TD 1 : Déformations. Exercice 1 : x Figure 1 : disque soumis à glissement simple

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1 TD 1 : Déformations > Exercice 1 : x 1-1 x Figure 1 : disque soumis à glissement simple Un disque plat est soumis à du glissement simple (Figure 1). Calculer : le tenseur gradient de la transformation le tenseur des dilatations de Cauchy-Green la dilatation selon les trois axes X 1, X l angle entre les axes 1 et après transformation le tenseur des déformations de Green-Lagrange la déformation selon les trois axes le tenseur petites déformations

2 x1 X X x X x3 X 1 3 / 3 Tenseur gradient de la transformation Tenseur des dilatations de Cauchy-Green Dilatation dans une direction

3 Glissement de deux directions orthogonales tp[1]:: tp[]:1: tp[3]:: alpha:angle(c,t,tp); déformation de Green-Lagrange Hypothèse des petites perturbations déplacement en fonction des coordonnées tenseur H

4 Tenseur des petites déformations Différence entre E et >

5 Exercice : Déformation uniaxiale Un solide est déformé en déformation uni-axiale. selon X 1. : où t correspond au temps et β est une constante arbitraire. Calculer : le tenseur gradient de la transformation le tenseur des dilatations de Cauchy-Green la dilatation selon les trois axes X 1, X l angle entre les axes 1 et après transformation le tenseur des déformations de Green-Lagrange la déformation selon les trois axes le tenseur gradient des déplacements le tenseur petites déformations Définition de la transformation description de la transformation Tenseur gradient de la transformation

6 Tenseur des dilatations de Gauchy-Green Dilatation dans la direction des trois axes angle entre deux directions

7 déformation de Green-Lagrange déformation dans les trois axes

8 Hypothèse des petites perturbations Tenseur des petites déformations

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10 TD : CONTRAINTES Exercice 1 : Mohr a montré la propriété intéressante suivante pour le tenseur des contraintes, indépendante du comportement du matériau et des conditions aux limites. Considérons l'état de contraintes au point x du volume V. Considérons un état plan de contraintes ( zz zx zy ). Dans l'espace des contraintes de traction et des contraintes de cisaillement τ, l'état de contrainte au point x décrit un cercle si l'on considère toutes les facettes possibles autour du point x. I α y ds α αα τ αβ τ τ αβ τ max α α α x xx αα yy α π α II Démontrer que : Si l'angle entre la facette considérée et l'axe des x est α dans l'espace physique réelle, l'état de contrainte sur cette facette sera représenté par le point faisant un angle α avec l'axe des dans l'espace (,τ).

11 xx Z 1 I Y α αα τ αβ yy II X xx y I e α e β ββ τ αβ αα τ αβ αα ββ α yy II x I α y ds α αα τ αβ τ τ αβ τ max α α α x xx αα yy α π α II Equilibre suivant e α αα [ I sin( α )][ sin( α )] [ II cos( α )][ ds cos( α )] ds ds ds Equilibre suivant e β αβ [ I cos( α )][ sin( α )] [ sin( α )][ ds cos( α )] II Eliminer ds αα τ ds ds ds α IIcos αα αα Isin ( α) ( α ) τ αβ ( II )sin( α )cos( α ) I

12 Exprimer toutes les quantités en fonction de α. 1 cos( α ) 1 cos( α ) αα I II τ αβ αα ( ) sin( α ) II I I II II I cos( α ) τ αα αβ I II II I cos( α ) ( ) sin( α ) II I Dans l espace (,τ) c est l équation d un cercle de centre (( I II) /,) et de rayon ( II I) /. La contrainte de cisaillement maximale vaut τ max ( max - min )/.

13 Exercice : a) Calculer la contrainte moyenne m, le déviateur des contraintes s mi et la contrainte de von Mises en traction uniaxiale. b) Calculer la contrainte moyenne m, le déviateur des contraintes s mi et la contrainte de von Mises en traction biaxiale. Chercher la forme des courbes cons tan te dans le plan des contraintes principales I et II. c) Dans l espace des contraintes principales I, II.et III chercher la forme de la surface cons tan te. Traction uni-axiale s m 3 ( 1 1 ) 3 3 Traction bi-axiale

14 La figure ci-dessus montre un solide en traction biaxiale. Le tenseur contrainte s écrit : I II La contrainte moyenne et la contrainte est donnée par : 3 I II m Le déviateur des contraintes est donné par : 1 3 I II II I I II s La contrainte de von Mises est donnée par : I II II I

15 3 1 ( I II ) ( I II ) ( I II ) 3 I II I II Surface de von Mises dans l espace principal III ( A) (B ) (111) II I λ Représentation de la surface de von Mises dans l état des contraintes principales. I II III

16 TD3 : MATERIAUX ELASTIQUES Matériau isotrope élastique linéaire. L énergie de déformation d un matériau élastique linaire s écrit W 1 L vol ij ijkl kl où et L sont respectivement le tenseur des déformations et le tenseur des rigidités. a) Montrer que l énergie de déformation élastique par unité de volume W vol peut se mettre sous la forme suivante : 1 W s e ( 3 ) vol ij ij m m où s et e sont respectivement le déviateur des contraintes et le tenseur déviateur des déformations. m et m sont respectivement la contrainte moyenne et la déformation moyenne. b) Démontrez les relations suivantes entre les déviateurs des contraintes et des déformations et entre la contrainte moyenne et la déformation moyenne E où κ 3 1 ( υ ) s ij Ge m ij 3κ m est la compressibilité cubique. c) Ecrire le tenseur du quatrième ordre L ijkl pour un matériau élastique isotrope linéaire Hooke

17 d) Démontrez que G E/[(1ν)].

18 a) Démontrez W vol ( sijeij 3 m m) 1 L énergie élastique par unité de volume déformé s écrit : 1 1 W s δ e δ ( )( ) vol ij ij ij m ij ij m ij où δ ij est le symbole de Kronecker. En explicitant les différents termes, on obtient : 1 W vol sijeij m sij δ ij m δ ijeij m δ ij m δ ij s11 s s33 s ij e ij s δ ij ij s obtient simplement en sommant sur les indices i et j s e s e s e s e ij ij s e s e s e s e s e s e est la trace du tenseur déviateur des contraintes. Ce terme est nul, en effet : sijδ ij s 11 δ 11 s δ s 33 δ s1 δ 1 s13 δ 13 s3 δ 3 s δ s δ s δ ij ij s δ s s s δ δ 3. m ij m ij m m

19 δ 11 δ δ δ δ 33 δ δ 1 δ 1 δ 13 δ 13 δ 3 δ m δ ij mδ ij m m δ 1δ 1 δ 31δ 31 δ 3 δ 3 δ δ 3 m ij m ij m m L énergie élastique s écrit finalement 1 W vol ( sijeij 3 m m) (c.q.f.d.)

20 b) Démontrez que s Ge et 3κ 1) m ij ij m m κ κ kk E 3 1 ( ν ) ν 3ν 11 G 11 ( 11 33) G 11 m 1 ν 1 ν ν 3ν G ( 11 33) G m 1 ν 1 ν ν 3ν 33 G 33 ( 11 33) G 33 m 1 ν 1 ν Sommons les trois relations précédentes : 3 ν 3 ν G m G ν 1 ν E 1 ν (1 ν ) 1 ν 3 m 3 E 3κ 3( 1 ν ) m m m G E (1 ν ) m { ( ν )} κ E / 3 1 m

21 ) s δ Ge ij ij m ij ij Remplaçons 11 par e 11 3 kk 11 G 11 ν 1 ν ( ) Ge 11 3 kk ν 1 ν kk s G 3 E 1 ν G kk e11 G kk e11 ( ) E κ Ge11 3( 1 ν ) 3ν 1 1 ν 1 ν 3 1 ν m 11 m kk Ge

22 c) Ecrire L ijkl pour un matériau élastique linéaire isotrope ν 3 ν 11 G 11 ( 11 33) G 11 m 1 ν 1 ν ν 3 ν G ( 11 33) G m 1 ν 1 ν ν 3 ν 33 G 33 ( 11 33) G 33 m 1 ν 1 ν G G G ν G δ δ 1 ν ( ) ij ij kl kl ij ν G δ δ δ δ 1 ν ( ) ij kl ik jl kl kl ij ν G δ δ ( δ δ ) 1 ν L L ij ik jl kl ij kl ν Gsym δ δ ( δ δ ) 1 ν ijkl ik jl kl ij kl δ ikδ jl δ ilδ jk ν G ( δ δ ) 1 ν ijkl kl ij kl

23 d) Démontrez que G E/[(1ν)]. 1 1mm β y α x 1 1mm Indication On considère un disque en contraintes planes et -1. 1) On calcul le tenseur des contraintes dans le repère {α,β, α,β,z} par rotation à partir de l expression du tenseur des contraintes dans le repère {x,y,z}. Le tenseur des déformations dans le repère {α,β, α,β,z} est obtenu par la loi de Hooke. ) On calcul le tenseur des contraintes dans le repère {x,y,z} et le tenseur des déformation par la loi de Hooke dans le même repère. Le tenseur de déformation dans le repère {α,β, α,β,z} est obtenu par rotation. 3) On compare les deux expressions du tenseur des déformations et on en déduit l égalité à démontrer.

24 1) Rotation du tenseur des contraintes et calcul des déformations dans le nouveau repère Tenseur des contraintes et tenseur des déformations dans les axes { x, y, z } Formules de passage { x, y, z} 1 1 { x, y, z} e { x, y, z} e T αα eα α T αβ eα β { x, y, z} e T ββ e β β Expression des vecteurs de la nouvelle base en fonction dans la base initiale e T α T e β Rotation du tenseur contraintes αα ββ 1 / αβ 1 / 1 / 1 {,, } 1 α β z Calcul de { α, β,z} à partir de { α, β,z} par la loi de Hooke

25 αβ αβ 1 donc G G 1 1 {,, } 1 (1) α β z G ) Calcul des déformations dans l ancien repère et rotation Calcul de { x, y, z} ( 11 ν ) ( ν ) 1 E ( 1 υ) { } 1 x, y, z ( ν 11) ( ν ) E E E E Calcul { α, β,z} par rotation de αα ββ { x, y, z} 1 T e α 1 e E ( 1 υ ) ( 1 υ ) αβ α β E { α, β, z} 1 ( 1 υ) 1 E 3) Comparaison des deux expressions de { α, β,z} () G E/[(1ν)] G G G

26 TD4 : METHODES SEMI-INVERSES p p p p e R1 R Un tube en acier est soumis à une pression interne de MPa. Le tube est considéré de longueur infinie et on ne considérera que le contraintes dans un plan perpendiculaire à l axe du tube. Le module de Young vaut E1 GPa, le coefficient de Poisson vaut ν,3 et la limite d élasticité de l acier utilisé vaut 45 M Pa. 1) Ecrire l équation de Navier 1 f u graddiv ( u) 1 ν G en coordonnées cylindriques. On suppose que le champ de déplacement est purement radial u ure r. Dans ce cas l équation de Navier se réduit à : grad div ( u) div ( u) cons tante et le champ de déplacement prend la forme A c ur r r où A et C sont deux constantes à déterminer. ) Calculer les déformations rr et θθ à partir de la connaissance du champ u ure r 3) Calculer les contraintes rr et θθ à partir de la loi de Hooke 4) Déterminer les constantes d intégration A et C par les conditions aux limites sur rr 5) Comparer l expression de la contrainte θθ à son expression obtenue à partir de l approximation des tubes minces (e<<<r1).

27 I. Solution complète I.1) Equation de Navier Cas général Le point de départ est l équation de Navier 1 f u grad div ( u) 1 ν G Nous nous efforçons de faire un maximum de calculs formels afin d éviter les calculs en coordonnées cylindriques. Simplification de l équation de Navier pour des forces de volumes nulles u grad div( u) rot rot ( u) Pour des forces de volume nulles : (1 ν ) grad div ( u) rot rot ( u) 1 ν Simplification de l équation de Navier par les conditions de symétrie Le champ de déplacement est purement radial u ure r rot u si u u e ainsi l équation de Navier donne ( ) r r (1 ν ) grad div ( u) div( u) cons tante 1 ν grad div ( u) div ( u) cons tante

28 div u cons te I.) Solution de ( ) tan Expression de div ( u ) en fonction des déformations div u u x u y u x y z ( ) trace( ) I..1. Calcul de xx yy zz rr θθ zz géométriques θθ par des considérations rr et θθ z

29 div u cons te I... Solution de ( ) tan div u u u C r r ( ) r r dur ur Solution de l équation homogène dr r dur ur dur dr dr r ur r ur A/ r dur ur Solution particulière de l équation c dr r c u r r dur ur Solution complète de l équation c dr r A c ur r r I..3. Calcul des déformations et des contraintes Calcul des déformations rr θθ Calcul des contraintes dur A c dr r ur A c r r υ rr G rr rr rr ( ) ( ) θθ 1 υ A c υ G r 1 ( υ) C

30 I.3. Considérations des conditions aux limites et calcul des constantes Surface interne du tube rr A c ( R1) G p R 1 ( 1 υ ) Surface externe du tube rr ( ) A c R G R ( 1 υ ) 1 1 A R R R R R R p R1 Rp A 1 G G pr1 cr 1 G ( υ ) θθ A G r 1 c 1 ( υ) ( )( )

31 II. Solution pour des petites épaisseurs p θ 1 R R 1 θθ θθ θθ θθ cons tan te cons tan te ( ) π / θθ R R psin( θ ) R dθ θθ 1 1

32 θθ pr1 R R ( )

33 TD5 : METHODES ENERGETIQUES Considérons une barre encastrée soumise à des sollicitations en cisaillement sur deux faces (figure ci contre). On néglige la gravité et les forces de volume f sont nulles. On se propose de déterminer le champ de déplacement dans la barre. e e y e z x l τ l 1 1 On considère un champ de déplacement dépendant de 3 paramètres. ( 1x 3 ) ( B) 3 u a a x a x e x Calculez les valeurs de a 1, a et a 3 par application du principe des travaux virtuels des déplacements. SA ( n) SA δ : dv δ Ω S U T u d S.

34 Solution CA T T : δ dv u CA d CA t δ S f δ u dω Ω δ S Ω 1 T ( δ u ) ( δ u ) CA CA CA ( B) u ( B) et δ u ( B) ( 3) u a1x ax a3x e x ( B) 3 δ u δ a x δ a x δ a x e champ de déplacement ( ) 1 3 ( B) champ de déformation est xx et δ xx ( ) ( B ) xx a a x a x ( B ) ( ) avec δ xx δ a1 δ ax 3δ a3x contraintes par la loi de Hooke ( B) xx ( ) xx E a a x a x ( B ) Ainsi l intégrale de volume dans l équation (3) prend la forme : δ Ω CA dv ( a1 ax 3a3x ) ( δ a1 δ ax 3 δ a3x ) E Ω soit en factorisant les termes multipliant la variation des différentes amplitudes δ a1, δ a et δ a3 dv x

35 : δ Ω CA dv Le chargement imposé t 3 ( a1l al a3l) ( δ a1) E 4 a1l al a3l δ a a l a l a l a 5 ( ) ( ) δ 3 est indépendant du choix du champ de déplacment, l intégrale de surface s écrit donc T CA 3 t δ u d S τ ( δ a1) x ( δ a) x ( δ a3) x d S S S soit T CA l ( ) l ( ) 3 l ( ) 4 t δ u d S τ δ a1 δ a δ a3 3 4 S le principe des travaux virtuels conduit aux système d équations suivant : 3 ( a1l al a3l) ( δ a1) E 4 a1l al a3l a a l a l a l a 5 ( δ ) ( δ ) l l l τ ( δ a1) ( δ a) ( δ a3) 3 4 δ a, δ a δ a 1, 3

36 Ce système doit être satisfait pour toutes valeurs des variations des amplitudes δ a1, δ a et δ a3. Nous choisissons trois vecteurs particuliers [ δ a1, δ a, δ a3] [ 1,,], [ δ a1, δ a, δ a3] [,1,] et [ δ a1, δ a, δ a3] [,,1] pour les variations des amplitudes. Ceci conduit au système d équations suivant pour les amplitudes a i. [ δ δ δ ] [ ] [ δ δ δ ] [ ] [ δ δ δ ] [ ] 3 a1, a, a3 1,, a1l al a3l τ l / E a1, a, a3,1, a1l 4al / 3 3a3l / τ l / 3E a1, a, a3,,1 a1l 3al / 9a3l / 5 τ l / 4E La solution du système précédent est immédiate et conduit à : l τ τ E E a1, a, a3

37 TD6 : Elasticité plane Considérons une poutre console ayant une section droite rectangulaire étroite (dont nous prendrons la largeur pour unité) qui est fléchie par une force P appliquée à son extrémité libre (figure). Démontrez que les contraintes peuvent se mettre sous la forme suivante : Pxy 3 P y xx yy xy 1 I Ω c c c x P y l où I est le moment d inertie de la section droite et Ω est sa section.

38 Rappel Equations d élasticité plane xx xy x y Φ Φ Φ xx yy xy xy yy y x x y x y Φ Φ Φ Φ Φ 4 4 x y x y x x y y Fonctions d Airy polynômiales ϕ (x,y) ax bxy cy xx xy c b xy yy b a 3 3 ϕ 3 (x,y) a3x b3x y c3xy d3y xx xy c3x 6d3y b3x c3y xy yy b3x c3y 6a3x b3y Solution Choisir pour la fonction d Airy l expression d ϕ ( x, y) b xy 4 x y 6 On obtient l expression suivante pour les contraintes d 4 y xx d 4xy yy xy b 3

39 Pour rendre les côtés longitudinaux libres de toute force on doit avoir 4 } xy b d c / y c c c b y P c xy} dy x l c b dy b c 3 Pxy 3 P xx 1 y 3 yy xy c 4 c c Si l on note que 3 / 3 c est le moment d inertie de la section droite et que c est sa section W, on peut encore écrire les formules précédentes sous la forme : 3P 4c Pxy 3 P xx yy xy 1 y I c Ω