Πυρηνική καταστατική εξίσωση στο πλαίσιο της κβαντικής αδροδυναμικής

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή θετικών επιστημών Τμήμα Φυσικής Τομέας Θεωρητικής, Υπολογιστικής Φυσικής και Αστροϕυσικής Μεταπτυχιακή Διπλωματική Εργασία Πυρηνική καταστατική εξίσωση στο πλαίσιο της κβαντικής αδροδυναμικής Παπαδάτος Νικόλαος Επιβλέποντας Χαράλαμπος Αναστόπουλος 22 Φεβρουαρίου 218 i

2

3 1 Περίληψη Οι ιδιότητες του αστέρα νετρονίων καθορίζονται από την κατασταστική εξίσωση της ύλης που αποτελείται. Λόγω της μη σταθερής πυκνότητας του αστέρα η ύλη περιγράϕεται από την κβαντική αδροδυναμική (QHD) για τη ϕάση χαμηλής πυκνότητας και την κβαντική χρωμοδυναμική (QCD) για την ϕάση υψηλής πυκνότητας. Στην QHD χρησιμοποιούμε το μοντέλο Walecka όπου η κλίμακα μεγέθους είναι τα πρωτόνια και τα νετρόνια και η αλληλεπίδραση πραγματοποιείται με την ανταλλαγή μεσονίων. Για την περιγραϕή της ύλης που αποτελείται από κουάρκ χρησιμοποιούμε το μοντέλο Nambu-Jona-Lasinio και για τη μελέτη της μικτής ϕάσης της ύλης αδρονίων-κουάρκ χρησιμοποιούμε την προσέγγιση Wigner-Seitz. Αρχικά αναϕέρουμε τις πιο σημαντικές ιδιότητες της πυρηνικής ύλης και στη συνέχεια μελετάμε τις βασικές ιδέες της κλασικής και σχετικιστικής θεωρίας πεδίου, καθώς επίσης τη δεύτερη κβάντωση των πεδίων Klein-Gordon και Dirac. Όσο αϕορά το μοντέλο Walecka υπολογίζουμε τις εξισώσεις κίνησης με τη βοήθεια των εξισώσεων Euler-Lagrange και τις απλοποιούμε μέσω της σχετικιστικής θεωρία μέσου πεδίου (RMFT). Στη συνέχεια υπολογίζουμε την καταστατική εξίσωση (ϵ, P ) μέσω του τανυστή ενέργειας ορμής για τη ϕάση της αδρονικής ύλης, της ϕάσης ύλης κουάρκ καθώς επισης της μικτής ϕάσης αδρονιών-κουάρκ συμπεριλαμβάνοντας την ενέργεια επιϕάνειας και Coulomb. Τέλος μέσω των εξισώσεων Tolman- Oppenheimer-Volkoff (T.O.V) υπολογίζεται για κάθε ϕάση της ύλης η μέγιστη μάζα και η ακτίνα του αστέρα νετρονίων και συγκρίνεται με τα παρατηρησιακά δεδομένα. iii

4

5 2 Abstract The properties of a neutron star are determined by the equation of state of the matter that the star is comprised. Because the density of a neutron star is not stable, neutron matter is described by quantum hadrodynamics (QHD) in the low density phase and quantum chromodynamics (QCD) in the high density phase. In QHD, we use the Walecka model, where the scale size are the protons and the neutrons and the interaction is mediated through the exchange of mesons. To describe the matter consisting of quarks we use the Nambu-Jona-Lasinio model. To study the hadron-quark mixed phase we use the Wigner-Seitz approximation. At first, we present the most important properties of nuclear matter. We demonstrate the basic concepts of classical and relativistic field theory, as well as the second quantization of the Klein-Gordon and Dirac fields. Moreover, we derive the equation of motions in the Walecka model, using the Euler-Lagrange equations. We simplify them employing the relativistic mean field theory (RMFT). Next, we calculate the equation of state (e, P) from the energy momentum tensor for the hadron phase, the quark phase and the hadron-quark mixed phase including surface energy and Coulomb energy. Finally, we evaluate the maximum mass and the radius of a neutron star solving Tolman-Oppenheimer- Volkoff (T.O.V) equation for each phase of matter of the neutron star and we compare our results with the observational data. v

6

7 Περιεχόμενα 1 Περίληψη iii 2 Abstract v 3 Ιδιότητες πυρηνικής ύλης Πυκνότητα κορεσμού Ενέργεια σύνδεσης Ενέργεια συμμετρίας Συντελεστής συμπιεστότητας Εξισώσεις Tolman-Oppenheimer-Volkoff Λύση των εξισώσεων Tolman-Oppenheimer-Volkoff Θεωρία πεδίου Λαγκραζιανός ϕορμαλισμός Χαμιλτονιανός ϕορμαλισμός Θεώρημα της Noether Σχετικιστική κβαντική μηχανική Εισαγωγή Πεδίο Klein-Gordon Κβάντωση αρμονικού ταλαντωτή Δεύτερη κβάντωση πεδίου KG Πεδίο Dirac Κβάντωση πεδίου Dirac Άμαζο ϕωτόνιο-εξισώσεις Maxwell Μαζικό σωματίδιο Εξισώσεις Proca Κβαντική Αδροδυναμική QHD-I Σχετικιστική θεωρία μέσου πεδίου Τανυστής ενέργειας-ορμής Υπολογισμός μέσων τιμών Επεξήγηση τιμών παραμέτρων Υπολογισμός πίεσης συστήματος Παρατηρήσεις για την QHD-I Επέκταση μοντέλου QHD-I Σϕαιρικά συμμετρικοί πυρήνες QHD-II Παρατηρήσεις QHD-II Αστέρες νετρονίων Εισαγωγή Ορισμός Δομή vii

8 8.4 Καταστατική εξίσωση αστέρα νετρονίου Φάση ύλης με αδρόνια Συμπεράσματα Επέκταση μοντέλου Φάση ύλης με κουάρκς Μικτή ϕάση ύλης αδρoνίων-κουάρκ με ϕαινόμενα πεπερασμένου μεγέθους Συμπεράσματα Παρατηρησιακοί περιορισμοί Παράρτημα Αέριο ϕερμιονίων Αστέρας νετρονίων PSR J Αστέρας νετρονίων PSR J Βιβλιογραϕία 92 viii

9 3 Ιδιότητες πυρηνικής ύλης 3.1 Πυκνότητα κορεσμού Η αλληλεπίδραση των νουκλεονίων γίνεται μέσω της ισχυρής πυρηνικής δύναμης η όποία είναι ελκτική για απόσταση.4 < r < 2fm, απαραίτητο για τη σταθερότητα του πυρήνα, και απώστική για απόσταση.4f m. Η αλληλεπίδραση δηλαδή γίνεται στα γειτονικά νουκλέονια. Αν προσθέσουμε με κάποιο τρόπο νουκλεόνια τότε θα αυξηθεί η πυκνότητα, υπάρχει όμως μια τιμή της πυκνότητας που μια περαιτέρω αύξηση των νουκλεονίων δεν την μεταβάλλει. Η τιμή αυτή της πυκνότητας λέγεται πυκνότητα κορεσμού. 3.2 Ενέργεια σύνδεσης Η ενέργεια που χρειάζεται για να διασπάσουμε τον πυρήνα στα συστατικά του λέγεται ενέργεια σύνδεσης και λόγω σταθερότητας του πυρήνα η ενέργειά του είναι χαμηλότερη από εκείνη των συστατικών του. Στην πυκνότητα κορεσμού η ενέργεια σύνδεσης του συστήματος είναι ελάχιστη διότι σε αυτή την πυκνότητα το σύστημα είναι στην κατάσταση χαμηλότερης ενέργειας. Η ενέργεια σύνδεσης της πυρηνικής ύλης δίνεται M ev ανά νουκλεόνιο. 3.3 Ενέργεια συμμετρίας Το διάγραμμα Segre δείχνει την ευστάθεια των πυρήνων στο οποίο οι ελαϕριοί σταθεροί πυρήνες έχουν ίσο αριθμό πρωτονίων και νετρονίων ενώ οι ασταθείς πιο βαρύς πυρήνες έχουν μεγαλύτερο αριθμό νετρονίων. Η εξήγηση είναι ότι καθώς αυξάνεται ο αριθμός των πρωτονίων Z αυξάνεται η απωστική δύναμη Coulomb και έτσι το σύστημα είναι λιγότερο ευσταθές. Η συνεισϕορά της ασυμμετρίας που υπάρχει στην πυρηνική ύλη λόγω του διαϕορετικού αριθμού πρωτονίων και νετρονίων εκϕράζεται μέσω του συντελεστή συμμετρίας και από ϕυσικής άποψης εκϕράζει το κόστος ενέργειας μετατροπής πρωτονίων σε νετρονίων και αντίστροϕα. Ο συντελεστής συμμετρίας είναι: α 4 = 1 ( 2 ) ( ϵ t = ρ ) n ρ p 2 2 t ρ t= ρ ϵ είναι η ενέργεια του συστήματος, ρ η ολική πυκνότητα, ρ p και ρ n η πυκνότητα των πρωτονίων και νετρονίων αντίστοιχα. Η τιμή του είναι MeV. 3.4 Συντελεστής συμπιεστότητας Η ποσότητα η οποία χρησιμοποιείται για να χαρακτηρίσει τη δυσκαμψία της καταστατικής εξίσωσης ονομάζεται συντελεστής συμπιεστότητας. Είναι το μέτρο για την ενέργεια που απαιτείται να συμπιεστεί η ύλη. Ορίζεται ως η καμπυλότητα της καταστατικής εξίσωσης στην πυκνότητα κορεσμού και σχετίζεται με την πυκνότητα. Η μεγάλη τιμή του K εκϕράζει ότι η καταστατική εξίσωση αυξάνεται 1 (1)

10 απότομα με την πυκνότητα. Έτσι αν η πυκνότητα ενέργειας αυξάνεται γρήγορα με την αύξηση της πίεσης ονομάζεται σκληρή ενώ αν αυξάνεται σταδιακά ονομάζεται μαλακή. Ορίζεται από τη σχέση: ( )] K = 9 [ρ 2 d2 ϵ (2) dρ 2 ρ ρ=ρ 4 Εξισώσεις Tolman-Oppenheimer-Volkoff Μια πρώτη προσέγγιση ενός αστέρα είναι να τον θεωρήσουμε ως ένα στατικό, σϕαιρικά συμμετρικά ρευστό το οποίο βρίσκεται σε υδροστατική ισορροπία. Η υπόθεση αυτή δικαιολογείται από το γεγονός ότι η εξωτερική πίεση που ασκείται στον αστέρα από τις δυνάμεις της βαρύτητας εξισορροπείται από την αντίθετη ϕοράς πίεση των εκϕυλισμένων νετρονίων. Το πρόβλημα μελετήθηκε αρχικά από τους R. C. Tolman, J. R. Oppenheimer και G. M. Volkoff το 1939 και η λύση των εξισώσεων Αϊνστάιν για τις παραπάνω υποθέσεις είναι: dp (r) dr = Gϵ(r)M(r) c 2 r 2 dm(r) dr [ 1 + P (r) ϵ(r) [ ][ 1 + 4πr3 P (r) 1 2GM(r) c 2 r M(r)c 2 ] ] (3) = 4πϵ(r)r2 c 2 (4) όπου: P (r) είναι η εσωτερική πίεση του αστέρα, ϵ(r) είναι η πυκνότητα ενέργειας, M(r) η μάζα του αστέρα η οποία ειναι: r ϵ(r )r 2 M(r) = 4π dr (5) c 2 Η εξίσωση (5) εκϕράζει την βαρυτική μάζα, δηλαδή την μάζα-ενέργεια που δημιουργεί το βαρυτικό πεδίο σε έναν αστέρα. Η σχετικιστική έκϕραση που περιγράϕει την σχέση μεταξύ της πυκνότητας ενέργειας και της πυκνότητα μάζας στο ϕυσικό σύστημα μονάδων είναι: ϵ(r) = ρ(r). Η εξίσωση Tolman-Oppenheimer- Volkoff εκϕράζει το πως η πίεση μειώνεται από το κέντρο του αστέρα μέχρι την επιϕάνειά του, που θα είναι P (R star ) =, σε σχέση με την πυκνότητα ενέργειας και την πίεση. Η σύνδεση της πυκνότητας ενέργειας και της πίεσης γίνεται μέσω της καταστατικής εξίσωσης της ύλης από την οποία αποτελείται ο αστέρας. Ένας τεράστιος αστέρας θα έχει μεγαλύτερη πίεση στο κέντρο του από ότι ένας μικρότερος λόγω της βαρυτητας η οποία συμπιέζει τον άστέρα. Ετσι υπάρχει μια οριακή τιμή της μάζας του αστέρα πέρα από την οποία ο αστέρας καταρρέει λόγω βαρύτητας. Η οριακή τιμή λέγεται μέγιστη μάζα αστέρα και διαϕέρει για διαϕορετική καταστατική εξίσωση της ύλης του αστέρα. 2

11 4.1 Λύση των εξισώσεων Tolman-Oppenheimer-Volkoff Για να πάρουμε πληροϕορίες πρέπει να λύσουμε τις παραπάνω διαϕορικές εξισώσεις. Οι αρχικές συνθήκες είναι ότι στο κέντρο του αστέρα r = έχω μάζα M(r = ) και πίεση P (r) = P ενώ στο r = R έχω πίεση P (R) = και τη συνολική μάζα του αστέρα M(r = R). Έτσι μπορώ να βρώ την πίεση P (r ) σε ένα σημείο r = r + dr από την (3) καθώς επίσης από την καταστατική εξίσωση την αντίστοιχη πυκνότητα ενέργειας ϵ(r ). Χρησιμοποιώντας την (4) τότε υπολογίζουμε την μάζα M(r ). Συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία μέχρι r = R όπου P (R) = και βρίσκουμε την ολική μάζα του αστέρα. Ο κάθε αστέρας νετρονίων έχει μία μέγιστη μάζα ανάλογα την καταστατική εξίσωση της ύλης που περιέχει. Συνεπώς οι καταστατικές εξισώσεις που δίνουν μεγαλύτερη μέγιστη μάζα αναϕέρονται ως σκληρές ενώ αντίστοιχα με μικρότερη μέγιστη μάζα αναϕέρονται ως μαλακές. 5 Θεωρία πεδίου 5.1 Λαγκραζιανός ϕορμαλισμός Με αϕορμή την αρχή του Fermat ότι το ϕώς το οποίο διέρχεται μέσα από μια επιϕάνεια επιλέγει το πιο σύντομο μονοπάτι, θα αποδείξουμε ότι το ίδιο συμβαίνει και σε ένα υλικό σημείο. Συγκεκριμένα, η τροχιά που θα ακολουθήσει είναι αυτή που θα ελαχιστοποιεί τη δράση, δηλαδή την ποσότητα: S = t2 t 1 [ ] L q i (t), q i (t) dt (6) Με τη μεταβολή της δράσης να είναι μηδέν δs = καταλήγουμε στις εξισώσεις Euler-Lagrange: L q i (t) = d L dt q i (t) Για ένα πεδίο αντί των γενικευμένων συντεταγμένων q i (t) χρησιμοποιούμε τη συνεχή δυναμική μεταβλητή ϕ(x µ ) = ϕ(x, x) = ϕ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = ϕ(t, x, y, z). Η λαγκρανζιανή όμοια με την κλασική μηχανική είναι: [ L = L ϕ( x, t), ϕ( x, ] t) Στην κβαντική θεωρία πεδίου είναι πιο χρήσιμο να εργαζόμαστε με τη λαγκραζιανή πυκνότητα L, δηλαδή: L(t) = [ ] dx 3 L ϕ(x µ ), µ ϕ(x µ ) (7) (8) (9) Από τη μεταβολή της δράσης δl(t) = βρίσκουμε: ( ) L µ ( µ ϕ a (x)) = L ϕ a (x) (1) 3

12 όπου η L δεν εξαρτάται μόνο από ένα πεδίο αλλά απο Ν διαϕορετικά πεδία ϕ a (x) με a(x) = 1,.., N 5.2 Χαμιλτονιανός ϕορμαλισμός Στη κλασική μηχανική η γενικευμένη ορμή είναι: Αντίστοιχα η ορμή για το πεδίο είναι: p i = L (11) q i Η χρονική παράγωγος είναι: π( x, t) = L ϕ( x, t) (12) H χαμιλτονιανή είναι: H(t) = π( x, t) = L ϕ( x, t) dx 3 (π( x, t) ϕ( x, t) L(t)) = (13) dx 3 H (14) 5.3 Θεώρημα της Noether Η Emmy Noether με το θεώρημά της κατάϕερε να συσχετίσει τους νόμους διατήρησης με τις συμμετρίες που υπάρχουν στη ϕύση. Κάθε συμμετρία στη ϕύση συνεπάγεται ένα νόμο διατήρησης και κάθε νόμος διατήρησης αποκαλύπτει την ύπαρξη κάποιας συμμετρίας. Η ϕύση έχει επιλέξει να διατηρούνται συγκεκριμένες ποσότητες στο σύμπαν όπως η ενέργεια, η ορμή και η στροϕορμή. Σε αυτές τις διατηρήσιμες ποσότητες με το θεώρημα της Noether θα αποδείξουμε ότι υπάρχει μια συμμετρία ως προς το χρόνο τη θέση και τη γωνία αντίστοχια. Για παράδειγμα ως συμμετρία αναϕέρουμε τη περιστροϕή ενός κυλινδρου γύρω από τον άξονά του. Είναι ένας συνεχής μετασχηματισμός που εξαρτάται συνεχώς και με διαϕορίσιμο τρόπο από κάποια παράμετρο ϕ. Μία διακριτή συμμετρία είναι ο κατοπτρισμός των συντεταγμένων, δηλαδή όπου x x στο πρόβλημα των δύο αλληλεπιδρώντων σωματιδίων. Ο συγκεκριμένος μετασχηματισμός όπως παρατηρούμε δεν εξαρτάται από κάποια συνεχή παράμετρο και αποτελεί διακριτή συμμετρία της Λανγκρανζιανής. Οι νόμοι της συμμετρίας της ϕύσης σχετίζονται άμεσα με τις διασπάσεις των συμμετριών. Στο χώρο των σωματιδίων, υπάρχουν τρεις κύριες συμμετρίες ο κατοπτρισμός ως προς τον χρόνο T, ο κατοπτρισμός ως προς το χώρο, που λέγεται ομοτιμία P (Parity) και τέλος ο κατοπτρισμός ως προς το ϕορτίο C (Charge Conjugation) και με μια λέξη οι τρεις συμμετρίες λέγονται CPT. Θα αποδείξουμε για ένα κλασικό σύστημα ότι αν η λαγκραζιανή παραμένει αναλλοίωτη κάτω από ένα συνεχή μετασχηματισμό που γεννάται από μια γεννήτρια 4

13 X τότε το σύστημα έχει διατηρούμενο ϕορτίο: Θεωρούμε το συνεχή μετασχηματισμό: Η μεταβολή της λαγκραζιανής είναι: δl = L ( ) L L L d δq + δ q = δq + q q q q dt δq ( L = q d ( )) L δq + d ( ) L dt q dt q δq }{{} Q = L q X (15) q Q = q(t) + ϵx, ϵ << 1 (16) = L q δq + d ( ) L dt q δq d dt ( ) L δq q Αν η λαγκραζιανή είναι αναλλοίωτη δl = τότε ο δεύτερος όρος πρέπει να είναι μηδέν: Το διατηρούμενο ϕορτίο είναι: ( ) d L dt q δq = Q = L L δq = q q X Q = L L δq = q q X (17) Διατήρηση ενέργειας Θεωρούμε ένα σύστημα το οποίο περιγράϕεται από μια λαγκραζιανή η οποία είναι ανεξάρτητη του χρόνου L(q, q) και επιβάλουμε μια χρονική μετατόπιση t t + a. Έτσι έχουμε το μετασχηματισμό q Q = q(t + a) q(t) + a q(t). Η απειροστή μεταβολή είναι: δq = Q q = q(t) + a q(t) q(t) a q(t) Η μεταβολή της λαγκραζιανής L(q, q) είναι: δl = L q δq + L q δ q = L q Η μεταβολή της λαγκραζιανής είναι: δl = d dt L a q + a q = adl q dt = d dt (al) ( L q δq ) (18) 5

14 Συνεπώς: ( ) d L δq i = d dt q i dt (al) ( ) d L δq i al = dt q i Q = L δq i al q i H = p q L Άρα η ποσότητα H = p q L αποτελεί ένα διατηρούμενο ϕορτίο. Λαγκραζιανή πυκνότητα Μεταβολή του πεδίου(εσωτερική συμμετρία) Υπολογίζουμε το διατηρούμενο ϕορτίο σε μια λαγκραζιανή πυκνότητα σωματιδιακής θεωρίας πεδίου: [ ] L ϕ(x µ ), µ ϕ(x µ ) Έστω ότι μια απειροστή μεταβολή της μορϕής: (19) και η μεταβολή του πεδίου: x µ = x µ + δx µ (2) Συνεπώς: ϕ(x µ ) ϕ (x µ ) ϕ(x µ ) + δϕ(x µ ) (21) δl = L ϕ δϕ + L ( µ ϕ) δ( µϕ) = L ( ) ( ) L L ϕ δϕ + µ ( µ ϕ) δϕ µ δϕ ( µ ϕ) [ ( )] ( ) ( ) L L L L = ϕ µ δϕ + µ ( µ ϕ) ( µ ϕ) δϕ = µ ( µ ϕ) δϕ }{{} ( ) L δl = µ ( µ ϕ) δϕ Δηλαδή αν η λαγκραζιανή είναι αναλλοίωτη κάτω από τον παραπάνω μετασχηματισμό, τότε δl =, άρα: (22) ( ) L µ ( µ ϕ) X = (23) 6

15 και η ποσότητα: j µ = L ( µ ϕ) X (24) ορίζει ένα διατηρούμενο ρεύμα διότι µ j µ =. Υπολογίζουμε το διατηρούμενο ϕορτίο από την εξίσωση συνέχειας: V µ j µ = ρ t = j dρ dt V dv = jdv dq dt A = jda = διότι έχουμε θεωρήσει ότι V ώστε να μην υπάρχει ροή ρεύματος διαμέσου της επιϕάνειας A που περικλείει τον όγκο V, συνεπώς τα πεδία μηδενίζονται στο άπειρο. Μεταβολή του πεδίου(εξωτερική συμμετρία) μετατόπιση στο χωρόχρονο (εξωτερική συμμετρία): Στη συνέχεια θεωρούμε μια τότε: x µ x µ + ϵ µ (25) Συνεπώς η μεταβολή είναι: ϕ(x µ ) ϕ(x µ + ϵ µ ) ϕ(x µ ) + ϵ µ µ ϕ (26) δϕ = ϵ µ µ ϕ(x µ ) (27) δl = L ϕ δϕ + L ( µ ϕ) δ( µϕ) = L ϕ ϵν ν ϕ + L ( µ ϕ) ϵν µ ν ϕ = ϵ ν [ L ϕ µϕ νϕ µ ϕ + = ϵ ν [ L ϕ µϕ + = ϵ ν δ µ ν µ L L ( µ ϕ) µ( µ ϕ) ] νϕ µ ϕ ] L ( µ ϕ) µ( µ ϕ) δ µ ν δl = µ (ϵ ν δ µ ν L) (28) 7

16 Όμοια για τη μετατόπιση x ν x ν + ϵ ν βρίσκουμε δϕ = ϵ ν ν ϕ(x ν ), επίσης από τις σχέσεις (22),(28) έχουμε ότι: ( ) L µ ( µ ϕ) δϕ = µ (ϵ ν δ ν µ L) ( ) L µ ( µ ϕ) ϵν ν ϕ = µ (ϵ ν δ ν µ L) ( ) L ϵ ν µ ( µ ϕ) νϕ δ ν µ L = Συνεπώς το διατηρούμενο ρεύμα είναι: j µ ν = L ( µ ϕ) νϕ δ µ ν L (29) εϕόσον ισχύει µ j ν µ =. Επίσης το διατηρούμενο ϕορτίο είναι: P ν = j dx 3 (3) Τανυστής ενέργειας-ορμής Επειδή εξακολουθεί να υπάρχει ένα διατηρούμενο ρεύμα και ένα διατηρούμενο ϕορτίο η μεταβολή x µ x µ + ϵ µ και ϕ(x µ ) ϕ(x µ + ϵ µ ) ϕ(x µ ) + ϵ µ µ ϕ(x µ ) είναι ένας μετασχηματισμός συμμετρίας, η συμμετρία μετατόπισης στο χωρόχρονο. Το διατηρούμενο ϕορτίο είναι το τετραδιάνυσμα ενέργειας-ορμής P ν και έτσι ορίζεται ο τανυστής ενέργειας-ορμής: Η ενέργεια είναι: T µ ν = L ( µ ϕ) νϕ δ µ ν L (31) j = L ( ϕ) ϕ L = π( ϕ) L = HP = Hdx 3 = E 6 Σχετικιστική κβαντική μηχανική 6.1 Εισαγωγή Συνδέοντας την κβαντική μηχανική με τη ειδική θεωρία της σχετικότητας δημιουργούμε την σχετικιστική κβαντική μηχανική. Σαν πρώτο βήμα εκτελούμε κβάντωση της εξίσωσης ενέργειας: E = p2 2m (32) 8

17 κάνοντας αντικατάσταση των ϕυσικών ποσοτήτων με τελεστές: E i t (33) p i (34) Δρώντας τους τελεστές σε μία κυματοσυνάρτηση ψ(t, x) καταλήγουμε στην εξίσωση Schrodinger: i t ψ(t, x) = 2 2 ψ(t, x) (35) 2m Η παραπάνω εξίσωση δεν είναι σχετικιστική διότι έχουμε πρώτη παράγωγο ως προς το χρόνο και δεύτερη ως προς το χώρο. Επόμενη σκέψη ήταν η σχετικιστική σχέση ενέργειας ορμής. 6.2 Πεδίο Klein-Gordon Η εξίσωση Klein-Gordon χρησιμοποιείται για να περιγράψει βαθμωτά σωματίδια, δηλαδή σωματίδια με σπιν μηδέν. Το βαθμωτό πεδίο που σχετίζεται με την εξίσωση Klein-Gordon μπορεί να είναι πραγματικό και τότε περιγράϕει ουδέτερα σωματίδια ή μιγαδικό και τότε περιγράϕει ϕορτισμένα σωματίδια. Για να βρούμε μια κβαντική κυματική εξίσωση η οποία να είναι συνεπής με τη θεωρία της σχετικότητας χρησιμοποιούμε την σχετικιστική σχέση ενέργειας-ορμής: E 2 = p 2 + m 2 (36) Εκτελούμε πρώτη κβάντωση, δηλαδή αντικαθιστούμε τα παρατηρήσιμα μεγέθη ενέργεια και ορμή από τελεστές που δρούν σε κυματοσυναρτήσεις με τον παρακάτω τρόπο: έτσι: E Ê = t p p = i και καταλήγουμε στην εξίσωση Klein-Gordon: Ê 2 ϕ = ( p 2 + m 2 )ϕ (37) ( µ µ + m 2 )ϕ(x, t) = (38) ( 2 t 2 + m 2 )ϕ = 2 (39) ( + m 2 )ϕ = (4) 9

18 και η συζυγής εξίσωση αντίστοιχα: ( 2 t m 2 )ϕ (x, t) = (41) Στη συνέχεια πολλαπλασιάζοντας την (39) με iϕ και την (41) με iϕ και αϕαιρώντας κατά μέλη: iϕ ( 2 t 2 ϕ 2 ϕ + m 2 ϕ) iϕ( 2 t 2 ϕ 2 ψ + m 2 ϕ ) = (iϕ 2 t 2 ϕ iϕ 2 t ϕ) + (iϕ 2 ϕ iϕ 2 ϕ) = 2 t [i(ϕ t ϕ ϕ t ϕ )] + [ i(ϕ ϕ ϕ ϕ )] = t ρ + J = µ J µ = με ρ = i(ϕ t ϕ ϕ t ϕ ) (42) J = i(ϕ ϕ ϕ ϕ ) (43) έτσι προέκυψε η εξίσωση συνέχειας, όπου J µ = (ρ, J) με ρ η πυκνότητα πιθανότητας και J η πυκνότητα ρεύματος. Οι λύσεις θα είναι επίπεδα κύματα: ϕ(x, t) = Ne ipx = Ne i( p x Et) (44) και αντικαθιστώντας το ϕ στην εξίσωση KG βρίσκουμε: ( E 2 + p 2 + m 2 )ψ(x, t) = E 2 = p 2 + m 2 έτσι το ελεύθερο σωμάτιο θα έχει θετικές και αρνητικές ενέργειες: Αντικαθιστώντας την (44) στις (43) και (42) βρίσκουμε: E = ± p 2 + m 2 (45) ή σε συνεκτική μορϕή: ρ = 2 N 2 E (46) J = 2 N 2 p (47) J µ = 2 N 2 p µ (48) 1

19 Σε αυτό το σημείο παρατηρούμε τα προβλήματα της εξίσωσης KG που δημιουργούνται απο τον τελεστή της ενέργειας στο τετράγωνο, ο οποίος οδηγεί σε δεύτερη παράγωγο ως προς το χρόνο. Τα προβλήματα είναι οι λύσεις αρνητικής ενέργειας, η αρνητική πιθανότητα και η μη ύπαρξη κάτω ϕράγματος δηλαδή ένα σωμάτιο μεταπίπτει για πάντα σε μια χαμηλότερη στάθμη. Το πρόβλημα με τις αρνητικές πιθανότητες σχεδόν αντιμετωπίστηκε με την ιδέα των Pauli και Weibkopf. Πολλαπλασίασαν την πυκνότητα ϕορτίου με το αντίστοιχο ϕορτίο του αντισωματιδίου και η νέα έκϕραση ρ = 2q N 2 E ονομάστηκε πυκνότητα ϕορτίου αντί για πιθανότητας. Με αυτό τον τρόπο δεν υπήρχε πρόβλημα στη ϕυσική σημασία της ποσότητας. Για το πρόβλημα των αρνητικών ενέργειών προτάθηκε η ιδέα από τους Stuckelberg και Feynman. Έστω σωματίδιο με ϕορτίο q, τότε η πυκνότητα ρεύματος θα είναι: J µ (+q) = +2q N 2 (E, p) (49) Αντίστοιχα αν είχαμε ένα αντισωματίδιο με ϕορτίο q με την ίδια τετραορμή τότε η πυκνότητα θα είναι: J µ ( q) = 2q N 2 (E, p) = +2q N 2 ( E, p) (5) Δηλαδή έχουμε το ίδιο ρεύμα ενός σωματιδίου με τετραορμή ( E, p). Είναι δηλαδή e ( E)( t) = e (+E)(+t) που σημαίνει ότι ένα σωματίδιο με ενέργεια E που διαδίδεται ανάστροϕα στο χρόνο περιγράϕει το αντίστοιχο αντισωμάτιο με ενέργεια +E που διαδίδεται κανονικά στο χρόνο. Καταλήγουμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι σωματίδια με αρνητική ενέργεια τα οποία διαδίδονται κατά την ανάστροϕη ϕορά του χρόνου περιγράϕουν αντισωματίδια με θετική ενέργεια που διαδίδονται στο χρόνο κατά την ορθή ϕορά, η διάδοση δηλαδή κατά την ανάστροϕη ϕορά του χρόνου είναι η διάδοση του αντισωματίου κατά την ορθή ϕορά του χρόνου. 6.3 Κβάντωση αρμονικού ταλαντωτή Η λαγκραζιανή του ταλαντωτή είναι: Η συζυγής ορμή: L = T V = 1 2 mẋ2 1 2 kx2 = 1 2 mẋ mωx2 }{{} = 2ẋ2 1 2 ωx2 (51) m=1 Η χαμιλτονιανή είναι: p = L ẋ = ẋ (52) H = p ω2 x 2 (53) 11

20 Η χρονική εξέλιξη της μέσης τιμής ενός ϕυσικού μεγέθους είναι: d A dt = 1 [A, H] + i  t ως προς το χρόνο (54) Αν ο τελεστής είναι ανεξάρτητος του χρόνου, τότε  t =. Συνεπώς στο ϕυσικό σύστημα μονάδων: [x, H] = iẋ = ip (55) [p, H] = iṗ = i H x = iω2 x (56) Η παραγώγιση της (55) και η τοποθέτησή της στην (56) μας δίνει: Η λύση είναι: Από την (55) έχουμε: ẍ(t) + ω 2 x(t) = (57) x(t) = Ae iωt + A e iωt (58) p(t) = ẋ(t) = iωae iωt + iωa e iωt (59) Απαιτούμε να ισχύει η μεταθετική σχέση του Heisenberg: αρκεί [x(t), p(t)] = i [Ae iωt + A e iωt, iωae iωt + iωa e iωt ] = i 2iω[A, A ] = [α, α ] = i Η νέα χαμιλτονιανή από τις σχέσεις (58) και (59) γίνεται: α = 2ωA (6) α = 2ωA (61) H = 1 2 (α α + αα )ω = (α α + 1 )ω (62) 2 λόγω της σχέσης [α, α ] = 1. Η θεμελιώδης κατάσταση είναι η και η δράση των τελεστών δημιουργίας και καταστροϕής σε μια κατάσταση είναι: α n = n + 1 n + 1 (63) α n = n n 1 (64) 12

21 Έτσι δρώντας πάνω στη θεμελιώδη κατάσταση βρίσκουμε την ενέργεια θεμελιώδους κατάστασης: H = 1 2 (α α + 1)ω = ω 2 (65) 6.4 Δεύτερη κβάντωση πεδίου KG Με τη δεύτερη κβάντωση θα προκύψει μια σχετικιστική θεωρία σωματιδίων με σπιν μηδέν. Στόχος μας είναι να προάγουμε το πεδιακό μέγεθος ϕ(x, t) σε τελεστικό πεδίο ϕ(x, t). Είδαμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης KG είναι επίπεδου κύματος. Συνεπώς η γενική λύση θα είναι: ϕ(x) = d 3 [ϕ( p)e ipx + ϕ ( p)e ipx ] (66) όπου e ipx = e i(e pt p x) 1 και επειδή οι συντελεστές περιμένουμε ότι θα έχουν το ρόλο των τελεστών δημιουργίας και καταστροϕής άρα ϕ = ϕ. Για να γίνει δεύτερη κβάντωση πρέπει να αντικαταστήσουμε τα πεδία ϕ( p) και ϕ ( p) με τους τελεστές δημιουργίας και καταστροϕής, δηλαδή: ϕ( p) α( k) ϕ ( p) α ( k) και τότε έχουμε δημιουργήσει το κβαντικό πεδίο ϕ(x). Η λαγκραζιανή που δημιουργεί την εξίσωση KG είναι: Έχουμε ότι L = 1 2 ( µ ϕ)( µ ϕ) 1 2 m2 ϕ 2 (67) L = ( µ ϕ) µ ϕ άρα η συζυγής ορμή είναι: π(x) = Η χαμιλτονιανή πυκνότητα είναι: Απαιτούμε να ισχύουν οι σχέσεις μετάθεσης: L ( ϕ) = ϕ = ϕ (68) H = π ϕ L = 1 2 [π2 + ( ϕ) 2 + m 2 ϕ 2 ] (69) [ ϕ(t, x), ϕ(t, x )] = (7) [ π(t, x), π(t, x )] = (71) [ ϕ(t, x), π(t, x )] = iδ (3) ( x x ) (72) 1 p = p µ = (p, p 1, p 2, p 3 ) = (E, p), x = x µ = (x, x 1, x 2, x 3 ) = (t, x) 13

22 με δ (3) ( x x ) = d 3 p (2π) 3 e ±i p( x x ) δηλαδή: [ ] ϕ(t, x), π(t, x ) = [ ) ( )] = d 3 p (ϕ( p)e ipx + ϕ ( p)e ipx, d 3 p ( ie p )ϕ( p ))e ip x + (+ie p )ϕ ( p )e +ip x [ ( )] = d 3 p d 3 p ϕ( p)e ipx + ϕ ( p)e ), (( ie ipx p )ϕ( p ))e ip x + (+ie p )ϕ ( p )e +ip x = d 3 p d 3 p [ϕ(p), ϕ(p )]e i(px+p x ) ( ie p ) + d 3 p d 3 p [ϕ(p), ϕ (p )]e i(px p x ) (ie p ) + d 3 p d 3 p [ϕ (p), ϕ(p )]e i(px p x ) ( ie p ) + d 3 p d 3 p [ϕ (p), ϕ (p )]e i(px+p x ) (ie p ) Επειδή η χρονική εξάρτηση είναι της μορϕής e ±i(px+p x ), δεν μπορεί να απαλει- ϕθεί και πρέπει να ισχύει η ισότητα: [ϕ(p), ϕ(p )] = [ϕ (p), ϕ (p )] = Οι άλλοι όροι έχουν χρονική εξάρτηση της μορϕής e ±i(px p x ) και μπορεί να απαλειϕθεί όταν p = p με κατάλληλη επιλογή των ϕ( p), ϕ ( p), δηλαδή: Δηλαδή: [ ϕ(t, x), π(t, x )] = + d 3 p d 3 p [ϕ(p), ϕ (p )] e i(px p x ) (ie p ) }{{} X[ α( p), α ( p )] + d 3 p d 3 p [ϕ (p), ϕ(p )] e i(px p x ) ( ie p ) }{{} X[ α( p), α ( p )] ( ) = d 3 p d 3 p Xδ (3) (p p ) (ie p )e i(px p x ) + (ie p )e i(px p x ) ( ) = i d 3 pe p X e ip(x x ) + e ip(x x ) = i d 3 p 1 ( ) 1 e ip(x x ) + e ip(x x ) 2 (2π) 3 = i 2 δ(3) ( x x ) + i 2 δ(3) ( x x ) = iδ (3) ( x x ) X = 1 2E p 1 (2π) 3 14

23 Συνεπώς ισχύει η ισότητα: ϕ( p) = ϕ ( p) = 1 (2π) 3/2 2Ep α( p) 1 (2π) 3/2 2Ep α ( p) Οι σχέσεις μεταξύ τελεστών δημιουργίας και καταστροϕής είναι: [ α( p), α ( p )] = δ (3) ( p p) (73) [ α( p), α( p )] = [ α ( p), α ( p )] = (74) Συνεπώς το ζητούμενο ανάπτυγμα του πεδίου σε τελεστές δημιουργίας και καταστροϕής είναι: ϕ(x) = dp 3 (2π) 3/2 2Ep [ α( p)e ipx + α ( p)e +ipx ] (75) Σύμϕωνα με την εκδοχή του Feynmann όλες οι ενέργειες θεωρούνται θετικές και αλλάζει το πρόσημο της ορμής, δηλαδή με αυτό τον τρόπο οι καταστάσεις αρνητικής ενέργειας ερμηνεύονται ως εξερχόμενα αντισωματίδια ενώ οι καταστάσεις θετικής ενέργειας ως εισερχόμενα σωματίδια. Είναι π(x) = ϕ(x), άρα π(x) = ϕ(x): π(x) = dp 3 (2π) 3/2 2Ep [( ie p ) α( p)e ipx + (+ie p ) α ( p)e +ipx )] (76) Η χαμιλτονιανή είναι: Ĥ = d 3 xh = d 3 x 1 2 [π2 + ( ϕ) 2 + m 2 ϕ 2 ] = = 1 2 d 3 xd 3 pd 3 q (2π) 3 2Ep 2Eq ( ( E p E q p q)[ α( p)e i(e pt p x) α ( p)e +i(e pt p x) ] [ α( q)e i(eqt q x) α ( q)e +i(eqt q x) )]+ ) + m 2 [ α( p)e i(ept p x) + α ( p)e +i(ept p x) ][ α( q)e i(eqt q x) + α ( q)e +i(eqt q x) ] = 1 2 d 3 xd 3 pd 3 q (2π) 3 2Ep 2Eq ( ( E p E q p q)[ α( p) α( q)e i(e p+e q )t e i( p+ q)x α( p) α ( q)e i(e p E q )t e i( p q)x α ( p) α( q)e i(e p E q )t e i( p q)x + α ( p) α ( q)e +i(e p+e q )t e i( p+ q)x )+ 15

24 + m 2 ( α( p) α( q)e i(ep+eq)t e i( p+ q)x + α( p) α ( q)e i(ep Eq)t e i( p q)x + α ( p) α( q)e i(e p E q )t e i( p q)x + α ( p) α ( q)e +i(e p+e q )t e i( p+ q)x ) = 1 2 d 3 pd 3 q 2Ep 2Eq (δ (3) ( p q)(e p E q + p q + m 2 )[ α ( p) α( q)e i(ep Eq)t + α( p) α ( q) e i(e p E q )t ] + δ (3) ( p + q)( E p E q + p q + m 2 )[ α ( p) α ( q)e i(e p+e q )t + α( p) α( q)e i(e p+e q )t ] = 1 d 3 ( p (Ep 2 + p 2 + m 2 )[ α ( p) α( p)e i(e p E p )t + α( p) α ( q)e i(e p E p )t ] 2 2E p ) + ( Ep 2 + p 2 + m 2 )[ α ( p) α ( p)e i(ep+ep)t + α( p) α( p)e i(ep+ep)t ] = 1 ) d 3 pe p ([ α ( p) α( p) + α( p) α ( q)] 2 Άρα Ĥ = 1 d 3 pe p [ α ( p) α( p) + α( p) α ( p)] (77) 2 Η θεμελιώδης κατάσταση του συστήματος ή το κενό του συστήματος συμβολίζεται με. Η δράση του τελεστή δημιουργίας και καταστροϕής είναι: α( p) = (78) α ( p) = p (79) δηλαδή δημιουργείται ή καταστρέϕεται ένα σωμάτιο με ορμή p, ενώ αν είχαμε σύστημα με n σωματίδια: α( p 1 ) α( p 2 )... α( p n ) = (8) α ( p 1 ) α ( p 2 )... α ( p n ) = p 1, p 2... p n (81) Αν p τελεστής της ορμής και p το ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί σε ορμή p, τότε ισχύει η σχέση: p p = p p (82) Η ενέργεια εκϕράζεται από τη σχέση (77) και λόγω της (73) γίνεται: Ĥ = d 3 pe p ( α ( p) α( p) δ() ) Αν περιορίσουμε τα σωμάτια σε ένα μεγάλο κουτί τότε οι καταστάσεις της ορμής γίνονται διακριτές. Έτσι οι σχέσεις μετάθεσης γίνονται: [ α( p), α( p )] = δ p, p (83) [ α( p), α( p )] = [ α ( p), α ( p )] = (84) 16

25 και η χαμιλτονιανή: Ĥ = p E p ( α ( p) α( p) ) όπου έχουμε ως ενέργεια στη θεμελιώδη κατάσταση την άπειρη ποσότητα: E = p Για να αποϕύγουμε αυτό το πρόβλημα παίρνουμε ως σημείο αναϕοράς αυτή την ενέργεια. Ωστόσο το μόνο που μπορούμε να μετρήσουμε είναι η διαϕορά ενέργειας άρα μπορούμε να αγνοήσουμε τους σταθερούς όρους και η νέα μορϕή της χαμιλτονιανής είναι: E p 1 2 (85) Ĥ = p E p α ( p) α( p) (86) έτσι το κενό έχει ενέργεια μηδέν, δηλαδή Ĥ = p E p α ( p) α( p) = = Επίσης για να έχει ϕυσικό νόημα η χαμιλτονιανή επιλέγουμε τη γραϕή με ϕυσική διάταξη δηλαδή ο τελεστής δημιουργίας να είναι αριστερά από τον τελεστή καταστροϕής. Ορίζουμε τον τελεστή αρίθμησης N = α ( p) α( p) ο οποίος μετρά τον αριθμό των σωματιδίων που έχουν ορμή p σε μία κατάσταση. Από τις μεταθετικές σχέσεις εξάγουμε σημαντικά συμπεράσματα για τα σωματίδια. Πιο συγκεκριμένα έχουμε ότι: [ α ( p 1 ), α ( p 2 )] = (87) α ( p 1 ) α ( p 2 ) = α ( p 2 ) α ( p 1 ) (88) Έτσι με τη δράση των τελεστών δημιουργίας παρατηρούμε το εξής: Από τη σχέση (88) συμπεραίνουμε: α ( p 1 ) α ( p 2 ) = p 1, p 2 (89) α ( p 2 ) α ( p 1 ) = p 2, p 1 (9) p 1, p 2 = p 2, p 1 (91) Καταλήξαμε στο σημαντικό συμπέρασμα ότι τα σωματίδια του κβαντωμένου πεδίου Klein-Gordon είναι μποζόνια. 6.5 Πεδίο Dirac Στόχος της εξίσωσης Dirac ήταν να κατασκευαστεί μια σχετικιστική εξίσωση που να περιγράϕει το ηλεκτρόνιο και κατ επέκταση σωματίδια με σπιν 1/2 καθώς επίσης να λυθούν τα προβλήματα της εξίσωσης Klein-Gordon. Έτσι το πρώτο 17

26 βήμα στην κατασκευή της ήταν να γραϕεί μια εξίσωση γραμμική ως προς την πρώτη παράγωγο αλλά και ως προς τις χωρικές παραγώγους. Η αρχική εξίσωση ήταν: Êψ = Ĥψ Ο τελεστής i t ψ(x) = ( i α + βm)ψ(x) (92) H D = i α + βm = α p + βm (93) είναι η χαμιλτονιανή του Dirac και πρέπει να ικανοποιεί την σχετικιστική εξίσωση ενέργειας-ορμής: H 2 = ( α p + βm) 2 = p 2 + m 2 έχουμε α 2 p 2 + (αβ + βα)pm + β 2 m 2 = α 2 p 2 + {α, β}pm + β 2 m 2 = p 2 + m 2 Άρα πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις: α i α j + α j α i =, (i, j = 1, 2, 3, i j) α 2 i = β 2 = 1, (i = 1, 2, 3) α i β + βα i = Ο Dirac πρότεινε οι ποσότητες α i, β να ερμηνευθούν σαν πίνακες οι οποίοι δρούν πάνω σε μια κυματοσυνάρτηση ψ που έχει διάϕορες συνιστώσες με τη μορϕή του πίνακα στήλης. Οι πίνακες στην αναπαράσταση που θα χρησιμοποιήσουμε είναι του Pauli, δηλαδη: όπου ( ) σi α = σ i και β = ( I2 2 Η κυματοσυνάρτηση ψ λέγεται σπίνορας. όπου I 2 2 ψ = ψ 1 ψ 2 ψ 3 ψ 4 ) 18

27 και ψ = ( ψ 1ψ 2ψ 3ψ 4 ) Για ευκολία χρησιμοποιούμε τους πίνακες γ οι οποίοι έχουν τις παρακάτω ιδιότητες: γ µ = (γ, γ) = (β, β α) (γ ) 2 = 1 (γ i ) = γ i (γ i ) 2 = 1 Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση Dirac με β από αριστερά: iβ t ψ = ( iβ α + ββm)ψ (94) iγ t ψ = ( i γ + m)ψ (95) (iγ µ µ m)ψ = (96) Αντίστοιχα στο χώρο των ορμών γράϕεται: (γ µ p µ m)ψ = (97) Πολλαπλασιάζοντας από δεξιά με γ την συζυγή εξίσωση Dirac έχουμε: όπου έγινε η αντικατάσταση ψ = ψ γ. Στο χώρο των ορμών γράϕεται: i t ψ γ = ( i α γ + βγ m)ψ (98) iγ t ψ = ( iγ + m)ψ (99) i( µ ψ)γ µ + m ψ = (1) ψ(γ µ p µ m) = (11) Πολλαπλασιάζοντας από αριστερά με ψ την (92), με ψ την (99) και προσθέτοντας κατά μέλη καταλήγουμε στην εξίσωση συνέχειας µ j µ = με j µ = ψγ µ ψ το διατηρούμενο ϕερμιονικό τετραδιάνυσμα ρεύματος πιθανότητας. Το j = ψγ ψ = ψ ψ = ψ ψ ψ ψ 4 2 είναι θετική ποσότητα και έτσι λύνεται το πρόβλημα της αρνητικής πιθανότητας. Η λύση της εξίσωσης Dirac είναι επίπεδα κύματα: ψ(x) = ue ipx = ( ) ϕ e i( p x Et) (12) χ Ο u( k) είναι σπίνορας τεσσάρων συνιστωσών ενώ οι σπίνορες ϕ, χ είναι δύο συνιστωσών. 19

28 Αντικαθιστούμε την εξίσωση (12) στην (92) και καταλήγουμε: ( ) ( ) ( ) ϕ m σ p ϕ E = χ σ p m χ (13) όπου σ p = p x σ 1 + p y σ 2 + p z σ 3, δηλαδή: Eϕ = mϕ + σ pχ (14) Eχ = σ pϕ mχ (15) ( ) ( ) 1 i σ p = p 1 x + p i y + ( ) pz p σ p = x ip y p x + ip y p z Από το σύστημα των εξισώσεων βρίσκουμε ότι: ( ) 1 p 1 z (16) (17) Αντικαθιστώντας τη μία σχέση στην άλλη βρίσκουμε: χ = σ p E + m ϕ (18) ϕ = σ p E m χ (19) (E m)ϕ = σ pχ (E m)ϕ = σ p σ p E + m ϕ E = ± p 2 + m 2 Διότι ( σ p) 2 = p 2 1. Η έλλειψη κάτω ϕράγματος στην ενέργεια και οι αρνητικές ενεργειακές καταστάσεις εξακολουθούν να υπάρχουν. Η ϕυσική εξήγηση δόθηκε χρησιμοποιώντας την απαγορευτική αρχή του Pauli. Ο Dirac είχε την ιδέα ότι το κενό δεν είναι κάτι χωρίς τίποτα μέσα του, αλλά μία ''θάλασσα'' που περιέχει καταστάσεις αρνητικής ενέργειας. Αυτές είναι κατειλημένες από ένα ηλεκτρόνιο δημιουργώντας έτσι ένα άκαμπτο υπόστρωμα όπου κάθε περαιτέρω κίνηση είναι αδύνατη. Αυτό γιατί δεν θα υπάρχουν επιπλέον διαθέσιμες αρνητικές ενεργειακές καταστάσεις παρά μόνο οι θετικές ενεργειακές καταστάσεις που είναι χωρισμένες με ένα τεράστιο ενεργειακό χάσμα. Η επιϕάνεια της θάλασσας συμβολίζει την μηδενική ενέργεια. Λόγω της απαγορευτικής αρχής του Pauli που απαγορεύει να είναι δύο ηλεκτρόνια στην ίδια κατάσταση, κάθε επιπλέον ηλεκτρόνιο είναι υποχρεωμένο να καταλάβει μια κατάσταση θετικής ενέργειας. Άμεση συνέπεια είναι η ύλη να διατηρείται σταθερή εϕόσον ένα τυχαίο ηλεκτρόνιο δεν μπορεί να μπει στις αρνητικές ενεργειακές καταστάσεις (θάλασσα). Ωστόσο οι θετικές καταστάσεις δεν είναι όλες καταλειμένες και με κάποιο τρόπο σωματίδια με αρνητική ενέργεια μπορούν και μεταπηδούν στις θετικές δημιουργώντας μια οπή. Ο τρόπος για να αποσπαστεί ένα ηλεκτρόνιο αρνητικής ενέργειας 2

29 και να δημιουργηθεί μια οπή στη θάλασσα είναι η μεταβίβαση υψηλής ενέργειας όπως για παράδειγμα από ένα ϕωτόνιο γ. Το ϕωτόνιο με κάποια τιμή ενέργειας θα μπορούσε να μετακινήσει ένα ηλεκτρόνιο αρνητικής ενέργειας σε μια κατάσταση θετικής ενέργειας, έτσι το ϕωτόνιο γεννά ένα ηλεκτρόνιο θετικής ενέργειας και μία οπή στη θάλασσα. Η οπή συμβολίζει την απουσία αρνητικής ενέργειας η οποία εκδηλώνεται με κατάσταση θετικής ενέργειας καθώς επίσης και την απουσία αρνητικού ϕορτίου που εκδηλώνεται με θετικό ϕορτίο. Το πρόβλημα των αρνητικών ενεργειών αντιμετωπίστηκε από το γεγονός ότι οι αρνητικές λύσεις αντιστοιχούν σε σωμάτια τα οποία διαδίδονται πίσω στο χρόνο ή αντισωμάτια τα οποία διαδίδονται μπροστά στο χρόνο. Για τις λύσεις θετικής ενέργειας E = p 2 + m 2 > οι λύσεις είναι: με u (1),(2) = N ϕ (1),(2) = ( ϕ (1),(2) σ p E+m ϕ(1),(2) ( ) ( ) 1, 1 ενώ για τις λύσεις αρνητικής ενέργειας E = p 2 + m 2 < αντίστοιχα: με u (3),(4) = N χ (1),(2) = ) ( ) σ p E m χ(1),(2) χ (1),(2) ( ) ( ) 1, 1 (11) (111) (112) (113) Ο παράγοντας κανονικοποίησης N υπολογίζεται στη σχετικιστική ( κβαντική ) θεωρία πεδίου από τη συνθήκη 2 u u = 2 E και προκύπτει N p2 = 2E. Από (E+m) 2 τη σχέση E 2 = p 2 + m 2 καταλήγουμε ότι N = E + m αντίστοιχα για θετική και αρνητική ενέργεια. Οι τέσσερις λύσεις είναι: u 1 = N u 2 = N 1 p z E+m p x+ip y E+m 1 p x ip y E+m p z E+m (114) (115) 2 Στη μη σχετικιστική κβαντική μηχανική έχουμε κανονικοποίηση σε 1 σωματίδιο ανά μονάδα όγκου, δηλαδή ψ ψdv = 1. Αντίθετα στη σχετικιστική κβαντική μηχανική λόγω συστολής όγκου κατά γ = E m έχουμε αύξηση στην πυκνότητα των σωματιδίων, έτσι κάνουμε κανονικοποίηση σε 2E ανά μονάδα όγκου, δηλαδή ψ ψdv = 2E 21

30 v 1 = N p z E m p x +ip y E m 1 p x ip y E m p z v 2 = N E m 1 (116) (117) Έχουμε δηλαδή ένα ζεύγος σπινόρων θετικής ενέργειας (u 1, u 2 ) και ένα αρνητικής ενέργειας (u 3, u 4 ) τα οποία περιγράϕουν σωμάτια με σπιν 1/2. Συγκεκριμένα οι u 1, u 3 περιγράϕουν καταστάσεις με σπιν πάνω και οι u 2, u 4 περιγράϕουν καταστάσεις με σπιν κάτω αντίστοιχα για θετική και αρνητική ενέργεια. Ωστόσο όλα τα σωματίδια πρέπει να μεταϕέρουν θετική ενέργεια και έτσι οι λύσεις αρνητικής ενέργειας θεωρούνται λύσεις θετικής ενέργειας αντισωματιδίων. Σύμϕωνα με την εικόνα Feymann η εκπομπή/απορρόϕηση ενός αντισωματιδίου τετραορμής p µ είναι ϕυσικά ισοδύναμη με την απορρόϕηση/εκπομπή ενός σωματιδίου τετραορμής p µ, δηλαδή: Συνεπώς ψ = u (3),(4) ( E, p)e i( p)x = u (3),(4) ( E, p)e ipx (118) p x ip y v (1) (E, p) = u (4) ( E, p) = E+m p z E + m E+m 1 (119) v (2) (E, p) = u (3) ( E, p) = E + m p z E+m p x +ip y E+m 1 (12) Άρα οι σπίνορες u (1),(2) περιγράϕουν σωματίδια ενέργειας E και ορμής p και οι v (1),(2) περιγράϕουν αντισωματίδια ενέργειας E και ορμής p. 6.6 Κβάντωση πεδίου Dirac Στόχος μας είναι να κβαντώσουμε το πεδίο Dirac και πρώτο βήμα είναι να γράψουμε τη λαγκραζιανή πυκνότητα σε όρους πεδίων. Η λαγκραζιανή, από την οποία, με τη βοήθεια των εξισώσεων Euler-lagrange, παίρνουμε την εξίσωση Dirac είναι: L = ψ(iγ µ µ m)ψ (121) Στη συνέχεια υπολογίζουμε την συζυγή ορμή, η οποία είναι: π = L ψ = ι ψγ = ιψ (122) 22

31 Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε τη χαμιλτονιανή πυκνότητα: H = π (x) ψ(x) L = ιψ ψ ψ(iγ µ µ m)ψ = ι ψγ ψ ψ(iγ + ι γ m)ψ = ψ( ι γ + m)ψ Από την εξίσωση Dirac (96) βρίσκουμε ότι: iγ ψ = ( i γ + m)ψ. Συνεπώς η χαμιλτονιανή πυκνότητα απλοποιείται και γίνεται: H = ψ i ψ = ψ i ψ (123) Για να γίνει η κβάντωση προάγουμε τα πεδία σε τελεστές και απαιτούμε να ικανοποιούνται οι παρακάτω αντιμεταθετικές σχέσεις: με ψ α τετραδιάστατοι σπίνορες (α = 1, 2, 3, 4). Αναπτύσσουμε τα πεδία σε σειρά Fourier: { ψ α ( x, t), ψ β ( x, t)} = (124) { π α ( x, t), π β ( x, t)} = (125) { ψ α( x, t), ψ β ( x, t)} = (126) { ψ α ( x, t), ψ β ( x, t)} = δ (3) ( x x )δ αβ (127) { ψ α ( x, t), π β ( x, t)} = ιδ (3) ( x x )δ αβ (128) ψ( x) = ψ ( x) = 2 s=1 2 s=1 d 3 p 1 (2π) 3/2 [α p,s u p,s e i( p x Ept) + b p,s v p,se i( p x Ept) ] (129) 2E p d 3 p 1 (2π) 3/2 [α p,s u p,s e i( p x E pt) + b p,s v p,s ei( p x E pt) ] (13) 2E p Με βάση τα παραπάνω υπολογίζουμε τη χαμιλτονιανή: H = d 3 xh = ψ i ψd 3 x 2 d 3 xd 3 pd 3 p ( ) = α s,s =1 (2π) 3 p,s 2Ep 2E u p,s e i( p x E pt) + b p,s v p,s ei( p x E pt) p ( ) E p α p,su p,se i( p x E pt) b p,s v x E pt) p,s e i( p 23

32 = 2 s,s =1 d 3 xd 3 pd 3 p (2π) 3 2Ep 2E p b p,sb p,s v p,s v p,se p e ix( p p) e i(e p E p )t α p,s b p,s u p,s v p,se p e ix( p + p) e i(e p+e p)t ) + b p,s α p,sv p,s u p,se p e ix( p + p) e i(e p+e p) = = 2 s,s =1 2 s,s =1 d 3 pd 3 p 2 E p E p d 3 pd 3 p 2 E p E p ( α p,s α p,s u p,s u p,s E p eix( p p) e i(ep E p)t α p,s α p,su p,s u p,se p e i(e p E p )t δ( p p)δ ss b p,sb p,s v p,s v p,se p e i(e p E p )t δ( p p)δ ss d 3 p E (2π) 3 p (α p,s α p,s b p,s b p,s ) s H = d 3 p E (2π) 3 p (α p,s α p,s b p,s b p,s ) (131) s Στον υπολογισμό της χαμιλτονιανής οι πράξεις απλοποιήθηκαν λόγω της σχέσης ορθογωνιότητας u p,s v p,s =, λόγω κανονικοποίησης u p,s u p,s = 2E pδ ss καθώς επίσης της ιδιότητας της συνάρτησης δέλτα: δ (3) ( x x ) = d 3 p (2π) 3 e ±i p( x x ). Από την εξίσωση ενέργειας παρατηρούμε ότι δεν είναι θετικά ορισμένη και η μόνη λύση είναι να θεωρήσουμε ότι οι τελεστές α p,s, b p,s υπακούουν σε αντιμεταθετικές σχέσεις αντί για μεταθετικές. Έτσι: { α( p, s), α ( p, s )} = { b( p, s), b ( p, s )} = δ( p p )δ ss (132) Έτσι η ενέργεια έγινε θετική ποσότητα: {b p,s, b p,s } = 1 b p,sb p,s = 1 b p,s b p,s (133) {b p,s, b p,s } = (134) {b p,s, b p,s } = (135) H = d 3 p E (2π) 3 p (α p,s α p,s + b p,s b p,s) (136) s Από τις αντιμεταθετικές σχέσεις εξάγουμε σημαντικά συμπεράσματα για τα σωματίδια. Πιο συγκεκριμένα έχουμε ότι: { α ( p 1 ), α ( p 2 )} = (137) α ( p 1 ) α ( p 2 ) = α ( p 2 ) α ( p 1 ) (138) 24

33 Έτσι με τη δράση των τελεστών δημιουργίας παρατηρούμε το εξής: Από τη σχέση (138) καταλήγουμε ότι: α ( p 1 ) α ( p 2 ) = p 1, p 2 (139) α ( p 2 ) α ( p 1 ) = p 2, p 1 (14) p 1, p 2 = p 2, p 1 (141) όπου για p 1 = p 2 = p προκύπτει ότι pp =, δηλαδή η απαγορευτική αρχή του Pauli, ότι δεν υπάρχει δυνατότητα κατάληψης από δύο σωματίδια της ίδιας ενεργειακής στάθμης. Έτσι τα σωματίδια του κβαντωμένου πεδίου Dirac είναι ϕερμιόνια. Επιβάλλοντας τον εκτεταμένο μετασχηματισμό ψ ψ = e ia ψ άρα µ ψ µ ψ = e ia µ ψ η νέα λαγκραζιανή είναι: L = i(e ia ψ)γ µ ( µ e ia )ψ m(e ia ψ)(e ia ψ) = e ia e ia (i ψγ µ µ ψ mψ ψ = L παραμένει αναλλοίωτη, έτσι έχει εκτεταμένη U(1) συμμετρία. Συνεπώς από το θεώρημα της Noether υπάρχει μια διατηρούμενη ποσότητα την οποία και θα υπολογίσουμε απο τη σχέση (24). δψ = ψ ψ = Συνεπώς το διατηρούμενο ρεύμα είναι: }{{} e ia ψ ψ = (1 + ia)ψ ψ = iaψ (142) T aylor j µ = και το διατηρούμενο ϕορτίο: L ( µ ψ) iaψ L ia ( µ ψ) ψ = = a ψγ µ ψ Q = j d 3 x = a ψγ ψd 3 x = a ψ (γ ) 2 ψd 3 x = a ψ ψd 3 x = V V V V = d 3 p (α p,s α p,s b p,s b p,s) s Το διατηρούμενο ϕορτίο είναι ο αριθμός των σωματιδίων μείον τον αριθμό των αντισωματιδίων 25

34 6.7 Άμαζο ϕωτόνιο-εξισώσεις Maxwell Όπως έχουμε αναϕέρει η εξίσωση Klein-Gordon περιγράϕει βαθμωτά σωματίδια (με σπιν ) και η εξίσωση του Dirac περιγράϕει σωματίδια με σπιν 1/2. Τα σωματίδια ακτινοβολίας έχουν σπιν 1, λέγονται διανυσματικά μποζόνια και είναι ϕορείς των δυνάμεων αλληλεπίδρασης στα στοιχειώδη σωματίδια. Συγκεκριμένα το άμαζο ϕωτόνιο είναι ϕορέας της ηλεκτρομαγνητικής δύναμης, τα οχτώ άμαζα γκλουόνια ϕορείς των ισχυρών πυρηνικών δυνάμεων και τα μαζικά W ±, Z για την ασθενή. Σημείο εκκίνησης είναι οι εξισώσεις του Maxwell: B = (143) E + B t = (144) E = ρ (145) B E t = j (146) Γενικά η απόκλιση του στροβιλισμού είναι ίση με μηδέν έτσι η (143) ικανοποιείται αν θέσουμε: Αντικαθιστώντας την (147) στην (144) προκύπτει: B = A (147) ( E ) A + = }{{ t } ϕ E + A t = ϕ Στη σχετικιστική κβαντική θεωρία πεδίου χρησιμοποιούμε το τετραδιάνυσμα του δυναμικού: A µ = ( }{{} A, A) (148) ϕ και έτσι μπορούμε να εκϕράσουμε το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο με τις συνιστώσες του: E = A A t (149) B = A (15) 26

35 Ορίζουμε τον ηλεκτρομαγνητικό τανυστή του πεδίου: F µν = µ A ν ν A µ (151) Σε μορϕή πίνακα είναι: E x E y E z F µν E = x B z B y E y B z B x E z B y B x Οι εξισώσεις του Maxwell εκϕράζονται: µ F µν = j ν (152) λ F µν + µ F νλ + ν F λµ = (153) με j ν = (ρ, j) το τετραδιάνυσμα ρεύματος, επίσης λόγω αντισυμμετρικότητας του F µν δηλαδή F µν = F νµ : F µν = F νµ F µν + F νµ = µ F µν + µ F νµ = ν µ F µν + µ ν F νµ = }{{} µ ν 2 ν ( µ F µν ) = 2 ν j ν = προκύπτει η εξίσωση συνέχειας ν j ν =. Το δυναμικό A µ δεν είναι παρατηρήσιμη ποσότητα και συμπεραίνουμε ότι δεν καθορίζεται με μοναδικό τρόπο. Συνεπώς η ηλεκτρομαγνητική θεωρία σε συνάρτηση με το δυναμικό παρέχει μια ελευθερία στην επιλογή του. Αυτό εκϕράζεται από το γεγονός ότι η ηλεκτρομαγνητική θεωρία παραμένει αναλλοίωτη κάτω από τους μετασχηματισμούς βαθμίδας. Έστω λοιπόν ο μετασχηματισμός βαθμίδας: A µ A µ = A µ + µ χ (154) με χ μία συνάρτηση του χώρου και χρόνου χ = χ(x µ ). Θα δείξουμε ότι η ηλεκτρομαγνητική θεωρία παραμένει αναλλοίωτη: F µν = µ A ν ν A µ = µ (A ν + ν χ) ν (A µ + µ χ) = F µν επίσης τα ίδια ισχύουν για τα πεδία E, B. 27

36 Βαθμίδα Lorentz βαθμίδα Lorentz: Εκμεταλλεύομενοι την ελευθερία βαθμίδας, επιλέγουμε τη έτσι η εξίσωση (152) γίνεται: µ A µ = (155) µ µ A ν = j ν (156) Με την υπόθεση ότι μελετάμε τον κενό χώρο, όπου j ν =, οι εξισώσεις Maxwell γίνονται: µ µ A ν = (157) όπου σε συγκρίση με την εξίσωση Klein-Gordon (4) βλέπουμε ότι περιγράϕεται ένα άμαζο σωματίδιο m =. Παίρνουμε πάλι λύσεις επίπεδου κύματος με ορμή p µ = (E, p) άρα A µ (x) = ϵ µ (p)e ipx (158) όπου ϵ µ είναι το διάνυσμα πόλωσης και χαρακτηρίζει το σπίν του ϕωτονίου. Εισάγοντας την (158) στην (157) βρίσκουμε: µ µ A ν = µ µ ϵ ν (p)e ipx = ϵ ν (p)g µν µ ν e ipx = ϵ ν (p)g µν ( i) 2 p µ p ν = g µν p µ p ν = p µ p µ = p 2 = καταλήγουμε ότι p µ p µ = άρα E = p και m =. Το διάνυσμα της πόλωσης ϵ µ (p) έχει 4 συνιστώσες όμως δεν είναι όλες ανεξάρτητες. Από τους μετασχηματισμούς βαθμίδας μπορούμε να μειώσουμε τους βαθμούς ελευθερίας και έτσι από τη συνθήκη Lorentz βρίσκουμε: µ A µ = µ ϵ µ (p)e ipx = (, )(ϵ e iet, ϵe i p x ) = ieϵ e iet i p ϵe i p x = (E, p)(ϵ, ϵ) = p µ ϵ µ = 28

37 που περιορίζει τον αριθμό των λύσεων σε τρεις. Επιλέγουμε τον επιπλέον μετασχηματισμό βαθμίδας: με την απαίτηση: A µ A µ = A µ + µ λ (159) µ µ λ = Στη συνέχεια επιλέγουμε λ = A άρα A = και καταλήγουμε στην βαθμίδα Coulomb: A = (16) και από τη βαθμίδα Coulomb επιλέγοντας A = καταλήγουμε: (161) A = ϵi pe ipx = ϵ p = και: ϵ (p)e ipx = <=> ϵ (p) = άρα ϵ, p διάνυσμα τριών συνιστωσών. Το διάνυσμα της πόλωσης είναι κάθετο στην κατεύθυνση διάδοσης. Συνεπώς υπάρχουν δύο ανεξάρτητα διανύσματα πόλωσης ϵ κάθετα στην ορμή p και ισοδύναμα δύο ανεξάρτητες λύσεις για τη δοθείσα ορμή. Για παράδειγμα, για ορμή στον άξονα z: p = (,, p), p µ = (p,,, p) έχω δύο διανύσματα γραμμικής πόλωσης: ϵ (1) = (1,, ) ϵ (2) = (, 1, ) ϵ µ (1) ϵ µ (1) = (, 1,, ) = (,, 1, ) Η λαγκραζιανή πυκνότητα του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου που αλληλεπιδρά με την πηγή, το τετραδιάνυσμα ρεύματος j µ, είναι: L = 1 4 F µνf µν j µ A µ (162) 29

38 6.8 Μαζικό σωματίδιο Εξισώσεις Proca Στην προηγούμενη ενότητα αναϕερθήκαμε στο πεδίο που σχετίζεται με τα ϕωτόνια. Τα σωμάτια με σπιν 1 είναι ϕορείς των δυνάμεων αλληλεπίδρασης μεταξύ των σωματιδίων. Οι ηλεκτρομαγνητικές αλληλεπιδράσεις διαδίδονται από τα ϕωτόνια, οι ασθενείς από τα W ± και Z και οι ισχυρές αλληλεπιδράσεις από τα γκλουόνια. Η μελέτη των πυρηνικών αλληλεπιδράσεων όπως θα αναπτυχθεί στην επόμενη ενότητα γίνεται από δύο μαζικά μεσόνια ϕ, V µ με σπιν 1. Για να περιγράψουμε το διανυσματικό πεδίο σωματιδίων με σπιν 1 ϕτιάχνουμε τη λαγκραζιανή: L = 1 4 F µνf µν m2 A µ A µ j µ A µ (163) Όπου A µ το τετραδιάνυσμα δυναμικού διανυσματικού σωματιδίου μάζας m με σπιν 1 το οποίο αλληλεπιδρά με το τετραδιάνυσμα ρεύματος j µ. Ο τανυστής του πεδίου όπως έχουμε αναϕέρει: F µν = µ A ν ν A µ (164) Από τις εξισώσεις Euler-Lagrange βρίσκουμε τις εξισώσεις κίνησης του πεδίου: L A µ = A µ µ L ( ν A µ ) = L (165) A µ ( 1 4 F µνf µν m2 A µ A µ j µ A µ ) = A µ A µ 1 2 m2 g µν A ν m2 A µ A µ j µ g µν A ν = A µ 1 2 m2 g µν δ µν m2 A µ j µ g µν δ µν = 1 2 m2 g µν A ν m2 A µ g µν j ν = 1 2 m2 A µ m2 A µ j µ = m 2 A µ j µ Επίσης L ( ν A µ ) = L ( 1 ( ν A µ ) 4 F µνf µν + 1 ) 2 m2 A µ A µ j ν A µ = L ( 1 ) ( ν A µ ) 4 F µνf µν 3

39 Υπολογίζουμε τον όρο: ( ν A µ ) F αβf αβ = F αβ ( ν A µ ) F αβ + F αβ ( ν A µ ) F αβ = F αβ ( ν A µ ) ( αa β β A α ) + F αβ ( ν A µ ) ( α A β β A α ) = F αβ (δ ν αδ µ β δν βδ µ α) + F αβ ( ν A µ ) gακ g βλ ( κ A λ λ A κ ) = F αβ (δ ν αδ µ β δν βδ µ α) + F αβ g ακ g βλ (δ ν κδ µ λ δν λδ µ κ) = F νµ F µν + F κλ (δ ν κδ µ λ δν λδ µ κ) = F νµ F µν + F νµ F µν = 4F νµ Οι εξισώσεις κίνησης (Proca) για σωμάτια μάζας m με σπιν 1 είναι: και συναρτήσει του δυναμικού: µ F µν + m 2 A ν = j ν (166) µ F µν + m 2 A ν = j ν µ ( µ A ν ν A µ ) + m 2 A ν = j ν ν µ ( µ A ν ν A µ ) + m 2 ν A ν = ν j ν ν µ µ A ν ν µ ν A µ +m 2 ν A ν = ν j ν }{{} ν µ m 2 ν A ν = ν j ν Για την περίπτωση του κενού οι εξισώσεις κίνησης είναι: µ F µν + m 2 A ν = (167) Όμως λόγω αντισυμμετρικότητας F µν = F νµ, όπως αποδείχθηκε και στην προηγούμενη ενότητα καταλήγουμε στη συνθήκη Lorentz ν A ν = η οποία ισχύει αναγκαστικά και δεν είναι μια συνθήκη βαθμίδας. Οι εξισώσεις Proca γράϕονται συναρτήσει του δυναμικού: µ F µν + m 2 A ν = µ ( µ A ν ν A µ ) + m 2 A ν = µ µ A ν ν ( µ A µ ) + m 2 A ν = και από τη συνθήκη Lorentz καταλήγουμε µ µ A ν + m 2 A ν = Συγκρίνοντας με την εξίσωση Klein-Gordon συμπεραίνουμε ότι περιγράϕουμε 31

40 ένα μαζικό διανυσματικό σωματίδιο μάζας m. Αναζητούμε λύσεις επίπεδου κύματος: V µ = ϵ µ (p)e ipx παίρνουμε µ µ ϵ ν (p)e ipx + m 2 ϵ ν (p)e ipx = ϵ ν (p)( µ g µν ν e ipx + m 2 e ipx ) = g µν ( i) 2 p µ p ν + m 2 = p µ p µ = m 2 E 2 = p 2 + m 2 Επίσης µ V µ = µ ϵ µ (p)e ipx = ϵ µ p µ ( i)e ipx = p µ ϵ µ = Έτσι έχουμε τρία ανεξάρτητα διανύσματα πόλωσης. 32

41 7 Κβαντική Αδροδυναμική Ο στόχος μας είναι να κατασκευάσουμε ένα μοντέλο το οποίο να είναι κατάλληλο για την περιγραϕή της πυρηνικής ύλης. Λέγοντας πυρηνική ύλη αναϕερόμαστε σε ένα σύστημα αλληπιδρώντων νουκλεονίων μέσω μόνο της πυρηνικής δύναμης. Στην πυκνή πυρηνική ύλη τα σωμάτια έχουν ενέργειες της τάξης της μάζας ηρεμίας τους. Άμμεση συνέπεια είναι να προκύπτουν σχετικιστικά ϕαινόμενα τα οποία πρέπει να συμπεριληϕθούν στη θεωρία μας. Συνεπώς, σκοπός μας είναι να κατασκευάσουμε μια θεωρία πολλών σωμάτων, η οποία να στηρίζεται στις αρχές της κβαντικής μηχανικής, στο σχετικιστικό αναλλοίωτο (Lorentz), στο αναλλοίωτο ηλεκτρομαγνητικής βαθμίδας και στη μικροσκοπική αιτιότητα. Μόνο η κβαντική θεωρία πεδίου συνδυάζει όλες τις παραπάνω απαιτήσεις και χρειάζεται να ελέγξουμε σε ποιο επίπεδο θα την εϕαρμόσουμε. Μια υποψήϕια θεωρία που θα μπορούσε να περιγράψει το εν λόγω σύστημα είναι η κβαντική χρωμοδυναμική(qcd), η οποία είναι μια θεμελιώδης θεωρία της ισχυρής αλληλεπίδρασης και περιγράϕει την αλληλεπίδραση ανάμεσα στα κούρκ μέσω της ανταλλαγής γκλουονίων. Η θεωρία αυτή όμως έχει υπολογιστικές δυσκολίες διότι τα οχτώ διαϕορετικά γκλουόνια ϕέρουν χρώμα και αλληλεπιδρούν και μεταξύ τους. Στα πειράματα πυρηνικής δεν παρατηρούνται βαθμοί ελευθερίας με κουάρκ και γκλουόνια παρά μόνο αδρονικοί βαθμοί ελευθερίας. Αυτό προκύπτει απο το γεγονός ότι η δυναμική και η κινητική ενέργεια των νουκλεονίων στον πυρήνα είναι πολύ μικρότερες απο τις ενέργειες διέγερσης των κουάρκ. Έτσι παρόλο που τα νουκλεόνια αποτελούνται απο κουάρκ, στη μελέτη των πυρήνων, θεωρούμε αλληλεπιδράσεις νουκλεονίων και όχι αλληλεπιδράσεις κουαρκ. Για να παρατηρηθούν τα κουάρκ ελεύθερα πρέπει να αυξηθούν αρκετές τάξεις μεγέθους η θερμοκρασία και η πίεση έτσι ώστε να έχουμε πλάσμα κουάρκ-γκλουονίων. Τα σωματίδια που παρατηρούνται στα πειράματα πυρηνικής με ενέργειες της τάξης μερικών GeV είναι τα αδρόνια. Τα αδρόνια είναι σωμάτια με εσωτερική δομή που εκδηλώνουν ισχυρές αλληλεπιδράσεις και διαιρούνται σε δύο κατηγορίες: στα βαρυόνια και στα μεσόνια. 1) Τα βαρυόνια είναι υποατομικά σωματίδια και δημιουργούνται απο το συνδυασμό τριών κουάρκ. Είναι ϕερμιόνια και υπακούουν στη στατιστική Fermi- Dirac καθώς επίσης συμμετέχουν στις ισχυρές αλληλεπιδράσεις. Χαρακτηρίζονται από έναν κβαντικό βαρυονικό αριθμό ο οποίος διατηρείται σε όλες τις αλληλεπιδράσεις. 2) Τα μεσόνια είναι υποατομικά σωματίδια και δημιουργούνται απο ένα κουάρκ και ένα αντικουάρκ μέσω της ισχυρής αλληλεπίδρασης. Είναι μποζόνια και είναι σωματίδια μεσολαβητές ϕορείς των τεσσάρων αλληλεπιδράσεων. Μια περιγραϕή βασισμένη σε αδρονικούς βαθμούς ελευθερίας έχει τα παρακάτω πλεονεκτήματα: 1) Οι μεταβλητές που χρησιμοποιούνται στη θεωρία μας είναι οι πιο αποδοτικές για κανονικές πυκνότητες και χαμηλές θερμοκρασίες καθώς επίσης για την περιγραϕή απορρόϕησης και εκπομπής σωματιδίου, επειδή αυτοί οι βαθμοί ελευθερίας παρατηρούνται στα πειράματα. 2) Μπορούμε να εισάγουμε σταθερές σύζευξης ανάμεσα στα διαϕορετικά με- 33

42 σόνια και πεδία βαρυονίων, οι οποίες είναι άγνωστες παράμετροι και τροποποιούνται κατάλληλα ώστε να παράγουν τις εμπειρικές πυρηνικές ιδιότητες. Η πυρηνική ύλη, όπως έχουμε αναϕέρει, αποτελείται από πρωτόνια και νετρόνια τα οποία αλληλεπιδρούν μεταξύ τους μέσω της πυρηνικής δύναμης που όπως θα αναλυθεί στη συνέχεια διαδίδεται μέσω ανταλλαγής μεσονίων. Για την ισχυρή πυρηνική δύναμη το πρωτόνιο και το νετρόνιο δεν έχουν καμμία διαϕορά. Όσο έλκονται δύο πρωτόνια τόσο έλκονται δύο νετρόνια και τόσο ένα πρωτόνιο και ένα νετρόνιο. Έτσι λοιπόν όπως το ηλεκτρόνιο, το οποίο μπορεί να βρεθεί σε δύο καταστάσεις με σπίν πάνω και κάτω, και δεν έχει καμμία σημασία ως προς τις αλληλεπιδράσεις, όμοια το πρωτόνιο και το νετρόνιο μπορεί να θεωρηθεί ως δύο καταστάσεις του ίδιου σωματιδίου που ονομάζεται νουκλεόνιο. Έτσι υπάρχει ένα άλλου είδους σπιν, το ισοτοπικό σπιν I = 1 και η τρίτη προβολή I 2 3 = 1 για 2 πρωτόνια και I 3 = 1 για νετρόνια. Η πυρηνική δύναμη διατηρεί το ισοτοπικό 2 σπιν και την τρίτη προβολή. 7.1 QHD-I Η κβαντική αδροδυναμική όπως ορίζεται είναι μια σχετικιστική κβαντική θεωρία πεδίου κατάλληλη για την περιγραϕή της πυρηνικής ύλης. Δεν είναι θεμελιώδης θεωρία αλλά μια ενεργός θεωρία πεδίου επειδή τα αδρόνια δεν είναι στοιχειώδη σωμάτια. O Walecka είναι ο θεμελιωτής της περιγραϕής της πυρηνικής ύλης ο οποίος βασίστηκε στις ιδέες των Schiff και Teller. Το πρότυπο Walecka μοντελοποιεί την πυρηνική δύναμη με την ανταλλαγή ενός βαθμωτού ϕ και ενός διανυσματικού V µ μεσονίου. Το βαθμωτό μεσόνιο περιγράϕει την ισχυρή ελκτική κεντρική δύναμη ενώ το διανυσματικό μεσόνιο περιγράϕει την ισχυρή απωστική κεντρική δύναμη. Συνεπώς η αλληλεπίδραση των νουκλεονίων περιγράϕεται απο τρία πεδία: Το βαρυονικό πεδίο για τα νουκλεόνια: ) ψ = ( ψp ψ n (168) Ένα ουδέτερο βαθμωτό πεδίο ϕ συζευγμένο με τη βαθμωτή πυκνότητα. Ένα ουδέτερο διανυσματικό πεδίο V µ συζευγμένο με το διατηρούμενο βαρυονικό ρεύμα. Η επιλογή αυτή έγινε κάτω από τις παρακάτω σκεψεις: 1) Η χρήση των πεδίων και των συζεύξεων, παρέχει τις πιο ομαλές μέσες πυρηνικές αλληλεπιδράσεις με συνέπεια τη δυνατότητα περιγραϕής των ιδιοτήτων της πυρηνικής ύλης. 2) Oι μεγάλες βαθμωτές και διανυσματικές συνεισϕορές παρατηρούνται εμπειρικά στα πλάτη σκέδασης ελεύθερων νουκλεονίου-νουκλεονίου. 3) Στο μη σχετικιστικό όριο (δυναμικό Yukawa) η ανταλλαγή μεσονίων παράγει ένα ενεργό δυναμικό νουκλεονίου-νουκλεονίου της μορϕής: V eff = g2 v e m vr 4π r g2 s e m sr 4π r (169) 34

43 το οποίο με κατάλληλη επιλογή των σταθερών σύζευξης g s, g v παράγει μια ισχυρή άπωση μικρής εμβέλειας και μια έλξη μέσης εμβέλειας. Στην παραπάνω σχέση m v, m s είναι οι μάζες των δύο μεσονίων. Η λανγκραζιανή πυκνότητα είναι μια ποσότητα βαθμωτή κατά Lorentz, δηλαδή αναλλοίωτη κάτω απο μετασχηματισμό Lorentz, με διάσταση [μήκους] 4 και σε ϕυσικές μονάδες (h=c=1) είναι: L = ψ[γ µ (ι µ g v V µ ) (M g s ϕ)]ψ ( µϕ µ ϕ m 2 sϕ 2 ) 1 3! κϕ3 1 4! λϕ4 1 4 F µνf µν m2 vv µ V µ + δl Όπου: ψ, ψ αναπαριστά το βαρυονικό και συζυγές βαρυονικό πεδίο αντίστοιχα V µ αναπαριστά το διανυσματικό μεσονικό πεδίο ϕ αναπαριστά το βαθμωτό μεσονικό πεδίο F µν = µ V ν ν V µ αντισυμμετρικός τανυστής πεδίου g s, g v είναι οι βαθμωτές και διανυσματικές σταθερές σύζευξης M, m s, m v είναι η μάζα του νουκλεονίου και οι μεσονικές μάζες αντίστοιχα γ µ είναι ο σπίνορας του Dirac δl Η συνεισϕορά του αθροίσματος σε όλες τις αρνητικές ενεργειακές καταστάσεις με αλλαγμένη μάζα M περιλαμβάνει ολοκληρώματα που αποκλίνουν τα οποία γίνονται πεπερασμένα με την εισαγωγή αντιόρων. Ακόμα χρησιμοποιείται για την επιβολή συνθηκών επανακανονικοποίησης. Οι όροι ϕ 3, ϕ 4 είναι βαθμωτές ιδιοαλληλεπιδράσεις και οι όροι δl χρησιμοποιούνται για επανακανονικοποίηση. Επειδή η ανταλλαγή πιονίου δεν συνεισϕέρει στο δυναμικό, στη θεωρία μέσου πεδίου αλλά μόνο στους όρους ανταλλαγής (Διαγράμματα Focks) παραλείπεται στην παραπάνω λαγκρανζιανή, παρόλο που παίζει σημαντικό ρόλο στις αλληλεπιδράσεις στην σκέδαση νουκλεονίου-νουκλεονίου. Σε μια ενεργό θεωρία όπως την QHD η στρατηγική είναι ότι χειριζόμαστε τις συνεισϕορές, οι οποίες είναι πέρα απο το σχέδιο προσέγγισης του μοντέλου, όχι αναλυτικά αλλά απορροϕώνται με κάποιο τρόπο μέσω των σταθερών σύζευξης. Να τονίσουμε ότι οι g s, g v, M, m s, m v είναι ϕαινομενολογικές σταθερές και μπορούν να καθοριστούν απο πειραματικά αποτελέσματα. Το βαθμωτό μεσόνιο συζευγνύεται με την πυκνότητα του βαθμωτού βαρυονίου ψψ και το διανυσματικό μεσόνιο με το τετραδιάνυσμα ρεύματος των βαρυονίων ψγ µ ψ. Η Λαγκρανζιανή της αλληλεπίδρασης γράϕεται: L int = g v ψγµ ψv µ + g s ψψϕ(x) (17) Τα πρόσημα επιλέχθηκαν με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε οι μέσες τιμές να είναι θετικές ποσότητες. Ο πρώτος όρος εκϕράζει την απωστική δύναμη και ο δεύτερος την ελκτική δύναμη. Εξετάζουμε το πιο απλό μοντέλο το οποίο είναι για κ=λ= στην παραπάνω λαγκρανζιανή. L = ψ[γ µ (ι µ g v V µ ) (M g s ϕ)]ψ ( µϕ µ ϕ m 2 sϕ 2 ) 1 4 F µνf µν m2 vv µ V µ (171) 35

44 Οι εξισώσεις κίνησης για τα τρία πεδία ϕ, ψ, V υπολογίζονται απο τις εξισώσεις Euler-Lagrange. Συγκεκριμένα για το βαθμωτό πεδίο ϕ είναι: ( ) L µ = L (172) ( µ ϕ) ϕ Το δεξί μέλος είναι: L ϕ = = ϕ ( ψ[γ µ (ι µ g v V µ ) (M g s ϕ)]ψ ( µϕ µ ϕ m 2 sϕ 2 ) 1 4 F µνf µν m2 vv µ V µ ) = ψg s ψ m 2 sϕ Στη συνέχεια υπολογίζουμε τον όρο ( ) L ν ( µ ϕ) Για ευκολία αρχίζουμε από τον όρο της παρένθεσης L ( µ ϕ) = = ( µ ϕ) ( ψ[γ µ (ι µ g v V µ ) (M g s ψ)]ψ ( µϕ µ ϕ m 2 sϕ 2 ) 1 4 F µνf µν m2 vv µ V µ ) (173) = 1 2 µ ϕ µϕ µ ϕ (gµν ν ϕ) = 1 2 µ ϕ µϕg µν δ µν = 1 2 µ ϕ gµν (δ µν µ ϕ) = 1 2 µ ϕ gµν ν ϕ = 1 2 µ ϕ µ ϕ = µ ϕ Καταλήγουμε στην εξίσωση: ( µ µ + m 2 s)ϕ = g s ψψ (174) Η πρώτη εξίσωση είναι η KG του βαθμωτού πεδίου με όρο πηγής τη βαθμωτή βαρυονική πυκνότητα: Οι εξισώσεις Euler-Lagrange για ϕ a (x) = ψ + είναι: ( ) L µ ( µ ψ + ) 36 = L ψ + (175)

45 Το δεξί μέλος υπολογίζεται ως εξής: ( ψ[γ ψ + µ (ι µ g v V µ ) (M g s ϕ)]ψ ( µϕ µ ϕ m 2 sϕ 2 ) 1 4 F µνf µν + 1 ) 2 m2 vv µ V µ = γ [γ µ (ι µ g v V µ ) (M g s ϕ)]ψ όπου έχουμε κάνει την αντικατάσταση ψ = ψ + γ Το αριστερό μέλος είναι: L ( µ ψ + ) = (176) Καταλήγουμε λοιπόν στη δεύτερη εξίσωση κίνησης: [γ µ (ι µ g v V µ ) (M g s ϕ)]ψ = (177) η οποία είναι μια τροποποιημένη εξίσωση Dirac για το βαρυονικό πεδίο με τροποποιημένη μάζα εξαιτίας της παρουσίας του βαθμωτού πεδίου. Οι εξισώσεις Euler-Lagrange για ϕ a (x) = V µ είναι: Το δεξί μέλος είναι: ( ) L ν ( ν V µ ) = L V µ (178) L = V µ = ( ψ[γ µ (ι µ g v V µ ) (M g s ψ)]ψ + 12 V ( µϕ µ ϕ m 2sϕ 2 ) 14 F µνf µν + 12 ) m2vv µ V µ µ = ( V ψγ µ g v V µ ψ 14 F µνf µν + 12 ) m2vv µ V µ µ = ψγ µ g v ψ ( 1 V µ 4 F µνf µν ) + m2 v (V µ V µ ) 2 V µ = g v ψγµ ψ + m2 v 2 V µ + m2 v 2 V µ V µ V µ = g v ψγµ ψ + m2 v 2 V µ + m2 v 2 V µ g µν V ν V µ = g v ψγµ ψ + m2 v 2 V µ + m2 v 2 V µδ µν g µν = g v ψγµ ψ + m2 v 2 V µ + m2 v 2 gµν V ν = g v ψγµ ψ + m2 v 2 V µ + m2 v 2 V µ = g v ψγµ ψ + m 2 vv µ 37

46 Ο όρος της παρένθεσης είναι: L ( ν V µ ) = = ( ν V µ ) ( ψ[γ µ (ι µ g v V µ ) (M g s ψ)]ψ ( µϕ µ ϕ m 2 sϕ 2 ) 1 4 F µνf µν m2 vv µ V µ ) = ( + 1 ) ( µ V µ ) 4 F µνf µν + Ο ηλεκτρομαγνητικός τανυστής ορίζεται ως εξής: F µν = µ V ν ν V µ ( ν V µ ) F αβf αβ = F αβ ( ν V µ ) F αβ + F αβ ( ν V µ ) F αβ = F αβ ( ν V µ ) ( αv β β V α ) + F αβ ( ν V µ ) ( α V β β V α ) = F αβ (δ ν αδ µ β δν βδ µ α) + F αβ ( ν V µ ) gακ g βλ ( κ V λ λ V κ ) = F αβ (δ ν αδ µ β δν βδ µ α) + F αβ g ακ g βλ (δ ν κδ µ λ δν λδ µ κ) = F νµ F µν + F κλ (δ ν κδ µ λ δν λδ µ κ) = F νµ F µν + F νµ F µν = 4F νµ Καταλήγουμε στην εξίσωση: ν F νµ + m 2 vv µ = g v ψγµ ψ (179) Η παραπάνω εξίσωση είναι η Proca και περιγράϕει το διανυσματικό πεδίο έχοντας σαν όρο πηγής τη σύζευξη με διατηρούμενο βαρυονικό ρεύμα. Από τις εξισώσεις Euler-Lagrange λοιπόν έχουμε καταλήξει στις παρακάτω εξισώσεις κίνησης των πεδίων: ( µ µ + m 2 s)ϕ = g s ψψ (18) ν F νµ + m 2 vv µ = g v ψγµ ψ (181) [γ µ (ι µ g v V µ ) (M g s ϕ)]ψ = (182) Με κβάντωση οι παραπάνω εξισώσεις κίνησης γίνονται μη γραμμικές και συζευγμένες μεταξύ τους με αποτέλεσμα η ακριβής λύση να είναι πολύπλοκη. Συγκεκριμένα περιγράϕουν μεσόνια και βαρυόνια τα οποία δεν είναι στοιχειώδη σωμάτια 38

47 αλλα αντικείμενα με δομή. Οι σταθερές σύζευξης των εξισώσεων κίνησης που προβλέπει η QHD αναμένεται να είναι πολύ μεγάλες και έτσι οι προσεγγιστικές λύσεις με θεωρία διαταραχών δεν είναι χρήσιμες διότι οι ανώτερης τάξης όροι αποκλίνουν. Η λύση δίνεται μέσω της σχετικιστικής θεωρίας μέσου πεδίου(relativistic Mean-Field Approximation). 7.2 Σχετικιστική θεωρία μέσου πεδίου Στη σχετικιστική θεωρία μέσου πεδίου οι τελεστές των μεσονικών πεδίων αντικαθιστούνται με τα κλασσικά πεδία και συγκεκριμένα απο τις μέσες τιμές της βασικής κατάστασης με τον ακόλουθο τρόπο: ϕ Φ ϕ Φ = ϕ = ϕ (183) V µ Φ V µ Φ = V µ = δ µ V (184) Αυτο δικαιολογείται με το ακόλουθο σκεπτικό: θεωρούμε ένα κουτί όγκου V όπου το γεμίζουμε ομοιόμορϕα με Β βαρυόνια σε θερμοκρασία T =. Ο όγκος είναι γνωστός και άρα και η πυκνότητα. Αν αρχίσουμε να συρρικνώνουμε το κουτί τότε η βαρυονική πυκνότητα θα μεγαλώνει και οι όροι πηγής του δεξιού μέλους των εξισώσεων κίνησης των μεσονικών πεδίων θα γίνονται πολύ μεγάλοι. Με αυτό τον τρόπο οι τελεστές των μεσονίων και οι όροι πηγής μπορούν προσεγγιστικά να αντικατασταθούν με τη μέση τιμή της θεμελιώδους κατάστασης αντί να υπολογίζονται οι τελεστές σε κάθε χωροχρονικό σημείο του κουτιού. Ακόμα λόγω της μηδενικής θερμοκρασίας (Τ=) του συστήματος συμπεραίνουμε ότι αυτό βρίσκεται στη θεμελιώδη κατάσταση Φ που μπορεί να οριστεί μέσω του κυματοδιανύσματος Fermi (ορμή Fermi) k F. Τα βαρυόνια, τα οποία όπως έχουμε αναϕέρει είναι ϕερμιόνια, καταλαμβάνουν τα ενεργειακά επίπεδα μεχρι τη μέγιστη ενέργεια, δηλαδή την ενέργεια Fermi, και το k F ορίζει την ενέργεια της κατάστασης που έχει συμπληρωμένες όλες τις χαμηλότερες καταστάσεις ορμής θετικής ενέργειας. Σε ένα στατικό σύστημα η βαρυονική ροή ψγ µ ψ είναι μηδέν διότι δεν έχουμε κίνηση. Συνεπώς με αυτές τις συνθήκες σε ένα ομοιόμορϕο και στατικό σύστημα τα μεσονικά πεδία ϕ, V είναι ανεξάρτητα του χώρου και χρόνου και έτσι μπορούμε να αγνοήσουμε τις παραγώγους. Επειδή το βαρυονικό πεδίο προκαλεί λύσεις αρνητικής ενέργειας οι μέσες τιμές πρεπει να είναι σε ϕυσική διάταξη 3 ώστε η συνεισϕορά ψ(x)ψ(x) Φ : ψ(x) ψ(x) : Φ = ψψ (185) ψ(x)γ µ ψ(x) Φ : ψ(x)γ µ ψ(x) : Φ = ψγ ψ = ψ ψ (186) των καταστάσεων αρνητικής ενέργειας να μην λαμβάνεται υπόψη. Αυτή είναι η προσέγγιση ''χωρίς θάλασσα'' (no-sea) για την τροποποιημένη εξίσωση Dirac. 3 ϕυσική διάταξη/normal order: Στην κβαντική θεωρία πεδίου γράϕουμε τις εκϕράσεις με τρόπο ώστε οι τελεστές δημιουργίας να είναι αριστερά από τους τελεστές καταστροϕής, το δηλώνουμε :ψ: και είναι: : α( k) α ( k) := α ( k) α( k) 39

48 Έτσι οι εξισώσεις των πεδίων με την παραπάνω απλοποίηση παίρνουν τη μορϕή: m 2 sϕ = g s ψψ (187) m 2 vv = g v ψ ψ (188) [ιγ µ µ g v γ V (M g s ϕ )]ψ = (189) διότι οι χωρικές συνιστώσες V i μηδενίζονται λόγω μηδενισμού της βαρυονικής ροής ψγ i ψ: m 2 vv i = g v ψγ i ψ = (19) Όπου ρ s = ψψ είναι η βαθμωτή πυκνότητα και ρb = ψ ψ η βαρυονική πυκνότητα. Συνεπώς η Λαγκρανζιανή πυκνότητα της σχετικιστικής θεωρίας μέσου πεδίου απλοποιείται σημαντικά και παίρνει τη μορϕή: L RMF = ψ[ιγ µ µ g v γ V (M g s ϕ )]ψ 1 2 m2 sϕ m2 vv 2 (191) 7.3 Τανυστής ενέργειας-ορμής Ο τανυστής ενέργειας ορμής T αβ περιγράϕει τις εσωτερικές ιδιότητες της κατανομής ενέργειας-μάζας (δηλαδή της ύλης) και στο πλαίσιο της γενικής σχετικότητας είναι πηγή καμπύλωσης του χωρόχρονου. Οι συνιστώσες του τανυστή ενέργειας ορμής έχουν διαϕορετική σημασία και μπορούν να αναπαρασταθούν σε έναν πίνακα. Γενικά συμβολίζει την ροή της α συνιστώσας ορμής δια μέσου της επιϕάνειας που καθορίζεται από την x b. Έτσι αν α = t μιλάμε για ροή ενέργειας διά μέσου της επιϕάνειας. Περιγράϕουμε τους παρακάτω όρους: T tt = πυκνότητα μάζας-ενέργειας. T ti = T it = είναι ίδια λόγω αντισυμμετρικότητας και συμβολίζει την πυκνότητα ροής μάζας-ενέργειας ή πυκνότητα ορμής δια μέσου της x i επιϕάνειας. T ij με i, j = 1, 2, 3 = ροή της i ορμής δια μέσου της j επιϕάνειας. Ο τανυστής ενέργειας-ορμής για ένα ιδανικό ρευστό που κινείται με ταχύτητα u είναι: T µν = (ϵ + P )u µ u ν P g µν (192) όπου: ϵ είναι η πυκνότητα ενέργειας. P είναι η πίεση. u µ είναι τετραδιάνυσμα ταχύτητας ενός υγρού. Απο το θεώρημα της Noether γνωρίζουμε ότι αν η λαγκραζιανή είναι αμετάβλητη κάτω από ένα συνεχή μετασχηματισμό, διατηρείται ο τανυστής ενέργειας ορμής που είναι: T µν = g µν L + ν L q j ( µ q j ) (193) 4

49 Η μέση τιμή της θεμελιώδους κατάστασης είναι: T µν = g µν L + ν L q j = (ϵ + P )u µ u ν P g µν (194) ( µ q j ) Ενώ αν το ιδανικό ρευστό δεν κινείται τότε η ενέργεια και πίεση είναι αντίστοιχα: ϵ = T (195) P = 1 T ii 3 (196) Έτσι ο τανυστής ενέργειας ορμής για q j = ψ είναι: T µν RMF = g µν L RMF + ν ψ L RMF ( µ ψ) (197) T µν RMF = ι ψγ µ ν ψ g µν ( 1 2 m2 sϕ m2 vv 2 ) (198) Από τις εξισώσεις πεδίου προκύπτει ότι ο τανυστής ενέργειας ορμής διατηρείται: Η πυκνότητα ενέργειας είναι: µ T µν = ν T µν = (199) ϵ = T = ι ψγ ψ g ( 1 2 m2 sϕ m2 vv 2 ) = ι ψγ ψ m2 sϕ m2 vv 2 δηλαδή ϵ = ψ ι ψ m2 sϕ m2 vv 2 (2) και η πίεση: P = 1 3 = 1 3 T ii ι ψγ i i ψ g ii ( 1 2 m2 sϕ m2 vv 2 ) = 1 3 = 1 3 ι ψγ i i ψ 1 2 m2 sϕ m2 vv 2 ψ γ γ i ( ι i )ψ 1 2 m2 sϕ m2 vv 2 δηλαδή P = 1 3 ψ α i ( ι i )ψ 1 2 m2 sϕ m2 vv 2 (21) 41

50 7.4 Υπολογισμός μέσων τιμών Για τον υπολογισμό των παραπάνω εξισώσεων ενέργειας και πίεσης πρέπει να υπολογίσουμε τις μέσες τιμές ψψ, ψ ψ, ψ ι ψ, ψγ i i ψ. Όπως παρατηρούμε πρέπει να βρούμε μια αναπαράσταση του τελεστή του βαρυονικού πεδίου ψ. Από την τροποποιημένη εξίσωση Dirac για το βαρυονικό πεδίο: [ιγ µ µ g v γ V (M g s ϕ )]ψ = [ιγ + ιγ i i g v γ V (M g s ϕ )]ψ = γ [ιγ + ιγ α i i g v γ V (M g s ϕ )]ψ = [ι + ια i i g v V γ (M g s ϕ )]ψ = ι ψ = ( ι α + g v V + βm )ψ ι ψ = ( ι α + g v V + βm )ψ Καταλήγουμε ι ψ = ĤDψ (22) Όπου εξαιτίας του βαθμωτού πεδίου ϕ έχουμε την μειωμένη μάζα νουκλενίου που λέγεται ενεργός μάζα: M = M g s ϕ (23) Η νέα χαμιλτονιανή του Dirac είναι: επίσης σε μορϕή πίνακα: όπου και Ĥ D = ι α + g v V + βm = α p + g v V + βm (24) Ĥ D = ( ) ( ) ( ) σi k gv V + M + σ i k g v V M α = β = ( ) σi σ i ( ) I I Όπως παρατηρούμε η χαμιλτονιανή μετατίθεται με τον τελεστή της ορμής, συνεπώς τα δύο μεγέθη μπορούν να μετρηθούν ταυτόχρονα με απόλυτη ακρίβεια και έχουν κοινό σύνολο ιδιοσυναρτήσεων. Χρησιμοποιούμε το ϕυσικό σύστημα μονάδων = 1 έτσι p = k = k η ορμή είναι ίση με το k. Έτσι τα επίπεδα κύματα πρέπει να είναι ιδιοσυναρτήσεις της ĤD. Οι λύσεις είναι της μορϕής: ψ( x, t) = u( k)e i( k x e( k)t) (25) 42

51 Ο u( k) είναι σπίνορας τεσσάρων συνιστωσών και οι σπίνορες ϕ, χ είναι δύο συνιστωσών ( ) u( ϕ k) = χ Η εισαγωγή του στη σχέση (22) μας δίνει: ι ψ = ĤDψ ι t (u( k)e i( k x ϵ( k)t) ) = ( α k + g v V + βm )u( k)e i( k x ϵ( k,s)t) ϵu( k) = ( α k + g v V + βm )u( k) Με την αντικατάσταση των πινάκων Pauli και του σπίνορα u( k) καταλήγουμε: ( ) ( ϵϕ gv V = + βm ) ( ) σ i k ϕ ϵχ σ i k gv V βm χ (26) Από το σύστημα των εξισώσεων βρίσκουμε ότι: ϵϕ = (g v V + M )ϕ + σ i kχ (27) ϵχ = (g v V M )χ + σ i kϕ (28) χ = ϕ = σ i k ϵ g v V + M ϕ (29) σ i k ϵ g v V M χ (21) Αντικαθιστώντας τη μία σχέση στην άλλη καταλήγουμε ότι: ϵχ = (g v V M )χ + σ i kϕ (ϵ g v V + M )χ = σ i k σ i k ϵ g v V M χ [(ϵ g v V ) 2 (M ) 2 ]χ = k 2 χ (ϵ g v V ) 2 = (M ) 2 + k 2 Δηλαδή οι ιδιοτιμές ενέργειας είναι: όπου ϵ ± ( k) = g v V ± E ( k) = (M ) 2 + k 2 = g v V ± E ( k) (211) (M ) 2 + k 2 (212) 43

52 και το ± δηλώνει σωμάτια και αντισωμάτια. Έχουμε λύσεις αρνητικής και θετικής ενέργειας οι οποίες είναι συμμετρικές γύρω από το g v V. Σε αντιστοιχία με την εξίσωση Dirac ξέρουμε ότι οι δύο σπίνορες θα είναι: όπου και ( u (1),(2) ( ϕ (1),(2) ) k) = N σ i k ϵ g vv ϕ (1),(2) +M ϕ (1) ( k) = ϕ (2) ( k) = Για λύσεις αρνητικής ενέργειας βρίσκουμε: όπου και u (3),(4) ( k) = N χ (1) ( k) = χ (2) ( k) = ( ) 1 ( ) 1 ( σi ) k ϵ g v V χ (1),(2) M χ (1),(2) ( ) 1 ( ) 1 (213) (214) (215) (216) (217) (218) Έχουμε λοιπόν δύο λύσεις θετικής u (1) (k), u (2) (k) και δύο αρνητικής ενέργειας u (3) (k), u (4) (k) της εξίσωσης Dirac. Επειδή έχουμε δύο λύσεις για σωματίδια και αντισωματίδια συμπεραίνουμε ότι έχουμε εκϕυλισμό τάξης δύο. Έτσι θα υπάρχει ένα άλλο μέγεθος, του οποίου ο τελεστής θα μετατίθεται 4 με τη χαμιλτονιανή του Dirac και με την ορμή, έτσι οι ιδιοτιμές του θα αποτελούν έναν κβαντικό αριθμό που θα διακρίνει τις δύο λύσεις. Ο κβαντικός αριθμός θα σχετίζεται με το σπίν. Έτσι πριν την κβάντωση του βαρυονικού πεδίου εισάγουμε νέο συμβολισμό για τους σπίνορες: u 1 ( k) = w( k, +s) u 2 ( k) = w( k, s) u 3 ( k) = v( k, s) u 4 ( k) = v( k, +s) Οι νέοι σπίνορες θα ικανοποιούν σχέσεις ορθογωνιότητας και πληρότητας καθώς επίσης τη συνθήκη κανονικοποίησης w ( k, s)w( k, s ) = v ( k, s)v( k, s ) = δ ss (219) 4 Αν [Â, B] = Â B BÂ = τότε τα μεγέθη μετατίθενται και λέγονται συμβιβαστά, μπορούν να μετρηθούν ταυτόχρονα, έχουν κοινή βάση ιδιοκαταστάσεων. Ακόμα αν μετατίθεται με τη χαμιλτονιανή λέγεται διατηρήσιμο. 44

53 w( k, s)w( k, s ) = v( k, s)v( k, s ) = M (M ) 2 + k 2 δ ss (22) Έτσι η σταθερά κανονικοποίησης είναι: N = Η τελική μορϕή των σπινόρων είναι: και σε μη συνεκτική μορϕή είναι: ϵ gv V ± M 2(ϵ g v V ) ( w( ϵ gv V + M k, s) = ϕ (1),(2) ) σ 2(ϵ g v V ) k ϵ g v V ϕ (1),(2) +M ( v( ϵ gv V M k, s) = σ ) k ϵ g vv χ (1),(2) M 2(ϵ g v V ) χ (1),(2) ϵ gv V + M w k,1 = 2(ϵ g v V ) ϵ gv V + M w k,2 = 2(ϵ g v V ) ϵ gv V M v k,1 = 2(ϵ g v V ) ϵ gv V M v k,2 = 2(ϵ g v V ) 1 k z ϵ g v V +M k x +ik y ϵ g v V +M 1 k x ik y ϵ g v V +M k z ϵ g v V +M k z ϵ g v V M k x +ik y ϵ g vv M 1 k x ik y ϵ g vv M k z ϵ g v V M 1 Αναπτύσσουμε τα πεδία σε σειρά Fourier ˆψ(x, t) = d 3 k (ˆb( k, s)w( k, s)e ι( k x ϵ + ( k)t) + ˆd s (2π) ( k, s)v( k, s)e ι( k x+ϵ ( k)t)) 3/2 και η συζυγής μορϕή: ˆψ (x, t) = s d 3 ( k ˆb ( (2π) k, s)w ( k, s)ϵ ι( k x ϵ + ( k)t) + ˆd( k, s)v ( k, s)e ι( k x+ϵ ( k)t)) 3/2 (221) (222) (223) (224) (225) (226) (227) (228) (229) Οι τελεστές ˆb( k, s) καταστρέϕουν σωματίδια ενώ οι ˆb ( k, s) δημιουργούν σωματίδια. Αντίστοιχα οι ˆd( k, s) καταστρέϕουν αντισωματίδια ενώ οι ˆd ( k, s) δημιουργούν 45

54 αντισωματίδια. Επειδή μελετάμε ένα ομοιόμορϕο στατικό σύστημα σε μηδενική θερμοκρασία η θεμελιώδη κατάσταση δεν είναι το κενό. Ως θεμελιώδη κατάσταση θεωρούμε την κατάσταση Φ η οποία είναι γεμάτη με σωματίδια και καθόλου αντισωματίδια. Όπως έχει αναϕερθεί για μηδενική θερμοκρασία η ανώτατη κατειλημένη στάθμη είναι η ενέργεια Fermi 5 η οποία αντιστοιχεί στον κυματάριθμο Fermi k f. Οι υπόλοιπες καταστάσεις θετικής ενέργειας με κυματάριθμο μικρότερο του k f είναι επίσης γεμάτες. Έτσι η θεμελιώδη κατάσταση Φ στην προσέγγιση χωρίς θάλασσα έχει τις παρακάτω ιδιότητες: ˆd( k, s) Φ =, k ˆb( k, s) Φ =, k > kf ˆb ( k, s) Φ =, k < k f Για να υπολογίσουμε τις απαιτούμενες μέσες τιμές για τον υπολογισμό ενέργειας και πίεσης αντικαθιστούμε τον βαρυονικό τελεστή με το ανάπτυγμα του και εκμεταλλευόμαστε τις ιδιότητες της ϕυσικής διάταξης και της θεμελιώδης κατάστασης. ψ ψ = Φ ψ ψ Φ = = 1 (2π) ss 3 d 3 k d 3 k ( Φ ˆb ( k, s)ˆb( k, s ) Φ w ( k, s)w( k, s )e ι( k k) x e ι(ϵ(+) ( k) ϵ (+) ( k ))t + Φ ˆb ( k, s) ˆd ( k, s ) Φ w ( k, s)v( k, s )e ι( k + k) x e ι(ϵ(+) ( k) ϵ (+) ( k ))t + Φ ˆd( k, s)ˆb( k, s ) Φ v ( k, s)w( k, s )e ι( k + k) x e ι(ϵ(+) ( k ) ϵ (+) ( k))t Φ ˆd ( k, s ) ˆd( k, s) Φ v ( k, s)v( k, s )e ι( k k) x e ι(ϵ(+) ( k ) ϵ (+) ( k))t Πρέπει να υπολογίσουμε τους παρακάτω όρους: Φ ˆb ( k, s)ˆb( k, s ) Φ (23) Φ ˆb ( k, s) ˆd ( k, s ) Φ (231) Φ ˆd( k, s)ˆb( k, s ) Φ (232) Φ ˆd ( k, s ) ˆd( k, s) Φ (233) Παρατηρούμε ότι ο τελευταίος όρος είναι μηδενικός διότι δρα ο τελεστής καταστροϕής του αντισωματιδίου ˆd( k, s) πάνω στη θεμελιώδη κατάσταση Φ. Στη θεμελιώδη κατάσταση όλες οι ενεργειακές καταστάσεις κάτω από την ενέργεια Fermi είναι κατειλημμένες απο σωματίδια. Όταν δράσει ο τελεστής καταστροϕής ˆb ( k, s ) πάνω στη κατάσταση Φ τότε καταστρέϕεται ένα σωματίδιο με ορμή k και σπιν s. Από την άλλη μεριά όταν ο τελεστής ˆb ( k, s) δράσει στην ίδια κατάσταση δημιουργεί ένα σωματίδιο με ορμή k και σπιν s. Δηλαδή 5 Παράρτημα Φ b ( k, s)ˆb( k, s ) Φ = δ 3 ( k k )δ ss, k, k < k f (234) 46

55 Οι όροι Φ ˆb ( k, s) ˆd ( k, s ) Φ, Φ ˆd( k, s)ˆb( k, s ) Φ μηδενίζονται λόγω εσωτερικού γινομένου. Άρα ψ ψ = Φ ψ ψ Φ = 1 (2π) ss 3 = 1 (2π) ss 3 = s = s 1 (2π) 3 1 (2π) 3 kf kf = 1 kf s (2π) 3 = γ kf s (2π) 3 = γ 6π 2 k3 f Δηλαδή d 3 kd 3 k Φ ˆb ( k, s)ˆb( k, s ) Φ w ( k, s)w( k, s )e ι( k k) x e ι(ϵ(+) ( k) ϵ (+) ( k ))t +.. d 3 kd 3 k δ 3 ( k k )δ ss w ( k, s)w( k, s )ϵ + ( k)e ι( k k) x e ι(ϵ(+) ( k) ϵ (+) ( k ))t + d 3 kw ( k, s)w( k, s) 1 1 d 3 k s }{{} γ d 3 kγ 4πk 2 dk ρ B = γ 6π 2 k3 f (235) Η παραπάνω ποσότητα είναι η πυκνότητα των βαρυονίων η οποία όπως έχουμε αναϕέρει σε προηγούμενο κεϕάλαιο από το θεώρημα της Noether είναι το διατηρούμενο ρεύμα j = ψγ ψ = ψ ψ όταν k = k f. Με γ συμβολίζεται ο νουκλεονικός εκϕυλισμός λόγω spin μιας κατάστασης. Αντίστοιχα για τον υπολογισμό της βαθμωτής πυκνότητας υπολογίζουμε τη μέση τιμή ψψ ψψ = Φ ψψ Φ = 1 (2π) ss 3 d 3 kd 3 k ( Φ ˆb ( k, s)ˆb( k, s ) Φ w( k, s)w( k, s )e ι( k k) x e ι(ϵ(+) ( k) ϵ (+) ( k ))t + Φ ˆb ( k, s) ˆd ( k, s ) Φ w( k, s)v( k, s )e ι( k + k) x e ι(ϵ(+) ( k) ϵ ( ) ( k ))t + Φ ˆd( k, s)ˆb( k, s ) Φ v( k, s)w( k, s )e ι( k + k) x e ι(ϵ(+) ( k ) ϵ ( ) ( k))t Φ ˆd ( k, s ) ˆd( k, s) Φ v( k, s)v( k ), s )e ι( k k) x e ι(ϵ( ) ( k ) ϵ ( ) ( k))t = s = γ 2π 2 1 d 3 k w( (2π) k, s)w( k, s) 3 kf k 2 M dk k2 + M 2 47

56 Άρα η βαθμωτή πυκνότητα με χρήση του ολοκληρώματος 6 : ρ s = γ kf 2π 2 = γ kf (2π) 3 = γ kf (2π) 3 = γ 2π [km 2 = γ 2π 2 k fm k 2 M dk k2 + M 2 dkkm k k2 + M 2 dkkm ( k 2 + M 2 ) kf k 2 + M 2 ] k f γ 2π 2 kf 2 + M 2 M γ ([ k 2π 2 2 dkm ( k 2 + M 2 ) k 2 + M 2 + M 2 2 ln ( k + )] kf ) k 2 + M 2 Έτσι ρ s = γ ( k 4π 2 f M ( kf 2 + M k f + k 2 M 3 f 2 ln + M 2 M )) (236) Παρατηρούμε ότι η βαθμωτή πυκνότητα είναι μικρότερη από τη βαρυονική πυκνότητα εξαιτίας του παράγοντα k. Συνεπώς η συνεισϕορά των κινούμενων 2 +M 2 M βαρυονίων στο βαθμωτό πεδίο είναι σημαντικά μειωμένη. Από την εξίσωση (187) βρίσκουμε το ϕ : m 2 sϕ = g s ψψ Στη συνέχεια από την εξίσωση (188) βρίσκουμε το V : (237) m 2 sϕ = g s ρ s (238) ϕ = g s ρ m 2 s (239) s m 2 vv = g v ψ ψ = g v ρ B (24) V = g v ρ m 2 B (241) v Συνεπώς η πυκνότητα ενέργειας του συστήματος από τη σχέση (2) είναι: ϵ = ψ ι ψ m2 sϕ m2 vv 2 = g v V ρ B + γ kf dkk 2 (M 2π ) 2 + k m2 sϕ m2 vv 2 6 a 2 + x 2 dx = x 2 a2 + x 2 + a2 2 ln(x + a 2 + x 2 ) 48

57 και από τη σχέση (241) βρίσκουμε: ϵ = γ kf dkk 2 (M 2π ) 2 + k m2 sϕ m2 vv 2 (242) Ακόμα από τις σχέσεις (23), (241) προκύπτει μια ακόμα ισοδύναμη μορϕή της ενέργειας: ϵ = g2 v 2m 2 v ρ 2 B + m2 s (M M ) 2 + γ kf dkk (M 2 2gs 2 2π ) 2 + k 2 (243) 2 Συμπληρώνοντας, η κινητική ενέργεια είναι: ϵ kin = kf = λ γ kf d 3 k M (2π) 2 + k 2 = γ 3 (2π) 4π kf dkk 2 M 2 + k 2 3 }{{} λ dkk 2 (M 2 + k 2 ) M 2 + k 2 = λ kf kf = λ dkk 3 ( M 2 + k 2 ) + λ = λk 3 [E ] k f λ kf = 3 4 ρ BE (k f ) M ρ s (k f ) kf dk3k 2 E + M ρ s dkk 3 k M 2 + k + λ kf dkk 2 M 2 2 M 2 + k 2 M 2 dkk 2 M 2 + k 2 έτσι η εξίσωση της ενέργειας εναλλακτικά γράϕεται: ϵ = g v 2 V ρ B + g s 2 ϕρ s ρ BE (k f ) M ρ s (k f ) (244) Η ποσότητα ϵ/ρ B εκϕράζει την ενέργεια ανα νουκλεόνιο. Ο τύπος της βαθμωτής πυκνότητας είναι αρκετά πολύπλοκος και θα κάνουμε κάποιες απλοποιήσεις: ρ s = γ kf (2π) 3 M d 3 k k2 + M = γ 2 (2π) 3 kf = γ kf d 3 1 k (2π) 3 [( k ) M 2 + 1] = = γ kf ( d 3 k 1 + ( k ) 1/2 γ (2π) 3 M )2 = (2π) 3 γ kf d 3 k (2π) 3 M d 3 k M 2 [( k ) M 2 + 1] (1 + ( k ) 1/2 M )2 kf ( d 3 k k 2 ) M 2 49

58 = γ kf (2π) 3 = γ (2π) 3 = γ (2π) 3 kf kf = ρ B γ 2π 2 ( d 3 k ( d 3 k d 3 k kf k 2 ) M 2 kf 1 1 = γ 2 (2π) k 2 ) g 2 (M g s s ρ m 2 s ) 2 s γ kf d 3 k k2 (2π) 3 dk k4 2M 2 = ρ B ( d 3 k 2M 2 = ρ B k5 F γ 2M 2 π 2 k (M g s ϕ ) 2 (1 k2 γ kf d 3 k (2π) 3 ) 2M 2 γ kf d 3 k k2 (2π) 3 2M 2 ) Έτσι: ρ s = 1 3k2 ( f ρ B 1M <=> ρ 2 s = 1 3k2 ) f ρ 1M 2 B (245) Στη μη σχετικιστική περίπτωση η ενέργεια σύνδεσης E B ή η ενέργεια ανα σωμάτιο υπολογίζεται από τη σχέση: E B = e = E A M = ϵ ρ B M (246) Άρα από τις σχέσεις (244), (239), (241), (245) έχουμε: E B = g v 2 V + g s 2 ϕ ρ s /ρ B E (k f ) M ρ s /ρ B M = g2 v ρ 2m 2 B + g2 s ρ 2 v 2m s/ρ 2 B + 3 s 4 k 2 + M M ρ s /ρ B M = g2 v ρ 2m 2 B + g2 s (1 3k2 f v 2m 2 s 1M 2 )2 ρ B M (k 2 /M + 1) 1/ (M g2 sρ s )(1 3k2 f m 2 s 1M ) M 2 g2 v 2m 2 v ρ B + g2 s (1 3k2 f 2m 2 s 1M 2 )2 ρ B (M g2 sρ s m 2 s )(1 + k2 2M ) (M g2 sρ s )(1 3k2 f m 2 s 1M ) M 2 = 3k2 f 1M + ρ B( g2 v 2m 2 v = 3k2 f 1M + γ 6π 2 k3 f( g2 v 2m 2 v g2 s ) + g2 s 2m 2 s m 2 s g2 s ) + g2 s 2m 2 s m 2 s 3k 2 f 1M 2 ρ B 3 1M 2 γ 6π 2 k5 f 7.5 Επεξήγηση τιμών παραμέτρων Το κύριο χαρακτηριστικό μιας ενεργού θεωρίας είναι ότι τροποποιούμε τις παραμέτρους έτσι ώστε να περιγράϕεται η πυρηνική ύλη με τον καλύτερο τρόπο 5

59 στην κατάσταση κορεσμού. Το μοντέλο Walecka πρέπει να ικανοποιοιεί τις παρακάτω συνθήκες: Για να υπάρχει μια σταθερή θεμελιώδης κατάσταση πρέπει η ενέργεια σύνδεσης να είναι αρνητική για συγκεκριμένη περιοχή πυκνοτήτων, δηλαδή: E B = ϵ ρ B M < Αυτό επιτυγχάνεται διότι το μοντέλο περιέχει δύο πεδία ένα ελκτικό βαθμωτό πεδίο ϕ = g s ρ m 2 s και ένα διανυσματικό απωστικό πεδίο V = g v ρ s m 2 B. v Για να υπάρχει μια σταθερή θεμελιώδης κατάσταση πρέπει η ενέργεια σύνδεσης να έχει ελάχιστο, έτσι απαιτείται ένα μεγάλο βαθμωτό ελκτικό πεδίο έναντι του απωστικού πεδίου, δηλαδή g2 s > g2 m 2 v και de s m 2 B v dk F = στην πυκνότητα κορεσμού. Αυτό εξήγείται ώς εξής: Από τις σχέσεις (239) και (245) παρατηρούμε ότι καθώς αυξάνεται η βαρυονική πυκνότητα αυξάνεται το ελκτικό πεδίο ϕ μέχρι μία μέγιστη τιμή. Στη συνέχεια καθώς αυξάνεται περισσότερο το k F, συνεισϕέρουν και οι αρνητικοί όροι σημαντικά λόγω της (245), με αποτέλεσμα να έχουμε μείωση του ελκτικού βαθμωτού πεδίου ϕ λόγω της (239). Ακόμα έχουμε αύξηση του διανυσματικού απωστικού πεδίου V λόγω της (241) με συνέπεια το σύστημα να μην δέσμιο. Με εϕαρμογή του ελαχίστου de B dk F = σε πειραματικά δεδομένα όπως: ( ) ϵ (E B ) eq = M = 15.75MeV ρ B eq P (ρ ) = με ρ B =.1484fm 3 ή k F = 1.3fm 1 υπολογίζουμε τις τιμές των σταθερών σύζευξης έτσι ώστε να αναπαράγουν την ενέργεια σύνδεσης στην κατάσταση ισορροπίας της πυρηνικής ύλης. Οι τιμές των σταθερών σύζευξης για το μοντέλο Walecka με μάζες μεσονίων m s = 55MeV, m v = 783MeV και μάζα νουκλεονίου M = 939MeV, όπου (1fm 1 = M ev ) έχουν τις παρακάτω τιμές: Cs 2 = gs 2 M 2 C 2 v = g 2 v m 2 s M 2 m 2 v = 357, 4 (247) = 273, 8 (248) Στο σημείο ισορροπίας έχουμε κινητική ενέργεια περίπου 2M ev το οποίο σημαίνει ότι το μοντέλο πρέπει να ικανοποιεί τη συνθήκη: 2MeV + γ 6π 2 (k F ) 3 ( g2 v 2m 2 v g2 s ) = 15.75MeV 2m 2 s Για πυρηνική ύλη γ = 4 η γραϕική παράσταση της E B (k f ) είναι: 51

60 Σχήμα 1: Ενέργεια σύνδεσης ανα νουκλεόνιο συναρτήσει του k F Από την έκϕραση της πυκνότητας ενέργειας παρατηρούμε ότι το σύστημα δεν έχει όριο δηλαδή ϵ/ρ B > M για πολύ χαμηλές και πολύ υψηλές πυκνότητες. Στις ενδιάμεσες πυκνότητες κυριαρχεί η ελκτική βαθμωτή αλληλεπίδραση αν επιλεχθούν κατάλληλες σταθερές σύζευξης και στη συνέχεια το σύστημα ισορροπεί στο k F = 1.3fm 1 με (E B ) eq = 15.75MeV. Στη συνέχεια θα βρούμε τη σχέση της ενεργού μάζας συναρτήσει του k f. Σημείο εκκίνησης είναι η εξίσωση: M = M g s ϕ = M g2 s = M g2 s m 2 s M M = 1 m 2 s ρ s = [ γ k 4π 2 f M kf 2 + M 2 M 3 ln g2 s Mm 2 s ( k f + kf 2 + M 2 )] M γ [k ( 4π M 2 f kf 2 + M k f + k 2 M 2 f 2 ln + M 2 M Οι σταθερές σύζευξης από τις σχέσεις (247), (248) M = 1 357, 4 γ [k ( M 3 4π M 2 f kf 2 + M k f + k 2 M 2 f 2 ln + M 2 )] M M )] (249) Με χρήση του προγράμματος Matlab καταλήγουμε στην παρακάτω γραϕική παράσταση: 52

61 Σχήμα 2: Ενεργός μάζα συναρτήσει του k F Από τη γραϕική παράσταση παρατηρούμε ότι η ενεργός μάζα είναι ϕθίνουσα συνάρτηση της πυκνότητας. Η ποσότητα M /M γίνεται μικρότερη στις υψηλές πυκνότητες και αυτό είναι συνέπεια του μεγάλου βαθμωτού πεδίου g s ϕ, το οποίο είναι περίπου 4MeV στο k = k F, και παράγει μια μεγάλη ελκτική συνεισϕορά στην ενέργεια ανά νουκλεόνιο. Επίσης υπάρχει μια μεγάλη απωστική συνεισϕορά στην ενέργεια ανά νουκλεόνιο από το διανυσματικό πεδίο g v V. 7.6 Υπολογισμός πίεσης συστήματος Από τη σχέση (21) βρίσκουμε την πίεση. Για ευκολία υπολογίζουμε ξεχωριστά τους άγνωστους όρους αρχίζοντας από: ι ψ = t ι d 3 k (ˆb( k, s)w( k, s)e ι( k x ϵ (+) ( k)t) + ˆd s (2π) ( k, s)v( k, s)e ι( k x+ϵ ( ) ( k)t)) 3/2 = ι 2 d 3 k (ˆb( k, s)(ϵ (+) ( s (2π) k))w( k, s)e ι( k x ϵ + ( k)t) + ˆd ( k, s)(ϵ ( ) ( k))v( k, s)e ι( k x+ϵ ( ) ( k)t)) 3/2 = d 3 k (ˆb( k, s)ϵ (+) ( s (2π) k)w( k, s)e ι( k x ϵ + ( k)t) + ˆd ( k, s)ϵ ( ) ( k)v( k, s)e ι( k x+ϵ ( ) ( k)t)) 3/2 Έτσι η μέση τιμή γράϕοντας μόνο το μή μηδενικό όρο είναι: 53

62 ψ ι ψ = Φ ψ ι ψ Φ = 1 d 3 kd 3 k Φ (2π) ˆb ( k, s)ˆb( k, s ) Φ w ( k, s)w( k, s )ϵ + ( k)e ι( k k) x e ι(ϵ(+) ( k) ϵ (+) ( k ))t +.. ss 3 = 1 d 3 kd 3 k δ 3 ( (2π) k k )δ ss 3 ss w ( k, s)w( k, s )ϵ + ( k)e ι( k k) x e ι(ϵ(+) ( k) ϵ (+) ( k ))t + = 1 d 3 kϵ + ( s (2π) k) = γ kf dk4πk (g 2 3 (2π) 3 v V + (M ) 2 + ) k 2 = γ kf dkk 2 g 2π 2 v V + γ kf dkk (M 2 2π ) 2 + k 2 2 = g v V ρ B + γ kf dkk (M 2 2π ) 2 + k 2 2 στη συνέχεια υπολογίζουμε το: α i ( i i )w k,1 = α i kw k,1 k z k x ik y α ϵ gv V + M kw k,1 = k x + ik y k z 2(ϵ g v V ) k z k x ik y k x + ik y k z kx 2 y +k2 z ϵ gv V + M = ϵ g vv +M 2(ϵ g v V ) k z k x + ik y 1 k z ϵ g v V +M k x+ik y ϵ g v V +M έτσι η ποσότητα w k,1 α kw k,1 είναι: w k,1 α kw k,1 = ϵ g vv + M 2(ϵ g v V ) ( 1 k z ϵ g v V +M = ϵ g vv + M ( k 2 x + ky 2 + kz 2 2(ϵ g v V ) ϵ g v V + M + ( 2(k 2 x + ky 2 + kz) 2 ) = ϵ g vv + M 2(ϵ g v V ) = k2 ϵ g v V ϵ g v V + M kx+k 2 y+k 2 z 2 ) ϵ g vv +M k x ik y ϵ g v V +M k z k x + ik y kz 2 ϵ g v V + M + (k x + ik y )(k x ik y ) ϵ g v V + M ) 54

63 όμοια και αντίστοιχα η γενική περίπτωση: w k,2 α kw k,2 = k 2 ϵ g v V (25) Από τη σχέση (211) καταλήγουμε: k 2 w k,s α kw k,s = δ ss (251) ϵ g v V k 2 w k,s α kw k,s = δ ss (M ) 2 + (252) k 2 Άρα η μέση τιμή είναι: ψ ( ια i i )ψ = Φ ψ ( ια i i )ψ Φ = 1 (2π) ss 3 = ss 1 (2π) 3 = s 1 (2π) 3 d 3 k d 3 k d 3 k Φ ˆb ( k, s)ˆb( k, s ) Φ w ( k, s)(α i k)w( k, s )( k))e ι( k k) x e ι(ϵ(+) ( k) ϵ (+) ( k ))t +... k 2 d 3 k δ 3 ( k k )δ ss δ ss (M ) 2 + e ι( k k) x e ι(ϵ(+) ( k) ϵ (+) ( k ))t + k 2 d 3 k 2 k (M ) 2 + = γ k 2 2π 2 kf dk k 4 (M ) 2 + k 2 Άρα η πίεση από την εξίσωση (21) είναι: P = γ kf 6π 2 k 4 dk (M ) 2 + k m2 sϕ m2 vv 2 (253) Οι παρακάτω εξισώσεις μας δίνουν την πυρηνική καταστατική εξίσωση σε μηδενική θερμοκρασία σε παραμετρική μορϕή ϵ(ρ B ), P (ρ B ): ϵ = g2 v ρ 2 2m 2 B + m2 s (M M ) 2 + γ kf dkk (M 2 v 2gs 2 2π ) 2 + k 2 (254) 2 P = 1 gv 2 ρ 2 2 m 2 B 1 m 2 s (M M ) 2 + γ kf k 4 dk (255) v 2 gs 2 6π 2 (M ) 2 + k 2 Οι πρώτοι δύο όροι στις εξισώσεις ενέργειας και πίεσης προκύπτουν από τα μεσονικά πεδία ενώ ο τελευταίος από κάθε εξίσωση προκύπτει από το σχετικιστικό αέριο βαρυονίων μάζας M. 55

64 Το σταθερό βαθμωτό πεδίο ϕ ή ισοδύναμα η ενεργός μάζα καθορίζεται θερμοδυναμικά ελαχιστοποιώντας την ϵ(m ) ως προς M. Αυτό παράγει τη συνθήκη: Συνεπώς dϵ dm = m2 s g 2 s (M M ) + γ kf 2π 2 = m2 s (M M ) + γ gs 2 2π 2 = m2 s (M M ) + ψψ gs 2 kf dkk 2 d dm (M ) 2 + k 2 (256) M dkk 2 (M ) 2 + (257) k 2 (258) = m2 s (M M ) + ρ gs 2 s = (259) (26) M = M g2 s ρ m 2 s (261) s Η πίεση μηδενίζεται στο σημείο κορεσμού (P (ρ ) = ) και έτσι η ενέργεια σύνδεσης καθορίζεται από την κλίση της πιεσης η οποία είναι ο συντελεστής συμπιεστότητας K: K = 9 P ρ B ρb =ρ = 9ρ 2 B Παραγωγίζοντας δύο ϕορές την (244) βρίσκουμε ότι: K = 9ρ [ k 2 F 3E F ρ B + g2 v m 2 v 2 (ϵ/ρ B ) ρ 2 ρb =ρ (262) B g2 s m 2 s M 2 ] (263) EF 2 ρ B =ρ Στην QHD-I ο συντελεστής συμπιεστότητας είναι K = 545M ev στην πυκνότητα κορεσμού ρ. Αυτό σημαίνει ότι η καταστατική εξίσωση είναι ''σκληρή'' δηλαδή απωστική σε υψηλότερες πυκνότητες. 7.7 Παρατηρήσεις για την QHD-I Η QHD-I σε γενικές γραμμές περιγράϕει αρκετά καλά την πυρηνική ύλη στην πυκνότητα κορεσμού με την κατάλληλη επιλογή παραμέτρων. Τα βασικά προβλήματα είναι: 1. Η τιμή του συντελεστή συμπιεστότητας K = 545MeV είναι αρκετά μεγάλη συγκριτικά με τα πειραματικά αποτελέσματα K = 24 ± 4MeV. Πειραματικά η τιμή προκύπτει από τη μελέτη των συντονισμών στους πυρήνες ή από τις συλλογικές ροές στις αντιδράσεις βαρέων ιόντων σε ενδιάμεσες ενέργειες. 2. Η ενεργός μάζα στο σημείο κορεσμού, δηλαδή στο ελάχιστο της ενέργειας ανά σωματίδιο, k F = 1.3MeV είναι M =.541M. Η πειραματική τιμή που προκύπτει από μελέτες των συλλογικών τών στις αντιδράσεις βαρέων ιόντων είναι.7m.[3, 56

65 31, 32]. Στην QHD-I η αλληλεπίδραση σπιν-στροϕορμής προκαλεί διαχωρισμό τον ενεργειακών επιπεδων και είναι πολύ μεγάλος εξαιτίας της μικρής τιμής του M. Αυτό είναι συνέπεια του μεγάλου βαθμωτού πεδίου g s ϕ το οποίο είναι περιπου 4M ev και παράγει μια μεγάλη ελκτική συνεισϕορά στην ενέργεια ανά νουκλεόνιο. 7.8 Επέκταση μοντέλου QHD-I Τα προβλήματα του μοντέλου αντιμετωπίστηκαν αρχικά από τους J. Boguta και A. R. Bodmer οι οποίοι πρότειναν την εισαγωγή επιπλέον όρων ιδιοαλληλεπίδρασης του βαθμωτού μεσονικού πεδίου τρίτης και τέταρτης τάξης. Η νέα λαγκραζιανή είναι: L = ψ[γ µ (ι µ g v V µ ) (M g s ϕ)]ψ ( µϕ µ ϕ m 2 sϕ 2 ) 1 3! κϕ3 1 4! λϕ4 1 4 F µνf µν m2 vv µ V µ + δl (264) Με την εισαγωγή των σταθερών κ, λ και των όρων τρίτης και τέταρτης τάξης αναπαράγονται καλύτερα ο συντελεστής συμπιεστότητας, η ενέργεια σύνδεσης, η πυκνότητα κορεσμού, η μάζα του νουκλενίου M. Από τις εξισώσεις Euler-Lagrange καταλήγουμε στις παρακάτω εξισώσεις κίνησης των πεδίων: ( µ µ + m 2 s)ϕ kϕ λϕ3 = g s ψψ (265) ν F νµ + m 2 vv µ = g v ψγµ ψ (266) [γ µ (ι µ g v V µ ) (M g s ϕ)]ψ = (267) Παρατηρούμε ότι αλλάζει μόνο η εξίσωση κίνησης για το βαθμωτό πεδίο ϕ. Χρησιμοποιούμε τη σχετικιστική θεωρία μέσου πεδίου και η λαγκρανζιανή εξίσωση μέσου πεδίου QHD-I είναι: L (I) MF T = ψ[ιγ µ µ g v γ V (M g s ϕ )]ψ 1 2 [( ϕ ) 2 + m 2 sϕ 2 )] 1 3! κϕ3 1 4! λϕ [( V ) 2 + m 2 vv 2 )] Από την προσέγγιση μέσου πεδίου οι εξισώσεις κίνησης των πεδίων είναι: 2 ϕ + m 2 sϕ kϕ λϕ3 = g s ψψ (268) 2 V + m 2 vv µ = g v ψ ψ (269) 57

66 [ιγ µ µ g v γ V (r) (M g s ϕ )]ψ = (27) Εκτελούμε την ίδια διαδικασία που περιγράϕεται στο (7.4) κεϕάλαιο και βρίσκουμε ότι η καταστατική εξίσωση είναι: ϵ = g2 v 2m 2 v kf + γ 2π 2 g 2 v ρ 2 B + m2 s 2g 2 s P = 1 ρ 2 2 m 2 B 1 v 2 + γ kf dk 6π 2 (M M ) 2 + k (M M ) 3 + λ (M M ) 4 6gs 3 24gs 4 dkk 2 (M ) 2 + k 2 m 2 s (M M ) 2 k gs 2 k 4 (M ) 2 + k 2 6g 3 s 7.9 Σϕαιρικά συμμετρικοί πυρήνες (M M ) 3 λ (M M ) 4 24gs 4 Γενικεύουμε τα προηγούμενα αποτελέσματα για τη μελέτη των πυρήνων του ατόμου. Το σύστημά μας έχει πεπερασμένο μέγεθος και έτσι τα πεδία είναι εξαρτώμενα χωρικά. Η λαγκραζιανή που το περιγράϕει είναι η (264) και όμοια οι εξισώσεις κίνησης περιγράϕονται απο τις σχέσεις (265), (266), (267). Υποθέτοντας ότι έχουμε μόνο σϕαιρικά συμμετρικούς πυρήνες τα μεσονικά πεδία εξαρτώνται μόνο από την ακτίνα και επειδή το σύστημά μας είναι σε ηρεμία η βαρυονική ροή είναι μηδέν. Έτσι το χωρικό μέρος του διανυσματικού πεδίου V μηδενίζεται και μένει μόνο το V. Η εξίσωση KG χωρίς εξάρτηση από τη γωνία θ, ϕ γίνεται: και όμοια: 2 ϕ + m 2 sϕ kϕ λϕ3 = g s ψψ d 2 dr ϕ (r) + 2 d 2 r dr ϕ (r) m 2 sϕ (r) 1 2 kϕ2 (r) 1 6 λϕ3 (r) = g s ρ s (r) 2 V + m 2 vv µ = g v ψ ψ d 2 dr V (r) + 2 d 2 r dr V o(r) m 2 vv (r) = g v ρ B Για το πεδίο ψ( x, t) η γενικευμένη ορμή δίνεται από τον τύπο: Επίσης π( x, t) = L ψ( x, t) = π( x, t) = L ( ψ( x, t)) = ιγ ψ (271) L ψ( x, t) (272) 58

67 Η χαμιλτονιανή: ( H = d 3 xh = d 3 x π( x, t) ψ( x, ) ( ) t) L = d 3 x π( x, t) ψ( x, t) L ( = d 3 x ιγ ψ ψ ψ[ιγ µ µ g v γ V (M g s ϕ )]ψ [( ϕ ) 2 m 2 sϕ 2 )] + 1 3! κϕ ! λϕ4 1 ) 2 [( V ) 2 + m 2 vv 2 )] ( = d 3 x ψ [ ι α + g v V + β(m g s ϕ )]ψ [( ϕ ) 2 m 2 sϕ 2 )] + 1 3! κϕ ! λϕ4 1 ) 2 [( V ) 2 + m 2 vv 2 ] Η μέση τιμή της ενέργειας είναι: 7.1 QHD-II E = ψ Hψ = d x( 3 u [ ι α + g v V + β(m g s ϕ )]u [( ϕ ) 2 m 2 sϕ 2 )] + 1 3! κϕ ! λϕ4 1 ) 2 [( V ) 2 + m 2 vv 2 ] Παρόλο που τα μεσονικά πεδία είναι πολύ σημαντικά για την περιγραϕή των ιδιοτήτων της πυρηνικής ύλης, μια ποσοτική σύγκριση με πραγματικούς πυρήνες απαιτεί την εισαγωγή περισσότερων μεταβλητών. Οπως έχουμε αναϕέρει στο πρότυπο QHD-I η αλληλεπίδραση μεταξύ των νουκλεονίων προκύπτει από τον ανταγωνισμό ενός ελκτικού βαθμωτού πεδίου και ενός απωστικού διανυσματικού πεδίου μέσω ανταλλαγής μεσονίων. Το μεσόνιο ϕ είναι βαθμωτό και ηλεκτρικά ουδέτερο με μάζα περίπου 52 MeV και το μεσόνιο V είναι διανυσματικό και ηλεκτρικά ουδέτερο με μάζα 783 MeV. Οι σταθερές σύζευξης έχουν τροποποιηθεί με τέτοιο τρόπο ώστε να περιγράϕεται η πυρηνική ύλη με τον καλύτερο τρόπο στην κατάσταση κορεσμού. Παρόλα αυτά κάποια βασικά προβλήματα είναι η μεγάλη απόκλιση πειραματικής και θεωρητικής τιμής του συντελεστή συμπιεστότητας και της ενεργού μάζας. Για να ξεπεραστούν αυτά τα προβλήματα και να υπάρχει στην αλληλεπίδραση εξάρτηση από την ασυμμετρία του συστήματος, ο Walecka εισήγαγε το ισοδιανυσματικό ρ μεσόνιo. Η λανγκραζιανή πυκνότητα που περιγράϕει αυτό το σύστημα είναι: L (II) = ψ[γ µ (ι µ g v V µ g ρ 1 2 τbµ e 1 2 (1 + τ 3)A µ (M g s ϕ)]ψ [( µϕ µ ϕ m 2 sϕ 2 )] 1 3! κϕ3 1 4! λϕ4 1 4 F µνf µν 1 4 A µνa µν 1 4 B µνb µν m2 vv µ V µ m2 ρb µ b µ 59

68 m v, g v, m s, g s, m ρ, g ρ, M είναι οι μάζες και οι σταθερές σύζευξης των μεσονίων και αντίστοιχα η μάζα νουκλεονίου, ψ αναπαριστά το βαρυονικό πεδίο (πρωτόνια και νετρόνια), V µ αναπαριστά το διανυσματικό μεσονικό πεδίο, A µ είναι το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο και εκϕράζει την άπωση μεταξύ των πρωτονίων, ϕ αναπαριστά το βαθμωτό μεσονικό πεδίο, Οι αντισυμμετρικοί τανυστές για το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο και για τα διανυσματικά μεσόνια αντίστοιχα είναι: A µν = µ A ν ν A µ (273) F µν = µ V ν ν V µ (274) B µν = µ b ν ν b µ g ρ (b µ b ν ) (275) e είναι το ϕορτίο του πρωτονίου, b µ είναι το διανυσματικό πεδίο Lorentz με τις 3 συνιστώσες του ρ μεσονικού πεδίου b µ = (b µ 1, b µ 2, b µ 3), Η τρίτη συνιστώσα αντιπροσωπεύει το ουδέτερο ρ μεσόνιο το οποίο συμβολίζεται με b, ενώ τα ϕορτισμένα μεσόνια ρ ± εκϕράζονται ως εξής: b µ ± = 1 2 (b µ 1 ± b µ 2) g s, g v, g ρ είναι οι βαθμωτές, διανυσματικές, ισοδιανυσματικές σταθερές σύζευξης, m s, m v, m ρ είναι οι μάζες μεσονίων, M μάζα νουκλεονίου, γ µ είναι ο σπίνορας του Dirac, τ i είναι τελεστής σπιν και η αναπαράσταση σε όρους πινάκων Pauli είναι: δηλαδή τ i = ( ) σi σ i ( ) 1 τ 1 = 1 ( ) i τ 2 = i ( ) 1 τ 3 = 1 (276) (277) (278) (279) Το πρωτόνιο και το νετρόνιο υπενθυμίζουμε ότι μπορεί να θεωρηθεί ως διαϕορετικές προβολές ενός σωματιδίου του νουκλεονίου. Η προβολή εκτελείται από τον τελεστή τ 3 με ιδιοτιμές +1 και -1 αντίστοιχα για τον πρωτόνιο και το νετρόνιο. Συγκεκριμένα τ 3 p = +1 p, τ 3 n = 1 n (28) p = ( 1 ) 6 n = ( 1 ) (281)

69 Από τις εξισώσεις Euler-Lagrange καταλήγουμε στις παρακάτω εξισώσεις κίνησης των πεδίων: ( µ µ + m 2 s)ϕ kϕ λϕ3 = g s ψψ (282) ν F νµ + m 2 vv µ = g v ψγµ ψ (283) ν B µν + m 2 ρb µ = g ρ 2 ψγ µ τ i ψ + g ρ (b ν B µν ) (284) ν A µν = e ψγ µ 1 + τ 3 ψ (285) 2 [γ µ (ι µ g ρ 2 τ ib µ e 1 2 (1 + τ 3)A µ g v V µ ) (M g s ϕ)]ψ = (286) Θα χρησιμοποιήσουμε πάλι τη θεωρία μέσου πεδίου όπου οι τελεστές των μεσονικών πεδίων έχουν αντικατασταθεί από τις μέσες τιμές της θεμελιώδους κατάστασης Φ οι οποίες είναι ίσες με τις αντίστοιχες του κλασικού πεδίου με τον παρακάτω τρόπο: ϕ Φ ϕ Φ = ϕ = ϕ V µ Φ V µ Φ = V µ = δ µ V bµ Φ bµ Φ = bµ = δ µ δ i3 b  µ Φ Âµ Φ = Aµ = δ µ A Οι χωρικές συνιστώσες του b µ και V µ και A µ μηδενίζονται επειδή έχουμε υποθέσει ότι το σύστημα είναι ομοιόμορϕο και στατικό στη θεμελιώδη κατάσταση καθώς επίσης έχει καθορισμένο σπιν και ομοτιμία 7. Συνεπώς ασχολούμαστε μόνο με τις χρονοεξαρτώμενες συνιστώσες των διανυσματικών πεδίων: b και V και A. Επιπλέον επειδή οι δύο πρώτες συνιστώσες του b µ μπορούν να γραϕούν σαν τελεστές δημιουργίας και καταστροϕής μόνο η τρίτη συνιστώσα, η οποία περιγράϕει το ουδέτερο μεσόνιο επιβιώνει. ψ(x)ψ(x) Φ : ψ(x) ψ(x) : Φ = ψψ = ρs (287) ψ(x)γ µ ψ(x) Φ : ψ(x)γ µ ψ(x) : Φ = ψγ ψ = ψ ψ = ρ v (288) ψ(x)γ µ τ i ψ(x) Φ : ψ(x)γ µ τ ψ(x) i : Φ = ψγ τ 3 ψ = ψ τ 3 ψ = δ µ δ i3 ρ 3 (289) ψ(x)γ µ 1 + τ 3 ψ Φ : ψ(x)γ µ 1 + τ 3 ψ(x) : Φ = ψγ 1 + τ 3 ψ = δ µ ρ p (29) 7 Ομοτιμία(Parity) είναι ο κατοπτρισμός ως προς το χώρο. Συγκεκριμένα είναι ο τελεστής που προκαλεί την χωρική αναστροϕή των συντεταγμένων (x, y, z x, y, z) : P Ψ(r) = Ψ( r) 61

70 Όπου ρ s η βαθμωτή πυκνότητα, ρ v η διανυσματική ή βαρυονική πυκνότητα, ρ 3 είναι η διαϕορά ανάμεσα στην πυκνότητα των νετρονίων ρ n και την αντίστοιχη των πρωτονίων ρ p. Οι εξισώσεις Euler-Lagrange με τη σχετικιστική θεωρία μέσου πεδίου γίνονται: m 2 sϕ kϕ λϕ3 = g s ρ s (291) m 2 vv = g v ρ v (292) m 2 ρb = g ρ 2 ρ 3 (293) [ιγ µ µ g v γ V e 1 + τ 3 A g ρ 2 2 τ 3γ b (M g s ϕ )]ψ = (294) Όπως ϕαίνεται από τις παραπάνω εξισώσεις πρέπει να υπολογίσουμε τις αντίστοιχες μέσες τιμές. Καταλήγουμε ότι η λαγκρανζιανή εξίσωση μέσου πεδίου QHD-II γίνεται: L (II) MF T = ψ[ιγ µ µ g γ V g ρ 1 2 τ 3γ b e 1 2 (1 + τ 3)γ A (M g s ϕ )]ψ 1 2 [( ϕ ) 2 + m 2 sϕ 2 ] 1 3! κϕ3 1 4! λϕ [( V ) 2 + m 2 vv 2 ] ( A ) [( b ) 2 + m 2 ρb 2 ] Με A το δυναμικό Coulomb, e το ϕορτίο, g ρ η σταθερά σύζευξης και τ i οι πίνακες του Pauli. Ο τανυστής ενέργειας ορμής για q j = ψ είναι: T µν RMF = g µν L RMF + ν ψ L RMF ( µ ψ) (295) T µν RMF = ι ψγ µ ν ψ g µν ( 1 2 [( ϕ ) 2 + m 2 sϕ 2 ] 1 3! κϕ3 1 4! λϕ [( V ) 2 + m 2 vv 2 όπου ( A ) ) 2 [( b ) 2 + m 2 ρb 2 ] = ι ψγ µ ν µν ψ g L L = 1 2 [( ϕ ) 2 + m 2 sϕ 2 ] 1 3! κϕ3 1 4! λϕ [( V ) 2 + m 2 vv 2 ] ( A ) [( b ) 2 + m 2 ρb 2 ] Από τον τανυστή ενέργειας ορμής μπορούμε να υπολογίσουμε την πυκνότητα ενέργειας: ] 62

71 ϵ = T = ι ψγ ψ L = ι ψγ ψ L = ψ ι ψ L P = 1 T ii 3 = 1 ι ψγ i i ψ + L 3 = 1 ι ψγ i i ψ + L 3 Σημείο εκκίνησης για τον υπολογισμό των τιμών ενέργειας του συστήματος είναι η εξίσωση Dirac: [ιγ µ µ g v γ V e 1 + τ 3 A g ρ 2 2 τ 3γ b (M g s ϕ )]ψ = [ιγ + ιγ i i g v γ V e 1 + τ 3 A g ρ 2 2 τ 3γ b (M g s ϕ )]ψ = γ [ιγ + ιγ α i i g v γ V e 1 + τ 3 A g ρ 2 2 τ 3γ b (M g s ϕ )]ψ = [ι + ια i i g v V γ e 1 + τ 3 A g ρ 2 2 τ 3b γ (M g s ϕ )]ψ = ι ψ = ( ι α + e 1 + τ 3 A + g ρ 2 2 τ 3b + g v V + βm )ψ ι ψ = ( ι α + e 1 + τ 3 A + g ρ 2 2 τ 3b + g v V + βm )ψ Καταλήγουμε Ο τελεστής της χαμιλτονιανής είναι: ι ψ = ĤDψ (296) Ĥ D = ι α + e 1 + τ 3 A + g ρ 2 2 τ 3b + g v V + βm (297) Όμοια έχουμε λύσεις επίπεδου κύματος της μορϕής: ψ( x, t) = u( k)e i( k x e( k)t) (298) με p = k όπου u( k) είναι σπίνορας οχτώ συνιστωσών και περιέχει τους σπίνορες 63

72 u p ( k), u n ( k) δηλαδή: u( k) = ( up ( ) k) u n ( k) Η εισαγωγή του στην εξίσωση Dirac μας δίνει: ϵu( k) = ( α k + g v V + e 1 + τ 3 A + g ρ 2 2 τ 3b + βm )u( k) και όμοιο τρόπο βρίσκουμε: ϵu p ( k) = H Dirac(p) u p ( k) (299) ϵu n ( k) = H Dirac(n) u n ( k) (3) +1, p διότι τ 3 = 1, n H Dirac(p) = ( α k + g v V + ea + g ρ 2 b + βm ) (31) H Dirac(n) = ( α k + g v V g ρ 2 b + βm ) (32) και βρίσκουμε τις ιδιοτιμές ενέργειας: ϵ ± ( k) = e 1 + τ 3 A + g ρ 2 2 τ 3b + g v V ± (M ) 2 + k 2 = e 1 + τ 3 A + g ρ 2 2 τ 3b + g v V ± E ( k) Για τον υπολογισμό της μέσης τιμής χρησιμοποιούμε τη μέθοδο του N. K. Glendening σύμϕωνα με την οποία η μέση τιμή ενός τελεστή Γ όσο αϕορά τη θεμελιώδη κατάσταση συστήματος πολλών σωματιδίων γράϕεται σα συνεχές άθροιση της μέσης τιμής ενός σωματιδίου. Χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό <> για τη μέση τιμή κατάστασης πολλών σωματιδίων, ενώ τη μέση τιμή ενός τελεστή Γ όσο αϕορά μια κατάσταση ενός σωματιδίου τη συμβολίζουμε: (ψ Γψ) k,s όπου k η ορμή και s το σπιν. Η σύνδεση με ένα σύστημα πολλών σωματιδίων συνδέεται με τον παραπάνω συμβολισμό ως εξής: ψ Γψ = s d 3 k (2π) 3 (ψ Γψ) k,s Θ[µ ϵ k ] (33) όπου Θ η συνάρτηση βήματος: 1, Θ(µ ϵ k ) = k k f, και µ = e( k f ) το χημικό δυναμικό. k > k f 64

73 Για τον υπολογισμό της μέσης τιμής χωρίζουμε τη συνεισϕορά των πρωτονίων και των νετρονίων, δηλαδή: (ψ Γψ) k,s = (ψ pγψ p ) k,s + (ψ nγψ n ) k,s και τότε η μέση τιμή για την κατάσταση συστήματος πολλών σωματιδίων είναι: ψ Γψ = s = s d 3 k (2π) 3 (ψ Γψ) k,s Θ[µ ϵ k ] = d 3 k (2π) 3 (ψ pγψ p ) k,s Θ[µ ϵ k ] + s dk (2π) 3 (ψ nγψ n ) k,s Θ[µ ϵ k ] Άρα ψ ψ = d 3 k s (2π) 3 (ψ ψ) k,s Θ[µ ϵ k ] = = d 3 k s (2π) 3 (ψ pψ p ) k,s Θ[µ ϵ k ] + d 3 k s (2π) 3 (ψ nψ n ) k,s Θ[µ ϵ k ] = = d 3 k s (2π) Θ[µ ϵ k] + d 3 k 3 s (2π) Θ[µ ϵ k] = 3 kp d 3 k = (2π) + kn d 3 k 3 (2π) = 4π kp k 2 dk 3 s (2π) + 4π kn k 2 dk 3 s (2π) = 3 = k3 p 3π 2 + k3 n 3π 2 = ρ p + ρ n = ρ v Η δράση του τ 3 στο ψ είναι να διαχωρίσει τις συνεισϕορές του πρωτονίου και του νετρονίου: ( ) ( ) ( ) I4 4 ψp ψp τ 3 ψ = = I 4 4 ψ n ψ n Έτσι η μέση τιμή μιας μονοσωματιδιακής κατάστασης είναι: Άρα η μέση τιμή είναι: ψ τ 3 ψ = s = s = s (ψ τ 3 ψ) k,s = (ψ ψ) k,s (ψ ψ) k,s d 3 k (2π) 3 (ψ τ 3 ψ) k,s Θ[µ ϵ k ] = d 3 k (2π) 3 (ψ pτ 3 ψ p ) k,s Θ[µ ϵ k ] s d 3 k (2π) Θ[µ ϵ k] 3 s d 3 k (2π) 3 Θ[µ ϵ k] = d 3 k (2π) 3 (ψ nτ 3 ψ n ) k,s Θ[µ ϵ k ] = 65

74 kp = d 3 k (2π) kn 3 = k3 p 3π 2 k3 n 3π 2 = ρ p ρ n d 3 k (2π) 3 = 4π s kp k 2 dk (2π) 3 4π s kn k 2 dk (2π) 3 = δηλαδή ρ 3 = ρ p ρ n. Για τη μονοσωματιδιακή κατάσταση ισχύει: (ψ H D ψ) k,s = (ψ e( k)ψ) k,s = e( k)(ψ ψ) k,s = e( k) έχουμε επιλέξει κατάλληλο ψ ώστε λόγω κανονικοποίησης ισχύει:(ψ ψ p ) k,s = 1 Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση ως προς μία μεταβλητή ζ προκύπτει: ζ (ψ H D ψ) k,s = ( ψ ζ H Dψ) k,s + (ψ H D ζ ψ) k,s + (ψ H D ζ ψ) k,s = e( k)( ψ ζ ψ) k,s + (ψ H D ζ ψ) k,s + e( k)(ψ ζ ψ) k,s = e( k)( ψ ζ ψ) k,s + e( k)(ψ ζ ψ) k,s + (ψ H D ζ ψ) k,s = e( k) ζ (ψ ψ) k,s +(ψ H D }{{} ζ ψ) k,s =1 = (ψ H D ζ ψ) k,s = ζ e( k) Δηλαδή ζ (ψ H D ψ) k,s = (ψ H D ζ ψ) k,s (34) Με κατάλληλη επιλογή της μεταβλητής ζ έτσι ώστε η παράγωγος της H D ως προς αυτήν μας δίνει το Γ όπου από τη σχέση (33) και (34) προκύπτει η μέση τιμή για τη μονοσωματιδιακή κατάσταση. Έστω ζ η νουκλεονική μάζα ηρεμίας Μ τότε η μέση τιμή ( ψψ) για τη μονοσωματιδιακή κατάσταση είναι: ( ψψ) k,s = (ψ γ ψ) k,s = (ψ H D M ψ) k,s = M e( k) = M (M ) 2 + k 2 Είναι (ψ ι ψ) k,s = (ψ H D ψ) k,s = e( k)(ψ ψ) k,s = e( k) 66

75 Η μέση τιμή της ενεργειακής πυκνότητας είναι: ψ ι ψ = k,s = s + s s d 3 ( k ea (2π) 3 + g ρ ( d 3 k (2π) 3 d 3 k (2π) 3 e( k)θ[µ ϵ k ] 2 b + g v V + g ρ 2 b + g v V + =A ρ p + g v V ρ v + g ρ 2 b (ρ p ρ n ) + 1 π 2 (M ) 2 + k 2 ) Θ[µ ϵ k ] (M ) 2 + k 2 ) Θ[µ ϵ k ] kn d 3 k (M ) 2 + k kp d 3 k (M π ) 2 + k 2 2 Συνεπώς η αντίστοιχη τιμή του ( ψψ) για το σύστημα είναι: ψψ = s d 3 k (2π) 3 M M e( k) = s = 1 kn dk π 2 (M ) k 2 π 2 kp d 3 k M (2π) (M 3 ) 2 + Θ[µ ϵ k ] k 2 dk M (M ) 2 + k 2 Άρα η πυκνότητα ενέργειας είναι: ϵ = ψ ι ψ L = = A ρ p + g v V (ρ p + ρ n ) + g ρ 2 b (ρ p ρ n ) + 1 π π 2 kp kn d 3 k (M ) 2 + k 2 d 3 k (M ) 2 + k [( ϕ ) 2 m 2 sϕ 2 ] + 1 3! κϕ ! λϕ4 1 2 [( V ) 2 + m 2 vv 2 ] 1 2 ( A ) [( b ) 2 + m 2 ρb 2 ] Η πίεση είναι: P = 1 3 ι ψγ i i ψ + L = 1 3 ι ψγ i i ψ + L = 1 3 Υπολογίζουμε τον όρο ψγ i ( ι i )ψ για ένα σωματίδιο ψγ i ( ι i )ψ + L (35) ( ψγ i ( ι i )ψ) k,s = ( ψγ i kψ) = ( ψγ i ψ) k = (ψ H D k ψ) e( k) k,sk = k = k k k (M ) 2 + k 2 67

76 Για ένα σύστημα σωματιδίων η μέση τιμή είναι: Συνεπώς η πίεση είναι: ψγ i ( ι i )ψ = k 4 = 1 kp dk π 2 (M ) 2 + k π 2 s d 3 k (2π) 3 k 2 (M ) 2 + k 2 Θ[µ ϵ k] kn dk k 4 (M ) 2 + k 2 P = 1 3 ι ψγ i i ψ + L = 1 kp 3π 2 = 1 kp 3π 2 k 4 dk (M ) 2 + k π 2 dk k 4 (M ) 2 + k π 2 kn k 4 kn k 4 dk (M ) 2 + k + L = 2 dk (M ) 2 + k [( ϕ ) 2 + m 2 sϕ 2 ] 1 3! κϕ3 1 4! λϕ [( V ) 2 + m 2 vv 2 ] ( A ) [( b ) 2 + m 2 ρb 2 ] (36) 7.11 Παρατηρήσεις QHD-II Επιλέγοντας τις πειραματικές τιμές στις μάζες M = 939MeV, m v = 783MeV και m ρ = 77MeV, e 2 /4π = α = 1/137 (το οποίο καθορίζει το δυναμικό Coulomb) και με χρήση των παραμέτρων του μοντέλου Non Linear (NLC): model g 2 s g 2 v g 2 ρ m s κ λ NLC προκύπτει ότι η ενεργός μάζα είναι M /M =.63 καθώς επίσης ο συντελεστής συμπιεστότητας παίρνει την τιμή K 225MeV. Συγκριτικά με τα αποτελέσματα της QHD-I παρατηρούμε το πως εξαρτάται η σκληρότητα της καταστατικής εξίσωσης από τον συντελεστή συμπιεστότητας και από την τιμή της ενεργού μάζας του νουκλεονίου M στην πυκνότητα κορεσμού. Οι τιμές που προκύπτουν με την QHD-II είναι πιο κοντά στα πειραματικά αποτελέσματα (M /M =.7 και K = 24 ± 4MeV ). Οι γραϕικές παραστάσεις της ενέργειας σύνδεσης E B και της ενέργού μάζας M συναρτήσει του k f είναι: 68

77 Σχήμα 3: Ενέργεια σύνδεσης συναρτήσει του k F Σχήμα 4: Ενεργός μάζα ανα νουκλεόνιο συναρτήσει του k F 69

78 8 Αστέρες νετρονίων 8.1 Εισαγωγή Οι αστέρες νετρονίων παρέχουν το κατάλληλο περιβάλλον για την μελέτη της υπέρπυκνης ύλης. Λόγω των συγκεκριμένων συνθηκών που επικρατούν στον πυρήνα του αστέρα έχουμε μετάβαση ϕάσης από ύλη αδρονίων σε ύλη κουάρκς. Ακόμα επειδή οι αστέρες νετρονίων είναι μεγάλα αντικείμενα με πολύ πυκνή υλη, τεράστιο βαρυτικό πεδίο και οι ενέργειες των σωματιδίων πολύ υψηλές, πρέπει να ληϕθούν υπόψη σχετικιστικά ϕαινόμενα για την σωστή περιγραϕή τους. Συνεπώς οι ιδιότητες των αστέρων νετρονίων υπολογίζονται με σχετικιστικά μοντέλα τα οποία χρησιμοποιούν κατά περίπτωση αδρόνια και κουάρκ. Τα κουάρκς βρίσκονται μέσα στα αδρόνια και για ένα εύρος τιμών πυκνότητας και θερμοκρασίας πραγματοποιείται μια μετάβαση ϕάσης σύμϕωνα με την οποία τα κουάρκ και τα γκλουονία βρίσκονται ελεύθερα σχηματίζοντας το πλάσμα κουάρκ-γκλουονίων. Συγκεκριμένα όταν αναϕερόμαστε για τη ϕάση της ύλης σε χαμηλή πυκνότητα χρησιμοποιούμε την κβαντική αδροδυναμική ενώ για την αντίστοιχη σε υψηλής πυκνότητας χρησιμοποιούμε την κβαντική χρωμοδυναμική. Αναϕέρουμε τα βασικά χαρακτηριστικά ενός αστέρα νετρονίων και στη συνέχεια υπολογίζεται η καταστατική εξίσωση στο πλαίσιο της QHD και QCD. Τέλος από την επίλυση των εξισώσεων Tolman-Oppenheimer-Volkoff προκύπτουν η μέγιστη μάζα και η ακτίνα του αστέρα νετρονίων. 8.2 Ορισμός Η εξάντληση των πηγών ενέργειας ενός αστέρα σηματοδοτεί το ξεκίνημα μιας νέας ζωής. Η μορϕή που θα πάρει εξαρτάται: 1) από τις ϕυσικές ιδιότητες της υπέρπυκνης ύλης λόγω βαρυτικής κατάρρευσης προς το κέντρο του. 2) από την ολική μάζα του αστέρα μετά το τέλος κάθε πυρηνικής δραστηριότητας. Άρα το ''αστρικό πτώμα'' μπορεί να γίνει λευκός νάνος αν η μάζα του ήταν μικρότερη από 1.4M, αστέρας νετρονίων αν η μάζα του ήταν από 1.4M έως 3.2M ή μελανή οπή αν η μάζα του ήταν μεγαλύτερη από 3.2M. Το 1934 οι αστρονόμοι Walter Baade και Fritz Zwicky πρότειναν την ύπαρξη για πρώτη ϕορά των αστέρων νετρονίων με την διατύπωση ότι αν ένα πρωτόνιο και ένα ηλεκτρόνιο βρεθούν σε συνθήκες υψηλής πίεσης δημιουργείται ένα νετρόνιο. Λόγω της συνεχόμενης συστολής του υπό κατάρρευση αστέρα η πυκνότητα αυξάνεται και υπερβαίνει την τιμή ρ = 1 8 g/cm 3. Συνεπώς η ταχύτητα των εκϕυλισμένων ηλεκτρονίων πλησιάζει την ταχύτητα του ϕωτός και η αύξηση της ενέργειας των ηλεκτρονίων (σωμάτια β) προκαλεί την αντίστροϕη διάσπαση β (p + e n + ν) όπου τα πρωτόνια των ατομικών πυρήνων του εσωτερικού του αστέρα μετατρέπονται σε νετρόνια. Στη συνέχεια η αύξηση του ρυθμού συμπίεσης προκαλεί αύξηση του αριθμού των νετρονίων και ελάττωση των ελεύθερων εκϕυλισμένων ηλεκτρονίων. Λόγω αυτής της μείωσης έχουμε μείωση της πίεσης με συνέπεια ο αστέρας να συρρικνούται κάτω από την επίδραση των δυνάμεων βαρύτητας. Όταν η πυκνότητα της ύλης ξεπεράσει την τιμή κορεσμού της πυρη- 7

79 νικής ύλης ρ = g/cm 3 ο αστέρας αποτελείται από εκϕυλισμένα νετρόνια. Η βαρυτική πίεση που συμπιέζει τον αστέρα εξισορροπείται από την αντίθετη ϕοράς πίεση των εκϕυλισμένων νετρόνιων και καθιστούν τον αστέρα ασυμπίεστο. Η ακτίνα του αστέρα είναι 1-15 Km και επειδή αποτελείται από βαρυονική ύλη (πρωτόνια και νετρόνια) θα μπορούσε να θεωρηθεί σαν ένας τεράστιος ατομικός πυρήνας όπου το ρόλο της ισχυρής πυρηνικής δύναμης τον παίζει η βαρυτική δύναμη. 8.3 Δομή Σύμϕωνα με τις τρέχουσες θεωρίες ο αστέρας νετρονίων διαιρείται στην ατμόσϕαιρα και στις τέσσερις εσωτερικές περιοχές: Τον εξωτερικό ϕλοιό, τον εσωτερικό ϕλοιό, το εξωτερικό στρώμα πυρήνα και το εσωτερικό στρώμα του πυρήνα όπως ϕαίνεται στο σχήμα 5. Συγκεκριμένα: Η ατμόσϕαιρα είναι ένα λεπτό στρώμα πλάσματος περίπου έως δέκα εκατοστά για θερμούς αστέρες με T K και λίγα χιλιοστά για ψυχρούς T 1 5 K. Το πλάσμα εκπέμπει θερμική ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία από τη μελέτη της οποίας προκύπτουν πληροϕορίες για την ενεργό θερμοκρασία, χημική σύσταση, μάζα, ακτίνα κλπ. Ο εξωτερικός ϕλοιός εκτείνεται από την επιϕάνεια προς τα μέσα μέχρι την πυκνότητα ρ = ρ ND g/cm 3. Το πάχος του είναι μερικές εκατοντάδες μέτρα και αποτελείται από θετικά ιόντα και ηλεκτρόνια. Ένα πολύ λεπτό στρώμα αποτελείται από μη εκϕυλισμένο αέριο ηλεκτρονίων αλλά πιο βαθιά αυξάνεται ο εκϕυλισμός και τα ηλεκτρόνια αποτελούν σχεδόν ιδανικό αέριο ενώ γίνονται υπερσχετικιστικά για ρ >> 1 6 grcm 3 και η πίεση οϕείλεται κυρίως σε αυτά. Καθώς αυξάνεται η ενέργεια Fermi των ηλεκτρονίων με την αύξηση της πυκνότητας γίνεται μετατροπή της ύλης σε νετρόνια μέσω της αρπαγής ηλεκτρονίων από τους πυρήνες. Το μεγαλύτερο μέρος είναι στερεό και για αυτό αποκαλείται κρούστα. Ο εσωτερικός ϕλοιός είναι περίπου ένα χιλιόμετρο πάχους και η πυκνότητα κυμαίνεται από ρ ND έως.5ρ, όπου ρ η πυκνότητα κορεσμού. Η ύλη αποτελείται από ηλεκτρόνια, ελεύθερα νετρόνια και πυρήνες πλούσιους σε νετρόνια. Η νετρινοποίηση της ύλης γενικά μαλακώνει την καταστατική εξίσωση, αλλά στη βάση του ϕλοιού η απωστική δύναμη μικρής εμβέλειας της αλληλεπίδρασης νετρονίων τη σκληραίνει. Στο κάτω μέρος του ϕλοιού η πυκνότητα κυμαίνεται από 1 3 ρ έως 1 2 ρ και οι πυρήνες χάνουν το σϕαιρικό σχήμα σχηματίζοντας ένα μανδύα. Το εξωτερικό στρώμα πυρήνα βρίσκεται σε πυκνότητες.5ρ < ρ < 2ρ και η ύλη του αποτελείται από νετρόνια, πρωτόνια, μυόνια και ηλεκτρόνια. Τα νετρόνια και τα πρωτόνια αλληλεπιδρούν μέσω των πυρηνικών δυνάμεων σχηματίζοντας ένα ρευστό Fermi που βρίσκεται σε υπερρευστή κατάσταση και τα ηλεκτρόνια και τα μυόνια σχηματίζουν ένα ιδανικό αέριο Fermi. Το εσωτερικό στρώμα πυρήνα βρίσκεται σε πυκνότητες ρ > 2ρ και η κεντρική πυκνότητα μπορεί να ϕτάσει (1-15)ρ. Η ακτίνα του ϕτάνει αρκετά χιλιόμετρα και όσο για τη σύσταση υπάρχουν πολλές υποθέσεις. Στο επόμενο κεϕάλαιο αναλύεται κατασταστική εξίσωση με βάση τη δομή του αστέρα. 71

80 Σχήμα 5: Δομή αστέρος νετρονίου 8.4 Καταστατική εξίσωση αστέρα νετρονίου Φάση ύλης με αδρόνια Μία προσέγγιση ενός αστέρα νετρονίων είναι να θεωρήσουμε ένα στατικό, σϕαιρικά συμμετρικό ιδανικό ρευστό σε υδροστατική ισορροπία. Ο αστέρας βρίσκεται σε σταθερή κατάσταση λόγω ισορροπίας της βαρυτικής δύναμης με την εσωτερική πίεση. Το πρόβλημα μελετήθηκε αρχικά από τους R. C. Tolman, J. R. Oppenheimer και G. M. Volkoff το 1939 στο πλαίσιο της γενικής θεωρίας της σχετικότητας και η λύση των εξισώσεων Αϊνστάιν για τις παραπάνω υποθέσεις είναι: dp (r) dr = Gϵ(r)M(r) c 2 r 2 dm(r) dr [ 1 + P (r) ϵ(r) [ ][ 1 + 4πr3 P (r) 1 2GM(r) c 2 r M(r)c 2 ] ] (37) = 4πϵ(r)r2 c 2 (38) Όπως έχει αναϕερθεί από τις παραπάνω διαϕορικές εξισώσεις με αριθμητική επίλυση μπορούμε να βρούμε την κατανομή της μάζας και τη μέγιστη τιμή της M(R) πέρα από την οποία ο αστέρας νετρονίων θα είναι ασταθής λόγω βαρυτικής κατάρρευσης, τον ολικό αριθμό των σωματιδίων και την ενέργεια της ύλης. Για να είναι αποδεκτή η κατασταστική εξίσωση πρέπει η προβλεπόμενη μάζα να είναι μεγαλύτερη από την μεγαλύτερη μάζα του παρατηρούμενου αστέρα νετρονίων που οι περισσότεροι είναι μάζες ηλίου. Η κατασταστική εξίσωση του αστέρα νετρονίων στο πλαίσιο της κβαντικής αδροδυναμικής (QHD-I) δίνεται απο τις σχέσεις (254), (255) με γ = 2. Για την επέκταση του μοντέλου χρησιμοποιούμε την λαγκραζιανή εξίσωση μέσου πεδίου από [2], η οποία είναι: 72

81 L (II) MF T = ψ[ιγ µ µ g v γ V g ρ 1 2 τ 3γ b (M g s ϕ )]ψ 1 2 m2 sϕ m2 vv m2 ρb 2 (39) Οι εξισώσεις για τα μεσονικά πεδία είναι οι (239), (241) και όπου b = 1 ρ 2 m 2 3 η ρ χρονική συνιστώσα του ρ μεσονίου. Η καταστατική εξίσωση του αστέρα νετρονίων είναι: g ρ ( g 2 ϵ II = v 2m 2 v ( g 2 P II = v 2m 2 v + g2 ρ 8m 2 ρ + g2 ρ 8m 2 ρ ) ρ 2 B + m2 s 2g 2 s ) ρ 2 B 1 2 (M M ) kf dkk (M 2 π ) 2 + k 2 (31) 2 m 2 s (M M ) gs 2 3π 2 kf k 4 dk (311) (M ) 2 + k 2 Το βαρυονικό χημικο δυναμικό δίνεται από: Συμπεράσματα µ = ϵ + P ρ B (312) Επιλέγοντας τις πειραματικές τιμές στις μάζες M = 939MeV, m v = 783MeV, m s = 55MeV και m ρ = 77MeV και με την αντίστοιχη επιλογή παραμέτρων του κάθε μοντέλου, προκύπτει ο παρακάτω πίνακας για την σταθερά συμπιεστότητας, την ενέργεια συμμετρίας και τη μέγιστη μάζα: model g 2 s g 2 v g 2 ρ α 4 (MeV ) K(MeV ) M max (M ) QHD-I QHD-II RHA RBBG Παρατηρούμε ότι η μέγιστη μάζα ενός αστέρα νετρονίων με αδρονική ύλη είναι M max 2.59M σε ακτίνα περίπου 12.3km, η οποία βέβαια είναι αρκετά μεγάλη συγκριτικά με τα παρατηρησιακά δεδομένα. Στην επέκταση του μοντέλου (QHD-II) η μέγιστη μάζα είναι M max 2.64M. Έχει μικρή διαϕορά και αυτό διότι η ενέργός μάζα M είναι ίδια και στις δύο περιπτώσεις. Παρόλα αυτά η βελτίωση είναι στην ενέργεια συμμετρίας η οποία είναι 33.6M ev και είναι κοντά στα πειραματικά δεδομένα. 73

82 Αντίθετα, με την σχετικιστική προσέγγιση Hartree (RHA), η καταστατική εξίσωση γίνεται πιο μαλακή και οδηγεί σε μικρότερη αλλά αποδεκτή μέγιστη μάζα (2.14M ). Με τη σχετικιστική προσέγγιση Bruecker-Bethe-Goldstone (RBBG) προκύπτει (2.8M ). Η σχετικιστική προσέγγιση Hartree (RHA) ουσιαστικά επεκτείνει την QHD περιλαμβάνοντας αλλαγή στη βαρυονική μάζα για όλες τις κατειλημμένες καταστάσεις και στην περιοχή των καταστάσεων αρνητικής ενέργειας. Συνεπώς η συνεισϕορά και αυτών των καταστάσεων στο άθροισμα περιέχει ολοκληρώματα που αποκλίνουν τα οποία μπορεί να γίνουν πεπερασμένα με την εισαγωγή κατάλληλων όρων στην λαγκραζιανή και επιβάλλοντας συνθήκες ανακανονικοποίησης. Σχήμα 6: M/M συναρτήσει της ακτίνας για αδρονική ύλη. Η γραϕική παράσταση πάρθηκε από τη βιβλιογραϕία [7] Επέκταση μοντέλου Στη συνέχεια αναπτύσσουμε το μοντέλο για να περιγράψουμε τη ϕάση της ύλης που αποτελείται από αδρόνια τροποποιώντας κατάλληλα τις τιμές των στα- 74

83 θερών σύζευξης της λαγκραζιανής έτσι ώστε να έχουμε καλύτερη περιγραϕή του αστέρα νετρονίων. Όπως έχει αναϕερθεί η αλληλεπίδραση των νουκλεονίων γίνεται μέσω ανταλλαγής μεσονίων και συγκεκριμένα από ένα βαθμωτό μεσόνιο ϕ, ένα διανυσματικό μεσόνιο V και το ισοδιανυσματικό μεσόνιο ρ που ξεχωρίζει τα πρωτόνια και τα νετρόνια. Επειδή είναι ϕορτισμένο η αλληλεπίδραση πρωτονίουμεσονίου θα είναι διαϕορετική από την αλληλεπίδραση νετρονίου-μεσονίου. Έτσι λοιπόν για ύλη αδρονίων που αποτελείται από νουκλεόνια (πρωτόνια και νετρόνια) και λεπτόνια(e, µ) λαγκραζιανή εξίσωση μέσου πεδίου είναι: L RMF = i=p,n ψ i [ιγ µ µ M g s ϕ g v γ µ V µ g ρ γ µ τ α ρ αµ ]ψ i µϕ µ ϕ 1 2 m2 sϕ g 2ϕ g 3ϕ W µνw µν m2 vv µ V µ c 3(V µ V µ ) 2 (313) όπου 1 4 Rα µνr αµν m2 ρρ α µρ αµ + ψ i [ιγ µ µ m l ]ψ l l=e,µ W µν = µ V ν ν V µ (314) R αµν = µ ρ αν ν ρ αµ + g ρ ϵ αbc ρ bµ ρ cµ (315) αντισυμμετρικοί τανυστές πεδίων V µ, ρ αµ αντίστοιχα. Σύμϕωνα με τη σχετικιστική θεωρία μέσου πεδίου αντικαθιστούμε τα μεσονικά πεδία με τις μέσες τιμές και οι μηδενικοί όροι είναι ϕ = ϕ, V = V, ρ = ρ. Οι εξισώσεις κίνησης είναι: m 2 sϕ + g 2 ϕ 2 + g 3 ϕ 3 = g s (ρ s p + ρ s n) (316) m 2 vv + c 3 V 3 = g v (ρ p + ρ n ) (317) m 2 ρρ = g ρ (ρ p ρ n ) (318) όπου ρ s i και ρ i είναι οι βαθμωτές και αριθμητικές πυκνότητες του κάθε i αντίστοιχα. Στην β ισορροπία (p + + e n + ν e ) τα χημικά δυναμικά πρέπει να ικανοποιούν τις σχέσεις µ p = µ n µ e, µ µ = µ e επειδή τα νετρίνο μπορεί να διασκορπιστούν έξω από τον αστέρα με αποτέλεσμα τα χημικά δυναμικά τους είναι μηδέν. Σε μηδενική θερμοκρασία τα χημικά δυναμικά των λεπτονίων είναι µ l = m 2 l + kl F 2 ενώ αντίστοιχα των νουκλεονίων µ i = (M ) 2 + kf i 2 + g v V + g ρ τ3ρ i και M = M + g s ϕ. Η ολική πυκνότητα ενέργειας είναι : ϵ HP = 1 k i F dkk 2 (M i=p,n π ) 2 + k m2 sϕ g 2ϕ g 3ϕ m2 vv c 3V m2 ρρ k l (319) F dkk 2 m 2 π 2 l + k2 l=e,µ 75

84 και αντίστοιχα η πίεση: P HP = i=p,n 1 k i F 3π 2 k 4 dk (M ) 2 + k m2 sϕ g 2ϕ g 3ϕ m2 vv c 3V m2 ρρ 2 + l=e,µ 1 k l F 3π 2 dk k 4 m 2 l + k2 (32) Με την απαίτηση η ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο να είναι 16.3M ev και η πυκνότητα κορεσμού της πυρηνικής ύλης να είναι.145fm 3 καταλήγουμε στις παραμέτρους TM1: model M m s m v m ρ g s TM-I (321) g v g ρ g 2 (fm 1 ) g 3 c Η ενέργεια συμμετρίας προκύπτει 36.9M ev και η συμπιεστότητα 281M ev Φάση ύλης με κουάρκς Η κβαντική χρωμοδυναμική είναι η θεωρία των ισχυρών αλληλεπιδράσεων. Το διάγραμμα ϕάσης της ύλης ισχυρών αλληλεπιδράσεων είναι το επίπεδο T -µ, όπου T θερμοκρασία και µ βαρυονικό χημικό δυναμικό. Το μοναδικό απαραίτητο εργαλείο για σωστές θεωρητικές προβλέψεις είναι η καταστατική εξίσωση της ισχυρά αλληλεπιδρώσας ύλης. Δυστυχώς όμως γενικά η QCD λόγω κάποιων προβλημάτων μας παρέχει γνώση σε ένα μικρό κομμάτι του διαγράμματος ϕάσης. Ένα από τα πιο γνωστά μοντέλα για την περιγραϕή της υψηλής πυκνότητας ύλης κουάρκ είναι το Nambu-Jona-Lasinio (NJL) διότι μπορεί και αναπαράγει τα αποτελέσματα της Lattice κβαντικής χρωμοδυναμικής (LQCD) σε πολύ μικρό χημικό δυναμικό και στο µ = και χρησιμοποιεί το κύριο χαρακτηριστικό της QCD, το αυθόρμητο σπάσιμο της χειραλικής συμμετρίας. Συνεπώς για την υπό μέλετη ύλη η οποία βρίσκεται σε β ισορροπία, είναι ουδέτερη, έχει πεπερασμένη πυκνότητα και είναι σε μηδενική θερμοκρασία χρησιμοποιείται το μοντέλο NJL με τρεις γεύσεις λαμβάνοντας υπόψη τις βαθμωτές, ψευδοβαθμωτές και Kobayashi-Maskawa't Hooft αλληλεπιδράσεις καθώς επίσης όρους απωστικού διανύσματος και τους όρους αλληλεπίδρασης Axial-Vector. Να τονίσουμε ότι η εισαγωγή της διανυσματικής αλληλεπιδρασης έχει ενδιαϕέρον 76

85 για αρκετούς λόγους: 1. Οι διανυσματικές αλληλεπιδράσεις παίζουν κύριο ρόλο στον καθορισμό των ιδιοτήτων της ύλης στις ενδιάμεσες πυκνότητες. 2. Η ανταλλαγή διανυσματικών μεσονίων μπορεί να είναι υπεύθυνη για το συσσωμάτωμα του καονίου σε υψηλές πυκνότητες. Η λαγκραζιανή που περιγράϕει το σύστημα για = c = 1 είναι: L NJL = ψ(ιγ 8 µ µ m )ψ + G S [( ψλ α ψ) 2 + ( ψιγ 5 λ α ψ) 2 ] α= K{det f [ ψ(1 + γ 5 )ψ] + det f [ ψ(1 γ 5 )ψ]} 8 G V [( ψγ µ λ α ψ) 2 + ( ψγ µ γ 5 λ α ψ) 2 ] α= (322) όπου ψ είναι διάνυσμα στήλης που συμβολίζει το πεδίο κουάρκ και αποτελείται από τρεις σπίνορες ψ f, με f = u, d, s, λ α = λ 1,..., λ 8 είναι οι 3 3 πίνακες Gell- Mann 8 στο χώρο των γεύσεων και λ = 2/3I. Ο πρώτος όρος της λαγκραζιανής συμβολίζει τη λαγκραζιανή εξίσωση του Dirac για σωματίδια με σπιν 1/2 και με μάζα να δίνεται από τον 3 3 πίνακα m = diag(m u, m d, m s). Ο δεύτερος όρος αντιστοιχεί στην βαθμωτή-ψευδοβαθμωτή 9 αλληλεπίδραση τεσσάρων κουάρκ με τη βαθμωτή σταθερά σύζευξης G S. Ο τρίτος όρος αντιστοιχεί στην αλληλεπίδραση έξι κουάρκ Kobayashi-Maskawa- 't Hooft η οποία σπάει την U A (1) συμμετρία. Σε αυτή την αλληλεπίδραση υπάρχει Vector- Axial Vector δομή και ο σημαντικός πίνακας για τις ιδιόστροϕες καταστάσεις είναι ο γ 5 = iγ γ 1 γ 2 γ 3. Ο τελευταίος ορος εισάγει επιπλέον διανυσματικές 1 και αξονικές-διανυσματικές 11 αλληλεπιδράσεις με τη διανυσματική σύζευξη G V η οποία παίζει σημαντικό ρόλο στην περιγραϕή των αστέρων. Ακόμα η G V στο κενό μπορεί να καθοριστεί από το ϕάσμα του διανυσματικού μεσονίου. Το G S και K είναι σταθερές σύζευξης με διαστάσεις [energy] 2 και [energy] 5 αντίστοιχα. Στην προσέγγιση μέσου πεδίου η λαγκραζιανή γίνεται: L MF A = ψ f (ιγ µ µ γ G V ρ V f m f )ψ f f G S ρ 2 Sf + G V ρ 2 Sf + 4K (323) ρ Sf f f f 8 λ 1 = 1 1, λ 2 = i i, λ 3 = 1 1, λ 4 = 1, λ 5 = i, 1 i λ 6 = 1, λ 7 = i, λ 8 = i 2 9 ψψ, ψγ 5 ψ βαθμωτή, ψευδοβαθμωτή με 1 συνιστώσα το καθένα 1 ψγ µ ψ, ψγ µ γ 5 ψ, ψσ µν ψ τετραδιάνυσμα, ψευδοτετραδιάνυσμα με 4 συνιστώσες και αντισυμμετρικός τανυστής με 6 συνιστώσες 11 ψ1 γ µ (1 γ 5 )ψ 2 Vector-Axial Vector 77

86 όπου ρ Sf = ψf ψ f (324) ρ V f = ψf γ ψ f = ρf ρ f }{{} = ρ f (325) T = οι βαθμωτές και διανυσματικές πυκνότητες των κουάρκ με γεύση f = u, d, s. Στο μοντέλο NJL στη θεωρία μέσου πεδίου τα κουάρκ αποκτούν συστατικό μάζας από το σπάσιμο της χειραλικής συμμετρίας. Το συστατικό της μάζας των κουάρκς στο κενό m f θεωρείται μεγαλύτερο από την τρέχουσα μάζα m f. Στην ύλη που αποτελείται από κουάρκ τα συστατικά της μάζας καθορίζονται από τις εξισώσεις: δηλαδή: m f = m f 4G S ρ Sf + 2K f f ρ Sf (326) m u = m u 4G S ψu ψ u + 2K ψd ψ d ψs ψ s m d = m d 4G S ψd ψ d + 2K ψu ψ u ψs ψ s m s = m s 4G S ψs ψ s + 2K ψu ψ u ψd ψ d (327) Οι όροι G S ψu ψ u κλπ αντιστοιχούν στο παρακάτω σχήμα, όπου ο βρόχος κουάρκ αναπαριστάνει το συσσωμάτωμα. Σχήμα 7: Δημιουργία μάζας ϕερμιονίου στη προσέγγιση μέσου πεδίου. Η ορίζουσα στη λαγκραζιανή αντιπροσωπεύει ότι η μάζα του κουάρκ u δέχεται συνεισϕορές από το γινόμενο των συσσωματωμάτων ψd ψ d ψs ψ s και ούτω καθεξής. Για κάθε γεύση f = u, d, s το συσσωμάτωμα κουάρκ είναι: Λ d 4 p m f ψf ψ f = 4iNc (2π) 4 p 2 m 2 f + iϵ (328) 78

87 Το μοντέλο NJL είναι ένα μη ανακανονικοποιήσιμο μοντέλο (nonrenormalizable model) και για να ρυθμιστούν οι άπειροι όροι από τις αρνητικές ενεργειακές καταστάσεις της θάλασσας Dirac έχει εισαχθεί ένα όριο. Συγκεκριμένα το Λ d 4 p = Λ d 4 pθ(λ 2 p 2 p 2 ), στα ολοκληρώματα που δεν συγκλίνουν και για N c = 3 είναι: [ 3 ψf ψ f = 4π m qλ 2 1 m2 ( )] f 2 Λ ln 1 + Λ2 2 m 2 f (329) Για την SU(2) είναι m u = m d. Τότε ψu ψ u = ψd ψ d και m u m ou = 3 [ m u 4π 2 g2 1 m2 ( )] f Λ ln 1 + Λ2 2 m 2 u (33) όπου έχει γίνει απορρόϕηση του ορίου στις σταθερές σύζευξης g 2 = (G S + G D ψs ψ s )Λ 2 = GΛ 2 (331) Οι τιμές παραμέτρων δίνονται στην αναϕορά [16], m u = m d = 5.5MeV, m s = 14.7MeV, Λ = 62.3MeV, G S Λ 2 = και KΛ 5 = Την διανυσματική σύζευξη G V την αντιμετωπίζουμε σαν ελεύθερη παράμετρο και παίρνουμε την αναλογία G V /G S =,.2 και.4 για να μελετήσουμε πως η G V επηρεάζει την καταστατική εξίσωση. Η πυκνότητα ενέργειας είναι: ϵ NJL = f=u,d,s [ 3 Λ k 2 ] k π 2 + m 2 2 f dk + 2G S (ρ 2 Su + ρ 2 Sd + ρ 2 Ss) 4Kρ Su ρ Sd ρ Ss k f F + 2G V (ρ 2 V u + ρ 2 V d + ρ 2 V s) ϵ (332) όπου: [ ] f=u,d,s 3 Λ k 2 k π 2 k f 2 + m 2 f dk κινητικός όρος F 2G S (ρ 2 Su + ρ 2 Sd + ρ 2 Ss) όρος βαθμωτής αλληλεπίδρασης 4Kρ Su ρ Sd ρ Ss όρος μίξης γεύσεων 2G V (ρ 2 V u + ρ 2 V d + ρ 2 V s) όρος διανυσματικής αλληλεπίδρασης Το ϵ εισήχθη ώστε στο κενό να ισχύει ϵ NJL = καθώς επίσης να μηδενίζεται η πίεση. Η ϕάση της ύλης που αποτελείται από κουάρκ, η οποία μπορεί να βρίσκεται στον πυρήνα του αστέρα νετρονίων και αποτελείται από u,d,s και λεπτόνια (e,µ), είναι σε βήτα ισορροπία (p + + e n + ν), δηλαδή: d u + e + ν e s u + e + ν e s + u d + u (333) 79

88 Ακόμα επειδή τα νετρίνο μπορεί να διασκορπιστούν έξω από τον αστέρα τα χημικά δυναμικά τους είναι μηδέν έτσι για το χημικό δυναμικό θα ισχύει η σχέση: µ s = µ d = µ u + µ e και µ µ = µ e. Επίσης το χημικό δυναμικό του νετρονίου είναι µ n = µ u + 2µ d και η βαρυονική πυκνότητα: ρ B = 1 ρ V f = 1 3 f 3 (ρ u + ρ d + ρ s ) (334) Σε μηδενική θερμοκρασία το χημικό δυναμικό των κουάρκ είναι: µ f = k i F 2 + m i 2 + 4G V ρ V i (335) με i = u, d, s, e, µ. Η ολική πυκνότητα ενέργειας και η πίεση σε ύλη που αποτελείται από κουάρκ είναι: ϵ QP = ϵ NJL + P QP = i=u,d,s,e,µ l=e,µ 1 k l F k 2 k π 2 + m 2 2 l dk (336) ρ V i µ i ϵ QP (337) Μικτή ϕάση ύλης αδρoνίων-κουάρκ με ϕαινόμενα πεπερασμένου μεγέθους Λόγω των κατάλληλων συνθηκών που επικρατούν σε έναν αστέρα νετρονίων συγκεκριμένα στην περιοχή υψηλών πυκνοτήτων, συμβαίνει μια μετάβαση ϕάσης όπου τα κουάρκς δεν ανήκουν πια στα αδρόνια. Είναι πρώτης τάξης και είναι παρόμοια με αυτή του νερού σε αέριο. Αυτό οϕείλεται στο γεγονός ότι η δύναμη Van der Waals που ασκείται μεταξύ των μορίων του νερού είναι όμοια με την δύναμη μεταξύ των νουκλεονίων, δηλαδή έχει ένα ελκτικό και ένα απωστικό μέρος για τις ενδιάμεσες και μικρές αποστάσεις. Η διαϕορά εννοείται είναι στην τάξη μεγέθους και στην ισχύ. Πολλές από τις μελέτες που έχουν γίνει βασίζονται σε μία πιο γενική προσέγγιση σύμϕωνα με την οποία η μετάβαση ϕάσης (αδρόνια-κουάρκ) πραγματοποιείται μέσω των κριτηρίων Gibbs ή Maxwell. Οι συνθήκες Gibbs είναι: µ H = µ Q = µ, P H (µ ) = P Q (µ ) = P (338) 8

89 με µ H = ϵ H + P H n H (339) µ Q = ϵ Q + P Q n Q (34) να είναι οι ενέργειες Gibbs ανα βαρυόνιο, δηλαδή το μέσο χημικό δυναμικό για τη ϕάση με αδρόνια (H) και αντίστοιχα για τη ϕάση με κουάρκ (Q). Ακόμα οι ποσότητες εκϕράζουν: ϵ H (ϵ Q ) πυκνότητα ενέργειας, P H (P Q ) πίεση, n H (n Q ) αριθμητική πυκνότητα βαρυονίων. Επίσης πρέπει οι δύο συνυπάρχουσες ϕάσεις να έχουν αντίθετο ηλεκτρικό ϕορτίο ώστε μακροσκοπικά ο αστέρας να έχει ουδέτερο ϕορτίο. Αντίστοιχα οι συνθήκες Maxwell είναι: Τοπικά υπάρχει ουδέτερο ϕορτίο, Ίδια πίεση και βαρυονικό χημικό δυναμικό αλλά διαϕορετικό χημικό δυναμικό ηλεκτρονίων, δηλαδή P H (µ ) = P Q (µ ) = P (341) µ B H = µ B Q (342) µ e H µ e Q (343) Για την περιγραϕή αυτής της κατάστασης έχουμε σαν δεδομένο ότι η ύλη είναι μη ομογενής και οι σϕαιρικοί πυρήνες σχηματίζουν ένα κυβικό χωροκεντρωμένο πλέγμα (Body Centered Cubic). Γενικά μη σϕαιρικοί πυρήνες μπορούν να εμϕανιστούν σε πυκνότητες μεγαλύτερες από.5fm 3 [29]. Συνεπώς χρησιμοποιούμε την προσέγγιση Wigner-Seitz σύμϕωνα με την οποία το σύστημα είναι χωρισμένο σε ισοδύναμες ουδέτερες κυψελίδες. Η κυψελίδα Wigner-Seitz έχει τον ίδιο όγκο με το κυβικό χωροκεντρωμένο πλέγμα. Η σταθερά του πλέγματος α και η ακτίνα της κυψελίδας Wigner-Seitz r W S σχετίζονται με τον όγκο της κυψελίδας με τη σχέση V cell = α 3 = 4πrW 3 S/3 = N b /n b όπου N b ο βαρυονικός αριθμός ανά κυψελίδα και n b = N p+n n V cell η μέση βαρυονική πυκνότητα. Υποθέτουμε ότι μέσα στην κάθε κυψελίδα υπάρχει μια διεπιϕάνεια η οποία χωρίζει τις δυο ϕάσεις, δηλαδή τα αδρόνια και τα κουάρκς, και τα λεπτόνια (ηλεκτρόνια και μυόνια) που είναι κατανεμημένα παντού μέσα στην κυψελίδα. Η εν λόγω διεπιϕάνεια έχει μια πεπερασμένη επιϕανειακή τάση σ η οποία παίζει πολύ σημαντικό ρόλο στον καθορισμό της κατασκευής της μικτής ϕάσης. Το όριο σ = αντιστοιχεί στην απουσία συνεισϕοράς ενέργειας λόγω δυνάμεων Coulomb και επιϕάνειας. Ακόμα στις αναϕορές [18] και [19] εξετάζεται το πως συνδέεται η πυκνότητα ενέργειας με την επιϕανειακή τάση σ. Η γεωμετρική κατασκευή της μικτής ϕάσης αλλάζει από σταγόνα σε ράβδο, πλάκα, κύλινδρο, ϕυσαλίδα συναρτήσει της αυξανόμενης πυκνότητας. Για απλότητα εξετάζεται μόνο η ϕάση σταγόνας και ϕυσαλίδας. Σε μια γενική προσέγγιση της περιγραϕής της μικτής ϕάσης οι συνεισϕορές ενέργειας επιϕάνειας και Coulomb μπορούν να αγνοηθούν και τότε αυτή υπακούει 81

90 στις συνθήκες Gibbs. Όταν συμπεριληϕθούν οι συνεισϕορές ενέργειας επιϕάνειας και Coulomb οι συνθήκες ισορροπίας προκύπτουν από την ελαχιστοποίηση της ολικής ενέργειας. Η ολική ενέργεια στη μικτή ϕάση (κουάρκ-αδρόνια) είναι: όπου ϵ MP = uϵ QP + (1 u)ϵ HP + ϵ surface + ϵ coulomb (344) u = V QP V QP + V HP (345) εκϕράζουμε το ποσοστό όγκου της ϕάσης κουάρκ και οι πυκνότητες ενέργειας ϵ HP, ϵ QP δίνονται από τις σχέσεις (319), (336). Η ενέργεια επιϕάνειας: και η ενέργεια Coulomb: ϵ surface = 3σu in r (346) ϵ coulomb = e2 5 (δn c) 2 r 2 u in D(u in ) (347) Με u in δηλώνουμε το ποσοστό του όγκου του εσωτερικού μέρους ακτίνας r, δηλαδή για σταγόνα u in = u ενώ για ϕυσαλίδα u in = 1 u. Το σ είναι η επιϕανειακή τάση της διεπιϕάνειας της ϕάσης αδρονίων και κουάρκ και αντιμετωπίζεται σαν ελεύθερη παράμετρος. Το δn c = n HP c Ακόμα n QP c εκϕράζει τη διαϕορά πυκνότητας ϕορτίου των δύο ϕάσεων. D(u in ) = u3/2 in u in (348) Η ενέργεια της μικτής ϕάσης μπορεί να εκϕραστεί σαν συνάρτηση των εννιά μεταβλητών: n p, n n, n u, n d, n s, n e, n µ, u και r. Η συνθήκη ισορροπίας προκύπτει ελαχιστοποιώντας την ενέργεια ϵ MP κάτω από τους περιορισμούς της ολικής ουδετερότητας του αστέρα 12 σε μακροσκοπική κλίμακα και τη διατήρηση του βαρυονικού αριθμού δηλαδή σταθερή μέση πυκνότητα n b = (1 u)n HP b + un QP b όπου n b = B n B. Οι περιορισμοί είναι: = u 3 (2n u n d n s ) + (1 u)n p n e n µ (349) 12 n HP,QP c (1 u)n HP c = B n BQ B l=e,µ nhp,qp l για κάθε ϕάση. Η ολική ουδετερότητα απαιτεί n c = + un QP c = 82

91 και n b = u 3 (n u + n d + n s ) + (1 u)(n p + n n ) (35) Εισάγουμε πολλαπλασιαστές Lagrange µ e, µ n για τους δύο περιορισμούς και ελαχιστοποιούμε τη συνάρτηση: w =ϵ MP µ n [ u 3 (n u + n d + n s ) + (1 u)(n p + n n )] µ e [n e + n µ u 3 (2n u n d n s ) (1 u)n p ] (351) Ελαχιστοποιώντας το w ως προς τις σωματιδιακές πυκνότητες προκύπτουν οι συνθήκες ισορροπίας για τα χημικά δυναμικά 13 : µ u 4ϵ coul 3uδn c = 1 3 µ n 2 3 µ e (352) µ d + 2ϵ coul 3uδn c = 1 3 µ n µ e (353) µ s + 2ϵ coul 3uδn c = 1 3 µ n µ e (354) µ p + 2ϵ coul (1 u)δn c = µ n µ e (355) µ µ = µ e (356) Η ελαχιστοποίηση ως προς u οδηγεί στη συνθήκη ισορροπίας για την πίεση: P HP = P QP 2ϵ [ coulomb 1 δn c 3u (2n u n d n s ) + 1 ] 1 u n p ± ϵ ) coulomb (3 + D u in D u in (357) όπου το πρόσημο + είναι για ϕυσαλίδες και το - για σταγόνες. Όπως έχουμε αναϕέρει σύμϕωνα με τον Gibbs στη θερμοδυναμική ισορροπία, μια μετάβαση ϕάσης πραγματοποιείται όταν η πίεση και το χημικό δυναμικό της αρχικής κατάστασης είναι ίσο με την τελική κατάσταση. Από την παραπάνω εξίσωση παρατηρούμε ότι η πίεση της ϕάσης αδρονίων είναι διαϕορετική από τη ϕάση των κουάρκς λόγω της εισαγωγής των όρων επιϕάνειας και Coulomb. Από την ελαχιστοποίηση ως προς r προκύπτει: ϵ surf = 2ϵ Coulomb (358) ( U n i )S,V,q,n i n j, µ i = ( F n i )T,V,q,n i n j, µ i = 13 To χημικό δυναμικό ορίζεται ώς µ i = ( G n i. Το διαϕορικό της εσωτερικής ενέργειας είναι: du = T ds pdv + ϕdq + )T,p,q,n µ i dn i i n j και ο όρος pdv εκϕράζει έργο λόγω μεταβολής του όγκου, το ϕdq εκϕράζει ηλεκτρικό έργο και άρα το µ i dn i θα εκϕράζει κάποιο έργο. Συγκεκριμένα εκϕράζει το έργο που οϕείλεται στη μεταϕορά της ύλης από ή προς το σύστημα λόγω των διαϕόρων μορϕών ενέργειας (κινητικής, δυναμικής, ηλεκτρονικής, κλπ) που έχουν τα σωματίδια του συστήματος. Αντιπροσωπεύει την τάση για χημική μεταβολή και η κατάσταση ισορροπίας πραγματοποιείται όταν δεν υπάρχει τάση για μεταβολή 83

92 συνεπώς η ακτίνα της σταγόνας είναι: και η ακτίνα της κυψελίδας Wigner-Seitz είναι: [ ] 15σ 1/3 r d = (359) 2e 2 (δn c ) 2 D(u in ) Η πίεση της μικτής ϕάσης βρίσκεται από τον τύπο: r ws = u 1/3 in r d (36) Συμπεράσματα P MP = n 2 (ϵ MP /n b ) b (361) n b Από τη βιβλιογραϕία [18] προκύπτουν τα αριθμητικά αποτελέσματα για την μετάβαση ϕάσης από ύλη αδρονίων σε ύλη κουάρκ έχοντας συμπεριλάβει τις συνεισϕορές ενέργειας επιϕάνειας και Coulomb. Στις γραϕικές παραστάσεις 8 και 9 ϕαίνεται το εύρος πυκνότητας της μικτής ϕάσης συναρτήσει της επιϕανειακής τάσης σ για δύο τιμές της διανυσματικής σύζευξης (G V =, G V =.4G S ). Κατά την έναρξη της μικτής ϕάσης τα κουάρκς καταλαμβάνουν ένα μικρό μέρος όγκου και η γεωμετρία που κυριαρχεί είναι σταγόνες ενσωματωμένες στην ύλη αδρονίων. Στο τέλος της μικτής ϕάσης η ϕάση ϕυσαλίδων κουάρκς είναι πιο σταθερή συγκριτικά με της σταγόνας. Άλλες γεωμετρικές δομές που υπάρχουν στο μέσο της μικτής ϕάση είναι η ράβδος, πλάκα, κύλινδρος και έχουν παραληϕθεί για να είναι πιο απλό το μοντέλο. Ακόμα καθώς αυξάνεται η επιϕανειακή τάση, το εύρος πυκνότητας τη μικτής ϕάσης μειώνεται και συγκεκριμένα το εύρος της ϕάσης της ϕυσαλίδας γίνεται μικρότερο και εξαϕανίζεται για σ > 5MeV/fm 2 στην περίπτωση που G V =. Αντίστοιχα για G V =.4G S παρατηρούμε οτι το εύρος πυκνότητας της μικτής ϕάσης αλλάζει σε υψηλότερες πυκνότητες και εξαρτάται από το σ ελάχιστα. Αυτό γίνεται διότι καθώς αυξάνεται η πυκνότητα, η συνεισϕορά από τον όρο επιϕανείας είναι μικρή συγκριτικά με την ολική ενέργεια. Συνεπώς η επίδραση της επιϕανειακής τάσης στο διάγραμμα ϕάσης γίνεται μικρότερη σε μεγάλες πυκνότητες. Παρόλα αυτά όταν οι συνεισϕορές επιϕανείας και Coulomb λαμβάνονται υπόψη η πυκνότητα ενέργειας της ϕάσης κουάρκ με γεωμετρία σταγόνας είναι μεγαλύτερη από την κατασκευή Maxwell εξαιτίας της μεγάλης επιϕανειακής τάσης σ. Έτσι όταν η επιϕανειακή τάση είναι μεγάλη η μικτή ϕάση συμπεριϕέρεται σύμ- ϕωνα με Maxwell κατασκευή ενώ αντίθετα με μικρή επιϕανειακή τάση σύμϕωνα με Gibbs. Στην πραγματικότητα, Maxwell και Gibbs αντιστοιχούν σε δύο όρια της άπειρης και μηδενικής επιϕανειακής τάσης αντίστοιχα. 84

93 Σχήμα 8: Πυκνότητα μετάβασης ϕάσης συναρτήσει της επιϕανειακής τάσης σ για G V =. Σχήμα 9: Πυκνότητα μετάβασης ϕάσης συναρτήσει της επιϕανειακής τάσης σ για G V =.4G s. 85

94 Όπως έχουμε αναϕέρει η λύση της εξισώσης Tolman-Oppenheimer-Volkov γίνεται χρησιμοποιώντας τις αρχικές συνθήκες του αστέρα για r = και r = R καθώς επίσης τις καταστατικές εξισώσεις που περιγράϕηκαν. Με χρήση των παραμέτρων TM1 (321) για G V = και G V =.4G S προκύπτουν οι γραϕικές παραστάσεις 1 και 11 στις οποίες περιγράϕεται η σχέση μάζας-ακτίνας και συγκρίνεται με παρατηρησιακά δεδομένα 14 PSR J (M = 2.1 ±.4M ) [2] και PSR J (M = ±.17M ) [21]. Το μέγεθος του αστέρα νετρονίων που αποτελείται μόνο από αδρόνια απεικονίζεται με τη συμπαγή γραμμή και η μέγιστη μάζα του είναι 2.18M σύμϕωνα με [22]. Η εισαγωγή των κουάρκς στον υπολογισμό της καταστατικής εξίσωσης πετυχαίνει το να είναι πιο μαλακή η καταστατική εξίσωση και μειώνει τη μέγιστη μάζα του αστέρα η οποία εξαρτάται από το G V. Στην περίπτωση G V =.4G S η μέγιστη μάζα με την κατασκευή Gibbs μειώνεται και είναι 2.13M ενώ για G V = η μέγιστη μάζα είναι 1.91M. Ακόμα όταν λαμβάνονται υπόψη τα ϕαινόμενα πεπερασμένου μεγέθους η μάζα του αστέρα νετρονίων είναι μεγαλύτερη από αυτήν που προκύπτει από τις συνθήκες Gibbs και η διαϕορά οϕείλεται στην επιϕανειακή τάση σ. Σχήμα 1: Σχέση μάζα ακτίνας αστέρα νετρονίων για διαϕορετική κατασταστική εξίσωση για G V =. Το γραμμοσκιασμένο μέρος αντιστοιχεί σε παρατηρησιακούς περιορισμούς PSR J (M = 2.1 ±.4M ) [2] και PSR J (M = ±.17M )[21] 14 Παράρτημα 86

95 Σχήμα 11: Σχέση μάζας-ακτίνας αστέρα νετρονίων για διαϕορετική κατασταστική εξίσωση για G V =.4G S. Το γραμμοσκιασμένο μέρος αντιστοιχεί σε παρατηρησιακούς περιορισμούς PSR J (M = 2.1±.4M ) [2] και PSR J (M = ±.17M )[21] Στον πίνακα 12 παρουσιάζονται με λεπτομέρεια οι ιδιότητες του αστέρα νετρονίων και η μέγιστη μάζα. Συγκεκριμένα, για τις περιπτώσεις σ =, 1, 4MeV/fm 2 ένας πυρήνας ακτίνας R MP μπορεί να σχηματιστεί στο εσωτερικό του αστέρα ο οποίος μειώνεται με την αύξηση του G V. Παρόλα αυτά η κεντρική πυκνότητα ενέργειας δεν έχει τόσο μεγάλη τιμή για να δημιουργήσει ύλη μόνο από κουάρκ καθώς επίσης λόγω σχετικά μικρής επιϕανειακής τάσης. Η πίεση στη μικτή ϕάση με τα κριτήρια του Maxwell παραμένει σταθερή και έτσι η δημιουργία μικτής ϕάσης στον αστέρα νετρονίων δεν επιτρέπεται. Ωστόσο ένας πυρήνας από κουάρκ μπορεί να σχηματιστεί με ακτίνα R QP =.82Km για G V = και R QP =.38Km για G V =.2G S και όταν η σταθερά σύζευξης πάρει τιμή μεγαλύτερη από G V =.4G S δεν σχηματίζεται ύλη από κουάρκ στο εσωτερικό του αστέρα. Η μέγιστη μάζα του αστέρα νετρονίων εξαρτάται από την επιϕανειακή τάση και τη σταθερα G V η οποία αυξάνεται με την αύξηση του G V και σ. Συμπεραίνουμε ότι η επιϕανειακή τάση της διεπιϕάνειας αδρονίων-κουάρκ και η διανυσματική αλληλεπίδραση ανάμεσα στα κουάρκ είναι πολύ σημαντικές στον καθορισμό της συμπεριϕοράς της μετάβασης ϕάσης αδρονίων σε κουάρκ και των ιδιοτήτων των αστέρων νετρονίων. Τέλος η αλληλεπίδραση του απωστικού διανύσματος στο μοντέλο NJL μπορεί να κάνει την καταστατική εξίσωση της ύλης κουάρκ πιο σκληρή με συνέπεια την καθυστέρηση της μετάβασης ϕάσης και την αύξηση της μέγιστης μάζας του αστέρα νετρονίων. 87

96 Πίνακας 12: Ιδιότητες των αστέρων νετρονίων με τη μέγιστη μάζα. Η κεντρική πυκνότητα ενέργειας και η αριθμητική πυκνότητα των βαρυονίων συμβολίζονται με ϵ c, n c αντίστοιχα. Όπου R QP, R MP, R είναι η ακτίνα της ϕάσης κουάρκ, μικτή ϕάση και ολικού αστέρα αντιστοιχα. M max ϵ c n c R QP R MP R M MeV/fm 3 fm 3 (Km) (Km) (Km) Gibbs G V = , G V =.2G S G V =.4G S σ = 1MeV/fm 2 G V = G V =.2G S G V =.4G S σ = 4MeV/fm 2 G V = G V =.2G S G V =.4G S Maxwell G V = G V =.2G S G V =.4G S Παρατηρησιακοί περιορισμοί Η μάζα του αστέρα νετρονίων σε ένα διπλό σύστημα πλέον έχει μετρηθεί με ακρίβεια και όπως ϕαίνεται στον πίνακα 13 έχουν καθοριστεί οι μάζες αρκετών αστέρων. Όπως ϕαίνεται οι περισσότεροι έχουν μάζες M με εξαίρεση τους δύο αστέρες που έχουν αναϕερθεί με μάζες μεγαλύτερες από 2M. Μια πιθανή εξήγηση είναι ότι μπορεί να οϕείλεται στην εξέλιξη του διπλού συστήματος στο οποίο ανήκει. 88

97 Σχήμα 12: Πίνακας μαζών γνωστών αστέρων νετρονίων. Ο πίνακας πάρθηκε από [26] 89

98 9 Παράρτημα 9.1 Αέριο ϕερμιονίων Το σύστημά μας αποτελείται απο ϕερμιόνια όπως έχει αναϕερθεί. Τα ϕερμιόνια δεν μπορούν να βρεθούν στην ίδια ενεργειακή κατάσταση και να ϕτιάξουν ένα δέσμιο σύστημα με τους ίδιους κβαντικούς αριθμούς. Το κάθε ϕερμιόνιο έχει το δικό του χώρο και δεν μπορεί να καταληϕθεί από άλλο σωματίδιο. Ο χώρος αυτός είναι οι κβαντικοί αριθμοί. Η συνάρτηση επιμερισμού μονοσωματιδιακής στάθμης δηλαδή μιας κατάστασης που έχει καθορισμένους όλους τους κβαντικούς αριθμούς είναι: ξ i = e β(ϵ in i µ i n i ) (362) n i Είναι ένα σύστημα μεταβλητού αριθμού σωματιδίων διότι τα σωματίδια του συστήματος τα οποία βρίσκονται σε μία κατάσταση μπορούν να μεταπηδούν σε άλλες λόγω των αλληλεπιδράσεων με άλλα σωματίδια. Όπου n i είναι ο αριθμός των σωματίδίων που καταλαμβανουν την i κατάσταση, ϵ i η ενέργεια της στάθμης και µ το χημικό δυναμικό. Με n i =, 1 η συναρτηση επιμερισμού είναι: ξ i = 1 + e β(ϵ i µ i ) (363) Ο μέσος αριθμός κατάληψης ϕερμιονίων είναι: n i = 1 β ( lnξ ) i 1 ln(1 + e β(ϵ i µ i ) ) = µ β µ = e β(ϵ i µ i ) (364) Το χημικό δυναμικό εξαρτάται από τη θερμοκρασία και όταν η θερμοκρασία είναι Τ= τότε ονομάζεται ενέργεια Fermi: ϵ F = µ(t = ) >, β (365) Συνεπώς n(ϵ) = { 1 = 1 e +1 1 = e + +1 ϵ < ϵ } F ϵ ϵ F (366) Δηλαδή για μηδενική θερμοκρασία η ανώτατη κατειλλημένη στάθμη είναι η ενέργεια Fermi. 9.2 Αστέρας νετρονίων PSR J Ο PSR J είναι ένας 3.2ms πάλσαρ με τροχιακή περίοδο 8.7 μέρες σε απόσταση 1.3kpc. Ανακαλύϕθηκε το 26 με το Parkes radio telescope όπου ανήκει σε ένα διπλό σύστημα με έναν λευκο νάνο. Η μάζα του είναι M = ±.17M και το μαγνητικό του πεδίο είναι B = G. 9

99 9.3 Αστέρας νετρονίων PSR J Ο Πάλσαρ J ανακαλύϕθηκε το 27 με το Green Bank Telescope και είναι ο δεύτερος αστέρας νετρονίων σε ένα διπλό σύστημα με έναν λευκο νάνο, με μάζες M = 2.1 ±.4M και M =.172 ±.3M αντίστοιχα. Η τροχιακή του περίοδος είναι 2.46 ώρες και επειδή η μάζα του είναι πάνω από M = 1.8M έχει τεράστιο βαρυτικό πεδίο και αποτελεί χρήσιμη πηγή πληροϕορίας για τη μελέτη διαϕόρων ϕαινομένων. Παρατηρήθηκε σημαντική μείωση της περιόδου της τροχιάς P b obs = 8.6 ± 1.4 µs year 1 όπου σε σύγκριση με τις προβλέψεις της γενικής θεωρίας της σχετικότητας προκύπτει P obs/ b / P b GR = 1.5 ±.18 συμπεραίνουμε ότι συμϕωνεί με τις προβλέψεις της θεωρίας. Σχήμα 13: Καλλιτεχνική ϕωτογραϕία PSR J [2]. Ο αστέρας νετρονίων παράγει μια ισχυρή παραμόρϕωση στο χωρόχρονο και εκπέμπει μια κωνική δέσμη ακτινοβολίας η οποία προέρχεται απο την περιοχή των μαγνητικών πόλων όπως ϕαίνεται στο σχήμα. Αντίθετα ο λευκός νάνος καμπυλώνει το χωρόχρονο ελάχιστα. 91