TESTE STATISTICE PENTRU DATE ORDINALE. M. Popa

Transcript

1 TESTE STATISTICE PENTRU DATE ORDINALE M. Popa

2 Situații în care se utilizează teste pentru date ordinale: a) Variabila dependentă este exprimată pe scală de tip ordinal. valorile nu au proprietăți de interval, dar exprimă poziția fiecăreia în raport cu cealaltă. b) Variabila dependentă este măsurată pe scală de interval/raport, dar distribuția ei nu respectă condițiile impuse de testele parametrice. se efectuează transformare de rang noua distribuție rezultată poate fi supusă analizei statistice cu teste neparametrice ordinale.

3 Teste ordinale 1) Testul Mann-Whitney (U) pentru diferența rangurilor a două eşantioane independente 2) Testul Kruskal-Wallis pentru diferența rangurilor a mai mult de două eşantioane independente 3) Testul Wilcoxon pentru diferența rangurilor a două eşantioane perechi 4) Testul Friedman pentru diferența rangurilor în cazul mai mult de 2 măsurări (repeated measures) 5) Coeficientul de corelație pentru date ordinale (Spearman, Kendall)

4 Testul Mann-Whitney (U) pentru două eşantioane independente Exemplu: Un psiholog care lucrează într-o mare bancă doreşte să vadă dacă există o diferență între premiile băneşti anuale primite de femeile şi bărbații angajați ai băncii.

5

6 Masculin Premiu (mil. lei) Feminin Premiu (mil. lei) n B = n A =17

7 Variabilă independentă? Variabilă dependentă? Problema este una tipică pentru a fi rezolvată cu...? Dar...

8 Descriptives premiu Mean 95% Confidence Interval for Mean Lower Bound Upper Bound Statistic Std. Error 58,0000 7, , ,9161 5% Trimmed Mean Median Variance Std. Deviation Minimum Maximum Range Interquartile Range Skewness Kurtosis 54, , ,769 37, ,00 200,00 197,00 35,00 2,033,448 7,073,872

9 Masculin Premiu (mil. lei) Rang Primă Feminin Premiu (mil. lei) Rang primă , , , , n B =10 ΣR B =198, n A =17 ΣR A =179,5

10 modul de obținere a rangurilor ex-aequo Valori (a) Medie (b) Rang mic (b) Rang mare (c) Secvenţial

11 Masculin Premiu (mil. lei) Rang Primă Feminin Premiu (mil. lei) Rang primă , , , , n B =10 ΣR B =198, n A =17 ΣR A =179,5 U U A B = = n n A A * n * n B B + + n n B A * * ( n + 1) 2 A ( n + 1) 2 B ΣR ΣR B A

12 U U A U A B ( n + 1) na * A = na * nb + ΣRA = ,5= ,5= 143,5 2 = n A * n B + n B * ( n + 1) 2 B ΣR B Valoarea testului U B = ,5= ,5= 2 26,5 Decizia statistică: Se citeşte valoarea critică pentru U 0.05;17:10 Se acceptă H0 dacă valoarea U calculată este mai mare decât valoarea critică tabelară. Se respinge H0 dacă valoarea U calculată este mai mică sau egală cu valoarea critică tabelară.

13 n A /n B α

14 Decizia statistică: U B (26.5) mai mic decât U 0.05;17:10 =48 Se respinge ipoteza de nul Concluzia cercetării: Premiile acordate bărbaților sunt semnificativ mai mari decât cele acordate femeilor (în respectiva instituție) Este o dovadă de discriminare?

15 Pentru grupuri mai mari de 20 Se calculează o valoare z, cu formula... z = ΣR A n A 0.5* n * n B * A * ( N + 1) ( N + 1) / 12 Semnificația se citeşte în tabelul curbei normale, pentru: un prag alfa ales unilateral sau bilateral

16 Publicarea rezultatului La publicarea rezultatului pentru testul Mann-Whitney U se vor indica: volumul grupurilor comparate (n A şi n B ) valoarea testului (U) pragul de semnificație (p).

17

18 Testul Kruskal-Wallis pentru mai mult de două eşantioane independente poate fi asimilat unei analize de varianță pentru date ordinale Să presupunem că avem trei categorii de subiecți (piloți, controlori de trafic şi navigatori de bord) cărora le-a fost aplicat un test de reprezentare spațială Variabila independentă? Variabila dependentă?

19 Grup prof. Reprez. spaţială rang H = H 12 13*14 = 12 * *( 1) k T i N N+ i= 1 n 2 i 3* ( N+ 1) unde: H este valoarea testului K-W N este volumul total al eşantionului n este volumul grupurilor (N=n1+n2+n3+...+nk) K este numărul grupurilor independente T este suma rangurilor care va fi calculată pentru fiecare grup 41 * *14= * 638,74 42= 0,1121

20 Decizia statistică: Valorile H se distribuie pe curba chi-pătrat cu k-1 grade de libertate H critic pentru alfa=0.05 şi 2 grade de libertate este 5.99 H calculat=0.11 Decizia statistică? Decizia cercetării? Concluzia cercetării?

21

22 Testul Wilcoxon pentru două eşantioane perechi Condiții: Aceiaşi subiecți evaluați de două ori, pe o scală ordinală Aceiaşi subiecți evaluați de două ori, pe o scală de interval variabilele nu întrunesc condițiile pentru utilizarea testului t al diferențelor pentru eşantioane dependente. deşi se aplică pe scale de interval/raport, utilizează proceduri de tip neparametric, apelând la diferențele dintre valorile perechi şi la ordonarea lor. Este, din acest punct de vedere, un test de date ordinale.

23 exemplu Un psiholog doreşte să evalueze efectul stimulilor subliminali asupra conduitelor agresive Frecvența conduitelor agresive este măsurată înainte şi după vizionarea unui film în care au fost plasați stimuli subliminali agresivi Rezultatele sunt sintetizate în tabelul următor...

24 Cod Subiect Înainte După după - înainte Modulul diferenţei Rangul diferenţei Semnul Diferenţei Se calculează: T(-) suma rangurilor diferențelor negative: T(-)=8.5 T(+) suma rangurilor diferențelor pozitive: T(+)=28.5 Valoarea cea mai mică dintre ele este rezultatul testului Wilcoxon Nivelul de semnificație se află prin compararea cu valorile critice dintr-o tabelă specială Dacă T calculat este mai mare decât T critic, se admite H0 Dacă T calculat este mai mic decât T critic, se respinge H0

25 Nivel de semnificaţie pentru test unilateral N Nivel de semnificaţie pentru test bilateral

26 Decizia statistică: Valoarea calculată (8.5) este mai mare decât valoarea critică (4) pentru N=8 şi alfa=0.5 bilateral. Decizia statistică? Decizia cercetării? Concluzia cercetării?

27 Probleme... Enunțarea concluziei şi interpretarea rezultatului vor ține cont de modul de atribuire a rangurilor Diferențe egale cu zero între rangurile perechi (valori de rang egal). Soluții a) se elimină cazurile care dau diferențe egale cu zero şi, implicit, reducerea volumului eşantionului cu aceste cazuri, sau... b) atribuirea arbitrară a semnului + la jumătate dintre ele şi semnul la cealaltă jumătate. c) dacă există un număr impar de diferențe egale cu zero se va elimina una dintre ele (reducând N cu 1), după care se aplică regula b

28 Pentru eşantioane mai mari de 20 distribuția de nul a testului Wilcoxon poate fi aproximată prin distribuția normală formula de calcul în acest caz este următoarea: Z = n T * [ n *( n+ 1) ] 4 ( n+ 1) *( 2n+ 1) / 24 /

29

30 Testul Friedman pentru măsurări repetate (mai mult de două eşantioane perechi) Exemplu: un psiholog doreşte să studieze relația dintre stilurile de conducere (laissez-faire, democratic şi autoritar) asupra nivelului de satisfacție profesională Variabila independentă? Variabila dependentă?

31 Democratic Laissez-faire Autocratic N=6 T 1 =8 T 2 =10 T 3 =18 F r = 12 N * c * ( c+ 1) * c i= 1 T 2 i 3* N * ( c+ 1) unde: c - numărul măsurărilor repetate N - volumul seturilor de evaluări perechi Ti - suma rangurilor corespunzătoare fiecărui moment de măsurare F r = 2 2 ( ) 3* 6 * 4= 0,1666 * = * 2 6 *3* 4 Distribuția de nul a testului Friedman urmează forma distribuției chi-pătrat pentru df=c-1. Valoarea critică tabelară (chi-pătrat) pentru df=3-1=2, este 5.99 Fr calculat > Fr critic Decizia statistică? Decizia cercetării? Concluzia cercetării?

32 Testul Friedman poate fi aplicat şi în cazul a doar două măsurări, situație în care devine similar testului semnului. La fel ca şi celelalte teste pentru date ordinale, el este afectat de existența rangurilor atribuite ex-aequo, pentru valori identice. În astfel de cazuri este recomandabilă aplicarea unei corecții în formula de calcul (aplicată de programele automate de calcul)

33

34 Coeficientul de corelație pentru date ordinale (Spearman) - r S Testele Wilcoxon şi Friedman sunt utilizate pentru a pune în evidență diferențele dintre două sau mai multe eşantioane perechi. Atunci când avem două variabile ordinale şi suntem interesați în evaluarea gradului de asociere între ele, se utilizează un test de corelație a rangurilor (Spearman). Modalitatea de calcul a coeficientului de corelație Spearman se bazează pe poziția relativă a unei valori față de celelalte. r S variază între -1/+1 şi se interpretează în acelaşi mod ca şi r (Pearson)

35 exemplu Într-un studiu cu privire la ameliorarea sistemului de evaluare a personalului, doi instructori urmează un program special de armonizare a evaluării. La sfârşitul programului ei sunt puşi să ierarhizeze personalul unui compartiment de muncă (N=10) din punctul de vedere al performanței profesionale Ipoteza cercetării: (pentru test bilateral) Evaluările celor doi instructori vor fi concordante. Ipoteza de nul: Între evaluările celor doi instructori nu există nici o legătură

36 Criterii de decizie alfa=0.05 bilateral r S critic se citeşte într-un tabel special pentru coeficientul Spearman (fără grade de libertate)

37 test unilateral alfa=0.05 alfa=0.025 alfa=0.01 Alfa=0.005 test bilateral N alfa=0.10 alfa=0.05 alfa=0.02 alfa= , ,829 0,886 0, ,714 0,786 0, ,643 0,738 0,833 0, ,600 0,683 0,783 0, ,564 0,648 0,745 0, ,523 0,623 0,736 0, ,497 0,591 0,703 0, ,475 0,566 0,673 0,

38 Angajaţi RANG Instructor I RANG Instructor II Diferenţa (D) (R1-R2) A B C D E F G H I J D 2 ΣD 2 =32 r S 6* 2 D = 1 2 N *( N 1) r S calculat (0.81) > r S critic (0.684) Decizia statistică? Decizia cercetării? Concluzia cercetării? r S 6* = 1 = 1 = = 10*(100 1)

39 Interpretare... r S = 0 0 > r S > 1 r S = > r S > 0 r S = -1.0 Cele două variabile nu variază concomitent, deloc Cele două variabile tind să crească sau să scadă concomitent, într-o anumită măsură Corelaţie pozitivă perfectă În timp ce o variabilă tinde să crească, cealaltă tinde să descrească Corelaţie negativă perfectă Calcularea coeficientului de determinare (r S2 ) nu este recomandabilă, deşi există autori care o acceptă.

40 Când se utilizează coeficientul de corelație Spearman: ambele variabile sunt de tip ordinal una dintre variabile este de tip ordinal şi cealaltă este de tip interval/raport. variabila interval/raport se transformă mai întâi în valori de ordine de rang ambele variabile sunt de tip interval/raport dar una sau ambele, prezintă valori extreme. prin transformarea în ordine de rang a celor două distribuții, valorile extreme sunt anihilate, ele urmând să participe la corelație prin simpla poziție în distribuție şi nu prin nivelul lor absolut.

41 Kendall tau Un test alternativ pentru asocierea variabilelor ordinale La fel ca şi r S, Kendal tau ia valori între -1 şi +1 şi se interpretează similar Statisticienii se află în dispută cu privire la cei doi coeficienți Programele statistice le calculează pe amândouă Foarte rar se întâmplă să conducă la decizii diferite unul de altul...

42

43 Sinteza testelor neparametrice ordinale 2 eşantioane independente Mann-Whitney U Echivalent parametric t independent Diferența 3+ eşantioane independente 2 eşantioane dependente Kruskall-Wallis Wilcoxon ANOVA t dependent 3+ eşantioane dependente Friedman ANOVA măsurări repetate Asocierea 2 eşantioane dependente Corelaţia rangurilor Spearman (Kendall) r Pearson

44