Usrednjavanje i linearizacija u prostoru stanja

Transcript

1 Usrednjavanje lnearzacja u prostoru stanja Predrag Pejovć 3. aprl Uvod Kako b prekdačk konvertor obezbeđval zadat zlazn napon bez obzra na prsustvo poremećaja poput varjacja mrežnog napona varjacja zlazne struje, potrebno je projektovat regulator zlaznog napona. Za projektovanje regulatora zlaznog napona analzu stablnost rezultujućeg sstema neophodno je mat dnamčk model konvertora. Egzaktan dnamčk model prekdačkh konvertora je složen, zbog nestaconarnost prsustva nelnearnh elemenata u sstemu. Stoga je potrebno razvt aproksmatvan model, za koj b poželjno blo da ga je moguće svest na model lnearnog staconarnog sstema u okoln mrne radne tačke. Takav postupak je predložen u doktorskoj dsertacj Slobodana M. Ćuka, Modellng, Analyss, and Desgn of Swtchng Converters zasnovan je na usrednjavanju lnearzacj modela stanja. Predložen postupak se od tada korst kao glavna tehnka za formranje dnamčkh modela prekdačkh konvertora projektovanje njhovh regulatora. 2 Model stanja U razmatranjma koja slede, za opsvanje elektrčnh kola će bt koršćen model stanja sstema. Model stanja je skup jednačna koje karakteršu sstem koje se sastoje z skupa dferencjalnh jednačna prvog reda u normalnoj form, po promenljvma koje zovemo promenljve stanja, što predstavlja jednačne stanja, sstema algebarskh jednačna koje zražavaju zlazne promenljve sstema u funkcj promenljvh stanja ulaznh promenljvh, što čn jednačne zlaza. Ukolko je razmatran sstem lnearno staconarno elektrčno kolo koje nema dnamčku algebarsku degeneracju, jednačne stanja u matrčnoj form su d xt = A xt B ut 1 što je nehomogen lnearan sstem dferencjalnh jednačna sa konstantnm koefcjentma zražen u normalnoj form po promenljvm stanja predstavlja sstem jednačna stanja. Njh prat sstem algebarskh jednačna yt = C xt D ut 2 koje čne sstem jednačna zlaza. Sstem jednačna stanja sstem jednačna zlaza čne model stanja. Na ovaj načn su razdvojene dferencjalne jednačne od algebarskh, što daje nz pogodnost u analz sstema. Osm toga, početn uslov dferencjalnh jednačna se zadaju na jednostavan načn, kao vektor promenljvh stanja u početnom trenutku, bez potrebe za određvanjem zvoda promenljve stanja u početnom trenutku kao u slučaju svođenja sstema na jednu dferencjalnu jednačnu všeg reda. 1

2 3 Model stanja prekdačkh konvertora Na početku, posmatraćemo konvertor u kontnualnom režmu rada kod koga se smenjuju dva stanja prekdačkh elemenata dve prekdačke kombnacje, kombnacja kada vod prekdač ne vod doda, ndeksrana sa 1, kombnacja kada vod doda, a ne vod prekdač, ndeksrana sa 2. Smatraćemo da se prekdač uključuje u trenucma t k = k 3 gde je peroda prekdanja. Takođe, prekdač se sključuje u trenucma t k d k = k d k 4 gde je d k dskretna funkcja vremena, defnsana jednstvenom vrednošću za nterval k t < k 1. 5 Pretpostavćemo da je konvertor koj analzramo u svakoj od prekdačkh kombnacja moguće modelovat ekvvalentnm lnearnm kolom za datu kombnacju stanja prekdačkh elemenata za koje je moguće formrat model stanja poput 1 2. Stoga, u ntervalu vremena k t < k d k 6 trajanja d k, kada je aktvna prekdačka kombnacja ndeksrana sa 1, u kojoj je prekdač provodan doda neprovodna, konvertor je predstavljen lnearnm modelom stanja Tokom ntervala d xt = A 1 xt B 1 ut 7 yt = C 1 xt D 1 ut. 8 k d k t < k 1 9 trajanja d k = 1 d k, kada je aktvna prekdačka kombnacja ndeksrana sa 2, u kojoj je prekdač neprovodan, a doda provodna, konvertor je predstavljen lnearnm modelom stanja d xt = A 2 xt B 2 ut 10 yt = C 2 xt D 2 ut. 11 Smenjvanje modela stanja čn sstem nestaconarnm predstavlja teškoću u analz sstema. U clju projektovanja regulatora zlaznog napona konvertora, povoljno je mat lnearan staconaran model konvertora u okoln odgovarajuće mrne radne tačke, kako b se omogućla prmena algortama snteze podešavanja regulatora razvjena u teorj lnearnh sstema automatskog upravljanja. Dalje zvođenje će težt ka tom clju. 4 Usrednjavanje Upravljačka akcja kod prekdačkh konvertora se svod na promenu faktora spunjenost pobudnh mpulsa prekdača koje opsuje dskretna funkcja vremena d k. Kako je utcaj na 2

3 promene u konvertoru kvantovan u vremenu perodom prekdanja, ma smsla posmatrat perodu prekdanja kao jednstvenu celnu, na kojoj upravljačka promenljva d k ma jednstvenu vrednost. Nasuprot ovoj dskrenoj promenljvoj, promenljve stanja sadržane u vektoru xt, ulazne promenljve sadržane u vektoru ut, kao promenljve zlaza sadržane u vektoru yt su kontnualne funkcje vremena koje se kao dskretne funkcje vremena mogu reprezentovat srednjm vrednostma tokom perode prekdanja, z k 1 k1 TS k zt 12 gde je zt promenljva stanja, ulaza l zlaza. Tako je postupkom usrednjavanja x k defnsano kao x k 1 k1 TS xt 13 k u k je defnsano kao y k je defnsano kao Uvođenjem označavanja u k 1 y k 1 k1 TS k ut 14 k1 TS usrednjavanjem zvoda vektora promenljvh stanja dobja se k yt. 15 x k = xk 16 1 k1 TS k xt = xk 1 xk = x k 17 gde je x k xk 1 xk. 18 Izvod vektora promenljvh stanja je određen jednom od dve mogućnost, zavsno od stanja prekdača koje je kontrolsano vremenom, pa je 17 prema 7 10 dato sa x k = 1 kdk k A 1 xt B 1 ut 1 k1 TS kd k A 2 xt B 2 ut. 19 Analogno zvođenju 19, za usrednjen vektor zlaznh promenljvh se dobja y k = 1 kdk k C 1 xt D 1 ut 1 k1 TS kd k C 2 xt D 2 ut. 20 Jednačne predstavljaju dskretan usrednjen model stanja konvertora koj zbog prsustva ntegrala po kontnualnm promenljvm još nje pogodan za prmenu jer je suvše složen. Stoga je povoljno zvest aproksmatvan dskretan usrednjen model stanja konvertora uvodeć pretpostavke po kojma je na ntervalu k t < k 1 xt x k 21 ut u k 22 3

4 što po prstupu odgovara forward Euler pravlu za numerčku ntegracju dferencjalnh jednačna. Uvedenom aproksmacjom se ntegral z svode na x k = d k A 1 x k B 1 u k d k A 2 x k B 2 u k 23 y k = d k C 1 x k D 1 u k d k C 2 x k D 2 u k 24 što se preuređenjem zraza grupsanjem uz x k u k svod na x k = d k A 1 d k A 2 x k d k B 1 d k B 2 u k 25 y k = d k C 1 d k C 2 x k d k D 1 d k D 2 u k. 26 Jednačne modeluju konvertor nelnearnm dferencnm jednačnama relatvno su pogodne za upotrebu u smulacj. Nažalost, one su aproksmatvne, zasnovane na forward Euler ntegraconom pravlu sa sobom nose problem stablnost lokalne greške odsecanja local truncaton error. Oba navedena problema nestaju ako vremensk korak ntegracje, koj je u našem slučaju jednak perod prekdaja, tež nul. Grančn proces u kome 0 se odvja tako što stovremeno k prema uslovu k = t 27 gde je t tekuća vremenska promenljva, ekvvalent promenljvoj t k koja je u dskretzovanom modelu predstavljala vreme. Grančn proces dovod do lm t k = lm k = t tako što se broj prekdačkh ntervala k od koordnatnog početka do posmatranog trenutka vremena neogrančeno povećava. Dskretna promenljva d k se prema opsanom grančnom procesu usled neogrančenog zgušnjavanja trenutaka odabranja pretvara u funkcju kontnualnog vremena lm d k = dt 29 0 analogno tome lm 0 d k = d t. 30 Na ntervalu prekdanja usrednjen vektor stanja, ulaznh promenljvh zlaznh promenljvh se ovm grančnm procesom takođe pretvaraju u kontnualne funkcje vremena lm x k = xt Uz pretpostavku neprekdnost funkcja u xt na posmatranom ntervalu vremena, koja je uvedenm pretpostavkama spunjena uz dodatnu razumnu pretpostavku da nema Drakovh mpulsa u vektoru pobuda ut, grančne vrednost promenljvh stanja su jednake samm promenljvm stanja lm x k = xt = xt Ovm je grančnm procesom uklonjena talasnost rpple promenljvh stanja, o čemu će bt vše reč kada se bude govorlo o fzčkoj nterpretacj razmatranog procesa usrednjavanja. 4

5 Grančn proces prmenjen na vektor ulaznh promenljvh dovod do lm u k = ut 33 0 a kako je ovde moguće razumno nametnut pretpostavku neprekdnost l makar neprekdnost na ntervalu vremena dužem od perode prekdanja, dobja se lm u k = ut = ut 34 0 Za razlku od vektora promenljvh stanja vektora ulaznh promenljvh, vektor zlaznh promenljvh može sadržat promenljve koje su prekdne na svakom ntervalu prekdanja trajanja, pa se grančn proces u ovom slučaju zaustavlja na lm y k = yt 35 0 gde se u opštem slučaju za blo koju promenljvu zlaza ne može tvrdt da se grančnm procesom srednja vrednost promenljve svod na njenu trenutnu vrednost. To važ samo za promenljve zlaza koje su kontnualne, odnosno nemaju prekd u svakoj perod prekdanja. U skladu sa defncjom zvoda funkcje, x k lm 0 Kako pod uvedenm pretpostavkama u grančnom procesu dobjamo što je uvedeno u 32, dobja se = d xt. 36 xt = xt 37 x k lm 0 = d xt = d xt. 38 Zamenom rezultata grančnog procesa u 25 26, dobjaju se kontnualne jednačne usrednjenog modela stanja konvertora d xt = dt A 1 d t A 2 xt dt B 1 d t B 2 ut 39 yt = dt C 1 d t C 2 xt dt D 1 d t D 2 ut. 40 Dobjen sstem jednačna još uvek nje lnearan sstem dferencjalnh jednačna sa konstantnm koefcjentma, kakav je pogodan za analzu sntezu zakona upravljanja. Kao problem se pojavljuju funkcje vremena dt d t, koje u sstemu sa zatvorenom povratnom spregom postaju funkcje promenljvh stanja promenljvh zlaza, pa sstem jednačna tada od nestaconarnog postaje nelnearan. Stoga je potrebno zvršt lnearzacju sstema u okoln odgovarajuće radne tačke, o čemu će bt mnogo vše reč jednačna kasnje. U clju pojednostavljenja notacje, povoljno je uvest pojmove usrednjenh matrca Aδ δ A 1 1 δ A 2 41 Bδ δ B 1 1 δ B 2 42 Cδ δ C 1 1 δ C

6 Dδ δ D 1 1 δ D Uvođenjem usrednjenh matrca sstem jednačna postaje d xt = Adt xt Bdt ut 45 yt = Cdt xt Ddt ut. 46 Jednačne predstavljaju nelnearn dnamčk model prekdačkog konvertora u kontnualnom vremenu to je po struktur sstem koj se sastoj z sstema občnh lnearnh nehomogenh nestaconarnh dferencjalnh jednačna u normalnoj form 45 po promenljvm stanja sstema algenarskh jednačna zlaza 46. Uvedeno usrednjavanje matrca 41 do 44 aproksmatvn dskretn model konvertora svod na kompaktnu formu x k1 x k = Ad k x k Bd k u k 47 y k = Cd k x k Dd k u k 48 koja predstavlja dskretzovane po forward Euler ntegraconom pravlu nos sa sobom sve njegove nedostatke. 5 Fzčka nterpretacja usrednjenh modela konvertora Prethodno zvođenje je metodološk dosta složeno. Uzrok tome je struktura sstema koj ma osobne kontnualnog sstema u delu koj se tče odzva kola tokom ntervala vremena kada se kombnacja stanja prekdača ne menja, za k t < k d k k d k t < k 1. Sa druge strane, promena stanja prekdača je dskretan proces, kvantovan u vremenu perodom prekdanja, karaktersan dskretnom funkcjom vremena d k, koja se može odredt tek posle trenutka k 1 kada je poznato stanje prekdača tokom celog k-tog peroda prekdanja. Ovakav sstem je moguće analtčk opsat rešt, u nekm slučajevma čak u zatvorenoj form, u opštem slučaju numerčk. Međutm, takvo rešenje je od male praktčne vrednost prlkom snteze regulatora, zbog svoje složenost. Stoga je prvo zveden aproksmatvn dskretn model Ovaj model je zveden prmenom aproksmacja slčnh kao u slučaju zvođenja forward Euler dskretzaconog pravla prate ga st nedostac, pre svega sklonost ka nestablnost pr usvojenom vremenskom koraku. Stoga je grančnm procesom 0 sstem ponovo vraćen u kontnualn domen, čme je smanjen utcaj usvojenh aproksmacja. Grančn proces 0 ma svoju fzčku nterpretacju, a to je povećavanje frekvencje prekdanja. Povećavanjem frekvencje prekdanja smanjuje se talasnost rpple promenljvh stanja u grančnom procesu tež nul. Realn konvertor upravo tako reaguju na povećavanje prekdačke frekvencje. Smanjenje talasnost promenljvh stanja odgovara aproksmacj male talasnost small rpple approxmaton koja se često korst u analz ustaljenog stanja kod prekdačkh konvertora. Da zaključmo, grančn proces 0 se može fzčk nterpretrat kao uklanjanje talasnost promenljvh stanja povećavanjem frekvencje prekdanja u konvertoru. Dobjen model predstavlja prošrenje modela zasnovanog na aproksmacj male talasnost small rpple approxmaton, koršćenog u analz ustaljenog odzva konvertora, na analzu prelaznh procesa u 6

7 konvertorma. Model je kontnualan u vremenu, karaktersan sstemom občnh lnearnh nestaconarnh nehomogenh dferencjalnh jednačna u normalnoj form po promenljvm stanja sstemom algebarskh jednačna po zlaznm promenljvm. 6 Mrna radna tačka perturbacja Kako b analza prelaznh procesa u konvertoru bla dalje pojednostavljena, vrš se lnearzacja jednačna nelnearnog dnamčkog modela u mrnoj radnoj tačk. Trenutne vrednost usrednjenh promenljvh se predstavljaju kao zbr vrednost koju one maju u mrnoj radnoj tačk, u okoln koje se lnearzacja vrš, odstupanja od te vrednost, tzv. perturbacje. Na ovaj načn se vektor usrednjenh promenljvh stanja predstavlja kao xt = X 0 xt 49 gde je X 0 vektor usrednjenh promenljvh stanja u mrnoj radnoj tačk, a xt varjacja usrednjenog vektora promenljvh stanja u odnosu na mrnu radnu tačku. Vektor ulaznh promenljvh se predstavlja kao ut = U 0 ût 50 gde je U 0 usrednjen vektor ulaza u mrnoj radnoj tačk, a ût njegova varjacja. Potpuno analogno, vektor usrednjenh zlaznh promenljvh je yt = Y 0 ŷt 51 gde je Y 0 vektor usrednjenh zlaznh promenljvh u mrnoj radnoj tačk, a ŷt njegova varjacja. Na kraju, upravljačka promenljva se prkazuje kao dt = D 0 dt 52 gde je D 0 duty rato u mrnoj radnoj tačk, a dt njegova varjacja. Kako je d t = 1 dt = 1 D 0 dt = D 0 dt 53 dobja se d t = dt Ustaljeno stanje Za konvertor u mrnoj radnoj tačk važ xt = X 0 55 Tada je prema ut = U 0 56 yt = Y 0 57 dt = D d X 0 = 0 = AD 0 X 0 BD 0 U

8 Y 0 = CD 0 X 0 DD 0 U 0 60 što predstavlja jednačne konvertora u mrnoj radnoj tačk, u ustaljenom stanju. Jednačne stanja u mrnoj radnoj tačk se svode na lnearne algebarske jednačne, pa se promenljve stanja konvertora vektor zlaznh promenljvh dobjaju kao X 0 = AD 0 1 BD 0 U 0 61 Y 0 = DD 0 CD 0 AD 0 1 BD 0 U Opsan postupak pomoću jednostavnog formalnog postupka daje srednje vrednost napona struja konvertora u ustaljenom stanju. Stoga se može korstt kada je potrebno odredt zavsnost napona struja konvertora od D 0 kada komponente nsu dealne. 8 Lnearzacja Zamenom u jednačne stanja nelnearnog dnamčkog modela konvertora 45 d xt = Adt xt Bdt ut 63 trenutnh vrednost promenljvh konvertora napon, struje duty rato zrazma koj h predstavljaju preko vrednost u mrnoj radnoj tačk varjacje u odnosu na tu vrednost, dobja se d X 0 xt = d xt = AD 0 dt X 0 xt BD 0 dt U 0 ût. 64 Izraz za AD 0 dt se može svest na AD 0 dt = D 0 dt A 1 D 0 dt A 2 = D 0 A 1 D 0 A 2 A 1 A 2 dt = AD 0 A 1 A 2 dt = A A 1 A 2 dt 65 gde je Analogno, zraz za BD 0 dt se svod na BD 0 dt = D 0 dt B 1 A AD D 0 dt B 2 = D 0 B 1 D 0 B 2 B 1 B 2 dt = BD 0 B 1 B 2 dt = B B 1 B 2 dt 67 gde je B BD

9 Zamenom dobjenh zraza u nelnearn dnamčk model konvertora dobja se d xt = A A 1 A 2 dt X 0 xt B B 1 B 2 dt U 0 ût = A X 0 A 1 A 2 X 0 dt A xt A1 A 2 xt dt B U 0 B 1 B 2 U 0 dt B ût B1 B 2 ût dt 69 odakle se mogu grupsat članov d xt = A X 0 B U 0 A xt B ût A 1 A 2 X 0 B 1 B 2 U 0 dt A 1 A 2 xt dt B 1 B 2 ût dt. 70 Prva grupa članova sadrž samo jednosmerne komponente za koje važ A X 0 B U 0 = 0 71 pa se ova grupa anulra. Treća grupa članova sadrž međusobne prozvode perturbacja. Lnearzacja nelnearnog dnamčkog modela konvertora se vrš zanemarvanjem ove grupe članova pa se lnearzovane jednačne stanja svode na gde je A 1 A 2 xt dt B 1 B 2 ût dt 0 72 d xt = A xt B ût E dt 73 E A 1 A 2 X 0 B 1 B 2 U Kako b se dobjen lnearzovan sstem jednačna stanja sveo na standardnu formu koja se korst u teorj sstema automatskog upravljanja, potrebno je varjacju upravljačke promenljve dt uvrstt u vektor ulaznh promenljvh. Ovo se svod na prošrenje vektora ulaznh promenljvh upravljačkom promenljvom prošrenje matrce B kolonom E, što se pomoću blok matrca efkasno zapsuje kao [ ] d xt ût = A xt [ B E ]. 75 dt Postupak lnearzacje sproveden za jednačne stanja se može sprovest za jednačne zlaza. Polazn sstem jednačna su jednačne zlaza z nelnearnog dnamčkog modela 46 yt = Cdt xt Ddt ut. 76 Zamenom dt = D 0 dt razvojem usrednjenh matrca dobja se CD 0 dt = D 0 dt C 1 D 0 dt C 2 = D 0 C 1 D 0 C 2 C 1 C 2 dt = CD 0 C 1 C 2 dt = C C 1 C 2 dt 77 gde je C CD

10 DD 0 dt = D 0 dt D 1 D 0 dt D 2 = D 0 D 1 D 0 D 2 D 1 D 2 dt = DD 0 D 1 D 2 dt = D D 1 D 2 dt 79 gde je D DD Konačno, zamenom u jednačnu zlaza nelnearnog dnamčkog modela se dobja yt = Y 0 ŷt = C C 1 C 2 dt X 0 xt D D 1 D 2 dt U 0 ût = C X 0 C 1 C 2 X 0 dt C xt C1 C 2 xt dt D U 0 D 1 D 2 U 0 dt D ût D1 D 2 ût dt 81 odakle se grupsanjem članova dobja yt = Y 0 ŷt = C X 0 D U 0 C xt D ût C 1 C 2 X 0 D 1 D 2 U 0 dt C 1 C 2 xt dt D 1 D 2 ût dt. 82 Kako je već zvedeno u odeljku u kome je razmatrano ustaljeno stanje, tj. mrna radna tačka, jednosmerne komponente koje predstavljaju prvu grupu članova zadovoljavaju Y 0 = C X 0 D U Tme se jednačne po jednosmernm komponentama zdvajaju z sstema jednačna po trenutnm vrednostma, a ostatak su jednačne po varjacjama promenljvh u odnosu na vrednost koje maju u mrnoj radnoj tačk. Lnearzacja jednačna se vrš zanemarvanjem treće grupe članova koja sadrž međusobne prozvode varjacja promenljvh C 1 C 2 xt dt D 1 D 2 ût dt 0 84 pa se lnearzovan sstem jednačna zlaza po varjacjama promenljvh svod na gde je ŷt = C xt D ût F dt 85 F C 1 C 2 X 0 D 1 D 2 U Kao u slučaju jednačna stanja, povoljno je jednačne zlaza napsat u matrčnoj form tako što će varjacja upravljačke promenljve dt uć u vektor ulaznh promenljvh, što se koršćenjem blok matrca efkasno zapsuje kao [ ] ût ŷt = C xt [ D F ]. 87 dt 10

11 d E û B 1 s x x A Slka 1: Strukturn blok djagram koj odgovara sstemu jednačna stanja. 9 Funkcje prenosa konvertora Za sntezu regulatora u frekvencjskom domenu, potrebno je raspolagat funkcjama prenosa konvertora. Izlazne promenljve th funkcja prenosa su promenljve stanja, čje su kompleksne slke sadržane u xs, promenljve zlaza, čje su kompleksne slke sadržane u ŷs. Ulazne promenljve po kojma se funkcje prenosa određuju su sadržane u vektoru ulaza, sa kompleksnm slkama u ûs, što se dopunjuje kompleksnom slkom varjacje upravljačke promenljve, ds. Dakle, za karakterzacju je potrebno odredt čtav nz funkcja prenosa, a sve one će delt st spektar polova. Određvanje funkcja prenosa počnje transformacjom lnearzovanog sstema jednačna stanja 73 u kompleksn oblk s xs = A xs B ûs E ds 88 što se može predstavt strukturnm blok djagramom prkazanm na slc 1. Gornj sstem jednačna je moguće rešt po promenljvm vektora stanja, pa ga je u tom clju povoljno transformsat u s I A xs = B ûs E ds. 89 Ovde je povoljno defnsat sstemsku matrcu Ss kao Ss s I A. 90 Sopstvene vrednost sstemske matrce, određene korenma karakterstčnog polnoma det Ss = 0 91 su sopstvene frekvencje analzranog konvertora one su polov svh funkcja prenosa razmatranog sstema. Nakon defnsanja sstemske matrce, funkcje prenosa od ulaznh promenljvh upravljačke promenljve do promenljvh stanja su određene sa xs = S 1 s B ûs S 1 s E ds. 92 Uvođenje sstemske matrce rešavanje sstema jednačna 88 po vektoru promenljvh stanja se može lustrovat transformacjama strukturnog blok djagrama sa slke 1. Na stukturnom blok djagramu sa slke 2 je zdvojen deo koj se odnos na homogen deo sstema jednačna stanja, čjm rešavanjem se dolaz do sstemske matrce, sopstvenh frekvencja l polova sstema, što rezultuje strukturnm blok djagramom sa slke 3, koj se u praks korst kod snteze regulatora u frekvencjskom domenu. 11

12 d E û B 1 s x x A Slka 2: Transformsan strukturn blok djagram koj odgovara sstemu jednačna stanja. d E û B S 1 s x Slka 3: Strukturn blok djagram funkcja prenosa konvertora. Kada su određene funkcje prenosa do promenljvh stanja, funkcje prenosa do promenljvh zlaza se određuju z algebarskh veza 85 prevedenh u kompleksn domen što se nakon zamene 92 sređvanja svod na ŷs = C xs D ûs F ds 93 ŷs = C S 1 s B D ûs C S 1 s E F ds. 94 Na ovaj načn je dobjen model sstema, usrednjen lnearzovan u okoln mrne radne tačke, sveden na funkcje prenosa. Takav model sstema je povoljan za sntezu regulatora u frekvencjskom domenu. 10 Opseg promene promenljvh stanja tokom perode prekdanja grance važenja modela Analzom usrednjenog modela se može doć do procene opsega u kome se nalaze promenljve stanja tokom perode prekdanja, što je od značaja za proveru pretpostavke da konvertor rad u kontnualnom režmu. Procena je zasnovana na pretpostavc da konvertor rad u režmu koj nje daleko od ustaljenog stanja. U prvoj prekdačkoj kombnacj, kada je prekdač provodan, a doda neprovodna, konvertor je karaktersan sstemom jednačna stanja 7. Nakon što je grančnm procesom 0 dskretan nz vrednost upravljačke promenljve d k pretvoren u kontnualnu funkcju vremena dt, povratkom na konačne razlke za procenu varjacje promenljvh stanja dobja se 2 xt dt = A 1 xt B 1 ut 95 12

13 pa se talasnost promenljvh stanja procenjuje kao kontnualna funkcja vremena xt = dt 2 A 1 xt B 1 ut. 96 Koršćenjem ovog zraza se može procent da l je pretpostavka da konvertor rad u kontnualnom režmu zadovoljena. Konkretno, posmatra se struja kalema L t, koja je element vektora xt, a koja prolaskom kroz nulu uzrokuje prestanak provođenja dode prelazak u dskontnualn režm rada. Ako je L t < L t 97 pretpostavka rada u kontnualnom režmu je spunjena, dok u protvnom konvertor prelaz u dskontnualn režm rada razmatran model vše ne važ. Prmenom ste metodologje na preostal deo perode dobja se alternatvna procena talasnost promenljvh stanja xt = d t 2 A 2 xt B 2 ut. 98 Međusobno slaganje dve ponuđene procene je mera vrednost pretpostavke da konvertor rad u režmu blskom ustaljenom stanju. Kao komproms zmeđu dva alternatvna načna procene talasnost promenljvh stanja, 96 98, može se korstt njhova artmetčka sredna xt = 4 A 1 dt A 2 d t xt B 1 dt B 2 d t ut 99 što je naročto povoljno kod računarske smulacje prekdačkh konvertora. Na osnovu procene talasnost promenljvh stanja, vektor promenljvh stanja tokom perode prekdanja se može nalazt u opsegu xt xt xt xt xt 100 gde se pod apsolutnom vrednošću prmenjenom na vektor podrazumeva određvanje apsolutne vrednost elemenata vektora pojednačno. Takođe, nejednakost se odnos pojednačno na odgovarajuće elemente vektora koj se porede. Jednačna 100 predstavlja obvojncu trenutne vrednost promenljvh stanja. 11 Zaključak U ovom poglavlju je uveden formaln postupak usrednjavanja lnearzacje jednačna stanja. Ovaj postupak vod ka lnearnom staconarnom modelu konvertora u okoln mrne radne tačke z koga se mogu dobt funkcje prenosa povoljne za sntezu regulatora u frekvencjskom domenu. Opsan metod je povoljan za računarsku mplementacju pošto je potpunom formalzacjom sveden na algortam. U postupku formranja usrednjenog lnearzovanog modela, prvo je usrednjavanjem uvođenjem aproksmacje male promene promenljvh stanja promenljvh ulaza u okvru jedne perode prekdanja zveden dskretan usrednjen model konvertora, karaktersan sstemom dferencnh jednacna. U clju smanjenja utcaja aproksmacja, grančnm procesom u kome peroda prekdanja tež nul zveden je nelnearn dnamčk model konvertora, karaktersan sstemom občnh nehomogenh nestaconarnh lnearnh dferencjalnh jednačna u normalnoj form po promenljvm stanja sstemom algebarskh jednačna po zlaznm promenljvm sa vremenom kao kontnualnom promenljvom. 13

14 Uvođenjem perturbacje usrednjenh elemenata vektora promenljvh stanja xt, vektora promenljvh ulaza ut, upravljačke promenljve dt vektora promenljvh zlaza yt u okoln mrne radne tačke, prvo su zvedene jednačne konvertora koje odgovaraju ustaljenom stanju mrna radna tačka, koje se mogu nterpretrat kao analza prmenom aproksmacje male talasnost promenljvh stanja. Prmenom lnearzacje zanemarvanjem međusobnh prozvoda perturbacja je potom zveden lnearzovan dnamčk model konvertora u okoln mrne radne tačke. Jedna od posledca lnearzacje je efektvno uvrštavanje varjacje upravljačke promenljve dt u vektor ulaznh promenljvh. Na kraju, zvedene su procene opsega promenljvh stanja tokom perode prekdanja koje predstavljaju obvojncu trenutne vrednost za promenljve stanja, koje služe za proveru pretpostavke da konvertor rad u kontnualnom režmu. 14