ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ"

Transcript

1 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ. Εισαγωγή Στις σύγχρονες ποσοτικές έρευνες και μελέτες οικολογικής, περιβαλλο ντι κής και γεωργικής φύσεως, ιδίως σ εκείνες που πραγματοποιούνται σε συνθή κες υπαί θρου, χρειάζονται καλές μετρήσεις των στοιχείων ή χαρακτηριστικών του συ στήματος που μελετάμε. Ειδικά στις περιπτώσεις ερευνών σε επίπεδο πληθυσμού ή βιοκοινότη τας, η απογραφή ή η μέτρηση των σχετικών παραμέτρων όλων των ατόμων του υπό μελέτη μεγάλου συνόλου είναι κατά κ ανόνα αδύνατη ή πολύ δαπανηρή. Περιο ριζόμαστε λοιπόν στη λήψη αντιπροσωπευτικού δείγματος, το οποίο αν επιλε γεί σωστά (σύμφωνα με τους κανόνες της δειγματοληψίας), μπορεί να χρησι μοποιηθεί για να γίνουν αναφορές στον πληθυσμό ή σ όποιο σύνολο από το οποίο ελήφθη το δείγμα. Το θέμα της δειγματοληψίας γενικά είναι αρκετά μεγάλο. Τα όργανα και οι μέθοδοι δειγματοληψίας που χρησιμοποιούνται ποικίλλουν ανάλογα με το είδος των οργανισμών που μελετούμε και τον χώρο (χερσαίος, θαλάσσιος, ποτάμιος, λιμναίος κ.τ.λ.) στον οποίο ζουν. Στο παρόν κεφάλαιο και στα επόμενα τρία θα ε ξετάσουμε τις βασικές αρχές της δειγματοληψίας και τις πλέον συνήθεις μεθόδους και όργανα που χρησιμοποιούνται. Για εκτενέστερη κάλυψη και μεγαλύτερη εμβάθυνση στο θέμα ο ερευνητής θα πρέπει να ανατρέξει σε εξειδικευμένα εγχειρίδια (Snedecor and Cochran 967, Seber 973, Begon 979, Krebs 999, Govin darajulu 999). Σε ορισμένες περιπτώσεις η δειγματοληψία ποσοτικών χαρα κτηριστικών των φυτών χρησιμοποιείται για την έμμεση αξιολόγηση (βιοκαταγραφή) των επιπέδων κάποιας περιβαλλοντικής παραμέτρου, όπως π.χ. ατμοσφαιρικής ρύπανσης (Saitanis and Karandinos 00). Όσον αφορά τις τεχνικές και τα όργανα δειγματολη ψίας, ιδιαίτερα σε υδάτινα περιβάλλοντα, το βιβλίο των Southwood and Henderson (000) είναι αρκετά λεπτομερές. Επίσης χρήσιμο ίσως είναι στον αναγνώστη το Παράρτημα τούτου του βιβλίου. Πρέπει να τονίσουμε ότι για τον σχεδιασμό μιας καλής δειγματοληψίας με στό χο την εκτίμηση παραμέτρων του πληθυσμού κάποιου είδους (π.χ. πληθυ σμιακό μέγεθος, λόγο αρρένων προς θήλεα άτομα, ύψος προσβολής μιας καλ λιέρ γειας

2 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ από κάποιο έντομο ή μύκητα, ποσοστό παρασιτισμού κ.τ.λ.), ο ερευνη τής θα πρέπει να έχει τις γνώσεις εκείνες της βιολογίας και οικολογίας (σε ποιοτι κό έστω επί πε δο) του υπό μελέτη είδους που εμπλέκονται με την τεχνική της δειγματολη ψίας την οποία προτίθεται να χρησιμοποιήσει. Για παράδειγμα, οι Duffield et al. (005) περιγράφουν τη βαθμονόμηση διαφόρων τεχνικών δειγματολη ψίας αυγών και προ νυμφών του Λεπιδοπτέρου εντόμου Helicoverpa spp. σε φυτείες σό γιας. Επί σης, οι Stephens and Losey (004) συνέκριναν διάφορες μεθόδους δειγ μα το λη ψίας των Coccinellidae στο καλαμπόκι. Εάν σε δεδομένη περίπτω ση δεν υπάρ χει σχετική γνώση, θα πρέπει να αποκτηθεί, με την πραγματοποίηση εν - δεχομένως κάποιων παρατηρήσεων και προκαταρκτικών δειγματοληψιών. Ει δικά στην περίπτωση δειγματοληψίας ειδών με μικρούς πληθυσμούς (π.χ. νέα εί δη στην περιοχή που πιθανόν να προκαλέσουν επιδημίες), οι Venette et al. (00) σε ένα άρθρο ανασκόπησης περιγράφουν τις κατάλληλες στατιστικές στρατη γι κές της δειγματοληψίας. Βέβαια, κανόνες γενικής εφαρμογής της δειγματο λη ψίας για όλα τα είδη και πληθυσμούς δεν υπάρχουν. Ενδεικτικά μόνο αναφέρουμε μερικά παραδείγματα. Έστω ότι η δειγματοληψία γίνεται με ελκυστικά σε παγίδες για την εκτίμηση του πληθυσμού ακμαίων εντόμων κάποιου είδους. Ο ερευνητής θα πρέπει να γνωρίζει εάν προσελκύονται τα άτομα του είδους αυτού ανεξαρτήτως ηλικίας, φύλου, συζευγμένα ή μη κ.τ.λ. Δηλαδή ποιος είναι ο «πληθυσμός» από τον οποίο λαμβάνεται το δείγμα. Εάν η δειγματοληψία γίνεται με μεθόδους που σχετίζονται με την κινητικότητα των ζώων και ιδιαίτερα αν η έρευνα στοχεύει στην καταγραφή των πληθυσμιακών διακυμάνσεων στο χρόνο (π.χ. εποχιακές), ο ερευνητής θα πρέπει να λάβει υπόψη του τις περιβαλλοντικές συνθήκες που ευνοούν ή παρεμποδίζουν την κι νητικότητα των ζώων σε κάθε χρονική περίοδο. Στην εφαρμοσμένη εντομολογία η ζημία της παραγωγής συχνά προκαλείται από τις προνύμφες του εντόμου, η ποσοτική δειγματοληψία των οποίων μπορεί να είναι δύσκολη ή/και χρονοβόρα. Επιπλέον, εάν ο σκοπός της δειγματοληψίας είναι να εκτιμήσουμε την αναμενόμενη ζημία στην καλλιέργειά μας από τις προνύ μφες για να επέμβουμε εάν χρειάζεται, τότε η δειγματοληψία στο στάδιο της προνύμφης ίσως δε βοηθά. Θα πρέπει να διενεργήσουμε τη δειγματοληψία έγκαιρα στο στάδιο του ακμαίου της προηγούμενης γενιάς (π.χ. με παγίδες φερο μόνης), έχοντας όμως προσδιορίσει ήδη ερευνητικά τη συσχέτιση μεταξύ συλλήψεων ακμαίων στις παγίδες και αναμενόμενου πληθυσμιακού με γέθους των προνυμφών. Τέτοιες έρευνες έχουν πραγματοποιηθεί για διάφορα οικονομικής σημασίας έντομα. Σε μια πρόσφατη (Hillier et al 004) τέτοια έρευνα μελετήθηκε επί τρία χρόνια στον Καναδά το Λεπιδόπτερο Grapholita libertina που προσβάλλει τα Vaccinium vitis-idaea L. (κοινώς μυρτίδια ή μπλούμπερη). Πράγματι, στην περίπτωση αυτή βρέθηκε καλή συσχέτιση μεταξύ του αριθμού

3 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ 3 των συλληφθέντων ακμαίων και: (i) του αριθμού των προνυμφών και (ii) του επιπέδου της ζημίας. Σε μια εμπεριστατωμένη έρευνα 7 ετών στις ΗΠΑ (Raimondo et al. 004) για το έντομο Lymantria dispar, που προσβάλλει διάφορα οπωροφόρα και δα σικά δένδρα, μελετήθηκε η συγκριτική αποτελεσματικότητα 4 μεθόδων δειγμα τοληψίας (συλλήψεις σε φωτοπαγίδες, αριθμός προνυμφών φυλλώματος, αριθμός ωομαζών και συλλήψεις σε παγίδες καμβά στον κορμό των δένδρων) και σε 3 κλίμακες χώρου (τεμάχια δειγματοληψίας 00 ha, δασικές συστάδες ha, και περιοχή ha). Οι αριθμοί των ακμαίων στις φωτοπαγίδες αξιολογήθηκαν ως καλοί δείκτες του πληθυσμιακού μεγέθους σε σχέση με τις καταμετρήσεις προνυμφών φυλλώματος. Επίσης, αριθμοί προνυμφών φυλ λώματος και συλλήψεις στον καμβά ήσαν καλοί δείκτες του πληθυσμιακού μεγέθους στις κλίμακες των τεμαχίων και δασικών συστάδων, αλλά μόνο αριθμοί προ νυμφών φυλλώματος ήσαν καλοί δείκτες και στην κλίμακα της περιοχής. Οι Μπρούμας και Σουλιώτης (987) τεκμηρίωσαν σημαντική συσχέτιση μεταξύ των συλλήψεων ακμαίων αρρένων του Preys oleae (πυρηνοτρήτη) σε παγίδες φερομόνης και του εν συνεχεία επιπέδου προσβολής στα άνθη και τους καρ πούς της ελιάς σε ελαιώνες της Βοιωτίας. Επίσης, ο Αλεξανδράκης (987) τεκ μηρίωσε τη σχέση μεταξύ αφ ενός μεν των συλλήψεων ακμαίων αρρένων των κοκκοειδών Aonidiella aurantii και Planococcus citri σε παγίδες φερομόνης και αφ ετέρου της έντασης (και του χρόνου εμφάνισης) της προσβολής σε εσπεριδοειδώνες του Νομού Χανίων. Λόγω της ιδιομορφίας του βιολογικού κύκλου και της φαινολογίας των εντόμων, είναι χρήσιμη αν όχι αναγκαία η δειγματοληπτική παρακολούθηση της επο χιακής διακύμανσης του πληθυ σμού ποιοτικά (διάφορα στάδια) και ποσοτικά. Αυ τήν τη μέθοδο ακολούθησε, για διάφορα είδη αρθροπόδων μηδικής στην Κωπαΐδα, λειμώνων στα Ιωάννινα και ακάρεων εδάφους στην Αττική, ομάδα ερευνητών του Γεωπονικού Πανεπιστημίου Αθηνών (Λυκουρέσης κ.ά. 985, Κα παξίδη κ.ά. 000, Aντωνάτος κ.ά. 00, και Ψυχάρης κ.ά. 00) με στόχο, μεταξύ άλλων, και την αξιολόγηση της ρύπανσης χρησιμοποιώντας τα αρθρόποδα ως βιοδείκτες. Δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι η ζημία μιας καλλιέργειας από κάποιο έντομο συχνά εξαρτάται, εκτός από τον αριθμό των εντόμων, και από άλλους παράγοντες (κλίμα, έδαφος, ηλικία των φυτών κ.τ.λ.), οι οποίοι αλληλεπιδρούν με το έντομο ή το παθογόνο. Η κινητικότητα των ζώων συχνά εμφανίζει περιοδικότητα εντός του εικο σι τετραώρου. Οι αφίδες π.χ. πετούν κυρίως τις πρωινές ώρες και αργά το α πό γευ μα. Έτσι έχουν μεγαλύτερες πιθανότητες να συλληφθούν σε παγίδες αναρρόφησης ή κίτρινες κατά τις ώρες αυτές. Παρασιτικά Υμενόπτερα σπάνια πετούν όταν η θερ-

4 4. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ μο κρα σία του αέρα είναι χαμηλότερη των 0 C, ιδίως αν επικρατεί συννεφιά. Η έξο δος των ακμαίων (από τις πούπες) Λεπιδοπτέρων της οικογενείας των Sesiidae (Aegeriidae) λαμβάνει χώρα κάθε ημέρα λίγο μετά την ανατολή του ηλίου και εφόσον η θερμοκρασία του αέρα έχει φθάσει τους 5 C μέχρι την 0 η περίπου ώρα (Gorscuch and Karandinos 974). Τα ακμαία αυτά, μια ώρα περίπου μετά την έξοδό τους, δραστηριοποιούνται για σύζευξη (ελευθερώνοντας φερομόνη τα θήλεα) μέχρι τις πρώτες απογευματινές ώρες και εφόσον η θερμοκρασία του αέρα είναι υψηλότερη των C (Karandinos 974). Επομένως, ημέρες που η θερμοκρασία δεν φθάνει τους C μέχρι αυτές τις ώρες (όπως συμβαίνει συχνά σε μεγάλα γεωγραφικά πλάτη ακόμα και το καλοκαίρι), δεν πρέπει να αναμένουμε συλλήψεις σε παγίδες φερομόνης φύλου. Ποσοτικές εκτιμήσεις του μεγέθους του πληθυσμού και διαφόρων άλλων παρα μέτρων με δειγματοληψία είναι αναγκαίες κατ αρχάς για την κατανόηση οικο λογικών φαινομένων αλλά και για πρακτικούς σκοπούς. Η καταπολέμηση εντό μων που προσβάλλουν τις καλλιέργειες ή τα δασικά δένδρα απαιτεί αποτίμηση της πληθυσμιακής πυκνότητας και της μεταβολής αυτής της πυκνότη τας εντός του έτους και μεταξύ ετών. Απαιτεί επίσης την εκτίμηση του ποσοστού παρασιτισμού του εντόμου, τη μέση διάρκεια ζωής του, το αναπαραγωγικό του δυναμικό κ.τ.λ. Οι τιμές αυτές τελικά συσχετίζονται, όπως είδαμε ανωτέρω, με το επί πεδο ζημίας της καλλιέργειας ή του δάσους και με βάση αυτές τις πληροφορίες εκπονείται η στρατηγική καταπολέμησης. Τα ανωτέρω ισχύουν και για έντομα που μεταδίδουν ασθένειες στους ανθρώπους και τα ζώα. Το κουνούπι Aedes aegypti είναι ο φορέας μετάδοσης του ιού που προκαλεί τον δάγκειο πυρετό, ο οποίος προσβάλλει κυρίως μικρά παιδιά. Είναι επομένως σο βαρό πρόβλημα δημόσιας υγείας, ιδίως στη Νότια Ασία. Έτσι, από την δεκαετία του 60 ο Διεθνής Οργανισμός Υγείας του ΟΗΕ ίδρυσε στην Bangkok, πρωτεύουσα της Ταϊλάνδης, ένα ερευνητικό Ινστιτούτο του Aedes (Begon 979). Eίχε παρατηρηθεί έξαρση της ασθένειας την υγρή περίοδο του έτους με αιχμές κάθε δεύτερο χρόνο. Οι ερευνητές υπέθεσαν ότι αυτοί οι κύκλοι της ασθένειας συσχετίζονταν με τους κύκλους της πληθυσμιακής πυκνότητας των κουνουπιών ή ενδεχομένως με την αποτελεσματικότητά τους ως φορέων της ασθένειας. Το Ινστιτούτο θα ήλεγχε αυτή την υπόθεση με απώτερο στόχο την καταπολέμηση της ασθένειας. Αυτό μπορούσε να επιτευχθεί μόνο εάν η στρατηγική κατα πολέ μησης εβασίζετο στην κατανόηση της οικολογίας του κουνουπιού. Μεταξύ των εμπλεκομένων οικολογικών παραμέτρων ήταν η πληθυσμιακή πυκνότη τα των κουνουπιών σε διάφορες περιόδους του έτους, η τάση των κουνουπιών να μετακινούνται από τη μία περιοχή στην άλλη και η διάρκεια ζωής των κουνουπιών. Η διάρκεια ζωής μπορεί φυσικά να ποσοτικοποιηθεί μετρώντας τους ρυθ μούς επιβίωσης. Αυτές οι παράμετροι έπρεπε να ερευνηθούν υπό φυσικές συνθήκες, αφού έπρεπε να ελεγχθεί η υπόθεση ότι η δυναμική των πληθυσμών

5 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ 5 του κουνουπιού αποτελούσε το υπόβαθρο των διακυμάνσεων στην εμφάνιση της ασθένειας. Το κύριο πρόβλημα λοιπόν των ερευνητών ήταν να εκτιμήσουν το μέγε θος και τις άλλες παραμέτρους του πληθυσμού, τα άτομα του οποίου συνεχώς μετακινούνται σε μια μεγάλη έκταση, ενώ συγχρόνως η μια γενιά διαδέχεται την άλλη. Στη χώρα μας η καταπολέμηση του Δάκου της ελιάς με ψεκασμούς γίνε ται ή πρέπει να γίνεται όταν εκτιμάται δειγματοληπτικά ότι η πληθυσμια κή πυκνότητα είναι σε τέτοιο ύψος που αναμένεται να προκαλέσει μη ανεκτή απώ λεια της παραγωγής. Μετά την ταυτοποίηση και την εργαστηριακή σύνθεσή της, η φε ρο μόνη φύλου του Δάκου (Haniotakis et al. 977, Mazomenos et al. 98) χρησιμοποιείται σε παγίδες για την εκτίμηση της πληθυσμιακής πυκνότητας, για καταπολέμηση (μέθοδος μαζικών συλλήψεων των αρρένων) καθώς και για τη μελέτη της βασικής βιολογίας σύζευξης και αναπαραγωγής (Haniotakis et al. 983, Haniotakis and Pittara 994). Έτσι διαπιστώθηκε, για παράδειγμα, ότι τα άρρενα ανταποκρίνονται στο ερέθισμα της φερομόνης τις τελευταίες 4 ώρες της φωτόφασης της φωτοπεριόδου 4: 0 (Φ:Σ) και επίσης ότι η ανταπόκριση αυτή μεγιστοποιείται την 6 η ημέρα της ζωής των ακμαίων. Μελετήθηκε επί σης πει ραματικά αλλά και με θεωρητικά υποδείγματα η αποτελεσματικότητα συνδυασμού φερομόνης φύλου και ελκυστικού τροφής (Haniotakis and Vassiliou-Waite 987, Barclay and Haniotakis 99). Ο συνδυασμός αυτός χρησιμοποιείται πλέον στην πράξη από τους Έλληνες βιοκαλλιεργητές της ελιάς για την προστασία της παραγωγής τους. Σοβαρές απώλειες της παραγωγής προκαλούνται επίσης από μύκητες, βα κτήρια και ιούς που προσβάλλουν τα φυτά. Ο Διεθνής Οργανισμός Τροφίμων και Γεωργίας σε ετήσιες εκδόσεις του καταγράφει τις απώλειες σε ποσότητες γεωργικών προϊόντων (και τη χρηματική τους αξία) που οφείλονται σε ασθένειες και άλλους εχθρούς των φυτών στις αναπτυσσόμενες και στις αναπτυγμένες χώρες. Σύ νοψη τέτοιων στοιχείων παραθέτει ο Τζάμος (004) στο πρόσφατο βιβλίο του. Η εκτίμηση της πληθυσμιακής πυκνότητας και των άλλων πληθυσμιακών παρα μέτρων δεν είναι αναγκαία μόνο για πληθυσμούς επιβλαβών ειδών αλλά και για πληθυσμούς ειδών που, για κάποιους λόγους, επιθυμούμε να προστατεύσουμε ή να διατηρήσουμε ή γενικά να διαχειριστούμε. Είδη της άγριας πανίδας ή χλωρίδας, είδη κυνηγίου, είδη ψαριών ή άλλων θαλασσίων ειδών ανήκουν σ αυτές τις κατηγορίες. Ειδικά σήμερα που σε πολλές περιοχές του κόσμου αρκετά είδη βρίσκονται σε κίνδυνο εξάλειψης, οι ποσοτικές οικολογικές μελέτες είναι αναγκαίες για την ανάπτυξη στρατηγικής διάσωσής τους. Θα μνημονεύσω τη χαρακτηριστική περίπτωση της θαλάσσιας χελώνας, Caretta caretta, την πυκνότητα των «φωλιών» της οποίας μεταξύ άλλων παραμέτρων έχει μελετήσει διεξοδικά ο Δημήτρης Μαργαριτούλης και οι συνεργάτες του στη Ζάκυνθο επί σειρά ετών.

6 6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτσι, σε μια πρόσφατη ενδιαφέρουσα δημοσίευση (Margaritoulis 005), στην οποία συνοψίζονται τα δεδομένα καταγραφής 9 ετών (984-00) των φωλιών της θαλάσσιας χελώνας στη Ζάκυνθο, δίδεται η πυκνότητα εκφρασμένη ως αριθμός φωλιών ανά τρέχον χιλιόμετρο αμμώδους ακτής για 6 τοποθεσίες του κόλπου του Λαγανά. Η μέση ετήσια πυκνότητα κυμάνθηκε από 53,7 φωλιές/km στον Ανατολικό Λαγανά έως 06,8 φωλιές/km στην τοποθεσία Σεκάνια. Η χω - ρική αυτή διαφοροποίηση της πυκνότητας αποδίδεται κυρίως στη διαφορο ποίη ση της ανθρώπινης ενόχλησης στις διάφορες περιοχές. Η μέση πυκνότητα φω λιών στις 6 περιοχές κυμάνθηκε από 55,8 φωλιές/km το 985 έως 366,9 φωλιές/km το 995. Ο συγγραφέας σωστά παρατηρεί ότι, λόγω της μεγάλης δια κύμαν σης του αριθμού των φωλιών από έτους εις έτος, δεν είναι εύκολο να απο φαν θεί κανείς για τη στασιμότητα ή όχι του πληθυσμού στον χρόνο. Ο ερευνητής οικολογικών φαινομένων ποσοτικής φύσεως έχει σήμερα στη διά θεσή του πλήθος σύγχρονων τεχνικών και μεθόδων δειγματοληψίας που δεν υπήρχαν παλαιότερα. Για παράδειγμα, τεχνικές υπέρυθρης φωτογράφησης από αεροπλάνα ή δορυφόρους χρησιμοποιούνται σήμερα για την τεκμηρίωση αποφύλλωσης δασικών δένδρων ή την ποσοτική καταγραφή υπέργειων φωλιών (mounds) μυρμηγκιών της φωτιάς (fire ants) (Vogt 004). Στο άλλο άκρο, τεχνικές με ραδιενεργά ισότοπα ( 34 Cs) χρησιμοποιούνται για τη μελέτη της μετα κίνησης θρεπτικών στοιχείων στο έδαφος και στα διάφορα μέρη του φυτού (Arapis 005). Επίσης, o ερευνητής έχει στη διάθεσή του τις μαθηματικές και στατιστικές μεθόδους οι οποίες, σε συνδυασμό με τα προγράμματα ηλεκτρονικών υπολο γιστών που έχουν αναπτυχθεί, του επιτρέπουν να επεξεργασθεί πληθώρα ποσοτικών δεδομένων και να αποκαλύψει την πληροφορία που περιέχουν και που τον ενδιαφέρει. Δεν πρέπει να ξεχνούμε ότι το πληθυσμιακό μέγεθος και άλλες παραμέτρους τις μελετούμε με οδηγό τα συγκεκριμένα οικολογικά ερωτήματα που μας ενδιαφέρουν και επίσης ότι το είδος του ερωτήματος καθορίζει και τον βαθμό αξιοπιστίας που λογικά θέλουμε να έχει η απάντηση. Ένα άλλο θέμα λοιπόν που πρέπει να τονίσουμε είναι ότι η εκτίμηση με δειγματοληψία του μεγέθους του πληθυσμού έχει μικρή πρακτική αξία εάν δεν γνωρίζουμε και την αξιοπιστία αυτής της εκτίμησης. Κάθε εκτίμηση του μεγέθους ενός πληθυσμού (ή οποιασδήποτε παραμέτρου) που προκύπτει από δει γματοληψία έχει, ως γνωστόν, κάποιο σφάλμα, με άλλα λόγια έχει ένα βαθμό αξιοπιστίας. Ο βαθμός αυτός γενικά είναι τόσο μεγαλύτερος όσο μεγαλύτερο είναι το μέγεθος του δείγματος από το οποίο εκτιμήθηκε η υπό μελέτη παράμετρος. Στο σημείο αυτό είναι σκόπιμο να διευκρινίσουμε τη διαφορά μεταξύ των όρων αμερόληπτος και αξιόπιστος. Ο όρος αμερόληπτος (unbiased) χρησι μοποιείται με τη στατιστική έννοια και αναφέρεται σε βασική ιδιότητα του εκτιμητή

7 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ 7 που χρησιμοποιούμε, ενώ ο όρος αξιοπιστία αναφέρεται στη συγκε κρι μένη εκτίμηση της παραμέτρου. Για παράδειγμα ο εκτιμητής x, που ορίζεται ως η μέση αριθμητική τιμή μιας παραμέτρου, από τις τιμές ενός τυχαίου δείγμα τος n μεγέθους n ( x x n i ), αποδεικνύεται ότι είναι αμερόληπτος εκτιμητής της i (άγνω στης) μέσης αριθμητικής τιμής (μ) της παραμέτρου του πληθυσμού (E(x) μ), ανεξάρτητα από το μέγεθος n του δείγματος. Όμως το μέγεθος του δείγματος επηρεάζει την αξιοπιστία της εκτίμησής μας, π.χ. το τυπικό σφάλμα. Είναι θέμα κοινής λογικής ότι η εκτίμηση μιας παραμέτρου που προέκυψε από ένα δείγμα έχει τόσο μεγαλύτερη αξιοπιστία (μικρότερο τυπικό σφάλμα) όσο μεγαλύτερο είναι το μέγεθος του δείγματος. Οι διάφοροι στατιστικοί εκτιμητές που υπάρχουν στη στατιστική βιβλιογραφία χαρακτηρίζονται από μικρή ή μεγάλη μεροληψία και από μικρή ή μεγάλη τυπική απόκλιση (και επομένως μικρό ή μεγάλο τυπικό σφάλμα). Ο ερευνητής πρέπει να επιλέξει τον «καλύτερο». Συχνά συμβιβάζεται και επιλέγει εκείνον που έχει το μικρότερο «μέσο σφάλμα τετραγώνου» (MSE), που είναι απλά μια συνάρτηση των δύο μεγεθών: MSE (μεροληψία) + διακύ μανση. Το θέμα αυτό θα το δούμε λεπτομερώς στο κεφάλαιο 4. Ομαδικός Έλεγχος. Στην ξένη βιβλιογραφία δειγματοληψίας συχνά χρησιμοποιούνται οι όροι accuracy και precision (Krebs 999), που εννοιολογικά έχουν τη σημασία των όρων αμεροληψία (unbiased) και αξιοπιστία αντίστοιχα και αναφέρονται σε ιδιό τητες μετρήσεων που σχετίζονται με την τεχνική της δειγματοληψίας μάλλον παρά με τις στατιστικές ιδιότητες των εκτιμητών των παραμέτρων μιας κατανομής. Εάν π.χ. επανειλημμένες ζυγίσεις ενός αντικειμένου σε έναν ζυγό ακρι βείας δώσουν σχεδόν την ίδια τιμή, αλλά η μέση τιμή των ζυγίσεων διαφέρει πολύ από το (γνωστό) πραγματικό βάρος του αντικειμένου (π.χ. λόγω κακής βαθμονόμησης του ζυγού), τότε η ζύγιση έχει μεγάλη αξιοπιστία (precision), αλλά μικρή αμεροληψία (accuracy). Αντίθετα, εάν η μέση τιμή των ζυγίσεων είναι πο λύ πλησίον της πραγματικής τιμής του αντικειμένου, αλλά οι επιμέρους ζυ γίσεις διαφέρουν αρκετά μεταξύ τους, τότε έχουμε την περίπτωση μεγάλης αμεροληψίας αλλά μικρής αξιοπιστίας των ζυγίσεων. Στην εκτίμηση των πληθυσμιακών μεγεθών αρθροπόδων εδάφους ή φυλλοστρωμνής, συχνά χρησιμοποιούνται χωνιά Berlesse στα οποία τοποθετεί ται δεί γμα του εδάφους ή της φυλλοστρωμνής. Τα αρθρόποδα του δείγματος απωθού νται από έντονο φως και μετακινούνται στο κάτω μέρος των χωνιών όπου παγιδεύονται σε φιαλίδια με οινόπνευμα. Εάν η ένταση του φωτός είναι με γάλη και συνεπώς η θερμοκρασία υψηλή, τότε τα μικρότερα αρθρό πο δα αφυ δατώνονται και πεθαίνουν πριν προφθάσουν να πέσουν στο φιαλίδιο. Έτσι έχουμε μία συστηματική υποεκτίμηση (μεροληπτική) του μεγέθους του πληθυσμού

8 8. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ των μικρών αρθροπόδων, δηλ. η εκτίμηση έχει μικρή αμεροληψία, η οποία δεν βελτιώ νεται με πολλές επαναλήψεις. Αντίθετα, εάν η ένταση του φωτός ή η θερμοκρασία ποικίλλει στον χρόνο ή από δεί γμα σε δείγμα, τότε η εκτίμηση του πληθυσμού έχει μικρή αξιοπιστία (μικρή precision), παρόλο που μπορεί να είναι αμερόληπτη. Η αξιοπιστία βελτιώνεται με τις πολλές επαναλήψεις, δηλαδή με το μέγεθος του δείγματος. Στην εκτίμηση του πληθυσμού μικρών θηλαστικών με τη μέθοδο σύλληψης-σήμανσης-ελευθέρωσης-επανασύλληψης, που θα αναπτύξουμε σε επό μενο κεφάλαιο, είναι δυνατόν τα άτομα που συνελήφθησαν, σημάνθηκαν και απε λευθερώθηκαν, να απέκτησαν μια «εμπειρία» που μειώνει την πιθανότητά τους να επα νασυλληφθούν («έμαθαν» ν αποφεύγουν την παγίδευση). Στην περίπτωση αυτή η εκτίμηση του πληθυσμού είναι μεροληπτική (μικρή αμεροληψία) και μάλιστα υπερε κτιμά τον πληθυσμό. Αντίθετα, εάν η τεχνική και η αποτελεσματικότη τα της σύλληψης των ζώων διαφέρει από ημέρα σε ημέρα ή εάν το δείγμα είναι μικρό, τότε η αξιοπιστία της εκτίμησης είναι μικρή. Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι ένας από τους βασικούς στόχους της διαδικασίας μιας τυχαίας δειγματοληψίας είναι να επιτύχουμε αξιόπιστη εκτίμηση της υπό μελέτη παραμέτρου. Για να επιτύχουμε τον βαθμό αξιοπιστίας που επιθυμούμε, πρέπει να προσδιορίσουμε τον αριθμό των μετρήσεων από δυνητικά πολύ μεγάλο και άγνωστο αριθμό ή, με άλλα λόγια, το μέγεθος του δείγματος που θα εξετάσουμε.. Το Βέλτιστο Μέγεθος του Δείγματος Κατ αρχάς το σύνηθες ερώτημα: ποιο είναι το μέγεθος του δείγματος (αριθμός δειγματοληπτικών μονάδων) που πρέπει να εξετάσουμε, θα πρέπει να διατυπωθεί πιο συγκεκριμένα. Μια τέτοια διατύπωση είναι: Πόσες δειγματοληπτικές μονάδες πρέπει να εξετάσουμε ούτως ώστε η εκτίμηση της παραμέτρου που ενδιαφέρει να έχει έναν δεδομένο (προκαθορισμένο) βαθμό αξιοπιστίας; Eίναι θέμα κοινής λογικής ότι αν ενδιαφέρομαι να εκτιμήσω το ύψος των δέν δρων σε μία συστάδα δάσους και μετρήσω το ύψος ενός μόνο δένδρου, η αξιο πιστία της εκτίμησής μου θα είναι μικρή. Άρα, όσο περισσότερα δένδρα συμπεριλάβω στο δείγμα, τόσο το καλύτερο. Είναι επίσης θέμα κοινής λογικής ότι, όσο μικρότερες διαφορές ύψους υπάρχουν από δένδρο σε δένδρο της συστάδας, τόσο μικρότερος αριθμός δένδρων επαρκεί για εκτίμηση που θα έχει έναν δεδομένο βαθμό αξιοπιστίας. Στην ακραία περίπτωση π.χ. που τα δένδρα είναι όλα του ίδιου ακριβώς ύψους (όπως οι κο-

9 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ 9 λόνες της ΔΕΗ), τότε αρκεί να μετρήσω το ύψος ενός δένδρου και θα έχω την πληροφορία που χρειάζομαι για όλα τα δένδρα. Άρα, όσο η διακύμανση της συγκε κριμένης μεταβλητής στον πληθυσμό είναι μεγαλύτερη, τόσο μεγαλύτερο δείγμα πρέπει να εξετάσω για να έχω την επιθυμητή αξιοπιστία της εκτίμησης. Ας δούμε τώρα τρεις τρόπους με τους οποίους μπορεί να εκφρασθεί η αξιοπιστία της εκτίμησης και να προσδιοριστεί το αντίστοιχο μέγεθος του δείγματος (Karandinos 976)... Κριτήριο το Τυπικό Σφάλμα Έστω η τυχαία μεταβλητή x (π.χ. ύψος των δένδρων) με μέση τιμή του πληθυσμού μ και διακύμανση σ. Εάν πάρω ένα δείγμα μεγέθους n δένδρων και υπολογί σω το μέσο ύψος x των δένδρων του δείγματος ( x n x i ), η διακύμανση της νέας μεταβλητής x είναι κατά τα γνωστά: σ x σ /n. Το τυπικό σφάλμα είναι s x s / n, άρα n σ /σ x. Είναι ευνόητο ότι όσο μικρότερο είναι το τυπικό σφάλμα σ x, τόσο μεγαλύτερη η αξιοπιστία της εκτίμησης x. Το σ x είναι λοιπόν ένα μέτρο της αξιοπιστίας. Όμως υπάρχει ένα προφανές πρακτικό πρόβλημα: δεν γνωρίζουμε φυσικά το σ του πλη θυσμού, και χωρίς αυτή την πληροφορία δεν μπορούμε να υπολογίσου με το απαιτούμενο μέγεθος του δείγματος στο δειγματοληπτικό μας πρόγραμ μα. Το αδιέξοδο αυτό αντιμετωπίζεται χρησιμοποιώντας εκτίμηση s 0 από μια προκαταρκτική δειγματοληψία. Αντικαθιστώντας στον ανωτέρω τύπο, έχω την εκτίμηση του απαιτούμενου μεγέθους του δείγματος, δηλαδή: n s (.) s0 x Ο τύπος αυτός μας δίδει το αναγκαίο μέγεθος του δείγματος για να έχει η τελική εκτίμησή μας προκαθορισμένο τυπικό σφάλμα s x. Το s x και κατ επέκταση το σ x είναι βέβαια ένα μέτρο της αξιοπιστίας της εκτίμησής μας, αλλά όχι πολύ καλό, όπως θα δούμε με ένα απλό παράδειγμα. Μια εκτίμηση πληθυσμιακού μέσου μ 0 με σ x, έχει πολύ μικρότερη αξιοπιστία από την εκτίμηση ενός πληθυσμιακού μέσου μ 00 με σ x, (με μέγεθος δείγματος n και στις δύο περιπτώσεις), γιατί στην πρώτη περίπτωση το τυ πι κό σφάλμα είναι ένα μεγάλο ποσοστό του μέσου, σε σχέση με τη δεύτερη περί πτωση, γεγονός μάλλον ανεπιθύμητο.

10 0. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ.. Κριτήριο ο Συντελεστής Παραλλακτικότητας Το ανωτέρω μειονέκτημα του τυπικού σφάλματος (ως μέτρου αξιοπιστίας) αντιμε τωπίζεται χρησιμοποιώντας τον Συντελεστή Παραλλακτικότητας. Ο «Συν τελεστής Παραλλακτικότητας» του x που χρησιμοποιείται συχνά ως μέτρο αξιοπιστίας είναι: x CV( x) s ή για συντομία C s x (.) m m Εκφράζοντας το σ x συναρτήσει του σ και n, η (.) γίνεται: C s (.3) m n Λύνοντας ως προς n έχουμε: n s m C (.4) Χρησιμοποιώντας τις εκτιμήσεις x 0 και s 0 των μ και σ από προκαταρκτική δειγμα τοληψία, όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, και αντικαθιστώντας στην (.4) έχω την εκτίμηση n του απαιτούμενου μεγέθους του δείγματος, δηλαδή: n s 0 (.5) x C 0 Αριθμητικό παράδειγμα. Έστω ότι από προκαταρκτική δειγματοληψία έχω: x 0 8 και s 0 0. Επιθυμώ εκτίμηση του μέσου μ με συντελεστή παραλλακτικότητας C 0,5. Σε έρευνες υπαίθρου συντελεστές παραλλακτικότητας μέχρι και 0,0 είναι γενικά απο δεκτοί. Το απαιτούμενο μέγεθος του δείγματος εκτιμάται: n ( 34)( 0, 05).3. Κριτήριο το Διάστημα Εμπιστοσύνης Mια τρίτη προσέγγιση στο πρόβλημα υπολογισμού του μεγέθους του δείγματος βασίζεται στα γνωστά από τη στατιστική, σύμφωνα με τα οποία αν πάρουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους n από έναν πληθυσμό που έχει μέση τιμή μ και διακύμανση σ, τότε, σύμφωνα με το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Central Limit Theorem (Hogg and Craig 965) για επαρκώς μεγάλο δείγμα (περίπου 30 ή μεγαλύτερο) ισχύει η σχέση: x m Pr( Za/ < <+ Za/ ) a s / n

11 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ή μετά από ανακατάταξη Pr( x Z s a/ < m < x+ Z s a/ ) a (.6) n n όπου x είναι η μέση τιμή του δείγματος, ( a) είναι το επίπεδο σημαντικότη τας και Z a/ είναι το άνω a/ σημείο της τυπικής κανονικής κατανομής. Υπενθυμίζουμε ότι για ( a) 0,95, Z a/,96. Η έκφραση (.6) διατυπώνει απλά την πρόταση ότι το διάστημα εμπιστοσύνης x ± Z s a / (.7) n θα περιέχει τον μέσο μ με πιθανότητα ίση με ( a). Έχουμε λοιπόν τρία στοιχεία: το n, το ( a) και το εύρος του διαστήματος (.7). Δεν έχουμε παρά να αποφασίσουμε για την τιμή των δύο και να λύσουμε ως προς το τρίτο στοιχείο, π.χ. το n, δηλ. το μέγεθος του δείγματος. Η τιμή του ( a) λαμβάνεται συνήθως στα επίπεδα 0,95 ή 0,99. Σε κάθε περίπτωση φυσικά πρέπει να το αποφασίσουμε. Το εύρος του διαστήματος εμπιστοσύνης (.7) μπορεί να ορισθεί με τους εξής δύο (τουλάχιστον) τρόπους:.3. Εύρος Διαστήματος Εμπιστοσύνης με βάση σταθερό % (D) της παραμέτρου μ Το εύρος του διαστήματος είναι: Z s a / D m (.8) n Za Άρα: n ( ) / s ( ) Za s0 και στην πράξη: n (.9) ( D m) ( Dx0) Αντικαθιστώντας όμως τα μ και σ, που δεν είναι γνωστά, με τις προκαταρκτικές τους εκτιμήσεις x 0 x m και s 0, η κατανομή του s / δεν είναι πλέον η τυπική 0 n κανονική αλλά η t-κατανομή. Έτσι στη θέση του Ζ a/, πρέπει να χρησιμοποιήσω t a/, n, δηλ. n t a/, n s0 D (.0) x0 Εάν πρόκειται για μέγεθος δείγματος σχετικά μεγάλο (π.χ. > 30), τότε οι δύο κατανομές σχεδόν συμπίπτουν και δεν υπάρχει πρόβλημα. Για μικρές όμως

12 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ τιμές του n, για τις οποίες η τιμή t a/, n στην (.0) εξαρτάται από το n (βαθμοί ελευθερίας n ), η (.0) πρέπει να λυθεί με τη μέθοδο των επανειλημμένων δοκιμών, όπως θα δούμε στη συνέχεια με ένα παράδειγμα..3. Εύρος Διαστήματος Εμπιστοσύνης με βάση σταθερό θετικό αριθμό h Επομένως Z s a / h. n Za Άρα: n / s h και στην πράξη: n Z Για μικρά n έχω, όπως προηγουμένως: n t a/, n so h s h a 0 (.) (.) Αριθμητικό παράδειγμα. Έστω ότι θέλουμε να εκτιμήσουμε τη μέση τιμή μ μιας τυχαίας μεταβλητής x (π.χ. βάρος), των ατόμων ενός πληθυσμού. Επιθυμούμε η αξιοπιστία να είναι τέτοια ώστε η εκτίμηση να περιέχεται με πιθανότητα 0,95 (δηλ. α 0,05) στο διάστημα εμπιστοσύνης που ορίζεται ως ±0,0μ (δηλ. D 0,0 της περίπτωσης.3. ανωτέρω). Από προκαταρκτική δειγματοληψία έχω: x 0 90 και s 0 8. Χρησι μοποιώντας τις τιμές αυτές και διάφορες διαδοχικές τιμές του n στον τύπο (.0), υπολογίζω το δεύτερο μέρος της παράστασης ούτως ώστε η τιμή της να γίνει ίση με την τιμή n. Από τις πέντε πρώτες στήλες του πίνακα που ακολουθεί βλέπουμε ότι το μέγεθος του δείγματος n που απαιτείται είναι της τάξεως 5 ή 6. Έστω ότι με δεδομένη την προκαταρτική τιμή s 0 8 επιθυμούμε η εκτίμηση της μέσης τιμής να περιέχεται με πιθανότητα 0,95 στο διάστημα εμπιστοσύνης ( ts n n t 0,05, n (ts 0 ) 0) ( ts0 ) ( Dx0) h 3 4,303 85,0 4,6 3, ,8 648,0 8,00 8,00 5 4, ,9 6,09 3,70 6 5,57 43,04 5,,75 7 6, , 4,73 0,65 8 7, ,97 9,94 9 8, ,33 9,45 0 9,6 37,46 9,0

13 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ 3 που ορίζεται ως ±6 (δηλ. h 6 στον τύπο. της περίπτωσης.3. ανωτέρω). Το μέγεθος του δείγματος προσδιορίζεται και πάλι με διαδοχικές δοκιμές. Από τις στήλες -4 και 6 του πίνακα βλέπουμε ότι το μέγεθος του δείγματος που απαιτείται είναι n Επιλογή Κατάλληλης Έκφρασης της Αξιοπιστίας Έστω ότι θέλουμε να εκτιμήσουμε τα μέσα ύψη των δένδρων σε τέσσερις συστάδες Α, Β, Γ, και Δ. Από τις προκαταρκτικές δειγματοληψίες έχουμε εκτιμήσεις για τα μέσα ύψη ( Α x 0 0, B x 0 0, Γ x 0 4, και Δ x 0, μέτρα), και τις τυπικές απο κλίσεις ( Α S 0,, Β S 0 4,7, Γ S 0,4 και Δ S 0,4). Σχηματικά, οι τέσσε ρις συ στάδες θα έχουν την εμφάνιση του Σχήματος.. Το μέγεθος του δείγματος της δει γμα τοληψίας θα εξαρτηθεί, όπως είπαμε, από τον τρόπο που θα εκφράσουμε την αξιοπιστία και τον βαθμό που θέλουμε να έχει..4. Τυπικό Σφάλμα ως μέτρο της αξιοπιστίας Έστω ότι εκφράζουμε την αξιοπιστία με το Τυπικό Σφάλμα, μεγέθους s x 0,5. Το μέγεθος του δείγματος δίδεται από τον τύπο (.). * Για τη συστάδα Α, με Α S 0, και Α x 0 0, δίδει: n (, ) A 7, 64 δένδρα (,) 05 * Για τη συστάδα Β, με Β S 0 4,7 και B x 0 0, δίδει n ( 47, ) B 88, 36 δένδρα (,) 05 * Για τη συστάδα Γ, με Γ S 0,4 και x Γ 0 4, δίδει n (, 4) G 795, δένδρα (,) 05 * Για τη συστάδα Δ, με Δ S 0,4 και Δ x 0, δίδει n (, 4) D 795, δένδρα. (,) 05 Το μεγαλύτερο δείγμα, που απαιτείται από τη συστάδα Β, ήταν μάλλον αναμενόμενο λόγω μεγάλης διακύμανσης. Όμως, το ίδιο μέγεθος που απαιτείται από τις Γ και Δ δεν ήταν ίσως αναμενόμενο, όπως θα δούμε στη συνέχεια, με άλλη έκφραση της αξιοπιστίας. Οι δεκαδικοί αριθμοί για τα δείγματα έχουν φυσικά μό νο υπολογιστική σκοπιμότητα.

14 4. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Σχήμα.. Σχηματική απεικόνιση τεσσάρων δασοσυστάδων για διερεύνηση του μεγέθους του δείγματος..4. Ο Συντελεστής Παραλλακτικότητας ως μέτρο της αξιοπιστίας Έστω ότι εκφράζουμε την αξιοπιστία με τον Συντελεστή Παραλλακτικότητας της sx Εκτίμησης, μεγέθους C 006, ή 6%. Το μέγεθος του δείγματος δίδεται από m τον τύπο (.5). * Για τη συστάδα Α, με Α S 0, και Α x 0 0, δίδει: n (, ) A, 5 δένδρα ( 0) ( 0, 06) * Για τη συστάδα Β, με Β S 0 4,7 και Β x 0 0, δίδει:

15 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ 5 n ( 47, ) B 6, 36 δένδρα ( 0) ( 0, 06) * Για τη συστάδα Γ, με Γ S 0,4 και Γ x 0 4, δίδει: n (, 4) G 34, 5 δένδρα ( 4) ( 0, 06) * Για τη συστάδα Δ, με Δ S 0,4 και Δ x 0, δίδει: n (, 4) D 383, δένδρα. ( ) ( 0, 06) Βλέπουμε ότι και με την έκφραση αυτή της αξιοπιστίας, η συστάδα Β απαιτεί το μεγαλύτερο δείγμα. Μεταξύ όμως των συστάδων Γ και Δ, η συστάδα Γ απαιτεί πολύ μεγαλύτερο δείγμα, λόγω του μικρού μέσου όρου..4.3 Διάστημα Εμπιστοσύνης ως μέτρο της αξιοπιστίας Έστω ότι εκφράζουμε την αξιοπιστία με το εύρος του Διαστήματος Εμπιστοσύνης της Εκτίμησης και μάλιστα με δύο τρόπους: (α) Το εύρος του διαστήματος με βάση σταθερό ποσοστό (%) D της παραμέτρου μ Δηλαδή: Z s a Dm. Έστω D 0,05. Το μέγεθος του δείγματος δίδει ο τύπος n (.0). * Για τη συστάδα Α, με Α S 0, και Α x 0 0, δίδει: n (, 96) (,) A 67, 76 δένδρα ( 0) ( 0, 05) * Για τη συστάδα Β, με Β S 0 4,7 και Β x 0 0, δίδει: n (, 96) ( 47, ) B 339, 44 δένδρα ( 0) ( 0, 05) * Για τη συστάδα Γ, με Γ S 0,4 και Γ x 0 4, δίδει: n (, 96) (, 4) G 90, 9 δένδρα ( 4) ( 0, 05) * Για τη συστάδα Δ, με Δ S 0,4 και Δ x 0, δίδει: n (, 96) (, 4) D, δένδρα. ( ) ( 0, 05)

16 6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Και με το κριτήριο αυτό, η συστάδα Β απαιτεί το μεγαλύτερο μέγεθος δείγματος και ακολουθούν κατά σειρά η Γ, η Α και η Δ. (β) Το εύρος του διαστήματος με βάση σταθερό θετικό αριθμό h Δηλαδή: Z s a h. Έστω h 0,8. Το μέγεθος του δείγματος δίδει ο τύπος (.). n * Για τη συστάδα Α, με Α S 0,, δίδει: n (, 96) (,) A 6, 47 δένδρα (,) 08 * Για τη συστάδα Β, με Β S 0 4,7, δίδει n (, 96) ( 47, ) B 3, 59 δένδρα (,) 08 * Για τη συστάδα Γ, με Γ S 0,4, δίδει n (, 96) (, 4) G, 93 δένδρα (,) 08 * Για τη συστάδα Δ, με Δ S 0,4, δίδει n (, 96) (, 4) D, 93 δένδρα (,) 08 Παρατηρούμε ότι με το κριτήριο αυτό η κατάταξη των τεσσάρων συστά δων, ως προς το απαιτούμενο μέγεθος του δείγματος, είναι η ίδια με εκείνη του πρώτου κριτηρίου. Πίνακας.. Αναγωγή σε Διάστημα Εμπιστοσύνης της αξιοπιστίας της εκτίμησης με βάση τα υπολογισθέντα μεγέθη του δείγματος. Παράμετροι Συστάδων Τυπικό Σφάλμα S x 0,5 μέτρα Α Α S 0, n 7,64 x 0 Α 0 9,0 0,98 Β S 4,7 Β 0 n 88,36 x 0 Β 0 9,0 0,98 Γ S,4 Γ 0 n 7,95 x 4 Γ 0 3,0 4,98 Δ S,4 Δ 0 n 7,95 x Δ 0,0,98 Συντελ. Παραλλακτικότητας C 0,06 n,5 8,8,7 n 6,36 8,8,7 n 34,5 3,53 4,47 n 3,83 0,59 3,4 Διάστημα Εμπιστοσύνης (α) (β) Dμ ±0,05μ h ±0,8 n 67,76 n 6,47 9,5 0,5 9, 0,8 n 339,44 9,5 0,5 n 90,9 3,8 4, n,,4,6 n 3,59 9, 0,8 n,93 3, 4,8 n,93,,8

17 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ 7 Θα είχε ίσως ενδιαφέρον, με τα μεγέθη των δειγμάτων που υπολογίσαμε, να κάνουμε αναγωγή στο ίδιο κριτήριο αξιοπιστίας, π.χ. το διάστημα εμπιστοσύ νης της εκτίμησης, και να υπολογίσουμε το εύρος του. Στον Πίνακα. συνοψίζονται τα αποτελέσματα της διερεύνησης αυτής. Η επισκόπηση του Πίνακα. υποδεικνύει ότι από δείγμα μεγέθους, για τη συστάδα Α που δίδει Συντελεστή Παραλλακτικότητας 0,06 προκύπτει μάλλον μεγάλο διάστημα (8,8-,7) εμπιστοσύνης. Επίσης, το ίδιο διάστημα προκύπτει για τη συστάδα Β, αν και το δείγμα είναι αρκετά μεγαλύτερο, προφανώς λόγω της μεγάλης διακύμανσης στον πληθυσμό. Τέλος, για τη συστάδα Γ, το μικρό (7,95) δείγ μα το οποίο απαιτείται για τυπικό σφάλμα 0,5 που διε ρευνήσαμε, σαφ ώς δί δει μεγάλο σχετικά διάστημα εμπιστοσύνης. Παρόμοιο σχόλιο μπορεί να γίνει και για τον Συντελεστή Παραλλακτικότητας, της συστάδας Δ, για την οποία το πολύ μικρό (3,83) δείγμα δίδει μεγάλο εύρος του διαστήματος εμπιστοσύνης..5. Κόστος της Δειγματοληψίας Μέχρι τώρα απαντήσαμε στο ερώτημα ποιο είναι το ελάχιστο μέγεθος του δείγματος που θα δώσει εκτίμηση της άγνωστης παραμέτρου με τον επιθυμητό βαθμό αξιο πιστίας, την οποία μάλιστα εκφράσαμε με τρεις διαφορετικούς τρόπους. Υπάρχουν όμως περιπτώσεις που οι διαθέσιμοι πόροι (σε χρήμα, προσωπι κό, χρόνο κ.τ.λ.) για τη δειγματοληψία είναι προκαθορισμένοι, δηλ. δεν μπορούν να υπερβούν κάποιο όριο. Τότε γνωρίζοντας το συνολικό διαθέσιμο ποσόν και το κόστος κάθε δειγματοληπτικής μονάδας, υπολογίζουμε τον μέγιστο αριθ μό n δειγματοληπτικών μονάδων που μπορούμε να εξετάσουμε. Με το n πλέον δεδο μένο, λύνουμε τους παραπάνω τύπους (.,.5,.9,.) ως προς τον βαθμό αξιοπιστίας (s x, C, D, h) που θα έχει η εκτίμησή μας. Εάν η διακύ μαν ση στον πληθυσμό είναι μεγάλη και οι διαθέσιμοι πόροι μικροί, είναι δυνατόν η αξιοπιστία της εκτίμησής να είναι τόσο μικρή που να κρίνουμε ότι δεν έχει νόημα να προχωρήσουμε στη δειγματοληψία. Αντίθετα, αν η αξιοπιστία κριθεί ικανο ποιητική, προχωρούμε στη δειγματοληψία γνωρίζοντας όμως ποιος θα είναι πε ρίπου ο βαθμός αξιοπιστίας της εκτίμησης που θα προκύψει. Στις επόμενες σε λί δες θα δούμε πώς αντιμετωπίζονται σύνθετα σχήματα δειγματοληψίας, δηλ. σε δύο ή περισσότερα επίπεδα. 3. Eιδικές Περιπτώσεις Ασυνεχών Κατανομών Οι γενικοί τύποι που δώσαμε πιο πάνω για τον υπολογισμό του βέλτιστου μεγέ θους του δείγματος και συγκεκριμένα οι τύποι (.5), (.9) ή (.0) και (.) ή (.), οι

18 8. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ οποίοι αντιστοιχούν στους διαφορετικούς τρόπους ορισμού της αξιοπι στίας της εκτίμησης, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για συνεχείς κατανομές στις οποίες η μέση τιμή ακολουθεί για δείγμα μεγαλύτερο του 30 την κανονική κατα νο μή (κεντρικό οριακό θεώρημα). Εάν η τυχαία μεταβλητή μας είναι ασυνεχής, τότε ανάλογα με τη συγκεκριμένη ασυνεχή κατανομή που ακολουθεί, οι αντίστοιχοι γενικοί τύποι που δόθηκαν ήδη μπορούν να πάρουν προσφορότερη μορφή. Θα δούμε αυτές τις μορφές για τις κατανομές: Διωνυμική, Poisson και Αρνητική Διωνυμική Κατανομή, που είναι οι συνηθέστερες σε οικολογικές μελέτες. Η θεωρία που αναπτύχθηκε ήδη και η λογική του υπολογισμού του βέλτιστου μεγέθους του δείγματος που εκθέσαμε παραμένουν αναλλοίωτες. 3.. Διωνυμική Κατανομή Η Διωνυμική Κατανομή βρίσκει εφαρμογή στις περιπτώσεις που σε κάθε δειγματοληπτική μονάδα σημειώνουμε την παρουσία ή απουσία κάποιου χαρα κτηριστικού, όπως π.χ. προσβολή φυτών από κάποιο έντομο ή ασθένεια. Εάν πάρουμε τυχαία και εξετάσουμε n φυτά από έναν πληθυσμό στον οποίο το ποσοστό προσβολής είναι p, τότε η πιθανότητα τα x από τα n φυτά να είναι προσβεβλημένα, δίδεται από τη συνάρτηση: n bnxp ( ;, ) x px ( p ) n x n! p x ( p) n x (.3) x!( n x)! όπου x 0,,, n. Η τυχαία μεταβλητή είναι η x. Από τη μαθηματική στατιστική είναι γνωστό ότι: E(x) np και V(x) np( p) όπου Ε(x) συμβολίζει τη μαθηματική ελπίδα της x δηλ. τη μέση τιμή της x, και V(x) τη διακύμανση της x. Στην πράξη είναι προφανές ότι σε μια δειγματοληψία όπως η παραπά νω, ενδια φερόμαστε να εκτιμήσουμε την άγνωστη παράμετρο p, δηλ. το ποσοστό των προσβεβλημένων φυτών. Η εκτίμηση αυτή είναι φυσικά: p x/n. Εστιά ζουμε επομένως την προσοχή μας και αποφασίζουμε τον τρόπο που θα εκφράσουμε την αξιοπιστία της εκτίμησης p και τον βαθμό αξιοπιστίας που επιθυμούμε να έχει κατά τα γνωστά. Προηγουμένως όμως παρατηρώ ότι: E E x Ex ( ) np ( p ) ( p n ) (.4) n n V( ) V x n p ( ) V( x) np( p) p( p) n n n (.5)

19 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ 9 Εκφράζουμε τώρα την αξιοπιστία με τους τρεις τρόπους που είδαμε ήδη: 3.. Μέτρο αξιοπιστίας ο Συντελεστής Παραλλακτικότητας Ο αρχικός τύπος: CV( p) p s p (.6) γίνεται λόγω της (.5): ( ) ( ) CV( p ) p p p p n pn Λύνοντας ως προς n και αντικαθιστώντας το p με την προκαταρκτική εκτίμηση p 0, έχω μια εκτίμηση του ζητούμενου n: ( p0) n (.7) p0c O τύπος (.7) είναι αντίστοιχος του γενικού τύπου (.5). Αριθμητικό παράδειγμα.3 Έστω ότι θέλουμε να εκτιμήσουμε το % των προσβεβλημένων φυτών ενός πληθυσμού και η εκτίμηση να έχει Συντελεστή Παραλλακτικότητας C 0,0. H προκαταρτική εκτίμηση του ποσοστού είναι p 0 0,30. Άρα, εφαρμόζο ντας τον τύπο (.7) έχουμε n 33. Για διάφορες υποθετικές τιμές της παραμέ τρου και διάφορα επιθυμητά C, τα απαιτούμενα μεγέθη του δείγματος δίδονται στον κατωτέρω πίνακα και στο Σχήμα.. 0,0 0,0 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 C 0, C 0, C 0, C 0, Τα αποτελέσματα αυτά αποκαλύπτουν ενδιαφέρουσες ιδιότητες: Όπως αναμενόταν, βλέπω ότι όσο μικρότερο C επιθυμώ τόσο μεγαλύτερο μέγεθος δείγματος πρέπει να εξετάσω. Παρατηρώ επίσης ότι όσο μικρότερο είναι το ποσοστό προσβολής τόσο μεγαλύτερο δείγμα χρειάζομαι για να εκτιμήσω την παράμετρό μου με κριτήριο αξιοπιστίας τον συντελεστή παραλλακτικότητας. Οι σχέσεις αυτές δεν είναι ευθύγραμμες. p 0

20 0. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Σχήμα.. Μέγεθος δείγματος για διάφορες τιμές της παραμέτρου p 0 και επιθυμητές τιμές του Συντελεστή Παραλλακτικότητας C. 3.. Μέτρο αξιοπιστίας το Διάστημα Εμπιστοσύνης Έστω τώρα ότι επιθυμούμε να ορίσουμε την αξιοπιστία της p με το Διάστημα Εμπιστοσύνης Ζ a/ σ p. Διακρίνουμε δύο υποπεριπτώσεις. (α) Εύρος διαστήματος με βάση σταθερό % (D) της παραμέτρου p Έχουμε Ζ a/ σ p Dp (.8) στην οποία αντικαθιστώντας το σ p από την (.5) έχουμε: p( p) Za / Dp n Λύνουμε ως προς n, αντικαθιστούμε το p με p 0 και έχουμε: p n Za / 0 D p 0 Ο τύπος (.9) είναι αντίστοιχος του (.9). (.9) Αριθμητικό παράδειγμα.4 Εφαρμόζουμε τον τύπο (.9) με Ζ a/,96, D 0,4 και p 0 0,0 και έχουμε n 96. Για διάφορες υποτιθέμενες τιμές της παραμέτρου p 0 και επιθυμητά D, τα απαιτούμενα μεγέθη δείγματος δίδονται στον πίνακα που ακολουθεί και στο Σχήμα.3.

21 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ 0,0 0,0 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 D 0, D 0, D 0, D 0, Kαι εδώ το μέγεθος του δείγματος συμπεριφέρεται όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, αφού η δομή τής (.9) είναι παρόμοια με εκείνη τής (.7). p 0 Σχήμα.3. Μέγεθος δείγματος για διάφορες τιμές της παραμέτρου p 0 της Διωνυμικής Κατανομής και επιθυμητές τιμές του εύρους του Διαστήματος Εμπιστοσύνης ως ποσοστού (D) της μέσης τιμής. (β) Εύρος Διαστήματος Εμπιστοσύνης με βάση σταθερό αριθμό h Έχουμε Z a/ σ p h (.0) από την οποία κατά τον ίδιο τρόπο (τύποι.5 και.0) βρίσκουμε: n p p Za / 0( 0) (.) h Ο τύπος (.) είναι αντίστοιχος του (.) της γενικής περίπτωσης.

22 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Αριθμητικό παράδειγμα.5 Εφαρμόζουμε τον τύπο (.) με Z a/,96, h 0,0 και p 0 0,0. Το n 6. Για διάφορες υποτιθέμενες τιμές της παραμέτρου p 0 και του επιθυμητού h, έχουμε τα αποτελέσματα στον πίνακα που ακολουθεί και στο Σχήμα.4. 0,0 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 h 0, h 0, h 0, h 0, p 0 Σχήμα.4. Μέγεθος δείγματος για διάφορες τιμές της παραμέτρου p 0 της Διωνυμικής Κατανομής και επιθυμητές τιμές h του εύρους του Διαστήματος Εμπιστοσύνης. Παρατηρούμε ότι απαιτείται μέγιστος αριθμός δειγμάτων όταν η παράμετρος p 0 είναι 0,50. Το αποτέλεσμα αυτό είναι προφανές από τη μορφή τής (.) η οποία είναι δευτέρου βαθμού συμμετρική συνάρτηση ως προς p 0. Άρα έχει ένα μέγιστο (ή ελάχιστο).

23 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Κατανομή Poisson Eάν η χωροδιάταξη κάποιων οργανισμών (π.χ. φυτών) ή άλλων γεγονότων στον πληθυσμό των δειγματοληπτικών μονάδων (π.χ. τεμαχίων εδάφους) είναι τυχαία, τότε η τυχαία μεταβλητή x, ο αριθμός των φυτών στα τεμάχια, έχει την κατανομή του Poisson, δηλ. x f( x) e l l, x 0,,,... (.) x! όπου λ η μέση τιμή της μεταβλητής. Αποδεικνύεται ότι: E(x) λ και V(x) λ. Επειδή το λ είναι η μέση τιμή του x (άρα ë x i ) n, η εκτίμηση λ έχει διακύμανση: V( xi ) V ( ) ë n n l n l n Ας δούμε τώρα τους τρεις τρόπους ορισμού της αξιοπιστίας. 3.. Μέτρο αξιοπιστίας ο Συντελεστής Παραλλακτικότητας së l n Έχουμε: CV( ë ) l l nl Λύνουμε ως προς n και έχουμε: n ë0c Αριθμητικό παράδειγμα.6 Για διάφορες τιμές του λ 0 και του C έχω τις κάτωθι εκτιμήσεις του n: (.3),5,5 3 3,5 4 4,5 C 0, C 0, C 0, C 0, λ 0 Παρατηρούμε στον Πίνακα και στο Σχήμα.5, ότι, όπως είναι εύλογο, όσο μικρότερο Σ.Π. επιθυμούμε, τόσο μεγαλύτερο δείγμα χρειαζόμαστε. Η σχέση όμως δεν είναι ευθύγραμμη. Παρατηρούμε επίσης ότι όσο μικρότερο είναι το λ 0, τόσο μεγαλύτερο δείγμα απαιτείται. Η σχέση και πάλι είναι καμπυλόγραμμη.

24 4. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Σχήμα.5. Μέγεθος δείγματος για διάφορες τιμές της παραμέτρου λ 0 της κατανομής Poisson και επιθυμητές τιμές του Συντελεστή Παραλλακτικότητας C. 3.. Μέτρο αξιοπιστίας το Διάστημα Εμπιστοσύνης Διακρίνουμε δύο υποπεριπτώσεις: (α) Εύρος διαστήματος με βάση σταθερό % (D) της παραμέτρου λ Ο γενικός τύπος (.9) γίνεται: Αριθμητικό παράδειγμα.7 Z a / n D ë 0 (.4) Για διάφορες τιμές του λ 0 και του D απαιτούνται τα μεγέθη του δείγματος που δίδονται στον κάτωθι Πίνακα και στο Σχήμα.6, όταν Z a/,96.,5,5 3 3,5 4 4,5 D 0, D 0, D 0, D 0, λ 0

25 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ 5 Σχήμα.6. Μέγεθος δείγματος για διάφορες τιμές της παραμέτρου λ 0 της κατανομής Poisson και επιθυμητές τιμές του D. (β) Εύρος διαστήματος με βάση σταθερό θετικό αριθμό h Ο γενικός τύπος (.) γίνεται: Z a / n 0 h ë (.5) Aριθμητικό παράδειγμα.8 Για διάφορες τιμές του λ 0, του επιθυμητού h και για Z a/,96 τα απαιτούμενα μεγέθη του δείγματος δίδονται στον κατωτέρω Πίνακα και στο Σχήμα.7: λ h 0, h 0, h 0, h 0, Είναι προφανές τόσο από τη δομή του τύπου (.5) όσο και από τα αριθμητικά αποτελέσματα του ανωτέρω πίνακα ότι το μέγεθος του δείγματος είναι ακριβώς ανάλογο του λ 0 και αντιστρόφως ανάλογο του τετραγώνου του h.

26 6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Σχήμα.7. Μέγεθος δείγματος για διάφορες τιμές της παραμέτρου λ 0 της κατανομής Poisson και επιθυμητές τιμές του h Αρνητική Διωνυμική Κατανομή Εάν η χωροδιάταξη των οργανισμών στον πληθυσμό των δειγματοληπτικών μονά δων δεν είναι τυχαία αλλά ομαδοποιημένη (δηλ. υπάρχει μεγάλη συγκέντρωση ατόμων σε κάποιες δειγματοληπτικές μονάδες και μικρή σε άλλες), τότε η τυχαία μεταβλητή x, ο αριθμός των ατόμων στη δειγματοληπτική μονάδα, έχει συχνά την Αρνητική Διωνυμική Κατανομή. Η κατανομή αυτή έχει δύο παραμέτρους, τη μέση τιμή (μ) της τυχαίας μεταβλητής και τη διακύμανση V(x). Συνήθως όμως η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής δίδεται συναρτήσει της παραμέτρου μ και μιας άλλης παραμέτρου που επεκράτησε διεθνώς να συμβολίζεται με το γράμμα Κ, και η οποία μάλιστα χρησιμοποιείται συχνά στη βιβλιογραφία ως δείκτης του βαθμού ομαδοποίησης της χωροδιάταξης (όσο μεγαλύτερος είναι ο βαθμός ομαδοποίησης, τόσο μικρότερη είναι η τιμή της Κ). Η σχέση που συνδέει τα τρία αυτά μεγέθη είναι: m V( x) m + (.6) K Θα εκφράσουμε λοιπόν το βέλτιστο μέγεθος του δείγματος με τους τρεις τρό πους που χρησιμοποιήσαμε και στις προηγούμενες κατανομές συναρτήσει των παραμέτρων μ και Κ.

27 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Μέτρο αξιοπιστίας ο Συντελεστής Παραλλακτικότητας Αντικαθιστώντας τη διακύμανση σ στην (.4) από την (.6) έχουμε: ( m + K ) n mkc και αντικαθιστώντας τη μ με την προκαταρκτική εκτίμηση x 0 και την V(x) με την V 0 (x) στην (.6) έχω K 0. Ώστε η εκτίμηση του n είναι: x0 + K 0 n (.7) x K 0 0C Σχήμα.8. Μέγεθος δείγματος για διάφορες τιμές των παραμέτρων x 0 και V(x), της Αρνητικής Διωνυμικής Κατανομής (οι οποίες προσδιορίζουν και το Κ) και για C 0,05. Όπως βλέπουμε, το μέγεθος του δείγματος είναι και στην περίπτωση αυτή αντιστρόφως ανάλογο του τετραγώνου του C. Εξαρτάται επίσης από το x 0 και το K 0 με κάποιο σύνθετο τρόπο όπως βλέπουμε στον τύπο (.7). Η τιμή του K 0 όμως συνδέεται με τη μέση τιμή και τη διακύμανση του x, όπως φαίνεται στον τύπο (.6). Έτσι στο αριθμητικό παράδειγμα που ακολουθεί δίδονται οι τιμές του n για διάφορα ζεύγη τιμών του x 0 και V(x). Εντός παρενθέσεων στο σώμα του πίνακα δίδονται και οι αντίστοιχες τιμές του K 0, ακολουθούμενες από τις τιμές του n.

28 8. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Αριθμητικό παράδειγμα.9 Απαιτούμενα μεγέθη δείγματος, από μια Αρνητική Διωνυμική Κατανομή, για διάφο ρες τιμές του x 0 και της διακύμανσης V και για C 0,05. Εντός παρενθέσεων δίδονται οι αντίστοιχες τιμές του K V(x) 8 (4) 00 (8,33) 8 (8) 89 (49) 65 V(x) 0 (,66) 50 (5) 60 (9) (6,33) 8 V(x) () 300 (3,57) 9 (6) 33 (9,8) 98 V(x) 4 (,6) 350 (;78) 4 (4,5) 55 (7) 4 Tα αποτελέσματα του παραδείγματος δίδονται στον Πίνακα και στο Σχήμα.8. Παρατηρούμε στον Πίνακα ότι το μέγεθος του δείγματος αυξάνει γραμμικά με την αύξηση της διακύμανσης. Αντίθετα μειώνεται εκθετικά με την αύξηση της μέσης τιμής της μεταβλητής καθώς και με την αύξηση της τιμής της παραμέτρου K. x Μέτρο αξιοπιστίας το Διάστημα Εμπιστοσύνης Διακρίνουμε πάλι δύο υποπεριπτώσεις: (α) Εύρος διαστήματος με βάση σταθερό % (D) της παραμέτρου x Αντικαθιστώντας τη διακύμανση στην (.9) από την (.6) κατά τα γνωστά έχω: Za / ( x0 + K 0) n (.8) x K D 0 0 Η δομή του τύπου (.8) είναι η ίδια με εκείνη του (.7). Υπολογιστικά διαφέ ρουν στο ότι στον (.8) ο αριθμητής πολλαπλασιάζεται με το Z a /, ο δε παρανομαστής με το D αντί C. Δεν πρέπει βέβαια να μας διαφεύγει η εν νοιολογική διαφορά των δύο αυτών συμβόλων. Αριθμητικό παράδειγμα.0 Στον πίνακα που ακολουθεί και στο Σχήμα.9 δίδεται το μέγεθος του δείγματος για διάφορα ζεύγη τιμών του x 0 και της V(x). Εντός παρενθέσεων δίδονται οι αντίστοιχες τιμές του K 0. Σε όλες τις περιπτώσεις επιλέξαμε D 0,0 και Z a/,96.

29 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ V(x) 8 (4) 9 (8,33) 3 (8) 85 (49) 63 V(x) 0 (,66) 40 (5) 54 (9) 07 (6,33) 78 V(x) () 88 (3,57) 84 (6) 8 (9,8) 94 V(x) 4 (,6) 336 (,78) 5 (4,5) 49 (7) 0 x 0 Η συμπεριφορά του μεγέθους του δείγματος είναι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση. Σχήμα.9. Μέγεθος δείγματος για διάφορες τιμές των παραμέτρων x 0 και V(x) της Αρνητικής Διωνυμικής Κατανομής και για D 0,0. (β) Εύρος διαστήματος με βάση σταθερό θετικό αριθμό h Αντικαθιστώντας τη διακύμανση στην (.) από την (.6) έχουμε: Z a /x0( K 0 + x0) n K h 0 (.9) Η δομή του τύπου (.9) διαφέρει από τη δομή των δύο προηγούμενων όσον αφορά την επίδραση του x 0.Τη μορφή αυτής της επίδρασης θα δούμε σε ένα αριθμητικό παράδειγμα.

30 30. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Αριθμητικό παράδειγμα. Χρησιμοποιώντας τις τιμές x 0 και V(x) των προηγούμενων παραδειγμάτων και τις αντί στοιχες τιμές του K 0 για Z a/,96 και h 0,6 στον τύπο (.9) και κάνοντας τους υπολογι σμούς παρα τηρήσαμε το περίεργο ίσως φαινόμενο ότι το μέγεθος του δείγματος δεν επηρεάζεται από το x 0. Με δεδομένη V(x) και h ισχύουν οι ίδιες τιμές του n, για όλα τα x 0. Στον κάτωθι πίνακα και στο Σχήμα.0, δίδονται οι τιμές του n για τέσσερις τιμές της V(x) και τις αντίστοιχες του K 0 και για x 0 4. V(x) K 0 4,66,6 h 0, h 0, h 0, h 0, Ο χαρακτηρισμός «περίεργο» δικαιολογείται γιατί, όπως βλέπουμε, το x 0 υπει σέρχεται στον τύπο. Ωριμότερη όμως σκέψη μάς πείθει ότι η συ μπε ρι φο ρά αυτή είναι αναμενόμενη. Κατ αρχήν η μαθηματική ερμηνεία προσεγ γίζε ται αν Σχήμα.0. Μέγεθος δείγματος για διάφορα επιθυμητά h, σταθερή μέση τιμή x 0 4 και διάφορες τιμές της S 0, (που προσδιορίζουν και την τιμή K) της Αρνητικής Διωνυμικής Κατανομής.

31 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ 3 λάβουμε υπ όψη ότι η τιμή του x 0 προσδιορίζει μαζί με την V(x) την τιμή του K 0. Υπεισέρχεται επομένως και έμμεσα στον τύπο, αλλά προ φα νώς με τέτοιο τρόπο που εξουδετερώνεται η άμεση παρουσία του. Η δεύ τε ρη πιο πρακτι κή ερμηνεία προκύπτει αν θυμηθούμε ότι η αξιοπιστία της εκτί μησης, στην περίπτωση που εξετάζουμε, ορίστηκε έτσι ώστε το διάστημα εμπι στο σύ νης να έχει κάποιο απόλυτο εύρος (h) ανεξάρτητο από τη μέση τι μή της με τα βλητής. Είναι επομένως λογικό το μέγεθος του δείγματος να εξαρτάται από το εύρος αυτό αλλά όχι από τη μέση τιμή της μεταβλητής. 4. Εναλλακτικές Μέθοδοι Εκτίμησης Παραμέτρων Με τις «εναλλακτικές» αυτές μεθόδους μπορούμε επίσης να εκτιμήσουμε τις τι μές των παραμέτρων της κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής και τα όρια εμπιστοσύνης των εκτιμήσεων αυτών. Οι μέθοδοι αυτές αναπτύχθηκαν από τους στα τιστικολόγους πριν από αρκετές δεκαετίες, αλλά μέχρι πρόσφατα δεν είχαν αξιοποιηθεί στην πράξη από οικολόγους και άλλους ερευνητές πεδίου, επειδή η εφαρμογή τους απαιτεί εκτεταμένους υπολογισμούς, που σήμερα πλέον μπορούν να πραγματοποιηθούν με τους Η/Υ και τα διάφορα «πακέτα» που υπάρχουν στην αγορά. Το μειονέκτημα της υπολογιστικής δυσκολίας των μεθόδων αυτών αντι σταθμίζεται από το γεγονός ότι είναι μη παραμετρικές μέθοδοι και επομένως δεν είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε ή να θεωρούμε γνωστή τη στατιστική κα τανομή της τυχαίας μεταβλητής και των εκτιμητών των υπό μελέτη παραμέτρων για να υπολογίσουμε τα όρια εμπιστοσύνης των εκτιμήσεών μας. Η έλλειψη αυ τής της θεωρητικής γνώσης, αναπληρώνεται «εμπειρικά» με τη διενέργεια με γάλου αριθμού (εικονικών) δειγματοληψιών από το σώμα των πραγματικών δε δο μένων που έχουμε. Η ρηξικέλευθος αυτή προσέγγιση στο πρόβλημα προφανώς υπαγόρευσε και τα ονόματα αυτών των μεθόδων. Η Αγγλική λέξη Jackknife στην καθομιλουμένη σημαίνει σουγιάς (με τον οποίο κόβουμε τον γόρδιο δεσμό!). Η λέξη bootstrap σημαίνει τις δερμάτινες θηλιές που έχουν οι μπότες και διευκολύνουν το φόρεμά τους. Τις ανωτέρω μεθόδους, με παράθεση συγκεκριμένων αριθμητικών παραδειγμάτων, θα εφαρμόσουμε στην εκτίμηση της αφθονίας και της ποικιλότητας των ειδών, καθώς επίσης στην εκτίμηση του εύρους και της επικάλυψης των βιοθέσεων στα αντίστοιχα κεφάλαια. Εδώ, είναι ίσως σκόπιμο να παρατηρήσουμε ότι και οι δύο μέθοδοι βασίζονται στην επαναληπτική εκτίμηση των παραμέτρων που μας ενδιαφέρουν χρησιμοποιώντας μέρος των δεδομένων. Η γενική λογική και πορεία εφαρμογής των μεθόδων αυτών έχει ως εξής:

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ ΠΛΑΙ ΣΙΟ ΧΡΗ ΜΑ ΤΟ ΔΟ ΤΗ ΣΗΣ

ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ ΠΛΑΙ ΣΙΟ ΧΡΗ ΜΑ ΤΟ ΔΟ ΤΗ ΣΗΣ ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ Στό χος του Ο λο κλη ρω μέ νου Προ γράμ μα τος για τη βιώ σι μη α νά πτυ ξη της Πίν δου εί ναι η δια μόρ φω ση συν θη κών α ει φό ρου α νά πτυ ξης της ο ρει νής πε ριο χής, με τη δη

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling)

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) 6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) Από την θεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούμενα κεφάλαια, φαίνεται ότι μια αλλαγή στον σχεδιασμό της δειγματοληψίας και, κατά συνέπεια, στην μέθοδο εκτίμησης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Βασικές έννοιες

Στατιστική. Βασικές έννοιες Στατιστική Βασικές έννοιες Τι είναι Στατιστική; ή μήπως είναι: Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων επιστημών, η οποία βασίζεται σ ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών που έχουν σκοπό: Το σχεδιασμό

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ

ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ Γιάννης Θεοδωράκης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2010 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρό λο γος...6 1. Ά σκη ση και ψυ χική υ γεί α Ει σα γω γή...9 Η ψυ χο λο γί α της ά σκη σης...11

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

2. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ

2. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ Συγκριτική μελέτη της αποτελεσματικότητας δικτύου της παγίδας «ΔΑΚΟ-ΦΑΚΑ» κατά του δάκου της ελιάς (Βactrocera oleae, Diptera: Tephritidae) σε ελιές ποικιλίας Κορωνέικη. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο δάκος της ελιάς (Bactrocera

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Μ ΑΪΟΥ 2002 2004 Δ ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ Π ΕΡΙΛΗΨΗ: Η μελέτη αυτή έχει σκοπό να παρουσιάσει και να ερμηνεύσει τα ευρήματα που προέκυψαν από τη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

1.2.3 ιαρ θρω τι κές πο λι τι κές...35 1.2.4 Σύ στη μα έ λεγ χου της κοι νής α λιευ τι κής πο λι τι κής...37

1.2.3 ιαρ θρω τι κές πο λι τι κές...35 1.2.4 Σύ στη μα έ λεγ χου της κοι νής α λιευ τι κής πο λι τι κής...37 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕ Φ Α Λ ΑΙΟ ΤΟ ΙΚΑΙΟ ΤΗΣ ΑΛΙΕΙΑΣ... 21 ΚΕ Φ Α Λ ΑΙΟ 1 o Η ΑΛΙΕΥΤΙΚΗ ΠΟΛΙΤΙΚΗ 1.1 Η Α λιεί α ως Οι κο νο μι κή ρα στη ριό τη τα...25 1.2 Η Κοι νο τι κή Α λιευ τι κή Πο λι τι κή...28

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 1: Εισαγωγή στη Στατιστική Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Ο έλεγχος της ενότητας αυτής αποτελεί μία επέκταση του μονόπλευρου ελέγχου Smirnov στην περίπτωση περισσοτέρων από δύο δειγμάτων. Ο έλεγχος αυτός

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Συνάρτηση Γάμμα: Ιδιότητες o d Γ(α+)=αΓ(α) - αναδρομική συνάρτηση Γ(α+) = α! αν α ακέραιος. Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΣΠΕ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΣΠΕ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΣΠΕ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΤΩΝ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ Επιλογή κειμένων των καθηγητών: Μ. GRAWITZ Καθηγήτρια Κοινωνιολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων.

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων. ειγµατοληψία Καθώς δεν είναι εφικτό να παίρνουµε δεδοµένα από ολόκληρο τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει, διαλέγουµε µια µικρότερη οµάδα που θεωρούµε ότι είναι αντιπροσωπευτική ολόκληρου του πληθυσµού. Τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Γιάννης Θεοδωράκης & Μαίρη Χασάνδρα ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΥΓΕΙΑΣ

Γιάννης Θεοδωράκης & Μαίρη Χασάνδρα ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΥΓΕΙΑΣ Γιάννης Θεοδωράκης & Μαίρη Χασάνδρα ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΥΓΕΙΑΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2006 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΥΓΕΙΑΣ Γιάννης Θεοδωράκης & Μαίρη Χασάνδρα : Εκδόσεις Χριστοδουλίδη Α. & Π. Χριστοδουλίδη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεράσματα και προτάσεις σχετικά την εμφάνιση και αντιμετώπιση της επιδημίας του ιού του Δυτικού Νείλου στην Ελλάδα το 2010

Συμπεράσματα και προτάσεις σχετικά την εμφάνιση και αντιμετώπιση της επιδημίας του ιού του Δυτικού Νείλου στην Ελλάδα το 2010 Συμπεράσματα και προτάσεις σχετικά την εμφάνιση και αντιμετώπιση της επιδημίας του ιού του Δυτικού Νείλου στην Ελλάδα το 2010 Η Εντομολογική Εταιρεία Ελλάδος με αφορμή την επιδημία του ιού του Δυτικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Σεμινάριο ΕΚΠ65 ιπλωματικές Εργασίες Αθήνα, 11 Οκτωβρίου 2009

Σεμινάριο ΕΚΠ65 ιπλωματικές Εργασίες Αθήνα, 11 Οκτωβρίου 2009 Με δείγματα ευκολίας δεν γίνεται έρευνα: Η επιλογή των υποκειμένων της έρευνας Βιβή Βασάλα ΣΕΠ στο ΕΑΠ Ερωτήματα Πώς προσδιορίζονται τα όρια του ερευνητικού πληθυσμού; ; Ποιος είναι ο τρόπος-μέθοδος επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008 Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 9.9.8. [] Μια βιομηχανία τροφίμων προμηθεύεται νωπά κοτόπουλα από τρεις διαφορετικούς παραγωγούς Α, Β, Γ. Το % των κοτόπουλων

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 12 Δεκεμβρίου 2012 Περιγραφή 1 Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Περιγραφή 1 Θεωρητικές

Διαβάστε περισσότερα

Kruskal-Wallis H... 176

Kruskal-Wallis H... 176 Περιεχόμενα KΕΦΑΛΑΙΟ 1: Περιγραφή, παρουσίαση και σύνοψη δεδομένων................. 15 1.1 Τύποι μεταβλητών..................................................... 16 1.2 Κλίμακες μέτρησης....................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Αναλυτική Μέθοδος- Αναλυτικό Πρόβλημα. Ανάλυση, Προσδιορισμός και Μέτρηση. Πρωτόκολλο. Ευαισθησία Μεθόδου. Εκλεκτικότητα. Όριο ανίχνευσης (limit of detection, LOD).

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Το 1965, από τον Conover και πάλι προτάθηκε ένας άλλος έλεγχος τύπου Smirnov για k ανεξάρτητα δείγματα. Ο έλεγχος αυτός διαφέρει από τον προηγούμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: «Χωρική κατανομή και Γεωστατιστική ανάλυση δεδομένων εντομολογικών προσβολών»

ΘΕΜΑ: «Χωρική κατανομή και Γεωστατιστική ανάλυση δεδομένων εντομολογικών προσβολών» ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ ΓΠΣ, ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΘΕΜΑ: «Χωρική κατανομή και Γεωστατιστική ανάλυση δεδομένων εντομολογικών προσβολών» Μανωλαράκης Μιχ., Μυλωνάς Παν., Δήμου Παρ., Καλύβας

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ. Μάθημα : Στατιστική Ι. Υποενότητα : Τρόποι και μέθοδοι δειγματοληψίας

ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ. Μάθημα : Στατιστική Ι. Υποενότητα : Τρόποι και μέθοδοι δειγματοληψίας ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ Μάθημα : Στατιστική Ι Υποενότητα : Τρόποι και μέθοδοι δειγματοληψίας Επαμεινώνδας Διαμαντόπουλος Ιστοσελίδα : http://users.sch.gr/epdiaman/ Email : epdiamantopoulos@yahoo.gr 1 Στόχοι της υποενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ

Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΙΔΑ: «ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ, ΜΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΖΩΗΣ» ΣΤΡΑΤΗ ΣΤΑΜΑΤΙΑ Επιβλέπων Καθηγητής: ΚΑΡΑΧΑΛΙΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΚΑΡΛΟΒΑΣΙ, ΜΑΪΟΣ 2012 ΣΤΟΙΧΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου Περιεχόμενα-Ύλη του Μαθήματος Περιγραφική Στατιστική: Είδη δεδομένων, Μετασχηματισμοί,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 168 / 182 Χρωματισμοι Γραφημα των Χρωματισμο ς Κορυφω

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ Ι. ΓΙΑΝΝΑΤΣΗΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ Ι. ΓΙΑΝΝΑΤΣΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ι. ΓΙΑΝΝΑΤΣΗΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ Η Μέτρηση Εργασίας (Work Measurement ή Time Study) έχει ως αντικείμενο τον προσδιορισμό του χρόνου που απαιτείται από ένα ειδικευμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 6: Kατανομή Poisson. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 6: Kατανομή Poisson. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 6: Kατανομή Poisson Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ )

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια εταιρεία ταχυμεταφορών διατηρεί μια αποθήκη εισερχομένων. Τα δέματα φθάνουν με βάση τη διαδικασία Poion με μέσο ρυθμό 40 δέματα ανά ώρα. Ένας υπάλληλος

Διαβάστε περισσότερα

Η μεταβλητή "χρόνος" στη δημογραφική ανάλυση - το διάγραμμα του Lexis

Η μεταβλητή χρόνος στη δημογραφική ανάλυση - το διάγραμμα του Lexis Η μεταβλητή "χρόνος" στη δημογραφική ανάλυση - το διάγραμμα του Lexis Η αναφορά στο χρόνο Αναφερόμενοι στο χρόνο, θα πρέπει κατ αρχάς να τονίσουμε ότι αυτός μπορεί να είναι είτε το ημερολογιακό έτος, είτε

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Μάνατζμεντ και Μάρκετινγκ Οργανισμών και Επιχειρήσεων Αθλητισμού και Αναψυχής

Αρχές Μάνατζμεντ και Μάρκετινγκ Οργανισμών και Επιχειρήσεων Αθλητισμού και Αναψυχής Κωνσταντίνος Αλεξανδρής, PhD Αρχές Μάνατζμεντ και Μάρκετινγκ Οργανισμών και Επιχειρήσεων Αθλητισμού και Αναψυχής β βελτιωμένη έκδοση ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2011 ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή... 11 ΠΡΩΤΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.0 Η Αθλητική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Κατανομές Τυχαίων Μεταβλητών Προβλήματα και Ασκήσεις

Κατανομές Τυχαίων Μεταβλητών Προβλήματα και Ασκήσεις Κατανομές Τυχαίων Μεταβλητών Προβλήματα και Ασκήσεις 1. Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας 0 1 2 3 4 f () 1/16 4/16 6/16 c 1/16 Να βρεθούν α) η τιμή της σταθεράς c β) η πιθανότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 183 / 198 Ταιρια σματα (Matchings) Ταίριασμα: Ένα

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

, όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998!

, όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998! Η Κατανομή Poisso Ας δούμε ένα πρόβημα: Σε μια κτηνοτροφική περιοχή υπάρχουν 3 αιγοπρόβατα. Κάθε χρόνο όα τα αιγοπρόβατα εμβοιάζονται για προστασία από κάποια ασθένεια. Σύμφωνα με την άδεια χρήσης του

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Έλεγχοι Υποθέσεων

Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Έλεγχοι Υποθέσεων Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Έλεγχοι Υποθέσεων Ένα Ερευνητικό Παράδειγμα Σκοπός της έρευνας ήταν να διαπιστωθεί εάν ο τρόπος αντίδρασης μιας γυναίκας απέναντι σε φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα