ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΗ 1. Λύση. α. lim. χ 0 χ. χ χ χ = 2 lim limg(χ) = 2 και. = 2. Θέτω g(χ) = οπότε έχω: χ 1. χ 1. = g(χ)(χ 1). Επομένως.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΑΣΚΗΣΗ 1. Λύση. α. lim. χ 0 χ. χ χ χ = 2 lim limg(χ) = 2 και. = 2. Θέτω g(χ) = οπότε έχω: χ 1. χ 1. = g(χ)(χ 1). Επομένως."

Ανδρόνικα Λιάπης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΑΣΚΗΣΗ Αν 0 f() 0 f() =, να βρείτε τα όρια f() = f() g() = και f() και f() 0 f( ) =. Θέτω g() = = g()( ). Επομένως = [g()( )] = g() f() οπότε έω: ( ) = ( ) = f( ) = f( ) ( ) ( ) Θέτω = u και έω ότι όταν το 0 και u 0, οπότε f( ) ( ) = f(u) = και ( ) =, οπότε u u ) f( ( ) ΑΣΚΗΣΗ ( ) = f( ) ( ) ( ) = ( ) = f() f(α) f(α + h) f(α h) Αν το = να υπολογίσετε το α α h 0 h f(α + h) f(α h) f(α + h) f(α) + f(α) f(α h) = = h h h h f(α + h) f(α) f(α h) f(α) = h h h f(α + h) f(α) Για το θέτω α + h = u. Οπότε όταν το h 0 τότε το u α και έω h h f(α + h) f(α) hu f(u) f(α) f(α h) f(α) = = και για το h h u u α h h οπότε όταν το h 0 το u α και h = α u. Αρα f(α h) f(α) hu f(u) f(α) f(u) f(α) = = = h h u α u u u α θέτω α h = u.

2 Τελικά + h) f(α) f(α h) f(α) f(α + h) f(α) f(α h) f(α) f(α = = h h h h h h h = ( ) = 4 ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνεται η συνάρτηση f() = ln( ln) α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να βρείτε τοα όρια της f στα άκρα του πεδίου ορισμού της ln 0 ln ln lne e. Και επειδή 0 το Α f = (0, e) Πρέπει να βρώ το [ln( ln)]. Θέτω u = ln οπότε u = e e e( ln) = 0 Ακόμη κοντά στο e έω με e ln 0 επομένως και το u 0. Επομένως [ln( ln)] = lnu = e u Θέτω u = ln και έω ΑΣΚΗΣΗ 4 Δίνεται η συνάρτηση f() = ln + κ, [ln( ln)] ( ln) = ( ) = + u = + και [ln( ln)] = u κ 0 lnu = + α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να βρείτε τα όρια f() και f() 0 γ) Να αποδείξετε ότι f() ln 0, με 0 και να υπολογίσετε το όριο (f() ln) δ) Να υπολογίσετε το (f() ln) Πρέπει 0 και + κ 0 ( + κ ) 0 0. Αφού κ 0 και επομένως + κ 0. Επομένως το πεδίο ορισμού της f είναι Α f = (0, + ) + κ f() = 0 0 ln + κ = ( + κ ) = κ (+ ) = +. Θέτω u = + κ και έω

3 u = + + κ και ln = lnu = + u γ. f() = ln + κ + κ = = = +. Θέτω u = + κ ln + κ = lnu = + u f() ln = ln + κ ln 0 διότι: και έω u = + και με 0 έω + κ + κ κ 0 που ισύει από την υπόθεση (f() ln) = ln + κ ln = ln + κ. Θέτω u = + κ και + κ u = = δ. = και επομένως ln + κ = lnu = 0 u (f() ln) = ln + κ ln = ln + κ 3. Θέτω u = + κ + κ και έω u = = = = 0 και επειδή > 0 το τείνει στο 0 απόθετικές τιμές. Επομένως ln + κ = lnu = + u ΑΣΚΗΣΗ 5 f() ημ Αν 0 = 3 να υπολογίσετε τα όρια + α) 0 f() β) 0 5 3f() 3 3

4 f() ημ Θέτω = g() f() = ( + )g() + + ημ και ακόμη + g() = 3 οπότε και f() = = f() ( + )g() + + ημ = = ( + )g() + ημ = ( + ) g() + ημ = 3 + = 4. Διότι [( + ) g()] = ( + ) g() = ημ = 3 = 3 και = Από πριν αποδείξαμε ότι f() =. Αρα το 5 3f() == 5 6 = και αφού το 5 3f() = 0 τότε και 5 3f() 0 κοντα στο 0. Επομένως 5 3f() f() = 3 3f() 5 = = 3 4 ( ) = = 3f() 6 ΑΣΚΗΣΗ 6 Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο [0, π]και ισύει α) Να δείξετε ότι f π = 3 β) Να υπολογίσετε το π γ) Να υπολογίσετε το π 3(f() ) = ( ) = + ημ f() + ημ για κάθε [0, π] συν f() 3 3 f() f() 3 f() 3 Αν στη δοθείσα θέσω όπου = π τότε έω: + ημ π f π + ημ π 3 f π 3. Επομένως f π = 3 + ημ f() + ημ ημ f() 3 ημ ημ συν f() 3 συν ημ συν ημ ημ ημ + συν = ( ημ )ημ + = (ημ ) ( ημ)( + ημ)ημ + = 4

5 = ( + ημ)ημ + = = ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ημ συν = (ημ ) ημ = ( ημ) ( ημ)( + ημ) = Άρα από κριτήριο παρεμβολής έω: f() 3 συν = και γ. Αφού συν f() 3 = συν συν = 0 τότε και f() 3 f() 3 συν στο π, θα πρέπει f() 3 0 κοντά στο π Άρα: 3 f() f() 3 f() 3 = = = f() 3 0 κοντά στο π και επειδή συν 0 κοντά 3 f() f() 3 f() 3 και 3 f() 0 = = 3 π 3 ( ) = + Αφού από πριν έουμε f() 3 0 f() f() f() 3 = ΑΣΚΗΣΗ 7 (Βασική άσκηση) Να αποδειθούν f() = 0 f() = f () = 0 f() = γ. (f () + g ()) = 0 f() = g() = ΣΗΜΕΙΩΣΗ Ισύει μόνο όταν το όριο είναι 0 Ευθύ ( ) είναι προφανές f() = 0 f() = 0 = 0 Αντίστροφο Έστω f() = 0 τότε: f() f() f() και έω f() = 0 = f(). Οπότε από κριτήριο παρεμβολής έω ότι και f() = 0 Ευθύ 5

6 f () = 0 f () = 0 f() = 0 f() = 0. Εδώ θα μπορούσαμε να έουμε και ισοδυναμία και έτσι να έει αποδειθεί το β ερώτημ Αντίστροφο. f() = 0 f () = 0 = 0 γ. Έουμε διαδοικά 0 f () f () + g (). Αλλά f () + g () = 0 και από κριτήριο παρεμβολή έω ότι f () = 0 f () = 0 f() = 0 f() = 0 Παρόμοια και g() = 0 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Η παραπάνω άσκηση ρησιμοποιείται για την επίλυση πολλών ασκήσεων ΑΣΚΗΣΗ 8 Έστω συνάρτηση f:r R για την οποία ισύει: f () f()ημ + συν για κάθε R Να βρείτε το f() π Από τη δοθείσα έω: f () f()ημ + συν f () f()ημ + ημ ημ + συν (f() ημ) ημ + συν 0 (f() ημ) ημ + συν Αλλά (ημ + συν) = ημ π π + συν π = = 0 Επομένως από κριτήριο παρεμβολής έω π (f() π ημ) = 0 (f() π ημ) = 0. (f() ημ) (f() π ημ) Θέτω g() = (f() ημ) και έω g() π = 0 και f() = g() + ημ. Επομένως π f() = (g() π + ημ) = g() π + π ημ = 0 + =. Αρα f() π = 6

7 ΑΣΚΗΣΗ 9 Αν για τις συναρτήσεις f,g:r R ισύει f () + g () = 4f() 4g() 8 Να βρείτε τα όρια f() και g() Από τη δοθείσα έω f () + g () = 4f() 4g() 8 f () 4f() g () + 4g() + 4 = (f() ) + (g() + ) = 4( ) οπότε θα έω 0 (f() ) (f() ) + (g() + ) = και επειδή 7 για κάθε R 4( ) = 0 από κριτήριο παρεμβολής και (f() ) = 0 (f() ) = 0 (f() ) = 0. Θέτω h() = f() οπότε h() = 0 και f() = h() + f() = Με παρόμοια διαδικασία καταλήγω ότι και g() = ΑΣΚΗΣΗ 0 Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:r R για τις οποίες ισύει: Να υπολογίσετε τα όρια Από τη δοθείσα έω f () + g () ημ 0 για κάθε R f() f () + g () ημ 0 f () f() ημ = 0 διότι + g () και ημ + g() ημ 0 f() (h() + ) = h() + = g() 0 f () + g () + g() ημ ημ ημ ημ. Αλλά = 0 και = 0 και από ημ κριτήριο παρεμβολής και = 0

8 Επομένως f() 0 f() f() + g() = 0 Αλλά + g() ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΙΑ f() = 0 f() = 0 g() Παρόμοια έουμε ότι και = 0 ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται συνάρτηση f:r R για την οποία ισύει Να υπολογίσετε τα όρια α). 0 f() και από κριτήριο παρεμβολής και f() = 0 4 f() + 4 f() β). 0 Διακρίνουμε τις περιπτώσεις Αν 0. Τότε θα ισύει ( ) = 0 και ( + ) = 0 f() = 0. γ). 0 f() για κάθε R 4 f() + 4 f() + δ). 0 και από κριτήριο παρεμβολής και f() = 0 f() 3 ημ Παρόμοια αν 0 καταλήγουμε ότι και f() = 0. Αρα και f() = 0 0 f() + f() ( ) = και ( + ) = + f() και από κριτήριο παρεμβολής και = γ 8

9 Από το είαμε φτάσει στην σέση δ. f() + f() ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΙΑ f() και επειδή f() ( ) = 0 = έουμε ότι από κριτήριο παρεμβολής και ). = 0 0 f() + f() f() και επειδή ( f() ) = από κριτήριο παρεμβολής και = f() 3 = 0 ημ 0 f() 3 ημ = f() 3 0 ημ 0 = = ΑΣΚΗΣΗ Να βρείτε τα όρια : ημπ α) Θέτω -=u και έω ότι =u+ ημπ = u ημπ(u + ) u Θέτω -3=u οπότε =3+u συνπ + ( 3) = u και β) 3 συνπ + ( 3) ημ(πu + π) ημπu = = = π u u u u συνπ(u + 3) + u = u συν(πu + 3π) + u = συνπu ( συνπu)( + συνπu) = u u = u u ( + συνπu) συν πu = u u ( + συνπu) = u ημ πu u ( + συνπu) = ημπu u u ( + συνπu) = π = π 9

Σχετικά έγγραφα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ. ii) = x και. Περιπτώσεις στις οποίες η συνάρτηση είναι πολλαπλού τύπου και το x

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ. ii) = x και. Περιπτώσεις στις οποίες η συνάρτηση είναι πολλαπλού τύπου και το x ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ Περιπτώσεις στις οποίες βρίσκουμε την παράγωγο της f στο με τον ορισμό ~ Να βρεθούν με τη βοήθεια του ορισμού οι παράγωγοι αριθμοί των παρακάτω συναρτήσεων: i) f() = + + 4 στο =- ii) f()