CHAPITRE 4 ANALYSE D UN PLI DE COMPOSITE UNIDIRECTIONNEL

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1 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 HAPITRE 4 ANALYE D UN PLI DE OMPOITE UNIDIRETIONNEL Un stratifié est constitué de plusieurs plis Analse de comportement d un pli formé de fibres continues unidirectionnelles omposite hétérogène Métal homogène anisotrope isotrope 4. Mécanique des milieu continus 4.. Tenseur de contrainte L état de contrainte en un point est défini par un tenseur de second ordre suivant : 3 [ ] (4.) ij Équilibre 3 3 ou (4.) 3 3 ij ji d où 3 [ ij] 3 (4.3) m 33 3 Direction de la contrainte Direction de la normale Figure 4. Lorsque ij; ijest une contrainte normale i j; ijest une contrainte de cisaillement τ Anh Dung NGÔ Page 6

2 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 4.. Tenseur de déformation ε ε ε3 [ ε ] ε ε ε (4.4) ij 3 ε ε ε Lorsque i j ε ij est une déformation linéaire ε i j ε ij est une déformation angulaire ε ij ij d où ε ε ε3 [ ε ij] ε ε 3 (4.5) m ε 33 elon la loi de Hooke généralisée ( ) ij f ijkl ε kl peuvent être linéaires ou non linéaires Pour un matériau linéaire, on a la relation suivante : coeff ε ε ε 33 ε 3 ε 3 (4.6) ε ε 3 ε3 ε (9) (99) (9) or ε ij ji ijkl k ε k ijkl jikl ijk où i,j,k,l,,3 On obtient, par conséquent, 6 contraintes et 6 déformations indépendantes et une matrice de rigidité de () Anh Dung NGÔ Page 6

3 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 Posons : et ε ε ε 33 ε ε ε 3 ε ε ε 3 3 ε ε ε 3 3 γ γ γ 3 3 γ γ γ 3 3 ε ε ε La loi de Hooke devient ε 6 ε 36 ε... ε... ε ε (4.7) Forme matricielle : { } [ ] { ε} (4.8) (6) () (6) Forme indicielle : ε i, j,,..., 6 (4.9) i ij j La matrice de rigidité [ ] est une matrice () qui contient coefficients Inversement { } [ ] { } ε (4.) ou ε i ij j i, j,,..., 6 La matrice de souplesse [ ] est une matrice () qui contient 36 coefficients d où [ ] [ ] (4.) Anh Dung NGÔ Page 63

4 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 4. métrie des matrices caractéristiques Énergie de déformation volumique élémentaire est : dw dε ε dε (4.) i i ij j i Énergie de déformation devient : W ijεiε j W ijε j i ε i i W ε ε j ij En renversant l ordre de différentiation, on obtient W ji ε ε donc similairement : j i ij ij ji ji (4.3) 4.. Matériau anisotrope [ ij ] coefficients m Matériau orthotropes omposite à fibres continues (unidirectionnelles), aes naturels, 3 plans de smétrie. Anh Dung NGÔ Page 64

5 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 3 ij m Figure 4. coefficients non nuls dont 9 indépendants 4..3 Matériau transversalement isotropes Propriétés suivant les aes et 3 sont identiques coefficients non nuls dont 5 indépendants Figure 4.3 [ ij ] m. 3 3 Anh Dung NGÔ Page 65

6 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H Matériau isotropes : Les propriétés sont indépendantes des sstèmes d aes [ ij ] ( ) ( ) ( ) coefficients non nuls dont indépendants. 4.3 onstantes élastiques fondamentales 4.3. Matériau orthotropes ν ν3 E E E3 ε ν ν3 E E E3 ε ν3 ν ε 3 3 E 3 E E 3 γ3 3 τ γ 3 G 3 τ 3 γ G τ 3 G ou : ε 3 3 ε ε γ3 44 τ3 γ 3 55 τ 3 γ τ (4.4) Anh Dung NGÔ Page

7 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 ij ji métrie (4.5) Ei Ej 4.3. Matériau transversalement isotropes 3 G3 G E E3 ν ν3 ν 3 ν3 3 Figure 4.4 ν ν E E E ν ν3 ε E E E ε ν ν 3 3 E E E ε 3 γ3 ( +ν3 ) 3 τ γ 3 E τ 3 γ τ G G (4.6) Notes : Les coefficients élastiques fondamentau : E,E, ν, ν 3,G sont indépendants et on a les relations suivantes : ν ν E E G 3 (4.7) E ( +ν ) 3 (Le plan (,3) est isotrope) Anh Dung NGÔ Page 67

8 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H Matériau isotropes Il a deu coefficients élastiques fondamentau indépendants E et ν et les relations suivantes : E G G3 G3 G E E E ν ν 3 ν 3 ν ( +ν) (4.8) 4.4 omportement d un pli de composite unidirectionnel par rapport au aes naturels 4.4. Relations contrainte-déformation en membrane (dans le plan du pli) onsidérons un pli soumis à un état complet de contraintes dans le plan constitué par les aes naturels et (longitudinal et transversal). 3 3 τ 3 τ 3 τ τ τ État de contrainte en 3D Figure 4.5 État plan de contrainte Les relations contrainte-déformation en membrane sont : ε ε γ τ (4.9) ou { ε (,)} [ ] { (,)} Anh Dung NGÔ Page 68

9 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 Dans ce cas, la matrice [] est appelée matrice de souplesse réduite en membrane. Pour un matériau orthotrope soumis à un état plan de contrainte, on obtient : ε ε γ E ν E ν E E G τ (4.) où E E G ν E ν E (4.) Notons qu il a 5 coefficients de souplesse non nuls et 4 constantes élastiques fondamentales : E,E, ν et G Inversement la matrice de rigidité réduite en membrane est : τ 6 ε ε γ (4.) avec [ ] [ ] ou { } [ ] { } (,) ε (,) 4.4. Les termes de la matrice [] en fonction des constantes élastiques fondamentales det det [ ] + [ ] Anh Dung NGÔ Page 69

10 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 [ ] ( ) 6 det E ν ν E E E E E ν E E ν or ν ν E E ν E E ν d où ν ν ν E E ν E E ν E ν ν [ ] ( ) 6 6 det ν + E ν νe νe + + ν ν ν ν νν ν E E E ν E ν E ν ν νe νν [ ] ( ) 6 det E ν ν ν ν EE E E E ν E E ν Anh Dung NGÔ Page 7

11 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 E det [ ] ( ) ( ) ( ) G G Eemple 4. :??? (a) (b) (c) alcul de ε des deu parties et de la pièce Figure 4.6 olution Anh Dung NGÔ Page 7

12 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 Bloc ε ε τ ν E E ε ν ν ε E E ε E E γ τ G or ν d où ε ε () E Bloc ε ε τ ν E E ε ν ε E E γ τ G Anh Dung NGÔ Page 7

13 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 ν ν ε ε + E E E or ε ν ε E d où ( ) ( ) ( ) En comparant et nous obtenons : ε ε ν car ν E E Eemple 4. : Déterminez les termes des matrices de rigidité et de souplesse d un composite carbone/épo A/35 orthotrope olution Tableau.3 E A 35 E 9 GPa Graphite Epo G 38 GPa 6.9 GPa.3 ν ν E ν ν E E E Matrice de rigidité [ ] : E GPa νν.3.96 ν E GPa νν.3.96 E GPa νν 3.96 G 6.9 GPa Anh Dung NGÔ Page 73

14 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 Matrice de souplesse [ ] :.75 GPa E 38 ν.3 ( ) ( ).7 GPa E 38. ( GPa) E 9 Remarques : Pour les composites smétriques à 9 (stratifié /9 o, tissu) E E Le nombre des constants élastiques fondamentau est réduit à 3 : E, ν et G Eemple 4.3 : Prouvez que E olution et ν onsidérons l état de contrainte (, τ ) d où : () et or (3) et ε ν ε ν (4) Ε () et (3) : E E () () et (4) : ν E ν Anh Dung NGÔ Page 74

15 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H Relations contrainte-déformation du cisaillement transverse Les relations contrainte-déformation du cisaillement transverse sont : où γ3 G 3 τ3 44 τ3 γ τ τ G (4.3) G G 3 3 (4.4) Inversement : τ3 44 γ3 3 τ 55 γ3 où G G G G (4.5) (4.6) Anh Dung NGÔ Page 75

16 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 4.5 omportement d un pli par rapport à un sstème d aes quelconque 4.5. onvention de signe par rapport l orientation du sstème d ae 3 3, z O O θ+ Matériau orthotrope (stème d aes naturels) Matériau composite dont la direction des fibres n est pas o ni 9 o Figure 4.7 L angle de rotation des sstèmes d aes θ est considéré comme positif lorsqu il faut tourner dans le sens trigonométrique pour passer de l ae vers l ae Transformation de contraintes en membrane onsidérons un pli soumis à un état plan de contrainte (,, τ ) dont les directions des aes et font un angle (θ) quelconque avec les directions des aes naturels du composite. Anh Dung NGÔ Page 76

17 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 3,z θ + z z τz τ θ + τ τ z τ τ État de contrainte en 3D État plan de contrainte Figure 4.8 Notons que l état des contraintes reste inchangé tandis que l intensité des composantes selon des aes varie avec l angle de rotation des sstèmes d aes par rapport au sstème d aes (, ). onnaissant l état de contrainte dans le sstème d aes (,), on peut déterminer les contraintes dans le sstème d aes naturels en utilisant la matrice de transformation T : τ T (4.7) τ [ ( θ) ] T : la matrice de transformation permettant de déterminer les composantes de contraintes suivant les aes naturels (,) à partir des contraintes dans un sstème d aes (,) faisant l angle θ avec le sstème d ae (,). τ T (4.8) τ τ [ ( θ) ] [ T( θ) ] Remarque : [ T( θ) ] [ T( θ) ] Afin de déterminer les relations entre les contraintes selon deu sstèmes d aes (,) et (,), considérons maintenant l élément illustré à la figure suivante : Anh Dung NGÔ Page 77

18 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 dasinθ τ dasinθ θ τ da θ da dacosθ τ dacosθ Figure 4.9 Équilibre des forces horizontales : F da dacos θ dasin θ + τdasin θcosθ d où cos θ + sin θ τ sin θcos θ (4.9) Équilibre des forces verticales : F τ da da cos θsin θ + da sin θ cos θ + τ da sin θ τ da cos θ d où τ cos θ sin θ sin θ cos θ τ (sin θ cos θ) (4.3) dacosθ dasinθ τ dacosθ τ dasinθ θ θ τ da da Figure 4. F da + da sin θ + da cos θ + τ da sin θ cos θ Anh Dung NGÔ Page 78

19 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 d où et sin θ + cos θ + τ sin θ cos θ (4.3) F τ da + dacosθsin θ dasin θcosθ τ dasin θ + τ dacos θ d où τ cosθsin θ sin θcosθ τ (sin θ cos θ) (4.3) En considérant les équations (4.9), (4.3), (4.3) et (4.3) on déduit que où τ c s cs s c cs ccos(θ) et ssin(θ) cs cs c s τ τ [ T( θ) ] [ T( θ) ] τ (4.33) Inversement : τ τ [ T ( θ) ] où [ ( θ) ] c s cs T s c cs (4.34) cs cs c s Eemple 4.4 : oit 9 3. achant que 45, déterminez : 4 τ τ olution c s cs 9 [ T( )] s c cs θ 3 4 τ cs cs c s τ τ 3 d où : + +τ Anh Dung NGÔ Page 79

20 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 + τ τ Transformation des contraintes du cisaillement transverse τ τ c s [ T( )] z où [ T( )] 3 s θ s θ τ 3 s c τ z (4.35) Transformation de déformations en membrane Les équations de transformation relatives au déformations sont tout à fait similaires à celles des contraintes ε ε ε [ T( θ) ] ε γ γ Afin d obtenir directement γ, il faut remplacer [T(θ)] par [T (θ)] (4.36) ε ε γ ε [ T '( θ) ] ε (4.37) γ [ T '( θ) ] c s cs s c cs c cs cs s Remarques : [ T'( )] [ T( θ) ] t Inversement : θ (4.38) Anh Dung NGÔ Page 8

21 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 ε ε γ ε [ T '( θ) ] ε (4.39) γ où : [ T'( θ) ] [ T'( θ) ] (4.3) Eemple 4.5 : 45, déterminez : onsidérons l état de déformation achant que olution c s cs ε ε ε 9 ε θ ε ε 4 γ γ cs cs c s γ 3 [ T '( )] s c cs 3 d où : ε ε + ε + τ ε ε + ε τ ( ) γ ε + ε Eemple 4.6 : alculez les déformations suivant le sstème d aes naturels d un composite smétrique à 9 (E E,7 GPa, G 5GPa, ν.5) causées par des contraintes illustrées à la figure 4. : Anh Dung NGÔ Page 8

22 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 5 MPa 5 MPa MPa 3. (, ) T( ) (, ) c s cs s c cs τ cs cs ( c s ) τ Figure 4. olution (,) (,) T( ) (,) MPa (,) (,) ε ε γ v E E v E E G τ Eemple 4.7 : onsidérons un composite soumis à un état de contrainte tel qu illustré à la figure 4.. Anh Dung NGÔ Page 8

23 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 7 MPa MPa.4 MPa Figure 4. achant que les propriétés mécaniques du composite sont : E 4GPa, E 3.5GPa, G 4.GPa, ν.4, ν., calculez les déformations selon le sstème d'aes (, ). olution τ cos 6 et θ 6 3 sin6 alors [ T( θ) ] τ τ où ε ν. 6 E 9 9 E ε ν E 9 9 E τ γ 48 G 9 4. Anh Dung NGÔ Page 83

24 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 ε ε c s cs ε T( θ) ε où T( θ ) T( θ ) s c cs τ τ cs cs (c s ) τ Eemple 4.8 : θ 45 (connu) (connu) Jauge ε Jauge (connue) Figure 4.3 Déterminez G du composite de déformation ε (connue) olution G τ (,) T( ) (,) γ (,) T '( ) (,) État de contrainte Anh Dung NGÔ Page 84

25 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 Déformations dans le sstème d aes naturels : ε ε c s cs ε ε [ T '( θ) ] ε s c cs ε cs cs (c s ) γ γ γ γ cos θsin θε + cos θsin θε + (cos θsin θ) γ θ 45 cos θ sin θ d'où γ ε + ε + γ γ ε + ε () ontraintes c s cs [ T( θ) ] s c cs τ cs cs (c s ) τ cos sin à 45 on obtient τ () () et () donne G ( ) τ γ ε +ε ( ε +ε ) Anh Dung NGÔ Page 85

26 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H Transformation des déformations du cisaillement transverse γ γ c s [ T( )] z où [ T( )] 3 s θ s θ γ 3 s c γ z Matrice de rigidité réduite en membrane Les relations d élasticité d un composite dans un sstème d aes quelconques dans son plan s écrivent sous forme matricielle comme : ou τ { } { } ε ε γ (4.4) (,) ε (,) (4.4) est la matrice de rigidité réduite permettant de déterminer, à partir des déformations, les contraintes en membrane dans un pli de composite unidirectionnel sollicité suivant un sstème d aes quelconques (, ). La matrice peut être dérivée à partir de la matrice de rigidité réduite dans le sstème d aes naturels [] en tenant compte de la rotation des aes : τ ε [ T ( θ) ] [ T( θ) ] [ ] ε (4.43) τ γ ε [ T( θ) ] [ ] [ T'( θ) ] ε γ (4.44) ε ε γ Anh Dung NGÔ Page 86

27 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 Les termes de la matrice de rigidité réduite trois matrices comme suit : peuvent être calculés donc, en multipliant les [ T( θ) ] [ ] [ T'( θ) ] 4 4 cos θ + sin θ + ( + )cos θsin 4 4 ( + 4 )cos θsin θ + (cos θ + sin θ) θ (4.45) 4 4 sin θ + cos θ + ( + )cos θsin θ (4.46) 3 6 ( )cos θsin θ ( )cosθsin 6 ( )cosθsin 3 θ ( 3 θ 3 )cos θsin θ 4 4 ( + )cos θsin θ + (cos θ + sin θ) Remarques : et 6 6 Pour un pli sollicité suivant des aes quelconques : - Les contraintes de cisaillement engendrent des variations de longueur - Les contraintes normales engendrent des déformations angulaires Matrice de rigidité réduite du cisaillement transverse Les relations contrainte-déformation du cisaillement transverse sont : τz γz τz γ z (4.47) où les coefficients de la matrices eplicitement comme suivants: de rigidité du cisaillement transverse sont présentés Anh Dung NGÔ Page 87

28 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H cos θ+ sin θ ( ) sin θcos θ sin θ+ cos θ (4.48) Eemple 4.9: oit γ z.5; γ z.7 ; 44 G 3.385GPa; 55 G GPa et ϴ-55 o, calculez les coefficients de la matrices de rigidité en cisaillement transverse olution cos θ+ sin θ.385cos ( 55) sin ( 55).9GPa sin ( 55) cos ( 55).55GPa 45 ( ) sin( 55) cos( 55).599GPa Et les contraintes de cisaillement transverse sont : z γz GPa z γ z Matrice de souplesse réduite en membrane D une façon similaire, on peut déduire la matrice de souplesse pour un pli sollicité suivant des aes quelconques qui a la forme suivante : ε ε γ τ (4.49) où { ε } { } (,) (,) (4.5) Anh Dung NGÔ Page 88

29 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 (4.5) Il est possible d établir la matrice de souplesse par les relations de transformation de sstèmes d aes de référence et les relations contraintes déformations. ε ε γ ε γ [ T'( θ) ] ε [ T'( θ) ] [ ] [ T( θ) ] [ ] τ (4.5) est la matrice de souplesse pour un pli sollicité suivant un sstème d aes quelconques (, ) dont les termes sont les suivantes : 4 4 cos θ + sin θ + ( + ) cos θsin 4 4 ( + ) cos θsin θ + (cos θ + sin θ ) 4 4 sin cos ( ) cos sin ( ) sin cos ( ) sin cos ( ) sin cos ( ) sin cos 4 ( 4 ) sin cos (sin cos 4 ) θ (4.53) Remarques :. les termes ij et ijne sont fonction que de quatre constantes élastiques fondamentales et de l angle θ. lorsque θ alors ij ij E 3. lorsque E E E, ν ν, on obtient par conséquent G G ( ) Matrice de souplesse réduite du cisaillement transverse γz τz γz τ z (4.53a) Anh Dung NGÔ Page 89

30 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 où les coefficients de souplesse sont : cos 55 sin θ+ θ ( ) sin θcos θ sin 55 cos θ+ θ (4.53b) 4.5. Epression des coefficients élastiques E, E, ν et G en fonction de E, E, ν et G La loi de Hooke pour un pli de composite sollicité suivant des aes quelconques : ν η, E E G ε, ν η ε E E G γ η,, η τ E E G (4.54) onsidérons l état de contrainte suivant : o θ Figure 4.4 ε ε γ Anh Dung NGÔ Page 9

31 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 d où ε ε (4.55) γ 6 Modules d élasticité Le module d élasticité suivant la direction o est ε (4.48) dans (4.49) donne E 4 4 ν cos θ+ sin θ+ ( ) cos θsin θ E E G E En substituant θ θ+9 dans l epression précédente, on obtient : E (4.56) (4.57) E 4 4 ν sin θ+ cos θ+ ( ) cos θsin θ E E G E (4.58) oefficients de Poisson donc ε ν E ε E (4.59) ν ν 4 4 (cos θ+ sin θ) ( + )cos θsin θ (4.6) E E E E G De façon similaire, on obtient ν ν 4 4 (cos θ+ sin θ) ( + )cos θsin θ (4.6) E E E E G Anh Dung NGÔ Page 9

32 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 oefficient de couplage η, Le coefficient de couplage entre la déformation linéaire ε et la déformation angulaire γ est défini comme suit : γ η, (4.6) ε d où γ η,ε η, E or γ donc η 6, ν 6 cos θsin θ[cos θ sin θ ) + ( )(cos θsin θ )] (4.63) E E E E G Eemple 4.9 : Déterminez E, E, ν, G d un composite à l aide seulement les essais de tractions. olution. F (calcul) A. et (mesure) 3. E (calcul) ε 4. ν (calcul) ε F. (calcul) A. (mesure) 3. E (calcul) F θ. (calcul) A., (mesure) 3. E (calcul) G à l aide de la relation (4.57) Anh Dung NGÔ Page 9

33 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 onsidérons maintenant l état de contrainte, τ ) ( Module de rigidité G d où ε ε γ ε ε γ 6 τ 6 τ τ τ Le module de cisaillement est défini comme donc G (4.64) τ (4.65) γ G 4ν ( ) sin θcos θ+ (sin θ+ cos θ) E E E G G (4.) Remarque : Dans un pli de composite unidirectionnel sollicité suivant des aes quelconques, une contrainte normale engendre des déformations angulaires et une contrainte de cisaillement cause des déformations normales. oefficient de couplage η, ε η, (4.67) γ donc η, ν cos sin [sin cos ( 6 θ θ θ θ )(cos θsin θ )] (4.68) G E E E G oefficient de couplage η, Par définition ε η, (4.69) γ Anh Dung NGÔ Page 93

34 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 donc η G, 6 η E, (4.7) ertaines constantes élastiques d un composite en fonction de la direction des fibres sont présentées à la figure 4.5. Figure 4.5 [Halpin] onstantes élastiques d un composite en fonction de la direction des fibres Direction des fibres 4.6 Etudes des invariants En remplaçant les puissances des fonctions trigonométriques dans les équations de fonctions trigonométriques, des multiples de l angle θ, Tsai et Pagano ont démontré que : ij par les 3 U + U cos(θ) + U cos(4θ) 4 3 U U cos(4θ) 3 U U cos(θ) + U cos(4θ) Anh Dung NGÔ Page 94

35 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 U sin(θ) + U sin(4 ) U sin(θ) U sin(4 ) (U U 4 ) U cos(4 ) 6 3 θ 6 3 θ 3 θ (4.7) où les epressions U i sont : U ( ) 8 U ( ) U3 ( + 4 ) (4.7) 8 U 4 ( ) 8 En remplaçant ij dans les epressions de U i, on s aperçoit que U i est indépendant de l angle θ. Les invariants peuvent se déterminer également par la méthode graphique. La figure 4.6 présente la transformation de la contrainte à l aide de la formule où les invariants sont : I + + I cos(θ) (4.73) I + et I ( ) + τ τ θ τ O I I Figure 4.6 ercle de Mohr pour la transformation de contrainte Anh Dung NGÔ Page 95

36 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 Tsai et Hahn ont démontré qu il est possible d interpréter l équation de la transformation du coefficient de la matrice de rigidité 3 U + U cos(θ) + U cos(4θ) (4.74) où les invariants sont U : rigidité de la composante isotrope U et U 3 : rigidité des composantes orthotropes en utilisant deu cercles de Mohr tels que présentés dans la figure 4.7. τ U 4 _ θ 4θ O θθ U 3 U U Figure 4.7 ercles de Mohr pour la transformation de la rigidité On obtient de façon similaire les coefficients de la matrice de souplesse en fonction des invariants : 3 V + V cos(θ) + V cos(4 θ ) V4 V3 cos(4 θ 3 V V cos(θ) + V cos(4 θ ) V sin(θ) V3 sin(4 6 θ 3 6 V sin(θ) V sin(4θ) 4 3 (V V ) 4V cos(4 θ ) ) ) (4.75) Anh Dung NGÔ Page 96

37 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 où les epressions V i sont : ( ) 8 ( ) ( + ) (4.76) 8 ( ) 8 V + V V3 V4 4.7 Epressions des critères de rupture 4.7. ritère de la contrainte maimale Le matériau sera rompu lorsque l une quelconque des 3 contraintes auquelles il est soumis atteindra la valeur de la contrainte de rupture correspondante : - L (-) - T (-) < < L (+) < < T (+) (4.77) τ < LT L (-) et T (-) sont strictement positives T (+) - L (-) - T (-) L (+) Figure 4.8 ritère de la contrainte maimale Désavantages : L enveloppe de l état limite (rupture est indépendant de τ, critère non valable. Anh Dung NGÔ Page 97

38 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 τ θ 45 o (a) τ θ 45 o (b) Figure 4.9 Essai de cisaillement d une éprouvette faite d un pli de composite : (a) τ > ; (b) τ < L état de contrainte illustré à figure 4.9 (b) est plus nuisible que l état de contrainte présenté dans la figure 4.9 (a). La direction de τ a une influence sur l état limite (rupture) du composite ritère de la déformation maimal Le pli de composite sera rompu lorsque l une quelconque des trois déformations ε, ε et γ atteint leur limite. -e L (-) < ε <e L (+) -e T (-) < ε <e T (+) (4.78) γ < e LT e (-) L et e (-) T sont strictement positives ν E E ε ν ε E E γ τ G Anh Dung NGÔ Page 98

39 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 ν ε E E or, à la rupture de l essai de traction longitudinale : d où : E ( ) L ( + ) L ν ν E E E E implifiant E on obtient alors : ν ( + ) L est l équation d une droite dont la pente est De la même façon, on obtient : + ν ε T + E E E ( + ) d où : ν + T a+b ν, qui croise l ae à ( ) + L. Figure 4. Les trois théories de limitation pour les matériau composites : contrainte maimale, déformation maimale et énergétique (Tsai-Hill) [Gibson] ritère énergétique Tsai-Hill τ + + (4.79) L L T LT Anh Dung NGÔ Page 99

40 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 T (+) - L (-) L (+) - T (-) Figure 4. ( + ) ( ) L L et ( + ) ( ) T T T (+) - L (-) - T (-) L (+) ( ) ( ) ( ) ( ) Figure 4. et L L T T E : > (+) L L < (-) T T Figure 4.3 omparaison des résultats epérimentau obtenus d un composite graphite/épo [Burk] avec les quatre théories de limitation pour les matériau composites. Anh Dung NGÔ Page

41 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 Eemple 4. oit un composite dont les caractéristiques sont les suivantes : E 6 GPa ( + ) L 8 MPa E GPa ( ) L 4 MPa.3 ( + ) T 4 MPa G 7 GPa ( ) T 3 MPa LT MPa ν Dessinez les enveloppes de l'état limite selon les trois critères : ma, ε ma et Tsai-Hill olution ( ) L ( + ) L 8 pente.85 4 pente E E Eemple 4. oit un composite dont les caractéristiques sont les suivantes : E E 7 GPa (+) - (-) L L T 56 MPa ν ν.5 LT 5 MPa G 5 GPa L état de contraintes du composite est illustré à la figure 4.4. Vérifiez son intégrité en utilisant le critère de la déformation maimale. Anh Dung NGÔ Page

42 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 5 MPa 5 MPa MPa 3 Figure 4.4 olution,, T( ), 5.8 [ T( θ) ] [ T( θ) ] MPa τ 5 4 τ ε ε τ ν E E ν E E G τ e.8 e ( ) 6 ( ) ( ) ( ) L ( ) L L L 9 L E 7 56 e.8 e ( ) 6 ( ) ( ) ( ) T ( ) T T t 9 T E 7 ritère ( ) ( ) L L 5 e.5 6 LT LT 9 G 5 e e ( ) ( ) e L el γ < e.8.5 (Fau) [ ] LT Anh Dung NGÔ Page

43 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 La dernière condition n est pas satisfaisante. Par conséquent, la rupture sera causée par la déformation angulaire. Eemple 4. de l eemple 4.. alculez τ permise pour θ 45 selon les 3 critères pour le composite olution τ sin θcos θ [ T] τ sin θcos θ τ τ τ (cos θsin θ) pour 45sin sin 45 cos τ d'où τ où τ peut être positive ou négative τ ) ritère de la contrainte maimale ( ) ( ) L + < < L 4 <τ < 8 () τ ( ) ( + ) T T τ < < 3 <τ < 4 () i τ > τ < LT < La rupture sera causée par une contrainte de compression transversale -3 < - τ τ 3 τ < car la condition τ < 4 est toujours respectée. positive négative Anh Dung NGÔ Page 3

44 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 i τ < La rupture sera causée par τ < 4 τ 4 MPa positive positive τ car la condition 3 < τ est toujours respectée negative positive ) ritère de déformation maimale ( + ) 8 e.5 6 ( + ) L L 9 E 6 ( ) 4 e ( ) L L 9 E 6 4 e.4 ( + ) 6 ( + ) T T 9 E ( ) 3 e.3 6 ( ) T T 9 E e.49 6 LT LT 9 G 7 ε ε γ ν E E E YM G τ ν τ ν ε ( τ ) E E E E τ.3τ ε τ ν ν ε + τ + ( τ ) E E E E.3τ τ τ Anh Dung NGÔ Page 4

45 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 ritère γ τ G e <ε < e.875 < 8.5 τ <.75 ( ) ( + ) L L e <ε < e.3 <.875 τ <.4 ( ) ( + ) T T γ < e LT (satisfaisante) i τ > La rupture sera causée par ε de compression τ.3 τ.875 i τ < La rupture sera causée par ε > Pa 5.7 MPa.875 ( ).4 τ <.4 τ 39.3MPa.875 3) ritère de Tsai-Hill À la rupture, on a τ τ + + L L T LT i τ > > L τ < T τ d'où ( + ) L ( ) T Anh Dung NGÔ Page 5

46 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 τ τ τ + + ( + ) ( + ) ( ) L L L τ + ( + ) ( ) L L τ MPa i τ < < L > T ( ) L ( + ) T d'où τ τ τ + + ( ) ( ) ( + ) L L L τ MPa Résumé : τ > τ < ritère de Tsai-Wu Le critère de Tsai-Wu pour le cas de l état plan de contraintes s écrit sous la forme : F + F + F τ + F + F + F où F ; F ; F ; F ; F ( + ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) L )L T T LT L L T T Le coefficient de couplage F peut se déterminer soit dans un essai de traction bi-aiale où les contraintes à la rupture sont et τ : (4.8) Anh Dung NGÔ Page 6

47 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 F [ (F + F ) (F + F )] (4.8) soit dans un essai de traction à 45 o dont la contrainte à la rupture est désignée comme 45 : 45 F [ (F + F ) (F + F + F ) ] (4.8) L enveloppe sécuritaire du critère de Tsai-Wu est présentée à la figure suivante : τ Figure 4.5 Mis à part des méthodes epérimentales, il a été suggéré dans la littérature scientifique de déterminer le coefficient de couplage F en considérant que le critère de Von Mises applicable au matériau isotrope est un cas spécifique du critère de Tsai-Wu pour les matériau orthotrope. Dans ce cas, on obtient que : F FF (4.83) Le critère de Tsai-Wu s écrit par conséquent : F + F + Fτ + F + F FF (4.84) Eemple 4.3 Le composite de l eemple 4.est soumise à un essai de traction bi-aial dont la contrainte à la rupture est égal à 35 MPa : ) calculez le coefficient de couplage F ; ) vérifiez son intégrité sachant que l état de contraintes appliquées est de MPa, -5 MPa et τ 9 MPa. olution ) Le coefficient d interaction F Anh Dung NGÔ Page 7

48 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 F [ (F + F ) (F + F )] [ ( + ) ( + )] ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) L L T T L L T T + + (35) [ 35( ) (35) ( )] 6.85 (MPa) 5 ) Vérification de l intégrité F 3.97 MPa ) 8 4 ( + ( ) L L ( + ) ( ) T T LT () ( + ) ( ) L L ( + ) ( ) T T 4 7 F.87 MPa 4 3 F (MPa) 4 F.587 MPa 8 4 F.65 MPa 4 3 Le critère de Tsai-Wu est : 4 F + F + F τ + F + F + F (3.97 )() + (.87 )( 5) + ( )(9) (.587 )() (.65 )( 5) (6.85 )()( 5) Etant donné que -.57< il n a donc pas rupture. Anh Dung NGÔ Page 8

49 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 Eercices 4.. En considérant l état de contrainte ( τ, ), prouvez que G 4.. Un pli de composite unidirectionnel est soumis à un état de déformation illustré à la figure 4.6. alculez les contrainte en utilisant les invariants sachant que le composite a les caractéristiques suivantes : E 38 5 MPa E MPa ν,3 G 3 5 MPa Rép. : MPa 9.69 τ Figure 4.6,5,, 4.3. La figure 4.7 illustre une plaque constituée d'un pli de composite unidirectionnel qui est soumise à une contrainte de cisaillement τ 4,5 MPa. Le composite a les caractéristiques suivantes: E 55 MPa ; E MPa; ν, 48; G 4 4 MPa Déterminer : a) Les caractéristiques E, E, G, ν, η, de la plaque; b) Les déformations ε, ε et γ ; c) Les nouvelles dimensions de la plaque suivant les directions et. O 6 τ Figure 4.7 Rép. :a) E 9 5 MPa; ν.57; η,.6; E 99MPa; G 7 9MPa Anh Dung NGÔ Page 9

50 Mécanique des matériau composites hapitre 4 Analse d un pli de composite unidirectionnel H4 b) ε.86 ε γ Une plaque de composite unidirectionnel soumise à un état de contrainte tel qu illustré à la figure 4.8. Déterminez l orientation des fibres pour qu elles ne supportent pas le cisaillement. 65 MPa MPa τ -6 MPa Figure 4.8 Rép. : Ө o et Ө 65.5 o 4.5. Un pli d'un composite orthotrope équilibré est soumis à un état de contrainte défini à la figure 4.9. Le composite possède les caractéristiques suivantes : E E 68 MPa ν, 3 G 4 6 MPa (+) L (-) L (+) T LT 3 MPa T (-) 5 MPa Vérifier la rupture du composite en utilisant le critère de la déformation maimale. 6 o 5MPa 45MPa MPa Rép. : Rupture par cisaillement Figure 4.9 Anh Dung NGÔ Page