5.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. τότε αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο x 0 και. ή df(x) dx x=x 0. lim. x 0.

Transcript

1 Π Α Ρ Α Γ Ω Γ Ο Ι 5.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Δίνεται μιά συνάρτηση f και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Αν υπάρχει στο R, τό f()-f( ) - df( ) συμβολίζεται με f ( ) ή d Παραδείγματα: τότε αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο και ή df() d., α) Έστω η συνάρτηση f(), τότε +1, > δεν υπάρχει η f (). f()-f() +1 + R, άρα, β) Δίνεται η συνάρτηση f(), τότε 6, > f()-f() f ()., επομένως δεν υπάρχει το f()-f() 6 6, ενώ f()-f(), άρα δεν υπάρχει η, γ) Δίνεται η συνάρτηση f(), τότε, > f()-f(), f()-f(), επομένως υπάρχει το f (). Ισοδύναμος ορισμός της παραγώγου f( +)-f( ) f ( ) f()-f() και ισούται με. Άρα Εφαρμογή της παραγώγου στή φυσική Ένα κινητό που κινείται κατά μήκος ενός άξονα, την χρονική στιγμή t βρίσκεται στη θέση με τετμημένη s(t). Τότε η στιγμιαία ταχύτητα υ(t ) του κινητού την χρονική στιγμή t, ισούται μέ s (t ), δηλαδή υ(t )s (t ). 148

2 Γεωμετρική Σημασία της παραγώγου y y-f( ) f'( )(- ) O A(,f( )) Όταν υπάρχει η παράγωγος μιας συναρτήσεως f στη θέση, τότε η ευθεία ε (βλ. Σχ.1), με εξίσωση: y-f( )f ( )(- ) είναι η εφαπτομένη της C f, στο σημείο (, f( )). Ο συντελεστής διευθύνσεως της ε, ισούται με: λ ε εφωf ( ). Προσοχή Όταν το κινητό κινείται πάνω στον άξονα προς τα δεξιά, τότε αν t>t προφανώς και s(t)-s(t ) s(t)>s(t ) άρα >, επομένως t-t tt s(t)-s(t ) υ(t ). t-t Ανάλογα όταν το κινητό κινείται προς τα αριστερά τότε υ(t ). Θεώρημα: Μια συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη στο είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Προσοχή α) Μια συνεχής συνάρτηση στο, δεν είναι οπωσδήποτε και παραγωγίσιμη στο, (βλ. Παραδείγματα το β)). β) Μια μη συνεχής συνάρτηση στο, δεν είναι παραγωγίσιμη στο, γιατί αλλιώς η παραγωγισιμότητα θα συνεπάγετο την συνέχεια πράγμα άτοπο. 149

3 Αν μία συνάρτηση f έχει παράγωγο για κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της Α, θα λέγεται παραγωγίσιμη στο Α. Ορίζεται έτσι μια καινούργια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α, η οποία κάθε A, το αντιστοιχεί στο f (). Είναι προφανές αν η f παραγωγίζεται σ ένα σύνολο Α Α τότε η f ορίζεται στο Α. Με τον ίδιο τρόπο ορίζεται η δεύτερη παράγωγος της f η f και ούτω καθ εξής. Γενικότερα η f (ν) (), δηλαδή η νιοστή παράγωγος της f ορίζεται ως εξής: f (ν) ()(f (ν-1) ()), για κάθε ν>. Λυμένες Ασκήσεις 1 Δίνεται η συνάρτηση f() k k - k > k κάθε kr.. Να δειχτεί ότι υπάρχει η f (k), για f()-f(k) Ισχύει + k -k -k -k - k - k k-k -k -k + k (+k) k. + k k(-k) -k f()-f(k) Επομένως k, δηλαδή f (k)k, kr. k -k f()-f(k) k k. Επίσης - k -k + k Να εξεταστεί αν η συνάρτηση f() ημ < 1 είναι παραγωγίσιμη στη θέση 1. Α ος τρόπος: Παρατηρώ ότι f()4, ενώ f()ημ14, επομένως η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο 1,επομένως δεν είναι και παραγωγίσιμη στο 1. 15

4 Β ος f()-f(1) τρόπος: 1-1 ημ-4 1 (ημ-4) (ημ1-4)(- )+, αφού ημ <, επομένως δεν υπάρχει η f (1). συν + 5 Να βρεθεί η παράγωγος της συναρτήσεως f() στο. Ισχύει διαδοχικά 6 1 συν f()-f() 5 1 ( συν ). Όμως 5 συν 1 5 συν 1 5, εφόσον συν 1 1. Άρα συν 1 5. Όμως 5 ( ) και από το κριτήριο παρεμβολής συμπεραίνω ότι 1 5 ( συν ), επομένως f (). Προσοχή Όταν ζητάμε το όριο μιας συναρτήσεως που περιέχει ημίτονο ή συνημίτονο, η αντιμετώπιση συνήθως γίνεται: α) Με τη βοήθεια των ανισοτήτων ημ 1, συν 1 και του κριτηρίου παρεμβολής. ημ β) Με τη βοήθεια των τύπων 1 ή συν Υπάρχει η παράγωγος της συναρτήσεως f:rr με f() +-, στη θέση - ; Το τριώνυμο +- έχει ρίζες τους αριθμούς - και 1, γίνεται δε θετικό (ομόσημο του α1), για τιμές του εκτός του διαστήματος των ριζών, δηλαδή όταν (-,-)(1, + ). 151

5 + - -,- 1,+ Επομένως η συνάρτηση γράφεται f() ,1. Όμως τρόπο - -+ f()-f() + + -(-1)(+) + -(-1), και με όμοιο f()-f() -. Άρα αφού τα δύο πλευρικά όρια δεν συμπίπτουν, δεν υπάρχει η + f (-). Προσοχή Όταν η συνάρτηση έχει απόλυτα για να βρούμε την παράγωγο πρέπει να απαλλαγούμε κατάλληλα από τα απόλυτα. 5 Δίνεται η συνάρτηση f() για την οποία ισχύει: - f()+ (1) για κάθε R. Να βρεθεί το f (). Για η ανισοτική σχέση (1) γράφεται f(), επομένως f(). Επίσης (1) - f()-f()+ (1-) f()-f() (1+) (). Για >, η () είναι ισοδύναμη με την 1- f()-f() - (1+) 1, από το κριτήριο παρεμβολής, θα ισχύει 1+, επομένως, αφού f()-f() 1. - (1-) Αντίστοιχα για < ισχύει 1- f()-f() - f()-f() 1, επομένως f () , οπότε όπως προηγουμένως f()-f() - Προσοχή Όταν για μια συνάρτηση έχουμε μια διπλή ανισοτική σχέση και ζητείται η συνέχεια σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, ή η παράγωγος σ αυτό το σημείο, τότε χρησιμοποιούμε το κριτήριο παρεμβολής. 15

6 6 Σε ποια σημεία της γραφικής παραστάσεως της f() η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς τη χορδή που έχει άκρα τα σημεία (,), (1,1); Να βρεθούν οι γωνίες που σχηματίζουν οι παραπάνω εφαπτομένες με τον οριζόντιο άξονα. Η χορδή με άκρα τα σημεία (,) και (1,1), έχει συντελεστή διευθύνσεως λ 1 1. Τον 1 ίδιο συντελεστή πρέπει να έχουν και οι εφαπτόμενες, δηλαδή πρέπει f ( )1. Όμως f ( ) Άρα. Επομένως τα ζητούμενα σημεία είναι τα (, 9 ). Αν ω είναι η γωνία που σχηματίζουν οι εφαπτόμενες με τον οριζόντιο άξονα τότε εφω f ( )1, επομένως ω45. 7 Να βρεθεί η παράγωγος της f() +1. f()-f( ) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το R. Ισχύει f ( ) Άρα f () +1, R. 15

7 8 Αν για τη συνάρτηση f ισχύει f(+) (1) για κάθε -9, α) Να βρεθεί το f() β) Να δειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και να βρεθεί το f (). α) Για η (1) γράφεται f() β) f(+)-f() (-+ 9+ )(-- 9+ ) (-- 9+) (-) 9-7 ( 7) 7 (-- 9+) (-- 9+) (-- 9+) Άρα f () Για τη συνάρτηση g ισχύει για κάθε Rg()-α (-α) (1). Να δειχθεί ότι: α) g(α)α και g(α). β) η ευθεία yα εφάπτεται της γραφικής παραστάσεως της g στο A(α,g(α)). α) Θέτοντας στην (1) α, έχω τη σχέση g(α)-α (α-α) g(α)-α, όμως g(α)- α, άρα g(α)-α g(α)α. Η (1) είναι ισοδύναμη με την (-α) g()-α (-α) (-α) g()-g(α) (-α) (). Έστω >α, διαιρώντας την () με -α παίρνω τη σχέση (-α) g()-g(α) -α επειδή (-α), από το θεώρημα παρεμβολής, συμπεραίνω πως Αν <α και διαιρέσω την () με -α παίρνω τη σχέση (-α) g()-g(α) -α προηγουμένως συμπεραίνω πως g()-g(α) -α, επομένως g (α). g()-g(α) -α β) Η εφαπτομένη της C g στο Α(α,g(α)) έχει εξίσωση y-g(α)g (α)(-α) y-α. -α και. -α και όπως 154

8 1 Δίνεται η συνάρτηση f(), με πεδίο ορισμού το Α. Αν υπάρχει η f (a) όπου a Α, να δειχθεί ότι: f(a) - af() a - a f(a)-af (a). Εφόσον υπάρχει η f (a), υπάρχει και το όριο f()-f(a). a -a Όμως f(a) af() f(a) af()+af(a)-af(a) f(a)(-a) a(f()-f(a)) f(a)( a) - a a a a a(f() f(a)) f(a)- a(f() f(a)). a a f(a)-af() a(f() f(a)) f() f(a) Επομένως f(a)- f(a)-a f(a)-af (a). a -a a a a a 11 Αν η f είναι συνεχής στο R και ισχύει: α) Να βρεθεί το f(). f() β) Να δειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και να βρεθεί το f (). 5, f() α) Θέτω g() για, τότε g()5 και (-)g() f() - f()(-)g()- -, επομένως f() β) f()-f() (-)g() g() ( 5) Έστω f, g συναρτήσεις ορισμένες στο R. Αν η f είναι συνεχής στο 1 και g() -. f(). Δείξτε ότι αν η g είναι παραγωγίσιμη στο 1, θα είναι f(1). Εφόσον η f είναι συνεχής στο 1, θα ισχύει f()f(1) (1)

9 g()-g(1) Η g() όμως παραγωγίζεται στο 1, επομένως το αg (1) R. Όμως 1-1 g()-g(1) -1 - f() - -1 g()-g(1) Επομένως α 1-1 συνεχής στο 1. ( -1) f() -1 f() 1 ( -1)f() -1 f() για >1. f() 1f(1)f(1), επειδή η f είναι 1 Αν τώρα (,1) οπότε (-1)<, τότε g()-g(1) -1 g()-g(1) Όμως τότε α 1-1 πρέπει f(1)-f(1) f(1). -f() 1 1 ( -1) f() - -1 ( -1)f() -1 -f(). -f(1). Επειδή όμως υπάρχει το g (1), θα 1 Αν f() a + b 1 + > 1 να βρεθούν τα a, b έτσι ώστε να υπάρχει το f (1). Αναγκαία συνθήκη για να είναι παραγωγίσιμη η συνάρτηση στο 1, είναι να είναι συνεχής στο 1. Άρα πρέπει f() f() f(1)α+β. 1 1 Ισχύει f()-f(1) ( +-)( ++) (-1)( ++) 1-1 (-1)( ++) Αλλά θα πρέπει και f(1). Άρα 1 οπότε β-(- 7 4 )15 4. f()-f(1) Όμως f()-f(1) α +(-α)-, αφού f()-f(1) (α+)(-1) α+. Επομένως πρέπει α α- 7 4, 156

10 14 Οι συναρτήσεις f, g ορίζονται στο Α(-π/8, π/8) και είναι παραγωγίσιμες στο. Αν για κάθε Α ισχύει [f()] +[g()] ημ4, να δειχθεί ότι f()g() και [f ()] +[g()] 4. Εφόσον [f()] +[g()] ημ4 (1), για έχω [f()] +[g()] f()g(). (βλ. τη σημείωση: «Προσοχή» της ασκ.1, σελ. ) Σύμφωνα με την υπόθεση οι f,g είναι παραγωγίσιμες στο,επομένως ισχύει f()-f() f() g()-g() g() f () και g (). Διαιρώ και τα δύο μέλη της (1) με το, τότε f() + ημ4 4 [f ()] +[g()] 4. 4 g() 4, επομένως f() + g() 15 Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο R για την οποία ισχύει ότιf()-α (-α) για κάθε αr. Δείξτε ότι η ευθεία yα είναι εφαπτομένη της γραφικής παραστάσεως της f στο σημείο α. Εφαρμόζω την ανισοτική σχέση f()-α(-α) για α. Τότεf(α)-α(α-α) f(α)- α, άρα f(α)-α f(α)α. Η εφαπτομένη της γραφικής παραστάσεως της f στο (α,α) έχει εξίσωση y-f(α)f (α)(α) (1). Θα υπολογίσουμε την f (α). f()-f(α) f()-α f (α) α -α α -α (-α) και μιας και + α α f()-α. Ομοίως όταν <α, επομένως f (α). -α Τότε η (1) γράφεται y-α(-α) yα.. Όμως -(-α) f()-α (-α). Αν >α τότε -(-α) f()-α -α (-α), από το κριτήριο παρεμβολής συμπεραίνουμε ότι 157

11 16 Έστω η συνάρτηση f ορισμένη στο R για την οποία ισχύει f()f() και ότι υπάρχουν οι παράγωγοι f () και f (). Ορίζουμε τη συνάρτηση g με 4 f( -1) g(). Να δειχθεί ότι η g παραγωγίζεται στο 4 4 f( - ) > αν και μόνο αν f () f (). Ισχύει: l 1 f t+-f t Επίσης l t 4 4 g + -g. 4 4 g + -g f +-f f +-f Όμως υπάρχει η f () επομένως ισχύει f () ενώ f () f +-f Κατόπιν όλων αυτών έχουμε τις ισοδυναμίες: l 1 l f t+-f t t. f t+-f t t, θέτω t +, επομένως l 1 f t+-f t f +-f f () f (). t. f +-f 158