KEMIJSKA POSTOJANOST POLIMERA I KOMPOZITA

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "KEMIJSKA POSTOJANOST POLIMERA I KOMPOZITA"

Transcript

1 PREDAVANJA: srijeda 10:15-12:00 KEMIJSKA POSTOJANOST POLIMERA I KOMPOZITA Prof.dr.sc. Lidija Ćurković PREDAVANJA Kemijska postojanost polimera i polimernih kompozita Keramički materijali Polimerni materijali Metali i legure

2 Polimerne tvari podložne su procesima dugotrajne a često i ubrzane RAZGRADNJE. Razgradnjom polimera naziva se svaki proces kojim se umanjuju njegova uporabna svojstva. Posljedica RAZGRADNJE je pogoršanje mnogih svojstava od mehaničkih, kemijskih, toplinskih, promjene boje i izgleda. RAZGRADNJA je bilo koji proces koji dovodi do pogoršanja jednog ili većeg broja svojstava polimera. STARENJE MATERIJALA je dugotrajna razgradnja materijala. Starenje (DIN 50035): ukupnost djelovanja svih nepovratnih kemijskih i fizikalnih procesa u materijalu tijekom vremena. Kao što pod utjecajem okoline metali korodiraju, tako i polimerni materijali stare tijekom korištenja proizvoda, uslijed djelovanja degradirjućih agensa, dolazi do nepoželjnih promjena svojstava polimernih materijala.

3 Starenje polimernih materijala obuhvaća različite fizikalne i kemijske procese: - razgradnju polimera uz promjene njihove strukture, - deformacije i pojave sitnih pukotina, -izlučivanje pigmenata i promjene boje, -zamućenje prozirnih polimernih materijala, - bubrenje i otapanje. Starenje polimera Kemijski procesi starenja: - toplinski inducirano naknadno umrežavanje duromera, - toplinski inducirano cijepanje umreženja, -termooksidacijski procesi uslijed djelovanja kisika i topline,... Fizikalni procesi starenja: - relaksacija orijentiranosti, - naknadna kristalizacija,...

4 Starenje polimera Uslijed starenja dolazi do promjena: -veličine molekula (depolimerizacija), -bočnih skupina, - molekulnog umreženja, -oksidacije. Veličina promjena ovisi o stupnju razgradnje i prirodi procesa koji izaziva promjene. Veličina smanjenja ili vidljivo pogoršanje određenih svojstava ovisi o stupnju razgradnje kao i o prirodi kemijskih reakcija u tim procesima. U najširem smislu RAZGRADNJA je posljedica promjena u molekulnoj i nadmolekulnoj strukturi izazvanih kemijskim ili fizikalnim utjecajem. U užem smislu RAZGRADNJA je kemijski proces kojim se mijenja konfiguracija makromolekule.

5 Shematski prikaz morfološke građe polimernihtvari: A - amorfno; B - savijeno, kristalno; C - izduženo, kristalno; D amorfno-kristalno područje Nadmolekulna struktura makromolekula u: - (a) amorfnom, - (b) kristalnom i - (c) orjentiranom kristalastom polimeru.

6 TIPOVI RAZGRADNJE OBZIROM NA VRSTU UTJECAJA: Toplina Kisik Ozon Elektromagnetsko zračenje Radioaktivno zračenje Kemijski čimbenici Mehanička naprezanja Atmosferski čimbenici Biološki čimbenici Toplinska Oksidacijska Ozonizacijska Fotokemijska Ionizacijska Kemijska Mehanička Starenje Biorazgradnja Procesi RAZGRADNJE polimera odvijaju se u uvjetima PROIZVODNJE, PRERADE, UPORABE, OPORABE I ODLAGANJA. Sklonost razgradnji, kao i brzina razgradnje, specifičnosti su svakog polimera a također ovise o okolini u kojoj se oni uporabljuju. Najčešće se događa istodobni ili uzastopni utjecaj više faktora. Npr., tijekom PRERADE polimeri su izloženi istodobnom utjecaju topline, kisika i mehaničkih naprezanja, dok tijekom UPORABE u prirodnoj okolini na polimer djeluju svjetlost, kisik, vlaga, ozon, naprezanja i dr.

7 Posljedice razgradnje su: -otvrdnjavanje, - povećanje krhkosti, -obojenost, -općenito pogoršanje mehaničkih, električnih, reoloških i ostalih svojstava. Razgradni procesi uglavnom su nepoželjni. Da bi se razgradni procesi usporili i time produžio koristan vijek trajanja polimerne tvorevine, u polimerni materijal se dodaju razni stabilizatori: toplinski, antioksidansi, antiozonanti ili ultravioletni stabilizatori. Izbor stabilizatora ovisi o tipu polimera i vanjskim uvjetima tijekom uporabe polimerne tvorevine. Razgradnja može biti i NAMJERNA te se naziva IZAZVANA RAZGRADNJA. Npr. noviji vidovi izazvane razgradnje su fotokemijska i biorazgradnja kojima se izaziva ubrzana razgradnja polimernih tvorevina po završetku njihovog uporabnog vijeka. Izazvanom kontroliranom ionizacijskom razgradnjom mogu se poboljšati mehanička svojstva nekih poliplasta. Određeni polimeri kemijskom se razgradnjom mogu prevesti u monomere, početne kemikalije za sintezu novih polimera (kemijska oporaba), a namjernim spaljivanjem polimera po završetku njihova životnog vijeka može se dobiti energija (energijska oporaba).

8 Intenzitet razgradnog procesa ovisi o kemijskim i fizikalnim značajkama polimera. Općenito, amorfna područja puno se brže razgrađuju od kristalnih jer su im molekule manje uređene i struktura im je više otvorena, dostupnija kisiku ili agresivnim plinovima. Opće je prihvaćeno da plastike ne korodiraju, međutim postoje mikroorganizmi koji mogu razgraditi polietilen niske gustoće (PE-LD)

9 Elastomeri mogu uzrokovati koroziju ili taljenje drugih plastika nakon duljeg kontakta, npr. gumica u lijevom kutu UV zračenje može pogoršanti svojstava plastike i promijeniti boju izložene površine

10 Toplina može pogoršati određena svojstava ili omekšati neke plastike čak i na relativno niskim temperaturama Pri izloženosti niskim temperaturama neke plastike mogu postati krhke i pucati pod tlakom

11 Plijesni mogu rasti na plastici u vlažnim uvjetima Biodegradacija - u tijelu kemijska razgradnja sintetskih polimera

12 TOPLINSKA RAZGRADNJA POLIMERA razgradnja polimera utjecajem topline Razgradnja se najčešće događa kemijskim procesima, cijepanjem primarnih ili sekundarnih valentnihih veza, što rezultira smanjenjem molekulne mase te umreženjem i ciklizacijom razgradnih produkata. Ovaj tip razgradnje je ireverzibilan, a ostvaruje se kroz tri osnovna mehanizma: 1. cijepanje osnovnog lanca 2. cijepanje bočnih skupina (lanaca) vezanih na osnovni polimerni lanac 3. ionski katalizirane reakcije bočnih skupina (lanaca). Cijepanje osnovnog lanca može se odvijati kao: statističko cijepanje lanca na fragmente manjeg stupnja polimerizacije. depolimerizacija, proces suprotan polimerizaciji i predstavlja uzastopno odvajanje monomera počevši s kraja lanca. Konačan produkt razgradnje je monomer ili produkti razgradnje monomera.

13 Reakcije cijepanja obuhvaćaju: - inicijaciju, koja se najčešće javlja nastajanjem radikala i to statistički uzduž lanca ili na krajevima lanca, - depropagaciju (uzastopno odvajanje fragmenata lanca), - terminaciju. Cijepanje bočnih skupina (lanaca) vezanih na osnovni polimerni lanac katkada se naziva strukturiranje i predstavlja pretvorbu linearnih makromolekula u cikličke i/ili umrežene strukture:

14 Shematski prikaz procesa toplinske razgradnje polimera: TOPLINSKA RAZGRADNJA Energija kemijskih veza (kj/mol) C-F 485,6 C-H 406,0 Si-O 443,7 C-C 347,4 Car-Car 418,6 Car-H 418,6 Car-N 460,5 Car-O 447,9

15 Krivulja toplinske razgradnje poliakrilonitrila (PAN) Krivulja toplinske razgradnje poliakrilonitrila (PAN) prikazana je kao ovisnost gubitka mase polimera zagrijavanog brzinom 5 C/min o trenutačnoj temperaturi. Polimer je stabilan do oko 250 C, a zatim slijedi brzi gubitak 20 % mase (odvajanje organskog dušikovog spoja). Razgradnja se nastavlja do oko 480 C. Nerazgradljiv, karbonizirani ostatak iznosi oko 30 %. Toplinska razgradnja Ovisnost toplinske stabilnosti o strukturi, određena metodom termogravimetrijske analize kao ovisnost smanjenja mase uzoraka o temperaturi, za nekoliko tipičnih: plastomera duromera.

16 Proces toplinske razgradnje pri nižim temperaturama, obično ispod 200 C, može se spriječiti dodatkom toplinskih stabilizatora. To je naročito važno za sprječavanje razgradnje tijekom prerade polimera, jer temperatura prijelaza u viskofluidno stanje (polimer se oblikuje u tom stanju) može biti dovoljno visoka da započne razgradnja nestabiliziranog materijala. Nastali razgradni produkti ubrzavaju procese razgradnje polimernih tvorevina tijekom uporabe pod normalnim vanjskim uvjetima. Jedan od toplinski najnestabilnijih polimera je PVC. Njegova se razgradnja odvija uzastopnom eliminacijom plinovitog HCl. Temperatura pri kojoj započinje dehidrokloriranje ovisi o uvjetima okoline, ali najčešće semala količina HCl (<5 %) oslobađa već pri temperaturi oko 100 C. Oslobođeni HCl autokatalizira reakciju. Slijedi brza reakcija koja je gotovo potpuna pri temperaturi 250 C Dehidrokloriranje makromolekula PVC-a Intermolekulno dehidrokloriranje:

17 Dehidroklorirani lanci mogu nadalje međusobno reagirati uz nastajanje umreženih i cikličkih struktura. Umreženje dehidrokloriranih lanaca: Termooksidacijska razgradnja -toplinski iniciran proces razgradnje u prisutnosti kisika. Termooksidacijska razgradnja odvija se pri temperaturama nižim od onih za toplinsku razgradnju. Npr., polipropilen je toplinski stabilan polimer. Njegova toplinska razgradnja započinje tek pri C, dok je termooksidacija brza već pri C.

18 Reakcije toplinske razgradnje mogu se, prema nastalim produktima, podijeliti u tri skupine: 1. Razgradnja temeljnih lanaca uz potpunu eliminaciju monomernih jedinica depolimerizacija. 2. Određeno statističko pucanje primarnih kemijskih veza. 3. U polimerima s funkcionalnim skupinama zagrijavanjem dolazi do njihove eliminacije. Termogravimetrijska analiza (TGA) je najčešće korištena metoda za procjenu toplinske stabilnosti polimera, koja podrazumijeva kontinuirano mjerenje promjene mase uzorka u funkciji vremena ili temperature. Ukoliko pratimo promjenu (gubitak) mase uzorka pri konstantnoj temperaturi u ovisnosti o vremenu govorimo o izotermnoj termogravimetriji, dok se promjena mase uzorka u funkciji temperature prati neizotermnom termogravimetrijom. Ukoliko se termogravimetrijski instrument poveže s masenim, plinskim ili infracrvenim spektrofotometrima, tada se navedena metoda može istodobno koristiti i za identifikaciju razgradnih produkata.

19 OKSIDACIJSKA RAZGRADNJA Oksidacijska razgradnja je reakcija između polimera i kisika pri temperaturama pri kojima je toplinska razgradnja zanemariva. Nastaju reaktivni radikali: - peroksi radikali ROO*. - hidroperoksiradikali HOO * - alkoksi radikali RO * - alkilni radikali R * U praksi nema gotovo ni jednog razgradnog procesa u kojemu ne sudjeluje kisik. Polimeri su, kao i svi organski spojevi, izuzetno podložni oksidaciji. Djelovanje kisika ovisi o tome jesu li makromolekule zasićene ili nezasićene. Nezasićeni polimeri podliježu oksidaciji već pri sobnoj temperaturi. Zasićeni polimeri su relativno stabilni a do znatnije oksidacije dolazi tek pri povišenim temperaturama ili u prisustvu ultraljubičaste svjetlosti. OKSIDACIJSKA RAZGRADNJA Brzina oksidacijske razgradnje nezasićenih polimera veća jeodzasićenih, a odvija se: - izravnom adicijom kisika na dvostruku vezu, - izravnim nastajanjem hiperoksida. 2 tipična slučaja oksidacijske razgradnje: - Polimer je u čvrstom stanju, temperatura niska T < Tm (T < Tg ) - reakcija je spora i kontrolirana difuzijom kisika - Polimer je u taljevini pa je T > Tm uz vrlo nisku koncentraciju kisika, reakcija teče u uvjetima preradbe uz toplinsku razgradnju

20 OKSIDACIJSKA RAZGRADNJA Najčešći suslučajevi djelovanjem kisika ili ozona pri povišenim temperaturama pa se govori o toplinsko-oksidacijskoj razgradnji To je tipična radikalna lančana reakcija. Brzina oksidacije pri temp. < 150 C, osim o količini kisika, ovisi i o energiji disocijacije C H veze prema sljedećem nizu: alilni > tercijarni > sekundarni >primarni C atom Primarni C atom Primarni C atom Sekundarni C atom Tercijarni C atom n-butil izobutil- sec-butil tert-butil Preferirani položaj napada kisika je tercijarni C-atom. To je razlog što brzina oksidacije ovisi o stupnju grananja i prisutnosti dvostrukih veza u polimeru. OKSIDACIJSKA RAZGRADNJA Polarnost polimera isto utječe na reakciju oksidacije - polarne skupine daju polimerima polarnu stabilizaciju a time i veću postojanost prema oksidaciji. Brzina oksidacije smanjuje se u nizu: PE > PA > PET > PVC > PMMA > PAN > > PTFE

21 OKSIDACIJSKA RAZGRADNJA Utjecaj antioksidansa razmjeran je indukcijskom vremenu početka apsorpcije kisika Antioksidansi Antioksidansi su tvari koje i u malim koncentracijama usporavaju ili zaustavljaju oksidacijsku razgradnju polimernih materijala, pa im se zato dodaju u procesima dobivanja, skladištenja, preradbe i dugom razdoblju uporabe. Više od 90% svih antioksidansa upotrebljava se za stabilizaciju ugljikovodičnih polimera: PE, PP, PS i ABS

22 Antioksidansi Temeljna reakcija antioksidansa je uklanjanje reaktivnog vodikovog atoma iz molekule antioksidansa (AH) ROO* + AH ROOH + A* Reakcija je vrlo brza a novonastali radikal A* vrlo je stabilan i neaktivan. Antioksidansi se dodaju polimernim materijalima u količini do 1 %, Antioksidansi Najbolji stabilizacijski sustav za većinu polimera je kombinacija antioksidansa i spojeva koji zaustavljaju homolitsku dekompoziciju hidroperosida. Npr. smjesa antioksidansa- dilaurilditiopropionat (DLTP) i tris(2-1-metil-4-hidroksi-5-t-butilfenil) butan (Topanol CA)

23 OZONIZACIJA Proces ozonizacije različit je od oksidacijskog procesa. Ozonizacija nije autokatalitički proces, reakcija se zaustavlja čim se prekine dovod ozona, i odvija se samo na površini polimera. Prvi simptom razgradnje je pojava mikronapuklina na površini materijala, okomito na smjer naprezanja, poznatih kao ozonske napukline (eng. ozone cracking). Količina ozona u zraku je oko 0,01 mg/kg, dok u onečišćenom zraku može biti i sto puta veća. Čak i ta mala količina ozona u zraku zahtijeva antiozonsku stabilizaciju dienskih kaučuka (u gumama), kako bi oni zadržali zadovoljavajuću kakvoću tijekom uporabnoga vijeka. Zasićeni polimeri vrlo su otporni prema ozonu. Ozon je najdjelotvorniji u potpunom mraku, tj. sunčeva svjetlost nema katalitički efekt na reakciju ozonizacije. OZONIZACIJA Trikisik (ozon) O 3 napada dvostruke veze i zato pretežito pridonosi razgradnji dienskih kaučuka (automobilski pneumatici) - te su reakcije odgovorne za nastajanje napuklina i pogoršanje mehaničkih svojstava gumenih proizvoda na osnovi nezasićenih elastomera. Zaštita: posebni aditivi (mikrokristalni voskovi i aminski derivati).

24 SVJETLOSNO-OKSIDACIJSKA RAZGRADNJA: FOTOOKSIDACIJSKA RAZGRADNJA Fotooksidacijska razgradnja je razgradnja pod utjecajem atmosferilija (pretežno oksidacijskim i hidrolitičkim procesima), iniciranim elektromagnetskim zračenjem valne duljine nm (ultraljubičastom svjetlosti). Uzroci promjena uslijed djelovanja atmosferilija: - svjetlost - kisik -ozon -toplina - sumporovi spojevi - dušikovi spojevi - prašina. Spektar elektromagnetskog zračenja Spektar elektromagnetskog zračenja se dijeli na više dijelova. Podjela ovisi i o znanosti koja koristi spektar. Općenita podjela je na: gama zračenje ( -zrake), rendgensko zračenje (X-zrake), ultraljubičasto zračenje, vidljivo zračenje (svjetlost), infracrveno zračenje, mikrovalno zračenje i radiovalove. gama zračenj e rendgensk o zračenje ultraljubičast o zračenje vidljiva zračenje (svjetlost ) infracrveno zračenje radiovalovi

25 Sunčevo zračenje podrazumijeva: - ultraljubičasto (UV) zračenje, - vidljivo zračenje (svjetlost) i - infracrveno (IR) zračenje. - Zračenje je često karakterizirano valnom duljinom, obično izraženo u nanometrima (1nm=10-9 m). - Ultraljubičasto zračenje se obično dijeli u tri spektralna područja: UV-C zračenje ( nm), UV-B zračenje ( nm) i UV-A zračenje ( nm).

26 Sunčevo zračenje kratkovalno je zračenje koje Zemlja dobiva od Sunca. Izražava se u W/m 2. U spektru Sunčeva zračenja na ultraljubičasto zračenje otpada samo 10% energije. UVA i UVB zrake prodiru kroz vanjski sloj kože i izazivaju oštećenja: opekline, alergiju, rak kože i sl. UVC-zrake ne prodiru do površine Zemlje, pa tako niti do naše kože, jer se apsorbiraju u ozonskom sloju atmosfere. Najveći dio energije predstavlja IC zračenje (valne duljine > 760 nm), vidljiva svjetlost (valne duljine nm) te UV zračenje. U spektru je njihov udio sljedeći: 40% čini ICzračenje, 10% UV zračenje, a 50% vidljiva svjetlost. FOTOOKSIDACIJSKA RAZGRADNJA Svjetlost: Fotooksidacijski procesi su inicirani prvenstveno ultraljubičastom svjetlosti valnih duljina 290 do 400 nm Zraka svjetlosti koja dopire na površinu polimera može se: - djelomice reflektirati od površine, - djelomice rasipati u polimeru, - apsorbirati na površinu polimera. Apsorpcija svjetlosnog zračenja polimera ovisi o: -sastavu spektra zračenja, - kemijskom sastavu polimera.

27 FOTOOKSIDACIJSKA RAZGRADNJA Najmanja valna duljina (najveća energija) zračenja prisutna u sunčevom spektru na razini Zemlje je 290 nm. Za cijepanje primarnih valentnih veza u polimernom lancu, primjerice C-C, C-H, C-Cl veza, dovoljna je energija elektromagnetskog zračenja ultraljubičastog područja. Primjerice energija C-C veze je oko 330 kj/mol što odgovara elektromagnetskom zračenju valne duljine 360 nm. Molekulni kisik (O 2 ) i ozon (O 3 ) u atmosferi apsorbiraju zračenje kraćih valnih duljina. FOTOOKSIDACIJSKA RAZGRADNJA Energija svjetlosnog zračenja iznosi 300 do 400 J/molu što je dovoljno za kidanje veza organskih molekula. Posljedice fotooksidacijske razgradnje su: - promjeni boje materijala, - nastajanje mikronapuklina na površini, - te slabljenje mehaničkih i električnih svojstava.

28 Djelovanje sunčeve svjetlosti Fotooksidacijska razgradnja Za svaki polimer postoji raspon valnih duljina pri kojima dolazi do fotokemijske reakcije. POLIMER Djelujuća valna duljina, nm Poliester 315 Polistiren 318 i 340 Polietilen 300 Polipropilen (nestabiliziran) 370 (280) Poli(vinil-klorid) 310 i 370 Polikarbonat i Poliamid Poli(vinil-acetat) < 280

29 Fotooksidacijska razgradnja Najnestabilniji: PE, PP, PS, PVC. - za primjenu je potreban dodatak UV stabilizatora. Najstabilniji: PTFE i ostali fluorirani polimeri. - otporni na djelovanje atmosferilija, nije potrebna zaštita. Proces fotooksidacijske razgradnje započinje pobuđivanjem polimernih molekula uslijed apsorpcije fotona svjetla (h ) -stvarase pobuđena molekula A* ili preko tvari koje lako apsorbiraju svjetlo: Fotooksidacijska razgradnja

30 Fotooksidacijska razgradnja Dva su osnovna načina zaustavljanja fotooksidacijske razgradnje: 1. Svjetlosnim apsorberima- tvari koje zasjenjuju makromolekulu i sprječavaju prodiranje svjetla. Prestavnik apsorbera je tehnički ugljik (čađa sprosječnom veličinom čestica do 20 nm). Jako apsorbira svjetlo u ultraljubičastom i vidljivom području i zatim tu energiju pretvara u toplinu. Dodatak tehničkog ugljena gumenim tvorevinama i polietilenu povećava njihovu otpornost prema starenju više od 30 puta. Nedostatak je crno obojenje prerađevina. Fotooksidacijska razgradnja 2. Deaktivatorima -tvari koje preuzimaju višak apsorbirane energije od pobuđenih molekula (A*) i tako ih deaktiviraju (deaktivator apsorbira ulazno svjetlo a zatim ga transformira u svjetlo većih valnih duljina, infracrveno svjetlo ili toplinsku energiju). Primjeri UV-stabilizatora: fenilni esteri salicilne kiseline, esteri cijanodifenilakrilne kiseline, derivati 2-hidroksibenzofenona,..

31 IONIZACIJSKA RAZGRADNJA Kemijske promjene u polimernim materijalima mogu biti izazvane također ionizacijskim zračenjem. Važno je poznavati ponašanje polimera u radioaktivnom ozračju, primjerice u nuklearnim reaktorima ili u svemiru, kao i svojstva materijala podvrgnuta izazvanom, kontroliranom ionizacijskom zračenju. Zračenje gama- ili X-zrakama (elektromagnetsko zračenje visokih energija tj. zračenje valnih duljina kraćih od ultravioletnog) i čestično zračenje (α i β čestice, elektroni, neutroni) izazivaju ionizaciju izbacivanjem elektrona iz nekih molekula čvrste tvari, te posredno ili neposredno prevode te molekule u visokoenergijsko ili ekscitirano stanje: R R*. Ekscitirane molekule predaju svoju energiju susjednim molekulama kao toplinu ili emitiraju fotone. Katkada se energija ekscitacije lokalizira na određenu kemijsku vezu što rezultira njezinim cijepanjem, tj. radiolizom, što je pokazano na primjeru odvajanja H-atoma i nastajanja nezasićenog polimernog lanca iz PE-a: Radikalima aktivirane susjedne makromolekule mogu međusobno reagirati što rezultira umreženjem lanaca:

32 Kemijska postojanost polimera i polimernih kompozita Keramički materijali Polimerni materijali Metali i legure Suština bolje kemijske postojanosti polimera pred metalima: - postojanje afiniteta između polimera-medija, -najčešće samo fizikalne promjene (samo promjena mase i volumena), -mogućnost reverzibilnosti procesa. Fizikalna struktura: veze u makromolekuli: kovalentna veze između makromolekula: - kovalenta (duromeri najbolji) -međumolekulne (kombinacija stalnih i promjenjivih dipola-plastomeri) - kombinacija kovalentne i međumolekulnih (elastomeri)

33 Pri procjeni kemijske postojanosti nekog polimernog materijala uvijek je potrebno promatrati sustav, koji čini: 1. polimer, 2. medij, 3. uvjeti djelovanja medija, 1. polimer 2. medij 3. uvjeti djelovanja medija (okolina) -kemijski sastav i građa, -morfologija, -unutarnja naprezanja. -kemijski sastav, -fizikalna svojstva. - temperatura, - vrsta opterećenja, - brzina opterećivanja. 1. polimer -Kemijski sastav: kemijski sastav mera, dodaci. -Prisutnost heteroelemenata u osnovnom lancu ( N, O, S,) smanjuje kemijsku postojanost (npr. poliamidi imaju NH CO skupinu u temeljnom lancu, poliesteri - CO O- skupinu) - morfologija: slaganje strukturnih jedinica, -vrste veza između strukturnih jedinica.

34 Fizikalna struktura: morfologija (uređenost ). Amorfna područja u strukturi polimera osjetljivija su na djelovanje medija nego li kristalna područja. S porastom stupnja sređenosti strukture (stupnja kristalnosti) poboljšava se i kemijska postojanost polimera. Relativna promjena mase / m

35 Utjecaji vezani uz kemijski sastav i građu Molekulna masa i njena raspodjela: -s povećanjem molekulne mase (veličine makromolekula) poboljšava se i kemijska postojanost Granatost: - s koncentracijom i duljinom granatosti u početku, posebice kod amorfnih plastomera, uglavnom raste kemijska postojanost. Veća granatost loše utječu na kristalnost pa kod kristalastih plastomera dolazi do pada. Kapljeviti mediji Ovisno o izazvanoj promjeni pri djelovanju kapljevitog medija na polimer mogu se razlikovati: 1. Fizikalno aktivni mediji - medij ne reagira s polimerom i nastale promjene su uglavnom povratne. 2. Kemijski aktivni mediji - medij reagira s polimerom i promjene su nepovratne.

36 Fizikalno aktivni mediji Djelovanje: razaranje fizikalnih (sekundarnih) veza. Posljedica: povećana pokretljivost makromolekula. napuštanje zaostalih naprezanja promjena svojstava ( pada: tvrdoća, Tg, Rm; raste: elastičnost, istezljivost) sekundarna kristalizacija (kristalasti polimeri) Bubrenje Bubrenje uslijed djelovanja vode i vodenih medija- hidratacija. Bubrenja uslijed djelovanja organskih otapala solvatacija.

37 Fizikalno aktivni medij: bubrenje (hidratacija) Fizikalno aktivni mediji: PA 6 /voda Sadržaj vlage Stanje okolina PA 6/ PA 66 % maseni T g PA 6/ PA 66 ( C) suho Bez vlage < 0,2 78 / 90 T t PA 6/PA 66 ( C) vlažno 23 C/ 50 % rel.vlage 3/ 2,7 28 / 39 mokro voda 8 / 7,2-8 / / 264

38 Fizikalno aktivni medij: bubrenje uz solvataciju (krezol, δ = 13,30) Fizikalno aktivni mediji Međudjelovanje polimera i medija temelji se na: - procjeni gustoće kohezijske energije: e* =E/V - i osnova je za parametar topljivosti δ Međudjelovanje polimer /otapalo može se prikazati i kao doprinos pojedinačnih veličina: 2 = 2 d + 2 p + 2 h d = disperzne ( ugljikovodici) p = polarne ( esteri, eteri, ketoni) h = vodikove ( alkoholi, amini, kiseline)

39 Otapanje Dvije su tvari topljive kada je ispunjen uvjet: ( 1-2 ) 2 =0 poli(vinil-alkohol) δ= 23,40 voda δ = 23,41 heksan δ = 7,4 (nepolaran) [poli(vinil-alkohol) otopit će se u vodi, a neće u heksanu] Poli(vinil-klorid) δ =9,50 do 9,70 polarna otapala aceton (δ =9,89) benzen (δ =9,21) [PVC topljiv u acetonu i benzenu] Parametar topljivosti Za niskomolekulne tvari (otapala) određuje se temeljem: - topline isparavanja - koeficijenta toplinske ekspanzije i kompresibilnosti kapljevina - van der Waalsovih plinskih konstanti -kritičnog tlaka - površinske napetosti

40 Parametar topljivosti Za polimerne otopine određuje se: - viskozimetrijskim mjerenjima - mjerenjima indeksa loma svjetosti - na osnovi molarnih konstanti privlačenja F i različitih atoma i atomskih skupina prema izrazu: Za blago umrežene polimere određuje se parametar bubrenja α. Proces bubrenja je lako uočljiv jer dolazi do raslojavanja otopine, manje je prozirna od čistog otapala. Kemijski aktivni mediji Reagiraju s polimerom i nepovratno mijenjaju njegova svojstva. Strukturni utjecaji: - heterogeni elementi ili supstituenti, - dvostruke veze (elastomeri!), -uređenost strukture, -dodaci. Važan utjecaj je i koncentracija medija -moguće negativno djelovanje (češće), ali i usporavajuće- stvaranje stabilnih slojeva nastalih razgradnjom polimera (rijetko)- ovisi o sustavu i uvjetima djelovanja medija.

41 Difuzija Promjena svojstava polimera u kontaktu s fizikalno ili kemijski aktivnim medijem prvenstveno ovisi o mogućnosti difuzije medija u polimer. Većina difuzijskih procesa je nestacionarna, što znači dasetokdifuzijei koncentracijski gradijent u nekoj određenoj točki u materijalu mijenjaju s vremenom. Kod tih uvjeta vrijedi parcijalna diferencijalna jednadžba poznata kao II. Fickov zakon: a u jednostavnijem slučaju kada je D neovisan o sastavu dobiva se: D = difuzijski koeficijent ili difuznost, m 2 /s D ovisi o temperaturi i može se prikazati Arrhenius jednadžbom: D = D 0 e -Q/RT, m 2 /s D = difuznost D 0 = difuzijska konstanta materijala (faktor frekvencije) Q p = energija aktiviranja R = plinska konstanta T = temperatura Toplinski aktivirani proces Nužan preduvjet- postojanje slobodnih volumena Koeficijent difuznosti ovisi o: -temperaturi -strukturi polimera -veličini i aktivitetu difundirajuće molekule.

42 Određivanje koeficijenta difuzije prema 2. Fickovom zakonu Omjera koncentracije apsorbirane tvari C (t) i koncentracije pri zasićenju C u odnosu na drugi korijen iz vremena, gdje je t s vrijeme ravnotežne sorpcije. Koeficijent difuzije D određuje se grafički iz krivulje sorpcije, prema izrazu: gdje je a nagibkrivuljesorpcijenasliciil debljina uzorka. Faze djelovanje medija na polimer: - Sorpcija medija na površinu polimera (adsorpcija), - Difuzija medija u polimer (apsorpcija), - Uzajamno djelovanje medija i polimera, - Difuzija reakcijskih produkata na površinu polimera, - Difuzija reakcijskih produkata s površine polimera u okolni medij.

43 Utjecaj sorpcije medija na mehanička svojstva polimera: - Bubrenje pri apsorpciji u površinske slojeve može povećati modul elastičnosti a ponekad i čvrstoću (tzv. efekt iscjeljivanja zbog napuštanja unutarnjih naprezanja- samo u početnom stadiju djelovanja). - Gomilanje polarnih i vodikovih veza u polarnim polimerima povećavaju kohezijsku energiju između makromolekula. - Nakupine molekula medija u pukotinskim prostorima dovode do bubrenja i oštećenja. -Povećanje volumena uslijed difuzije vode (bubrenje) uzrokuje omekšavanje, pa čak i otapanje. Utjecaj sorpcije medija na mehanička svojstva polimera (nastavak) - Zamrznuta unutarnja naprezanja oslobađaju se uslijed apsorpcije medija i mogu dovesti do stvaranja napuklina (eng. crazes). - Strani uključci mogu u polimeru predstavljati pri prodiranju medija polazna mjesta za pojavu oštećenja. - Orijentiranja u polimeru dovode do anizotropne difuzije - Sorpcija može uvjetovati orijentiranje i sređivanje makromolekula (sekundarna kristalizacija).

44 Uvjeti djelovanja medija -Temperatura - Mehanička djelovanja Temperatura: voda /PA - pri sobnoj temperaturi voda je fizikalno aktivni medij (bubrenje) - pri povišenoj temperaturi iznad 80 C kemijski aktivni medij (hidrolitičko cijepanje kovalentne veze temeljnog lanca na mjestu N-C-) H O Uvjeti djelovanja medija Mehanička djelovanja Mehanička opterećenja mogu dovesti do razaranja kovalentnih veza a time do aktiviranja nastalih dijelova makromolekula ( kemijska relaksacija ) Napredujuće razaranje kovalentnih veza uslijed mehaničkog djelovanja vidljivo je u duljim vremenskim periodima kao stvaranje napuklina na površini polimera.

45 Uvjeti djelovanja medija U primjeni najčešće istovremeno djelovanje medija, mehaničkog djelovanja i promjenjivih uvjeta temperature. Uvjeti djelovanja medija

46 Uvjeti djelovanja medija Tenzokorozija-napredujuće razaranje kovalentnih veza uslijed naprezanja i istovremenog djelovanja medija izaziva stvaranje napuklina na površini koje se šire u unutrašnjost polimera i rezultiraju stvaranjem pukotinica. Prisutnost medija, a to znači istovremeno djelovanje medija i naprezanja, ubrzava pojavu tenzokorozije, naročito u duljim vremenskim periodima ( sniženje Tg, promjena tlaka uslijed bubrenja, sniženje unutarnje površinske energije pukotine) Uvjeti djelovanja medija Tenzokorozija (Environmental Stress Cracking (ESC) ili Spannunsrisskorrosion) ) je jedan od najčešćih uzroka za neočekivani lom plastomera, posebice amorfnih i predstavlja od 15 % do čak 30 % uzroka zakazivanja plastičnih komponenti u primjeni.

47 Tenzokorozija Tenzokoroziji prethodi nastajanje lokalnih zona tečenja (eng. crazes). Zone tečenja? -lokalno ograničeno istezanje segmenata makromolekulnih lanaca, koji pucaju pri povišenju naprezanja pa iz zona tečenja nastaju napukline. Ovisi o: -veličini naprezanja, - brzini deformiranja. Tenzokorozija Mehanizam tenzokorozije: - početna mjesta s greškom u mikro- ili makropodručjima, - pri naprezanju dolazi na tim mjestima do koncentracije naprezanja, - lokalno ograničeno istezanje segmenata makromolekulnih lanaca, koji pucaju pri povišenju naprezanja pa iz zona tečenja nastaju napukline, - pri većim naprezanjima dolazi do stvaranja jedne velike pukotine, - pri nižim naprezanjima veći broj manjih pukotina ( posebice kod tvrđih polimera)- ovisno o koncentraciji naprezanja i relaksaciji naprezanja u području oko pukotine.

48 Nastajanje pukotine Tenzokorozija Mehanizam tenzokorozije različit za amorfne i kristalaste plastomere: - amorfni: pri opterećenju nastaju lokalne zone tečenja na površini u kojima medij snizuje Tg, olakšavajući tečenje i stvaranje novih zona tečenja, što ubrzava stvaranje pukotine - kristalasti: postojanja slabih mjesta u nadmolekulnim strukturama koja se šire uslijed djelovanja naprezanja pa u njih ulazi medij koji snizuje specifičnu energiju loma

49 Tenzokorozija Vrijeme do loma dulje, odnosno otpor stvaranju pukotina je veći ako je: - manji pad molekulnog faktora trenja uslijed omekšavajućeg djelovanja medija, - veća viskoznost medija (veće molekule-sporija difuzija), - veća krutost polimernih lanaca, - veća koncentracija kratkih bočnih skupina (grananje)- ometaju klizanje i povećavaju trenje, -veća molekulna masa-veća duljina klizanja, - veći broj premoštenih molekula na koje je razdijeljeno djelovanje vanjskog naprezanja - manje naprezanje potrebno za raspetljavanje, 3 karakteristična područja: I. uz neznatno povećanje faktora intenziteta naprezanja K I raste da/dt za nekoliko redova veličine. II. da/dt se s rastućim K I tek malo mijenja i vrijedi: da/dt =AK m I A i m su konstante ovisne o materijalu i uvjetima ispitivanja III. često samo slabo izraženo područje nestabilnog širenja pukotine Zbog velike brzine širenja pukotine u području III utjecaj medija je pretežno ograničen na područja I i II (uglavnom II).

50 Naprezanje do loma kao funkcija vremena za prešani SAN u različitim medijima pri 23 C Utjecajne veličine: -kemijska građa i umreženost polimera, - molekulna masa i granatost, - molekulna orijentacija i kristalnost, - vrsta i viskoznost medija, - izmjenično djelovanje polimera i medija.

51 Umreženje Umreženje dodacima ili energijskim zračenjem povećava otpornost Granatost - kratkolanačana granatost - s porastom koncentracije granatosti povećava se vrijeme do loma, - dugolančana granatost- kraća vremena jer nema otpora raspetljavanju, - utjecaj granatosti na stupanj kristalnosti (veće grananje, manji stupanj uređenosti strukture), - najpovoljniji visokomolekulni udjeli s kraćom granatosti,

52 Tenzokorozija kristalasti plastomeri Granične površine između lamela ili sferolita, sferolita i amorfne faze su slaba mjesta. Molekulno orijentiranje PS dobiven injekcijskim prešanjem ima bolju otpornost zbog orijentiranja molekula idu od vanjskog ruba prema unutrašnjosti.

53 Viskoznost -Povećanje viskoznosti smanjuje brzinu difuzije, - Utjecaj viskoznosti se mora proučavati u zavisnosti o prosječnoj veličini molekula, odnosno njihovoj raspodjeli., - Visokomolekulni polimeri imaju povećanu gustoću nadmolekulnih struktura (fibrila, sferolita) ispred vrha pukotine, što smanjuje brzinu, - izmjenično djelovanje polimera i medija, - difuzije i tečenja Utjecaj različitih medija PMMA 1=zrak 2= CCl 4 3= etanol

54 Kemijska postojanost polimernih kompozita Polimerne matrice su obično duromerne smole (umrežena struktura s kemijskim vezama-dobra kemijska postojanost). Najčešće: -nezasićene poliesterske smole (UP) -epoksidnesmole(ep) - fenol-formaldehidne smole (PF) Plastomerne matrice: -poliamidi (PA), polipropilen (PP), ABS, -poli(fenilen-sulfid) PPS, -poli(eter-eter-keton), PEEK, - poli( eter-imid), PEI. Kemijska postojanost polimernih kompozita Ojačala: - čestice -vlakna: staklena, ugljična, aramidna.

55 Kemijska postojanost polimernih kompozita Uzroci povećane difuzije medija u kompozit u odnosu na čistu smolu: Mikrokapilarni polimer/ojačalo, međupovršinski prostori na graničnim područjima Problem povezanosti matrice i ojačala odnosno homogenosti kompozitnog materijala, Međupovršine (2D -interface) i međuslojevi (3D - interphase).

56 Mikrografija međusloja (interphase) u polimernom kompozitu- PP matrica i obrađeno stakleno vlakno Uzroci povećane difuzije medija u kompozit u odnosu na čistu smolu 1. Nastajanje naprezanja (tlačnih i/ili vlačnih) u graničnim slojevima matrica/ojačalo zbog različitog koeficijenta toplinske istezljivosti smole i ojačala (česta pojava pukotina u graničnim slojevima)

57 Uzroci povećane difuzije medija u kompozit u odnosu na čistu smolu 2. Difundirani medij izaziva promjenu osmotskog tlaka a to dovodi do dodatnog naprezanja

58 Pitanja za ponavljanje: 1. Što je razgradnja polimera, koje su posljedice? 2. Što je starenje materijala, koje promjene nastaju uslijed starenja polimera te navedite fizikalne i kemijske procese starenja polimera? 3. Navedite tipove razgradnje polimera obzirom na vrstu utjecaja, te u kojim uvjetima se odvijaju procesi razgradnje. 4. Što je toplinska razgradnja polimera i koji su mehanizmi? 5. Što je oksidacijska razgradnja i koja su dva tipična slučaja oksidacijske razgradnje? 6. Što su antioksidansi i na čemu se temelji njihovo djelovanje? 7. Što je ozonizacija i koji je prvi simptom ozonizacijske razgradnje? 8. Što je fotooksidacijska razgradnje i kako se odvija? Koji su polimeri najnestabilniji, a koji najstabilniji? 9. Što je fotooksidacijska razgradnja polimera i o čemu ovisi? Koje promjene nastaju uslijed tog tipa razgradnje? 10. Što je fotooksidacijska razgradnje i kako se može usporiti? 11. Kako se jednostavnije može odrediti približna vrijednost koeficijenta difuznosti polimernih materijala? 12. Što sve čini sustav za procjenu kemijske postojanosti polimera i koji elementi unutar sustava utječu na ponašanje polimera? 13. Kako kemijski sastav polimera utječe na njegovu kemijsku postojanost? 14. Koji sve utjecaji vezani uz kemijsku građu polimera utječu na njegovu kemijsku postojanost i na koji način? 15. Kako fizikalna struktura polimera utječe na njegovu kemijsku postojanost? 16. Kako se mogu podijeliti mediji obzirom na promjene koje izazivaju u polimernim materijalima? 17. Opišite djelovanje fizikalno aktivnih medija? 18. Kako djeluje kemijski aktivni medij na polimere i što utječe na djelovanje? 19. Kako fizikalno aktivni medij djeluje na polimer i koje su sve posljedice? 20. Koje su faze djelovanja medija na polimer? 21. Kakvi sve mogu biti utjecaji sorpcije medija na mehanička svojstva polimera? 22. Koje su posljedice mehaničkog opterećenja na polimer? Što je tenzokorozija? 23. Što je tenzokorozija? Što su zone tečenja i kao nastaju? 24. Objasnite mehanizam tenzokorozije. Kakva je posljedica različite veličine opterećenja? 25. Koja je razlika u ponašanju amorfnih i kristalastih plastomera izloženih tenzokoroziji? 26. Što sve utječe na povećanje otpora lomu uslijed tenzokorozije? 27. Kakva je kemijska postojanost polimernih kompozita u odnosu na polimere? 28. Koji su uzroci povećane difuzije medija u kompozit u odnosu na polimernu matricu? 29. Izjednačite jednadžbe pomoću redoksa (primjeri s 1. vježbe). 30. Što su redoks reakcije, što je redukcija, a što oksidacija?

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA)

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Karakterizacija materijala DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Dr.sc.Emi Govorčin Bajsić,izv.prof. Zavod za polimerno inženjerstvo i organsku kemijsku tehnologiju Da li je DMA toplinska analiza ili reologija?

Διαβάστε περισσότερα

Sveučilište u Zagrebu Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije. Doc. dr. sc. Ljerka Kratofil Krehula

Sveučilište u Zagrebu Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije. Doc. dr. sc. Ljerka Kratofil Krehula Sveučilište u Zagrebu Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Doc. dr. sc. Ljerka Kratofil Krehula krehula@fkit.hr Izvođenje nastave četvrtkom, 8:15-10:00, Savska cesta 16, S-P prisutnost na 75 %

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

A B C D. v v k k. k k

A B C D. v v k k. k k Brzina kemijske reakcije proporcionalna je aktivnim masama reagirajućih tvari!!! 1 A B C D v2 1 1 2 2 o C D m A B v m n o p v v k k m A B o C D p C a D n A a B A B C D 1 2 1 2 o m p n 1 2 n v v k k K a

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

UVOD U KVANTNU TEORIJU

UVOD U KVANTNU TEORIJU UVOD U KVANTNU TEORIJU UVOD U KVANTNU TEORIJU 1.) FOTOELEKTRIČKI EFEKT 2.) LINIJSKI SPEKTRI ATOMA 3.) BOHROV MODEL ATOMA 4.) CRNO TIJELO 5.) ČESTICE I VALOVI Elektromagnetsko zračenje UVOD U KVANTNU TEORIJU

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog

Διαβάστε περισσότερα

Postupak rješavanja bilanci energije

Postupak rješavanja bilanci energije Postupak rješavanja bilanci energije 1. Postaviti procesnu shemu 2. Riješiti bilancu tvari 3. Napisati potreban oblik jednadžbe za bilancu energije (zatvoreni otvoreni sustav) 4. Odabrati referentno stanje

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet strojarstva i brodogradnje DIPLOMSKI RAD

Fakultet strojarstva i brodogradnje DIPLOMSKI RAD Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje DIPLOMSKI RAD Marko Rakvin Zagreb, 2009. Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje DIPLOMSKI RAD Voditelj rada: prof. dr. sc. Đurđica

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

REAKCIJE ELIMINACIJE

REAKCIJE ELIMINACIJE REAKIJE ELIMINAIJE 1 . DEIDROALOGENAIJA (-X) i DEIDRATAIJA (- 2 O) su najčešći tipovi eliminacionih reakcija X Y + X Y 2 Dehidrohalogenacija (-X) X strong base + " X " X = l, Br, I 3 E 2 Mehanizam Ova

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Materijali I POLIMERI. Prof. dr. sc. Ivica Kladarić

Materijali I POLIMERI. Prof. dr. sc. Ivica Kladarić Materijali I POLIMERI Prof. dr. sc. Ivica Kladarić Osnove polimera Osnove polimera Područja primjene polimernih materijala Osnove polimera Riječ polimer je složenica koja potječe od grčkih riječi: πολυ

Διαβάστε περισσότερα

EMISIJA ŠTETNIH SASTOJAKA U ATMOSFERU IZ PROCESA IZGARANJA IZGARANJE - IZVOR EMISIJE

EMISIJA ŠTETNIH SASTOJAKA U ATMOSFERU IZ PROCESA IZGARANJA IZGARANJE - IZVOR EMISIJE Prof. dr. sc. Z. Prelec INŽENJERSTO ZAŠTITE OKOLIŠA Poglavlje: (Emisija u atmosferu) List: 1 EMISIJA ŠTETNIH SASTOJAKA U ATMOSFERU IZ PROCESA IZGARANJA IZGARANJE - IZOR EMISIJE Izgaranje - najveći uzrok

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Vodik. dr.sc. M. Cetina, doc. Tekstilno-tehnološki fakultet, Zavod za primijenjenu kemiju

Vodik. dr.sc. M. Cetina, doc. Tekstilno-tehnološki fakultet, Zavod za primijenjenu kemiju Vodik Najzastupljeniji element u svemiru (maseni udio iznosi 90 %) i sastavni dio Zvijezda. Na Zemlji je po masenom udjelu deseti element po zastupljenosti. Zemljina gravitacija premalena je da zadrži

Διαβάστε περισσότερα

Izravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ )

Izravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ ) Posmična čvrstoća tla Posmična se čvrstoća se često prikazuje Mohr-Coulombovim kriterijem čvrstoće u - σ dijagramu c + σ n tanφ Kriterij čvrstoće C-kohezija φ -kut trenja c + σ n tan φ φ c σ n Posmična

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

C kao nukleofil (Organometalni spojevi)

C kao nukleofil (Organometalni spojevi) C kao nukleofil (Organometalni spojevi) 1 Nastajanje nukleofilnih C atoma i njihova adicija na karbonilnu grupu Ukupan proces je jedan od najkorisnijih sintetskih postupaka za stvaranje C-C veze 2 Priroda

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1 Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja

Διαβάστε περισσότερα

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile POVOĐENJE TOČKA Dejstvo bočne sile pravac kretanja pod uglom u odnosu na pravac uzdužne ravni pneumatika BOČNA SILA PAVAC KETANJA PAVAC UZDUŽNE AVNI PNEUMATIKA

Διαβάστε περισσότερα

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile POVOĐENJE TOČKA Dejstvo bočne sile pravac kretanja pod uglom u odnosu na pravac uzdužne ravni pneumatika BOČNA SILA PAVAC KETANJA PAVAC UZDUŽNE AVNI PNEUMATIKA

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Elementarne čestice Elementarne ili osnovne ili fundamentalne čestice = Najmanji dijelovi od kojih je sastavljena tvar. Do 1950: Elektron, proton,

Elementarne čestice Elementarne ili osnovne ili fundamentalne čestice = Najmanji dijelovi od kojih je sastavljena tvar. Do 1950: Elektron, proton, Elementarne čestice Elementarne ili osnovne ili fundamentalne čestice = Najmanji dijelovi od kojih je sastavljena tvar. Do 1950: Elektron, proton, neutron Građa atoma Pozitron, neutrino, antineutrino Beta

Διαβάστε περισσότερα

IMOBILIZACIJA AKTIVNIH TVARI ZA BIOLOŠKO PREPOZNAVANJE

IMOBILIZACIJA AKTIVNIH TVARI ZA BIOLOŠKO PREPOZNAVANJE IMBILIZACIJA AKTIVI TVARI ZA BILŠK PREPZAVAJE EZIMI ATITIJELA RECEPTRI MIKRRGAIZMI ŽIVTIJSKE ILI BILJE STAICE ŽIVTIJSKA I BILJA VLAKA KLJUČI PRCES PRI IZRADI BISEZRA IMBILIZACIJA BILŠKE TVARI - AJČEŠĆE

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 2. Auditorne vježbe 11. Kvatna priroda svjetlosti, Planckova hipoteza, fotoefekt, Comptonov efekt. Ivica Sorić

Fizika 2. Auditorne vježbe 11. Kvatna priroda svjetlosti, Planckova hipoteza, fotoefekt, Comptonov efekt. Ivica Sorić Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstava Fizika 2 Auditorne vježbe 11 Kvatna priroda svjetlosti, Planckova hipoteza, fotoefekt, Comptonov efekt Ivica Sorić (Ivica.Soric@fesb.hr)

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:

Διαβάστε περισσότερα

Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima

Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Ako je BA teško topljiva sol (npr. AgCl) dodatkom

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

KERAMIKA, BETON I DRVO

KERAMIKA, BETON I DRVO KERAMIKA, BETON I DRVO Vježba 2. Keramografija 1 prof. dr. sc. Lidija Ćurković prof. dr. sc. Vera Rede dr. sc. Marijana Majić Renjo Početak Tijek priprave uzorka za keramografiju Rezanje uzorka Ulijevanje

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Utjecaj izgaranja biomase na okoliš

Utjecaj izgaranja biomase na okoliš 7. ZAGREBAČKI ENERGETSKI TJEDAN 2016 Utjecaj izgaranja biomase na okoliš Ivan Horvat, mag. ing. mech. prof. dr. sc. Damir Dović, dipl. ing. stroj. Sadržaj Uvod Karakteristike biomase Uporaba Prednosti

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Što je svjetlost? Svjetlost je elektromagnetski val

Što je svjetlost? Svjetlost je elektromagnetski val Optika Što je svjetlost? Svjetlost je elektromagnetski val Transvezalan Boja ovisi o valnoj duljini idljiva svjetlost (od 400 nm do 700 nm) Ljubičasta ( 400 nm) ima kradu valnu duljinu od crvene (700 nm)

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Impuls i količina gibanja

Impuls i količina gibanja FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u neparametarske testove

Uvod u neparametarske testove Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα