RAD I ENERGIJA. Poglavlje 5. kinetičke energije slobodnog tijela. 5.1 Rad sile i promjena Definicija rada i kinetičke energije

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "RAD I ENERGIJA. Poglavlje 5. kinetičke energije slobodnog tijela. 5.1 Rad sile i promjena Definicija rada i kinetičke energije"

Transcript

1 Poglavlje 5 RAD I ENERGIJA Proučavajući drugi Newtonov zakon upoznali smo učinak sile koja u nekom vremenskom intervalu djeluje na slobodno tijelo. Produkt sile i intervala vremena uzrokuje promjenu količine gibanja tijela, a tu veličinu koristimo kod opisa gibanja tijela. U ovome ćemo poglavlju pokazati da je korisno razmotriti još jedan, neovisni učinak sile. Radi se o produktu sile i puta koji tijelo prevali dok na njega djeluje sila, a nazivamo ga radom sile. Pokazat ćemo da izvršen rad sile na slobodno tijelo mijenja njegovu kinetičku energiju. Ako u razmatranje uključimo sustav tijela s unutarnjim silama, možemo u nekim slučajevima (npr. elastična sila, gravitacijska sila) utvrditi postojanje potencijalne energije, koja se može pretvarati u kinetičku, i obrnuto. Razmatranje o vrstama energije proširit ćemo na opći pojam energije kao veličine koju nije moguće uništiti, niti stvarati ni iz čega. Stoga pojam energije ima istaknutu ulogu u fizici. 5. Rad sile i promjena kinetičke energije slobodnog tijela U razmatranju djelovanja neke sile na tijelo, polazimo od najjednostavnijeg zamišljenog slučaja u kojemu je to jedina sila koja djeluje na tijelo. U slučaju kada na tijelo djeluje više sila, možemo najprije utvrditi učinak svake od sila zasebno i zatim odrediti zbirni učinak, ili pak najprije vektorski zbrojiti sve sile koje djeluju na tijelo i zatim utvrditi učinak ukupne sile, kao da se radi o jednoj jedinoj sili. Tako ćemo postupati i u uvodenju pojma rada, te njegovu daljnjem razmatranju u ovome odjeljku. 5.. Definicija rada i kinetičke energije Kada sila djeluje na slobodno tijelo tijekom nekog intervala vremena, dolazi do promjene količine gibanja tijela sukladno drugome Newtonovu zakonu. O tome smo opsežno govorili u drugome poglavlju ove knjige. No, tijekom tog intervala vremena, tijelo prevali i neki put, pa možemo razmotriti učinak sile vezujući ga upravo uz prevaljeni put. Na slici 5.a prikazano je tijelo koje u nekom trenutku t ima neku brzinu v. Neka na to tijelo djeluje sila F u smjeru brzine tako da putanja biva pravac sve do trenutka t 2 kada tijelo ima brzinu v 2. Sila ne mora biti stalna po iznosu, tako da na svakom infinitezimalnom djeliću puta d s moramo uzeti odgovarajuću vrijednost sile. Skalarni produkt te sile i puta definiramo kao rad sile na tome putu dw = F d s (5.) U ovome slučaju, sila F i put d s imaju isti smjer, tj. kut medu njima je nula, pa možemo pisati F d s = F ds. Ovaj rad je pozitivna veličina jer F i ds predstavljaju apsolutne iznose odgovarajućih vektora. Koristeći se poznatim izrazima, možemo preinačiti izraz za rad dw = F ds = mav dt = mv dv = 2 md ( v 2) (5.2) Dobili smo zanimljiv rezultat. Učinak sile na putu iskazuje se u promjeni kvadrata brzine tijela. Odmah možemo napisati da je ukupan rad jednak zbroju svih infinitezimalnih radova od početnog do konačnog stanja W = dw = 2 m d ( v 2) = 2 m v2 2 2 m v2 (5.3) 73

2 74 POGLAVLJE 5. RAD I ENERGIJA Ukupan rad je ovdje takoder pozitivna veličina jer je nastao zbrajanjem pozitivnih infinitezimalnih veličina dw. Na kraju smo dobili da je ukupno izvršeni rad jednak razlici dvaju izraza koji imaju istu formu, ali jedan uključuje brzinu tijela u konačnome stanju, a drugi u početnome. Prethodni rezultat iz jednadžbe (5.3) daje nam povoda da definiramo pojam kinetičke energije tijela pa je i ona u ovome slučaju negativna algebarska veličina dv = a dt (ovdje je a = a ). Konačni rezultat je isti kao i u jednadžbi (5.2). Jednadžbe (5.3) - (5.5) se ne mijenjaju. E K = 2 m v2 (5.4) Uz ovu definiciju, ukupno izvršeni rad postaje jednak promjeni kinetičke energije tijela od početnog do konačnog stanja W = E K2 E K = E K (5.5) U slučaju koji je prikazan na slici 5.a, sila djeluje u smjeru trenutne brzine i stoga povećava njen iznos. Radi se, dakle, o ubrzavanju tijela. Konačna kinetička energija E K2 veća je od početne E K, pa je i razlika u jednadžbi (5.5) pozitivna. Možemo zaključiti da pozitivan rad sile (W > 0) dovodi do povećanja kinetičke energije tijela ( E K > 0). Značenje negativnog rada sile Razmotrimo sada slučaj u kojemu tijelo ima u trenutku t brzinu v, ali sila F djeluje u suprotnom smjeru (slika 5.b), tako da dolazi do usporavanja gibanja tijela i ono u kasnijem trenutku t 2 ima manju brzinu v 2. Rad sile F na putu d s ima sada vrijednost dw = F d s = F ds cos 80 o = F ds < 0 (5.6) Infinitezimalni rad sile je u ovome slučaju negativna veličina. Isto očekujemo i za ukupni rad (W < 0) jer ga dobivamo zbrajanjem negativnih infinitezimalnih doprinosa. Napomena: Ako bismo izraz iz jednadžbe (5.6) htjeli upotrijebiti na način koji je primijenjen u jednadžbi (5.2), bilo bi potrebno voditi računa o različitim smjerovima, tj. uvesti algebarske veličine. Ako smjer gibanja tijela uzmemo kao pozitivan, onda za silu moramo uzeti negativnu algebarsku veličinu F (ovdje je F = F ). Promjena brzine uvijek ima smjer sile, Slika 5.: (a) Tijelo ima početnu brzinu v. Sila djeluje u smjeru pomaka tijela i povećava njegovu brzinu. Rad sile je pozitivan te se kinetička energija tijela povećava. (b) Sila djeluje u smjeru suprotno od pomaka tijela. Rad sile je negativan te se knetička energija tijela smanjuje. (c) Smjer djelovanja sile tvori neki kut prema pomaku tijela. (d) Promjena brzine d v, koja ima smjer djelovanja sile, može se rastaviti na paralelnu i okomitu komponentu u odnosu na trentnu brzinu tijela.

3 5.. RAD SILE I PROMJENA KINETIČKE ENERGIJE SLOBODNOG TIJELA 75 Budući da se radi o usporavanju tijela (v 2 < v ), kinetička energija konačnog stanja je manja od početnog (E K2 < E K ), pa možemo zaključiti da negativnim radom (W < 0) sila oduzima kinetičku energiju tijelu ( E K < 0). Rad sile na zakrivljenoj putanji Možemo sada razmotriti općenit slučaj u kojemu sila djeluje kod kutom u odnosu prema trenutnoj brzini tako da nastaje zakrivljena putanja. Slika 5.c prikazuje početnu brzinu tijela v i djelovanje sile F koja može mijenjati iznos i smjer, te formirati putanju do točke u kojoj tijelo ima brzinu v 2. Na svakom infinitezimalnom djeliću puta, sila izvrši rad dw = F d s = m a vdt = m v d v = 2 md ( v 2) (5.7) Posljednja jednakost proizlazi iz činjenice da je kvadrat vektora jednak kvadratu apsolutnih vrijednosti, pa je d ( v 2) = d ( v v) = d v v + v d v = 2 v d v (5.8) Ova relacija zahtijeva dodatni komentar. Na slici 5.d prikazana su dva slučaja u kojima vektor sile F tvori kut u odnosu prema vektoru trenutne brzine v. Vektor promjene brzine d v ima uvijek smjer sile, te je tako prikazan na slici 5.d. Njega možemo rastaviti na komponente, paralelnu i okomitu na brzinu, pa se gornji skalarni produkt svodi na v d v = v (d v + d v ) = v d v (5.9) gdje smo uvažili da skalarni produkt okomitih vektora iščezava. Dakle, važna je samo projekcija vektora d v na smjer vektora brzine. Drugim riječima, problem se svodi na prethodne slučajeve kada sila djeluje na istome pravcu na kojemu se nalazi trenutna brzina. Ako sila tvori oštar kut s vektorom trenutne brzine, komponenta d v ima isti smjer kao i v, pa iznos brzine raste kao i u slučaju prikazanom na slici 5.a. Ako pak sila tvori tupi kut s vektorom trenutne brzine, komponenta d v ima suprotan smjer od v, pa dolazi do usporavanja kao i u slučaju koji prikazuje slika 5.b. Napomena: Možemo još primijetiti da dodavanjem beskonačno malenog vektora d v na vektor konačnog iznosa v, promjenu njegova iznosa stvara samo komponenta d v. Stoga samo ta komponenta mijenja kvadrat brzine, kao što se vidi i prema jednadžbama (5.8) i (5.9). Zaključujemo, konačno, da i u općenitom slučaju odnosa sile i trenutne brzine, rad sile F na putu d s dovodi do promjene kvadrata brzine prema jednadžbi (5.7), koja je identična s prethodnom jednadžbom (5.2). Stoga i u općenitom slučaju vrijede jednadžbe (5.3) - (5.5). Ukupan rad sile na slobodno tijelo dovodi do promjene njegove kinetičke energije. Jedinica za rad i kinetičku energiju. Jedinica za rad nosi posebno ime džul ( J) u čast engleskog fizičara J. Joulea (9. st.). Iz definicijske jednadžbe (5.) slijedi da je J = N m. Rad od jednog džula izvrši sila od jednog njutna kada djeluje na putu od jednog metra. Prema jednadžbama (5.2) - (5.5), ista jedinica vrijedi i za kinetičku energiju. Izražavanje rada i kinetičke energije kod kružnog gibanja pomoću kutnih veličina Kao poseban slučaj razmotrimo rad sile kod gibanje tijela (čestice) po kružnoj putanji. Ako na tijelo djeluje samo centripetalna sila F c, gibanje je jednoliko, tj. ne mijenja se iznos brzine, nego samo njen smjer. U takvome gibanju, kvadrat brzine (skalarna veličina) se ne mijenja, pa nema ni promjene kinetičke energije tijela. Sukladno jednadžbi (5.5) očekujemo da i rad centripetalne sile iščezava. Uistinu, za rad centripetalne sile na bilo kojem infinitezimalnom putu imamo dw = F c d s = 0 (5.0) zato što je centripetalna sila radijalna, a infinitezimalni put je tangencijalan, pa su ta dva vektora uzajamno okomita (slika 5.2a). Razumije se, integriranjem nultih doprinosa dobili bismo da je ukupan rad takoder nula, što je konzistentno s konstantnom kinetičkom energijom. Napomena: Podrazumijeva se da je tijelo na neki način prethodno steklo obodnu brzinu v, a centripetalna sila se po iznosu prilagodi toj brzini (F c = m v 2 /r).

4 76 POGLAVLJE 5. RAD I ENERGIJA Razmotrimo sada slučaj prikazan na slici 5.2b. Tijelo (čestica) mase m povezano je putem napete niti (sila T ) na uporište u središtu kružnice. Na tijelo djeluje i vanjska sila F, koja dolazi od nekog čimbenika (nije naznačen na slici 5.2b). Radi analize problema, prikladno je vanjsku silu F rastaviti na radijalnu i tangencijalnu komponentu F = F r + F t (5.) U pomoćnom crtežu na slici 5.2b zamijenjena je sila F dvjema komponentama, dok je sila napetosti niti T prenesena s glavnog crteža. Možemo zaključiti da sile T i F r vektorski zbrojene moraju odigrati ulogu centripetalne sile F c = T + F r (5.2) Napomena: Ako pretpostavljamo da je vanjska sila zadana od vanjskog čimbenika, onda je i radijalna komponenta F r time zadana, pa se u praksi sila napetosti niti T prilagodi tako da rezultantna centripetalna sila F c po svom iznosu odgovara trenutnoj obodnoj brzini tijela (F c = m v 2 /r). Slika 5.2: (a) Tijelo u jednolikom gibanju po kružnici. Napetost niti igra ulogu centripetalne sile koja je okomita na vektor pomaka tijela. (b) Pored napetosti niti, na tijelo djeluje vanjska sila F. Na pomoćnom je crtežu sila F zamijenjena svojim komponentama u radijalnom i tangencijalnom smjeru. (c) Djelovanje tangencijalne sile ekvivalentno je djelovanju momenta sile M okomito na ravninu kruženja. Pomak tijela d s na obodu kružnice može se ekvivalentno izraziti vektorom infinitezimalnog zakreta d ϕ. Izvršeni rad je pozitivan te se rotacija tijela ubrzava. (d) Tangencijalna sila djeluje u suprotnom smjeru od trenutne brzine tijela. Moment sile ima suprotan smjer od vektora infinitezimalne rotacije, pa se rotacija tijela usporava. Kao što smo gore ustanovili, centripetalna sila F c ne vrši rad jer je uvijek okomita na infinitezimalni put d s na kružnici. Medutim, tangencijalna komponenta vanjske sile F t leži na istome pravcu kao i d s, pa vrši rad dw = F t d s (5.3) Ovaj rad je pozitivan ako sila F t ima isti smjer kao i infinitezimalni put d s. Imajući u vidu poznatu

5 5.. RAD SILE I PROMJENA KINETIČKE ENERGIJE SLOBODNOG TIJELA 77 relaciju d s = v dt, zaključujemo da pozitivan rad nastaje kada tangencijalna komponenta vanjske sile F t djeluje u smjeru trenutne obodne brzine v. Tada se povećava iznos brzine, pa time i kinetička energija. To je slučaj ubrzavanja kružnog gibanja tijela. Ako je pak tangencijalna komponenta vanjske sile F t usmjerena suprotno trenutnoj obodnoj brzini v, rad je negativan i dovodi do smanjivanja kinetičke energije tijela. Radi se o usporavanju kružnog gibanja. Do sada smo rad vanjske sile kod kružnog gibanja opisivali na isti način kao što smo to prethodno napravili u općenitom slučaju djelovanja sile na nekoj putanji. Možemo sada pokušati iskazati rad pomoću kutnih kinematičkih i dinamičkih veličina koje smo uveli u prvome i drugome poglavlju za opis kružnog gibanja. Na slici 5.2c prikazan je slučaj kada sila F t ima smjer kao i infinitezimalni put d s. Iz slike je vidljivo da infinitezimalni iznos ds možemo smatrati lukom kružnog isječka kojemu je vršni kut dϕ. Stoga za rad možemo pisati dw = F t ds = F t r dϕ (5.4) Razmotrimo sada moment sile F t oko središta kružnice M = r F t (5.5) Budući da su vektori r i F t uzajamno okomiti, dobivamo za iznos momenta sile M = r F t. Lako možemo uočiti da jednadžba (5.4) ima na desnoj strani upravo iznos momenta sile M pomnožen s infinitezimalnim kutom dϕ. No, moment sile je vektor, pa želimo da se u tome svojstvu pojavljuje u konačnoj jednadžbi za rad. S druge strane, rad dw je skalarna veličina, koju možemo dobiti ako dva vektora množimo skalarno. Kao drugi vektor uzimamo kut infinitezimalne rotacije d ϕ, koji je po iznosu jednak dϕ, a smjer mu je okomit na ravninu rotacije i odreden pravilom desne ruke. Infinitezimalni rad možemo konačno napisati u obliku dw = M d ϕ (5.6) Kod kružnog gibanja, djelovanjem momenta sile pri ostvarenom kutu zakreta nastaje rad. U slučaju prikazanom na slici 5.2c, vektori M i d ϕ su paralelni, pa je i rad iskazan jednadžbom (5.6) pozitivan. Ako pak zamislimo situaciju u kojoj tangencijalna komponenta vanjske sile F t djeluje u suprotnom smjeru od vektora infinitezimalnog puta d s, kao što prikazuje slika 5.2d, vektor M ima suprotan smjer od d ϕ, te je rad izračunat prema jednadžbi (5.6) negativan. Radi se o usporavanju kružnog gibanja. Napomena: Kod izračunavanja momenta sile M u jednadžbi (5.6) možemo uvrstiti ukupnu vanjsku silu F jer vrijedi M = r F = r Ft, zato što radijalna komponenta vanjske sile ne pridonosi momentu sile oko središta kružnice ( r F r = 0). Budući da smo kod kružnog gibanja rad izrazili pomoću kutnih veličina, bilo bi zgodno na taj način izraziti i kinetičku energiju. U tu svrhu iskoristimo poznatu relaciju za kružno gibanje v = ω r, te napišimo E K = 2 m v2 = 2 m ω2 r 2 = 2 I ω2 (5.7) gdje je I = m r 2 moment inercije tijela (čestice) mase m na udaljenosti r od osi rotacije. Ukupan rad kojim se kod kružnog gibanja promijeni kutna brzina iznosi W = M d ϕ = 2 I ω2 2 2 I ω2 = E K (5.8) Integriranje se provodi od nekog kuta ϕ kada je trenutna kutna brzina bila ω pa do kuta ϕ 2 kada je postignuta trenutna kutna brzina ω 2. Rotacija od ϕ do ϕ 2 može biti tek maleni zakret, no može se odnositi i na okretanje veće od punoga kuta, odnosno više njih. U konačnici, izvršeni rad dovodi do promjene kinetičke energije tijela Izmjene kinetičke energije kod rada više sila Čest je slučaj u praksi da možemo identificirati više sila koje djeluju na neko tijelo, te se postavlja pitanje izračunavanja rada tih sila i promjene kinetičke energije tijela. Na slici 5.3a prikazan je primjer tijela T na koje djeluju tri sile označene kao F AT, F BT i FCT, čime želimo istaknuti da one dolaze od djelovanja različitih tijela A, B i C na promatrano tijelo T. Ako želimo samo odrediti promjenu kinetičke energije promatranog tijela od nekog početnog do nekog konačnog stanja, možemo najprije utvrditi ukupnu silu (slika 5.3b)

