תקציר הקדמה. שנתון "ïðàù" תשס"ח כרך י"ג 255
|
|
|
- Ευάγγελος Μοσχοβάκης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 משה סטופל ושלמה חריר "יפה היא הגאומטריה" חיזוק ההיגד ע"י הצגת דרכי פתרון אחדות לאותה משימה תקציר לשם המחשת יופיה של הגאומטריה הובאו 7 משימות מגוונות: לכל משימה הוצגו מספר דרכי פתרון (4-). הפתרונות התבססו על שימוש בכלים של הנדסת-מישור בלבד: משפטים ובניות-עזר. ודאי קיימות דרכי-פתרון נוספות לאותן המשימות. המטרה המרכזית של המשימות שנבחרו הייתה להעצים את הפוטנציאל של הנדסת- המישור כתחום, המאפשר לגרות ולהרחיב את שדה-החשיבה. כך נמצאו דרכי-פתרון מגוונות, ובתוכן קצרות ופשוטות יותר, הכוללות מרכיב של יופי, שיתרמו להגברת ההנאה והסיפוק. הקדמה דרכי-הלימוד ושיטות-ההוראה במתמטיקה נגזרות מתכנית-הלימודים וממטרותיה. אחת המטרות המרכזיות של לימודי-המתמטיקה היא להקנות לתלמידים דרכי-חשיבה, העשויות לסייע להם בתחומי למידה ודעת אחרים, ולפתחן. המשמעות של "ללמוד לחשוב" פירושה: על המורה למתמטיקה לפתח את יכולתם של התלמידים ליישם מידע ולבצע אנליזה וסינתזה ברמה נאותה של תכונות-יסוד, כללים ומשפטים, שלימד בשלבים הקודמים של תהליך-ההוראה. פתרון בעיות שונות הוא אחד האמצעים החשובים לפיתוח החשיבה: במהלך פתרון בעיות בכיתה נשאלים התלמידים שאלות-ה כ וונה, כגון: "האם ניתן ליישם את המסקנה של התרגיל הקודם לפתרון בעיה זו?", "האם השאלה אינה מקרה פרטי של השאלה הקודמת?", "האם נפגשתם עם בעיה מסוג כזה, והיכן?", "האם ניסוח השאלה דומה?". מטרת שאלות כאלה היא לגרות ולהרחיב את שדה-החשיבה ולהכין את התלמיד להתמודדות עצמאית, שהוא עצמו יצטרך לשאול את השאלות ולהשיב עליהן. תארנים: מילות מפתח: שילוב תחומים במתמטיקה, דרכי פתרון שונות. ייחודה של הגיאומטריה, משימות בהנדסת-מישור * הוצג בחלקו במסגרת הרצאה שנישאה בכנס השנתי של העוסקים בהוראה, במחקר ובפיתוח בתחום המתמטיקה לעל-יסודי בישראל, כפר המכביה, מרץ 7. 55
2 משה סטופל ושלמה חריר תנופה לפיתוח החשיבה מתקבלת מפתרון בעיות בשיטות שונות: מציאת דרך פתרון נוספת ע"י שימוש באותו תחום מתמטי ובמיוחד מתחום אחר מסייעת לפיתוח-החשיבה ומעלה אותה לרמה גבוהה יותר. יישום ידע קודם בסיטואציה חדשה, המביא לפתרון קצר ופשוט יותר או יפה יותר מגביר את ההנאה והסיפוק בלימודי המקצוע. שילוב תחומים בפתרון בעיות פותח לתלמידים מבט רחב יותר על המתמטיקה כמקצוע מקיף, תוך יצירת קשרים בין ענפיו השונים. הצלחת פיתוח החשיבה של תלמידים בסיוע פתרון בעיות מגוונות במתמטיקה תלויה במידה רבה ביכולתו של המורה ליצור ולעורר גירויים מתאימים בתהליך ההוראה והלימוד, תוך הבלטת יופיה של המתמטיקה. פתרון בעיה בדרך רגילה מותיר בדרך כלל את התלמידים בשלווה וללא תגובה מיוחדת. לעומת זאת, פתרון שונה לאותה הבעיה עשוי לגרום להתלהבות רגשית. הפתרון המיוחד והיפה הוא בלתי-צפוי, אך מוחשי, ולרוב פשוט וקצר יותר. דרכים רגילות משרישות פתרונות טכניים המתקבלים אוטומטית. לעומתן, דרכים לא שגרתיות מאפשרות יוזמות חדשות ומפתחות מיומנויות נוספות. במידה רבה דומה הדבר להבדל שבין דרך אלגברית לבין פתרון ע"י ניסוי וטעייה של בעיות מילוליות. השימוש בדרכים חלופיות מצביע על המתמטיקה כשטח קסום פתרונות מפתיעים. ואכן בעת האחרונה ניתן לראות ממספר מאמרים שעוסקים בתחום (6-1), שקיימת נטייה הולכת וגוברת לשימוש בדרכים חלופיות ככלי לפיתוח מצוינות, לפיתוח יצירתיות ולהצגת המתמטיקה כמקצוע מורכב ממכלול של תחומים, המשולבים זה בזה. מניסיון רב-שנתי בהוראת-מתמטיקה בחטיבה העליונה, בקורסים אקדמאיים ומתהליך ההדרכה וההכשרה של פרחי-הוראה אובחנה החשיבות הרבה של שליטה מקיפה בכלים מתמטיים שונים, המאפשרת התמודדות עם בעיות מורכבות ועם אתגרים, המחייבים שימוש באסטרטגיות פתרון מגוונות. הנדסת מישור שילוב תחומים ודרכי פתרון במסגרת העברת קורס אקדמאי בנושא: "שילוב תחומים במתמטיקה" הצגנו בהנאה לסטודנטים, 8 הוכחות שונות למשפט פיתגורס. עמיתה בסגל האקדמי, ששמעה על כך, לא רק שלא התלהבה, אלא ציינה בזלזול, שיש לה ספר ששמו "1 הוכחות למשפט פיתגורס". באחד מספרי הלימוד מצוין, שישנן כ- 6 הוכחות למשפט פיתגורס, אשר בין חלק רב מהן קיימים הבדלים מזעריים בנימוקי ההוכחה. המגוון הרחב של הוכחות למשפט פיתגורס הוא עדות ליופיה ולעושרה של המתמטיקה. מבין ענפי-המתמטיקה הנדסת המישור היא אחד מהענפים המרהיבים ביותר בגלל המספר הרב של דרכי-פתרון, שאפשר להשיג בה. כתחום, המבוסס על אקסיומות ומשפטי-יסוד, שעליהם מתפתחים משפטים באופן מודולרי, וקיים בו שימוש בבניות-עזר ובבניות חלופיות ניתן למצוא בו דרכי פתרון שונות לאותה משימה, שחלקן סטנדרטיות ללא ייחוד בולט מצד אחד, וקיימות דרכים אחרות בלתי-שגרתיות, קצרות מאד ומרשימות ביופיין מצד שני. 56
3 "יפה היא הגאומטריה" חיזוק ההיגד ע"י הצגת דרכי פתרון אחדות לאותה משימה. במהלך בדיקת בחינות בגרות של מאות נבחנים נמצאו דרכי פתרון שונות לאותן שאלות, ובמיוחד לשאלות בהנדסת מישור, שמופיעות בשאלון 5. ממצא זה מצביע הן על העובדה, שמורים מלמדים בשיטות ובדרכים מגוונות, בהדגשים אלה ואחרים, תוך שימוש במספר כלים, והן על עובדת יכולתם של התלמידים ליישם אותם בצורות שונות. במאמר זה נציג 7 משימות הנדסיות, כשלכל משימה יובאו מספר דרכי פתרון (רק מתחום ההנדסה), ושחלקן נמצאו ע"י הסטודנטים בקורס: "בעיות נבחרות בהנדסה". משימות 7-5 הן משימות בעלות קושי רב, שמסומנות בדרך כלל בספרי הלימוד ב- **. את הפתרונות של משימות 7-6 ניתן למצוא באמצעות טריגונומטריה ובדרכים נוספות. בעיה 1 נתון משולש ישר זווית C ) 9 = B (, אשר בו D הנקודה, ACB = 3 מחלקת את הצלע BC באופן ש- CD=DB. הוכח, שהישר AD חוצה את הזווית נסמן: נחש ב. BAC BD=X. BAC = 6 ו - =X, וכן הוכחה דרך א' נסמן: =y ו - AC=y (לפי תכונת צלעות במשולש.( 3,6,9 ע"י שימוש במשפט פיתגורס במשולש C מקבלים:. (3x) + y = (y) y = x 3 נסמן. AD = z ע"י שימוש במשפט פיתגורס במשולש D נקבל: z = x + y = x + ( x 3) = 4x z = x מכאן, המשולש ישר-הזווית D הוא בעל ניצב,BD ה שּׁ ווה למחצית היתר.AD 57
4 משה סטופל ושלמה חריר. BAC. BAD = 3 = 3 DAC, והישר AD חוצה את הזווית לכן, לכן, הוכחה דרך ב' מהנקודה D נוריד אנך DE ליתר.AC לפי תכונת אורכי הצלעות במשולש DEC. ( DE = X ) (3, אורכו של DE הוא X,6,9 ) המשולשים: D ו - AED חופפים לפי המשפט צ.צ.ז. לכן,, BAC חוצה את הזווית AD, BAD והישר = DAE הוכחה דרך ג' AC = CD הישר AD חותך את הצלע BC באופן ש- =, וכן, דרך א'). ו- לכן היות CD = DB AC. (כפי שהוסבר בפתרון של הרי ש- AD הוא חוצה-זווית לפי המשפט ההפוך למשפט חוצה-הזווית בעיה נתון: = AC = AD 1. DBC הוכח, כי: = CAD הוכחה דרך א' נחשב את הזוויות במשולשים שווי-השוקיים לאחר סימון זוויות. 58
5 סימון זוויות וחישובן "יפה היא הגאומטריה" חיזוק ההיגד ע"י הצגת דרכי פתרון אחדות לאותה משימה. α CAD = α ACD = A = 9 γ BAC = γ C = ACB = 9 α + γ BAD = α + γ D = ADB = 9 מכאן: γ α + γ α DBC = C D = 9 (9 ) = על הוכחה דרך ב' 1 DBC הנקודה A היא מרכז המעגל, העובר דרך הנקודות,C B ו - D. על-כן, = CAD פי המשפט: "זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית, הנשענת על אותה קשת". נתון: AD C > AC, BAC בעיה 3 במשולש חוצה-זווית הוכח, כי: BD > הערה: בעיה זו הוצגה באחד מספרי הלימוד בפרק: "קשרים בין צלעות וזוויות במשולש", הנלמד בשלבים הראשונים של לימודי ההנדסה. 59
6 , C = β נובע ש-.γ > β, BAC = α משה סטופל ושלמה חריר > AC הוכחה דרך א' נסמן:. ACB = γ מהנתון: עם העברת חוצה-הזווית AD הרי הקטעים BD ו - נמצאים, לכאורה, בשני משולשים שונים. כדי להביא לכך שהם יימצאו ממש באותו משולש נעתיק קטע,AE שאורכו שווה ל- AC על הצלע כפי שנראה באיור. המשולשים: A ו - ADE לכן חופפים לפי צ.ז.צ., ( ADB.( DEA D = D = ε 1 AED = ACD = γ DE = BED נסמן: = δ ε > β (זווית חיצונית למשולש δ > ε (זווית חיצונית למשולש δ > ε > β מכאן:, BD > DE = ולכן,δ > β, BDE מסקנה במשולש (מול הזווית הגדולה נמצאות הצלע הגדולה ). 6
7 "יפה היא הגאומטריה" חיזוק ההיגד ע"י הצגת דרכי פתרון אחדות לאותה משימה.. הוכחה דרך ב' AD הוא חוצה-זווית במשולש לפי הנתון, > 1. C לפי משפט חוצה-הזווית, BA = AC BD. AC לכן,, BD > 1 BD > הערה: המסקנה מהפתרון בדרך ב' הוא שׁ יּ ד ע נרחב מאפשר תשובה מידית ופשוטה ללא צורך בבניות-עזר. בעיה 4 הוכחות שונות למשפט חוצה הזווית. BD חוצה-זווית במשולש C. הוכח, שחוצה הזווית מחלק את הצלע שהוא חותך לשני חלקים, המתייחסים זה לזה כיחס הצלעות, הכולאות את הזווית. צ"ל: AD = BC הוכחה דרך א' ההוכחה הקלסית, הנמצאת בספרי הלימוד היא הבאה: דרך הקדקוד A נעביר ישר, המקביל לבסיס.BC חוצה-הזווית BD חותך ישר זה בנקודה E. דרך הקדקוד C נעביר ישר מקביל לחוצה-הזווית,BD החותך את המשך הישר AE בנקודה F. המרובע BEFC 61
8 . BC = EF משה סטופל ושלמה חריר הוא מקבילית (לפי הבנייה), ולכן משולש E לכן, הוא משולש ש"ש, לפי זוויות מתחלפות שוות בין מקבילים ) β).. CAF. = BE =, לפי משפט תלס על ישרים מקבילים, החותכים שוקי זווית AD BC AD = BC = EF, ולכן נקבל: AE EF כפי שהוכח: BC, = AE הוכחה דרך ב' נבנה את המעגל, החוסם את המשולש C. חוצה- הזווית BD חותך את המעגל בנקודה E. נחבר בישרים את הנקודה E עם הקדקודים A ו - C. (זוויות היקפיות, הנשענות על EAC = ECA = β אותה הקשת), ולכן. EA = EC = t B ו - BDE דומים זה לזה לפי ז.ז. BC t = DE המשולשים: BC DE t = BAD ו - CDE דומים זה לזה לפי ז.ז. BC DE = t = AD DE DE AD t = AD לכן, המשולשים: DE AD = BC לכן, מכאן, 6
9 הוכחה דרך ג' מהקדקוד D נוריד גבהים DE ו - DF לצלעות BC ו - בהתאמה. "יפה היא הגאומטריה" חיזוק ההיגד ע"י הצגת דרכי פתרון אחדות לאותה משימה., DE = DF לפי התכונה של נקודה, הנמצאת על חוצה- זווית. S ADB = S B = DF S ADB AC = BC DE S B BC (*) S S מהקדקוד B נוריד גובה לצלע,AC ונסמן אותו ב- h. ADB = B = AD h h S S ADB = B AD (**) (הערה: הגובה מההשוואה בין BG = h הוא הגובה המשותף לשני המשולשים). AD = BC (*) ו -(**) נקבל: בעיה 5 נתון: CD היא מקבילית. נקודות- ו - F, E את הנקודות AD ו - DF האמצע של הצלעות B. נחבר עם הקדקוד בהתאמה, BE ו - BF חותכים את הישרים ו - H G בנקודות AC האלכסון בהתאמה. 63
10 משה סטופל ושלמה חריר AG = GH = הוכח, כי HC הוכחה דרך א' נעביר את האלכסון (I- BD נקודת מפגש האלכסונים). במשולש BE, D ו - AI הם תיכונים AC) ו - DB אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה). נסמן:. GI = x מתכונת נקודת חיתוך התיכונים במשולש נקבל. AG = x במשולש תיכונים. BF, CBD הם ו - CI נסמן: IH = y ונקבל לפי אותו הסבר, מכאן,. HC = y AG = x, GH = x + y, HC = y מהעובדה, ש- AI = IC ולכן, נקבל: x + x = y + y x = y. AG = GH = HC הוכחה דרך ב' נעביר את האלכסון.BD נחבר את הנקודות D ו - G. המשך הישר חותך את הצלע בנקודה DJ J. הוא התיכון השלישי במשולש. AJ = JB ועל כן, ADB מכאן נובע, ש- DJBF מקבילית (מרובע בעל זוג אחד של צלעות שוות ומקבילות). GJ קטע אמצעים במשולש H (הישר, שיוצא מאמצע צלע במשולש ומקביל לצלע שנייה). לכן. AG = GH 64
11 כנ"ל, HF קטע אמצעים במשולש מהטרנזטיביות נובע "יפה היא הגאומטריה" חיזוק ההיגד ע"י הצגת דרכי פתרון אחדות לאותה משימה.. GH = HC ולכן,, CDG. AG = GH = HC הוכחה דרך ג' כבדרך ב' נעביר את.DJ מהקדקוד C נעביר ישר מקביל ל- BF, בנקודה K. המרובע FCKB מקבילית. מכאן נובע: החותך את המשך הצלע, GJ GH HC היות ו -, AJ = JB = BK וממה שהוכח, AJ = JB = BK,הרי שלפי משפט תלס לגבי משולש ACK,, AG = GH = HC נקבל משימת המשך (ללא פתרון) הנתון: CD היא מקבילית. את הנקודות: E ו- F נקודות האמצע של הצלעות: AD ו- BC בהתאמה נחבר עם הקדקודים B ו- D כנראה באיור. הוכח, כי:.AG=GH=HC בעיה 6 נתון ריבוע,CD שאורך צלעו. דרך קדקוד A נעביר ישר כלשהו, החותך את הצלע בנקודה E. דרך הקדקוד A נעביר את חוצה-הזווית של הזווית, E החותך את הצלע BC בנקודה F. הוכח, כי:. ( x + y = z) BF + DE = AE נסמן:, DE = y, BF = x, E = α. AE = z 65
12 משה סטופל ושלמה חריר הוכחה דרך א' מנקודה F נוריד אנך FG לקטע.AE לפי תכונת נקודה,. BF = FG = x נחשב את שטח הריבוע CD באמצעות שטחי ארבעת המשולשים המרכיבים אותו. הנמצאת על חוצה זווית S CD = S F + S FCE + S EFA + S ADE ADE. x + y = z x ( x) ( y) z x = = x( לאחר פישוט נקבל: z) y + y שימוש במשפט פיתגורס במשולש = z y נותן: z y = x( הצבת קשר זה מניבה (z y + לאחר צמצום שני האגפים ב- (z ( y + נקבל: הוכחה דרך ב' מהנקודה E מורידים אנך EN לצלע. מסמנים ב- M את נקודת החיתוך שלו עם חוצה הזווית AF ע. "י שימוש במשפט חוצה-הזווית במשולש AEN, נקבל z = y EM MN המשולשים: AMN ו - AFB דומים, ועל-כן ניתן לרשום את הפרופורציה: y MN x y = MN = (**) x. = x( y + z) EM = MN = xy (*) (***) נציב ב-(*) את הקשרים: (**), (***) ונקבל בעזרת משפט פיתגורס במשולש ADE נקבל. x + y = z 66
13 באופן F הוכחה דרך ג' נעתיק את משולש.AD מתלכדת עם הצלע שצלע המשולש 'F EA הוא משולש ש"ש, משום שהוא בעל שתי זוויות שוות; "יפה היא הגאומטריה" חיזוק ההיגד ע"י הצגת דרכי פתרון אחדות לאותה משימה.. EF ' A = EAF ' = 9 α מסקנה EF '= EA x + y = z הוכחה דרך ד' נשתמש בכללים של הנדסה אנליטית. נמקם את הריבוע במערכת צירים באופן שהקדקוד A יתלכד עם ראשית הצירים, והצלעות ו - AD יהיו מונחות על הצירים x ו -y בהתאמה. שיעורי הקדקודים הם כדלקמן:. b באופן ש-, E( b, ). D( o, ) ו - C( o, ), B(, o), A( o, o) y = נבחר נקודה E על הצלע, ששיעוריה b y = o x משוואת הצלע היא משוואת הישר AE היא כשנתונים שני ישרים באמצעות המשוואות הכלליות שלהם: 1 משוואות חוצי-הזוויות הן כדלקמן: x + b y + c b 1 1 x b y + c = o x + b y + c = ± + b בהתאם למשוואת הכלליות של הישרים AF ו -, 1 x b y + c = o + 67
14 E (בעל השיפוע החיובי, המתאים לישר (AF היא,, BF = b + F(, b + + b + b משה סטופל ושלמה חריר נקבל, שמשוואות חוצי-הזויות שלהם: והמשוואה המפורשת של חוצה-הזווית = y. לכן שיעורי הנקודה F הם: ) b + (A,B,C,D,E,F) + b x לפי שיעורי הקדקודים נקבל את אורכי הקטעים:. באמצעות טכניקה אלגברית פשוטה (כולל הכפלת מונה ומכנה b + = + b + + b x by + b b = ± y AE = + b, DE = b בצמוד של המכנה) ניתן להוכיח בקלות, ש- כלומר,, BF + DE = AE x by = y = o o בעיה 7 נתון ריבוע,CD שאורך צלעו. דרך הקדקודים A ו - B נעביר ישרים, היוצרים זווית של 15 עם הצלע. הישרים נחתכים בנקודה O. הוכח, כי המשולש DOC הוא משולש ש"צ. הוכחה דרך א' המשולשים: DOA ו - COB חופפים לפי צ.ז.צ. מהחפיפה נובע:.OD = OC על הצלע בונים כלפי חוץ משולש ש"צ E. המרובע AOBE הוא דלתון, ועל כן אלכסוניו, הנחתכים בנקודה F, מאונכים זה לזה. 68
15 "יפה היא הגאומטריה" חיזוק ההיגד ע"י הצגת דרכי פתרון אחדות לאותה משימה. EA = EO = על-פי חישוב זוויות:, EAO ועל כן, = AOE = 75 הניצבות ל- ) (בשל DA OE DA = OE = (הוכח!). לכן המרובע DOEA הוא מקבילית (זוג צלעות שוות ונגדיות), אך מאחר שבמקבילית זו ישנן שתי צלעות סמוכות שוות ) ( DA = AE =, הרי שהיא מעוין. מכאן גם DO = והמשולש DOC ש"צ. הוכחה דרך ב' דרך הקדקודים B ו - C נעביר ישרים, היוצרים זווית של 15 עם הצלע.BC הישרים נחתכים בנקודה 'O. המשולש BOO' הוא ש"צ. ע"י חישוב-זוויות נקבל:. מזה נובע, OCO ' = 15 ש- = 3 OCB, ולכן, DOC הוא ש"צ. = 6 O והמשולש הוכחה דרך ג' נציגהוכחה בדרך השלילה: המשולש O' הוא משולש ש"צ. לפי זה, הזווית O' CB= 3. O'CB לכן, היא זווית-ראש במשולש ש"ש = 75 ' CBO. היות והזווית בקדקוד B היא בת, 9 הדבר מחייב, שהקדקודים O ו -' O יתלכדו בסתירה לנתון, כלומר, DOC הוא ש"צ. 69
16 משה סטופל ושלמה חריר הוכחה דרך ד' נעביר את אלכסוני הריבוע, ונסמן ב- E את נקודת- החיתוך שלהם. ההמשך של AO חותך את האלכסון בנקודה F ואת הצלע BC בנקודה G. לפי חישוב זוויות נקבל:. CAO = 3 נחבר את הנקודה F עם הקדקוד C..AC הוא אנך אמצעי לאלכסון FD מתכונת האנך האמצעי נקבל: EAO = ECO = 3 EFA = EFC = 6, מחישוב זוויות נקבל:, CFO = CFB = 1, ECG =15 3 FOB = FBO = FO = FB המשולשים: CFB ו - CFO חופפים עפ"י צ.ז.צ. מהחפיפה נקבל:, OCF = FCB = 15 O הוא ש"צ. ומכאן,. OCB המשולש = 3 OCD = 6 לכן סיכום המשימות שהוצגו הן חלק קטן ביותר ממכלול רחב של בעיות הנדסה, שניתן למצוא להן יותר מדרך פתרון אחת. מגוון הפתרונות מצביע על יופייה של המתמטיקה ומעורר דחף ואתגר למציאת פתרונות נוספים, לעתים מפתיעים ובלתי שגרתיים. פתרונות אלו מקנים מיומנות כלים ודרכי פתרון ומאפשרים התמודדות עם משימות קשות, אשר רבה תרומתן לפיתוח החשיבה, והן גורמות הנאה רבה לשוחרי המתמטיקה ולחובביה. 7
17 "יפה היא הגאומטריה" חיזוק ההיגד ע"י הצגת דרכי פתרון אחדות לאותה משימה. בביליוגרפיה זיסקין, ק', שריקי, ע' (5). אפשר גם בלי טריגונומטריה דרך אחרת לחישוב אורכי המחוגים של מעגל חוסם ומעגל חסום של משולש, על"ה, 35. לייקין, ר', גורביץ, א' מדיקוב, ל' (3). אוגדן משימות מקשרות, משרד החינוך ואוניברסיטת חיפה. מוגילבסקי, ר', סטופל מ' (תשס"ד). מציאת ערכי קיצון: מינימום/מקסימום, ללא שימוש במחשבון דיפרנציאלי. "שאנן", כרך ט' כתב-עת של המכללה האקדמית הדתית לחינוך, חיפה. סטופל, מ', מוגילבסקי, ר' (תשס"ד). הדגמת דרכי-פתרון שונות לארבע משימות הנדסיות. "שאנן", כרך ט' כתב-עת של המכללה האקדמית הדתית לחינוך, חיפה. א. סאלח, פ' (תשס"ד). הוכחה בדרך אחרת, על"ה, 31. ב. אפלבאום, מ', סמובול, פ' (תשס"ו). תגובה למאמר: "הוכחה בדרך אחרת", על"ה,
18 משה סטופל ושלמה חריר 7
תרגילים באמצעות Q. תרגיל 2 CD,BF,AE הם גבהים במשולש .ABC הקטעים. ABC D נמצאת על המעגל בין A ל- C כך ש-. AD BF ABC FME
הנדסת המישור - תרגילים הכנה לבגרות תרגילים הנדסת המישור - תרגילים הכנה לבגרות באמצעות Q תרגיל 1 מעגל העובר דרך הקודקודים ו- של המקבילית ו- חותך את האלכסונים שלה בנקודות (ראה ציור) מונחות על,,, הוכח כי
ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך
מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות
המשפטים שאותם ניתן לרשום על ידי ציון שמם הם:
צ, ציטוטמחוזרמפמ''ר : (שיניתירקאתצורתהכתיב) בשאלות (שאלון 5) יש לנמק כל שלב בפתרון על ידי כתיבת המשפט הגיאומטרי המתאים. משפטים ידועים ניתנים לציטוט על ידי ציון שמם. את כל יתר המשפטים יש לנסח במדויק. המשפטים
תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן
תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר
שאלה 1 נתון: (AB = AC) ABC שאלה 2 ( ) נתון. באמצעות r ו-. α שאלה 3 הוכח:. AE + BE = CE שאלה 4 האלכסון (AB CD) ABCD תשובה: 14 ס"מ = CD.
טריגונומטריה במישור 5 יח"ל טריגונומטריה במישור 5 יח"ל 010 שאלונים 006 ו- 806 10 השאלות 1- מתאימות למיקוד קיץ = β ( = ) שאלה 1 במשולש שווה-שוקיים הוכח את הזהות נתון: sin β = sinβ cosβ r r שאלה נתון מעגל
(ספר לימוד שאלון )
- 40700 - פתרון מבחן מס' 7 (ספר לימוד שאלון 035804) 09-05-2017 _ ' i d _ i ' d 20 _ i _ i /: ' רדיוס המעגל הגדול: רדיוס המעגל הקטן:, לכן שטח העיגול הגדול: / d, לכן שטח העיגול הקטן: ' d 20 4 D 80 Dd 4 /:
תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תשע"א, מיום 23/5/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.
תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תשע"א, מיום 3/5/011 שאלון: 635860 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. שאלה מספר 1 נתון: 1. ממקום A יצאה מכונית א' וכעבור מכונית ב'. 1 שעה
מצולעים מצולעהוא צורה דו ממדית,עשויה קו"שבור"סגור. לדוגמה: משולש, מרובע, מחומש, משושה וכו'. לדוגמה:בסרטוט שלפappleיכם EC אלכסוןבמצולע.
גיאומטריה מצולעים מצולעים מצולעהוא צורה דו ממדית,עשויה קו"שבור"סגור. לדוגמה: משולש, מרובע, מחומש, משושה וכו'. אלכסון במצולע הוא הקו המחבר בין שappleי קדקודים שאיappleם סמוכים זה לזה. לדוגמה:בסרטוט שלפappleיכם
תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.
בB בB תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: 035804 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 מכונית נסעה מעיר A לעיר B על כביש ראשי
שוקו שיעור 1. הגדרת המקבילית שילובים במתמטיקה 349 במקביליות שלפניכם משתמשים בסביבה ובחיי היום-יום. בפסי-רכבת: בדגלים: בתמרורים וסימני תנועה:
יחידה 19: מקבילית שיעור 1. הגדרת המקבילית במקביליות שלפניכם משתמשים בסביבה ובחיי היום-יום. בפסי-רכבת: בדגלים: של איזו מדינה דגל זה? של איזו מדינה דגל זה? בתמרורים וסימני תנועה: איזה תמרור זה? איזה תמרור
תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.
תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 שאלון: 316, 035806 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 E נתון: 1 רוכב אופניים רכב מעיר A לעיר B
יחידתלימודבנושא " שלמשולשישרזווית" http://www.hebrewkhan.org/lesson/533 מעט היסטוריה הפרושהמילולישלהמילה "" הוא "מדידתמשולשים". משולש "טריגונו" מיוונית - "מטריה"- מיוונית - מדידה, ענףשלהמתמטיקההעוסק, ביןהיתר,
גיאומטריה גיאומטריה מצולעים ניב רווח פסיכומטרי
מצולע הוא צורה דו ממדית, עשויה קו "שבור" סגור. לדוגמה: משולש, מרובע, מחומש, משושה וכו'. אלכסון במצולע הוא הקו המחבר בין שני קדקודים שאינם סמוכים זה לזה. לדוגמה: בסרטוט שלפניכם EC אלכסון במצולע. ABCDE (
המחלקה להוראת המדעים כל הזכויות שמורות הוא מציב בכל צד מוט אופקי לתמיכה במסגרת כמו בתמונה. 1. א. באיזה משולש הקטע המקווקו הוא קטע אמצעים?
יחידה 33: קטע אמצעים שיעור 1. קטע אמצעים במשולש מוטי בונה נדנדת גן. הוא מציב בכל צד מוט אופקי לתמיכה במסגרת כמו בתמונה. המוטות, הצבועים באדום, מחברים את אמצעי העמודים. כיצד יחשב מוטי את אורך המוט האדום?
פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur
פתרון תרגיל --- 5 מרחבים וקטורים דוגמאות למרחבים וקטורים שונים מושגים בסיסיים: תת מרחב צירוף לינארי x+ y+ z = : R ) בכל סעיף בדקו האם הוא תת מרחב של א } = z = {( x y z) R x+ y+ הוא אוסף הפתרונות של המערכת
משרד החינוך המזכירות הפדגוגית אגף מדעים הפיקוח על הוראת המתמטיקה
משולשים חופפים, תיכון במשולש )41 שעות( ומשולש שווה שוקיים שתי צורות נקראות חופפות אם אפשר להניח אחת מהן על האחרת כך שתכסה אותה בדיוק )לשם כך ניתן להזיז, לסובב ולהפוך את הצורות(. בפרק זה נתמקד במשולשים
גיאומטריה גיאומטריה מעגלים ניב רווח פסיכומטרי
מושגים בסיסיים: פאי: π היא אות יוונית המביעה את הקשר בין רדיוס וקוטר המעגל לשטחו והיקפו (על הקשר עצמו נרחיב בהמשך). ערכו המספרי של π הוא 3.14 בבחינה הפסיכומטרית לרוב נתייחס ל- π בקירוב (הוא ממשיך אין-סוף
1. המעגל מעגל הוא קו סגור במישור, שכל נקודה עליו נמצאת במרחק שווה מנקודה במרכז. נקודה זו נקראת מרכז המעגל. מרחק הנקודות שעל המעגל ממרכזו נקראת רדיוס
1. המעגל מעגל הוא קו סגור במישור, שכל נקודה עליו נמצאת במרחק שווה מנקודה במרכז. נקודה זו נקראת מרכז המעגל. מרחק הנקודות שעל המעגל ממרכזו נקראת רדיוס המעגל. כל קטע המחבר את נקודת המעגל עם מרכזו נקרא אף
חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א'
מד''ח 4 - חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' ( u) u u u < < שאלה : נתונה המד''ח הבאה: א) ב) ג) לכל אחד מן התנאים המצורפים בדקו האם קיים פתרון יחיד אינסוף פתרונות או אף פתרון אם קיים פתרון אחד או יותר
המחלקה להוראת המדעים
יחידה 19: מקבילית שיעור 1. הגדרת המקבילית במקביליות שלפניכם משתמשים בסביבה ובחיי היום-יום. בדרגות בצה"ל: בדגלים: של איזו מדינה דגל זה? של איזו מדינה דגל זה? בתמרורים וסימני תנועה: באריזות אוכל: איזה תמרור
שיעור.1 חופפים במשולש שווה שוקיים יחידה - 31 חופפים משולשים 311
יחידה :31חופפים משולשים נחפוף משולשים ונוכיח תכונות של אלכסוני משולשים שווה שוקיים ואלכסוני המלבן. שיעור.1חופפים במשולש שווה שוקיים נחקור ונוכיח תכונות של משולש שווה שוקיים נתון משולש שווה שוקיים שבו.
יחידה - 7 זוויות חיצוניות
יחידה 7: זוויות חיצוניות שיעור 1. זווית חיצונית למצולע מה המשותף לכל הזוויות המסומנות ב-? נכיר זווית חיצונית למצולע, ונמצא תכונה של זווית חיצונית למשולש. זווית חיצונית למצולע 1 כל 1. הזוויות המסומנות במשימת
תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות
תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות. פתרו את המשוואות הבאות. לא מספיק למצוא פתרון אחד יש למצוא את כולם! sin ( π (א) = x sin (ב) = x cos (ג) = x tan (ד) = x) (ה) = tan x (ו) = 0 x sin (x) + sin (ז) 3 =
מתמטיקה טריגונומטריה
אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה 5 לתלמידי 4 ו- יחידות לימוד כ- 50 תרגילים עם פתרונות מלאים הקדמה ספר זה הוא חלק מסדרת ספרים "המדריך המלא לפתרון תרגילים" הסדרה מיועדת לשימוש כהשלמה
שיעור 1. זוויות צמודות
יחידה 11: זוגות של זוויות שיעור 1. זוויות צמודות נתבונן בתמרורים ובזוויות המופיעות בהם. V IV III II I הדסה מיינה את התמרורים כך: בקבוצה אחת שלושת התמרורים שמימין, ובקבוצה השנייה שני התמרורים שמשמאל. ש
ב ה צ ל ח ה! /המשך מעבר לדף/
בגרות לבתי ספר על יסודיים סוג הבחינה: מדינת ישראל קיץ תשע"א, מועד ב מועד הבחינה: משרד החינוך 035804 מספר השאלון: דפי נוסחאות ל 4 יחידות לימוד נספח: מתמטיקה 4 יחידות לימוד שאלון ראשון תכנית ניסוי )שאלון
3-9 - a < x < a, a < x < a
1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.
פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( )
פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד a d U c M ( יהי b (R) a b e ל (R M ( (אין צורך להוכיח). מצאו קבוצה פורשת ל. U בדקו ש - U מהווה תת מרחב ש a d U M (R) Sp,,, c a e
I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx
דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה
תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות
Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון
שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R
תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A
שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם
תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא
"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי
הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי נושא: חקירת משוואות פרמטריות בעזרת גרפים הוכן ע"י: אביבה ברש. תקציר: בחומר מוצגת דרך לחקירת
גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות
08 005 שאלה גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות f ( ) f ( ) g( ) f ( ) ו- lim f ( ) ו- ( ) (00) lim ( ) (00) f ( בסביבת הנקודה (00) ) נתון: מצאו ) lim g( ( ) (00) ננסה להיעזר בכלל הסנדביץ לשם כך
לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור
הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין
מתמטיקה )שאלון שני לנבחנים בתכנית ניסוי, 5 יחידות לימוד( 1 מספרים מרוכבים 3#2 3 3
סוג הבחינה: בגרות לבתי ספר על יסודיים מדינת ישראל מועד הבחינה: חורף תשע"ב, 202 משרד החינוך מספר השאלון: 035807 דפי נוסחאות ל 5 יחידות לימוד נספח: א. משך הבחינה: שעתיים. מתמטיקה 5 יחידות לימוד שאלון שני
מתמטיקה לכיתה ח גאומטרייה חלק ג מהדורת ניסוי
מתמטיקה לכיתה ח גאומטרייה חלק ג מהדורת ניסוי צוות המתמטיקה במטח: ראש תחום מתמטיקה: ד"ר שרה הרשקוביץ מנהלת צוות פיתוח מתמטיקה לבית הספר העל יסודי: ד"ר בבה שטרנברג צוות הפיתוח: רגינה אובודנקו, ד"ר אלכס אוליצין,
b2n-1 ב. נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית יורדת כדי לרשום את הנתון: 1-q = 0.8 b 1-q 1=0.8(1+q) q= 1 4 פתרון לשאלה 2
פתרון מבחן מס' פתרון לשאלה א. להוכיח כי סדרה c היא סדרה הנדסית משמע להוכיח כי היחס בין איברים סמוכים בסדרה הוא מספר n c n +n c מכיוון ש- q הוא מספר קבוע, סדרה = b n+ = bq n =q cn bn- bq n- :b n קבוע. אם
-107- גיאומטריה זוויות מבוא מטרתנו בפרק זה היא לחזור על המושגים שנלמדו ולהעמיק את הלימוד בנושא זה.
-07- בשנים קודמות למדתם את נושא הזוויות. גיאומטריה זוויות מבוא מטרתנו בפרק זה היא לחזור על המושגים שנלמדו ולהעמיק את הלימוד בנושא זה. זווית נוצרת על-ידי שתי קרניים היוצאות מנקודה אחת. הנקודה נקראת קדקוד
פתרון מבחן מתכונת מס' 21. פתרון שאלה 1 נסמן: x מהירות ההליכה של נועם. y מהירות ההליכה של יובל. נועם 2.5x 2.5 x יובל בתנועה יובל במנוחה משוואה I:
פתרון מבחן מתכונת מס' פתרון שאלה נסמן: מהירות ההליכה של נועם. y מהירות ההליכה של יובל. מהירות זמן דרך נועם.5.5.5 +.5 A 5 A y y יובל בתנועה 6 יובל במנוחה A y + 6 משוואה I: נועם ויובל שהו במשך אותו זמן בדרך:.5.5
ˆÓ ÍÒÂÓÏ Ú Ó 50 Ï Â È Ó Ó 10 ÚÒ Â A ÔÂÂÈÎÏ ÈÓ ÊÁ ÆA Ï Í Æ Ï Ú Â ÚÈÒ Â È ÓÓ Ó 10 Ë Â È Ó
ßÒÓ Ú Û ÂÁ ÈËÓ Ó ÁÙÒ.,,!. Â Â Æ Â Â ± Ï ÏÎÏ ÂÏ Ó ÌÈÈ ÏÚ Ú ÆÍ ÁÓ Â Â Â Â È Â ÈÈ ÂÏ È Ó ÂÈ ÏÚ Ú Ì! ÆÓ Â ÌÈ Ú È ÔÈ Á Ó Æ B ÈÚ ÔÂÂÈÎÏ A ÈÚÓ ˆÈ.  ÚÈÒ ÏÈÁ Ó Ú 4  ÚÎ Ï Ô Î ÈÙÎ ÚÂ Â È Ó ÚÒ ÏÁ ÆÂ Î Ï ÈÈ ˆÓ ÍÒÂÓÏ
x a x n D f (iii) x n a ,Cauchy
גבולות ורציפות גבול של פונקציה בנקודה הגדרה: קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a תקרא סביבה של a. קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a אך לא מכילה את a עצמו תקרא סביבה מנוקבת של a. יהו a R ו f פונקציה מוגדרת
s ק"מ קמ"ש מ - A A מ - מ - 5 p vp v=
את זמני הליכת הולכי הרגל עד הפגישות שלהם עם רוכב האופניים (שעות). בגרות ע מאי 0 מועד קיץ מבוטל שאלון 5006 מהירות - v קמ"ש t, א. () נסמן ב- p נכניס את הנתונים לטבלה מתאימה: רוכב אופניים עד הפגישה זמן -
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור
טריגונומטריה הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות
טריגונומטריה הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות את הפונקציות הטריגונומטריות ניתן להגדיר באמצעות הקשרים בין הניצבים לבין היתר ובין הניצבים עצמם במשולש ישר זווית בלבד: לדוגמה: סינוס זווית BAC (אלפא)
שיעור 1. מושגים והגדרות
יחידה 12: הגדרות, משפטים והוכחות שיעור 1. מושגים והגדרות בעבר הגדרנו מושגים רבים: זוויות צמודות, זוויות קדקודיות, חפיפה של מצולעים, דמיון של מצולעים ועוד. נדון בשאלות מהי הגדרה, וכיצד מגדירים מושג במתמטיקה.
סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל
סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר
[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m
![[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m](/thumbs/72/67672989.jpg "[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m")
Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות
Logic and Set Theory for Comp. Sci.
234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =
סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806
סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,
ושל (השטח המקווקו בציור) . g(x) = 4 2x. ו- t x = g(x) f(x) dx
פרק 9: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי O 9 ושל בציור שלפניך מתוארים גרפים של הפרבולה f() = נמצאת על הנקודה המלבן CD מקיים: הישר = 6 C ו- D נמצאות הפרבולה, הנקודה נמצאת על הישר, הנקודות ( t > ) OD = t נתון:
פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד
פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה
םיאלמ תונורתפ 20,19,18,17,16 םינחבמל 1 להי רחש ןולאש הקיטמתמב סוקופ
פתרונות מלאים למבחנים 0,9,8,7,6 פוקוס במתמטיקה שאלון 3580 שחר יהל העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית. פתרון מבחן מתכונת מס' 6 פתרון שאלה א. נקודות A ו- B נמצאות על הפונקציה
צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים
מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה
סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות
סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim
gcd 24,15 = 3 3 =
מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =
תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשע"ב זהויות טריגונומטריות
תרגול חזרה זהויות טריגונומטריות si π α) si α π α) α si π π ), Z si α π α) t α cot π α) t α si α cot α α α si α si α + α siα ± β) si α β ± α si β α ± β) α β si α si β si α si α α α α si α si α α α + α si
קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות
קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית
brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק
יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות
סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור
סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b
יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)
יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p
אוסף שאלות מס. 3 פתרונות
אוסף שאלות מס. 3 פתרונות שאלה מצאו את תחום ההגדרה D R של כל אחת מהפונקציות הבאות, ושרטטו אותו במישור. f (x, y) = x + y x y, f 3 (x, y) = f (x, y) = xy x x + y, f 4(x, y) = xy x y f 5 (x, y) = 4x + 9y 36,
דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות
יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)
{ : Halts on every input}
אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.
שם התלמיד/ה הכיתה שם בית הספר. Page 1 of 18
שם התלמיד/ה הכיתה שם בית הספר ה Page of 8 0x = 3x + שאלה פ תרו את המשוואה שלפניכם. x = תשובה: שאלה בבחירות למועצת תלמידים קיבל רן 300 קולות ונעמה קיבלה 500 קולות. מה היחס בין מספר הקולות שקיבל רן למספר
y 2x הוא הגדול ביותר? פיתרון: ניתן לפתור את השאלה בשתי דרכים: הצבת התשובות המוצעות וחישוב ערך הביטוי המתקבל או הבנה של העיקרון האלגברי שבבסיס השאלה.
0 )( 9 )( 8 )4( 7 )( 6 )4( 5 )( 4 )( )( )( )4( שאלה תשובה 0 )( 9 )( 8 )( 7 )( 6 )( 5 )4( 4 )( )( )4( )( שאלה תשובה )שאלות 9-( y x הוא הגדול ביותר? השאלה: באיזה מן המקרים הבאים ערך הביטוי פיתרון: ניתן לפתור
33 = 16 2 נקודות. נקודות. נקודות. נקודות נקודות.
1 מבחן מתכונת מס ' משך הבחינה: שלוש שעות וחצי. מבנה ה ומפתח הערכה: ב זה שלושה פרקים. פרק א': אלגברה והסתברות: נקודות. נקודות. נקודות. נקודות. 1 33 = 16 3 3 פרק ב': גיאומטריה וטריגונומטריה במישור: 1 33
שיעור 1. צלעות פרופורציוניות במשולשים דומים
יחידה 14: דמיון משולשים שיעור 1. צלעות פרופורציוניות במשולשים דומים A 4 40 B 80 C במשימות בשיעור זה השרטוטים הם להדגמה, 4.5 D 80 ומידות האורך נתונות בס"מ. לפניכם שני משולשים. האם המשולשים דומים? F 0 9
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים:
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( 2016 2015 )............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה.1
= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin(
א. s in(0 c os(0 s in(60 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 0 s in(70 מתאים לזהות של cos(θsin(φ : s in(θ φ s in(θcos(φ sin ( π cot ( π cos ( 4πtan ( 4π sin ( π cos ( π sin ( π cos ( 4π sin ( 4π
קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.
א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.
חוברת תרגול וחזרה במתמטיקה לקראת התיכון.
חוברת תרגול וחזרה במתמטיקה לקראת התיכון. מהדורה פנימית שאינה מיועדת למטרות רווח. תלמידים יקרים, לקראת פתיחת שנה"ל הקרובה, בה תחלו את צעדיכם הראשונים בתיכון המושבה, חוברה עבורכם חוברת זו אשר תקל על השתלבותכם
אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה
Analytical Electromagnetism Fall Semester 202-3 אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה צפיפויות מטען וזרם צפיפות מטען נפחית ρ מוגדרת כך שאינטגרל נפחי עליה נותן את המטען הכולל Q dv ρ היחידות של ρ הן מטען
אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2
אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק
אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6
אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6 15 בינואר 016 1. יהי F שדה ויהיו q(x) p(x), שני פולינומים מעל F. מצאו פולינומים R(x) S(x), כך שמתקיים R(x),p(x) = S(x)q(x) + כאשר deg(q),deg(r) < עבור המקרים הבאים: (תזכורת:
חזרה על מושגים בסיסיים במתמטיקה
חזרה על מושגים בסיסיים במתמטיקה סימנים לפניכם טבלה של סימנים מקובלים הכתובים בבחינה. הסימן «x x x < x 0 < x, x ± x x : משמעותו הישרים ו- מקבילים זה לזה הישרים ו- מאונכים זה לזה זווית של 90, זווית ישרה
תרגול פעולות מומצאות 3
תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה
מ פ ת ח ת ש ו ב ו ת נ כ ו נ ו ת ה ס ב ר י ם ש א ל ו ת ו ב ע י ו ת (שאלות 9-1) אוקטובר 12- הסברים לפרק הראשון בחשיבה כמותית - 1 -
אוקטובר - הסברים לפרק הראשון בחשיבה כמותית מ פ ת ח ת ש ו ב ו ת נ כ ו נ ו ת 0 9 8 7 5 4 שאלה () () (4) () () () (4) () () תשובה (4) 0 9 8 7 5 4 שאלה (4) (4) (4) () () () () () () תשובה (4) ה ס ב ר י ם ש
התפלגות χ: Analyze. Non parametric test
מבחני חי בריבוע לבדיקת טיב התאמה דוגמא: זורקים קוביה 300 פעמים. להלן התוצאות שהתקבלו: 6 5 4 3 2 1 תוצאה 41 66 45 56 49 43 שכיחות 2 התפלגות χ: 0.15 התפלגות חי בריבוע עבור דרגות חופש שונות 0.12 0.09 0.06
אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6
אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,
רשימת משפטים והגדרות
רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F
עבודת קיץ למואץ העולים לכיתה י' סדרות:
ב( ג( א ) עבודת קיץ למואץ העולים לכיתה י' סדרות: תרגילי חימום.... בסדרה חשבונית האיבר השמיני גדול פי מהאיבר הרביעי. סכום אחד-אשר האיברים הראשונים בסדרה הוא. 0 ( מצאו את האיבר הראשון של הסדרה. ( מצאו את
אלגברה לינארית גיא סלומון. α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π. σ ς τ υ ω ξ ψ ζ. לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- כתב ופתר גיא סלומון
0 אלגברה לינארית α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π ϖ θ ϑ ρ σ ς τ υ ω ξ ψ ζ גיא סלומון לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת
אלגברה לינארית מטריצות מטריצות הפיכות
מטריצות + [( αij+ β ij ] m λ [ λα ij ] m λ [ αijλ ] m + + ( + +C + ( + C i C m q m q ( + C C + C C( + C + C λ( ( λ λ( ( λ (C (C ( ( λ ( + + ( λi ( ( ( k k i חיבור מכפלה בסקלר מכפלה בסקלר קומוטטיב אסוציאטיב
פרק 8: עצים. .(Tree) במשפטים הגדרה: גרף ללא מעגלים נקרא יער. דוגמה 8.1: תרגילים: הקודקודים 2 ו- 6 בדוגמה הוא ).
מבוא לפרק: : עצים.(ree) עצים הם גרפים חסרי מעגלים. כך, כיוון פרק זה הוא מעין הפוך לשני הפרקים הקודמים. עץ יסומן לרב על ידי במשפטים 8.1-8.3 נפתח חלק מתכונותיו, ובהמשך נדון בהיבטים שונים של "עץ פורש" של
אלגברה לינארית (1) - פתרון תרגיל 11
אלגברה לינארית ( - פתרון תרגיל דרגו את המטריצות הבאות לפי אלגוריתם הדירוג של גאוס (א R R4 R R4 R=R+R R 3=R 3+R R=R+R R 3=R 3+R 9 4 3 7 (ב 9 4 3 7 7 4 3 9 4 3 4 R 3 R R3=R3 R R 4=R 4 R 7 4 3 9 7 4 3 8 6
פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.
בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית
תוכן עניינים הוצאת גורם משותף מסוגריים... 1 תרגילים מתוקשבים - עבודה מס. 1
תוכן עניינים 9 אלגברה... פרק ראשון: 9 הוצאת גורם משותף מסוגריים... תרגילים מתוקשבים - עבודה מס. 5 משוואות ומערכות משוואות ממעלה ראשונה... 5 המשוואה מהמעלה הראשונה.... פ ת רון משוואות ממעלה ראשונה עם נעלם
תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית
אנליזה נומרית 0211 סתיו - תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית נרצה לפתור את מערכת המשוואות יהי פתרון מקורב של נגדיר את השארית: ואת השגיאה: שאלה 1: נתונה מערכת המשוואות הבאה: הערך את השגיאה היחסית
TECHNION Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 ציור 1: דיאגרמת הבלוקים
TECHNION Iael Intitute of Technology, Faculty of Mechanical Engineeing מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 d e C() y P() - ציור : דיאגרמת הבלוקים? d(t) ו 0 (t) (t),c() 3 +,P() + ( )(+3) שאלה מס נתונה
מתמטיקה שאלון ו' נקודות. חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, טריגונומטריה שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות עלול לגרום לפסילת הבחינה.
בגרות לבתי ספר על-יסודיים מועד הבחינה: תשס"ח, מספר השאלון: 05006 נספח:דפי נוסחאות ל- 4 ול- 5 יחידות לימוד מתמטיקה שאלון ו' הוראות לנבחן משך הבחינה: שעה ושלושה רבעים. מבנה השאלון ומפתח ההערכה: בשאלון זה
אינפי - 1 תרגול בינואר 2012
אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,
ניהול תמיכה מערכות שלבים: DFfactor=a-1 DFt=an-1 DFeror=a(n-1) (סכום _ הנתונים ( (מספר _ חזרות ( (מספר _ רמות ( (סכום _ ריבועי _ כל _ הנתונים (
תכנון ניסויים כאשר קיימת אישביעות רצון מהמצב הקיים (למשל כשלים חוזרים בבקרת תהליכים סטטיסטית) נחפש דרכים לשיפור/ייעול המערכת. ניתן לבצע ניסויים על גורם בודד, שני גורמים או יותר. ניסויים עם גורם בודד: נבצע
( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת
הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון
PDF created with pdffactory trial version
הקשר בין שדה חשמלי לפוטנציאל חשמלי E נחקור את הקשר, עבור מקרה פרטי, בו יש לנו שדה חשמלי קבוע. נתון שדה חשמלי הקבוע במרחב שגודלו שווה ל. E נסמן שתי נקודות לאורך קו שדה ו המרחק בין הנקודות שווה ל x. המתח
מתמטיקה שאלון 804 מבחני בגרות ובחינות חזרה.
מתמטיקה שאלון 804 מבחני בגרות ובחינות חזרה הקדמה כללית: ספרי התרגילים של גול הינם פרי של שנות ניסיון רבות בהוראת חומרי הלימוד ובהגשה לבחינות הבגרות במתמטיקה הן בבתי הספר התיכוניים, הן בבתי הספר הפרטיים
ו- 5 יחידות לימוד) חלק א' שאלונים ו (כתום אדום). ו- 806.
מעגל- הנדסת המישור קובץ תרגילים עם מעגל לתלמידי 4 ו- 5 יח"ל עפ"י הנחיות הפיקוח על המתמטיקה צריך ללמד בכיתה י' על דמיון משולשים ובכיתה י"א צריך ללמד על המעגל. בהתאם להנחיות אלה נכתב הספר מתמטיקה (4 ו- 5
אוסף שאלות מס. 5. שאלה 1 בדוגמאות הבאות, נגדיר פונקציה על ידי הרכבה: y(t)).g(t) = f(x(t), בשתי דרכים:
אוסף שאלות מס. 5 שאלה 1 בדוגמאות הבאות, נגדיר פונקציה על ידי הרכבה: y(t)).g(t) = f(x(t), חשבו את הנגזרת (t) g בשתי דרכים: באופן ישיר: על ידי חישוב ביטוי לפונקציה g(t) וגזירה שלו, בעזרת כלל השרשרת. בידקו
f ( x, y) 1 5y axy x xy ye dxdy לדוגמה: axy + + = a ay e 3 2 a e a y ( ) במישור. xy ואז dxdy למישור.xy שבסיסם dxdy וגבהם y) f( x, איור 25.
( + 5 ) 5. אנטגרלים כפולים., f ( המוגדרת במלבן הבא במישור (,) (ראה באיור ). נתונה פונקציה ( β α f(, ) נגדיר את הסמל הבא dd e dd 5 + e ( ) β β איור α 5. α 5 + + = e d d = 5 ( ) e + = e e β α β α f (, )