ΘΕΜΑ Α (25 Μονάδες) Α1). Αν p(x) μία πολυωνυμική συνάρτηση, τότε να δείξετε ότι lim

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΜΑ Α (25 Μονάδες) Α1). Αν p(x) μία πολυωνυμική συνάρτηση, τότε να δείξετε ότι lim"

Ζηνοβία Μεταξάς
4 χρόνια πριν
Προβολές:

ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ 3 ΩΡΩΝ ΝΙΚΟΣ ΤΟΥΝΤΑΣ Ονοματεπώνυμο: ΒΑΘΜΟΣ:. /00 ή. /0 ΘΕΜΑ Α 5 Μονάδες) Α). Αν px) μία πολυωνυμική συνάρτηση, τότε να δείξετε ότι px) pxo). Μονάδες 4) Α). Έστω f μία συνάρτηση.

2 ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ 3 ΩΡΩΝ ΝΙΚΟΣ ΤΟΥΝΤΑΣ Ονοματεπώνυμο: ΒΑΘΜΟΣ:. /00 ή. /0 ΘΕΜΑ Α 5 Μονάδες) Α). Αν px) μία πολυωνυμική συνάρτηση, τότε να δείξετε ότι px) pxo). Μονάδες 4) Α). Έστω f μία συνάρτηση. Να αναφέρετε τι εννοούμε όταν γράφουμε fx) +. Μονάδες 4) Α3). Α) Να χαρακτηρίσετε με Σ) αν είναι σωστός ή με Λ) αν είναι λάθος κάθε ένας από τους παρακάτω ισχυρισμούς: Ι) Αν f μία συνάρτηση και f x) 0 τότε ισχύει ότι fx) 0. Μονάδες ) ΙΙ) Έστω μία συνάρτηση f. Αν fx) λ τότε υποχρεωτικά ορίζεται το όριο κοντά στο xo από μικρότερες τιμές και ισούται με fx) λ με λ R. Μονάδες ) Β) Να αιτιολογήσετε καθεμία από τις απαντήσεις στο α) ερώτημα. Μονάδες 3Χ6) Α4). Να χαρακτηρίσετε με Σ) αν είναι σωστός ή με Λ) αν είναι λάθος καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις: κ α) Αν υπάρχει το όριο της f στο xo τότε fx) k fx) β) Αν υπάρχει το όριο της f στο xo και ισούται με fx) ± τότε 0. χ xo χ xo fx), κ N {} εφόσον fx) 0 κοντά στο xo. γ) Αν υπάρχει το όριο της f στο xo και ισούται με fx) τότε fx)) +. δ) Αν υπάρχει το χ xo fx) τότε αυτό είναι μοναδικό. ε) Το όριο μίας πολυωνυμικής συνάρτησης στο + ισούται με +. στ) Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων f: R R, g: R R αν χ xo fx) 0, χ xo gx) + τότε χ xo fx) + gx)) 0. ζ) Αν υπάρχει το όριο της f στο xο και χ xo fx) 0 τότε χ xo fx) 0. Μονάδες 7Χ7) []

3 ΘΕΜΑ Β 5 Μονάδες) Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g: Α R h: Α R. Επίσης δίνεται η συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει ότι: - hx) fx) gx) για κάθε x [,0]. - gx) fx) hx) για κάθε x [0,]. -fx) gx) για κάθε x [, + ). -fx) hx) για κάθε x, ]. hx) - gx) Β). Να βρείτε το Α και να αναφέρετε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων g,h. Μονάδες,5) Β). Να υπολογίσετε τα όρια: x fx), x fx), x 0 fx). Μονάδες Χ33) B3). Να υπολογίσετε τα όρια: B4). Αν f8x+4)+ x x+ Β5). Να υπολογίσετε τα όρια: gx) g x)+ x g x) 4 ) τότε να υπολογίσετε το όριο: ημfx) ) x f x) fx)+ ), f x) fx) fx)). Μονάδες 3+36) f8x+4)+ )3 x x+ ). Μονάδες 5) ), x lnefx) + ) fx)). Μονάδες 3+36) Β6). Να υπολογίσετε το όριο: x lnx ) ΘΕΜΑ Γ 5 Μονάδες) x ημ fx) )). Μονάδες 3,5) Έστω η συνάρτηση fx) x αx+α α x+ α ) x α ) για κάθε x R {α, α, α }. Γ). Να υπολογίσετε το όριο x α fx) για τις διάφορες τιμές του α R. Μονάδες 5) Αν για την συνάρτηση f ισχύει ότι α τότε: []