6 78 POGLAVLJE 5. RAD I ENERGIJA F uk = F AT + F BT + F CT (5.9) a zatim integriranjem odrediti rad ukupne sile od početnog do konačnog stanja W = F uk d s = E K (5.20) U alternativnom postupku, možemo najprije izračunati zasebno rad svake sile od početnog do konačnog stanja (slika 5.3a) W A = W B = W C = F AT d s (5.2) F BT d s (5.22) F CT d s (5.23) a zatim zbrojiti sve izvršene radove i dobiti ukupno izvršeni rad svih sila W = W A + W B + W C = E K (5.24) Oba postupka daju isti konačan rezultat za promjenu kinetičke energije tijela. Medutim, drugi postupak nam otkriva da pojedina tijela A, B i C imaju svoje različite udjele u ukupnome rezultatu. Ako neka od tih sila izvrši pozitivan rad, ona za taj iznos uvećava kinetičku energiju tijela. S druge strane, neka od sila može izvršiti negativan rad, te za taj iznos umanjuje kinetičku energiju tijela. Svaka sila koja djeluje na promatrano tijelo dolazi od djelovanja nekog drugog tijela (čimbenika), pa možemo reći da pojedini čimbenici mogu davati ili oduzimati energiju promatranome tijelu. Ova će nam raščlamba biti korisna u sljedećem razmatranju u kojemu ćemo uvesti pojam potencijalne energije. 5.2 Potencijalna energija Slika 5.3: (a) Na promatrano tijelo T djeluju tri tijela A, B i C (nisu prikazana na slici). Pod djelovanjem triju sila, promatrano tijelo se giba od prvog do drugog položaja. Ukupni put se sastoji od djelića puta d s. (b) Prikaz ukupne sile F uk na promatrano tijelo i djelića puta d s. U prethodnom smo odjeljku usmjeravali pažnju na tijelo kojemu se, zbog djelovanja vanjske sile, može povećati ili smanjiti kinetička energija. Sada bismo uključili i pitanje što se zbiva s onim drugim tijelom (čimbenikom) koje je uzrokovalo djelovanje sile na prvo tijelo. Zanimljivo bi bilo znati može li drugo tijelo najprije oduzeti prvome neki iznos kinetičke energije, a zatim mu vratiti taj isti iznos kinetičke energije. Drugim riječima, može li se oduzeta kinetička energija nekako pohraniti da bi kasnije mogla biti predana opet istome tijelu od kojega je bila oduzeta, ili pak predana bilo kojem drugom tijelu. Razmotrimo najprije jedan primjer u kojemu nema mogućnosti povratka oduzete kinetičke energije. Slika 5.4 prikazuje promatrano tijelo koje u nekoj točki P ima početnu brzinu v. Kao drugo tijelo, prikazana je podloga koja djeluje silom trenja F tr na prvo (promatrano) tijelo i zaustavlja ga u nekoj točki P 2. Dakle, sa stajališta promatranog tijela, sila trenja igra ulogu vanjske sile koja vrši rad W = F tr d s = 2 mv2 2 2 mv2 = 2 mv2 (5.25) gdje je uzeto u obzir da se tijelo zaustavilo (v 2 = 0). Rad sile trenja je negativan ( F tr d s < 0), pa se ki-

7 5.2. POTENCIJALNA ENERGIJA 79 netička energija tijela smanjuje i konačno potpuno iščezne. integriranja sila F el ima ulogu koju je imala sila trenja F tr u jednadžbi (5.25). Rad je negativan, pa tijelo gubi kinetičku energiju i zaustavlja se u točki P 2 (slika 5.5c). Slika 5.4: Tijelo zadobije na neki način početnu brzinu v i zatim je prepušteno klizanju na podlozi s trenjem. Brzina tijela se smanjuje dok se tijelo ne zaustavi u točki P 2. Rad sile trenja oduzeo je tijelu cjelokupnu početnu kinetičku energiju. Postavlja se pitanje kamo je otišla ta energija, te može li biti vraćena. U ovome je slučaju podloga predstavljala drugo tijelo, koje je djelovalo silom trenja na promatrano prvo tijelo. Medutim, kada se tijelo zaustavi, iščezne sila trenja, a podloga ne stvori nikakvu drugu silu kojom bi mogla promatranome tijelu vratiti kinetičku energiju. Kasnije ćemo vidjeti da je energija otišla nepovratno u toplinu Potencijalna energija u elastičnom sustavu Umjesto podloge s trenjem, zamislimo sada idealnu podlogu bez trenja, tako da podloga više ne djeluje na promatrano tijelo na njoj. Kao drugo tijelo, postavimo oprugu koja je jednim krajem spojena s promatranim tijelom, a drugim je krajem učvršćena na nepomičan zid. Na slici 5.5a prikazana je opruga u prirodnom nerastegnutom stanju, a tijelo u točki P s početnom brzinom v, stečenom npr. nekim udarcem. Kod pomaka tijela za u od točke P, rastegne se i opruga za isti iznos (slika 5.5b), te se javlja elastična sila F el = K u, koja nastoji vratiti oprugu u nerastegnuto stanje. Sa stajališta promatranog tijela, F el predstavlja vanjsku silu koja vrši rad i mijenja kinetičku energiju tijela W = F el d u = 2 mv2 2 2 mv2 = 2 mv2 (5.26) gdje smo integrirali do točke P 2 u kojoj se tijelo zaustavilo (v 2 = 0). Možemo uočiti da kod ovog Slika 5.5: (a) U početnom trenutku opruga je u nerastegnutom stanju, a tijelu je nekim udarcem izvana (nije prikazano na slici) dana brzina v. Tijelo se nalazi na idealnoj podlozi bez trenja. (b) Rastezanjem opruge javlja se elastična sila koja ima smjer suprotan pomaku tijela d u, te se gibanje tijela usporava. (c) Rad elastične sile oduzeo je tijelu u potpunosti početnu kinetičku energiju i ono se trenutno zaustavilo u točki P 2. (d) Elastična sila nastavlja djelovati na tijelo koje se sada pomiče u smjeru elastične sile tako da je rad elastične sile pozitivan i tijelu raste kinetička energija.

8 80 POGLAVLJE 5. RAD I ENERGIJA Možemo reći da je u ovome slučaju opruga svojim djelovanjem oduzela promatranome tijelu kinetičku energiju, slično kao što je to napravila podloga s trenjem u slici 5.4. Medutim, za razliku od sile trenja, koja nestaje kada se tijelo zaustavi, elastična sila postoji dokle god je opruga rastegnuta. Stoga rastegnuta opruga ima sposobnost vraćanja kinetičke energije promatranome tijelu, pa kažemo da ima pohranjenu potencijalnu energiju (lat. potentia - moć). Ako pustimo da elastična sila opruge djeluje na isto tijelo u povratku od točke P 2 prema točki P (slika 5.5d), ona će izvršiti rad W = 2 F el d u = 2 m v2 (5.27) Rad elastične sile u povratku je pozitivan i u potpunosti vraća tijelu kinetičku energiju. Napomena: Integral u jednadžbi (5.27) ima granice od točke P 2 prema točki P. Stoga se d u uzima u tome smjeru i paralelan je s F el. Kod integrala u jednadžbi (5.26), bilo je obrnuto. Gornje razmatranje možemo sažeti tako da kažemo da je prilikom rastezanja opruga oduzela tijelu kinetičku energiju i stekla vlastitu potencijalnu energiju E P 2 E P = F el d u (5.28) Napomena: Granice integriranja u jednadžbi (5.28) postavljene su tako da odgovaraju procesu rastezanja opruge, tj. kao u jednadžbi (5.26), te je sam integral negativan. Uz negativan predznak ispred integrala dobiva se pozitivna promjena potencijalne energije prilikom rastezanja opruge. Izrazu za stvaranje potencijalne energije možemo dati još jednu fizikalnu interpretaciju. Dok se tijelo početno kretalo od točke P prema P 2, opruga je na njega djelovala silom F el. Medutim, prema trećemu Newtonovu zakonu, tijelo je istodobno djelovalo na oprugu silom reakcije F el. Sa stajališta opruge, silu kojom tijelo djeluje na oprugu možemo smatrati vanjskom silom. Ona pak ne može dati akceleraciju opruzi jer je drugi kraj opruge učvršćen. Stoga radom vanjske sile F el opruga ne stječe kinetičku energiju, ali se deformira (rasteže). Ako izračunamo rad vanjske sile F el na putu od točke P prema P 2 dobivamo točno izraz u jednadžbi (5.28)), tj. povećanje potencijalne energije opruge. Poznavajući izraz za elastičnu silu, možemo odrediti iznos potencijalne energije opruge koja je rastegnuta za proizvoljni iznos u E P = u 0 ( K u) d u = K u 0 u du = 2 K u2 (5.29) gdje je za nultu razinu potencijalne energije uzeto nerastegnuto stanje (u = 0, E P = 0). Potencijalna energija opruge raste s kvadratom iznosa za koji se produljila. Što se zbiva s potencijalnom energijom u procesu povratka opruge u nerastegnuto stanje? U povratnom procesu, opruga djeluje na tijelo tako da elastična sila izvrši pozitivan rad W (jednadžba (5.27)) na tijelo povećavajući njegovu kinetičku energiju. Pritom se smanjuje potencijalna energija opruge E P E P 2 = F el d u < 0 (5.30) 2 Napomena: Predznak minus moramo zadržati da bi promjena potencijalne energije kod stezanja opruge bila negativna. Naime, u integralu smo postavili granice od točke P 2 prema P, kao u jednadžbi (5.27), jer se tako odvija proces stezanja opruge. Tada pomak d u ima isti smjer kao sila F el, te je sam integral pozitivna veličina W. Općenit izraz za promjenu elastične potencijalne energije Izraz za promjenu potencijalne energije opruge u jednadžbi (5.28) dobili smo razmatrajući primjer u kojemu do rastezanja opruge dolazi zbog tijela kojemu je dana početna kinetička energija, a ono je vezano uz oprugu. Medutim, do rastezanja opruge može općenito doći uslijed djelovanja bilo koje vanjske sile na kraj opruge. Slika 5.6 prikazuje oprugu i vanjsku silu F koja vrši njeno rastezanje. Sigurno je da sila F dolazi od nekog drugog tijela u okolini, ali ono nije na slici prikazano. Na samome kraju opruge su hvatišta sile F i Fel. Budući da

9 5.2. POTENCIJALNA ENERGIJA 8 u toj točki nema tijela, dakle ni mase, za njeno proizvoljno gibanje (jednoliko ili ubrzano) nije potrebna ukupna sila. Stoga uvijek imamo F = F el. Rad vanjske sile, koji se pretvara u potencijalnu energiju opruge, možemo izračunati kao rad sile F el, ili ekvivalentno kao rad sile F el uzet sa suprotnim predznakom. Napomena: U gornjem primjeru pretpostavljena je idealizacija u kojoj dijelovi opruge imaju zanemarivu masu. Ako se želi voditi računa o masama segmenata opruge, dio vanjske sile F služi za njihovu akceleraciju, odnosno dio rada sile F pretvara se u kinetičku energiju tih segmenata. Nasuprot tome, rad sile F el uzet sa suprotnim predznakom odražava isključivo promjenu potencijalne energije opruge. Napomena: Prilikom rastezanja opruge svejedno je koji se od dva kraja pomiče, a koji je učvršćen. Moramo imati na umu da na svaki kraj opruge djeluju elastične sile jednakih iznosa, ali suprotnih smjerova. Za promjenu potencijalne energije računa se rad one sile čije se hvatište pomiče. U slučaju da se pomiču oba kraja, radovi se zbrajaju i dobiva se ukupna promjena potencijalne energije. Lako je shvatiti da pojava elastične potencijalne energije nije svojstvena samo opruzi. Svako elastično tijelo povećava svoju potencijalnu energiju kada se pod utjecajem vanjskih sila deformira. Tada se, naime, javljaju unutarnje elastične sile koje vrše odgovarajući (negativan) rad sukladno iznosu deformacije. Kod povratka elastičnog tijela u nedeformirano stanje, unutarnje elastične sile vrše pozitivan rad, te se potencijalna energija tijela smanjuje Gravitacijska potencijalna energija Slika 5.6: Na kraju opruge nije postavljeno neko tijelo, ali na tome mjestu djeluje vanjska sila F. Rastegnuta opruga djeluje u povratnom smjeru elastičnom silom F el. Rad elastične sile kod pomaka d u uzet s negativnim predznakom jednak je radu vanjske sile. Možemo zaključiti da se prilikom promjene duljine opruge, bilo da se duljina povećava ili smanjuje, uvijek odvija rad unutarnje sile F el na putu koji prevali krajnja točka opruge. Pritom dolazi do promjene elastične potencijalne energije opruge koju možemo napisati općenito E P = E P 2 E P = F el d u (5.3) Promjena potencijalne energije opruge jednaka je po iznosu, ali suprotnog je predznaka, od rada što ga unutarnja elastična sila izvrši od početnog do konačnog stanja opruge. Razmotrimo dva (ogromna) tijela A i B koja se uzajamno privlače silama F AB i F BA sukladno općem zakonu gravitacije. Za sada ne navodimo ovisnost sila o masama i udaljenosti medu tijelima. To ćemo učiniti kasnije, a sada provedimo samo opća razmatranja. Ako želimo da ta tijela miruju jedno u odnosu prema drugome, morale bi na njih djelovati i neke vanjske sile kako bi se uspostavila ravnoteža (slika 5.7a). Razumije se, radi se o zamišljenoj situaciji, ali ona je načelno sasvim ispravna. Napomena: Kod ovih razmatranja podrazumijeva se da tijela A i B promatramo u nekom inercijalnom sustavu. Pretpostavimo sada da je tijelo A nepomično (izostavljamo crtanje sila na to tijelo) i usredotočimo pažnju na tijelo B koje se, uslijed djelovanja sila, pomiče od početnog do konačnog položaja, kako prikazuje slika 5.7b. Ukupni rad sila F i F AB, koje djeluju na tijelo B, daje promjenu njegove kinetičke energije F d s + F AB d s = E K (5.32) Rad vanjske sile F je pozitivan. Kada bi na tijelo B djelovala samo ta sila, ono bi steklo veću kinetičku

