III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul"

Ματθίας Ευταξίας
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea în memoria unui calculator a numerelor întregi depinde de lungimea cuvântului utilizat (numărul de biţi). Pentru a reprezenta un număr întreg pozitiv pe k biţi se face conversia numărului respectiv la baza 2, iar configuraţia binară obţinută se completează la stânga cu zerouri până se obţin k cifre. Cel mai mare număr întreg reprezentabil pe k biţi este = 2 k k = k ori 2 k 1 = 2 k Deci pe k biţi se pot reprezenta numerele întregi cuprinse între 0 şi 2 k 1, în total 2 k numere. Exemple: k Domeniul de valori 8 biţi = 1 B (byte) biţi = 2 B biţi = 4 B Reprezentarea numărului pe k = 8 biţi se face astfel: 62 = = =

2 Mădălina Roxana Buneci Metode Numerice Curs E (în hexazecimal) 3 E În reprezentarea binară a numerelor, ponderile cifrelor binare cresc de la dreapta la stânga, numerotarea lor corespunzând puterilor crescătoare ale bazei de numeraţie 2. Astfel, prima cifră binară din dreapta reprezintă ponderea 2 0 şi este bitul cel mai puţin semnificativ. Primul bit din stânga este bitul cel mai semnificativ. Notăm cu relaţia de ordine lexicografică pe mulţimea şirurilor formate din 0 şi 1, de lungime k. Din punct de vedere al ordinii lexicografice, reprezentările numerelor întregi fără semn satisfac: k - 1 În consecinţă, relaţia de ordine lexicografică este compatibilă cu relaţia de ordine numerică naturală. III.1.2. Reprezentarea internă a numerelor întregi (cu semn) Vom prezenta trei metode de codificare a numerelor întregi cu semn: cod direct (semn şi valoare absolută) cod invers (complement faţă de 1) cod complementar (complement faţă de 2) Să presupunem că se rezervă k biţi pentru reprezentarea unui număr întreg. Prin toate cele metode numerele întregi pozitive se codifică prin conversie în baza 2 pe k-1 biţi şi completarea primului bit cu zero. Astfel, pentru k = 16 reprezentarea internă a numărului x = = = este : (în hexazecimal)

3 Metode Numerice Curs 3 Mulţimea numerelor întregi nenegative reprezentabile pe k biţi (prin oricare din cele trei metode) este {0, 1, 2,..., 2 k-1-1} (deoarece primul bit este rezervat, iar reprezentarea se face doar pe restul de k-1 biţi). Prezentăm mai departe modul în care se face codificarea numerelor întregi negative prin fiecare din cele trei metode. Prin metoda semn şi valoare (cod direct) se codifică valoarea absolută a numărului întreg negativ pe k-1 biţi şi se completează primul bit cu 1. În consecinţă, mulţimea numerelor întregi negative care se pot reprezenta prin această metodă este{-2 k-1 + 1, -2 k-1 + 2,..., 0}. Această metodă de reprezentare prezintă unele inconveniente: zero are două reprezentări distincte (00 0 şi 10 0), ca +0 şi 0 tabelele de adunare şi înmulţire sunt complicate datorită bitului de semn care trebuie tratat separat. Din punct de vedere al ordinii lexicografice avem: k (2 k-1-1) Deci relaţia de ordine lexicografică nu este compatibilă cu relaţia naturală. de ordine Pentru a obţine codul invers: 1. se obţine reprezentarea valorii absolute a numărului întreg negativ pe k biţi 2. în reprezentarea obţinută (la pasul 1) se înlocuieşte fiecare bit 0 cu 1 şi 1 cu 0 Mulţimea numerelor întregi cu semn care pot fi reprezentate prin această metodă este acelaşi ca pentru metoda precedentă : {-2 k-1 + 1, -2 k-1 + 2,..., 0, 1,..., 2 k-1-1}. Dacă notăm cu x complementul faţă de 1 al numărului x, atunci x + x = = 2 k - 1 k 3

4 Mădălina Roxana Buneci Metode Numerice Curs În consecinţă, complementul faţă de 1 poate fi folosit pe post de opus faţă de operaţia de adunare. Din acest motiv operaţiile aritmetice relativ la această reprezentare sunt avantajoase, deoarece operaţia de scădere se realizează prin adunarea complementului faţă de 1. Un dezavantaj al acestei reprezentări este recunoaşterea a două zerouri (11 1 şi 00..0). Din punct de vedere al ordinii lexicografice avem: k-1-1 -(2 k-1-1) -(2 k-1-2) -0 Deci relaţia de ordine lexicografică nu este compatibilă cu relaţia naturală. de ordine Pentru a obţine codul complementar: 1. se obţine codul invers pe k biţi 2. se adună o unitate la valoarea obţinută (la pasul 1) Zero admite o singură reprezentare prin această metodă: ( ).Mulţimea k numerelor întregi cu semn care pot fi reprezentate prin această metodă este {-2 k-1, -2 k-1 + 2,..., 0, 1,..., 2 k-1-1}. Dacă x este complementul faţă de doi al lui x, atunci x + x = = 2 k = 2 k k Şi în cazul acestei reprezentări operaţiile aritmetice sunt avantajoase, deoarece operaţia de scădere se realizează prin adunarea complementului faţă de 2. Din punct de vedere al ordinii lexicografice avem: k k-1 -(2 k-1-1) -(2 k-1-2) -1 Deci relaţia de ordine lexicografică nu este compatibilă cu relaţia naturală. de ordine De exemplu, pentru k = 16, reprezentările pentru x = -72 prin cele trei metode se obţin după cum urmează: = =

5 Metode Numerice Curs 3 Cod direct (semn şi valoare absolută) (în hexazecimal) Cod invers (complement faţă de 1) FFB7 (în hexazecimal) F F B 7 Cod complementar(complement faţă de 2) FFB8 (în hexazecimal) F F B 8 (deoarece = ) Următorul program în C pune în evidenţă reprezentarea în memorie a lui 72 şi -72. Compilatorul folosit este Borland C #include <stdio.h> #include <conio.h> #include <math.h> void main(){ unsigned char x=72; signed char y=-72; clrscr(); printf("\n%u-->%04x\n%d-->%04x",x,x,y,y); getch(); } Programul afisează 5

6 Mădălina Roxana Buneci Metode Numerice Curs > > FFB8 Observaţie: Se poate remarca faptul că primul bit din stânga (bitul cel mai semnificativ) este întotdeauna 0 pentru numerele pozitive şi 1 pentru numerele negative şi aceasta pentru fiecare din cele trei reprezentări. Acest bit se mai numeşte bit de semn. În tabelul de mai jos sunt reprezentate, prin cele trei metode, pe k = 16 biţi numere întregi cu semn: valoare cod direct (semn şi cod indirect cod complementar zecimală valoare absolută) (compl. faţă de 1) (compl. faţă de 2) = =7FFF =7FFF =7FFF =7FFE =7FFE =7FFE = = = = = = = =FFFF = = =FFFE =FFFF =FFFE = = =FFFF = = = =

7 Metode Numerice Curs 3 III. 2. Reprezentarea internă a numerelor reale III Forma normalizată Fie N şi b N, b 2. Se numeşte forma normalizată în baza b a numărului real nenul x, o reprezentare x = m b E, unde b = baza m = mantisa E = exponentul cu 0,1 b m b < 1 b 1 m < 1 (ceea ce înseamnă că mantisa este un număr b subunitar cu prima cifră după virgulă în reprezentarea în bază b diferită de zero). Pentru a scrie numărul sub formă normalizată trebuie găsite deci mantisa şi exponentul. Considerăm reprezentarea x = = există n N N+1 astfel încât n 0 α b n n care are proprietatea că ar fi N α n b - 1. Reprezentăm numărul întreg α N 0 = b n β n + b n-1 β n-1 + bβ 1 + β 0 în baza b. Astfel scrierea lui x în baza b este dată de x b = ±β n β n-1 β 1 β 0,α 1 α 2 α m Mantisa se obţine deplasând virgula în faţa primei cifre nenule ce apare în scrierea numărului (în baza b). Exponentul se ia egal cu numărul de poziţii cu care s-a deplasat virgula precedat de semnul + dacă deplasarea s-a făcut de la dreapta la stânga, şi de semnul dacă deplasarea s-a făcut de la stânga la dreapta. Astfel dacă x este reprezentat în baza b sub forma x b = ±β n β n-1 β 1 β 0,α 1 α 2 α m, cu β n 0, atunci forma normalizată este x b = ±0, β n β n-1 β 1 β 0 α 1 α 2 α m b n+1 dacă x este reprezentat în baza b sub forma x b = ±0, α 1 α 2 α m, cu α 1 0, atunci forma normalizată este x b = ±0, α 1 α 2 α m b 0 7

8 Mădălina Roxana Buneci Metode Numerice Curs dacă x este reprezentat în baza b sub forma x b = ±0,α 1 α 2 α i α i+1 α m, cu α 1 = α 2 = = α i = 0 şi α i+1 0, atunci forma normalizată este x b = ±0, α i+1 α m b -i. Reprezentarea sub formă normalizată a unui număr real x este unică. 8

Σχετικά έγγραφα

Lucrarea de laborator nr. 2

Lucrarea de laborator nr. 2 Metode Numerice Lucrarea de laborator nr. I. Scopul lucrării Reprezentarea numerelor reale în calculator. Erori de rotunjire. II. III. Conţinutul lucrării. Reprezentarea numerelor reale sub formă normalizată..