PREDAVANJE-11. Generacija 2007 Optimalno projektovanje u mašinstvu

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "PREDAVANJE-11. Generacija 2007 Optimalno projektovanje u mašinstvu"

Transcript

1 Dr Momr Jovanovć OPTIMIZACIJA (autorzovana predavanja) 1 PREDAVANJE-11 Generacja 007 Optmalno projektovanje u mašnstvu 1.1 UVOD U OPTIMANO PROJEKTOVANJE PREDMET OPTIMIZACIJE (lustratvno): mnmalna masa mašnskog sklopa, strukture, člana; mnmalna površna geometrjske forme (oblkovanja sudova), mnmalan otpor na pogonskom članu (kod mnmzacje sla), mnmalna greška putanje (snteza geometrje mehanzma), maksmalna pouzdanost mašnskog sstema, mnmalan otpor kretanja (kod oblkovanja plašta letlca), mnmalna ampltuda osclovanja (rasporedjvanja mase vozla), maksmalno skoršćenje materjala (u naponskom smslu), mnmalno vreme zvršenja radnh funkcja mašna, maksmalno skoršćenje energje (kod sagorevanja). DEFINICIJE OPTIMIZACIJE: Optmzacja je postupak nalaženja najpovoljnjeg rešenja konstrukcje pr zadatm uslovma. U teorj optmalnog projektovanja, optmzacjom se odredjuju konstruktvn parametr (geometrja) koj defnšu ekstremna svojstva (mnmum-maksmum) posmatranh mašna. OPTIMIZACIJA je u matem. smslu, proces nalaženja uslova koj daju ekstremne vrednost funkcja clja. OPTIMIZACIJA je prmenjena naučna dscplna koja metodama matematčkog programranja, varjaconog računa, teorjom optmalnog upravljanja metodama teorjske mehanke, defnše tražena tehnčka svojstva konstrukcja. OSTAE OBASTI: Teorja optmalnog upravljanja, Teorja dnamčk optmalnh konstrukcja, Stablnost mašnskh sstema, Teorja otkaza (pouzdanost), su deo savremene teorje optmalnog projektovanja predstavljaju nadgradnju osnovne teorje. ISTORIJSKI POSMATRANO: tr etape: Perod zdravog razuma ntucje, Perod nženjerskh rešenja Perod čsto analtčkh rešenja tehnčke kbernetke. MATEMATIČKE PODOGE OPTIMANOG PROJEKTOVANJA: OBASTI: Klasčna numerčka matematka, računarske nformacone tehnologje. Newton-a ebntz-a ( ), su postavl osnove dferencjalnog računa. U oblast varjaconog računa, prve radove su dal Bernoull, Euler ( ) agrange (metoda agranžeovh množlaca). Cauchy je postavo koncept neogrančenog slaznog "spusta" ka mnmumu. U oblast numerčkh metoda (Velka Brtanja): Dantzg je razvo metod optmzacje problema lnearnog programranja, Bellman je razvo prncp optmalnost kod dnamčkog programranja, Kuhn Tucker su defnsal uslove za egzstencju rešenja optmzacje.

2 Dr Momr Jovanovć OPTIMIZACIJA (autorzovana predavanja) Jedna opšta klasfkacja metoda optmzacje operaconh stražvanja prema [40]: Slka 1.1 Metode optmzacje u šrem smslu 1. METODE OPTIMIZACIJE U MAŠINSTVU ZAŠTO TOIKO METODA: Jednstven metodološk postupak za optmzacju konstrukcja ne postoj jer sam zadac nemaju jednak matematčk model. Razlčt matematčk zahtev prostču z razlčth matematčkh formulacja funkcja clja funkcja ogrančenja. Metode u mašnstvu optmalnog projektovanja konstrukcja, mogu se prokomentarsat: Metoda dferencjalnog programranja je klasčna metoda analtčke algebre kod koje se dferencranjem konveksnh funkcja clja funkcja ogrančenja, dobja ekstremum. Metode varjaconog računa se korste kod funkcja clja formulsanh u ntegralnom oblku. Metoda maksmuma se korst kod funkcja clja (FC) formranh u oblku dferencjalnh jednačna sa ogrančenjma u vdu nejednačna. Prmenjuje se kod snteze optmalnog upravljanja. Metode lnearnog programranja [18] se šroko korste u planranju organzacj prozvodnh sstema. Poznata metoda lnearnog programranja je Smplex metoda [38], Korst se za rešavanje zadataka optmalnog rasporeda (borbenh sredstava, transportnog problema td). Metode lnearnog programranja se mogu prment u optmalnom projektovanju ako je moguća lnearna aproksmacja problema. To je onda lnearno aproksmatvno programranje. Metode nelnearnog programranja [8] su osnovne metode za optmalno projektovanje konstrukcja u tehnc jer su funkcje clja funkcje ogrančenja uglavnom nelnearne prrode. Složenost l prekdnost funkcja koje opsuju problem, zahteva poboljšanje numerčke forme problema, pa se u tm slučajevma korste metode nelnearnog aproksmatvnog programranja. KASIFIKACIJA ZADATAKA OPTIMIZACIJE: Zadac sa bez ogrančenja. Matematčke metode: metode bezuslovne metode uslovljene mnmzacje. Pregled metoda za uslovljeno nelnearno programranje, pokazuje slka 1.3.

3 Dr Momr Jovanovć OPTIMIZACIJA (autorzovana predavanja) 3 Slka 1.3 Metode uslovljenog nelnearnog programranja 1.3 MATEMATIČKE OSNOVE OPTIMIZACIJE FUNKCIJA CIJA: Clj optmalnog projektovanja je funkcja nezavsnh parametara optmzacje z : FC = F K (1.3.1) (z) Rezultat optmzacje je ekstremna vrednost funkcje clja: (z 1,z,z 3,,z n ) FC = ( z) FC (z) EXTR (1.3.) Ekstremna vrednost funkcje clja odredjuje specfčne osobne projektovane konstrukcje, zbog čega se defnše optmalnom. Parametr optmzacje z mogu bt razlčte fzčke vremenske prrode. FUNKCIJE OGRANIČENJA Gj. U matematčkom smslu, mogu bt razlčtog oblka: polnoma, dferencjalnh ntegralnh jednačna mogu se uopšteno defnsat: G r j( z) = G r r r r j(z1,z,z3, K,z n ) (1.3.3) Funkcje ogrančenja: Opšte (metrčk prostor) posebne (fzčke osobne). Na osnovu ovako defnsanh funkcja clja funkcja ogrančenja, zadatak optmzacje u matematčkom smslu može se defnsat zahtevom nalaženja takvh vrednost nezavsnh parametara z (u n-dmenzonom eukldskom prostoru Z), koje funkcj clja FC, uz ogrančenja G j (j=1 q), daju ekstremnu vrednost: mn n { FC, z Z }, Z = { z R, G 0, (j = 1- q) } ( z) j(z) MATEMATIČKI USOV: rešvost ovog zadatka je neprekdnost dferencjablnost funkcja, što se u mašnskm sstemma uglavnom obezbedjuje vezama, uslovma sprezanja, kontnualnošću prostranja napona deformacja kroz kontnuum.

4 Dr Momr Jovanovć OPTIMIZACIJA (autorzovana predavanja) 4 GOBANI OPTIMUM: Tačka ( z ) Z r, je optmalna ako je FC FC ( z ) (z) za svako z Z. Ovako odredjena tačka mnmzacjom se nazva globaln optmum. VIŠE EKSTREMUMA: Složene funkcje clja konveksnog tpa, mogu da maju vše ekstremuma. Jedan ekstremum je najzraženj to je globaln, a ostal su lokaln z. Funkcje clja sa vše zraženh ekstremuma u matematčkom programranju, nazvaju se multmodalnm funkcjama. Slka 1.4 nterpretra neke od navedenh pojmova u 3D prostoru. a. Konveksna funkcja FC(z) b. Sedlasta povrsna FC(z) c. Multmodalna funkcja FC(z) d. Jako zrazen ekstrem FC(z) Slka 1.4 Geometrjska nterpretacja funkcja clja INVERZIJA ZADATKA: U realzacj optmzacje moguće je tražt mnmume l maksmume funkcje clja. Problem maksmzacje funkcje clja FC 1(z) u skupu Z, svod se na problem mnmzacje funkcje FC (z) posredstvom relacje: FC (z) FC1(z) = (1.3.5) USOVE EGZISTENCIJE MINIMUMA defnše Slater-ov uslov Kuhn-Tucker-ova teorema [38]. 1.4 ETAPE OPTIMANOG PROJEKTOVANJA Postupak optmzacje konstrukcja ma strategju koja se može sagledat sa slke 4.5. Prvo se opsno defnše optmzacon zadatak (etapa 1: DEFINISANJE ZADATKA), čme se utvrdjuju nezavsn parametr clj optmzacje sa realnm ogrančenjma zadatka. Naredna etapa je zbor krterjuma optmzacje - formulacja karaktera funkcje clja. Krterjum optmzacje mogu bt: tehnčke, ekonomske tehno-ekonomske prrode.

5 Dr Momr Jovanovć OPTIMIZACIJA (autorzovana predavanja) 5 Slka 1.5 Etape procesa optmzacje KRITERIJUMI OPTIMIZACIJE: Mogu bt potpuno defnsan. Nasuprot tome kod složenh procesa, krterjum mogu dat razlčte shode. Prema načnu vrednovanja, moguć su zbor sledećh krterjuma: Determnstčk krterjum, Krterjum statstčke verovatnoće Krterjum za uslove konflktnh stuacja. REATIVNI KRITERIJUMI OPTIMIZACIJE: Prmena unverzalnh krterjuma (najopštjh formulacja) nje moguća zato što to usložava računsk aparat, uvećava broj parametara zahteva znova verfkacju pouzdanost matematčkog modela. Iz th razloga, kod kompleksnh tehnčkh optmzacja, zbor funkcje clja nje strogo matematčk već predstavlja komproms mnoštva utcajnh faktora prosteklh z matematčkog modelranja, ekspermentalnh rezultata ntutvnh opažanja. Ovako formran krterjum optmalnost su takozvan relatvn krterjum optmalnost. OPRAVDANOST: Sastavljanje krterjuma optmalnost je besmsleno za slučaj postojanja dovoljno tačnh matematčkh modela. Kod mnogh optmzaconh zadataka, ocena kvalteta rešenja se ne vrš na osnovu samo jednog, već vše krterjuma. Tako formrane funkcje clja predstavljaju kompleks krterjuma optmzacje parcjalnh krterjuma (cljeva) optmalnost. Tu složenost je moguće vektorsk defnsat zrazom (4.4.1): r r r r r FC0 = ( { FC 1, FC, FC3, K, FCm} ) (1.4.1) U kompleksu krterjuma, potrebno je defnsat važnost pojednačnh krterjuma što se realzuje uvodjenjem težnskh koefcjenata λ j. Takva prozvoljna funkcja ma oblk: r (FC, m FC r j(z) r = λ (1 ) ; = 1 λ) j FC r j j(z) EXTR ( λ j ) (1.4.) IZBOR METODE OPTIMIZACIJE: Zavs (etapa 4) od prrode optmzaconog problema (determnstčk, stohastčk, statčk, dnamčk), matematčke formulacje zadatka (lnearan, nelnearan, sa l bez ogrančenja, sa l bez zvoda), broja krterjuma optmzacje (jednokrterjumsk, všekrterjumsk) prstupa (analtčke, gde ma matematčke funkcje clja ekspermentalne, gde nema matematčke formulacje funkcje clja). Izbor metode se završava zborom softvera (algortma). REAIZACIJA OPTIMIZACIONE PROCEDURE (etapa 6: programska realzacja) je zvršn zadatak realzuje se računarom kod najvećeg broja optmzaconh zadataka. Kako matematčk algortm za optmzacju obavljaju uglavnom teratvne postupke, ova etapa zahteva brze hardverske platforme, vsoku numerčku tačnost kapactet obrade.

6 Dr Momr Jovanovć OPTIMIZACIJA (autorzovana predavanja) 6 KASIČNE METODE DIFERENCIJANOG PROGRAMIRANJA Zadac bezuslovnh mnmzacja U tehnčkom projektovanju korste se metode bezuslovnh optmzacja kod zadataka gde nema funkcja ogrančenja. U slučajevma gde postoje ogrančenja, moguće je prment ove metode uz obaveznu nterpretacju rešenja (grafčku, funkconalnu, logčku) čme se ocenjuje kvaltet rešenja. Takav prstup očgledno ne vod brzom rešavanju, al omogućuje lakše kretanje kroz n-dmenzon prostor nepoznath. Metode dferencjalnog programranja zahtevaju da funkcje clja budu neprekdne dferencjablne u oblast rešenja. Korste se kod zadataka sa malm brojem parametara malom složenošću funkcja. U opštem slučaju se dobja sstem nelnearnh algebarskh jednačna koj se rešava računarom, nekom od numerčkh aproksmatvnh metoda. Klasčne metode dferencjalnog programranja defnšu potreban uslov traženja ekstremuma jednačnama: (.5.1) = 0, ( = 1,,3, K, n) z Karakter ekstremuma (mnmum maksmum) se sptuje proverom vrednost (znaka) drugog zvoda za nadjeno rešenje z uslova (.5.1). Tamo gde je spunjen uslov (.5.) rad se o mnmumu, a gde je spunjen uslov (.5.3) o maksmumu. (.5.) 0, ( = 1,,3, K,n), z (.5.3) < 0, ( = 1,,3, K, n) z Matrca (.5.4), u slučaju mnmuma, mora bt poztvno odredjena u okoln rešenja z r : [ A] z1 FC(z) = z z1 M zn z1 z1 z z M zn z FC (z) z1 z n a 11 = a1 z zn M M an1 FC(z) zn a1 a M an a1n a n M ann (.5.4) U matrc (.5.4), sa a k su označen parcjaln zvod funkcje clja po ndeksranm nezavsnm parametrma z k. Uslov poztvne odredjenost defnše se nalaženjem sopstvenh vrednost p 1, p, p 3,..., p n, polnoma zvedenog z matrce A, koj je dat relacjom (.5.5): (a11 p) a1 M an1 (a a a 1 M p) n a1n (.5.5) a n = 0 M (ann p)

7 Dr Momr Jovanovć OPTIMIZACIJA (autorzovana predavanja) 7 Ako su sva rešenja p 1, p, p 3,..., p n veća od nule, matrca je poztvno defntna (odredjena), pa posmatran model ma jako zražen ekstremum. U slučaju da su neka rešenja jednaka nul, tada se matrca defnše kao poztvno poluodredjena analzom rešenja ove jednačne, moguće je, zavsno od zadatka, odredt mal l velk relatvn ekstremum kao apsolutn (globaln) ekstremum. Dovoljan uslov egzstencje mnmuma može se klasčno defnsat Slvestrovm krterjumom (.5.6). U slučaju maksmuma, relacjama (.5.7): a11 a1 a1n a11 a1 a13 a a a a a n a 0, 0, a a a 1 3 0, 1 = 11> = 3 K > 0 a1 a > = > = M M M a31 a3 a33 an1 an ann 1 0, 3 0, 5 0, (.5.7) 0, 4 0, 6 0 Metoda agranžeovh množlaca Metoda agrange-ovh množlaca se prmenjuje na vše razlčth postupaka determnstčkog stohastčkog traženja mnmuma. U oblast dferencjalnog programranja, ova metoda se može upotrebt za traženje ekstremuma uz prsustvo j=1 m funkcja ogrančenja G j : G r r r r r,zn ) = j( z) = G j(z1,z,z3, K 0, (j = 1,,3, K,m) (.5.8) Nalaženje potrebnh uslova pr kojma egzstra rešenje, može se utvrdt prmenom koefcjenata λj - agrange-ov množoc. agrange-ova funkcja ma oblk: m r ( z) = FC r (z) + λ j G r j (z) j= 1 (.5.9) Uslov egzstencje ekstremuma: (z) (4.5.10) = 0 z Uslov (.5.8) (.5.10) obrazuju sstem od m+n jednačna z koga se odredjuje z nepoznath m agrangeovh množlaca λ j, za koje mamo ekstremnu vrednost funkcje FC (z), tj. FC r ( z) = FC r (z) EXTR. Karakter ekstremuma, odredjuju se na osnovu znaka drugog dferencjala agrange-ove funkcje: z z k n m FC = = = (z) m G(z) = + λ j 1k 1 z zk j 1 z zk (z) (.5.11)

8 Dr Momr Jovanovć OPTIMIZACIJA (autorzovana predavanja) 8 PRIMER: Odredt optmalnu geometrju clndrčnog rezervoara zapremne 10 m 3, tako da se utroš mnmalno materjala. H R POSTAVKE ZADATKA: Površna omotača rezervoara je funkcja clja optmzacje. Ova funkcja je defnsana sa dva parametra optmzacje, poluprečnkom omotača R vsnom rezervoara H. Funkcje su neprekdne dferencjablne. Kako postoj jedno ogrančenje (zapremna rezervoara), problem ma tr nepoznate (R,H,λ), pa se shodno tome može korstt analtčka metoda dferenc. programranja (G). Funkcja clja (površna rezervoara) njen zvod po nepoznatm parametrma: FC( z) = FC(z 1,z ) = FC(R,H) = P = R π + R π H Funkcja ogrančenja je zapremna: FC (R,H) FC(R,H) = 4 R π + π H, R H = R π V( R,H) = R π H, G(R,H) = R π H V = R π H 10 = 0 G(R,H) G(R,H) = R π H, = R R H POSTAVKA: Sada je moguće oformt sstem jednačna za rešavanje: FC R FC H G (R,H) (R,H) (R,H) G (R,H) + λ = 0, 4 R π + π H + λ R π H = 0 R G (R,H) + λ = 0, R π + λ R π = 0 H = 0, R π H 10 = 0 Opšta rešenja zadatka optmalnost mase clndrčnog rezervoara: π R = 3 V, π λ = 3 V π, H = π 3 V V π.

9 Dr Momr Jovanovć OPTIMIZACIJA (autorzovana predavanja) 9 METODE NEINEARNOG PROGRAMIRANJA U nženjerskm zadacma projektovanja optmalnh mašnskh sstema, korste se dve grupe metoda nelnearnog matematčkog programranja: 1. Metode traženja mnmuma po strogm procedurama. To su determnstčke metode.. Metode do čjh se rešenja dolaz metodama slučajnog traženja (stohastčke metode). Druga podela po prstupu IZMENE PARAMETARA je: 1. Metode jednodmenzonog traženja gde se menja samo jedan parametar za njegovu promenu utvrdjuje vrednost funkcje clja.. Procedure všedmenzonog traženja. Jednodmenzon zadac mnmzacja (skenranja): Kod formalnog jednodmenzonog pretražvanja hper prostora (metode skenranja), nezavsn parametr se određuju u dopustvoj oblast z a z b mogu se dskretno menjat sa stalnom l promenljvom dužnom koraka H n. Vrednost funkcje clja se odredjuje za dskretne vrednost nezavsno promenljve. Izmedju dve susedne vrednost z K z K+1, nepoznata je vrednost funkcje clja. Izabran korak promene nezavsnh parametara H n predstavlja nterval neodredjenost, a vrednost funkcje clja poznata je samo na grancama tog ntervala. Broj tačaka nezavsne promenljve n u dopustvom segmentu z a z b može bt već l manj što zavs od karaktera FC. Prema tome, nterval neodredjenost može se defnsat: H n z b = n FC z 1 a (.6.1) FC mn z z a z z b H n OSOBINA: Ušteda mašnskog vremena rada računara zahteva prmenu većeg (krupnjeg) koraka - ntervala neodredjenost H n. Sa druge strane, velk nterval neodredjenost umanjuje kvaltet nadjenog ekstremuma, jer se on može nać unutar ovog ntervala. Prema tome, optmalan zbor ntervala neodredjenost je: H = [( ) MAX ] MIN n h K (.6.) PROCEDURA: Metoda jednodmenzonog traženja se zasnva na podel dozvoljene oblast nezavsne promenljve (a,b) na n tačaka (jednako udaljenh) utvrdjvanju vrednost funkcje clja u njma. Poredjenjem vrednost FC u dskretnm tačkama, odredjuje se položaj traženog ekstremuma. Očgledno da ova metoda nema prvlegovanh pravaca smerova promene nezavsne promenljve pa se, stoga, nazva metodom formalnog-pasvnog traženja.

10 Dr Momr Jovanovć OPTIMIZACIJA (autorzovana predavanja) 10 U dentfkovanoj oblast rešenja, smanjenjem koraka nalaz se bolje rešenje. Na taj načn se nterval neodredjenost značajno smanjuje, što daje za praktčne nženjerske konstrukcje kvaltetna rešenja. Ovakav postupak daje mogućnost rešavanja zadataka sa većm brojem nezavsnh parametara. Kod POSTUPNIH PROCEDURA MINIMIZACIJE, postupak zbora naredne vrednost promenljve je usaglašen sa rezultatme prethodne teracje. Ove metode su mnogo efkasnje jer se u svakom koraku terra ka ekstremumu. Kod formalnh metoda to nje slučaj jer se njma pretražuje sav prostor uporedjuju rešenja. Najpoznatje metode jednodmenzonog postupnog traženja su metoda polovljenja ntervala neodredjenost, Fbonac metoda, metoda zlatnog preseka druge. Ove metode su občno u sastavu programskh paketa za mnmzacju korste se kada prstup mnogodmenzonog traženja ne daje rezultate. Mnogodmenzon zadac mnmzacje bez ogrančenja Iako su kod praktčnh zadataka gotovo uvek prsutna ogrančenja, ove metode se mogu korstt za analzu oblast rešenja. Njhovo obeležje je uvećana računarska procedura, što u slučaju velkog broja nezavsnh parametara dovod do neuspeha nalaženja rešenja. Kao kod jednodmenzonh zadataka, mnogodmenzon zadac se mogu realzovat metodama pasvnog traženja metodama postupnog traženja. METODA PASIVNOG TRAŽENJA odlkuje se podelom dopustve oblast nezavsnh parametara na jednake ntervale neodredjenost. Na ovaj načn, zgradjuje se mreža u n-dmenzonom eukldskom prostoru u čvornm tačkama zračunava vrednost funkcje clja FC. Slka.6 lustruje dvodmenzon prostor, podeljen ntervalma neodredjenost na podoblast. Z Z =1 Oblast pretra`vanja (odredjvanje FC u ~vorovma mre`e) Slka.6 Interval neodredjenost Z 1 Z =1 1 Mreža tačaka dvodmenzonog prostora u kojma se odredjuje FC(z) NORMIRANJE: Uslov stablne procedure se obezbedjuje normranjem. To je deljenje nezavsnh parametara z sopstvenm ntervalom promene vrednost a-b, čme se prelaz na normrane vrednost z : z a z =, ( = 1,,3,...) (.6.3) b a Prmer METODA PASIVNOG TRAŽENJA U MINIMIZACIJI MASE NOSAČA Posmatrajmo kutjast nosač dužne, zradjen od debelh lmova stablne geometrje preseka od lokalnh nestablnost, slka.7. Nosač je opterećen na slobodnom kraju slama F H F V. Debljna zda je fksna, konstantna. Potrebno je nać optmalnu geometrju preseka BxH, tako da je masa nosača mnmalna. Dat je materjal (čelk), raspon, sle F H F V dozvoljen ugb nosača f 0.

11 Dr Momr Jovanovć OPTIMIZACIJA (autorzovana predavanja) 11 δ δ Slka.7 Kujast nosač tražene optmalne geometrje BxH Izbor metode, nezavsnh parametara odredjvanje funkcje clja Zadatak se može rešt numerčk, analzom mogućh kombnacja nezavsnh parametara preseka, kada je njhov broj konačan. Postupak se onda svod na prmenu metoda pasvnog všedmenzonog traženja, pretražvanjem ogrančene oblast rešenja brzm računarma. Prednost ove metode je u analz tačnog modela (bez aproksmacja) jednostavnost modela traženja. Sa druge strane, potencjalan broj kombnacja dskretne geometrje može bt prhvatljv za računar. Za funkcju clja je zabrana mnmalna masa glavnog nosača čme se problem svod na traženje mnmalne zapremne. Prblžna zapremnu sandučastog nosača funkcja clja: FC ( B,H) = A(B,H) (B + H) δ (.6.4) Funkcja ogrančenja najvećh statčkh napona u preseku G1. Funkcja ogrančenja je zvedena sa aproksmacjom da drug napon nsu domnantn (normaln tangentn napon u šavu zavarenog spoja). Najveć totaln napon u korenu kutjastog nosača rezultat je složenog naprezanja od savjanja transferzalnh sla. Normaln napon σ x, σ y potču od naprezanja na savjanje. Smčuć napon τ sh τ sv potču od transverzalnh - smcajnh sla. Funkcja ogrančenja G1=σ U1 najvećeg uporednog napona zračunava se prmenom hpoteze Huber-Msses-Hencky ( ) za ravansk problem, relacja (4.6.5a). Sredjenu funkcju ogrančenja pokazuje (4.6.5b): σ G u = ( σx + σ y ) + 3 ( τt + τs ) H V 1 = σ doz SH SV F V H FH B + Ix Iy Realzacja zadatka optmzacje: F + 3 A F + A (.6.5a) (.6.5b) Početne vrednost parametara optmzacje H (0), B (0), oko kojh će bt formrana oblast pretražvanja (H mn - H max, B mn -B max ) se odredjuju z preporučenh vrednost geometrje preseka nosača, na baz potrebnh momenata nercje odredjenh z spoljašnjh utcaja. Početne vrednost nepoznath optmalnh parametara su: H (0) = 3 Ix, δ y B (0) = 3 I 5 I y x y x 3 Ix δ y (4.6.13)

12 Dr Momr Jovanovć OPTIMIZACIJA (autorzovana predavanja) 1 δ max max Ovako defnsana početna geometrja, zahteva prošrenje na oblast pretražvanja, do skustveno ekstremnh granca u kojma može rešenje da egzstra H MAX, H MIN, B MAX, B MIN. Oblast promene vsna šrna nosača su zabrane u slobodnm grancama (H MAX -H MIN ) = 50 cm, (B MAX -B MIN ) = 50 cm. Korak promene šrne vsne nosača, B H, H= B=0.5 cm, daje dovoljnu gustnu potencjalnh rešenja. Potencjalan broj osnovnh parametara preseka nosača (n 1 n ) ukupan broj mogućh kombnacja N: n 1 = (H MAX - H MIN )/ H + 1 = (50)/0.5+1=101 n = (B MAX - B MIN )/ B + 1 = (50)/0.5+1=101 N = n1 n = = (.6.15) Algortam programa za optmzacju, dat je u Teorj projektovanja konstrukcja računarom, autora M.Jovanovća, Mašnsk fakultet Nš. Program je zvodljv na PC-ju zahteva 50 (kbyte) operatvne memorje. Rezultate optmzacja pokazuje tabela T.. Pored dobjenh geometrjskh karakterstka preseka H, B, data je površna preseka A, ε - koefcjent rezerv naponskog skoršćenja preseka, odgovarajuć napon σ 1, σ 4 u tačkama 1 4, vrednost funkcje clja. Nosvost F V`=6 kn, F H =6 kn, Raspon =1.0 m, lm δ =10 mm, Č 0561, f 0 = mm. Dozvoljen napon za Č 0561 σdoz= 4 kn/cm, σ SAVA = 17 kn/cm H B δ δ 1 A ε σ 1 σ 4 FC (mm) (mm) (mm) (mm) (cm ) (%) (kn/cm ) (kn/cm ) (cm 3 )

Moguća i virtuelna pomjeranja

Moguća i virtuelna pomjeranja Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORJA ETONSKH KONSTRUKCJA 1 PRESEC SA PRSLNO - VELK EKSCENTRCTET ČSTO SAVJANJE - SLOODNO DENZONSANJE Poznato: Nepoznato: - statčk tcaj za pojedna opterećenja ( ) - sračnato - kvaltet materjala (, σ v

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

( ) BROJNI PRIMER 4. Temeljni nosač na sloju peska. Slika 6.3. Rešenje: Ekvivalentni modul reakcije podloge/peska k i parametar krutosti λ :

( ) BROJNI PRIMER 4. Temeljni nosač na sloju peska. Slika 6.3. Rešenje: Ekvivalentni modul reakcije podloge/peska k i parametar krutosti λ : BROJNI PRIMER 4 Armrano etonsk temeljn nosač (slka 63), fundran je na dun od D f =15m, u sloju poto-pljenog peska relatvne zjenost D r 75% Odredt sleganje w, nag θ, transverzalnu slu T, moment savjanja

Διαβάστε περισσότερα

Reverzibilni procesi

Reverzibilni procesi Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Ovdje će se prikazati dva primjera za funkciju cilja sa dvije varijable: kružnicu i elipsu.

Ovdje će se prikazati dva primjera za funkciju cilja sa dvije varijable: kružnicu i elipsu. Neke metode z nelnearnog programranja Od metoda nelnearnog programranja koje se korste za rješavanje nekh problema sa specfčnom funkcjom clja zdvojt će se sljedeće: a) grafčka metoda, b) metoda neposrednog

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A Psmen spt z OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga ABC se oslanja pomoću dvje špke BD CE kao na slc desno. Špka BD, dužne 0.5 m, zrađena je od čelka (E AB 10 GPa) ma poprečn presjek od 500 mm.

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI predavač: dr Marko Petković

POLINOMI predavač: dr Marko Petković Gmnazja Svetozar Markovć, Nš Dodatna nastava z matematke za drug, treć četvrt razred Nedelja, 01.11.2009. POLINOMI predavač: dr Marko Petkovć 1 Osnovna teorja Defncja. Neka je R prsten. Polnom P (x) nad

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetički i geometrijski niz

Aritmetički i geometrijski niz Zadac sa prethodh prjemh spta z matematke a Beogradskom uverztetu Artmetčk geometrjsk z. Artmetčk z. 00. FF Zbr prvh dvadeset člaova artmetčkog za čj je prv čla, a razlka A) 0 B) C) D) 880 E) 878. 000.

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE I TERMOHEMIJA

OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE I TERMOHEMIJA OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE I TERMOHEMIJA OSNOVI HEMIJSKE TERMODINAMIKE Hemjska termodnamka proučava promene energje (toplotn efekat) pr odgravanju hemjskh reakcja. MATERIJA ENERGIJA? Energja je dskontnualna

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Elementi energetske elektronike

Elementi energetske elektronike ELEKTRIČNE MAŠINE Elemen energeske elekronke Uvod Čme se bav energeska elekronka? Energeska elekronka se bav konverzjom (prevaranjem) razlčh oblka elekrčne energje. Uvod Gde se kors? Elemen energeske elekronke

Διαβάστε περισσότερα

Projektovanje integrisanih kola. I. I. Uvod Uvod - sistem projektovanja. Sadržaj:

Projektovanje integrisanih kola. I. I. Uvod Uvod - sistem projektovanja. Sadržaj: Projektovanje ntegrsanh kola Potpuno projektovanje po narudžbn Sadržaj: Sadržaj: I. I. Uvod Uvod - sstem projektovanja II. II. MOS Analza Proceskola prmenom računara III. III. Potpuno Optmzacja projektovanje

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

Proračun AB stuba. Oblik izvijanja stuba kao i uslovi oslanjanja su jednaki u oba ortogonalna pravca pa se usvaja stub dimenzija b/h=60/60 cm.

Proračun AB stuba. Oblik izvijanja stuba kao i uslovi oslanjanja su jednaki u oba ortogonalna pravca pa se usvaja stub dimenzija b/h=60/60 cm. Proračun AB stuba Potrebno je zvršt proračun stuba jednodrodne armrano-betonske hale dmenzja x49 metara. Poprečn ramov su formran na razmaku od 7 metara. Hala je u poslednja dva polja vsnsk pregrađena

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika krutog tijela ( ) Gibanje krutog tijela. Gibanje krutog tijela. Pojmovi: C. Složeno gibanje. A. Translacijsko gibanje krutog tijela. 14.

Dinamika krutog tijela ( ) Gibanje krutog tijela. Gibanje krutog tijela. Pojmovi: C. Složeno gibanje. A. Translacijsko gibanje krutog tijela. 14. Pojmo:. Vektor se F (transacja). oment se (rotacja) Dnamka krutog tjea. do. oment tromost masa. Rad krutog tjea A 5. Knetka energja k 6. oment kona gbanja 7. u momenta kone gbanja momenta se f ( ) Gbanje

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA PRIBLIŽNI BROJ I GREŠKA tača vredost ekog broja X prblža vredost ekog broja X apsoluta greška Δ = X X graca apsolute greške (gorja graca) relatva greška X X

Διαβάστε περισσότερα

YUTRIB O5 9 ta JUGOSLIVENSKA KONFERENCIJA O TRIBOLOGIJI JUN Kragujevac, Srbija i Crna gora

YUTRIB O5 9 ta JUGOSLIVENSKA KONFERENCIJA O TRIBOLOGIJI JUN Kragujevac, Srbija i Crna gora YUTRIB O5 9 ta JUGOSLIVENSKA KONFERENCIJA O TRIBOLOGIJI JUN.15-18. 2005 Kragujevac, Srbja Crna gora PRIMENA FUZZY LOGIKE PRI ODRŽAVANJU TEHNIČKIH SISTEMA dr Boždar V. Krstć, red. prof., Mašnsk fakultet

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

). Po njemu najveći hemijski afinitet imaju supstance čijim sjedinjavanjem dolazi do najvećeg smanjenja slobodne energije.

). Po njemu najveći hemijski afinitet imaju supstance čijim sjedinjavanjem dolazi do najvećeg smanjenja slobodne energije. HEMIJSKA RAVNOTEŽA HEMIJSKI AFINITET SUPSTANCI: težnja da stupe u hemjsku reakcju. Ranje se smatralo da je krterjum afnteta brzna. Kasnje se ocena hemjskog afnteta davala na osnovu kolčne oslobođene toplote

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

4 Izvodi i diferencijali

4 Izvodi i diferencijali 4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

OPTIMIZACIJA LOGISTIČKIH MODELA Model distribucije Jedan-prema-jedan

OPTIMIZACIJA LOGISTIČKIH MODELA Model distribucije Jedan-prema-jedan Preavanje 5-6 Generacja 7 OPTIMIZACIJA LOGISTIČKIH MODELA Moel strbucje Jean-prema-jean CILJ FUNKCIONISANJA LOGISTIČKIH MODELA: Istražvanja su pokazala a mogu a se naju optmalne sekvence transportnh puteva

Διαβάστε περισσότερα

1. METODE RJEŠAVANJA NELINEARNE JEDNADŽBE S JEDNOM NEPOZNANICOM

1. METODE RJEŠAVANJA NELINEARNE JEDNADŽBE S JEDNOM NEPOZNANICOM . METODE RJEŠAVANJA NELINEARNE JEDNADŽBE S JEDNOM NEPOZNANICOM. METODA BISEKCIJE.. METODA Nakon početnog stražvanja unkcje poznat su nam Kako može zgledat na ntervalu [ l, d ]? <

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Kombinovanje I i II zakona termodinamike

Kombinovanje I i II zakona termodinamike Kombnovanje I II zakona termodnamke Gbsove jednačne Maksvelove relacje Džul-omsonov efekat Džul-omsonov koefcjent Džul-omsonova nverzona temperatura 1 11.3.00 3:3 M Kombnovanje I II zakona- Gbsove jednačne

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U BEOGRADU MEHANIKA ROBOTA. MEHANIKA ROBOTA - Vukman Čović, Mihailo Lazarević. Vukman Čović Mihailo Lazarević ISBN

UNIVERZITET U BEOGRADU MEHANIKA ROBOTA. MEHANIKA ROBOTA - Vukman Čović, Mihailo Lazarević. Vukman Čović Mihailo Lazarević ISBN MEHANIKA ROBOTA - Vukman Čovć, Mhalo Lazarevć UNIVERZITET U BEOGRADU ISBN 1897456 MEHANIKA ROBOTA Vukman Čovć Mhalo Lazarevć Mašnsk fakultet Beograd, 008 UNIVERZITET U BEOGRADU MEHANIKA ROBOTA Vukman Čovć

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom.

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. 1 Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. Pravilo 2. Svaki atribut entiteta postaje atribut relacione šeme pod istim imenom. Pravilo 3. Primarni ključ entiteta postaje

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Mathcad Modul #9 Simbolicki proracuni Resavanje jednacine po jednoj nepoznatoj Simbolicko diferenciranje i integracija

Mathcad Modul #9 Simbolicki proracuni Resavanje jednacine po jednoj nepoznatoj Simbolicko diferenciranje i integracija Mathcad Modul #9 Smbolck proracun Resavanje jednacne po jednoj neponatoj Smbolcko dferencranje ntegracja U nženjerskm proračunma občno želmo numerčk reultat tj. reultat u oblku brojnh vrednost. U nekm

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijabilnost funkcije više promenljivih

Diferencijabilnost funkcije više promenljivih Matematiči faultet Beograd novembar 005 godine Diferencijabilnost funcije više promenljivih 1 Osnovne definicije i teoreme, primeri Diferencijabilnost je jedan od centralnih pojmova u matematičoj analizi

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Rožnjača je statičkog sistema kontinualnog nosača raspona L= 5x6,0m. Usvaja se hladnooblikovani šuplji profil pravougaonog poprečnog preseka. Raster rožnjača: λ r 2.5m

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE UTJECAJA I UTJECAJNE LINIJE

FUNKCIJE UTJECAJA I UTJECAJNE LINIJE FUNKCIJE UTJECJ I UTJECJNE LINIJE Funkcje ujecaja ujecajne lnje korse se kod proračuna konsrukcja na djelovanje pokrenh operećenja. Zadaak: odred onaj položaj pokrenog operećenja koj će da najnepovoljnj

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

1. Funkcije više promenljivih

1. Funkcije više promenljivih 1. Funkcije više promenljivih 1. Granične vrednosti funkcija više promenljivih Definicija 1. Funkcija f : D( R n R ima graničnu vrednost u tački (x 0 1, x 0 2,..., x 0 n D i jednaka je broju α R ako važi

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα