ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ"

Transcript

1 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ. Εισαγωγή Στις σύγχρονες ποσοτικές έρευνες και μελέτες οικολογικής, περιβαλλο ντι κής και γεωργικής φύσεως, ιδίως σ εκείνες που πραγματοποιούνται σε συνθή κες υπαί θρου, χρειάζονται καλές μετρήσεις των στοιχείων ή χαρακτηριστικών του συ στήματος που μελετάμε. Ειδικά στις περιπτώσεις ερευνών σε επίπεδο πληθυσμού ή βιοκοινότη τας, η απογραφή ή η μέτρηση των σχετικών παραμέτρων όλων των ατόμων του υπό μελέτη μεγάλου συνόλου είναι κατά κ ανόνα αδύνατη ή πολύ δαπανηρή. Περιο ριζόμαστε λοιπόν στη λήψη αντιπροσωπευτικού δείγματος, το οποίο αν επιλε γεί σωστά (σύμφωνα με τους κανόνες της δειγματοληψίας), μπορεί να χρησι μοποιηθεί για να γίνουν αναφορές στον πληθυσμό ή σ όποιο σύνολο από το οποίο ελήφθη το δείγμα. Το θέμα της δειγματοληψίας γενικά είναι αρκετά μεγάλο. Τα όργανα και οι μέθοδοι δειγματοληψίας που χρησιμοποιούνται ποικίλλουν ανάλογα με το είδος των οργανισμών που μελετούμε και τον χώρο (χερσαίος, θαλάσσιος, ποτάμιος, λιμναίος κ.τ.λ.) στον οποίο ζουν. Στο παρόν κεφάλαιο και στα επόμενα τρία θα ε ξετάσουμε τις βασικές αρχές της δειγματοληψίας και τις πλέον συνήθεις μεθόδους και όργανα που χρησιμοποιούνται. Για εκτενέστερη κάλυψη και μεγαλύτερη εμβάθυνση στο θέμα ο ερευνητής θα πρέπει να ανατρέξει σε εξειδικευμένα εγχειρίδια (Snedecor and Cochran 967, Seber 973, Begon 979, Krebs 999, Govin darajulu 999). Σε ορισμένες περιπτώσεις η δειγματοληψία ποσοτικών χαρα κτηριστικών των φυτών χρησιμοποιείται για την έμμεση αξιολόγηση (βιοκαταγραφή) των επιπέδων κάποιας περιβαλλοντικής παραμέτρου, όπως π.χ. ατμοσφαιρικής ρύπανσης (Saitanis and Karandinos 00). Όσον αφορά τις τεχνικές και τα όργανα δειγματολη ψίας, ιδιαίτερα σε υδάτινα περιβάλλοντα, το βιβλίο των Southwood and Henderson (000) είναι αρκετά λεπτομερές. Επίσης χρήσιμο ίσως είναι στον αναγνώστη το Παράρτημα τούτου του βιβλίου. Πρέπει να τονίσουμε ότι για τον σχεδιασμό μιας καλής δειγματοληψίας με στό χο την εκτίμηση παραμέτρων του πληθυσμού κάποιου είδους (π.χ. πληθυ σμιακό μέγεθος, λόγο αρρένων προς θήλεα άτομα, ύψος προσβολής μιας καλ λιέρ γειας

2 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ από κάποιο έντομο ή μύκητα, ποσοστό παρασιτισμού κ.τ.λ.), ο ερευνη τής θα πρέπει να έχει τις γνώσεις εκείνες της βιολογίας και οικολογίας (σε ποιοτι κό έστω επί πε δο) του υπό μελέτη είδους που εμπλέκονται με την τεχνική της δειγματολη ψίας την οποία προτίθεται να χρησιμοποιήσει. Για παράδειγμα, οι Duffield et al. (005) περιγράφουν τη βαθμονόμηση διαφόρων τεχνικών δειγματολη ψίας αυγών και προ νυμφών του Λεπιδοπτέρου εντόμου Helicoverpa spp. σε φυτείες σό γιας. Επί σης, οι Stephens and Losey (004) συνέκριναν διάφορες μεθόδους δειγ μα το λη ψίας των Coccinellidae στο καλαμπόκι. Εάν σε δεδομένη περίπτω ση δεν υπάρ χει σχετική γνώση, θα πρέπει να αποκτηθεί, με την πραγματοποίηση εν - δεχομένως κάποιων παρατηρήσεων και προκαταρκτικών δειγματοληψιών. Ει δικά στην περίπτωση δειγματοληψίας ειδών με μικρούς πληθυσμούς (π.χ. νέα εί δη στην περιοχή που πιθανόν να προκαλέσουν επιδημίες), οι Venette et al. (00) σε ένα άρθρο ανασκόπησης περιγράφουν τις κατάλληλες στατιστικές στρατη γι κές της δειγματοληψίας. Βέβαια, κανόνες γενικής εφαρμογής της δειγματο λη ψίας για όλα τα είδη και πληθυσμούς δεν υπάρχουν. Ενδεικτικά μόνο αναφέρουμε μερικά παραδείγματα. Έστω ότι η δειγματοληψία γίνεται με ελκυστικά σε παγίδες για την εκτίμηση του πληθυσμού ακμαίων εντόμων κάποιου είδους. Ο ερευνητής θα πρέπει να γνωρίζει εάν προσελκύονται τα άτομα του είδους αυτού ανεξαρτήτως ηλικίας, φύλου, συζευγμένα ή μη κ.τ.λ. Δηλαδή ποιος είναι ο «πληθυσμός» από τον οποίο λαμβάνεται το δείγμα. Εάν η δειγματοληψία γίνεται με μεθόδους που σχετίζονται με την κινητικότητα των ζώων και ιδιαίτερα αν η έρευνα στοχεύει στην καταγραφή των πληθυσμιακών διακυμάνσεων στο χρόνο (π.χ. εποχιακές), ο ερευνητής θα πρέπει να λάβει υπόψη του τις περιβαλλοντικές συνθήκες που ευνοούν ή παρεμποδίζουν την κι νητικότητα των ζώων σε κάθε χρονική περίοδο. Στην εφαρμοσμένη εντομολογία η ζημία της παραγωγής συχνά προκαλείται από τις προνύμφες του εντόμου, η ποσοτική δειγματοληψία των οποίων μπορεί να είναι δύσκολη ή/και χρονοβόρα. Επιπλέον, εάν ο σκοπός της δειγματοληψίας είναι να εκτιμήσουμε την αναμενόμενη ζημία στην καλλιέργειά μας από τις προνύ μφες για να επέμβουμε εάν χρειάζεται, τότε η δειγματοληψία στο στάδιο της προνύμφης ίσως δε βοηθά. Θα πρέπει να διενεργήσουμε τη δειγματοληψία έγκαιρα στο στάδιο του ακμαίου της προηγούμενης γενιάς (π.χ. με παγίδες φερο μόνης), έχοντας όμως προσδιορίσει ήδη ερευνητικά τη συσχέτιση μεταξύ συλλήψεων ακμαίων στις παγίδες και αναμενόμενου πληθυσμιακού με γέθους των προνυμφών. Τέτοιες έρευνες έχουν πραγματοποιηθεί για διάφορα οικονομικής σημασίας έντομα. Σε μια πρόσφατη (Hillier et al 004) τέτοια έρευνα μελετήθηκε επί τρία χρόνια στον Καναδά το Λεπιδόπτερο Grapholita libertina που προσβάλλει τα Vaccinium vitis-idaea L. (κοινώς μυρτίδια ή μπλούμπερη). Πράγματι, στην περίπτωση αυτή βρέθηκε καλή συσχέτιση μεταξύ του αριθμού

3 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ 3 των συλληφθέντων ακμαίων και: (i) του αριθμού των προνυμφών και (ii) του επιπέδου της ζημίας. Σε μια εμπεριστατωμένη έρευνα 7 ετών στις ΗΠΑ (Raimondo et al. 004) για το έντομο Lymantria dispar, που προσβάλλει διάφορα οπωροφόρα και δα σικά δένδρα, μελετήθηκε η συγκριτική αποτελεσματικότητα 4 μεθόδων δειγμα τοληψίας (συλλήψεις σε φωτοπαγίδες, αριθμός προνυμφών φυλλώματος, αριθμός ωομαζών και συλλήψεις σε παγίδες καμβά στον κορμό των δένδρων) και σε 3 κλίμακες χώρου (τεμάχια δειγματοληψίας 00 ha, δασικές συστάδες ha, και περιοχή ha). Οι αριθμοί των ακμαίων στις φωτοπαγίδες αξιολογήθηκαν ως καλοί δείκτες του πληθυσμιακού μεγέθους σε σχέση με τις καταμετρήσεις προνυμφών φυλλώματος. Επίσης, αριθμοί προνυμφών φυλ λώματος και συλλήψεις στον καμβά ήσαν καλοί δείκτες του πληθυσμιακού μεγέθους στις κλίμακες των τεμαχίων και δασικών συστάδων, αλλά μόνο αριθμοί προ νυμφών φυλλώματος ήσαν καλοί δείκτες και στην κλίμακα της περιοχής. Οι Μπρούμας και Σουλιώτης (987) τεκμηρίωσαν σημαντική συσχέτιση μεταξύ των συλλήψεων ακμαίων αρρένων του Preys oleae (πυρηνοτρήτη) σε παγίδες φερομόνης και του εν συνεχεία επιπέδου προσβολής στα άνθη και τους καρ πούς της ελιάς σε ελαιώνες της Βοιωτίας. Επίσης, ο Αλεξανδράκης (987) τεκ μηρίωσε τη σχέση μεταξύ αφ ενός μεν των συλλήψεων ακμαίων αρρένων των κοκκοειδών Aonidiella aurantii και Planococcus citri σε παγίδες φερομόνης και αφ ετέρου της έντασης (και του χρόνου εμφάνισης) της προσβολής σε εσπεριδοειδώνες του Νομού Χανίων. Λόγω της ιδιομορφίας του βιολογικού κύκλου και της φαινολογίας των εντόμων, είναι χρήσιμη αν όχι αναγκαία η δειγματοληπτική παρακολούθηση της επο χιακής διακύμανσης του πληθυ σμού ποιοτικά (διάφορα στάδια) και ποσοτικά. Αυ τήν τη μέθοδο ακολούθησε, για διάφορα είδη αρθροπόδων μηδικής στην Κωπαΐδα, λειμώνων στα Ιωάννινα και ακάρεων εδάφους στην Αττική, ομάδα ερευνητών του Γεωπονικού Πανεπιστημίου Αθηνών (Λυκουρέσης κ.ά. 985, Κα παξίδη κ.ά. 000, Aντωνάτος κ.ά. 00, και Ψυχάρης κ.ά. 00) με στόχο, μεταξύ άλλων, και την αξιολόγηση της ρύπανσης χρησιμοποιώντας τα αρθρόποδα ως βιοδείκτες. Δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι η ζημία μιας καλλιέργειας από κάποιο έντομο συχνά εξαρτάται, εκτός από τον αριθμό των εντόμων, και από άλλους παράγοντες (κλίμα, έδαφος, ηλικία των φυτών κ.τ.λ.), οι οποίοι αλληλεπιδρούν με το έντομο ή το παθογόνο. Η κινητικότητα των ζώων συχνά εμφανίζει περιοδικότητα εντός του εικο σι τετραώρου. Οι αφίδες π.χ. πετούν κυρίως τις πρωινές ώρες και αργά το α πό γευ μα. Έτσι έχουν μεγαλύτερες πιθανότητες να συλληφθούν σε παγίδες αναρρόφησης ή κίτρινες κατά τις ώρες αυτές. Παρασιτικά Υμενόπτερα σπάνια πετούν όταν η θερ-