10 82 POGLAVLJE 5. RAD I ENERGIJA ga unutarnja sila izvrši od početnog do konačnog položaja. Uz takvu definiciju, jednadžbu (5.32) možemo napisati u obliku F d s = E P + E K (5.34) Kažemo da je rad vanjske sile F jednim dijelom utrošen na povećanje potencijalne energije sustava dvaju tijela, a jednim dijelom na kinetičku energiju tijela na koje je vanjska sila izravno djelovala. Da bismo se uvjerili kako je ovdje uistinu došlo do stvaranja energije koju možemo s pravom nazvati potencijalnom, moramo pokazati da je na račun te energije moguće izvršiti rad. Ta mogućnost zacijelo postoji stoga što gravitacijska sila ne može nestati. Zamislimo da tijelo B miruje u točki P 2, a zatim ga pustimo tako da ga unutarnja (gravitacijska) sila F AB tjera prema točki P. Rad koji izvrši unutarnja sila na tom putu Slika 5.7: (a) Tijela A i B privlače se gravitacijskim silama F AB i F BA. Zamišljen je statički slučaj za koji bi bile potrebne vanjske sile F i F. (b) Tijelo A je nepomično u nekom inercijalnom sustavu (nisu prikazane sile na to tijelo), a tijelo B se može pomicati od jednog do drugog odabranog položaja. energiju. Medutim, negativnim radom unutarnje sile F AB oduzima se tijelu B dio kinetičke energije. Postavlja se pitanje kamo je otišla ta oduzeta energija, te može li se ona vratiti tijelu B. U ovome slučaju, nema opruge koja bi bila razapeta izmedu dva tijela i u kojoj bi se, uslijed rastezanja, pohranila potencijalna energija. Tijela A i B nisu ni u kakvu dodiru, te nema nikakve (elastične) deformacije na njima. Ipak, postoji unutarnja sila F AB koja djeluje na putu udaljavanja tijela. Ta sila postoji samo ako postoje oba tijela kao sustav. Pokazat ćemo da je ovdje došlo do povećanja potencijalne energije koju pripisujemo sustavu dvaju tijela, a ne pojedinome tijelu. Postavljamo definiciju E P = E P 2 E P = F AB d s (5.33) Analogno slučaju elastične opruge (jednadžba (5.3)), promjena potencijalne energije jednaka je po iznosu, ali suprotnog je predznaka, od rada što W = 2 F AB d s (5.35) proizvest će kinetičku energiju tijela. Prema tome, rad koji je prethodno bio uložen u procesu udaljavanja tijela, uistinu je stvorio potencijalnu energiju, a ona se može kasnije pretvoriti u kinetičku energiju pri slobodnom približavanju tijela. Dok kinetičku energiju pripisujemo jednom tijelu, kada ono stekne neku brzinu, potencijalnu energiju ne možemo pripisati samo jednom tijelu, nego sustavu dvaju tijela A i B. Naime, za nastanak potencijalne energije bitno je da dode do razmicanja dvaju tijela, a pritom je svejedno koje od dvaju tijela pomičemo dok ono drugo držimo nepomičnim. Rad utrošen za odredeno povećanje udaljenosti tih tijela isti je u svakom slučaju, jer su unutarnje sile F AB i F BA jednake po iznosu ali suprotnog smjera. Razumije se, možemo pomicati i oba tijela, pa se radovi zbrajaju i daju ukupnu promjenu potencijalne energije sustava. Važno je takoder uočiti da, bez obzira na način kako je nastala, potencijalna energija sustava tijela A i B može biti predana bilo tijelu B na način opisan u jednadžbi (5.35), ili tijelu A ukoliko pustimo da se ono giba pod utjecajem sile F BA i prevali jednaki put u približavanju tijelu B, koje zadržimo nepomičnim. Razumije se, pustimo li slobodno oba tijela, svako od njih će stjecati neku kinetičku energiju, koje će zbrojene odgovarati smanjenju potencijalne energije sustava.

11 5.2. POTENCIJALNA ENERGIJA 83 Zemlja i tijelo Nakon provedenih općih razmatranja, okrenimo se analitičkom izrazu za gravitacijsku silu pomoću kojega možemo izračunavati potrebne integrale. Kao konkretan primjer uzmimo Zemlju na kojoj živimo i neko tijelo kao što prikazuje slika 5.8a. Zemlju smatrajmo nepomičnom, te zamislimo da se pod djelovanjem neke vanjske sile, koja nije prikazana na slici 5.8a, tijelo pomaklo iz početnog položaja u neki udaljeniji položaj od Zemlje. Zbog djelovanja vanjske sile, tijelo može dobiti i neku kinetičku energiju, no ovdje nas interesira promjena potencijalne energije, a nju izračunavamo putem rada unutarnje sile sustava Zemlje i tijela. U ovome slučaju radi se o gravitacijskoj sili F g kojom Zemlja privlači tijelo mase m na udaljenosti r od središta Zemlje (r > r Z ) Napomena: Fizikalno su važne samo promjene potencijalne energije, a one ne ovise o odabiru položaja za koji ćemo smatrati da mu je potencijalna energija jednaka nuli. Ako ipak odaberemo takav položaj, onda potencijalne energije u svim ostalim položajima odredujemo u odnosu prema odabranom položaju. Ovisnost potencijalne energije o udaljenosti od Zemlje prikazana je grafički na slici 5.8b. Na samoj površini Zemlje, ona ima negativnu vrijednost G (m Z m)/r Z, a na većim udaljenostima raste prema nuli. Ovaj nam graf može poslužiti za ana- F g = G m Z m r 2 ˆr (5.36) Jedinični vektor ˆr ima smjer od središta Zemlje prema tijelu, a predznak minus označava da je sila F g suprotnoga smjera. Promjena potencijalne energije iznosi dr E P 2 E P = F g d r = G m Z m r ) 2 = G m Z m ( r2 + r (5.37) Razmotrimo poseban slučaj u kojemu je tijelo odvedeno beskonačno daleko od Zemlje. Za r 2 uočavamo da razlomak /r 2 u jednadžbi (5.37) iščezava. Ako dogovorno odredimo da potencijalna energija u takvome stanju bude nula (E P = 0), postižemo matematički jednostavan izraz za potencijalnu energiju E P = G m Z m r (5.38) gdje je umjesto odredene vrijednosti r upotrijebljena varijabla r koja može poprimiti bilo koju vrijednost. Dobivena negativna vrijednost za potencijalnu energiju ne treba nas iznenaditi. Približavanjem tijela gravitacijska potencijalna energija se smanjuje. Ako smo dogovorno postavili da za beskonačnu udaljenost potencijalna energija bude nula, onda na konačnim udaljenostima ona mora biti negativna. Slika 5.8: (a) Zemlja i tijelo mase m na nekoj udaljenosti r od središta Zemlje. Pretpostavlja se da je Zemlja praktički nepokretna. Pomicanjem tijela od prvog do drugog položaja promijeni se potencijalna energija sustava Zemlje i tijela. (b) Ovisnost potencijalne energije o udaljenosti tijela od Zemlje uz odabir nulte energije u granici beskonačne udaljenosti. Naznačena je potencijalna energija u slučaju kada se tijelo nalazi na površini Zemlje (r = r Z ). Takoder je naznačena ukupna energija (potencijalna i kinetička) kada tijelo na površini Zemlje dobije neku početnu brzinu (vertikalni hitac), te način odredivanja maksimalne udaljenosti r max do koje tijelo može doći.

12 84 POGLAVLJE 5. RAD I ENERGIJA lizu problema vertikalnog hica. Ako tijelu dademo početnu brzinu v 0 uvis, ono će imati ukupnu energiju E = E P + E K = G m Z m r Z + 2 m v2 0 (5.39) Možemo imati tri različita slučaja. Ako je drugi član po iznosu manji od prvoga, ukupna energija je negativna. Takav je primjer označen crtkanom linijom na slici 5.8b. Gibanjem tijela uvis, gravitacijska sila vrši negativan rad i umanjuje kinetičku energiju tijela. No, taj isti rad uzet sa suprotnim predznakom predstavlja povećanje potencijalne energije, tako da se ukupna energija ne mijenja. Očito je da se tijelo može udaljiti od Zemlje samo toliko da njegova kinetička energija padne na nulu, a onda je u ukupnoj energiji opstala samo potencijalna E = G m Z m r max (5.40) gdje r max predstavlja maksimalnu udaljenost do koje je tijelo moglo doći u danome vertikalnom hicu. Ovu vrijednost lako možemo očitati na grafu iz slike 5.8b. Što je početna kinetička energija veća, ukupna energija u jednadžbi (5.39) je bliža nuli, a time i maksimalna udaljenost r max u jednadžbi (5.40) postaje veća. Granični slučaj se postiže kada je početna kinetička energija toliko velika da ukupna energija u jednadžbi (5.39) iščezava. Lako možemo izračunati da je za to potrebna početna brzina v 0 = 2 G m Z r Z 0 4 ms (5.4) S tom početnom brzinom tijelo odlazi nepovratno sa Zemlje u beskonačnost, s time da mu kinetička energija teži prema nuli. Navedena početna brzina često se naziva drugom svemirskom (kozmičkom) brzinom. Ako tijelo u početku dobije još veću kinetičku energiju, njegova će ukupna energija biti pozitivna. Takav je primjer takoder prikazan crtkanom linijom na slici 5.8b. Tijelo odlazi nepovratno u Svemir, ali čak i beskonačno daleko od Zemlje zadržava odredenu kinetičku energiju. Napomena: Opisani primjeri s drugom svemirskom brzinom i većim brzinama imaju za svrhu samo razviti teorijsko razumijevanje problema. U praksi nije moguće postići takve početne brzine ispaljivanjem projektila. Sve rakete zahtijevaju dodatni pogon nakon lansiranja. Potencijalna energija blizu površine Zemlje Često nam je potrebno razmatrati promjene potencijalne energije na visinama koje su mnogo manje od radijusa Zemlje. U tu svrhu izrazimo udaljenost tijela od središta Zemlje kao r = r Z + h, pa razlika potencijalnih energija na visini h i na površini Zemlje (h = 0) iznosi E P h E P 0 = G m Z m r Z + h + G m Z m r Z (5.42) Za h << r Z vrijedi aproksimacija r Z + h = r Z ( + h r Z ) r Z ( h ) r Z (5.43) Stoga razliku energija iz jednadžbe (5.42) možemo izraziti E P h E P 0 = G m Z m r 2 Z h (5.44) Razlika potencijalnih energija ovisi linearno o visini h. Ova linearizacija je posljedica malene promjene funkcije /r kod uvjeta h << r Z, kao što je izraženo u jednadžbi (5.43). Iz praktičnih razloga, zgodno nam je u ovim prilikama odabrati čvrsto tlo kao nultu točku u kojoj postavljamo E P 0 = 0, pa potencijalnu energiju na raznim visinama odredujemo u odnosu na tlo. U jednadžbi (5.44) možemo prepoznati gravitacijsku silu F g = G m Z m/rz 2, pa potencijalna energija na visini h glasi E P = F g h = m g h (5.45) gdje je g akceleracija slobodnog pada blizu površine Zemlje. Izvedenu relaciju mogli smo dobiti i primjenom opće definicije za promjenu potencijalne energije h E P h E P 0 = F g d s = F g h (5.46) 0

