ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ. Παρατήρηση: Για να εφαρμόσουμε τον τύπο πρέπει μία από τις δύο συναρτήσεις να είναι ή να την γράψουμε υπό μορφή παραγώγου

Transcript

1 ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Β. Ολοκλήρωση κατά παράγοντες Γενικά η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται όταν έχουμε γινόμενο δύο συναρτήσεων Εκφράζεται με τον τύπο της παραγοντικής ολοκλήρωσης: f()g ()d= f()g() - f ()g()d (όπου το τελευταίο ολοκλήρωμα υπολογίζεται ευκολότερα από το αρχικό) Παρατήρηση: Για να εφαρμόσουμε τον τύπο πρέπει μία από τις δύο συναρτήσεις να είναι ή να την γράψουμε υπό μορφή παραγώγου Άσκηση 1 Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα (+)ημd συνd συν d Οι μορφές Ρ()ημ(κ+λ)d, Ρ()συν(κ+λ)d όπου Ρ() πολυωνυμική συνάρτηση Γράφουμε την τριγωνομετρική συνάρτηση σαν παράγωγο και εφαρμόζουμε παραγοντική ολοκλήρωση Άσκηση Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα (+1)+ d +ln d 1 d Η μορφή Ρ()α+β d όπου Ρ() πολυωνυμική συνάρτηση Γράφουμε την εκθετική συνάρτηση σαν παράγωγο και εφαρμόζουμε παραγοντική ολκλήρωση Άσκηση Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα Ι= συν d Ι= συν d, J = ημ d αφού πρώτα βρείτε τα Ι+J και Ι-J Οι μορφές α+β ημ(κ+λ)d, α+β συν(κ+λ)d Γράφουμε όποια συνάρτηση θέλουμε σαν παράγωγο και εφαρμόζουμε παραγοντική ολκλήρωση (κατά προτίμηση την εκθετική) Συνήθως εμφανίζεται ξανά το αρχικό ολοκλήρωμα Ι, το οποίο υπολογίζουμε από την λύση μιας εξίσωσης Ι=φ(Ι) Άσκηση 4 Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα ln ( +-1) ln d ln5.ln8 d d Η μορφή Ρ() ln d όπου Ρ() πολυωνυμική συνάρτηση Προσοχή!!! Γράφουμε την πολυωνυμική συνάρτηση σαν παράγωγο και εφαρμόζουμε παραγοντική ολοκλήρωση

2 Θεωρία Να αποδειχθεί ότι ln d = ln + c Απόδειξη Παρατήρηση Όταν εφαρμόζουμε παραγοντική ολοκλήρωση η σταθερά c μπαίνει στο τελευταίο ολοκλήρωμα Άσκηση 5 Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα 1 ln d Ι = [f()+f ()]συνd ( +ημ) d Διάσπαση του ολοκληρώματος Αν η εφαρμογή της παραγοντικής ολοκλήρωσης δεν υπολογίζει το ολοκλήρωμα: Το χωρίζουμε σε δύο ολοκληρώματα Εφαρμόζουμε την μέθοδο στο ένα από αυτά Άσκηση 6 Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα d 6 6 d Ειδική μέθοδος () Ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης Q() 1 η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: βαθμός αριθμητή < βαθμό παρονομαστή Αναλύουμε το κλάσμα σε άθροισμα απλών κλασμάτων και μετά ολοκληρώνουμε η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: βαθμός αριθμητή > βαθμό παρονομαστή Εκτελούμε την διαίρεση Ρ() : Q() και παίρνουμε άθροισμα ενός πολυωνύμου και ενός κλάσματος της 1 ης περίπτωσης Μετά ολοκληρώνουμε Γ. Ολοκλήρωση με αντικατάσταση Γενικά η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται όταν έχουμε ολοκλήρωμα σύνθετης συνάρτησης Η εφαρμογή της γίνεται ως εξής: Ζητάμε να υπολογίσουμε το f(g())g ()d Θέτουμε u=g() οπότε du=g ()d Tότε f(g())g ()d = f(u) du (όπου το τελευταίο ολοκλήρωμα υπολογίζεται ευκολότερα από το αρχικό) Άσκηση 7 Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα 1 1 d 1 ln d ( 1) ln( 1) d δ) d ε) d 1 στ) 1 d

3 Άσκηση 8 Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα ημ d ln δ) d d ln ημ.ημ d Συνδυασμός των μεθόδων Δ. Αναγωγική μέθοδος Η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται όταν στην συνάρτηση υπάρχει δύναμη με εκθέτη φυσικό αριθμό ν και το ολοκλήρωμα δεν υπολογίζεται απ ευθείας Η εφαρμογή του γίνεται ως εξής: Ζητάμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα Ι ν = f ν ()...d Mε παραγοντική ολοκλήρωση (συνήθως) βρίσκουμε μία σχέση που συνδέει τα ολοκληρώματα Ι ν, Ι ν-1, Ι ν- κ.τ.λ Αναγόμαστε έτσι στον υπολογισμό κάποιων αρχικών ολοκληρωμάτων Ι 0, Ι 1, Ι κ.τ.λ. Άσκηση 9 Να βρεθεί αναγωγικός τύπος για τα ολοκληρώματα Ι ν = (ln)ν d και μετά να υπολογίσετε το Ι Ι ν = εφν d και να υπολογίσετε το Ι Ι ν = d με >0 και ν και να αποδείξετε ότι Ι ν = Ι ν-1 (ν-1) ν-1 ν-1. Τριγωνομετρικά ολοκληρώματα... και κάποιες μέθοδοι για τις ασκήσεις... Για τα τριγωνομετρικά ολοκληρώματα εφαρμόζονται ειδικές μέθοδοι ανάλογα με την μορφή της συνάρτησης Αξιόλογες είναι οι περιπτώσεις: 1... Ι ν = ημ 1 εφd= d=...(y=συν,dy=-ημd)... dy ln y ln συν +c συν y συν 1 σφd= d=...(y=ημ,dy=συνd)... dy... ημ y ημ 1-συν 1 εφ d= d= d= d- d=εφ-+c συν συν συν σφ d=...=-σφ-+c Ι ν = ν ν- ν- ν- ν- εφ d= εφ εφ d= εφ (1+εφ -1)d= εφ (1+εφ )d- εφ d= ν- =...(y=εφ,dy=(1+εφ )d)...= y dy-ι ν- (Αναγωγικός-τύπος) ν ν- ν- ν- ν- σφ d= σφ σφ d= σφ (1+εφ -1)d=- σφ (-1-σφ )d- εφ d= =...(y=σφ,dy=-(1+σφ )d)...=... (Αναγωγικός-τύπος)

4 4. 1 ημ ημ d= d= d=...(y=συν,dy=-ημd) ημ ημ 1-συν (ολοκλήρωμα ρητής) 1 συν συν d= d= d=...(y=ημ,dy=συνd) (ολοκλήρωμα ρητής) συν συν 1-ημ 5. (διάσπαση)... 1-συν ημ d= d= (διάσπαση)... 1+συν συν d= d= 6. ημ d= ημ ημd= (1-συν )ημd (y=συν, dy=-ημd) συν d= συν συνd= (1-ημ )συνd (y=ημ, dy=συνd) Η μέθοδος εφαρμόζεται γενικά όταν υπάρχει περιττή δύναμη του ημ ή του συν δηλαδή στις μορφές 7. ημ4 d= (ημ ) d= ημν+1 συν κ d ή συν ν+1 ημ κ d συν4 d= (συν ) d= 1-συν 1+συν d =... (ανάπτυγμα...)... d =... (ανάπτυγμα...)... Η μέθοδος εφαρμόζεται γενικά όταν υπάρχουν μόνο άρτιες δυνάμεις του ημ ή του συν δηλαδή στη μορφή ημν συν κ d 8. ημ(ημ(d, ημ(συν(d, συν(συν(d 9. (Μετατρέπουμε τα γινόμενα σε αθροίσματα με τους γνωστούς τριγωνομετρικούς τύπους ) R(ημ, συν) d, (όπου R ρητή παράσταση του ημ, συν) Γενική μέθοδος: Θέτουμε u=εφ τότε d= du 1 u u, ημ= 1 u 1 u, συν= 1 u Εκθετικά ολοκληρώματα R(κ, λ,..., ì ) d (όπου R ρητή παράσταση εκθετικών δυνάμεων) Γενική μέθοδος: Θέτουμε y= και παίρνουμε ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης Άρρητα ολοκληρώματα (Συνηθισμένη η μέθοδος της αντικατάστασης) Αναφέρουμε ενδεικτικά κάποιες περιπτώσεις 1. ν α+βd, Γενική μορφή: 1 d (θέτουμε y=α+β ή y= ν α+β ) α+β κ λ ì R(, α+β, α+β,... α+ d (θέτουμε y= ν α+β, όπου ν = Ε.Κ.Π. των δεικτών κ, λ,..., ì ) α+β. ν d (θέτουμε y= ν γ+δ α+β γ+δ )

5 Γενική μορφή: α+β α+β α+β γ+δ γ+δ γ+δ R(, κ, λ, ì ) d (θέτουμε y= ν α+β γ+δ, όπου ν = Ε.Κ.Π. των δεικτών κ, λ,..., μ) R (, α -β ) d (θέτουμε = α ημy R (, β -α )d (θέτουμε = α 1 α +β+γ d Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: β ) ) β ημy Δ>0: Θέτουμε α(-ρ 1)(-ρ ) =(-ρ 1)u τότε α(-ρ 1 )(-ρ )= (-ρ 1 )u Λύνουμε ως προς, βρίσκουμε d,... ρητή Δ=0 : Είναι α +β+γ = α -ρ και το ολοκλήρωμα υπολογίζεται Δ<0: Θέτουμε α +β+γ = u+ α, τετραγωνίζουμε, λύνουμε ως προς, βρίσκουμε d,... ρητή