4 4. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ μο κρα σία του αέρα είναι χαμηλότερη των 0 C, ιδίως αν επικρατεί συννεφιά. Η έξο δος των ακμαίων (από τις πούπες) Λεπιδοπτέρων της οικογενείας των Sesiidae (Aegeriidae) λαμβάνει χώρα κάθε ημέρα λίγο μετά την ανατολή του ηλίου και εφόσον η θερμοκρασία του αέρα έχει φθάσει τους 5 C μέχρι την 0 η περίπου ώρα (Gorscuch and Karandinos 974). Τα ακμαία αυτά, μια ώρα περίπου μετά την έξοδό τους, δραστηριοποιούνται για σύζευξη (ελευθερώνοντας φερομόνη τα θήλεα) μέχρι τις πρώτες απογευματινές ώρες και εφόσον η θερμοκρασία του αέρα είναι υψηλότερη των C (Karandinos 974). Επομένως, ημέρες που η θερμοκρασία δεν φθάνει τους C μέχρι αυτές τις ώρες (όπως συμβαίνει συχνά σε μεγάλα γεωγραφικά πλάτη ακόμα και το καλοκαίρι), δεν πρέπει να αναμένουμε συλλήψεις σε παγίδες φερομόνης φύλου. Ποσοτικές εκτιμήσεις του μεγέθους του πληθυσμού και διαφόρων άλλων παρα μέτρων με δειγματοληψία είναι αναγκαίες κατ αρχάς για την κατανόηση οικο λογικών φαινομένων αλλά και για πρακτικούς σκοπούς. Η καταπολέμηση εντό μων που προσβάλλουν τις καλλιέργειες ή τα δασικά δένδρα απαιτεί αποτίμηση της πληθυσμιακής πυκνότητας και της μεταβολής αυτής της πυκνότη τας εντός του έτους και μεταξύ ετών. Απαιτεί επίσης την εκτίμηση του ποσοστού παρασιτισμού του εντόμου, τη μέση διάρκεια ζωής του, το αναπαραγωγικό του δυναμικό κ.τ.λ. Οι τιμές αυτές τελικά συσχετίζονται, όπως είδαμε ανωτέρω, με το επί πεδο ζημίας της καλλιέργειας ή του δάσους και με βάση αυτές τις πληροφορίες εκπονείται η στρατηγική καταπολέμησης. Τα ανωτέρω ισχύουν και για έντομα που μεταδίδουν ασθένειες στους ανθρώπους και τα ζώα. Το κουνούπι Aedes aegypti είναι ο φορέας μετάδοσης του ιού που προκαλεί τον δάγκειο πυρετό, ο οποίος προσβάλλει κυρίως μικρά παιδιά. Είναι επομένως σο βαρό πρόβλημα δημόσιας υγείας, ιδίως στη Νότια Ασία. Έτσι, από την δεκαετία του 60 ο Διεθνής Οργανισμός Υγείας του ΟΗΕ ίδρυσε στην Bangkok, πρωτεύουσα της Ταϊλάνδης, ένα ερευνητικό Ινστιτούτο του Aedes (Begon 979). Eίχε παρατηρηθεί έξαρση της ασθένειας την υγρή περίοδο του έτους με αιχμές κάθε δεύτερο χρόνο. Οι ερευνητές υπέθεσαν ότι αυτοί οι κύκλοι της ασθένειας συσχετίζονταν με τους κύκλους της πληθυσμιακής πυκνότητας των κουνουπιών ή ενδεχομένως με την αποτελεσματικότητά τους ως φορέων της ασθένειας. Το Ινστιτούτο θα ήλεγχε αυτή την υπόθεση με απώτερο στόχο την καταπολέμηση της ασθένειας. Αυτό μπορούσε να επιτευχθεί μόνο εάν η στρατηγική κατα πολέ μησης εβασίζετο στην κατανόηση της οικολογίας του κουνουπιού. Μεταξύ των εμπλεκομένων οικολογικών παραμέτρων ήταν η πληθυσμιακή πυκνότη τα των κουνουπιών σε διάφορες περιόδους του έτους, η τάση των κουνουπιών να μετακινούνται από τη μία περιοχή στην άλλη και η διάρκεια ζωής των κουνουπιών. Η διάρκεια ζωής μπορεί φυσικά να ποσοτικοποιηθεί μετρώντας τους ρυθ μούς επιβίωσης. Αυτές οι παράμετροι έπρεπε να ερευνηθούν υπό φυσικές συνθήκες, αφού έπρεπε να ελεγχθεί η υπόθεση ότι η δυναμική των πληθυσμών

5 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ 5 του κουνουπιού αποτελούσε το υπόβαθρο των διακυμάνσεων στην εμφάνιση της ασθένειας. Το κύριο πρόβλημα λοιπόν των ερευνητών ήταν να εκτιμήσουν το μέγε θος και τις άλλες παραμέτρους του πληθυσμού, τα άτομα του οποίου συνεχώς μετακινούνται σε μια μεγάλη έκταση, ενώ συγχρόνως η μια γενιά διαδέχεται την άλλη. Στη χώρα μας η καταπολέμηση του Δάκου της ελιάς με ψεκασμούς γίνε ται ή πρέπει να γίνεται όταν εκτιμάται δειγματοληπτικά ότι η πληθυσμια κή πυκνότητα είναι σε τέτοιο ύψος που αναμένεται να προκαλέσει μη ανεκτή απώ λεια της παραγωγής. Μετά την ταυτοποίηση και την εργαστηριακή σύνθεσή της, η φε ρο μόνη φύλου του Δάκου (Haniotakis et al. 977, Mazomenos et al. 98) χρησιμοποιείται σε παγίδες για την εκτίμηση της πληθυσμιακής πυκνότητας, για καταπολέμηση (μέθοδος μαζικών συλλήψεων των αρρένων) καθώς και για τη μελέτη της βασικής βιολογίας σύζευξης και αναπαραγωγής (Haniotakis et al. 983, Haniotakis and Pittara 994). Έτσι διαπιστώθηκε, για παράδειγμα, ότι τα άρρενα ανταποκρίνονται στο ερέθισμα της φερομόνης τις τελευταίες 4 ώρες της φωτόφασης της φωτοπεριόδου 4: 0 (Φ:Σ) και επίσης ότι η ανταπόκριση αυτή μεγιστοποιείται την 6 η ημέρα της ζωής των ακμαίων. Μελετήθηκε επί σης πει ραματικά αλλά και με θεωρητικά υποδείγματα η αποτελεσματικότητα συνδυασμού φερομόνης φύλου και ελκυστικού τροφής (Haniotakis and Vassiliou-Waite 987, Barclay and Haniotakis 99). Ο συνδυασμός αυτός χρησιμοποιείται πλέον στην πράξη από τους Έλληνες βιοκαλλιεργητές της ελιάς για την προστασία της παραγωγής τους. Σοβαρές απώλειες της παραγωγής προκαλούνται επίσης από μύκητες, βα κτήρια και ιούς που προσβάλλουν τα φυτά. Ο Διεθνής Οργανισμός Τροφίμων και Γεωργίας σε ετήσιες εκδόσεις του καταγράφει τις απώλειες σε ποσότητες γεωργικών προϊόντων (και τη χρηματική τους αξία) που οφείλονται σε ασθένειες και άλλους εχθρούς των φυτών στις αναπτυσσόμενες και στις αναπτυγμένες χώρες. Σύ νοψη τέτοιων στοιχείων παραθέτει ο Τζάμος (004) στο πρόσφατο βιβλίο του. Η εκτίμηση της πληθυσμιακής πυκνότητας και των άλλων πληθυσμιακών παρα μέτρων δεν είναι αναγκαία μόνο για πληθυσμούς επιβλαβών ειδών αλλά και για πληθυσμούς ειδών που, για κάποιους λόγους, επιθυμούμε να προστατεύσουμε ή να διατηρήσουμε ή γενικά να διαχειριστούμε. Είδη της άγριας πανίδας ή χλωρίδας, είδη κυνηγίου, είδη ψαριών ή άλλων θαλασσίων ειδών ανήκουν σ αυτές τις κατηγορίες. Ειδικά σήμερα που σε πολλές περιοχές του κόσμου αρκετά είδη βρίσκονται σε κίνδυνο εξάλειψης, οι ποσοτικές οικολογικές μελέτες είναι αναγκαίες για την ανάπτυξη στρατηγικής διάσωσής τους. Θα μνημονεύσω τη χαρακτηριστική περίπτωση της θαλάσσιας χελώνας, Caretta caretta, την πυκνότητα των «φωλιών» της οποίας μεταξύ άλλων παραμέτρων έχει μελετήσει διεξοδικά ο Δημήτρης Μαργαριτούλης και οι συνεργάτες του στη Ζάκυνθο επί σειρά ετών.

6 6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτσι, σε μια πρόσφατη ενδιαφέρουσα δημοσίευση (Margaritoulis 005), στην οποία συνοψίζονται τα δεδομένα καταγραφής 9 ετών (984-00) των φωλιών της θαλάσσιας χελώνας στη Ζάκυνθο, δίδεται η πυκνότητα εκφρασμένη ως αριθμός φωλιών ανά τρέχον χιλιόμετρο αμμώδους ακτής για 6 τοποθεσίες του κόλπου του Λαγανά. Η μέση ετήσια πυκνότητα κυμάνθηκε από 53,7 φωλιές/km στον Ανατολικό Λαγανά έως 06,8 φωλιές/km στην τοποθεσία Σεκάνια. Η χω - ρική αυτή διαφοροποίηση της πυκνότητας αποδίδεται κυρίως στη διαφορο ποίη ση της ανθρώπινης ενόχλησης στις διάφορες περιοχές. Η μέση πυκνότητα φω λιών στις 6 περιοχές κυμάνθηκε από 55,8 φωλιές/km το 985 έως 366,9 φωλιές/km το 995. Ο συγγραφέας σωστά παρατηρεί ότι, λόγω της μεγάλης δια κύμαν σης του αριθμού των φωλιών από έτους εις έτος, δεν είναι εύκολο να απο φαν θεί κανείς για τη στασιμότητα ή όχι του πληθυσμού στον χρόνο. Ο ερευνητής οικολογικών φαινομένων ποσοτικής φύσεως έχει σήμερα στη διά θεσή του πλήθος σύγχρονων τεχνικών και μεθόδων δειγματοληψίας που δεν υπήρχαν παλαιότερα. Για παράδειγμα, τεχνικές υπέρυθρης φωτογράφησης από αεροπλάνα ή δορυφόρους χρησιμοποιούνται σήμερα για την τεκμηρίωση αποφύλλωσης δασικών δένδρων ή την ποσοτική καταγραφή υπέργειων φωλιών (mounds) μυρμηγκιών της φωτιάς (fire ants) (Vogt 004). Στο άλλο άκρο, τεχνικές με ραδιενεργά ισότοπα ( 34 Cs) χρησιμοποιούνται για τη μελέτη της μετα κίνησης θρεπτικών στοιχείων στο έδαφος και στα διάφορα μέρη του φυτού (Arapis 005). Επίσης, o ερευνητής έχει στη διάθεσή του τις μαθηματικές και στατιστικές μεθόδους οι οποίες, σε συνδυασμό με τα προγράμματα ηλεκτρονικών υπολο γιστών που έχουν αναπτυχθεί, του επιτρέπουν να επεξεργασθεί πληθώρα ποσοτικών δεδομένων και να αποκαλύψει την πληροφορία που περιέχουν και που τον ενδιαφέρει. Δεν πρέπει να ξεχνούμε ότι το πληθυσμιακό μέγεθος και άλλες παραμέτρους τις μελετούμε με οδηγό τα συγκεκριμένα οικολογικά ερωτήματα που μας ενδιαφέρουν και επίσης ότι το είδος του ερωτήματος καθορίζει και τον βαθμό αξιοπιστίας που λογικά θέλουμε να έχει η απάντηση. Ένα άλλο θέμα λοιπόν που πρέπει να τονίσουμε είναι ότι η εκτίμηση με δειγματοληψία του μεγέθους του πληθυσμού έχει μικρή πρακτική αξία εάν δεν γνωρίζουμε και την αξιοπιστία αυτής της εκτίμησης. Κάθε εκτίμηση του μεγέθους ενός πληθυσμού (ή οποιασδήποτε παραμέτρου) που προκύπτει από δει γματοληψία έχει, ως γνωστόν, κάποιο σφάλμα, με άλλα λόγια έχει ένα βαθμό αξιοπιστίας. Ο βαθμός αυτός γενικά είναι τόσο μεγαλύτερος όσο μεγαλύτερο είναι το μέγεθος του δείγματος από το οποίο εκτιμήθηκε η υπό μελέτη παράμετρος. Στο σημείο αυτό είναι σκόπιμο να διευκρινίσουμε τη διαφορά μεταξύ των όρων αμερόληπτος και αξιόπιστος. Ο όρος αμερόληπτος (unbiased) χρησι μοποιείται με τη στατιστική έννοια και αναφέρεται σε βασική ιδιότητα του εκτιμητή

7 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ 7 που χρησιμοποιούμε, ενώ ο όρος αξιοπιστία αναφέρεται στη συγκε κρι μένη εκτίμηση της παραμέτρου. Για παράδειγμα ο εκτιμητής x, που ορίζεται ως η μέση αριθμητική τιμή μιας παραμέτρου, από τις τιμές ενός τυχαίου δείγμα τος n μεγέθους n ( x x n i ), αποδεικνύεται ότι είναι αμερόληπτος εκτιμητής της i (άγνω στης) μέσης αριθμητικής τιμής (μ) της παραμέτρου του πληθυσμού (E(x) μ), ανεξάρτητα από το μέγεθος n του δείγματος. Όμως το μέγεθος του δείγματος επηρεάζει την αξιοπιστία της εκτίμησής μας, π.χ. το τυπικό σφάλμα. Είναι θέμα κοινής λογικής ότι η εκτίμηση μιας παραμέτρου που προέκυψε από ένα δείγμα έχει τόσο μεγαλύτερη αξιοπιστία (μικρότερο τυπικό σφάλμα) όσο μεγαλύτερο είναι το μέγεθος του δείγματος. Οι διάφοροι στατιστικοί εκτιμητές που υπάρχουν στη στατιστική βιβλιογραφία χαρακτηρίζονται από μικρή ή μεγάλη μεροληψία και από μικρή ή μεγάλη τυπική απόκλιση (και επομένως μικρό ή μεγάλο τυπικό σφάλμα). Ο ερευνητής πρέπει να επιλέξει τον «καλύτερο». Συχνά συμβιβάζεται και επιλέγει εκείνον που έχει το μικρότερο «μέσο σφάλμα τετραγώνου» (MSE), που είναι απλά μια συνάρτηση των δύο μεγεθών: MSE (μεροληψία) + διακύ μανση. Το θέμα αυτό θα το δούμε λεπτομερώς στο κεφάλαιο 4. Ομαδικός Έλεγχος. Στην ξένη βιβλιογραφία δειγματοληψίας συχνά χρησιμοποιούνται οι όροι accuracy και precision (Krebs 999), που εννοιολογικά έχουν τη σημασία των όρων αμεροληψία (unbiased) και αξιοπιστία αντίστοιχα και αναφέρονται σε ιδιό τητες μετρήσεων που σχετίζονται με την τεχνική της δειγματοληψίας μάλλον παρά με τις στατιστικές ιδιότητες των εκτιμητών των παραμέτρων μιας κατανομής. Εάν π.χ. επανειλημμένες ζυγίσεις ενός αντικειμένου σε έναν ζυγό ακρι βείας δώσουν σχεδόν την ίδια τιμή, αλλά η μέση τιμή των ζυγίσεων διαφέρει πολύ από το (γνωστό) πραγματικό βάρος του αντικειμένου (π.χ. λόγω κακής βαθμονόμησης του ζυγού), τότε η ζύγιση έχει μεγάλη αξιοπιστία (precision), αλλά μικρή αμεροληψία (accuracy). Αντίθετα, εάν η μέση τιμή των ζυγίσεων είναι πο λύ πλησίον της πραγματικής τιμής του αντικειμένου, αλλά οι επιμέρους ζυ γίσεις διαφέρουν αρκετά μεταξύ τους, τότε έχουμε την περίπτωση μεγάλης αμεροληψίας αλλά μικρής αξιοπιστίας των ζυγίσεων. Στην εκτίμηση των πληθυσμιακών μεγεθών αρθροπόδων εδάφους ή φυλλοστρωμνής, συχνά χρησιμοποιούνται χωνιά Berlesse στα οποία τοποθετεί ται δεί γμα του εδάφους ή της φυλλοστρωμνής. Τα αρθρόποδα του δείγματος απωθού νται από έντονο φως και μετακινούνται στο κάτω μέρος των χωνιών όπου παγιδεύονται σε φιαλίδια με οινόπνευμα. Εάν η ένταση του φωτός είναι με γάλη και συνεπώς η θερμοκρασία υψηλή, τότε τα μικρότερα αρθρό πο δα αφυ δατώνονται και πεθαίνουν πριν προφθάσουν να πέσουν στο φιαλίδιο. Έτσι έχουμε μία συστηματική υποεκτίμηση (μεροληπτική) του μεγέθους του πληθυσμού

8 8. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ των μικρών αρθροπόδων, δηλ. η εκτίμηση έχει μικρή αμεροληψία, η οποία δεν βελτιώ νεται με πολλές επαναλήψεις. Αντίθετα, εάν η ένταση του φωτός ή η θερμοκρασία ποικίλλει στον χρόνο ή από δεί γμα σε δείγμα, τότε η εκτίμηση του πληθυσμού έχει μικρή αξιοπιστία (μικρή precision), παρόλο που μπορεί να είναι αμερόληπτη. Η αξιοπιστία βελτιώνεται με τις πολλές επαναλήψεις, δηλαδή με το μέγεθος του δείγματος. Στην εκτίμηση του πληθυσμού μικρών θηλαστικών με τη μέθοδο σύλληψης-σήμανσης-ελευθέρωσης-επανασύλληψης, που θα αναπτύξουμε σε επό μενο κεφάλαιο, είναι δυνατόν τα άτομα που συνελήφθησαν, σημάνθηκαν και απε λευθερώθηκαν, να απέκτησαν μια «εμπειρία» που μειώνει την πιθανότητά τους να επα νασυλληφθούν («έμαθαν» ν αποφεύγουν την παγίδευση). Στην περίπτωση αυτή η εκτίμηση του πληθυσμού είναι μεροληπτική (μικρή αμεροληψία) και μάλιστα υπερε κτιμά τον πληθυσμό. Αντίθετα, εάν η τεχνική και η αποτελεσματικότη τα της σύλληψης των ζώων διαφέρει από ημέρα σε ημέρα ή εάν το δείγμα είναι μικρό, τότε η αξιοπιστία της εκτίμησης είναι μικρή. Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι ένας από τους βασικούς στόχους της διαδικασίας μιας τυχαίας δειγματοληψίας είναι να επιτύχουμε αξιόπιστη εκτίμηση της υπό μελέτη παραμέτρου. Για να επιτύχουμε τον βαθμό αξιοπιστίας που επιθυμούμε, πρέπει να προσδιορίσουμε τον αριθμό των μετρήσεων από δυνητικά πολύ μεγάλο και άγνωστο αριθμό ή, με άλλα λόγια, το μέγεθος του δείγματος που θα εξετάσουμε.. Το Βέλτιστο Μέγεθος του Δείγματος Κατ αρχάς το σύνηθες ερώτημα: ποιο είναι το μέγεθος του δείγματος (αριθμός δειγματοληπτικών μονάδων) που πρέπει να εξετάσουμε, θα πρέπει να διατυπωθεί πιο συγκεκριμένα. Μια τέτοια διατύπωση είναι: Πόσες δειγματοληπτικές μονάδες πρέπει να εξετάσουμε ούτως ώστε η εκτίμηση της παραμέτρου που ενδιαφέρει να έχει έναν δεδομένο (προκαθορισμένο) βαθμό αξιοπιστίας; Eίναι θέμα κοινής λογικής ότι αν ενδιαφέρομαι να εκτιμήσω το ύψος των δέν δρων σε μία συστάδα δάσους και μετρήσω το ύψος ενός μόνο δένδρου, η αξιο πιστία της εκτίμησής μου θα είναι μικρή. Άρα, όσο περισσότερα δένδρα συμπεριλάβω στο δείγμα, τόσο το καλύτερο. Είναι επίσης θέμα κοινής λογικής ότι, όσο μικρότερες διαφορές ύψους υπάρχουν από δένδρο σε δένδρο της συστάδας, τόσο μικρότερος αριθμός δένδρων επαρκεί για εκτίμηση που θα έχει έναν δεδομένο βαθμό αξιοπιστίας. Στην ακραία περίπτωση π.χ. που τα δένδρα είναι όλα του ίδιου ακριβώς ύψους (όπως οι κο-

9 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ 9 λόνες της ΔΕΗ), τότε αρκεί να μετρήσω το ύψος ενός δένδρου και θα έχω την πληροφορία που χρειάζομαι για όλα τα δένδρα. Άρα, όσο η διακύμανση της συγκε κριμένης μεταβλητής στον πληθυσμό είναι μεγαλύτερη, τόσο μεγαλύτερο δείγμα πρέπει να εξετάσω για να έχω την επιθυμητή αξιοπιστία της εκτίμησης. Ας δούμε τώρα τρεις τρόπους με τους οποίους μπορεί να εκφρασθεί η αξιοπιστία της εκτίμησης και να προσδιοριστεί το αντίστοιχο μέγεθος του δείγματος (Karandinos 976)... Κριτήριο το Τυπικό Σφάλμα Έστω η τυχαία μεταβλητή x (π.χ. ύψος των δένδρων) με μέση τιμή του πληθυσμού μ και διακύμανση σ. Εάν πάρω ένα δείγμα μεγέθους n δένδρων και υπολογί σω το μέσο ύψος x των δένδρων του δείγματος ( x n x i ), η διακύμανση της νέας μεταβλητής x είναι κατά τα γνωστά: σ x σ /n. Το τυπικό σφάλμα είναι s x s / n, άρα n σ /σ x. Είναι ευνόητο ότι όσο μικρότερο είναι το τυπικό σφάλμα σ x, τόσο μεγαλύτερη η αξιοπιστία της εκτίμησης x. Το σ x είναι λοιπόν ένα μέτρο της αξιοπιστίας. Όμως υπάρχει ένα προφανές πρακτικό πρόβλημα: δεν γνωρίζουμε φυσικά το σ του πλη θυσμού, και χωρίς αυτή την πληροφορία δεν μπορούμε να υπολογίσου με το απαιτούμενο μέγεθος του δείγματος στο δειγματοληπτικό μας πρόγραμ μα. Το αδιέξοδο αυτό αντιμετωπίζεται χρησιμοποιώντας εκτίμηση s 0 από μια προκαταρκτική δειγματοληψία. Αντικαθιστώντας στον ανωτέρω τύπο, έχω την εκτίμηση του απαιτούμενου μεγέθους του δείγματος, δηλαδή: n s (.) s0 x Ο τύπος αυτός μας δίδει το αναγκαίο μέγεθος του δείγματος για να έχει η τελική εκτίμησή μας προκαθορισμένο τυπικό σφάλμα s x. Το s x και κατ επέκταση το σ x είναι βέβαια ένα μέτρο της αξιοπιστίας της εκτίμησής μας, αλλά όχι πολύ καλό, όπως θα δούμε με ένα απλό παράδειγμα. Μια εκτίμηση πληθυσμιακού μέσου μ 0 με σ x, έχει πολύ μικρότερη αξιοπιστία από την εκτίμηση ενός πληθυσμιακού μέσου μ 00 με σ x, (με μέγεθος δείγματος n και στις δύο περιπτώσεις), γιατί στην πρώτη περίπτωση το τυ πι κό σφάλμα είναι ένα μεγάλο ποσοστό του μέσου, σε σχέση με τη δεύτερη περί πτωση, γεγονός μάλλον ανεπιθύμητο.

10 0. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ.. Κριτήριο ο Συντελεστής Παραλλακτικότητας Το ανωτέρω μειονέκτημα του τυπικού σφάλματος (ως μέτρου αξιοπιστίας) αντιμε τωπίζεται χρησιμοποιώντας τον Συντελεστή Παραλλακτικότητας. Ο «Συν τελεστής Παραλλακτικότητας» του x που χρησιμοποιείται συχνά ως μέτρο αξιοπιστίας είναι: x CV( x) s ή για συντομία C s x (.) m m Εκφράζοντας το σ x συναρτήσει του σ και n, η (.) γίνεται: C s (.3) m n Λύνοντας ως προς n έχουμε: n s m C (.4) Χρησιμοποιώντας τις εκτιμήσεις x 0 και s 0 των μ και σ από προκαταρκτική δειγμα τοληψία, όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, και αντικαθιστώντας στην (.4) έχω την εκτίμηση n του απαιτούμενου μεγέθους του δείγματος, δηλαδή: n s 0 (.5) x C 0 Αριθμητικό παράδειγμα. Έστω ότι από προκαταρκτική δειγματοληψία έχω: x 0 8 και s 0 0. Επιθυμώ εκτίμηση του μέσου μ με συντελεστή παραλλακτικότητας C 0,5. Σε έρευνες υπαίθρου συντελεστές παραλλακτικότητας μέχρι και 0,0 είναι γενικά απο δεκτοί. Το απαιτούμενο μέγεθος του δείγματος εκτιμάται: n ( 34)( 0, 05).3. Κριτήριο το Διάστημα Εμπιστοσύνης Mια τρίτη προσέγγιση στο πρόβλημα υπολογισμού του μεγέθους του δείγματος βασίζεται στα γνωστά από τη στατιστική, σύμφωνα με τα οποία αν πάρουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους n από έναν πληθυσμό που έχει μέση τιμή μ και διακύμανση σ, τότε, σύμφωνα με το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Central Limit Theorem (Hogg and Craig 965) για επαρκώς μεγάλο δείγμα (περίπου 30 ή μεγαλύτερο) ισχύει η σχέση: x m Pr( Za/ < <+ Za/ ) a s / n

11 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ή μετά από ανακατάταξη Pr( x Z s a/ < m < x+ Z s a/ ) a (.6) n n όπου x είναι η μέση τιμή του δείγματος, ( a) είναι το επίπεδο σημαντικότη τας και Z a/ είναι το άνω a/ σημείο της τυπικής κανονικής κατανομής. Υπενθυμίζουμε ότι για ( a) 0,95, Z a/,96. Η έκφραση (.6) διατυπώνει απλά την πρόταση ότι το διάστημα εμπιστοσύνης x ± Z s a / (.7) n θα περιέχει τον μέσο μ με πιθανότητα ίση με ( a). Έχουμε λοιπόν τρία στοιχεία: το n, το ( a) και το εύρος του διαστήματος (.7). Δεν έχουμε παρά να αποφασίσουμε για την τιμή των δύο και να λύσουμε ως προς το τρίτο στοιχείο, π.χ. το n, δηλ. το μέγεθος του δείγματος. Η τιμή του ( a) λαμβάνεται συνήθως στα επίπεδα 0,95 ή 0,99. Σε κάθε περίπτωση φυσικά πρέπει να το αποφασίσουμε. Το εύρος του διαστήματος εμπιστοσύνης (.7) μπορεί να ορισθεί με τους εξής δύο (τουλάχιστον) τρόπους:.3. Εύρος Διαστήματος Εμπιστοσύνης με βάση σταθερό % (D) της παραμέτρου μ Το εύρος του διαστήματος είναι: Z s a / D m (.8) n Za Άρα: n ( ) / s ( ) Za s0 και στην πράξη: n (.9) ( D m) ( Dx0) Αντικαθιστώντας όμως τα μ και σ, που δεν είναι γνωστά, με τις προκαταρκτικές τους εκτιμήσεις x 0 x m και s 0, η κατανομή του s / δεν είναι πλέον η τυπική 0 n κανονική αλλά η t-κατανομή. Έτσι στη θέση του Ζ a/, πρέπει να χρησιμοποιήσω t a/, n, δηλ. n t a/, n s0 D (.0) x0 Εάν πρόκειται για μέγεθος δείγματος σχετικά μεγάλο (π.χ. > 30), τότε οι δύο κατανομές σχεδόν συμπίπτουν και δεν υπάρχει πρόβλημα. Για μικρές όμως

12 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ τιμές του n, για τις οποίες η τιμή t a/, n στην (.0) εξαρτάται από το n (βαθμοί ελευθερίας n ), η (.0) πρέπει να λυθεί με τη μέθοδο των επανειλημμένων δοκιμών, όπως θα δούμε στη συνέχεια με ένα παράδειγμα..3. Εύρος Διαστήματος Εμπιστοσύνης με βάση σταθερό θετικό αριθμό h Επομένως Z s a / h. n Za Άρα: n / s h και στην πράξη: n Z Για μικρά n έχω, όπως προηγουμένως: n t a/, n so h s h a 0 (.) (.) Αριθμητικό παράδειγμα. Έστω ότι θέλουμε να εκτιμήσουμε τη μέση τιμή μ μιας τυχαίας μεταβλητής x (π.χ. βάρος), των ατόμων ενός πληθυσμού. Επιθυμούμε η αξιοπιστία να είναι τέτοια ώστε η εκτίμηση να περιέχεται με πιθανότητα 0,95 (δηλ. α 0,05) στο διάστημα εμπιστοσύνης που ορίζεται ως ±0,0μ (δηλ. D 0,0 της περίπτωσης.3. ανωτέρω). Από προκαταρκτική δειγματοληψία έχω: x 0 90 και s 0 8. Χρησι μοποιώντας τις τιμές αυτές και διάφορες διαδοχικές τιμές του n στον τύπο (.0), υπολογίζω το δεύτερο μέρος της παράστασης ούτως ώστε η τιμή της να γίνει ίση με την τιμή n. Από τις πέντε πρώτες στήλες του πίνακα που ακολουθεί βλέπουμε ότι το μέγεθος του δείγματος n που απαιτείται είναι της τάξεως 5 ή 6. Έστω ότι με δεδομένη την προκαταρτική τιμή s 0 8 επιθυμούμε η εκτίμηση της μέσης τιμής να περιέχεται με πιθανότητα 0,95 στο διάστημα εμπιστοσύνης ( ts n n t 0,05, n (ts 0 ) 0) ( ts0 ) ( Dx0) h 3 4,303 85,0 4,6 3, ,8 648,0 8,00 8,00 5 4, ,9 6,09 3,70 6 5,57 43,04 5,,75 7 6, , 4,73 0,65 8 7, ,97 9,94 9 8, ,33 9,45 0 9,6 37,46 9,0

13 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ 3 που ορίζεται ως ±6 (δηλ. h 6 στον τύπο. της περίπτωσης.3. ανωτέρω). Το μέγεθος του δείγματος προσδιορίζεται και πάλι με διαδοχικές δοκιμές. Από τις στήλες -4 και 6 του πίνακα βλέπουμε ότι το μέγεθος του δείγματος που απαιτείται είναι n Επιλογή Κατάλληλης Έκφρασης της Αξιοπιστίας Έστω ότι θέλουμε να εκτιμήσουμε τα μέσα ύψη των δένδρων σε τέσσερις συστάδες Α, Β, Γ, και Δ. Από τις προκαταρκτικές δειγματοληψίες έχουμε εκτιμήσεις για τα μέσα ύψη ( Α x 0 0, B x 0 0, Γ x 0 4, και Δ x 0, μέτρα), και τις τυπικές απο κλίσεις ( Α S 0,, Β S 0 4,7, Γ S 0,4 και Δ S 0,4). Σχηματικά, οι τέσσε ρις συ στάδες θα έχουν την εμφάνιση του Σχήματος.. Το μέγεθος του δείγματος της δει γμα τοληψίας θα εξαρτηθεί, όπως είπαμε, από τον τρόπο που θα εκφράσουμε την αξιοπιστία και τον βαθμό που θέλουμε να έχει..4. Τυπικό Σφάλμα ως μέτρο της αξιοπιστίας Έστω ότι εκφράζουμε την αξιοπιστία με το Τυπικό Σφάλμα, μεγέθους s x 0,5. Το μέγεθος του δείγματος δίδεται από τον τύπο (.). * Για τη συστάδα Α, με Α S 0, και Α x 0 0, δίδει: n (, ) A 7, 64 δένδρα (,) 05 * Για τη συστάδα Β, με Β S 0 4,7 και B x 0 0, δίδει n ( 47, ) B 88, 36 δένδρα (,) 05 * Για τη συστάδα Γ, με Γ S 0,4 και x Γ 0 4, δίδει n (, 4) G 795, δένδρα (,) 05 * Για τη συστάδα Δ, με Δ S 0,4 και Δ x 0, δίδει n (, 4) D 795, δένδρα. (,) 05 Το μεγαλύτερο δείγμα, που απαιτείται από τη συστάδα Β, ήταν μάλλον αναμενόμενο λόγω μεγάλης διακύμανσης. Όμως, το ίδιο μέγεθος που απαιτείται από τις Γ και Δ δεν ήταν ίσως αναμενόμενο, όπως θα δούμε στη συνέχεια, με άλλη έκφραση της αξιοπιστίας. Οι δεκαδικοί αριθμοί για τα δείγματα έχουν φυσικά μό νο υπολογιστική σκοπιμότητα.

14 4. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Σχήμα.. Σχηματική απεικόνιση τεσσάρων δασοσυστάδων για διερεύνηση του μεγέθους του δείγματος..4. Ο Συντελεστής Παραλλακτικότητας ως μέτρο της αξιοπιστίας Έστω ότι εκφράζουμε την αξιοπιστία με τον Συντελεστή Παραλλακτικότητας της sx Εκτίμησης, μεγέθους C 006, ή 6%. Το μέγεθος του δείγματος δίδεται από m τον τύπο (.5). * Για τη συστάδα Α, με Α S 0, και Α x 0 0, δίδει: n (, ) A, 5 δένδρα ( 0) ( 0, 06) * Για τη συστάδα Β, με Β S 0 4,7 και Β x 0 0, δίδει:

15 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ 5 n ( 47, ) B 6, 36 δένδρα ( 0) ( 0, 06) * Για τη συστάδα Γ, με Γ S 0,4 και Γ x 0 4, δίδει: n (, 4) G 34, 5 δένδρα ( 4) ( 0, 06) * Για τη συστάδα Δ, με Δ S 0,4 και Δ x 0, δίδει: n (, 4) D 383, δένδρα. ( ) ( 0, 06) Βλέπουμε ότι και με την έκφραση αυτή της αξιοπιστίας, η συστάδα Β απαιτεί το μεγαλύτερο δείγμα. Μεταξύ όμως των συστάδων Γ και Δ, η συστάδα Γ απαιτεί πολύ μεγαλύτερο δείγμα, λόγω του μικρού μέσου όρου..4.3 Διάστημα Εμπιστοσύνης ως μέτρο της αξιοπιστίας Έστω ότι εκφράζουμε την αξιοπιστία με το εύρος του Διαστήματος Εμπιστοσύνης της Εκτίμησης και μάλιστα με δύο τρόπους: (α) Το εύρος του διαστήματος με βάση σταθερό ποσοστό (%) D της παραμέτρου μ Δηλαδή: Z s a Dm. Έστω D 0,05. Το μέγεθος του δείγματος δίδει ο τύπος n (.0). * Για τη συστάδα Α, με Α S 0, και Α x 0 0, δίδει: n (, 96) (,) A 67, 76 δένδρα ( 0) ( 0, 05) * Για τη συστάδα Β, με Β S 0 4,7 και Β x 0 0, δίδει: n (, 96) ( 47, ) B 339, 44 δένδρα ( 0) ( 0, 05) * Για τη συστάδα Γ, με Γ S 0,4 και Γ x 0 4, δίδει: n (, 96) (, 4) G 90, 9 δένδρα ( 4) ( 0, 05) * Για τη συστάδα Δ, με Δ S 0,4 και Δ x 0, δίδει: n (, 96) (, 4) D, δένδρα. ( ) ( 0, 05)

16 6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Και με το κριτήριο αυτό, η συστάδα Β απαιτεί το μεγαλύτερο μέγεθος δείγματος και ακολουθούν κατά σειρά η Γ, η Α και η Δ. (β) Το εύρος του διαστήματος με βάση σταθερό θετικό αριθμό h Δηλαδή: Z s a h. Έστω h 0,8. Το μέγεθος του δείγματος δίδει ο τύπος (.). n * Για τη συστάδα Α, με Α S 0,, δίδει: n (, 96) (,) A 6, 47 δένδρα (,) 08 * Για τη συστάδα Β, με Β S 0 4,7, δίδει n (, 96) ( 47, ) B 3, 59 δένδρα (,) 08 * Για τη συστάδα Γ, με Γ S 0,4, δίδει n (, 96) (, 4) G, 93 δένδρα (,) 08 * Για τη συστάδα Δ, με Δ S 0,4, δίδει n (, 96) (, 4) D, 93 δένδρα (,) 08 Παρατηρούμε ότι με το κριτήριο αυτό η κατάταξη των τεσσάρων συστά δων, ως προς το απαιτούμενο μέγεθος του δείγματος, είναι η ίδια με εκείνη του πρώτου κριτηρίου. Πίνακας.. Αναγωγή σε Διάστημα Εμπιστοσύνης της αξιοπιστίας της εκτίμησης με βάση τα υπολογισθέντα μεγέθη του δείγματος. Παράμετροι Συστάδων Τυπικό Σφάλμα S x 0,5 μέτρα Α Α S 0, n 7,64 x 0 Α 0 9,0 0,98 Β S 4,7 Β 0 n 88,36 x 0 Β 0 9,0 0,98 Γ S,4 Γ 0 n 7,95 x 4 Γ 0 3,0 4,98 Δ S,4 Δ 0 n 7,95 x Δ 0,0,98 Συντελ. Παραλλακτικότητας C 0,06 n,5 8,8,7 n 6,36 8,8,7 n 34,5 3,53 4,47 n 3,83 0,59 3,4 Διάστημα Εμπιστοσύνης (α) (β) Dμ ±0,05μ h ±0,8 n 67,76 n 6,47 9,5 0,5 9, 0,8 n 339,44 9,5 0,5 n 90,9 3,8 4, n,,4,6 n 3,59 9, 0,8 n,93 3, 4,8 n,93,,8

17 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ 7 Θα είχε ίσως ενδιαφέρον, με τα μεγέθη των δειγμάτων που υπολογίσαμε, να κάνουμε αναγωγή στο ίδιο κριτήριο αξιοπιστίας, π.χ. το διάστημα εμπιστοσύ νης της εκτίμησης, και να υπολογίσουμε το εύρος του. Στον Πίνακα. συνοψίζονται τα αποτελέσματα της διερεύνησης αυτής. Η επισκόπηση του Πίνακα. υποδεικνύει ότι από δείγμα μεγέθους, για τη συστάδα Α που δίδει Συντελεστή Παραλλακτικότητας 0,06 προκύπτει μάλλον μεγάλο διάστημα (8,8-,7) εμπιστοσύνης. Επίσης, το ίδιο διάστημα προκύπτει για τη συστάδα Β, αν και το δείγμα είναι αρκετά μεγαλύτερο, προφανώς λόγω της μεγάλης διακύμανσης στον πληθυσμό. Τέλος, για τη συστάδα Γ, το μικρό (7,95) δείγ μα το οποίο απαιτείται για τυπικό σφάλμα 0,5 που διε ρευνήσαμε, σαφ ώς δί δει μεγάλο σχετικά διάστημα εμπιστοσύνης. Παρόμοιο σχόλιο μπορεί να γίνει και για τον Συντελεστή Παραλλακτικότητας, της συστάδας Δ, για την οποία το πολύ μικρό (3,83) δείγμα δίδει μεγάλο εύρος του διαστήματος εμπιστοσύνης..5. Κόστος της Δειγματοληψίας Μέχρι τώρα απαντήσαμε στο ερώτημα ποιο είναι το ελάχιστο μέγεθος του δείγματος που θα δώσει εκτίμηση της άγνωστης παραμέτρου με τον επιθυμητό βαθμό αξιο πιστίας, την οποία μάλιστα εκφράσαμε με τρεις διαφορετικούς τρόπους. Υπάρχουν όμως περιπτώσεις που οι διαθέσιμοι πόροι (σε χρήμα, προσωπι κό, χρόνο κ.τ.λ.) για τη δειγματοληψία είναι προκαθορισμένοι, δηλ. δεν μπορούν να υπερβούν κάποιο όριο. Τότε γνωρίζοντας το συνολικό διαθέσιμο ποσόν και το κόστος κάθε δειγματοληπτικής μονάδας, υπολογίζουμε τον μέγιστο αριθ μό n δειγματοληπτικών μονάδων που μπορούμε να εξετάσουμε. Με το n πλέον δεδο μένο, λύνουμε τους παραπάνω τύπους (.,.5,.9,.) ως προς τον βαθμό αξιοπιστίας (s x, C, D, h) που θα έχει η εκτίμησή μας. Εάν η διακύ μαν ση στον πληθυσμό είναι μεγάλη και οι διαθέσιμοι πόροι μικροί, είναι δυνατόν η αξιοπιστία της εκτίμησής να είναι τόσο μικρή που να κρίνουμε ότι δεν έχει νόημα να προχωρήσουμε στη δειγματοληψία. Αντίθετα, αν η αξιοπιστία κριθεί ικανο ποιητική, προχωρούμε στη δειγματοληψία γνωρίζοντας όμως ποιος θα είναι πε ρίπου ο βαθμός αξιοπιστίας της εκτίμησης που θα προκύψει. Στις επόμενες σε λί δες θα δούμε πώς αντιμετωπίζονται σύνθετα σχήματα δειγματοληψίας, δηλ. σε δύο ή περισσότερα επίπεδα. 3. Eιδικές Περιπτώσεις Ασυνεχών Κατανομών Οι γενικοί τύποι που δώσαμε πιο πάνω για τον υπολογισμό του βέλτιστου μεγέ θους του δείγματος και συγκεκριμένα οι τύποι (.5), (.9) ή (.0) και (.) ή (.), οι

18 8. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ οποίοι αντιστοιχούν στους διαφορετικούς τρόπους ορισμού της αξιοπι στίας της εκτίμησης, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για συνεχείς κατανομές στις οποίες η μέση τιμή ακολουθεί για δείγμα μεγαλύτερο του 30 την κανονική κατα νο μή (κεντρικό οριακό θεώρημα). Εάν η τυχαία μεταβλητή μας είναι ασυνεχής, τότε ανάλογα με τη συγκεκριμένη ασυνεχή κατανομή που ακολουθεί, οι αντίστοιχοι γενικοί τύποι που δόθηκαν ήδη μπορούν να πάρουν προσφορότερη μορφή. Θα δούμε αυτές τις μορφές για τις κατανομές: Διωνυμική, Poisson και Αρνητική Διωνυμική Κατανομή, που είναι οι συνηθέστερες σε οικολογικές μελέτες. Η θεωρία που αναπτύχθηκε ήδη και η λογική του υπολογισμού του βέλτιστου μεγέθους του δείγματος που εκθέσαμε παραμένουν αναλλοίωτες. 3.. Διωνυμική Κατανομή Η Διωνυμική Κατανομή βρίσκει εφαρμογή στις περιπτώσεις που σε κάθε δειγματοληπτική μονάδα σημειώνουμε την παρουσία ή απουσία κάποιου χαρα κτηριστικού, όπως π.χ. προσβολή φυτών από κάποιο έντομο ή ασθένεια. Εάν πάρουμε τυχαία και εξετάσουμε n φυτά από έναν πληθυσμό στον οποίο το ποσοστό προσβολής είναι p, τότε η πιθανότητα τα x από τα n φυτά να είναι προσβεβλημένα, δίδεται από τη συνάρτηση: n bnxp ( ;, ) x px ( p ) n x n! p x ( p) n x (.3) x!( n x)! όπου x 0,,, n. Η τυχαία μεταβλητή είναι η x. Από τη μαθηματική στατιστική είναι γνωστό ότι: E(x) np και V(x) np( p) όπου Ε(x) συμβολίζει τη μαθηματική ελπίδα της x δηλ. τη μέση τιμή της x, και V(x) τη διακύμανση της x. Στην πράξη είναι προφανές ότι σε μια δειγματοληψία όπως η παραπά νω, ενδια φερόμαστε να εκτιμήσουμε την άγνωστη παράμετρο p, δηλ. το ποσοστό των προσβεβλημένων φυτών. Η εκτίμηση αυτή είναι φυσικά: p x/n. Εστιά ζουμε επομένως την προσοχή μας και αποφασίζουμε τον τρόπο που θα εκφράσουμε την αξιοπιστία της εκτίμησης p και τον βαθμό αξιοπιστίας που επιθυμούμε να έχει κατά τα γνωστά. Προηγουμένως όμως παρατηρώ ότι: E E x Ex ( ) np ( p ) ( p n ) (.4) n n V( ) V x n p ( ) V( x) np( p) p( p) n n n (.5)

19 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ 9 Εκφράζουμε τώρα την αξιοπιστία με τους τρεις τρόπους που είδαμε ήδη: 3.. Μέτρο αξιοπιστίας ο Συντελεστής Παραλλακτικότητας Ο αρχικός τύπος: CV( p) p s p (.6) γίνεται λόγω της (.5): ( ) ( ) CV( p ) p p p p n pn Λύνοντας ως προς n και αντικαθιστώντας το p με την προκαταρκτική εκτίμηση p 0, έχω μια εκτίμηση του ζητούμενου n: ( p0) n (.7) p0c O τύπος (.7) είναι αντίστοιχος του γενικού τύπου (.5). Αριθμητικό παράδειγμα.3 Έστω ότι θέλουμε να εκτιμήσουμε το % των προσβεβλημένων φυτών ενός πληθυσμού και η εκτίμηση να έχει Συντελεστή Παραλλακτικότητας C 0,0. H προκαταρτική εκτίμηση του ποσοστού είναι p 0 0,30. Άρα, εφαρμόζο ντας τον τύπο (.7) έχουμε n 33. Για διάφορες υποθετικές τιμές της παραμέ τρου και διάφορα επιθυμητά C, τα απαιτούμενα μεγέθη του δείγματος δίδονται στον κατωτέρω πίνακα και στο Σχήμα.. 0,0 0,0 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 C 0, C 0, C 0, C 0, Τα αποτελέσματα αυτά αποκαλύπτουν ενδιαφέρουσες ιδιότητες: Όπως αναμενόταν, βλέπω ότι όσο μικρότερο C επιθυμώ τόσο μεγαλύτερο μέγεθος δείγματος πρέπει να εξετάσω. Παρατηρώ επίσης ότι όσο μικρότερο είναι το ποσοστό προσβολής τόσο μεγαλύτερο δείγμα χρειάζομαι για να εκτιμήσω την παράμετρό μου με κριτήριο αξιοπιστίας τον συντελεστή παραλλακτικότητας. Οι σχέσεις αυτές δεν είναι ευθύγραμμες. p 0

20 0. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Σχήμα.. Μέγεθος δείγματος για διάφορες τιμές της παραμέτρου p 0 και επιθυμητές τιμές του Συντελεστή Παραλλακτικότητας C. 3.. Μέτρο αξιοπιστίας το Διάστημα Εμπιστοσύνης Έστω τώρα ότι επιθυμούμε να ορίσουμε την αξιοπιστία της p με το Διάστημα Εμπιστοσύνης Ζ a/ σ p. Διακρίνουμε δύο υποπεριπτώσεις. (α) Εύρος διαστήματος με βάση σταθερό % (D) της παραμέτρου p Έχουμε Ζ a/ σ p Dp (.8) στην οποία αντικαθιστώντας το σ p από την (.5) έχουμε: p( p) Za / Dp n Λύνουμε ως προς n, αντικαθιστούμε το p με p 0 και έχουμε: p n Za / 0 D p 0 Ο τύπος (.9) είναι αντίστοιχος του (.9). (.9) Αριθμητικό παράδειγμα.4 Εφαρμόζουμε τον τύπο (.9) με Ζ a/,96, D 0,4 και p 0 0,0 και έχουμε n 96. Για διάφορες υποτιθέμενες τιμές της παραμέτρου p 0 και επιθυμητά D, τα απαιτούμενα μεγέθη δείγματος δίδονται στον πίνακα που ακολουθεί και στο Σχήμα.3.

21 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ 0,0 0,0 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 D 0, D 0, D 0, D 0, Kαι εδώ το μέγεθος του δείγματος συμπεριφέρεται όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, αφού η δομή τής (.9) είναι παρόμοια με εκείνη τής (.7). p 0 Σχήμα.3. Μέγεθος δείγματος για διάφορες τιμές της παραμέτρου p 0 της Διωνυμικής Κατανομής και επιθυμητές τιμές του εύρους του Διαστήματος Εμπιστοσύνης ως ποσοστού (D) της μέσης τιμής. (β) Εύρος Διαστήματος Εμπιστοσύνης με βάση σταθερό αριθμό h Έχουμε Z a/ σ p h (.0) από την οποία κατά τον ίδιο τρόπο (τύποι.5 και.0) βρίσκουμε: n p p Za / 0( 0) (.) h Ο τύπος (.) είναι αντίστοιχος του (.) της γενικής περίπτωσης.

22 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Αριθμητικό παράδειγμα.5 Εφαρμόζουμε τον τύπο (.) με Z a/,96, h 0,0 και p 0 0,0. Το n 6. Για διάφορες υποτιθέμενες τιμές της παραμέτρου p 0 και του επιθυμητού h, έχουμε τα αποτελέσματα στον πίνακα που ακολουθεί και στο Σχήμα.4. 0,0 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 h 0, h 0, h 0, h 0, p 0 Σχήμα.4. Μέγεθος δείγματος για διάφορες τιμές της παραμέτρου p 0 της Διωνυμικής Κατανομής και επιθυμητές τιμές h του εύρους του Διαστήματος Εμπιστοσύνης. Παρατηρούμε ότι απαιτείται μέγιστος αριθμός δειγμάτων όταν η παράμετρος p 0 είναι 0,50. Το αποτέλεσμα αυτό είναι προφανές από τη μορφή τής (.) η οποία είναι δευτέρου βαθμού συμμετρική συνάρτηση ως προς p 0. Άρα έχει ένα μέγιστο (ή ελάχιστο).

23 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Κατανομή Poisson Eάν η χωροδιάταξη κάποιων οργανισμών (π.χ. φυτών) ή άλλων γεγονότων στον πληθυσμό των δειγματοληπτικών μονάδων (π.χ. τεμαχίων εδάφους) είναι τυχαία, τότε η τυχαία μεταβλητή x, ο αριθμός των φυτών στα τεμάχια, έχει την κατανομή του Poisson, δηλ. x f( x) e l l, x 0,,,... (.) x! όπου λ η μέση τιμή της μεταβλητής. Αποδεικνύεται ότι: E(x) λ και V(x) λ. Επειδή το λ είναι η μέση τιμή του x (άρα ë x i ) n, η εκτίμηση λ έχει διακύμανση: V( xi ) V ( ) ë n n l n l n Ας δούμε τώρα τους τρεις τρόπους ορισμού της αξιοπιστίας. 3.. Μέτρο αξιοπιστίας ο Συντελεστής Παραλλακτικότητας së l n Έχουμε: CV( ë ) l l nl Λύνουμε ως προς n και έχουμε: n ë0c Αριθμητικό παράδειγμα.6 Για διάφορες τιμές του λ 0 και του C έχω τις κάτωθι εκτιμήσεις του n: (.3),5,5 3 3,5 4 4,5 C 0, C 0, C 0, C 0, λ 0 Παρατηρούμε στον Πίνακα και στο Σχήμα.5, ότι, όπως είναι εύλογο, όσο μικρότερο Σ.Π. επιθυμούμε, τόσο μεγαλύτερο δείγμα χρειαζόμαστε. Η σχέση όμως δεν είναι ευθύγραμμη. Παρατηρούμε επίσης ότι όσο μικρότερο είναι το λ 0, τόσο μεγαλύτερο δείγμα απαιτείται. Η σχέση και πάλι είναι καμπυλόγραμμη.

24 4. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Σχήμα.5. Μέγεθος δείγματος για διάφορες τιμές της παραμέτρου λ 0 της κατανομής Poisson και επιθυμητές τιμές του Συντελεστή Παραλλακτικότητας C. 3.. Μέτρο αξιοπιστίας το Διάστημα Εμπιστοσύνης Διακρίνουμε δύο υποπεριπτώσεις: (α) Εύρος διαστήματος με βάση σταθερό % (D) της παραμέτρου λ Ο γενικός τύπος (.9) γίνεται: Αριθμητικό παράδειγμα.7 Z a / n D ë 0 (.4) Για διάφορες τιμές του λ 0 και του D απαιτούνται τα μεγέθη του δείγματος που δίδονται στον κάτωθι Πίνακα και στο Σχήμα.6, όταν Z a/,96.,5,5 3 3,5 4 4,5 D 0, D 0, D 0, D 0, λ 0

25 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ 5 Σχήμα.6. Μέγεθος δείγματος για διάφορες τιμές της παραμέτρου λ 0 της κατανομής Poisson και επιθυμητές τιμές του D. (β) Εύρος διαστήματος με βάση σταθερό θετικό αριθμό h Ο γενικός τύπος (.) γίνεται: Z a / n 0 h ë (.5) Aριθμητικό παράδειγμα.8 Για διάφορες τιμές του λ 0, του επιθυμητού h και για Z a/,96 τα απαιτούμενα μεγέθη του δείγματος δίδονται στον κατωτέρω Πίνακα και στο Σχήμα.7: λ h 0, h 0, h 0, h 0, Είναι προφανές τόσο από τη δομή του τύπου (.5) όσο και από τα αριθμητικά αποτελέσματα του ανωτέρω πίνακα ότι το μέγεθος του δείγματος είναι ακριβώς ανάλογο του λ 0 και αντιστρόφως ανάλογο του τετραγώνου του h.

26 6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Σχήμα.7. Μέγεθος δείγματος για διάφορες τιμές της παραμέτρου λ 0 της κατανομής Poisson και επιθυμητές τιμές του h Αρνητική Διωνυμική Κατανομή Εάν η χωροδιάταξη των οργανισμών στον πληθυσμό των δειγματοληπτικών μονά δων δεν είναι τυχαία αλλά ομαδοποιημένη (δηλ. υπάρχει μεγάλη συγκέντρωση ατόμων σε κάποιες δειγματοληπτικές μονάδες και μικρή σε άλλες), τότε η τυχαία μεταβλητή x, ο αριθμός των ατόμων στη δειγματοληπτική μονάδα, έχει συχνά την Αρνητική Διωνυμική Κατανομή. Η κατανομή αυτή έχει δύο παραμέτρους, τη μέση τιμή (μ) της τυχαίας μεταβλητής και τη διακύμανση V(x). Συνήθως όμως η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής δίδεται συναρτήσει της παραμέτρου μ και μιας άλλης παραμέτρου που επεκράτησε διεθνώς να συμβολίζεται με το γράμμα Κ, και η οποία μάλιστα χρησιμοποιείται συχνά στη βιβλιογραφία ως δείκτης του βαθμού ομαδοποίησης της χωροδιάταξης (όσο μεγαλύτερος είναι ο βαθμός ομαδοποίησης, τόσο μικρότερη είναι η τιμή της Κ). Η σχέση που συνδέει τα τρία αυτά μεγέθη είναι: m V( x) m + (.6) K Θα εκφράσουμε λοιπόν το βέλτιστο μέγεθος του δείγματος με τους τρεις τρό πους που χρησιμοποιήσαμε και στις προηγούμενες κατανομές συναρτήσει των παραμέτρων μ και Κ.

27 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Μέτρο αξιοπιστίας ο Συντελεστής Παραλλακτικότητας Αντικαθιστώντας τη διακύμανση σ στην (.4) από την (.6) έχουμε: ( m + K ) n mkc και αντικαθιστώντας τη μ με την προκαταρκτική εκτίμηση x 0 και την V(x) με την V 0 (x) στην (.6) έχω K 0. Ώστε η εκτίμηση του n είναι: x0 + K 0 n (.7) x K 0 0C Σχήμα.8. Μέγεθος δείγματος για διάφορες τιμές των παραμέτρων x 0 και V(x), της Αρνητικής Διωνυμικής Κατανομής (οι οποίες προσδιορίζουν και το Κ) και για C 0,05. Όπως βλέπουμε, το μέγεθος του δείγματος είναι και στην περίπτωση αυτή αντιστρόφως ανάλογο του τετραγώνου του C. Εξαρτάται επίσης από το x 0 και το K 0 με κάποιο σύνθετο τρόπο όπως βλέπουμε στον τύπο (.7). Η τιμή του K 0 όμως συνδέεται με τη μέση τιμή και τη διακύμανση του x, όπως φαίνεται στον τύπο (.6). Έτσι στο αριθμητικό παράδειγμα που ακολουθεί δίδονται οι τιμές του n για διάφορα ζεύγη τιμών του x 0 και V(x). Εντός παρενθέσεων στο σώμα του πίνακα δίδονται και οι αντίστοιχες τιμές του K 0, ακολουθούμενες από τις τιμές του n.

28 8. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Αριθμητικό παράδειγμα.9 Απαιτούμενα μεγέθη δείγματος, από μια Αρνητική Διωνυμική Κατανομή, για διάφο ρες τιμές του x 0 και της διακύμανσης V και για C 0,05. Εντός παρενθέσεων δίδονται οι αντίστοιχες τιμές του K V(x) 8 (4) 00 (8,33) 8 (8) 89 (49) 65 V(x) 0 (,66) 50 (5) 60 (9) (6,33) 8 V(x) () 300 (3,57) 9 (6) 33 (9,8) 98 V(x) 4 (,6) 350 (;78) 4 (4,5) 55 (7) 4 Tα αποτελέσματα του παραδείγματος δίδονται στον Πίνακα και στο Σχήμα.8. Παρατηρούμε στον Πίνακα ότι το μέγεθος του δείγματος αυξάνει γραμμικά με την αύξηση της διακύμανσης. Αντίθετα μειώνεται εκθετικά με την αύξηση της μέσης τιμής της μεταβλητής καθώς και με την αύξηση της τιμής της παραμέτρου K. x Μέτρο αξιοπιστίας το Διάστημα Εμπιστοσύνης Διακρίνουμε πάλι δύο υποπεριπτώσεις: (α) Εύρος διαστήματος με βάση σταθερό % (D) της παραμέτρου x Αντικαθιστώντας τη διακύμανση στην (.9) από την (.6) κατά τα γνωστά έχω: Za / ( x0 + K 0) n (.8) x K D 0 0 Η δομή του τύπου (.8) είναι η ίδια με εκείνη του (.7). Υπολογιστικά διαφέ ρουν στο ότι στον (.8) ο αριθμητής πολλαπλασιάζεται με το Z a /, ο δε παρανομαστής με το D αντί C. Δεν πρέπει βέβαια να μας διαφεύγει η εν νοιολογική διαφορά των δύο αυτών συμβόλων. Αριθμητικό παράδειγμα.0 Στον πίνακα που ακολουθεί και στο Σχήμα.9 δίδεται το μέγεθος του δείγματος για διάφορα ζεύγη τιμών του x 0 και της V(x). Εντός παρενθέσεων δίδονται οι αντίστοιχες τιμές του K 0. Σε όλες τις περιπτώσεις επιλέξαμε D 0,0 και Z a/,96.

29 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ V(x) 8 (4) 9 (8,33) 3 (8) 85 (49) 63 V(x) 0 (,66) 40 (5) 54 (9) 07 (6,33) 78 V(x) () 88 (3,57) 84 (6) 8 (9,8) 94 V(x) 4 (,6) 336 (,78) 5 (4,5) 49 (7) 0 x 0 Η συμπεριφορά του μεγέθους του δείγματος είναι όπως και στην προηγούμενη περίπτωση. Σχήμα.9. Μέγεθος δείγματος για διάφορες τιμές των παραμέτρων x 0 και V(x) της Αρνητικής Διωνυμικής Κατανομής και για D 0,0. (β) Εύρος διαστήματος με βάση σταθερό θετικό αριθμό h Αντικαθιστώντας τη διακύμανση στην (.) από την (.6) έχουμε: Z a /x0( K 0 + x0) n K h 0 (.9) Η δομή του τύπου (.9) διαφέρει από τη δομή των δύο προηγούμενων όσον αφορά την επίδραση του x 0.Τη μορφή αυτής της επίδρασης θα δούμε σε ένα αριθμητικό παράδειγμα.

30 30. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Αριθμητικό παράδειγμα. Χρησιμοποιώντας τις τιμές x 0 και V(x) των προηγούμενων παραδειγμάτων και τις αντί στοιχες τιμές του K 0 για Z a/,96 και h 0,6 στον τύπο (.9) και κάνοντας τους υπολογι σμούς παρα τηρήσαμε το περίεργο ίσως φαινόμενο ότι το μέγεθος του δείγματος δεν επηρεάζεται από το x 0. Με δεδομένη V(x) και h ισχύουν οι ίδιες τιμές του n, για όλα τα x 0. Στον κάτωθι πίνακα και στο Σχήμα.0, δίδονται οι τιμές του n για τέσσερις τιμές της V(x) και τις αντίστοιχες του K 0 και για x 0 4. V(x) K 0 4,66,6 h 0, h 0, h 0, h 0, Ο χαρακτηρισμός «περίεργο» δικαιολογείται γιατί, όπως βλέπουμε, το x 0 υπει σέρχεται στον τύπο. Ωριμότερη όμως σκέψη μάς πείθει ότι η συ μπε ρι φο ρά αυτή είναι αναμενόμενη. Κατ αρχήν η μαθηματική ερμηνεία προσεγ γίζε ται αν Σχήμα.0. Μέγεθος δείγματος για διάφορα επιθυμητά h, σταθερή μέση τιμή x 0 4 και διάφορες τιμές της S 0, (που προσδιορίζουν και την τιμή K) της Αρνητικής Διωνυμικής Κατανομής.

31 . ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ 3 λάβουμε υπ όψη ότι η τιμή του x 0 προσδιορίζει μαζί με την V(x) την τιμή του K 0. Υπεισέρχεται επομένως και έμμεσα στον τύπο, αλλά προ φα νώς με τέτοιο τρόπο που εξουδετερώνεται η άμεση παρουσία του. Η δεύ τε ρη πιο πρακτι κή ερμηνεία προκύπτει αν θυμηθούμε ότι η αξιοπιστία της εκτί μησης, στην περίπτωση που εξετάζουμε, ορίστηκε έτσι ώστε το διάστημα εμπι στο σύ νης να έχει κάποιο απόλυτο εύρος (h) ανεξάρτητο από τη μέση τι μή της με τα βλητής. Είναι επομένως λογικό το μέγεθος του δείγματος να εξαρτάται από το εύρος αυτό αλλά όχι από τη μέση τιμή της μεταβλητής. 4. Εναλλακτικές Μέθοδοι Εκτίμησης Παραμέτρων Με τις «εναλλακτικές» αυτές μεθόδους μπορούμε επίσης να εκτιμήσουμε τις τι μές των παραμέτρων της κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής και τα όρια εμπιστοσύνης των εκτιμήσεων αυτών. Οι μέθοδοι αυτές αναπτύχθηκαν από τους στα τιστικολόγους πριν από αρκετές δεκαετίες, αλλά μέχρι πρόσφατα δεν είχαν αξιοποιηθεί στην πράξη από οικολόγους και άλλους ερευνητές πεδίου, επειδή η εφαρμογή τους απαιτεί εκτεταμένους υπολογισμούς, που σήμερα πλέον μπορούν να πραγματοποιηθούν με τους Η/Υ και τα διάφορα «πακέτα» που υπάρχουν στην αγορά. Το μειονέκτημα της υπολογιστικής δυσκολίας των μεθόδων αυτών αντι σταθμίζεται από το γεγονός ότι είναι μη παραμετρικές μέθοδοι και επομένως δεν είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε ή να θεωρούμε γνωστή τη στατιστική κα τανομή της τυχαίας μεταβλητής και των εκτιμητών των υπό μελέτη παραμέτρων για να υπολογίσουμε τα όρια εμπιστοσύνης των εκτιμήσεών μας. Η έλλειψη αυ τής της θεωρητικής γνώσης, αναπληρώνεται «εμπειρικά» με τη διενέργεια με γάλου αριθμού (εικονικών) δειγματοληψιών από το σώμα των πραγματικών δε δο μένων που έχουμε. Η ρηξικέλευθος αυτή προσέγγιση στο πρόβλημα προφανώς υπαγόρευσε και τα ονόματα αυτών των μεθόδων. Η Αγγλική λέξη Jackknife στην καθομιλουμένη σημαίνει σουγιάς (με τον οποίο κόβουμε τον γόρδιο δεσμό!). Η λέξη bootstrap σημαίνει τις δερμάτινες θηλιές που έχουν οι μπότες και διευκολύνουν το φόρεμά τους. Τις ανωτέρω μεθόδους, με παράθεση συγκεκριμένων αριθμητικών παραδειγμάτων, θα εφαρμόσουμε στην εκτίμηση της αφθονίας και της ποικιλότητας των ειδών, καθώς επίσης στην εκτίμηση του εύρους και της επικάλυψης των βιοθέσεων στα αντίστοιχα κεφάλαια. Εδώ, είναι ίσως σκόπιμο να παρατηρήσουμε ότι και οι δύο μέθοδοι βασίζονται στην επαναληπτική εκτίμηση των παραμέτρων που μας ενδιαφέρουν χρησιμοποιώντας μέρος των δεδομένων. Η γενική λογική και πορεία εφαρμογής των μεθόδων αυτών έχει ως εξής:

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

2. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ

2. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ Συγκριτική μελέτη της αποτελεσματικότητας δικτύου της παγίδας «ΔΑΚΟ-ΦΑΚΑ» κατά του δάκου της ελιάς (Βactrocera oleae, Diptera: Tephritidae) σε ελιές ποικιλίας Κορωνέικη. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο δάκος της ελιάς (Bactrocera

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεράσματα και προτάσεις σχετικά την εμφάνιση και αντιμετώπιση της επιδημίας του ιού του Δυτικού Νείλου στην Ελλάδα το 2010

Συμπεράσματα και προτάσεις σχετικά την εμφάνιση και αντιμετώπιση της επιδημίας του ιού του Δυτικού Νείλου στην Ελλάδα το 2010 Συμπεράσματα και προτάσεις σχετικά την εμφάνιση και αντιμετώπιση της επιδημίας του ιού του Δυτικού Νείλου στην Ελλάδα το 2010 Η Εντομολογική Εταιρεία Ελλάδος με αφορμή την επιδημία του ιού του Δυτικού

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Βασικές έννοιες

Στατιστική. Βασικές έννοιες Στατιστική Βασικές έννοιες Τι είναι Στατιστική; ή μήπως είναι: Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων επιστημών, η οποία βασίζεται σ ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών που έχουν σκοπό: Το σχεδιασμό

Διαβάστε περισσότερα

Γιάννης Θεοδωράκης & Μαίρη Χασάνδρα ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΥΓΕΙΑΣ

Γιάννης Θεοδωράκης & Μαίρη Χασάνδρα ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΥΓΕΙΑΣ Γιάννης Θεοδωράκης & Μαίρη Χασάνδρα ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΥΓΕΙΑΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2006 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΥΓΕΙΑΣ Γιάννης Θεοδωράκης & Μαίρη Χασάνδρα : Εκδόσεις Χριστοδουλίδη Α. & Π. Χριστοδουλίδη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ. Μάθημα : Στατιστική Ι. Υποενότητα : Τρόποι και μέθοδοι δειγματοληψίας

ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ. Μάθημα : Στατιστική Ι. Υποενότητα : Τρόποι και μέθοδοι δειγματοληψίας ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ Μάθημα : Στατιστική Ι Υποενότητα : Τρόποι και μέθοδοι δειγματοληψίας Επαμεινώνδας Διαμαντόπουλος Ιστοσελίδα : http://users.sch.gr/epdiaman/ Email : epdiamantopoulos@yahoo.gr 1 Στόχοι της υποενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ

Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΙΔΑ: «ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ, ΜΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΖΩΗΣ» ΣΤΡΑΤΗ ΣΤΑΜΑΤΙΑ Επιβλέπων Καθηγητής: ΚΑΡΑΧΑΛΙΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΚΑΡΛΟΒΑΣΙ, ΜΑΪΟΣ 2012 ΣΤΟΙΧΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis)

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχοντας παρουσιάσει τις βασικές έννοιες των ελέγχων υποθέσεων, θα ήταν, ίσως, χρήσιμο να αναφερθούμε σε μια άλλη περιοχή στατιστικής συμπερασματολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008 Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 9.9.8. [] Μια βιομηχανία τροφίμων προμηθεύεται νωπά κοτόπουλα από τρεις διαφορετικούς παραγωγούς Α, Β, Γ. Το % των κοτόπουλων

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΣΠΕ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΣΠΕ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΣΠΕ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΤΩΝ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ Επιλογή κειμένων των καθηγητών: Μ. GRAWITZ Καθηγήτρια Κοινωνιολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 168 / 182 Χρωματισμοι Γραφημα των Χρωματισμο ς Κορυφω

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 183 / 198 Ταιρια σματα (Matchings) Ταίριασμα: Ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: «Χωρική κατανομή και Γεωστατιστική ανάλυση δεδομένων εντομολογικών προσβολών»

ΘΕΜΑ: «Χωρική κατανομή και Γεωστατιστική ανάλυση δεδομένων εντομολογικών προσβολών» ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ ΓΠΣ, ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΘΕΜΑ: «Χωρική κατανομή και Γεωστατιστική ανάλυση δεδομένων εντομολογικών προσβολών» Μανωλαράκης Μιχ., Μυλωνάς Παν., Δήμου Παρ., Καλύβας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων

Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ Τμηματικό e-mal : dap_ode@yahoo.gr www.dap-pape.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Υπό ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΑΡΤΙΚΗ, ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ ΣΟΥΓΙΑΝΝΗ ΚΑΙ ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΑΡΤ1ΚΗ Ανωτάτη Βιομηχανική Σχολή Πειραιά 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα συνήθη κριτήρια αξιολόγησης επενδύσεων βασίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις. Μια μηχανή εμφιάλωσης κρασιού γεμίζει φιάλες του μισού κιλού με ποσότητα κρασιού η οποία είναι κανονική τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα q Θεωρία: Η απάντηση που ζητάτε είναι αποτέλεσμα μαθηματικών πράξεων και εφαρμογή τύπων. Το αποτέλεσμα είναι συγκεκριμένο q Πείραμα: Στηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

, όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998!

, όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998! Η Κατανομή Poisso Ας δούμε ένα πρόβημα: Σε μια κτηνοτροφική περιοχή υπάρχουν 3 αιγοπρόβατα. Κάθε χρόνο όα τα αιγοπρόβατα εμβοιάζονται για προστασία από κάποια ασθένεια. Σύμφωνα με την άδεια χρήσης του

Διαβάστε περισσότερα

Η μεταβλητή "χρόνος" στη δημογραφική ανάλυση - το διάγραμμα του Lexis

Η μεταβλητή χρόνος στη δημογραφική ανάλυση - το διάγραμμα του Lexis Η μεταβλητή "χρόνος" στη δημογραφική ανάλυση - το διάγραμμα του Lexis Η αναφορά στο χρόνο Αναφερόμενοι στο χρόνο, θα πρέπει κατ αρχάς να τονίσουμε ότι αυτός μπορεί να είναι είτε το ημερολογιακό έτος, είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 201 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ 22559 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Αρ. Φύλλου 1561 17 Αυγούστου 2007 ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Αριθμ. 85038/Γ2 Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών του Τομέα Οικονομικών και Διοικητικών Υπηρεσιών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΓΛΩΣΣΙΚΗ ΕΠΙΓΝΩΣΗ

ΕΠΙΓΛΩΣΣΙΚΗ ΕΠΙΓΝΩΣΗ ΕΠΙΓΛΩΣΣΙΚΗ ΕΠΙΓΝΩΣΗ 1 ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ Ή ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΜΕΤΑΞΥ ΠΡΟΦΟΡΙΚΩΝ ΛΕΞΕΩΝ 1.1 ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΗΣ ΤΗΣ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΣΥΛΛΑΒΗ ΟΔΗΓΙΕΣ στο παιδί: Κάθε φορά θα σου λέω δυο μικρές λέξεις. Εσύ θα

Διαβάστε περισσότερα

ηµόσια ιαβούλευση επί των συντελεστών απωλειών εγχύσεως του Ελληνικού Συστήµατος Μεταφοράς

ηµόσια ιαβούλευση επί των συντελεστών απωλειών εγχύσεως του Ελληνικού Συστήµατος Μεταφοράς ηµόσια ιαβούλευση επί των συντελεστών απωλειών εγχύσεως του Ελληνικού Συστήµατος Μεταφοράς ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ - Επί της Μελέτης 1. Προκαθορισµένα επίπεδα φόρτισης Σύµφωνα µε το Άρθρο 50 - Μελέτη προσδιορισµού

Διαβάστε περισσότερα

Επιβλαβή έντομα και ωφέλιμα αρθρόποδα στους ελαιώνες της Τριφυλίας την περίοδο 2012-2013

Επιβλαβή έντομα και ωφέλιμα αρθρόποδα στους ελαιώνες της Τριφυλίας την περίοδο 2012-2013 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΜΕΘΟΔΟΥ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΟΥ ΑΠΟΤΥΠΩΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΑΕΙΦΟΡΑ ΑΓΡΟ- ΟΙΚΟΣΥΣΤΗΜΑΤΑ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΟΥ ΜΕΣΟΓΕΙΑΚΟΥ ΕΛΑΙΩΝΑ Χρονική Διάρκεια: Οκτώβριος 2010 Ιούνιος 2014 Προϋπολογισμός:

Διαβάστε περισσότερα

Κων/νος Αλεξανδρής, PhD. Αρχές Μάνατζμεντ και Μάρκετινγκ Οργανισμών και Επιχειρήσεων Αθλητισμού και Αναψυχής

Κων/νος Αλεξανδρής, PhD. Αρχές Μάνατζμεντ και Μάρκετινγκ Οργανισμών και Επιχειρήσεων Αθλητισμού και Αναψυχής Κων/νος Αλεξανδρής, PhD Αρχές Μάνατζμεντ και Μάρκετινγκ Οργανισμών και Επιχειρήσεων Αθλητισμού και Αναψυχής ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2006 Αρχές Μάνατζμεντ και Μάρκετινγκ Οργανισμών και Επιχειρήσεων Αθλητισμού και Αναψυχής

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ... 29

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ... 29 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 Μεταβλητές...5 Πληθυσμός, δείγμα...7 Το ευρύτερο γραμμικό μοντέλο...8 Αναφορές στη βιβλιογραφία... 11 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 Περίληψη... 13 Εισαγωγή... 13 Με μια ματιά...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΤΟΥ ΖΑΡΚΑΔΙΟΥ ΣΤΟ ΟΡΟΣ ΟΙΤΗ

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΤΟΥ ΖΑΡΚΑΔΙΟΥ ΣΤΟ ΟΡΟΣ ΟΙΤΗ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΤΟΥ ΖΑΡΚΑΔΙΟΥ ΣΤΟ ΟΡΟΣ ΟΙΤΗ Τσαπάρης Δημήτρης (δρ. Βιολόγος), Ηλιόπουλος Γιώργος (δρ. Βιολόγος), 2013 Η Οίτη και οι γειτονικοί ορεινοί όγκοι των Βαρδουσίων,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών Θεματική Ενότητα Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος 008-009 ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα) Να απαντηθούν 5

Διαβάστε περισσότερα

94 Η χρήση των νευρωνικών µοντέλων για την κατανόηση της δοµής και λειτουργίας τού εγκεφάλου. = l b. K + + I b. K - = α n

94 Η χρήση των νευρωνικών µοντέλων για την κατανόηση της δοµής και λειτουργίας τού εγκεφάλου. = l b. K + + I b. K - = α n Nευροφυσιολογία Η μονάδα λειτουργίας του εγκεφάλου είναι ένας εξειδικευμένος τύπος κυττάρου που στη γλώσσα της Νευροφυσιολογίας ονομάζεται νευρώνας. Το ηλεκτρονικό μικροσκόπιο αποκαλύπτει ότι ο ειδικός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΑ ΛΗΣ Ο ΜΙ ΛΗ ΣΙΟΣ. του, εί ναι ση μα ντι κό να ει πω θούν εν συ ντομί α με ρι κά στοι χεί α για το πο λι τι σμι κό πε ριβάλ

ΘΑ ΛΗΣ Ο ΜΙ ΛΗ ΣΙΟΣ. του, εί ναι ση μα ντι κό να ει πω θούν εν συ ντομί α με ρι κά στοι χεί α για το πο λι τι σμι κό πε ριβάλ ΘΑ ΛΗΣ Ο ΜΙ ΛΗ ΣΙΟΣ ΟΙ ΒΑ ΣΙ ΚΕΣ ΑΡ ΧΕΣ ΤΗΣ ΦΙ ΛΟ ΣΟ ΦΙΑΣ ΤΟΥ, Ο ΡΟ ΛΟΣ ΤΟΥ Α ΡΙ ΣΤΟ- ΤΕ ΛΗ ΣΤΗ ΔΙΑ ΔΟ ΣΗ ΤΩΝ ΘΕ ΣΕ ΩΝ ΤΟΥ ΚΑΙ Η Υ ΠΟ ΔΟ ΧΗ ΤΩΝ ΦΙ- ΛΟ ΣΟ ΦΙ ΚΩΝ ΤΟΥ ΘΕ ΣΕ- ΩΝ ΣΤΗΝ Ε ΠΟ ΧΗ ΤΟΥ ΚΙΚΕ ΡΩ ΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

O υπονομευτής της τομάτας. Tuta absoluta. Κωνσταντίνος Β. Σίμογλου. ΔΑΟ & Κ Δράμας, Τμήμα Ποιοτικού και Φυτοϋγειονομικού Ελέγχου

O υπονομευτής της τομάτας. Tuta absoluta. Κωνσταντίνος Β. Σίμογλου. ΔΑΟ & Κ Δράμας, Τμήμα Ποιοτικού και Φυτοϋγειονομικού Ελέγχου O υπονομευτής της τομάτας Tuta absoluta Κωνσταντίνος Β. Σίμογλου ΔΑΟ & Κ Δράμας, Τμήμα Ποιοτικού και Φυτοϋγειονομικού Ελέγχου Δράμα, 25-10-2011 O υπονομευτής της τομάτας Tuta absoluta Βιολογικός κύκλος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ ΠΕΡΙΕΧOΜΕΝΑ Πρόλογος στη δεύτερη έκδοση Πρόλογος στην πρώτη έκδοση Εισαγωγή Τι είναι η μεθοδολογία έρευνας Οι μέθοδοι έρευνας ΜEΡOΣ A : ΓNΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜOΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙO 1: Γενικά για την επιστημονική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ 28311 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Αρ. Φύλλου 2006 14 Αυγούστου 2013 ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Αριθμ. 3672/95529 Τροποποίηση της υπ αριθμ. 311496/13 07 09 (ΦΕΚ 1477/ Β/22 07 09) υπουργικής

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA)

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA) ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA). Εισαγωγή Η ανάλυση της διακύμανσης (ANalysis Of VAriance ANOVA) είναι μια στατιστική μεθόδος με την οποία η μεταβλητότητα που υπάρχει σ ένα σύνολο δεδομένων διασπάται στις

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Δ Η Μ Ο Σ ΣΗΤΕΙΑΣ ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ. «Προμήθεια υλικών για εφαρμογή ιχνηθετικών μεθόδων για υδρογεωλογική έρευνα στην καρστική λεκάνη της Τ.Κ. Κατσιδωνίου».

Δ Η Μ Ο Σ ΣΗΤΕΙΑΣ ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ. «Προμήθεια υλικών για εφαρμογή ιχνηθετικών μεθόδων για υδρογεωλογική έρευνα στην καρστική λεκάνη της Τ.Κ. Κατσιδωνίου». Δ Η Μ Ο Σ ΣΗΤΕΙΑΣ ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ «Προμήθεια υλικών για εφαρμογή ιχνηθετικών μεθόδων για υδρογεωλογική έρευνα στην καρστική λεκάνη της Τ.Κ. Κατσιδωνίου». ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ 1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΛΑΣΙΘΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΟΝΙΚΗΣ ΒΙΟΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΟΝΙΚΗΣ ΒΙΟΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ Το πρόγραμμα σπουδών του τμήματος Γεωπονικής Βιοτεχνολογίας πρέπει να ανταποκρίνεται στην εξαγωγή επιστημόνων Γεωπόνων Βιοτεχνολόγων ικανών να μελετούν, να αντιμετωπίζουν και να προτείνουν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟ ΣΤΡΑΤΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΝΗΜΕΡΩΣΕΩΣ ΚΑΙ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ

ΓΕΝΙΚΟ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟ ΣΤΡΑΤΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΝΗΜΕΡΩΣΕΩΣ ΚΑΙ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΓΕΝΙΚΟ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟ ΣΤΡΑΤΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΝΗΜΕΡΩΣΕΩΣ ΚΑΙ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος...4 Πεζικό...9 Τεθωρακισμένα...11 Πυροβολικό...12 Μηχανικό...13 Διαβιβάσεις...14 Ειδικές Δυνάμεις...15 Στρατονομία...16

Διαβάστε περισσότερα

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σχετικές πληροφορίες: http://dlib.ionio.gr/~spver/seminars/statistics/ Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σπύρος Βερονίκης Τμήμα Αρχειονομίας - Βιβλιοθηκονομίας Θεματικές

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Σ Ε Μ Ι Ν Α Ρ Ι Ο ΤΙΤΛΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΧΡΗΣΤΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΙΝΟΣ. Υπεύθυνες Εκπόνησης Εργασίας ΟΝΟΜΑ: ΦΩΤΕΙΝΗ ΕΠΩΝΥΜΟ: ΛΙΟΣΗ Α.

Σ Ε Μ Ι Ν Α Ρ Ι Ο ΤΙΤΛΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΧΡΗΣΤΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΙΝΟΣ. Υπεύθυνες Εκπόνησης Εργασίας ΟΝΟΜΑ: ΦΩΤΕΙΝΗ ΕΠΩΝΥΜΟ: ΛΙΟΣΗ Α. Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Κ Ρ Η Τ Η Σ Π Α Ι Δ Α Γ Ω Γ Ι Κ Ο Τ Μ Η Μ Α Δ Η Μ Ο Τ Ι Κ Η Σ Ε Κ Π Α Ι Δ Ε Υ Σ Η Σ Σ Ε Μ Ι Ν Α Ρ Ι Ο ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ (Β06Σ03) ΤΙΤΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΙΟΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ

ΠΟΙΟΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΠΟΙΟΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 1 Ποιότητα και Ποιοτικός Έλεγχος Ο όρος «ποιότητα» συχνά χρησιµοποιείται χωρίς την πραγµατική της έννοια. ηλαδή δεν προσδιορίζεται αν το προϊόν στο οποίο αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

24 Πλημμυρισμένα. 41 Γίνε

24 Πλημμυρισμένα. 41 Γίνε Anderson s Ltd Εφαρμογές Υψηλής Τεχνολογίας - Εκδόσεις : Γ Σεπτεμβρίου 103 Αθήνα 10434 Τ: 210-88 21 109 F: 210-88 21 718 W: www.odp.gr E: web@odp.gr 42 Γρήγορο Εγχειρίδιο για τον Διαχειριστή 24 Πλημμυρισμένα

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού

Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού Γεσθημανή Μηντζιώρη MD, MSc, PhD Μονάδα Ενδοκρινολογίας της Αναπαραγωγής, Α Μαιευτική και Γυναικολογική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ & ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ στη «ΝΑΥΤΙΛΙΑ»

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ & ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ στη «ΝΑΥΤΙΛΙΑ» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ & ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ στη «ΝΑΥΤΙΛΙΑ» ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ Α. ΓΕΝΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΕΚΠΟΝΗΣΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS To SPSS θα: - Κάνει πολύπλοκη στατιστική ανάλυση σε δευτερόλεπτα -

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Στρα τιω τι κή. Ορ χή στρα Πνευ στών. (Μπά ντα)

Στρα τιω τι κή. Ορ χή στρα Πνευ στών. (Μπά ντα) Στρα τιω τι κή Ορ χή στρα Πνευ στών (Μπά ντα) KΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: Λγός (ΜΣ) Κων στα ντί νος Κε ρε ζί δης Πώς γεν νή θη κε η μπά ντα Τον χει ρι σμό των πνευ στών ορ γά νων τον συ να ντού με στην ι στο

Διαβάστε περισσότερα

«Καθοριστικοί παράγοντες της αποτελεσματικότητας της από στόμα-σε-στόμα επικοινωνίας στις ιστοσελίδες κοινωνικής δικτύωσης»

«Καθοριστικοί παράγοντες της αποτελεσματικότητας της από στόμα-σε-στόμα επικοινωνίας στις ιστοσελίδες κοινωνικής δικτύωσης» «Καθοριστικοί παράγοντες της αποτελεσματικότητας της από στόμα-σε-στόμα επικοινωνίας στις ιστοσελίδες κοινωνικής δικτύωσης» Ονοματεπώνυμο: Ταχταρά Κατερίνα Σειρά: 8 η Επιβλέπων Καθηγητής: Βρεχόπουλος Αδάμ

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 36 Μελέτη ακουστικών κυμάτων σε ηχητικό σωλήνα

Άσκηση 36 Μελέτη ακουστικών κυμάτων σε ηχητικό σωλήνα Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:911187 Υπεύθυνος Άσκησης: Κος Πέογλος Ημερομηνία Διεξαγωγής:3/11/25 Άσκηση 36 Μελέτη ακουστικών κυμάτων σε ηχητικό σωλήνα 1) Εισαγωγή: Σκοπός και στοιχεία Θεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Β Γυμνασίου 22/6/2015. Οι δείκτες Επιτυχίας και δείκτες Επάρκειας Β Γυμνασίου για το μάθημα της Φυσικής

Β Γυμνασίου 22/6/2015. Οι δείκτες Επιτυχίας και δείκτες Επάρκειας Β Γυμνασίου για το μάθημα της Φυσικής Β Γυμνασίου /6/05 Οι δείκτες Επιτυχίας και δείκτες Επάρκειας Β Γυμνασίου για το μάθημα της Φυσικής Β Γυμνασίου /6/05 Δείκτες Επιτυχίας (Γνώσεις και υπό έμφαση ικανότητες) Παρεμφερείς Ικανότητες (προϋπάρχουσες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. β. Η μόλυνση των φυτικών προϊόντων από γεωργικά φάρμακα μπορεί να είτε άμεση είτε έμμεση. ΣΩΣΤΟ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. β. Η μόλυνση των φυτικών προϊόντων από γεωργικά φάρμακα μπορεί να είτε άμεση είτε έμμεση. ΣΩΣΤΟ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Α ) & ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 15/04/2015 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΥΓΙΕΙΝΗ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. Να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες μακροσκοπικών ελέγχων για τον επιβλαβή οργανισμό. Grapholita molesta Busck. (Lepidoptera: Tortricidae) (κν.

Οδηγίες μακροσκοπικών ελέγχων για τον επιβλαβή οργανισμό. Grapholita molesta Busck. (Lepidoptera: Tortricidae) (κν. Οδηγίες μακροσκοπικών ελέγχων για τον επιβλαβή οργανισμό Grapholita molesta Busck. (Lepidoptera: Tortricidae) (κν. βλαστορύκτης της ροδακινιάς) σε ροδάκινα και νεκταρίνια για εξαγωγή στη Ρωσία Για φυτοϋγειονομικούς

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΙΚΗ ΑΣΦΑΛΕΙΑ Ενημερωτικό Φυλλάδιο

ΟΔΙΚΗ ΑΣΦΑΛΕΙΑ Ενημερωτικό Φυλλάδιο ΓΕΝΙΚΟ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟ ΣΤΡΑΤΟΥ 7 ο ΕΓ/2 ΟΔΙΚΗ ΑΣΦΑΛΕΙΑ Ενημερωτικό Φυλλάδιο Προλήψεως Ατυχημάτων Πρώτες Βοήθειες ΕΚΤΥΠΩΣΗ ΤΥΕΣ «Δίνουμε προτεραιότητα στη ζωή» Εί ναι γνω στό ό τι κά θε χρό νο στη χώ ρα μας ε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΚΟΚΚΙΝΗΣ ΨΩΡΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΕΙΚΟΝΩΝ, ΑΣΥΡΜΑΤΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΚΟΚΚΙΝΗΣ ΨΩΡΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΕΙΚΟΝΩΝ, ΑΣΥΡΜΑΤΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΚΟΚΚΙΝΗΣ ΨΩΡΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΕΙΚΟΝΩΝ, ΑΣΥΡΜΑΤΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ DEVELOPMENT OF AN AUTOMATED SYSTEM FOR MONITORING REDSCALE

Διαβάστε περισσότερα