Αόριστο Ολοκλήρωμα. 2). Να βρεθούν οι παράγουσες των συναρτήσεων: 3 2 x. 3). Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: x 1 1-ημx

Transcript

1 Ενότητα 5 Αόριστο Ολοκλήρωμα Ασκήσεις για λύση ). Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: i) A= 4 d, >0 4 4 ii) B= d, >0 iii) = 4+ d, >0 i) = e d, ). Να βρεθούν οι παράγουσες των συναρτήσεων: i) f ( ) 4 ii)g()=e 6 iii) h( ) i)φ()=, >0 ). Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: -ημ i) A d ii)b= d, 0, +συν e ημ iii) d i)δ= d e ln ) E d i)z= e e d ln +ημ ii) H e d iii) = e d 4). Να βρεθεί η συνάρτηση f :, αν παρουσιάζει στο 0 = τοπικό ακρότατο με τιμή 4 και f ''( ) ). Να βρείτε τη συνάρτηση f : ισχύει 6). Έστω f : f ( ) e d e c, να βρεθεί η f. μια συνεχής συνάρτηση και F μια αρχική της με την ιδιότητα af( ) a F ( ) για κάθε, όπου α. Να αποδείξετε ότι: i) F(0) a και F()=, ii) η εξίσωση f() = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο. 7). Αν η F είναι αρχική της συνάρτησης f : και ισχύει F( ) F( 4) 6 για κάθε να βρεθούν οι τιμές f (0) καιf () 8). Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει θετική συνάρτηση f :, της οποίας μια αρχική συνάρτηση F να ικανοποιεί τη σχέση, όπου α. 9). Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και θετική στο με κάθε f(0)= να αποδείξετε ότι f F ( ) F( ) F( a ) για κάθε ( ),. f '( ) για f ( ) 99

2 Ενότητα 5 0). Να βρεθεί η συνάρτηση f, αν: 4 i) f '()=5 f(0)= + ii) f '()= f()=5 iii)f '()=e f(0)= ). Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: εφ i) A d ii)b= d 4 ημ iii) d i) = d +ημ i)f '()=συν f( )= ln ln ) E d i)z= e d ). Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Α =. d e ). Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: i) A d, >5 ii)b= d, >0 ( 5) ( ) 4). Δίνεται η συνάρτηση f ( ), -,. 4 i) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα Α = f ( ) d. ii) Να βρεθεί η αρχική συνάρτηση της f, η οποία διέρχεται από το σημείο Α (0, ). 5). Να βρεθεί η συνάρτηση f, αν f '( ) για κάθε και τα σημεία Α(, ) και Β(-, ) ανήκουν στη γραφική της παράσταση. 6). Έστω η συνάρτηση f :, της οποίας μια αρχική συνάρτηση F έχει την ιδιότητα F( ) F( ) για κάθε. Να αποδείξετε ότι f (0) και f()=-. 7). Έστω f : συνεχής συνάρτηση και F μια αρχική της. Αν f () = και ( ) για κάθε είναι f ( ) e F, να βρεθεί η f. 8). Αν η συνάρτηση f : έχει άρτια παράγουσα, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα. 9). Δίνονται τα ολοκληρώματα I d J d, 0,. Να i) I I,, αποδείξετε ότι: ii)j J,. 00

3 Ενότητα 5 -f() 0). Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, f '()=e κάθε και η C f διέρχεται από την αρχή των αξόνων. * ). Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, αν εφαπτομένη της C f e στο τυχαίο σημείο της Μ (, f ( )) έχει κλίση και το σημείο Α (0,) ανήκει f ( ) στη C f. ). Μια συνάρτηση f : με f έχει αρχική συνάρτηση F και ισχύει f ( ) F( ) για κάθε. Να αποδείξετε ότι: i) F( ) f ( ) ii) F()F(-) ' 0 iii) F i)f()f(-)= - - )f()=e i)f()=e ii)f()=f(), ). Αν F είναι αρχική της συνεχούς συνάρτησης f :, για την οποία ισχύει f ( ) F( ) για κάθε και f (0) =, να αποδείξετε ότι f ( ) e,. 4). Έστω f : συνεχής συνάρτηση με f() = και F αρχική της με την F ( ) ιδιότητα f ( ) e για κάθε. Να βρεθεί η f. 5). Δίνεται η συνάρτηση f : και F μια αρχική της με την ιδιότητα f ( ) F( ) e για κάθε. Αν f (0) =, να βρεθεί η f. Ερωτήσεις Ασκήσεις κατανόησης Ερωτήσεις σύντομης απάντησης Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: i) Τι ονομάζεται αρχική συνάρτηση ή παράγουσα μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ; ii) Να βρείτε μια παράγουσα της συνάρτησης ( ), 0, f iii) Να διατυπώσετε και να αποδείξετε θεώρημα σχετικό με το σύνολο των παραγουσών μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ i) Τι ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ; Ασκήσεις συμπλήρωσης κενού Να συμπληρώσετε τα κενά με λέξεις ή μαθηματικά σύμβολα, ώστε να προκύψουν αληθείς μαθηματικές προτάσεις. i) Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αρχική συνάρτηση ή. της f στο Δ, ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει για κάθε. 0

4 Ενότητα 5 ii) iii) i) ) Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και F είναι μια παράγουσά της, τότε κάθε άλλη παράγουσά της f στο Δ παίρνει τη μορφή., c. Το σύνολο όλων των παραγουσών μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ ονομάζεται.. της f στο Δ και συμβολίζεται με. ad... d..., - d... ημ(α)d=..., 0 a ημ ( ) + d..., 0 e d... ( ) ( a) d..., 0 d..., 0 a d..., 0 d..., >0 '() ( ) '( ) d..., - d... () ( ) e d d '( )... ημφ() '( )... '( ) d... συνφ() φ'()d=... ( ) i) f d ( ) '... ii) f '( ) d... Ασκήσεις πολλαπλής επιλογής. Το ολοκλήρωμα d, >0, είναι ίσο με : A. B. c. ln c.+ c E. ln c 8. Το ολοκλήρωμα d, >-, είναι ίσο με: 4 A. 8 c B.++c 4. c. 4 c E. 4 c 0

5 Ενότητα 5. Το ολοκλήρωμα d είναι ίσο με : A. c B. c. c c E. c Tο ολοκλήρωμα I d, >-, είναι ίσο με : A. ln c B.+ c +. ln( ) c. c E.ln ln c Ερωτήσεις τύπου «Σωστό ή Λάθος» Να εξετάσετε ποιοι από τους ισχυρισμούς που ακολουθούν είναι σωστοί (Σ) και ποιοι λανθασμένοι (Λ). i) Η παράγουσα μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ είναι αριθμός. ii) Κάθε συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ έχει παράγουσα στο διάστημα αυτό. iii) Μια παράγουσα της συνάρτησης f () = ln είναι η F() = ln. i) Αόριστο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ ονομάζεται το σύνολο όλων των παραγουσών της f στο Δ. ) Στο αόριστο ολοκλήρωμα η σταθερά c αφορά μόνο ένα διάστημα του πεδίου της συνάρτησης και όχι ένωση διαστημάτων. i) Είναι f '( ) d f ( ) c. ii) Ισχύει ότι iii) i) f ( ) d ' f '( ). Αν F είναι μια αρχική της συνάρτηση f, τότε F ()=f(). Αν F() = f() με f ( 0) =, όπου F είναι μια αρχική της συνάρτησης f, τότε υποχρεωτικά f () = e. 0

6 Ενότητα 6 Ολοκλήρωση κατά παράγοντες Ολοκλήρωση με αντικατάσταση Ασκήσεις για λύση i) A d ii)b= ημd ). Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: iii) e d i) = lnd ). Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: i) A d ii)b= συν d iii) d i) = σφ d ) E d i)z= e d ). Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: i) A e d ii)b= e d iii) e d i) = e d ) E (ln ) d i)z= συν(ln)d 4). Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: ) i A e ln( e ) d ii)b= ln( ) d 5). Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: i) A e d ii)b= e 4d 6). Αν - iii) e d i) = e d I, να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: I e d e d i) I I ii)i και I 7). Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: i) A e d ii)b= d iii) d i) = d, > ln 8). Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: i) A d, < ii)b= d, > - iii) d, >0 i) = ημ d, >0 9). Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: 4 4 i) A ( ) d ii)b= (συν ) d 04

7 Ενότητα 6 0). Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: 4 i) A d ii) B d ). Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: i) A e d ii)b= e d i) A d, > 6 ). Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: ii) B d, > ). Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: i) A d, >- π ii) B d, 0, 4). Να υπολογίσετε τα e e 7e ολοκληρώματα: i) A d ii)b= d e e e 5). Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: i) A e d ii)b= ln lnd, >0 e iii) d, >0 i) = d e e 6). Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: i) A d, 0, ii)b= d, 0, ημ 7). Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: i) A ln( ) d ii)b= συν ln +ημ d 8). Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: ln ln i) A e d ii)b= d ln iii) e d i) = d 9). Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: i) A ln d ii)b= lnd iii) ln d i) = ln d 0). Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: i) A ln( ) d ii)b= ln d iii) e d i) = e d ). Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: i) A ln( ) d ii)b= συν ln(+συν)d 05

8 Ενότητα 6 ). Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: e i) A d ii)b= d, >0 e + 4 iii) d, >0 i) d ). Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: ), >- ii)b= e i A d d ( )ln( e e ) iii) d i) = +εφ( ) d, 0, 4 4). Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: 7 5συν i) A d ii)b= d 6 ημ 6 5). Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: 5 e 5e i) A d ii)b= d 5 6 e 5e 6 ( ) π 6). Αν I d, όπου το και -,, να αποδείξετε ότι ( ) I 7). Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Α= d, >0. 8). Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από την αρχή των αξόνων και για κάθε είναι f '( ) f ( ), να αποδείξετε ότι f ( ) ( e ) 9). Μια συνάρτηση f : f(+e)= έχει την ιδιότητα f '( e ) για κάθε. Να αποδείξετε ότι f () 0. 0). Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: συν i) A d ii)b= d 8 ln ). Δίνεται το ολοκλήρωμα I d. i) Να αποδείξετε ότι I ln d. ii) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I. ). Να αποδείξετε ότι: i) I d, όπου, τότε I ( ) I για κάθε > ii) I d, όπου, τότε I ( ) I για κάθε > 06

9 Ενότητα 6 Ερωτήσεις Ασκήσεις κατανόησης Ερωτήσεις σύντομης απάντησης Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: i) Να διατυπώσετε και να αποδείξετε μέθοδο για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων της μορφής f ( ) g '( ) d. ii) iii) i) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I e d. Πώς υπολογίζονται τα παρακάτω ολοκληρώματα: a A P( ) e d, B= P()ημ(α)d P( ) ( a) d, = P()ln(α)d Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα I d, I 4 d I ln d ) Να διατυπώσετε και να αποδείξετε μέθοδο για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων της μορφής f ( g( )) g '( ) d. i) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I d. 4 ( 6 ) ii) Ποια βήματα ακολουθούμε για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων της P( ) μορφής d ; Q( ) Ασκήσεις συμπλήρωσης κενού Να συμπληρώσετε τα κενά με λέξεις ή μαθηματικά σύμβολα, ώστε να προκύψουν αληθείς μαθηματικές προτάσεις. i) Αν f και g είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις, τότε: f '( ) g( ) d... d... f ( ) g( ) f '( ) g( ) d ii) ln d... ln d... iii) ln... ln... i) Η ολοκλήρωση με ανντικατάσταση γίνεται με βάση τον τύπο f ( g ( )) g '( ) d..., όπου u g( ) και.. ) Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος I e e d θέτουμε u e, οπότε και έτσι I e e d... και τελικά Ι =.. P( ) i) Για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα Α = d, όπου ο Q( ) βαθμός του πολυωνύμου P() είναι μεγαλύτερος ή ίσος από τον βαθμό του πολυωνύμου Q(), εκτελούμε τη. Του P() με το Q(). 07

10 Ενότητα 6 4 A B ii) Είναι A =... και Β = d iii) Επειδή... προκύπτει ότι I d... Έτσι Ασκήσεις πολλαπλής επιλογής. Το ολοκλήρωμα 4 d είναι ίσο με : A. c B.4συν-ημ+c.ημ+συν+c.ημ-συν+c E.4συν+4συν+c. Το ολοκλήρωμα e d είναι ίσο με: A. e 4e c B.e e c. e ( ) c. e ( ) c 5 E. e e ( ) ' c. Το ολοκλήρωμα d είναι ίσο με: A. c B.ημ+c.ημ+c.(ημ)'+c Α E.ημ συν+c 4. Το ολοκλήρωμα ln d είναι ίσο με: A. c B. ln c ln.(ln ) c. - ln c E. ln c 5. Το ολοκλήρωμα d είναι ίσο με: A c '. ( ) B.-5ln(-)+8ln(-)+c 5. ln c.-5ln - 8ln c 8 E. ln ln c ' 08

11 Ενότητα 6 6. Αν I d d J= συν, το ολοκλήρωμα I J είναι ίσο με: A. c B. c.- c 4. c E.συν+c 7. Το ολοκλήρωμα d είναι ίσο με: A. c B. c 6. c. c E. c 8. Το ολοκλήρωμα d είναι ίσο με: 4 A. c B.- c.- c 4 9. c E.- c 9 9 Ασκήσεις αντιστοίχισης Να αντιστοιχίσετε τα ολοκληρώματα της στήλης Α με την αντικατάσταση που απαιτείται για τον υπολογισμό του καθενός από αυτά που βρίσκεται στη στήλη Β. Α ΣΤΗΛΗ Β. d α) u = ημ e. d β) u = συν e. εφ ln(συν)d συν γ) u = ln(συν) 4. d δ) u = e ε) u = στ) u = 09