4 Γ). Να υπολογίσετε το όριο: fx) βxν +γxμ +δ x x ) με β + γ + δ 0, μ, ν N και ν μ Μονάδες 4) Έστω και οι συναρτήσεις g, h: R R με gx) 00 για κάθε x R. Γ3). Αν hx) gx) τότε να δείξετε ότι: hx) + gx)) 0 και fx) gx)) 0. Μονάδες 8) Γ4). Να δείξετε ότι: h x) + g x)) 0 και fx) gx). Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δ 5 Μονάδες) Μία εταιρία κυκλοφορεί μόνο ένα συλλεκτικό μοντέλο αυτοκινήτου του οποίου η αξία του διαρκώς αυξάνεται με την πάροδο του χρόνου. Η αξία του αυτοκινήτου δίνεται από την συνάρτηση ft) σε εκατοντάδες χιλιάδες ευρώ, όπου t ο χρόνος σε δεκαετίες που περνάει μετά την κυκλοφορία του αυτοκινήτου με t 0. Για την f ισχύει ότι: ft) f4) t 4 και ft) f) 4 και f0). t Αν ft) τότε: t ω [ 3t+3t Δ). Να αποδείξετε ότι ft) { +3α +)]+4 ω [ t+ 4 α +4 e )] ω+ +3t ω για κάθε t R {0,,4} και α N t+ t+t, t 0,),4) με f0), f) 4, f4) 8. Μονάδες 9) +, t 4, + ) Δ). Να βρείτε την τιμή του αυτοκινήτου: α) μόλις κυκλοφόρησε, β) «προσεγγιστικά» δύο ημέρες μετά την κυκλοφορία του. Πως ερμηνεύετε το αποτέλεσμα του β) ερωτήματος; Μονάδες 0,5+33,5) Δ3). Να υπολογίσετε το ft). Πως ερμηνεύετε το αποτέλεσμα; Μονάδες +0,5,5) t + Έστω η συνάρτηση g: [0, + ) R. Αν ft) 0 για κάθε t 0 και gt) ft) ) 4ft) για κάθε t 0 τότε: Δ4). Να υπολογίσετε το όριο: gt). Μονάδες 4) t + t 00 gt) t+00 Δ5). Αν ισχύει ότι t 00 t 00 Επιμέλεια: Νίκος Τούντας k R τότε να δείξετε ότι: gt) 00. t 00 Μονάδες 6) [3]

5 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α). Α). Α3). Α). Ι) ΣΩΣΤΟ ΙΙ) ΛΑΘΟΣ Β) Ι) Ισχύει για κάθε χ του πεδίου ορισμού της f η σχέση fx) fx) fx) f x) fx) f x) άρα από κριτήριο παρεμβολής χ χο fx) 0. [4]

6 ΙΙ) Μπορεί η συνάρτηση να μην ορίζεται κοντά στο χο από μικρότερες τιμές δηλαδή το όριο χ χο fx) να μην είναι καλά ορισμένο. Για παράδειγμα αν fx) x τότε το όριο στο 0 δεν είναι καλά ορισμένο ενώ χ 0 fx) 0. Α4). α) ΣΩΣΤΟ ε) ΛΑΘΟΣ β) ΣΩΣΤΟ στ) ΛΑΘΟΣ γ) ΣΩΣΤΟ ζ) ΣΩΣΤΟ δ) ΣΩΣΤΟ ΘΕΜΑ Β Β). Από την γραφική παράσταση ισχύει ότι Α, ), ), + ). Από την γραφική παράσταση ισχύει ότι gα) R και hα) R. Β). gx) hx) άρα από κριτήριο παρεμβολής fx) x x x gx) hx) άρα από κριτήριο παρεμβολής fx) x x x x 0 gx) hx) 0 άρα αφού hx) fx) gx) για κάθε x [,0] και gx) fx) hx) για κάθε x [0,] x 0 και με βάση την γραφική για x 0: gx) hx) τότε fx) gx) hx) άρα x fx) 0. Β3). Για x κοντά στο - από την γραφική ισχύει ότι gx) άρα: gx) g x) + x g x) ) 4 x gx) + ) gx) ) x g x) ) 4 x gx) g x) + g x) ) gx) g x) + x g 4 x) ) 4 gx) + ) gx) ) gx) )gx) + ) gx) + ) x gx) + ) + 3 Επειδή fx) gx) για κάθε x [, + ) και gx) + τότε fx) + f x) fx) fx)) f x) fx) + fx)) f x) fx) fx)) ) f x) fx) + fx) [5]

7 f x) fx) f x) f x) fx) + fx) ) f x) fx) f x) f x) fx) ) + fx) ) B4). fx) fx) fx) + fx) ) f8x+4)+ )3 x x+ fx) fx) fx) + ) ) ) f8x + 4) + f8x+4)+ x ) ) ) x+ fx) + ) ΘΕΤΩ 8x + 4 ω κοντά στο - και x ω άρα ω. 8x + 4 ω x ω 4 8 άρα η ) γίνεται: x fω) + fω)+ ) ω ) x fω) + ) 8 fω)+ ) ω+ Β5). x ημfx) ) f x) fx)+ ) ημfx) ) x fx) Γιατί με αλλαγή μεταβλητής εύκολα δείχνουμε ότι )fx)+)) ημfx) ) x fx) ) x ημfx) ) fx) ) Επειδή fx) hx) για κάθε x, ] και gx) τότε fx) x x fx)+ ) efx) x lnefx) + ) fx)) x lnefx) + ) lne fx) ) ln + )) x e fx) ln x efx) + efx))) fx) u, u ) ln u eu + eu)) + Αφού u eu + eu ) +. Β6). x lnx ) x ημ )) fx) 0 Γιατί lnx ) x ημ fx) ) lnx ) x ημ ) fx) lnx ) Άρα lnx ) lnx ) x ημ fx) ) lnx ) Άρα από κριτήριο παρεμβολής εύκολα δείχνεται το ζητούμενο. [6]

8 ΘΕΜΑ Γ Γ). Αν α 0: x αx+α α ) x ) x a x+ α x α ) x 0 x+ x ) x 0 x x+ x ) ) x 0 x+ ) Αν α > 0: x α x αx+α α x+ α x α ) ) x α x αx+α α x+ α) x α ) ) x α x αx+α α) x αx+α +α) x+ α) x α ) x αx+α +α) ) x α x αx+α α x+ α) x α ) x αx+α +α) ) x α x α Αν α < 0: x α x αx+α α x+ α x α ) ) x αx+α x+ α) x α ) x αx+α +α) ) x α x a) x+ α) x α ) x αx+α +α) ). x a x + α) x αx + α + α) ) 0 a + a) 0 x α Γ). Ισχύει ότι fx) x x+ x x ). x fx) x ισούται με μηδέν. x x+ x x ) α α x+ α x α ) ) fx) βxν +γxμ +δ x x x α x α x+ α x α ) ) α α α α) ) 0 β + ν )β + γ)) 0 γιατί 0 γιατί από Γ αν α>0 τότε το όριο ισούται με μηδέν αρά και για α Επειδή ν μ τότε ισχύει ότι ν μ + ή ν μ. ΣΧΗΜΑ Horner: Αν ν > μ: β γ δ Ρ * β β+γ..β+γ β+γ β β+γ β+γ β+γ β+γ+δ0 Άρα βx ν + γx μ + δ x )βx ν + β + γ)x ν + β + γ)x ν 3 + ) +γxμ +δ x βxν x Ομοίως αν ν < μ. ) x )βxν +β+γ)xν +β+γ)xν 3 + ) x x x βx ν + β + γ)x ν + β + γ)x ν 3 + )) β + ν )β + γ) ) [7]

9 Γ3). hx) gx) hx) gx) + ) 0 hx)+gx) gx) ) 0 ΘΕΤΩ kx) hx)+gx) gx) kx) gx) hx) + gx) κοντά στο + kx) 0 Άρα hx) + gx) kx) gx) 00 kx) Άρα 00 kx) hx) + gx) 00 kx) άρα από κριτήριο παρεμβολής hx) + gx)) 0. Επίσης fx) gx) fx) gx) 00 fx) Άρα 00 fx) fx) gx) 00 fx) x + x + fx) x ) x x ) x ) x x ) x x + x x ) x x ) Άρα από κριτήριο παρεμβολής ισχύει: fx) gx)) 0. Γ4). Έχουμε hx) + gx)) 0 οπότε: ) x + x x 0 x ) ) hx) + gx)) 0 h x) + hx)gx) + g x)) 0 ΘΕΤΩ kx) h x) + hx)gx) + g x) h x) + g x) kx) hx)gx) κοντά στο +. kx) 0 Άρα h x) + g x)) kx) hx)gx)) Έχουμε ότι g x) h x) + g x) οπότε: g x) h x) + g x) gx) h x) + g x) Άρα από κριτήριο παρεμβολής gx) 0 fx). h x) + g x) gx) h x) + g x) [8]

10 ΘΕΜΑ Δ Δ). Αν t 0, ), 4): ft). t ω [ 3t+3t α +3α +)]+4 ω [ t e )] ω+ +3t ω α 4 ω [ t 4 )ω [ 3t+3t +3α +)]+ t e )] 4 ω +3t ω. 4 ω [ t 4 )ω [ 3t+3t +3α +)]+ t+ 4 4 ω [+3 t 4 )ω ] +4 e α )]. α t 4 )ω [ 3t+3t +3α +)]+ t e ) +3 t 4 )ω. α t e ) t+ + e α ) Αν t > 4:.ft).. t ω [ 3t+3t t ω [ 3t+3t t ω [ 3t+3t α +3α +)]+4 ω [ t e )] ω+ +3t ω α +3α +)+ 4 t )ω [ t e )]] 4 ω +3t ω +3α +)+ 4 t )ω [ t e t ω [ 4 t )ω +3] α )]] [9]

11 . 3t+3t +3α +)+ 4 t )ω [ t+ 4 4 t )ω e α )]. 3t+3t +3α +) t+t + α + ) 3 ΙΣΧΥΕΙ ΟΤΙ: t ft) 4 t+ t e α α 0 α ΓΙΑΤΙ για το όριο όριο γίνεται: u3 +u u u ) +u+) u u )u u + e α )) e α ) 4 t t+ ) u + u + ) 4 u Όμως t 4 ft) f4) και υπολογίζοντας εύκολα τα δύο πλαινά όρια ισχύει ότι f4) 8 Άρα τελικά: ft) { t+ t+t, t 0, ), 4) με f0), f) 4, f4) 8 +, t 4, + ) ) ΘΕΤΩ: u t u και t άρα το Δ). α) Η τιμή του αυτοκινήτου μόλις κυκλοφόρησε είναι το f0). Άρα μόλις κυκλοφόρησε κόστιζε 00 χιλιάδες ευρώ. β) Η τιμή του αυτοκινήτου την δεύτερη μέρα μετά την κυκλοφορία του «προσεγγιστικά» ισούται με το όριο t 0 ft) αφού το t είναι ο χρόνος σε δεκαετίες επομένως μέρες μετά την κυκλοφορία θα είναι ένα χρονικό διάστημα λίγο μετά το μηδέν. Άρα η τιμή του ημέρες μετά θα έχει μεταβληθεί ελάχιστα αφού το όριο στο μηδέν ισούται με την τιμή στο μηδέν άρα σε τόσο μικρό χρονικό διάστημα η τιμή μεταβάλλεται ελάχιστα άρα θα κοστίζει «προσεγγιστικά» 00 χιλιάδες ευρώ. Δ3). ft) t + t + t+t +u + ) u3 + ) t + u ΘΕΣΑΜΕ u t u και t. u+) t + u u + ) uu + ) + ) + t + Από το αποτέλεσμα αντιλαμβανόμαστε ότι μετά από άπειρες δεκαετίες η τιμή του αυτοκινήτου θα είναι απίστευτα υψηλή και η τιμή του διαρκώς θα αυξάνεται. Δ4). gt) ft) ) 4ft) gt) ft) ft) ft) gt) ft) ft) ft) ft) + gt) ft) ft) + [0]

12 f t) ft) + gt) f t) + ft) + ft) ) gt) ft) + ) Από κριτήριο παρεμβολής αποδεικνύεται ότι: t + gt) Δ5). Γενικά ισχύει: fx) fx) fx) και αν fx) 0 τότε από κριτήριο παρεμβολής ισχύει fx) 0 ) t 00 gt) t + 00 k R t 00 t 00 ΘΕΤΩ ht) t 00 gt) t+00 κοντά στο 00. t 00 ht)t 00) t 00 gt) t + 00 και t 00 ht) k ht)t 00) t 00 gt) t t 00 t 00 Από την ): t 00 gt) t t 00 ΘΕΤΩ nt) t 00 gt) t + 00 κοντά στο 00. gt) t + 00 t 00 nt) και nt) 0. t 00 Από την ): gt) t + 00 t 00 nt)) 0 t 00 t 00 gt) t + 00) 0 t 00 ΘΕΤΩ Bt) gt) t + 00 κοντά στο 00. gt) t 00 + Bt) και Βt) 0. t 00 gt) t 00 + Bt)) t 00 t 00 []

13 []

Σχετικά έγγραφα

1 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

1 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 α). Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το πρωτοβάθμιο πολυώνυμο x ρ ισούται με την αριθμητική τιμή του Ρ(x) για x =