ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5"

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Πέµπτη 6 Νεµβρίου 206 Ασκηση. Να δειχθεί ότι για κάθε ϕυσικό n ισχύει µ(n µ(n + µ(n + 2 µ(n + 3 = 0 = µ ( n (n + (n + 2 (n + 3 όπου µ η συνάρτηση του Möbius. Λύση.. ιακρίνουµε τις παρακάτω περιπτώσεις : ( Εστω n =. Τότε n + 3 = + 3 = 4 = 2 2 = µ(n + 3 = µ(2 2 = 0 = µ(nµ(n + µ(n + 2µ(n + 3 = 0 (2 Εστω n > και n άρτιος. Τότε n = 2 a όπου a περιττός αριθµός και. Αν 2 τότε 2 2 n και άρα µ(n = 0. Υποθέτουµε ότι =. Άρα n = 2a και τότε n + 2 = 2a + 2 = 2(a +. Επειδή ο a είναι περιττός ϑα έχουµε a = 2b + για κάποιον ϑετικό ακέραιο b και τότε : n + 2 = 2(a + = 2(2b + 2 = 2 2 (b + = 2 2 n + 2 = µ(n + 2 = 0 (3 Εστω n > και n περιττός, δηλαδή n = 2a + µε a. = µ(nµ(n + µ(n + 2µ(n + 3 = 0 Αν ο a είναι περιττός τότε ο a + είναι άρτιος και άρα είναι της µορφής a + = 2b για κάποιον ϑετικό ακέραιο b. Τότε : n + = 2a + + = 2(a + = 2 2b = 2 2 b = 2 2 n + = µ(n + = 0 Άρα έπεται ότι µ(nµ(n + µ(n + 2µ(n + 3 = 0. Αν ο a είναι άρτιος τότε ο αριθµός a+2 είναι επίσης άρτιος και άρα είναι της µορφής a+2 = 2b για κάποιον ϑετικό ακέραιο b. Τότε : n + 3 = 2a = 2(a + 2 = 2 2b = 2 2 b = 2 2 n + 3 = µ(n + 3 = 0 Συνεπώς και σε αυτή τη περίπτωση έχουµε : µ(nµ(n + µ(n + 2µ(n + 3 = Θα έχουµε : ( Αν ο αριθµός n είναι άρτιος, τότε και ο αριθµός n + 2 είναι άρτιος και εποµένως 2 2 = 4 n (n + (n + 2 (n + 3

2 2 (2 Αν ο αριθµός n είναι περιττός, τότε οι αριθµοί n + και n + 3 είναι άρτιοι και εποµένως 2 2 n (n + (n + 2 (n + 3 Ετσι σε κάθε περίπτωση 2 2 n (n+ (n+2 (n+3 και εποµένως µ ( n (n+ (n+2 (n+3 = 0. Ασκηση 2. Να δειχθεί ότι για κάθε ϕυσικό n 3 ισχύει n µ(! = Λύση. Εχουµε : µ(! = µ( =. µ(2! = µ(2 = ( =. µ(3! = µ( 2 3 = ( 2 =. µ(4! = µ( = µ(2 3 3 = 0. Παρατηρούµε ότι για n 3 έχουµε ότι 2 2 n! και άρα µ(n! = 0. Εποµένως n µ(! = µ(! + µ(2! + µ(3! + + µ(n! = = = + ( = και άρα n = µ(! = για κάθε n 3. Ασκηση 3. Για κάθε ϕυσικό αριθµό n, να δειχθεί ότι :, αν n = µ( = 2 r, αν n = p pr r είναι η πρωτογενής ανάλυση του n > Λύση. Αν n =, τότε µ( = µ( = =. Εστω n >. Γνωρίζουµε ότι η συνάρτηση µ του Möbius είναι πολλαπλασιαστική. Ορίζουµε τη συνάρτηση θ : N C, θ(n = µ(n Εστω m, n ϕυσικοί αριθµοί µε (m, n =. Τότε θ(m n = µ(m n = µ(m µ(n = µ(m µ(n = θ(m θ(n και άρα η συνάρτηση θ είναι πολλαπλασιαστική. Υπενθυµίζουµε επίσης από τη ϑεωρία ότι αν f είναι µια πολλαπλασιαστική συνάρτηση τότε και η συνάρτηση F (n = f( είναι πολλαπλασιαστική. Άρα αφού η συνάρτηση θ είναι πολλαπλασιαστική έπεται ότι και η συνάρτηση F (n = θ( = µ( είναι πολλαπλασιαστική. Τότε F (n = F (p a pa par r = F (p a F (pa 2 2 F (par r = ( p a µ( ( µ( p ar r

3 3 και για κάθε i =, 2,, r έχουµε µ( = µ( + µ(p i + µ(p 2 i + + µ(p a i i = = 2 Συνεπώς p a i i και έτσι έχουµε δείξει το Ϲητούµενο. F (n = µ( = } 2 {{ 2 } = 2 r r ϕορές Ασκηση 4. Εστω m, n N. Να δειχθεί ότι για κάθε πολλαπλασιαστική συνάρτηση f : N C, ισχύει ότι : f ( (m, n f ( [m, n] = f(mf(n Λύση. Εστω m = p a pa pa και n = pb p b p b όπου a i 0, b i 0. Επειδή η συνάρτηση f είναι πολλαπλασιαστική έχουµε Επίσης γνωρίζουµε από τη ϑεωρία ότι Τότε έχουµε και Παρατηρείστε ότι f(m = f(p a f(pa και f(n = f(pb f(p b (m, n = p min{a,b } p min{a,b } και [m, n] = p max{a,b } p max{a,b } f ( (m, n = f ( p min{a,b }... p min{a,b } f ( [m, n] = f ( p max{a,b }... p max{a,b } Τότε από τις σχέσεις ( και (2 έχουµε = f ( p min{a,b } = f ( p max{a,b } f(p a f(p b = f(p min{a,b} f(p max{a,b}... f ( p min{a,b }... f ( p max{a,b } f ( (m, n f ( [m, n] = f(p a... f(pa f(pb... f(p b = f(mf(n Άρα : f ( (m, n f ( [m, n] = f(mf(n. ( (2 Ασκηση 5. Μια αριθµητική συνάρτηση f : N C καλείται προσθετική αν : n, m N : (n, m = = f(nm = f(n + f(m Η f καλείται πλήρως προσθετική αν f(nm = f(n + f(m, n, m N.. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f(n = log n είναι πλήρως προσθετική. 2. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση ω(n = πλήθος διακεκριµµένων πρώτων παραγόντων του n, είναι προσθετική, αλλά δεν είναι πλήρως προσθετική. 3. Να δειχθεί ότι αν f είναι µια (πλήρως προσθετική συνάρτηση τότε η συνάρτηση g(n = 2 f(n είναι (πλήρως πολλαπλασιαστική. Λύση.. Αν n, m N, τότε ϑα έχουµε : και εποµένως η f είναι πλήρως προσθετική. f(nm = log(nm = log n + log m = f(n + f(m

4 4 2. Αν n =, τότε ω(n = 0. Εστω n, m N. Άν n =, τότε προφανως (n, m = και ω(nm = ω(m = 0 + ω(m = ω(n + ω(m. Παρόµοια ω(nm = ω(n = ω(n + 0 = ω(n + ω(m, αν m =. Υποθέτουµε τώρα ότι n, m >, όπου (n, m =, και επιλέγουµε πρωτογενείς αναλύσεις n = p a pa & m = q b qb l l p i q j, για κάθε i =,, και j =,, l, διότι (n, m =. Τότε η πρωτογενής ανάλυση του nm είναι nm = p a pa qb qb l l = ω(nm = + l = ω(n + ω(m Εποµένως η ω είναι προσθετική. Η ω δεν είναι πλήρως προσθετική διότι ω(2 2 = ω(4 = και ω(2 + ω(2 = + = 2, άρα ω(2 2 ω(2 + ω(2. 3. Εστω n, m N και υποθέτουµε ότι (n, m =. Τότε χρησιµοποιώντας ότι η f είναι προσθετική, ϑα έχουµε : g(n m = 2 f(n m = 2 f(n+f(m = 2 f(n 2 f(m = g(n g(m και άρα η g είναι πολλαπλασιαστική. Παρόµοια αν η f είναι πλήρως προσθετική οι παραπάνω σχέσεις δείχνουν ότι η g είναι πλήρως πολλαπλασιαστική. Ασκηση 6. Εστω λ: N C, η συνάρτηση του Liouville, δηλαδή η αριθµητική συνάρτηση, αν n = λ: N C, λ(n = ( + + r, αν n = p pr r είναι η πρωτογενής ανάλυση του n > ( Να δειχθεί ότι η συνάρτηση λ είναι πολλαπλασιαστική. (2 Να υπολογισθεί το άθροισµα λ( Λύση. ( Εστω (m, n =. Αν m = ή n = τότε λ(µ ν = λ(µ λ(ν διότι λ( =. Υποθέτουµε ότι m > και n >. Εστω m = p a... pa και n = q b... qbs s οι πρωτογενείς αναλύσεις των αριθµών m και n αντίστοιχα. Αφού (m, n = τότε mn = p a... pa qb... qbs s είναι η πρωτογενής ανάλυση του mn και άρα λ(m n = ( a + +a +b + +b s = ( a + +a ( b + +b s = λ(m λ(n Άρα η συνάρτηση λ του Liouville είναι πολλαπλασιαστική. (2 Για n = τότε λ( = λ( = λ( = Εστω n > και n = p a... pa η πρωτογενής ανάλυση του n. Αφού η συνάρτηση λ είναι πολλαπλασιαστική τότε και η συνάρτηση λ( είναι πολλαπλασιαστική. Άρα και λ( = p a λ( λ( p a

5 5 p a i i λ( = λ( + λ(p i + λ(p 2 i + + λ(p a i i = + ( + ( ( a i = Ετσι αν κάποιο από τα a i είναι περιττός τότε λ( = 0 ενώ αν όλα τα a i είναι άρτιοι τότε Εποµένως λ( =, αν n = m 2, m N λ( = 0, διαφορετικά, αν a i : άρτιος 0, αν a i : περιττός Ασκηση 7. Αν λ είναι η συνάρτηση του Liouville, να δειχθούν οι σχέσεις : µ(λ( = λ ( = µ( = 2 r όπου n = p a par r είναι η πρωτογενής ανάλυση του ϑετικού ακεραίου n >. Λύση. Εχουµε δείξει στο µάθηµα (ως συνέπεια του ότι η λ είναι πλήρως πολλαπλασιαστική ότι : λ (n = µ(n = (µ λ(n = µ(n λ(n, n Άρα αρκεί να δείξουµε ότι µ( = 2r. Αυτό όµως προκύπτει από την Άσκηση 3. Εδώ δίνουµε µια διαφορετική απόδειξη, δείχνοντας ισοδύναµα ότι µ(λ( = 2r. Επειδή η συνάρτηση του Liouville είναι πολλαπλασιαστική, ϑα έχουµε 2 : µ(λ( = ( λ(p ( λ(p r = ( ( ( ( = } 2 {{ 2 } = 2 r r ϕορές Ασκηση 8. Εστω Λ η συνάρτηση του Magnolt, δηλαδή η αριθµητική συάρτηση log p, αν n = p m, m N & p : πρώτος Λ: N C, Λ(n = 0, διαφορετικά Υπενθυµίζουµε την απόδειξη : Αν p είναι ένας πρώτος αριθµός και a N, τότε Θα έχουµε : p a µ( = µ( + µ(p + µ(p µ(p a = = 2 Επειδή η µ είναι πολλαπλασιαστική συνάρτηση, προφανώς και η συνάρτηση n µ(n είναι πολλαπλασιαστική. Τότε όµως και η συνάρτηση n µ( είναι πολλαπλασιαστική. Εποµένως ϑα έχουµε : µ( = ( µ( ( µ( = 2 2 = 2 r p a p ar r 2 Υπενθυµίζουµε ότι αν f είναι µια πολλαπλασιαστική συνάρτηση, τότε : µ(f( = ( f(p ( f(p r, όπου n = p a par r είναι η πρωτογενής ανάλυση του ϑετικού ακεραίου n >.

6 6 ( Είναι η συνάρτηση Λ πολλαπλασιαστική ή ενελικτικά αντιστρεπτή ; (2 Να δείξετε ότι, n N: Λ( = log n Λύση. ( Από τον ορισµό της συνάρτησης του Magnolt Λ έχουµε ότι Λ( = 0, Λ(2 = log 2, Λ(3 = log 3, Γνωρίζουµε από τη ϑεωρία ότι η ενελικτικά αντίστροφη µια αριθµητικής συνάρτησης f υπάρχει αν και µόνο αν f( = 0. Άρα η συνάρτηση Λ δεν είναι ενελικτικά αντιστρεπτή. Επίσης αν η Λ ήταν πολλαπλασιαστική τότε ϑα είχαµε Λ( =, το οποίο είναι άτοπο. Συνεπώς η συνάρτηση Λ δεν είναι ούτε πολλαπλασιαστική. (2 Εστω n =. Τότε log = 0 = Λ( = Λ( και άρα η Ϲητούµενη σχέση ισχύει. Εστω n > και n = p a... pa η πρωτογενής ανάλυση του αριθµού n. Αν = τότε Λ( = 0. Αν Αν > και η πρωτογενής ανάλυση του διαιρέτη περιέχει περισσότερους από έναν από τους πρώτους p i τότε από τον ορισµό της συνάρτησης Λ έχουµε Λ( = 0 ενώ αν περιέχει ακριβώς ένα από τα p i, δηλαδή = p b i i Λ( = log p i 0 µε b i a i, τότε Εποµένως έχουµε Λ( = ( Λ(p + + Λ(p a + + ( Λ(p + + Λ(p a = ( ( log p + + log p }{{} + + log p + + log p }{{ } a ϕορές a ϕορές = a log p + + a log p = log p a + + log pa = log (p a pa = log n Άρα πράγµατι n N: Λ( = log n. Ασκηση 9. Να δειχθεί ότι για την συνάρτηση Λ του Magnolt, ισχύει ότι : Λ(n = µ( log(

7 7 Λύση. Σύµφωνα µε την Άσκηση 8, έχουµε log(n = Λ(. Από το τύπο αντιστροφής του Möbius Λ(n = µ( log( n = µ((log(n log( = µ( log(n µ( log( Επειδή, n : Εποµένως καταλήγουµε :, αν n = µ( = ɛ(n = και επειδή log( = 0, έπεται ότι, n : 0, αν n >, µ( log(n = log(n µ( = 0 Λ(n = µ( log( Υπενθυµίζουµε ότι αν f : N C είναι µια αριθµητική συνάρτηση, για την οποία ισχύει ότι f( 0, τότε ορίζεται η ενελικτικά αντίστροφη της f αριθµητική συνάρτηση f : N C, και η οποία είναι η µοναδική συνάρτηση έτσι ώστε : f f = ɛ = f f Ασκηση 0. Εστω ότι f : N C είναι µια αριθµητική συνάρτηση. Να δειχθεί ότι η f είναι πλήρως πολλαπλασιαστική 3 η f είναι πολλαπλασιαστική και f = f µ Λύση. «=» Υποθέτουµε ότι η συνάρτηση f είναι πλήρως πολλαπλασιαστική. Τότε προφανώς η f είναι πολλαπλασιαστική. Ιδιαίτερα η f είναι ενελικτικά αντιστρεπτή και άρα υπάρχει η ενελικτικά αντίστροφη f της f. Για να δείξουµε ότι f = m f, αρκεί να δείξουµε ότι : Για κάθε n N, ϑα έχουµε : ( f (µ f (n = f ( n f (µ f = ɛ = (µ f f (µ f( = f ( n µ(f( = f ( n f(µ( Επειδή η συνάρτηση f είναι πλήρως πολλαπλασιαστική, έπεται ότι f ( ( n f( = f n = f(n και εποµένως f ( n f(µ( = f(nµ( = f(n µ( Οµως µ( = µ(ν ( n = (µ ν(n = ɛ(n =, αν n = 0, αν n > Άρα χρησιµοποιώντας ότι η πράξη ενελικτικού γινοµένου είναι µεταθετική, ϑα έχουµε n N: ( f (µ f (n = ɛ(n = ( (µ f f (n δηλαδή f (µ f = ɛ = (µ f f και εποµένως, λόγω µοναδικότητας της ενελικτικά αντίστροφης f της f, έπεται ότι : f = µ f «=» Υποθέτουµε ότι η f είναι πολλαπλασιαστική και f = µ f. 3 Υπενθυµίζουµε ότι η f είναι πλήρως πολλαπλασιαστική αν : f(n m = f(n f(m, n, m N.

8 8 Θα δείξουµε πρώτα ότι για κάθε πρώτο p και για κάθε a N, ισχύει ότι : f(p a = f(p a ( Αν a =, τότε η σχέση ( προφανώς είναι αληθής. Υποθέτουµε ότι η σχέση ( είναι αληθής για κάθε, όπου < < a. Επειδή (f f (p a = ɛ(p a = 0, και επειδή f = µ f, ϑα έχουµε : 0 = f ( p a (p a (p a (µ f( = µ(f( = f(µ( = p a p a f p a f = f ( p a (p a (p a f(µ( + f f(pµ(p + f f(p 2 p p 2 µ(p f ( p a f(p a p a µ(p a Επειδή µ(p b = 0, b 2, και µ( = = f(, και µ(p =, ϑα έχουµε : 0 = f ( p a (p a f(µ( + f f(pµ(p = f(p a f(p a f(p = f(p a = f(p a f(p p Επειδή από την επαγωγική υπόθεση έχουµε f(p a = f(p a, έπεται ότι : f(p a = f(p a f(p = f(p a f(p = f(p a δηλαδή η σχέση ( είναι αληθής. Από την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής, η σχέση ( είναι αληθής για κάθε πρώτο p και για κάθε ϑετικό ακέραιο a. Επειδή η f είναι πολλαπλασιαστική, έπεται ότι αν n = p a pa 2 2 pa είναι η πρωτογενής ανάλυσης του ϑετικού ακέραιου n >, ϑα έχουµε : f(n = f ( p a pa 2 2 pa = f(p a f(pa 2 2 f(pa = f(p a f(p 2 a2 f(p a ( Εστω n, m δύο ϑετικοί ακέραιοι >. Τότε µπορούµε να γράψουµε n = p a pa 2 2 pa και m = p b p b 2 2 p b, όπου a i, b i 0 και εποµένως n m = p a +b p a 2+b 2 2 p a +b Χρησιµοποιώντας τη σχέση (, ϑα έχουµε f(n m = f ( p a +b p a 2+b 2 2 p a +b = f(p a +b f(p 2 a 2+b2 f(p a +b = = f(p a f(p b f(p 2 a 2 f(p 2 b2 f(p a f(p b = f(p a f(p 2 a2 f(p a f(p b f(p 2 b2 f(p b = f(p a f(pa 2 2 f(pa f(pb f(p b 2 2 f(p b = f(p a pa 2 2 pa f(pb p b 2 2 p b = f(n f(m Εποµένως η συνάρτηση f είναι πλήρως πολλαπλασιαστική. Ασκηση. Αν f : N C είναι µια πλήρως πολλαπλασιαστική συνάρτηση, να υπολογισθεί το άθροισµα : f ( Λύση. Γνωρίζουµε από την Άσκηση 0 ότι : «η f είναι πλήρως πολλαπλασιαστική αν και µόνον αν η f είναι πολλαπλασιαστική και f = f µ» Εποµένως ϑα έχουµε : f ( = (µ f( = µ( f( Αν n =, επειδή η f είναι πολλαπλασιαστική ϑα έχουµε f( = και άρα µ( f( = µ(f( = =. Εστω n > και έστω n = p a par r η πρωτογενής ανάλυση του ϑετικού ακεραίου n >. Τότε ϑα έχουµε : µ( f( = ( f(p ( f(p r

9 9 Άρα :, n = f ( = ( f(p ( f(p r, n > Ασκηση 2. Εστω a N, και έστω η αριθµητική συνάρτηση (a, : N C, (a, (b = (a, b = ΜΚ (a, b Να δειχθεί ότι η συνάρτηση (a, είναι πολλαπλασιαστική. Λύση. ος Τρόπος: Εστω b, c N µε (b, c =. Θα δείξουµε ότι (a, bc = (a, b(a, c. Αν a = b = c = τότε ϕανερά ισχύει. Υποθέτουµε ότι τουλάχιστον ένα από τα a, b, c είναι µεγαλύτερο του. Εστω p,..., p οι πρώτοι που διαιρούν τουλάχιστον ένα από τα a, b, c. Τότε υπάρχουν µη αρνητικοί ακέραιοι a i, b i, c i ώστε a = p a pa, b = pb p b, c = p c pc. Αφού (b, c =, έχουµε ότι αν b i > 0 τότε c i = 0 και αν c i > 0 τότε b i = 0. Εχουµε ενώ bc = p b +c p b +c, (a, bc = p min{a,b +c } p min{a,b +c }, (a, b = p min{a,b } p min{a,b }, (a, c = p min{a,c } p min{a,c }, (a, b(a, c = p min{a,b }+min{a,c } p min{a,b }+min{a,c }. Επειδή a i, b i, c i 0, και b i > 0 συνεπάγεται ότι c i = 0, και επειδή c i > 0 συνεπάγεται ότι b i = 0, έπεται ότι min{a i, b i } + min{a i, c i } = min{a i, b i + c i } για κάθε i και εποµένως ότι (a, bc = (a, b(a, c. Άρα η συνάρτηση (a, : N C, (a, (b = (a, b είναι πολλαπλασιαστική. 2ος Τρόπος: Χρησιµοποιώντας ότι (b, c =, καθώς και γνωστές ιδιότητες που αφορούν τον µέγιστο κοινό διαιρέτη, ϑα έχουµε : (a, bc = (a 2, a, bc = (a 2, a, bc = (a 2, a (b, c, bc = ( a 2, (ab, ac, bc = (a 2, ab, ac, bc = ((a 2, ab, (ac, bc = (a(a, b, (a, bc = (a(a, b, c(a, b = (a, c(a, b = (a, b(a, c 3ος Τρόπος: είτε την Άσκηση 5.(2 του ϕυλλαδίου 3.

10 0 Ασκηση 3. Να ϐρεθεί η ενελικτική αντίστροφη µ της συνάρτησης µ του Möbius. Λύση. Θεωρούµε τη συνάρτηση µ του Möbius:, αν n = µ(n = 0, αν υπάρχει p : πρώτος έτσι ώστε p 2 n (, αν n = p p µε p i : πρώτοι και p i p j, i j Υπενθυµίζουµε από τη ϑεωρία ότι αν f : N C είναι µια αριθµητική συνάρτηση και f( 0 τότε η αριθµητική συάρτηση f υπάρχει και ορίζεται αναδροµικά ως εξής : f(, n = f (n = f( f( n f (, n >, <n Άρα επειδή µ( = 0 έπεται ότι η ενελικτική αντίστροφη µ της µ υπάρχει. Θέτουµε και ϑα έχουµε : Αν n =, τότε ν( = µ( = =. Αν n = 2, τότε ν(2 = µ( <n µ = ν µ ( n ν( = µ(2ν( = ( = µ( Αν n = 3, τότε ν(3 = µ( <n µ ( n ν( = µ(3ν( = ( = µ( Επαγωγική Υπόθεση: Υποθέτουµε ότι ν( = για κάθε N µε 3 < n. Αν n = p a pa είναι η πρωτογενής ανάλυση του αριθµού n τότε από την επαγωγική υπόθεση έχουµε ν(n = µ ( n ν( = µ ( p b µ( p b 0 b,,b, <n Στο παραπάνω άθροισµα οι µη-µηδενικοί όροι εµφανίζονται όταν υπάρχουν στο p b p b γινόµενα διακεκριµένων πρώτων 4. Άρα αν p b p b = p p r, όπου p i {p,..., p }, τότε στο παραπάνω άθροισµα ϑα έχουµε µ(p p r = ( r Για κάθε r =,..., ο αριθµός των τρόπων που µπορούµε να διαλέξουµε r πρώτους από τους πρώτους {p,..., p } είναι ο διωνυµικός συνελεστής (! = r r! ( r! ( 4 ηλαδή µ p b p b 0 αν και µόνον αν p b p b = p i p i2 p ir για κάποιο σύνολο διακεκριµένων πρώτων { } { } pi, p i2,, p ir p, p 2,, p, r.

11 Συνεπώς υπάρχουν ( r επιλογές έτσι ώστε µ(p p r = ( r. Τότε έχουµε ν(n = 0 b,,b µ ( p b p b = [ ( ( ( ( 2 ] = [ ( ( ( ( ( 0 2 ] ( ] 0 = [( + ( ( 0 = (0 = Συνεπώς η ενελικτική αντίστροφη µ της συνάρτησης µ του Möbius είναι η συνάρτηση µ = ν : N C, ν(n =, n N Ασκηση 4. Αν a N, ϑεωρούµε την αριθµητική συνάρτηση f a : N C, f a (n = (a, n Αφού δείξετε ότι η f a είναι ενελικτικά αντιστρεπτή, να υπολογίσετε την τιµή : f 897 (205 Λύση. Επειδή f a ( = (a, = 0, από γνωστό Θεώρηµα έπεται ότι η f a είναι ενελικτικά αντιστρεπτή. Η ενελικτικά αντίστροφή της f a δίνεται τότε από τον αναδροµικό τύπο f a (n = f a(, <n f(, n = f a ( n f a (, n > Σηµειώνουµε ότι αν p είναι ένας πρώτος αριθµός, τότε χρησιµοποιώντας ότι f a ( = και τη σχέση (, ϑα έχουµε : f a (p = f a ( p, p f a ( n fa ( = p, p ( f a ( p fa ( = f a (p = (a, p ( Εστω τώρα a = 897. Θα προσδιορίσουµε την τιµή f897 (205. Σύµφωνα µε την Άσκηση 2, η συνάρτηση f 897 είναι πολλαπλασιαστική. Από γνωστό Θεώρηµα γνωρίζουµε τότε ότι και η συνάρτηση f897 είναι πολλαπλασιαστική. Εποµένως για να υπολογίσουµε την τιµή f897 (205, ϑα πρέπει να προσδιορίσουµε την πρωτογενή ανάλυση του 205, η οποία εύκολα ϐλέπουµε ότι είναι 205 = Εποµένως, επειδή η πρωτογενής ανάλυση του 897 είναι 897 = , χρησιµοποιώντας τη σχέση (, ϑα έχουµε : f 897 (205 = f 897 (5 f897 (3 f897 (3 = = ( (897, 5 ( (897, 3 ( (897, 3 = ( ( 3 ( = 3

12 2 Υπενθυµίζουµε κάποιες από τις αριθµητικές συναρτήσεις οι οποίες ϑα χρησιµοποιηθούν στις επόµενες ασκήσεις : ν : N C, ν(n = ι : N C, ι(n = n φ : N C, φ(n = { N n & (, n = } τ : N C, τ(n = = πλήθος ϕυσικών διαιρετών του n σ : N C, σ(n = = άθροισµα ϕυσικών διαιρετών του n, n = ɛ : N C, ɛ(n = 0, n > µ : N C, µ(n =, αν n = 0, αν υπάρχει p : πρώτος έτσι ώστε p 2 n (, αν n = p p µε p i : πρώτοι και p i p j, i j Υπενθυµίζουµε ότι για κάθε αριθµητική συνάρτηση f ισχύει : f ɛ = f = ɛ f, και, αν η f είναι ενελικτικά αντιστρεπτή, οπότε υπάρχει η ενελικτική αντίστροφή της f, τότε : f f = ɛ = f f. Ασκηση 5. Θεωρούµε τις αριθµητικές συναρτήσεις : σχέσεις : φ, ν, σ, τ, ɛ, και ι. Να δείξετε τις ακόλουθες µ = ν, τ = ν ν, τ = µ µ, φ = µ ι, σ = ν ι, σ = φ τ, σ φ = ι ι, ι ι = ι τ Λύση. Η σχέση µ = ν αποδείχθηκε στην Άσκηση 3. Για κάθε n N έχουµε (ν ν(n = ν( ν ( n = = = τ(n = τ = ν ν Επειδή µ = ν από τη δεύτερη σχέση ϑα έχουµε µ µ = ν ν = τ = (µ µ = τ = ((µ µ = τ = τ = µ µ

13 3 Εστω n N. Από το Θεώρηµα του Gauss 5 έχουµε n = φ( = ι(n = φ( Αντιστροφή Möbius = φ(n = = φ(n = = φ(n = µ( ι ( n µ( n µ ( n = φ(n = (µ ι(n = φ = µ ι Εστω n N. Τότε έχουµε (ν ι(n = ν( ι ( n = n = Εχουµε τ = ν ν (φ ν(n = φ( ν( = n = φ( = n = ι(n και άρα φ τ = ι ν = ν ι = σ = σ = φ τ n = = σ(n = σ = ν ι φ τ = (φ ν ν φ ν = ι Τέλος από τις παραπάνω σχέσεις έχουµε σ φ = σ µ ι = ν ι µ ι = ν µ ι ι = ɛ ι ι = ι ι = σ φ = ι ι Εχουµε 6 (ι ι(n = ι(ι( n = n = n = n τ(n = ι(n τ(n = (ι τ(n = ι ι = ι τ Ετσι δείξαµε όλες τις Ϲητούµενες σχέσεις. 5 Υπενθυµίζουµε ότι το Θεώρηµα του Gauss πιστοποιεί ότι για κάθε ϕυσικό αριθµό n ισχύει ότι : n = φ( 6 Υπενθυµίζουµε ότι αν f, g είναι αριθµητικές συναρτήσεις, τότε f g συµβολίζει το συνηθισµένο γινόµενο συναρτήσεων (f g(n = f(n g(n.

14 4 Ασκηση 6. Να δείξετε ότι : τ(µ( n = & σ(µ( n = n Επιπρόσθετα αν ο n είναι ελεύθερος τετραγώνου, τότε να δειχθεί ότι : σ( φ( = n, 2 Λύση. Για κάθε n N έχουµε τ(n = = ν( Αντιστροφή Möbius = ν(n = = = µ( τ ( n τ( µ ( n και σ(n = = ι( Αντιστροφή Möbius = ι(n = = n = µ( σ ( n σ( µ ( n Εστω n ελεύθερος τετραγώνου και n = p p r η πρωτογενής ανάλυση του αριθµού n. Θεωρούµε τη συνάρτηση g : N C, g(n = σ(n η οποία είναι πολλαπλασιαστική και άρα η συνάρτηση G: N C, G(n = g(nφ(n είναι επίσης πολλαπλασιαστική. Τότε, όπως γνωρίζουµε από τη Θεωρία, η συνάρτηση F : N C, F (n = G(n = σ( φ( είναι πολλαπλασιαστική και εποµένως F (n = F (p F (p r. Αν p είναι ένας πρώτος αριθµός τότε Εποµένως F (p = p σ( φ( = σ(φ( + σ(p φ(p = + p( + p F (n = F (p F (p r = p p r = (p p r = n (p = p και άρα πράγµατι σ( φ( = n, 2. Ασκηση 7. Να υπολογισθούν τα αθροίσµατα : µ(, µ(τ(, µ(σ(, µ( Λύση. Επειδή οι αριθµητικές συναρτήσεις µ, σ, τ, είναι πολλαπλασιαστικές, έπεται ότι µ( = τ( = σ( =, απ όπου προκύπτει άµεσα ότι η τιµή των Ϲητούµενων αθροισµάτων στον ϕυσικό αριθµό n = είναι ίση µε. Εστω τώρα n > και έστω n = p a par r η πρωτογενής ανάλυση του ϕυσικού αριθµού n. Τότε γνωρίζουµε από τη Θεωρία ότι για κάθε πολλαπλασιαστική συνάρτηση f ισχύει µ(f( = ( f(p ( f(p r

15 Επειδή η συνάρτηση τ είναι πολλαπλασιαστική, έχουµε : µ(τ( = ( τ(p ( τ(p r = ( 2 ( 2 = ( r = µ(τ( = ( r Επειδή η συνάρτηση σ είναι πολλαπλασιαστική, έχουµε : µ(σ( = ( σ(p ( σ(p r = ( (p + ( (p r + = ( p ( p r 5 = ( r p p r = µ(σ( = ( r p p r Η συνάρτηση f, όπου f(n = n είναι πολλαπλασιαστική και άρα η συνάρτηση µ(f( = µ( είναι επίσης πολλαπλασιαστική. Τότε έχουµε : µ( = ( f(p ( f(p r = ( p ( p r = n ( p ( p r n = φ(n n = µ( = φ(n n Η συνάρτηση ι, όπου ι(n = n είναι πολλαπλασιαστική και άρα µ( = ( ι(p ( ι(p r = ( p ( p r = µ( = ( p ( p r και έτσι έχουµε υπολογίσει όλα τα Ϲητούµενα αθροίσµατα. Ασκηση 8. Εστω n ένας ϑετικός ακέραιος. ( Να δειχθεί ότι ο n είναι πρώτος αν και µόνον αν σ(n = n +. (2 Να δειχθεί ο n είναι τέλειο τετράγωνο αν και µόνον αν ο τ(n είναι περιττός. Λύση. ( Αν ο n είναι πρώτος, τότε οι µόνοι ϑετικοί διαιρέτες του n είναι οι και n, και άρα σ(n = n +. Αντίστροφα, έστω ότι σ(n = n +. Αν n είναι ένας ϑετικλός διαιρέτης του n µε n, τότε προφανώς σ(n + + n > n + το οποίο είναι άτοπο. Άρα = ή = n, και εποµένως ο n είναι πρώτος. (2 Το Ϲητούµενο προφανώς ισχύει όταν n =. Υποθέτουµε ότι n > και έστω n = p a p a2 p a η πρωτογενής ανάλυση του n. Τότε γνωρίζουµε ότι Άρα τ(n = ( + a ( + a 2 ( + a τ(n : περιττός (+a (+a 2 (+a : περιττός +a i : περιττός, i =, 2,, a i : άρτιος, i =, 2,, a i = 2b i, b i 0, i =, 2,, n = p a p a2 p a = p 2b p 2b2 p 2b = (p b p b2 p b 2 n = m 2 όπου m = p b p b2 p b.

16 6 Υπενθυµίζουµε ότι ένας ϑετικός ακέραιος n καλείται τέλειος, αν ο n είναι ίσος µε το άθροισµα όλων των γνήσιων ϑετικών διαιρετών του : n : τέλειος n =, n ή ισοδύναµα : n : τέλειος 2n = = σ(n Ασκηση 9. Θεωρούµε τον ϑετικό ακέραιο a = 2 n (2 n, όπου n 2. Να δειχθεί ότι αν ο αριθµός 2 n είναι πρώτος, τότε ο αριθµός a είναι τέλειος. Λύση. Προφανώς (2 n, 2 n =. Εποµένως χρησιµοποιώντας ότι η αριθµητική συνάρτηση τ είναι πολλαπλασιαστική, ϑα έχουµε : σ(a = σ ( 2 n (2 n = σ(2 n σ(2 n Προφανώς ϑα έχουµε ότι οι διαιρέτες του 2 n είναι οι, 2, 2 2,, 2 n 2, 2 n, και εποµένως : και επειδή ο 2 n είναι πρώτος, ϑα έχουµε : σ(2 n = n n = 2 n σ(2 n = + 2 n = 2 n Άρα : Εποµένως ο αριθµός a είναι τέλειος. σ(a = σ(2 n σ(2 n = (2 n 2 n = 2(2 n (2 n = 2a Ασκηση 20. Αν n είναι ένας ϑετικός ακέραιος, τότε συµβολίζουµε µε ω(n το πλήθος των διακεκριµµένων πρώτων παραγόντων του n. Να δειχθεί ότι : µ 2 ( = 2 ω(n Λύση. Θέτουµε, n : F (n = µ 2 (. Γνωρίζουµε ότι η συνάρτηση µ είναι πολλαπλασιαστική. Επειδή το συνηθισµένο γινόµενο πολλαπλασιαστικών συναρτήσεων είναι πολλαπλασιαστική συνάρτηση 7, έπεται ότι η συνάρτηση µ 2 = µ µ είναι πολλαπλασιαστική. Τότε όµως, όπως γνωρίζουµε από τη Θεωρία, και η συνάρτηση F είναι πολλαπλασιαστική. Εποµένως αν n = p a pa είναι η πρωτογενής ανάλυση του ϑετικού ακεραίου n >, ϑα έχουµε F (n = F (p a F (pa = µ 2 ( = ( µ 2 ( ( µ 2 ( p a p a 7 Υπενθυµίζουµε ότι αν M είναι το σύνολο των πολλαπλασιαστικών συναρτήσεων, τότε f, g M = f g M, όπου (f g(n = f(n g(n.

17 7 Οµως για κάθε πρώτο p και κάθε ϑετικό ακέραιο a, έχουµε : p a µ 2 ( = µ 2 ( + µ 2 (p + µ 2 (p µ 2 (p a = µ(µ( + µ(pµ(p + µ(p 2 µ(p µ(p a µ(p a = + ( ( = 2 Εποµένως, αν n > και n = p a pa έχουµε : µ 2 ( = ( µ 2 ( ( p a είναι η πρωτογενής ανάλυση του n, τότε επειδή ω(n =, ϑα p a µ 2 ( = } 2 {{ 2 } = 2 = 2 ω(n ϕορές Τέλος αν n =, τότε προφανώς ω( = 0 και ϑα έχουµε : µ 2 ( = µ 2 ( = µ( µ( = = = 2 0 = 2 ω( Άρα n N: µ 2 ( = 2 ω(n. Ασκηση 2. Εστω f και g δύο αριθµητικές συναρτήσεις, και έστω f(n = g( Θεωρούµε τον n n πίνακα ϕυσικών αριθµών M = (m ij, όπου m ij = f((i, j, δηλαδή f((, f((, 2 f((, n f((2, f((2, 2 f((2, n M = f((n, f((n, 2 f((n, n και f((i, j είναι η τιµή της f στον µέγιστο κοινό διαιρέτη (i, j των i και j. ( Να δείξετε ότι : Det(M = n g( (2 Αν η f είναι πλήρως πολλαπλασιαστική και f(p 0, για κάθε πρώτο p, τότε : n Det(M = f(j ( f(p j= p j = Λύση. Ορίζουµε έναν n n πίνακα A = (a ij, όπου, αν j i a ij = 0, αν j i και ορίζουµε ένα πίνακα B = (β ij, όπου β ij = g(j a ij

18 8 Παρατηρούµε ότι, αν i και j a i a j = 0, αν i ή j =, αν (i, j 0, αν i ή j ( Τότε έχουµε 8 (B ta ij = n g(a i a j = ( = (i,j g( = (B ta ij = f((i, j = B ta = M = Det(B Det( t A = Det(M = Det(B Det(A = Det(M Παρατηρούµε οτι ο πίνακας A είναι κάτω τριγωνικός διότι a ij = 0, αν j > i (πράγµατι για j > i ισχύει ότι j i διότι διαφορετικά j i. Επιπλέον τα στοιχεία στην κύρια διαγώνιο του πίνακα A είναι προφανώς όλα ίσα µε. Εποµένως Det(A = και άρα Ωστε : Det(B = n g(j j= Det(M = Det(A Det(B = n g( ( Αν η f είναι πλήρως πολλαπλασιαστική τότε, επειδή f(p 0, για κάθε πρώτο p, έπεται ότι f(n 0, n N, και ϑα έχουµε f( f ( j ( j f(j = f(j = f = f( Εποµένως g(j = j µ(f ( j µ( = f(j f( = f(j ( ( = Det(M = f(p j p j και άρα έχουµε το Ϲητούµενο. = n j= f(j p j ( f(p Ασκηση 22. Να δείξετε ότι : (, (, 2 (, n (2, (2, 2 (2, n (n, (n, 2 (n, n = φ(φ(2 φ(n Λύση. Θέτουµε f(n = n. Τότε f(n = n = g( Αντιστροφή Möbius = g(n = µ(f ( n = f(µ ( n = µ ( n 8 Ο πίνακας t A είναι ο ανάστροφος του πίνακα A: ( t A ij = (A ji = a ji.

19 9 Επειδή η f είναι πλήρως πολλαπλασιαστική από την Άσκηση 2 έχουµε n (i, j = j ( = φ( φ(2 φ(n p j= p j και έτσι δείξαµε το Ϲητούµενο. Ασκηση 23. Να δείξετε ότι : [, ] [, 2] [, n] [2, ] [2, 2] [2, n] [n, ] [n, 2] [n, n] n = φ( ( p = p Λύση. Θέτοντας f(m = m, m N, αποκτούµε µια αριθµητική συνάρτηση η οποία είναι προφανώς πλήρως πολλαπλασιαστική, και ισχύει ότι f(p 0 για κάθε πρώτο αριθµό p. Τότε g( = m και επειδή από την Άσκηση 7 έχουµε m µ( = p m ( p, έπεται οτι g(m = µ( f ( m = µ( m = µ( = m m m m = g(m = m ( p = φ(m ( p p m m 2 m p m m ( p Τότε το Ϲητούµενο προκύπτει από την Άσκηση 2 χρησιµοποιώντας επίσης ότι [i, j] (i, j = ij. p m

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Α Μπεληγιάννης - Σ Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuogr/abelga/numbertheory/nthtml Τετάρτη 10 Απριλίου 2013 Ασκηση 1 Θεωρούµε τις αριθµητικές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Θεωρια Αριθµων Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 25 Μαιου 2013 2

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Θεωρια Αριθµων Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2013-2014 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

F 5 = (F n, F n+1 ) = 1.

F 5 = (F n, F n+1 ) = 1. Λύσεις Θεμάτων Θεωρίας Αριθμών 1. (α) Να δειχθεί ότι ο πέμπτος αριθμός της μορφής Fermat, δηλαδή ο F 5 2 25 + 1 διαιρείται από το 641. (β) Εστω F n η ακολουθία των αριθμών Fermat, δηλαδή F n 2 2n + 1,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 2 Απριλίου 2013 Το παρόν κείµενο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος Α. Μπεληγιάννης

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος Α. Μπεληγιάννης Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2016-2017 Τµηµα Β ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html 19 Οκτωβρίου 2016 Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html ευτέρα 30 Μαρτίου 2015 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν όλοι

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ),

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ), Α Δ Ι Α - Φ 4 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 15 Νοεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 222 3.1. ύναµη

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Εφαρµογές της Κανονικής Μορφής Jordan Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 46 8 Εφαρµογές της Κανονικής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 5ο κεφάλαιο: Πρόοδοι ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα 1 ΠΡΟΟ

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών. Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη

Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών. Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη Ευχαριστώ ιδιαίτερα τη ϕοιτήτριά µου Μαρίνα Παλαιστή για τη µεταφορά του χειρογράφου µου σε κείµενο "tex" Κεφάλαιο 1 Βασικές Ιδιότητες Ισοδυναµιών Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Κεφάλαιο 0 Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Στο παρόν εισαγωγικό Κεφάλαιο, υπενθυµίζουµε, κατά κύριο λόγο χωρίς αποδείξεις, ϐασικές γνώσεις από : τη στοιχειώδη ϑεωρία συνόλων και απεικονίσεων,

Διαβάστε περισσότερα

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Β και Γ Λυκείου Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Ιούλιος 2009 1 ιαιρετοτητα και Ισοτιµιες ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τρίτη 6 Νοεµβρίου 0 Ασκηση. Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδες Μεταθέσεων. Κεφάλαιο Συνοπτική Θεωρία. S(X ) = { f : X X f : απεικόνιση «1-1» και «επί» }

Οµάδες Μεταθέσεων. Κεφάλαιο Συνοπτική Θεωρία. S(X ) = { f : X X f : απεικόνιση «1-1» και «επί» } Κεφάλαιο 4 Οµάδες Μεταθέσεων 4.1 Συνοπτική Θεωρία Οι οµάδες µεταθέσεων επί ενός συνόλου και ιδιαίτερα επί του πεπερασµένου συνόλου { 12 n } αποτελούν µια από τις ϐασικότερες κλάσεις οµάδων. Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Η οµή των Κυκλικών Οµάδων

Η οµή των Κυκλικών Οµάδων Κεφάλαιο 4 Η οµή των Κυκλικών Οµάδων Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την κλάση των κυκλικών οµάδων, η οποία είναι η απλούστερη µη τετριµµένη κλάση οµάδων. Ιδιαίτερα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Μετρικοποιησιµότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης Στη µνήµη του δασκάλου µου, Χάρη Βαφειάδη... www.math.uoc.gr/

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 31 6. Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση 6.1. Ταυτόχρονη

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικές οµές ΙΙ 1. Εστω ότι R Z 3 [x]. Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες 30 λεπτά (αʹ) Να αποδείξετε ότι ο R είναι περιοχή

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 11 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Έστω Ρ(ν) ένας ισχυρισµός, ο οποίος αναφέρεται στους θετικούς ακέραιους Αν: i) o ισχυρισµός είναι αληθής για τον ακέραιο 1,

Διαβάστε περισσότερα

Επιπλέον Ασκήσεις. Μαθηµατική Επαγωγή. ιαιρετότητα. Προβλήµατα ιαιρετότητας.

Επιπλέον Ασκήσεις. Μαθηµατική Επαγωγή. ιαιρετότητα. Προβλήµατα ιαιρετότητας. Επιπλέον Ασκήσεις Μαθηµατική Επαγωγή Για κάθε n 1: 2 = n(n + 1(2n + 1 6 Ορέστης Τελέλης telels@unpgr Για κάθε n 1: 3 = n2 (n + 1 2 4 Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Για κάθε n 10: 2 n

Διαβάστε περισσότερα

Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων.

Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων. Κεφάλαιο 4 Πεπερασµένα σώµατα Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων. 4.1 Βασικές Εννοιες Εστω F ένα

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα

ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα Κεφάλαιο 7 ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϑεµελιώδη έννοια του δακτυλίου, ϑα αναπτύξουµε τις ϐασικές ιδιότητες δακτυλίων και ϑα αναλύσουµε µια σειρά

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα. Τάξη των Συναρτήσεων (1) Παράδειγµα (2) Να δειχθεί ότι 7n 2 = O(n 3 ). Ορέστης Τελέλης

Παραδείγµατα. Τάξη των Συναρτήσεων (1) Παράδειγµα (2) Να δειχθεί ότι 7n 2 = O(n 3 ). Ορέστης Τελέλης Τάξη των Συναρτήσεων (1) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς 1. Να δειχθεί ότι 7n 2 = O(n 3 ) 2. Να δειχθεί ότι η n 2 δεν είναι O(n). 3. Αληθεύει ότι n 3 =

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

Id A A, a Id A (a) := a, τ : A A, a b, όπου b είναι εκείνο το στοιχείο του A µε σ(b) = a. 7. Οµάδες µεταθέσεων (µετατάξεων)

Id A A, a Id A (a) := a, τ : A A, a b, όπου b είναι εκείνο το στοιχείο του A µε σ(b) = a. 7. Οµάδες µεταθέσεων (µετατάξεων) 250 7. Οµάδες µεταθέσεων µετατάξεων 7.1. Οι πρώτες έννοιες. Ας είναι A ένα µη κενό σύνολο και S A το σύνολο των «ένα προς ένα» και «επί» απεικονίσεων από το σύνολο A στον εαυτό του. Πρόταση 7.1. Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς

Μαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μαθηµατική Επαγωγή Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 1 / 17 Υπενθύµιση: Ακολουθίες Ακολουθία είναι συνάρτηση από

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Αριθµοί Liouville Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Εισαγωγή Η ϑεωρία των υπερβατικών αριθµών έχει ως αφετηρία µια ϕηµισµένη εργασία του Liouville, το 844, ο οποίος περιέγραψε µια κλάση πραγµατικών αριθµών οι οποίοι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΤΜΗΜΑ 1β. 2n + 1 n(n + 1) xn. n=1. 2n + 1 ln(1 x)(1 + x) + x. a n = 2n + 1 n(n + 1) = 1 n + 1. a n+1 x n+1 a n x n.

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΤΜΗΜΑ 1β. 2n + 1 n(n + 1) xn. n=1. 2n + 1 ln(1 x)(1 + x) + x. a n = 2n + 1 n(n + 1) = 1 n + 1. a n+1 x n+1 a n x n. ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΤΜΗΜΑ β 4 Ιανουαρίου 005 Τα ϑέµατα,, και 4 είναι υποχρεωτικά. Από τα ϑέµατα 5 και 6 ϑα επίλέξετε ϑέµα. ηλαδή ϑα γράψετε ΜΟΝΟ 5 ϑέµατα. ΘΕΜΑ o.5 + 0.5 = ϐ.) α) Να αποδειχθεί ότι η δυναµοσειρά

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 15 3. Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton

Διαβάστε περισσότερα

Προηγούµενο: Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Σύνοψη Ιδιοτήτων

Προηγούµενο: Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Σύνοψη Ιδιοτήτων Προηγούµενο: Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων Ορέστης Τελέλης η (τάξη της) f() είναι O( g() ) αν υπάρχουν σταθερές C και 0, τέτοιες ώστε: f() C g() για κάθε 0

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα