ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1"

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι : n N : n! n n Λύση. Θα χρησιµοποιήσουµε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής. Ορίζουµε P (n) να είναι η Πρόταση P (n) : n! n n Θα δείξουµε οτι η P (1) είναι και ότι, υποθέτοντας n 1 και ότι η P (n) είναι αληθής, τότε η P (n + 1) είναι αληθής. Για n 1 έχουµε ότι η P (1) είναι 1! η οποία είναι αληθής. Υποθέτουµε ότι n 1 και ότι η P (n) είναι αληθής, δηλαδή n! n n. Θα δείξουµε ότι η P (n + 1) είναι αληθής, δηλαδή ότι (n + 1)! (n + 1) (n+1). Πράγµατι, µε χρήση της επαγωγικής υπόθεσης P (n), ϑα έχουµε : (n + 1)! (n + 1)(n!) (n + 1)n n (n + 1)(n + 1) n (n + 1) n+1 Συνεπώς η P (n + 1) είναι αληθής. Εποµένως σύµφωνα µε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής (ΑΜΕ) η πρόταση P (n) είναι αληθής για κάθε n N, δηλαδή : n! n n, n N. Ασκηση. Να δείξετε ότι υπάρχει ϕυσικός αριθµός N N έτσι ώστε : n N : n > n 3 Λύση. Πρώτα δοκιµάζουµε µικρές ϕυσικές τιµές του n σε αναζήτηση υποψήφιου N. Για n 1 η ανισότητα n > n 3 ισχύει, όχι όµως και για n γιατί 4 < 3. Με δοκιµές παρτηρούµε ότι η ανισότητα δεν ισχύει για n, 3,..., 9, αλλά ισχύει για n 10, διότι > Ορίζουµε P (n) να είναι η Πρόταση n > n 3 και ϑέτουµε N 10. Θα δείξουµε ότι η P (n) ισχύει για κάθε n N µε χρήση της Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής. Εποµένως πρέπει να δείξουµε οτι η P (10) είναι αληθής και ότι, αν υποθέσουµε ότι για n 10 η P (n) είναι αληθής, τότε και η P (n + 1) είν αι αληθής. Για n 10 είδαµε ότι η πρόταση P (10) είναι αληθής.

2 Υποθέτουµε ότι n 10 και η πρόταση P (n) είναι αληθής, δηλαδή n > n 3. Θα δείξουµε ότι η πρόταση P (n + 1) είναι αληθής, δηλαδή ότι n+1 > (n + 1) 3. Με χρήση της επαγωγικής υπόθεσης P (n), ϑα έχουµε : n+1 n > n 3 Εποµένως αρκεί να δείξουµε οτι για n 10 έχουµε n 3 (n + 1) 3. Εχουµε 1 n 3 (n + 1) 3 ( 3 n) 3 (n + 1) 3 ( 3 n (n + 1))( 3 n + 3 n(n + 1) + (n + 1) ) το οποίο είναι µη αρνητικό όταν 3 n (n + 1) 0, δηλαδή όταν n Επειδή <, έχουµε 3 > 1., άρα 1 3 < Εποµένως για n, άρα και για n 10, ισχύει n 3 (n + 1) 3. Ετσι δείξαµε ότι η πρόταση P (n + 1) ισχύει. Εποµένως σύµφωνα µε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής η ανισότητα n > n 3 ισχύει για κάθε n 10. Ασκηση 3. είξτε ότι για κάθε n N ισχύουν τα ακόλουθα : Λύση (n 1) n και (3n ) Θα δείξουµε την Ϲητούµενη σχέση µε χρήση Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής. n(3n 1) (n 1) n, n 1 ( ) Για n 1 έχουµε 1 1 και για n, έχουµε Εποµένως η Ϲητούµενη σχέση ( ) αληθεύει, όταν n 1,. Επαγωγικη Υποθεση: Υποθέτουµε ότι για n > ισχύει : (n 1) n Για την περίπτωση του αθροίσµατος των n + 1 πρώτων περιττών αριθµών, ϑα έχουµε, µε χρήση της Επαγωγικής Υπόθεσης : (n 1) + n + 1 n + n + 1 (n + 1) Εποµένως η Ϲητούµενη σχέση ( ) ισχύει και στην περίπτωση του αθροίσµατος των n+1 περιττών αριθµών. Εποµένως σύµφωνα µε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής η σχέση ( ) ισχύει για κάθε n N.. Θα δείξουµε την Ϲητούµενη σχέση (3n ) µε χρήση Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής. n(3n 1), n 1 ( ) Για n 1 έχουµε 1 1 (3 1 1) και για n, έχουµε (3 1). Εποµένως η Ϲητούµενη σχέση ( ) αληθεύει, όταν n 1,. Επαγωγικη Υποθεση: Υποθέτουµε ότι για n > ισχύει : 1 Για µια διαφορετική απόδειξη ϐλέπε το Σχόλιο (3n ) n(3n 1)

3 3 Για την περίπτωση του αθροίσµατος των n + 1 όρων, ϑα έχουµε, µε χρήση της Επαγωγικής Υπόθεσης : (3n ) + (3(n + 1) ) (3n ) + (3n + 1) n (3n 1) + 3n + 1. (πράξεις). 3n(n + 1) + (n + 1) (3n + )(n + 1) (n + 1)( 3(n + 1) 1 ) Εποµένως η σχέση ( ) ισχύει και στην περίπτωση του αθροίσµατος των n + 1 όρων. Σύµφωνα µε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής η σχέση ( ) ισχύει για κάθε n N. Σχόλιο 1. Η ανισότητα n 3 > (n + 1) 3 για n, η οποία χρησιµοποιήθηκε στην απόδειξη της προηγούµενης Άσκησης, µπορεί να αποδειχτεί και ως εξής. Εστω f : R R η συνάρτηση η οποία ορίζεται ως f(x) x 3 (x + 1) 3. Εχουµε f (x) 3x 6x 3 3(x x 1) 3(x x + 1 ) 3((x 1) ) Εποµένως f (x) > 0 για x > 3. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (3, + ). Επιπλέον f() 34 > 0, άρα για κάθε x R µε x έχουµε f(x) > f() > 0. ηλαδή x 3 > (x + 1) 3, x >. Ασκηση 4. Να δειχθούν τα εξής : 1. n 1:. n : Απόδειξη n (n + 1) n (n + 1) (n + ) n n 1 (n 1) n 1. Για κάθε ϕυσικό αριθµό n, ϑέτουµε P (n) να είναι η πρόταση P (n) : n (n + 1) n (n + 1) (n + ) 3 Για την P (1) έχουµε ότι η οποία είναι προφανώς αληθής. Υποθέτουµε ότι n και η πρόταση P (n) είναι αληθής. Τότε, χρησιµοποιώντας την επαγωγική υπόθεση ότι η πρόταση P (n) είναι αληθής, ϑα έχουµε : n (n + 1) + (n + 1) (n + ) n (n + 1) (n + ) 3 + (n + 1) (n + ) (n + 1) (n + ) ( n (n + 1) (n + ) (n + 3) + 1) 3 3 Εποµένως η πρόταση P (n + 1) είναι αληθής και άρα από την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής έπεται ότι η πρόταση P (n) είναι απηθής για κάθε n N.

4 4. Για κάθε ϕυσικό αριθµό n, ϑέτουµε P (n) να είναι η πρόταση n n 1 (n 1) n Για την P () έχουµε ότι 1 4 ( 1) η οποία είναι προφανώς αληθής. Υποθέτουµε ότι n 3 και η πρόταση P (n) είναι αληθής. Τότε, χρησιµοποιώντας την επαγωγική υπόθεση ότι η πρόταση P (n) είναι αληθής, ϑα έχουµε : n n 1 +(n+1) n (n 1) n +(n+1) n n (n 1+n+1) n n n n+1 Εποµένως η πρόταση P (n + 1) είναι αληθής και άρα από την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής έπεται ότι η πρόταση P (n) είναι αληθής για κάθε n N. Ασκηση. Να δειχθούν τα εξής : Λύση. 1. n k n k1 k1 n(n + 1)(n + 1) 6 n ( n(n + 1) k n 3 n k k! 1 1! +! + + n n! (n + 1)! 1 k1 Θα δείξουµε την Ϲητούµενη σχέση n n(n + 1)(n + 1), 6 n 1 ( ) µε χρήση της Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής. Για n 1 έχουµε (1 + 1) ( 1 + 1) 6 6 Εποµένως η Ϲητούµενη σχέση ( ) αληθεύει, όταν n 1. Επαγωγικη Υποθεση: Υποθέτουµε ότι για n ισχύει : n n (n + 1) (n + 1) 6 Για την περίπτωση του αθροίσµατος των n + 1 όρων, µε χρήση της Επαγωγικής Υπόθεσης και χρησιµοποιώντας ότι n + 7n + 6 (n + ) (n + 3), ϑα έχουµε : n + (n + 1) n (n + 1) (n + 1) + (n + 1) 6 (n + 1) (n (n + 1) + n + 1 ) 6 (n + 1) (n + 7n + 6) 6 (n + 1) (n + ) (n + 3) 6 (n + 1) (n + ) ((n + 1) + 1) 6 Εποµένως η Ϲητούµενη σχέση ( ) ισχύει και στην περίπτωση του αθροίσµατος των n + 1 όρων. )

5 Εποµένως σύµφωνα µε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής η σχέση ( ) ισχύει για κάθε n N.. Θα δείξουµε την Ϲητούµενη σχέση µε χρήση της Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής. Για n 1 έχουµε ( n(n + 1) ), n 3 n 1 ( ) ( 1(1 + 1) Εποµένως η Ϲητούµενη σχέση ( ) αληθεύει, όταν n 1. Επαγωγικη Υποθεση: Υποθέτουµε ότι για n ισχύει : n 3 ) ( n(n + 1) Για την περίπτωση του αθροίσµατος των n + 1 όρων, µε χρήση της Επαγωγικής Υπόθεσης, ϑα έχουµε : ) n 3 + (n + 1) 3 ( n(n + 1) ) + (n + 1) 3 (n + 1) n + (n + 1)3 4 (n + 1) ( n ) 4 + n + 1 (n + 1) n + 4n (n + ) (n + 1) 4 ( (n + 1)(n + ) ) (1) Εποµένως η Ϲητούµενη σχέση ( ) ισχύει και στην περίπτωση του αθροίσµατος των n + 1 όρων. Εποµένως σύµφωνα µε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής η σχέση ( ) ισχύει για κάθε n N. 3. Θα δείξουµε την Ϲητούµενη σχέση µε χρήση Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής. 1 1! +! + + n n! (n + 1)! 1, n 1 ( ) Για n 1 έχουµε 1 1! 1 1 (1 + 1)! 1. Εποµένως η Ϲητούµενη σχέση ( ) αληθεύει, όταν n 1. Επαγωγικη Υποθεση: Υποθέτουµε ότι για n > ισχύει : 1 1! +! + + n n! (n + 1)! 1 Για την περίπτωση του αθροίσµατος των n + 1 όρων, ϑα έχουµε, µε χρήση της Επαγωγικής Υπόθεσης :

6 6 1 1! +! + + n n! + (n + 1) (n + 1)! (n + 1)! 1 + (n + 1) (n + 1)! (n + 1)! 1 + n (n + 1)! + (n + 1)! (1 + n + 1)(n + 1)! 1 (n + )(n + 1)! 1 (n + )! 1 Εποµένως η σχέση ( ) ισχύει και στην περίπτωση του αθροίσµατος των n + 1 όρων. Σύµφωνα µε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής η σχέση ( ) ισχύει για κάθε n N. Σχόλιο. Από γνωστό παράδειγµα και την παραπάνω Άσκηση, έχουµε ότι : n 1 n(n + 1) n n(n + 1)(n + 1) ( n(n + 1) & n 3 6 Γενικότερα, για κάθε d 1, υπάρχει ανάλογος τύπος για το άθροισµα : 1 d + d + + n d Αποδεικνύεται, µε διάφορους µη-τετριµµένους τρόπους οι οποίοι ξεφεύγουν από τα πλαίσια του µαθήµατος (για παράδειγµα µε χρήση Απειροστικού Λογισµού), ότι : d ( d d + d + + n d 1 d + 1 j0 j ) B j (n + 1) d+1 j όπου B ( n j είναι ο j-οστός αριθµός του Bernoulli και m) είναι ο διωνυµικός συντελεστής ( ) n n! m m!(n m)! Οι αριθµοί του Bernoulli, B m, m 0, ορίζονται µοναδικά από τις αναδροµικές σχέσεις B m 1 m 1 ( ) m + 1 B k, B 0 1 m + 1 k k0 και εµφανίζονται σε πολλές περιοχές των Μαθηµατικών και ιδιαίτερα σε πολλούς µαθηµατικούς τύπους, για παράδειγµα στο ανάπτυγµα : Οι 16 πρώτοι αριθµοί του Bernoulli είναι οι εξής : x e x 1 x n B n n! B 0 1, B 1 1, B 1 6, B 3 0, B , B 0 n0 ) B 6 1 4, B 7 0, B , B 9 0, B B 11 0, B 1 7 6, B 13 0, B , B 1 0 Ισως δούµε µια απόδειξη στα πλαίσια των Θεωρητικών Θεµάτων.

7 { Ασκηση 6. Υπενθυµίζουµε ότι η ακολουθία Fibonacci Fn N n N } είναι η ακολουθία ϕυσικών αριθµών η οποία ορίζεται αναδροµικά ως εξής : F 1 1, F 1, και F n F n 1 + F n, n 3 είξτε ότι ισχύουν τα ακόλουθα για κάθε n N: 1.. n F k F 1 + F + + F n F n+ 1 k1 Τέλος να υπολογισθεί το άθροισµα Λύση. 1. F n an b n όπου a 1 + Θα δείξουµε την Ϲητούµενη σχέση µε χρήση Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής. n k1 F k & b 1 F 1 + F + + F n F n+ 1, n 0 ( ) Για n 1 έχουµε F 1 1 και F 1+ F 3. Τότε F F 3 1, και άρα η σχέση ( ) αληθεύει, όταν n 1. Επαγωγικη Υποθεση: Υποθέτουµε ότι, n > 1, ισχύει ότι : F 1 + F + + F n F n+ 1 Για την περίπτωση του αθροίσµατος των n + 1 πρώτων όρων της ακολουθίας, µε χρήση της αναδροµικής σχέσης F n+3 F n+1 +F n+, n 0, και της Επαγωγικής Υπόθεσης, ϑα έχουµε : F 1 + F + + F n + F n+1 F n+ 1 + F n+1 F n+1 + F n+ 1 F n+3 1 F (n+1)+ 1 Εποµένως η Ϲητούµενη σχέση ( ) ισχύει και στην περίπτωση του αθροίσµατος των n + 1 πρώτων όρων της ακολουθίας. Εποµένως σύµφωνα µε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής η σχέση ( ) ισχύει για κάθε n N.. Θα δείξουµε την Ϲητούµενη σχέση µε χρήση Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής. Για n 1 έχουµε : a 1 b 1 F n an b n, n 1 ( ) 1+ 1 Για n, χρησιµοποιώντας ότι a1 b 1 1 έχουµε : 1 F 1 a b (a1 b 1 )(a 1 + b 1 ) a 1 + b F Επαγωγικη Υποθεση: Υποθέτουµε ότι : F m am b m, m < n 7

8 8 Για την περίπτωση υπολογισµού του όρου F n, χρησιµοποιώντας την αναδροµική σχέση F n F n 1 + F n, και την Επαγωγική Υπόθεση ϑα έχουµε : F n F n 1 + F n an 1 b n 1 + an b n 1 ( a n 1 + a n b n 1 b n ) Για να υπολογίσουµε την τελευταία παράσταση, παρατηρούµε ότι οι αριθµοί a, b είναι οι ϱίζες της εξίσωσης x x 1, και άρα ϑα έχουµε : a a + 1 & b b + 1 Χρησιµοποιώντας τις τελευταίες σχέσεις, ϑα έχουµε : F n 1 ( a n 1 + a n b n 1 b n ) 1 ( a n (a + 1) b n (b + 1) ) 1 ( a n a b n b ) 1 ( a n b n) Άρα η Ϲητούµενη σχέση ( ) ισχύει και για τον n-οστό όρο της ακολουθίας. Εποµένως σύµφωνα µε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής η σχέση ( ) ισχύει για κάθε n N. 3. Τέλος για τον υπολογισµό του αθροίσµατος n F k ( ) k1 ϑα χρησιµοποιήσουµε πάλι την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής. Για ευκολία καταγράφουµε τους αρχικούς όρους της ακολουθίας Fibonacci, ξεχωριστά για τους άρτιους και για τους περιττούς δείκτες : F 1, F 4 3, F 6 8, F 8 1 F 3, F, F 7 13, F 9 34 Παρατηρούµε ότι : F 1 F 3 1 F F + F 4 4 F 1 F +1 1 F + F 4 + F 6 1 F 7 1 F F + F 4 + F 6 + F 8 33 F 9 1 F Οι παραπάνω σχέσεις µας οδηγούν στην υπόθεση ότι για κάθε n N, ισχύει η ακόλουθη ισότητα :. F + F F n F n+1 1 ( ) Με χρήση Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής ϑα δείξουµε ότι πράγµατι η παραπάνω ισότητα ισχύει για κάθε n N. Για 1 n 4 οι παραπάνω σχέσεις δείχνουν ότι η σχέση ( ) είναι αληθής. Επαγωγικη Υποθεση: Υποθέτουµε ότι : F + F F n F n+1 1

9 9 Για την περίπτωση του αθροίσµατος των n + 1 πρώτων όρων µε άρτιους δείκτες της ακολουθίας ϑα έχουµε, µε χρήση της αναδροµικής σχέσης F n F n 1 +F n, n, και της Επαγωγικής Υπόθεσης : F + F F n + F (n+1) F n F (n+1) F n F n+ F n+1 + F n+ 1 F n+3 1 F (n+1)+1 1 Εποµένως η Ϲητούµενη σχέση ( ) ισχύει και στην περίπτωση του αθροίσµατος των n + 1 πρώτων όρων µε άρτιους δείκτες της ακολουθίας. Εποµένως σύµφωνα µε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής η σχέση ( ) ισχύει για κάθε n N. Η επόµενη άσκηση απαιτεί στοιχειώδεις γνώσεις Γραµµικής Άλγεβρας. Ασκηση 7. Να υπολογισθεί η n-οστή δύναµη του πίνακα ( ) 1 1 A 1 0 Λύση. Υπολογίζουµε εύκολα µικρές δυνάµεις του πίνακα A: ( ) ( ) ( ) A 1, A , A 1 4 3, A 3 Λαµβάνοντας υπ όψιν ότι οι αρχικοί όροι της ακολουθίας Fibonacci είναι και γενικά : ( ) 8, A 3 6 F 1 1, F 1, F 3, F 4 3, F, F 6 8, F 7 13 παρατηρούµε ότι οι παραπάνω δυνάµεις του A γράφονται : ( ) ( ) A F3 F, A F F 3 F4 F 3, A 1 F 3 F 4 ( ) F n F n 1 + F n, n 3 ( ) ( ) F F 4, A F 4 F 3 ( ) ( ) F6 F, A F F 6 F7 F 6 4 F 6 F Θα αποδείξουµε µε χρήση της Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής ότι : ( ) A n Fn+1 F n, n ( ) F n F n 1 Εχουµε ήδη δείξει την παραπάνω σχέση ( ) όταν n. Επαγωγική Υπόθεση: Υποθέτουµε ότι η Ϲητούµενη σχέση ( ) είναι αληθής. Τότε χρησιµοποιώντας τη σχέση ( ), ϑα έχουµε : ( ) ( ) ( ) ( ) A n+1 A A n 1 1 Fn+1 F n Fn+1 + F n F n + F n 1 Fn+ F n F n F n 1 F n+1 F n F n+1 F n Εποµένως από την Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής έπεται ότι η Ϲητούµενη σχέση ( ) ισχύει για κάθε ϕυσικό αριθµό n. Από την Άσκηση 6 έχουµε ότι : F n an b n, όπου a 1 + & b 1

10 10 Εποµένως A n ( ) Fn+1 F n A F n F n n 1 ( a n+1 b n+1 a n b n a n b n a n 1 b n 1 ) 1 ( a n+1 b n+1 a n b n ) a n b n a n 1 b n 1 Ετσι τελικά : ( ) A n 1 ( 1+ ) n+1 ( 1 ) n+1 ( 1+ ) n ( 1 ) n ( 1+ ) n ( 1 ) n ( 1+ ) n 1 ( 1 ) n 1 Σχόλιο 3. Θεωρώντας την ορίζουσα στα δύο µέλη της σχέσης ( ) στην Άσκηση 7 ϑα έχουµε : A n A n 1 1 n 1 0 ( 1) n & A n A n F n+1 F n F n+1 F n 1 Fn Εποµένως καταλήγουµε στην ακόλουθη σχέση, n : F n+1 F n 1 Fn ( 1) n F n F n 1 Ασκηση 8. Να δειχθεί ότι για κάθε n 1 ο αριθµός είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 9. 4n+1 n 1 Λύση. Η απόδειξη ϑα γίνει σε δύο ϐήµατα µε χρήση της Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής, ϑέτοντας P (n) να είναι η πρόταση P (n) : ο αριθµός 4n+1 n 1 είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 9 (α) Επειδή και ο αριθµός 7 είναι πολλαπλάσιο του 9, έπεται ότι η πρόταση P (1) είναι αληθής. Υποθέτουµε ότι n και ότι ο αριθµός 4n+1 n 1 είναι πολλαπλάσιο του 9. Για τον αριθµό 4(n+1)+1 (n+1) 1 ϑα έχουµε : 4(n+1)+1 (n+1) 1 4n+1+4 n+ 1 4n+1 4 n n+1 16 n n 16 ( 4n+1 n 1) + 1 n + 1 Επειδή από την Επαγωγική Υπόθεση έχουµε ότι ο αριθµός 4n+1 n 1 είναι πολλαπλάσιο του 9, από την παραπάνω σχέση έπεται ότι για να δείξουµε ότι ο αριθµός 4(n+1)+1 (n+1) 1 είναι πολλαπλάσιο του 9, αρκεί να δείξουµε ότι ο αριθµός 1 n + 1 είναι πολλαπλάσιο του 9. (β) Επειδή 1 n (4 n + ), ϑα έχουµε προφανώς ότι για να δείξουµε ότι ο αριθµός 1 n + 1 είναι πολλαπλάσιο του 9, αρκεί να δείξουµε ότι ο αριθµός 4 n + είναι πολλαπλάσιο του 3, δηλαδή ότι η πρόταση Q(n) : ο αριθµός 4 n + είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 3 είχνουµε µε χρήση της Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής ότι η πρόταση Q(n) είναι αληθής για κάθε n N. Για n 1, επειδή και επιειδή ο αριθµός 1 είναι πολλαπλάσιο του 3, έπεται ότι η πρόταση Q(1) είναι αληθής. Υποθέτουµε ότι η πρόταση Q(n) είναι αληθής, δηλαδή ο αριθµός 4 n + είναι πολλαπλάσιο του 3. Για τον αριθµό 4 (n+1) + ϑα έχουµε 4 (n+1) + 4 n+ + 4 n + 4 (4 n + ) 1 Επειδή από την Επαγωγική Υπόθεση, ο αριθµός 4 n +, άρα και ο αριθµός 4 (4 n + ), είναι πολλαπλάσιο του 3, και επειδή ο αριθµός 1 είναι πολλαπλάσιο του 3, έπεται ότι ο αριθµός 4 (n+1) + είναι πολλαπλάσιο του 3, η πρόταση Q(n) είναι αληθής για κάθε n N. Ετσι δείξαµε ότι ο αριθµός

11 11 4 n + είναι πολλαπλάσιο του 3, και εποµένως ο αριθµός 1 n + 1 είναι πολλαπλάσιο του 9, όπως ϑέλαµε στο ϐήµα (α). Ασκηση Να εκτελεσθεί η Ευκλείδεια ιαίρεση µεταξύ των ακεραίων a και b, όταν : a 1918 και b & a 1944 και b 37. Εστω a, b Z, b 0. Να δείξετε ότι υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι q, r έτσι ώστε : Λύση. a bq + r, b < r b 1. Υπενθυµίζουµε από την Θεωρία, ότι αν πραγµατοποιούµε την Ευκλείδεια ιαίρεση του ακεραίου a µε τον µη µηδενικό ακέραιο b, τότε όταν b > 0 το πηλίκο q της διαίρεσης είναι ίσο µε τον µεγαλύτερο ακέραιο που είναι µικρότερος ή ίσος µε τον ϱητό αριθµό a/b (δηλαδή το q είναι η ακέραια τιµή [a/b] του ϱητού αριθµού a/b) και το υπόλοιπο r είναι ίσο µε a qb. Εστω a 1918 και b. Εχουµε q 8888 και r a qb 18. Εστω a 1944 και b 37. Εχουµε q 03 και r a qb 33.. Υπαρξη: Από την Ευκλείδεια ιαίρεση έχουµε ότι υπάρχουν ακέραιοι q, r ώστε a q b + r και 0 r < b. Αν r b ϑέτουµε q q και r r. Είναι άµεσο ότι a qb + r και b < r b. Αν r > b και b > 0 ϑέτουµε q q + 1 και r r b. Είναι άµεσο ότι a qb + r. Αφού b b έχουµε b < r < b και εποµένως b b < r < 0. Αν r > b και b < 0 ϑέτουµε q q 1 και r r + b. Είναι άµεσο ότι a qb + r. Αφού b b έχουµε b < r < b και εποµένως b b < r < 0. Μοναδικότητα: Εστω a qb + r q b + r, µε b < r b και b < r b. Εχουµε r r (q q)b. Αν q q τότε και r r. Υποθέτουµε q q και ϑα καταλήξουµε σε άτοπο. Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας µπορούµε να υποθέσουµε ότι q < q και άρα r < r. Από r r (q q)b έπεται ότι r r q q b b, αφού q q είναι ένας µη µηδενικός ακέραιος. Χρησιµοποιώντας τις r b και r > b έχουµε ότι r r r r < b που έρχεται σε αντίφαση µε το r r b. Ασκηση 10. Να δείξετε ότι : 1. το γινόµενο δύο διαδοχικών ακεραίων είναι άρτιος ακέραιος.. το γινόµενο τριών διαδοχικών ακεραίων είναι πολλαπλάσιο του 3. Επιπλέον να εξετασθεί αν : 3. το γινόµενο n το πλήθος διαδοχικών ακεραίων είναι πολλαπλάσιο του n. Λύση. Προφανώς αρκεί να δείξουµε το µέρος 3., καθώς τα 1. και. είναι ειδικές περιπτώσεις του. Εστω k Z. Θα δείξουµε ότι : n k(k + 1)(k + ) (k + n 1) Από την Ευκλείδεια ιαίρεση έπεται ότι υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι q και r έτσι ώστε : k nq + r, και 0 r < n ( )

12 1 Θέτουµε : Αν r 0, τότε : k nq και Αν r 1, τότε : k nq + 1 και A k(k + 1)(k + ) (k + n 1) A nq(k + 1)(k + ) (k + n 1) n A A k(k + 1)(k + ) (nq n 1) k(k + 1)(k + ) n(q + 1) n A. Αν r n 1, τότε : k nq + n 1 και A k(k+1)(k+) (k+n 1) k(nq+n 1+1)(k+) n(q+1) kn(q+1)(k+) n(q+1) n A Εποµένως σε κάθε περίπτωση n A. Τα µέρη 1. και. προκύπτουν άµεσα από το µέρος 3., ϑέτοντας n και n 3 αντίστοιχα. Ασκηση είξτε ότι το γινόµενο δύο ακεραίων της µορφής 4k + 1 είναι ακέραιος της µορφής 4k + 1, και το γινόµενο δύο ακεραίων της µορφής 4k + 3 είναι ακέραιος της µορφής 4k είξτε ότι το γινόµενο δύο ακεραίων της µορφής 6k + είναι ακέραιος της µορφής 6k + 1, 3. είξτε ότι η τέταρτη δύναµη ενός περιττού ακεραίου είναι της µορφής 16k είξτε ότι το γινόµενο τριών διαδοχικών ακεραίων διαιρείται από το 6.. είξτε ότι : (αʹ) n Z: 3 n 3 n. (ϐʹ) n Z: n n. Λύση. 1. Θα έχουµε : Αν a 4k και b 4k + 1, τότε a b (4k 1 + 1) (4k + 1) 16k 1 k + 4k 1 + 4k + 1 4(4k 1 k + k 1 + k ) + 1 και άρα ο αριθµός a b είναι της µορφής 4k + 1. Αν a 4k και b 4k + 3, τότε a b (4k 1 + 3) (4k + 3) 16k 1 k + 1k 1 + 1k + 9 4(4k 1 k + 3k 1 + 3k + ) + 1 και άρα ο αριθµός a b είναι της µορφής 4k Αν a 6k 1 + και b 6k +, τότε a b (6k 1 + ) (6k + ) 36k 1 k + 30(k 1 + k ) + 6 ( 6k 1 k + (k 1 + k ) + 4 ) + 1 και άρα ο αριθµός a b είναι της µορφής 6k Εστω a ένας περιττός ακέραιος. Επειδή, όπως γνωρίζουµε, κάθε περιττός ακέραιος είναι είτε της µορφής 4k + 1 ή της µορφής 4k + 3, ϑα έχουµε : ϑα έχουµε : (αʹ) Αν a 4k + 1, τότε : (4k + 1) 4 16 k 4 + 4(4k) 3 + 6(4k) + 4(4k) ( 16k k 3 + 6k + k ) + 1 (ϐʹ) Αν a 4k + 3, τότε : (4k + 3) 4 (4k) 4 + 1(4k) 3 + 4(4k) + 108(4k) ( 16k k 3 + 4k + 7k + ) + 1

13 13 και άρα σε κάθε περίπτωση ϑα έχουµε ότι ο αριθµός a 4 είναι της µορφής 16k Αν a, a + 1, a + είναι τρείς διαδοχικοί ακέραιοι, τότε ένας από τους αριθµούς αυτούς είναι πολλαπλάσιο του 3. Πράγµατι από την Ευκλείδεια ιαίρεση έπεται ότι ο αριθµός k ϑα έχει µια εκ των ακόλουθων µορφών : a 3q ή a 3q + 1 ή a 3q + Αν a 3q + 1, τότε a + 3(q + 1), και αν a 3q +, τότε a + 1 3(q + 1). Από την άλλη πλευρά προφανώς ένας εκ των a, a + 1, a + αναγκαστικά είναι άρτιος. Καταλήγουµε ότι το γινόµενο a(a + 1)(a + ) διαρείται πάντα από το 6.. (αʹ) Θα έχουµε : n 3 n n(n 1) n(n 1)(n + 1). Ετσι ο αριθµός n 3 n είναι γινόµενο τριών διαδοχικών ακεραίων. Τότε από την Άσκηση 10, έπεται ότι ο αριθµός n 3 n διαιρείται από το 3. (ϐʹ) είχνουµε µε χρήση της Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής ότι : n N: n n. Αν n 1, τότε n n και προφανώς 0. Επαγωγική Υπόθεση: Υποθέτουµε ότι n > 1 και n n. Τότε υπάρχει ακέραιος k έτσι ώστε n n k. Θα έχουµε : (n + 1) (n + 1) (n + n n n + n + 1) (n + 1) (n n) + (n 4 + n 3 + n + n) k + l (k + l) όπου l n 4 + n 3 + n + n). Εποµένως : (n + 1) (n + 1) (k + l) (n + 1) (n + 1) Από την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής, έπεται ότι n n, n 1. Προφανώς η τελευταία σχέση διαιρετότητας ισχύει και για n 0. Αν n < 0, τότε ϑέτοντας m n 1, ϑα έχουµε ( n) ( n), δηλαδή ( 1) n + n και άρα (n n). Τότε όµως προφανώς n n. Καταλήγουµε έτσι στο Ϲητούµενο n n, n Z. Ασκηση είξτε ότι για κάθε περιττό ϕυσικό αριθµό n, ισχύει ότι : n + 1. είξτε ότι για κάθε άρτιο ϕυσικό αριθµό n, ισχύει ότι : n 1 3. Κριτήριο ιαιρετότητας µε το 11: Εστω a i Z, 0 i m, και είξτε ότι : a a 0 + a a a m 10 m 11 a 11 a 0 a 1 + a a ( 1) m a m Εφαρµογή: Εξετάστε αν ο 11 διαιρεί τον αριθµό n Λύση. 1. Επειδή ο ϕυσικός αροιθµός n είναι περιττός, ϑα είναι της µορφής n k+1 όπου k 0. Εποµένως ϑα έχουµε 10 n k Θα χρησιµοποιήσουµε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής. Ορίζουµε P (k) να είναι η Πρόταση P (k) : k Εχουµε ότι η P (0) ισχύει, γιατί το 11 διαιρεί το Υποθέτουµε ότι k 0 και ότι η πρόταση P (k) ισχύει, δηλαδή ότι το 11 διαιρεί το 10 k Θα δείξουµε ότι

14 14 η πρόταση P (k + 1) είναι αληθής, δηλαδή ότι το 11 διαιρεί το 10 ((k+1)+1) k Πράγµατι, έχουµε 10 k k (99 + 1) 10 k (9 10 k+1 ) + (10 k+1 + 1) Χρησιµοποιώντας ότι το 11 διαιρεί το 10 k έχουµε ότι το 11 διαιρεί 10 k Άρα η πρόταση P (k + 1) είναι αληθής. Εποµένως σύµφωνα µε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής, η πρόταση P (k) είναι αληθής, k 0, το οποίο ήταν αυτό που ϑέλαµε να δείξουµε.. Επειδή ο ϕυσικός αροιθµός n είναι άρτιος, ϑα είναι της µορφής n k όπου k 1. Εχουµε 10 n 1 10 k 1. Θα χρησιµοποιήσουµε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής. Ορίζουµε Q(k) την Πρόταση Q(k) : k 1 Εχουµε ότι η Q(1) ισχύει, γιατί το 11 διαιρεί το Υποθέτουµε ότι k 1 και ότι η πρόταση Q(k) ισχύει, δηλαδή ότι το 11 διαιρεί τον αριθµό 10 k 1. Θα δείξουµε ότι η πρόταση Q(k+1) είναι αληθής, δηλαδή ότι το 11 διαιρεί τον αριθµό 10 (k+1) 1 10 k+ 1. Πράγµατι, έχουµε 10 k k 1 (99 + 1) 10 k 1 11 (9 10 k ) + (10 k 1) Χρησιµοποιώντας ότι το 11 διαιρεί το 10 k 1 έχουµε ότι το 11 διαιρεί 10 k+ 1. Συνεπώς η Q(k + 1) ισχύει. Άρα σύµφωνα µε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής, η πρόταση P (k) είναι αληθής, k 1, το οποίο ήταν αυτό που ϑέλαµε να δείξουµε. 3. Θέτουµε Εχουµε A : a 0 a 1 + a a ( 1) m a m a a 0 + a a 1 a 1 + a 10 + a a + + a m 10 m + a m a m A + a 1 (10 + 1) + a (10 1) + a 3 ( ) + + a m (10 m ( 1) m )) Χρησιµοποιώντας το µέρος 1., έπεται ότι ο 11 διαιρεί τους αριθµούς 10+1, , 10 +1,, και άρα : 11 a 1 (10 + 1) + a 3 ( ) + a (10 + 1) + Χρησιµοποιώντας το µέρος., έπεται ότι ο 11 διαιρεί τους αριθµούς 10 1, , ,, και άρα : 11 a (10 1) + a 4 (10 4 1) + a 6 (10 6 1) + Συνδυάζοντας τα παραπάνω, έχουµε ότι ο 11 διαιρεί τον αριθµό B : a 1 (10 + 1) + a (10 1) + a 3 ( ) + + a m (10 m ( 1) m+1 )) Επειδή a A+B και 11 B, έπεται 3 ότι ο αριθµός 11 διαιρεί τον a αν και µόνο αν διαιρεί τον A. Εφαρµογή: Εχουµε Εποµένως από το µέρος 3. έπεται ότι το 11 διαιρεί τον αριθµό Εδώ χρησιµοποιούµε την εξής απλή παρατήρηση : αν n, m, k, d είναι ακέραιοι, όπου n m + k, και d k, τότε : d n d m

15 1 Σχόλιο 4. Είδαµε στην Άσκηση 1 ότι αν ένας ϕυσικός αριθµός a γραφεί στην δεκαδική του µορφή a i Z, 0 i m, και a a 0 + a a a m 10 m, a i Z, 0 i m τότε : 11 a 11 a 0 a 1 + a a ( 1) m a m Επειδή 11 a 0 a 1 + a a ( 1) m a m αν και µόνον αν 11 ( 1) m (a 0 a 1 + a a ( 1) m a m ) a m a m 1 + a m + ( 1) m a 0, σύµφωνα µε την Άσκηση 1 έπεται ότι αν ϑεωρήσουµε τον ακέραιο αριθµό a : a m + a m a m a 0 10 m και ϑέσουµε A a 0 a 1 + a a ( 1) m a m, τότε : 11 a 11 A 11 a Ετσι επειδή ο αριθµός a διαιρείται από τον 11, έπεται ότι και ο αριθµός a διαιρείται από το 11. Τέλος έστω ο αριθµός a Επειδή , έπεται ότι Από την παραπάνω ανάλυση., έπεται ότι (πράγµατι ). Ασκηση 13. Εστω p 1, p 3, p 3, p 4, p,, p n, p n+1,, η αύξουσα ακολουθία των πρώτων αριθµών. είξτε ότι για κάθε n 1: p n+1 p 1 p p n + 1 και p n+1 n Να συµπεράνετε ότι για κάθε ϕυσικό αριθµό n, υπάρχουν τουλάχιστον n + 1 πρώτοι αριθµοί οι οποίοι είναι µικρότεροι από τον n. Λύση. (α) Θέτουµε a p 1 p p n + 1. Τότε a > 1 και εποµένως σύµφωνα µε την Θεωρία ο αριθµός a έχει έναν πρώτο διαιρέτη q. ηλαδή q a και ιδιαίτερα q a p 1 p p n + 1. Ο πρώτος q δεν µπορεί να είναι κάποιος από τους p 1, p, p n, διότι διαφορετικά αν q p i για κάποιο i 1,,, n, τότε p i a & p i p 1 p p n p i a p 1 p p n 1 το οποίο είναι άτοπο. Εποµένως q p i, 1 i n, δηλαδή ο q δεν είναι κάποιος από τους n πρώτους στην διάταξη πρώτους αριθµούς. Ετσι q p n+1, και τότε : p n+1 q p 1 p p n + 1 (β) Θα δείξουµε µε χρήση Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής ότι : p n n 1, n 1 ( ) Για n 1 έχουµε p και άρα η σχέση ( ) αληθεύει. Επαγωγικη Υποθεση: Υποθέτουµε ότι : p m m 1, 1 m < n Απο το (α) µε χρήση της Επαγωγικής Υπόθεσης για τους πρώτους αριθµούς p 1,, p n 1, έπεται ότι : p n p 1 p p n n n + 1 Επειδή n n 1 1, η παραπάνω σχέση δίνει p n n n n 1 1 n 1 1 n 1 και άρα η σχέση ( ) ισχύει και για n.

16 16 Εποµένως σύµφωνα µε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής η σχέση ( ) ισχύει για κάθε n N. Ασκηση είξτε ότι κάθε ϕυσικός αριθµός της µορφής 6k + έχει έναν πρώτο διαιρέτη της µορφής 6k +.. είξτε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι της µορφής 6k +. Λύση. 1. Εστω a 6k+ ένας ϕυσικός αριθµός, όπου k Z. Προφανώς k 0, διότι διαφορετικά αν k < 0 ϑα έχουµε a < 0 το οποίο είναι άτοπο. Εστω p a ένας πρώτος διαιρέτης του a. Σύµφωνα µε την Ευκλείδεια ιαίρεση ϑα έχουµε ότι υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι λ και r έτσι ώστε : p 6λ + r, όπου 0 r < 6 όπου προφανώς λ 0 ηλαδή ο p ϑα έχει µια από τις παρακάτω µορφές : p 6λ ή p 6λ + 1 ή p 6λ + ή p 6λ + 3 ή p 6λ + 4 ή p 6λ + Λαµβάνοντας υπ όψιν ότι ο p είναι πρώτος, προφανώς ϑα έχουµε ότι ο p ϑα έχει µια από τις παρακάτω µορφές : p 6λ + 1 ή p 6λ +, λ 0 Άρα κάθε πρώτος διαιρέτης του a είναι της µορφής p 6λ + 1 ή της µορφής p 6λ +, λ 0. Επειδή : (α) όπως προκύπτει άµεσα από την Θεωρία, κάθε ϕυσικός αριθµός είναι το γινόµενο των πρώτων (όχι απαραίτητα διακεκριµµένων) διαιρετών του, (β) γινόµενο αριθµών της µορφής 6λ + 1 είναι προφανώς πάλι αριθµός της µορφής 6λ + 1, και (γ) ο αριθµός a είναι της µορφής 6k +, έπεται ότι δεν είναι δυνατόν όλοι οι πρώτοι διαιρέτες του a να είναι της µορφής 6k+1. Εποµένως σύµφωνα µε την παραπάνω ανάλυση, τουλάχιστος ένας διαιρέτης του a είναι της µορφής 6k+.. Υποθέτουµε ότι το σύνολο των πρώτων διαιρετών της µορφής 6k + είναι πεπερασµένο και έστω ότι p 1, p,, p n είναι όλοι οι (διακεκριµµένοι) πρώτοι αριθµοί της µορφής 6k +. Θεωρούµε τον αριθµό : Επειδή a 6p 1 p p n 1 a 6p 1 p p n 1 6p 1 p p n 6 + 6(p 1 p p n 1) + 6k + όπου k p 1 p p n 1 N, ο αριθµός a είναι της µορφής 6k +. Εποµένως σύµφωνα µε το 1. ο αριθµός a έχει έναν πρώτο διαιρέτη q της µορφής 6k +, και άρα q p i για κάποιο i 1, n. Τότε όµως επειδή p i a και p i 6p 1 p p n, έπεται ότι p i a 6p 1 p p n, δηλαδή p i 1 το οποίο είναι άτοπο. Στο άτοπο καταλήξαµε υποθέτοντας ότι υπάρχει πεπερασµένο πλήθος πρώτων αριθµών της µορφής 6k +. Εποµένως το πλήθος των πρώτων αριθµών της µορφής 6k + είναι άπειρο. Ασκηση 1. είξτε ότι αν p > 1 και ο p διαιρεί τον (p 1)! + 1 τότε ο p είναι πρώτος.

17 Λύση. Υποθέτουµε ότι ο p δεν είναι πρώτος και ϑα καταλήξουµε σε αντίφαση. Αφού ο p δεν είναι πρώτος και p, υπάρχει πρώτος διαιρέτης q του p µε q p 1. Εποµένως ο q διαιρεί τον (p 1)!. Αφού ο p διαιρεί τον (p 1)! + 1 και ο q διαιρεί τον p έχουµε ότι ο q διαιρεί το (p 1)! + 1. Εποµένως ο q διαιρεί και τον ((p 1)! + 1) (p 1)! 1. Αυτό είναι άτοπο, και εποµένως ο αριθµός p είναι πρώτος. 17 Ασκηση 16. (1) Να εξετασθεί αν ένας ϕυσικός αριθµός της µορφής 3n 1, n N, είναι τετράγωνο ακεραίου αριθµού. () ύο πρώτοι αριθµοί p και q, όπου p < q, καλούνται δίδυµοι αν q p +. Αν p και q είναι δίδυµοι πρώτοι αριθµοί, όπου p > 3, τότε να δείξετε ότι : 1 p + q Λύση. (1) Θα δείξουµε ότι ένας ϕυσικός αριθµός της µορφής 3n 1, n N δεν είναι ποτέ τετράγωνο ακεραίου αριθµού. Εστω ότι αυτό ο ισχυρισµός δεν ισχύει. Υποθέτουµε ότι 3n 1 a για n N και a ακέραιο αριθµό και ϑα καταλήξουµε σε αντίφαση. Εχουµε τρεις περιπτώσεις : ο a να είναι της µορφής 3k, της µορφής 3k + 1 ή της µορφής 3k +. Αν ο a είναι της µορφής 3k έχουµε 3n 1 9k, εποµένως 3n 9k 1, άρα το 3 διαιρεί το 1 που είναι αντίφαση. Αν ο a είναι της µορφής 3k + 1 έχουµε 3n 1 (3k + 1) 9k + 6k + 1 εποµένως 3n 9k 6k, άρα το 3 διαιρεί το που είναι αντίφαση. Αν ο a είναι της µορφής 3k + έχουµε 3n 1 (3k + ) 9k + 1k + (3 + 1) εποµένως 3n 9k 1k 3, άρα το 3 διαιρεί το που είναι αντίφαση. () Εστω p, q δίδυµοι πρώτοι µε q p + και p > 3. Θα δείξουµε ότι 1 p + q. Ο p είναι αναγκαστικά περιττός, αφού είναι πρώτος διάφορος του. Γράφουµε p k + 1 µε k ϕυσικό, και έχουµε να δείξουµε ότι 1 4k + 4. Εποµένως αρκεί να δείξουµε ότι 3 k + 1. Εχουµε τρεις περιπτώσεις : ο k + 1 να είναι της µορφής 3m, της µορφής 3m + 1 ή της µορφής 3m +. Αρκεί να δείξουµε ότι το k + 1 δεν µπορεί να είναι της µορφής 3m + 1 ή της µορφής 3m +. - Εστω ότι k + 1 3m + 1, άρα k 3m. Τότε q p + k + 3 6m + 3 Εποµένως 3 q, το οποίο είναι άτοπο γιατί q είναι πρώτος και q >. - Εστω ότι k + 1 3m +, άρα k 3m + 1. Τότε p k + 1 6m + 3 Εποµένως 3 p, το οποίο είναι άτοπο γιατί p πρώτος µε p > 3. Άρα ο k + 1 να είναι της µορφής 3m και αυτό σηµαίνει ότι 3 k + 1. Οπως είδαµε αυτό είναι ισοδύναµο µε το Ϲητούµενο : 1 p + q. Ασκηση 17. Να ϐρεθούν όλες οι τριάδες ϕυσικών αριθµών οι οποίοι είναι πρώτοι αριθµοί. p, p +, p + 4

18 18 Λύση. Αν p 3, τότε η τριάδα αριθµών 3, 3 +, είναι µια τριάδα πρώτων αριθµών. Θα δείξουµε ότι είναι η µοναδική τριάδα πρώτων αριθµών της Ϲητούµενης µορφής. Εστω p ένας πρώτος αριθµός έτσι ώστε οι αριθµοί p + και p + 4 να είναι επίσης πρώτοι. Από την Ευκλείδεια διαίρεση έπεται ότι ο πρώτος αριθµός p ϑα έχει µια εκ των παρακάτω µορφών : p 3k ή p 3k + 1 ή p 3k + (1) Αν p 3k, τότε επειδή ο αριθµός p είναι πρώτος, έπεται ότι αναγκαστικά k 1, και τότε αποκτούµε την τριάδα πρώτων αριθµών 3,, 7. () Αν p 3k + 1, τότε p + 3k k + 3 3(k + 1), και επειδή ο αριθµός p + είναι πρώτος, έπεται όπως και πριν ότι k + 1 1, δηλαδή k 0. Τότε όµως p 1 το οποίο είναι άτοπο. Άρα ο αριθµός p δεν µπορεί να είναι της µορφής 3k + 1. (3) Αν p 3k +, τότε p + 4 3k k + 6 3(k + ), και επειδή ο αριθµός p + 4 είναι πρώτος, έπεται όπως και πριν ότι k + 1, δηλαδή k 1. Τότε όµως p 1 το οποίο είναι άτοπο. Άρα ο αριθµός p δεν µπορεί να είναι της µορφής 3k +. Άρα η µόνη δυνατή περίπτωση είναι p 3, και εποµένως ϑα έχουµε την αρχική τριάδα πρώτων αριθµών 3,, 7. Ασκηση 18. Εστω a, b, p, q N, όπου οι αριθµοί p, q είναι πρώτοι. Λύση. 1. Να δείξετε ότι : pb a p b.. Αν p q, να εξετασθεί αν ο αριθµός pq είναι τέλειο τετράγωνο. 3. Να προσδιορισθούν όλοι οι πρώτοι αριθµοί της µορφής a ή b Επειδή pb a, έπεται ότι p a a a, και εποµένως επειδή ο p είναι πρώτος, έπεται ότι p a. Άρα a pc για κάποιον ακέραιο c. Τότε ϑα έχουµε : pb a pb (pc) pb p c b pc Η τελευταία σχέση δείχνει ότι p b.. Το Ϲητούµενο προκύπτει άµεσα από το (1), ϑέτοντας b q: αν pq a, για κάποιον ακέραιο a, τότε το (1) δείχνει ότι p q και εποµένως επειδή ο q είναι πρώτος και p q, ϑα έχουµε p 1 το οποίο είναι άτοπο. Άρα το γινόµενο pq δεν µπορεί να είναι τετράγωνο ακεραίου αριθµού. 3. (αʹ) Παρατηρούµε ότι για a 1, ο αριθµός a είναι πρώτος. Θα δείξουµε ότι αν a > 1, τότε ο αριθµός a δεν είναι ποτέ πρώτος. Πραγµατικά για κάθε ακέραιο a > 1 ϑα έχουµε a (a ) + (a ) + + 4a 4a (a + ) 4a (a + + a)(a + a) Επειδή a > 1, ϑα έχουµε a 1 > 0 και άρα a + a a a+1+1 (a 1) +1 > 1. Ετσι επειδή προφανώς a + + a > 1, έπεται ότι η παραπάνω σχέση δίνει µια µητετριµµένη παραγοντοποίηση του a + 4, δηλαδή ο a δεν είναι πρώτος αριθµός, a > 1. (ϐʹ) Παρατηρούµε ότι για b 1, ο αριθµός b είναι πρώτος. Θα δείξουµε ότι αν b > 1, τότε ο αριθµός b δεν είναι ποτέ πρώτος. Πραγµατικά για κάθε ακέραιο b > 1 ϑα έχουµε b (b + 1)(b b + 1) η οποία επειδή προφανώς b + 1 > 1 και b b + 1 > 1 είναι µια µη-τετριµµένη παραγοντοποίηση του b 3 + 1, δηλαδή ο b δεν είναι πρώτος αριθµός, b > 1.

19 19 Ασκηση 19. είξτε ότι κάθε ακέραιος αριθµός µεγαλύτερος του 11 είναι άθροισµα δύο σύνθετων αριθ- µών 4. Λύση. Εστω n > 11 ένας ϕυσικός αριθµός. (1) Αν ο n είναι άρτιος, τότε προφανώς ο αριθµός n 4 είναι άρτιος και µεγαλύτερος του (διότι n > 11), και άρα ο n 4 είναι σύνθετος. Ετσι µπορούµε να εκφράσουµε τον αριθµό n ως άθροισµα n 4 + (n 4) των σύνθετων αριθµών 4 και n 4. () Αν ο n είναι περιττός, τότε προφανώς ο αριθµός n 9 είναι άρτιος (ως διαφορά περιττών αριθµών) και µεγαλύτερος του (διότι n > 11), και άρα ο n 9 είναι σύνθετος. Ετσι µπορούµε να εκφράσουµε τον αριθµό n ως άθροισµα των σύνθετων αριθµών 9 και n 9. n 9 + (n 9) Ασκηση 0. είξτε ότι οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναµες : 1. Εικασία του Goldbach: Κάθε άρτιος ακέραιος µεγαλύτερος του είναι άθροισµα δύο πρώτων αριθµών.. Κάθε ακέραιος µεγαλύτερος του είναι άθροισµα τριών πρώτων αριθµών. Λύση. 1.. Υποθέτουµε ότι η Εικασία του Goldbach είναι αληθής : κάθε άρτιος ακέραιος µεγαλύτερος του είναι άθροισµα δύο πρώτων αριθµών, και έστω n > ένας ακέραιος. - Αν ο αριθµός n είναι άρτιος, τότε ο αριθµός n είναι ένας άρτιος αριθµός µεγαλύτερος του και εποµένως από την υπόθεση ϑα έχουµε ότι n p + q, όπου p, q είναι πρώτοι αριθµοί. Τότε όµως n p + q + και ο n είναι άθροισµα τριών πρώτων αριθµών. - Αν ο αριθµός n είναι περιττός, τότε ο αριθµός n 3 είναι ένας άρτιος αριθµός (ως διαφορά περιττών αριθµών) ο οποίος είναι µεγαλύτερος του και εποµένως από την υπόθεση ϑα έχουµε ότι n 3 p+q, όπου p, q είναι πρώτοι αριθµοί. Τότε όµως n p + q + 3 και ο n είναι άθροισµα τριών πρώτων αριθµών.. 1. Υποθέτουµε ότι κάθε ακέραιος µεγαλύτερος του είναι άθροισµα τριών πρώτων αριθµών, και έστω n > ένας τυχόν άρτιος αριθµός. Τότε ο αριθµός n + είναι ένας άρτιος αριθµός ο οποίος είναι µεγαλύτερος του. Εποµένως από την υπόθεση, έπεται ότι ο αριθµός n + είναι άθροισµα τριών πρώτων αριθµών. Αν και οι τρείς πρώτοι αριθµοί είναι περιττοί, τότε και το άθροισµά τους, δηλαδή ο αριθµός n +, ϑα είναι περιττός αριθµός. Αυτό είναι άτοπο διότι ο αριθµός n + είναι άρτιος (ως άθροισµα αρτίων αριθµών). Άρα ένας εκ των τριών αυτών πρώτων αριθµών είναι αναγκαστικά άρτιος, δηλαδή ο πρώτος αριθµός. Εποµένως ϑα έχουµε n + p + q +, όπου p, q είναι πρώτοι αριθµοί. Ισοδύναµα ϑα έχουµε : n p + q και ο άρτιος αριθµός n > µπορεί να εκφρασθεί ως άθροισµα δύο πρώτων αριθµών. Σχόλιο. Η παραπάνω Άσκηση 0 σχετίζεται µε µια ασθενή εκδοχή της Εικασίας του Goldbach: Ασθενής Εικασία του Goldbach: Κάθε περιττός ακέραιος µεγαλύτερος του είναι άθροισµα τριών πρώτων αριθµών. Είναι προφανές, όπως δείξαµε και γενικότερα στην Άσκηση 0, ότι η Εικασία του Goldbach συνεπάγει την Ασθενή Εικασία του Goldbach. Προσέξτε τη διαφορά στην Ασθενή Εικασία του Goldbach και στον ισχυρισµό. στην Άσκηση 0. 4 Η εικασία του Goldbach, η οποία παραµένει µέχρι και σήµερα ανοιχτό πρόβληµα, πιστοποιεί ότι κάθε άρτιος ϑετικός ακέραιος µεγαλύτερος του είναι άθροισµα δύο πρώτων αριθµών. Βλέπε την επόµενη Άσκηση 0.

20 0 Γενικεύοντας ένα ισχυρό αποτέλεσµα του Μαθηµατικού Terence Tao «Κάθε περιττός ακέραιος µεγαλύτερος του 1 είναι άθροισµα το πολύ πρώτων αριθµών (01)», τον Μάϊο του 013, ο Μαθηµατικός Harald Helfgott 6 απέδειξε την Ασθενή Εικασία του Goldbach. Ασκηση 1. Να δείξετε ότι δεν υπάρχει µη-σταθερό πολυώνυµο f(t) a 0 + a 1 t + a t + + a n t n µε ακέραιους συντελεστές έτσι ώστε ο ακέραιος f(m) να είναι πρώτος αριθµός, για κάθε m Z. Λύση. Υποθέτουµε ότι ο ισχυρισµός της Άσκησης δεν είναι αληθής, δηλαδή : υπάρχει µη-σταθερό πολυώνυµο f(t) a 0 + a 1 t + a t + + a n t n µε ακέραιους συντελεστές a i, 0 i n, έτσι ώστε ο αριθµός f(m) είναι πρώτος για κάθε m Z. Σταθεροποιούµε έναν ϕυσικό αριθµό x 0 N. Τότε ϑα έχουµε ότι ο αριθµός f(x 0 ) p είναι πρώτος Για κάθε k Z, ϑεωρούµε τον ακέραιο αριθµό f(x 0 + kp). Σύµφωνα µε την υπόθεσή µας, ο αριθµός f(x 0 + kp) είναι πρώτος, k N Χρησιµοποιώντας το ιωνυµικό Θεώρηµα, (x + y) n n i0 ( ) n x i y n i i ϑα έχουµε m 1,,, n: (x 0 + kp) m m i0 ( ) m x i i 0(kp) m i m i0 ( ) m x k i 0k m i p m i και άρα (x 0 + kp) m ( m x m x m 0 + r m p ) x m 1 0 kp + + ( ) m x 0 k m 1 p m 1 + k m p m m 1 όπου ϑέσαµε : r m : ( ) ( ) m m x m 1 0 k + + x 0 k m 1 p m + k m p m 1, 1 m 1 1 m n Terence Tao, (17 Ιουλίου ): Αυστραλός Μαθηµατικός, Καθηγητής στο UCLA (University of California, Los Angeles). Ο Terence Tao ϑεωρείται από τους διαπρεπέστερους σύγχρονους Μαθηµατικούς και εργάζεται, µεταξύ άλλων στις ερευνητικές περιοχές : Θεωρία Αριθµών, Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις, Αρµονική Ανάλυση, Συνδυαστική. Βραβεύτηκε µε το ϐραβείο Fields (την κορυφαία διάκριση παγκοσµίως η οποία απονέµεται, κάθε τέσσερα χρόνια, στα Μαθηµατικά) στο ιεθνές Συνέδριο των Μαθηµατικών το Harald Helfgott, ( Νοεµβρίου ): Περουβιανός Μαθηµατικός, ο οποίος εργάζεται στην περιοχή της Θεωρίας Αριθµών.

21 1 Λαµβάνοντας υπ όψιν τις παραπάνω σχέσεις ϑα έχουµε : f(x 0 + kp) a 0 + a 1 (x 0 + kp) + + a n 1 (x 0 + kp) n 1 + a n (x 0 + kp) n Ετσι ϑα έχουµε a 0 + a 1 (x 0 + kp) + + a n 1 (x n r n 1 p) + a n (x n 0 + r n p) ( a 0 + a 1 x a n 1 x0 n 1 + a n x n ) ( 0 + a1 kp + + a n 1 r n 1 p + a n r n p ) f(x 0 ) + ( ) a 1 k + + a n 1 r n 1 + a n r n p f(x 0 ) + r p, όπου ϑέσαµε r : a 1 k + + a n 1 r n 1 + a n r n p + r p (1 + r) p k Z : f(x 0 + kp) p(r + 1), ιδιαίτερα : p f(x 0 + kp) Επειδή από την υπόθεσή µας ο αριθµός f(x 0 + kp) είναι πρώτος και p f(x 0 + kp), έπεται ότι f(x 0 + kp) p, Τότε όµως το πολυώνυµο µε ακέραιους συντελεστές g(t) : f(t) p k Z δέχεται κάθε έναν από τους, άπειρους το πλήθος, ακέραιους αριθµούς x 0 + kp ως ϱίζα, διότι : g(x 0 + kp) f(x 0 + kp) p 0 Γνωρίζουµε όµως ότι ένα µη-µηδενικό πολυώνυµο h(t) µε ακέραιους (ή γενικότερα ϱητούς ή πραγµατικούς συντελεστές) έχει το πολύ n ϱίζες, όπου n deg h(t). Επειδή το σύνολο {x 0 + kp Z k Z}, το οποίο αποτελείται από ϱίζες του g(t), είναι άπειρο, έπεται ότι αναγκαστικά ϑα έχουµε ότι το πολυώνυµο g(t) είναι το µηδενικό : g(t) 0. Τότε όµως f(t) p είναι σταθερό πολυώνυµο, κάτι το οποίο είναι άτοπο από την αρχική µας υπόθεση. Στο άτοπο καταλήξαµε υποθέτοντας ότι υπάρχει µη-σταθερό πολυώνυµο µε ακέραιους συντελεστές το οποίο λαµβάνει όλες τις τιµές του στο σύνολο των πρώτων αριθµών. Εποµένως δεν υπάρχει µη-σταθερό πολυώνυµο f(t) µε ακέραιους συντελεστές έτσι ώστε ο ακέραιος f(m) να είναι πρώτος αριθµός, για κάθε m Z. Σχόλιο 6. Γενικά δεν υπάρχει κάποιος απλός τύπος ο οποίος να παράγει µόνο, ή όλους τους, πρώτους αριθµούς : (1) Παρατηρούµε ότι αν p είναι ένας πρώτος αριθµός, τότε το σταθερό πολυώνυµο h(t) p έχει ακέραιους συντελεστές και ο ακέραιος h(m) είναι ο πρώτος αριθµός p, για κάθε m Z. Γι αυτό τον λόγο υποθέτουµε στην άσκηση 1 ότι το πολυώνυµο f(t) δεν είναι σταθερό. () Εστω P { p 1, p,, p n,, } το σύνολο των πρώτων αριθµών εφοδιασµένο µε την ϕυσική του διάταξη. Η Άσκηση 1 δείχνει ιδιαίτερα ότι δεν υπάρχει πολυώνυµο f(t) µε ακέραιους συντελεστές έτσι ώστε f(m i ) p i, i 1, όπου m i Z. Υπάρχουν κάποια πολυώνυµα µε ακέραιους συντελεστές τα οποία παράγουν κάποιους πρώτους αριθµούς, αλλά σύµφωνα µε την παραπάνω άσκηση τα πολυώνυµα αυτά δεν µπορεί να λαµβάνουν όλες τις τιµές τους στο σύνολο P. Για παράδειγµα, εύκολα ϐλέπουµε ότι για το πολυώνυµο (αʹ) f(t) t t + 41, ο ακέραιος f(m) είναι πρώτος, 0 m 40, αλλά f(41) είναι σύνθετος. (ϐʹ) g(t) t + 11, ο ακέραιος g(m) είναι πρώτος, 0 m 10, αλλά g(11) 11 3 είναι σύνθετος. (γʹ) h(t) t + 9, ο ακέραιος h(m) είναι πρώτος, 0 m 9, αλλά h(9) 9 9 είναι σύνθετος.

22 Αποδεικνύεται επίσης ότι δεν υπάρχει πολυώνυµο πολλών µεταβλητών f(t 1, t,, t n ), ό- που n τυχόν ϕυσικός αριθµός, µε ακέραιους συντελεστές το οποίο να µας δίνει, µε την παραπάνω έννοια, όλους τους πρώτους αριθµούς. Η απόδειξή του όµως είναι αρκετά πιο δύσκολη. Αποδεικνύεται ότι γενικά δεν υπάρχει κάποιος απλός τύπος ο οποίος να παράγει µόνο, ή όλους τους, πρώτους αριθµούς. Ασκηση. είξτε ότι ο πραγµατικός αριθµός είναι άρρητος, δηλαδή δεν µπορεί να γραφεί στην µορφή a/b όπου a, b ακέραιοι και b 0. e Λύση. Υποθέτουµε e a/b, όπου a και b είναι ϑετικοί ακέραιοι. Εστω n0 1 n! p ! + 1! + 1 3! b! q 1 (b + 1)! + 1 (b + )! + Εχουµε e p + q. Οι αριθµοί b!e και b!p είναι ακέραιοι και συνεπώς και ο b!q είναι ακέραιος, αφού b!q b!e b!p. Χρησιµοποιώντας ότι για κάθε πραγµατικό d µε 0 < d < 1 το άθροισµα της γεωµετρικής σειράς n1 dn d είναι ίσο µε 1 d έχουµε και 0 < b!q 1 b (b + 1)(b + ) + 1 (b + 1)(b + )(b + 3) + < / 1 1/ 1 Εποµένως 0 < b!q < 1 που έρχεται σε αντίφαση µε το ότι ο b!q είναι ακέραιος. Άρα ο αριθµός e είναι άρρητος. Σχόλιο 7. Με Μαθηµατική Επαγωγή είναι εύκολο να δείξουµε ότι ισχύει n0 n 1 : n! n 1 και εποµένως 1 n! 1 n 1 Αφού η γεωµετρική σειρά 1 n1 n 1 συγκλίνει το ίδιο ισχύει και για την σειρά n1 1 n!. Επιπλέον, έχουµε ότι για κάθε ακέραιο d 0, ισχύει ότι : 1 d n! n! n! n0 nd+1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 2 Απριλίου 2013 Το παρόν κείµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt206/nt206.html Πέµπτη 6 Νεµβρίου 206 Ασκηση. Να δειχθεί ότι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Θεωρια Αριθµων Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 25 Μαιου 2013 2

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 11 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Έστω Ρ(ν) ένας ισχυρισµός, ο οποίος αναφέρεται στους θετικούς ακέραιους Αν: i) o ισχυρισµός είναι αληθής για τον ακέραιο 1,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Θεωρια Αριθµων Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2013-2014 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή Επαγωγή HY8- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, /03/06 Μαθηµατική Επαγωγή Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις

Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο Σηµειώσεις Προετοιµασίας για Μαθηµατικούς ιαγωνισµούς Ασκήσεις Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Νοέµβριος 2012 1 Ασκησεις στη Θεωρια Αριθµων 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Κεφάλαιο 0 Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Στο παρόν εισαγωγικό Κεφάλαιο, υπενθυµίζουµε, κατά κύριο λόγο χωρίς αποδείξεις, ϐασικές γνώσεις από : τη στοιχειώδη ϑεωρία συνόλων και απεικονίσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Β και Γ Λυκείου Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Ιούλιος 2009 1 ιαιρετοτητα και Ισοτιµιες ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης Στη µνήµη του δασκάλου µου, Χάρη Βαφειάδη... www.math.uoc.gr/

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 5ο κεφάλαιο: Πρόοδοι ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα 1 ΠΡΟΟ

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r.

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r. Κεφάλαιο 2 Θεωρία Αριθμών Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Hardy and Wright 1979 και Graham, Knuth, and Patashnik 1994. 2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί Θεώρημα 2.1 Αν

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 19/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 Ορισµοί Εστω α δοθείσα πραγµατική ακολουθία Ορίζουµε µία νέα ακολουθία ως εξής: 3 3 = + + + = = + = + + Ορισµός 5 Εάν υπάρχει το lim + = τότε η ακολουθία καλείται

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Mathematics and its Applications, 5th

Mathematics and its Applications, 5th Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x), Ρ (x), Ρ (x) αν τα πολυώνυµα Ρ (x) και Ρ (x) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει : ( Ρ (x)) + (Ρ (x)) = (Ρ (x)) για κάθε x R να δείξετε ότι το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα Γενικό πλάνο Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής 2 Ορισµός δοµικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το Κρυπτοσύστηµα RSA Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Υπολογισµός Μέγιστου Κοινού ιαιρέτη Αλγόριθµος του Ευκλείδη Κλάσεις Ισοδυναµίας και Αριθµητική modulo

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 20 Νοεμβρίου 2012

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 20 Νοεμβρίου 2012 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι ανανεωμένο στις 20 Νοεμβρίου 202 Τμήμα Θ Αποστολάτου & Π Ιωάννου Ακολουθίες - Όρια ακολουθιών Έστω η ακολουθία μια αριθμημένη σειρά δηλαδή) των αριθμών:

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 ) Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ

4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ .1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ ΘΕΩΡΙΑ 1. Αρχή της Μαθηµατιής Επαγωγής Έστω ισχυρισµός Ρ(ν), όπου ν θετιός αέραιος. Αν i) Ρ αληθής αι ii) Ρ(ν) Ρ(ν + 1) για άθε ν, τότε Ρ(ν) αληθής για άθε ν.. Ανισότητα Bernoulli

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ο κεφάλαιο: Πραγματικοί αριθμοί ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

2 3 4 v. Να εξεταστεί υπό ποίες προϋποθέσεις η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες και πόσες. Απάντηση :

2 3 4 v. Να εξεταστεί υπό ποίες προϋποθέσεις η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες και πόσες. Απάντηση : ίνεται η εξίσωση : ν v 1... = 0, v Να εξεταστεί υπό ποίες προϋποθέσεις η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες και πόσες. Απάντηση : Με την βοήθεια του λογισµικού mathcad, κατασκευάζω τις συναρτήσεις f ν ()=

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι Κυρίων Ιδεωδών και Περιοχές Μονοσήµαντης Ανάλυσης

ακτύλιοι Κυρίων Ιδεωδών και Περιοχές Μονοσήµαντης Ανάλυσης Κεφάλαιο 10 ακτύλιοι Κυρίων Ιδεωδών και Περιοχές Μονοσήµαντης Ανάλυσης 10.1 Συνοπτική Θεωρία Η παρούσα ενότητα είναι αφιερωµένη στην υπενθύµιση ϐασικών εννοιών και αποτελεσµάτων από τη ϑεωρία περιοχών

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο Ιδιότητες των ορίων Όριο και διάταξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν f >, τότε f > κοντά στο Αν f

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 6 Ιανουαρίου 013 1 Ασκήσεις 1.1 Ασκήσεις Επανάληψης 1. είξτε ότι : ηµ x + 3συν y 5.. Να αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα