Αναλογικά φίλτρα. Για να επιτύχουµε µια επιθυµητή απόκριση χρειαζόµαστε σηµαντικά λιγότερους συντελεστές γιαένα IIR φίλτροσεσχέσηµετοαντίστοιχο FIR.

Transcript

1 Τα IIR φίλτρα είναι επαναληπτικά ή αναδροµικά, µε την έννοια ότι δείγµατα της εξόδου χρησιµοποιούνται από το σύστηµα για τον υπολογισµό τν νέν τιµών της εξόδου σε επόµενες χρονικές στιγµές. Για να επιτύχουµε µια επιθυµητή απόκριση χρειαζόµαστε σηµαντικά λιγότερους συντελεστές γιαένα IIR φίλτροσεσχέσηµετοαντίστοιχο FIR. Τα IIR φίλτρα είναι ασταθή, αν οι πόλοι της συνάρτησης µεταφοράς βρίσκονται εκτός του µοναδιαίου κύκλου. Τα IIR δεν έχουν γραµµική απόκριση φάσης στη ζώνη διέλευσης, όπς τα µη επαναληπτικά FIR φίλτρα µε συµµετρική ή αντισυµµετρική κρουστική απόκριση. Τα IIR φίλτρα µπορούν εύκολα να σχεδιασθούν αρχίζοντας από ένα αναλογικό φίλτρο και κατόπιν χρησιµοποιώντας κατάλληλη απεικόνιση του επιπέδου- στο επίπεδο-z. Αρχικά προσδιορίζεται η και στη συνέχεια στο z, έτσι ώστε τα επιθυµητά χαρακτηριστικά του αναλογικού φίλτρου να διατηρούνται κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

2 W Ζώνη αποκοπής Ζώνη διέλευσης Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο µεεύρος-ζώνης W Ζώνη αποκοπής Η γραφική παράσταση της απόκρισης ισχύος σε συνάρτηση µε τη κυκλική συχνότητα. log Ζώνη αποκοπής Μεταβατική ζώνη Ζώνη διέλευσης Μεταβατική ζώνη Πραγµατικό βαθυπερατό φίλτρο Ζώνη αποκοπής db db Η γραφική παράσταση της απόκρισης ισχύος σε db σε συνάρτηση µε τη κυκλική συχνότητα. -

3 Χαρακτηριστικά χαµηλοπερατού αναλογικού φίλτρου j +ε Zώνη µετάβασης Ζώνη διέλευσης Ζώνη αποκοπής A Κανονικοποιηµένη απόκριση ισχύος ενός αναλογικού φίλτρου βασικής ζώνης. ε παράµετρος ταλαντώσεν ζώνης διέλευσης bnd rile rmeter συχνότητααποκοπήςζώνηςδιέλευσης bnd uto requeny Α παράµετρος εξασθένησης ζώνης αποκοπής tobnd ttenution rmeter συχνότητααποκοπήςζώνηςαποκοπής tobnd uto requeny -3

4 δ + δ Ω + δ δ δ δ + δ Ζώνη διέλευσης Ω P Ζώνη µετάβασης Ω S Ζώνη αποκοπής π Ω j +ε A Ζώνη διέλευσης Zώνη µετάβασης Ζώνη αποκοπής Απόλυτη απόκριση ισχύος ενός ψηφιακού φίλτρου βασικής ζώνης. Κανονικοποιηµένη απόκριση ισχύος ενός αναλογικού φίλτρου βασικής ζώνης. Deibel R P A S Ω P Ω S π Σχετική απόκριση ισχύος ενός ψηφιακού φίλτρου βασικής ζώνης. Ω Η απόκριση συχνότητας του αναλογικού φίλτρου ικανοποιεί τις j A j + ε,, -4

5 Σχέσεις µεταξύ τν παραµέτρν του αναλογικού φίλτρου στην + ε j στην A j ΟιπαράµετροιεκαιΑσχετίζονταιµετις R και A αντίστοιχαστηνκλίµακα db µετις R R log ε + ε A A log A A Οιταλαντώσειςδ καιδ σχετίζονταιµετιςεκαιααντίστοιχαµετις δ + δ + δ + δ δ ε A ε δ + δ A δ -5

6 Ιδιότητεςτου Η α j Από τη συνάρτηση µεταφοράς ενός αναλογικού συστήµατος προσδιορίζεται η απόκριση συχνότητας του συστήµατος αν περιέχεται ο φανταστικός άξονας στο πεδίο σύγκλισης ς j j j j j j j j έχουµε για το τετράγνο του µέτρου της απόκρισης συχνότητας j j ήισοδύναµα Σεραφείµ Καραµπογιάς -6

7 j z Παράδειγµα πόλν και µηδενικών της σ Παρατηρούµε ότι οι πόλοι και τα µηδενικά είναι τοποθετηµένα συµµετρικά ς προς το φανταστικό άξονα. Για πραγµατικά φίλτρα οι πόλοι και τα µηδενικά είναι συζυγή, δηλαδή, παρουσιάζουν συµµετρία ς προς τον πραγµατικό άξονα. Αν θέλουµε το αναλογικό φίλτρο να είναι αιτιατό και ευσταθές θα πρέπει οι πόλοι να βρίσκονταιστοαριστερόηµιεπίπεδο. Έτσιδίνουµεόλουςτουςπόλους της - πουβρίσκονταιστοαριστερόηµιεπίπεδοστην Αντίθεταταµηδενικάτης µπορούνναβρίσκονταιοπουδήποτεστοµιγαδικόεπίπεδο. Επιλέγουµεταµηδενικάτης - πουβρίσκονταιστοφανταστικόάξοναςµηδενικά της, καιέτσιτοφίλτροείναιφίλτροελάχιστηςφάσης. -7

8 j Χαµηλοπερατό Φίλτρο Butterworth, N Η απόκριση ισχύος του φίλτρου είναι,5 N N N j + N Για τη συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος ισχύουν j j j j N N + + j N N Οιρίζεςτουπολυνύµουτουπαρονοµαστή ήοιπόλοιτης - είναι k N j e j π N k+ N+, k,,, N -8

9 k Οι θέσεις τν πόλν στο µιγαδικό επίπεδο j σ j N N k σ ιαγράµµαταπόλνφίλτρν Btterworth η και η τάξης j j N 3 N 4 σ σ ιαγράµµαταπόλνφίλτρν Btterworth 3 η και 4 η τάξης -9

10 Έναευσταθέςκαιαιτιατόφίλτρο µπορείναοριστείανεπιλέξουµετουςπόλουςπου βρίσκονται στο αριστερό ηµιεπίπεδο του µιγαδικού ηµιεπιπέδου, δηλαδή, N k πόλοι στο αριστερό ηµιεπίπεδο Η συνάρτηση µεταφοράς τν πρτότυπν φίλτρν Butterworth βασικής ζώνης πρώτης και δεύτερης τάξης είναι αντίστοιχα j Σεραφείµ Καραµπογιάς σ + j σ + j j

11 Παράδειγµα Να υπολογιστεί η τάξη ενός χαµηλοπερατού φίλτρου Butterworth το οποίο παρουσιάζει εξασθένιση db στο Kz και 4 db στο 5 Kz Λύση: Για την παράµετρο ταλάντσης ε στη ζώνη διέλευσης έχουµε log db ε,589 + ε Για την παράµετρο εξασθένησης Α στη ζώνη αποκοπής έχουµε log A 4 4dB A R log +ε j A log A Γιατιςσυχνότητες και έχουµε rd Kz π π e rd 5Kz π π e R P A S +ε A -

12 j +ε A από τις οποίες έχουµε Γιατηναπόκρισηισχύοςστησυχνότητα έχουµε N j N + + ε Γιατηναπόκρισηισχύοςστησυχνότητα έχουµε j N + A N ε A - N A - ε N log log A ε 3,8 η τιµή στρογγυλεύεται στον αµέσς µεγαλύτερο ακέραιο. Έτσι η τάξη είναι Ν 4. Η τιµή γιατην τάξη του φίλτρου εκφράζεταιµετηβοήθειατουλόγουµετάβασης k. και του παράγοντα διακριτότητας k N A ε log log ς k k -

13 Παράδειγµα Ναπροσδιοριστείησυνάρτησηµεταφοράς,, τουαναλογικούφίλτρουπουέχει j 6 Λύση: + 64 Παρατηρούµε j N 3και ,5 3,5 j,5 Οι πόλοι της, σ έτσι η συνάρτηση µεταφοράς είναι ,5 j,433 +,5 +,5 + +,5,5 +,5 +,5 Στο ΜATLAB υπάρχει η συνάρτηση [z,,k] butt N η οποία σχεδιάζει ένα πρτότυπο δηλαδή αναλογικόφίλτρο Butterworth τάξης Nκαιεπιστρέφειταµηδενικάστοδιάνυσµα zτουςπόλους στο και την τιµή κέρδους στο k. Η συνάρτηση u_butt που ακολουθεί σχεδιάζει ένα µη κανονικοποιηµένο αναλογικό φίλτρο Butterworth σε άµεση µορφή. Σεραφείµ Καραµπογιάς,5 j,433-3

14 untion [b,] u_buttn,omeg; % b Συντελεστές του πολυνύµου του αριθµητή της % Συντελεστές του πολυνύµου του παρονοµαστή της % N Τάξη του φίλτρου Butterworth % Omeg Συχνότητα αποκοπής σε rdin/e [z,,k] buttn; *Omeg; k k*omeg^n; B relolyz; b k; b k*b; reloly; [b,] u_butt3,.5 b ,5 +,5 +,5-4

15 Από τα χαρακτηριστικά του αναλογικού χαµηλοπερατού φίλτρου, R, και A θα προσδιοριστούν η τάξη N και η συχνότητα αποκοπής της ζώνης διέλευσης φίλτρου Butterworth για, log j R log N + R για, log j A log N + A Λύνοντας τις δύο παραπάν εξισώσεις έχουµε N R N log R [ log A / ] N A -5

16 Παράδειγµα Να σχεδιαστεί ένα χαµηλοπερατό φίλτρο Butterworth µε χαρακτηριστικά Σεραφείµ Καραµπογιάς Λύση:,π, R 7dB,,3π και A 6dB N log [ log,6 / ],π,3π,7,79 3,π,3π,4985, 5 6, 7 6, 6 επιλέγουµε,5, έτσικαταλήγουµεστοφίλτροτουπροηγούµενουπαραδείγµατος j +,5,5 +,5 +,5 Η συνάρτηση d_butt που ακολουθεί σχεδιάζει ένα µη κανονικοποιηµένο αναλογικό φίλτρο Butterworth σε άµεση µορφή από τα χαρακτηριστικά του. -6

17 untion [b,] d_buttw,w,r,a % b Οι συντελεστές του αριθµητή της % Οι συντελεστές του παρονοµαστή της % w Συχνότητα άκρης της ζώνης διέλευσης σε rd/e; w > % w Συχνότηταακρήςτηςζώνηςαποκοπήςσε rd/e; w > w > % R Ταλαντώσειςτηςζώνηςδιέλευσηςσε +db; R > % A Εξασθένισητηςζώνηςαποκοπήςσε +db; A > i w < error'η συχνότητα άκρης της ζώνης διέλευσης πρέπει να είναι > ' end i w < w error'η άκρη της ζώνης αποκοπής πρέπει να είναι > της συχνότητας άκρης της ζώνης διέλευσης ' end i R < A < error'pb ταλάντση και/ή SB εξασθένηση πρέπει να είναι > ' end N eillog^r/-/^a/-/*logw/w; rint'\n*** Butterworth Filter Order %. \n',n OmegC w/^r/-^/*n; [b,]u_buttn,omegc; -7

18 Η συνάρτηση req_m που ακολουθεί προσδιορίζει τα χαρακτηριστικά ενός φίλτρου Butterworth. untion [db,mg,h,w] req_mb,,wmx; % db Το µέτρο σε db στο διάστηµα [ ές wmx] % mg Το µέτρο στο διάστηµα [ ές wmx] % h Η απόκριση φάσης σε rdin στο διάστηµα [ ές wmx] % w διάνυσµα από 5 δείγµατα συχνότητας στο διάστηµα [ ές wmx] % b Οι συντελεστές του αριθµητή της % Οι συντελεστές του παροµανοµαστή της % wmx Μέγιστη συχνότητα σε rd/e του διαστήµατος ενδιαφέροντος % w [::5]*wmx/5; reqb,,w; mg b; db *logmg+e/mxmg; h ngle; -8

19 Παράδειγµα Να σχεδιαστεί ένα χαµηλοπερατό φίλτρο Butterworth µε χαρακτηριστικά,π, R 7dB,,3π και A 6 db w.*i; w.3*i; R 7; A 6; Rile ^ -R/; Attn ^ -A/; % Σχεδιάση αναλογικού φίλτρου [b,] d_buttw,w,r,a; % Υπολογισµός της απόκρισης συχνότητας: [db,mg,h,w] req_mb,,.5*i; % Υπολογισµός της κρουστικής απόκρισης: [h,x,t] imuleb,; % Plot -9

20 Χαµηλοπερατό Φίλτρο Chebyhev j + ε TN όπουνείναιητάξητουφίλτρου, εείναιοπαράγονταςταλάντσηςστηζώνηδιέλευσηςκαι Τ Ν x τοπολυώνυµο ChebyhevΝ-τάξηςτοοποίοδίνεταιαπότη T o oh N o x, N oh x N x, x < x< όπου Το πολυώνυµο T N x µεταξύ < x < ταλαντώνεται µεταξύ του και έτσι το φίλτρο παρουσιάζει ταλαντώσεις ίσου πλάτους στη ζώνη διέλευσης. Επίσης για < x < ελαττώνεται µονότονα στο µηδέν. x Σεραφείµ Καραµπογιάς j +ε Nπεριττός j +ε N άρτιος A r A r -

21 Γιαναπροσδιορίσουµεένααιτιατόκαιευσταθέςφίλτρο πρέπειναβρούµετουςπόλους του καιναεπιλέξουµετουςπόλουςπουβρίσκονταιστοαριστερόηµιεπίπεδογια το. Οιπόλοιτου είναιοιρίζεςτου + ε T N Αν k σ k + jk, k,,, N είναι οι πόλοι στο αριστερό ηµιεπίπεδο του παρα-πάν πολυνύµου τότε όπου σ o π k+ π [ + ] k N in π k+ π [ + ] k b N j N N N N α / α b α + / α k,,, N α + ε + και ε -

22 Οι πόλοι του φίλτρου βρίσκονται σε έλλειψη µε κύριο άξονα και bδευτερεύοντα άξονα Im π 3 b Ηθέσητνπόλνγιαέναφίλτρο Chebyhevτρίτηςτάξης Ie Η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος είναι K όπου Κ είναι ο παράγοντας κανονικοποίησης που επιλέγεται έτσι ώστε j, k, N + ε k N περιττɺ ος Στο ΜATLAB υπάρχει η συνάρτηση ɺ αρτιος [ z,, k ] heb N, R η οποία σχεδιάζει ένα κανονικοποιηµένο αναλογικό φίλτρο Chebyhev τάξης N µε ταλάντση ζώνης διέλευσης R και επιστρέφει τα µηδενικά στο διάνυσµα z τους πόλους στο και την τιµή κέρδους στο k. Η συνάρτηση u_hbl που ακολουθεί σχεδιάζει ένα µη κανονικοποιηµένο αναλογικό φίλτρο Chebyhev σε άµεση µορφή. -

23 untion [b,] u_hbn,r,omeg; % b Συντελεστές του πολυνύµου του αριθµητή % Συντελεστές του πολυνύµου του παρονοµαστή % N Τάξητουφίλτρου % R Ταλάντσηστηζώνηδιέλευσηςσε db; R > % Omeg Συχνότητα αποκοπής σε rdin/e % [z,,k] hebn,r; reloly; Nn N+; *Omeg; reloly; Nu N+; k k*nu/nn; b k; B relolyz; b k*b; -3

24 Παράδειγµα Σεραφείµ Καραµπογιάς Να σχεδιαστεί ένα χαµηλοπερατό FIR φίλτρο διακριτού χρόνου µε χαρακτηριστικά Λύση, π, 3π R db A 6 db R A 6 ε,588 A 6, 396, π καιητάξητουφίλτρουείναι g A / ε r,49 α,3π,π N log log ε + + ε g+ r + 4,7 g r N 4 b Nα / α, 3646 Nα + / α, 644 N N -4

25 Υπάρχουν 4 πόλοι Σεραφείµ Καραµπογιάς εποµένς π π π [ ] [ + 8 ± b in + ],877, 679 π [ ] [ π π 3 + ± b in + ],7, 559 π,3 ± j o 8 π, ± j o 8 8,895,3,3895,389 K k k +,754 +,3895 +,434 +,3 Ο αριθµητής είναι τέτοιος ώστε j + ε,895-5

26 untion [b,] d_hbw,w,r,a; % b Οι συντελεστές του αριθµητή της % Οι συντελεστές του παροµανοµαστή της % w Συχνότητα άκρης της ζώνης διέλευσης σε rd/e; w > % w Συχνότηταακρήςτηςζώνηςαποκοπήςσε rd/e; w > w > % R Ταλαντώσειςτηςζώνηςδιέλευσηςσε +db; R > % A Εξασθένισητηςζώνηςαποκοπήςσε +db; A > i w < error'η συχνότητα άκρης της ζώνης διέλευσης πρέπει να είναι > ' end i w < w error'η άκρη της ζώνης αποκοπής πρέπει να είναι > της συχνότητας άκρης της ζώνης διέλευσης ' end i R < A < error'pb ταλάντση και/ή SB εξασθένηση πρέπει να είναι > ' end e qrt^r/-; A ^A/; OmegC w; OmegR w/w; g qrta*a-/e; N eillogg+qrtg*g-/logomegr+qrtomegr*omegr-; [b,]u_hbn,r,omegc; -6

27 Μετατροπή φίλτρου βασικής ζώνης σε φίλτρο διέλευσης ζώνης συχνοτήτν Γιατηµετατροπήενόςαναλογικούφίλτρουβασικήςζώνηςµεσυχνότητα στοόριοτης ζώνηςδιέλευσης, σεφίλτροζώνηςδιέλευσηςµεσυχνότητες l και u στοκατώτεροκα ανώτερο όριο της ζώνης διέλευσης αντίστοιχα, εκτελούµε το µετασχηµατισµό BP + u l u l Παρατηρούµε ότι η τάξη του φίλτρου διέλευσης ζώνης συχνοτήτν που προκύπτει είναι διπλάσια της τάξης του αρχικού φίλτρου βασικής ζώνης. Εφαρµογή Να µετατραπεί το πρώτης τάξης φίλτρο Butterworth βασικής ζώνης µε συνάρτηση µεταφοράς / +, όπου π rd/e, σεένααναλογικόφίλτροδιέλευσης ζώνης συχνοτήτνµεσυχνότητεςσταόριατηςζώνηςδιέλευσης l π rd / e και u 3π rd / e. -7

28 Μετατροπή φίλτρου βασικής ζώνης σε φίλτρο διέλευσης υψηλών συχνοτήτν Γιατηµετατροπήενόςαναλογικούφίλτρουβασικήςζώνηςµεσυχνότητα στοόριοτης ζώνηςδιέλευσης, σεφίλτροδιέλευσηςυψηλώνσυχνοτήτνµεσυχνότητα l στοόριοτης ζώνης διέλευσης αντίστοιχα, εκτελούµε το µετασχηµατισµό P l Μετατροπή φίλτρου βασικής ζώνης σε φίλτρο διαφορετικής βασικής ζώνης Γιαναµετατρέψουµεένααναλογικόφίλτροβασικήςζώνηςµεσυχνότητααποκοπής,σε ένα άλλο φίλτρο βασικής ζώνης µε συχνότητα αποκοπής, εκτελούµε το µετασχηµατισµό P -8

29 in t t out t t 4 6 S in S out 4 4 log

30 in t t out t t 4 6 S in S out 4 4 log

31 in t t out t t 4 6 S in S out 4 4 log

32 m in t t m out t t 4 8 M in M out log Kz Kz -3

33 m in t t m out t t 4 8 M in M out log Kz Kz -33

34 m in t t m out t t 4 8 M in M out log Kz Kz -34