13 5.3. KONZERVATIVNE I NEKONZERVATIVNE SILE 85 Sila F g je unutarnja sila sustava Zemlje i tijela, a u malenom visinskom rasponu h ona je praktički konstantna, pa je integral jednostavno izračunati. Kod praktično ostvarivog vertikalnog hica postiže se relativno malena visina h. Stoga vrijedi jednakost 2 m v2 0 = m g h (5.47) gdje je v 0 početna brzina. Tijelo dosegne visinu h koju možemo izračunati po gornjoj formuli, a zatim padne na tlo brzinom koja takoder ima iznos v 0, tj. vrati mu se cjelokupna prvobitna kinetička energija. Napomena: Kinetičku energiju pripisujemo tijelu koje ima odgovarajuću brzinu. Medutim, potencijalnu energiju moramo pripisati sustavu Zemlje i tijela, a ne samo tijelu. Razlog zbog kojega se potencijalna energija m g h praktički u cijelosti pretvori u kinetičku energiju tijela leži u ogromnoj masi Zemlje, koja se praktički ne pokrene. 5.3 Konzervativne i nekonzervativne sile U prethodnom smo odjeljku vidjeli da u sustavima gdje djeluju unutarnje sile, poput elastične i gravitacijske, možemo pohraniti energiju koju je kasnije moguće iskoristiti za vršenje rada i pretvaranje u kinetičku energiju. U drugim pak slučajevima, kao kod sile trenja, takve mogućnosti nema. U ovome ćemo odjeljku pokazati da se razlike medu dvjema vrstama sila mogu iskazati pomoću matematičkih formi Rad gravitacijske sile na različitim putovima Razmotrimo općenitije kretanje nekog tijela u gravitacijskom polju Zemlje. Slika 5.9 prikazuje tijelo kojemu je zadan neki početni položaj u točki P i neki konačni položaj u točki P 2. Na tijelo uvijek djeluje gravitacijska sila F g, no pored nje djeluje i neka vanjska sila, koja se može mijenjati po iznosu i smjeru (nije prikazana na slici 5.9). Ukupna sila na tijelo odreduje oblik putanje od početnog do konačnog položaja. Na slici 5.9 prikazane su kao primjer dvije putanje, nastale u slučajevima kada su djelovale različite vanjske sile. Slika 5.9: Primjer dviju putanja a i b kojima se tijelo (čestica) može gibati od točke P do točke P 2. Odredena putanja se ostvaruje zbog djelovanja vanjske sile koja nije prikazana na slici. Rad gravitacijske sile F g ne ovisi o putanji nego samo o krajnjim točkama. Ovdje nas interesira samo djelovanje gravitacijske sile na putu od početnog do konačnog položaja tijela. Gravitacijska sila ima isti iznos u svim točkama na kružnici radijusa r koja je prikazana crtkanom linijom na slici 5.9. Uočimo točke na putanjama a i b koje leže na toj kružnici i razmotrimo infinitezimalne putove d s a i d s b koji vode do sjecišta s kružnicom radijusa r +dr, koja je takoder naznačena na slici 5.9. Rad gravitacijske sile na pojedinim infinitezimalnim putovima iznosi dw a = F g d s a = F g ds a cos θ a = F g dr (5.48) dw b = F g d s b = F g ds b cos θ b = F g dr (5.49) gdje su θ a i θ b kutovi što ih infinitezimalni putovi čine s gravitacijskom silom na tome mjestu (slika 5.9). U oba slučaja dobije se ista vrijednost za izvršeni rad jer projekcije infinitezimalnih putova na radijalan smjer daju isti iznos dr. Cijeli put od početnog do konačnog položaja možemo podijeliti na infinitezimalne segmente i zbrojiti izvršene radove, te dobiti

14 86 POGLAVLJE 5. RAD I ENERGIJA F g d s = }{{} po putu (a) F g d s }{{} po putu (b) (5.50) Dobili smo važan rezultat koji kaže da rad gravitacijske sile na putu od početnog do konačnog položaja ne ovisi o odabiru putanje. Napomena: Kada bismo uvrstili analitički izraz za gravitacijsku silu, dobili bismo da rezultat integracije ovisi o veličinama r i r 2 koje se odnose na početni i konačni položaj. Zamislimo sada da se tijelo giba od početnog položaja putanjom a do konačnog položaja, a zatim se vrati u početni položaj po putanji b. Promjena smjera gibanja na putanji b mijenja predznak izvršenog rada gravitacijske sile (promijena smjera d s), tako da je ukupni rad F g d s }{{} po putu (a) + 2 F g d s = 0 (5.5) }{{} po putu (b) Ovaj rezultat pišemo sažeto F g d s = 0 (5.52) C Rad gravitacijske sile po zatvorenoj krivulji C iščezava. To je temeljno matematičko svojstvo konzervativne sile. Konzervativne sile i mogućnost definiranja potencijalne energije U prethodnim razmatranjima utvrdili smo da promjenu potencijalne energije možemo izraziti putem rada gravitacijske sile od početnog do konačnog položaja. Zatim smo utvrdili da rad ne ovisi o putanji kojom tijelo ide od početnog do konačnog položaja. Prema tome, ni promjena potencijalne energije ne može ovisiti o odabiru putanje, nego samo o početnom i konačnom položaju. Ako tijelo napravi put po zatvorenoj krivulji i vrati se u početni položaj, rad gravitacijske sile jednak je nuli, pa nema ni promjene potencijalne energije. Ovaj zaključak je važan jer daje smisao potencijalnoj energiji. Ona je uvijek ista ako se tijelo nalazi na danome položaju, bez obzira na to kako je došlo u taj položaj, odnosno je li prethodno napravilo bilo kakve putove i vratilo se u dani položaj. Kažemo da je potencijalna energija funkcija stanja sustava. Temeljem matematičke analogije, možemo zaključiti da za svaku konzervativnu silu u fizici možemo uvesti odgovarajuću potencijalnu energiju kao funkciju stanja. Nekonzervativne sile Primjer nekonzervativne sile je sila trenja jer njen rad na zatvorenoj krivulji ne iščezava F tr d s 0 (5.53) C Točnije, taj rad uvijek ima neku negativnu vrijednost jer sila trenja F tr uvijek ima smjer suprotan infinitezimalnom putu d s koji tijelo prevaljuje. Rad sile trenja ne možemo povezati izravno s nekom potencijalnom energijom. U razmatranju prirode sila u poglavlju 3, vidjeli smo da trenje nije jedna od osnovnih sila, nego se izvodi iz elektromagnetske koja ureduje odnose na razini atoma i molekula. Sila trenja je makroskopska veličina koja izražava učinak mnoštva mikroskopskih procesa. Stoga se njen rad sastoji u prijenosu energije na mnoštvo atoma i molekula, pa kažemo da je sila trenja disipativna (lat. dissipatio - rasipanje) Gravitacijski potencijal Gravitacijsku potencijalnu energiju pripisali smo sustavu dvaju tijela. Kao primjer smo uzimali Zemlju i neko tijelo, te smo izveli izraz u jednadžbi (5.38). Ekvivalentan izraz mogli bismo napisati za bilo koja dva tijela. Potencijalna energija uključuje mase obaju tijela, a može se mijenjati bilo pomicanjem jednoga ili drugoga tijela. U poglavlju 3 razmatrali smo prirodu gravitacijske sile koja takoder ovisi o masama obaju tijela i uzajamnoj udaljenosti. Kao alternativni način izražavanja gravitacijskog medudjelovanja, uveli smo pojam gravitacijskog polja g( r) koje nastaje u svim točkama prostora oko tijela mase m, a ono zatim djeluje na neko probno tijelo mase m 0 silom F g = m 0 g( r) (jednadžba (3.7)). Gravitacijsko polje g( r) ovisi samo o masi tijela koje ga stvara i o udaljenosti od njega, a ne ovisi o tome jesmo li u neku okolnu točku postavili drugo probno tijelo. Na sličan način možemo uvesti pojam gravitacijskog potencijala U, koji nastaje u svim točkama prostora oko nekog tijela, te ovisi samo o masi m

15 5.3. KONZERVATIVNE I NEKONZERVATIVNE SILE 87 toga tijela i udaljenosti od njega. Ako u njegovu okolinu dovedemo drugo (probno) tijelo mase m 0, sustav dvaju tijela imat će potencijalnu energiju E P = G m m 0 r = m 0 U (5.54) Iz ovog odnosa slijedi da je gravitacijski potencijal koji nastaje oko tijela mase m dan izrazom U = G m r (5.55) Valja imati na umu da ovaj izraz vrijedi za tijelo sa sfernom raspodjelom mase, a udaljenost r računa se od središta tijela do točke u kojoj se odreduje potencijal. Ekvipotencijalne plohe Korisno je uvesti pojam ekvipotencijalne plohe u kojoj je potencijal jednak u svim njenim točkama. U slučaju koji opisuje jednadžba (5.55) ekvipotencijalne plohe su sfernog oblika. Ako želimo slikovno prikazati promjene potencijala u prostoru, možemo nacrtati niz ekvipotencijalnih ploha koje se uzastopno razlikuju za isti (proizvoljno odabran) iznos U (slika 5.0). Gustoća tako odabranih ekvipotencijalnih ploha odražava nam slikovito naglost promjene potencijala s udaljenošću od tijela. Gradijent potencijala Vidjeli smo da u prostoru oko nekog tijela nastaje gravitacijsko polje (vektorsko) i potencijal (skalarno polje). Postavlja se pitanje jesu li ta dva polja nekako povezana. Da bismo odgovorili na postavljeno pitanje, uvedimo probno tijelo mase m 0 i prisjetimo se da njegovim infinitezimalnim pomicanjem mijenjamo potencijalnu energiju de P = F g d s (5.56) Ako uvažimo jednadžbu (5.54), možemo reći da se potencijalna energija promijenila za de P zato što se probno tijelo mase m 0 pomaklo iz jedne točke u drugu, a razlika potencijala izmedu tih točaka je du (de P = m 0 du). S druge strane imamo F g = m 0 g, tako da jednadžbu (5.56) možemo svesti na du = g d s (5.57) Dobili smo važnu jednadžbu koja povezuje gravitacijsko polje i promjenu potencijala. Možemo je interpretirati na sljedeći način. Ako nam je poznato gravitacijsko polje u nekoj točki prostora, možemo putem jednadžbe (5.57) odrediti za koliko se promijeni potencijal ako se iz te točke pomaknemo za d s u susjednu točku. Odnos izmedu gravitacijskog polja i potencijala možemo izraziti i na alternativni način. U tu svrhu poslužimo se poznatim matematičkim postupkom odredivanja totalnog diferencijala fukcije U(x, y, z) du = U x dx + U y dy + U z dz (5.58) Takoder napišimo vektore g i d s u kartezijevim komponentama, pa za njihov skalarni produkt dobivamo g d s = g x dx + g y dy + g z dz (5.59) Uvrštavanjem izraza (5.58) i (5.59) u jednadžbu (5.57) nalazimo odnose Slika 5.0: Niz ekvipotencijalnih ploha oko homogenog sfernog tijela. Odabrana je neka stalna razlika potencijala U izmedu susjednih ploha. g x = U x, g y = U y, g z = U z (5.60) Svaka od ovih jednadžbi nam kaže da je komponenta gravitacijskog polja duž neke osi jednaka po

16 88 POGLAVLJE 5. RAD I ENERGIJA iznosu parcijalnoj derivaciji (naglosti promjene) potencijala duž te osi. Negativan predznak znači da komponenta gravitacijskog polja ima smjer suprotan od onoga duž kojega potencijal raste. Ako npr. potencijal raste duž pozitivnog smjera osi x (pozitivna parcijalna derivacija), gravitacijsko polje će imati komponentu duž negativnog smjera osi x. Isto vrijedi i za ostale osi. Dakle, ako poznamo skalarnu funkciju potencijala U(x, y, z), mogli bismo odrediti njene parcijalne derivacije u bilo kojoj točki prostora i time dobiti komponente vektora gravitacijskog polja u toj točki. Dobiveni rezutat možemo napisati u kompaktnoj formi ako uvedemo matematički operator gradijenta, koji označavamo kratko grad ili simbolom (čita se nabla ), a definira se izrazom grad = = î x + ĵ y + ˆk z (5.6) Ako operator gradijenta djeluje na skalarnu funkciju U(x, y, z), dobivamo jednostavno grad U = U = î U x + ĵ U y + ˆk U z (5.62) Stoga umjesto tri jednadžbe (5.60), možemo napisati sažeto jednu vektorsku jednadžbu g = grad U = U (5.63) Ova jednadžba kaže da vektor gravitacijskog polja u nekoj točki ima smjer duž kojega potencijal najbrže pada (predznak minus). Iznos vektora gravitacijskog polja ovisi o naglosti promjene potencijala u okolini točke promatranja. Korisno je razmotriti odnos izmedu gravitacijskog polja i ekvipotencijalnih ploha. Ako od neke točke promatranja napravimo pomak u blisku točku na istoj ekvipotencijalnoj plohi, ostali smo na istome potencijalu. Najbržu promjenu potencijala očekujemo kod pomaka od točke promatranja okomito na ekvipotencijalnu plohu, pa bi u tom smjeru moralo biti i gravitacijsko polje. Drugim riječima, gravitacijsko polje u nekoj točki uvijek je okomito na potencijalnu plohu koja prolazi tom točkom. Da bismo dodatno ilustrirali odnos gravitacijskog polja i potencijala, uzmimo tijelo mase m i postavimo ishodište koordinatnog sustava u njegovo središte kako prikazuje slika 5.. Odaberimo jednu ekvipotencijalnu plohu radijusa r, a na njoj točku promatranja P (0, 0, z), gdje je z = r. U točki P parcijalne derivacije funkcije U(x, y, z) duž osi x i y iščezavaju jer su to smjerovi tangencijalni na ekvipotencijalnu plohu [ ] U = 0, x x=0 [ ] U = 0 (5.64) y y=0 Stoga gravitacijsko polje u točki P nema komponente duž osi x i y, tj. g x = 0 i g y = 0. Jedina komponenta koju ima gravitacijsko polje u točki P je ona duž osi z. Naime, duž osi z gravitacijski potencijal se mijenja sukladno jednadžbi (5.55) U(0, 0, z) = G m z (5.65) tako da parcijalna derivacija duž osi z, uzeta u točki z = r, iznosi [ ] U = G m z z=r r 2 (5.66) Konačno, prema jednadžbama (5.57) i (5.63), gravitacijsko polje u točki P iznosi g = G m r 2 ˆk (5.67) Dobili smo izraz za gravitacijsko polje koji pokazuje da je ono okomito na ekvipotencijalnu plohu Slika 5.: Ishodište koordinatnog sustava postavljeno je u središte tijela mase m. Crtkana linija opisuje ekvipotencijalnu plohu. Odabrana je točka P za izračunavanje gravitacijskih veličina.

17 5.4. OPĆI POJAM ENERGIJE 89 u točki P, te da pokazuje smjer najbržeg padanja gravitacijskog potencijala. U zaključku možemo reći da su jednadžbe (5.57) i (5.63) komplementarne i podjednako važne. One pokazuju da su vektorsko gravitacijsko polje g( r) i skalarni gravitacijski potencijal U( r) uzajamno povezani. Ako su nam poznate vrijednosti jedne od tih veličina u svim točkama nekog prostora, možemo odgovarajućom jednadžbom utvrditi vrijednosti druge veličine u tim istim točkama prostora. Princip superpozicije za gravitacijski potencijal Princip superpozicije za gravitacijski potencijal srodan je principu superpozicije za gravitacijsko polje koji smo upoznali u poglavlju 3. Svako tijelo stvara u okolnom prostoru gravitacijsko polje i gravitacijski potencijal. Ako ima više tijela u nekom prostoru, svako od njih stvara gravitacijsko polje i potencijal kao da onih drugih tijela i nema. Stoga u bilo kojoj točki promatranja moramo vektorski zbrojiti gravitacijska polja koja stvaraju pojedina tijela i tako dobiti ukupno gravitacijsko polje u toj točki. Isto tako, moramo zbrojiti gravitacijske potencijale koje stvaraju pojedina tijela u nekoj točki promatranja i dobiti ukupni gravitacijski potencijal u toj točki. Rekapitulacija integrala gravitacijskog polja Ovdje je prilika da se rekapitliraju dva temeljna integrala gravitacijskog polja. Prvi integral smo upoznali u poglavlju 3 pod nazivom Gaussova zakona S g d a = 4πG m (5.68) gdje je masa m sadržana unutar zatvorene plohe S po kojoj se obavlja integracija. Ovaj integral kazuje da je masa m uzrok postojanja gravitacijskog polja, te da gravitacijske silnice imaju smjer prema masi kao da poniru u njoj. Drugi integral slijedi iz svojstva konzervativne sile izraženog jednadžbom (5.52) uz uvažavanje odnosa F g = m 0 g C g d s = 0 (5.69) Ova jednadžba kaže da linijski integral gravitacijskog polja po zatvorenoj krivulji C isčezava. Napomena: Skalarni produkt g d s ne predstavlja rad, pa se koristi matematički izraz linijski integral. U fizici se definiraju i druga vektorska polja, npr. električno i magnetsko polje. Osnovna svojstva svakog od tih vektorskih polja mogu se izraziti putem dvaju temeljnih integrala. Jedan od njih je integral po zatvorenoj plohi, a drugi je linijski integral po zatvorenoj krivulji. O svojstvima električnog i magnetskog polja ne ćemo se baviti u ovoj knjizi. 5.4 Opći pojam energije Pojam kinetičke energije uveli smo razmatrajući rad neke sile koja djeluje na slobodno tijelo duž nekog puta. U daljnjem smo razmatranju ustanovili da u nekim sustavima možemo pohraniti energiju, koja se kasnije može vratiti u kinetičku. Time je pojam energije proširen na potencijalnu energiju. Uvjet za pojavljivanje potencijalne energije je postojanje unutarnjih sila u sustavu koje imaju svojstvo konzervativnosti. Kinetičku i potencijalnu energiju, koju smo ovdje obradivali, često obuhvaćamo zajedničkim nazivom mehanička energija. Sile trenja izmedu tijela i podloge po kojoj se ono giba možemo takoder smatrati unutarnjim silama ako tijelo i podlogu promatramo kao jedan sustav. Medutim, sila trenja nije konzervativna, pa ne nastaje potencijalna energija koja bi se mogla nanovo pretvoriti u kinetičku energiju tijela. Kod trenja se radi o procesima u koje su uključeni individualni atomi i molekule u dodirnim plohama tijela i podloge, a oni se razmatraju u termodinamici te se govori o toplinskoj energiji. Proučavanje toplinskih procesa ne spada u okvire ove knjige, pa ćemo ovdje samo ustvrditi da se rad sile trenja pretvara u toplinsku energiju. U mnogim mehaničkim sustavima rad dobivamo iz strojeva. Potrebno je poznavati druga područja fizike da bi se uvidjelo kako mehanički rad stroja dobivamo na račun nekog drugog oblika energije. Kod električnih strojeva, rad dobivamo iz električne energije, koja je pak prethodno stvorena nekim mehaničkim radom u elektranama. I toplinska energija može uz odredene uvjete biti iskorištena za dobivanje mehaničkog rada. Toplin-

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Rad, energija i snaga

Rad, energija i snaga Rad, energija i snaga Željan Kutleša Sandra Bodrožić Rad Rad je skalarna fizikalna veličina koja opisuje djelovanje sile F na tijelo duž pomaka x. = = cos Oznaka za rad je W, a mjerna jedinica J (džul).

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika

Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika 1. Kinematika Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika Kinematika (grč. kinein = gibati) je dio mehanike koji

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1 Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),

Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ), Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i

Διαβάστε περισσότερα

šupanijsko natjecanje iz zike 2017/2018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova)

šupanijsko natjecanje iz zike 2017/2018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova) šupanijsko natjecanje iz zike 017/018 Srednje ²kole 1. grupa Rje²enja i smjernice za bodovanje 1. zadatak (11 bodova) U prvom vremenskom intervalu t 1 = 7 s automobil se giba jednoliko ubrzano ubrzanjem

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Rotacija krutog tijela

Rotacija krutog tijela Rotacija krutog tijela 6. Rotacija krutog tijela Djelovanje sile na tijelo promjena oblika tijela (deformacija) promjena stanja gibanja tijela Kruto tijelo pod djelovanjem vanjskih sila ne mijenja svoj

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Prostorni spojeni sistemi

Prostorni spojeni sistemi Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 1. Auditorne vježbe 5. Dunja Polić. Dinamika: Newtonovi zakoni. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva

Fizika 1. Auditorne vježbe 5. Dunja Polić. Dinamika: Newtonovi zakoni. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Školska godina 2006/2007 Fizika 1 Auditorne vježbe 5 Dinamika: Newtonovi zakoni 12. prosinca 2008. Dunja Polić (dunja.polic@fesb.hr)

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Newtonov opdi zakon gravitacije

Newtonov opdi zakon gravitacije Predavanje 3 Newtonov opdi zakon gravitacije F=Gm 1 m 2 /R 2 r Jedinični vektor G=6.67 10-11 Nm 2 kg -2 gravitacijska konstanta (Sir Henry Cavendish 1798) G nije isto što i g Gravitacijska sila djeluje

Διαβάστε περισσότερα

ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)

ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Lijeva strana prethodnog izraza predstavlja diferencijalnu formu rada rezultantne sile

Lijeva strana prethodnog izraza predstavlja diferencijalnu formu rada rezultantne sile RAD SILE Sila se može tokom kretanja opisati kao zavisnost od vremena t ili od trenutnog vektora položaja r. U poglavlju o impulsu sile i količini kretanja je pokazano na koji način se može povezati kretanje

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

7. Titranje, prigušeno titranje, harmonijsko titranje

7. Titranje, prigušeno titranje, harmonijsko titranje 7. itranje, prigušeno titranje, harmonijsko titranje IRANJE Općenito je titranje mijenjanje bilo koje mjerne veličine u nekom sustavu oko srednje vrijednosti. U tehnici titranje podrazumijeva takvo gibanje

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima. M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/

Διαβάστε περισσότερα

Sustav dvaju qubitova Teorem o nemogućnosti kloniranja. Spregnuta stanja. Kvantna računala (SI) 17. prosinca 2016.

Sustav dvaju qubitova Teorem o nemogućnosti kloniranja. Spregnuta stanja. Kvantna računala (SI) 17. prosinca 2016. 17. prosinca 2016. Stanje qubita A prikazujemo vektorom φ A u Hilbertovom prostoru H A koristeći ortonormiranu bazu { 0 A, 1 A }. Stanje qubita B prikazujemo vektorom φ B u H B... Ako se qubitovi A i B

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Izradio: Željan Kutleša, mag.educ.phys. Srednja tehnička prometna škola Split

Izradio: Željan Kutleša, mag.educ.phys. Srednja tehnička prometna škola Split DINAMIKA Izradio: Željan Kutleša, mag.educ.phys. Srednja tehnička prometna škola Split Ova knjižica prvenstveno je namijenjena učenicima Srednje tehničke prometne škole Split. U knjižici su korišteni zadaci

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

ZAKONI OČUVANJA U IZOLIRANOM SUSTAVU

ZAKONI OČUVANJA U IZOLIRANOM SUSTAVU Poglavlje 6 ZAKONI OČUVANJA U IZOLIRANOM SUSTAVU U praksi se često dogada da nekoliko tijela uzajamno djeluju jedno na drugo mnogo snažnije nego što na njih djeluju druga okolna tijela. Teorijsko razmatranje

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

OPIS GIBANJA TIJELA. Poglavlje Prostor i vrijeme Pojam prostora

OPIS GIBANJA TIJELA. Poglavlje Prostor i vrijeme Pojam prostora Poglavlje 1 OPIS GIBANJA TIJELA Gibanje tijela predstavlja središnji interes mehanike. Razne vrste gibanja i uzroci koji do njih dovode tijesno su povezani. Medutim, istodobno uvodenje niza definicija

Διαβάστε περισσότερα

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE):

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE): Repetitorij-Dinamika Dinamika materijalne točke Sila: F p = m a = lim t 0 t = d p dt m a = i F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j i p ix = j p jx te i p iy = j p jy u 2D sustavu Zakon očuvanja

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

1. Vektorske i skalarne funkcije

1. Vektorske i skalarne funkcije VEKTORSKE I SKALARNE FUNKCIJE 1 1. Vektorske i skalarne funkcije 1.1. Što su to skalarne i vektorske funkcije? Ako svakoj točki u nekom dijelu prostora pridružimo broj, ili drugim riječima skalar zadali

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u diferencijalni račun

Uvod u diferencijalni račun Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta?

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 1. Auditorne vježbe 6 Rad. Energija. Snaga. Ivica Sorić. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva

Fizika 1. Auditorne vježbe 6 Rad. Energija. Snaga. Ivica Sorić. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Školska godina 008/009 Fizika 1 Auditorne vježbe 6 Rad. Energija. Snaga. 19. prosinca 008. Ivica Sorić (suri@fesb.hr) Ponavljanje

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum 16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα