PREDAVANJE-11. Generacija 2007 Optimalno projektovanje u mašinstvu

Transcript

1 Dr Momr Jovanovć OPTIMIZACIJA (autorzovana predavanja) 1 PREDAVANJE-11 Generacja 007 Optmalno projektovanje u mašnstvu 1.1 UVOD U OPTIMANO PROJEKTOVANJE PREDMET OPTIMIZACIJE (lustratvno): mnmalna masa mašnskog sklopa, strukture, člana; mnmalna površna geometrjske forme (oblkovanja sudova), mnmalan otpor na pogonskom članu (kod mnmzacje sla), mnmalna greška putanje (snteza geometrje mehanzma), maksmalna pouzdanost mašnskog sstema, mnmalan otpor kretanja (kod oblkovanja plašta letlca), mnmalna ampltuda osclovanja (rasporedjvanja mase vozla), maksmalno skoršćenje materjala (u naponskom smslu), mnmalno vreme zvršenja radnh funkcja mašna, maksmalno skoršćenje energje (kod sagorevanja). DEFINICIJE OPTIMIZACIJE: Optmzacja je postupak nalaženja najpovoljnjeg rešenja konstrukcje pr zadatm uslovma. U teorj optmalnog projektovanja, optmzacjom se odredjuju konstruktvn parametr (geometrja) koj defnšu ekstremna svojstva (mnmum-maksmum) posmatranh mašna. OPTIMIZACIJA je u matem. smslu, proces nalaženja uslova koj daju ekstremne vrednost funkcja clja. OPTIMIZACIJA je prmenjena naučna dscplna koja metodama matematčkog programranja, varjaconog računa, teorjom optmalnog upravljanja metodama teorjske mehanke, defnše tražena tehnčka svojstva konstrukcja. OSTAE OBASTI: Teorja optmalnog upravljanja, Teorja dnamčk optmalnh konstrukcja, Stablnost mašnskh sstema, Teorja otkaza (pouzdanost), su deo savremene teorje optmalnog projektovanja predstavljaju nadgradnju osnovne teorje. ISTORIJSKI POSMATRANO: tr etape: Perod zdravog razuma ntucje, Perod nženjerskh rešenja Perod čsto analtčkh rešenja tehnčke kbernetke. MATEMATIČKE PODOGE OPTIMANOG PROJEKTOVANJA: OBASTI: Klasčna numerčka matematka, računarske nformacone tehnologje. Newton-a ebntz-a ( ), su postavl osnove dferencjalnog računa. U oblast varjaconog računa, prve radove su dal Bernoull, Euler ( ) agrange (metoda agranžeovh množlaca). Cauchy je postavo koncept neogrančenog slaznog "spusta" ka mnmumu. U oblast numerčkh metoda (Velka Brtanja): Dantzg je razvo metod optmzacje problema lnearnog programranja, Bellman je razvo prncp optmalnost kod dnamčkog programranja, Kuhn Tucker su defnsal uslove za egzstencju rešenja optmzacje.

2 Dr Momr Jovanovć OPTIMIZACIJA (autorzovana predavanja) Jedna opšta klasfkacja metoda optmzacje operaconh stražvanja prema [40]: Slka 1.1 Metode optmzacje u šrem smslu 1. METODE OPTIMIZACIJE U MAŠINSTVU ZAŠTO TOIKO METODA: Jednstven metodološk postupak za optmzacju konstrukcja ne postoj jer sam zadac nemaju jednak matematčk model. Razlčt matematčk zahtev prostču z razlčth matematčkh formulacja funkcja clja funkcja ogrančenja. Metode u mašnstvu optmalnog projektovanja konstrukcja, mogu se prokomentarsat: Metoda dferencjalnog programranja je klasčna metoda analtčke algebre kod koje se dferencranjem konveksnh funkcja clja funkcja ogrančenja, dobja ekstremum. Metode varjaconog računa se korste kod funkcja clja formulsanh u ntegralnom oblku. Metoda maksmuma se korst kod funkcja clja (FC) formranh u oblku dferencjalnh jednačna sa ogrančenjma u vdu nejednačna. Prmenjuje se kod snteze optmalnog upravljanja. Metode lnearnog programranja [18] se šroko korste u planranju organzacj prozvodnh sstema. Poznata metoda lnearnog programranja je Smplex metoda [38], Korst se za rešavanje zadataka optmalnog rasporeda (borbenh sredstava, transportnog problema td). Metode lnearnog programranja se mogu prment u optmalnom projektovanju ako je moguća lnearna aproksmacja problema. To je onda lnearno aproksmatvno programranje. Metode nelnearnog programranja [8] su osnovne metode za optmalno projektovanje konstrukcja u tehnc jer su funkcje clja funkcje ogrančenja uglavnom nelnearne prrode. Složenost l prekdnost funkcja koje opsuju problem, zahteva poboljšanje numerčke forme problema, pa se u tm slučajevma korste metode nelnearnog aproksmatvnog programranja. KASIFIKACIJA ZADATAKA OPTIMIZACIJE: Zadac sa bez ogrančenja. Matematčke metode: metode bezuslovne metode uslovljene mnmzacje. Pregled metoda za uslovljeno nelnearno programranje, pokazuje slka 1.3.

3 Dr Momr Jovanovć OPTIMIZACIJA (autorzovana predavanja) 3 Slka 1.3 Metode uslovljenog nelnearnog programranja 1.3 MATEMATIČKE OSNOVE OPTIMIZACIJE FUNKCIJA CIJA: Clj optmalnog projektovanja je funkcja nezavsnh parametara optmzacje z : FC = F K (1.3.1) (z) Rezultat optmzacje je ekstremna vrednost funkcje clja: (z 1,z,z 3,,z n ) FC = ( z) FC (z) EXTR (1.3.) Ekstremna vrednost funkcje clja odredjuje specfčne osobne projektovane konstrukcje, zbog čega se defnše optmalnom. Parametr optmzacje z mogu bt razlčte fzčke vremenske prrode. FUNKCIJE OGRANIČENJA Gj. U matematčkom smslu, mogu bt razlčtog oblka: polnoma, dferencjalnh ntegralnh jednačna mogu se uopšteno defnsat: G r j( z) = G r r r r j(z1,z,z3, K,z n ) (1.3.3) Funkcje ogrančenja: Opšte (metrčk prostor) posebne (fzčke osobne). Na osnovu ovako defnsanh funkcja clja funkcja ogrančenja, zadatak optmzacje u matematčkom smslu može se defnsat zahtevom nalaženja takvh vrednost nezavsnh parametara z (u n-dmenzonom eukldskom prostoru Z), koje funkcj clja FC, uz ogrančenja G j (j=1 q), daju ekstremnu vrednost: mn n { FC, z Z }, Z = { z R, G 0, (j = 1- q) } ( z) j(z) MATEMATIČKI USOV: rešvost ovog zadatka je neprekdnost dferencjablnost funkcja, što se u mašnskm sstemma uglavnom obezbedjuje vezama, uslovma sprezanja, kontnualnošću prostranja napona deformacja kroz kontnuum.

4 Dr Momr Jovanovć OPTIMIZACIJA (autorzovana predavanja) 4 GOBANI OPTIMUM: Tačka ( z ) Z r, je optmalna ako je FC FC ( z ) (z) za svako z Z. Ovako odredjena tačka mnmzacjom se nazva globaln optmum. VIŠE EKSTREMUMA: Složene funkcje clja konveksnog tpa, mogu da maju vše ekstremuma. Jedan ekstremum je najzraženj to je globaln, a ostal su lokaln z. Funkcje clja sa vše zraženh ekstremuma u matematčkom programranju, nazvaju se multmodalnm funkcjama. Slka 1.4 nterpretra neke od navedenh pojmova u 3D prostoru. a. Konveksna funkcja FC(z) b. Sedlasta povrsna FC(z) c. Multmodalna funkcja FC(z) d. Jako zrazen ekstrem FC(z) Slka 1.4 Geometrjska nterpretacja funkcja clja INVERZIJA ZADATKA: U realzacj optmzacje moguće je tražt mnmume l maksmume funkcje clja. Problem maksmzacje funkcje clja FC 1(z) u skupu Z, svod se na problem mnmzacje funkcje FC (z) posredstvom relacje: FC (z) FC1(z) = (1.3.5) USOVE EGZISTENCIJE MINIMUMA defnše Slater-ov uslov Kuhn-Tucker-ova teorema [38]. 1.4 ETAPE OPTIMANOG PROJEKTOVANJA Postupak optmzacje konstrukcja ma strategju koja se može sagledat sa slke 4.5. Prvo se opsno defnše optmzacon zadatak (etapa 1: DEFINISANJE ZADATKA), čme se utvrdjuju nezavsn parametr clj optmzacje sa realnm ogrančenjma zadatka. Naredna etapa je zbor krterjuma optmzacje - formulacja karaktera funkcje clja. Krterjum optmzacje mogu bt: tehnčke, ekonomske tehno-ekonomske prrode.

5 Dr Momr Jovanovć OPTIMIZACIJA (autorzovana predavanja) 5 Slka 1.5 Etape procesa optmzacje KRITERIJUMI OPTIMIZACIJE: Mogu bt potpuno defnsan. Nasuprot tome kod složenh procesa, krterjum mogu dat razlčte shode. Prema načnu vrednovanja, moguć su zbor sledećh krterjuma: Determnstčk krterjum, Krterjum statstčke verovatnoće Krterjum za uslove konflktnh stuacja. REATIVNI KRITERIJUMI OPTIMIZACIJE: Prmena unverzalnh krterjuma (najopštjh formulacja) nje moguća zato što to usložava računsk aparat, uvećava broj parametara zahteva znova verfkacju pouzdanost matematčkog modela. Iz th razloga, kod kompleksnh tehnčkh optmzacja, zbor funkcje clja nje strogo matematčk već predstavlja komproms mnoštva utcajnh faktora prosteklh z matematčkog modelranja, ekspermentalnh rezultata ntutvnh opažanja. Ovako formran krterjum optmalnost su takozvan relatvn krterjum optmalnost. OPRAVDANOST: Sastavljanje krterjuma optmalnost je besmsleno za slučaj postojanja dovoljno tačnh matematčkh modela. Kod mnogh optmzaconh zadataka, ocena kvalteta rešenja se ne vrš na osnovu samo jednog, već vše krterjuma. Tako formrane funkcje clja predstavljaju kompleks krterjuma optmzacje parcjalnh krterjuma (cljeva) optmalnost. Tu složenost je moguće vektorsk defnsat zrazom (4.4.1): r r r r r FC0 = ( { FC 1, FC, FC3, K, FCm} ) (1.4.1) U kompleksu krterjuma, potrebno je defnsat važnost pojednačnh krterjuma što se realzuje uvodjenjem težnskh koefcjenata λ j. Takva prozvoljna funkcja ma oblk: r (FC, m FC r j(z) r = λ (1 ) ; = 1 λ) j FC r j j(z) EXTR ( λ j ) (1.4.) IZBOR METODE OPTIMIZACIJE: Zavs (etapa 4) od prrode optmzaconog problema (determnstčk, stohastčk, statčk, dnamčk), matematčke formulacje zadatka (lnearan, nelnearan, sa l bez ogrančenja, sa l bez zvoda), broja krterjuma optmzacje (jednokrterjumsk, všekrterjumsk) prstupa (analtčke, gde ma matematčke funkcje clja ekspermentalne, gde nema matematčke formulacje funkcje clja). Izbor metode se završava zborom softvera (algortma). REAIZACIJA OPTIMIZACIONE PROCEDURE (etapa 6: programska realzacja) je zvršn zadatak realzuje se računarom kod najvećeg broja optmzaconh zadataka. Kako matematčk algortm za optmzacju obavljaju uglavnom teratvne postupke, ova etapa zahteva brze hardverske platforme, vsoku numerčku tačnost kapactet obrade.

6 Dr Momr Jovanovć OPTIMIZACIJA (autorzovana predavanja) 6 KASIČNE METODE DIFERENCIJANOG PROGRAMIRANJA Zadac bezuslovnh mnmzacja U tehnčkom projektovanju korste se metode bezuslovnh optmzacja kod zadataka gde nema funkcja ogrančenja. U slučajevma gde postoje ogrančenja, moguće je prment ove metode uz obaveznu nterpretacju rešenja (grafčku, funkconalnu, logčku) čme se ocenjuje kvaltet rešenja. Takav prstup očgledno ne vod brzom rešavanju, al omogućuje lakše kretanje kroz n-dmenzon prostor nepoznath. Metode dferencjalnog programranja zahtevaju da funkcje clja budu neprekdne dferencjablne u oblast rešenja. Korste se kod zadataka sa malm brojem parametara malom složenošću funkcja. U opštem slučaju se dobja sstem nelnearnh algebarskh jednačna koj se rešava računarom, nekom od numerčkh aproksmatvnh metoda. Klasčne metode dferencjalnog programranja defnšu potreban uslov traženja ekstremuma jednačnama: (.5.1) = 0, ( = 1,,3, K, n) z Karakter ekstremuma (mnmum maksmum) se sptuje proverom vrednost (znaka) drugog zvoda za nadjeno rešenje z uslova (.5.1). Tamo gde je spunjen uslov (.5.) rad se o mnmumu, a gde je spunjen uslov (.5.3) o maksmumu. (.5.) 0, ( = 1,,3, K,n), z (.5.3) < 0, ( = 1,,3, K, n) z Matrca (.5.4), u slučaju mnmuma, mora bt poztvno odredjena u okoln rešenja z r : [ A] z1 FC(z) = z z1 M zn z1 z1 z z M zn z FC (z) z1 z n a 11 = a1 z zn M M an1 FC(z) zn a1 a M an a1n a n M ann (.5.4) U matrc (.5.4), sa a k su označen parcjaln zvod funkcje clja po ndeksranm nezavsnm parametrma z k. Uslov poztvne odredjenost defnše se nalaženjem sopstvenh vrednost p 1, p, p 3,..., p n, polnoma zvedenog z matrce A, koj je dat relacjom (.5.5): (a11 p) a1 M an1 (a a a 1 M p) n a1n (.5.5) a n = 0 M (ann p)

7 Dr Momr Jovanovć OPTIMIZACIJA (autorzovana predavanja) 7 Ako su sva rešenja p 1, p, p 3,..., p n veća od nule, matrca je poztvno defntna (odredjena), pa posmatran model ma jako zražen ekstremum. U slučaju da su neka rešenja jednaka nul, tada se matrca defnše kao poztvno poluodredjena analzom rešenja ove jednačne, moguće je, zavsno od zadatka, odredt mal l velk relatvn ekstremum kao apsolutn (globaln) ekstremum. Dovoljan uslov egzstencje mnmuma može se klasčno defnsat Slvestrovm krterjumom (.5.6). U slučaju maksmuma, relacjama (.5.7): a11 a1 a1n a11 a1 a13 a a a a a n a 0, 0, a a a 1 3 0, 1 = 11> = 3 K > 0 a1 a > = > = M M M a31 a3 a33 an1 an ann 1 0, 3 0, 5 0, (.5.7) 0, 4 0, 6 0 Metoda agranžeovh množlaca Metoda agrange-ovh množlaca se prmenjuje na vše razlčth postupaka determnstčkog stohastčkog traženja mnmuma. U oblast dferencjalnog programranja, ova metoda se može upotrebt za traženje ekstremuma uz prsustvo j=1 m funkcja ogrančenja G j : G r r r r r,zn ) = j( z) = G j(z1,z,z3, K 0, (j = 1,,3, K,m) (.5.8) Nalaženje potrebnh uslova pr kojma egzstra rešenje, može se utvrdt prmenom koefcjenata λj - agrange-ov množoc. agrange-ova funkcja ma oblk: m r ( z) = FC r (z) + λ j G r j (z) j= 1 (.5.9) Uslov egzstencje ekstremuma: (z) (4.5.10) = 0 z Uslov (.5.8) (.5.10) obrazuju sstem od m+n jednačna z koga se odredjuje z nepoznath m agrangeovh množlaca λ j, za koje mamo ekstremnu vrednost funkcje FC (z), tj. FC r ( z) = FC r (z) EXTR. Karakter ekstremuma, odredjuju se na osnovu znaka drugog dferencjala agrange-ove funkcje: z z k n m FC = = = (z) m G(z) = + λ j 1k 1 z zk j 1 z zk (z) (.5.11)

8 Dr Momr Jovanovć OPTIMIZACIJA (autorzovana predavanja) 8 PRIMER: Odredt optmalnu geometrju clndrčnog rezervoara zapremne 10 m 3, tako da se utroš mnmalno materjala. H R POSTAVKE ZADATKA: Površna omotača rezervoara je funkcja clja optmzacje. Ova funkcja je defnsana sa dva parametra optmzacje, poluprečnkom omotača R vsnom rezervoara H. Funkcje su neprekdne dferencjablne. Kako postoj jedno ogrančenje (zapremna rezervoara), problem ma tr nepoznate (R,H,λ), pa se shodno tome može korstt analtčka metoda dferenc. programranja (G). Funkcja clja (površna rezervoara) njen zvod po nepoznatm parametrma: FC( z) = FC(z 1,z ) = FC(R,H) = P = R π + R π H Funkcja ogrančenja je zapremna: FC (R,H) FC(R,H) = 4 R π + π H, R H = R π V( R,H) = R π H, G(R,H) = R π H V = R π H 10 = 0 G(R,H) G(R,H) = R π H, = R R H POSTAVKA: Sada je moguće oformt sstem jednačna za rešavanje: FC R FC H G (R,H) (R,H) (R,H) G (R,H) + λ = 0, 4 R π + π H + λ R π H = 0 R G (R,H) + λ = 0, R π + λ R π = 0 H = 0, R π H 10 = 0 Opšta rešenja zadatka optmalnost mase clndrčnog rezervoara: π R = 3 V, π λ = 3 V π, H = π 3 V V π.

9 Dr Momr Jovanovć OPTIMIZACIJA (autorzovana predavanja) 9 METODE NEINEARNOG PROGRAMIRANJA U nženjerskm zadacma projektovanja optmalnh mašnskh sstema, korste se dve grupe metoda nelnearnog matematčkog programranja: 1. Metode traženja mnmuma po strogm procedurama. To su determnstčke metode.. Metode do čjh se rešenja dolaz metodama slučajnog traženja (stohastčke metode). Druga podela po prstupu IZMENE PARAMETARA je: 1. Metode jednodmenzonog traženja gde se menja samo jedan parametar za njegovu promenu utvrdjuje vrednost funkcje clja.. Procedure všedmenzonog traženja. Jednodmenzon zadac mnmzacja (skenranja): Kod formalnog jednodmenzonog pretražvanja hper prostora (metode skenranja), nezavsn parametr se određuju u dopustvoj oblast z a z b mogu se dskretno menjat sa stalnom l promenljvom dužnom koraka H n. Vrednost funkcje clja se odredjuje za dskretne vrednost nezavsno promenljve. Izmedju dve susedne vrednost z K z K+1, nepoznata je vrednost funkcje clja. Izabran korak promene nezavsnh parametara H n predstavlja nterval neodredjenost, a vrednost funkcje clja poznata je samo na grancama tog ntervala. Broj tačaka nezavsne promenljve n u dopustvom segmentu z a z b može bt već l manj što zavs od karaktera FC. Prema tome, nterval neodredjenost može se defnsat: H n z b = n FC z 1 a (.6.1) FC mn z z a z z b H n OSOBINA: Ušteda mašnskog vremena rada računara zahteva prmenu većeg (krupnjeg) koraka - ntervala neodredjenost H n. Sa druge strane, velk nterval neodredjenost umanjuje kvaltet nadjenog ekstremuma, jer se on može nać unutar ovog ntervala. Prema tome, optmalan zbor ntervala neodredjenost je: H = [( ) MAX ] MIN n h K (.6.) PROCEDURA: Metoda jednodmenzonog traženja se zasnva na podel dozvoljene oblast nezavsne promenljve (a,b) na n tačaka (jednako udaljenh) utvrdjvanju vrednost funkcje clja u njma. Poredjenjem vrednost FC u dskretnm tačkama, odredjuje se položaj traženog ekstremuma. Očgledno da ova metoda nema prvlegovanh pravaca smerova promene nezavsne promenljve pa se, stoga, nazva metodom formalnog-pasvnog traženja.

10 Dr Momr Jovanovć OPTIMIZACIJA (autorzovana predavanja) 10 U dentfkovanoj oblast rešenja, smanjenjem koraka nalaz se bolje rešenje. Na taj načn se nterval neodredjenost značajno smanjuje, što daje za praktčne nženjerske konstrukcje kvaltetna rešenja. Ovakav postupak daje mogućnost rešavanja zadataka sa većm brojem nezavsnh parametara. Kod POSTUPNIH PROCEDURA MINIMIZACIJE, postupak zbora naredne vrednost promenljve je usaglašen sa rezultatme prethodne teracje. Ove metode su mnogo efkasnje jer se u svakom koraku terra ka ekstremumu. Kod formalnh metoda to nje slučaj jer se njma pretražuje sav prostor uporedjuju rešenja. Najpoznatje metode jednodmenzonog postupnog traženja su metoda polovljenja ntervala neodredjenost, Fbonac metoda, metoda zlatnog preseka druge. Ove metode su občno u sastavu programskh paketa za mnmzacju korste se kada prstup mnogodmenzonog traženja ne daje rezultate. Mnogodmenzon zadac mnmzacje bez ogrančenja Iako su kod praktčnh zadataka gotovo uvek prsutna ogrančenja, ove metode se mogu korstt za analzu oblast rešenja. Njhovo obeležje je uvećana računarska procedura, što u slučaju velkog broja nezavsnh parametara dovod do neuspeha nalaženja rešenja. Kao kod jednodmenzonh zadataka, mnogodmenzon zadac se mogu realzovat metodama pasvnog traženja metodama postupnog traženja. METODA PASIVNOG TRAŽENJA odlkuje se podelom dopustve oblast nezavsnh parametara na jednake ntervale neodredjenost. Na ovaj načn, zgradjuje se mreža u n-dmenzonom eukldskom prostoru u čvornm tačkama zračunava vrednost funkcje clja FC. Slka.6 lustruje dvodmenzon prostor, podeljen ntervalma neodredjenost na podoblast. Z Z =1 Oblast pretra`vanja (odredjvanje FC u ~vorovma mre`e) Slka.6 Interval neodredjenost Z 1 Z =1 1 Mreža tačaka dvodmenzonog prostora u kojma se odredjuje FC(z) NORMIRANJE: Uslov stablne procedure se obezbedjuje normranjem. To je deljenje nezavsnh parametara z sopstvenm ntervalom promene vrednost a-b, čme se prelaz na normrane vrednost z : z a z =, ( = 1,,3,...) (.6.3) b a Prmer METODA PASIVNOG TRAŽENJA U MINIMIZACIJI MASE NOSAČA Posmatrajmo kutjast nosač dužne, zradjen od debelh lmova stablne geometrje preseka od lokalnh nestablnost, slka.7. Nosač je opterećen na slobodnom kraju slama F H F V. Debljna zda je fksna, konstantna. Potrebno je nać optmalnu geometrju preseka BxH, tako da je masa nosača mnmalna. Dat je materjal (čelk), raspon, sle F H F V dozvoljen ugb nosača f 0.

11 Dr Momr Jovanovć OPTIMIZACIJA (autorzovana predavanja) 11 δ δ Slka.7 Kujast nosač tražene optmalne geometrje BxH Izbor metode, nezavsnh parametara odredjvanje funkcje clja Zadatak se može rešt numerčk, analzom mogućh kombnacja nezavsnh parametara preseka, kada je njhov broj konačan. Postupak se onda svod na prmenu metoda pasvnog všedmenzonog traženja, pretražvanjem ogrančene oblast rešenja brzm računarma. Prednost ove metode je u analz tačnog modela (bez aproksmacja) jednostavnost modela traženja. Sa druge strane, potencjalan broj kombnacja dskretne geometrje može bt prhvatljv za računar. Za funkcju clja je zabrana mnmalna masa glavnog nosača čme se problem svod na traženje mnmalne zapremne. Prblžna zapremnu sandučastog nosača funkcja clja: FC ( B,H) = A(B,H) (B + H) δ (.6.4) Funkcja ogrančenja najvećh statčkh napona u preseku G1. Funkcja ogrančenja je zvedena sa aproksmacjom da drug napon nsu domnantn (normaln tangentn napon u šavu zavarenog spoja). Najveć totaln napon u korenu kutjastog nosača rezultat je složenog naprezanja od savjanja transferzalnh sla. Normaln napon σ x, σ y potču od naprezanja na savjanje. Smčuć napon τ sh τ sv potču od transverzalnh - smcajnh sla. Funkcja ogrančenja G1=σ U1 najvećeg uporednog napona zračunava se prmenom hpoteze Huber-Msses-Hencky ( ) za ravansk problem, relacja (4.6.5a). Sredjenu funkcju ogrančenja pokazuje (4.6.5b): σ G u = ( σx + σ y ) + 3 ( τt + τs ) H V 1 = σ doz SH SV F V H FH B + Ix Iy Realzacja zadatka optmzacje: F + 3 A F + A (.6.5a) (.6.5b) Početne vrednost parametara optmzacje H (0), B (0), oko kojh će bt formrana oblast pretražvanja (H mn - H max, B mn -B max ) se odredjuju z preporučenh vrednost geometrje preseka nosača, na baz potrebnh momenata nercje odredjenh z spoljašnjh utcaja. Početne vrednost nepoznath optmalnh parametara su: H (0) = 3 Ix, δ y B (0) = 3 I 5 I y x y x 3 Ix δ y (4.6.13)

12 Dr Momr Jovanovć OPTIMIZACIJA (autorzovana predavanja) 1 δ max max Ovako defnsana početna geometrja, zahteva prošrenje na oblast pretražvanja, do skustveno ekstremnh granca u kojma može rešenje da egzstra H MAX, H MIN, B MAX, B MIN. Oblast promene vsna šrna nosača su zabrane u slobodnm grancama (H MAX -H MIN ) = 50 cm, (B MAX -B MIN ) = 50 cm. Korak promene šrne vsne nosača, B H, H= B=0.5 cm, daje dovoljnu gustnu potencjalnh rešenja. Potencjalan broj osnovnh parametara preseka nosača (n 1 n ) ukupan broj mogućh kombnacja N: n 1 = (H MAX - H MIN )/ H + 1 = (50)/0.5+1=101 n = (B MAX - B MIN )/ B + 1 = (50)/0.5+1=101 N = n1 n = = (.6.15) Algortam programa za optmzacju, dat je u Teorj projektovanja konstrukcja računarom, autora M.Jovanovća, Mašnsk fakultet Nš. Program je zvodljv na PC-ju zahteva 50 (kbyte) operatvne memorje. Rezultate optmzacja pokazuje tabela T.. Pored dobjenh geometrjskh karakterstka preseka H, B, data je površna preseka A, ε - koefcjent rezerv naponskog skoršćenja preseka, odgovarajuć napon σ 1, σ 4 u tačkama 1 4, vrednost funkcje clja. Nosvost F V`=6 kn, F H =6 kn, Raspon =1.0 m, lm δ =10 mm, Č 0561, f 0 = mm. Dozvoljen napon za Č 0561 σdoz= 4 kn/cm, σ SAVA = 17 kn/cm H B δ δ 1 A ε σ 1 σ 4 FC (mm) (mm) (mm) (mm) (cm ) (%) (kn/cm ) (kn/cm ) (cm 3 )