1. Vektorske i skalarne funkcije
|
|
- Αελλαι Ταρσούλη
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 VEKTORSKE I SKALARNE FUNKCIJE 1 1. Vektorske i skalarne funkcije 1.1. Što su to skalarne i vektorske funkcije? Ako svakoj točki u nekom dijelu prostora pridružimo broj, ili drugim riječima skalar zadali smo jednu skalarnu funkciju ili skalarno polje. Ako točke označavamo njihovim radijus-vektorom r r = x ı + y j + z k, z T(x, y, z) r O y x onda skalarnu funkciju označavamo s U( r). Na primjer, funkcija je jedna skalarna funkcija. U( r) = U(x, y, z) = xy + z 2 + 3y + 4 Skalarna funkcija može biti definirana i u ravnini, no tada je r = x ı + y j, ili u prostoru s više od tri dimenzije. Odgovarajuće vektore možemo zapisati i kao uredene n-torke, pa se radijus-vektor u 3 dimenzije može označiti s r = (x, y, z), odnosno radijus-vektor u n-dimenzija možemo označiti s r = (x 1, x 2,...,x n ).
2 1. VEKTORSKE I SKALARNE FUNKCIJE VEKTORSKE I SKALARNE FUNKCIJE 2 Skalarne se funkcije često javljaju u fizici. Recimo, temperatura nekog tijela, gustoća, tlak, potencijal predstavljaju skalarne funkcije. Kako najlakše prikazujemo skalarna polja u dvije dimenzije? Za prikaz nam trebaju 3 varijable (x i y za domenu funkcije i U(x, y) za vrijednost funkcije). Dakle, trebali bismo crtati plohe nad ravninom xy. Umjesto toga, često je praktičnije nacrtati samo nivo-linije u dvije dimenzije. Nivo linije spajaju mjesta iste funkcijske vrijednosti U. Uobičajeno se uz nivo liniju zapisuje koja je vrijednost U-a na toj liniji. Tako, na primjer, izgledaju planinarske karte. Slično je s izotermama, izobarama,... y x U tri dimenzije, područje definicije funkcije je prostor (3 koordinate), a područje vrijednosti još jedna. Jasno je da je to nemoguće nacrtati, pa slično kao nivo linije u ovom slučaju imamo nivo plohe. Ako svakoj točki u nekom dijelu prostora pridružimo vektor zadali smo jednu vektorsku funkciju ili vektorsko polje. Vektorsku funkciju označavamo s F( r). Na primjer, F( r) = F(x, y, z) = (x 2 + y 2, xz 1) je jedna vektorska funkcija koja svakoj trojki (x, y, z) iz trodimenzionalnog prostora pridružuje jednu točku iz dvodimenzionalnog prostora. Naravno, u prethodnom smo primjeru svakoj točki iz trodimenzionalnog prostora mogli pridružiti i točku iz trodimenzionalnog prostora, recimo po pravilu F( r) = F(x, y, z) = (x 2 + y 2, xz 1, y), ili nekog drugog prostora više dimenzije. Komponente vektora koji pridružujemo su skalarne funkcije, u našem primjeru te skalarne funkcije su: F x (x, y, z) = x 2 + y 2, F y (x, y, z) = xz 1, F z (x, y, z) = y. Dakle, općenito, ako neka vektorska funkcija pridruži točkama iz nekog dijela prostora točke iz prostora, pisat ćemo F : Ω R 3, pri čemu je Ω R 3 i F(x, y, z) = (F x (x, y, z), F y (x, y, z), F z (x, y, z)).
3 1. VEKTORSKE I SKALARNE FUNKCIJE VEKTORSKE I SKALARNE FUNKCIJE 3 Ponovno, vektorske se funkcije često koriste u fizici. Tako su sile, električno polje, brzina i sl. vektorske funkcije. Grafičko prikazivanje vektorskih funkcija je teže nego prikazivanje skalarnih funkcija. Na primjer, meteorolozi koriste grafove izmjerenih brzina i (dvodimenzionalnih) smjerova vjetrova. Jedan takav prikaz izgledao bi ovako. Pritom je smjer vektora u svakoj točki smjer nacrtanog vektora, a njegova duljina odgovara brzini vjetra u toj točki. Konačno, primijetimo da je vektorska funkcija s vrijednostima u jednodimenzionalnim vektorima (skalarima!) isto što i skalarna funkcija. Prema tome, sve što pokažemo za vektorske funkcije, vrijedit će i za skalarne funkcije Parametrizacija krivulja Neka je zadana krivulja u prostoru. Svakoj točki te krivulje pridružen je njezin radijus-vektor r. Parametrizirati krivulju znači, uz neke uvjete, pronaći parametar t takav da se r može napisati kao r = r(t), tj. (x, y, z) = (x(t), y(t), z(t)). z r = r(t) y x
4 1. VEKTORSKE I SKALARNE FUNKCIJE VEKTORSKE I SKALARNE FUNKCIJE 4 Primjer Promotrimo parametrizaciju pravca u prostoru. z r s r(t) y x Pravac se može napisati kao r = r + t s, < t <. Drugačije zapisano, imamo (x, y, z) = (x, y, z ) + t(s x, s y, s z ), odnosno x = x + s x t y = y + s y t z = z + s z t. Posljednje jednadžbe predstavljaju parametarsku jednadžbu pravca. Primjer Parametrizirajmo kružnicu radijusa a sa središtem u ishodištu (u ravnini). y ϕ r = r(ϕ) a x To već znamo da je Drugačije zapisano, imamo r = (a cosϕ, a sin ϕ), ϕ < 2π. (x, y) = (a cosϕ, a sin ϕ),
5 1. VEKTORSKE I SKALARNE FUNKCIJE VEKTORSKE I SKALARNE FUNKCIJE 5 odnosno x = a cosϕ y = a sin ϕ. Posljednje jednadžbe predstavljaju parametarsku jednadžbu kružnice u ravnini. Primjer Parametrizirajmo kružnicu radijusa a u prostoru, ako ona leži u xy-ravnini, a središte joj je u ishodištu. Iz prethodnog primjera znamo da je x = a cosϕ y = a sin ϕ. parametarska jednadžba kružnice u ravnini. Dodamo li tome z koordinatu, koja je i ne ovisi o ϕ, dobili smo parametrizaciju kružnice koja leži u xy-ravnini. Dakle, x = a cosϕ y = a sin ϕ, z =. Ako po toj kružnici putuje materijalna točka koja se giba kutnom brzinom ω, onda je ϕ = ωt, pa je x = a cos(ωt) y = a sin(ωt), z =. To je jedna druga parametrizacija iste kružnice. Zadatak Napišite jednu od parametrizacija elipse Zadatak Ako je x 2 a 2 + y2 b 2 = 1. x = 2at 1 + t 2, y = a(1 t2 ) 1 + t 2, t [ 1, 1], koji dio kružnice sa središtem u ishodištu parametrizira ova parametrizacija?
6 2. DERIVACIJE VEKTORSKIH FUNKCIJA DERIVACIJE FUNKCIJA 6 2. Derivacije vektorskih funkcija 2.1. Brzina i ubrzanje Kako ćemo izračunati brzinu čestice koja se giba po zadanoj krivulji r(t)? Drugim riječima, pitanje je kako ćemo izračunati derivaciju vektorske funkcije. Napravimo slično kao kod funkcija jedne varijable. Po krivulji se maknemo za mali parametar t. z r(t) r r(t + t) y Iz definicije zbroja dva vektora vidimo da je x r = r(t + t) r(t). Brzina u točki s radijus vektorom r(t), onda je jednaka v(t) = d r(t) r = lim t t = lim t r(t + t) r(t). t Raspišemo li to u trodimenzionalnom prostoru, dobivamo d r(t) ( ) x(t + t) x(t) y(t + t) y(t) z(t + t) z(t) = lim, lim, lim t t t t t t ( dx(t) =, dy(t), dz(t) ).
7 2. DERIVACIJE VEKTORSKIH FUNKCIJA DERIVACIJE FUNKCIJA 7 Akceleracija u odgovarajućoj točki je derivacija brzine po vremenu, a(t) = d v(t) ( = d2 r(t) d 2 ) x(t) =, d2 y(t), d2 z(t) Primjer U primjeru našli smo parametrizaciju pravca u prostoru: z r s r(t) y Pravac se može napisati kao odnosno, x r = r + t s, < t <, x = x + s x t y = y + s y t z = z + s z t. Nadimo prvu i drugu derivaciju te funkcije. Derivirajmo po komponentama ( d r(t) dx(t) =, dy(t), dz(t) ) = (s x, s y, s z ) = s. Primijetimo da bi formalna primjena derivacije za funkciju r dala isto: d r(t) = d( r + t s) Za drugu derivaciju dobivamo d 2 ( r(t) d 2 ) x(t) =, d2 y(t), d2 z(t) što smo mogli dobiti i formalnim deriviranjem d 2 r(t) 2 = d s =. = s. = (,, ) =, Drugim riječima, za česticu koja se giba po zakonu r(t), brzina u svakom trenutku t je v(t) = s, a akceleracija je a(t) =.
8 2. DERIVACIJE VEKTORSKIH FUNKCIJA DERIVACIJE FUNKCIJA 8 Primjer U prethodnom primjeru promatrali smo česticu koja se giba po zakonu r = r + t s. Primijetimo da stavljanjem drugačijeg parametra t, recimo, umjesto t uvrstimo 3t ili t 2 sin t nismo izmijenili krivulju po kojoj se čestica giba. To je i nadalje pravac. Jedino što smo izmijenili su brzina i akceleracija čestice. Nadimo brzinu i akceleraciju čestice ako je r = r + (t 2 sin t) s. Očito je i d r(t) d 2 r(t) 2 = d( r + (t 2 sin t) s) = d((2t cost) s) = (2t cost) s = (2 + sin t) s Pravila deriviranja vektorskih funkcija Pravila deriviranja vektorskih funkcija ista su kao pravila deriviranja za obične skalarne funkcije. Neka su w = w(t), w 1 = w 1 (t) i w 2 = w 2 (t) vektorske funkcije u varijabli t i neka je k = k(t) skalarna funkcija u varijabli t. Derivacija zbroja (razlike) jednaka je d( w 1 ± w 2 ) = d w 1 ± d w 2. Dokaz te činjenice ide raspisivanjem vektorskih funkcija po komponentama. Dakle, neka su w 1 i w 2 vektorske funkcije, čije su vrijednosti vektori s 3 komponente, tj. w 1 (t) = (F x1 (t), F y1 (t), F z1 (t)), Onda je w 2 (t) = (F x2 (t), F y2 (t), F z2 (t)). d( w 1 (t) ± w 2 (t)) = d(f x1(t) ± F x2 (t), F y1 (t) ± F y2 (t), F z1 (t) ± F z2 (t)) ( d(fx1 (t) ± F x2 (t)) =, d(f y1(t) ± F y2 (t)), d(f ) z1(t) ± F z2 (t))
9 2. DERIVACIJE VEKTORSKIH FUNKCIJA DERIVACIJE FUNKCIJA 9 ( dfx1 (t) = ( dfx1 (t) = ± df x2(t), df y1(t) ), df y1(t), df z1(t) = d(f x1(t), F y1 (t), F z1 (t)) = d w 1(t) ± d w 2(t). ± df y2(t) ( dfx2 (t) ± ± df ) z2(t), df y2(t), df ) z2(t), df z1(t) ± d(f x2(t), F y2 (t), F z2 (t)) Ako su w 1 i w 2 i vektorske funkcije s n komponenti, dokaz ide na isti način. Derivacija produkta skalarne funkcije i vektorske funkcije jednaka je d(k w) = dk w + kd w. Dokaz ide na isti način kao i kod zbroja (razlike) dvije funkcije, raspisivanjem. Neka su komponente vektorske funkcije Tada je w(t) = (F x (t), F y (t), F z (t)). d(k w) = d(k(t)f x(t), k(t)f y (t), k(t)f z (t)) ( d(k(t)fx (t)) =, d(k(t)f y(t)), d(k(t)f ) z(t)) ( dk(t) = F x (t) + k(t) df x(t), dk(t) F y (t) + k(t) df y(t), dk(t) F z (t) + k(t) df ) z(t) ( dk(t) = F x (t), dk(t) F y (t), dk(t) ) F z (t) ( + k(t) df x(t), k(t) df y(t), k(t) df ) z(t) = dk(t) ( dfx (t) (F x (t), F y (t), F z (t)) + k(t), df y(t), df z(t) = dk(t) w(t) + k(t) d w(t). )
10 2. DERIVACIJE VEKTORSKIH FUNKCIJA DERIVACIJE FUNKCIJA 1 Konačno, treba izvesti i pravilo za derivaciju produkta vektorskih funkcija. Ali, kojeg produkta? Za vektore poznajemo dvije vrste produkta: skalarne produkte za vektore s proizvoljno mnogo komponenata i vektorski produkt za vektore u 3 dimenzije. Za skalarni produkt vektorskih funkcija s proizvoljno mnogo komponenata vrijedi d( w 1 w 2 ) = d w 1 w 2 + w 1 d w 2. Neka, kao i prije, vektorske funkcije imaju komponente w 1 (t) = (F x1 (t), F y1 (t), F z1 (t)), w 2 (t) = (F x2 (t), F y2 (t), F z2 (t)). Onda je d( w 1 (t) w 2 (t)) = d( (F x1 (t), F y1 (t), F z1 (t)) (F x2 (t), F y2 (t), F z2 (t)) ) = d(f x1(t)f x2 (t) + F y1 (t)f y2 (t) + F z1 (t)f z2 (t)) = df x1(t) F x2 (t) + F x1 (t) df x2(t) + df y1(t) F y2 (t) + F y1 (t) df y2(t) + df z1(t) F z2 (t) + F z1 (t) df z2(t) = ( dfx1 (t) = d w 1(t), df y1(t), df z1(t) ) + (F x1 (t), F y1 (t), F z1 (t)) w 2 (t) + w 1 (t) d w 2(t). (F x2 (t), F y2 (t), F z2 (t)) ( dfx2 (t), df y2(t), df ) z2(t) Konačno, ali ovaj put samo za vektore u 3 dimenzije, pa onda i za vektorske funkcije kojima su vrijednosti vektori s 3 komponente možemo definirati vektorski produkt. Za derivaciju vektorskog produkta dvije vektorske funkcije s
11 2. DERIVACIJE VEKTORSKIH FUNKCIJA DERIVACIJE FUNKCIJA 11 3 komponente vrijedi: d( w 1 w 2 ) = d w 1 w 2 + w 1 d w 2. Dokaz dobivamo raspisivanjem: d( w 1 (t) w 2 (t)) = d( (F x1 (t), F y1 (t), F z1 (t)) (F x2 (t), F y2 (t), F z2 (t)) ) = d ı j k F x1 (t) F y1 (t) F z1 (t) F x2 (t) F y2 (t) F z2 (t) = d (( Fy1 (t)f z2 (t) F z1 (t)f y2 (t) ) ı ( F x1 (t)f z2 (t) F z1 (t)f x2 (t) ) j + ( F x1 (t)f y2 (t) F y1 (t)f x2 (t) ) k ) = d ( Fy1 (t)f z2 (t) F z1 (t)f y2 (t), = = ( dfy1 (t) F x1 (t)f z2 (t) + F z1 (t)f x2 (t), + F x1 (t)f y2 (t) F y1 (t)f x2 (t) ) F z2 (t) + F y1 df z2 (t) df x1(t) df z2 (t) F z2 (t) F x1 + df x1(t) df y2 (t) F y2 (t) + F x1 ı j k df y1 (t) df x1 (t) df z1 (t) F x2 (t) F y2 (t) F z2 (t) = d w 1(t) + w 2 (t) + w 1 (t) d w 2(t). df z1(t) + df z1(t) df y2 (t) F y2 (t) F z1, df x2 (t) F x2 (t) + F z1, df ) y1(t) df x2 (t) F x2 (t) F y1 ı j k F x1 (t) F y1 (t) F z1 (t) df x2 (t) df y2 (t) df z2 (t) Primjer U primjeru parametrizirali smo dva gibanja po kružnici: r(ϕ) = (a cosϕ, a sin ϕ, ) i r(t) = (a cos(ωt), a sin(ωt), ) Izračunajmo brzinu i akceleraciju točke koja se giba po tim zakonima.
12 2. DERIVACIJE VEKTORSKIH FUNKCIJA DERIVACIJE FUNKCIJA 12 U prvom slučaju imamo a u drugom i da vrijedi v(ϕ) = d r(ϕ) dϕ a(ϕ) = d v(ϕ) dϕ v(t) = d r(t) a(t) = d v(t) Primijetimo da je u drugom slučaju = ( a sin ϕ, a cosϕ, ) = ( a cosϕ, a sin ϕ, ), = ( aω sin(ωt), aω cos(ωt), ) = ( aω 2 cos(ωt), aω 2 sin(ωt), ). a = ω 2 r v(t) r(t) = a 2 ω sin(ωt) cos(ωt) + a 2 ω sin(ωt) cos(ωt) =, v(t) a(t) = a 2 ω 3 sin(ωt) cos(ωt) a 2 ω 3 sin(ωt) cos(ωt) =. Prema tome, zaključujemo da je v r, a za bilo koju konstantnu kutnu brzinu ω. Primjer Parametrizirajmo krivulju koja se nalazi na presjeku sfere x 2 + y 2 + z 2 = 4 i plašta valjka (plašt = vanjska ljuska valjka) (x 1) 2 + y 2 = 1 unutar prvog oktanta. Nacrtajmo presjek sfere i plašta valjka,
13 2. DERIVACIJE VEKTORSKIH FUNKCIJA DERIVACIJE FUNKCIJA 13 pri čemu je žuto označena presjecišna krivulja. Ako izdvojimo samo tu krivulju, ona izgleda ovako: Parametrizirajmo prvo sferu. Ako upotrijebimo polarne koordinate za parametrizaciju u xy-ravnini (pišemo ρ umjesto uobičajenog r da ne pomiješamo s radijus vektorom), onda je x = ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ. Ostaje još parametrizirati z koordinatu sfere. Uvrštavanjem x i y u jednadžbu sfere, dobivamo ρ 2 cos 2 ϕ + ρ 2 sin 2 ϕ + z 2 = 4, odnosno z 2 = 4 ρ 2. Budući da nas zanima samo prvi oktant, tamo je z, pa je z = 4 ρ 2. Sada još treba parametrizirati i plašt valjka. Napišimo njegovu jednadžbu u polarnim koordinatama. Imamo (ρ cosϕ 1) 2 + ρ 2 sin 2 ϕ = 1 ρ 2 cos 2 ϕ 2ρ cosϕ ρ 2 sin 2 ϕ = 1 ρ 2 cos 2 ϕ 2ρ cosϕ + ρ 2 sin 2 ϕ = ρ 2 = 2ρ cosϕ. Budući da ρ ne može biti jednak, možemo lijevu i desnu stranu skratiti s ρ, pa dobivamo ρ = 2 cosϕ. Uvrštavanjem tog ρ u parametriziranu jednadžbu sfere, dobivamo x = ρ cosϕ = 2 cos 2 ϕ y = ρ sin ϕ = 2 sinϕcosϕ z = 4 ρ 2 = 4 4 cos 2 ϕ = 2 sin 2 ϕ = 2 sin ϕ.
14 2. DERIVACIJE VEKTORSKIH FUNKCIJA DERIVACIJE FUNKCIJA 14 Ponovno, predznak pri vadenju korijena uzeli smo plus, jer je krivulja u 1. oktantu. Nadalje, treba još vidjeti za koje parametre ϕ dobivamo jednadžbu presjeka. Ako promatramo tlocrt valjka, to je polukružnica u prvom kvadrantu, sa središtem u točki (1, ). y 1 x Prema tome ϕ π 2. Dakle, r(ϕ) = (2 cos 2 ϕ, 2 sin ϕ cosϕ, 2 sin ϕ), ϕ π 2. Krivulju smo mogli parametrizirati i na drugi način. Iz jednadžbe plašta valjka slijedi da je y 2 = 1 (x 1) 2, a onda je (zbog prvog kvadranta) y = 1 (x 1) 2. Uvrstimo li sad x i y u jednadžbu sfere, dobivamo pa je (zbog prvog oktanta) Takoder je odmah vidljivo da je Prema tome, parametrizacija glasi z 2 = 4 x 2 y 2 = 4 x 2 ( 1 (x 1) 2) = 4 x x 2 2x + 1 = 4 2x, z = 4 2x. x 2. r(x) = (x, 1 (x 1) 2, 4 2x), x 2. Zadatak Za parametrizacije iz prethodnog zadatka, izračunajte d r dϕ, d2 r d r dϕ2, dx, d2 r dx 2.
15 2. DERIVACIJE VEKTORSKIH FUNKCIJA DERIVACIJE FUNKCIJA 15 Primjer Uslijed djelovanja sile, čestica se giba po zakonu r(t) = (cost, sin t, t), gdje t predstavlja vrijeme. Ako sila prestane djelovati u trenutku t = π, gdje će se 2 čestica nalaziti u trenutku t = π. Čestica se giba po ovakvoj spirali Brzinu čestice (ovisno o t) dobit ćemo deriviranjem v(t) = d r = ( sin t, cost, 1). Označimo s ( ) ( π r := r = cos π 2 2, sin π 2, π ) ( =, 1, π ) 2 2 ( ) π v := v = ( sin π 2 2, cos π ) 2, 1 = ( 1,, 1). Kad sila prestane djelovati, čestica će se od točke r gibati po pravcu u smjeru v i s tom brzinom. Budući da je vrijeme prestanka djelovanje sile bilo t = π 2, onda r mjerimo relativno, obzirom na trenutak kada je počelo gibanje po pravcu u trenutku t. Dakle, r(t) = r + U trenutku t = π, položaj čestice je r(π) = ( t π ) ( v =, 1, π ) ( + t π ) ( 1,, 1) (, 1, π ) + π ( 2 2 ( 1,, 1) = π ) 2, 1, π.
16 2. DERIVACIJE VEKTORSKIH FUNKCIJA DERIVACIJE FUNKCIJA Derivacija skalarne funkcije U( r) po krivulji r(t) Neka je U( r) zadano skalarno polje, ili skalarna funkcija od tri varijable x, y i z. Dakle, U( r) = U(x, y, z). Ako smo r parametrizirali parametrom t, onda su s t parametrizirane i varijable x = x(t), y = y(t) i z = z(t). Prema tome, derivacija du nije ništa drugo nego primjena lančanog pravila za deriviranje: du = U dx x + U dy y + U ( dz U z = x, U y, U ) ( dx z, dy, dz ). Pritom je nabla ) oznaka za skalarni produkt. Ako označimo (ovaj operator čitamo = ( x, y, ), z i uočimo da je druga zagrada u skalarnom produktu jednaka d r, onda možemo deriviranje i skraćeno zapisati kao: du = U d r. Uočimo da je u prethodnoj formuli U ovisna samo o funkciji (polju), a d r samo o krivulji. Nadalje, ako je norma vektora d r jednaka 1, tj. ako je formulom definirali smo derivaciju u smjeru vektora d r. d r = 1, prošlom Uobičajeno je označiti s = d r. Onda je jedinični vektor u smjeru vektora s jednak s = s s, a usmjerena derivacija u smjeru vektora s često se označava i s du ds. U terminima
17 2. DERIVACIJE VEKTORSKIH FUNKCIJA DERIVACIJE FUNKCIJA 17 vektora s, usmjerenu derivaciju možemo zapisati i kao du ds = U s s = U s. Diferencijal polja U definiran je formulom du = U d r. Odatle dobivamo jedno važno svojstvo. Ako imamo nivo plohu skalarnog polja, tj. ako je U = const, onda je diferencijal te funkcije jednak. S druge strane, d r je u nivo plohi. Iz du = U d r odmah slijedi da je lijeva strana na nivo plohi jednaka. Prema tome vektori U i d r su okomiti. Kako je d r u nivo plohi, odmah slijedi da je U okomit na nivo plohu. Iz formule o usmjerenoj derivaciji, zato što je skalarni produkt, izlazi du ds = U s = U s cos ( U, s ) = U cos ( U, s ), što slijedi iz činjenice da je s jedinični vektor. Derivacija u smjeru vektora s biti će maksimalna, ako s ima smjer U, jer je onda cos ( U, s ) = 1. Prema maksimalna moguća vrijednost za du ds, je max du ds = U. Primjer Zadano je skalarno polje i krivulja (bolje rečeno pravac) Izračunajte du i du ds. U(x, y, z) = 2x + y + z 2 r(t) = r + (1, 1, 1)t.
18 2. DERIVACIJE VEKTORSKIH FUNKCIJA DERIVACIJE FUNKCIJA 18 Nadalje, Očito je U = (2, 1, 2z), d r = (1, 1, 1). s = d r = (1, 1, 1), s = = 3, s = 1 3 (1, 1, 1). Onda je du = (2, 1, 2z) (1, 1, 1) = z 1 = 2z + 3 du ds = (2, 1, 2z) 1 3 (1, 1, 1) = 1 (2z + 3) = 2z Primjer Treba naći jediničnu normalu na površinu u točki T(1, 1, 2). x 2 + y 2 z = Prisjetimo se činjenice da je U okomit na nivo plohu u zadanoj točki. Prema tome, treba odrediti U u točki T (oznaka U T ), a zatim normirati dobiveni vektor. Primijetimo da je x 2 + y 2 z = jedna od nivo površina funkcije U(x, y, z) = x 2 + y 2 z U = (2x, 2y, 1), U T = U (1,1,2) = (2, 2, 1), n = U T U T = (2, 2, 1) = 1 ( 2 3 (2, 2, 1) = 3, 2 ) 3, 1. 3
19 3. INTEGRALI SKALARNIH I VEKTORSKIH FUNKCIJA INTEGRALI FUNKCIJA Integrali skalarnih i vektorskih funkcija 3.1. Integral skalarne funkcije U( r) po krivulji r(t) Zadana je krivulja po kojoj želimo integrirati polje U. z A d r B y x Ako krivulju podijelimo u infinitezimalno male komadiće luka, i izvršimo parametrizaciju varijablom t, onda je B t B d r(t) U( r) d r = U( r(t)). A t A Primjer Nadite duljinu luka spirale od t = do t = 2π. r(t) = (cost, sin t, t) Primijetimo da je formula za integral po krivulji zbrajala funkciju U po malim djelićima luka. Ako za funkciju stavimo U = 1, onda će integral po krivulji
20 3. INTEGRALI SKALARNIH I VEKTORSKIH FUNKCIJA INTEGRALI FUNKCIJA 2 dati baš duljinu luka Dakle, d = = B A 2π d r = 2π d r 2π = ( sin t, cost, 1) sin 2 t + cos 2 t = 2π 2π 2 = 2t = 2π Integral vektorske funkcije F( r) po krivulji r(t) Zadana je krivulja po kojoj želimo integrirati vektorsko polje F. U svakoj točki luka, polje F je vektor, pa imamo z F( r) A d r B y x Ako krivulju podijelimo u infinitezimalno male komadiće luka, i izvršimo pa-
21 3. INTEGRALI SKALARNIH I VEKTORSKIH FUNKCIJA INTEGRALI FUNKCIJA 21 rametrizaciju varijablom t, onda je B A F( r) d r = t B t A F( r(t)) d r(t). Primjer Izračunajte rad sile F(x, y, z) = (y, 2x, z) po luku spirale r(t) = (cost, sin t, t), t 2π. Prvo parametrizirajmo funkciju F, tako da uvrstimo x = cost, y = sin t i z = t iz parametarske jednadžbe spirale a zatim pronadimo B A F( r(t)) = (sin t, 2 cost, t), d r(t) Rad sile po zadanoj spirali jednak je F( r) d r = = = 2π 2π 2π = ( sin t, cost, 1). (sin t, 2 cost, t) ( sin t, cost, 1) = ( (1 cos 2 t) + 2 cos 2 t + t) = ( ) 2 (cos(2t) + 1) + t = 2π 2π ( 1 = 2 t sin(2t) + 1 ) 2π 2 t2 = π + 2π 2. 2π ( sin 2 t + 2 cos 2 t + t) ( cos 2 t + t) ( ) 2 cos(2t) + t
22 3. INTEGRALI SKALARNIH I VEKTORSKIH FUNKCIJA INTEGRALI FUNKCIJA Konzervativna vektorska polja Za vektorsko polje F reći ćemo da je konzervativno ako je integral tog polja po svakoj zatvorenoj krivulji K (cirkulacija) jednak. Oznaka znači samo da se radi o zatvorenoj krivulji, tj. ako je K F d r =. K Ova činjenica za sobom povlači još neke relacije. Ako imamo konzervativno polje, onda je integral funkcije F po bilo kojem putu jednak, tj. ovisi samo o početnoj i konačnoj točki. Obrazloženje te činjenice je vrlo jednostavno. Nacrtajmo bilo koja dva puta K 1 i K 2. B K 1 K 2 Iskoristimo li očitu činjenicu da je F d r = F d r K 2 K 2 i činjenicu da je polje konzervativno, dobivamo F d r + F d r = F d r F d r =, K 1 K 2 K 1 K 2 što drugačije zapisujemo kao A F d r = F d r. K 1 K 2 Budući da u konzervativnom polju integral ne ovisi o putu, onda se vrlo često
23 3. INTEGRALI SKALARNIH I VEKTORSKIH FUNKCIJA INTEGRALI FUNKCIJA 23 koristi oznaka koja ističe samo krajnje točke puta B A F d r Potencijalna vektorska polja Za vektorsko polje F reći ćemo da je potencijalno ako postoji skalarno polje U takvo da je F = U. Postoji veza izmedu potencijalnih i konzervativnih polja. Polje je konzervativno ako i samo ako je potencijalno. Dokaz: Dokažimo obje implikacije. Prvo pokažimo da ako je polje potencijalno, ono je i konzervativno. Dakle, neka postoji U takav da je F = U i neka je K put koji spaja proizvoljnu točku A i s proizvoljnom točkom B. Ako dokažemo da taj integral ne ovisi o putu, onda je polje konzervativno. Imamo B A F d r = t(b) t(a) U(t) d r(t) = t(b) t(a) du(t) = U(B) U(A). S druge strane, ako je polje konzervativno, onda je integral izmedu proizvoljne točke i T označimo s U := T F d r. Diferenciranjem izlazi du = F d r. S druge strane, znamo da je du = U d r,
24 3. INTEGRALI SKALARNIH I VEKTORSKIH FUNKCIJA INTEGRALI FUNKCIJA 24 a budući da to mora vrijediti za svaku točku T, zaključujemo da je U = F, pa je polje potencijalno. Primjer Je li polje konzervativno polje? F(x, y, z) = (2x + y, x, 2z) Najlakše je pokazati da postoji potencijal U takav da je ( U F = U = x, U y, U ). z Dakle, usporedivanjem komponenti U i F zaključujemo: U x = 2x + y, U y = x, U z = 2z. Od te tri jednadžbe, izaberemo jednu, koju integriramo. Ne zaboravimo da ako integriramo po, recimo varijabli x, ostale varijable smatramo konstantnima. Integrirajmo prvo derivaciju po x: U(x, y, z) = (2x + y) dx = x 2 + xy + c(y, z). Primijetimo da bilo koja funkcija c 1 (y, z) kad je deriviramo po x daje. Funkciju c(y, z) odredujemo iz preostale dvije derivacije. Deriviranjem dobivene funkcije U(x, y, z) po y izlazi Usporedivanjem s dobivamo odnosno Odatle izlazi da je U y c(y, z) = x +. y x = x + U y = x, c(y, z) y c(y, z), y =. c(y, z) = dy = c(z), tj. funkcija c je samo funkcija varijable z, pa vrijedi U(x, y, z) = x 2 + xy + c(z).
25 3. INTEGRALI SKALARNIH I VEKTORSKIH FUNKCIJA INTEGRALI FUNKCIJA 25 Deriviranjem te funkcije po z i usporedivanjem s dobivamo Odatle odmah slijedi da je c(z) = U z = 2z, U z = dc dz = 2z. 2z dz = z 2 + k, k konstanta, pa je U(x, y, z) = x 2 + xy + z 2 + k potencijal zadanog vektorskog polja, pa zaključujemo da je polje konzervativno. Primijetite da potencijal možete odrediti do na konstantu.
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραAlgebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske
Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.
Διαβάστε περισσότερα6. Poopćenja Newton Leibnizove formule
STOKES 5 6. oopćenja Newton Leibnizove formule 6.. Još neki važni operatori Doasad smo naučili operator ili grad, koji od skalarnog polja radi vektorsko polje: ( U gradu U(x, y, z) x,, ). z Sada ćemo upoznati
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραGauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija i linearna algebra
1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα6. Redovi potencija. a 0 + a 1 (z z 0 ) + a 2 (z z 0 ) a n (z z 0 ) n +, (6.0.1)
REDOVI POTENCIJA 3 6. Redovi potencija Rekli smo da je funkcija f analitička na nekom skupu R ako ona ima derivaciju u svakoj točki R i ako je ta derivacija neprekidna funkcija. Tipične primjere analitičkih
Διαβάστε περισσότεραSkalarni umnozak vektora je skalar: a b = a b cos ϕ ; ϕ kut izmedju vektor a i b.
5. VEKTORI U PROSTORU 5. Opcenito o vektorima a Jedinicni vektor (ort) je vektor sa intenzitetom. a a a Zbroj dva vektora je vektor: a+ b c. Graficki, zbroj se dobije ulancavanjem dva vektora. Na kraj
Διαβάστε περισσότεραUvod u diferencijalni račun
Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta?
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραVektorska analiza doc. dr. Edin Berberović.
Vektorska analiza doc. dr. Edin Berberović eberberovic@mf.unze.ba Vektorska analiza Vektorska algebra (ponavljanje) Vektorske funkcije (funkcije sa vektorima) Jednostavna analiza (diferenciranje) Učenje
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραSVEUČILIŠTE U RIJECI POMORSKI FAKULTET PRIMJENA MATEMATIČKIH ALATA U ELEKTROTEHNICI SKRIPTA ZA VJEŽBE
SVEUČILIŠTE U RIJECI POMORSKI FAKULTET PRIMJENA MATEMATIČKIH ALATA U ELEKTROTEHNICI SKRIPTA ZA VJEŽBE Sadržaj DVOSTRUKI INTEGRALI TROSTRUKI INTEGRALI 3 VEKTORSKA ANALIZA 4 KRIVULJNI INTEGRALI 34 5 PLOŠNI
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότεραVektori. 28. studenoga 2017.
Vektori 28. studenoga 2017. 1 / 42 Skalarna veličina: veličina odredena samo jednim (realnim) brojem ili skalarom npr. skalarne veličine su udaljenost, masa, površina, volumen,... Vektorska veličina: veličina
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. kolokviji. Sadržaj
Matematika kolokviji Sadržaj. kolokvij, 2..2004.............................................. 2. kolokvij, 2..2004.............................................. 3 2. kolokvij, 7.2.2004..............................................
Διαβάστε περισσότεραFunkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:
4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραAB rab xi y j. Formule. rt OT xi y j. xi y j. a x1 i y1 j i b x2 i y 2 j. Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y)
Formule Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y) r xi y j r T0 T rt x y 1 x y xi y j Radijvektor u koordinatnoj ravnini koji pripada točki T(x,y) rt OT xi y j Vektor AB ako su: AB rab ( x x1 )i ( y y1
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.
Διαβάστε περισσότεραProstorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραIvan Slapničar MATEMATIKA 3. Radna verzija. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje. Split, 2016.
Ivan Slapničar MATEMATIKA 3 Radna verzija http://www.fesb.unist.hr/mat3 Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, 216. Ova skripta nastala su na osnovi suradnje Ministarstva znanosti
Διαβάστε περισσότερα5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA
5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 8 5 poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA U ovom poglavlju: Derivacija po definiciji, tablica deriviranja Derivacija zbroja, razlike, produkta i kvocijenta
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA /2012.
MATEMATIKA 2 2011./2012. 1 MATEMATIKA 2 1 MATEMATIKA 2 2 MATEMATIKA 2 3 MATEMATIKA 2 4 2 ρ O 0 1 ϕ T=(ϕ,ρ) MATEMATIKA 2 5 MATEMATIKA 2 6 z z T'' 1 O ϕ ρ T=(ϕ,ρ,z) T'=(ϕ,ρ) Π z z z0 T'' 0 z0=z0 ravnina
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότερα8 Tangencijalna ravnina plohe
8 Tangencijalna ravnina plohe Sferu kao plohu pokrili smo sa šest, odnosno sa dvije karte u Primjeru 2. Dakle, općenito, neka točka sfere ležat će u slikama od više karata. Proučimo stoga što se dogada
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραIntegrali Materijali za nastavu iz Matematike 1
Integrali Materijali za nastavu iz Matematike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 202/3 / 44 Definicija primitivne funkcije i neodredenog integrala Funkcija F je primitivna funkcija (antiderivacija)
Διαβάστε περισσότερα1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.
1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)
Διαβάστε περισσότεραSignali i sustavi Zadaci za vježbu. III. tjedan
Signali i sustavi Zadaci za vježbu III. tjedan 1. Neka je kontinuirani kompleksni eksponencijalni signal. Neka je diskretni eksponencijalni signal dobiven iz kontinuiranog signala uniformnim otipkavanjem
Διαβάστε περισσότεραMehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika
1. Kinematika Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika Kinematika (grč. kinein = gibati) je dio mehanike koji
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραk a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραf(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)
Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0
Διαβάστε περισσότερα