και το (Σ), έχει µοναδική λυση x 0 (mod M) = x 0 (mod ) = x 0 (mod 420) Ακολουθώντας το συνηθισµένο τρόπο λύσης (ϐλέπε Άσκηση 7) ϐρίσκουµε ότι x 0 = 119. εύτερος τρόπος: Από την x 2 (mod 3) έχουµε ότι x = 3t και άρα από την x 3 (mod 4) έπεται ότι 3t (mod 4) = 3t 1 1 (mod 4) = 3 (3t 1 ) 3 (mod 4) = t 1 3 (mod 4) Εποµένως t 1 = 4t και άρα x = 3 (4t 2 + 3) + 2 = 12t Τότε από την εξίσωση x 4 (mod 5) έπεται ότι 12t (mod 5) = 2t (mod 5) = 2t 2 3 (mod 5) = 3 (2t 2 ) 9 (mod 5) = t 2 4 (mod 5) = t 2 = 5t και άρα x = 12 (5t 3 + 4) + 11 = 60t Τέλος από την εξίσωση x 0 (mod 7) έπεται ότι 60t (mod 7) = 4t 3 3 (mod 7) = 4t 3 4 (mod 7) = t 3 1 (mod 7) Εποµένως t 3 = 7t και άρα x = 420t = 420t Φανερά, για ακέραιο t 4 η ελάχιστη ϑετική τιµή που παίρνει το x είναι 119 για t 4 = 0. ελάχιστος αριθµός αυγών που ϑα πρέπει να περιέχει το καλάθι είναι 119. Συνεπώς ο 1 Γενικά, αν (n1, n 2) = 1, τότε : x a (mod n 1) & x a (mod n 2) x a (mod n 1n 2)

17 17 Ασκηση 16. Σε ένα πάρτυ, κάποιος Ϲητάει από έναν γνωστό του να διαλέξει στην τύχη έναν αριθµό από το 1 µέχρι το 100, και ακολούθως χωρίς να του αναφέρει το αριθµό, του Ϲητάει να του πει τα υπόλοιπα των διαιρέσεων του αριθµού µε τους αριθµούς 3, 5, και 7. Γνωρίζοντας τα υπόλοιπα αυτών των διαιρέσεων, µπορείτε να ϐρείτε τον κρυφό αριθµό ; Λύση. Εστω a 1 το υπόλοιπο της διαίρεσης του x 0 µε το 3, a 2 το υπόλοιπο της διαίρεσης του x 0 µε το 5 και a 3 το υπόλοιπο της διαίρεσης του x 0 µε το 7. Τότε ο κρυφός αριθµός x 0, όπου 1 x 0 100, είναι η λύση του συστήµατος γραµµικών ισοτιµιών : x a 1 (mod 3) (Σ) : x a 3 (mod 5) x a 3 (mod 7) Επειδή οι αριθµοί 3, 5, 7 είναι ανα δυο πρώτοι µεταξύ τους, τότε από το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων έπεται ότι το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λυση x 0 (mod M) = x 0 (mod 3 5 7) = x 0 (mod 105) Υπολογίζουµε M 1 = M 2 = = 35 = 21 και έχουµε τις παρακάτω εξισώσεις : 35x 1 (mod 3) 21x 1 (mod 5) = M 3 = = 15 2x 1 (mod 3) x 1 (mod 5) = x 1 (mod 3) x 1 (mod 5) 15x 1 (mod 7) x 1 (mod 7) x 1 (mod 7) Άρα b 1 = 1, b 2 = 1, b 3 = 1 και η λύση είναι η x 0 = M 1 b 1 a 1 + M 2 b 2 a 2 + M 3 b 3 a 3 = 35 ( 1) a a a 3 = 35a a a 3 Εποµένως ο Ϲητούµενος κρυφός αριθµός είναι το µικρότερο ϑετικό υπόλοιπο (mod 105) του αριθµού : 35a a a 3 Ασκηση 17. Επτά ληστές προσπαθούν να µοιράσουν δίκαια τα κλοπιµαία τα οποία αποτελούνται από ϱάβδους χρυσού. Μετά τη µοιρασιά 6 ϱάβδοι χρυσού περίσσεψαν και στη διαµάχη που ακολούθησε ένας ληστής σκοτώθηκε. Οι υπόλοιποι έξι ληστές δοκίµασαν να µοιράσουν πάλι τους ϱάβδους, αλλά πάλι δεν τα κατάφεραν διότι αυτή τη ϕορά περίσσεψαν 2 ϱάβδοι. Στη διαµάχη που ακολούθησε ένας ακόµα ληστής σκοτώθηκε. Στη νέα µοιρασιά που ακολούθησε περίσσεψε µια ϱάβδος χρυσού και µετά τον ϑάνατο ενός ακόµα ληστή, τελικά οι εναποµείναντες ληστές κατάφεραν να µοιράσουν στα ίσια τους ϱάβδους χρυσού. Ποιός είναι ο ελάχιστος αριθµός ϱάβδων χρυσού που έκλεψαν οι ληστές ;

18 18 Λύση. Εστω x ο Ϲητούµενος αριθµός ϱάβδων χρυσού που έκλεψαν οι ληστές. Εχουµε Επτά ληστές Πρώτη µοιρασιά : x 6 (mod 7) Εξι ληστές εύτερη µοιρασιά : x 2 (mod 6) Πέντε ληστές Τρίτη µοιρασιά : x 1 (mod 5) Τέσσερις ληστές Τελευταία µοιρασιά : x 0 (mod 4) Άρα ο Ϲητούµενος αριθµός ϱάβδων χρυσού είναι η (µοναδική) λύση (mod ) του συστήµατος γραµµικών ισοτιµιών : x 6 (mod 7) x 2 (mod 6) (Σ) : x 1 (mod 5) x 0 (mod 4) Ελέγχουµε ότι πράγµατι το παραπάνω σύστηµα έχει λύση : a 1 = 6, a 2 = 2, a 3 = 1, a 4 = 0 m 12 = (7, 6) = 1 a 1 a 2 = 4 m 13 = (7, 5) = 1 a 1 a 3 = 6 m 14 = (7, 4) = 1 a 1 a 4 = 6 m 23 = (6, 5) = 1 a 2 a 3 = 2 m 24 = (6, 4) = 2 a 2 a 4 = 2 m 34 = (5, 4) = 1 a 3 a 4 = 1 Θεωρούµε το σύστηµα x 6 (mod 7) (Σ ) : x 2 (mod 6) x 1 (mod 5) και υπολογίζουµε a 1 = 6, a 2 = 2, a 3 = 1 M = = 210, M 1 = = 30, M 2 = = 35, M 3 = Τότε έχουµε τις παρακάτω εξισώσεις : 30x 1 (mod 7) 2x 1 (mod 7) x 4 (mod 7) 35x 1 (mod 6) = 5x 1 (mod 6) = x 5 (mod 6) Εποµένως ϑα έχουµε : 42x 1 (mod 5) 2x 1 (mod 5) b 1 = 4, b 2 = 5, b 3 = 3 x 3 (mod 5) = 42,

19 19 και τότε από το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων έπεται ότι η µοναδική λύση (mod 210) του (Σ ) είναι η y 0 = M 1 b 1 a 1 + M 2 b 2 a 2 + M 3 b 3 a 3 = = (mod 210) 146 (mod 210) Από το σύστηµα (Σ) και την παραπάνω λύση του (Σ ) έχουµε το παρακάτω σύστηµα: x 146 (mod 210) x 0 (mod 4) Από τη δεύτερη εξίσωση έπεται ότι x = 4t και άρα από τη πρώτη έχουµε 4t 146 (mod 210) = 2t 73 (mod 105) = t = [2] [73] 105 = [53] 105 [73] 105 = [3869] 105 = [89] 105 Συνεπώς ο ελάχιστος αριθµός ϱάβδων χρυσού που έκλεψαν οι ληστές είναι x = 4 89 = 356 Ασκηση 18. Να ϐρεθούν όλες οι ακέραιες λύσεις του συστήµατος (όχι απαραίτητα γραµµικών) ισοτιµιών : { x (Σ) 2 1 (mod 3) x 2 (mod 4) Λύση. Για την πρώτη ισοτιµία, ϑα έχουµε : x 2 1 (mod 3) 3 x (x 1) (x + 1) 3 x 1 ή 3 x + 1 x 1 (mod 3) ή x 1 (mod 3) x 1 (mod 3) ή x 2 (mod 3) Εποµένως το αρχικό σύστηµα ισοτιµιών (Σ) είναι ισοδύναµο µε το Ϲεύγος συστηµάτων { { x 1 (mod 3) x 2 (mod 3) (Σ 1 ) & (Σ x 2 (mod 4) 2 ) x 2 (mod 4) Για την επίλυση των συστηµάτων (Σ 1 ) και (Σ 2 ) µπορούµε να εφαρµόσουµε Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων, και να έχουµε ότι η µοναδική λύση (mod 12) του (Σ 1 ) είναι : και η µοναδική λύση (mod 12) του (Σ 2 ) είναι : 10 (mod 12) 2 (mod 12) Άρα οι µοναδικές λύσεις (mod 12) του αρχικού συστήµατος (Σ) είναι : 10 (mod 12) & 2 (mod 12) Ασκηση 19. Να ϐρεθούν όλες οι ακέραιες λύσεις του συστήµατος γραµµικών ισοτιµιών : x 2 (mod 14) (Σ) x 16 (mod 21) x 10 (mod 30)

20 20 Λύση. Θα έχουµε : a 1 = 2, a 2 = 16, a 3 = 10 m 12 = (14, 21) = 7 a 1 a 2 = 14 m 13 = (14, 30) = 2 a 1 a 3 = 28 m 23 = (21, 30) = 3 a 2 a 3 = 6 Εποµένως το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση (mod[14, 21, 30]) = (mod 210). Από την πρώτη ισοτιµία, έχουµε : x 2 (mod 14) = 14 x 2 = k Z : x = 14 k + 2 (1) Με χρήση της (1), από την δεύτερη ισοτιµία, έχουµε : x 16 (mod 21) = 14 k+2 16 (mod 21) = 14 k 14 (mod 21) = 2 k 2 (mod 3) Η µοναδική λύση (mod 3) της τελευταίας ισοτιµίας είναι η k 1 (mod 3) και εποµένως : Με χρήση της (2), η σχέση (1) δίνει : k 1 (mod 3) = 3 k 1 = λ Z : k = 3 λ + 1 (2) Με χρήση της (3), από την τρίτη ισοτιµία, έχουµε : x = 14 (3 λ + 1) + 2 = 42 λ + 16 (3) x 10 (mod 30) = 42 λ (mod 30) = 42 λ+6 0 (mod 30) = λ+6 = µ Z : 42 λ + 6 = 30 µ = 7 λ + 1 = 5 µ = 7 λ 1 (mod 5) = 2 λ 4 (mod 5) Η µοναδική λύση της τελευταίας ισοτιµίας είναι λ 2 (mod 5), και άρα : Τότε η (3), µε χρήση της (4), δίνει : λ 2 (mod 5) = 5 λ 2 = ν Z : λ = 5 ν + 2 (4) x = 42 λ + 16 = 42 (5 ν + 2) + 16 = 210 ν = x 100 (mod 210) είναι η µοναδική λύση (mod 210) του αρχικού συστήµατος. Ασκηση 20. Να ϐρεθούν όλες οι ακέραιες λύσεις του συστήµατος γραµµικών ισοτιµιών : x 2 (mod 6) x 4 (mod 8) (Σ) x 2 (mod 14) x 14 (mod 15) Λύση. Θα έχουµε : a 1 = 2, a 2 = 4, a 3 = 2, a 4 = 14 m 12 = (6, 8) = 2 a 1 a 2 = 2 m 13 = (6, 14) = 2 a 1 a 3 = 0 m 14 = (6, 15) = 1 a 1 a 4 = 12 m 23 = (8, 14) = 2 a 2 a 3 = 2 m 24 = (8, 15) = 1 a 2 a 4 = 10 m 34 = (14, 15) = 1 a 3 a 4 = 12 Εποµένως το σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση (mod[6, 8, 14, 15]) = (mod 840). Θεωρούµε τις δύο τελευταίες ισοτιµίες : { x 2 (mod 14) (Σ 1 ) x 14 (mod 15)

21 21 Για την επίλυση του συστήµατος (Σ 1 ) µπορούµε να εφαρµόσουµε το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων, και τότε µπορούµε να δούµε εύκολα ότι η µοναδική λύση (mod 14 15) = (mod 210) του (Σ 1 ) είναι : Θεωρούµε τις δύο πρώτες ισοτιµίες : η πρώτη εκ των οποίων δίνει : x 2774 (mod 210) = x 44 (mod 210) (1) (Σ 2 ) { x 2 (mod 6) x 4 (mod 8) x 2 (mod 6) = 6 x 2 = k Z : x = 6 k + 2 (2) Με χρήση της (2), η πρώτη ισοτιµία δίνει : x 4 (mod 8) = 6 k (mod 8) = 6 k 2 (mod 8) = 3 k 1 (mod 4) Η µοναδική λύση της τελευταίας ισοτιµίας είναι Τότε από τις (2) και (3) ϑα έχουµε : k 3 (mod 4) = 4 k 3 = λ Z : k = 4 λ + 3 (3) x = 6 k + 2 = x = 6 (4 λ + 3) + 2 = x = 24 λ + 20 (4) Εποµένως η µοναδική λύση (mod[6, 8]) = (mod 24) του (Σ 2 ) είναι η Θεωρούµε το σύστηµα το οποίο προκύπτει από τις (1) και (5): { x 44 (mod 210) (Σ 3 ) x 20 (mod 24) x 20 (mod(24) (5) η µοναδική λύση του οποίου (mod[210, 24]) = (mod 840) είναι προφανώς η 44 (mod 840), διότι ικανοποιεί και τις δύο ισοτιµίες του (Σ 3 ). Εποµένως η µοναδική λύση (mod 840) του αρχψικού συστήµατος είναι : 44 (mod 840)

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Θεωρια Αριθµων Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2013-2014 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Θεωρια Αριθµων Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 25 Μαιου 2013 2

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τρίτη 6 Νοεµβρίου 0 Ασκηση. Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Β και Γ Λυκείου Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Ιούλιος 2009 1 ιαιρετοτητα και Ισοτιµιες ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών. Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη

Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών. Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη Ευχαριστώ ιδιαίτερα τη ϕοιτήτριά µου Μαρίνα Παλαιστή για τη µεταφορά του χειρογράφου µου σε κείµενο "tex" Κεφάλαιο 1 Βασικές Ιδιότητες Ισοδυναµιών Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το Κρυπτοσύστηµα RSA Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Υπολογισµός Μέγιστου Κοινού ιαιρέτη Αλγόριθµος του Ευκλείδη Κλάσεις Ισοδυναµίας και Αριθµητική modulo

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Mathematics and its Applications, 5th

Mathematics and its Applications, 5th Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών»)

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών») Πρώτοι αριθµοί: Τι µας λέει στο βιβλίο (σελ.25-26): 1. Μου αρέσουν οι πρώτοι αριθµοί, γι αυτό αρίθµησα µε πρώτους τα κεφάλαια. Οι πρώτοι αριθµοί είναι αυτό που αποµένει όταν αφαιρέσεις όλα τα στερεότυπα

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ 1 1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΜΚ ΕΚΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πολλαπλάσια του α : Είναι οι αριθµοί που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουµε τον α µε όλους τους φυσικούς. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÁ ÓÕÍÏËÏ ËÁÌÉÁ. ( i) ( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ.

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÁ ÓÕÍÏËÏ ËÁÌÉÁ. ( i) ( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία σελ. 5 σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία σελ. 73 σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία σελ. 5 σχολικού βιβλίου. Α4. α) Λ, β) Σ, γ) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή Κεφάλαιο Ορίζουσες Η Συνάρτηση Ορίζουσα Είµαστε όλοι εξοικειωµένοι µε συναρτήσεις όπως η f(x) sin x και η f(x) x οι οποίες αντιστοιχίζουν έναν πραγµατικό αριθµό f(x) σε κάθε πραγµατική τιµή της µετα- ϐλητής

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο 1 3.3 ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙ 1. Μήκος κύκλου ακτίνας ρ : Το µήκος L ενός κύκλου δίνεται από τον τύπο L = 2πρ ή L = πδ όπου δ η διάµετρος του κύκλου και π ένας άρρητος αριθµός του οποίου προσέγγιση µε δύο δεκαδικά

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους, y Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α + βy = γ, µε α 0 ή β 0. Γραφική παράσταση γραµµικής εξίσωσης Κάθε γραµµική εξίσωση α + βy = γ παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφία. Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι)

Κρυπτογραφία. Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι) Κρυπτογραφία Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι) Κρυπτοσυστήματα Δημοσίου κλειδιού Αποστολέας P Encryption C Decryption P Παραλήπτης Προτάθηκαν το 1976 Κάθε συμμετέχων στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κ. Τζιρώνης, Θ. Τζουβάρας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συµπλήρωµα στις λύσεις των ασκήσεων του βιβλίου Περιλαµβάνει λύσεις ή υποδείξεις για ασκήσεις του βιβλίου που αφορούν κυρίως προβλήµατα των οποίων η επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Ασφάλεια Πληροφοριακών Συστημάτων

Ασφάλεια Πληροφοριακών Συστημάτων Ασφάλεια Πληροφοριακών Συστημάτων Κρυπτογραφία/Ψηφιακές Υπογραφές Διάλεξη 2η Δρ. Β. Βασιλειάδης Τμ. Διοίκησης Επιχειρήσεων, ΤΕΙ Δυτ. Ελλάδας Kρυπτανάλυση Προσπαθούμε να σπάσουμε τον κώδικα. Ξέρουμε το

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ 1 Γενικά Η ψηφιακή υπογραφή είναι µια µέθοδος ηλεκτρονικής υπογραφής όπου ο παραλήπτης ενός υπογεγραµµένου ηλεκτρονικού µηνύµατος µπορεί να διαπιστώσει τη γνησιότητα του,

Διαβάστε περισσότερα

Ο Σέρλοκ Χόλμς, η εις άτοπο απαγωγή και οι απαρχές του internet.

Ο Σέρλοκ Χόλμς, η εις άτοπο απαγωγή και οι απαρχές του internet. Λέσχη Ανάγνωσης Γενικού Λυκείου Σαντορίνης Σχολικό έτος 2011-2012 Ο Σέρλοκ Χόλμς, η εις άτοπο απαγωγή και οι απαρχές του internet. Γιάννης Παπόγλου Το σμαραγδένιο στέμμα Σύµφωνα µε ένα παλιό µου ρητό,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου

Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου Παράρτηµα Β Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου 1. Πρόγραµµα υπολογισµού υδροστατικών δυνάµεων Για τον υπολογισµό των κοµβικών δυνάµεων που οφείλονται στις υδροστατικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: ΙΑΛΥΜΑΤΑ

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: ΙΑΛΥΜΑΤΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: ΙΑΛΥΜΑΤΑ Οι ασκήσεις διαλυµάτων που αφορούν τις περιεκτικότητες % w/w, % w/v και % v/v χωρίζονται σε 3 κατηγορίες: α) Ασκήσεις όπου πρέπει να βρούµε ή να µετατρέψουµε διάφορες περιεκτικότητες.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

2.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΧΟΛΙΟ Για να λύσουµε ένα πρόβληµα, αφού το διαβάσουµε καλά, εντοπίζουµε τον άγνωστο και τον συµβολίζουµε µε µία µεταβλητή. Με βάση τα δεδοµένα του προβλήµατος καταστρώνουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Ασφάλεια Πληροφοριακών Συστηµάτων

Ασφάλεια Πληροφοριακών Συστηµάτων Ασφάλεια Πληροφοριακών Συστηµάτων Ασφάλεια Υπολογιστών Διάλεξη 1η Δρ. Β. Βασιλειάδης Τµ. Διοίκησης Επιχειρήσεων, ΤΕΙ Δυτ. Ελλάδας Πληροφορίες για το Μάθηµα Διαλέξεις: Κάθε Δευτέρα 11:00-13:00 Ιστότοπος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός Πανεπιστήμιο Αιγαίου URL: http://www.aegean.gr Γραμμικός Προγραμματισμός Ευστράτιος Ιωαννίδης Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μαθηματικών 832 Καρλόβασι Σάμος Copyright Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ Όταν στα µαθηµατικά λέµε ότι το τείνει στο και συµβολίζεται, εννοούµε ότι οι τιµές προσεγγίζουν την τιµή, είτε µε από τιµές µικρότερες του δηλ από αριστερά του, είτε από τιµές µεγαλύτερες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα